APUNTES DE SISTEMAS DE CONTROL

APUNTES DE SISTEMASDE CONTROL

R. P. Neco O. Reinoso N. Garcıa R. Aracil

Elche, octubre, 2003

II

Indice general

Indice de Figuras X

Indice de Tablas XIX

Prologo XXI

I Analisis de sistemas continuos de control realimentados 1

1. Introduccion 31.1. Sistemas de control. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Elementos en un sistema de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2. Control en bucle abierto y bucle cerrado . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3. Realimentacion de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4. Esquemas tıpicos de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Comportamiento dinamico de sistemas continuos. Resumen . . . . . . . . 81.2.1. La Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2. Funcion de Transferencia de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3. Respuesta temporal de un sistema continuo . . . . . . . . . . . . . 111.2.4. Sistemas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.5. Sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.6. Sistemas de orden superior: Sistema reducido equivalente . . . . . 17

1.3. Estudio de la estabilidad de sistemas continuos realimentados . . . . . . . 181.3.1. Criterio de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Bibliografıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Analisis en regimen permanente de sistemas continuos realimentados 212.1. Respuesta en regimen transitorio y en regimen permanente en el dominio

del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2. Error en regimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

iii

IV INDICE GENERAL

2.3. Senales de entrada normalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4. Tipo de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5. Constantes de error en sistemas con realimentacion unitaria . . . . . . . . 30

2.5.1. Error ante una entrada escalon. Error de posicion. Constante deerror de posicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.2. Error ante una entrada rampa. Error de velocidad. Constante deerror de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5.3. Error ante una entrada parabolica. Error de aceleracion. Constantede error de aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6. Errores en sistemas con realimentacion no unitaria . . . . . . . . . . . . . 342.6.1. Transformacion en un sistema equivalente con realimentacion unitaria 342.6.2. Calculo del error a partir de la ganancia estatica de la realimentacion 36

2.7. Comparacion bucle abierto-bucle cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.8. Sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Bibliografıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3. Tecnica del lugar de las raıces 453.1. Ecuaciones basicas del lugar de las raıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2. Reglas para el trazado del lugar de las raıces . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.1. Ejemplos de trazado del lugar de las raıces . . . . . . . . . . . . . 533.2.1.1. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2.1.2. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3. Forma basica del lugar de las raıces en sistemas de primer y segundo orden 563.3.1. Sistemas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3.2. Sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3.2.1. Adicion de ceros a un sistema de segundo orden simple . 603.3.2.2. Adicion de polos a un sistema de segundo orden simple . 65

3.3.3. Sistemas de fase no mınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.4. Contorno de las raıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Bibliografıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4. Analisis dinamico de sistemas continuos en el dominio de la frecuencia 734.1. Respuesta en frecuencia de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.1.1. Justificacion del estudio de la respuesta en frecuencia . . . . . . . 754.1.2. Regimen permanente senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.2. Diagramas de respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2.1. Representacion de los Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . 774.2.2. Diagrama de Nyquist o trazado polar . . . . . . . . . . . . . . . . 874.2.3. Diagrama de Black-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.2.4. Identificacion en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.3. Frecuencia de resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.4. Estabilidad de un sistema realimentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garcıa, R. Aracil V

4.5. Principio del argumento de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.6. Camino de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.7. Criterio de estabilidad de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.7.1. Ejemplos de aplicacion del criterio de Nyquist . . . . . . . . . . . . 1024.8. Introduccion de polos y ceros adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.8.1. Adicion de polos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.8.2. Adicion de polos en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.8.3. Adicion de ceros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.9. Criterio de Nyquist para sistemas de fase mınima. Estabilidad relativa . . 1094.10. Margenes de ganancia y de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.11. Estabilidad en los diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.11.1. Frecuencia de corte y ancho de banda . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.12. Respuesta en frecuencia en bucle cerrado. Cırculos M y N. Diagrama de

Black-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.12.1. Sistemas con realimentacion unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.12.2. Sistemas con realimentacion no unitaria . . . . . . . . . . . . . . . 121


II Diseno de sistemas continuos de control 123

5. Consideraciones sobre el diseno y acciones basicas de control 1255.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.2. Tipos de compensacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.3. Metodologıas para el diseno de reguladores . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.3.1. Especificaciones de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.4. Condiciones basicas del sistema de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.5. Acciones basicas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.6. Reguladores de tipo P e I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.7. Regulador de tipo PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.8. Regulador de tipo PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.9. Regulador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.10. Efectos de las acciones de control integral y diferencial en el comporta-

miento de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Bibliografıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6. Diseno de reguladores PID continuos. Metodo del lugar de las raıces 1476.1. Enfoque del lugar de las raıces para el diseno de sistemas de control . . . 1486.2. Sistema equivalente de orden reducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.3. Compensacion mediante regulador PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.3.1. Ejemplo introductorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.3.2. Procedimiento de diseno de un regulador PD . . . . . . . . . . . . 156

VI INDICE GENERAL

6.3.3. Criterios para situar el cero de un regulador PD . . . . . . . . . . 1606.4. Compensacion mediante regulador PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.4.1. Pasos en el diseno de un regulador PI . . . . . . . . . . . . . . . . 1646.5. Compensacion mediante un regulador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.6. Otros metodos de ajuste de reguladores tipo PID . . . . . . . . . . . . . . 171

6.6.1. Reglas de Ziegler-Nichols para sintonizar reguladores PID . . . . . 1726.6.1.1. Primer metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.6.1.2. Segundo metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174


7. Diseno de reguladores continuos. Metodo de respuesta en frecuencia 1777.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

7.1.1. Especificaciones en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . 1797.1.2. Analisis del diagrama de Bode de un sistema en bucle abierto . . . 1817.1.3. Metodo de la respuesta en frecuencia para la compensacion de un

sistema realimentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.2. Compensacion mediante red de adelanto de fase . . . . . . . . . . . . . . . 182

7.2.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.2.2. Limitaciones del control de adelanto de fase . . . . . . . . . . . . . 188

7.3. Compensacion mediante red de retraso de fase . . . . . . . . . . . . . . . 1907.3.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1937.3.2. Efectos y limitaciones del control de retraso de fase . . . . . . . . . 195

7.4. Compensacion mediante red de atraso-adelanto de fase . . . . . . . . . . . 1967.4.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197


III Analisis de sistemas discretos de control realimentados 203

8. Conceptos de teorıa de sistemas discretos 2058.1. Sistemas controlados por computador. Motivacion. . . . . . . . . . . . . . 2068.2. Sistemas discretos. Secuencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

8.2.1. Propiedades de las secuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2078.2.2. Secuencia de ponderacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

8.3. La transformada Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2088.3.1. Propiedades de la transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2098.3.2. Transformada inversa Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2098.3.3. Funcion de transferencia en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

8.4. Muestreo y reconstruccion de senales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2118.4.1. Teorema del muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

8.5. Sistemas muestreados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Bibliografıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garcıa, R. Aracil VII

9. Estabilidad en sistemas discretos 2159.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2169.2. Transformaciones del plano s al plano z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

9.2.1. Eje imaginario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2199.2.2. Semiplano negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2199.2.3. Region del plano s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.2.4. Rectas de abscisa constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2229.2.5. Recta que pasa por el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2229.2.6. Rectas de ω constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

9.3. Estabilidad en el plano s y en el plano z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2249.3.1. Efectos de los polos sobre la estabilidad de un sistema discreto . . 2259.3.2. Metodos para la determinacion de la estabilidad en sistemas discretos227

9.4. Metodos algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2299.4.1. Criterio de Jury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2309.4.2. Analisis de estabilidad mediante la transformacion bilineal y el

criterio de estabilidad de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2349.5. Consideraciones finales sobre el estudio de estabilidad . . . . . . . . . . . 237Bibliografıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

10.Analisis dinamico de sistemas discretos 23910.1. Respuesta ante la secuencia impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24010.2. Respuesta ante un escalon unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24110.3. Sistema reducido equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

10.3.1. Eliminacion de pares polo-cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24510.3.2. Eliminacion de polos de modulo comparativamente pequeno . . . . 24610.3.3. Resumen. Reglas para la obtencion del sistema reducido equivalente247

10.4. Sistemas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24810.4.1. Respuesta a la secuencia impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24910.4.2. Respuesta a la secuencia escalon unitario . . . . . . . . . . . . . . 25010.4.3. Especificaciones de los sistemas discretos de primer orden . . . . . 253

10.5. Sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25410.5.1. Sistemas de segundo orden con dos polos reales . . . . . . . . . . . 25410.5.2. Sistemas de segundo orden con dos polos complejos conjugados . . 25510.5.3. Caracterısticas dinamicas temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . 257


11.Sistemas discretos realimentados 26111.1. Errores en regimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

11.1.1. Senales discretas de entrada normalizadas . . . . . . . . . . . . . . 26411.1.2. Tipo de un sistema discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26511.1.3. Medidas del error en regimen permanente . . . . . . . . . . . . . . 265

11.2. Errores en sistemas con realimentacion no unitaria . . . . . . . . . . . . . 268

VIII INDICE GENERAL

11.3. Influencia de las perturbaciones sobre el error en regimen permanente . . 27111.4. Tecnica del lugar de las raıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

11.4.1. Reglas de construccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275Bibliografıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

12.Analisis de sistemas discretos en el dominio de la frecuencia 27712.1. Respuesta en frecuencia de un sistema discreto de control . . . . . . . . . 27812.2. Representacion grafica de la respuesta en frecuencia de un sistema discreto

de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28012.2.1. Trazado polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28012.2.2. Transformacion bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28112.2.3. Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

12.3. Analisis de estabilidad en el dominio de la frecuencia. Criterio de Nyquist 28312.3.1. Criterio de Estabilidad de Nyquist en el plano ω . . . . . . . . . . 28512.3.2. Ejemplos de aplicacion del criterio de Nyquist para sistemas discretos286

12.3.2.1. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28612.3.2.2. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

12.4. Estabilidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291Bibliografıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

IV Diseno de sistemas discretos de control 293

13.Discretizacion de Reguladores Continuos 29513.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29613.2. Metodos de discretizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30013.3. Metodos basados en la aproximacion de la evolucion temporal . . . . . . . 30113.4. Discretizacion por integracion numerica. Aplicacion a la discretizacion del

regulador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30213.4.1. Accion proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30413.4.2. Accion integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30413.4.3. Accion diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30813.4.4. Regulador proporcional-integral o regulador PI . . . . . . . . . . . 31013.4.5. Regulador proporcional-diferencial o regulador PD . . . . . . . . . 31113.4.6. Regulador PID digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

13.5. Discretizacion por emparejamiento de polos y ceros . . . . . . . . . . . . . 31413.6. Configuraciones del regulador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317Bibliografıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garcıa, R. Aracil IX

14.Diseno de reguladores PID discretos. Extension de las tecnicas clasicas32114.1. Diseno de reguladores PID discretos con el metodo del lugar de las raıces 322

14.1.1. Reguladores PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32314.1.2. Reguladores PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32714.1.3. Reguladores PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

14.2. Metodos frecuenciales de diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33014.2.1. Reguladores P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33014.2.2. Efecto de la adicion de polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . 33014.2.3. Reguladores PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33214.2.4. Reguladores PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336


15.Diseno por sıntesis directa I 34115.1. Metodo de Truxal o de sıntesis directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

15.1.1. Condiciones para el diseno de un controlador por sıntesis directa . 34315.1.1.1. Realizacion fısica del controlador . . . . . . . . . . . . . . 34415.1.1.2. Estabilidad del bucle cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . 346

15.1.2. Metodo de diseno de controladores por sıntesis directa . . . . . . . 34915.2. Metodo de asignacion de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

15.2.1. Eliminacion del error en regimen permanente . . . . . . . . . . . . 353Bibliografıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

16.Diseno por sıntesis directa II.Controladores de tiempo mınimo y tiempo finito 35716.1. Controladores de tiempo mınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

16.1.1. Consideracion del retardo del proceso . . . . . . . . . . . . . . . . 36116.1.2. Procesos con ceros de fase no mınima y/o polos fuera del cırculo

unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36216.1.3. Calculo del orden de M(z−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36316.1.4. Calculo de la rapidez de un controlador de tiempo mınimo . . . . . 36316.1.5. Caso particular: procesos con polos en z = 1 . . . . . . . . . . . . . 36416.1.6. Metodo de diseno de controladores de tiempo mınimo . . . . . . . 366

16.1.6.1. Modos de resolucion de los sistemas polinomiales . . . . . 36616.1.6.2. Pasos en el diseno de un controlador de tiempo mınimo . 367

16.2. Controladores de tiempo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36716.2.1. Definicion de los controladores de tiempo finito . . . . . . . . . . . 36816.2.2. Analisis de los controladores de tiempo finito . . . . . . . . . . . . 372


BIBLIOGRAFIA 375

X INDICE GENERAL

Indice de figuras

1.1. Sistema de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Sistema de control en bucle abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Sistema de control en bucle cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Sistema de control continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Sistema continuo y control discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6. Sistema discreto y control discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7. Respuesta ante impulso de un sistema de primer orden. . . . . . . . . . . 131.8. Respuesta ante escalon de un sistema de primer orden. . . . . . . . . . . . 141.9. Respuesta impulsional de un sistema de segundo orden. . . . . . . . . . . 151.10. Respuesta ante escalon de un sistema de segundo orden. . . . . . . . . . . 161.11. Respuesta ante una rampa de un sistema de segundo orden. . . . . . . . . 17

2.1. Error del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2. Sistema sin realimentacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3. Sistema con realimentacion unitaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4. Sistema con realimentacion no unitaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5. Sistema con realimentacion no unitaria transformado en un sistema con

realimentacion unitaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.6. Sistema en bucle abierto (a) y sistema en bucle cerrado (b). . . . . . . . . 392.7. Sistema ejemplo para el calculo de sensibilidad. . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1. Sistema en bucle cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2. Representacion en el plano de los polos y ceros del sistema ejemplo. . . . 493.3. Sistemas con polos y ceros cancelables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4. Sistema de cuarto orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.5. Lugar de las raıces para el sistema del ejemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . 533.6. Lugar de las raıces para el sistema del ejemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . 563.7. Lugar de las raıces de un sistema de primer orden, G(s)H(s) = K/(s+ 1). 573.8. Lugar de las raıces de un sistema de primer orden, G(s)H(s) = K(s +

0,5)/(s+ 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

xi

XII INDICE DE FIGURAS

3.9. Lugar de las raıces de un sistema de primer orden, G(s)H(s) = K(s +1,5)/(s+ 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.10. Lugar de las raıces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K/(s+1)(s+ 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.11. Lugar de las raıces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K/(s2+3s+ 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.12. Lugar de las raıces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K(s +3)/(s+ 1)(s+ 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.13. Lugar de las raıces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K(s +1,5)/(s+ 1)(s+ 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.14. Lugar de las raıces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K(s +0,5)/(s+ 1)(s+ 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.15. Lugar de las raıces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K(s +2)/(s2 + 3s+ 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.16. Lugar de las raıces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K(s +0,5)/(s2 + 3s+ 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.17. Lugar de las raıces del sistema, G(s)H(s) = K/(s+ 2)(s+ 1)(s+ 3). . . . 663.18. Lugar de las raıces del sistema, G(s)H(s) = K/(s+ 1)(s2 + 3s+ 3). . . . 663.19. Lugar de las raıces del sistema, G(s)H(s) = K/(s+ 2)(s2 + 3s+ 3). . . . 673.20. Sistema en bucle cerrado con tres parametros. . . . . . . . . . . . . . . . . 693.21. Lugar de las raıces simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.22. Contorno de las raıces para el parametro T . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.23. Contorno de las raıces para el parametro a. . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.1. Sistema en bucle abierto al que se le aplica una entrada senoidal. . . . . . 774.2. Diagrama de Bode correspondiente al factor constante. . . . . . . . . . . . 794.3. Diagrama de Bode correspondiente a un cero en el origen. . . . . . . . . . 804.4. Diagrama de Bode correspondiente a un polo en el origen. . . . . . . . . . 814.5. Diagrama de Bode asintotico correspondiente a un polo de primer orden. . 834.6. Diagrama de Bode real y asintotico correspondiente a un polo de primer

orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.7. Diagrama de Bode asintotico correspondiente a un polo de segundo orden. 854.8. Sistema en bucle cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.9. Diagrama de Bode asintotico del sistema G(s) = 100

s(s+1) . . . . . . . . . . . 87

4.10. Diagrama de Bode real y asintotico del sistema G(s) = 100s(s+1) . . . . . . . . 88

4.11. Diagrama de Nyquist o traza polar del sistema G(s) = 10,001s+1 . . . . . . . 89

4.12. Diagrama de Black-Nichols del sistema G(s) = 10,001s+1 . . . . . . . . . . . 90

4.13. Respuesta en frecuencia obtenida experimentalmente. . . . . . . . . . . . 914.14. Sistema en bucle cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.15. Representacion del plano s y del plano F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garcıa, R. Aracil XIII

4.16. Ejemplo de configuracion de polos y ceros para el principio del argumentode Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.17. Camino de Nyquist e imagen asociada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.18. Camino de Nyquist con singularidades en el origen (a) y sobre el eje ima-

ginario (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.19. Detalle del tramo IV del camino de Nyquist de la figura 4.18 (a). . . . . . 1034.20. Sistema en bucle cerrado del ejemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.21. Camino origen (izquierda) y camino imagen (derecha) de Nyquist para el

sistema de la figura 4.20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.22. Lugar de Nyquist de G′(s)H ′(s) = K

1+T1s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.23. Lugar de Nyquist de la figura 4.22 con un polo adicional. . . . . . . . . . 1074.24. Lugar de Nyquist de la figura 4.22 con un polo adicional en el origen,

correspondiente al sistema G(s)H(s) = Ks(1+T1s)

. . . . . . . . . . . . . . . 1084.25. Lugar de Nyquist de la figura 4.24 con un polo adicional en el origen,

correspondiente al sistema G(s)H(s) = Ks2(1+T1s)

. . . . . . . . . . . . . . . 1084.26. Lugar de Nyquist de la figura 4.25 con un polo adicional en el origen,

correspondiente al sistema G(s)H(s) = Ks3(1+T1s)

. . . . . . . . . . . . . . . 1094.27. Efecto de la adicion de ceros reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.28. Margen de ganancia y de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.29. Sistema en bucle cerrado ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.30. Diagrama de Nyquist del sistema de la figura 4.29. . . . . . . . . . . . . . 1144.31. Margenes de ganancia y fase sobre el diagrama de Bode. . . . . . . . . . . 1154.32. Frecuencia de corte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.33. Diagrama de Nyquist del sistema ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.34. Diagrama de Bode del sistema ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.35. Ejemplo de diagrama de Nichols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.1. Estructura para el control de un proceso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.2. Estructura para el control de un proceso mostrado en la figura 5.1 con la

inclusion de un regulador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.3. Ejemplo de compensacion en paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.4. Ejemplo de compensacion por prealimentacion. . . . . . . . . . . . . . . . 1305.5. Diseno del regulador por el metodo de sıntesis. . . . . . . . . . . . . . . . 1315.6. Especificaciones en el dominio del tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.7. Especificaciones en el dominio complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.8. Amortiguamiento de un sistema a partir del margen de fase. . . . . . . . . 1355.9. Regulador de tipo P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.10. Regulador de tipo I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.11. Regulador de tipo PD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.12. Regulador de tipo PI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.13. Regulador de tipo PID (ideal). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

XIV INDICE DE FIGURAS

6.1. Compensacion de un sistema mediante el regulador GR(s). . . . . . . . . 1496.2. Situacion del polo dominante deseado. El lugar de las raıces del sistema

Gp(s) = 1s(s+1) no pasa por dicho polo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6.3. Calculo de los angulos para la aplicacion del criterio del argumento. . . . 1546.4. El cero del regulador PD se situa sobre el polo -1 del sistema. . . . . . . . 1556.5. Lugar de las raıces del sistema compensado con un regulador PD. . . . . . 1566.6. Respuesta al escalon unitario del sistema G(s) = 1

s(s+1) , junto con lamisma respuesta del sistema compensado con el regulador PD GR(s) =4(s+1)s+2,83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.7. Lugar de las raıces de un sistema con funcion de transferencia G(s)H(s) =K

s(s+a)(s+b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.8. El angulo ϕR debe ser aportado por el regulador PD. . . . . . . . . . . . . 1596.9. Metodo grafico para situar el par polo-cero de un regulador PD. . . . . . 1616.10. Compensacion con regulador PI: el par de polos dominantes se mantiene

aproximadamente en el mismo punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.11. Primer criterio para situar el par polo-cero de un regulador PI. . . . . . . 1646.12. Segundo criterio para situar el par polo-cero de un regulador PI. . . . . . 1656.13. Lugar de las raıces del sistema G(s) = 1

(s+1)(s+2) . . . . . . . . . . . . . . . 1676.14. Aplicacion del criterio del argumento para obtener el angulo proporcionado

por el regulador PD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1686.15. El cero del regulador PD se situa en este caso cancelando el segundo polo

del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1686.16. Polos y ceros del regulador PID a disenar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.17. Lugar de las raıces del sistema compensado con el regulador PD. . . . . . 1706.18. Lugar de las raıces del sistema compensado con el regulador PID. . . . . . 1716.19. Respuesta ante entrada escalon unitario del sistema original, junto con el

sistema compensado con el PD y PID disenados. . . . . . . . . . . . . . . 1726.20. Primer metodo de Ziegler-Nichols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.21. Sistema con oscilaciones sostenidas con un periodo crıtico Pcr. . . . . . . 175

7.1. Compensacion de un sistema bajando la curva de ganancia |G(jw)| (regu-lador PI). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

7.2. Compensacion de un sistema subiendo la curva de angulo de fase ∠G(jw)(regulador PD). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7.3. Diagram de Bode de la red de adelanto de fase, para distintos valores de α.1847.4. Diagrama de Bode del sistema sin compensar, con K = 143,55, calculada

en el paso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1867.5. Calculo de la frecuencia de cruce de ganancia (paso 5). . . . . . . . . . . . 1877.6. Diagrama de Bode del regulador calculado GR(s) = 0,33 1+0,1161s

1+0,038s . . . . . 1897.7. Diagrama de Bode del sistema compensado con el regulador PD. . . . . . 190

R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garcıa, R. Aracil XV

7.8. Respuesta en bucle cerrado al escalon unitario del sistema sin compensary el sistema compensado con el regulador PD calculado. . . . . . . . . . . 191

7.9. Diagrama de Bode de la red de retraso de fase. . . . . . . . . . . . . . . . 1927.10. Diagrama de Bode del sistema con funcion de transferencia 7.5 con ganan-

cia K = 287,1, calculada en el paso 1 de diseno del regulador PI. . . . . . 1947.11. Diagrama de Bode del sistema con funcion de transferencia 7.5 compen-

sado con el regulador PI calculado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1957.12. Respuesta en bucle cerrado al escalon unitario del sistema con funcion de

transferencia 7.5 sin compensar y compensado con el regulador PI calculado.1967.13. Diagrama de Bode del sistema sin compensar con K = 19. . . . . . . . . . 1987.14. Diagrama de Bode del sistema compensado solo con el regulador PI. . . . 1997.15. Diagrama de Bode del sistema compensado con el regulador PID disenado. 2017.16. Respuesta en bucle cerrado al escalon unitario del sistema sin compensar

y compensado con el regulador PID disenado. . . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.1. Muestreador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2118.2. Sistema Hıbrido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2128.3. Elemento Bloqueador/Retenedor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2128.4. Bloqueador de orden cero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2138.5. Bloqueador de orden uno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

9.1. Sistema discreto representado por su funcion de transferencia en Z. . . . . 2169.2. Sistemas discretos con salida acotada para la entrada escalon unitario. . . 2179.3. Sistemas discretos con salida no acotada para la entrada escalon unitario

y, por tanto, inestables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2179.4. Sistema formado por la suma de dos bloques. . . . . . . . . . . . . . . . . 2189.5. Transformacion del eje imaginario al plano z. . . . . . . . . . . . . . . . . 2209.6. Transformacion del semiplano negativo en el plano s en el interior del

cırculo unidad en el plano z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2209.7. Ejemplo de transformacion del plano s al plano z. . . . . . . . . . . . . . . 2219.8. Transformacion de la region en el plano s dada por la figura 9.7 al plano z. 2229.9. Transformacion de la recta que pasa por el origen en el plano s al plano z. 2239.10. Respuesta discreta al escalon unitario del sistema G1(z) = z−2

(z−1)(z−3) (in-estable). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

9.11. Respuesta discreta al escalon unitario del sistema G2(z) = z−2(z−0,5)(z+0,7)

(estable). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2309.12. Respuesta discreta al escalon unitario del sistema G3(z) = z−2

z2+z+2 (ines-table). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

9.13. Respuesta al escalon unitario del sistema G4(z) = z−22z2+z+1 (estable). . . . 232

10.1. Respuesta a un escalon unitario del sistema Y (z)R(z) =0,5z−0,25

z2−1,5z+0,75 . . . . . . 244

XVI INDICE DE FIGURAS

10.2. Secuencia de ponderacion para un sistema de primer orden con funcion detransferencia G(z) = bz

z−a , cuando a > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24910.3. Secuencia de ponderacion para un sistema de primer orden con funcion de

transferencia G(z) = bzz−a , cuando −1 < a < 0 (sistema estable). . . . . . . 250

10.4. Secuencia de ponderacion para un sistema de primer orden con funcion detransferencia G(z) = bz

z−a , cuando a < −1 (sistema inestable). . . . . . . . 25110.5. Respuesta al escalon unitario de un sistema de primer orden con funcion

de transferencia G(z) = bzz−a , (a) cuando a > 0; y (b) cuando a < 0. . . . . 252

10.6. Secuencia de ponderacion del sistema G(z) = 0,3z−2

1−1,5z−1+0,7z−2 . . . . . . . . 25610.7. Polos de un sistema de segundo orden. Situacion de p− 1. . . . . . . . . . 25710.8. Respuesta al escalon unitario del sistema G(z) = 0,3z−2

1−1,5z−1+0,7z−2 . . . . . . 258

11.1. Sistema discreto de control con realimentacion unitaria. . . . . . . . . . . 26211.2. Sistema equivalente simplificado al de la figura 11.1. . . . . . . . . . . . . 26311.3. Sistema discreto realimentado con realimentacion constante h no unitaria. 26811.4. Sistema discreto realimentado con realimentacion constante h no unitaria,

equivalente al sistema representado en la figura 11.3. . . . . . . . . . . . . 26911.5. Sistema discreto realimentado con dinamica H(s) en la realimentacion

(H(s) no constante). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27011.6. Sistema discreto realimentado equivalente al representado en la figura 11.5. 27111.7. Sistema discreto realimentado con perturbacion. . . . . . . . . . . . . . . 272

12.1. Conjunto bloqueador-proceso-muestreador. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27812.2. Ejemplo de trazado polar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28112.3. Metodo grafico de calculo de la respuesta en frecuencia de un sistema

muestreado a partir de la respuesta en frecuencia del sistema continuo. . . 28212.4. Diagramas que muestran las correspondencias del plano s con el plano z y

del plano z con el plano ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28312.5. Sistema discreto realimentado para el analisis de estabilidad. . . . . . . . 28412.6. Trayectoria para el analisis de estabilidad en el plano z. . . . . . . . . . . 28512.7. Sistema muestreado para el ejemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28612.8. Imagen del camino de Nyquist de la figura 12.7 para el ejemplo 1. . . . . 28712.9. Sistema muestreado para el ejemplo 2 de analisis de estabilidad. . . . . . 28812.10.Camino de Nyquist del ejemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28912.11.Imagen del camino de Nyquist del ejemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . 29012.12.Margen de fase γ y margen de ganancia KG de un sistema discreto. . . . 291

13.1. Sistema de control con controlador continuo frente a sistema de controlcon controlador discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

13.2. Sistema discreto de control con realimentacion unitaria. . . . . . . . . . . 29813.3. Discretizacion del sistema continuo (a) por equivalencia con el sistema

muestreado (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garcıa, R. Aracil XVII

13.4. Equivalencia entre el sistema continuo (a) y el sistema muestreado (b) enbucle abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

13.5. Respuesta al escalon unitario del sistema continuo GR(s) = 25 s+1s+5 y su

aproximacion discreta GR(z) = 25−23z−1

1−0,6065z−1 , con periodo de muestreo T =0,1 seg y bloqueador de orden cero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

13.6. Regulador PID continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30413.7. Metodo de los rectangulos para la aproximacion de la accion integral. . . 30513.8. Metodo de los trapecios para la aproximacion de la accion integral. . . . . 30613.9. Respuesta ante un escalon unitario de la accion integral I(z) dada por la

aproximacion de los trapecios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30813.10.Regulador PID en paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31313.11.Configuracion del regulador PID con acciones divididas entre la senal de

error y la de realimentacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31713.12.Configuracion del regulador PID equivalente a la de la figura 13.11. . . . . 318

14.1. Polo dominante del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32314.2. Aplicacion del criterio del modulo y del argumento. . . . . . . . . . . . . . 32514.3. Sistema G(z) regulado por GR(z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32514.4. Lugar de las raıces del sistema G(z) = 5

(z−0,7)(z−0,9) . . . . . . . . . . . . . 32614.5. Calculo de los angulos correspondientes a los ceros y polos del sistema

ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32614.6. Disminucion del margen de fase de γ1 a γ2 como consecuencia de la accion

de un regulador P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33114.7. Calculo del modulo y argumento de G(w) = (

ejwT − c) · G(w). . . . . . . . 332

14.8. Calculo del modulo y argumento de G(w) = G(w)ejwT −p . . . . . . . . . . . . . 333

14.9. Sistema regulado con un regulador PI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33414.10.Sistema discreto equivalente regulado con un regulador PI. . . . . . . . . 33414.11.El cero c del regulador PI se anade cercano al polo p = 1. . . . . . . . . . 33514.12.Sistema regulado con un regulador PD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33614.13.El cero c del regulador PD se coloca tal que el desfase adicional para la

frecuencia wg sea ϕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33814.14.Aumento del margen de fase con un regulador PD. . . . . . . . . . . . . . 339

15.1. El controlador de sıntesis directa situado en serie con el proceso “cancela”la dinamica de GP (z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

15.2. Bucle cerrado discreto de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

16.1. Situacion de la funcion de transferencia del error, E(z−1), en el buclecerrado discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

16.2. Respuesta al escalon unitario del proceso G(s) = 100s2+3s+2 con el controla-

dor de tiempo mınimo, presentando oscilaciones ocultas. . . . . . . . . . . 368

XVIII INDICE DE FIGURAS

16.3. La accion de control tras el bloqueador de orden cero con el controladorde tiempo mınimo disenado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

16.4. Respuesta al escalon unitario y accion de control con oscilaciones ocultas. 370

Indice de tablas

1.1. Transformadas de Laplace de funciones tıpicas. . . . . . . . . . . . . . . . 111.2. Tabla de Routh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1. Constantes de error y errores en regimen permanente en funcion del tipodel sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1. Tabla de Routh para el sistema del ejemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.1. Reglas de sintonizacion para el primer metodo de Ziegler-Nichols. . . . . . 1746.2. Reglas de sintonizacion para el segundo metodo de Ziegler-Nichols. . . . . 175

8.1. Transformada Z de secuencias basicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2098.2. Propiedades de la transformada Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

9.1. Forma general de la tabla de estabilidad de Jury. . . . . . . . . . . . . . . 2339.2. Tabla de estabilidad de Jury para el polinomio z3+0,4z2+(0,47+b)z+0,13.2339.3. Tabla de Routh del sistema ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

11.1. Valor de los errores en regimen permanente en funcion del tipo del sistemadiscreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

12.1. Valores de BG(z) para el tramo I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

16.1. Eliminacion del error en regimen permanente en un tiempo mınimo paraprocesos con retardo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

xix

XX INDICE DE TABLAS

Prologo

El libro que ahora presentamos nace con la pretension de ofrecer una introducciona la teorıa clasica de control continuo y discreto de sistemas. Puede ser util como librode texto en asignaturas de distintas ingenierıas e ingenierıas tecnicas (industrial, tele-comunicaciones, informatica, etc.), aunque tambien puede usarse para introducirse enel apasionante tema del control automatico a ingenieros en ejercicio. Se requiere haberseguido un curso basico sobre Teorıa de Sistemas (continuos y discretos) previamente ala lectura del libro. No obstante, en las partes I y III del libro se da un breve repaso sobreel analisis de sistemas continuos y discretos, respectivamente.

Existen excelentes textos sobre teorıa de Sistemas de Control, algunos de ellos muyclasicos, como los de los profesores Ogata y Kuo que se mencionan en la bibliografıa tantodesde el punto de vista discreto como continuo. Asimismo es necesario citar dos textosclasicos que nos han servido a muchos para introducirnos en la Teorıa de Sistemas yControl como son los realizados por los profesores Puente, Aracil y Jimenez en la Univer-sidad Politecnica de Madrid. De esta forma, este libro pretende ser un compendio de loexpuesto en estos textos clasicos adaptado a los planes de estudio actualmente vigentesen las escuelas de ingenierıa de las universidades espanolas de forma que los alumnospuedan seguir perfectamente los diferentes temas expuestos. Este compendio es fruto dela experiencia docente de los autores que imparten asignaturas sobre Sistemas de Con-trol y Regulacion Automatica en la Universidad Politecnica de Madrid y la UniversidadMiguel Hernandez de Elche desde hace varios anos.

En cuanto al contenido del libro, se ha dividido la materia tratada en cuatro partes:

La parte I se dedica al analisis de sistemas continuos realimentados, centrandose enel analisis en regimen permanente, descripcion de la tecnica del lugar de las raıcesy analisis en el dominio de la frecuencia.

En la parte II se estudian las tecnicas clasicas de diseno de sistemas continuos decontrol, tanto en el dominio temporal como en el dominio frecuencial. Previamente

xxi

se realizan consideraciones generales sobre el diseno y se describen las accionesbasicas de control.

La parte III se dedica a las tecnicas de analisis de sistemas discretos realimentados.Despues de dar un repaso a la teorıa basica y herramientas matematicas sobresistemas discretos, se pasa a estudiar la estabilidad, analisis dinamico y en regimenpermanente de sistemas discretos realimentados. Tambien se hace una extensional caso discreto del analisis en frecuencia estudiado en la parte I para sistemascontinuos.

En la parte IV se describen las tecnicas de diseno de sistemas discretos de control.Los dos primeros capıtulos de esta parte estan dedicados a las tecnicas clasicas dediseno (discretizacion de controladores continuos y extension de las tecnicas estu-diadas para sistemas continuos). En los dos ultimos capıtulos se describen tecnicasespecıficas de diseno de controladores discretos (por asignacion de polos y por sınte-sis directa, particularizando para el caso de sistemas de tiempo mınimo y tiempofinito).

Al final de todos los capıtulos se incluyen comentarios sobre bibliografıa que pue-den ser utiles para ampliar algunos aspectos de la materia tratada. Consideramos quesiempre que se estudia una materia es deseable consultar otras fuentes de informacionque permitan ahondar en los temas tratados. Por este motivo se ha incluido al final decada capıtulo estas pequenas referencias bibliograficas que consideramos interesantes deconsultar para ampliar su contenido de forma que le sea mas facil al lector acudir a estasreferencias. Especialmente interesantes son las referencias a libros de problemas resueltosy propuestos.

Los autores desean reconocer la colaboracion prestada por nuestros companeros delArea de Ingenierıa de Sistemas y Automatica de la Universidad Miguel Hernandez deElche durante los primeros anos de puesta en marcha de las asignaturas en las que se haimpartido la materia tratada en este libro.

Los autores,

ProfesoresRamon P. NecoOscar ReinosoNicolas M. GarcıaRafael Aracil

xxii

Parte I

ANALISIS DE SISTEMASCONTINUOS DE CONTROL

REALIMENTADOS

1

CAPITULO 1

INTRODUCCION

Indice

1.1. Sistemas de control. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Elementos en un sistema de control . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2. Control en bucle abierto y bucle cerrado . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3. Realimentacion de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.4. Esquemas tıpicos de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Comportamiento dinamico de sistemas continuos. Resumen 8

1.2.1. La Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2. Funcion de Transferencia de un sistema . . . . . . . . . . . . 11

1.2.3. Respuesta temporal de un sistema continuo . . . . . . . . . . 11

1.2.4. Sistemas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.5. Sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.6. Sistemas de orden superior: Sistema reducido equivalente . . 17

1.3. Estudio de la estabilidad de sistemas continuos realimentados 18

1.3.1. Criterio de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Bibliografıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Para poder llevar a cabo un estudio adecuado de los sistemas de control es precisoun repaso de los conceptos fundamentales alcanzados en un curso de teorıa de sistemas.De esta forma, en este capıtulo se presentan los resultados basicos y fundamentales delcomportamiento de sistemas continuos. Se comenzara introduciendo los conceptos basicos

3

4 Introduccion

ası como los elementos que integran un sistema de control junto con el concepto derealimentacion haciendo especial hincapie en sus caracterısticas frente al control enbucle abierto. En un posterior apartado se revisan las propiedades de la transformadade Laplace que posibilitan el estudio de los sistemas continuos. Asimismo se repasa larespuesta temporal de los sistemas de primer y segundo orden ası como sus parametroscaracterısticos. Por ultimo se presenta el criterio de Routh para analizar la estabilidadde un sistema continuo. Este primer capıtulo sirve como base para el posterior desarrollode los capıtulos dedicados a los sistemas realimentados.

1.1. Sistemas de control. Conceptos basicos

Quizas una de las primeras cuestiones que nos deberıamos plantear antes de estudiarlos sistemas de control consistirıa en intentar responder la pregunta ¿que es el control?.Serıa difıcil responder de una forma exacta a esta pregunta, pero todos tenemos unaidea mas o menos clara de la respuesta. Ası encontramos en la vida cotidiana numerososejemplos donde podemos observar que existe control de algun sistema. El ejemplo mascercano lo encontramos en las viviendas donde observamos la existencia de un mecanismoque permite regular la temperatura de las viviendas. Basandonos en este ejemplo podemosentender como el mecanismo actua sobre un sistema (caldera, etc.) para que la viviendaalcance una mayor o menor temperatura (senal de salida) en relacion con la temperaturaque nosotros deseemos (senal de referencia). Hoy en dıa, casi todas las actividades en lasque se desarrolla el ser humano aparece involucrado de alguna u otra forma un sistemade control.

De esta forma podrıamos considerar en un sentido lo mas amplio posible un sistemade control como aquel sistema que ante unos objetivos determinados responde con unaserie de actuaciones (figura 1.1).

Sistema de controlObjetivos Actuaciones

Figura 1.1: Sistema de control.

En el presente libro se van a considerar sistemas tanto de tiempo continuo como detiempo discreto, lineales e invariantes con el tiempo. Recordemos que un sistema continuose dice que es lineal si se puede aplicar al mismo el principio de superposicion. De igualforma, cuando los parametros del sistema son estacionarios con respecto al tiempo elsistema se denomina invariante con el tiempo. Ası pues, dentro de la teorıa de sistemasde control, el ambito de este libro queda restringido a considerar sistemas (tanto continuoscomo discretos) lineales e invariantes con el tiempo.

R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garcıa, R. Aracil 5

1.1.1. Elementos en un sistema de control

En todo sistema de control aparecen claramente diferenciados una serie de elementoscaracterısticos al mismo que es necesario clarificar:

Variable a controlar. Generalmente se le conoce como senal de salida. Constituye lasenal que deseamos que adquiera unos valores determinados. En el ejemplo ante-riormente descrito la senal de salida o variable a controlar serıa la temperaturaambiente de la vivienda o de una habitacion determinada.

Planta o Sistema. La planta o sistema constituye el conjunto de elementos que realizanuna determinada funcion. En el ejemplo propuesto la planta o sistema lo constituirıatoda la vivienda en su conjunto. El sistema estarıa determinado por las relacionesde transmision de calor en la misma con las aportaciones y fugas que presentase enfuncion de sus caracterısticas.

Sensor. El sensor es el elemento que permite captar el valor de la variable a controlar endeterminados instantes de tiempo. En el caso propuesto consistirıa en el elementoque permitirıa conocer la temperatura de la vivienda en determinados momentos.

Senal de referencia. Es la senal consigna o valor que deseamos que adquiera la senalde salida (objetivo de control). En el ejemplo indicarıa la temperatura que deseamosque tenga la vivienda a lo largo de toda la jornada.

Actuador. El actuador es el elemento que actua sobre el sistema modificando de estaforma la senal de salida. En el caso de un sistema de calefaccion consistirıa en lacaldera que permite aportar mayor o menor cantidad de calor sobre el sistema oplanta (vivienda) a regular.

Controlador. El controlador o regulador es el elemento que comanda al actuador enfuncion del objetivo de control. En el ejemplo planteado anteriormente, el reguladortendrıa como mision decidir cual debe ser la aportacion de la caldera en todoinstante para mantener el objetivo de control (temperatura de la vivienda).

Todos estos elementos aparecen de alguna u otra forma en casi todo sistema de control.Identificar y estudiar cada uno de ellos de una forma correcta resulta esencial para poderdisenar un controlador que permita alcanzar el objetivo de control deseado en todoinstante.

1.1.2. Control en bucle abierto y bucle cerrado

Cuando se desea mantener un objetivo de control determinado en un sistema dos sonlos esquemas de control que se pueden considerar: sistemas de control en bucle abierto ysistemas de control en bucle cerrado.

6 Introduccion

Un sistema de control en bucle abierto es aquel en el que la senal de salida no influyesobre la accion de control. De esta forma el controlador o regulador no tiene en cuentael valor de la senal de salida, ni se compara esta con la senal de referencia para decidirla actuacion en todo instante sobre el sistema. El caso mas tıpico de un sistema decontrol en bucle abierto lo constituye la lavadora electrica donde el sistema de controlva modificando el tiempo, la temperatura de lavado, etc. en funcion de la indicaciondel usuario y no en funcion del nivel de lavado de la ropa (que constituirıa el objetivode control). De esta forma el usuario decide el programa que desea realizar (senal dereferencia), y el controlador actua sobre los diferentes mecanismos del sistema (lavadora)de forma que realiza una serie de actuaciones sin tener en cuenta la senal de salida. Enla figura 1.2 se pueden observar las senales involucradas en un control en lazo abierto.

Sistema a controlar

Entrada de

referenciaVariable

controladaControlador

control u

Figura 1.2: Sistema de control en bucle abierto.

Evidentemente los sistemas de control en bucle abierto funcionaran razonablementebien siempre y cuando hayan sido perfectamente estudiados y no exista ninguna alteracionsobre el sistema. Si el fabricante ha estudiado perfectamente cual debe ser el proceso delavado para la ropa de unas caracterısticas determinadas y no se altera en modo alguno elproceso, el objetivo final quedara perfectamente alcanzado. Sin embargo, en el momentoen que se altere alguna de las caracterısticas del proceso (cantidad de ropa, temperaturadel agua, suciedad de la ropa, etc.) por cualquier motivo, el objetivo de control puede nosatisfacerse.

Por el contrario, en los sistemas de control en bucle cerrado existe una realimentacionde la senal de salida o variable a controlar. En este tipo de sistemas se compara lavariable a controlar con la senal de referencia de forma que en funcion de esta diferenciaentre una y otra, el controlador modifica la accion de control sobre los actuadores de laplanta o sistema. En la figura 1.3 aparece representado un esquema tıpico de un sistemacontrolado en bucle cerrado.

En el sistema de control en bucle cerrado ya no afecta tanto las variaciones en cadauna de las caracterısticas del proceso (cantidad de ropa, temperatura, etc.) ya que elcontrolador debe actuar en todo instante en funcion de la diferencia entre la senal acontrolar (limpieza de la ropa) y la senal de referencia (por ejemplo blancura deseada).

Es necesario comentar que si se conociese perfectamente un sistema y no pudiesealterarse de ninguna forma las caracterısticas del mismo (tanto internas como externas),es mas aconsejable utilizar un sistema de control en lazo abierto pues serıan mas sencillosy economicos. Los sistemas de control en lazo cerrado presentan ventajas cuando sepueden producir perturbaciones sobre el sistema o bien variaciones impredecibles en

R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garcıa, R. Aracil 7

+

-

errorSistema acontrolar

Variablecontrolada

Entrada de

referenciacontrolador

Figura 1.3: Sistema de control en bucle cerrado.

alguna de las caracterısticas del mismo.

1.1.3. Realimentacion de sistemas

En el apartado previo se ha establecido la diferencia entre los sistemas de controlen bucle abierto y los sistemas de control en bucle cerrado. Como quedo establecido, enestos ultimos se compara la senal de salida (o variable que se desea controlar) obtenidaen la mayor parte de las ocasiones a traves de un conjunto de sensores, con una senal dereferencia. Este efecto se conoce como realimentacion. El efecto inmediato que persigueesta realimentacion es reducir el error entre la senal de salida y la senal de referenciaactuando en consecuencia.

Pero no solo la realimentacion tiene por cometido reducir el error entre la senal desalida y la senal de referencia de un sistema. La realimentacion tambien produce efectossobre la ganancia global del sistema (puede tanto aumentar como disminuir en funcionde la realimentacion), la estabilidad (un sistema inicialmente estable puede pasar a serinestable o a la inversa en funcion de la realimentacion), ası como sobre las perturbacionesposibles que se presenten sobre el mismo (puede reducir el efecto de las perturbacionesque se originan sobre el sistema). Por lo tanto, la realimentacion es un elemento clavemuy a tener en cuenta en el estudio de los sistemas de control ya que puede modificarconsiderablemente los resultados producidos por estos.

1.1.4. Esquemas tıpicos de control

El esquema tıpico de control continuo de un sistema en bucle cerrado aparece reflejadoen la figura 1.4. En el mismo aparecen los principales elementos que aparecen en todosistema de control: el controlador, los actuadores, la planta o sistema continuo a controlary los elementos de realimentacion.

Con la aparicion de los computadores y los microcontroladores, el uso de controlado-res digitales ha venido incrementandose en los ultimos anos. Cuando se desea controlarsistemas continuos mediante un control de tipo discreto el diagrama de bloques a con-siderar varıa ligeramente (Figura 1.5). El controlador en este caso es discreto y comotal actua sobre una senal discreta generando una senal discreta a la salida. Esta senal

8 Introduccion

+

-

R(s) å(s)G(s)

Planta

Y(s)

å(t)r(t) y(t)

H(s)

G (s)R

Figura 1.4: Sistema de control continuo.

discreta se convierte en una senal continua mediante un convertidor digital/analogicoque en teorıa de sistemas se denomina bloqueador o retenedor. Dado que el sistema es detipo continuo genera a la salida una senal continua. Sera necesario por lo tanto, tras lalectura de esta senal continua por parte de los sensores adecuados, utilizar un convertidoranalogico/digital (muestreador) para poder comparar esta senal con la de referencia yutilizar la diferencia como entrada al controlador digital.

T

G (z)R

+

- T

Y(s)B(s) G(s)

Y(z)E(z)U(z)

Figura 1.5: Sistema continuo y control discreto.

Finalmente si el sistema a controlar es de tipo discreto la utilizacion de un reguladoro controlador discreto es totalmente inmediata (ver Figura 1.6).

1.2. Comportamiento dinamico de sistemas continuos.Resumen

En esta seccion se repasaran los conceptos fundamentales de los sistemas continuos.No es nuestro proposito analizar todas las propiedades de los mismos (fuera del ambito delpresente libro), sino mas bien recordar las herramientas y caracterısticas fundamentalesde los sistemas continuos que se emplearan para el estudio, analisis y diseno de lossistemas de control.

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APUNTES DE SISTEMAS DE CONTROL