1

Tema 3: Ondas planas monocromticas

3.1. Campos armnicos. Representacin fasorial

En muchas aplicaciones las seales con las que se trabaja son de tipo sinusoidal, ya que

son fciles de generar. Adems, cualquier otra seal puede obtenerse como combinacin

de estas mediante desarrollo en serie de Fourier.

Los campos armnicos proceden de fuentes que generan seales que varan con t en la

forma:

( ) ( )cos ; senm mA A t A A t = + = + (3.1) Puesto que ( ) ( )cos =sen / 2t t + + + pi , es indiferente cul de las dos funciones usemos. En el presente estudio elegimos la funcin coseno y todos los resultados deben

ser consistentes con dicha eleccin.

Debido a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell, fuentes que varan armnicamente

producen campos estacionarios que varan sinusoidalmente a la misma frecuencia. Esto

facilita mucho el estudio. Tambin es conveniente utilizar la funcin exponencial de

forma que las fuentes vienen dadas por:

( ) ( ) ( ) ( ), ; ,i t i tr t r e J r t J r e = = (3.2) donde ( )r y ( )J r son funciones en general complejas que slo dependen de la posicin. La dependencia temporal queda englobada en la exponencial. Una vez que

resolvamos el problema, es necesario tomar la parte real de la funcin solucin que es

la que tiene significado fsico.

La ventaja de usar exponenciales es clara ya que se cumple:

22

2;i

t t

(3.3)

lo que simplifica mucho las ecuaciones a resolver.

Si sustituimos estas funciones y sus derivadas en las ecuaciones de Maxwell queda:

2

( )( )( ) ( )( )

0

0 0

( )( )

( ) 0

( ) ( )

( ) ( ) ( )

i t i t

i t

i t i t

i t i t

rE r e e

B r e

E r e i B r e

B r e J r i E r e

=

=

=

= +

(3.4)

Eliminando el factor i te , obtenemos las ecs. de Maxwell en trminos de los vectores

complejos, o fasores, de sus campos y fuentes:

( )( )( ) ( )( )

0

0 0

( )( )

( ) 0

( ) ( )

( ) ( ) ( )

rE r

B r

E r i B r

B r J r i E r

=

=

=

= +

(3.5)

En lo que sigue obviaremos la forma expresa: ( )r , etc., para simplificar.

3.2. Ondas planas uniformes monocromticas

Es posible, mediante distribuciones adecuadas de fuentes, generar ondas esfricas,

cilndricas o planas. Estas se propagan en el espacio y pueden alcanzar distancias

enormes (la luz de las estrellas, por ejemplo). Llamamos frente de onda al lugar

geomtrico de los puntos que son alcanzados por la onda en el mismo instante, es decir,

se encuentran en la misma fase.

En las ondas esfricas, producidas por fuentes elementales, todos los puntos que se

encuentran a la misma distancia de la fuente tienen el mismo valor de fase de los

campos em (decimos que presentan frentes de onda esfricos). Las ondas cilndricas se

caracterizan por estar generadas por fuentes distribuidas en alambres rectos indefinidos

y presentan frentes de ondas cilndricos. Por ltimo, distribuciones de fuentes a lo largo

de un plano indefinido, dan lugar a campos con la misma fase en todos los puntos de

planos paralelos al de la fuente, que son perpendiculares a la direccin de propagacin.

En lo que sigue vamos a estudiar estas ondas que suponemos propagndose en la

direccin .z Para facilitar su estudio, supondremos adems que el valor del campo es

constante en todos los puntos de cada frente de onda (ondas planas uniformes).

Resumiendo las propiedades descritas, las ondas planas uniformes se caracterizan por:

3

1) Frentes de onda en planos .z Cte=

2) Los campos no dependen de las variables x e y,

( ) ( ), , 0.E B E Bx y

= =

3) Se propagan en el espacio libre (no hay fuentes)

0 ; 0.J = =

Sin embargo recordemos que dichas fuentes deben estar en algn lugar para generarlos,

aunque los campos se propaguen independientemente de ellas. Adems, para simplificar

el estudio consideraremos que las fuentes oscilan a una frecuencia determinada, , y

por tanto generan ondas monocromticas.

Veamos qu implicaciones tiene en las ecuaciones (3.5). Estas se reducen a:

0 0

0 0E B

E i B B i E

= = = =

(3.6)

Vamos a calcular el rotacional del campo elctrico:

( )0 0x y z

x x y y z z

x y z

u u u

E i B u B u B uz

E E E

= = + +

(3.7)

Igualando por componentes queda:

; ; 0y x

x y z

E Ei B i B i B

z z

= = =

(3.8)

Anlogamente, para la ley de Ampre se tiene:

( )0 00 0x y z

x x y y z z

x y z

u u u

B i E u E u E uz

B B B

= = + +

(3.9)

obtenindose las siguientes ecuaciones para las componentes:

0 0 0 0 0 0; ; 0y x

x y z

B Bi E i E i E

z z

= = =

(3.10)

Analizando los conjuntos de ecuaciones (3.8) y (3.10) concluimos que:

a) 0.z zE B= = Para una onda plana uniforme no hay componentes de los campos en la

direccin de propagacin. Ello es consecuencia de la condicin (2) impuesta.

4

b) Las ecuaciones entre y x yB E estn acopladas: una acta como fuente de la otra. Lo

mismo ocurre con las componentes y y xB E . Por tanto, identificamos dos pares

independientes ( ),x yE B y ( ),y xE B de campos y, sin prdida de generalidad, consideraremos en delante que slo existe ( ),x yE B mientras que el otro par es nulo.

Nos queda resolver las ecuaciones para ( ),x yE B . Derivando con respecto a z en la segunda ecuacin de (3.8) y teniendo en cuenta la primera de (3.10) resulta:

2 22 2

0 0 0 02 20

yx xx x

BE Ei E E

z z z

= = + =

(3.11)

que es la ecuacin de onda escalar para .xE Puesto que la nica derivacin es con

respecto a z, podemos poner:

22

0 020.x x

d EE

dz+ = (3.12)

La solucin general de (3.12) es de la forma:

1 2

ikz ikz

xE C e C e

= + (3.13)

donde 1 2 y C C son constantes complejas en general y 0 0k = . Observemos que las

ondas se propagan en las direcciones z y que el cambio en la fase depende de la

cantidad k; esta constante se denomina constante de fase. 1 2 y C C van a representar las

amplitudes de las ondas; supondremos que son nmeros reales y los simbolizamos por

y m mE E+ , respectivamente. Queda entonces:

ikz ikz

x m mE E e E e+

= + (3.14)

Ahora, para obtener la solucin completa, debemos incluir la dependencia con el tiempo

y tomar la parte real de la expresin resultante:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

onda viajando en el sentido z > 0 onda viajando en el sentido z < 0

, Re Re

cos cos

i t i t kz i t kz

x x m m

m m

E z t E e E e E e

E t kz E t kz

+ +

+

= = + =

= + +

(3.15)

Normalmente tomamos la solucin que representa la onda viajando en el sentido 0.z >

Sin embargo, cuando se estudian fenmenos de reflexin habr que considerar ambos

tipos.

5

Ahora ya podemos ver qu pasa con la componente asociada .yB Operando en la

segunda ecuacin de (3.8) se tiene:

( ) ( )ikzm ikzx y m yE eE i B ik E e i Bz z

+

+

= = =

(3.16)

Despejando,

0 0ikz ikz

y m m

ikzm x

kB E e E e

E Ee

c c

+ +

+

= = =

= =

(3.17)

donde 8

0 0

13 10c =

m/s es la velocidad de propagacin de la onda en el vaco.

Observemos que existe una sencilla relacin entre ambos campos, slo necesitamos

calcular uno de ellos.

Para la onda que viaja en el sentido 0z < se verifica:

( ) ( )ikzm ikzy m yE e i B ik E e i Bz

= =

(3.18)

y por tanto,

ikzm xy

E EB e

c c

= = (3.19)

lo que nos indica una inversin en el signo del vector del campo magntico con respecto

al caso anterior, aunque la relacin siga siendo a travs del mismo factor c. En ambos

casos, los vectores unitarios de E

, B

y la direccin de propagacin forman un triedro

tri-rectngulo.

Es frecuente utilizar el cociente entre las intensidades de campo elctrico y magntico,

E y H. Si analizamos las dimensiones de ste:

voltios/metroohmios

amperios/metro

E

H

= =

Entonces,

0 00 0

00 0

x xy

y

E EH c

c H

= = = =

(3.20)

Este cociente con dimensiones de se denomina impedancia intrnseca de la onda en

el medio libre, 0 ,

6

00

0

377 . = =

(3.21)

Este resultado es un nmero real y nos dice que los campos en el medio libre se

propagan en fase, como se ilustra en la Figura 3.1.

Figura 3.1. Campos elctrico y magntico asociados con la propagacin en el sentido z > 0.

Vamos a describir los parmetros caractersticos de la onda.

1) Longitud de onda, : el trmino de fase relativo a la propagacin a lo largo de z

es ikze . La distancia que debe viajar la onda para que la fase cambie en 2pi

radianes es lo que llamamos longitud de onda,

22k

k

pi = pi = (3.22)

2) Periodo, T: el tiempo que tarda la onda en realizar una oscilacin completa.

Teniendo en cuenta la variacin temporal i te ,

22T T

pi = pi =

(3.23)

Tambin es importante el inverso del periodo al que llamamos frecuencia, f.

1

2f

T

= =

pi (3.24)

Se mide en unidades de s-1

o hercios (Hz). Teniendo en cuenta las ecuaciones

anteriores podemos ver que:

0 0

2 2 c

k f

pi pi = = =

(3.25)

7

que es una ecuacin frecuentemente utilizada.

3) Velocidad de fase, :fv para medir la velocidad de propagacin imaginemos un

observador montado sobre la onda en un punto especfico como se muestra en la

grfica de la Figura 3.2. Notemos que viaja en un plano de fase constante y se

mueve con la onda a una velocidad que se conoce como velocidad de fase .fv

Dicho observador ha de medir el tiempo requerido para viajar una cierta

distancia .z Puesto que el trmino de fase completo en la onda es t kz , para

hallar la velocidad con que se mueve, igualamos este trmino a una constante y

derivamos z con respecto a t

f

dzt kz Cte v

dt k

= = = (3.26)

Figura 3.2. Un observador viajando en la onda se mueve con .fv

3.3. Propagacin en dielctricos y conductores

Como ya hemos visto en el Tema 2, en un dielctrico las ecuaciones de Maxwell son

anlogas a las del vaco sustituyendo 0 , 0 . El estudio de la propagacin se

puede realizar siguiendo los mismos desarrollos y haciendo estas sustituciones. Por

ejemplo, para la constante de fase y la velocidad de fase obtenemos:

1; fk v= =

(3.27)

Cuando el medio es conductor ( 0 ) las ecuaciones que han de cumplir los campos

que se propaguen en dicho medio deben incluir la contribucin de la corriente de

conduccin:

8

0 0E B

E i H H i i E

= = = =

(3.28)

Podemos aprovechar todo el estudio hecho para el medio libre si hacemos las

sustituciones:

0 0 0;r i =

(3.29)

Es sencillo hacer la primera sustitucin ya que slo se diferencian en una constante. La

segunda tiene ms implicaciones ya que de un nmero real pasamos a un nmero

complejo; ello aadir nuevas caractersticas a la propagacin. Si suponemos una onda

oscilando en el eje x, la solucin para el campo elctrico ser de la forma:

z

x mE E e+

= (3.30)

donde es un nmero complejo dado por:

i i i = = + (3.31)

y son la parte real e imaginaria de la constante de propagacin compleja. Se puede demostrar que

1/2 1/22 2

1 1 ; 1 12 2

= + = + + (3.32)

Si sustituimos en la expresin del campo queda:

z i z

x mE E e e+

= (3.33)

y tomando parte reales queda finalmente:

( ) ( )Re cosi t zx x mE E e E e t z = = + (3.34) donde hemos supuesto que

im mE E e+

= (3.35)

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Vemos que la onda se atena exponencialmente a medida que avanza en el medio

conductor debido al trmino ze . Esta es una diferencia fundamental con la

propagacin en el vaco o en medios dielctricos, como se muestra en la Figura 3.3.

Figura 3.3. Propagacin del campo elctrico de una onda plana en un medio conductor.

La distancia a la que la amplitud de la onda disminuye a un valor 1/ e se llama

profundidad de penetracin:

1 =

(3.36)

Si el medio es un conductor perfecto, es decir, , el coeficiente y en

consecuencia 0. El campo electromagntico no puede penetrar en un conductor perfecto.

Si el medio es buen conductor, es decir >> , se tiene:

2

= . (3.37)

El cociente entre los campos E y H nos da la impedancia de la onda:

11 tan2

1/42

1

ix

y

Ee

Hi

= = =

+

(3.38)

A diferencia de la propagacin en vaco, esta impedancia es compleja y por tanto los

campos estn desfasados. Se puede demostrar que el desfase entre E

y H

vale:

-11 tg2

=

(3.39)

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Notemos que para buenos conductores o45 .

La Figura 3.4 muestra las caractersticas de esta propagacin.

Figura 3.4. Propagacin de los campos elctrico y magntico de una onda plana en un medio conductor.

La onda electromagntica se propaga segn el diagrama de la figura con una velocidad

de fase:

fv

=

3.4. Polarizacin de las ondas planas

Hemos visto en una seccin anterior que hay dos pares independientes de campos

electromagnticos ( ),x yE B y ( ),y xE B que son soluciones de las ecuaciones de onda. Hemos resuelto el primer par y podramos resolver el segundo siguiendo un

razonamiento anlogo. Nos surge la pregunta: qu ocurre si tenemos una combinacin

de ambos? Esto nos lleva a plantear el tema de polarizacin de la onda que es

importante tambin en aplicaciones tales como seales trasmitidas por antenas,

observacin de luz emitida por estrellas, etc.

Supongamos el caso general de un campo elctrico dado por:

( ) ikzx yE Au Bu e= + (3.40) donde las amplitudes y A B son en general nmeros complejos,

;ia ibA A e B B e= = . (3.41)

Vamos a estudiar diferentes casos:

1) y A B tienen el mismo ngulo de fase, .a b= Ello implica que las componentes x e y

del campo estn en fase y por tanto:

11

(a) (b)

E

( ) ( )i kz ax yE A u B u e = + (3.42) y la parte real (incluyendo dependencia temporal) de esta expresin ser de la forma:

( ) ( ) ( )Re cosx yE A u B u t kz a= + + (3.43) De cualquiera de estas expresiones deducimos que el campo elctrico oscila un plano

perpendicular al eje z e inclinado respecto del eje x un ngulo tal que:

tgB

A = (3.44)

Este tipo de polarizacin se denomina polarizacin lineal, Figura 3.5a.

Figura 3.5.- Polarizacin de una onda plana: a) lineal; b) elptica.

2) y A B tienen ngulos de fase distintos. El campo no permanece oscilando en un

nico plano sino que describe una elipse:

( ) ( )i a kz i b kz

x yE A e u B e u

= +

(3.45)

y pasando a la representacin real,

( )cosxE A t a kz= + (3.46) ( )cosyE B t b kz= + (3.47)

Se dice que la onda tiene polarizacin elptica. La Figura 3.5b muestra la forma en que

avanza el campo elctrico de la onda para esta polarizacin.

4) Para el caso particular en que y A B tienen el mismo mdulo y su diferencia de

fase es / 2,pi la elipse circunferencia y se dice que la onda tiene polarizacin

circular.

12

3.5 Densidad y flujo de energa electromagntica

Hemos visto en el Temario del Electromagnetismo I, que los campos elctrico y

magntico existentes en una regin del espacio almacenan energas cuya densidad viene

dada por:

( ) ( )1 1;2 2

e mw t E D w t B H= =

(3.48)

En las ecuaciones (3.48), los valores de los campos son valores instantneos y lo mismo

sucede con las densidades de energa asociadas. Esto lo podemos aplicar tambin a las

ondas planas estudiadas pero como empleamos fasores en su estudio, estas variables se

suelen caracterizar por su valor medio integrado a lo largo de un ciclo:

( ) ( ), ,0 0 0 0

1 1 1 1 1 1;

2 2

T T T T

e av e m av mw w t dt E Ddt w w t dt B H dtT T T T

= = = =

(3.49)

Vamos a desarrollar los clculos para la densidad de energa elctrica. Expresamos los

fasores como cantidades con parte real, ,r rE D y parte imaginaria, , .i iE D Entonces, si

el campo elctrico oscila en el eje x, los campos E

y D

vienen dados por:

( ) ( )( ) ( )

Re cos sen

Re cos sen

i t

r i x r i x

i t

r i x r i x

E E iE e u E t E t u

D D iD e u D t D t u

= + =

= + =

(3.50)

y la densidad de energa instantnea:

( ) 2 21 cos sen sen cos sen cos2

e r r i i i r r iw t E D t E D t E D t t E D t t = + (3.51)

Al promediar a un ciclo tendremos en cuenta que las cantidades en las que aparece el

producto de un seno por un coseno se anulan, y que el valor medio del seno cuadrado y

coseno cuadrado es / 2 :T

( ) ( ),0

1 1 1

2 2 2 4

T

e av e r r i i r r i i

T Tw w t dt E D E D E D E D

T T

= = + = +

(3.52)

Mediante un clculo anlogo se llega a que la densidad media de energa magntica es:

( ) ( ),0

1 1 1

2 2 2 4

T

m av m r r i i r r i i

T Tw w t dt B H B H B H H B

T T

= = + = +

(3.53)

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Se puede comprobar que se obtiene el mismo resultado, si partimos de las expresiones:

* *

, ,

1 1;

4 4e av m avw E D w B H= =

(3.54)

El hecho de que exista una propagacin implica asimismo un flujo de energa que

podemos caracterizar mediante el vector de Poynting, :S

( )S t E H= (3.55) que nos da el flujo de energa electromagntica que atraviesa una superficie por unidad

de rea y unidad de tiempo. Expresado de esta forma, S

depende del instante t en que

se hace la medida. Sin embargo, para campos armnicos tiene ms inters caracterizar

el valor medio del flujo integrado a un ciclo, que es el valor que nos dan los aparatos de

medida. Para calcularlo, partimos de la forma explcita de los fasores de los campos;

suponiendo que el campo elctrico oscila en el eje x y tomando la parte real de las

soluciones tenemos:

( ) ( )( ) ( )

Re cos sen

Re cos sen

i t

r i x r i x

i t

r i y r i y

E E iE e u E t E t u

H H iH e u H t H t u

= + =

= + =

(3.56)

El vector de Poynting en el instante t vendr dado por:

2 2( ) cos sen sen cos sen cosi ir r r i i r zS t E H E H t E H t E H t t E H t t u = = +

y su valor medio en un ciclo:

( )0

1 1 1

2 2

T

av r r i i zS S t dt E H E H uT

= = +

(3.57)

La ecuacin (3.57) nos indica que la energa fluye en la direccin de propagacin.

Tambin podemos llegar a este resultado partiendo directamente de los campos

complejos:

( ) ( ) ( )( )

*1 1Re Re2 2

1

2

av r i x r i y

r r i i z

S E H E iE u H iH u

E H E H u

= = + =

= +

(3.58)

que coincide con la expresin obtenida en el clculo anterior.

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Estos resultados sern tiles para estudiar la energa que transportan las ondas que

emiten los sistemas radiantes.

Se puede comprobar que se obtiene el mismo resultado, si partimos de la expresin:

( )*1 Re2

avS E H=