ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

Apuntes de las clases de Simón Lamar y Celso Fortoul

Redactadas por Joaquín Marín Folleo N° 7

Nomenclatura 1.-Para un primer sistema Generalizado : (Q-D) (Q-q) Q Cargas independientes aplicadas en los nodos. D Desplazamientos independientes. Equivale a q. 2.-Para un segundo sistema sistema Generalizado : (Q*-D*) (Q*-q*) Q* Cargas independientes aplicadas en los nodos. D* Desplazamientos independientes. Equivale a q*. 3.-Para un deformaciones cargas en un miembro: (q-d) (P-p) 4.- K. matriz de rigidez de la estructura. k matriz de rigidez de miembro 5.- F. matriz de flexibilidad de la estructura. f matriz de flexibilidad de miembro

GENERALIDADES CORDENADAS GENERALIZADAS Y GRADOS DE LIBERTAD. 1._ DEFINICIONES DE MECÁNICA. Sea el sistema plano de la figura., formado por una polea rígida y dos partículas unidas por una cuerda inextensible y un resorte. Este sistema es unidimensional. Para definir la configuración del sistema utilizamos coordenadas. Debido a que el resorte cambia su longitud, es preciso, evidentemente, definir en este caso dos coordenadas, por ejemplo: el ángulo de rotación de la polea,φ , y el movimiento de la partícula B, δ . Si el resorte no existiese bastaría la rotación para definir la configuración del sistema, es decir, la posición de cada punto.

φ

Obviamente, se podría definir además la configuración del sistema con el desplazamiento de A, 1δ , pero, necesariamente, se ha de cumplir que δ . En este sistema, las coordenadas φ= R1 δφ y pueden adoptar cualquier valor: son independientes. Si se utilizan más de dos coordenadas, éstas ya no son independientes entre sí, y estarían relacionadas por condiciones como la arriba escrita.

FIG. 1

A las condiciones que ligan coordenadas no independientes las definiciones como ECUACIONES DE RESTRICCION ó de vinculación. Ésto será aplicado a las estructuras y general a cualquier sistema, plano o espacial. Veamos otro ejemplo: Sea una lámina rígida en el plano, y A y B dos puntos en ella. Podemos definir el movimiento como cuerpo rígido de esta lámina con tres números: X . yY , A,A θ Estos bastan para describir la posición de la lámina. Podríamos usar más de tres, pero, entonces, ya no serían independientes. Por ejemplo, las coordenadas de A y las coordenadas del punto B. Estos cuatro números determinan la posición de la lámina, pero como la distancia AB no puede cambiar ha de ve

LAB B

A

BY

Y

( ) ( ) .L YYXX AB

22AB

2AB =−+−

En resumen: Para determinar la configuración de un sistemapueden ser independientes o dependientes. CUANDO LAS COINDEPENDIENTES RECIBEN EL NOMBRE DE COORDE

rificarse

X

A

se empORDE

NADA

la ecuación de restricción

BX

FIG. 2

A

lea coordenadas, las cuales NADAS SON

S GENERALIZADAS.

1

En nuestro primer ejemplo, δφ y son coordenadas generalizadas. 1y δδ no son coordenadas generalizadas, ya que ha de cumplir una ecuación de restricción. 1δ Se denomina NÚMERO DE GRADOS DE LIBERTAD al número de coordenadas generalizadas que hay que emplear para definir la configuración de un sistema. Más adelante entenderemos como sistema a una estructura. Sea ahora un sistema deformable. Para cada abscisa X, dentro de cierto intervalo, LX0 ≤≤ hay que dar el desplazamiento horizontal de cierto punto P, u, y el desplazamiento vertical del punto, v. Tanto u como v son funciones de la posición del punto elegido. Considerando únicamente la directriz de la viga, para cada X hay que dar dos desplazamientos, u y v, para determinar la configuración del sistema deformado. Ahora bien, existen infinitos valores de X. Por consiguiente, de acuerdo a lo anterior, este sistema posee infinitos grados de libertad.

FIG. 3

Los únicos sistemas que tienen un número infinito de grados de libertad son los compuestos por partículas RÍGIDAS. Los sistemas deformables, pues, poseen infinitos grados de libertad, de acuerdo a la definición mecánica. 2._ DEFINICIONES ESTRUCTURALES. En las estructuras, pues, es preciso establecer otras definiciones más restrictivas. Para definir la configuración de un sistema estructural no vamos a hacer uso de una descripción completa. 1) Una estructura cualquiera la vamos a considerar como compuesta por MIEMBROS y JUNTAS.

Llamaremos JUNTAS a los puntos de concurso de varios miembros. La elección de los miembros y sus correspondientes juntas es arbitraria. La estructura de la fig. 4 se ha considerado compuesta de tres miembros y cuatro juntas, donde C y D son las uniones con el miembro a tierra, puesto que las estructuras no están aisladas. Otras posibilidades de elección se presentan en la figura 5.

3miembros 4 juntas FIG. 4

2

De modo que el número de miembros de una estructura es un número arbitrario dependiente de la elección considerada. Como consecuencia, un miembro no tiene por qué tener únicamente dos juntas. En la Fig. 5 (c) observamos cómo dos miembros tienen tres juntas, de acuerdo a como se ha elegido el miembro izquierdo. Así pues, de aquí en adelante consideraremos que una estructura está compuesta de miembros y juntas.

FIG.5

2) Para definir la configuración del sistema nos contentaremos con definir la posición de las juntas. PRIMERA RESTRICCION.

Por consiguiente, nuestra definición del número de grados de libertad no será la definición general de mecánica sino una definición particular, limitada a describir las juntas. EL NÚMERO DE GRADOS DE LIBERTAD ES EL NÚMERO DE COORDENADAS QUE ES PRECISO DETERMINAR PARA DEFINIR LA POSICIÓN DE LAS JUNTAS. Luego el número de grados de libertad depende del número de juntas. Para la estructura de la Fig. 4, compuesta de tres barras deformables hacen falta seis números: 4 para las coordenadas de las juntas A y B y dos más para la rotación que en el plano ocurre en cada una de esas juntas. Consideramos pues, que la junta (es decir como lámina en el plano) se desplaza y gira en el plano. Aunque tenga dimensiones pequeñas, la junta se considerará como un ente como el dibujado en la figura, capaz de girar, a diferencia de las definiciones de Mecánica, donde no tiene sentido hablar de rotación de una junta, al ser allí puntual. Como esos seis números describen la posición de las juntas y son independientes, esos seis números son las coordenadas generalizadas de la estructura que tratamos.

FIG. 6

Las coordenadas generalizadas las denotamos con la letra D.

3

1D Desplazamiento horizontal de la junta A.

2D Desplazamiento vertical de la junta A.

3D Rotación de la junta A, etc. Así la descripción estructural está limitada a la descripción de las juntas. En el plano, las coordenadas generalizadas son tres por cada junta. En el espacio, cada junta estará descrita por SEIS números: tres que describen sus desplazamientos y otros tres para describir las rotaciones, puesto que, en ese caso, la rotación no tiene una dirección determinada.

FIG. 7

De acuerdo a estas definiciones, la estructura de la fig. 5 (b), por el hecho de tener una junta libre de moverse, la B, sólo tiene tres grados de libertad, pero ésto no quiere que sea más sencilla que en el caso de otra elección con más miembros. Es decir, el número de grados de libertad no es un índice del grado de complicación.

VECTOR COORDENADAS GENERALIZADAS DE UNA ESTRUCTURA __

D

__

3

:

Esos desplazamientos los consideramos elementos de un vector columna D compuesto por las n coordenadas generalizadas de toda estructura; un vector en un espacio de n dimensiones. Esos desplazamientos serán considerados infinitésimos.

iD

Claro está, se podría elegir otro sistema de coordenadas. Cada está asociado a una dirección. Así definimos a como la componente de la junta A en la dirección horizontal. id. de la rotación perpendicular al plano.

iD 1DD

En general será iD la componente del desplazamiento de cierta junta en la dirección en que se mide esa coordenada. Para simplificar, en vez de dibujar la deformada, basta dibujar sobre las juntas esas componentes, Fig. 8 • IMPORTANTE

De acuerdo a esta definición, si las coordenadas generalizadas de la junta A son como se dibuja en la Fig. 8, y fuesen conocidas, = + 0.003, 1D

2D = + 0.007 el desplazamiento de A se obtiene 4FIG. 8

trazando PERPENDICULARES a las direcciones dadas y obteniendo su intersección.

Nótese que al ser proyecciones de A, Á se obtiene sumando vectorialmente (sólo válido si y fuesen ortogonales: junta B en la Fig. 8.)

1D 2D

O sea, estos D no son coordenadas oblicuas.

Las coordenadas de las figuras 7 y 8 son generalizadas. Se puede utilizar coordenadas no generalizadas o dependientes, tales como las de la Fig. 10, que por serlo, ya no la denotamos por la letra D. Estas coordenadas no generalizadas se pueden agrupar también en un vector columna.

El adoptar un sistema de coordenadas no geneuna segunda restricción, la cual parece muy gran

D

DD

FIG. 9

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∆

∆∆

=∆

m

2

1

__

: : :

Donde, obn = númer

SEGUNDA RESTRICCIÓN.

SE CONSIDERARÁ, DE AHORA EN ADELANTE,SOBRE LAS JUNTAS Y EN LA DIRECCION EN QU

Llamaremos a las cargas Q. Entenderemos por carsobre la estructura.

ralizadade a pri

9D

D 5

1 D 2

viameno de co

QUE LE SE H

gas a la

s se utiliza porque vmera vista.

8D

6 D 3

FIG. 10

te, m > n ordenadas generaliza

AS CARGAS ACTÚAN DEFINIDO LA

s FUERZAS EXTER

4

amos a introducir

das.

AN ÚNICAMENTE S COORDENADAS.

NAS que actúan

5

EL SENTIDO POSITIVO DE LAS CARGAS SERÁ EL QUE COINCIDA CON LOS SENTIDOS DEFINIDOS DE LAS COORDENADAS. Por tanto, no hay incrementos de temperatura, asentamientos de apoyos ni otras solicitaciones diferentes a CARGAS CONCENTRADAS o PAREJAS. Las cargas actúan exclusivamente sobre las juntas y únicamente en la dirección definida por las coordenadas elegidas. En la Figura 11 aparecen las posibles cargas actuantes correspondientes a las estructuras de las Figs. 7,8 y 10. Las razones de esta definición en la pág. 4.a.

FIG. 11 Denotaremos por Q a las cargas que corresponden a desplazamientos generalizados y las llamaremos CARGAS GENERALIZADAS. De no ser así, utilizaremos la letra P.

EL SISTEMA - __Q

__

D

FIG. 12

Puesto que tanto como se miden en el mismo sistema de coordenadas podemos dibuja simbólicamente cargas y desplazamientos en un

solo sistema, que llamaremos - .

__

Q__

D

__

Q__

D Pero entre cargas y desplazamientos existe una importante diferencia: la carga sobre una junta es la suma vectorial de las cargas actuantes sobre ella, pero no así para los desplazamientos, ya que D son las componentes del desplazamiento. Utilización de coordenadas no generalizadas. La razón de que una junta de una estructura plana se empleen tres desplazamientos en vez de los dos que serían suficientes se motiva cuando se tienen tres cargas concentradas y se desea tratarlas independientemente, como en la Fig. 11 ( c ).

6

CONSECUENCIAS DE LA SEGUNDA RESTRICCION. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA GENERAL (SISTEMA CARGA - DESPLAZAMIENTOS) Cuando existen exclusivamente cargas concentradas o momentos concentrados la restricción tiene consecuencias; ya que se puede tomar como juntas A y B sus puntos de aplicación. Las otras juntas se tomarían según convenga. Obviamente, si existen muchas cargas y pares concentrados habrá que manejar muchos desplazamientos. En el caso de una carga distribuida, se podría dividir en cargas concentradas, lo cual ocasionaría el trabajar con muchos miembros, el problema tendría una solución aproximada y sería muy laborioso. Consideremos, pues, un caso general de cargas, cambios de temperatura y asentamientos de apoyos y veamos cuál va a ser el método general para resolver la estructura. Fig. 14. 1°._ Consideremos la estructura sin cargas. 2°._ Dividámosla en miembros y juntas.

3°._ Escojamos un sistema - independiente de las cargas actuantes. __

Q__

D En el caso plano, pues habrán tres coordenadas generalizadas por cada junta.

7

4°._ Superposición de dos casos. – Aplicamos la superposición así:

a) EL PROBLEMA PRIMARIO. Consiste en la misma estructura con todas las solicitaciones actuantes, (cambios de temperatura, asentamientos de apoyos, etc.) MÁS CIERTAS RESTRICCIONES

ADICIONALES, TALES QUE EL VECTOR DESPLAZAMIENTO SEA NULO. __

D

Ésto se obtendrá con vínculos externos, que se colocarán de acuerdo al sistema - , de manera que las juntas definidas no se desplacen ni giren si no que están fijas. Por ejemplo colocamos sendos rodillos para eliminar y una especie de junta fija que elimine a Esos vínculos adicionales engendrarán reacciones, perpendiculares a los

desplazamientos permitidos, y que denotadas por las denominaremos CARGAS DE

FIJACION, . Ó CARGAS PRIMARIAS.

__

Q__

D

4321 Dy D D D.Dy D 63

__R

__R

Las cargas de fijación, pues, son las cargas que hay aplicar para que las juntas de la estructura queden fijas y, por tanto, en el problema primario ocurre como si cada miembro estuviese aislado de los demás. b) EL PROBLEMA COMPLEMENTARIO. Consiste en la estructura original con cargas de

fijación con signo opuesto - , aplicadas en sus juntas. __R

El problema complementario es el que vamos a ocuparnos de resolver en este curso, ya que el primario es resoluble y conocido por la teoría elemental de las estructuras.

8

GRADOS DE LIBERTAD EN LAS JUNTAS ARTICULADAS

En nuestro estudio consideramos que las juntas pueden deformarse libremente, independientemente una de otra.

Esto requiere de 3 números ( en el caso plano) para cada

junta: dos componentes lineales del desplazamiento y una rotacional angular.

En Estructuras I siempre se despreciará el efecto de la

carga axial. La junta debemos imaginarla no como un punto

(carecería de sentido el hablar de giro) sino es un ELEMENTO DE DIMENSIONES PEQUEÑAS, es decir, POSEE DIRECCIONES, y con ello su giro tiene sentido.

Sea ahora la estructura con una articulación en B.

Como el número de grados de libertad es el número de coordenadas que es preciso utilizar para describir el desplazamiento del sistema, si una junta está articulada, es necesario dar un giro para cada miembro que a ella concurre, además de dos números para situarla. Por consiguiente, si existe una articulación en B, el sistema tiene 7 grados de libertad y un

sistema - podría ser como el dibujado en la Fig. 16. __

Q__

D UNA ARTICULACIÓN INTERNA AUMENTA EN N-1,LOS GRADOS DE LIBERTAD DE UNA JUNTA, SIENDO N EL NÚMERO DE MIEMBROS QUE EN ELLA CONCURREN. EL NÚMERO DE GRADOS DE LIBERTAD ES IGUAL O MAYOR AL NÚMERO DE COORDENADAS GENERALIZADAS MENOS EL NÚMERO DE ECUACIONES DE RESTRICCION O DEPENDIENTES. En cada caso, hay que estudiar la geometría pues las ecuaciones de restricción pueden relacionarse. Veamos el caso siguiente:

Tres miembros y una junta. Si se considera que hay rigidez axial infinita, 3 g.l de A, menos uno por cada miembro recto, daría cero. Lo que sucede es que el desplazamiento lineal horizontal de A, por el miembro AC está relacionado con el del miembro AD, que por pertenecer a AB ha de ser cero.

9

Un miembro no recto no introduce ninguna ecuación de restricción en D aunque se desprecien las deformaciones por carga axial VÉASE PÁG.15. La cuerda cambiará de longitud, en general, aunque cada segmento recto no cambie.

RELACIONES ENTRE DOS SISTEMAS DE COORDENADAS. RELACION ENTRE LOS DOS SISTEMAS DE COMPONENTES DE LOS DESPLAZAMIENTOS. Sea una misma estructura en donde se han definido dos sistemas de coordenadas diferentes. Sea

una de ellas generalizadas, - , es decir independientes, fig. 15(a), y el otro sea un sistema de coordenadas, por ejemplo, no generalizadas cualquiera ,

__

Q__

D∆−P ; Fig. 15 (b)

FIG. 15 Es obvio que, por geometría, la componente del desplazamiento i∆ se puede escribir en función de las componentes de los desplazamientos del sistema generalizado, matricialmente, en función del

vector . __D

La relación que liga a con es del siguiente tipo: i∆__D

n1n2121111 DC .....DCDC +++=∆ nim22i11ii DC .....DCDC +++=∆ .DC......DCDC nmn22m11mm +++=∆ y en general, cualquier componente del desplazamiento en el sistema segundo: 10

1,2,....n i

1,2,....nj donde D C jiji

=

==∆ ∑ n = número de coordenadas independientes.m = número de coordenadas del segundo sistema

de modo que conocido , por geometría, puede obtenerse el valor de cualquier componente de los desplazamientos. Esto es evidente.

__D

En notación matricial lo anterior puede formularse como:

D C n

m

__=∆

( 1 )(( c por geometría))

Donde es una matriz que tiene filas m y n columnas. Con lo cual la operación da como resultado un vector columna.

__C

1D1 = 1D2 = 1Dn =

La primera columna de la matriz C, representa el

estado de deformación en el sistema ____

P ∆− , cuando

en el sistema generalizado - , la componente del __

Q__

Ddesplazamiento es igual a la unidad y todas las 1Dotras componentes de desplazamiento son nulas.

Es decir:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

0: 001

D__

En general, la columna j representa el vector __∆ cuando todas las componentes de

desplazamientos fuesen nulos excepto el igual a la unidad. Esto permite construir esta matriz

.

__

D jD__C CONSTRUCCIÓN DE LA MATRIZ C. Para obtener la columna j, se supondrá que en el sistema

todas las componentes de los desplazamientos son nulas excepto el que se supondrá que vale 1. Luego, se obtendrá por geometría, las componentes (proyecciones ortogonales) de los desplazamientos , de acuerdo a la suposición hecha.

__

D jD

∆

11

Si el segundo sistema no es generalizado, como lo que se acaba de ilustrar, es obvio que una

relación del tipo inverso no se puede escribir. Para , como es independiente, a

cada corresponde a un . Pero no al revés, pues hay ecuaciones de restricción entre las

______ B D ∆=

______D C =∆

__D

__D

__∆

__∆ . La

relación inversa sólo será válida si el segundo sistema es generalizado, , existiendo una relación __

D∗

única entre ellos. RELACIÓN ENTRE LOS DOS SISTEMAS DE CARGAS Habiendo obtenido la relación entre los dos sistemas de componentes de los desplazamientos

(coordenadas), veamos cuál será la relación que liga el sistema de cargas con el sistema , (cargas generalizadas).

__P

__Q

Se trata de un caso de carga atacado por dos sistemas de coordenadas diferentes. De acuerdo a

nuestras definiciones anteriores estos sistemas con el y el por el , cargas en las juntas y en la dirección de las coordenadas. Abordemos la solución por el principio de los trabajos virtuales.

__Q

__P

Consideraremos un desplazamiento virtual, en el primer sistema de coordenadas ( generalizadas), VD . De acuerdo a lo anterior en el segundo sistema, este vector componente de los

desplazamientos virtuales vendrá dado por: __

V

____

V D C =∆ Basta ahora escribir el valor del trabajo virtual de las cargas (fuerzas externas como así lo hemos definido en la pág. 2a ) en el sistema 1, el cual ha de ser igual al trabajo de las fuerzas internas cambiado de signo. Ahora bien, el trabajo de las fuerzas internas no depende del sistema de coordenadas puesto que la solución es única. Por consiguiente ha de ser igual al trabajo de las cargas del sistema 2 con signo opuesto. Así que el trabajo virtual del sistema 1 ha de ser igual al del sistema 2. Definidas las cargas como aplicadas en las juntas exclusivamente y, en cada sistema, en la dirección de las componentes de los desplazamientos, la expresión del trabajo virtual es inmediata: cada trabajo es la carga multiplicada por la componente del desplazamiento de la junta que coincide, por definición, con la dirección de ella, luego: Trabajo virtual de las cargas externas en el sistema 1:

Vnn2V21V11 DQ........DQDQ TV +++= y el sistema 2, análogamente. Esta expresión tan simple del trabajo virtual es lo que motivó la definición de las cargas en dirección de las componentes de los desplazamientos.

Lo anterior puede escribirse matricialmente como el producto de dos vectores: vector fila *

vector columna

__Q

__

VD .

12

____T

n

1

n211 D Q

D. .

D

)Q ....Q Q ( TV =

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

puesto que hemos decidido denotar los vectores como columnares. Esta multiplicación da como resultado un escalar. Como lo anterior ha de ser igual al trabajo virtual del sistema 2: y sustituyendo V∆ en función de . VD

Obteniendo: ______

T____

T__

V

__T DCPP D Q =∆=

__

V

____T

__

V

__T DCP DQ =

Recordemos que en álgebra matricial de la igualdad de multiplicaciones AX=BX no se puede deducir que A=B. Ahora bien, si X es una matriz arbitraria y ha de cumplirse que la igualdad ha de satisfacerse para todo los valores posibles de x, no queda más remedio que se ha de verificar que A

ha de ser igual a B. En nuestro caso, el vector no es una constante sino que puede adoptar cualquier valor. Por consiguiente, se concluye que

__

VD

____

T__

T CP Q = y tomando transpuesta de esa ecuación: ( ) PCCPQ TTT == PC Q T= ( ) estáticapor CT

(2) Eliminando, desde ahora las rayas de matriz cuando no exista confusión.

PCT=

Por consiguiente, si tenemos dos sistemas de coordenadas, uno generalizado Q-D, la relación entre las componentes de los desplazamientos, es:

D C lo cual implica que las cargas, como las hemos definido están relacionadas por Q∆ =

La ecuación (2) nos dice que si se conoce P es posible determinar cuánto vale Q, pero, en general, no se podrá determinar P sabiendo los valores de Q. En efecto, supóngase sistema Q conocido:

Sistema P

Para dar el valor de la carga resultante el problema no está definido:

X P

Y tres)hay(P

h

V

=

=

∑∑

13

CASO EN QUE EL SEGUNDO SISTEMA ES GENERALIZADO Cuando el otro sistema de coordenadas también es independiente, todo lo anterior permanece válido. La matriz C es ahora cuadrada, n*n, y no singular por ser independientes los sistemas. Se pueden escribir su inversa y las relaciones anteriores se pueden intercambiar. Si el segundo sistema es denotado por :DQ ∗∗ −

o Q C Q

D CDT ⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=∗

∗

Q)(C Q

DC DT1-

-1

=

=∗

∗

Ejemplos de transformaciones. Ejemplo N°1 Sean dos sistemas generalizados, el segundo solo difiere del primero en que la coordenada 1 está inclinada θ respecto a la horizontal. Hallemos la matriz C, para relacionar C ha de ser 6x 6 puesto que G.L= 6 D. C D =∗

1°) Formemos el estado de desplazamientos y para hallar la primera columna. 1D1 = 0D 6....3,2 =

1D1 = 1D2 = 1D3 = 1D4 = 1D5 = 1D6 =∗

1D Cos θ Sen θ 0

∗2D 0 1 0

∗3D 0 0 1

∗4D 0 0 1

∗5D 0 0 1

∗6D 0 0 1

Si D es conocido se obtiene y viceversa. ∗DSi q es conocido se obtiene y viceversa. ∗Q

C=

14

FIG. 17

Por geometría, hallemos el correspondiente. Recordemos que ∗D los desplazamientos D son proyecciones ortogonales del desplazamiento total. En este caso, es ortogonal a y 2D 1D 0D2 = , luego, es el desplazamiento total de la junta A. 1D1 = 2° ) etc. 1D2 = ( ) 021D j =≠

Como existe la relación , la matriz transpuesta se podría determinar por estática, siguiendo un proceso análogo al visto para C. La primera columna de se obtendría fijando

y todos los demás cero; por estática se determinarían todos los Q correspondientes.

∗= QCQ T TCTC

1Q1 =∗

Fig. 19 Basta proyectar las cargas así definidas

Q 11 =∗

1Q Cos θ En las direcciones Q-D.

EN GENERAL, C SE DETERMINA POR GEOMETRIA. POR ESTÁTICA. TC

Usualmente es más simple determinar C, utilizando geome

2Q Sen θ

3Q 0

4Q 0

5Q 0

6Q 0

=TC

tría.

15

MIEMBROS RÍGIDOS Usualmente trabajamos con miembros deformables. Ocasionalmente se nos presentará el caso de un miembro rígido. Determinemos cuántos grados de libertad existen en la estructura de la Fig. 20 donde BC es rígido. La junta B puede moverse libremente y la junta C tiene sus desplazamientos obligados puesto que es conocido. Por consiguiente, basta definir sus desplazamientos y el sistema tiene tres grados de libertad en vez de seis si BC fuese deformable: dos

BCL

FIG. 20 componentes lineales de desplazamiento y un giro. Estos desplazamientos se considerarán como INFINITÉSIMOS o pequeños. Cuando en un problema aparecen desplazamientos grandes es que en él habrá desplazamientos como cuerpo rígido. RIGIDEZ AXIAL INFINITA O MIEMBROS QUE NO CAMBIAN SU LONGITUD. Puede darse el caso de que el miembro se deforme pero que su longitud cambie menos que las deformaciones transversales. Si se considera que la longitud no cambia, equivale a suponer que la rigidez axial es infinita. Es decir que longitudinalmente se comporta como un rígido. Este caso es muy común en la teoría de las estructuras y único considerado en pregrado. Si en la estructura de la Fig. 21 se considera que la longitud del miembro BC no cambia, el sistema tiene cinco grados de libertad; puesto que los desplazamientos de B y C están relacionados por: CBBC δ+δ=δ donde CBδ es “perpendicular” a BC, pero independiente.

FIG. 21

De modo que despreciando el cambio de longitud, en todos los miembros bastan tres coordenadas: dos rotaciones de las juntas y un desplazamiento lineal, tal como se consideró en Estructura I.

16

La hipótesis de que los miembros no cambian de longitud es muy frecuente. ESTO ELIMINA UN GRADO DE LIBERTAD POR MIEMBRO RECTO. Pág. 15 Ejemplo 2. Miembro rígido. Sea el sistema generalizado Q-D de la Fig.22, compuesto de tres coordenadas, ya que BC es rígido. Sea el sistema P- , ahora no ∆Independiente. Construyamos la matriz C, que relacione las componentes de los desplazamientos de los dos sistemas de coordenadas. D. C=∆La matriz C será del tipo 6C FIG. 22 Sigamos la construcción de la pág. 4 Hagamos , y hallemos 1D1 = 0DD 32 == ∆ . Para que la componente 1, y sea 0, 1D1 = 2Dno queda más remedio que el desplazamiento de la junta B sea horizontal y valga 1/cos θ Por geometría hallamos las componentes (proyecciones ortogonales ) de ese desplazamiento en las coordenadas del sistema ∆ y ese vector es la primera columna de C. Segunda columna: 1D2 = 0DD 13 == 1D1 = 1D 2 = 1D3 =

1∆ Sec θ -Tan θ 0

2∆ 0 1 0

3∆ 0 0 1

4∆ Sec θ -Tan θ 0

5∆ 0 1 L

6∆ 0 0 1

C =

17

Para que ésto se satisfaga, el desplazamiento de B ha de ser ortogonal a . 1D Como cuerpo rígido BC se desplaza verticalmente. Tercera columna : 1D3 = 0DD 21 == Una rotación de 1 sin dimensiones, Pero DEFORMACIONES PEQUEÑAS, el movimiento vertical de C será L, sin desplazamiento horizontal. HIPOTESIS BÁSICAS PARA LA FORMULACIÓN DEL MODELO LINEAL 1.- Se supondrá que el material cumple la ley de Hooke en sus tres dimensiones. 2.- Supondremos que las deformaciones son pequeñas. Si las deformaciones son pequeñas entonces se podrá aplicar la teoría de los desplazamientos infinitésimos. Supuestas estas hipótesis se puede demostrar que el problema es lineal y, como consecuencia, la superposición es válida. Para que el problema sea lineal, Hooke ha de cumplirse y los desplazamientos han de ser pequeños. Sea el sistema Q-D de la fig. 23 (a). Bajo las carga Q el sistema se deforma como se dibuja en la fig.23(b).

FIG. 23

18

Si esas deformaciones son pequeñas y se cumple la ley de Hooke, entonces la componente del desplazamiento será la suma de seis términos, tantos como grados de libertad existan:

1D

∑=

=+++=n

jjjnn QFQF.............QFQFD

1112121111 y en general, cualquier componente del

desplazamiento,

∑=

n

1jjj1 QF

= i = 1,2,....n iD En forma matricial:

D = F Q (3)

La matriz F recibe el nombre de MATRIZ DE FLEXIBILIDAD. Cuadrada, de orden n*n. LA MATRIZ DE FLEXIBILIDAD TRANSFORMA LAS CARGAS EN DESPLAZAMIENTOS. En otras palabras, al operar la matriz flexibilidad sobre las cargas se obtienen las componentes de los desplazamientos de estructura. Esto puede escribirse porque tal vector Q es independiente. La construcción de esta matriz se obtiene como se ha mencionado para la C. La primera columna de F será el vector de las componentes del desplazamiento cundo la carga y las otras son nulas.

1Q1 =

jiij F F = Por la ley de Maxwell, se sabe que la matriz F es simétrica:

Una carga unitaria en la dirección 1 produce una deformación en el punto 2 de dirección 2, igual a la deformación en el punto 1 y dirección 1 debido a una carga unitaria aplicada en el punto 2 y en la dirección 2. PARA QUE EXISTA LA RELACION D= FQ ES PRECISO QUE EL VECTOR Q SEA INDEPENDIENTE. Esto es general para todas las relaciones .V AV 21 = ha de ser independiente. 2V MATRIZ DE RIGIDEZ Si definimos el vector de componentes de los desplazamientos, ese vector define la configuración del sistema. Si D es independiente, se puede escribir:

∑=

=+++=n

1jjj1nn12121111 QKDK.........DKDK Q y en general,

19

1,2....ni DK Qn

1jjiji == ∑

=

Q = K D

(4) La matriz K se llama matriz de Rigidez LA MATRIZ DE RIGIDEZ TRANSFORMA LOS DESPLAZAMIENTOS EN CARGAS

PARA QUE EXISTA LA MATRIZ DE RIGIDEZ, LOS DESPLAZAMIENTOS HAN DE SER INDEPENDIENTES. La primera columna representa el vector carga cuando todos los componentes de los desplazamientos son nulos excepto .1D1 = Así

Kij es el valor de Qi cuando Dj = 1 y las demás componentes de los desplazamientos son cero. Fij es el valor de Di cuando Qj = 1 y las demás cargas son cero.

j: causa i: lugar RELACION ENTRE F y K Si todas las coordenadas son independientes generalizadas, D = FQ pero Q = KD, luego D = FKD siendo D cualquier valor arbitrario. FKD-ID = 0, (FK-I)D = 0 para cualquier valor de D.

Luego ha de cumplirse que ________

0IKF =−

F = 1K − K = • 1F− (5) La matriz de rigidez es la inversa de la matriz de flexibilidad o viceversa. Como F es simétrica, se demuestra que su inversa también lo es. Luego: LA MATRIZ DE RIGIDEZ TAMBIEN ES SIMETRICA. Ejemplo: Hallemos directamente, y como se ha mencionado, la matriz de rigidez de la estructura hiperestática de la Fig.24.

Sección constante. Longitudes iguales. α== flectora rigidezLEI

20

β== axial rigidezL

EA

La matriz ha de ser de 3x3, pues hay 3 coordenadas independientes. 1 a columna: 0DD 1D 321 === hallemos las fuerzas que se generan en esa deformación:

FIG. 24

K =

AB: no cambia de longitud, pero existe L1

)(−=Ψ . Los momentos los calculamos por las ecuaciones

de rotación ( )L

63LIE2M α

=ψ−= y del equilibrio existen fuerzas cortantes.

CARGAS EXTERNAS HABRIAN DE ACTUAR PARA QUE LA JUNTA ESTÉ EN EQUILIBRIO.

Aislemos la junta B y veamos qué reacciones en la dirección requerida actúan:

Las reacciones de la junta serán 1Q 2Q 3Q Resulta:

2 da columna 0DD 1D 312 ===

21

3 a columna: 1D3 = no hay cambio longitudinal o carga axial.

Y hemos obtenido una matriz simétrica directamente. Los términos de la diagonal principal son necesariamente positivos, tal como en la matriz de flexibilidad. Puesto que la energía de deformación es esencialmente positiva. Como el trabajo mecánico es esencialmente positivo, la diagonal nula o negativa equivaldría a una energía de deformación negativa, un absurdo. OBSERVACIONES.

1.- El hallar la matriz de rigidez o flexibilidad es una necesidad para resolver cualquier aspecto del problema estructural. El ejemplo anterior sólo ha servido como propósito el ilustrar la matriz de rigidez, puesto que en la práctica no se va a operar de esta forma tan complicada. En la práctica se hallará una de las dos matrices, la que presente menos dificultad, y se obtiene la otra por inversión. Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales: La matriz de flexibilidad es muy sencilla de obtener en estructuras isostáticas: dadas las cargas se obtienen los desplazamientos por trabajos virtuales ( Met. Fuerzas) En cambio, para estructuras hiperestáticas es más simple determinar la matriz de rigidez, como en el caso acabado de ver. ( Método de los desplazamientos).

EXISTENCIA DE LAS MATRICES DE FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ

En álgebra lineal se demuestra que las expresiones como ,AVV 21 = donde V son vectores y A una matriz, pueden escribirse UNICAMENTE CUANDO LAS COMPONENTES DEL VECTOR SON INDEPENDIENTES. 2V

Si las componentes de son linealmente independientes, puede determinarse así: 2V 1V

22

Aplicando únicamente los conceptos estructurales podemos demostrar lo anterior y la existencia de estas dos matrices de capital importancia. 1.- Sea que tenemos un sistema de coordenadas no generalizadas.

Sean 7 componentes del desplazamiento en vez de 6. Ésto quiere decir que los desplazamientos no son independientes, en nuestro caso de la Fig. 25, los de la junta C 65 ,4 , ∆∆∆ son las proyecciones ortogonales sobre las direcciones 4,5,6 del desplazamiento lineal de C. FIG. 25

En esa estructura se puede escribir una relación del tipo ______PF=∆

pues si se conocen las 7 cargas independientes se podrían hallar esas 7 componentes del desplazamiento. Pero una relación del tipo

______KP ∆= no, puesto que es imposible dar los 7 desplazamientos y

obtener las cargas. Entre las 7 componentes de los desplazamientos, tres están relacionados.

Veamos que aún cuando esos desplazamientos satisficiesen sus condiciones de restricción la matriz de rigidez no existe, porque los desplazamientos no son independientes.

Veamos nuestra estructura. Supongamos que existen 7 cargas. La matriz de flexibilidad puede obtenerse. Basta, por columnas, la primera suponer que la

carga y las otras cero, y así obtenemos las componentes del desplazamiento de esa estructura con , etc.

1P1 =1P1 =

Es evidente que ∆= KP no puede obtenerse. Si deseásemos hallar la primera columna de la matriz, deberíamos hacer 11 =∆ y los otros cero. Ese estado de deformación existe. Pero cuando llegásemos a la cuarta columna: 14 =∆ y los otros

cero, encontramos que es imposible obtener que las componentes 5∆ y sean a la vez nulas. Para que lo fuesen el desplazamiento deberá ser horizontal para

6∆

6∆ e inclinado para 5∆ ; un absurdo. La matriz K no puede obtenerse porque ∆ no tiene componentes independientes.

Veámonos de otra forma: , 4∆ 5∆ y 6∆ satisfacen una relación geométrica, una ecuación de

restricción, la cual se puede hallar y es del tipo a 4∆ +b 5∆ +c 6∆ =0.

En la expresión de arriba, P F =∆ 4∆ es el producto escalar de la cuarta fila de F por el vector columna P, y análogamente y 5∆ 6∆ . Por consiguiente, podemos remplazar en la ecuación de

23

restricción , y por sus productos escalares, con lo cual concluimos que las

filas de F no son linealmente independientes. 4∆ 5∆ 6∆

aaa 6 y5,4 Si la matriz F contiene filas linealmente dependientes; el determinante de esa matriz F es nulo, es singular y así no tiene inversa. Luego si las componentes de los desplazamientos son dependientes, no existe la matriz de rigidez. Existe la de flexibilidad pero es una matriz singular y carece de inversa.

2._ Sea el caso de un marco aislado. Una estructura sin apoyos externos: una alcantarilla. (Fig. 26 )

¿ Existe la matriz rigidez?. En efecto, si los desplazamientos son independientes puede escribirse K. ¿ Existe la matriz de flexibilidad?. Tratemos de formar la primera columna: Haremos y los demás Q cero, y para obtener las componentes del desplazamiento, nos encontramos que el problema no es, de estática, no hay equilibrio puesto que la estructura no

11 =Q

FIG. 26 está inmovilizada al no tener vínculos. La matriz de flexibilidad pues no existe. Y la matriz de flexibilidad no puede existir, matemáticamente, simplemente porque el sistema de cargas Q no puede ser independiente, ya que las Q deben cumplir las tres condiciones de equilibrio del plano: 0=∑∑∑ M ,y ,x . O sea ,Q,Q,Q,Q 81152 −−+

están relacionadas, =0 . Por lo tanto la filas de la matriz de rigidez son dependientes, K es singular y no tiene inversa.

aaaa 11 y8,5,2

Conclusión: Para escribir relaciones 2V A=1V ( y otras dos relaciones más), solo es

posible si el vector 2V tiene componentes independientes. De no ser así, A no existe y es inútil

intentar la solución.

VÉASE PRIMERO SI EL VECTOR PREMULTIPLICADO ES INDEPENDIENTE. SOLO ASÍ

PUEDE EXISTIR LA MATRIZ QUE LO PREMULTIPLICA. Esos casos no deben formularse.

Si Q ES INDEPENDIENTE, EXISTE F. SI D ES INDEPENDIENTE EXISTE K.

24

CASO DE MENOS CORDENADAS. MATRICES REDUCIDAS En la práctica se utiliza el sistema de coordenadas con menos direcciones que grados de libertad. Definidas esas cargas pueden obtenerse las componentes correspondientes de los desplazamientos. Se obtiene, obviamente, una matriz de flexibilidad reducida, (como si otras cargas = 0). Esa matriz de flexibilidad si existe pues, las cargas son independientes, (si los desplazamientos no son independientes entonces no existe K). Se emplea, por ejemplo, en pórticos sometidos a cargas horizontales, donde el vector carga generalizado tiene muchos elementos nulos. Véase la página 44.

FIG. 27

EN GENERAL SE HALLARÁ LA MATRIZ COMPLETA Y LUEGO SE OPERA CON ELLA PARA OBTENER LA REDUCIDA. Esas matrices dependen del sistema de coordenadas. En el caso de matrices reducidas, sea rigidez, sólo se consideran algunas componentes del desplazamiento y lo mismo para la matriz de flexibilidad reducida, sólo se consideran algunas componentes de las cargas. TRANSFORMACION DE COORDENADAS EN LAS MATRICES F Y K Supongamos dos sistemas de coordenadas generalizadas .Q y ∗∗ −− DDQ Tenemos las expresiones

(4) DKQ (2) DK Q

(3) QFD (1) Q FD∗∗∗

∗∗∗

==

==

Y hemos demostrado que las coordenadas se relacionan por:

(6) Q C Q

(5) D C T ∗

∗

=

=D

(5) implica (6)

Veamos cuáles relaciones ligan a F y y sus inversas. ∗F De (1): premultiplicado por C ∗=→= QC F D (6) Q FD T

(5) D QC F C D C T ∗∗ ==

así que [ ] ∗∗ = Q CFCD T

luego el corchete es la matriz de flexibilidad *, la cual existe si es independiente. ∗Q

25

T* C F CF =

(6)

Para hallar la relación entre basta invertir la anterior

K yK*

( ) ( ) 111TC1T CFCFCK −−−−∗ ==

Para existir, ha de ser independiente y C tiene que tener ( ) 11T* KCCK −−= ∗D

inversa, luego D también es independiente

(7)

Directamente, DKCQ (5) (2) DK Q -1 ∗=→=

premultiplicamos por ( ) T1C−

( ) ( )[ ] *1T1T1 DKCCQC −−− = se demuestra que ( ) ( ) 1TT1 CC−− =

LOS MIEMBROS Definición arbitraria, los miembros pueden ser de los tipos de la fig. 28. En general, no necesariamente unidimensionales o planos.

FIG. 28 El último caso una lámina plana o curva. Nuestro curso tratará básicamente miembros unidimensionales planos. Esos miembros tendrán ciertas juntas. En esas juntas serán donde únicamente se aplicarán las cargas. De acuerdo a lo anterior las juntas serán denotadas por letras. No hay cargas aplicadas directamente sino a través de las juntas. Las cargas dependen de la naturaleza del problema. Si es el caso de un miembro de una estructura las cargas estarán compuestas por dos componentes de la fuerza y un momento en cada junta. Si el miembro pertenece a una armadura la carga será una fuerza según su directriz. Suponemos en lo que sigue que los miembros son planos.

26

DEFINICIONES DE FUERZA INTERNA Y DEFORMACIÓN DEL MIEMBRO Para definir lo que se entenderá como fuerza interna y deformación del miembro: 1._ SE INMOVILIZA EL MIEMBRO MEDIANTE VINCULOS COLOCADOS EN LAS

JUNTAS. Es decir, se crea un sistema de vinculación que inmoviliza el

miembro, de tal manera QUE EL MIEMBRO QUEDA CONVERTIDO EN UNA ESTRUCTURA.

Ese sistema de vinculación, es cualquiera, Fig. 29

2._ Para una estructura así obtenida elegimos un sistema de coordenadas. A ese sistema de

coordenadas lo llamaremos SISTEMAS DE COORDENADAS DEL MIEMBRO. El sistema de coordenadas del miembro no es único; depende de los vínculos que se han

elegido depende de los vínculos que se han elegido para la inmovilización del miembro, Fig. 29

Para una estructura el sistema de coordenadas se llama Q-D y en él se miden las cargas y

desplazamientos. Para un miembro el sistema de coordenadas lo llamaremos con letras minúsculas q-d y esas

coordenadas medirán fuerzas internas y deformaciones del miembro. q mide fuerzas del miembro. d mide deformaciones del miembro. Por consiguiente el sistema de coordenadas q-d del miembro tiene una definición análoga

a lo que en la estructura completa es el sistema Q-D, carga-desplazamientos. No obstante: la definición del sistema de coordenadas del miembro, q-d, está libre pues

para conocerlas hay que saber que sistema de vinculación se ha elegido en el miembro. Es decir, hay que dar como dato cómo se ha inmovilizado dicho miembro.

VECTOR FUERZA INTERNA Y VECTOR DEFORMACIÓN

Se llaman así a los vectores que tienen como elementos todas las fuerzas internas y deformaciones de los miembros de la estructura. Es posible que sean diferentes los sistemas de vinculación de cada miembro. Fig. 30.

27

MATRICES DEFORMACIÓN – FUERZA Y FUERZA- DEFORMACIÓN

Puesto que los miembros se han convertido en estructuras, mediante sus sistemas de vinculación elegidos, se pueden definir:

a) La matriz que convierte las deformaciones en fuerzas internas, la cual designaremos por K, que recibe el nombre de MATRIZ DEFORMACION-FUERZA, o matriz de rigidez del miembro, para diferenciarla de la matriz de rigidez de la estructura.

d K q = K MATRIZ FUERZA-DEFORMACIÓN

(8)

b) La otra relación, que transforma fuerzas internas en deformaciones, como matriz FUERZA- DEFORMACION, o matriz de flexibilidad del miembro.

c) q f d = f MATRIZ FUERZA .DEFORMACIÓN

(9) Esas matrices dependen de cuáles son las juntas. Como antes, k existe si las deformaciones son independientes. f existe si las fuerzas internas son independientes. Si las coordenadas q-d son generalizadas y en general, si ambas matrices existen: Ejemplo 1. Para el miembro triangular lleno plano mostrado, un sistema q-d generalizado podría ser el que se dibuja en la figura 31. El miembro se ha inmovilizado y se ha definido un sistema de coordenadas igual a los grados de libertad de sus juntas. 28

Ejemplo 2. Hallemos las matrices fuerza-deformación (f) y deformación fuerza (k) de un miembro rectilíneo, de sección uniforme, con dos juntas AB en sus extremos, con propiedades mecánicas EI (flexión) y EA (axial) de longitud L. Elijamos la vinculación que lo inmoviliza como en la Fig. 32, la cual origina 3 grados de libertad y 3 coordenadas generalizadas. El sistema q-d, particular, queda así definido; sus direcciones se muestran en la Fig. 32. Así, ambas matrices serán de 3x3. Hallamos las matrices como se dice en la página.

Fig. 32 :f columna1a 0qq 1q 321 === . Hallamos la elástica.

Debido al momento 1q1 = , el

ángulo en A ( )1d vale EI3L +

( viga conjugado ). En B ( )2d

EI6L

− .

:f columna2a 0q1 = los otros cero.

:f columna3a 1q3 = los otros cero.

Hallemos su inversa, la matriz deformación-fuerza (k) directamente es:

:k columna1a 1d1 = Por ecuaciones de rotación obtenemos las cargas que se generan.

( ) )10(LEIq 00122

LEIqM 21 +=++∗== como el miembro no se

alarga 0q 0d 33 ==

29

Simetría columna2a

.columna3a

1Lq3q 0dd 1d 3123 =====

Esta deformación en lenguaje ordinario es también desplazamiento. INTRODUCCION AL PROCESO DE SÍNTESIS. ELECCIÓN DE MIEMBROS. El procedimiento para obtener las matrices de flexibilidad y rigidez de una estructura consistirá en hallar las matrices f y k de cada uno de sus miembros y luego se sintetizará. O sea, se divide la estructura en miembros y se halla las matrices fuerza- deformación (f) y deformación-fuerza (k) de cada uno. Por lo tanto la definición de miembros convendrá hacerla con aquellos en que esas matrices puedan hallarse fácilmente. Como ya tenemos las correspondientes a un miembro rectilíneo plano, página anterior, una estructura como la de la Fig.33 (a), se puede dividir en miembros rectos Pero si se divide en miembros como en la Fig. 33 (b) habrá que hallar f y k de esos miembros. Mientras menos miembros haya, mejor. Un avión puede subdividirse en miembros rectangulares no planos.

Fig. 33

Si existen muchos miembros, como en este ejemplo, habrá muchas matrices elementales y puede suceder que existan tantos números que no quepa en la unidad de almacenamiento. Así, puede elegirse miembros compuestos de cuatro elementales considerados juntos. Análogamente, si un pórtico no cabe en el computador, se consideran miembros dos entrepisos, Fig.34. Así que en la elección de miembros también hay que tomar en cuenta la capacidad de la unidad de almacenamiento.

30

Ahora bien, para hallar las matrices f y k de los miembros, como se han definido éstas, es otro problema encontrar k y f en una estructura, el cual puede ser resuelto por el programa general. Así, se analiza por subestructuras, Fig.34 y resolver una subestructura no tiene diferencia de lo que se ha de hacer para obtener esas matrices de un miembro. Véase pág. 48. Fig. 34 CAMBIO DE SISTEMAS DE COORDENADAS EN LOS MIEMBROS. Elijamos otro sistema de coordenadas para el mismo miembro antes considerado, Fig. 35. Se nos plantea el problema de si se pueden relacionar dos sistemas de coordenadas para los miembros tal como en la página 4 se relacionaron dos sistemas de coordenadas para toda la estructura.

Fig. 35

Para ello hemos de aclarar el significado del vector deformación. Para una estructura las componentes de los desplazamientos en dos sistemas de coordenadas vienen relacionadas por y ésto es obvio que se puede hacer. Más para relacionar las deformaciones con otro sistema de coordenadas d, por medio de una relación

D CD =∗

∗d dcd =∗ no es evidente, ya que tenemos aquí prácticamente dos estructuras diferentes, Fig.32 y Fig.35. Aclaremos qué se entiende por vector deformación en el sistema de coordenadas q-d.

Antes de la deformación, el miembro AB estaba en cierta posición (evidentemente la deformación no depende de su posición en la estructura horizontal o inclinado) Luego, el miembro se deforma y las juntas

pasan a la posición B y A´

′′ 31

La deformación 1d es el ángulo medido a partir de la dirección B A ′′ , es decir RELATIVO A LA CUERDA que une las juntas desplazadas, (desplazamientos pequeños) La deformación , en este caso, es la deformación, o cambio, que ha sufrido la longitud L. Equivale a considerar el miembro como en la Fig. 36(b).

3d

Veamos lo que ocurre en nuestro sistema de coordenadas

. Tenemos el mismo miembro en el mismo problema. Evidentemente tendrá la misma deformación. Ahora la deformación *

1d es el ángulo de rotación del extremo B, suponiendo que el otro A, no gira por estar empotrado. Y análogamente, es la deformación de B en la dirección perpendicular al miembro como si A estuviera empotrado, es decir, la deformación transversal desde la

*2d

tangente en A a la deformada An . es el cambio de la longitud L, medida L en la dirección a la tangente de la deformada en A.

*3d

Es decir, medimos la deformación no importando la posición real del miembro: RESTANDOLE LA ROTACIÓN COMO CUERPO RÍGIDO. Por ello puede dibujarse como en la Fig. 37(b), sea cual fuese el desplazamiento de A. EL VECTOR. d MIDE LA DEFORMACIÓN DEL MIEMBRO. = desplazamiento total-un desplazamiento como cuerpo rígido. Si es un miembro rígido el vector deformación es nulo. Si se admite que existe la relación dCd* =

( 11) ello implica que *TqC q =

( 12)

32

Y deduce que las relaciones entre las matrices fuerza-deformación (o matriz de flexibilidad del miembro) y deformación- fuerza (matriz de rigidez del miembro, k) de los dos sistemas tienen la misma expresión que las vistas en la pág 9A. La deducción es idéntica:

TC f Cf =∗ Pero hay que tener presente que es preciso pensar al obtener C que se trabaja con deformaciones no con desplazamientos.

( 13) Si implica que se obtiene que (14) ∗= dCd 1 qCq T

1* = 1

T1 kCCk =∗

Con lo cual si se desea cambiar el sistema de coordenadas, basta hallar C. Ejemplo.- Hallemos, por cambio de sistema de coordenadas, la matriz deformación-fuerza,

para el sistema de coordenadas de miembro de la Fig. 35; conocida k, de la pág. 10A. ∗1K

Hallemos primero . 1C

.columna1a 0dd ;1d *3

*2

*1 ===

B gira únicamente . Es igual que articular en B

0d 1d 0d 321 ===

.columna2a 0dd ; 1d *3

*1

*2 ===

33

Vemos las deformaciones sufridas.

Trazamos la cuerda. Así 21 dL1d ==

.columna3a 1d *3 =

=1C

34

Hagamos organizadamente el producto .Ck C 1T

1

En este caso como es sencillo se hubiera podido obtener ** dq − *k directamente. Puede que en algunos casos aplicar estas fórmulas de transformación sea más conveniente. SIGNOS DE LA DEFORMACIÓN:

• Lineal= positivo cuando aumenta. • Angular = si coincide con el momento definido (desde

la cuerda a la posición final) SISTEMAS DE COORDENADAS DEL MIEMBRO q-d USUALES

Fig. 38

Los sistemas q-d para un miembro recto pueden ser los dibujados en la Fig. 38. (a) y (b) son muy empleados. Pero a veces es más conveniente usar coordenadas no generalizadas, como el ( c ), o aún más sencilla como el (d). El (d) se utilizará en armaduras, puesto que en ese caso el objetivo es hallar el vector q de todos los miembros y se conoce que los momentos son nulos; lo único que no es nula es la deformación y fuerza axial, así que ese será el sistema más conveniente. Existirán k y f si las deformaciones y las fuerzas internas son independientes, pero serán matrices reducidas. En el caso (d), aplicado a las armaduras se tiene

AEL1d

AELfy

AEfL1

LEAk ====

35

Esas matrices reducidas, en este caso, son elementos de la matriz total, evidentemente. El caso ( c ) interesará cuando se desprecia el cambio de longitud de los miembros. Entonces se sabe de ante mano que la deformación axial no existe. Claro que existe fuerza axial en el miembro, pero no existe deformación. Así 0d3 = . Como consecuencia la matriz k, deformación-fuerza, no va a existir puesto que un término es ∞ ya que siempre y . 0d3 = 0q3 ≠ Si quisieramos incluirlo: ( ): 3d Como: Subdividiendo en Submatrices se tendría:

Llamemos a

dd q q

dd

d qq

q

3II

3II

2

1I

2

1I

==

==

36

Pero como ∞=L

EA esa matriz no existe.

Se habría de verificar que

0.qdL

EAdL

EA0q

dLEI4d

LEI2q

dLEI2d

LEI4q

0d kq

33IIII

212

211II

∞===+=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+==+=

Pero no es cero y la fuerza axial queda determinada.3q Luego k no existe, si son

independientes. Se trabajará con 21 dy d

k , k que es la matriz completa para ese caso de sistema q-d. Por consiguiente las tres fuerzas se hallarán por estática ( tal como se haría con las cargas: aquí momentos). Como ocurre en las estructuras resueltas con esa hipótesis las cargas axiales se determinan por estática, aunque, como se sabe, existirán casos en que no pueden hallarse:

El caso (e) no es usual. El miembro no está inmovilizado. Pero son componentes del vector deformación. La inmovilización es un truco. Se podría haber tratado el miembro sin ningún vínculo con tal de tener definidos . Así ese sistema de coordenadas no está transformando el miembro en una estructura. Pero se puede seguir definiendo los vectores deformación y fuerza interna. En (e) no existe f pues las q no son independientes; si existe k pues las d son independientes.

1d

El sexto caso, (f), tiene seis coordenadas, luego 6 números para f y 6 para d, las matrices de 6x6, muchos números. Por eso en armaduras usar uno solo es más sencillo que emplear ese sistema. Este sistema se utiliza para obtener las fuerzas cortantes.

37

En este caso, si existe k; q= kd, pues los seis desplazamientos son independientes. EXISTE LA MATRIZ DEFORMACIÓN-FUERZA. PERO NO EXISTE f, d=fq, puesto que las fuerzas no son independientes ya que han de cumplir tres relaciones, de equilibrio. NO EXISTE LA MATRIZ FUERZA- DEFORMACIÓN. Así que si en nuestro problema fuese necesario obtener la matriz f, entonces ese sistema no sirve. Lo que ocurre es que nunca se necesitan simultáneamente las matrices k y f. En cada caso hay que determinar si existen o no. El objeto es analizar por separado k ó f y luego sintetizar para obtener K y F. Veamos un ejemplo de los vectores q y d. Sea una estructura cualquiera: la dividimos en miembros, los cuales se denotarán con números romanos. Ésto implica la definición de juntas y el sistema de coordenadas Q-D. Para los miembros es preciso definir el sistema q-d para cada uno de ellos, que se eligen por conveniencia. En la práctica se elige una sola FIG. 39 forma, para no tener que hallar matrices diferentes. Generalmente, se utiliza un solo sistema q-d. Sean los sistemas q-d los dibujados en la Fig. 39. El vector q es la fuerza interna de toda la estructura

Donde son subvectores del vector total.

IIIIII q,q,q

Y lo mismo para la deformación, se escribe.

38

FORMULACIÓN MATRICIAL DEL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES Y DE LA ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Sea una estructura cualquiera, en donde se ha elegido el sistema Q-D para la estructura y los sistemas q-d para los miembros de toda la estructura. Entonces, los vectores q y d se refieren a toda la estructura como se ha acabado de ver. Demos a la estructura un desplazamiento virtual .DV El principio de los trabajos virtuales y aplicado a sistemas elásticos dice: FIG. 40 Es condición necesaria y suficiente para el equilibrio de un sistema que el trabajo virtual de todas las fuerzas, externas e internas, sea nulo para cualquier desplazamiento virtual del sistema:

0TT ie =+ ( E24 -27) El trabajo total de las fuerzas externas, pág 5 es: ∑ == V

TVjje DQDQT

Consideremos el miembro II y apliquemos para el miembro el principio el principio de los trabajos virtuales, lo cual es válido si el miembro está en equilibrio: El trabajo de sus fuerzas externas es :

IIV

TII665544e dqdqdqdqT −−=++=∆

pero sus juntas A, B, se desplazan y por consiguiente en la expresión anterior no aparece el trabajo provocado por el desplazamiento como cuerpo rígido. ( Por ejemplo el de la fuerza cortante). Entonces hallaremos el trabajo de las fuerzas externas en dos etapas: en un desplazamiento como cuerpo rígido, más el trabajo en la deformación del miembro. O sea, considerando que se desplaza sin deformarse y que luego sufre la deformación. Pero por estar en equilibrio, aplicando el principio de los cuerpos rígidos, el trabajo producido por el sistema de fuerzas en los desplazamientos del cuerpo rígido vale cero. Por consiguiente el trabajo de las fuerzas externas puede expresarse como el trabajo en la deformación únicamente, el cual no es nulo.

Luego: y así para todos los miembros: iII

VTII

e TdqT ∆−==∆ −−

VT

e dqT = que ha de ser igual al trabajo de las fuerzas internas con signo opuesto.

39

Por consiguiente, hemos podido determinar el trabajo de las fuerzas internas V

TVVi dq......dqdqT =+++=− 2211

Luego, como se obtienen las expresiones: ie TT −= PRINCIPIO DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES

VT

VT dqDQ =

(15)

CARGAS.OBTENER → qdQD TV

TV =

(16) En donde debe recordarse que el resultado es un escalar : el trabajo La fórmula (16) resulta al tomar transpuestas de la (15) y expresan el PRINCIPIO DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES, como también se llama al de los trabajos virtuales. El principio de los desplazamientos virtuales se emplea para hallar las cargas: Recordemos que se imaginan unos desplazamientos y con ellos se pueden determinar las cargas. También puede escribirse el principio de las FUERZAS VIRTUALES, donde son las fuerzas la imaginarias y, por tanto, el trabajo no es real. PRINCIPIO DE LAS FUERZAS VIRTUALES

dqDQ TV

TV =

(17)

OBTENER DESPLAZAMIENTOS. VT

VT qdQD =

(18) En este caso son las fuerzas las que son imaginarias, se inventa un sistema de carga, y su aplicación permite obtener desplazamientos.

40

EXPRESIÓN MATRICIAL DE LA ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Ley de Clapeyron: Si sobre una estructura que está inicialmente libre de esfuerzos y en la cual no ocurre ningún cambio de temperatura ni movimiento de apoyos se aplica gradualmente un sistema de fuerzas en equilibrio, el trabajo real de las fuerzas externas, llamado Energía de Deformación o Energía Potencial de deformación, ES IGUAL A LA MITAD DEL TRABAJO VIRTUAL (calculado como si las fuerzas conservasen su magnitud final durante el tiempo que ocurre la distorsión). La energía de deformación no depende de la sucesión de cargas, con tal que esta sean aplicadas gradualmente. La energía de deformación siempre es positiva. Éste trabajo “virtual” se llama así porque está calculado bajo ciertas condiciones: la aplicación de las cargas es gradual (obvio que el trabajo depende de cómo se aplican las cargas) y, además, es el trabajo de las cargas reales en sus desplazamientos reales. Esto es válido si se cumple la superposición ( Hooke y deformaciones pequeñas), si la aplicación de cargas no es gradual, la energía de deformación es variable y el problema no es de estática. Aquí la energía de deformación es constante.

Sustituyendo : U QD21DQ

21 TT ==

(19) donde se ha suprimido el subíndice v porque son los desplazamientos reales. Relacionando esas expresiones con matrices de rigidez y flexibilidad: Q=KD y D=FQ

KDD21FQQ

21 TT == donde u es un número. U

(20)

Tomando transpuestas resultaría QFQ21u TT=

Vemos que u depende sólo de las cargas y F ha de ser simétrica; debe de obtenerse un resultado POSITIVO para cualquier valor de Q. Sólo podrá ser cero si todas las cargas son cero. Ésto es una forma cuadrática DEFINIDA POSITIVA.

La energía de deformación puede demostrar que se expresa como: ∑=

=n

j,ijiij QQFu

1

Derivando: jj

DQu

=∂∂

pero (pág. 6-A) ∑=

=n

1iiijj QF D

(u es escalar)

Luego =∂∂

jQU jD • =

∂∂

jQU jD

( 21)

TEOREMA DE CASTIGLIANO

41

Derivando de nuevo se obtiene

ijF Lo cual proporcionaría otro medio de obtener la matriz de flexibilidad.

=∂∂

∂

ij

2

QQU

( 22)

Y ahora haciendo uso de la relación U KDD21 T= , la otra forma cuadrática, definida positiva se

obtiene su expresión equivalente.

U ∑=

=n

1j,ijiij DDK ∑= jiji DKQ

=∂∂

iDU iQ =

∂∂∂

ji

2

DDU

ijK jiijj KK =

(24)

(23)

42

FORMULACIÓN MATRICIAL DEL MÉTODO DE LOS ESPLAZACIMIENTOS CONSIDERACIONES GENERALES Definición de estructura: “Una estructura puede definirse como un sistema estable de u material linealmente elástico formado por un número finito de juntas, siendo una de estas cantidades arbitrarias”. Esta definición, pues, descarta los sistemas hipostáticos o mecanismos. Definición de grado de Hipergeometría. “El número de coordenadas generalizadas independientes, o grados de libertad, necesario para describir el vector desplazamiento de la estructura se denomina GRADO DE HIPERGEOMETRÍA y es la medida de la indeterminación geométrica del sistema. Grado de hiperestaticidad. El número de de vínculos superfluos o superabundantes constituye el grado de hiperestaticidad, o grado de indeterminación estática. Es evidente que el grado de hipergeometría es arbitrario, puesto que tan arbitrario es el número de juntas del sistema. El grado de hiperestaticidad de la estructura es independiente del número de juntas y miembros en que ésta se ha dividido convencionalmente. El grado de hipergeometría puede ser nulo o infinito, dependiendo de la elección de las juntas. Para los fines prácticos es finito. A continuación se ilustra el grado de hipergeometría e hiperestaticidad con varios ejemplos.

43

El análisis estructural tiene por objeto el determinar la información completa sobre los valores particulares de los vectores, D desplazamiento, q fuerza interna, d deformación. GRADO DE HIPERGEOMETRÍA SIN CAMBIO EN LA LONGITUD MIEMBROS

tríahipergeome de grado ó .LIDADDESPLAZABI.GJUNTAS ROTACIONES ∑∑ +=

De acuerdo con esos objetivos, se utilizan dos métodos para obtener esa información cuya denominación más usual es: El método de las FUERZAS, ACCIÓNES O FLEXIBILIDAD. El método de los DESPLAZAMIENTOS, DEFORMACIONES O RIGIDEZ. Las características esenciales de ambos métodos se pueden resumir así: Métodos de las FUERZAS En el método de las fuerzas, de haberlas son: INCÓGNITAS: Fuerzas redundantes.

44

Las ecuaciones que se utilizan para determinar las incógnitas son: ECUACIONES: Ecuaciones de compatibilidad. Este método puede utilizarse en las estructuras isostáticas, donde el vector de las incógnitas es un vector nulo. En este método se supone que el equilibrio siempre se cumple y con las ecuaciones de compatibilidad se determinan las redundantes. Método de los DESPLAZAMIENTOS INCÓGNITAS: Los desplazamientos. (Descritos por el sistema de coordenadas generalizado) ECUACIÓNES: Ecuaciones de equilibrio. En este método se supone que se satisfacen las condiciones de compatibilidad y de borde. EL PROBLEMA PRIMARIO Y EL COMPLEMENTARIO Conviene insistir en que si bien en los conceptos tratados anteriormente se consideran las solicitaciones actuando como cargas concentradas en las juntas, el problema puede extenderse a cualquier sistema de cargas mediante el problema primario y complementario, pág. 3A. PROBLEMA PRIMARIO: “ Es una imagen isogeométrica, hipergeométrica o de grado inferior la estructura, solicitada por un sistema de solicitaciones idéntico al sistema real, y en el cual se han colocado restricciones ( vínculos adicionales) en las direcciones de los desplazamientos definidos por las coordenadas generalizadas” Consideremos la estructura de la Fig. 41(a) en la cual se ha definido un sistema de coordenadas generalizadas y que, por conveniencia, se está despreciando las deformaciones producidas por la fuerza axial. Sea el caso particular de solicitación de la Fig. 41 (b), donde las cargas no necesariamente están aplicadas en las juntas, existiendo cambio de temperatura y asentamientos. El problema primario consiste en restringir los desplazamientos en las direcciones de esas coordenadas generalizadas, QD = , con unas solicitaciones idénticas a las reales, sin excepción

FIG. 41 45

FIG. 42 En este caso se está utilizando una imagen isogeométrica si se desprecia la fuerza axial; de no ser así sería hipergeométrica de tercer grado. A veces, conviene emplear imágenes no isogeométricas. Llamaremos CARGAS DE FIJACIÓN o “Cargas Primarias” a las que se generan en esa vinculación. . oQ Estas cargas, pues, son las REACCIONES de los vínculos impuestos. Es decir, las cargas que hay que aplicar para que las juntas queden fijadas. Llamémoslas. Q o PROBLEMA COMPLEMENTARIO. “ Es la estructura bajo la acción de las cargas en la dirección de las coordenadas generalizadas, cuyos valores son iguales a los de las reacciones que se generan en los vínculos de fijación adicionales que se añadieron al determinar la imagen primaria, pero con signo opuesto”.

ESTRUCTURA = PROBLEMA PRIMARIO + PROBLEMA COMPLEMENTARIO

FORMULACIÓN MATRICIAL DE MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS. Sea la estructura de la Fig. 43 Por conveniencia, y sin perder la generalidad, elijamos el sistema de coordenadas generalizadas de la estructura (dibujado), lo cual implica las definiciones de los vectores D, deformación y el Q, cargas, de la estructura. Sean n coordenadas. Definamos de igual manera un sistema de coordenadas generalizadas de los miembros para el vector d, deformación (desplazamientos relativos). Sean m coordenadas así definidas. Esto implica la definición del vector f, fuerzas, referido al mismo sistema de coordenadas generalizadas de los miembros: FIG. 43

46

En donde d y q se han expresado como arreglos de subvectores, y cada subvector pertenece a un miembro.

Sean, pues, n desplazamientos y m deformaciones. MATRIZ DESPLAZAMIENTO-DEFORMACIÓN, A.

Definamos una matriz A de transformación, de orden mxn, m ; tal que transforme los desplazamientos en deformaciones, por lo cual, la llamaremos

nA

MATRIZ DESPLAZAMIENTO-DEFORMACIÓN D Ad =

(25) (( A POR GEOMETRIA)) Esta matriz A, SE GENERA POR GEOMETRÍA. Cada elemento representa los coeficientes de influencia de las deformaciones para los desplazamientos o sea:

Aij

Aij= deformación i producida por un desplazamiento unitario en la dirección j. SE OBTIENE POR GEOMETRÍA. Esa definición implica que también es válido: q AQ T=

(26) Donde llamaremos a

=TA MATRIZ FUERZA – CARGA = TRANSPUESTA DE LA MATRIZ DESPLAZAMIENTO-DEFORMACION. En efecto, de la formulación matricial de los Trabajos Virtuales, pág. 14, se tiene

qdQD TV

TV = (16)

Ahora bien, el principio de los Trabajos Virtuales es general, y es válido tanto para el caso particular de desplazamientos virtuales como para el sistema de desplazamientos real.

qdQD TT = (16)´ Transponiendo (25): TTt ADd = con lo cual en (16)´

47

.qADQD TTT = Pero dado el carácter arbitrario de D, concluímos que ha de cumplirse la

igualdad cuando q AQ T= La transpuesta de la matriz Desplazamiento- deformación es la matriz fuerza-carga. La matriz desplazamiento-deformación se obtiene por geometría. 1 ra Columna.- y los demás desplazamientos nulos:

1D1 =

En la Fig. 44 aparecen gráficamente los elementos no nulos de la primera columna de la matriz desplazamiento-deformación particular a la estructura y la definición de coordenadas en los miembros.

FIG. 44 En general, ijA i= DIRECCIÓN

j= CAUSA

Hay que insistir en que las deformaciones son desplazamientos relativos. , 1211 AA = , referidos a la cuerda. Las deformaciones lineales, si el miembro se alarga ( I ) , si se acorta, negativo, (miembro II). Si el sistema de coordenadas en el miembro se ha definido como la forma cómoda de indicar sus deformaciones es la Fig. 44(a). FIG. 44 (a) Realmente es como aparece en 44(b) 48

Ángulo positivo desde la cuerda a la tangente final . 2 da columna. 3 ra columna.

4 ta columna. 5 ta columna.

49

MATRIZ DEFORMACIÓN-FUERZA DE LA ESTRUCTURA Como el vector fuerza q y el vector deformación d, para cada miembro cumple la relación q=kd (pág.28 ), donde k es la matriz deformación – fuerza del miembro, la matriz deformación-fuerza de toda la estructura se puede escribir como un ARREGLO DIAGONAL DE SUBMATRICES k DE LOS MIEMBROS, las otras submatrices son nulas:

En el caso que la estructura tenga tres miembros q = kd

OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ A PARTIR DE LA DEFORMACIÓN- FUERZA Puesto que Q = KD (4, pág. 20 ) donde k es la matriz de rigidez o matriz desplazamiento-carga y q = kd , la matriz k puede generarse así: De la (26) pág. 47 : , . qAQ T= kdAQ T= Pero ( 25 Pág. 47 ) d= AD , remplazando (4) : kADAQ T=

Ak AK T=

( 27 ) Luego la matriz de rigidez puede encontrarse operando con la matriz A, desplazamiento-deformación y con la desplazamiento-fuerza de la estructura. Obtenida K se halla la matriz de flexibilidad hallando su inversa. El proceso más importante es obtener F pues resuelve el sistema de ecuaciones: Halla D. MATRIZ CARGA-FUERZA B Definimos la matriz CARGA-FUERZA como aquella que transforma las cargas en fuerzas: Q Bq = F AkB =

( 28 ) ( 29 ) 50

Esta matriz se genera así: Tenemos q= kd; d= AD , q = Kad. Siendo D = FQ q = ( k A F) Q el producto entre paréntesis es B APLICACIÓN AL MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS INCÓGNITAS: LOS DESPLAZAMIENTOS. Es obvio que todas estas matrices si bien dependen de la definición de las coordenadas generalizadas, son independientes de los valores particulares del vector carga. Por tanto, han sido generadas para un sistema arbitrario de cargas. Estas matrices dependen de la definición del sistema de coordenadas de la estructura, de los sistemas de coordenadas de los miembros y de las propiedades geométricas y elásticas de la estructura. Una vez obtenidas estas matrices para cada caso particular de solicitaciones, compatible con la definición del vector Q, se efectúa el siguiente proceso: 1: Se determina el valor particular del vector Q mediante el problema primario. 2: Con el problema complementario se determinan los desplazamientos, dados por D= FQ y las fuerzas q= BQ. Las deformaciones pueden determinarse de varias formas, D.A d o qkd 1 == −

3: Finalmente, se obtienen los valores de interés superponiendo el problema primario con el complementario.

FIG. 55

Ejemplo: UNIDADES: Kgf, m , rad. E = G 0 9102× 9108.0 × 2m

K

Miembros sección rectangular, plano. Se desprecian las deformaciones por fuerza axial.

MIEMBRO b h L A I 2r L

EI

I 0.24 0.50 5 21012 −× 21025.0 −× 481 6101×

II 0.24 0.50 5 21012 −× 21025.0 −× 481 6101×

III 0.36 0.50 5 21018 −× 210375.0 −× 481 6105.1 ×

51

Q – D q - d

h: espesor en el plano de la estructura. b: espesor en la dimensión normal al plano de la estructura. 1° DEFINIR SISTEMAS DE COORDENADAS GENERALIZADAS. Q-D. 2° DEFINIR SISTEMAS DE COORDENADAS DE LOS MIEMBROS q-d. Despreciamos deformaciones por fuerza axial.

Así En algunos casos conviene usar subvectores.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

6

5

....4

3

....2

1

dd

dd

dd

d

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

6

5

....4

3

....2

1

qq

qq

qq

q

3° GENERAR MATRIZ DESPLAZAMIENTO-DEFORMACIÓN A: = AD columna 1a columna 2a columna 3a

( deformación axial cero )

d

52

321 D D D

3

2

1

6

5

4

3

2

1

DDD

31 0 03

1 1 0

125- 1 0

125- 0 1

41 0 1 41 0 0

dddddd

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

Luego la tercera columna se halla por Williott, las cuerdas como desplazamientos rígido.

SIGNO DESDE CUERDA A POSICIÓN FINAL

TRANSPONER = MATRIZ FUERZA- CARGA qAQ T=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

31 3

1 125- 12

5- 41 4

10 1 1 0 0 00 0 0 1 1 0

AT

4° DETERMINAR K DEFORMACIÓN FUERZA q=kd DE CADA MIEMBRO.

Véase Apéndice 1. Para estos miembros rectos calculamos 2

ovv L

rCGE

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Φ sección

constante.

( )4001

2548

12.1

108.0102

2

9

9=××

×

×=φ 0874.0

12136

v

v =φ+

φ

91226.30874.04CC AB =−== 9126.10874.02C =−= 53

Luego como las deformaciones por corte no influyen mucho, son funciones de ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ero o razón de

esbeltez despreciémoslas. Pero en muchos casos incluso puede ser C negativo ( factor de transporte negativo ) y tiene efecto considerable. Es el caso de los muros de corte.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4 22 4

LEIKi

NOTA: El considerar las deformaciones por corte no sólo representa un trabajo adicional, sino que también requiere más atención en las cargas en el problema primario, ya que será preciso hallar los momentos de empotramiento tomando en cuenta las deformaciones por corte. Claro, si la carga es simétrica, ese efecto es nulo. 5° FORMAR LA MATRIZ K DE LA ESTRUCTURA. Arreglo diagonal de submatrices. 6° DETERMINAR LA MATRIZ RIGIDEZ KAAK T=

δ Hallar KA primero.

=× )66(K 610 x

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=×

629 2

1 12

1 10 2

1- 2 8

10K 6)33(

Conviene multiplicar K*A pues se necesita después. 7° DETERMINAR LA MATRIZ DE FLEXIBILIDAD POR INVERSIÓN: Cálculos por determinantes, con máquina de calcular.

54

8° DETERMINAR LA MATRIZ CARGA – FUERZA B= KA * F

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= −

0.215094 0.016981- 0.0311320.016981- 0.106604 0.028774-

0.031132 0.028774- 0.136085 10F 6

0.59434 0.26887 0.00707 0.54340 0.58868 0.07925 0.54340- 0.41132 0.07925 0.44717- 0.14057 0.40896 0.44717 0.14057- 0.59104

0.38491 0.08302- 0.31887

B )36( =×

Con ello se han obtenido todas las matrices que toman en cuenta la geometría y la elasticidad de la estructura, dependiendo de las elecciones de sistemas coordenados. Estos procedimientos están enfocados al computador electrónico exclusivamente. Cuando se opera a mano, es menester ser en extremo cuidadoso pues los cálculos no tienen ningún control físico. Ahora se manejarán los diferentes casos de carga que solicitan la estructura. CASO 1 DE SOLICITACIONES.

FIG. 56

9° P. PRIMARIO. Obtener fuerzas primarias en los miembros. Tomemos un sistema isogeométrico al de la estructura. Restrinjamos los desplazamientos según las coordenadas generalizadas Q – D. Así cada miembro aislados de los demás, se obtienen las “ cargas primarias “ para los miembros, como si estuviesen empotrados: Se hallan reacciones de empotramiento ( aquí sólo por deformaciones flectoras ).

55

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

......

.......

..........

o

8001600

25002500

0 0

q

10° OBTENER VECTOR

, FUERZAS PRIMARIAS EN LOS MIEMBROS, SEGÚN SISTEMAS DE COORDENADAS DE LOS MIEMBROS.

oq

Fuerzas primarias en los miembros

Las fuerzas primarias de los miembros no necesariamente son las fuerzas primaria de la estructura. 11° OBTENER EN VECTOR CARGAS PRIMARIAS. oQ

Este se obtiene ⎩⎨⎧

s.coordenada deormación por transf geometría,Por equilibro. de ecuaciones Por

Aplicando la estática, hay que aislar las juntas.

Obtenidas las fuerz Hay que hallar lacarga axial. Esto sedeterminar.

o1 Suponer N, 32 N ,N o2 Eq junta 3 3N da Y∑

2N da X∑

o3 Eq junta 2 1N da Y∑

Fuerzas primarias en la estructura.

as primarias en los miembros, para obtener las fuerzas primarias en la estructura:

s cargas axiales de los miembros en que se desprecia las deformaciones por obtiene por estática, alguna ecuación de equilibrio de las juntas lo podrá

56

Una vez que se ha asegurado el equilibrio de toda la estructura, se aplican las ecuaciones de equilibrio de las juntas para obtener el vector de CARGAS PRIMARIAS Qo SEGÚN LAS COORDENADAS Q-D ELEGIDAS. El problema, equivale, pues a determinar las reacciones según el sistema de coordenadas, expresando éstas en función de las cargas de la estructura.

0 Xpor Q

0Mpor Q

0Mpor Q

330

320

210

=

=

=

∑∑∑

Signos: los del sistema Q-D. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=2617

900100

Qo

Estas reacciones pueden obtenerse más “ fácilmente” por trabajos virtuales del cuerpo elástico. Sea obtener : se suprime vínculo y se remplaza por una fuerza .

10Q

10QMecanismo: Se suprimen vínculos y se sustituyen por fuerzas conocidas. ( En este caso momentos ) Aquí

está en equilibrio en la junta, luego equivale en la práctica a Demos un desplazamiento virtual:

034*800

34*160004Q4*

32*36003

625060003*2400 10 =θ+θ−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡θ+θ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ θ−−θ

7.2616Q10 +=

57

TRABAJOS VIRTUALES. OBTENER LAS CARGAS PRIMARIAS ( REACCIONES ) LINEALES Conviértase la estructura en un mecanismo, suprimiendo vínculos por fuerzas conocidas, - manifestando su magnitud-. En el caso del problema primario los momentos de empotramiento, son conocidos actuando en rótulas.

Equivale a pues al aislar la junta los momentos están en

equilibrio y su trabajo es nulo. Ejemplo ilustrativo: 3 Grados de Hiperestaticidad. Si de alguna forma se conociesen 2 momentos y un corte, el problema estaría determinado y las reacciones se podrían obtener por trabajos Virtuales.

Esto es análogo a lo que sucede con el P.P puesto que la naturaleza de su vinculación permite conocer las fuerzas de empotramiento ( fuerzas primarias). CARGAS PRIMARIAS ANGULARES: Basta equilibrio de las juntas con las fuerzas primarias.

58

Otra alternativa: SISTEMAS DE COORDENADAS NO GENERALIZADAS. Expresemos el vector cargas primarias por medio de un sistema de coordenadas no generalizadas y luego, por transformación de coordenadas podemos encontrar las cargas primarias generalizadas. Si elegimos ese sistema no generalizado, como en el problema primario todos los desplazamientos quedan impedidos, las fuerzas primarias de lo miembros son las fuerzas primarias de la estructura.

∆−Pa) donde C se halla por geometría. CD=∆ PCQ To =

Obtenemos la transpuesta:

Ta C de fila 3

1∆ 2∆ 3∆ 4∆

1D1 = 0 0 1 0 1D2 = 0 0 0 0 13D = 1

43− 0 1

∆−oP

b) Fuerzas primarias en los miembros = fuerzas de empotramiento.

c) Equilibrio de las juntas. Basta invertir los signos de las cargas aplicadas a las juntas y sumar componentes. Esto da directamente las reacciones . oP

5∆ 6∆0 0 0 1

34 0

T

C=

59

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

900-30002667100 5400

0

Po

d) Paso al sistema oT

o PCQ =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=2617

900100

Qo

12 ° oQ Q −=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

2617900 100

13° Obtener los desplazamientos Q FD = complementarios y las fuerzas complementarias:

q = B Q

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡== −

581.2971-143.26903 120.9775-

10FQD 6

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

1314-884-

1784 1256 1356-1114-

Q Bq

Los desplazamientos del complementario son los de la estructura, pues 0Do = 14° Las fuerzas serán obtenidas al sumar las fuerzas primarias más las complementarias qqo +

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

=+=

2114716

716- 3756 1356-1114-

qqq ot

tq Determina el diagrama de momentos en este caso.

60

FIG. 57

Ejemplo: ASENTAMIENTO DE APOYOS Sea la misma estructura. Supongamos que sufre un asentamiento vertical de 0.01 unidades y un giro de 0.001 RAD en 4. CASO 2 DE SOLICITACION. 9° Problema Primario.

signo : desde cuerda a estructura 1d 10° a. Vinculamos la estructura, restringiendo los desplazamientos D. Busquemos las DEFORMACIONES COMPATIBLES a ese movimiento, las cuales llamaremos DEFORMACIONES PRIMARIAS, y que se determinan por GEOMETRIA.

2 fijo por movimiento. 3 sólo vertical por rodillo.

+=Ψ500

01.0AB la deformación desde la cuerda a la estructura

El desplazamiento de la cuerda de III es una traslación, pues 3 vertical y 4 vertical. Como 3 no gira, 0d5 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

001.00

002.0002.0

0 0

d.........

.........

o

61

10° b. OBTENER FUERZAS PRIMARIAS: oo kdq = EN LOS MIEMBROS.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=

60003000

1200012000

0 0

q.......

.......

o Se utiliza la matriz deformación – fuerza.

11° OBTENER VECTOR CARGAS PRIMARIAS. Del equilibrio u de otra manera: .Qo

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

13000-9000

12000Qo

tracc.10400 Ncomp 3400Ncomp 6000N

3

2

1

===

12° Complementario: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−

=−=13000900012000

QQ o

13° D= F q= BQ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

==467.2575901.834338.969

10FQD 6

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

5222 2717 11717-11986-14-

1925

BQq

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==+

778-283-283 14 14-

1425

qqq ro

14° qqq ot += 15° Verificación: Se ha de verificar las condiciones de equilibrio 0M 2 =∑ 0M3 =∑ ∑ = 0X3

62

Ejemplo 2 M. DESPLAZAMIENTOS ( MIEMBRO CURVO )

=OI momento de inercia en la clave = RI2Ley de variación del momento de inercia, momento de inercia reducido constante.

T ( sentido arcos crecientes)

φ

=cos

II o oIcosI =φ

que es la forma analítica más simple. UNIDADES: m, Tn, rad.

Se desprecian deformaciones por corte y carga axial. Entonces hay tres grados de hipergeometría. En el miembro curvo la cuerda que une sus extremos cambia su longitud, pues un miembro en el que se desprecian las deformaciones por carga axial, puede adoptar varias posiciones sin cambiar su longitud. Esto sería el caso del miembro.

1) Definir Q-D de la estructura. 2) Definir q-d de los miembros.

63

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

2

1

DDD

D No estamos definiendo la rotación de la articulación no sería generalizado.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

8

......7

6

.......5

4

3

......2

1

IV

III

II

I

q

qq

qqq

qq

qqqq

q

Análogamente el vector deformación. El subvector del miembro IV sólo tiene un elemento. No interesa el momento flector en la articulación, pues se sabe que es nula esa fuerza. 3) Matriz desplazamiento- deformación A: d = AD Por geometría.

0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0

0.0375- 1 0 0.0375- 0 1

0.125- 0 1 0.125- 0 0

A38=

×

1era Columna

64

2da Columna

3ra Columna

Deformación de la cuerda es +1. )d( 5 Transpuesta: fuerza- carga TA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0 0 0 1 0.775- 0.0375- 0.125- 0.125-1 0 1 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 1 0 AT

4) K. DEFORMACION- FUERZA. q = k d Como un arreglo diagonal de submatrices k de

los miembros.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

4 22 4

LEIkk III1 [ ]3

LEIARTICULADOk IV ==

Para el parabólico, veáse Apéndice, 1.

65

5) k de la estructura.

1,20 0,60 0,60 1,20

0,90 -0,30 0,1875 REIk =

6) K

7) F

8)

-0,30 0,90 -0,1875 0,1875 -0,1875 0,0703125 1,00 0,50 0,50 1,00 0,60

A kAT= matriz de rigidez.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0.12825 0.21- 0.06-0.21- 2.5 0.3-

0.06- 0.3- 2.1 EIK R

matriz de flexibilidad = 1k−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

9.33768 0.83062 0.38545 0.83062 0.48086 0.09243

0.38545 0.09243 0.50041

EI1F

R

matriz carga- fuerza B = k AF

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=×

0.4984 0.2885 0.0555 0.4153 0.2404 0.0462 0.8306 0.4809 0.0924 0.5731 0.0144- 0.1036 1.3290- 0.2306 0.1479- 1.6384 0.0760 0.4865 1.6384- 0.0760- 0.5138

1.8697- 0.1314- 0.2135

B)38(

66

9) P.P. CASO 1 DE SOLICITACIÓN. Vínculos en la dirección de las coordenadas generalizadas, equivale a añadir cargas en las direcciones de vinculación. Fuerzas de empotramiento.

10) Vector Fuerza primaria oq

11) . Por estática. oQ

12) oQQ −=

13) D = F Q q = B Q

67

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

0

5- 5

17.1875- 2.5

2.5-

0 0

q

...........

.............

.......

o ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

24.6875-7.5 4.5-

Qo⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

24.6875 7.5-

5.4 Q

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

029.226315.17074.11

EI1D

R

10.390

8.657 17.315

14.7225 35.205-42.066

37.566- 44.212-

q

..........

..........

..........

=

14)

10.390 3.657 22.315 2.465- 32.705- 39.566 37.566- 44.212-

qqq ot =+=

El método de los desplazamientos, pues, sea aplicado a armaduras, pórticos o miembros sólidos consiste en la “rutina” presentada, la cual se resume en el diagrama de la página 76 ( siguiente ). Definir ( Q-D ) ( q-d ). MATRICES A, , k, K, TA 1K− , y B. Obtener FK 1 =− es resolver el sistema de ecuaciones básico K D = Q, puesto que los desplazamientos D son las incógnitas. El sistema de ecuaciones se forma con las ecuaciones de equilibrio. Para ello se consideran en el problema primario ( equilibrio de las juntas ). Obtener D y q es la información fundamental.

68

Ejemplo 3. TOMANDO EN CUENTA LAS DEFORMACIONES POR CARGA AXIAL. Despreciamos las deformaciones por corte. UNIDADES: m, Tn, , rad. oC

45 105EI

106AE

0.025I

0.3A

1h

0.3b

10L

IIIMBRO

××=

6102E ×=

FIG. 58

coeficiente de dilatación lineal = =α t5101 −×

SOLICITACIONES

( Descenso vertical de 0.01 m. vertical en la junta 1).

generalizado 69

Imagen isogeométrica

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

....6

5

4

....3

2

1

ddd

ddd

d

( Se podría no tomar pues será nula). 1q Con ese sistema de coordenadas de los miembros es evidente que se está tomando en cuenta las

deformaciones por carga axial. (3) M . Desplazamiento-deformación A. d = A D

6d 6.053d

1054

6 −==→×

4ta Columna

3ra Columna

2da Columna

1ra Columna

8.054d 6 ==

70

0.8 0.6- 0 0 0.06 0.08 0 0

0.06 0.08 1 0 0 1 0 0 0.1- 0 1 0

0.1- 0 0 1

A =

( 4) - fuerza- carga. TA (5) k Deformación fuerza. Veáse Apéndice, pág 1. Sección constante: (6) kAAK T=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

3.9216 2.8512- 0.12- 0.3- 2.8512- 8.1984 0.24 0 0.12- 0.24 4 1 0.3- 0 1 2

10K 4

(7) 1KF −=

0.3471 0.1210 0.0113- 0.0577 0.1210 0.1644 0.0123- 0.0243 0.0113- 0.0123- 0.2867 0.1450-

0.0577 0.0243 0.1450- 0.5812

10F 4−=

(8) B = k AF carga- fuerza. etc. ( Se encuentra en pág. ) (9) P.P CASO 1 SOLICITACIONES. Si las cargas son perpendiculares al miembro, los ME ( momentos de empotramiento ), tomando en cuenta las deformaciones por carga axial son los mismos que los conocidos cuando el miembro es recto. Sólo si el miembro recto recibe una carga longitudinal se modificarán.

71

Ahora bien, si se toman en cuenta las deformaciones por corte, es preciso hallar con esa nueva influencia los momentos de empotramiento.

(10) fuerzas primarias. oq

0 0 0

0 10-

10

q .....o =

(11) cargas primarias. oQ

11 0

40- 10

Qo =

Cuando se toman en cuenta las deformaciones axiales el obtener las cargas primarias es mucho más simple puesto que en este caso las ecuaciones de equilibrio de las juntas son independientes.

(12) (13)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

11- 0 40 10-

QBQ qFQD

==

72

0.000484- 0.000206- 0.00130 0.00122-

D =

15.818- 11.674 24.711 12.403-15.289

10-

q =

15.818-11.67424.711 12.403-5.289

0

qqq ot =+=

CASO 2. SOLICITACIONES Ejemplo de cambio de temperatura. El problema primario se ataca igualmente. Basta hallar las fuerzas de empotramiento, Véase Apéndice pág. 3. En este caso:

( ) °−=∆−∆=∆∆°=∆+∆

=∆ 20ttt 252

ttt 2121

o

( )

10120

10105

hEI

M 5

4ttE

t −=−

=×

=∆∆α

=

15010/25*106t AEN 55

toEt −=×−=α∆−=

73

Es preciso descomponer las fuerzas generalizadas en dirección de las coordenadas generalizadas. ∑ ∑ ∑ ∑ ==== 0XYMM 2221 Como se observa, el tomar en cuenta las deformaciones por carga axial, conduce a una resolución, por equilibrio, más simple del problema primario, puesto que las ecuaciones de equilibrio de las juntas son independientes.

∗

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

150- 10 10-

150- 10 10-

q ..........o

120-60- 0 10-

Qo =

12060 0

10

Q =

* : Obsérvese que las fuerzas primarias son considerables. Esto no quiere decir que las totales lo sean. DISCUSIÓN: ¿ Errores digitales serios?

0.004948 0.002463 0.000354-

0.001419

FQD ==

148.85711.2777.736

147.7937.736- 10

BQq ==

143.1277.21264.2

2.207- 2.264 0

q ...........t

−

−=

La fuerza , como se sabe de antemano que es nula, podría conducir a no definir esa coordenada de miembro. Claro está, en ese último caso que redefinir la matriz deformación- fuerza (k) de ese miembro.

1q

CASO 3 DE SOLICITACIONES. Ejemplo de movimiento de apoyos. El problema primario se ataca ahora vinculando, como siempre, la estructura de tal forma que impidan los desplazamientos según las coordenadas elegidas en la estructura. Pero ha de encontrarse las deformaciones ( pequeñas) compatible a los movimientos de apoyos, las cuales llamaremos deformaciones primarias.

74

(10) a. OBTENER . Por geometría. od (10)b. FUERZAS PRIMARIAS: oo kdq =

0 0 0

0 0.001- 0.001-

d ..........o =

0 0 0

0 30-

30-

q ......o =

(11) por estática u otro camino. Aquí eso hace falta dibujar el equilibrio de la junta. Basta sumar las solicitaciones de los miembros en la junta.

oQ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

6 0

30- 30-

Qo

0.000069-0.000037-0.000432 0.001274

FQD ==

1.992-4.104 8.422 2.198-21.578 30.

BQq ==

1.992-4.104 8.422 2.198-8.422-0

q t =

Si se desease d: ddd

ADd

ot +==

75

MÉTODO DE LAS FUERZAS SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS Otra alternativa para la solución del problema complementario consiste en obtener la información necesaria por el método de las fuerzas. En este método las incógnitas son las fuerzas redundantes y las ecuaciones utilizadas para su resolución son las ecuaciones de compatibilidad, suponiéndose que el equilibrio siempre se cumple. La solución del complementario por el método de los desplazamientos consistía en obtener los valores de los Desplazamientos y las fuerzas internas para los valores particulares del vector carga Q, D=FQ y q=BQ. La información fundamental son los desplazamientos y las fuerzas internas. A partir de ellos se puede obtener por estática o por geometría todo lo demás que interese. Es decir, el complementario queda resuelto al obtener la matriz de flexibilidad F y la matriz Carga-Fuerza B. En el caso particular de los sistemas estáticamente determinados, por el método de las fuerzas, la matriz Carga-Fuerza B se obtiene directamente por estática puesto que el vector de fuerzas redundantes es nulo. Es decir, en los sistemas isostáticos el vector fuerza se logra, evidentemente, por estática. Luego, sólo hemos de preocuparnos de cómo se obtiene el vector desplazamiento. PROCEDIMIENTO

1- Se definen las coordenadas generalizadas de la estructura Q-D 2- Se definen las coordenadas de los miembros q-d. 3- OBTENER LA MATRIZ CARGA-FUERZA, B. Por estática. q=BQ.

Esta relación implica que se cumple dBD T= (30). Llamaremos a la matriz TB MATRIZ DEFORMACIÓN –DESPLAZAMIENTO

Lo anterior se comprueba por trabajos virtuales, en el caso que el sistema virtual es igual al real Trabajo Virtual.externo trabajo Virtual.interno =DQT dqT

Como q=BQ, , sustituyendo, y como lo anterior ha de verificarse para cualquier vector Q arbitrario, queda demostrada la fórmula (30).

TTT BQq = dBQDQ TTT =

4-Es necesario obtener las matrices fuerza-deformación de los miembros, o matrices de flexibilidad de los miembros: d=fq. 5- escribir la matriz fuerza-deformación, f, de la estructura. La cual se expresa como un arreglo diagonal de submatrices f. 6- La matriz fuerza-deformación de la estructura hace posible el generar la matriz de flexibilidad (o carga -desplazamiento) tal que D=FQ.

77

Si por la (30) dBD T= , y d=fq; . qfBD T =

Como q=BQ, . Así que el paréntesis es, por definición, la matriz de flexibilidad.

QfBBD T )(=

fBBF T= (31)

Estos seis pasos proporciona todo lo necesario para resolver el problema complementario. Para cada caso particular de solicitación se procede en forma similar a lo visto en el método de los desplazamientos. Lo más cómodo de utilizar en una imagen isogeométrica. Las fuerzas de comportamiento pueden obtenerse en tablas. Ejemplo:

UNIDADES: Kg., m, Rad. Despreciamos las deformaciones por MBRO EI fuerza axial y corte

6 II 2.667x106

III 1.125x106

I 5.208 x10

3) determinar la matriz carga- fuerza B se podría definir un vector más pequeño

por estática q =BQ (q-d), pues q1=q6=0 AHORRA OPERACIONES. Ver ejercicio

Por trabajos virtuales puede ser más rápido

1) Q-D2) q-d

78

) inar f. (véase apéndice Pág. 2)

5)

6) matriz de flexibilidad

Y para cada caso particular de solicitaciones se sigue el mismo proceso visto.

) P:P

) qo

) Qo

0)D=FQ

q

4 determ

0000001005.05.025.05.02

000−

=B

710

778.17889.8889.8778.17

00

055.2

5.250

002.36.1

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−

−−

−

= xf

6.12.3 ⎤⎡ −

⎣

2161−

12 −EI=if

BfBF T =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

= −

55.97.12.137.105.28.12.138.18.32

10 7F

7 8

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

−=

00

3/80003/8000

0

oq

⎤⎡ 0

−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

− 3/8000/00

4000

9

Qo ⎢= 380 Q

1q = BQ qt = qo +

79

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

= −

28.812.1712.17

10 3D

Existe otra forma de resolver el problema primario, buscando las deformaciones

Procedimiento general del método de las fuerzas

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−==

00

3/80003/32000

80000

BQq

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

000

80008000

0

tq

iniciales 0d , lo cual veremos más adelante. En el método de las fuerzas, el procedimiento general es el siguiente: -

=fq l caso particular de estructuras

isos, tal que D=FQ .

de en form similar al método de los

anejo de los diferentes casos de carga es común a ambos

PLICACIÓN DEL MÉTODO DE LAS FUERZAS A ESTRUCTURAS

1 Definir los sistemas de coordenadas Q-D y q-d. 2- Generar la matriz fuerza-deformación f, tal que d3-Generar la matriz Carga-Fuerza B, tal que q=BQ. En etáticas B se determina por estática. 4-Generar la matriz de flexibilidad F . fBBF T=5-Para cada caso particular de solicitaciones se proce a desplazamientos. Puede observarse que el mmétodos vistos. Esta es la forma más práctica de solución. AHIPERESTÁTICAS. La diferencia respecto al caso de estructuras isoestáticas es que en las estructuras

lución tradicional, ilustrada con la estructura de la figura:

Se elige una estructura primaria isostática, eliminando vínculos superabundantes y se ponen de manifiesto las reacciones, como cargas actuando sobre la imagen primaria. La

hiperestáticas la matriz B, carga-fuerza, no se puede encontrar directamente con las ecuaciones de equilibrio, evidentemente, y es preciso introducir las condiciones de compatibilidad. Recordemos la so

80

igualdad se completa añadiendo las condiciones de compatibilidad, de manera que las condiciones de borde sean idénticas a la estructura real. En nuestro caso el que los desplazamientos horizontal y vertical de c sean nulos permite plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, como se sabe, aplicando la superposición, del cual se despejan las redundantes.

En la formulación matricial se utilizara, indudablemente, un proceso similar. PLANTEAMIENTO MATRICIAL Los sistemas de coordenadas de la estructura Q-D y de los miembros, q-d, se eligen tal omo hemos visto.

structura primaria isostática. omo se sabe, teóricamente,

c El único problema es como determinar ahora la matriz B, carga- fuerza. Elijamos una eCcualquiera podría servir; no así en la práctica, ya que una será Fig. 60 (a) Sistemas de coordenadas

e otra.

ciones de las do po obliga

emos r la nomenclatura

tes generadas por

más conveniente qu Ampliemos los vectores Q-D generalizdos coordenadas más, en las direcredundantes. A este sistema, formacoordenadas generalizadas y las nuevaspor las redundantes elegidas, lo llamar

ados con

r las das

Q – D q - d

Q* - D*. Es preferible utilizaque nos es familiar, empleando por Xi las direcciones de las redundan b) Primaria sistema Q* - D* los vínculos superabundantes eliminados.

s subvectores: los ya definidos y Por tanto los vectores Q* y D* están formados por dolos correspondientes a las redundantes:

⎥⎦

⎢⎣⎥⎢ X3 estructura real más las redundantes.

⎤⎡=⎥⎢=

QQQ* (32)

estr⎥⎥

⎢⎢Q2

Q* describe, pues, las cargas externas en la uctura primaria, es decir, las cargas de la

⎤⎡Q1

⎥⎢X

as redundantes del sistema primario han de ser nulos:

⎥⎢X1

⎦⎣ 2Para el vector D* podemos introducir de una vez las condiciones de compatibilidad: los desplazamientos en las direcciones de l

81

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=OD

DDD

D

00

3

2

1

* (33)

La matriz carga- fuerza B*, será una matriz ampliada: [ ]xo BBB =* (34) Las primeras columnas serán los coeficientes de influencia de las fuerzas, producidas por las cargas unitarias en dirección primaria. Llamémoslo Bo Las restantes columnas serán los coeficientes de influencia de las fuerzas, producidas por las cargas unitarias en la dirección de las redundantes, en la imagen primaria: Bx, se denominara MATRIZ REDUNDANTES- FUERZAS.

de las cargas generalizadas, en la imagen

Por definición, se ha de cumplir q = B* Q*

[ ]Sustituyendo (34): XBQBX

BBq xoxo +=⎥⎦

⎢⎣

= (35)

Lo cual no es sino la aplicación matricial del principio se superposición: la parte isostática sumad

Q ⎤⎡

a a la parte hiperestatica. De igual manera se puede establecer la expresión de la matriz de flexibilidad para el sistema primario. Esa matriz debe cumplir la relación D* = F* Q* (36) Por otra parte, de la (31), y sustituyendo en (34):

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎡ T

⎢⎣ xo

xoTo

xoTx

oT

BBfBfBfBBBf

BB

B B T

x

To*** (37) ==

fBfBF

B T

x Matriz simétrica Sustituyendo en la definición (36) los vectores D* y Q*:

⎥⎦

⎢⎣⎥⎦

⎢⎣

⎥⎦

⎢⎣ XfBBfBBO x

Txo

Tx

⎤⎡⎤⎡⎤ QfBBfBBD TT

= xooo

Conduce a dos sistemas de ecuaciones (1) TTo += 8)

(2) TT 0 += El s nal y permite encontrar las redundantes. Ese proceso es el fundamental en el método de las

Y y

como le sistema primario es isostático, a sabemos analizarlo.

⎡

fBQBfBD XBx (3o o

XBfBQBfB xxoxgundo sistema es que usualmente se plantea en el método de las fuerzas convencioe

82

fue es invirtiendo una matriz (de orden dos en nuestro ejemplo) Despejando las incógnitas (39) REDUNDANTES EN EL COMPLEMENTARIO

rzas, es decir, la solución del segundo sistema de ecuacion

X: ( ) QBfBBfB oTxx

Tx

1X

Lo cual transforma las cargas Q en las redundantes X. Obteniendo X se puede encontrara la matriz carga-fuerza. Por (35) : XBQBq xo += Sustituyendo el valor de X (39) y sacando el vector carga Q como factor común:

go el corc es, p z

Lue hete r definición la matrio

oTxx

Txxo fBBfBBBBB 1)( −−=

MATRIZ DE FLEXIBILIDAD La matriz de flexibilidad sigue ten

in embargo, conviene aplicar otra a

placemos en (38-1) a X ultiplicando y Q como postmul

TTT⎡ −

1

=

Comparando con la anterior,

la matriz Bo esstema primario.

que su deducción fue independiente

SReemprem

( ) fBBfBBB xxxxo⎢⎣−= D

Entonces o ; así que

QBfBD T

Luego la otra expresión de la matriz

−−=

( ) fBfBBq TT⎡ −=−

1BB xxxxo⎢⎣

BfBF To =

F =puesto que mas sensi

carga rza

GA-FUERZA

- fue

(40) MATRIZ CAR

Tiendo la misma expresión (31): = , puesto o

lternativa e la matriz de flexibilidad, más sencilla. por su os como factor

tiplicador.

o ⎥⎦⎤ Observando que el corchete es B:

lazamientos.

, vemos que la (41) es más fácil de evaluar, lla que l el

BfBF del grad de hiperestaticidad o isostaticidad.

d valor, y saquem fBT

o

QB

o transforma las cargas en desp BfBT

de flexibilidad es:

(41)

⎤ Qo ⎥⎦B

BfBTo

ci a B, ya que Bo es la matriz carga-fuerza e

83

Nótese que por la propiedad del producto matricial, de BfBBfB TTo = no se puede

concluir que Bo y B sean iguales; son matricignificado.

es completamente diferentes, en estructura y

tra demostración de esta segunda formulación de la matriz de flexibilidad estaría llaman “teorem

rales serán más sencillas.

sOrelacionada con lo que los europeos a de reducción”. Si se desea determinar en una estructura hiperestática, digamos, la rotación en A Se puede elegir el sistema virtual como siendo el real hiperestático; O se puede obtener el desplazamiento utilizando un sistema de cargas real sobre la estructura isostática: (real) (virtual). Este último en muchos casos el más ventajoso porque las integ(Apéndice 4)

A

ESUMENR 1- Definición de los sistemas generalizados Q-D y q-d.

2- Generación la matriz fuerza-deformación d= f q 3- Generación de la matriz carga-fuerza B. q=BQ

a) ISOSTÁTICOS: por equilibrio b) HIPERESTÁTICOS: añadir condiciones de compatibilidad:

4- Gene ar la matriz de flexibilidad F: o = en el caso general 5- Para s sistemas hiperestaticos es mas sencillo por Para cada caDefinir P. P

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

−o

Txx

Txxo BfBBfBBBB

1

QBq oisos = XBq xhip = Se obtendrán dando valores unitarios a Q y X en la estructura primaria

T BfBF

De igual foruna imagenPuede notar

l métoque e

rlo

o particular de soli taciones, idéntico al método de, los desplazamientos:

BfBF To =

s

rimario. .P; Q ;q ooma que en el método isogeométrica de la se que el método dedo de los desplazami

ci

qqq; BQq; FQD; C ot +===

lema primario se utiliza erestática.

as operaciones matriciales más

de los desplazamientos, en el probestructura hip las fuerzas requiere muchntos.

e

84

DISCUSIÓN DE LA ELECCIÓN DE LAS REDUNDANTES La elección de las redundantes es necesario discutirla más ampliamente bajo el punto de vista matricial. Lo fundamental del método de las fuerzas es la inversión de la matriz x

Tx BfB ; lo cual es

quivalente a resolver el sistema de ecuacione es que es lo ue se hace por el método tradicional, ecuación (38).

T

xructura primaria. Llamémosl

na matriz de flexibilidad, según lo nterior.

XBfBQBfB xTxo

T 0 +=q El término ox representa los desplazamientos en la dirección de las redundantes, en la estructura primaria causados por las cargas Q: podemos llamarlo, pues por D

QBfBxo.

XBfBT representan, los desplazamientos en la dirección de las redundantes debidas a valores unitarios, de las redundantes de la est o F

xxX por

comodidad, pues xTx BfB tiene la naturaleza de u

a Realmente es x

Tx BfB una parte de ella, *

22F , véase Pág. 82, Ec. (37). Así, condensadamente, XFD0 xxo += x

Tx BfB = MATRIZ REDUNDANTE-

DESPLAZAMIENTO EN LA ESTRUCTURA PRIMARIA Luego XFD xxo =−

ene la na at o parte de ella) y nto a primario.

a solución se obtiene como:

onde x )F( tiene naturaleza de una matriz de rigidez, pues transforma desplazamientos ario en redundantes – cargas,

Así que Fx ti turaleza de una m riz de flexibilidad (siendtransforma las redundantes en desplazamie s redundantes en el sistemL xo

1x D)F(X −−=

1−D redundantes del sistema prim

( ) QBfBBfBX oxxx Como se vió en la Pág. 83Ec. (39) TT 1−−=

rar una e una matriz de flexibilidad que ha de invertirse.

ste es un proceso inverso a lo seguido en los métodos de los desplazamientos.

l sistema de coordenadas pues

(39) Con lo que se hace hincapié en que la esencia del método de las fuerzas es encontmatriz que tiene la naturaleza dE El éxito de la solución está condicionado a la elección de

xx BfB T no depende de l sistema de coordenadas de las cargas. Una elección inadecuada

puede conducir a soluciones peligrosas, en el sentido de la exactitud de los resultados. eamos unos ejemplos de ello:

V

85

3) Determinación de la matriz carga-fuerza B. Hemos de separar en Bo y Bx

ARIO Y GENERAR LA MATRIZ Bo

3a) ESCOGER DEL SISTEMA PRIM

uede ser que se elijan dos sistem arios diferentes para las cargas Q y para las

nd ercana a la junta 3 pero sobre el miembro III

P as primredundantes. Elegimos la primaria como se i ica, con tres articulaciones, una infinitamente c

. Bo por estática: q =Bo Q

3b) ELECCIÓN DE LAS REDUNDANTES Y GENERACIÓN DE LA MATRIZ xB

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢ 0⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=

00000100375.0625.0375.0

375.0375.0375.0000

LL

o B

86

Escogemos la misma primaria Ilustramos solo los momentos, que Es lo que nos interesa.

⎢⎢⎢⎢⎡

−

−−−

=5.0875.0625.05.0875.0625.0

001

x

⎥⎥⎢

1

⎥⎥

⎢⎢

010010 ⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎣ 00

B

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎣−⎠⎝ ⎢

⎢⎡ −

=−⎟⎞⎜⎛

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

423324.0006458.0158861.0006428.0167126.0130395.0158861.0130395.0365473.0

61

0000.32500.17500.12500.18125.86875.37500.16875.38125.4

6

LEI

xBfTxB

EIL

xBfTxB

finalmente: La matriz B en el método de las fuerzas siempre se determina así. En cambio, en el método de los desplazamientos puede obtenerse por las relaciones entre desplazamiento y fuerzas.

c

estructura primaria es diferente.

Expresaremos X en función de las Y, simplemente.

⎦

( ) oTxx

Txxo BfBBfBBBB

1−−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

=

250690.0122590.0119835.0517907.0187328.0115703.0482093.0187328.0115703.0150140.0525482.0126015.0150140.0474518.0126015.0085399.0201102.0140495.0

LL

LLLL

B

Y

ondicionada. No obstante hallémosla cambiando las redundantes.

En este ejemplo la matriz B no está mal

La

87

b’)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

1

010

1100

16.08.0

LLL

L

LL

y

ente. Tenemos, pues, un sistema mixto ya que dundantes e án asociadas a otra primaria.

c’)

a’) CT por estática. yCX T=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

11016.08.0

LLLLL

TC

Txy CBB =

⎥⎥⎥⎥

1

⎢=

00B

Es obvio que se puede generar directamlas re st

yB

( ) Tx

Txy

Ty CBfBCBfB = d’) ( ) 1

−

yTy BfB invertimos, como antes:

oordenadas.

da lo m

ácil de generarla que con

Más sencillo calcularla con cambio de

⎥⎦

c

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=1820.740.520.775.804.240.504.228.3

6 22

22

LLLLLLLL

EILBfB y

Ty

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

140266.0072314.0185950.0

072314.0171487.0012396.0

185950.0012396.0603305.0

622

1

LL

L

LLLEIT

⎢=

22 LLLfBB yy

Finalmente

( ) oTyy

Tyyo BfBBfBBBB

1−−= ismo.

4) matriz de flexibilidad: BfBF T

o = mas f BfBT

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

801646.0194214.0012443.0194213.0820248.0043378.0

012400.0043388.0092948.0

6

2

LL

LLL

EILF

88

Obsérvese como los errores en los cálculos ha conducido a una matriz no simétrica.

Y para cada caso particular se procede en fo ilar a lo visto en el método de los desplazamientos.

étodo de los f

cortantes. L=10 E = 2x106 UNIDADES: m, Ton.I=II b=0.30

) f

le

ea nuestra estructura primaria de necesitarse tanto los momentos como las fuerzas axiales, para qisos

resentamos solo los resultados qisos = Bo Q

rma sim

Ejemplo 2 Resolvamos por el método de las fuerzas el ejemplo 3 ilustrado en el m

ormaciones por carga axial pero no las

desplazamientos, Pág. 69. Se toma en cuenta las de

H=1.00 1) Utilizaremos las mismas definiciones de los sistemas de coordenadas, a fin de obtener las mismas matrices. 2 3a) E

gir primaria Bo

S aquí habrán P

89

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

6/10003/23/103/13/2

0

06/100

03/23/103/13/2

f

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

EL

EIL

EIL

EIL

EIL

i

400

036

063

f

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

25.10125.0125.00000000075.01075.0075.000100001

oB

3b) Elegir redundantes B

Txxo BffBBBB

1−=

lo más

ra cada caso de carga se procede en forma idéntica.

OMPARACIÓN DE LA ELECCIÓN DE LAS REDUNDANTES, ejemplo 3

x Sea la misma primaria.

Se opera hasta formar:

3c) ( ) oTxx BB

−

4) BfBF To = simple:

Y pa C

e las redundantes por medio del guiente ejemplo. Vamos a determinar únicamente la matriz

Ampliemos la discusión del problema de la elección dsi ( )x

Tx BfB para diversos

pos de sistemas de redundantes, puesto que la inversión de esta matriz es la parte mas portante en el método de la fuerzas.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

−−−

=

==

1001125.02.0

0100

1 11X 2

xB

X

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

−−

−

=

2302.100802.00690.03665683.02738.07262.08660739.01459.00690.003664317.02738.0

01

B

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−−

= −

3471.01210.00113.00577.01210.01644.00123.00243.00113.00123.02867.01450.0

0577.00243.01450.05812.0

10 4F

⎥⎦⎢⎣ −− 075.02.0

−00

09.0

.0

⎢⎢⎣ −−−

011.00098.01894.00489.02817.01288.0

tiim

90

.0

Nota: la estructura es simétrica, pero si tomásemos en cuenta ésto se perdería la generalidad a que las simplificaciones están condicionadas a la naturaleza del sistema de cargas.

n

CASO 1

yEI= CONSTANTE Sistema q-d: Despreciamos las deformaciones por fuerza axial y cortante La matriz f es comú a todo sistema de redundantes:

Tomemos las redundantes En el centro elástico: Por estática determinamos Bx

e lo que interesa). Así:

( )

(Estamos poniendo en evidencia los momentos sobre los miembros qu es

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

−−−

−−

−−−

−

=240000000256

65

15.0415.0415.30

15.3015.04

15.0415.44

EIBfBB x

txx 13

⎥⎦⎢⎣ − 15.44

91

Esta form no solo porque está en el xtremo opuesto alejado del caso mal condicionado sino por la facilidad de operación, ya ue su inversa es el valor recíproco, igual que en la aritmética.

aso 2

a diagonal sería el tipo ideal de matriz a obtenerse, eq C tomemos las redundantes en el eje

e simetría: podemos obtener BfB por

⎦− 15.31

ilada s fácil

triz llena.

las redundantes sobre los entos (38) Pág.83. lo ideal seria que esa influencia fuese

d yy

transformación de coordenadas

t

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

===

000001

1 1 1

.

321

tC

yyy

La elección es menos exitosa, pero, asima una matriz de banda, todavía será made invertir que en el caso de una ma

iTi BfB Mide la influencia de

desplazamila menor posible. Caso 3 si elegimos la primaria de lasempotramiento es la peor elección para

Transform

redundantes con un nuestra estructura.

Tamos las redundantes a partir del primer caso zCx =

.

TC134 =−

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−==2484084424000256

65 EI

CBfBCBf tx

txy

ty

( )

B

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−==

2410896108616432

96432640

65

..

EICBfBCfBB

T

xTxz

Tz

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎣⎢⎡

−=

15.44010001

CT.

5.4CT12 +=

92

elección al tomar las reacciones en los apoyos, splazamientos, mientras que si se adoptan

s momentos en los apoyos esa influencia esta restringida a los tramos adyacentes diagonal.

Por esta posibilidad y por la mayor cantidad de operaciones que se requieren, consideramos que el método de los desplazamientos es más ventajoso.

normales al plano.

Tal como en una viga continua sería la peor puesto que cada reacción influye en todo los delo

xTx BfB Así pues la condición ideal seria obtener

Veamos el último ejemplo del método de las Fuerzas. Resolvamos una estructura del tipo “GRID”- antiplano-. Pues el caso de las armaduras está ya muy trillado. Se trata de estructuras planas con acciones ESTRUCTURAS PLANAS CON CARGAS NORMALES AL PLANO “GRID” Estas estructuras planas están sometidas a acciones

omentos, uno flector y otro torsor. No puede

ínculo de tercera especie, requiriendo tres números do.

al caso

ipergeomètricas. Pero en este caso (b)

normales a su plano. Las características de solicitación, consecuentemente, consiste en: Una solo fuerza de corte, normal al plano y dos mhaber carga axial por lo tanto, cada junta es un vpara sus desplazamientos como en el caso plano trataO sea, el grado de hipergeometría es idéntico plano, pues en cada junta hay tres incógnitashlas incógnitas hipergeomètricas son: características de solicitación Una componente de traslación y dos de rotación (en el caso plano era al revés)

Los vectores momentos se sitúan en ón a derechas. “El concepto de

lo que existe son los desplazamientos amente”

es igual. La separación que se está utilizando entre serie de

roblemas prácticos se analizan así. La separación es causada por la necesidad de ahorrar en vez de

Es obligado que las cargas estén situadas en el eje z.cualquier dirección en el plano (convenio del tirabuzmomento nace del de fuerza excéntrica “. En estudio “y deformaciones, como causa primaria exclusivPor lo demás, el método, matricialdiversos tipos de estructuras no es necesaria teóricamente. Los reticulados y unaptiempo y memoria en las computadoras, utilizando programas restrictivos generales. El numero de ecuaciones será comparable aquí a la estructura plana. Ejemplo 4 UNIDADES: TONS, CMS 1a) Q-D

93

ento vertical y dos les si las carg

el eje z.

nadas de los miembros consiste en momentos flectores (1245) y omentos torsores (3 y 6). ara este tipo de estructura ya hay que considerar lo trínsecas,

a

IN no lo permite. La rientación del eje local z coincide con el general Z

Fig. 72

I = II: GIx = 0.4Ey

(Este ejemplo esta en el texto de Weaver 1b) q-d por desplazamientos) El sistema de coordenadas generales o de la estructura está compuesto por un desplazamigiros, únicos desplazamientos posib as están únicamente en El sistema de coordemP s ejes de coordenadas inlocales o del miembro. En este caso se consideran como en la fig. 72 x segúnel eje. En INI se supone un vínculo que genertorsión, mientras que en Fo Definición de q-d 2) MATRIZ DE FLEXIBILIDAD En virtud de la hipótesis de carga, según el eje z, aquíPara definir la matriz de flexibilidad de los miembros deformaciones por corte, es preciso conocer el momento de inercia según los ejes y , I

o l

no puede haber nunca carga axial. , suponiendo que se desprecian las

y, así

es una propiedad geométrica de la torsión, infortunadamente llamada en los textos gleses como “constante torsional”, la cual si la sección es circular es el momento de

laborioso determinarla. (E26a)

las eformaciones debidas al corte: Vea Pág. 39-1

3) Generar matriz

com a rigidez torsional GIx Ixininercia polar. Para otras secciones es Suponemos en el ejemplo que GIx=0.4Iy, donde G es el módulo de elasticidad transversal. Suponiendo que se despreciand

94

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣

−=

x

yy

yy

i

GIL

EIL

EILf

00

036

⎥⎤

⎢⎡ − EI

LEI

L 063

carga-fuerza. De nuevo por partes: 3a) escoger primaria y generar Bo

los embros.

iagramas de cuerpo libre:

fuerza y generar la matriz

a primaria

⎥

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

000

000001010

10010

oB

Esta decisión permite que se apliquen las cargas en uno demi

qisos =Bo Q Bo por estática

D

3b) escoger sistema de redundante-redundantes-fuerza Bx de manera de facilitar la inversión.

⎥⎥

⎢⎢ 000

Elijamos la mism

95

3c) xTx BfB (matriz redundante-desplazami

en la estructura primaria). Inversión

ento

( ) oTxx

Txxo BfBBfBBBB

1−−=

(Operaciones matriciales en computador)

)

4 BfBF T

o =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

37.935125108.87374.19135108.8738624.273803.3374.19133803.332864.108

1

yEIF

CASO ÚNICO DE SOLICITACIONES

) P.P pedir desplazamientos en la dirección as coordenad + todas las solicitaciones

n el problema primario la junta no girará en ningún sentido ni se desplazará según el eje z (verticalmente). 2) fuerzas primarias qo. Momento de empotramiento, sólo. No hay Fuerzas aplicadas.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

−

=

06.08.05.128.06.0

08.06.000101010010

xB

⎥⎥⎥

⎥

⎦−−

−−

=

57632.6138949.0341303.071769.28371614.0122596.0

407801.0489686.013355.0433146.0

590390.0186967.063.38033142.0480639.0

B

⎥

⎥

⎤

⎢

⎡ −

0

200

1Imde l as E

⎥⎥

⎢⎢ 200

⎥⎢−

=5.312oq

⎥⎥

⎢⎢

5.312

⎥⎦⎢⎣ 0

⎥⎥

− 52669.21

⎥⎥16714.21⎤735

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

65496.72

⎢

96

3) Reacciones en la dirección de los desplazamientos restringidos. Por equilibrio

Eq. Junta junta = Qo.

2:

Ecuaciones de equilibrio:

argas primarias compleme

Fuerzas complementarias Fuerzas

on lo cual hemos completado el tratamiento general de los métodos de los

á en má esplazamientos. Notas Marín: (1) obsérves matrices se emplean solo para transformar vectores (2) falta cuantif ala condición de una matriz ||m|| METODOS DE LAS FUERZAS

C ntarias desplazamientos

Cdesplazamientos y de las fuerzas. En lo que sigue se entrar s detalle del método de los d

e que las icar la m

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

−=321050oQ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

321050

5.187Q⎥

⎤⎢⎡− 5.187

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−==

00.355075500.5094931.75985

1

yEIFQD

⎥⎤

⎢

⎣

⎡−

==

3.2922.12869.1208

5.1111

BQq

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡−

=

3.2927.15984.896

5.1311

qqq ot

⎥⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢−−

9.3035.92

⎥⎥

⎢⎢− 9.303

5.107

+=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

97

X primaria igual Y otra primaria Para primaria Q

CT estática

98

APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTO A ESTRUCTURAS CON MIEMBROS UNIDIMENSIONALES. Entendemos por miembro unidimensional el que tiene una directriz lineal. Para los efectos estáticos se puede suponer que las otras dimensiones carecen de importancia. Veamos con más detalle las propiedades que conviene destacar en los miembros: las matrices fuerza – deformación y deformación – fuerza. Trataremos primeramente: TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS a._ GENERAL. Resumiendo los conceptos ya vistos en ( pag 19 a 20) Si tenemos dos sistemas de coordenadas generalizadas independientes q-d y se

encuentra que

∗∗ − dq∗= qC q T (12)

en la cual, obtiene las fuerzas q producidas por las fuerzas . Y se demostró por

consiguiente, que

TC ∗q

d Cd =∗ (11) Tratándose de coordenadas generalizadas las inversas existen, luego, completando:

( ) qCq1T −∗ = ∗= d C d -1

(46) Equivalente a resolver dos sistemas de ecuaciones: incógnitas y d. ∗q Veamos casos particulares de evaluación de esas matrices de transformación. A fin de poder mecanizar el proceso, es necesario tener expresiones particulares. b._ CASO DE TRASLACIÓN DE EJES.

FIG. 73 Traslación

Sea un sistema de coordenadas XYZ ortogonales y que haya otro sistema con ejes paralelos al anterior situados a distancias x, y, z. Es decir el origen tiene por coordenadas ( x, y, z ). Encontremos las matrices de transformación de fuerzas y deformaciones

∗∗∗ ZYX

∗O

( o desplazamientos ).

99

Definiremos los sistemas q-d y en caso general de solicitaciones por medio de tres fuerzas y tres momentos.

∗∗ − dq

Los sentidos de los momentos coinciden con los de las fuerzas, según el tirabuzón a derechas. Definidos así se obtendría por estática y valdría a lo siguiente:

TC

Basta trasladar fuerzas unitarias∗ al origen O.

=TC La cual puede partirse según lo indicado, con lo que

condensadamente proviene de traslación. τ Las otras matrices se deducen de la ( 47 ):

100

c. ROTACIÓN DE EJES Definamos los cosenos directores del eje con los ejes X, Y, Z como ρ

*X11,ρ12,ρ13.

Los cosenos directores del eje con los ejes X, Y, Z por. ρ

∗Y21,ρ22,ρ33.

Cosenos directores de con x, y, z por

.

∗Z333231 , , ρρρ

Por la propiedad de normalidad se verifica: FIG. 74 Rotación. 12

132

122

11 =ρ+ρ+ρ ( 49 ) Expresa que la distancia ha de ser 1 12

3i2

2i2

1i =ρ+ρ+ρ

Por la ortogonalidad: 0 231322122111 =ρρ+ρρ+ρρ (Que por ser perpendicular el producto escalar ha de ser nulo ). ( 50 ) Vectorialmente:

kj i k

kj i j

kj i i

333231

232221

131211

ρ+ρ+ρ=

ρ+ρ+ρ=

ρ+ρ+ρ=

∗

∗

∗

03k

ji1k ik =ρρ∑

=

≠= ��

Llamemos la matriz de los cosenos directores: ρ

333231

232221

131211

ρρρρρρρρρ

=ρ ( 51 )

332313

322212

312111T

ρρρρρρρρρ

=ρ

101

Si multiplicamos por su transpuesta, en virtud de 49 y 50 se obtiene la matriz identidad.

ρ

I 1 0 0

0 1 0 0 0 1

T ==ρρ ( 52 )

Lo que quiere decir, entonces, que la transpuesta es igual a la inversa. Las matrices que lo cumplen se llaman matrices diagonales. ( 53 ) 1 =ρ− Tρ

Siendo , se determina por estática; o por geometría con . ∗= qCq T TC d Cd* = Resulta:

( 54 )

Por consiguiente pu( ) CC1T =

− T1 CC =−

d._ TRASLACIÓN + ROTACIÓN La necesidad de la transformación de coordenadas se presenta continuamente. En la programación, es un problema perenne. En efecto, cada miembro tendrá un sistema de coordenadas, pero la matriz de rigidez de la estructura habrá de referirse, necesariamente, a un sistema de coordenadas general. Las fórmulas vistas permiten hacer los cambios de coordenadas en forma automática. Usualmente, primero se considera la traslación de ejes y luego la rotación.

Veamos qué resultado se obtiene para la ( ) 1TC−

, por ejem

( ) qCq1T −∗ = por definición. Aplicando una traslación q t

Como arreglo diagonal de submatrices

es es la inversa.

FIG. 75

plo. ( 46 a)

( 48 b) q I 0 I

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡τ

=∗

102

Y si luego giramos los ejes, habrá que premultiplicar por ( 54 b ):

0 I

q I

0 I

0 0

q )yt(ρρτ

ρ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡τ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ

ρ=+

∗ ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρρ

ρ=

−

γ+T

1

t

T 0C ( 55 )

Análogamente:

*T q Cq =

0 C

TTT

TT

ρτρ

ρ= ; d Cd* =

0

Cρ+ρτ

ρτρ= ;

*1dCd −= 0

C

TTT

TTT1

ρ+τρ

τρρ=−

EXTENSIÓN DEL PROBLEMA DE LOS MIEMBROS a._ MATRICES k y f. Para la resolución del problema complementario se necesitan las dos matrices deformación-fuerza ( k ) y fuerza-deformación ( f ), que ya tratamos en la pág. 10. Definiendo m coordenadas q-d, la matriz f da las deformaciones en las direcciones de esas coordenadas debidas a fuerzas unitarias, f es de mxm, simétrica, definida positiva. De igual forma k es de mxm, f existe si las fuerzas son independientes. k existe si las deformaciones son independientes. Si las coordenadas son generalizadas existen ambas y

Usualmente, como hace STRESS (SOFTWARE), se .fk 1−= determina primero f y luego se invierte. b._ PROBLEMA PRIMARIO. FUERZAS DE FIJACIÓN O PRIMARIAS. Lo primero que hay que hacer al procesar el problema primario es obtener las fuerzas de fijación o empotramiento, para luego hallar las cargas primarias o de fijación en el caso de cargas fuera de las Q- D. Las fuerzas de fijación o empotramiento se definen como: “ los valores de las fuerzas necesarios para que el miembro bajo la acción de un sistema de solicitaciones tenga deformaciones nulas.” Estas deformaciones y fuerzas, claro está, en la dirección de las coordenadas.

103

Sea el sistema de coordenadas dibujado en la Fig. 75 a. Tengamos un sistema de acciones que incluyen cambio de temperatura. Bajo esas acciones se producirán las deformaciones

(b) Se deforma libremente.

[ .d d ddd T302010ob == ]

btendrá

kd

Las fuerzas de fijación han de ser tales que generen en esos puntos una deformaciones de signo opuesto , tal que sumando (b) + (c) se obtenga que las deformaciones según las coordenadas sean nulas d = 0, por definición: las fuerzas necesarias que han de aplicarse para que el miembro sujeto a un caso cualquiera de solicitaciones el vector deformaciones sea nulo.

oq

[ ] oT

302010c d- d- d- dd =−=

De acuerdo a esto las fuerzas primarias se opor:

( 56 ) ooq −=

FIG. 75 Y esta es la manera más útil de obtener las fuerzas de fijación o primarias, orientada al método de los desplazamientos en donde las matrices deformación-fuerza k ya habrán sido determinadas. c._ CAMBIO DE COORDENADAS EN LOS MIEMBROS Sean dos sistemas de coordenadas de los miembros q–d y . Ya hemos visto que

la matriz transforma en q, lo cual implica que y al mismo

tiempo que pág. 33Ec. (13).

** dq −TC ∗q ,qCq T ∗= Cdd =∗

TC f Cf =∗

Además, vimos que si ello implica que ∗= d Cd 1 y que q Cq T

1=∗1

T1 C kCK =∗

Indudablemente, si los dos sistemas son generalizados, entonces . 1

1 CC −= Pues bien, veamos dos ejemplos, el primero, sencillo, tratado en la forma general, y un segundo complicado por medio de las transformaciones acabadas de ver. Cuando el

104

miembro es muy complicado (cambios de curvatura en el espacio) es necesario mecanizar el proceso con ciertas condiciones restrictas que habrán de fijarse. Ejemplo 1. Sea parábola simétrica de 2°, momento de inercia reducido constante; un miembro plano. (simplemente porque es el miembro curvo más sencillo). Sus solicitaciones están en el plano. Sean los ejes ortogonales x,y,z y los . Los ejes z y son paralelos. El

está orientado según la tangente a la directriz y forma con el x el ángulo .

∗∗∗ z,y,x ∗z∗x

φ Para ese miembro vamos a definir un sistema de coordenadas 123, siendo 3 el momento en el eje z, en la dirección de los ejes x, y, z. Las características de solicitación de ese miembro serían las coordenadas . ∗q [ Conviene definir las solicitaciones a la derecha, según los ejes primeros; no por los ∗ ]

Entonces ∗

∗

∗

=

3

2

1

q

q

q

M V

N (a) Características de solicitación.

Así que los serían las características de solicitación en cualquier punto, mientras que los q serían los elementos del vector fuerza.

∗q

Busquemos la relación entre uno y otro vector. Por estática, lo usual es trasladar las fuerzas y luego girarlas. Tomando el segundo sistema (*) en un punto de coordenadas x, y se obtiene:

∗O

⎪⎭

⎪⎬

⎫

+=

φ+φ−=φ+φ=

(*)321

21

21

qxq-y qM

cos qsen qVsen qcos qN

o sea en forma matricial:

3

2

1

q q q

1x -y

0 cos sen - 0 sen cos

q M

V N

φφφφ

== ∗

equivalente a pág. 34 (99). Hemos hallado ( ) qCq1T −∗ = ( ) 1TC

− directamente

105

[ (*) signos momentos tal como por comodidad. ] (b) Matriz fuerza- deformación o matriz de flexibilidad del miembro. Generémosla para el sistema de coordenadas x, y, z. Despreciemos las deformaciones por carga axial y cortantes para simplificar.

fqd = Hallemos los diagramas de momentos y por trabajos virtuales los desplazamientos.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0 0 1

q columna1a

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0 1 0

q columna2a

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1 0 0

q columna3a

∫∫ φφ

== cosdx

cosEI

MMds

EIMM

fo

ji

S

jiij ∫=

L

0jiijo dx MMf EI

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA ( )2L

xL fx 4y −=

Integrando, resulta

1 2L-

32f

2L-

3L

3L f-

f32

3L f-

158f

EILf

2

2

o=

106

Supongamos que definimos otro sistema de coordenadas. Refirámoslo al anterior. Por estática determinaremos . Por geometría

determinaremos C

*TT qC q ,C =

Cdd* = *TqCq =

Primera columna: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0 0 1

q* 1q *1 = Y LOS OTROS CERO

Como , deben valer cero, hay equilibrio estático, están definidas las fuerzas hiperestáticas.

0qq 32 == ∗∗

Otra

1 1q *1 = 1q *

2 = q *3 =

1q 0 0 -1

2q L

1 L1 0

3q 1 0 0

columna2a columna3a

fuerza más práctica es expresar todo en fu

nción de ∗q , sin vínculos. Se obtienen así,

irectamente, las q en s las

es: to r los

dfunción de ∗q , puefuerzas han de ser igualLos momen s han de semismos en los dos sistemas coordenados:

107

∗

∗

=

3

*2

1

3

2

1

q

q

q

0 0 1

0 L1 L

1

1- 0 0

q q q

•==∗

15

8f 3f 3

f-

3f 3

1 61-

3f- 6

1- 31

EILC f Cf 2

o

T

ENERACIÓN DE LA MATRIZ FUERZA- DEFORMACIÓN POR INTEGRACIÓN. G

Otra alternativa para obtener la matriz fuerza – deformación, f, es investigar el aporte de

Consideremos un elemento de miembro ds. Consideremos una única fuerza y . Estamos,

Aplicando el principio de los trabajos virtuales, esa matriz elemental consiste en un solo

un elemento diferencial de miembro (ds) a la matriz f e integrar para obtenerla. ∗

1qhallemos cuál sería su matriz elemental fuerza- deformación, que llamaremos dpues, despreciando el cambio de longitud y las deformaciones en corte.

φ

elemento y vale:

EIds dd =φ 11 =φ ( 57 )

Por el método de las fuerzas, el aporte de ese elemento diferencial a la matriz fuerza-

deformación del miembro se obtiene al relacionar df con φd por la (31) pág 78. fBF T=

BdBdf T φ= .

B

uego ∫L = Bf φBdT ( 58 )

Puesto que se están aplicando los mismo conceptos vistos: el arco sería la estructura, ds

los miembros; f la matriz de flexibilidad; dφ la matriz fuerza-deformación del miembro. Para determinar la matriz carga- fuerza de la “ estructura” (miembro aquí; el arco),

del

Por tanto, se cumplirá por definición de B ( 59 )

consideremos para estos efectos las q como cargas externas y la fuerza ∗q como fuerzamiembro elemental.

q Bq =∗

108

Determinando B en nuestro : ( Momentos + según 3q ): q1 ejemplo =∗

Así que sustituyendo en (58):

[ ]1x - y Prácticamente, la expresión del momento flector.

1xy EIds

1 x- y

df −−=

perando:

O

1x -y x- xxy -

y xy - y

EIdsdf 2

2

= Y la matriz f la obtenemos integrando esa matriz.

con lo cual se llega al mismo resultado obtenido en 36 a°.

“ La integral de una matriz es la integral de cada uno de los elementos”

1 2L- f

32

2L-

3L

3fL-

f32

3fL-

158f

EILf

2

2

o=

) La generación de la matriz deformación- fuerza, k c , usualmente se hace invirtiendo:

9 L6

2f15-

L6

L12 0

2f15- 0

4f45

LEI

fk 2

2

o1 == −

109

Hagamos un cambio de coordenadas para expresar k en

enerando por estática

el sistema ∗∗ − dq qCq T1=∗ ( 46 a), lo cual implica que

TkCCk =∗11

G T1C

C

1q 1q 1q 321 ===

k∗

lotra ex

0 0 1- 1- L 0

1 0 0 T

1 =

Diagramas del cuerpo libre.

4f

45 2f15- 2f

15 2f

15- 9 3-

2f15 3- 9

LEI

kCC

2

o1

T1

+

== Resultado ya conocido.

puede hallarse por geometría, . Pero para no complicar innecesariamente s efectos

AB se desplaza a . Las deformaciones en el sistema * desde la cuerda, como si

1C ∗= d Cd 1s dibujos vamos a considerar para esto un arco muy rebajado, una recta, bajaremos con la cuerda.

B A ′′istiese rodillos.

110

El sistema en volado es como empotramiento en B′ . Hemos de referir las deformaciones a la tangente en el empotramiento. = desplazamiento “vertical” según tangente en B

1d 2d′ y ángulo entre tangentes en 3d By A ′′ .

Se tiene, directamente expresando por geometría a d en función de las ∗d :

∗−= 31 dd ( - pues se mide en sentido opuesto) y al revés: 1d∗= 22 d Ld

∗∗ −= 213 ddd

23231 dL1d ddd +=+= ∗∗

Ldd 22 =∗

13 dd −=∗

∗

∗

∗

=

3

2

1

3

2

1

d

d

d

0 1- 1

0 L 0 1- 0 0

ddd

3

2

1

ddd

0 0 1-

0 L1 0

1 L1 0

d =∗

C 1C

111

Recordemos que la forma matricial es únicamente una notación. d) Fuerzas de fijación o empotramiento. Veamos un ejemplo en el mismo miembro, con el sistema de coordenadas en volado:

PL

Apliquemos la superposición, el problema

104, en el miembro empotrado. Es un probprimaria redundantes. Las redundantes han d

, así que . Como conocemostrabajos virtuales.

od− okdq −=

Claro que en existen otras fuerzas que no i

POR TRABAJOS VIRTUALES. od

Para , convenio de momentos

deformaciones por fuerza axial y corte, las fuerzas estas simplificaciones.

( )2L-x PMo =

∫ ∫==L

0io

o

ioio dxMM

EI1ds

EIMM

q donde

2

resultante debe dar d=0 y , pág. lema hiperestático = primaria cargada + e ser tales que sus desplazamientos sean

k, se determinará al obtener , por

oqq =

oq od

nteresan en nuestra definición

. Como despreciamos las

de empotramiento deben concordar con

).105pág(1=M

x=My=M

321

112

Así:

o

2o

3o

2

o

EI8PL

EI48L 5P-

EI16L P f

d = y las fuerzas de fijación:

32L P-

2P

64f

L P 15

d kq oo =−=

Cambio de coordenadas Hallemos . Si aplicamos , la definición de transformación, (46)pag 99 nos lleva a

∗oq o

T1o qCq =∗

un error:

64fL P 15

32PL

2PL

32L P-

32L P- 2

P 64f

L P 15

0 0 1 1- L 0 1 0 0

qo +==∗

ya que . Para aplicarla hay que ir a la definición de . ∗∗ −= 2010 q q ∗

oq Por superposición:

113

Con lo hecho sólo se cambió las coordenadas de las redundantes y faltó añadir el valor de las fuerzas en el caso , - no se cambió esta estructura-. ( Es el caso igual a primarias de cargas iguales con primarias de redundantes diferentes). Es preciso tener cuidado.

64fL 15P-

32PL

32PL-

q =∗

SISTEMATIZACIÓN A MIEMBROS DE GEOMETRÍA COMPLICADA.

FIG. 77

El tratamiento general visto vamos a particularizarlo a casos de miembros más complicados. Sean solicitaciones tridimensionales. Conviene considerar un elemento ds con sistema coordenado ∗x sobre la tangente según las normales, x sobre tangente directriz.

∗∗zy

114

Suponemos que el centro de corte coincide con el baricentro de la sección, sinó se añadirá un momento torsor adicional.

FIG. 78 Hallemos la matriz fuerza-deformación elemental, considerando el elemento ds empotrado a la derecha, siendo la sección, en general, no rectangular. Necesitamos: A= área que resiste esfuerzos normales, distribuyendo la fuerza axial.

Ay = vyC

A = área en que se considera están uniformemente distribuidos los esfuerzos.

cortantes = área sobre constante de corte según eje y.

Az = vzC

A = idem. Puede ser diferente sobre el otro eje.

=xI propiedad geométrica de la torsión. momentos de inercia. zy I ,I

Los ejes coinciden con el baricentro de la sección y éste con el centro de corte. Entonces, haciendo , etc y otros cero: 1q1 =∗ 1qi =∗

Si sólo fuerza axial. 1q1 = corte, sólo corte: 1q2 = Aplicando los trabajos virtuales, todos los demás términos son nulos: es: φd

115

1q1 =∗ 1q2 =∗ 1q3 =∗ 1q4 =∗ 1q5 =∗ 1q6 =∗ ∗

1d EAds

∗2d

GAyds

∗3d ds =φd ( 60 )

Halen elos

=V

C−

era

df com

GAz∗

4d GIx

ds

∗5d

EIyds

∗6d

EIzds

Para esta definición

Hemos de hallar la matriz de flexibilidad del miembro. por ( 58 ).

lamos la matriz carga fuerza por ( 59 ): tomando q como cargas externas l miembro, siendo coordenadas generalizadas, se puede obtener trasladando y girando ejes, pág. 103 ( 55 ).

B dBdf T φ=

q Bq =∗

( ) ( )ρρτ

ρ==

−−− 0CC

1TT1 ( 61 )

1 supone dos sistemas generalizados como ocurre aquí. En el ejemplo de la pág. 105, B un vector. Siguiendo el mismo razonamiento de esa página.

( )T1-1 C d C φ= − luego ( )T1-1 C dCf ∫ φ= −

( 62 )

Integrando o sustituyendo por sumatorias, trapecios o Simpson para miembros muy plicados.

Insistimos en que la definición es la del volado y no otra.

116

Ejemplo Sea un miembro como el que se dibuja: Directriz recta. Los cosenos directores son 1 si ji ≠ ; los otros 0.

1 0 0 0 1 0 0 0 1

=ρ 0x - 0

x0 0 0 0 0

=τ

pues particularizamos z =0 y =0. La directriz es recta. Así

Se obtiene

EAds • • • • •

• Iz Edsx

Ay Gds 2

+• • •

Iz Exds−

• • Iy Edsx

Az Gds 2

+•

Iy Exds •

• • • IxG

ds • •

• • Iy E

xds • Iy E

ds •

• Iz E

xds− • • • Iz E

ds

df =

( 63 )

df =

Que para el caso particular de un miembro recto de sección constante resulta:

117

EAL • • • • •

• Iz E3

LAy GL 3

+• • •

Iz E2L2

−

• • Iy E3

LAz GL 3

+• • •

• • • IxG

L • •

• • Iy E2

L2

• Iy E

L •

• Iz E2

L2−

• • • Iz E

L

f =

( 64 ) k se obtiene por inversión por partición. Se invierte la matriz dividida en 4 matrices de 3x3 puesto que dos de ellas son diagonales. De ahí se pueden obtener los casos particulares de armaduras, etc. NOTA:

Con la definición , para planos es más cómodo, pues las constantes están tabuladas. MATRIZ k, DEFORMACIÓN- FUERZA DE LOS MUROS DE CORTE. Referencia. III Sipmposio Panamericano de Estructuras. Caracas junio 1967. Sea que los miembros verticales de un pórtico tienen dimensiones muy grandes respecto a los horizontales. Esos muros no pueden asimilarse a las columnas ordinarias. Hallemos cuánto vale la matriz deformación-fuerza k, de un pórtico formado por dos muros verticales y una viga. Con esta simplificación no se pierde la generalidad. Hallada k, lo demás es idéntico al proceso al proceso general visto.

FIG. 79 Muros de corte

Estos miembros se denominan muros de corte porque absorben casi toda la fuerza horizontal.

118

Sea la distancia de directriz a directriz ( ejes que pasan por los baricentros ) de los muros L. El espesor del izquierdo se expresará como L ( . El del derecho . Llamemos a y b las intersecciones de las directrices de los muros con la viga, supuesta de eje recto. Sean A y B las uniones de la viga con los muros. La luz libre de la viga se expresa análogamente en función de L, como mL.

))

aa +′( bbL ′+

Dibujemos exageradamente la deformada, suponiendo que las secciones de los muros permanecen planas. FIG. 80 Es claro que ésta hipótesis puede ser de capital importancia. Si se desea estudiar el complejo estado elástico hay que recurrir a elementos finitos. Admitida la discutible hipótesis, entonces la deformada es b B A a ′′′′ . Como giran lo mismo, y . Aa θ=θ bB θ=θ Los desplazamientos horizontales deben ser iguales: ;

. aA uu =

bB uu = Los desplazamientos verticales son:

bL*v aL*v BbBAaA θ−θ=θ+θ= Definamos dos sistemas de coordenadas de los miembros AB y ab como en la Fig. 81, generalizados. Llamemos al de ab : . ∗∗ − dq Por transformación de coordenadas podemos obtener la matriz del miembro que nos interesa, ya que la k del miembro parcial AB la conocemos.

∗k

FIG. 81 De ( 14 ) pág. 33 donde está definida por . 1

T1

* C kCK = T1C q Cq T

1=∗

Así que obteniendo por geometría, , y transponiéndola: 1C ∗= d Cd 1

119

1 0 0

0 mb1

mb

0 ma

ma1

C T1 +

+

=

columna1a

C

CN

Res

don

1d1 =∗ 1d2 =∗ 1d3 =∗

1dma1+

mb

0

2dma

mb1+

0

3d 0 0 1

=1C

columna2a

o

=

ul

∗k

de

Simetría.

mo

N

B

Ao

C 0 0 0 C C 0 C C

mLEI

k = Apéndice 1

) mL es luzsu ( dEr

11

0

2o ∫ β

ta operando

∗

∗∗

∗∗

=

N

B

Ao

C 0 0

0 C C

0 C C

L

EI

:

.

120

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= 1

ma1

CC2

CC1

ma2

ma

mCC

AA

BA*A

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= 1

mb1

CC2

CC1

mb2

mb

mCC

BB

AB*B ( 65 )

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += 1

CC

1 mb1

ma

CC

1 ma1

mb

mCC BA*

mC

C NN =∗

Y puede demostrarse que el comportamiento elástico de la viga es similar a otra con cartelas de área infinita. EFECTO NO LINEAL DE LA FUERZA AXIAL EN LA MATRIZ FUERZA-DEFORMACIÓN DE MIEMBROS RECTOS. El problema de tomar en cuenta el efecto no lineal de la fuerza axial se resuelve por aproximaciones sucesivas utilizando el método lineal. En la teoría de estructuras elásticas existen muchas influencias no lineales. Veamos una sola de ellas. Sea una viga horizontal con cualquier clase de apoyos, sujeta a cargas transversales y a carga axial. La viga se deforma. Si la carga axial, P, es pequeña, la elástica dependerá de las fuerzas transversales F exclusivamente. Pero para ciertos niveles de carga axial, ésta tiene un efecto importante que a veces puede ser más importante que el de las cargas transversales. Veamos a continuación cómo se toma en cuenta ese efecto de la carga axial en miembros de eje recto de sección constante, lo cual es un caso muy particular. Para miembros de sección, variable, el problema es más complicado. Se aborda por procedimientos numéricos ( Newmark ) siguiendo el mismo camino que el de los miembros de sección constante. Es claro que para ciertos valores de la carga axial P, ocurrirán deformaciones tan grandes que se pueda salir de sus límites elásticos y ya no se podrá tratar con la teoría de las deformaciones pequeñas.

FIG. 82

121

Sea un pórtico elemental con cargas axiales y una carga transversal asimétrica, de manera que exista desplazamientos de las juntas. Nótese que si la carga axial produce deformaciones considerables, el equilibrio de la columna ha de considerar el desplazamiento horizontal . En un problema ordinario la geometría que se considera al establecer las condiciones de equilibrio es la geometría inicial; la longitud L. En ese caso la fuerza axial no producirá momento.En este otro, interviene el momento producido por la fuerza axial.

Au

Cuando se considera que la geometría cambia, automáticamente el problema deja de ser lineal, puesto que las deformaciones son funciones de P y el equilibrio de la deformada, es decir, función de P.

FIG. 83

Volvamos a nuestra viga. Si consideramos el caso ideal que la viga tiene un módulo de elasticidad muy alto y que su resistencia también es alta ( no falla por material ), cargada axial perfectamente, la viga se deforma y las deformaciones son lo bastante grandes para que la elástica no se pueda encontrar con la ecuación corriente de las deformaciones pequeñas EI

My =′′ , puesto que daría resultados de deformaciones infinitas. Esa

ecuación está basada en deformaciones pequeñas y ese es su límite de aplicación. Entonces

hay que trabajar con la expresión completa de la curvatura ( )M

EIy

y1 2312

=′′+ , dentro

de la hipótesis de Navier. Si se hace un gráfico de P (δ), para valores de la carga axial menores que un cierto valor , la flecha es nula, ese es el valor de la carga crítica o carga de pandeo. Para valores mayores, tomando ecuenta las deformaciones grandes se obtienen mayores deformaciones, pero no un resultado infinito.

1P

n

FIG. 84

122

Sean las condiciones ideales, teniendo la viga EI constante. Hallemos las matrices fuerza-deformación y deformación- fuerza tomando en cuenta el efecto no lineal de las fuerzas axiales. d = fq q = kd Como para una carga en tracción no ocurre el fenómeno expuesto; puesto que disminuyen los desplazamientos, los resultados serán diferentes según el signo de . Adoptemos la definición q-d de la Fig. 85.

3q

La ecuación diferencial de la elástica será FIG. 85

yEIyqLxq

Lx1qM 321 ′′=++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= ( 66 )

El momento es la suma de los momentos de las cargas transversales más el de la carga axial. Se observa que el efecto no lineal proviene de .Estamos considerando la configuración deformada y si las deformaciones son pequeñas el momento ha de ser igual a EI .

3q

y ′′

Queda: Lxq

Lx1qyqyEI 213 +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=−′′ ( 66 a )

cuya solución será diferente dependiendo del signo de 3q . CASO 1. COMPRESIÓN. 0q Pq 33 <−=

Lxq

Lx1qPyyEI 21 +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=+′′ ( 67 )

El principio de superposición no es válido porque la ecuación no es lineal. Esto quiere decir que la elástica actuando las tres cargas no es la suma de la elástica cuando actúa sola; más la elástica cuando actúa sola; más la correspondiente actuando únicamente.

1q

2q 3q

123

Ahora bien, si consideramos que P no es una incógnita, que fuese conocida, entonces la ecuación diferencial es lineal en y, y, por consiguiente, para las deformaciones se puede considerar el problema propuesto como la suma de otros dos

Siendo las P idénticas en ambos casos, puesto entonces la ecuación es lineal en y. Así, para las deformaciones, la solución se obtendrá como la suma de las soluciones de ambos problemas. Para los esfuerzos esto no sería válido. Como toda ecuación diferencial, su solución se puede escribir como la solución general de la ecuación homogénea más una solución particular. Esta, como se vé, no es sino el segundo miembro dividido por P.

Definamos EI

PLu2

= ( 68 ) PeP

2EI4PL

2u 2 Π

==γ 22

LEIPe Π=

Entonces la solución homogénea equivale a la ecuación del movimiento armónico con frecuencia circular u.

0yEIPy =+′′

Lx

Pq

Lx1

Pq

LuxBsen

LuxcosAy 21 +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+=

De las condiciones de contorno se despeja A y B:

( )PqA00y 1−== ( )

⎭⎬⎫=++= 0

PqBsenuucosALy 2

PqA 1= ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

Pucosq

Pq

senu1B 12

Hallemos cuánto valen los ángulos y : 1d 2d

( )EILq

usen uuu senq

usen uu cosuu sen0yd 22121 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−

=′=

124

( )EILq

usen uu cos uu senq

usen uuu senLyd 22122 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−

=′=

Por consiguiente podemos hallar la matriz f, d = fq

333231

232221

131211

f f f f f f

f f f f =

EIL

u tg1

u1

u1 ⎛

f 11 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−=EIL

u1

u sen1

u1ff 2112 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−== 0ffff 32233113 ====

1122 ff =EA

Lf ( 69 ) 33 =

Como siempre, matriz simétrica. Se insiste en que no cumpliéndose la superposición, no es posible hallar la columna de esa matriz haciendo 1qi = y los otros q cero. Veamos que u es función de P. Para P = 0, los términos han de dar los valores que ya conocemos. Si P = 0 3

1f11 = . 61f12 = .

Puede observarse que la estructura numérica, para u pequeño, conduce a una pérdida de precisión. Para u = 0 es indeterminada y habrá de calcularse desarrollando en serie. depende del acortamiento, que no lo hemos hallado. Para deformaciones pequeñas es

33f

EAL .

Además, al ser el problema no lineal, ni siquiera es válido utilizar la notación matricial. Tenemos y P. Cuando vamos a utilizar esa matriz, está metido de cierto modo en f. Hemos hallado f cuando

321 q q q 3q.Pq3 −=

En los problemas no va a ocurrir que conozcamos la fuerza axial, pero utilizando el método de suponer podemos emplear el cálculo lineal visto y luego podremos calcular el valor de el no coincide con el supuesto iteraremos hasta que la diferencia entre lo obtenido calculando y lo supuesto sea menor que un cierto error. Si las cargas axiales son pequeñas el problema converge rápidamente. Comenzar con valores nulos es iniciarse con el problema ordinario. Este proceso de iteración por aproximaciones sucesivas es un

3q

3q

125

método usual de la programación inisecuencial. En Estructuras se emplea en las armaduras para obtener las deformaciones secundarias: Se comienza con las juntas articuladas y se obtienen las fuerzas axiales. Luego, se analizará con las juntas rígidas.

La ecuación del momento flector es: sustituyendo y:

u senLuxsen

qu tgLuxsen

LuxcosqM 21 +

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−= es curvo, obvio. ( 70 )

La matriz deformación-fuerza, k, se obtiene al invertir f:

( ) ( ) EI1 -2 cosec 2 EI2cot 21 γγγγγ−γ

c

( 71 )

LEAK 0K KK

0K L

* - tg

K L - tg

K

33231122

131211

===

=γγ

=γγ

=

Los momentos de empotramiento tomando en cuenta la carga axial también han de onocerse, pues van a tener que utilizarse al considerar el problema primario.

A continuación se dan los dos más comunes:

( 72 )

( )usen u -u 2cos-2 u Duu cosu -usen u sen u sen -u cos uN

=α+ββ+α+β=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

γ−

γ

ω=

tg 1

4L q 2

2)0(

1

126

CASO 2. TRACCIÓN Pq 0q 33 +=> Este es un caso menos estudiado, es un efecto menos importante pues es conservador.

Lxq

Lx 1-qPy -y EI 21 +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=′′

Sólo cambia la solución de la homogénea. Se obtienen funciones hiperbólicas en vez de trigonométricas.

Lx

Pq

Lx - 1

Pq

LuxSh

LuxCh Ay 21 +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−β+=

Las fórmulas son las mismas que en el caso de compresión, pero sustituyendo las funciones trigonométricas por las correspondientes hiperbólicas, excepto las siguientes: MATRIZ f: (73)

OMENTOS DE EMPOTRAMIENTO

M

ARGA CONCENTRADA: C ( )uSh u uCh 2-2 uD += ( 74 )

CARGA DISTRIBUIDA:

Recordemos que EIL Pu

2= y

2u

=γ . Si ePP = ( Euler ), u = .

Si se elabora un gráfico de cómo varían esas funciones se obtiene lo siguiente. Abscisas

Π

a la derecha compresión.

127

1211 Ky K tienen una asíntota vertical comú

Se observa que para carga axial

Para valores pequeños del argumento es preciso desarrollar en serie. Se obtiene que r

Para el caso 1, Lamar ha encontrado:

33 −=< Compresión:

FIG. 86 Variación de .K y K 1211

n. de tracción 12K disminuye. cancelan muchos términos pues hay infinitésimos de quinto orden. La precisión ha de semuy grande.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −γ−γ−= ............

157511

1521

LEI4k 42

11 q .Pq 0 ( 75 )

..........52511

1021

kk 4

2

11

12 +γ+γ

+=

Para 11

12k

k ,0=γ , que es el factor de transporte vale 21 .

Ejemplo. Sea la estructura que se dibuja.

tos Es preciso utilizar valores absolude L

EI pues el problema no es lineal.

Despreciamos los cambios de longitudes de los miembros.

128

NOTA: Es preferible decir “ se desprecian los cambios de longitudes de los miembros”, pues tomar en cuenta el efecto de la carga axial a veces suele interpretarse como que se toma el efecto del cambio de longitud. Así, aquí, ilustraremos el efecto no lineal, despreciando el cambio de longitud.

1) Definiciones:

γ

k

Aquí no se puede colocar la fuerza

axial. Equivale a rigidez axial ∞=L

EA

Hay dos grados de libertad: dos rotaciones sin desplazamientos de las

2) Suponer fuerzas axiales en los miembros: Puesto que vamos a utilizar las aproximaciones sucesivas. Si la estructura es estable es convergente. Sólo será

divergente si la estructura es inestable para esas cargas.

) (c ton 40

2NN CDBC ===

5x80N ) (c ton.100N CEAB ==

ma a . n l Se está suponiendo que las vigas to reacción de empotramiento en B

3) Cálculo de los parámetros.

I E4PL2

= ( )

15.0

0 2795,010 x 8 x 4

5 0100000

CDBC

CE6

2

AB

=γ=γ

=γ==γ

4) Cálculo de las matrices k: Fórmulas (71). A partir de ahora puede omitirse los valores absolutos, ahora como inicial.

5EI

2.01446 3.9580

3.9580 2.0146 AB =6EI

3.9880 2.0020 2.0020 3.9880

kk CDBC ==

129

5EI

4 2 2 4

kCE =

Obsérvese el cambio de los elementos respecto el caso ordinario 4224

5) y se procede en forma usual: A, K , 1K − , B ; pág. 76.

6) P. Primario ( o estado D = 0 ). Han de encontrarse las fuerzas de empotramiento y luego las de fijación.

* ton.-m 754.16q )0(

1 =

ton-m 754.16q )0(2 −=

0q )0(

83 =−

0 16.754

=Q

Sin tomar en cuenta efecto carga axial.resultaría 16.667. *

q =

Las 100 tons se han tomado en cuenta en el p.p. Las otras cargas axiales no producen momentos si las deformaciones son pequeñas. 7) Solución del complementario. q = BQ

0.748- 1.496- 0.623- 1.242- 2.739 7.308 7.307-

21.563

q

0.748- 1.496- 0.623- 1.242- 2.739

7.308 9.447 4.809

t =

130

8) Determinación de las fuerzas axiales.

) c ( t 63.17N) c ( t 15.17N

T) ( t 2.00 N) c ( t 67.101N

CD

BC

CE

AB

====

Un nuevo ciclo requeriría recalcular y encontrar las matrices k antes de entrar en el procedimiento general. Cuando existe inestabilidad estructural no habrá solución por entrontrarse una matriz singular.

γ

Si despreciamos el efecto de la carga axial. 0

16.667 Q =

Y el resultado del complementario sería:

0.736- 1.473- 0.614- 1.227- 2.700 7.240 9.426

4.713

Una de las aplicaciones de este procedimiento sería el obtener la carga crítica que conduce a la inestabilidad estructural.

131

Un modo de abordar este problema sería colocar sobre el miembro AB una carga cualquiera, elegida de cierto modo que se denomina carga perturbadora, digamos .mton 1 Y se comenzaría a iterar por aproximaciones sucesivas, tanteando con P = 20, 30 tons, hasta que para cierto valor de P se obtendría una matriz singular que representaría la bifurcación del equilibrio. No obstante este proceso es mucho más largo que cuando se ataca por autovalores. El procedimiento consiste en obtener el primer autovalor no nulo de la matriz de rigidez K:

. Nuestro problema querría decir que pueden existir desplazamientos D con una carga Q nula. Es más sencillo pues, transformar el problema en uno de autovalores, siendo la perturbación proporcional al desplazamiento

KDQ =

DQ λ= , donde λ es un autovalor de la matriz de rigidez. Se demuestra que la estabilidad conduce a autovalores positivos y que en la primera carga crítica, o bifurcación del equilibrio, el autovalor menor es nulo y los otros positivos. Los autovalores se obtienen por iteración. Al utilizar la matriz de rigidez es fácil de obtener el de mayor valor absoluto. Por consiguiente, se obtiene el de mayor valor absoluto y luego se cambia la matriz de rigidez para obtener los otros, resultando que se ha de resolver dos problemas de autovalores ( ( Véase CE471 U. of I ) ). ANÁLISIS CON MATRICES REDUCIDAS. Veamos ahora como se puede atacar la solución de nuestro problema de análisis cuando se conoce que algunas coordenadas son nulas. Este es el caso cuando hay cargas nulas en la dirección de algunas coordenadas generalizadas. Este es le caso usual de estructuras sometidas a cargas horizontales exclusivamente.

FIG. 87

Si suponemos que despreciamos las deformaciones por carga axial el sistema Q-D completo sería el que aparece en la Fig. 87. Puede suceder que un caso particular de solicitaciones sea el de carga exclusivamente horizontales, como símil estático del viento o sismo. Por tanto existirían únicamente cuatro cargas horizontales y las demás serían nulas. Este sistema, , sería el elegido como coordenadas. ∗∗ − DQ Ahora bien, es obvio que con el sistema , reducido, no podemos obtener el análisis de la estructura en la forma usual vista, puesto que no describe completamente los desplazamientos.

∗∗ − DQ

132

Hemos de encontrar una matriz de rigidez tal que transforme los desplazamientos en esas cargas, y de la misma forma una matriz de flexibilidad tales que: ( 76 ) ∗∗∗ = KQ D Q F ∗ =D ∗∗ Estas dos matrices relacionan o transforman parte del vector desplazamiento generalizado, tomando en cuenta únicamente aquellas componentes de los desplazamientos en la dirección de las cargas que no son nulas. Claro está, ∗K sería, en nuestro caso de 4 x 4, mientras que la matriz de rigidez completa sería de 16 x 16. Estas matrices, pues, se denominan reducidas. Es decir ∗K se llama matriz de rigidez reducida. Cuando esas matrices representan desplazamientos laterales, usualmente se denominan matriz ( de flexibilidad/rigidez ) reducida lateral de ese pórtico, muy utilizadas en el análisis dinámico. Véase pág. 160. Conviene destacar que este procedimiento se justifica cuando se desea resolver un problema en que se conoce las cargas nulas, y/o cuando utilizando los computadores existen inconvenientes de memoria directa o indirecta. El trabajar con matrices reducidas puede ser determinante para que pueda o no resolverse una estructura en los computadores pequeños. Esa es su principal ventaja. El trabajar con matrices reducidas es más laborioso que el método general. Si no existen complicaciones de memoria, la forma más sencilla y más rápida es utilizar las completas. Veamos la solución: Introduzcamos las siguientes definiciones; sean: los desplazamientos ( asociados con ) en las direcciones en las cuales las solicitaciones no son nulas.

∗D

los desplazamientos asociados con las solicitaciones nulas. oD Por lo tanto, el vector desplazamientos ha sido subdividido en dos subvectores.

o

.........

D

D D ( 77 )

∗

= Lo cual implica una partición similar en el

vector carga total.

133

0

Q Q ........

∗

= ( 78 )

La relación que existe entre desplazamientos y cargas es Q = KD. Así que con la subdivisión anterior podemos escribir:

Lo cual conduce a dos sistemas de ecuaciones:

⎪⎭

⎪⎬⎫

+=

+=∗

∗∗

o2221

o1211

D KD K 0

D KD KQ) b 79 ()a79(

De ( 79 b ) se obtienen los desplazamientos asociados con las cargas nulas:

∗−−= D K KD 211

22o ( 80 ) sustituyendo en ( 79 a ):

( ) ∗−∗ −= D K K KK Q 21

1221211 ( 81 )

Luego el paréntesis tiene el significado de una matriz de rigidez reducida: K ( 82 ) 21

12212 K K K −−11K∗ = 1KF −∗∗ =

La matriz de flexibilidad reducida se obtendrá por inversión de ∗K , pues existe, ya que se está utilizando sistemas Q-D completos generalizados. Obtengamos la matriz carga-fuerza, defendiéndola como reducida, debe de transformar las cargas en fuerzas q. Obsérvese que no ha mencionado ninguna restricción para la definición de las fuerzas.

∗Q

Por definición, q = kd y d = AD. La matriz Desplazamiento-deformación, A, puede partirse con el mismo criterio visto: una partición por columnas asociando los coeficientes de influencia de los desplazamientos según las cargas no nulas, , y los desplazamientos según las cargas nulas, :

∗DoD

( 83 )

134

Así: Y reemplazando el valor antes encontrado ( 80 ): oD

( ) ∗−∗ −= DkkAAkq 211

22o pero ( ver pág 133) ∗∗∗ = QFD

Que transforma las cargas no nulas en fuerzas. Todo lo anterior plantea el problema de que habría que hallarse la matriz de rigidez de toda la estructura para luego elegir las submatrices etc. Es claro que sería más conveniente obtener el proceso de síntesis directamente.

1112 K ,K

El proceso de síntesis se basa en obtener K a partir de k por la relación A k AK t= ( 27 ) pág. 50. Será más conveniente obtener el proceso de síntesis en base de la partición elegida.

( 85 ) Por consiguiente, sustituyendo los valores de así obtenidos en ( 82 ): ijK

∗−

∗⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= Ak A Ak A Ak AA k AK

to1

otoot*t**

( 86 ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ − ∗−∗ Ak A Ak AAA k ot1ootot*=∗ AK

Donde la llave conviene evaluarla primero porque es parte de B. sustituyendo en (84): ijK

( 87 ) ( ) ∗∗−∗∗

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= F Ak A Ak AAAk B ot1ooto

Así, vemos que la secuencia es: k, . ∗∗∗ B;F,K;A,A *o

Estas últimas expresiones son ventajosas cuando no se desea generar la matriz de rigidez completa y operar con ella.

135

Es obvio que este proceso es operacionalmente mucho más complicado; justificable cuando se aplica en computadores con limitación de memoria o cuando calculando a mano no se quiere invertir matrices muy grandes. No hay que olvidar que cada caso particular de cargas ha de coincidir con las limitaciones impuestas por las definiciones de cargas nulas. Para cada caso de cargas que satisfagan la partición hecha, los desplazamientos

y luego . Si interesan también los desplazamientos en la dirección de las cargas nulas se hallarían por la ( 80 )

∗∗∗ = Q FD ∗= Q Bq *

∗−−= D K KD 21

122

o una vez obtenidos los . Sustituyendo las ( 85 ): *D

( 88 ) ( ) ∗∗−−= D A k AAk A D ot1ooto

con lo cual tenemos la información completa sobre los desplazamientos, es decir, el vector D. En muchas oportunidades se requieren las deformaciones. Estas se obtendría con la matriz A completa: d = A D Ejemplo.

29

mK 10 x 2E = Primer número; Espesor perpendicular al plano e

12 x 3(3) x 3

LIK

3

r

rT == valores relativos

m-K 10 * 5,4EK 5r =

Despreciamos cambio de longitud y deformaciones por corte.

136

1) Definición de Q-D y ∗∗ − DQ

2) Elegimos sabiendo que sólo existen cargas horizontales. Esta es la única modificación del método general visto.

∗∗ − DQ

Las definiciones q-d, como siempre. La numeración está elegida primero las vigas, luego, las columnas.

3) Matriz Desplazamiento-deformación, A. Se generará partida.

En la forma usual ( 3 a ) : ∗A

VER EL TOTAL Q-D, Método Usual.

( Basta ver tirabuzón )

columna2a columna1a

D2

1= y los otros = 0

137

31 3

1-

31 3

1- 3

1 31-

31 3

1-

0 41

0 41

0 41

0 41

0 0 0 0 0 0 0 0

A =∗

3 b) Desplazamientos en dirección cargas nulas deformaciones. En la forma usual.

oA →

4) k. ( 12 x 12 )

138

5) : Proceso de síntesis. Generar ∗K :

5 a ) oot

22 A kAK = 5 b ) Inversión de . Es el proceso más laborioso. Es preferible invertir por 22Kpartición, 3 de 2x 2. porque es simétrica. Véase Apéndice 4. 22K

5 c ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ − ∗−∗ Ak A Ak A AA k oT1ooTo

5 d ) { }t** AK =29820.239800.239800.23.56766

EKr −−

=

6 ) 46076.198295.098295.094204.0

EK1KF

r

1* == −∗

7 ) { } ∗∗ = FB

139

0.77553 0.02584 0.72452 0.02586- 0.77553 0.02586 0.72452 0.02586- 0.96478 0.98012 1.03531 1.01995 0.96478 0.98012 1.03531 1.01995 0.77553- 0.02581- 0.77553- 0.02581- 1.69216- 0.95417-

1.69216- 0.95417-

B* =

CASO PARTICULAR DE SOLICITACIONES

1000

1000 Q* =

0.00543 0.00428

QFD * == ∗∗ ∗= QBq

( ) :DAk A Ak AD ot1ooto ∗∗−−= d = AD

oD

D D

∗

=

En este caso directo al complementario, pues las cargas coinciden con las cordenadas

∗

140

801 699 801 699

1945 2055 1945 2055 801- 801- 2646-

2646-

q =

Método de los Desplazamientos con Matrices reducidas (se sabe que cargas son nulas)

NOTA: En el método de las fuerzas, al saber qué cargas son nulas la reducción es automática.

141

ANÁLISIS DE SUBESTRUCTURAS Aplicaremos el método de los desplazamientos. El título dice lo que se va a hacer. El análisis por subestructuras consiste en dividir la estructura en varias subestructuras. Esto se justifica cuando se trabaja manualmente. Se desea utilizar matrices pequeñas (la idea es no invertir matrices de orden superior a 2) aún cuando haya de efectuarse muchas operaciones. O cuando se trabaja con el computador por razones de memoria o velocidad es más conveniente. Por subestructuras, desde el punto de vista teórico no hay nada nuevo. Operacionalmente, el análisis es mucho más complicado que el método general. Veamos el método a través de un ejemplo “sencillo” 1) Elección de las coordenadas Q-D

En este caso el sistema de coordenadas no tiene porque describir los posibles desplazamientos de las juntas. Todo lo contrario, se pretende no invertir matrices de más de 2x2. Así se eligen solo dos coordenadas. ) ( referenciader

LIk

r

rr =

2) Elección de q-d. selección de las subestructuras Se escoge q-d disolviendo juntas. Las fuerzas internas elegidas implican la división en estructuras:

Se desprecia cambio de longitud y deformación por corte. Se han definido, pues, tres miembros o subestructuras. Se ha elegido así un sistema de coordenadas generalizadas pero no por completo. El concepto es diferente al de matrices reducidas, pues no decimos que hay cargas nulas en las demás coordenadas. Por la complicación que presentan los miembros así elegidos los llamamos subestructuras. A su vez, el vector q (d) no es tampoco completo. Claro está que cada subestructura tendrá sus vectores qs-ds particulares.

142

La idea es estudiar por separado las subestructuras y luego sintetizar cumpliendo las condiciones de compatibilidad del borde. La única diferencia, pues, estriba en que ahora tendremos miembros mas complicados. Otro ejemplo sería el caso de los pórticos. En nuestro ejemplo las fuerzas sobre la estructura total estarán en las que ocurren en los tres miembros:

Para resolverla tendremos que emplear además las de los miembros.

3) Generar la matriz A: d=AD estructura total

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

100110011001

A⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

iii

ii

i

kk

kk

4) Matriz deformación-fuerza, k , de la estructura total En este paso ya es preciso comenzar a trabajar con las estructuras. Sabemos que k es un arreglo diagonal de submatrices, pero éstas no se pueden determinar directamente. (4-I). ki. Para obtener ki, aplicamos la técnica conocida. Las coordenadas de esa subestructura han sido ya definidas al seleccionar q-d de la estructura. Esas coordenadas, para la subestructura son coordenadas de estructura. Llamémosla QI* -DI*. Para obtener la solución basta con resolver esa estructura (I), en la práctica, aplicando los métodos vistos por miembros sencillos. Por consiguiente, como QI* -DI*. no son coordenadas generalizadas, hemos de definir QI3 para completar el sistema generalizado QI -DI

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

3

2

1

3

2

1

D

DD

DQ

QQ

Q II Así,

143

En general:

(89) Siempre tendremos que subdividir los vectores Qi -Di de las subestructuras en dos vectores: (1) el que corresponde a las coordenadas obligadas de las subestructuras (q-d de la total), (2) las coordenadas Qi -Di necesarias para tener un sistema de coordenadas de estructura generalizadas capaz de resolver el problema por miembros sencillos. Así pues, la técnica será similar al de las matrices reducidas. Similar pues aquí Qi2 ≠0; en general, no tiene por que ser (Q3) nulo. Esa partición deberá mantenerse en todo proceso. Y para los efectos del análisis de la subestructura, habremos de definir un sistema de coordenadas de los miembros qI -dI; un momento por cada cambio de geometría. (En la articulación no hará falta pues q=0. Eso lo tomamos en cuenta en su k) 4-I. 2: AI comenzamos a resolver determinando, como siempre, la matriz desplazamiento deformación del miembro I. partimos con el mismo criterio anterior.

(90)

4. I. 3: k s y Ks = ATkA hallamos las matrices k y K como siempre:

K la resolvimos partiendo con el mismo criterio que en (89). ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

i

i

i

i

DD

kkkk

Q

Q

2

1

2221

1211

2

1

4. I. 4 Ahora bien, el problema que nos interesa es hallar KI*, puesto que esa matriz es kI de la estructura total. Por lo visto en la Pág. 134; de (82): KI* = kI = K11- K12 K22

-1K21

⎥⎥⎥

⎢⎢

⎦

⎤

⎢⎣

⎡−=

⎥⎢−−=Qi −

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

2

1

2

1

Di

DiDi

Qi

Qi

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= 2iAiAiA |1

144

3006252 . rEk01.5

16 0

1.5 3 0 0 3 rEkIk =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Hemos obtenido, así, la k del primer miembro.

4- II. Como la subestructura II está compuesta por un miembro elemental,

4. III .1 el miembro III ha de analizarse completamente. El sistema QIII* -DIII* es de coordenadas externas para la subestructura y, a su vez, coordenadas internas para la estructura total. Para su solución es preciso completar con otra coordenada para obtener un sistema generalizado. Tenemos, de nuevo, los vectores Q-D divididos en dos subvectores. 4. III.2 hallaremos las matrices A, k, K en a forma usual: partidas de igual manera: 4. III.2 hallaremos las matrices A, k, K en a forma usual: partidas de igual manera:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

125.105.0130

003 321

rt

IIIEkkAAK

DDD

4. III.4 Ki* = Ki11 – K

i12Ki22-1 K

i21 KIII* = EKr 2.8125 0 03

145

Así que esta matriz trasforma los desplazamientos ⎥⎤

⎢⎡

= D1D

1D en las cargas Q⎥⎦

⎢⎣

2IIIIII

enerse

análisis, el tratamiento es idéntico, pero cua

trices deform5) k de la estructura

1, que

para la estructura total son las fuerzas q5 y q6. Por tanto es la submatriz kIII. Ha de tpresente, pues, la dualidad que existe en el miembro tratado como subestructura. Para el

ndo lo incorporemos en el proceso de síntesis las (Q-D) i pasan a ser q-d de las estructuras. Como ya tenemos todas las ma ación-fuerza, volvemos a la estructura.

6) kAAk T=

7) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−== −

090594.0023379.0023379.0092055.011

rEKKF

Veamos ahora cómo proceder para cada caso particular de solicitaciones en el análisis por subestructuras. Existen varias alternativas. Supondremos que tenemos almacenadas las matrices necesarias anteriormente halladas. Como siempre, dividiremos en problema primario y cbtener la solución. Pero, ahora, cada uno está, a su vez subdividido en problem

omplemas

entario y sumaremos para oprimarios y complementario de las subestructuras. 1’) P.P para toda la estructura sea el caso dibujado: Colocamos vínculos que impidan los desplazamientos según las coordenadas Q-D elegidas, los cuales generan reacciones, Q10, Q20 en este caso de dos juntas, que se han de determinar or estática. Pero, evidentemente, ahora el problema no es p

estáticamente determinado al no estar todas las juntas de las estructura. Para obtener esas reacciones hay que recurrir a las subestructura orrespondientes.

plazamientos son nulos: ⎢⎣

⎡=⎥

⎦⎢⎣

=02

1

DD

lo hemos llamado antes como en

’ – I.1

s restringidas. Se resolverá en cada una, con su P.P y P.C. c

Así el problema primario, en nuestro caso, requiere determinar las reacciones

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= 10

QQ

Qo Cuando se satisfaga que los des⎤⎤⎡ 0D

20⎥⎦

Ese vector D, correspondiente a toda la estructura, i

D1

cada una de las subestru

cturas, Pág. 144 (89).

1 P. primario total en la subestructura I

I1 = 0 Por lo anterior (por definición de P.P de toda la estructura)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

8125.11336250.11

TEKK

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

8125.2003

6336

300625.2

rEkk

D

146

Los giros en su unión con los otros son nulos y lo que hay que onsiderar es el miembro que se dibuja:

éase (89) Pág. 144 Qi2 = k

i22D

i2:

cTendremos, en general: V

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

=⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

iii

Dkk

kk

Q

QPP

22221

1211

2

1 0 . así D

i2 = k

i22

-1Qi2 (92)

⎦⎣⎦⎣⎦⎣ iiii

Donde DI2

es el vector de los desplazamientos que completan las coordenadas generalizadas de la subestructura. Así se aprovecha lo almacenado antes.

ara resolver el problema primario total en la subestructura I, siguiendo el momplementario de la subestructura y

sumarlos.

P étodo general, necesitamos considerar el primario y el c

1’ – I.2 P.P de la subestructura para el P.P total

Vinculamos, de modo que DI2

=0 ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎡

=000

.

0

PP

q

ntario:

I I 3) 1’-I.3

⎥⎢I

⎣− 2400 Así, se determina Q

I20 = |4000| .Y el compleme (En las coordenadas Q -D el componente es Q

I

P.C de la estructura para el P.P total

Q Con lo cual obtenemos D.

2 al aplicar (92):

IIIEkEkQkD /76640006 2

1222 −=−== −

Aprovechando lo almacenado antes, obtenem

omo

3)

[ ]4000.

2 −=PP

I IPPPP

1..

−

PP

[ ] [ ] rr 6.6

:22 FkAB = os q, del P.C, aplicando

total

oIt

)4(24002000

⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣−−

C sólo interesa trabajar con Q2: (9

total

qqqPPPPPP

)1(

20001000

...⎥⎥⎤

⎢⎢⎡−−

=+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

== −

0200020001000

21

222iiii

QKAkqi

147

la solución del pro lema prim uctura total, en la subestruc ura I. Y esas fuerzas, junto con el valor de D2 es b

tario de la estr

)4()3(

600

600.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=PP

IItq 1’-II aquí no hay D 2 . Directamente:

’-III

II

1

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

400400

18001600

16000

.PP

IVoq

rr

PP

III EkEkD 50600

121 600

.

III220 −=−==

Q

( )

totaltotal

qEkEkq tr

r

)6( )5(

550100

150300

01

6336

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

16501750

15250

150150750

600121

100

335.15.13

3

1

⎥⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=−⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎡

=−

⎦ 2’) Reacciones P.P una vez conocidas las fuerzas

total:

podemos completar, por fin, el P.P en la estructura

ilibrio se Obtiene las Cargas de

detallarlo aún” cuando se tenga ráctica.

Y por equ

Fijación:

Conviene “p

148

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

15250600

60024001000

oq

34751400

−−

=oQ

3’) P.C para la estructura del P.P: 34751400

=−= oQQ así que podemos obtener los

desplazamientos: 084.282635.471

rEkFQD ==

El resto de la información, q, D etc. se obtiene en cada miembro. Es claro que se podría haber determinando la matriz carga- fuerza total, pero yendo a las subestructuras btendremos la información completa. o

3’ – I Para el P.C de la estructura total Para la subestructura I conocemos cuanto vale D

I1, son los valores de D:

084.282635.471

1rI Ek

D =

Como a de resolver el proble p se trat ma com lementario de la estructura total, 02 =

IQ , de la subestructura= 03 =

IQ

Luego hay que resolver el problema que se dibuja: 0 , , 321 =TII

QyDD .

Con esas condiciones:

(94)

la

ado, lo cual completa el vector desplazamiento

s obtener las fuerzas complementarias:

epitiendo el proceso para los otros miembros:

Son datos

iiiiDKKD 121

1222 −−=

Lo cual permite obtener los desplazamientos en las juntas de subestructura en las que hubo de definirse coordenadas para tener un sistema generalizde la subestructura.

Y ya con el vector D podemo Solución del P.C para la subestructura 1. R

IIIIIDKDKQ 222121 +=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−===

25.84673.35

73.3504.125

kdDAKqiiii

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−−=

90911

08428263547

121909111

1211222

.

..

rEKDD

ID .

rEKID

IK

IK

ID

149

3’-II. P.C. total los desplazamientos aquí, por ser D =0, son los

desplazamientos de la estructura totaII2

l y, a su vez, las deformaciones del miembro.

’ III. P.C. estructura total 3 De nuevo, D

II1, coincide con los D de la estructura total.

DIII

2 Se hallará por (94). Se obtiene:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

26135

08428263547

1

2

1

.

..

rEKD

D

IIID

4) P.P + P.C

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=

78.10556.21178.105

34.31736.7939.142

IIIq

por fin, sumando resultarán las fuerzas totales en cada uno de los

iembros

. Por ejemplo:

CP

i

PP

io qq

..+

m

25.8462400−73.35

73.3504.125

200020001000

−+

−−−

=Itq

esultado que puede verificarse fácilmente por Cross.

dos

adicionales con notación matricial no constituye un análisis matricial de estructuras.

dar según la nomenclatura e cada subestructura y onsiste en desplazamientos y fuerzas:

P.C se refiere a la estructura total, evidentemente. tc.

⎦⎣ 41.1835II⎥⎤

⎢⎡

=06.1132

q

R Esta es, pues, la técnica propia matricial. Representa un método diferente, enfocadoexclusivamente al computador. El que se escriba los sistemas de ecuaciones de los métotr El resumen de los resultados se suelenc P.P yE

150

SUBESTRUC. I P.P P.C TOTAL

D1 0 47.635/E Kr 47.635/E KrD2 0 282.084/E Kr 282.084/E KrD3 -666.667/ E Kr -11.909/ E Kr -678.576/ E Krq1 -1000 125.04 -874.96 q2 -2000 35.73 -1664.27 q3 -2000 -35.73 -2035.73 q4 -2400 846.25 -1553.75

SUBESTRUC. II D1 0 47.635/E Kr 47.635/E KrD2 0 28 r 282.084/E Kr2.084/E Kq1 600 1132.06 1732.06 q2 -600 1835.41 1235.41

Veamos, por último, dos ejemplos de interés.

RMADURA TRIDIMENSIONAL A

ocales. Numeración de las juntas. Elección de los ejes l

ero mayor bro.

La memoria de los computadores obligan a simplificar el problema topológico de la numeración de las juntas de la estructura (que forman una red).Usualmente, en los miembros de dos juntas,el eje del miembro dirigido desde la junta de número menor a la de númdefine el eje X* local o del miemEs decir si JB ≥ JA+1, entonces JBJA− define X*. Los otros ejes locales se eligen según la regla de la mano derecha (rotación dextrógira)

rma el eje Y* con el Y de la estructura. fig. 88quedando determinado por el ángulo que fo Ejes y coordenadas

uerzas F

tre sí, es mucho más sencillo definir dos erzas axiales, una en cada junta según el eje X*.

ro, pues las fuerzas son independientes, ya que han de cumplir el equilibrio ) = -(2).

basta una sola fila de ella: los cosenos directores del eje X* con los XYZ de la estructura.

ρ = [CX,CY.CZ ] (95)

Para una armadura, sería suficiente definir una fuerza axial por miembro. Pero como cada junta tendrá dos desplazamientos independientes enfu De este modo la matriz deformación-fuerza, o matriz de rigidez del miembro, será una matriz extendida. Así, existe matriz de rigidez del miembro, pero no matriz de flexibilidad del miemb(1 Para la transformación de coordenadas, solo el eje X* importa, así en la matriz rotacional sólo se transforma un eje, y

151

Para obtenerlos, se encuentra ∆X, ∆Y y ∆Z con el sentido positivo de JA a JB definido reviamente, y se divide por la longitud del miembro.

) (96)∆

eamos un caso particular.

ra tridimensional tiene 5 y 7 iembros

p ∆x = x (JB) – x (JA)

∆y = y (JB) – y (JA Lzcz

Lycy

LxcxzyxL ∆

=∆

=z = z (JB) – z (JA)

V La armadum

1) sistema Q-D como existen dos juntas libres de desplazamientos, hay 6

los positivos de los jes de la estructura}

N, CM

ROPIEDADES DE LOS MIEMBROS

coordenadas independientes. Las definiremos de tal manera que sus sentidos coincidan cone AE=300000 (todos los miembros) UNIDADES: TO P

MIEMBRO DE A

∆X ∆Y ∆Z L CX CY CZ

JUNTAS

I 1 2 -120 240 240 360 -1/3 2/3 2/3 II 1 3 120 240 2 1/3 2/3 40 360 2/3III 2 3 2 40 0 0 240 1 0 0 VI 2 5 0 0 -240 240 0 0 -1 V 3 4 0 0 -240 240 0 0 -1 VI 2 4 240 0 -240 339.41 0.7071 0 -0.7071 VII 3 5 -240 0 -240 339.41 -0.7071 0 -70.71

∆=∆+∆+∆= 222

152

2) q-d Tendremos 14 coordenadas, 2 para cada miembro. Se sobreentiende que las coordenadas xiales están aplicadas en los extremos de los miembros.

3)

a

matriz desplazamiento - deformación: d=ADA

enos directores de los miembros, pero además, hay que cuidar de sí se acorta o alarga.

de los desplazamientos, que a su vez, se an definido como direcciones de acortamiento.

Como siempre, haremos Di=1 y se hallarán las deformaciones. Hasta cierto punto, la matriz A se obtiene automáticamente pues para D1=1 se han de hallar los cosenos directores de las deformaciones 2,5,11 y 7 con la dirección de D1=1(eje x), que se puede leer en la tabla de propiedades de los miembros, así también, los coeficientes de influencia son los cosse En nuestro caso la matriz A, para un sistema q-d mínimo, debería tener 7x6. Por haber extendido el sistema q-d, tendremos 14x6.hemos de buscar componentes h

Para el q-d mínimo, d es el desplazamiento relativo o cambio de longitud. Para el q-d definido en la fig. 88, la definición de deformaciones coincide con los desplazamientos de las juntas. La deformación física es la diferencia de esos desplazamientos: d1 y d2 son perfectamente independientes y, por tanto, q-d se puede mpliar. Pero q1 y q2 no son independientes; así no existe f.

ebemos considerar a las deformaciones d1 y d2 como direcciones.

D D 1 D 1 D 1 D 1 D 1

a D

1=1 2= 3= 4= 5= 6=d1 0 . . . . . d2 -0.3333 0.6667 0.6667 . . . d3 0 . . . . . d4 0 . . 0.3333 0.6667 0.6667 d5 1 . . . . . d6 0 . . 1 . . d7 0 . -1 . . . d8 0 . . . . . d9 0 . . . . -1 d10 0 . . . . . d11 0.7071 . -0.7071 . . . d12 0 . . . . . d13 0 . . -0.7 71 -0.7 71 0 . 0d14 0 . . . . .

4) k con la definición extendida; de acuerdo a lo

nterior: q=kd. Hacemos d1=1. Resulta a

LAEq1 = , y q2 por equilibrio = -q1

153

154

Entonces : (97)Como se observa, la matriz es singular, por lo que no se puede determinar q. ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

1111

LAEk

Generalmente se busca primero f, luego k, para sistemas generalizados y posteriormente se amplía k. En general, utilizando computadoras, es preferible trabajar con matrices ampliadas. La

iagonal de submatrices.

matriz k de la estructura será un arreglo d

kI = kII kIII = kIV = kV =

VI = kVII = 833.33 k es evidentemente singular.

) kA

= k 5 6) K = AT kA

o k no es singular, se puede obtener la matriz de flexibilidad de la estructura y por nto , la matriz carga- fuerza B,

Comta

155

Veamos otro procedimiento para resolver el complementario. Otra solución del complementario.

ncentradas en s juntas. De no ser así habría que ampliar el sistema q-d, pero no es

s de las armaduras los momentos y

e ecuaciones. Q=KD or eliminación Gaussiana, método tan antiguo como irreemplazable por su

e se substituirá hacia atrás para cada valor del vector Q. En la practica se

anejaran simultáneamente varios casos de carga.

matrices simétricas (Banachiewicz).

Para nuestro caso particular de cargas, tenemos las cargas colarecomendable, pues para los miembrocortes son isostáticos. El procedimiento frecuente que se utiliza para resolver el complementario es resolver el sistema dPeficiencia. En general, la eliminación de Gauss consiste en obtener una matriz triangularesolverá y

r superior. S

mAsí la solución del sistema de ecuaciones no se hace necesariamente por inversión. La inversión es lo más cómodo cuando se dispone de una subrutina inversora, pero no es lo más rápido.

1’) La variante de Gauss-Jordan evita la substitución hacia atrás pero él número de operaciones es el mismo. Cholesky es muy eficiente para

A mano, evidentemente, lo mejor es aplicar Relajación con operadores grandes. Con máquina de calcular y p

-1aciencia se aplicara Gauss-Seidel

ni K ni B. Así no se halla

2’) obtención de q.

esuelto D, de q=kd, como d=AD q=(kA)D (98) s (kA) que ya había sido obtenido para hallar k.

hora bien, la precisión de q esta ligada ahora con la precisión de los desplazamientos; lo

−−−

Su interpretación es obvia. Elegimos el miembro I. Sean los sentido positivos de q. Apliquemos los

sultados obtenidos. Se halla que está sometido a 30

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

201001020

10

Q

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣−−

=

01023.002504.0

01654.000977.0

D

⎥⎤

⎢⎢⎡− 05638.0

01477.0

RDonde aprovechamoAcual se evitaría con el procedimiento anterior.

[ 1221.1221.221.215153030q

VII VI V IV III II I T −−−−=

]94.394.313.313.379.1279.1221.

remts de compresión.

156

En los programas se suele sacar un solo resultado, pero para el trabajo interno es mejor el stema de coordenadas extendido.

T.C.C.T 9431337912

Veamos a continuación un ejemplo que aunque por la teoría no aporta nada nuevo tiene un

terés práctico excepcional.

si

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= . T. C CN

VII VI V IV III II I

21122121530

in Transformaciones AT k A (Marín)

presentan, son extrañas al matemático porque A, es ctangular. En el álgebra lineal solo se usan A columnas, ó matrices cuadradas. En este

o A no-cuadrada hace posible que a pesar de que k sea ngular, la transformación de una K que no es. La no-singularidad

Estas transformaciones, que tanto sereúltimo caso la transformación es un CAMBIO DE BASE. Siendo A no cuadrada la transformación de espacios es parcial. Esta transformación es pues, convencional, como su significado físico nos dice. Solo siendside K es independiente de las d-q, obvio. Se anexa un ejemplo,

LAE

1001

kAAK L

AE

11001100

00110011

k

0010

0001

A T⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

REPARTO DE CARGAS HORIZONTALES EN LAS ESTRUCTURAS

n aplicar ciertas cargas horizontales en le centro de masas o

s el de averiguar cuál es la ontribución de cada uno de los pórticos en ambos sentidos,

Fig. 89 (a)

El símil estático del viento o sismo sobre las estructuras consiste e baricentros de cada entrepiso o placa. El problema que se ha de resolver ecsuponiendo que la estructura estuviese compuesta de pórticos ortogonales.

e la fig. 89 (b). La carga equivalente

paralelos a la car

Figura 89 (b)

Sea la planta destática al problema dinámico estará situado en su centro de masa (bc) si la carga no tuviese excentricidad, los pórticos ga distribuirían ½ y ½ respectivamente, mientras que los pórticos ortogonales no recibirían solicitaciones. Pero en general ésto no ocurre nunca, además, las normas obligan a considerar el efecto torsional.

157

Cuando el baricentro no coincide con el centro de rigidez, (carga excéntrica), el edificio

sistir

que el edificio tuviese un eje de torsión ertical, pero eso no ocurre, como debería de ser (fig.

Supuesta la planta formada por recciones se trata una solución proximada.

on rigidez axial infinita en su planta: las distancias y rotaciones en su plano

será excitado totalmente, ya que los otros pórticos habrán de reel momento. Lo lógico es

(c) carga centrada

v89 a)

(d) carga excéntrica

pórticos en dos diaConsiste en suponer que la placa es un diafragma horizontal, es decir, que debería comportarse cse mantienen. O sea, las distancias relativas son las mismas. PLACA=RIGIDO EN SU PLANO. Otra hipótesis: Las deformaciones son pequeñas.

tos laterales son tales que las distancias entre las juntas permanecen

“imagen plana de un sistema trirectangular”.

pórticos en las dos direcciones, s cuales deben de resistir las acciones bajo las hipótesis anteriores. Este conjunto de

el reparto por la posición sino respecto a

Los desplazamieninvariables. Se desprecia la rigidez torsional, lo cual es favorable en los edificios. Ésto podría denominarse Con lo anterior es posible hacer el análisis con una serie deloporticos forman los miembros de la imagen plana. El reparto por áreas tributarias es un absurdo. Si uno de los pórticos es muy rígido absorberá toda la acción. No es posible determinar la rigidez de la imagen planaó Coordenadas Q-D Basta considerar tres coordenadas por piso: dos

esplazamientos y un giro ( el giro de la placa en su plano).

rganización mejor. Fig. 90 Q-D por piso

dCualquier otro desplazamiento será la combinación lineal de ellos. El origen se fija arbitrariamente, como punto de referenciaEsta es la o

158

Sistemas q-d La imagen plana descrita permite tratar la estructura por pórticos

lanos independientes, que constituyen los miembros.

g. 91)

pLas coordenadas de los miembros serán coordenadas reducidas, consistentes en fuerzas horizontales exclusivamente, (fiObsérvese que no se está tratando la estructura tridimensional. Esto solo podría hacerse por elementos finitos y es muy costoso. Fig.91 q-d por pórtico Actualmente con el programa SAP 2000 y otros similares puede hacerse este cálculo con elementos finitos. Ejemplo:

1) sistema Q-D y pórticos (6) 3 coordenadas independientes por piso

ROPIEDADES DE LOS PÓRTICOS

P todas las columnas de 0.30 x 0.30

= 2x 109 Kg. /m2E

I = II III IV = V VI (Resuelto en Pág. 136)

159

II V

q-d Reducidas El sistema q-d es reducido. Para cada erado como una estructura, equivale tener Qi-Di reducido. El pórtico VI fue tratado ya en la página 136, cuando se expuso el

) matriz A: desplazamiento-deformación: d=AD

miembro, considamétodo de los desplazamientos con matrices reducidas. 3

omo siempre, se determina por geometría 12 x 6 C Col 1 D1=0 otros Di =0

Col 5 D5=1 otros 0

e ormaciones” en losistancias. Para los desplazamientos lineales se obtienen matrices unitarias.

los istintos pórticos y se parten las columnas e A de 2, se observa que esta formada por

onde se ha definido los correspondientes

Para las rotaciones las “d f miembros se obtienen al multiplicar 1x d

Cuando se parte A por filas según

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

ddsubmatrices unitarias, nulas o diagonales. Las diagonales no unitarias son las coordenadas de los puntos de los pórticos dq-d.

====== 111111 654321 DDDDD

901000090100601000060100001000000100800010

080001400010

040001000010000001

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

dddddddddddd

A

D

160

4) matrices k ara obtener las diferentes matrices de rigidez de los miembros hay que obtener la matriz e rigidez reducida lateral, tal como se obtuvo en la Pág.136.

En el ejemplo despreciamos el corte; si no los nume tos serán diferentes. También se desprecia el cambio de longitud.

⎦⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

=

VI

V

kk

k.

.

Pd

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −==

− *1*** kAAkAAAAkAKk otoototii

ri

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

II

I

kk

)y( )y(

....

VIk ....

VkIVk

)x( )x(

....

IIIk ....

IIkIk

103426010791001079100160364071015080101584810

15848102373780710

0970832010317601031760156204071015497201616040

16160402401380710

−−=−

−==

−−=−

−==

Matriz deformación - fuerza

⎣

⎡

−−

−−−

−−

=

9

99

88

88

7

77

88

88

7

77

10224992.010236350.010353743.010183564.010192208.010192208.010286754.0

10405028.010424872.010635120.0

10139655.010147182.010147182.010221018.0

0000

10407027.010426384.0

xxxxxxx

xxx

xxxx

xx

K

GENRACION DIRECTA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

5) K = ATkA

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

1063648.0 x

(Marín) Un estudio exhausto y organizado de los datos de entrada permite genera directamente la

atriz de rigidez. Esto es lo empleado en los computadores. Los miembros se van leyendo a transformación de

coordenadas hacia los ejes generales de las estructuras, permite generar k .

muno tras otro y la contribución de cada uno de ellos a k, con la adecuad

161

Luego las liberaciones o “releases”( la modificación). La base es la fórmula kAAK T= Veamos el caso del ejemplo. Estudio general de la matriz A Sea n= el número de pisos. Sea p=el numero de pórticos

n los p pórticos habrán Px según la dirección x; Py según y: yx PPP += E

Sea ⎭⎬y

las coordenadas, respecto al origen común, de⎫x

cada pórtico donde se aplica las

ere

1º) las coordenadas según el eje X:1,2,3,……n ún Y : n+1,2,3,…..n

º) las coordenadas angulares: 2n+1,2,3,……n

coordenadas q-d de cada uno.

Num mos las coordenadas de la estructura, Q-D, de la siguiente manera:

2º) las coordenadas lineales seg3 Si esto se hace así, la matriz A se escribe como:

a m

atriz A se ha partido por pórticos, en submatrices de orden (n x n)

L

162

Lo anterior puede escribirse entonces como:

egúnYs cosporti

segúnX cospórti

xII 0 xII 0

.... ... ...I2y- 0 IIy- 0 I

A

1

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

Filas de A= (n p) columnas de A = (3n) A dividida en submatrices de orden n x n : filas =(p) columnas =(3) Condensando aún más, en pórticos según X y pórtico según Y:

xIIyII

Anpy

npx

,

,

00 −

= Donde todas las submatrices ahora tienen n columnas (igual

número de pisos). Las superiores tienen tantas filas como pórticos según l eje X hay, compuestas de matrices identidad (n x n) tantas como pórticos según el eje X existen.

1

11

1

11

1

11

..

..

..

n,pxI =

Veamos la matriz k: es de orden (p x p) La podemos subdividir un arreglo diagonal de matrices de los pórticos Según los ejes X e Y :

Ki de orden ( n x n) Partidas así, ha de multiplicarse: :333,22,22,3 x

T KAkA = k tendrá el orden de 3n x 3n px kX 0 Ipx,n 0 -yI py 0 ky 0 I xI

In,px 0n,py Σkx 0 Σkx 0 -Σykx 0 n,px In,py 0 Σky 0 Σky Σxky-yI xI -ΣyKx Σxky -Σykx Σxky Σy2kx

+Σx2ky

= K

(99)

163

Cuyo significado es el siguiente: K, de orden (3nx 3n), esta formado por 3 x3 submatrices, de orden ( n x n) cada una

K11= suma de las matrices k (orden n x n ) de los pórticos según el eje X

K22= suma de las matrices k (orden n x n ) de los pórticos según el eje Y

K12=K21= matriz nula de orden ( n x n)

K13 = : resultado de sumar las matrices de los pórticos paralelos al aje X multiplicadas por las ordenada Y de cada uno (donde se coloco q-d) con signo opuesto.

∑− xyK

En nuestro caso: basta operar con las matrices de rigidez laterales.

83564.1922076.186754.2

10)9(103426.05.0107910.0160364.0

10)60(150801.0518481.0237378.0

38654.847182.121018.2

10)8(00970832.0

103176.0156204.010)40(

154972.0161604.0240138.0

10

7723

77713

=−

−++

−=

−−

=−−

+−−

=

k

k

En cada caso se podrá generar directamente la matriz de rigidez 5) F=k-1

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=

7357215.07238721.07227321.06161837.06107940.05156100.06107940.06102598.05104183.06990960.0

6122549.07823888.06555195.06372515.06124426.07823888.07789278.06372514.06356220.06836251.06800855.0

EEEEEEEEEE

EEEEEEEEEEE

F

164

6) B= (k A) F

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=

1497610.03512869.01321134.03144873.0168341.03515621.03842109.01481917.03111680.01324362.03645205.0169726.01232265.03336673.0264981.03455238.01785332.02226926.0

3586930.01242892.03708409.0266338.02374561.01854968.01729874.03176026.0702905.03600223.0246873.02278495.0

3255148.01724810.03820879.0701225.02439099.0255222.01464255.03777785.02113307.02269761.01734074.02287070.02121156.01487431.02398366.0219071.02444975.01819403.01103474.03906873.01470678.0242667.0349751.02117698.0

2140859.03764905.02665165.01343484.02183210.0346245.01567729.03129133.0258398.02162905.0576843.02169369.03197091.01563920.02266815.0253419.02262070571813.0

EEEEEEEEEEEEEEE

EEEEEEEEE

EEEEEEEEEEEEEEEEEEE

EEEEEEEEEEEEE

B

Casos de carga Dos son los casos usuales de carga: sismo o viento en la dirección X y en la dirección Y

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−++−+−+++++++

==

3189008.02525962.0

2888119.02226572.03277820.0

2752536.03449713.03310932.03350219.03380406.03604810.03308658.0

EE

EEE

EEEEEEE

BQq

Como las acciones están aplicadas ya según Q- D; al complementario: (Caso 1)

1

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−

==

3111594.04676291.03505796.03305983.0

2175801.02131161.0

EEEE

EE

FQD

347344618

00

10001000

..

Q−

=

3127539.0 +E

Caso

2464911.03355678.03267440.03430133.03686069.03214186.03203572.03104232.0

2429459.02233070.03246517.0

++++++++−++−+−

==

EEEEEEEE

EEE

BQq

2

3101664.04527119.0

2184261.02132041.03347672.03180860.0

−−−−−−−−−−

==

EE

EEEE

FQD

7.222670910001000

00

=Q

Caso

165

La complicación, pues, solo consiste en las organización dentro del computador: el estudio y al maceramiento de los datos. Referencia: Fortoul C. Reparto de Cargas horizontales entre los Pórticos de la imagen plana de un Sistema Trirectangular de Edificios Revista de la Asociación Venezolana de Ingeniería Estructural Nº 7 , 1968. MÉTODOS DE LOS ELEMENTOS FINITOS Este método es una generalización del procedimiento que se usa en la teoriza elástica de las estructuras para la solución de problemas de todo tipo, en donde los miembros pueden ser biotridimensionales, como sistemas de placas; vigas y columnas. Nos limitaremos por comodidad, a casos de sistemas planos, sin perder la generalidad. La idea que conduce a un método operatorio muy laborioso, es antigua, empleada por los ingenieros aeronáuticos para todo tipo de estructura, donde se requiere un análisis muy preciso para el proyecto óptimo con el mínimo peso. Con el advenimiento y utilización de los computadores se ha extendido a al ingeniería civil estructural, principalmente por los trabajos de R.W. Clough. Supongamos una estructura como la de la fig. 90; un dique, presa o viga, donde las dimensiones son comparables entre si. Este miembro no puede ser tratado como un miembro unidimensional, puesto que su altura es comparable con la luz. La idea consiste en considerar que este sistema estructural esta compuesto por un conjunto de elementos rectangulares o triangulares, en general de forma cualquiera, los cuales están unidos entre si únicamente en puntos discretos, usualmente en las esquinas, los cuales serán juntas. Puede haber mas puntos de unión pero lo corriente es que sean las cuatro esquinas. En todo caso, el número de juntas es finito. Entonces se resuelve este problema, no como el medio continuo original, sino con una serie finita de elementos. Porque estos elementos tienen dimensiones, y porque son en un número finito se llama al método de los elementos finitos. Fig. 90 Unión de los elementos adyacentes En la solución del medio continuo, en teoría de elasticidad, se elegiría un elemento infinitesimal dx, dy, dz y las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones, esfuerzos y equilibrio permitiría establecer la ecuaciones diferenciales. Aquí, este numero infinitos de

166

elementos. Los sistemas de de aproximados a un numero infinitos unidos en ciertos puntos. Al resolver, obtenemos una solución aproximadas del problema original. Ahora nuestros miembros son elementos y las juntas los puntos de unión. La solución es numérica es por esto que se ha desarrollado con el computador. Un ejemplo de su anterior aplicación lo recordamos en el método Marcus para las placas, donde las vigas y bandas serían elementos finitos. La solución no ofrece diferencias esenciales con las estructuras unidimensionales. Definiremos los sistemas q-d de los miembros y habrá de obtenerse las matrices f y k, pero como los miembros o elementos finitos son bidimensionales tan bien, con dimensiones comparables (dos en el plano o tres en el espacio), no se puede aplicar los procedimientos normales que hemos visto para obtener esas matrices en la viga. Uno de los tipos de elementos, utilizados en conchas, puede ser el de forma de cono. Así, pues, nuestro problema es obtener las matrices deformación- fuerza y fuerza – deformación, que no se pueden hallar tal como en las vigas. Sea un elemento finito de geometría, cualquiera, supuesto plano (es decir, la dimensión de profundidad es pequeña). Elijamos el sistema q-d inmovilizando o colocando las coordenadas. Aquí vamos a considerar un sistema de coordenadas q-d extendido, sin restricciones. En este caso no existen rotaciones. Las matrices k y f eran fáciles de terminar en las vigas, porque se ha desarrollado una teoriza, con ciertas hipótesis simplificadoras (reacciones planas), conocida, que lo hacían posible. Fig. 91 q-d Aquí hemos de comenzar desde el principio, dado el desconocimiento del tema, con las hipótesis simplificadoras necesarias. Estas son impredecibles, porque si deseásemos resolver exactamente el modelo físico elegido, la solución del modelo seria tan difícil como la del prototipo. Y si se halla la solución del modelo, puede ser, y lo será, en la mayoría de los casos, muy diferentes de la estructura total. En efecto el modelo tiene discontinuidades entre sus miembros, equivalentes en la realidad a fisuras. Otra aproximación, o hipótesis adicional, parecidas en cierto modo a la de Navier, es la siguiente: Sea r el número de vértices del miembro. Por consiguiente, habrá 2r coordenadas de q y de d. Sean u y ϑ los desplazamientos a lo largo de los ejes X e Y. La aproximación consiste en admitir la hipótesis de que:

167

Los desplazamientos u, ϑ se pueden representar por unas series finitas del tipo:

),(),(1

yxayxau iii

r

ii φϑφ ∑∑ ==

=

(100)

),(...........),(),( 552211 yxayxayxau φφφ +++= , como una suma de funciones elegidas φ e incógnitas ai, que determinan el campo de desplazamientos. Las funcionesφ son escogidas, peor no pueden ser arbitrarias. Han de ser continuas y diferenciales dos veces (puesto que hay que hallar las deformaciones εx, εy, εxy) y, además, como sabemos que nuestro modelo presenta separaciones o grietas, con lo cuales la soluciones del modelo no se parecería a loa del prototipo, las iφ deben de ser tales que los bordes de elementos contiguos sufran el mismo desplazamiento. Es decir, la deformacionm de un elemento ha de ser compatible con la del vecino. Si ambos presentan el mismo contorno deformado será entonces cuando nuestra solución se parecerá a la solución del problema original. Si aumentamos el número de elementos se demuestra matemáticamente que converge al problema original, es decir, el error de truncación o discretización disminuye. Claro está el error de redondeo puede entonces crecer, cosa que no pudieron o no les interesaba experimentar. Generalmente se eligen funciones φ sencillas. Prácticamente todo se efectuó en forma polinómica de potencias sencillamente porque no sabemos aplicar otros tipos de aproximaciones. Así la forma es análoga al desarrollo en serie de Taylor.

22 ,,,,,1),( yxyxyxyx ≈φ

Para corregir las grietas del modelo se puede seguir la siguiente idea; fácil de aplicar en los elementos rectangulares o triangulares. Si elegimos φ tal que el desplazamiento de cualquier punto de un borde AB pueda expresarse en función de los desplazamientos de las juntas o vértices, de A y de B, entonces haciendo lo mismo con el borde del elemento contiguo, basta igualar los desplazamientos de las juntas de los dos miembros vecinos. Por ejemplo, si se define que el desplazamiento del borde varía linealmente a lo largo de AB, entonces el desplazamiento de las juntas extremas A y B definen todos los desplazamientos del lado AB, y deben de ser iguales a los elementos vecinos. Los desplazamientos definidos en (100) pueden escribirse en forma matricial como:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+++

r

r

rrrr

r

a

aa

aa

yxyxyxyxyxyx

yxyxu

2

1

2

1

221

21),(),(),(000

000),(),(),(),(),(

M

M

LL

KK

φφφφφφ

ϑ (100 a)

Y llamando M(x, y) a la matriz cuyos elementos son funciones:

168

Siendo a vector. ayxMu

),(=ϑ

(101)

De esta forma hallamos las diferentes componentes de las coordenadas d: ),(........),(),(),( 22111 AArrAAAAAA yxayxayxayxud φφφ +++==

),(........),(),( 22112 AArrAArrAA yxayxayxd φφϑ ++== ++

),(........),(),(.....................................

2211 AArrAArrcct yxayxrayxd φφϑ ++== ++

Los cuales son componentes de la deformación, que para el elemento son desplazamientos. Entonces se puede escribir una matriz que transforme ai en d, a la cual llamaremos AF, la F por elementos finitos.

aAFd *= (102) Matriz AF que en nuestro caso particular es de 10 x 10, cinco elementos son no nulos y los otros cinco de cada fila nulos. Una matriz de este tipo, que depende nada más que de las funciones iφ , transforma las aes en las d del sistema de coordenadas extendido, el vector también puede considerarse como coordenadas, pues demuestra que definen en desplazamientos. Se utilizan directamente en los métodos de Galerkin y Ritz, ver CEUI472, que parten siempre de que el campo de desplazamiento puede escribirse también así. Lo que vamos hacer es transformar las coordenadas originales para enlazar con el proceso general visto. Como se puede escribir dAa 1−= dCFa *= (103) Donde 1−= AFCFPorque es la que se va a aparecer en la formula final. 1−AF Lo que vamos a obtener es cuanto vale d; luego obtendremos a de ahí los desplazamientos u y ϑ , con lo cual esta resuelto, ya que con la ley de Hooke se obtendrán los esfuerzos.

Hallemos las deformaciones longitudinales:

ya

y

xa

xu

ir

riiy

ir

iix

∂∂

=∂∂

=

∂∂

=∂∂

=

∑

∑

+=

=

φϑε

φε

2

1

1 (104)

Y las transversales:

∑∑+== ∂

∂+

∂∂

=∂∂

+∂∂

=r

ri

ii

r

i

iixy x

ay

axy

u 2

11

φφϑγ Donde las variables son también variables

por predecir el campo Las deformaciones las podemos escribir como un vector que llamaremos ε(x,y)

ayxBFyx

xy

y

x

∗=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

= ),(),(γεε

ε (105)

169

Y lo llamaremos VECTOR DEFORMACIONES UNITARIAS para no confundirlo con d. La matriz BF transforma coordenadas a en deformaciones unitarias. Tiene tres filas y tantas columnas como elementos a existen: 2r. Para nuestro caso seria (3x10) . Así las aes y las

iφ postuladas se obtiene ε y con ellos los esfuerzos. La (105) establece la relación CINEMATICA. La relación entre esfuerzos y deformaciones se escribe como:

),(),( yxDFyx

xy

y

x

ετσσ

σ ∗=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

= ),(),( yxDFyx εσ ∗= (106)

FORMACIÓN – TENSIÓN) En el caso de deformaciones planas zσ se calcularía en función de xyyx τσσ ,, . En el

caso de tensión plana 0=zσ . La matriz, DF, pues transforma deformaciones unitarias en tensiones (o esfuerzos), a través de Hooke u otra ley. Por Hooke, DF depende del modulo de elasticidad y del coeficiente de Poisson y podría estar compuesta de elementos variables, es decir de diferentes materiales. Escritas las relaciones cinemáticas y de deformación – tensión, falta la ecuación equilibrio, que se obtiene por trabajos virtuales. Ecuación de Equilibrio Consideremos un sistema q-d. Supongamos una deformación virtual y el correspondiente (que se obtendría de la 103):

vdva vv dCFa ∗=

Apliquemos al elemento el principio de los trabajos virtuales: ∑∑ −= TVexternasTVinternas vdq ii∑ etc. Como se vio en Pág. 14, el trabajo

externas de las fuerzas (Es un número). El elemento finito lo subdividimos en elementos infinitésimos: resultar una integral sobre el volumen del elemento finito.

qdTe Tv=

Lo cual resulta de considerar los diferentes alargamientos, ε son virtuales, y el trabajo es la fuerza:

dVyxyxV

TV ),(),( σε∫

∆

=

∗∆∆ ))(( zyrealXσ (El alargamiento virtual) etc., véase E25

Pero: vvV dCFyxBFayxBFyx ∗∗=∗= ),(),(),(ε y dCFyxBFDFyxDFyx ∗∗∗=∗= ),(),(),( εσ Donde d es real Así: d dVdCFyxBFCFdq TT

V

Tv

Tv ∗∗∗∗∗= ∫

∆

),(

170

Pero varias cantidades no dependen de la posición del elemento, como CF (de termino constante) así que se pueden sacra de la integral de superficie.

dCFdVyxBFDFyxBFCFdqdV

TTTv

Tv ∗⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∗∗∗∗= ∫

∆

),(),( (107)

Con lo que se nos presenta el caso de una integral de una matriz. Como la integral suma de matrices es igual a la suma de las integrales, se demuestra que la integral de una matriz es otra matriz cuyos términos son las integrales. Así el corchete es una matriz que depende de la posición x, y. Como es cualquiera arbitrario y se cumple por equilibrio (107) entonces: vd

[ ] dCFCFq T ∗= Por consiguiente la matriz deformación – fuerza resulta de operar

CFdVyxBFDFyxBFCFkv

TT⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∗∗∗= ∫

∆

),(),( (108)

Donde le corchete tiene una estructura análoga al cambio de ejes igual a todas las expresiones NMM T indican un cambio de base igual. La transformación dentro del corchete es una matriz fuerza – deformación: la que transforma a en d si a es coordenada. (108) es una matriz deformación – fuerza, no singular si la d son independientes. Para que exista f hay que inmovilizar el elemento finito (q-d) estudiado. El método de los elementos finitos se ha aplicado con el método de los desplazamientos y por ello f no interesa mucho. Este método en general se emplea para resolver aproximadamente problemas continuos en ingeniería y mecánica aplicad. Puede presentarse casos en que tal medio continuo no existe, y hasta pudiera coincidir nuestro modelo con el problema propuesto. Pero sea el modelo una representación real o aproximada de nuestro problema físico, se hacen ciertas aproximaciones para resolverlo, aproximaciones que están INCLUIDAS EN LA MATRIZ BF. En efecto, de la expresión (101), M(x, y) es una matriz escogida por el analista, independiente de funciones elegidas para que se cumplan las condiciones de compatibilidad y borde. Por consiguiente, con el Método de los elementos finitos SIEMPRE llegaremos a un a solución aproximada, debido a la matriz BF(x, y) Veamos como se resuelven los problemas planos. PROBLEMAS PLANOS Sea el caso que las profundidades es mucho menor que las otras dos dimensiones. Esta condición conduce a valores particulares de la matriz DF. Según la ley de Hooke; las ecuaciones constituidas de un medio elástico e isotropito plano son:

171

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]yxzz

zxyy

zyxx

E

E

E

σσνσε

σσνσε

σσνσε

+−=

+−=

+−=

1

1

1

0 )1(2

==+

== xzyzxyxy

xy GGγγ

τντγ (109)

yzγ y xzγ son nulos para el problema plano.

Los problemas se dividen en tensiones planas y deformaciones planas: Tensión plana cuando 0=zσ luego

[ ] [ ]xyyyxx EE

νσσενσσε −=−=1 1

)1(2

Exy

xyτν

γ+

= (110)

Y zε se calcula a partir de las otras variables. Deformación plana cuando 0=zε y zσ existe caso que no será tratado (111)

TENSION PLANA Hallemos las tensiones en función de las deformaciones unitarias Por consiguiente podemos escribir la matriz DF. Puesto que ),(),( yxDFyx εσ ∗= ; para este caso

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

2100

0101

1 2 νν

ν

νEDF

(113) PLANO, TENSION PLANA

Matriz simétrica, por la ley de Betti

172

Ejemplo determinación de k El ejemplo de los elementos finitos requiere un fabuloso número de operaciones. Para simplificar, utilizaremos el elemento más sencillo, el cuadrado. Aun así el proceso es sumamente laborioso. Es por esto que solo se ha desarrollado con el advenimiento del procesador. Lo nuevo es únicamente la determinación de la matriz deformación – fuerza del elemento. Siendo esto también muy laborioso, los programas tienen una subrutina que la determina. Fig. 92 cuadrado 1) q-d Lo más sencillo y más frecuente es tomar dos coordenadas por juntas. El elemento no se inmoviliza (por las hipótesis de la matriz M). Por consiguiente, se tendrá 2r grados de libertad, sistema extendido, con lo cual k existe y es singular. O sea, tanto d como a son, pues, coordenadas generalizadas. A veces se elige mas de 2r coordenadas y entonces es preciso plantear condiciones de restricción. Escojamos iφ del siguiente modo:

xyayaxaaxya

xyayaxaaxyau

ir

rii

ir

ii

87652

1

43211

)(

)(

+++==

+++==

∑

∑

+=

=

φϑ

φ

(114)

Es decir, funciones es 1,x, y, xy, lo cual significa que para y constante ,

xBBxAAu 2121 , +=+= ϑ ; o sea, son funciones lineales si y o x son constantes. Esto es lo más cómodo. No podemos escoger mas funciones que las coordenadas a que tenemos. Si no habríamos de elegir mas juntas en el elemento. Así los desplazamientos en los bordes son lineales. En el elemento situado debajo también

. Los desplazamientos de las juntas describen el desplazamiento del borde. Luego si estas tienen los mismos desplazamientos no habrá fisuras. Es por esto que las

funciones

xAAu 43 +=

iφ se buscan de ese modo. Un termino con 2x ya no lo cumplirá. Si hubiese mas aes las funciones habrían de buscarse para que los bordes de los elementos cumplan la compatibilidad de desplazamientos. La elección de iφ es arbitraria para que se cumpla el borde. Es por esto que se emplean los elementos cuadrados y triangulares como mayor simplificación. El triangular es el más versátil, se emplea yaxaa 321 ++ . Si el desplazamiento del borde varia linealmente entonces es expresable en función de los desplazamientos de las juntas. La idea es elegir lo más sencillo: que sea el procesador el que trabaje.

173

2) Matriz M

Por su definición (101): (115)

3) Matriz AF ar luego invertirlas y obtener DF, que es lo que interesa.

LaLaLaaLLdLaLaLaaLLud

LaaLdLaaLudLaaLdLaaLud

+++==+++==

+==+==+==+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

xyyxxyyx

yxM10000

00001),(

Hallemos AF pd= AF*a. obtenemos cuanto vale id en las juntas:

287658

243217

756315654

2135211

),( ),(

),0( ),0( )0,()0,( )0,0( )0,0( adaud =====

ϑ

ϑϑϑ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

001010100000000000000000000010101010000000000000000000

1

100000000100100000000001001000000000010001000000000001

2

2

2

2

2 LLLL

L

LLLL

L

LCF

LLLLLL

LL

LL

AF (116)

l elegir las funcionesA iφ , hasta cierto punto arbitrarias, puede suceder que AF resulte

singular, o sea que las aes no fuesen generalizadas. En tal caso hay que cambiar las iφ . 4) Matriz BF

ayxBFyx ∗= ),(),(ε . Hemos de hallar Tal que zyx εεε ,, con las relaciones (104)

o de desplazamiento. del campComo xε varia linealmente con Y y yε con X, se suele decir que el cuadrado es un

rmaciones unitarias son

)

elemento finito cuyas deformaciones unitarias varían linealmente. En el caso de un elemento finito triangular aparece que las defoconstantes.

5 BFDFBF T ∗∗ lemos la matriz integrando de k. esta matriz es simétrica, por serlo DF. Hal

Operemos y luego se integrara respecto al volumen del elemento. Los resultados que siguen están particularizados para 4/1=ν y espesor t.

174

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

+=∗∗

22

880020203030330000000000

523038380303033002200808000000000

152

xyyx

xyyxxyxyyxxy

EBFDFBFT (118) 4/1=

)4/1( =ν

PV kShpmh 5

∫

7el

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ + 22 388305320 yxxyxyyx

ara elementos finitos triangulares los términos de la matriz son constantes. eamos la interpretación de que al 1ª y 5ª filas son nulas y, por tanto, es singular

[ ] CFCFT ∗∗= ∫ i las aes fuesen generalizadas y trabajásemos con esa combinación, esa seemos utilizado las coordenadas d en vez de las a. si 11 =a y las otras rimera columna de la matriz (las fuerzas generalizadas). Quiere decir queovimiento del cuerpo rígido del elemento para u =1, ϑ=0. Para la quinta, (u =0

ay fuerzas, otro desplazamiento del cuerpo rígido y tampoco hay fuerzas genera

=ia

) integremos: en nuestro caso: dV = t dx dy integremos sobre el área.

1 2

31142

3045

230

48000202

303023300

000000004

52

30311

2340

230302

33002004080

00000000

22

2tE

LLLLLLLL

LL

LLLLLL

LLLL

dydxtBFDFBFT ∗

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=∗∗

(119)

) [ ] CFdVBFDFBFCF TT ∗∗∗∗ ∫ Determina la matriz deformación – emento.

ν

.

ria k. pero seria la

existe un , ϑ=1): no lizadas.

0

5 2L

fuerza del

175

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−−−−−−−−−−

=

441544434432615442632215443415221544221526343441522343261544

90 tEk (120)

4/1=ν

La diagonal 44 constante porque el elemento es cuadrado. Una vez hallad k de los miembros se sigue el proceso general vistos 8) Matriz desplazamiento – deformación A: 1−⇒⇒ KKA 9) Por definición, tendremos dos desplazamientos D en cada junta. 10) A se halla por geometría, lo mismo que en las armaduras. Se pasa directo al complementario puesto que en los elementos finitos se divide la estructura (que usualmente estará sometida a cargas distribuidas) en elementos tan pequeños que la carga distribuida (una el peso) se puedan concentrar en las juntas. De no ser así el problema primario seria tan complicado como el problema original, puesto que no sabemos como funciona el rectángulo bajo las cargas. 1’) Así: D = F Q obtiene los desplazamientos en las juntas 2’) se obtienen las coordenadas a: a = CFd = CF AD a = CF*A*D (121) 3’) se calculan las deformaciones unitarias: ε =BF*a 4’) se calculan las tensiones: σ = DF ε = DF BF Q σ = DF * BF*a SOBRE LOS ESFUERZOS Los esfuerzos así calculados en dos bordes contiguos no van a ser los mismos. En efecto para el procedimiento, los puntos en los dos elementos son vecino son puntoso diferentes. Con las funciones elegidas lo que estamos garantizando es que los dos bordes tengan los mismos desplazamientos; estamos obligando a que no exista grietas aunque en el método pueda haberlas. Pero existen ciertas fuerzas internas que no hemos preocupado por ellas y esto hace que sea inevitable que los esfuerzos sean diferentes

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En la práctica se promedia los esfuerzos de las dos caras contiguas. (Padilla): es además, no se ha establecido ninguna garantía contra la fuerza del plano de los elementos. Para técnicas, mas refinadas, ya logradas, consultar a la bibliografía. Para mayor información elementos finitos vèase: Robinsón, (Para ingenieros aeronáuticos) Zienkiewick, O.C y Holister, G.S. Stress Análisis, Wiley, 1965. (Hay un capitulo esento por Clough, base de esta exposición)

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