Apuntes Fisica

Apuntes de Fsia IDr. L. CondeDepartamento de Fsia ApliadaE.T.S. de Ingenieros AeronutiosUniversidad Politnia de Madrid

23 de febrero de 2010

NotaEstos apuntes pueden obtenerse gratuitamente en formato pdf en la pgina webde la asignatura Fsia I:

http://www.aero.upm.es/es/departamentos//sia/PagWeb/asignaturas/sia1/Fisia1.htmldonde tambin se enuentra toda la informain relativa al presente urso.Los apuntes no pretenden sustituir a ninguno de los exelentes textos que se itanen la bibliografa que se enuentran en la Bibliotea del Centro a disposiin de losalumnos y uyo empleo omo libros de onsulta se aonseja enareidamente. Coneste objetivo, se itan a lo largo del texto se

iones espeas de dihos manuales.La extensin de ada apartado no se orresponde exatamente on el ontenido del

urso; faltan ejemplos y algn tema adiional que se expliar durante las lases.Tambin se han omitido algunas demostraiones que pueden enontrarse en lostextos de la bibliografa.Un urso de Fsia elemental neesita ineludiblemente de algunas herramientasmatemtias. Me ha pareido aonsejable inluir un aptulo espeial denominadoComplementos donde se introduen algunos de los oneptos neesarios de un modoinformal. A medida que se haen neesarios se hae referenia en el texto a dihos

ontenidos.

NDICE GENERAL

1. Cinemtia de una partula

1

1.1. Posiiones, veloidades y aeleraiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Movimiento irular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3. Movimiento en un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2. Movimiento relativo

7

2.1. Derivada de un vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2. Transformain de veloidades y aeleraiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3. Apliaiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.1. Movimiento irular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2. Movimiento de un slido rgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123. Dinmia de una partula

13

3.1. Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. Fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.1. Intera

iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.1.1. Campo gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.1.2. Campo eletromagtio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.2. Fuerzas marospias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2.2.1. Rea

iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2.2.2. Fuerza de rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2.2.3. Fuerza de un muelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.3. Fuerzas de ineria

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.4. El triedro terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19i

E.T.S. de Ingenieros Aeronutios

Universidad Politnia de Madrid

3.3. Trabajo y energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4. Fuerzas onservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4.1. Energa potenial elstia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4.2. Energa potenial gravitatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4.3. Potenial eletrosttio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4.4. Energa potenial entrfuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5. Momento intio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284. Sistemas de partulas

30

4.1. Posiin y veloidad del entro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2. Movimiento del entro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3. Energa de un sistema de partulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.4. Momento intio de un sistema de partulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.5. Apliaiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.5.1. Sistema de dos partulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.5.2. Movimiento bajo fuerzas entrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.5.3. Leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.5.4. Choques de partulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415. Cinemtia de un slido rgido

44

5.1. Centro de masas de un slido rgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.1.1. Clulo de entros de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2. Momentos de ineria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2.1. Teorema de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496. Dinmia del slido rgido

51

6.1. Movimiento de un slido rgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2. Movimiento del entro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.3. Momento intio del slido rgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.4. Dinmia de rotain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.4.1. Energa intia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.4.2. Euain de la energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.5. Movimiento plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.5.1. Rodadura plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.6. Esttia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63ii

Curso 2009-20010

Apuntes de Fsia I

7. Movimiento osilatorio

65

7.1. El osilador armnio simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.2. El pndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.3. El pndulo fsio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.4. El osilador armnio amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.5. El osilador armnio forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738. Introdu

in a la menia de medios ontinuos

75

8.1. Los estados de agregain de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.2. Elastiidad lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.3. Desripin de un medio ontinuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.4. Fuerzas en un uido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788.5. Equilibrio de uidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.5.1. Fuerzas sobre uerpos sumergidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828.6. Transporte de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.6.1. Euain de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849. Complementos

9.1. Sistemas oordenados

87

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.2. La resoluin de las euaiones del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.3. Aproximaiones y series de potenias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909.4. Propiedades de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929.5. Campos esalares y vetoriales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.6. Derivadas pariales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939.7. Curvas y superies: Convenio de signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949.8. Integral de lnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959.9. Flujo de un ampo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969.10. El operador nabla: Gradiente y divergenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979.11. El teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019.12. Euain de ontinuidad y vetor ujo msio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019.13. Los ejes prinipales de ineria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10310. Bibliografa

104

11. Problemas

106

iii


iv


CAPTULO 1

Cinemtia de una partula

1.1. Posiiones, veloidades y aeleraionesUna partula material es un objeto uyas dimensiones son pequeas omparadas on las distanias quereorre en su movimiento. Se trata de una aproximain en la que onsideramos solamente los movimientos de traslain de los objetos, que son araterizados

omo puntos de masa m. Su posiin en el espaio sedetermina mediante un punto geomtrio y por lo tanto por un vetor respeto de un triedro de refereniaS(O, X, Y, Z) de origen O omo se observa en la Fig.1.1.

Zr(t)

Pr3

r2r1X

Y

Sus oordenadas (x(t), y(t), z(t)) ambian en el urso Figura 1.1: Trayetoria de la partuladel tiempo a medida que se desplaza y podemos des- P desrita mediante su vetor de posiribir la trayetoria de diho punto, es deir, el lugar in r(t) respeto de un triedro.geomtrio de los puntos del espaio por los que pasa, mediante un vetor de posiin r(t), que representa la posiin de la partula en adainstante,

r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k.Obtenemos el vetor veloidad v(t) a partir de este vetor derivando respeto del tiempo,

drrr(t + t) r(t)= lm=t0 tt0tdt

v = lm

Al efetuar la derivain respeto de un triedro S jo, uya posiin permanee invariable enel tiempo se toman los vetores unitarios (i, j, k) onstantes por lo que tendremos,1



v=

dydzdxi+ j+ kdtdtdt

donde x(t)= dx/dt, y(t)= dy/dt y z(t)= dz/dt sern las omponentes del vetor veloidada lo largo de ada eje.Si introduimos el aro s pequeo de la urva (trayetoria) que reorre la partula duranteel tiempo t (Fig. 1.2) resulta,

rr| r | s=,t| r |stEn el lmite t 0 tendremos s/t |v|, que esel mdulo del vetor veloidad y r/|r| , que esun vetor unitario (| | = 1) tangente a la trayetoriar(t) en todo instante.

Sr

r(t)

r(t o + t)

r(t o)

v = 1 |v| v = v

Figura 1.2: Aro s de la trayetoria

de la partula.

La aelerain de la partula se alula derivando denuevo el vetor veloidad v(t) respeto del tiempo,

v=x i + y j + z kt0 t

a = lm

y tambin podemos obtenerla a partir del vetor v = v(t) ,

(t o + t)

(t o)

a(t) =

donde neesitamos alular la derivada del vetor tangente respeto del tiempo,

(t o + t) (t o)

d= lmt0 tdt

n (t o )C

Figura 1.3: Angulo que rota alrededor del punto C el vetor unitario tangente (t) durante el pequeo intervalode tiempo t .

2

dvddv= + v(t)dtdtdt

Puesto que tiene longitud onstante (es unitario) enel urso del movimiento ambia de dire

in y sentido.Como india la Figura 1.3, durante un tiempo t pequeo podemos onsiderar que gira un ngulo demodo que el vetor diferenia en el lmite t 0apuntar en la dire

in de la normal a la trayetoriay tendremos,

d s= lmt0dtst

Curso 2009-20010

Apuntes de Fsia I

siendo el ngulo entre (to ) y (t + to ), luego / es aproximadamente un versorn(to ) normal a (to ), ontenido en el plano lmite denido por (to ) y (to + t) y que apuntahaia la onavidad de la urva. Adems, el vetor y su derivada han de ser prependiularespuesto que si derivamos,

=1

d=0dt

En el lmite t 0 tendremos,

vd= lm n(t)t0 tdty resulta nalmente,

a=

dvv2+ ndt

(1.1)

El primer sumando orresponde a la omponente tangenial a = (dv/dt) del vetor aelerain y el segundo es la aelerain entrpeta an = (v 2 /) n o normal siendo el radio de

urvatura de la trayetoria1 . Diha antidad es una araterstia geomtria de la trayetoriaque orresponde al lmite uando s 0 del oiente s/.

1= lm s0 sSi multipliamos la euain anterior para la aeleraion vetorialmente por v en amboslados podemos despejar = v 3 / | a v | y, omo vemos, el valor de es en general diferenteen ada punto de la trayetoria ya que depende de la veloidad y aelerain en ada puntode la misma. Obviamente, si el movimiento es irular el radio de urvatura es igual al radio( = R) de la irunferenia que desribe la partula y si la trayetoria es una reta ( = ) noexistir aelerain normal. Cuando a = 0 el movimiento es retilneo y uniforme, resultandoretilneo y aelerado uando at 6= 0 y an = 0. Si la aelerain tangenial es nula (at = 0) yan 6= 0 el movimiento ser urvilneo y la trayetoria ser un rulo (o una hlie de radio )si adems |an | es onstante.

1.2. Movimiento irularAnalizaremos el aso senillo de una partula P que se mueve sobre un plano desribiendouna irunferenia de radio onstante R = |r(t)| omo se muestra la Figura 1.4. En todoinstante de tiempo su posiin r(t) y veloidad v(t) estarn ontenidas en diho plano, siendoesta ltima tangente al rulo de radio R y perpendiular al vetor r(t) omo muestra la Fig.1.4.Podemos introduir el vetor veloidad angular (t) perpendiular al plano formado por r(t)y v(t) de modo que,

1

v(t) = (t) r(t)

(1.2)

Puede onsultarse la se

in 5.8, pags. 104 y 105 del Vol I de la Ref. [1.

3



y si derivamos de nuevo la E. 1.2 respeto del tiempo obtenemos para la aelerain,

a(t) =

ddr r(t) + (t) dtdt

(t)

d r(t) + (t) [(t) r(t)]a(t) =dt

C

(1.3)

v (t)

r (t)P

La posiin de la partula P puede desribirse omor(t) = R ur empleando un versor unitario n = urFigura 1.4: Movimiento irular.que es perpendiular a la trayetoria de P y que apunta a lo largo de la normal exterior 2 . Puesto que la veloidad es tambin v(t) = v(t) y eneste aso el vetor tangente es justamente el vetor = u resulta,

v(t) = v(t) = (t) [R ur (t)]y jando la dire

in del vetor (t) paralela a la del versor k = (t)/|(t)| resulta,

|(t)| = v(t)/R.Los tres vetores unitarios (ur , u , k) forman un triedro omo se observa en la Fig. 1.5que satisfae,

u r u = k u k = u r k u r = u Tanto la veloidad omo la aelerain del movimiento irular pueden expresarse empleandoestos vetores que omo vemos en la Fig. 1.5 son,

ur = cos i + sen j

y

(1.4)

u = sen i + cos j

que guardan entre s las siguientes relaiones,Z

dur= ud

kX

Y

u

ur

a(t) =2

Puesto que r(t) = R ur y (t) ambian on eltiempo al derivar resulta,

v(t) =

Figura 1.5: Triedro formado por los vetores(ur , u , k).

ddur d[R ur ()] = R= R u (1.5)dtd dt

y para la aelerain,

ddud[R u ] = Ru + R = R u R 2 urdtdtdt

Este vetor esta denido en la pag. 87 de la se

in3.4, pags. 94-97 de la Ref. [2.

4

du= urd

(1.6)

omplementos y tambin puede onsultarse la se

in

Curso 2009-20010

Apuntes de Fsia I

Las aelerain entrpeta ac = R 2 ur apunta haia el origen C de la irunferenia de laFig. 1.5. Puede omprobarse que se obtiene el mismo resultado introduiendo en las Es. 1.2y 1.3 los vetores veloidad y aelerain angulares,

(t) = k

y

d= k.dt

> 0 orresponde al del ngulo (t) reiente omo observa en la Fig. 1.5.y el sentido (t)Por ltimo hay que subrayar que si empleamos el vetor normal n = ur omo en el movimiento irular u = tendramos un ambio de signo,

d=nd

y,

dn= d

(1.7)

on lo que la aelerain resulta ser a(t) = R +R 2 n que es el mismo vetor que obtuvimosanteriormente.

1.3. Movimiento en un planoComo se muestra en la Fig. 1.6 podemos generalizar lo anterior para el movimiento de una partula P que se mueve en un plano desribiendouna trayetoria arbitraria.Puesto que la trayetoria se enuentra ontenidaen el plano (X, Y ), siempre podemos desomponer el vetor veloidad v(t) en sus omponentesparalela y perpendiular a la dire

in del versor ur . Hay que subrayar que en general el vetortangente a la trayetoria de P no ser siempre paralelo a u omo en el movimiento irularanterior.

Z

r(t)X

Y

(t)

u

Pur

Figura 1.6: Movimiento general de la partula P uya trayetoria esta ontenida en unplano.

Como se observa en la Fig. 1.7 la veloidad v(t), paralela al vetor tangente t a la trayetoria,puede desomponerse en su proye

in vr a lo largo del versor ur y su proye

in v a lo largode la reta AB paralela al vetor unitario u .Tomando la distania al origen r(t) tendremos el vetor de posiin r(t) = r(t) ur y siendo(t) el ngulo que forma r(t) on el eje X , derivando respeto del tiempo empleando las Es.1.7,

v(t) =

drdurd[r(t) ur ] =ur + r(t)dtdtdt

v(t) = r ur + r(t)

dur d= r ur + r ud dt

Podemos desomponer el vetor veloidad v(t) = vr + v en sus omponentes radial vr = r ury angular v = r u ,5



v(t) = r ur + r uPara la aelerain, derivando de nuevo esta expresin,

(1.8)

A

Y

vr

dudur+ r u + r u + r a(t) = r ur + rdtdt

v

P

resulta,

B

r(t)

ua(t) = (r r 2 ) ur + (r + 2 r )

(1.9)

uando r(t) = R es onstante (r = r = 0) reuperamos la veloidad (E. 1.5) y aelerain (E.1.6) del movimiento irular. Puesto que ur y uson siempre ortogonales, la energa intia de Pes,

Ec =

6

v

uur

(t)

XFigura 1.7: Componentes vr y v de la veloidad de P .

m 2m v2r + r 2 2=22

CAPTULO 2

Movimiento relativo

Hemos onsiderado el movimiento de un punto Prespeto de un triedro S(O, X, Y, Z) pero la trayetoria de una misma partula puede ser desrita desdediferentes sistemas oordenados que se enuentran enmovimiento a su vez unos respeto de otros. Nuestroobjetivo ahora es enontrar expresiones que relaionenlas omponentes de la veloidad y aelerain respetode dos triedros oordenados en movimiento relativo.En la Fig. 2.1 una partula P se mueve respeto de dos triedros S(O, X, Y, Z) y S (O , X , Y , Z ).Como muestra la Figura 2.1 su trayetoria 1 vendradesrita por la evoluin en el tiempo de los vetoresde posiin r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k respeto deltriedro S y r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k respetode S .

Prp(t)rp(t)

Z

S

XO

Z

S

Y

rooX

O

Y

Figura 2.1: La partula P se mueve res-

peto de dos triedros S y S'.

Para un observador en S los vetores unitarios (i, j, k) permanenen onstantes en el tiempomientras que (i , j , k ) ambian. La situain inversa se da para un observador que se mueve

on S . Las veloidades v(t) = dr/dt de la partula P en S y v (t) = dr /dt en S sern engeneral diferentes (vease la Fig. 2.1) lo mismo que las aeleraiones a(t) y a (t).En ambio, para ambos observadores en S y S permaneern inalteradas las longitudes (mdulos) de los vetores. Como se desprende de la gura 2.2, las omponentes del vetor Dabque une dos puntos ualesquiera del espaio a y b son diferentes respeto de ambos sistemas

oordenados,

Dab = (xb xa ) i + (yb ya ) j + (zb za ) k = (xb xa ) i + (yb ya ) j + (zb za ) k .Por el ontrario, es igual en ambos triedros el mdulo del vetor |Dab |, que representa ladistania entre dihos puntos.1

Para este apartado puede onsultarse la se

in 7.2, pags. 275-282 de la Ref. [2

7



2.1. Derivada de un vetorEn general, la derivada respeto del tiempode un vetor ualquiera q(t) en dos triedros enmovimiento relativo S y S es diferente,

dqdt

S

6=

dqdt

Si derivamos el vetor q(t) = qxyqz (t) k en el triedro S donde (i , j , k ) varan enel tiempo tendremos,

a

b

(t) j +

dqdqx dqy dqz i +j +k +=dt Sdtdtdt didjdk(2.1)+ q x+ qy + qz dt Sdt Sdt S

SX

rb

Z

O

S

rb

ra

S

(t) i + q

D ab

rooY

Z

raO

Y

X

Figura 2.2: El vetor Dab respeto de lostriedros S y S .

Los primeros tres sumandos son iguales a (dq/dt)S que es la derivada temporal de q(t)manteniendo onstantes los vetores (i , j , k ). Para alular las derivadas que nos faltanrespeto del tiempo de los vetores unitarios (i , j , k ) en S podemos esribir 2 ,

di= a11 i + a12 j + a13 kdt S dj= a21 i + a22 j + a23 kdt S dk= a31 i + a32 j + a33 kdt S

(2.2)

donde hemos de determinar los seis oeientes a11 , a12 , . . . , a33 . Puesto que i i = 1 en todoinstante de tiempo, si derivamos respeto del tiempo,

d di (i i ) = 0 =i =0dtdty en onseuenia a11 = 0 y repitiendo el mismo argumento para j y k tendremos a11 =a22 = a33 = 0. Adems siempre se tiene i k = 0 luego,

d didk(i k ) = 0 = k = i dtdtdtde modo que en las Es. 2.2 ha de tenerse que a13 = a31 , y siguiendo la misma argumentainpara los produtos esalares i j = 0 y j k = 0 se obtiene a12 = a21 y a23 = a32 . Slo2

8

Vase la se

in 7.2, pag. 279 de la Ref. [2

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Apuntes de Fsia I

quedan entones en las Es. 2.2 tres antidades independientes, a23 , a31 y a12 . Finalmente, siintroduimos un vetor = x i + y j + z k donde,

z = a12

y = a31

x = a23

las euaiones 2.2 pueden esribirse de forma ompata,

didt

S

=i

dj dt

S

=j

dkdt

S

= k

y sustituyendo estas expresiones en la E. 2.1 llegamos nalmente a la relain general,

dqdt

=S

dqdt

S

(2.3)

+q

El signiado fsio de = S S es justamente el de la veloidad angular del triedro S respeto de S .Para la derivada (dq/dt)S del vetor q(t) = qx (t) i + qy (t) j + qz (t) k obtendramos unaeuain simtria de 2.3,

dqdt

=S

dqdt

S

+ SS q

(2.4)

en donde evidentemente SS = S S .

De la euaiones 2.3 y 2.4 podemos extraer algunas onseuenias, si partiularizamos q(t) = S Sen la E.2.3 tendremos,

dS Sdt

=S

dS Sdt

(2.5)S

Es deir, la aelerain angular es la misma en ambos triedros. Si onsideramos tres sistemas

oordenados S , S y S apliando reiteradamente la E. 2.3,

S S = S S + S Sobtenemos una regla de adiin de las veloidades angulares relativas.

2.2. Transformain de veloidades y aeleraionesComo se dedue de la Fig. 2.1 siempre tendremos que rp (t) = ro (t) + rp (t) alulando suderivada temporal

drpdt

=S

drodt

+S

drpdt

S

y empleando 2.3 haiendo q(t) = rp (t),9



vp = vo +

drpdt

S

+ S S rp

en donde vo es la veloidad del origen O del triedro S respeto de S y vp = (dr /dt)S laveloidad de P respeto de S y queda nalmente,

vp = vo + vp + S S rp

(2.6)

Esta ltima euain relaiona las veloidades en S y S vp = vp + varr siendo el trminovarr = vo + S S rp denominado veloidad de arrastre.

Podemos repetir el mismo proedimiento para alular ap (t) = (dvp /dt)S empleando de nuevola Eq. 2.3 on q(t) = vp (t),

ap =

ap = ao +

dvpdt

S

dvodt

+

S

+ S S

dvpdt

vp

+

+S

dS S rpdt

d S Sdt

S

rp

+ S S

drpdt

S

y sustituyendo en el ltimo sumando (drp /dt)S = (drp /dt)S + S S rp queda nalmente,

ap = a + ap +o

d S Sdt

S

rp + 2 S S vp + S S (S S rp )

(2.7)

La aelerain ao es la aelerain del origen de S respeto de S y ap de del punto P en S .Al trmino,

aarr = ao +

d S Sdt

S

rp + S S (S S rp )

se le denomina aelerain de arrastre y acor = 2 S S vp es la aelerain de Coriolisresultando entones,

ap = ap + acor + aarr

2.3. ApliaionesLas euaiones 2.6 y 2.7 nos proporionan los vetores veloidad y aelerain en un triedroS que podemos esribir expresadas en sus omponentes en otro triedro S que se mueve respetodel primero. Veremos a ontinuain dos ejempos ilustrativos.10

Curso 2009-20010

2.3.1.

Apuntes de Fsia I

Movimiento irular

Las euaiones 1.5 y 1.6 para el movimiento de una partula que gira on radio R onstantepueden obtenerse tambin omo una transformain de veloidades y aeleraiones entre dostriedros oordenados.En la gura 2.3 se muestran dos triedros on un origen omn (O O ) de modo que vo = 0y tambin ao = 0. El eje Z es paralelo a Z y la veloidad angular relativa ser S S = S S kque resulta ser siempre paralela adems a SS .Un observador en S observa que la partula P se enuentra en reposo, (vp = 0 y ap = 0) enel punto rp = R i de modo que segn la euain 2.6 resulta simplemente,

vp = S S rp = R S S (k i )vp = (R S S ) j

(2.8)

Empleando la E. 2.7 para las aeleraiones on ao = ap = vp = 0 tendremos,

ap =

d S S rp + S S (S S rp )dt

La aelerain angular se obtiene tomando la derivada de S S ,2d S S d S S S S k = d k=k =dtdtdt2

por lo que sustituyendo los vetores orrespondientes,

S S j R 2 i S S (k i ) + R 2 (k [k i ]) = R ap = R SSSSLa relain entre las veloidades que nos proporionan las Es. 1.5 2.8 puede observarse en la Figura 2.3. Para un observador en eltriedro S que ve girar la partula P el vetor S S u , resulta ser igualveloidad, vp = R al vetor vp = R S S j que nos proporionala E. 2.6. Ambas expresiones orrespondenal mismo vetor vp puesto que

(2.9)

Z || Z

SS || SSk || kO O

SX

Y

SY

Pi || u r

j || u

X

j = u = sen i + cos j. La diferenia estriba que las omponentesde vp estan referidas al triedro S en el primer

aso y a S en el otro.

Figura 2.3: Movimiento irular de una partulaP en reposo en rp = R i respeto de S que asu vez gira respeto del triedro S .

Podemos repetir la misma argumentain para el vetor aelerain ap que arroja la E. 2.9y que obtuvimos en la E. 1.6. El vetor i resulta ser siempre igual a ur = cos i + sen jy por lo tanto la aelerain entrpeta ac = (R 2S S ) i resulta en todo instante paralela alvetor normal n que apunta haia el origen O.11



Como vemos, los vetores veloidad y aelerain en S son los mismos siempre aunque puedenser expresados en sus omponentes a lo largo de los vetores unitarios (i, j, k) respeto deltriedro S o tambien en sus omponentes respeto de S empleando entones el triedro (i , j , k ).

2.3.2.

Movimiento de un slido rgido

En el apartado anterior onsideramos un triedro mvil S respeto del ual una partulase enontraba en reposo. Este es tambin el aso de un slido ideal indeformable (rgido) quees aquel en el que las distanias relativas entre sus = 1, ...N partulas no ambian en eltiempo. Si onsideramos un triedro S que se mueve on el slido respeto del ual para todassus partulas se tiene que v = a = 0, empleando las Es. 2.6 y 2.7 tendremos,

v = vo + S S r ,

a = a0 +

d S S r + S S (S S r )dt

El movimiento del uerpo se ompone de una veloidad de traslain vo omn para todoslos puntos y un giro on veloidad angular S S alrededor de un eje O .Vamos a onsiderar una barra |OA| que enun ierto instante to gira sobre un plano on veloidadangular = k alrededor de su extremo omo seindia en la Fig. 2.4.Ejemplo:

Z

OX

YV1

r1r2

V2V3

r3

BA

Figura 2.4: Movimiento de una barra|OA|.

Respeto del orgen O la veloidad angular es lamisma para todos los puntos de la barra aunque laveloidad de ada partula de la misma es diferente.En la gura 2.4 se han dibujado slamente los tres vetores v1 , v2 y v3 orrespondientes a los puntos r1 , r2y r3 .

No obstante, es evidente que para ada posiin r alo largo de la barra |OA| existe un vetor veloidad v = r uyo extremo se enontrara lo largo de la reta a trazos |OB|. Es deir, la veloidad angular del slido es nia perono las veloidades v de ada una de sus partulas.Adems, todas las veloidades respeto de S de ada punto del slido se enuentran ligadas,si a r1 le sumamos y restamos el vetor r2 se tiene, r1 = r2 + r1 r2 y entones,

v1 = r1 = r2 + (r1 r2 ) = v2 + (r1 r2 )Como vemos las veloidades v1 y v2 de ambos puntos se enuentran relaionadas.Existe una nia veloidad angular para todos las partulas del slido pero sus veloidadesv respeto de S son diferentes. La veloidad angular del slido = SS oinide on lade un triedro S que se mueve on el mismo y respeto del ual todas las partulas seenuentran en reposo. Las veloidades de dos partulas ualesquiera situadas en los puntosr y r se enuentran relaionadadas mediante,

v = v + (r r )y onstituyen el denominado ampo de veloidades del slido rgido.12

CAPTULO 3

Dinmia de una partula

La inemtia estudia el movimiento de los uerpos sin preguntarse por las ausas delmismo. Las observaiones nos indian que el movimiento de un uerpo es el resultado de suintera

in on otros uerpos que le rodean y para desribir dihas intera

iones introduimosel onepto de fuerza. La dinmia es el estudio de la relain entre el movimiento de un

uerpo y las ausas del mismo: las fuerzas.

3.1. Leyes de NewtonLa dinmia lsia esta fundamentada en las leyes del movimiento de Newton que pueden

onsiderarse omo axiomas, es deir, generalizaiones que no tienen demostrain, fruto delanlisis de los movimientos que observamos de los uerpos y de la extrapolain de dihasobservaiones. Su validez queda estableida en la medida en que los movimientos que prediense orresponden on los que observamos en la Naturaleza.La situain fsiamente ms simple orresponde a una partula aislada que es aquella queno intera

iona on el resto del universo. Se trata de una idealizain, y podremos onsiderarque una partula est aislada, bien uando sus intera

iones on las dems se anelan, o bienporque deaen on la distania y se enuentra muy alejada.1a Ley de Newton

: Se postula la existenia de iertos triedros, que denominaremos

ineriales, respeto de los uales las partulas aisladas tienen aelerain nula, por loque su antidad de movimiento, denida omo el produto p = mp vp , es onstante (Leyde ineria ).Respeto de un triedro inerial una partula no sometida a ninguna fuerza se mueve onveloidad uniforme y retilnea, su veloidad vp es un vetor onstante en el tiempo. Comose dedue de las Es. 2.6 y 2.7 si un triedro S es inerial, ualquier otro S on ao = 0,S S = 0 y dS S /dt = 0 tambin es inerial, resultando iguales las aeleraiones ap = ap queexperimenta la partula en ambos sistemas. Para las veloidades tendremos vp = vo + vp .13



: Para una partula no aislada se puede esribir en un triedroinerial ap = F /mp donde el vetor F llamado fuerza depende de la intera

in de lapartula on los objetos que se enuentran en su proximidad. El esalar mp > 0 es lamasa inerial de la partula y tendremos,2a Ley de Newton

F = mp

dvpdt

(3.1)

Si utilizamos la E. 2.7 enontramos que si S y S son dos triedros ineriales las aeleraionesy por lo tanto la fuerza F que se observa en ambos triedros son las mismas. La segunda leyde Newton tambin se puede enuniar asimismo de la forma,

dpdtEs deir, que la fuerza produe la variain en el tiempo de la antidad de movimientop = mp vp de la partula.F =

: Respeto de un triedro inerial, para una pareja de partulas

ualesquiera i y j aisladas del resto del universo se observa que,3a Ley de Newton

Fij = Fji

o equivalentemente mi ai + mj aj = 0 (Ley de a

in y rea

in ).Si el sistema formado por las dos partulas est aislado, la fuerza sobre una partula esigual y opuesta a la que ejere la otra. Equivalentemente, podemos deir que la antidad demovimiento P = pi + pj del sistema aislado formado por las dos partulas se onserva,

mi a i + mj a j =

dPd(pi + pj ) == 0.dtdt

3.2. FuerzasLa segunda ley de Newton (E. 3.1) nos proporiona una euain diferenial uya soluinrp (t) es la trayetoria de la partula P . Para plantear diha euain es preiso enontrar expresiones matemtias para las intera

iones entre las partulas, es deir, funiones F (v, r, t)para las fuerzas que dependen de la veloidad v , la posiin r y el tiempo t. Adems, paradeterminar exatamente la soluin orreta es preiso onoer la veloidad vp (to ) y la posiinrp (to ) de la misma en un instante to dado. 1El estudio de las diferentes fuerzas que existen en el universo y la determinain de susexpresiones matemtias es uno de los objetivos de la Fsia. Brevemente vamos a desribir losdiferentes tipos de fuerza on que trabajaremos a lo largo del urso y que podemos lasiaren tres grupos. Las intera

iones o a

iones a distania entre dos uerpos donde intervienenpropiedades fundamentales de la materia omo la masa o la arga eltria, las fuerzas marospias o de ontato, omo el rozamiento o las rea

iones de apoyos, que son el resultadode las intera

iones entre el gran nmero de partulas (tomos) que omponen los uerposmateriales y nalmente, las fuerzas de ineria que dependen del estado de movimiento delobservador.1Se desarrolla esta uestin mediante un ejemplo en la pgina 88.14

Curso 2009-20010

3.2.1.

Apuntes de Fsia I

Intera

iones

3.2.1.1.

Campo gravitatorio

Como se observa en la Fig. 3.1 entre dos masas puntuales m y M aparee una fuerza deatra

in. La fuerza FmM que experimenta la partula de masa m debida a su intera

ingravitatoria on la de masa M viene dada por,

FM m

mM(rm rM )= G2| rm rM | | rm rM |

(3.2)

u Mmm

en donde el vetor uM m = (rm rM )/ | rm rM | es unvetor unitario on origen en M en la dire

in de la retaque une a ambas partulas.La onstante de gravitain universal G en el sistema MKSvale, G 6,671011 N m2 kg2 . Evidentemente se tendrFM m = FmM y la fuerza resultante sobre una partulade masa m debida a un onjunto de masas m donde = 1, . . . N es la suma vetorial de la fuerza que ejere

ada una de ellas individualmente.

F =

NX

=1

F =

NX

=1

G

FmMFMmrm

Z

M

rMX

Y

Figura 3.1: Intera

in gravitatoria entre dos masas m y M .

(r r )m m2| r r | | r r |

Se dene el vetor intensidad del ampo gravitatorio fM (r) reado por la masa M omo lafuerza que sta ejere sobre la unidad de masa situada en el punto r ,

fM (r) = G

M(r rM )2| r rM | | r rM |

(3.3)

y la fuerza sobre una masa m situada en el punto r ser, FM m = m fM (r). Para un sistemade = 1, . . . N partulas de masas M la intensidad de ampo gravitatorio en el punto r serla suma vetorial,

f (r) =

NX

=1

f (r) =

NX

=1

(G)

(r r )M2| r r | | r r |

En la expresin de ley de gravitain apareen las masas gravitatorias m y M que enprinpio no tienen porqu ser iguales a las masas ineriales orrespondientes que apareen en la segunda ley de Newton (E. 3.1). Sin embargo, ningn experimento realizado hastala feha ha enontrado disrepania alguna entre ambos valores por lo que se onsiderarnidntios en el resto del texto.Para una masa m situada a una altura h sobre la superie de la tierra (de masa MT y radioRT ) podemos haer una aproximain tomando | r rT |= h + RT y desarrollar en poteniasde h/RT ,15



m MT1m MT= G22| r rT |RT (1 + h/RT )2h 2h 3h+ 3() 4() + ...]Fg mg [1 2RTRTRTFg = G

en donde g = GMT /RT2 = 9,8 m s2 y podemos aproximar2 Fg = mg siempre que h/RT 1.3.2.1.2.

Campo eletromagtio

Entre dos argas eltrias q y Q apareen fuerzas de la que es responsable la intera

ineletromagntia. La fuerza de Coulomb FQq que ejere la arga Q sobre la q es atrativa(Q q < 0) o repulsiva (Q q > 0) dependiendo del signo de las argas (ver la Fig. 3.1 reemplazando las masas M y m por las argas orrespondientes) que viene dada por,

FQq =

(rq rQ )qQ124o | rq rQ | | rq rQ |

(3.4)

en donde o > 0 es una onstante positiva y 1/4o 9 109 N m2 C 2 .

Anlogamente al ampo gravitatorio se dene el vetor ampo eltrio E(r) originado por la

arga Q omo la fuerza que se ejere sobre la arga unidad en el punto r ,

EQ (r) =

(r rQ )Q124o | r rQ | | r rQ |

(3.5)

de modo que la arga q situada en el punto r ser FQq = q EQ (r). Para un onjunto de = 1, . . . , N argas tendremos omo para el ampo gravitatorio una suma vetorial,

E(r) =

NX

=1

E (r) =

NQ(r r )1 X24o =1 | r r | | r r |

y la fuerza sobre la arga q situada en el punto r ser F (r) = q E(r).Una arga q que se mueve on veloidad vq respeto de un ampo magntio tambinexperimenta una fuerza que viene dada por,

F = q (vq B)donde B es el vetor indu

in magntia que mide la intensidad del ampo. En esta expresinla veloidad vq de la arga se mide respeto de un triedro en el que el ampo B permaneeen reposo de modo que,

Fq = q [E + vq B]es la fuerza que experimenta una arga q que se mueve en presenia de un ampo eltrio Ey otro magntio B superpuestos y que se denomina fuerza de Lorentz.2

16

Sobre los desarrollos en serie de potenias de una funin puede onsultarse la Pag. 90.

Curso 2009-20010

3.2.2.

3.2.2.1.

Apuntes de Fsia I

Fuerzas marospias

Rea

iones

Los uerpos de nuestro entorno intera

ionan a travs las ltimas apas de tomos que

onstituyen sus superies exteriores. Cuando estas se enuentran lo suientemente prximasapareen fuerzas marospias que resultan del promedio de las intera

iones a nivel moleularentre los tomos de sus superies. Dihas fuerzas son de orto alane, es deir, disminuyenrpidamente on la distania de separain y se denominan fuerzas de ontato puesto quepodemos onsiderar que slo atan sobre los uerpos marospios uando sus superiesestan en ontato fsio.3.2.2.2.

Fuerza de rozamiento

La fuerza de rozamiento o fri

in por deslizamiento es una fuerza de ontato que se oponeal movimento relativo de dos uerpos marospios. Su dire

in se enuentra ontenida en elplano tangente a las superies en ontato y se veria experimentalmente que la magnitudsu mdulo es FR = N donde N es la fuerza de rea

in entre ambos uerpos. Cumple lassiguientes propiedades,No depende de la magitud de la superie de ontato, sino de la naturaleza de lassuperies.Es proporional a la rea

in normal N entre ambos uerpos.Al oeiente de proporionalidad se le denomina oeiente de rozamientoLa dire

in de la fuerza de rozamiento FR ser ontrariaa la veloidad v del uerpo,

Fr = N

vv

FR e = e N

Y

N

(3.6)

Se emplea el oeiente de rozamiento esttio = e

uando los dos uerpos en ontato se enuentran iniialmente en reposo relativo y Fr representa la fuerza mnimaneesaria para ponerlos en movimiento 3 .

FR e

FMX

Figura 3.2: Fuerza de rozamiento

Si los uerpos se enuentran en movimiento se utiliza el esttio.

oeiente de rozamiento dinmio o intio = d uyo valor en general es menor queel esttio (d < e ), y que representa la fuerza neesaria para mantener dihos uerpos enmovimiento uniforme relativo.Finalmente, un uerpo que se mueve on veloidad relativamente baja a travs de un uido

omo un gas o un lquido experimenta una fuerza de fri

in F proporional a su veloidadrelativa al medio,F = v(3.7)

El oeiente de proporionalidad > 0 depende de la forma del uerpo y del medio en quese mueve.3

Puede onsultarse la se

in 7.9, pags 170-173 Vol I de la Ref. [1 y la se

in 2.4 pags. 32-33 de [2.

17


3.2.2.3.


Fuerza de un muelle

El movimiento osilatorio sin rozamiento en una dimensin de una partula (por ejemplo el bloque que semuestra en la Fig. 3.3) unida a un muelle ideal se desribemediante la ley de Hooke,

YFm = K ( XLo )M

Fm = K (x Lo )

X

donde K se denomina onstante elstia y Lo es la longitudnatural del muelle que orresponde a la posiin x = Lodonde la fuerza es nula, resultando F > 0 para x < Lo yF < 0 si x > Lo .

Figura 3.3: Fuerza de un muellesobre un bloque de masa M .

La euain de movimiento de la masa m es,

m

d2 x= K (x Lo )dt2

(3.8)

y su movimiento ser ser osilatorio, su estudio detallado se efetuar en el aptulo 7.3.2.3.

Fuerzas de ineria

Para la partula P de masa m, si onsideramos un triedro inerial S y otro S tales que suveloidad relativa vo (t) no es onstante en el tiempo (y/o S S (t) 6= 0) tendremos Fp = m apy empleando la E. 2.7 resulta,

d S SFp = m ap + ao + rp + 2 S S vp + S S (S S rp )dtSLas fuerzas observadas sobre la partula P en el sistema S sern Fp = map despejando,

Fp = Fp + FIen donde FI son las fuerzas de ineria,

d S SFI = m ao + rp + 2 S S vp + S S (S S rp )dtS

(3.9)

Las fuerzas de ineria dependen de la posiin rp en S y del movimiento relativo entre ambostriedros y el trmino Fcor = 2m (S S vp ) ser la fuerza de Coriolis.

La fuerza entrfuga Fc = m [S S (S S rp )] se dirige siempre en la dire

in per + r de la partula enpendiular al vetor S S . Si desomponemos la posiin rp = rksus omponentes perpendiular r y paralela rk a la veloidad angular S S , puesto queS S rk = 0, la fuerza entrfuga viene dada siempre por,Fc = m [S S (S S r)] = m 2S S r

rr

(3.10)

/r apunta en la dire

in perpendiularComo se muestra el la Fig. 3.4, el vetor unitario ra S S on sentido haia afuera del eje de giro.

18

Curso 2009-20010

Apuntes de Fsia I

Si onsideramos el movimiento respeto de un triedro de referenia S no inerial en la segundaley de Newton (E. 3.1) hemnos de onsiderar ademas las fuerzas de ineria FI . Respeto deltriedro S la trayetoria r (t) de una masa m puntual ser entones la soluin de la euaindiferenial,d2 r m 2 = F + FI(3.11)dtdonde F son fuerzas independientes del estado de movimiento del observador (por ejemplo,la gravedad) y FI las fuerzas de ineria.El triedro terrestre

De la expresin de la ley de gravitain (E. 3.2) sedesprende que su magnitud es pequea omparada on lafuerza de Coulomb (E. 3.4) entre dos argas eltrias,adems ambas dereen on el inverso del uadrado de ladistania. En diho triedro las fuerzas de ineria (E. 3.9)son despreiables.

r

Por el ontrario, la tierra gira alrededor del sol y tambinalrededor de su eje de rotain on veloidades angularesT y dia respetivamente, por lo que un triedro ST onorgen en el entro de la tierra y ligado a la misma no esun sistema de referenia inerial.

r

V

3.2.4.

=

r

r

2

Fc = m r

O

Para los movimientos sobre la superie terrestre la gravedad Fp = m g es obviamente ms intensa que la fuerza Figura 3.4: Fuerza entrfuga2de atra

in experimenta debida a ualquier otro objeto Fc = m r sobre una partudel universo. En onseuenia, para un observador en ST la.segn la euain 3.9 la gravedad no es la nia fuerza que ata sobre una partula de masam sino que hemos de evaluar tambin los siguientes trminos,

m aT ,

m

ddia rpdt

2 m dia vp ,

y

m dia (dia rp ).

El perodo de rotain de la tierra ser T = (24 h 60 m 60 s) = 8,6 104 s de modo quedia = 2/T = 7,3 105 rad s1 y la veloidad angular de la rbita alrededor del sol serT = dia /365 = 2,0 107 rad s1 . La aelerain aT es la aelerain del entro de la tierraen su rbita en torno al sol (el trmino ao en la euain 3.9). Si D = 1,5 1011 m es ladistania aproximada tierra-sol tendremos,

| aT | 2T D = 6 103 m s2 .No hemos de onsiderar para el segundo trmino donde ddia /dt es obviamente despreiabley tomando el radio de la tierra RT = 6400 km = 6,4 106 m resulta,

| dia (dia RT ) | 2dia RT 3,6 102 m s219



Si omparamos on el valor de la aelerain de la gravedad terrestrepodemos ver que las orre

iones que introduen son pequeas,

4

vp

Z || Z

g

3

4 10

y

2T

D

g

4

6 10

respetivamente. La importania de la fuerza de Coriolisdepender de la veloidad vp relativa a la superie terrestre que tendra que ser elevada para ompensar el bajovalor de dia = 7,3105 rad s1 . Si tomamos por ejemplola veloidad del sonido vp = 340 m s1 entones,

acor = 2 | dia vp | 5 102 m s2

dia

Fcent

h

(R T + h) Sen ( )

2dia RT

g = 9,7805 m s2

PFg

X

O=O

(R T + h) Cos ( )

Figura 3.5: El triedro S gira on

la tierra.

inluso en este aso resulta en una antidad pequea omparada on la aelerain de lagravedad terrestre.Podemos onluir que un triedro S ligado a la superie de la tierra puede onsiderarse omoinerial para la mayor parte de los movimientos de los objetos de nuestra vida diaria. Las

orre

iones debidas a las aeleraiones entrfuga o de Coriolis son relevantes si las distaniassobre la superie terrestre son muy grandes o los perodos de los movimientos impliadosmuy lentos, de modo que sus efetos se aumulen a lo largo del tiempo, omo es el aso delmovimiento del pndulo de Foault.En la Fig. 3.5 onsideramos dos triedros S y S ambos tienen su orgen en el entro de latierra y los ejes de S apuntan a lo largo de dire

iones jas en el espaio. El triedro S rotarespeto de S girando on la tierra on veloidad angular dia = dia k . La fuerza Fp queexperimenta una partula P situada a la altura h sobre la superie terrestre ser,

Fp = Fg m 2 dia vp + dia (dia rp )

y onsideraremos por simpliar la veloidad vp = vp [cos() i + sen() k ] ontenida en elplano (X , Z ). Asimismo, rp = (RT + h) ur = (RT + h) [cos() i + sen() k ] y la fuerza de lagravedad Fg = mg ur es la misma en S y S . La fuerza entrfuga resulta,

Fcent = m (RT + h) dia (dia ur ) = m (RT + h) 2dia cos() i

omo india la gura y la de Coriolis,

Fcor = 2 m dia vp = 2m dia vp cos() j resulta ser perpendiular al plano (X , Z ) drigida haia el letor por lo que no esta dibujadaen la Fig. 3.5. La fuerza total que se observa sobre P en S es nalmente,

Fp = mg ur + m (RT + h) 2dia cos() i 2 m dia vp cos() j Como vemos adems del peso Fg hay otras omponentes que dependen de los ngulos (latitud) y que en algunos asos pueden ser nulas. Obviamente no existe fuerza entrfuga4

20

Valor de referenia medido a nivel del mar en el euador terrestre.

Curso 2009-20010

Apuntes de Fsia I

para = /2 (el polo), mxima en el euador ( = 0) y la de Coriolis es nula si = /2 ymxima uando = 0.

3.3. Trabajo y energaSe dene el trabajo5 dW efetuado por la fuerza F sobre la partula P que se mueve a lolargo de la trayetoria r(t) omo el produto esalar,(3.12)

dW = F dr = |F | |dr| cos

El signiado geomtrio se apreia en la Fig. 3.6, la antidad dW representa la proye

in|F | cos() de la fuerza a lo largo del vetor dr . Es deir, solo la omponente de la fuerza Ftangenial (paralela al vetor dr ) realiza trabajo.Entre dos puntos a y b ualesquiera de la trayetoria denidos por los vetores ra y rb tendremos,Z rbZ rbdW = Wab =F drra

Donde aparee la integral de lneapuntos onsiderados.

ra

6

de la fuerza F a lo largo de la trayetoria r(t) entre los

Considerando la 2a ley de Newton en lugar de la fuerza omo dr = v dt,ZZ rbm vbdvd(v v)Wab =(m ) (v dt) =dt2 vara

si va y vb son las veloidades de la partula en los puntos onsiderados,

Wab =

mvb2 mva2= Ecin22

(3.13)

Por onsiguiente, el trabajo Wab de las fuerzas apliadas sobre la partula entre los puntos a y b es iguala la variain de la energa intia Ec entre dihospuntos.

P

a

dr || vb

Si derivamos respeto del tiempo la energa intiaobtenemos la potenia,

dEc=F v(3.14)dtque representa el trabajo efetuado en la unidad detiempo. Cuando este produto esalar sea nulo Ec es

onstante en el tiempo y se onservar la energa intia; slo efeta trabajo sobre la partula la omponente de la fuerza paralela al vetor veloidad, esdeir, a la tangente a la trayetoria de la partula.

F

r (t)

ra

rb

ZX

O

Y

Figura 3.6: Solo la omponente de lafuerza F paralela a dr(t) realiza traba-

jo.

Hay que subrayar que las Es. 3.12, 3.13 y 3.14 no hemos espeiado si el triedro respetodel que desribimos el movimiento es inerial o no inerial. Con la notain habitual podramossustituir en ellas la fuerza F , posiin r y veloidad v en S y enontraramos el trabajo W 56

Puede onsultarse el aptulo 8 del Vol I de la Ref. [1, pags. 201-233Una introdu

in de este onepto se enuentra en la pag. 95.

21



en el triedro S . Si el triedro es no inerial hay que onsiderar adems el trabajo de las fuerzasde ineria, en este aso tendremos,

Z

rarb

=dW = Wab

Z

rarb

F dr

donde hemos de substituir F = F + FI .

Ec

mv 2=2

b

a

=

Z

rbra

(F + FI ) dr =

Z

rb

ra

F dr +

Z

rb

ra

FI dr = WF + WI

(3.15)

Entones Ec = WF + WI donde el primer sumando orresponde al trabajo WF de las fuerzas

alulado igual que en la deniin (E. 3.12) pero evaluado a lo largo de la trayetoria r (t)respeto del triedro S . El segundo es el el trabajo efetuado por las fuerzas de ineria WI yla suma de ambos es igual la variain de la energa intia de la partula en el triedro S donde omo ya hemos visto la fuerza de Coriolis no ontribuye a WI .En el aso de la fuerza de Coriolis, es nulo el produto esalar de la fuerza Fcor por laveloidad de la partula v en el triedro S ,

Fcor v = 2m (S S v ) v = 0No hae trabajo puesto que Fcor es siempre perpendiular a la veloidad v .

3.4. Fuerzas onservativasPodemos apliar la deniin de trabajo 3.12 a lo largo de una trayetoria que forme una

urva errada C en el espaio de modo que los puntos iniial a y nal b son el mismo yesribimos,I

Wab =

C

F dr

Cuando a lo largo de ualquier urva errada C en el espaio se umple que,IF dr = 0C

deimos que la fuerza F (r) es onservativa y puede probarse que entones existe una funinesalar 7 Ep (x, y, z) tal que dEp = F dr . La integral a lo largo de la urva C es nula puestoque la funin Ep (r) toma evidentemente el mismo valor en el punto iniial y nal de la urva.Esribimos entones F = Ep donde Ep es la energa potenial y el vetor Ep se denominagradiente de la funin Ep (r) 8 .En general, la energa potenial esta denida salvo una onstante arbitraria que no inuye,puesto que en el lulo de F desaparee al derivar, o bien al alular la diferenia de energaspoteniales entre dos puntos Ep = Ep (rb ) Ep (ra ). Como veremos a ontinuain para los93.

22

7

Es aonsejable repasar los oneptos de ampo

esalar y vetorial que se introduen brevemente en la Pag.

8

El onepto de derivada parial y gradiente puede enontrarse en la Pag. 97.

Curso 2009-20010

Apuntes de Fsia I

ampos eltrio y gravitatorio diha onstante se establee de modo que la energa sea nulaen el lmite r , es deir, para puntos alejados de la arga eltria (o masa) que readiho ampo.Entre dos puntos a y b ualesquiera de la trayetoria r(t),

Ep = [Ep (rb ) Ep (ra )] =

Z

rbra

dEp =

Z

rb

ra

(3.16)

F dr = Ec

y podemos denir la energa menia E = Ec + Ep de la partula omo suma de su energapotenial y intia,mvb2mva2E=+ Ep (ra ) =+ Ep (rb )22Cuando la energa E se onserva (Ec + Ep ) = cte. ser una antidad onstante que toma elmismo valor en todos los puntos de la trayetoria.

3.4.1.

Energa potenial elstia

A partir de la ley de Hooke Fm = K(x Lo ) se obtiene la energa potenial elstia delmuelle Em (x) = K(x Lo )2 /2. Como vemos en la Fig. 3.3 si tomamos dos puntos ualesquieraa y b a lo largo del eje X y empleamos la E. 3.12 resulta,

Wab =

Z

xb

xa

F dr = (K)

Z

xbxa

K(xb Lo )2 K(xa Lo )2(x Lo ) dx = 22

y utilizando Ec = Em (E. 3.16) podemos denir la energa de la masa m,

E=

mv 2 K(x Lo )2+22

que es una onstante en ada punto de la trayetoria x(t). En ualquier instante t la suma dela energa intia y potenial elstia del muelle es una antidad onservada.Tambin puede deduirse de la euain de movimento (E. 3.8) para la masa m unida aun muelle ideal en una dimensin. Tendremos,

mx = K (x Lo )

luego,

mx x = K (x Lo ) x

multipliando por la veloidad x . Podemos integrar entre dos instantes de tiempo ta < tb

onseutivos,

tbh m itbKx 2(x Lo )2=22tata

El trmino de la izquierda es justamente la variain de la energa intia Ec y el de ladereha es Ep . La energa potenial elstia Em (x) es la funin,

Em (x) =

K(x Lo ) + C223



en donde C es una onstante que puede determinarse tomando Em (Lo ) = 0. Para ualquiervalor de C tendremos siembre Em = Em (xb ) Em (xa ) y la fuerza del muelle se reupera

alulando el gradiente9 del potenial,

Fm = Em =

dEmi = K (x Lo ) idx

y resulta independiente de la ele

in de C .Si existe una fuerza adiional Fx apliada la euain del movimiento sera,

mx + K (x Lo ) = Fx

ahora,

mx x + K (x Lo ) x = Fx x

e integrando igual que antes resulta,tb Z tbh m itb K22+=Fx dx = Wfx(x Lo )22tatata

El trmino de la izquierda es la suma de Ec y Em (x) y a la dereha aparee el trabajo Wfde la fuerza apliada,E = [Ec + Em (x)] = WfLa energa E = Ec +Em de la masa m puede disminuir si Wf es negativo (por ejemplo, uandoFx es una fuerza de rozamiento o fri

in) o aumentar uando es positivo. El estudio detalladodel movimiento osilatorio on y sin rozamiento se efetuar en el aptulo 7.3.4.2.

Energa potenial gravitatoria

Consideramos una masa M en una posiin ja r1 y la expresin para la intensidad del

ampo gravitatorio de la E. 3.3. Si substituimos fM (r) en la E. 3.12 e integramos entre dospuntos ualesquiera del espaio ra y rb obtendremos,

Z rbZ rb11d(|r rM |)= (G M )= UgfM (r) dr = (G M )|r rM |2|rb rM | |ra rM |raraPodemos introduir la siguiente expresin,

Ug (|r rM |) = G

M+C|r rM |

(3.17)

que orresponde al potenial gravitatorio reado por la masa M en el punto r . La onstantede integrain C se hae nula espeiando que el potenial gravitatorio ha de disminuir amedida que aumenta la distania |r rM | de modo que en el lmite |r rM | se tieneUg 0.A partir de la E. 3.17 se reupera la intensidad del ampo gravitatorio denida en 3.3 mediantefM (r) = Ug empleando la E. 9.12. Puesto que el vetor rM es jo, si haemos el ambiou = r r1 podemos alular,

dUg uu dMM ufM = Ug = =G= G 2du uu duuu u9

24

Apliamos aqu la frmula 9.11 de la se

in

Complementos en una dimensin.

Curso 2009-20010

Apuntes de Fsia I

que es justamente la E. 3.3.Como la fuerza que ejere M sobre otra masa m situada en el punto r es FM m = m fM (r),el trabajo Wab que realiza el ampo gravitatorio reado por la masa M sobre m uando estase desplaza entre dos puntos a y b es entones,

Wab =

Z

rb

ra

FM m (r) dr = m

Z

rb

ra

11fM (r) dr = (G m M )= m Ug|rb r1 | |ra r1 |

y la variain de al energa potenial ser Ep = m Ug .Para el movimiento de una partula sobre la superie terrestre, onsideremos el triedro de la Fig. 3.7 respeto del quese mueve en un plano vertial sometida a la fuerza F = m g k

on veloidad v = vx i + vy j + vz k. Su euain de movimientoes,dv= m g kmdt

V

Z

PF = M g

y si haemos el produto esalar on v ,

mv

X

dv= m g v k = m g vzdt

que podemos integrar respeto del tiempo,

m v2Ec =2

tb

ta

= m g

Z

Figura 3.7: Partula P quese mueve en el plano vertial(Z, X).

zb

za

dz = m g (zb za ) = Ep = Wab

Enontramos el trabajo Wab = m g z que ser negativo uando z > 0, la variain de laenerga potenial es Ep = Ec = Wab = m g z que slo depende de las alturas nal einiial. Podemos denir una energa potenial,

Ep (z) = m g z + Cdonde C es una onstante de modo que,

Ep = Ep (zb ) Ep (za ) = m g zSi alulamos

10 ,

F = Ep =

dEgk = m g kdz

La fuerza que ata sobre la partula es independiente del valor de C que slo determina elvalor Ep (0) uando z = 0.10

Apliamos aqu la frmula 9.11 de la se

in

Complementos25


3.4.3.


Potenial eletrosttio

Siguiendo un proedimiento anlogo al empleado para el potenial gravitatorio podemosobtener la expresin del potenial eltrio (r). Tomando ja la posiin de la arga Q en elpunto rQ y empleando el ampo eltrio E(r) de la E. 3.5,

Z rbZ rbd(|r rQ |)Q1Q1E(r) dr === [(rb ) (ra )]4o ra |r rQ |24o |rb rQ | |ra rQ |radonde introduimos el potenial eltrio,

(|r rQ |) =

1Q4o |r rQ |

(3.18)

reado por la arga Q en el punto r = r rQ . Debe dereer on la distania y en el lmite|r rQ | resulta 0. Como la fuerza entre dos argas es FQq = q EQ (r), el trabajoefetuado por el ampo eltrio reado por Q uando otra arga q se mueve entre los puntosra y rb ser,Zrb

Wab =

ra

FQq (r) dr = q [(rb ) (ra )] = q

y la variain de la energa potenial es Ep = q . El ampo eltrio se reupera tambin

omo E(r) = , puesto que el vetor r1 es jo, on el ambio u = r rQ podemos alularel gradiente omo anteriormente,

d uu d1 Q1 Q uE = = ==du uu du 4o u4o u2 uque es justamente la E. 3.5.3.4.4.

Energa potenial entrfuga

r = | rp | Sen ()

Pr

En el aso partiular de que la veloidad angular sea un vetor onstante podemos enontrar una expresin para la energa potenial de la fuerza entrfuga,

Fc = m [ ( r )]Si esribimos,

dW = Fc dr = m ( [ r ]) dr

Figura 3.8: Proye

in de rp perpendiular a la veloidad angular

e introduimos el vetor u = r de modo quedu = dr por ser onstante,

( [ r ]) dr = ( u) dr = (dr ) uSustituyendo,

dW = Fc dr = m (dr ) u = m ( dr ) u = m u du26

Curso 2009-20010

Apuntes de Fsia I

e integrando de modo anlogo a los ejemplos anteriores se nalmente obtiene la energa potenial entrfuga,mm2.Ep = | r |2 = | |2 r22Como puede verse en la gura 3.8 la energa potenial entrfuga depende de la proye

in =| r | sen perpendiular a del vetor r : Cuanto mayor es sta, ms intensa es larppfuerza entrfuga Fc y su energa entrfuga Ect mas negativa.

r = | rp | Sen ( )

Z || r

R

AF cor

P

rp

Vp

B

Fcent

En la Fig. 3.9 la partula P de masa m se mueve sin rozamiento ensartada en una gua horizontalAB que gira on veloidad angular onstante. Enel triedro S que gira on la gua el vetor r es per = r sen que apuntapendiular a on mdulo r + r yhaia P . Proyetando las posiiones r = rkveloidades v = v + v k . Para el movimiento a lolargo de la gua la euain de movimiento de P es,

m

dt la primera euain,Introduiendo dv = r

Y

X

dv = m 2 r dt

m rr = m 2 r r

Figura 3.9: La partula P se mueve

sin rozamiento ensartada en una guahorizontal que gira on onstante."

e integrando,

2r m2

#tb

ta

"

r 2= m 22

#tb

ta

A la izquierda nos aparee la variain de la energa intia Ec en el triedro S y el trmino y tendremos,de la dereha es el trabajo WabEct = Wab=

m 2 22(r ,b r ,a )2

De nuevo podemos denir la energa potenial de modo que Ep de modo que Ec = Epde la forma,

Ep =

m 2 2 r+C2

siendo C una onstante arbitraria. La expresin para la fuerza entrfuga que experimenta Pa lo largo de la gua se reupera tomando de nuevo el gradiente,

Fc = Ep = y reuperamos la E. 3.10,

dEp r r d m 2 2 = rdr r r dr 2

27



Fc =

m 2 r

r r

Hay que subrayar que la fuerza entrfuga no es la nia que ata sobre P puesto que lafuerza de Coriolis Fcor y la rea

in R atan a lo largo de la dire

in perpendiular a lagua omo muestra la gura 3.9. Sin embargo, ambas fuerzas son perpendiulares a dv , norealizan trabajo y por lo tanto no apareen en la euain 3.15 para la variain de la energa

intia de P .

3.5. Momento intioRespeto de un punto A se dene el vetormomento intio o momento angular LA de unapartula P de masa m que se mueve on veloidad v respeto de un triedro S omo el produtovetorial,

LA

rA

rp rA

Q

P

rp

v

LA = (rp rA ) p

Z

X

Y

Figura 3.10: Momento intio LA respetodel punto A en el triedro S .

en donde p = mv es el vetor antidad de movimiento. Como puede verse en la Fig. 3.10 elvetor LA es perpendiular al plano formado porlos vetores veloidad v y (r = rp rA ) siendosus omponentes,

LAx = y pz z py

LAy = z px x pz

LAz = x py y pxSi el punto A no se mueve (vA = 0) respeto del triedro S derivando LA respeto del tiempo,

ddpdLA= (rp rA ) p + (rp rA ) dtdtdtel primer trmino es nulo y sustituyendo F = dP /dt enontramos,

dLA= (rp rA ) Fdt

(3.19)

Cuando los vetores F y (rp rA ) sean paralelos tendremos dLA /dt = 0 y el vetor momento

intio es entones una magnitud onservada, lo mismo que sueda on la energa bajo iertas

ondiiones (Pag. 23). Al ser una magnitud vetorial en algunos asos no se onserva el vetorLQ sino slo alguna de sus omponentes. Si esribimos dLA /dt = MA ,

MA = (rp rA ) F28

(3.20)

Curso 2009-20010

Apuntes de Fsia I

al vetor MA se le denomina momento de la fuerza F respeto del punto A.El momento intio se onserva uando la fuerza entre dos partulas se ejere a lo largo dela reta que las une. Si en la E. 3.2 para la fuerza de gravedad tomamos el punto A en laposiin de la masa M entones los vetores FM m y rm rM resultan ser paralelos y por laE. 3.19 tendremos dLA /dt = 0. Lo mismo suede on el potenial eltrio (E. 3.4) situandoel punto A en ualquiera de las dos argas q y Q..Un hilo o able ideal es aquel que onsideramos inextensible y sinmasa, uya tensin T es siempre positiva de modo que si tiramos de uno de sus extremos lafuerza ejerida se transmite a lo largo del mismo. La terera ley de Newton nos die que altirar de un extremo ha de apareer una fuerza de rea

in en el extremo opuesto. Las tensionespueden lasiarse omo fuerzas de ontato y el hilo introdue en un problema una euainde ligadura adiional ya que relaiona los movimientos de los dos uerpos que mantiene unidos.Poleas y ables ideales:

Adems, los ables ideales relaionan el movimientode los uerpos a travs de poleas. En una polea idealno hay rozamiento entre sta y el able y tampoo setransmite antidad de movimiento a la polea, que se

onsidera sin masa, (o que sta es despreiable). Laspoleas ideales ambian la dire

in del able apoyadoen ellas y por lo tanto la dire

in de la tensin del

able sin alterar su valor.

OT

TT

T

Figura 3.11: Dos masas m y M unidas por un hilo ideal al lavo O que semueven sobre un plano horizontal.

Puesto que la tensin en un hilo ideal ata en la dire

in de la reta que une a los uerpos, omo vemosen la Fig. 3.11 para las dos partulas de masas M y m unidas por un hilo ideal el momento

intio se onserva respeto del punto O.

29

CAPTULO 4

Sistemas de partulas

Como muestra la Fig. 4.1, un sistema de partulas es un onjunto de N masas diferentesm situadas en los puntos r , que se mueven respeto de un triedro S (no neesariamenteinerial) donde = 1, 2, . . . , N .

m1

m2

r2

r1

m3r3

Z

r4X

O

Las partulas intera

ionan entre s siendo F lafuerza entre dos partulas dadas y a la que llamaremos fuerza interna. Sobre ada una de ellas puedetambin atuar una fuerza externa al sistema Fe ysi adems el triedro S no es inerial tendremos que

onsiderar la fuerza de ineria FI orrespondiente.

m4

Las euaiones del movimimiento para ada una delas = 1, . . . , N partulas sern,

Y

N

Xdvm= Fe + FI +Fdt

Figura 4.1: Sistema de partulas.

(4.1)

6=

donde evidentemente F = 0 y onsideraremos que F = F .

Exepto en algunos asos triviales la resoluin simultnea de este onjunto de 3N euaiones difereniales es un problema muy ompliado por lo que hemos de introduir nuevasherramientas que permitan una desripin fsia adeuada.

4.1. Posiin y veloidad del entro de masasSe dene el entro de masas (CM) del sistema de partulas omo el punto del espaio

uyo vetor de posiin es,

RCM

N1 X=m rM =1

donde,

M=

NX

=1

30

m

(4.2)

Curso 2009-20010

Apuntes de Fsia I

es la masa total del sistema. Como puede verse en la Fig. 4.2, la posiin del entro de masasno tiene por qu oinidir neesariamente on la de una de las partulas del sistema. Laveloidad del entro de masas se obtiene derivando este vetor respeto del tiempo,

VCM

m1

N1 X=m v M

s1

CM

=1

r1

Para ada partula 1 tendremos r = RCM + sen donde los vetores s representan las posiiones delas partulas respeto de un triedro SCM on origenen el entro de masas y que se mueve on la veloidad VCM del mismo. Derivando respeto del tiemporesulta v = VCM + w donde w = ds /dt sern lasveloidades de las partulas respeto del triedro SCMque no rota respeto de S .

NX

m r =

m

=1

=1

!

RCM +

NX

m2

r2

X

O

Y

Figura 4.2: Posiin del entro de masas (CM) de dos partulas.

Si multipliamos r = RCM + s por m y sumamos,NX

R cm

Z

s2

m s = M RCM +

NX

m s

=1

=1

Efetuando la misma operain para las veloidades v = VCM + w respeto del triedro SCMobtenemos empleando la deniin de RCM ,NX

m s = 0 y derivando

NX

m w = 0.

(4.3)

=1

=1

4.2. Movimiento del entro de masasLa euain de movimiento para el CM del sistema se obtiene sumando las = 1, 2, . . . , Neuaiones vetoriales 4.1,NX

=1

N

N

XXXdv(Fe + FI) +F=mdt=1 6=

=1

Puesto que F = F y F = 0 el doble sumatorio en la ltima euain es nulo. Es deir,la resultante de las fuerzas internas del sistema de partulas es nula,N XX

F = 0

(4.4)

=1 6=

En onseuenia,

M

NXdVCM(Fe + FI )=dt

(4.5)

=1

1

En la Fig. 4.2 se han representado slamente dos partulas pero el mismo esquema es apliable a las

= 1, 2, . . . , N partulas del sistema de la Fig. 4.1.

31



que nos india que el entro de masas se mueve omo si fuese a su vez una partula donde se

onentra toda la masa M del sistema sobre la que se enuentra apliada la resultante FT detodas las fuerzas externas y de ineria respeto del triedro S .

FT =

NX

(Fe + FI )

=1

Para las fuerzas de ineria,

FI =

NX

=1

FI =

NX

=1

m

dao + r + 2 v + ( r )dt

e introduiendo las deniiones anteriores,

d RCM + 2 VCM + ( RCM )FI = M ao +dtsiendo la veloidad angular de S respeto de otro triedro inerial.Cuando FT = 0 tendremos en la E. 4.5 que PCM = M VCM es un vetor onstante y la

antidad de movimiento del CM se onserva.En las euaiones 4.5 y en las que siguen para evitar onfusiones tomaremos la sumas sobretodas las partulas = 1, . . . , N del sistema para simpliar la notain. En realidad slodebemos ontar las fuerzas apliadas no nulas, es deir aquellas que se enuentran apliadassobre las partulas p = 1, . . . , m N , donde Fp = Fep + FIp 6= 0.

Multipliando esalarmente por dRCM = VCM dt la euain 4.5 e integrando entre dosinstantes de tiempo ta y tb en los que las posiiones del CM son Ra y Rb

Z

tb

ta

dVCMMdt

VCM dt =

Z

NRb X

Ra =1

(Fe + FI) dRCM

on lo que resulta para la energa intia del entro de masas,

Z RbM 2 tb=FT dRCM = WCMVCM2Rata

(4.6)

La variain de la energa intia del entro de masas es igual al trabajo de la resultanteFT de las fuerzas apliadas sobre el sistema alulado a lo largo de la trayetoria RCM (t) del

entro de masas. Esta ltima euain es equivalente a la relain 3.15 que obtuvimos para laenerga de una partula.

4.3. Energa de un sistema de partulasSi introduimos la veloidad del CM en la energa intia del sistema de partulas,NNXm v21XEc ==m (VCM + w ) (VCM + w )22 =1=1

32

Curso 2009-20010

Apuntes de Fsia I

y empleando la E. 4.3 enontramos la siguiente expresin,N

Ec =

2X m w 2M VCM+= Ecin + Ec22

(4.7)

=1

La energa intia del sistema puede entones desomponerse omo una suma de la energa2 /2) del CM respeto de S y de la energa intia de ada una de

intia (Ecin = M VCMlas partulas (Ec = m w2 /2) respeto del triedro SCM . Como veremos a ontinuain la E.4.6 no es igual a la energa del sistema de partulas, salvo en algunos asos espeiales, porejemplo, uando sean nulos los trabajos de las fuerzas interiores del sistema.Mediante la E. 4.1 podemos alular los trabajos innitesimales dW que efeta la fuerzaapliada sobre ada partula y sumarlos para obtener el trabajo sobre el sistema Wsis ,

dWsis =

NX

dW =

=1

=1

tambin respeto del triedro S ,

dWsis =

NX

m

=1

NX

dv vdt

dt =

NX

F dr =

NX

=1

m

=1

dv drdt

(Fe + FI ) dr +

N XX

=1 6=

F dr

Integrando entre dos instantes ta y tb tendremos Wsis = Ec ,

Wsis

"

NXm v2= Ec =2=1

#b

=

a

N ZX

tb

=1 ta

(Fe + FI ) dr +

N X ZX

=1 6=

tbta

F dr

donde substituyendo dr = dRCM + ds ,

Wsis =

Z

Rb

Ra

FT dRCM +

N ZX

=1

tbta

(Fe + FI ) ds +

N X ZX

=1 6=

tbta

(4.8)

F ds

luego,

Wsis = WCM +

NX

W + Wint = Wint + Wext

donde, Wext = WCM +

=1

NX

W

=1

Hemos visto que el trmino WCM orresponde al trabajo de la resultante FT de las fuerzas enel CM del sistema y trmino siguiente es la suma de los trabajos de ada una de las fuerzasW evaluados en el triedro SCM . La suma de estos dos representa el trabajo produido por lasfuerzas externas Wext apliadas al sistema de partulas. El terer sumando es entones eltrabajo efetuado por las fuerzas internas Wint y hay que subrayar que aunque la resultante(E. 4.4) de las fuerzas internas sea nula, en general el trabajo de stas es Wint 6= 0.Entre los instantes ta y tb podemos desomponer el doble sumatorio,

Wint =

N X ZX

=1 6=

tbta

F ds =

X

pares (,)

Z

tb

ta

(F ds + F ds )33



y puesto que F = F ,

X

Wint =

pares (,)

Z

tbta

(4.9)

F d[s s ]

El trabajo de las fuerzas internas resulta ser funin de las distanias relativas s s = r rentre las partulas (ver Fig. 4.2) y en general Wint no ser nulo. Existen sin embargo algunasexepiones prtias importantes omo,

Poleas y ables: El trabajo de las fuerzas interiores de un sistema omo el de la Fig. 3.11

ser nulo porque al existir la ligadura del able ideal (de longitud onstante) tendremosd[r r ] = 0

Slido rgido: En un slido rgido ideal (indeformable) las distanias relativas entre suspartulas r r son onstantes y por lo tanto Wint = 0.Si las fuerzas internas son onservativas, dU (|s s |) = F d(s s ) y entones,

X

Wint =

pares ()

Z

sb

sa

F, d[s s ] = Uint

donde tenemos s s = r r omo se puede ver en la Fig. 4.2. El trabajo de las fuerzasinternas es en este aso el mismo en los triedros SCM y S .2 /2] (E. 4.6) obtenemos,Combinando las euaiones 4.7 y 4.8 omo WCM = [mVCM

"

NXm w22

=1

#b

a

=

N ZX

=1

tbta

(Fe + FI ) ds +

N X ZX

=1 6=

sbsa

F ds

o on la notain anterior,

"

NXm w22=1

#tb

ta

=

NX

W + Wint

(4.10)

=1

Esta expresin nos proporiona la variain de la energa intia del sistema respeto deltriedro SCM omo suma del trabajo de las fuerzas externas apliadas sobre ada partula,evaluadas en diho triedro y el trabajo de las fuerzas internas.Como vemos, la variain de la energa intia del sistema de partulas (E. 4.7) entre dosinstantes de tiempo

tN 2 tbXM VCMm w2 bEc =+22tata=1

podemos esribirla omo suma de dos euaiones. Una primera (E. 4.6) para la variain dela energa intia del CM respeto de S y la segunda (E. 4.10) para la variain de la energa

intia de las partulas relativa al triedro SCM del entro de masas,34

Curso 2009-20010

"

Apuntes de Fsia I

NXm w 2

=1

2

#b

=

2M VCM2

N ZX

ta

=

Z

Rb

Ra

FT dRCM

sb

=1 sa

a

tb

(Fe + FI ) ds + Wint =

NX

W + Wint

=1

4.4. Momento intio de un sistema de partulasEl momento intio LA de un sistema de partulas respeto de un punto A es la sumavetorial de los momentos intios LA de ada una de las partulas del sistema respetode diho punto,NNXX(r rA ) m vLA =LA =(4.11)=1

=1

Si introduimos el sistema de CM on el ambio r = RCM + s y v = VCM + w entones,

LA =

NX

=1

LA =

NX

=1

m

!

m [RCM + s rA ] [VCM + w ]

(RCM rA ) VCM + (RCM rA ) +

NX

=1

m s

!

VCM +

NX

=1NX

=1

m w

!

+

s m w

donde son dos trminos nulos (ver las Es. 4.3) y queda nalmente,

LA = (RCM rA ) M VCM +

NX

=1

s m w

El segundo trmino es el momento intio del sistema respeto del triedro SCM

LCM =

NX

=1

y por lo tanto,

s m w

LA = LCM + (RCM rA ) M VCM

(4.12)

Podemos desomponer el momento intio respeto de un punto A en la suma vetorial delmomento intio del sistema de partulas LCM respeto del CM ms el momento intiodel CM respeto de diho punto.Si la posiin A no ambia (el vetor rA es te. en el tiempo y vA = 0 o bien A CM )y derivamos respeto del tiempo la E. 4.11,NXdvdLA(r rA ) m=dtdt=1

35



donde podemos sustituir las fuerzas de la E. 4.1,NN XXXdLA=(r rA ) (Fe + FI ) +(r rA ) Fdt=1=16=

Cuando las fuerzas internas son F = F y tambin paralelas a r r no ontribuyen adLA /dt puesto que,N XX

(r rA ) F =

=1 6=

X

pares (,)

(r rA ) F + (r rA ) F=

X

(r r ) F = 0

pares (,)

por ser nulo el ltimo sumando. Tendremos nalmente,N

XdLA(r rA ) (Fe + FI )=dt=1

(4.13)

en donde FI son las fuerzas de ineria en S . La derivada respeto del tiempo del momento

intio es igual a la suma de los momentos M de las fuerzas apliadas al sistema respetodel punto A jo,

dLA X=Mdt

siendo,

M = (r rA ) (Fe + FI )

Slo apareen los momentos M respeto de A de las fuerzas externas y de ineria Fe + FIy no ontribuyen a dLA /dt las fuerzas internas F = F uando estas atan a lo lago delos vetores r r .

4.5. Apliaiones4.5.1.

Sistema de dos partulas

El sistema de partulas ms simple posible es el de la Fig. 4.3 formado slamente por dospartulas de masas m1 y m2 2 . Si introduimos las posiiones respeto del CM del sistema,

r1 = s1 + RCM , r2 = s2 + RCM y r1 r2 = s1 s2Si en la E. 4.2 para el vetor RCM de dos partulas sumamos y restamos m2 r1 se tiene,

(m1 + m2 ) RCM + m2 r1 = m1 r1 + m2 r2 + m2 r1

2

(m1 + m2 ) RCM + m2 (r1 r2 ) = (m1 + m2 )r1

Puede onsultarse la Se. 7.2, pags. 222-225 de la Ref. [4, Se. 4.7, pags. 184-188 de la Ref. [2 y el Ejemplo9.5, pags. 252-255 de la Ref. [1.

36

Curso 2009-20010

Apuntes de Fsia I

luego,

m2(r1 r2 ),m1 + m2

r1 = RCM +

r1 = RCM +

m2(s1 s2 )m1 + m2

y puesto que, r2 = r1 (s1 s2 ),

m1m2 1 (s1 s2 ) = RCM (s1 s2 )r2 = RCM +m1 + m2m1 + m2Finalmente,

r1 = RCM +

m2(s1 s2 )m1 + m2

r2 = RCM

m1(s1 s2 )m1 + m2

Introduimos el vetor,

m1

(4.14)

q = s1 s2 = r1 r2

uyo mdulo es la distania relativa entre las dos partulas y la denominada masa reduida del sistema,

=

2

= s1 s

2

CM

ZX

r1 r

s1

r1

m1 m2m1 + m2

q=

s2m2

R cmr2O

YLas euaiones quedan entones expresadas en funindel vetor q y su derivada respeto del tiempo que esFigura 4.3: Sistema de dos partulas.la veloidad vq ,q r2 = RCM qr1 = RCM +(4.15)m1m2y derivando respeto del tiempo on vq = s1 s2 = r1 r2 obtenemos las veloidades,

v1 = VCM +

vqm1

v2 = VCM

vqm2

(4.16)

La energa intia de este sistema de dos partulas es,

Ec =

m1 v12 m2 v22+22

donde substituyendo las veloidades 4.16,

Ec =

1(m1 + m2 ) 2VCM + 222

11+m1 m2

vq2

Operando resulta nalmente una euain equivalente a la E. 4.7,

Ec =

M 2V+ vq22 CM2

(4.17)

la energa intia se desompone en dos trminos, la del entro de masas y otra proporionala la masa reduida.Un resultado anlogo se obtiene si alulamos el momento intio respeto de un punto Ojo,Lo = r1 m1 v1 + r2 m2 v237



q) (m1 VCM + vq ) + (RCM q) (m2 VCM vq )m1m2de donde operando se obtiene,

22+(q vq )Lo = RCM M VCM +m1 m2Lo = (RCM +

Llegamos nalmente a una desomposiin del momento intio anloga a la que obtuvimospara la energa intia que equivale a la E. 4.12,

L = RCM M VCM + q vq

(4.18)

Las euaiones 4.17 y 4.18 nos proporionan la energa intia y el momento intio delsistema de la Fig. 4.2. En el aso mas general sobre este sistema de dos partulas atan unasi = F i y fuerzas exteriores F e y F e . Las euaiones de movimientofuerzas interiores F12e211son,

m1

dv1i= F1e + F21dt

m2

dv2i= F2e + F21dt

(4.19)

Sumando las Es. 4.19, siendo F1e = Fe1 + FI1 y F2e = Fe2 + FI2 enontramos,

m1

dv2dv1+ m2= (Fe1 + FI1 + F21 ) + (Fe2 + FI2 + F12 )dtdt

y on M = m1 + m2 obtenemos la E. 4.5 de movimiento para el entro de masas,

M

dVCM= F1e + F2edt

en donde slo intervienen las fuerzas externas.4.5.2.

Movimiento bajo fuerzas entrales

Un aso de partiular inters es el del movimiento de dos partulas de masas m1 y m2que intera

ionan entre s mediante fuerzas que dependen de su distania relativa,

F (|r1 r2 |) = F (|r1 r2 |)

r1 r2|r1 r2 |

y que ata a lo largo de la reta que une las masas m1 y m2 . A este tipo de fuerzas perteneeel ampo gravitatorio (E. 3.2) o eletrosttio (E. 3.4). Si empleamos el vetor q = r1 r2(E. 4.14),qF (q) = F (q)qy podemos utilizar los resultados de la se

in anterior. Si onsideramos que la masa m1permanee inmvil en el punto r1 el movimiento de los dos uerpos se redue al de unapartula en un ampo exterior donde la energa potenial U (q) depende slamente de ladistania |q| al punto r1 ,

F (q) = U (q)38

y

F (q) =

dU qdq q

Curso 2009-20010

Apuntes de Fsia I

apliando la E. 9.12. Se die que es una fuerza entral puesto que su dire

in pasa siemprepor el punto jo r2 del espaio denominado entro de fuerzas. Consideraremos adems queel sistema de dos partulas se enuentra aislado, es deir, que no existen fuerzas externas demodo que el CM del sistema es un triedro inerial.Como se dedue de la E. 4.5 la antidad de movimiento de este sistema de dos partulas es

onstante,p1 + p2 = (m1 + m2 ) VCMy sus veloidades p1 y p2 respeto de un referenial SCM que se mueva on el CM del sistemasatisfaen p1 + p2 = 0. Empleando las Es. 4.15 y 4.16 on VCM = 0,

p1 = p2 =

m1 m2vq = vq(m1 + m2 )

en donde es la masa reduida, q = r1 r2 y vq = dq/dt. Restando las Es. de movimiento4.19,

dvq1(m1 + m2 )1qq= r1 r2 =+F (q)F (q) =dtm1 m2qm1 m2qobtenemos una euain de movimiento simpliada,

qdvq= F (q)dtq

(4.20)

que orresponde a la de una partula de masa que se mueve bajo la a

in de la fuerzaF (q), respeto del sistema de CM. Junto on las Es. 4.17 y 4.18,

Ec =

2v2 q

y

LCM = q vq

se simplia el problema del movimiento de dos uerpos, resultando las distanias q = r1 r2y las veloidades relativas vq = r1 r2 las antidades relevantes.

Empleando la E. 4.13 podemos omprobar que se onserva el momento intio, LCM = cte.puesto que F (q) es paralelo a q . En onseuenia, el movimiento de las dos partulas seenuentra onnado en un plano perpendiular a LCM en el que estn ontenidos los vetoresq = r1 r2 y vq . En el aso de que la fuerza entral F sea adems onservativa se tendrF = U y tambin se onservar la energa del sistema 3 .Al enontrarse el movimiento ontenido en un plano, (que podemos identiar on el (x, y)desomponemos la veloidad vq = vr + v en sus omponentes radial vr paralela al vetorq = r1 r2 y angular v perpendiular a la anterior (ver Pag. 5)

E = Ec + U (q) =

2v + U (q) = (q2 + q 2 2 ) + U (q) = cte2 q2LCM = q v = cte.

4.5.3.

(4.21)(4.22)

Leyes de Kepler

A partir de las Es. 4.22 y 4.21 puede iniiarse el estudio del movimiento bajo ualquierfuerza entral que no es el objetivo del presente urso. Nos limitaremos al aso partiular delmovimiento planetario, donde F (q) ser la E. 3.2 en el lmite en que una de las dos masas3

Ver la E. 9.12 del aptulo

Complementos.39



sea muho mayor que la otra. Si m2 = m m1 = M entones la masa reduida es my la posiin del CM es aproximadamente la de la masa mayor, RCM r2 donde podemossituar el origen del triedro SCM omo se muestra en la Fig. 4.4.Como hemos visto, el movimiento de la masa m ha de enontrarse ontenido en un plano quepase por el orgen O que haemos oinidir on el plano (x, y). Respeto de un triedro SCMsituado en M se onserva el momento intio respeto de O omo se dedue de la E. 3.19.Uno de los primero xitos de la menia de Newton(1642-1727) que publi sus Prinipia en 1687 fu ladedu

in de las leyes de Kepler (1571-1630). Estasltimas onstituyen una sntesis de las observaionesdisponibles hasta entones del movimiento de los uerpos elestes. Para los planetas del sistema solar, Kepler onluy que,1a Ley:

foos.

Zm

rp(t)

M

Y

X

Figura 4.4: Orbita del planeta de masam alrededor de otro de masa M m.Las trayetorias de los planetas del sistema solar son elipses on el sol en uno de sus

El rea A(t) barrida por el radio vetor r(t) que va del sol a ada planeta de masam en la unidad de tiempo (denominada veloidad areolar ) es onstante en el tiempo,2a Ley:

| Lo |dA=dt2m3a Ley:

La relain entre el perodo T de la rbita y el semieje a de la elipse es,

a3GM=2T4 2La segunda ley es una onseuenia de la onservain del momento intio. Si onsideramosun intervalo t pequeo omo se observa en la Fig. 4.5 podemos esribir,

r(t + t) = r(t) + ry omo se observa en la gura 4.5 el rea A del tringuloformado por estos tres vetores es,

r

r ( t+ t )90

o

m

r (t)

1A = (base altura)211A = | r(t) | | r | sen = | r r |22de modo que dividiendo por t y tomando el lmite,

Figura 4.5: Dos posiiones suesi-

vas de la rbita separadas un intervalo de tiempo t pequeo.

dA1| Lo |1 | r r |= lm= | r v |=t0 2dtt22m

en donde Lo representa el momento intio respeto de uno de los foos de la elipse que es

onstante (E. 3.19 ) omo se desprende de las Figs. 4.4 y 4.6. Si T es el perodo de la rbita,40

Curso 2009-20010

Apuntes de Fsia I

AabdA= cte ==.dtTTen donde a y b son los semiejes menor y mayor de la elipse 4 .Para deduir la terera ley empleamos la onservain de la energa (4.21) y del momento

intio (4.22) entre dos puntos opuestos de la rbita: El ms erano rm y mas alejado rx alplaneta mas pesado. En ellos se tienen respetivamente las veloidades mxima vx y mnimavm que son adems perpendiulares a sus respetivos vetores de posiin. Entones,

m vx rm = m vm rx2mvx2GM mGM mmvm=2rm2rx2 en la segunda euain de la forma,Eliminamos vx introduiendo vx2 = (vm rx )2 /rm

vx2

2vm

11>0= (2GM )rm rx

A(t)

2vm

2rx2 rm2rm

(vm rx )2 = 2GM

Y

X

Figura 4.6: Area A(t) de la elipse barrida por el radio vetor r(t) de la Fig.

rx rm= 2GMrx rm

resulta,

ZM

de donde operando,

m

4.4

rx rmrx + rm

(4.23)

Podemos ahora introduir5 la relain de rm y rx on los parmetros de la elipse rm = a c,rx = a + c y b2 = a2 c2 ,

(a c) (a + c)b2rx rm==rx + rm(a + c) + (a c)2ay omo por otra parte dA/dt = Lo /2m = (ab)/T tendremos vm rx = 2ab/T y substituyendoen 4.23 se obtiene nalmente,

a3GM=2T4 24.5.4.

Choques de partulas

Como hemos visto, si la resultante de las fuerzas apliadas en el CM de un sistemade partulas es nula (FT = 0) entones segn la E. 4.5 tendremos dPCM /dt = 0 luego45

Las propiedades de la elipse se enuentran en la pag. 92.Ver Pag. 92.

41



PCM = M VCM = cte. La antidad de movimiento del entro de masas del sistema es onstante y el triedro SCM ser un sistema inerial.En onseuenia, si dos partulas de masas m1 y m2 olisionan siendo FT = 0 slo se enontrarn sometidas a las fuerzas internas que existen entre ambas. Puesto que PCM es onstantepodremos esribir para dos instantes t antes y t despus de la olisin

m1 v1 + m2 v2 = m1 v1 + m2 v2en donde (v1 , v2 ) y (v1 , v2 ) son las veloidades antes y despus del hoque. Respeto de unpunto jo A en S tendremos para el momento intio,#" NNXd XdLA(r rA ) (Fe + FI )LA ==dtdt=1

=1

y LA ser un vetor onstante siempre que Fe +FI = 0 para todas las partulas del sistema.Si haemos Fe + FI = FT = 0 en la E. 4.8 resultan WCM , W nulos y entre dos instantest antes y t despus del hoque,

m1 v12Ec =2

tt

m2 v22+2

t

= Wint

t

Puesto que en general Wint 6= 0 durante una olisin no tiene porqu onservarse la energa

intia de las partulas que intervienen. Si se onserva la energa Ec = 0 deimos que el

hoque es elstio y uando en la olisin las partulas experimentan transformaiones internastendremos Ec < 0 y el hoque es inelstio. Si las dos partulas quedan rgidamente unidasdespus de la olisin el hoque se denomina perfetamente inelstio.Para un hoque elstio (Wint = Ec = 0) entre dos instantes t y t antes y despus del

hoque, tendremos,

m1 v1 + m2 v2 = m1 v1 + m2 v2m1 (v12 v1 2 ) = m2 (v2 2 v22 )Transformamos la primera euain,

m1 (v1 v1 ) = m2 (v2 v2 )y multipliamos esalarmente por v1 + v1 ambos miembros y despus restamos ambas,

m2 (v2 v2 ) (v1 + v1 ) m2 (v2 + v2 ) (v2 v2 ) = 0y para que esta euain se umpla siempre ha de tenerse,

(v2 v2 ) (v1 + v1 ) (v2 + v2 ) = 0

Finalmente obtenemos que en un hoque elstio, vq = (v1 v2 ) = (v1 v2 ) = vq o bien,

|v2 v1 | = 042

Curso 2009-20010

Apuntes de Fsia I

Es deir, el mdulo de la veloidad relativa de las partulas que intervienen en un hoqueelstio no ambia tras la olisin, aunque puede ambiar durante la misma.Si el hoque es inelstio neesitamos ms informain para poderlo resolver puesto queWint = Ec 6= 0. En el aso de una olisin perfetamente inelstia, si V es la veloidad

onjunta de las dos partulas despus del hoque, podemos evaluar Wint = Ec puesto que,

Wint

m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2 ) V

v2v2V2 m1 1 + m2 2= (m1 + m2 )222

Introduiendo el valor de V de la primera euain en la segunda resulta,

m1 v12 m1 v121+m21 v12 + 2m1 m2 v1 v2 + m22 v22 = Wint +222

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Apuntes Fisica