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8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS
Apuntes deOptimización y Simulación de Procesos
Gabriel E. Santana Rodríguez
Julio 2007
8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
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Contenido
Optimización _________________________________________________________ 1
¿Porqué optimizar? ________________________________________________________ 1
Clasificación de modelos________________________________________________ 1
Función objetivo ______________________________________________________ 1
Características esenciales de los problemas de optimización_______________________ 1
Pasos para la solución de problemas de optimización ____________________________1
Ejemplo 1 ________________________________________________________________1
Ejemplo 2 ________________________________________________________________1
Métodos analíticos_____________________________________________________ 1
Derivación Univariable _____________________________________________________ 1 Primera derivada ________________________________________________________________1 Segunda derivada________________________________________________________________1 Ejemplo 1______________________________________________________________________1 Ejemplo 2______________________________________________________________________1
Derivación Multivariable ___________________________________________________1 Gradiente ______________________________________________________________________1 Hessiano_______________________________________________________________________1 Ejemplo 1______________________________________________________________________1 Ejemplo 2______________________________________________________________________1 Ejemplo 3______________________________________________________________________1
Multiplicadores de Lagrange ________________________________________________ 1 Ejemplo 1______________________________________________________________________1 Ejemplo 2______________________________________________________________________1
Métodos numéricos ____________________________________________________ 1
Fibonacci_________________________________________________________________ 1 Ejemplo _______________________________________________________________________1
Sección dorada ____________________________________________________________1 Ejemplo _______________________________________________________________________1
Simplex __________________________________________________________________1 Ejemplo 1______________________________________________________________________1
Ejemplo 2______________________________________________________________________1 Nelder-Mead______________________________________________________________ 1
Ejemplo 1______________________________________________________________________1 Ejemplo 2______________________________________________________________________1
Máxima Pendiente _________________________________________________________1 Ejemplo 1______________________________________________________________________1 Ejemplo 2______________________________________________________________________1
Programación lineal ___________________________________________________ 1
Método gráfico. ___________________________________________________________1 Ejemplo _______________________________________________________________________1
Método Simplex ___________________________________________________________1 Ejemplo _______________________________________________________________________1
i
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Programación geométrica_______________________________________________ 1
Ejemplo de polinomios con términos positivos __________________________________ 1
Ejemplo de polinomios con términos positivos y negativos ________________________1
Programación dinámica ________________________________________________ 1
Ejemplo 1 ________________________________________________________________1
Ejemplo 2 ________________________________________________________________1
Bibliografía __________________________________________________________ 1
ii
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GESR
Optimización [1]
La optimización es el uso de métodos específicos para determinar la solución másrentable y más eficiente a un problema o a un diseño para un proceso. Esta técnica esuna de las herramientas cuantitativas principales en la toma de decisión industrial. Una
amplia variedad de problemas en el diseño, la construcción, la operación, y el análisisde plantas químicas (así como muchos otros procesos industriales) se puede resolver porla optimización.
El objetivo de la optimización es encontrar los valores de las variables en el proceso que produzcan el mejor valor del criterio establecido tal como el costo mínimo. Normalmente existe una compensación entre los costos de capital y de operación.
¿Porqué optimizar?
¿Por qué los ingenieros están interesados en la optimización? ¿Qué beneficios resultande usar este método en vez de tomar decisiones intuitivamente? Los ingenieros trabajan
para mejorar el diseño inicial del equipo y se esfuerzan para mejorar la operación de eseequipo una vez que esté instalado de tal modo que realice la mayor producción, elmáximo beneficio, el costo mínimo, el menor uso de energía y así sucesivamente. Elvalor monetario proporciona una medida conveniente de objetivos diversos, pero notodos los problemas tienen que ser considerados en un marco monetario (costo contrarédito).
En operaciones de planta, las ventajas surgen del funcionamiento mejorado de la planta,
tal como mejores producciones de productos valiosos (o producciones reducidas decontaminantes), del consumo de energía reducido, de velocidades de procesamientomayores y de tiempos más largos entre paros. La optimización puede también conducira costos de mantenimiento reducidos, a menos desgaste del equipo y a una utilizaciónmejor del personal. Además, las ventajas intangibles surgen de las interacciones entreoperadores de planta, ingenieros y la gerencia. Es extremadamente provechosoidentificar sistemáticamente el objetivo, las restricciones y los grados de libertad en un
proceso o una planta, conduciendo a beneficios tales como calidad mejorada del diseño,una localización de averías más rápidamente y más confiables, y una toma de decisiónmás rápida.
Los beneficios pronosticados se deben hacer con cuidado. Las variables de operación ydiseño en la mayoría de las plantas se relacionan siempre de cierta manera. Si la cuentadel combustible para una columna de la destilación es $3000 por día, un ahorro del 5
por ciento puede justificar un proyecto sobre conservación de energía. Sin embargo, enuna operación unitaria tal como destilación, es incorrecto simplemente sumar losservicios del intercambiador de calor y hacer una reducción en el calor total requerido.Una reducción en el servicio de calentamiento del rehervidor puede influenciar en la
pureza del producto, que se puede traducir en un cambio en las ganancias y en losrequerimientos de enfriamiento en el condensador. Por lo tanto, puede ser engañoso nohacer caso de los efectos indirectos y de relación que tienen las variables del proceso enlos costos.
1
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GESR
2
¿Qué hay acerca de la discusión, de que el uso formal de la optimización realmente noestá garantizado debido a la incertidumbre que existe en la representación matemáticadel proceso o de los datos utilizados en el modelo del proceso? Tal discusión tieneciertamente cierto mérito. Los ingenieros tienen que usar un juicio en la aplicación detécnicas de optimización a los problemas que tienen una incertidumbre considerable
asociada a ellos, desde el punto de vista de la exactitud y del hecho de que los parámetros de operación de la planta y los alrededores no son siempre estáticos. Enalgunos casos puede ser posible realizar un análisis vía optimización determinista ydespués agregar características estocásticas al análisis para producir prediccionescuantitativas del grado de incertidumbre. Siempre que el modelo de un proceso seidealice y los datos de la entrada y los parámetros se conozcan aproximadamente, losresultados de la optimización se deben tratar juiciosamente. Pueden proporcionar límitessuperiores a las expectativas. Otra manera de evaluar la influencia de parámetrosinciertos en el diseño óptimo es realizar un análisis de sensibilidad. Es posible que elvalor óptimo de una variable de proceso no es afectado por ciertos parámetros(sensibilidad baja); por lo tanto, tener valores exactos para estos parámetros no será
crucial para encontrar el óptimo verdadero.
Clasificación de modelos
Basados en descripcionesestrictamente empíricas
Provienen de la experiencia como de
reglas heurísticas a consecuencia defalta de tiempo o de recursos.
Basados en la teoría física
Involucra balances de masa y energía,
termodinámica, cinética de lareacción química, etc.
x
)( x f
No linear
x
)( x f
Linear
Estado no estacionario (dinámico)
0≠∂
∂
t
Si hay variación respecto al tiempo.
Estado estacionario (estático)
0=∂
∂
t
No hay variación respecto al tiempo.
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GESR
Parámetro agrupado
0=∂
∂
V
Las variaciones espaciales se ignorany las propiedades del sistema son
iguales en todo el volumen
Parámetro distribuido
0≠∂
∂
V
Existen variaciones espaciales y las
propiedades del sistema son
diferentes en todo el volumen
Variable continua
La variable tiene un número infinito
de valores, por ejemplo, los diferentesvalores de presión y temperatura encada etapa de compresión.
Variable discreta
La variable tiene un número finito de
valores, por ejemplo, el número decompresores.
3
Estocásticos
Son sistemas que funcionan por azar
en función de probabilidades. Porejemplo, la forma que toma el vapor
es aleatoria.
Determinísticos
Son sistemas que exhiben el mismo
comportamiento bajo las mismascondiciones y no suceden al azar. Por
ejemplo, un líquido hervirá bajociertas condiciones.
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GESR
Función objetivo [1]
Formular el problema es quizás el paso más crucial de la optimización. La formulacióndel problema requiere identificar los elementos esenciales de una declaraciónconceptual o verbal de una aplicación dada y organizarlos en una forma matemática
prescrita, a saber,
1. La función objetivo (criterio económico)
2. El modelo de proceso (restricciones)
La función objetivo representa los factores tales como beneficio, costo, energía, y producción en términos de las variables claves del proceso que es analizado. El modelodel proceso y las restricciones describen las correlaciones de las variables clave.
Características esenciales de los problemas de optimización
Debido a que la solución de los problemas de optimización implica varias característicasde las matemáticas, la formulación de un problema de optimización debe utilizarexpresiones matemáticas. Tales expresiones no necesitan necesariamente ser muycomplejas. No todos los problemas se pueden indicar o analizar cuantitativamente, perorestringiremos nuestra cobertura a los métodos cuantitativos. Desde un punto de vista práctico, es importante relacionar correctamente la declaración del problema con unatécnica de solución anticipada.
Una variedad amplia de problemas de optimización tiene estructuras asombrosamentesimilares. De hecho, es esta semejanza la que ha permitido el progreso reciente en lastécnicas de optimización. Los ingenieros químicos, ingenieros petroleros, físicos,químicos e ingenieros de tráfico, entre otros, tienen un interés común en la mismaestructura matemática del problema, cada uno con un diverso uso en el del mundo real.Podemos hacer uso esta semejanza estructural para desarrollar un marco o unametodología dentro de la cual puede ser estudiado cualquier problema.
Cada problema de optimización contiene tres categorías esenciales:
1. Por lo menos una función objetivo que se optimizará (función beneficio, función
costo, etc.)2. Restricciones de igualdad (ecuaciones)3. Restricciones de desigualdad (desigualdades)
Las categorías 2 y 3 constituyen el modelo del proceso o del equipo; la categoría 1 aveces se llama el modelo económico. Por solución factible del problema deoptimización se quiere decir que se trata de un conjunto de variables que satisfacen lascategorías 2 y 3 al grado deseado de precisión.
4
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GESR
Pasos para la solución de problemas de optimización
1. Analizar el proceso para definir las variables de proceso y las característicasespecíficas del interés; es decir, hacer una lista de todas las variables. Puede incluir undiagrama o esquema.
2. Determinar el criterio de optimización (minimizar o maximizar), especificar lafunción objetivo en términos de las variables definidas en el paso 1 junto con loscoeficientes. Este paso proporciona el modelo de optimización (a veces llamado modeloeconómico cuando sea apropiado).
3. Con expresiones matemáticas, desarrolle un modelo válido del proceso o del equipoque relacione las variables de entrada-salida del proceso y los coeficientes asociados.Incluir las restricciones de igualdad y desigualdad. Utilizar principios físicos bienconocidos (balances de masa, balances de energía), relaciones empíricas, conceptosimplícitos y restricciones externas. Identificar las variables independientes ydependientes para obtener el número de grados de libertad.
4. Si la formulación del problema es demasiado grande en alcance:
(a) Divida el problema en partes manejables o,(b) simplifique la función objetivo y el modelo.
5. Aplique una técnica de optimización adecuada a la declaración matemática del problema.
6. Compruebe las respuestas y examine la sensibilidad del resultado a los cambios enlos coeficientes del problema y las suposiciones.
Ejemplo 1
Se desea enfriar un gas [Cp=0.3 Btu/(lb ºF)] de 195 a 90 ºF, usando agua deenfriamiento a 80 ºF. Los costos del agua son $0.20/1000 pies3 y los cargos fijosanuales para el intercambiador son $0.50/pie2 de superficie interna, con un diámetro de0.0875 pies. El coeficiente de transferencia de calor es U=8 Btu/(h pie2 ºF) para ungasto másico de gas de 3000 lb/h. Grafique los costos anuales del agua de enfriamiento
y los cargos fijos del intercambiador como una función de la temperatura del agua desalida. ¿Cuál es el costo total mínimo?
Solución:
Paso 1.
Suposición: Intercambiador de calor de un solo paso por tubos y un solo paso por
coraza en contracorriente y sin cambio de fase.
El perfil de temperatura es:
5
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195ºF
T0
90ºF80ºF
F pieh
BtuU
F lb
BtuCp
h
lb
m
año pieC
piesC
gas
gas
fijos
agua
º8
º3.0
300
$50.0
$
1000
20.0
2
2
3
=
=
=
=
=
Paso 2.
Minimizar Costos totales como una función de la temperatura del agua de salida.
añoT f Costostotales
$)( 0 ==
Paso 3.
Sumar todos los costos y dejarlos en $/año. Para eso se necesita las ecuaciones quedescriben el proceso:
Suposiciones: Pérdidas de calor despreciables
Se laboran 365 días al año, 24 horas al día.
F lb
Btu
Cpagua º1=
, 34.62 pie
lb
agua =
ρ
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−
−−−=Δ
Δ=
−=
−=
)8090(
)195(ln
)8090()195(
)90195(
)80(
0
0
0
T
T T
T UAQ
cpmQ
T cpmQ
ml
ml
gasgas
aguaagua
6
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GESR
Los costos son:
año pies A
año pieC
añoaño
h
h
lbm
lb
pie
piesC
fijos
agua
agua
agua
$)($50.0
$)365)(24(1$
1000
20.0
2
2
3
3
==
=⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ =
ρ
Donde:
h
lb
T T cp
cpm
T cp
Qm
agua
gasgas
agua
agua =−
−=
−
−=
−=
)80)(1(
)90195)(3.0)(3000(
)80(
)90195(
)80( 000
2
0
0
)8090(
)195(ln
)8090()195()8(
)90195)(3.0)(3000( pies
T
T
T U
Q A
ml
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−
−−−
−=
Δ=
Paso 4.
No hay nada que simplificar
Paso 5.
Una técnica de solución, es derivar la función objetivo en términos de la variable T0.Igualar a cero y encontrar la solución.
=0dT
dC total
5.1200 =T °F
año
$249.40=totalC
Paso 6.
Para comprobar la solución, se puede graficar.
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GESR
Ejemplo 2
Un compuesto orgánico se produce en un proceso por lotes donde no se obtiene ningún producto hasta que se termine el procesamiento del lote. Cada ciclo consiste de untiempo de operación necesario para completar la reacción más un tiempo adicional de1.4 h requeridas para descarga y carga. El tiempo de operación por ciclo es igual a1.5P0.25, donde P son los kilogramos de producto producido por lote. Los costos deoperación durante el periodo de operación son $20 por hora, mientras que los costosdurante el periodo de descarga-carga son $15 por hora. Los costos fijos anuales (Cf ) delequipo, varían con el tamaño del lote de la siguiente forma:
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=año
PC f $3408.0
Los cargos por almacenamiento e inventario se pueden despreciar. De ser necesarioasuma que la planta puede operar 24h/día por 300 días/año. La producción anual es 106 kg de producto. A esta capacidad, los costos de las materias primas y misceláneas,diferentes a los ya mencionados, son de $260 000 por año. Determine el tiempo delciclo para obtener el mínimo costo anual total.
Paso 1.
1.4 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ciclo
hmuerto tiempo para descarga y carga.
1.5P0.25 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ciclo
hoperación tiempo de operación por ciclo (se asume en horas)
P ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ciclo
Kg producto kilogramos de producto producido por lote (1 lote por cada
ciclo)
8
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GESR
20⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
operaciónh
$ Costo durante el periodo de operación
15 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
muertoh
$ Costo durante el periodo de descarga-carga
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
añoPC f
$340 8.0 Costos fijos anuales
106 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
año
Kg producto Producción anual
260 000 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
año
$ Costos de las materias primas y misceláneas
De ser necesario asuma que la planta puede operar 24h/día por 300 días/año.
Paso 2.
Minimizar los costos totales anuales en función de la única variable P.
añoP f Costostotales
$)( ==
Paso 3.
Convertir todos los costos a $/año y después sumarlos.
Costo durante el periodo de operación,
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
añoaño
Kg
Kg
ciclo
Pciclo
hP
h
operación
operación
$10
15.1
$20 625.0
Costo durante el periodo de descarga-carga,
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
añoaño
Kg
Kg
ciclo
Pciclo
h
h
muerto
muerto
$10
14.1
$15 6
El costo total es,
Paso 4.
No hay nada que simplificar
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GESR
Paso 5.
Una técnica de solución, es derivar la función objetivo en términos de la variable P.Igualar a cero y encontrar la solución.
=dP
dC total
ciclo
KgP 840.1625=
=totalC año
$
El tiempo de cada ciclo es,
ciclo
h10.94)1.5(1625.81.41.5P4.1 0.250.25 =+=+
El tiempo total al año es,
año
h6704.2
84.1625
109.1010
1
ciclo
h10.9
66 =
⋅=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
año
Kg
Kg
ciclo
P
El tiempo total disponible es de (24)(300)=7200 h/año, es decir, a condiciones óptimasno se requerirá todo el tiempo disponible de operación.
Paso 6.
Para comprobar la solución, se puede graficar.
10
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GESR
Métodos analíticos [2]
Derivación Univariable
Primera derivada. Es la pendiente de una recta y se define como:
h
x f h x f x f
h
)()(lim)('
0
−+=
→
Para una función dada , la pendiente en un punto estacionario (punto mínimo,
máximo o de inflexión) es cero.
)( x f
)( x f
Segunda derivada. Sigue siendo una pendiente, pero su significado es diferente.
La serie de Taylor, es una serie infinita que puede representar una función como:
!
)()(
!2
)()(''))((')()( 00
)(2
00000
n
x x x f
x x x f x x x f x f x f
n
n −++−
+−+= L
Donde: x0 es un punto estacionariox es un punto alrededor de x0
Si la serie se trunca hasta el tercer término,
!2
)()(''))((')()(
20
0000
x x x f x x x f x f x f
−+−+=
!2
)(
)('')()(
20
00
x x
x f x f x f
−+=
)( x
Mínimo
0)(' = x f
0)('Máximo
= x f
0)('
Inflexión
x f =
0 (en un punto estacionario)
11
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GESR
Se despeja ,)('' 0 x f
( )
20
00
)(
)()(!2)(''
x x
x f x f x f
−
−=
En está última ecuación, el término )()( 0 x f x f − varía de signo, los otros términos son
siempre positivos.
Para un mínimo
)( x f
)( x 0 x
Para un máximo
x x
)( x f
)( 0 x f
)( x f
Como :)()( 0 x f x f >
)()( 0 x f x f − siempre es positivo
∴ es un mínimo0)('' 0 > x f
)( x f
)( x 0 x
)( 0 x f
)( x f
x x
Como :)()( 0 x f x f <
)()( 0 x f x f − siempre es negativo
∴ es un máximo0)('' 0
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GESR
El resultado anterior se puede generalizar.
Si el orden de la derivada es un número par (n):
Si f (n)(xopt)>0 se trata de un mínimo
Si f (n)
(xopt
)0 se trata de un punto de inflexiónSi f (m)(xopt)
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GESR
Ejemplo 2
unto estacionario de la función f(x)=x5. Decir de qué tipo se trata.
derivada es,
e la ecuación anterior es x=0.
’(x=0)=0 Se necesita de una derivada de orden mayor
(x=0)=0 Se necesita de una derivada de orden mayor
(x=0)=0 Se necesita de una derivada de orden mayor
(x=0)=120 como el orden de la derivada es impar (m=5), se trata de un punto de inflexión.
Encontrar el p Solución:
La primera
f’(x)=5x
4
=0
La solución d La segunda derivada de la función es,
f’’(x)=20x3 f’ La tercera derivada de la función es,
f (3)
(x)=60x2
)f (3
La cuarta derivada de la función es,
f (4)(x)=120x)f (4
La quinta derivada de la función es,
f (5)(x)=120)
f (5
14
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GESR
La gráfica de l
a función es:
x=0Punto de inflexión
15
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GESR
Derivación Multivariable
Gradiente
El gradiente es la derivada parcial de una función respecto a cada una de las variablesindependientes:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂∂
∂
=∇
n
n
x
f
x
f
x
f
x x x f
M
L2
1
21 ),,,(
Para una función dada , su gradiente en un punto estacionario (mínimo,máximo u otro) es cero.
),,,( 21 n x x x f L
Por ejemplo, para la función: 22 )1()2(),( −+−= y x y x f
Su gradiente es: [ ]T T
y x y
f
x
f y x f )1(2)2(2),( −−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂
∂
∂=∇
Su gradiente representa la pendiente de un plano. En el punto mínimo de la función, la pendiente de este plano respecto al eje “x” y “y” es cero
xy
f(x, y)
),( y x f
plano
Hessiano
La serie de Taylor se puede usar para desarrollar el criterio de un mínimo o un máximode una función de dos variables,
L+−
+−−
+
+−
+−+−+=
!2
)(),(!2
))((),(
!2
)(),())(,())(,(),(),(
2
0000000
20
0000000000
y y y x f
y y x x y x f
x x y x f x x y x f x x y x f y x f y x f
yy xy
xx y x
16
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GESR
Donde los subíndices “x”,”y” indican diferenciación parcial respecto a aquellasvariables.
Si truncamos la serie de Taylor hasta los términos de segundo orden y puesto que las primeras derivadas evaluadas en el punto estacionario (x0, y0) son cero:
!2
)(),(
!2
))((),(
!2
)(),())(,())(,(),(),(
20
0000
00
20
0000000000
y y y x f
y y x x y x f
x x y x f x x y x f x x y x f y x f y x f
yy xy
xx y x
−+
−−+
+−
+−+−+=
0 0
!2
)(),(
!2
))((),(
!2
)(),(),(),(
20
0000
00
20
0000
y y y x f
y y x x y x f
x x y x f y x f y x f yy xy xx
−+
−−+
−+=
En forma matricial,
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−+=
)(
)()()(
2
1),(),(
0
0
0000 y y
x x
f f
f f y y x x y x f y x f
yy yx
xy xx
Donde:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
yy yx
xy xx
f f
f f es la matriz de segundas derivadas parciales evaluada en el
punto estacionario (x0, y0), a esta matriz se le llama matriz Hessiana.
Para una función de n variables, la matriz Hessiana se puede escribir como,
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
=
2
2
3
2
2
2
1
2
3
2
23
2
23
2
13
22
2
32
2
22
2
12
21
2
31
2
21
2
21
2
nnnn
n
n
n
x
f
x x
f
x x
f
x x
f
x x
f
x
f
x x
f
x x
f
x x
f
x x
f
x
f
x x
f
x x
f
x x
f
x x
f
x
f
H
L
MMMMM
L
L
L
)( 0 x f r
es un mínimo si:
H0 tiene determinantes donde i = 1, 2, …, n0>i D
(H0 se denomina positiva definida)
)( 0 x f r
es un máximo si:
H0 tiene determinantes 0i D
(H0 se denomina negativa definida)
Donde: i, representa el tamaño de la matriz H0 (filas y columnas)
17
8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
21/64
GESR
Si el resultado es cero para cualquier valor de Di, se dice que la matriz es semi-definida positiva o semi-definida negativa, no se puede definir si se trata de un mínimo o unmáximo y por lo tanto se requiere de una derivada de orden mayor para definirlo.
Ejemplo 1
Para una función de dos variables: . Encontrar los puntos
estacionarios y decir si se trata de un mínimo, un máximo o que no se pueda definircomo tal.
22 )1()2(),( −+−= y x y x f
Su gradiente es:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂∂
∂
=∇)1(2
)2(2),(
y
x
f
f
y
f x
f
y x f y
x
En el punto estacionario, el gradiente es cero:
0)2(2 =−= x f x
0)1(2 =−= y f y
La solución del sistema de ecuaciones anterior es:
1
2
0
0
=
=
y
x
Las derivadas parciales del gradiente, se vuelven a derivar para formar la matrizHessiana, es decir:
H= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
−∂
∂
−∂∂
−∂
∂
−∂
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
20
02
))1(2())1(2(
))2(2())2(2(
y
y
x
y
y
x
x
x
y
f
x
f
y
f
x
f
y y
x x
Evaluada en el punto estacionario 1,2 00 == y x
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
22
220 H
La matriz Hessiana es de tamaño i=2, se calcula la determinante de la matriz H0 detamaño (1 x 1) y de (2 x 2), como:
18
8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
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GESR
220
02
2
2
1
==
=
D
D
Como D1 >0 y D2 >0, la matriz H0 es positiva definida, por lo tanto se trata de unmínimo.
0)1,2( 00 === y x f
La gráfica de la función es:
Ejemplo 2
Para la siguiente función: . Encontrar los puntos
estacionarios y decir si se trata de un mínimo, un máximo o que no se pueda definir
como tal.
Su gradiente es:
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂∂
∂
=∇
y
f x
f
y x f ),(
En el punto estacionario, el gradiente es cero:
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=
0
0
19
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GESR
La solución del sistema de ecuaciones anterior es:
Las derivadas parciales del gradiente, se vuelven a derivar para formar la matrizHessiana:
En el punto 1:
=0 H
=1 D
=1 D
=2 D
=2 D
Como D1 =0 y D2 0 y D2 >0, se trata de un mínimo.
3611.2)91618.0,6541.0( 00 =−== y x f
La gráfica de la función es:
20
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GESR
Ejemplo 3
Para la siguiente función: . Encontrar los
puntos estacionarios y decir si se trata de un mínimo, un máximo o que no se pueda
definir como tal.
Su gradiente es:
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
=∇
z f
y f
x f
y x f ),(
En el punto estacionario, el gradiente es cero:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
0
00
La solución del sistema de ecuaciones anterior es:
Las derivadas parciales del gradiente, se vuelven a derivar para formar la matrizHessiana:
21
8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
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GESR
En el punto estacionario:
=0 H
=1 D
=1 D
=2 D
=2
D
=3 D
=3 D
Como D1 >0, D2
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GESR
Multiplicadores de Lagrange
Se aplica a problemas de optimización multivariable con restricciones de igualdad ydesigualdad
Ejemplo 1
Optimizar: 2121 ),( x x x x f +=
Sujeto a: 01),( 222121 =−+= x x x xh
En tercera dimensión, el problema se ve como:
El plano inclinado es la funciónobjetivo a optimizar que corta alcilindro que es la restricción.
Si se ve desde arriba, obtendremos una gráfica que se llama de contornos
f = 0.7000
f = -0.7000
f = 0.0000
f = 1.4142
f = -1.4142
Cada recta representa un valorconstante de y el valor
óptimo debe estar sobre el círculo(porque es una restricción deigualdad).
),( 21 x x f
De la gráfica anterior se puede ver que el problema tiene dos valores óptimos, unmínimo en )7071.0,7071.0( 21 −=−= x x f =-1.4142 y un máximo en
= 1.4142.)7071.0,7071.0( 21 == x x f
23
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GESR
Sólo en un punto estacionario, los vectores h∇ y f ∇ se pueden relacionarvectorialmente, en este caso:
h
h f ∇=∇ λ
El valor y signo de la variable λ (llamada multiplicador de Lagrange) no tiene ningúnsignificado cualitativo, solo relaciona el gradiente de la función objetivo con elgradiente de las restricciones de igualdad.
Resolviendo el problema por multiplicadores de Lagrange.
La restricción se iguala acero y la función L es:
Se calcula el gradiente de L y cada una de las ecuaciones se iguala a cero:
Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior, la solución es:
Solución 1 Solución 2
∇
f ∇
f ∇
h∇
24
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GESR
Cuando existen restricciones de desigualdad que llegan a formar parte de la solución, esdecir, desigualdades que se convierten en igualdades, los multiplicadores de Lagrangese conoce como condiciones de Kuhn-Tucker o Karush- Kuhn-Tucker.
Hasta el momento no se puede definir si se trata de un mínimo o un máximo. Para eso
se tendrían que calcular las condiciones de segundo orden.
Ejemplo 2
Optimizar: f = x + 2y2 + z2 Sujeta a: x + y + z =1
x – y = -2
Las restricciones se igualan acero y la función L es:
Se calcula el gradiente de L y cada una de las ecuaciones se iguala a cero:
Resolviendo el sistema de ecuaciones, la solución es:
25
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GESR
Métodos numéricos [2]
Fibonacci
El método de Fibonacci es considerado como uno de los mejores métodos paraoptimización univariable.
A partir de un intervalo de solución dado (a, b), el método de Fibonacci reduce ésteintervalo calculando dos puntos intermedios simétricos (x1, x2), la función objetivo f(x)se evalúa en estos dos puntos; Para minimizar se elimina el punto con el mayor valor def(x) y para maximizar se elimina el punto con el menor valor de f(x)); el proceso deeliminación se repite hasta un número determinado de intervalos.
∆
∆
f(x1)f(x2)
a bx1 x2
Para la siguienteiteración este intervalose elimina
En la gráfica de abajo se muestra un ejemplo del método de Fibonacci. Se realizan 4iteraciones con 5 intervalos calculados. Se supone que el punto “b” no cambia.
26
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GESR
|
En la última iteración 4, si δ es muy pequeño 0→δ .
24
5
Δ=Δ
Despejando y sustituyendo de la iteración 4 hasta la iteración 1,4Δ
54 2Δ=Δ
555543 32 Δ=Δ+Δ=Δ+Δ=Δ
555432 523 Δ=Δ+Δ=Δ+Δ=Δ
Iteración 4
224
5
δ +
Δ=Δ
∆4
∆5
δ
x3 x5x4
Iteración 3
543 Δ+Δ=Δ
x3x2 x4
∆3
∆4∆5
Iteración 1
321 Δ+Δ=Δ
x2a x1
∆1
∆3 ∆2
b
∆2
Iteración 2
x1 x3x2
∆4 ∆3
b
432 +Δ=Δ Δ
b
b
27
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GESR
555321 835 Δ=Δ+Δ=Δ+Δ=Δ
Igualando el intervalo de la iteración 1 y la iteración 2,5Δ
58
215
Δ=
Δ=Δ
En la iteración 1,
)(1 ab −=Δ
)( 12 xb −=Δ ó )( 22 a x −=Δ
5
)(
8
)( 1 xbab −=−
ó
5
)(
8
)( 2 a xab −=−
8
)(51
abb x
−−= ó
8
)(52
aba x
−+=
Si se realizarán “n” iteraciones,
Δ−= b x1
Δ+= a x2
Donde:
)(1
ab f
f
m
m −=Δ+
m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … m
m f 21 −− += mmm f f f 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 …
m: es el número de intervalos calculados, m=n+1n: es el número de iteraciones
Ejemplo
Maximizar: 2463 x x y −+=
Intervalo inicial: a=0, b=1Iteraciones: n = 4 (m=n+1=5 intervalos)
Solución:
Con m= 5 intervalos, y55 = f 86 = f
28
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GESR
625.0)01(8
5=−=Δ
Iteración 1
a=0 375.0625.00.11 =−=Δ−= b x 625.0625.00.02 =+=Δ+= a x b=1
6875.4)375.0( 11 === x f f 1875.5)625.0( 22 === x f f
21 f f <
Se elimina el punto a=0
El nuevo intervalo es:a=0.375 < x < b=1.0
375.0)625.00.1( =−=Δ
Iteración 2
a=0.375 625.01 = x 750.0375.0375.02 =+=Δ+= a x b=1
1875.51 = f 2500.5)750.0( 22 === x f f
21 f f <
Se elimina el punto a=0.375
El nuevo intervalo es:a=0.625 < x < b=1.0
250.0)750.00.1( =−=Δ
Iteración 3
a=0.625 750.01 = x 875.0250.0625.02 =+=Δ+= a x b=1.0
2500.51 = f 1875.5)875.0( 22 === x f f
21 f f >
Se elimina el punto b=1.0
El nuevo intervalo es:a=0.625 < x < b=0.875
125.0)625.0750.0( =−=Δ
Iteración 4
a=0.625 750.0125.0875.01 =−=Δ−= b x 750.02 = x b=0.875
2500.5)750.0( 11 === x f f 2500.52 = f
21 f f =
La solución es x= 0.750
29
8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
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GESR
Sección dorada
El método de sección dorada es similar al método de Fibonacci.
∆1Iteración 1
321 Δ+Δ=Δ
13
2
3
1 +Δ
Δ=
Δ
Δ
b
∆4
∆5
x3 x4
∆6
b
x1 x3x2
∆4 ∆3
b
b x2a x1
∆3 ∆2
x3x2 x4
∆3
∆4∆5
∆2Iteración 2
432 Δ+Δ=Δ
14
3
4
2 +Δ
Δ=
Δ
Δ
Iteración 3
543 Δ+Δ=Δ
15
4
5
3 +Δ
Δ=
Δ
Δ
Iteración 4
654 Δ+Δ=Δ
16
5
6
4 +Δ
Δ=
Δ
Δ
x5
De la gráfica anterior, se puede obtener lo siguiente:
30
8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
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GESR
ϕ =Δ
Δ=
Δ
Δ=
Δ
Δ=
Δ
Δ
6
5
5
4
4
3
3
2 (ϕ es una constante)
En la iteración 2 tenemos,
14
3
4
2
+Δ
Δ
=Δ
Δ
Si dividimos y multiplicamos el lado izquierdo por 3Δ ,
14
3
4
3
3
2 +Δ
Δ=
Δ
Δ
Δ
Δ
1+=ϕ ϕϕ
012 =−−ϕ ϕ
En la iteración 1,
ϕ =Δ
Δ
3
2
)(1 ab −=Δ
)( 12 xb −=Δ ó )( 22 a x −=Δ
ϕ =−
−
)(
)(
1 xb
ab ó ϕ =
−
−
)(
)(
2 a x
ab
ϕ
)(1
abb x
−−= ó
ϕ
)(2
aba x
−+=
Ejemplo
Minimizar )exp(5.0)( 2 x x x f −−=
En el intervalo: a=0, b=2Iteraciones: n=4
Tolerancia t=0.1
31
8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
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GESR
2361.1618.1
)02()(=
−=
−=Δ
ϕ
ab
Iteración 1
a=0 0.76392361.121
=−=Δ−= b x 1.23612361.101
=+=Δ+= a x b=2
0.0738)0.7639( 11 === x f f 0.2318)1.2361( 22 === x f f
21 f f <
Se elimina el punto b=2
El nuevo intervalo es: a=0 < x < b=1.2361
2361.102361.1 =−=error
7639.0)07639.0( =−=Δ
Iteración 2
a=0 0.47217639.02361.11 =−=Δ−= b x 0.76391 = x b=1.2361
0.1222)0.4721( 11 === x f f 0.07382 = f
21 f f >
Se elimina el punto a=0
El nuevo intervalo es: a=0.4721 < x < b=1.2361
0.76404721.02361.1 =−=error
4722.0)7639.02361.1( =−=Δ
Iteración 3
a=0.4721 7639.01 = x 9443.04722.04721.01 =+=Δ+= a x b=1.2361
0738.01 = f 1129.0)0.9443( 22 === x f f
21 f f <
Se elimina el punto b=1.2361
El nuevo intervalo es: a=0.4721 < x < b=0.9443
0.47224721.09443.0 =−=error
2918.0)4721.07639.0( =−=Δ
Iteración 4
a=0.4721 6525.02918.09443.01 =−=Δ−= b x 7639.01 = x b=0.9443
0737.0)0.6525( 11 === x f f 0738.02 = f
21 f f <
Se elimina el punto b=0.9443
El nuevo intervalo es: a=0.4721 < x < b=0.7639
0.29184721.07639.0 =−=error
32
8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
36/64
GESR
Se cumplen las 4 iteraciones, pero no se cumple la tolerancia. El mejor punto obtenidoes x1=0.6525
Simplex [3]
El método de máxima pendiente se aplica a problemas multivariables sin restricciones.
En geometría, un simplex o n-simplex es el análogo en “n” dimensiones de un triángulo.Por ejemplo, un 0-simplex es un punto; un 1-simplex un segmento de una línea; un 2-simplex un triángulo; un 3-simplex es un tetraedro; y un 4-simplex es un pentácoron.
En la optimización problemas multivariables, para resolver un problema de 2 variablesindependientes necesitaremos un triángulo, para 3 variables un tetraedro, para 4variables un pentácoron y así sucesivamente.
Por ejemplo, un simplex regular para 2 variables independientes es,
centroide
1
2
3
4
x1
x2
La función se evalúa en los puntos 1, 2 y 3, para minimizar se elimina el
punto que produzca el menor valor de (para maximizar se elimina el punto que
produzca el mayor valor de ). Si se elimina el punto 1, este punto se proyecta
al lado contrario para encontrar un nuevo punto 4. El proceso se repite hasta que ya nosea posible minimizar más la función.
),( 21 x x f
),( 21 x x f
),( 21 x x f
De los textos de geometría analítica se puede demostrar que las coordenadas de losvértices de un simplex regular se pueden obtener de la siguiente tabla:
33
8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
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GESR
n variablesm puntos
1 2 3 ... n
1 x1 x2 x3 … xn2 d 1 + x1 d 2 + x2 d 2 + x3 … d 2 + xn3 d 2 + x1 d 1 + x2 d 2 + x3 … d 2 + xn4 d 2 + x1 d 2 + x2 d 1 + x3 … d 2 + xnM M M M M M
m=n+1 d 2 + x1 d 2 + x2 d 2 + x3 … d 1 + xn
Donde:
( )112
1 −++= nnn
t d
( )1122 −+= n
nt d
t , es la distancia entre dos puntos del simplex (o bien, es la tolerancia)
Ejemplo 1
Minimizar: 222
121 )4()3(),( −+−= x x x x f
Punto inicial: x1=0.5, x2=1.0
Tolerancia: t=0.1
Solución:
El problema es de 2 variables independientes “x1” y “x2”, se necesitan m=2+1=3 puntos.
( ) ( ) 0.0966121222
1.011
21 =−++=−++= nn
n
t d
( ) ( ) 0.0258911222
1.011
22 =−+=−+= n
n
t d
Punto x1 x2 f(x1, x2) Triángulo1 5.0 0.1 15.25002 5.00.0966 + 0.10.0259 + 14.62183 5.00.0259 + 0.10.0966 + 14.5510 1, 2, 3
Para minimizar, se elimina el punto con el mayor valor de , en este caso es el
punto 1.
),( 21 x x f
Punto x1 x2 f(x1, x2) Triángulo1 0.5 1.0 15.25002 0.5966 1.0259 14.6218
34
8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
38/64
GESR
3 0.5259 1.0966 14.5510 1, 2, 3
Centroide:
( )[ ]eC x xn
x 1111
−= ∑ ( )[ ]eC x xn
x 2221
−= ∑
Donde el superíndice “c” es para centroide y “e” es para eliminado
( )[ ] 0.561255.05259.05966.05.02
11 =−++=C
x
( )[ ] 1.061250.10966.10259.10.12
12 =−++=C
x
Punto reflejado:
eC x x x 111 2 −=
eC x x x 222 2 −=
0.62255.0)0.56125(21 =−= x 1.12250.1)1.06125(22 =−= x
Como el valor de la función en el punto 4, es menor que el punto eliminado 1, el proceso se repite de lo contrario se detiene.
Para minimizar, se elimina el punto con el mayor valor de , en este caso es el
punto 2.
),( 21 x x f
Punto x1 x2 f(x1, x2) Triángulo
1 0.5 1.0 15.25002 0.5966 1.0259 14.62183 0.5259 1.0966 14.5510 1, 2, 34 0.6225 1.1225 13.9328 2, 3, 4
Centroide:
( )[ ] 0.57425966.06225.05259.05966.0211 =−++=C x
( )[ ] 1.109550259.11225.10966.10259.12
12 =−++=C
x
Punto reflejado:
0.55185966.0)0.5742(21 =−= x 1.19320259.1)1.10955(22 =−= x
35
8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
39/64
GESR
Como el valor de la función en el punto 5, es menor que el punto eliminado 2, el
Se elimina el pun l m f n es punto 3.
proceso se repite de lo contrario se detiene.
to con e ayor valor de ), 21 x x , e te caso es el(
Punto x1 x2 f(x1, x2) Triángulo1 0.5 1.0 15.25002 0.5966 1.0259 14.62183 0.5259 1.0966 14.5510 1, 2, 34 0.6225 1.1225 13.9328 2, 3, 45 0.5518 1.1932 13.8721 3, 4, 5
La tabla co e re
mpleta d sultados es,
Punto x1 x2 f(x1,x2) Triángulo1 0.5000 1.0000 15.25002 0.5966 1.0259 14.62183 0.5259 1.0966 14.5510 1 2 34 0.6225 1.1225 13.9328 4 2 35 0.5518 1.1932 13.8721 4 5 36 0.6484 1.2191 13.2638 4 5 67 0.5776 1.2898 13.2131 7 5 68 0.6742 1.3157 12.6149 7 8 69 0.6035 1.3864 12.5741 7 8 9
10 0.7001 1.4123 11.9859 10 8 9
M M M M M M M 81 2.7374 3.6616 0.1835 81 80 7882 2.7632 3.7582 0.1145 81 80 8283 2.6925 3.8289 0.1238 83 80 8284 2.7891 3.8548 0.0655 83 84 8285 2.8598 3.7841 0.0663 85 84 8286 2.8857 3.8807 0.0273 85 84 8687 2.8150 3.9514 0.0366 87 84 8688 2.9116 3.9773 0.0083 87 88 8689 2.9823 3.9066 0.0090 89 88 8690 3.0082 4.0032 0.0001 89 88 90
En el punto 90, se obtiene el resultado final de:
0001.0)0032.4,0082.3(
0032.4
0082.3
21
2
1
===
=
=
x x f
x
x
36
8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
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GESR
Ejemplo 2
1 )5()4 −+− x
unto inicial: x1=0.0, x2=0.0, x3=0.0: t=0.1
Soluci
2 ()3( +−= x x 232
2Minimizar: 21 ),( x x f
PTolerancia
ón:
Punto x1 x2 x3 f(x1,x2,x3) Tetraedro
1 0.0000 0.0000 0.0000 50.0000 1 2 3 42 0.0943 0.0236 0.0236 49.0201 1 2 3 43 0.0236 0.0943 0.0236 48.8786 1 2 3 44 0.0236 0.0236 0.0943 48.7372 1 2 3 4
5 0.0943 0.0943 0.0943 47.7639 5 2 3 46 0.0000 0.1179 0.1179 47.9065 5 6 3 47 0.0550 0.0629 0.1807 47.3998 5 6 7 48 0.0759 0.1598 0.1676 46.6496 5 6 7 89 0.1502 0.0934 0.1772 46.6424 5 9 7 8
10 0.0931 0.1164 0.2561 46.0372 10 9 7 8
M M M M M M M M M 230 2.9066 3.8418 4.8971 0.0443 229 230 228 227231 2.9671 3.8929 4.8361 0.0394 229 230 231 227232 2.9335 3.9353 4.9202 0.0150 229 230 231 232
233 3.0006 3.8614 4.9249 0.0249 233 230 231 232234 3.0275 3.9513 4.8903 0.0152 233 234 231 232235 3.0073 3.9390 4.9875 0.0039 233 234 235 232236 2.9782 4.0224 4.9405 0.0045 236 234 235 232237 2.9185 3.9799 5.0085 0.0071 236 237 235 232238 3.0026 4.0256 5.0374 0.0021 236 237 235 238239 3.0736 4.0115 4.9685 0.0065 236 239 235 238
En el punto 239, se obtiene el resultado final de:
0065.0)9685.4,0115.4,0736.3(
9685.4
0115.4
0736.3
321
2
2
1
====
=
==
x x x f
x
x
x
37
8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
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GESR
Nelder-Mead [4]
El método de Nelder-Mead es una versión más eficiente del método simplex que
permite que las figuras geométricas se reflejen agregando un coeficiente α , secontraigan con un coeficiente β o se expandan con un coeficiente γ . El mé
busto para hacerlo manualmente, pero se implementa fácilmente en un código de
Los valores de los coeficientes
todo es muy
rocomputadora.
α , β y γ recomendados por los autores del método son:
1=α 5.0= β
2=γ
Ejemplo 1
)4()3( −+−= x x
unto inicial: x1=0.5, x2=1.0: t=0.1
Solución:
22
21Minimizar: 21 ),( x x f
PTolerancia
Punto x1 x2 f(x) error
1 0.5259 1.0970 14.5500 0.31422 0.7449 1.2450 12.6800 0.90123 0.7519 1.6050 10.7900 1.53604 1.4160 2.4110 5.0340 3.25005 2.1010 4.2980 0.8971 4.05606 2.1010 4.2980 0.8971 1.86807 2.1010 4.2980 0.8971 0.19908 2.1790 4.1280 0.6909 0.24109 2.1790 4.1280 0.6909 0.0889
En el punto 9, se obtiene el resultado final de:
x
6909.0)1280.4,1790.2(
1280.4
1790.2
21
2
1
===
=
=
x x f
x
38
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GESR
Ejemplo 2
inimizar: 23222121 )5()4()3(),( −+−+−= x x x x x f MPunto inicial: x1=0.0, x2=0.0, x3=0.0
olerancia: t=0.1
Solución:
T
iter ónaci x1 x2 x3 f(x) error
1 0.0236 0.0236 0.0943 48.7400 0.49582 0.1886 0.1886 0.1886 45.5800 1.43103 0.1886 0.1886 0.1886 45.5800 1.4320
4 0.2959 0.2409 0.5474 41.2700 2.70505 0.6591 0.7429 0.9393 32.5800 5.49306 0.6591 0.7429 0.9393 32.5800 5.45307 1.6400 1.5470 2.6650 13.3200 10.29008 1.6400 1.5470 2.6650 13.3200 9.81209 3.2390 3.5000 5.3030 0.3992 11.4800
10 3.2390 3.5000 5.3030 0.3992 6.180011 3.2390 3.5000 5.3030 0.3992 5.045012 3.2390 3.5000 5.3030 0.3992 1.496013 3.2390 3.5000 5.3030 0.3992 0.677014 3.2390 3.5000 5.3030 0.3992 0.532215 3.2390 3.5000 5.3030 0.3992 0.425516 3.2390 3.5000 5.3030 0.3992 0.123917 3.2370 3.6360 5.4530 0.3938 0.138618 3.2370 3.6360 5.4530 0.3938 0.113219 3.2370 3.6360 5.4530 0.3938 0.0095
En el punto 239, se obtiene el resultado final de:
x
x
3938.0)4530.5,6360.3,2370.3(
4530.5
6360.3
2370.3
321
2
2
1
====
=
=
=
x x x f
x
39
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GESR
Máxima Pendiente [1]
El método de máxima pendiente se aplica a problemas multivariables sin restricciones.
ara una función objetivo de la forma: )( x f f r
= donde xr
P es un vector. Elrocedimiento de cálculo es el siguiente: p
[ ]1Paso 1. Estimar un punto inicial xr Paso 2. [ ]n x f x f x f x f ∂∂∂=∇
r Calcular el gradiente de la función 1)(
1
∂ ∂∂L2
Paso 3. Sustituir el punto inicial [ ] x en: [ ] [ ] [ ]nnr n 1 x f x )( xr r r∇−= α i raciones
+
Donde n = 1, 2 , …, número máximo de te1+nr
Paso 4. Sustituir [ ] x en la función objetivo: [ ] [ ] )())(( α α f x f x f f nn =∇−= rr
Paso 5. función )(α f y sustituir α Minimizar laPaso 6. Repetir pasos 3 a 5 hasta cumplir la tolerancia o un número máximo de
ones.
−+−== y x y f
úmero máximo de iteraciones: 5olerancia: 0.01
Se calcula el gradiente de la función objetivo:
iteraci
Ejemplo 1
22 )6()2()Minimizar: ,( x f
Punto inicial x=0.5, y=0.8 NT
Solución:
)6(2
)2(2
−=∂
∂
−=∂
∂
y x
f
x x
f
Calcular un nuevo punto (x, y):
))6(2(
))2(2(
−−=∂
∂−=
−−=∂
∂−=
y y y
f y y
x x x
f x x
α α
α α
Iteración 1
Se hace la sustitución del punto inicial en el sistema de ecuaciones,
40
8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
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GESR
Se sustituye en la función objetivo, se deriva respecto a α y se obtiene el valor de α,
Se sustituye α y se obtiene un nuevo punto inicial,
El error es,
Iteración 2
Se hace la sustitución del punto inicial,
Como ya no aparece la variable α, se termina y el valor final es,
El error es,
Los resultados s en sigu nte
e resumen la ie tabla,
Iteración x y f(x, y) error=m xn+1
-xn║ áx║
0 0.5 0.8 29.29 -1 2.0 6.0 0 5.22 2.0 6.0 0 0
41
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GESR
Ejemplo 2
222 32),,( z y x z y x f Minimizar: f ++==
z= 1
Se calcula el gradiente de la función objetivo:
Punto inicial x=2, y= -2, Número máximo de iteraciones: 5Tolerancia: 0.5
z
z
f
y x
f
x x
f
6
2
4
=
∂
∂
=∂
∂
=∂
∂
Calcular un nuevo punto (x, y, z):
)6(
)2(
)4(
z z z
f z z
y y y
f y y
x x x
f x x
α α
α α
α α
−=∂
∂−=
−=∂
∂−=
−=∂
∂−=
Iteración 1
Se hace la sustitución del punto inicial,
Se sustituye en la función objetivo, se deriva respecto a α y se obtiene el valor de α,
Se sustituyeα
y se obtiene un nuevo punto inicial,
42
8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
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GESR
El error es,
Iteración 2
Se hace la sustitución del punto inicial,
Se sustituye en la función objetivo, se deriva respecto a α y se obtiene el valor de α,
Se sustituye α y se obtiene un nuevo punto inicial,
El error es,
43
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GESR
Iteración 3
Se hace la sustitución del punto inicial,
Se sustituye en la función objetivo, se deriva respecto a α y se obtiene el valor de α,
Se sustituye α y se obtiene un nuevo punto inicial,
El error es,
Los res ados s e nt
ult e resumen n la siguie e tabla,
Iteración x y z f(x, y) error=1-x
n║máx║xn+
0 2 -2 1 15 -1 0.15873 -1.07937 -0.38095 1.65079 1.84122 0.00424 -0.55409 0.17522 0.39916 0.556173 -0.00011 -0.26956 -0.09471 0.09957 0.28453
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GESR
Programación lineal [1,2]
En este método, la palabra programación significa optimización y no a la generación deun código de computadora. Un problema de programación lineal invo
lucra la
de igualdad y
on:
a problemas de 2 variables independientes.oblemas de 2 o más variables independientes.
unto interior, aplicable a problemas de 2 o más variables independientes.
étodo gráfico.
Maximizar:
ujeto a:
optimización de una función objetivo lineal sujeta a restricciones
desigualdad, que también son lineales.
Los métodos utilizados para resolver un problema de programación lineal s Gráfico, solo aplicableSimplex, aplicable a pr P
M
Ejemplo
1 3 x x f += 2
121 ≤+− x xS (1)
(2)
(3)
221 ≤+ x x
121 ≥+ x x
0,0 21 ≥≥ x x
Solución:
Graficar
Se grafican las restricciones que son rectas (para graficar una recta se necesitan dos puntos):
Para la restricción 1: x x , se toma como igualdad, 121 =+− x x 121 ≤+−
Si x1=0, entonces x2=-1, punto 1 (x ,x )=(0,1)
Para la restricción 2: , se toma como igualdad
1 2Si x2=0, entonces x1=1, punto 2 (x1,x2)=(-1,0)
221 ≤+ x x , 221 =+ x x
Si x1=0, entonces x2=2, punto 1 (x1,x2)=(0,2)
Para la restricción 3: , se toma como igualdad
Si x2=0, entonces x1=2, punto 2 (x1,x2)=(2,0)
121 ≥+ x x , 121 =+ x x
i x1=0, entonces x2=2, punto 1 (x1,x2)=(0,1)i x2=0, entonces x1=2, punto 2 (x1,x2)=(1,0)
SS
45
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GESR
egión factible
0-1 1 2
x2121− + x x221 ≤+ x x ≤
2
121 ≥+ x x 1
x1
R
Se tom punto de ferenc o el origen que tiene coordenadas,x2)=(0,0). Se sustituye cada es:
x :
a un re ia, por ejempl(x1 en una de las restriccion
121 ≤+− x 100 ≤+− , 10 ≤ Verdadero
221 ≤+ x x : 200
≤+, 20
≤ Verdadero
121 ≥+ x x : 100 ≥+ , 10 ≥ Falso
01 ≥ x , 02 ≥ x indican el primer cuadrante
a región factible de cada recta apunta hacia el punto de referencia, en este caso, si elsultado es verdadero hacia el origen, si es falso hacia el lado opuesto del origen.
Lre
0
x2121− + x x221 ≤+ x x ≤
2
121 ≥+ x x1
-1 1x1
2
46
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GESR
Se señala la región factible que satisface a todas las restricciones. Es la región, cuyosdos señalan todos hacia adentro.
unto óptimo
la
0-1 1 2x1
1
2
x2121 ≤+− x x221 ≤+ x x
121 ≥+ x x
P
e evalúan las coordenadas de c/u de las esquinas de la región factibleS
0-1
x2121− + x x221 ≤+ x x ≤
2
121 ≥+ x x 1
Punto x1 x2 f(x1,x2)A 0.5000 1.500 5.000B 0.000 1.000 3.000C 2.000 0.000 2.000D 1.000 0.000 1.000
el mayor valor de f(x1, x2) es el punto A.El punto con
1 2x1
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GESR
Método Simplex
Ejemplo
Maximizar:
ujeto a:21 3 x x f +=
121 ≤+− x xS (1)
Las variables de la función objetivo y las restricciones se pasan al lado izquierdo,dejando las constantes del lado derecho.
221 ≤+ x x (2)
121 ≥+ x x (3)
0,0 21 ≥≥ x x
03 21 =−− x x f
121 ≤+ x x −221 ≤+ x x
121 ≥+ x x
0,0 21
Las desigualdades se convierten a iguald
≥≥ x x
ades, agregando una variable de holgura
o, s ldad
positiva por cada restricción.
Por ejempl i tuviéramos la desigua 53 ≤ , tenemos dos opciones para convertirlanúmero positivo 2.
pción 1: sumar del lado menor
a igualdad agregando el
523 =+ O
Opción 2: restar del lado mayor 253 −=
Para nuestro problema,
03 21 =−− x x f
1321 =++− x x x
2421 =++ x x x
1521 =−+ x x x
0,0,0,0,0 54321 ≥≥≥≥≥ x x x x x
Se hace una tabla con los coeficientes de la función objetivo y las restricciones,
Tabla 1
f 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x b
E1 1 -1 -3 0 0 0 0
0 -1 1 1 0 0 1E2
E3 0 1 1 0 1 0 2E4 0 1 1 0 0 -1 1
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GESR
Solución parcial
Variables básicas. Una variable es básica si tiene solamente un coeficiente diferente decero y su valor es la división de la constante “b” entre el coeficiente.
no básicas. Una vari le es no bási si tiene más de un coeficiente diferentesu valor cero.
ásicas:
Variables ab cade cero y es
B 11
3
1== x , 2
14
2== x , 1
1
15
No básicas: 01 = x , = x
−=−
= x
r de la función objetivo es
02
0)0,0( 21 === x x f El valo (valor en la esquina superior
erecha de la tabla)d
Pivote
Columna pivote. En el primer renglón (función objetivo), se elige el menor númeronegativo. Si no hay negativos, se detiene el proceso iterativo.
ente de la columnaivote. Se elige el menor número positivo diferente de cero.
El pivote es la inte cción a a pivo el re pivote.
Renglón pivote. Se divide la constante “b” entre su respectivo coefici p
rse de l column te y nglón
f 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x b
1 -1 -3 0 0 0 0
-1 1/1= 10 1 1 0 0 1
0 1 1 0 1 0 2 2/1= 20 1 1 0 0 -1 1 1/1= 1
Eliminación
e hacen ceros los coeficientes arriba y abajo del pivote. El modo de eliminación es:
Ecuación = Ecuación – (número a elim
S
inar/ pivote) Ecuación pivote
f 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x b
E1=E1-(1/-3)E2 1-(-3/1)0 -1-(-3/1)-1 -3-(-3/1)1 0-(-3/1)1 0-(-3/1)0 0-(-3/1)0 0-(-3/1)1
E2=E2 0 -1 1 1 0 0 1E3=E3-(1/1)E2 0-(1/1)0 1-(1/1)-1 1-(1/1)1 0-(1/1)1 1-(1/1)0 0-(1/1)0 2-(1/1)1
E4=E4-(1/1)E2 0-(1/1)0 1-(1/1)1 1-(1/1)1 0-(1/1)0 0-(1/1)1 -1-(1/1)0 1-(1/1)2
49
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GESR
Tabla 2
f 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x b
E1 1 -4 0 3 0 0 3
E2 0 -1 1 1 0 0 1E3 0 2 0 -1 1 0 1
0 2 0 -1 0 -1 0E4
Solución parcial
11
12 1
1
14 = , 0
1
05 =
−= x Básicas: == x , x =
, 03 = x 01 = x No básicas:
3)1,0( 21 === x x f El valor de la función objetivo es:
Pivote
f 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x b
1 -4 0 3 0 0 3
0 -1 1 1 0 0 1 1/-1= -10 2 0 -1 1 0 1 1/2= 0.50 2 0 -1 0 -1 0 0/2= 0
Eliminación
f 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x b
E1=E1-(-4/2)E3 1-( -4- )2 0-( 3-( 1 0-( 1 0-( 0 3-( 14/2)0 (4/2 4/2)0 4/2)- 4/2) 4/2) 4/2)
E2=E2-(-1/2)E3 0-(-1/2)0 -1-(-1/2)2 1-(-1/2)0 1-(-1/2)-1 0-(-1/2)1 0-(-1/2)0 1-(-1/2)1
E3 0 2 0 -1 1 0 1E )E3 0-(2/2)0 2-(2/2)2 0-(2/2)0 -1-(2/2)-1 0-(2/2)1 -1-(2/2)0 0-(2/2)14=E4-(2/2
Tabla 3
f 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x b
1 0 0 1 2 0 50 0 1 0.5 0.5 0 1.5
0 2 0 -1 1 0 1
0 0 0 0 -1 -1 -1
Solución final (porque ya no hay números negativos en el primer renglón)
5.02
11 5.1
1
5.12 == , 1
1
15 =
−
−= x Básicas: == x , x
03 = x 04 = x , No básicas:
El valor de la función objetivo es: 0( 1 5)5.1,5.= = =2 x x f
50
8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
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GESR
Programación geométrica [2]
La programación geométrica se aplica a polinomios.
Ejemplo de polinomios con términos positivos
286.0
Minimizar:32100
⎟⎟ ⎠
⎜⎜⎝
+⎟⎟ ⎠
⎜⎜⎝
+⎟ ⎠
⎜⎝
=PP
W
286.0
3
286.0
2 1000 ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ PP
s recomendable que las variables y constantes que están dividiendo, pasen deldenominador al numerador.
cada sumando se le divide por una variable wi y esta división se eleva a la misma w i,con i =1,2, …, # total de sumandos. Para formar una multiplicatoria:
E
286.0
3286.0286.0
3
286.0
2
286.0
2286.0 1000100
−−− ++= PPPPW
A
3286.0
3286.0
2286.0
3
286.0
2
1286.0
2286.0
3
1000
21w ⎜⎝ ⎟
⎠⎜⎝
100www
w
P
w
PPPW ⎟
⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎛
⎟ ⎞
⎜⎛
=−−−
Se separan las constantes de las variables:
3286.02286.0
3
2286.01286.0
2
3286.021286.0
321 wwwW
⎜
⎜
⎝ ⎟
⎠⎜⎝ ⎟
⎟
⎠⎜
⎜
⎝
=10001100 wwww
www
PP −−
−
⎟
⎟
⎠
⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛
El exponente de cada variable se ig
la sum wi igual a 1.
w1 + w2 + w3 = 1
Se resuelve el sistema de ecuacione
0.286 w1 – 0.286 w2 = 0
w2 + w3 = 1
La solución del sistema de ecuaciones es:
w2=1/3
w3=1/3
uala a cero:
0.286 w1 – 0.286 w2 = 00.286 w2 – 0.286 w3 = 0
Y se agrega una ecuación que es
atoria de todas las
s:
0.286 w2 – 0.286 w3 = 0w1 +
w1=1/3
51
8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
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GESR
Se sustituyen los valores de wi:
73.33/13/13/1
32⎟ ⎠
⎜⎝ ⎠⎝
⎟ ⎠
⎜⎝
100011003/1286.03/13/1286.0
=⎟ ⎞
⎜⎛
⎟ ⎞
⎜⎛ ⎟
⎞⎜⎛
=−
PPW mínimo
Cada sumando se divide entre su wi y se iguala al valor óptimo de la función objetivo,
00
1
1
100286.0
2286.0
w
PW
mínimo−
= 3/1
10073.3
286.0
2286.0 P−
=
2
286.0
3
286.0
2
w
PPW
mínimo
−
= 3/1
73.3286.0
3
286.0
2 PP −
=
3wW =
1000286.0
3286.0 Pmínimo
−
3/173.3 =
1000286.0
3286.0 −P
De las ecuaciones anteriores, se obtiene el variables independientes:
P2=215.44P3=464.16
Ejemplo de polinomios con términos positivos y negativos
inimizar:
valor de las
M 332
26.01.1
125.0 211533 x x x x y −−−=
s recomendable que las variables y constantes que están dividiendo, pasen deldenominador al numerador.
1 x x
E
31
31
26.0
21.1
1
cada término se le divide por un peso w i y esta división se eleva a la misma wi. con
e hace la división de la multiplicatoria de los términos positivos entre la multiplicatoriae los términos negativos.
25.01 211533 x x x x x x y −−−=
−−
1
Términos negativos
Ai=1,2, …, # total de términos.
Sd
3
3
213
12
26.02
1.11
125.01
4
2
3
115
2
3
1
3
www
w
w
x
w
x x
w
x x
w
x
y
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=−−
Términos positivos
52
8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
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GESR
S
e separan las constantes de las variables:
0326.0
021.1125.0
=
=+−
433
326.02
21.1125.014
3
32
1
42
3115
23
1
3
wwwwww
www
w
x x x
w x
ww
w y
−+−−
⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ⎟
⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ⎟
⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
El exponente de cada variable se iguala a cero:
− =
3 − 04w
ww
ww
se agrega una ecuación que es la sumatoria de todas las w i de los términos positivosmenos la suma de todas las wi de los términos negativos igual a 1.
w
Y
14321 =−−− wwww
e resuelve el sistema de ecuaciones:
1
3
026.0
021.
=−
−
−
S
1125.0
1432 −−
04 =
3 =+
=−
wwww
ww
w
w
iones es:
w1=2
Cada término se divide entre su wi y se iguala al valor óptimo de la función objetivo,
w
w
La solución del sistema de ecuac
w2=5/11w3=3/11w4=3/11
Se sustituyen los valores de wi:
1067.0
11/311/3
115
11/5
3
2 03
02
0111/11/5
=
⎠⎝ ⎠⎜⎝
⎛ ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎠⎝ = x x x ymínimo
23
3
11/3
⎟ ⎞
⎜⎛
⎟ ⎞ x
32
⎟ ⎞
⎜⎛
1 1 1
1
3 25.01w
x
y
mínimo = 2
3
1067.0
25.01 x=
53
8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
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GESR
2
3 6.021.1
1
w
x x y
mínimo = 11/5
31067.0
6.02
1.11 x x=
3w
115 131
2 x x ymínimo
−−
=
11/3
1151067.0
13
12
−−
= x x
4
2 3 x ymínimo = 11/3
21067.0 3
x=
w
e las ecuaciones anteriores, se obtiene el valor de las variables independientes:
1 = 2.560 × 10-5, x2 = 2.716 × 10
5, x3 = 1.455 × 10-2
D x
54
8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
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GESR
Programación dinámica [2]
a programación dinámica resuelve un problema de optimización por etapas y obtieneo con un número de combinaciones menor a todas las combinaciones posibles.
últiples etapas:
l problema se comienza a resolver, a partir de la etapa final (etapa 1), debido a quesión que se tome en esta etapa (d 1) no tendrá efecto en etapasl flujo de información es de izquierda a derecha. El diagrama de etapas
uede tener ramificaciones que no se contemplan aquí.
Lel óptim
Cada etapa tiene 4 variables:
Etapa iSi (Estado)
R i (Resultado)
Di Decisión
iS ~ (Transición)
Para m
F2=F1+R 2 F1=R 1F3=F2+R 3
R 2R 3
Ecualquier decisubsecuentes, e p
Etapa 3
3~S S3
d 3
Etapa 2 Etapa 1
2
~S S2
d 2
1
~S
R 1
d 1
S1
55
8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
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GESR
Ejemplo 1
n carr ado a cualquier puerto importante en la costa este para su envío a Europa. El costo
e envío a través del Atlántico es esencialmente igual en todos los puertos principales
te. Se desea para seleccionar la ruta óptima (el kilometraje de caminoás bajo) de San Francisco a la costa este. Las distancias relativas entre las ciudades a
rgo de las rutas posibles se muestran en el siguiente diagrama:
iagrama por etapas.
U o tanque transporta un producto fabricado en San Francisco que debe serentregd
de la costa del esmlo la
N0
C0
S0
C4
D
ara este problema, las etapas son el traslado de un nodo a otro:P
F2=F1+R 2 F1=R 1F4=F3+R 4 F3=F2+R 3
Identificar las variables de cada etapa (S i ,d i , Ri , iS
~)
Variable de estado (Si): El nodo de salidaVariable de decisión (d i): Seleccionar una rutaV b e ultado i traje cum d Variable de transi ón
aria le d res (R i): El k lome a ula oci ( iS
~ ): l no o de gad
E d lle a
Etapa 3
3
~S S3
R 3
d 3
Etapa 2
2
~S
2
d 2
R R 4
S2
Etapa 11
~S
R 1
S1
d 1
Etapa 4
4
~S S4
d 4
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8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
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GESR
Definir todos los estados posibles para todas las etapas
todos los nodos de salida.Los estados de cada etapa son
3
~S 4
~S S2 d 2 F2 2
~S S1 d 1 F1 1
~S S4 d 4 F4 S3 d 3 F3
C4 N3 N2 N1 1 1 N0C3 C2 C1 3 3 N0S3 S2 S1 7 7 C0
Combinaciones
Combinaciones de la etapa 2
S2 R 2 F2 2~S F2= 2F1+R
N2 8 8 N1 9 ←menor
N2 7 7 C1 10
C2 6 6 N1 ←m nor 7 eC2 5 5 C1 8C2 4 4 S1 11
S2 3 3 C1 6 ←m nor eS2 2 2 S1 9
Combinaciones de la etapa 3
S3 R 3 F3 3~S F3= R 3F2+
N3 1 1 N2 10 ←menor N3 3 3 C2 10 ←menor
C3 5 5 N2 14C3 6 6 C2 13 ←menor C3 7 7 S2 13 ←m nor e
S3 8 8 C2 15 ←menor S3 9 9 S2 15 ←menor
Combinaciones de la etapa 4
S4 R 4 F4 4~S F4=F3+R 4
C4 6 6 N3 16 ←menor C4 5 5 C3 18C4 4 4 S3 19
Se eligen las ejores comb i s e e me r m je se t lasiguiente tabla:
m inac one (los qu tien el no kilo etra ) y ob iene
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8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
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GESR
R 1 = 0.08F1 - (N1/100)2 R 3 = 0.08F3 - 3(N /100)
2 R 2 = 0.08F2 - 2(N2/100)2 3
S d F4 4 4 4~S S3 d 3 F3 3
~S S2 d 2 F2 2
~S S1 d 1 F1 1
~S
C4 6 16 N3 N3 1,3 10 N2,C2 N2 8 9 N1 N1 1 1 N0 C3 6,7 13 C2,S2 C2 6 7 N1 C1 3 3 N0 S3 8,9 15 C2,S2 S2 3 6 C1 S1 7 7 C0
Ejemplo
Un flujo másico de 700 lb/h se debe de distribuir entre tres reactores químicos que peran en paralelo:
Cada reactor tiene un catalizador diferente y condiciones de operación diferentes. Eldetermina por el flujo másico que se
alimenta a cada reactor y es B1, B2 y B3 para N1, N2 y N3 respectivamente. Maximizar el
eneficio.
iagrama por eta s
2
o
Reactor3 Reactor2 Reactor1
700 N1 N2 N3
beneficio que se obtiene en cada reactor se
b
D pa
ara este problem las etapas son cada rea tor:P a c
entificar las variables de cada etapa (S Id i ,d i , Ri , iS
~)
Etapa 3
3
~S
R 3
S3
d 3
Etapa 2
2
~S
R 2
S2
d 2
Etapa 1
1
~S
R 1
S1
d 1
F3=F2+R 3 F2=F1+R 2 F1=R 1
58
8/17/2019 Apuntes de Optimizaci n y Simulaci n de Procesos
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GESR
Definir todos los estados posibles para todas las etapas
Es el flujo disponible antes e pasa or un o n inc entos de100 (entre menor e incremento, exa a la so ución ero m om cion yviceversa)
S d F
d r p reactor y lo dividirem s e reml más ct l p ás c bina es
3 3 3 3~S S2 d F2 2 2
~S S1 d 1 F1 1
~S
700
200 200 200 12 -300 300 300 15 -400 400 400 16 -500 500 500 15 -600 600 600 12 -
700 700 7 -
Combinaciones
0 0 0 0 -100 100 100 7 -
700
C nac de tap
ombi iones la e a 2
S2 d 2 R 2 2~S F2= R 2F1+
700 700 -42 0 -42700 6 -24 -17700 500 -10 200
3
←m yor
00 1002
700 400 0 00 15
700 300 6 400 22700 200 8 500 23 a700 100 6 600 18700 0 0 700 7
600 6 -2400 0 -24600 500 -10 100 -3
2
←m yor
600 400 0 00 12600 300 6 300 21600 200 8 400 24 a600 100 6 500 21
600 0 0 600 12
500 500 -10 -100500 400 0 1
←m yor
00 7500 300 6 200 18500 200 8 300 23 a500 100 6 400 22500 0 0 500 15
400 400 0 0 0
400 300 6 100 13400 200 8 200 20
59
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GESR
400 100 6 300 ←m yor 400 0 16
21 a0 400
300 300 6 0 6300 200 8 100
300 100 6 200 18 ←m yor 3
15
a300 0 0 00 15
200 200 8 0 8200 100 6 100200 0 0 200 12
13 ←mayor
100 100 6 0 6100 0 0 100 7 ←mayor
0 0 0 0 0 ←m yor a
C nac de tap
ombi iones la e a 3
S3 d 3 R 3 3~S F3= R 3F2+
700 700 -91 0 -91700 6 -60700 500 -35 200 -22700 400 -16 300 2
4 500 27700 100 5 600 29 ←mayor
0 7 0 23
00 100 -53
700 300 -3 400 18
700 200
70 0 0 0
Se eligen las mej res com inac (l e ti el m be io, se enela iguien tabla: S d F
o b iones os qu ene ayor nefic F) y obtis te
3 3 3 3~S S2 d 2 F2 2
~S S1 d 1 F1 1
~S
7 1 29 6
200 100 13 100 200 200 12 -300 100 18 200 300 300 15 -400 100 21 300 400 400 16 -500 200 23 300 500 500 15 -600 200 24 400 600 600 12 -700 200 23 500 700 700 7 -
00 00 00 0 0 0 0 0 0 0 -
100 0 7 100 100 100 7 -
60
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GESR
Bibliografía
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