Apuntes Funciones Dos Variables

8/19/2019 Apuntes Funciones Dos Variables

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UNIVERSIDAD MAYORIngeniería Comercial

CÁLCULO II

1

FUNCIONES EN DOS VARIABLES


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En muchas situaciones prácticas, en especial en el desempeñode un Ingeniero Comercial, el valor de un bien no depende

sólo de su precio unitario, sino que además de su cantidad

demandada. Si ambos parámetros no dependen uno del otro,

estamos hablando de que la función de comercialización deeste bien es de dos variables independientes.

Para ilustrar mejor el concepto anterior consideremos,

2

como segundo ejemplo, el nivel de producción de unafábrica que dependa del capital de inversión inicial

(en unidades monetarias) y la fuerza laboral (en hrs-

hombre). Aquí estamos en presencia de una función de

producción que depende de dos variables.

K L


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4/29

Z

Y

y

x

z

0

),,( z y x

4

Observamos, entonces, que la gráfica de una función de

dos variables corresponde a una superficie tridimensional.

Veremos algunos ejemplos:


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1.- 22

25),( y x y x f z −−==

La gráfica de esta función corresponde a media

esfera de radio 5, como se muestra a continuación:

5


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3.- )(

)23(),(

y x

y x y x f z

+

+

== . En este caso la gráfica de la función es:

7

Observemos que de la expresión analítica de esta funciónse desprende que para que exista se debe cumplir que:

. Este conjunto de puntos es muy relevante.0≠+ y x


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Dominio de una Función de Dos Variables

Definición.- Se define el dominio de una función de 2variables como el conjunto de pares ordenados

que hacen existir a la función),( y x

),( y x f z =

Z

8

Y

X

y x

z

0

),,( z y x

Dominio


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De la definición anterior podemos deducir que el dominio de

una función de dos variables corresponde a un subconjunto

del plano cartesiano . XY

Como ejemplo, consideremos la función mostrada

anteriormente :

)()23(),(

y x y x y x f z

+

+==

Como se observó dicha función para que exista debe

9

.

sería:{ }0 / ),()),(( 2 ≠+∈= y x IR y x y x f Dom

La gráfica del dominio es:

Y

X

Recta x y −=

0


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Ejercicios:

Determine y grafique el dominio de las siguientes funciones:

1.-

x y

y x Ln y x f

−

−−=

)1(),(

22

2.-

( )

3

3),(

+

+=

y

x Ln y x f

( )

3

3),(

+

+

= y

x Ln y x f

10

xy y x f =),(

3.- y x

x y x f

32

30),(

−−=

Veremos una interesante aplicación a la Economía de

una Función de dos Variables

4.-


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Función de Producción de Cobb-Douglas

En una fábrica, la producción con frecuencia seconsidera como una función función que depende de

la inversión de capital y del tamaño de la fuerza

laboral . Si la función de roducción considerando

Q

K

11

las dos variables anteriores, tiene la forma:α α −

⋅⋅= 1

),( LK A LK Q , donde y son constantes

positivas y A

10


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Veamos un ejemplo:

Si en cierta fábrica la producción está dada por la expresión:

31

32

70),( LK LK Q ⋅⋅= unidades, donde corresponde a la

inversión de capital inicial (en miles

de dólares) y es el tamaño de la

fuerza laboral, medida en horas-

hombre.

K

L

12

e p e:

1.- Calcule la producción si la inversión de capital inicial

es de U$ 500 (miles) y se tiene una fuerza laboral de

1.500 horas hombre.

2.- Se desea mejorar la producción que es mejor:aumentar en una unidad el capital de inversión (fuerza

laboral fija) o aumentar en una unidad la fuerza laboral

(capital de inversión fijo).


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Respuesta:

1.- Para calcular la producción se evalúa los valoresrespectivos en la función de producción dada:

479.50500.150070)500.1,500( 313

2

≈⋅⋅=== LK Q unidades

2.- Para responder esta pregunta debemos evaluar en lafunción de los valores de capital de inversión y fuerza

laboral respectivos en cada situación:

13

490.50501.150070)501.1,500( 313

2

≈⋅⋅=== LK Q

546.50500.150170)500.1,501( 313

2

≈⋅⋅=== LK Q

Se observa que es mejor aumentar en una unidad el

capital de inversión, dejando fijo la fuerza laboral.


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Desarrollo:

1.- Para C = 1 se tiene: curva de nivel:{ }

1 / ),( =⋅∈ y x IRxIR y x

De la condición se tiene que: x

y 1=

Para C = 5 se tiene: curva de nivel: { }5 / ),( =⋅∈ y x IRxIR y x

De la condición se tiene que: x

y 5=

15

Para C = 10 se tiene: curva de nivel: { }10 / ),( =⋅∈ y x IRxIR y x

x y

10=De la condición se tiene que:


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La gráfica de las curvas de nivel de la función y x y x f z ⋅== ),(

para los tres valores de la constante C dados es la siguiente:

C = 10

Y

16

C = 5

C = 1

X 0

C = 10

C = 5

C = 1


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Desarrollo:

1.- Para C = 1 se tiene: curva de nivel:

{ }1 / ),(

22=+∈

y x IRxIR y xDe la condición se tiene que: 21 x y −±=

Para C = 4 se tiene: curva de nivel:

De la condición se tiene que:

{ }4 / ),( 22 =+∈ y x IRxIR y x

24 x y −±=

17

Para C = 9 se tiene: curva de nivel:

De la condición se tiene que:

{ }9 / ),( 22 =+∈ y x IRxIR y x

29 x y −±=


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La gráfica de las curvas de nivel de la función 22),( y x y x f z +==

para los tres valores de la constante C dados es la siguiente:

Y C = 1

C = 4

18

X

C = 9


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Ahora, como ejemplos, veremos las representaciones gráficas

de curvas de nivel de distintas funciones:

1.- Las curvas de nivel de 2225 y x z −−=

19

Nota: las curvas de nivel son los anillos de color negro


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Las curvas de nivel de la función

proyectadas sobre el plano son:

2225),( y x y x f z −−==

XY

20


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2.- Las curvas de nivel de la función 22),( y x y x f z −==

21

Nota: las curvas de nivel son las líneas oscuras


22/29

Las curvas de nivel de la función

proyectadas sobre el plano son:

22),( y x y x f z −==

XY

22

Ejercicio propuesto: Determine la curva de nivel de la función

+

=

y x

e y x f 22

2

),( , para C = 1 .


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¿ Pero qué podrían representar en Economía las curvas denivel?.

Una buena respuesta sería por ejemplo, si disponemos

de dos bienes, las curvas de nivel representarían a lasCurvas de Indiferencia.

Por ejemplo, si tenemos los bienes T y W con

23

cantidades demandadas e , respectivamente yla función de beneficio por consumir estos dos

bienes está dada por la expresión ,

entonces a diferentes niveles de beneficios tenemos

diferentes Curvas de indiferencias o Curvas deNivel.

Esto lo podemos ilustrar de la siguiente manera:

x y

),( y xU


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W

y

3),( C y xU =

2),( C y xU =

1),( C y xU =

24

T x

Veamos el siguiente ejemplo:


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Suponga que la utilidad obtenida por un consumidor por

“ “ unidades de un bien y por “ “ unidades de un

segundo bien está dada por la función de utilidad :

y

21

21

),( y x y xU ⋅=

a) Si el consumidor posee actualmente unidades

del primer bien e unidades del segundo bien,

8= x

32= y

x

25

x

a ar e n ve ac ua e u a e consum or y

trazar la curva de indiferencia correspondiente al nivel

de utilidad actual.

b) ¿Cuántas unidades del segundo bien( ) se deben tener

para que al disminuir en 4 unidades las del primer bien ( )que se tenían actualmente, se mantenga el mismo nivel de

utilidad actual, determinado anteriormente?

y


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a) El Nivel de Utilidad actual se obtiene:

Desarrollo:

16328)32,8( 21

21

=⋅=== y xU Unidades de beneficio

32

X

Y 16=U Utilidad actual

26

b) Como se disminuyen en 4 unidades del bien ,

entonces se tiene : X

16),4(),48( ==− yU yU (Nivel de

utilidad actual)

Luego:648164),4( 2

12

12

1

=⇒=⇒=⋅= y y y yU Unidades


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Ejercicio Propuesto.-Con trabajadores calificados e trabajadores no calificados

un fabricante de sillas etruscas determinó que su costo total

asciende por día a (en miles de dólares). Enla actualidad, la fuerza laboral consta de 8 trabajadores

calificados y 17 trabajadores no calificados.

x y

y x y xC T −+−= 100),( 2

27

a a cu e e costo tota ar o actua .

b) Hallar la ecuación que relacione los niveles de mano de obra

calificada y no calificada, si el costo total diario permanece en

el nivel actual.

c) En un sistema de coordenadas cartesianas trace la curva

que corresponde al nivel de costo total diario actual .


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Ejercicio PropuestoUn productor de bienes y servicios determinó que la

función de producción de su bien masivo A está dada porla expresión: , en miles de unidades;

donde corresponde al capital inicial (en miles de

53

52

20),( Lk LK U ⋅⋅=

K

28

ares y a a uerza a ora en oras- om re .

actualmente el productor posee 32 (mil dólares) de capital

inicial y 3.125 horas-hombre para la producción del bien

A, determine:

1.- El nivel de producción actual del bien A.


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2.- Haga un gráfico que represente la curva de nivel de

producción actual del bien A, considerando en el ejehorizontal la fuerza laboral y en el eje vertical el capital

inicial.

3.- Si el productor decide aumentar en 8 (mil dólares) elcapital inicial, ¿aproximadamente, cuántas horas-hombre se

reducirán, con el fin de mantener el mismo nivel de

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producción actual del bien A? .

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