V.2 Matemáticas fundamentales, comentarios, ejemplos y práctica. Héctor Manuel Núñez Rodríguez

V.2.1 Uso de los signos: El uso de signos en aritmética representa una temática de relativa dificultad en la

enseñanza. La comprensión de la ausencia de cantidad y su distinción con

respecto a la presencia de la misma, es un buen desafío para estudiantes con

niveles promedio de comprensión lógico-matemática.

Fundamental distinguir regla de los signos, de recta numérica. La primera se aplica

y sólo es válida en multiplicación y división y la recta numérica considerando

también su lado de valores negativos, se aplica o utiliza en suma y resta aritmética

o algebraica.

Precisamente en la aplicación de regla de los signos se presentan comúnmente

confusiones que los profesores deben trabajar con los alumnos y para ello se

sugiere poner el acento en la distinción antes mencionada.

REGLA DE LOS SIGNOS

+ x + = +

+ x - = -

- x + = -

- x - = +

(Sólo válida para multiplicación y división, nunca para suma y resta)

Para suma y resta debe utilizarse recta numérica en sus dos sentidos + y -

Ejemplos resueltos uso de signos suma y resta:

-7+5= -2

-10+6= -4

-8-5= -13

1

15-20= -5

-8+14=6

-20+30=10

-40-50= -90

-5+9-7+4=1

-6-8+7-5+3-10= -19 Se sugiere agrupar valores + y -

(-6-8-5-10= -29)

(7+3=10)

(-29+10= -19)

-3.4+2.8= -.6

½-3/4= -1/4

Ejemplos propuestos uso de signos suma y resta

-9+4=, -10+7=, -12+14=, 15- 24=, -19+9=, -9-6=, -13+17=, -8-4=, 18-27=,

-38+25=, -20-40-35 =, -17+13-16=, -8-6+4-5=, 23-34+68=, -9-5+7-3+4=,

-227+146+34=, -500+1500-3000-4500=, -5.9+2.4=, 7.8-9.6=, 2.5-4=, -3.5-4.5=,

-9.8-8.3=, 3/2-7/4=, 1/3-5/6=, -3/5 -7/10=, -2/4-4/8=

Ejemplos resueltos uso de signos multiplicación y división

(-4)(+5)= -20

(-9)(-6)= 54

(+8)(-7)= -56

(7) (-9)= -63

(-4)(-5)(-3)= -60

(-5)(+4)(+3)(-8)= 480

(-1.5)(+1.3)= -1.95

(-2.5)(-4)= 10

(-2/3)(+4/5)= -8/15

(-3/4)(+5/9)(-6/7)= 90/252

(-10) ÷ (+2)= -5

2

(+30)÷ (-5)= -6

(-63) ÷ (-9)= 7

(+400) ÷ (-10)= -40

(-3/4) ÷ (-8/7)= 21/32

(-3) ÷ (+1.5)= -2

Ejemplos propuestos uso de signos multiplicación y división

(-8)(+7)=, (-9)(-5)=, (4)(-9)=, (-11)(+10)=, (-5)(-12)=, (-3)(+4)(-7)=,

(-13)(+7)=, (+8)(-5)(+6)=, (-9)(-6)(-7)=, (+3)(+4)(-9)(-5)=, (6)(-7)(+4)(8)(-3)=,

(-1.8)(+3.2)=, (+5.9)(-6.7)=, (-3/9)(-8/5)=, (7/12)(-8/14)=, (-4/6)(+7/8)=

(-15) ÷ (+3)=, (-48) ÷ (-6)=, (81) ÷ (-9)=, (-55) ÷ (+11)=, (600) ÷ (-20)=,

(-75) ÷ (+5)= , (99) ÷ (-10)= , (-850) ÷ (-50)= , (-4/9) ÷ (+6/8)= , (-9/8) ÷ (-8/7)= ,

(-4.8) ÷ (+1.2)= , (-10.5) ÷ (-3.5)=

V.2.2 Series numéricas, espaciales y de figuras: Toda la gama de sucesiones o seriaciones numéricas, espaciales y de figuras

resultan de gran utilidad para el desarrollo y la estimulación de la habilidad

matemática.

Además de ser componentes de gran utilidad en los instrumentos de evaluación,

tanto académica, como de capacidades intelectuales, las series son elementos

clásicos en la habilidad lógico matemática.

EJEMPLOS SERIES NUMÉRICAS RESUELTAS

94 – 89 – 84 – 79 – 74 69-64-59-54

.5 – 1 – 1.5 – 2 – 2.5 – 3 3.5-4-4.5-5

3 – 7 – 12 – 18 – 25 33-42-52-63

1/2 - 2/4 – 3/8 – 4/16 5/32-6/64-7/128-8/256

2 – 4 – 8 – 16 – 32 64-128-256-512

3

SERIES NUMÉRICAS PROPUESTAS

98 – 94 – 90 – 86 – 82 ______________________

2 – 5 – 7 – 10 – 12 – 15 ______________________

10 – 12 – 15 – 19 – 24 ______________________

5 – 8 – 12 – 15 – 19 – 22 _____________________

79 – 74 – 73 – 68 – 67 – 62 ___________________

.3 - .6 - .9 - 1.2 - 1.5 - 1.8 ______________________

9.9 - 9.4 - 8.9 - 8.4 - 7.9 - 7.4____________________

1 – 3 – 9 – 27 – 81 _____________________________

125 – 121 – 116 – 112 – 107 - 103 ________________

2/3 - 4/6 - 6/9 - 8/12 - 10/15 ______________________

1/5 - 5/10 - 10/15 - 15/20 - 20/25 ___________________

.8 - 1.6 - 2.4 - 3.2 – 4 - 4.8 ________________________

10 – 19 – 28 – 37- 46 – 55 _________________________

70 – 69 – 67 – 64 – 60 – 55 ________________________

2 - 4 – 8 – 16- 32 ________________________________

10 – 100 – 1000 – 10000 ___________________________

20 – 25 – 23 – 28 – 26 – 31 – 29______________________

3 – 9 – 8 – 14 – 13 – 19 – 18 – 24_____________________

76 – 71 – 73 – 68 – 70 – 65 - 67 ______________________

49 – 45 – 46 – 42 – 43 – 39 - 40_______________________

La introducción de elementos algebraicos sencillos desde etapas relativamente

tempranas de la formación académica, resulta muy útil como tema de

conocimiento y herramienta de ejercitación intelectual. La noción de valor variable

y su paulatina combinación con manejo de signos, despejes y operaciones

aritméticas hacen de las ecuaciones sencillas, poderosas palancas de expansión

de las habilidades matemáticas.

4

Se sugiere su uso tanto en alumnos avanzados con la finalidad de que ejerciten su

potencial, como en alumnos rezagados, para estimular su desarrollo y

conocimiento.

Me atrevo a considerar que para la mayoría de los estudiantes, se da una

aproximación tardía a esta clase de saberes matemáticos y después resulta difícil

su comprensión y desarrollo.

Cosa que sucede de manera no muy distinta con los idiomas, los deportes y otros

ámbitos.

Aún enseñanzas más elementales como las operaciones con fracciones, deben ir

acompañadas de explicaciones y esquematizaciones claras y precisas, que

permitan al educando identificar y entender que tipo de operaciones tiene que

realizar.

Resulta cotidiano ver las acentuadas dificultades que presentan los estudiantes de

niveles básicos, para realizar restas, multiplicaciones y divisiones.

Y la confusión y falta de comprensión-asimilación del procedimiento es una de las

causas básicas.

El desarrollo de la capacidad y los niveles de abstracción debe comenzarse en el

grado y con los ejercicios adecuados desde etapas tempranas.

Ha resultado un evidente fracaso pretender estimular la capacidad de abstracción

lógico-matemática a ritmos lentos y dosificados, tardía y lentamente, tal vez

fundamentándose en esquemas de psicología del desarrollo interpretados de

manera muy esquemática y ortodoxa.

Situación que deja rezagos considerables en la conquista de disciplinas como la

física, la química o la propia matemática.

5

El cálculo de raíces cuadradas es un contenido que debería dominarse en la

primaria y que sin embargo al tener que aplicarse o utilizarse en diversos

procedimientos de solución resalta el desconocimiento mayoritario de esta

operación básica.

V.2.3 Cálculo de potencias y raíces: De igual modo el cálculo de potencias y raíces resulta algo problemático para

muchos estudiantes de educación elemental. La confusión básica más común en

la potencia es el multiplicar la base por el exponente en lugar de multiplicar la base

por sí misma. Aunque también el manejo de potencias de fracciones, de decimales

o de números negativos presenta algunas confusiones.

EJEMPLOS DE POTENCIAS

10P

5P=10X10X10X10X10= 100,000

-7P

3P= -7X-7X-7= - 343

-2P

4P= -2X-2X-2X-2= +16

1P

10P=1X1X1X1X1X1X1X1X1X1= 1

(2/3)P

2P= (2/3)(2/3)= 4/9

.5P

2P= .5X.5 = .25

Potencias propuestas 7P

2P, 9P

2P, 12P

2P, -6P

2P, -5P

3P , 2P

5P , 3P

4P , 6P

3P, 5P

4P , 11P

2P, -13P

2P , -2P

7P , 1P

9P , 1P

12P , 7P

0P , 9P

0P , 10P

4P, 10P

8P , -

15P

2P, 7P

3P , 2P

9P , 3P

6P, 16P

3P, (3/4)P

2P, (2/5)P

3P , (-2/7)P

2P, (4/9)P

4P, 2.5P

2P, 1.5P

2

6

RESOLUCIÓN DE RAÍCES CUADRADAS

a) Separar el número de dos en dos posiciones de derecha a izquierda

b) Tomar el número que queda más a la izquierda después de la separación y

buscar un número que multiplicado por sí mismo (0x0, 1x1, 2x2, 3x3, 4x4,…) nos

dé el número de la izquierda o se acerque más a él sin que se pase.

c) Obtener el residuo colocando el resultado de multiplicar el número por sí mismo,

bajo la cifra de la izquierda y restando.

d) Bajar el siguiente par de cifras y duplicar la cantidad externa.

e) Buscar y colocar un acompañante al número duplicado exterior y multiplicar el

número que se forma, por el número acompañante.

f) Obtener el residuo restando el resultado de la multiplicación, al número interior.

EJEMPLO DE RAÍZ CUADRADA

√6,25 25

4

225 45

225

00

√20,25 45

16

425 85

425

00

Raíces propuestas 121,144, 225, 625, 169, 400, 900, 289, 361, 784, 961, 1225, 1444, 1600, 2500,

2704, 3249, 4225, 6241, 7569, 8464, 9025, 15625, 21316, 54756, 66564, 316969,

622521, 970225, 1530169, 6702921, 1.44, 5.29, 9.61, 33.64, 62.41, 44.89, 166.41,

190.44, 823.69, 864.36

7

V.2.4 Productos notables y factorización: Los productos notables y la factorización constituyen interesantes elementos del

álgebra y su aplicación es común en distintos procedimientos de resolución tanto

algebraica, como en otros campos de la matemática, incluyendo la geometría

analítica al trabajar por ejemplo con las ecuaciones generales de las cónicas, o el

cálculo diferencial e integral, por ejemplo en la resolución de límites

indeterminados.

En lo que respecta a productos notables, una forma certera de obtener resultados

en su aprendizaje, es la aplicación completa del procedimiento de multiplicación

de monomios y polinomios, resultando relativamente sencillo entonces distinguir o

por lo menos obtener la resultante de un binomio al cuadrado, de binomios con un

término común o de binomios conjugados.

BINOMIO AL CUADRADO

(a+b)P

2P= (a+b)(a+b)= aP

2P+ab+ba+bP

2

Binomios al cuadrado propuestos. (a+5)P

2P,(b-9)P

2P, (2b+6)P

2P, (3c+9)P

2P, (4x+3y)P

2P, (2a-5b)P

2P,(7d-

4e)P

2P,(4xy+9w)P

2P,(5xP

2PyP

3P+9zP

4P)P

2P, (4aP

2PbP

3PcP

4P- 5dP

6P)P

2

BINOMIOS CONJUGADOS

(a+b)(a-b)=aP

2P-ab+ab-bP

2P= aP

2P-bP

2

Binomios conjugados propuestos. (2a+b)(2a-b), (4x+2y)(4x-2y), (5a+7b)(5a-7b), (2xy+3z)(2xy-3z),

(4aP

2PbP

3P-5cP

4P)(4aP

2PbP

3P+5cP

4P), (9aP

5P+8bP

6P)(9aP

5P-8bP

6P), (12dP

7P-11eP

8P)(12eP

7P+11eP

8P),

(7aP

2PbP

4PcP

6P+10dP

8PeP

10P)(7aP

2PbP

4PcP

6P-10dP

8PeP

10P), (13wP

10PxP

13P-15yP

14PzP

17P)(13wP

10PxP

13P+15yP

14PzP

17P) ,

(-4a+5c)(4a+5c)

8

BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN

(a-x)(a-y)= aP

2P-ay-ax+xy

Binomios con un término común propuestos. (a+5)(a+7) , (x+8)(x+9), (y-4)(y+3), (b+7)(b-5) , (a-8)(a-4) , (x-10)(x+7),

(y- 12) (y+11), (d-6)(d-3), (f+15)(f+20), (g-13)(g-16)

Los procedimientos simplificados resultan buenos siempre y cuando el estudiante

haya entendido el proceso completo e incluso es posible prescindir de ellos en un

primer momento, aún y cuando facilitan la respuesta.

De igual manera la factorización puede resultar más inteligible si se asocia,

identifica y relaciona con los productos notables.

FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

aP

2P+2ab+bP

2P=(a+b)(a+b)=(a+b)P

2

Factorizaciones propuestas de trinomios cuadrados perfectos 4aP

2P+10a+25=, 64xP

2P-32x+4=, 25aP

4P-70aP

2P+49=, 9bP

2P-36b+4=, 16cP

4P+64cP

2Pd+64dP

2P=,

25xP

6P-60xP

3PyP

2P+36yP

4P=, 49aP

4PbP

6P+112aP

2PbP

3PcP

4P+64cP

8P=, 36xP

8PyP

12P-48xP

4PyP

6PzP

8P+16zP

16P=,

81aP

2PbP

2PcP

2P+126abcde+49dP

2PeP

2P=, 144bP

18P-264bP

9PcP

7P+121cP

14P=

FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA aP

2P-ay-ax+xy

aP

2P-ay-ax+xy= (a-x)(a-y)

Factorizaciones propuestas de trinomios de la forma aP

2P-ay-ax+xy

xP

2P+13x+40= , xP

2P-9x+18= , xP

2P-3x-28= , xP

2P-6x-27= , xP

2P+11x+30= , xP

2P-x-72=,

xP

2P+2x-48=, xP

2P- 15x+54=, aP

2P-2x-35=, bP

2P+17x+60=, cP

2P-12x+35=

9

FACTORIZACIÓN DE LA DIFERENCIA DE CUADRADOS

aP

2P-bP

2P= (a+b)(a-b)

Factorizaciones propuestas de diferencias de cuadrados 16aP

2P-9bP

2P= , 36xP

2P-25yP

2P= , 9xP

4P-36yP

6P= , 81xP

2PyP

2P-49zP

2P= , 64aP

4PbP

6PcP

8P- 100dP

4PeP

8P= ,

25xP

12P-36yP

14P= , 4cP

2PdP

2PeP

2P-9fP

2PgP

2P= , 144bP

8PcP

10P- 121dP

12PeP

14P= , 400xP

2P-225yP

2P= ,

-81aP

4PbP

12P+64cP

6PdP

14P= , -169yP

4P+625zP

8P=

V.2.5 Ecuaciones de primer grado con una incógnita:

Trato especial nos merecen las ecuaciones de primer grado, porque a nuestro

juicio representan uno de los primeros accesos formales al álgebra, que resultará

tan importante y servirá de base para conocimientos matemáticos posteriores.

La resolución de ecuaciones de primer grado y otros conocimientos básicos dentro

del algebra, como las operaciones con monomios y polinomios, el lenguaje

algebraico, la reducción de términos semejantes, etc., pueden resultar

determinantes en el futuro académico del estudiante en el campo de las ciencias

exactas.

En especial también con la física, por su estrecha relación y vinculación con la

matemática.

Es sumamente común que quien presenta rezagos en matemáticas, también

enfrenta dificultades en física, hasta para la resolución de problemas de los

movimientos más simples: por ejemplo el movimiento rectilíneo uniforme, el

movimiento rectilíneo uniforme acelerado, la caída libre, el tiro vertical, el

movimiento circular, el movimiento parabólico.

10

Porque finalmente las fórmulas de la física requieren un conocimiento algebraico y

aritmético para su manejo y resolución. Y también más adelante la física hace uso

del Calculo diferencial e Integral para la solución de problemas.

“En los inicios del siglo XVII, el álgebra y la geometría ya habían sido

desarrolladas al grado en que era posible modelar comportamientos físicos

algebraica y geométricamente, y cada tipo de representación brindaba más

información de la otra. Los nuevos descubrimientos acerca del sistema solar

habían abierto preguntas fascinantes sobre la gravedad y sus efectos en el

movimiento planetario, de modo que la determinación de la clave matemática

para estudiar el movimiento llegó a ser la pregunta científica del día. La geometría

analítica de René descartes (1596-1650) puso las piezas finales en su lugar,

dejando el escenario para que Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz

(1646-1716) pudieran pararse 'sobre los hombros de los gigantes' por ver más allá

de las fronteras del álgebra que habían limitado a sus predecesores. Con la

geometría mostrándoles el camino, crearon la nueva forma de álgebra, que

llegaría a conocerse como cálculo.”TPF

1FPT

También se enfrenta un debate y se presentan considerables discrepancias en

torno a la forma de abordar este trascendente tema. Abordarlo a partir de

ejercicios de ecuaciones de diferente forma (sencillas, con paréntesis, con

denominador, fraccionarias, etc), o trabajar el tema a través de problemas y

derivar de ellos los planteamientos de las ecuaciones respectivas para su

solución.

Implicando está última vía por un lado un desafío intelectual de mayor

envergadura que la sola comprensión y mecanización de los procedimientos de

resolución de ecuaciones.

T1T DEMANA Franklin D. et. al. Precálculo. Gráfico, numérico, algebraico. Pearson Educación. México, 2007. P 792

11

Pero por otro lado, resulta un mecanismo de mayor alcance en el desarrollo

matemático intelectual, para aquellos estudiantes con inclinaciones y facultades en

el área e incluso a mi juicio, de mayor utilidad para los estudiantes con dificultades

de comprensión en esta disciplina.

Siempre y cuando el planteamiento de ecuaciones se utilice como herramienta

para propiciar el pensamiento y la reflexión y sirva también para avanzar en la

comprensión lectora. Capacidad de leer que es un factor a considerar, aunque no

el único, en la solución de problemas en el campo matemático.

Sin embargo y como hemos mencionado, hay que cuidarse de enfoques

reduccionistas que no propician el desarrollo de la habilidad y la práctica de

resolución y todo quieren dejarlo al mero razonamiento básico y a planteamientos

muy simples claramente insuficientes para una adecuada formación.

La mecanización y la aplicación sistemática de los procedimientos de solución, no

son eventos contradictorios con la comprensión y el razonamiento.

Entendimiento y práctica; he aquí dos elementos claves de cualquier proceso

riguroso de enseñanza-aprendizaje en el campo matemático.

Quizá podemos hacer una analogía con el aprendizaje de las lenguas: avanzamos

en su conocimiento a medida que las utilizamos y retrocedemos cuando dejamos

de estar en contacto con ellas y nos alejamos de su uso cotidiano. Incluyendo la

lengua materna y en especial en lo referente a ortografía y redacción.

En primera instancia cabe señalar que una ecuación es una expresión algebraica

que indica una igualdad. Dicha expresión está conformada por signos, números y

literales o letras. Resolver la ecuación implica aplicar un procedimiento para

conocer el valor de la literal.

12

CONCEPTO DE ECUACIÓN

“Una igualdad es un concepto matemático que indica que dos expresiones son

iguales o que tienen el mismo valor. Por ejemplo, 2n=6 y 2n +3n=5 son

igualdades.

En una igualdad, la expresión situada a la izquierda del signo igual se llama primer

miembro; la expresión de la derecha es el segundo miembro de la igualdad. (…)

Una ecuación es una igualdad en la que las letras (desconocidas o incógnitas)

solo poseen determinados valores. Una ecuación es una igualdad condicionada.

Por ejemplo 2n=12 es una ecuación, ya que n solo puede valer 6.

Una identidad es una igualdad en la letra o letras que contiene pueden tomar

cualquier valor. La identidad es una igualdad condicionada. Por ejemplo 2n+3n=5n

y x+y=y+x son identidades, puesto que n, x o y pueden tomar cualquier valor.”TPF

2FPT

A diferencia de los números que representan valores constantes, las literales

representan valores variables y específicos para cada planteamiento algebraico. El

uso o la introducción de literales en la matemática, permite el cálculo de valores

desconocidos a partir de otros elementos que sí conocemos previamente.

Criterios de despeje:

a) Lo que está sumando pasa al otro lado del igual restando

a+5=22

a=22-5

a=17

b) Lo que está restando pasa al otro lado del igual sumando

m+40=50

m=50-40

m=10

c) Lo que está multiplicando pasa del otro lado del igual dividiendo

T2T RICH, Barnet. Ph. D. Álgebra elemental. McGraw Hill, México, 1980.P 17

13

-4y=28

y=28/-4

y=-7

d) Lo que está dividiendo pasa multiplicando

w/9= 8

w=(8)(9)

w=72

e) Lo que está como potencia pasa como raíz

bP

2P= 25

b=√25

b=5

f) Lo que esta como raíz pasa como potencia

√c=7

c=7P

2

c=49

ARCOIRIS DEL DESPEJE

÷ x - + = - + ÷ x

14

Ecuaciones resueltas

2a + 5 = -19 a =U -19 -5

2 a = - U24

2 a = - 12

- 3b + 8 = 24 +5b

- 3b – 5b = 24 – 8 – 8b = 16 b = U16 -8 b = -2

2m+5=3m+8 2m-3m=8-5 -1m=3 m=U3 -1 m=-3

19.7 – 3.4 x = -10+6.5x - 3.4x-6.5x = -10 -19.7 - 9.9x = -29.7 x = U-29.7 - 9.9

x = 3

U-1 Uy + U2U = - U2U – U6U y 2 6 3 4 U-1 Uy + U6U y = - U2U + U2 2 4 3 6 - U3U y = - U2 4 6 y = U-2/6 -3/4 y = U8 18 y = U4 9

15

Ecuaciones propuestas

3n – 9 = 15, -4x + 7 = 29, 20 – 12y = 80, - 9b + 8 = 53 + 6b,

- 4 + 8x = 36 + 3x, 15a + 27 = 25a + 67, 2x – 5 = 43 -3x -x,

-29 – 4y = 2y + 70 + 3y, -9y + 8 + 4y = 25y – 28 + 18y – 12,

2.7g + 3.8 = - 1.6, 3.5 + 3.1h = -4.9 h + 1.5, -4.5 – 1.6m = 3.1 + 0.3m U 1Ux – U2U = + U3Ux - U5

2 4 2 4

- U3Uy + U2U = U7U + U5Uy

6 3 3 6

-U4bU – U2U = U3U + U2bU -U1 5 4 6 3 2

- U3U + U6aU + U4U = U8aU + U2U – U1a 6 9 3 3 4 6

Ecuaciones resueltas con paréntesis

-3(5y+12)= 39

-15y-36 =39

y=U39+36 -15 y=U75 -15

y=-5

4(4x+6)=3(2x-18)

16

16x+24=6x-54

16x-6x=-54-24

10x=-78

x=-78/10

x=-7.8

Ecuaciones propuestas con paréntesis -5(7x + 4)= 90

7(4y-3)= 7

-6(5y+10)= 30

-9(4-6x)+ 9= 0

25-5x= 10(5+2x)

-4(3x-5)= 2(-x-5)

7(7y+3)= 21y-35

8x-76= -4(9x-8-2x)

1.5 (4x-2)= 2.5 (2x-4)

1/2(1/4x-1/3)= 2/5

Ecuaciones resueltas con denominador

-10x/5+20/10= 10x/20

-10x/5+15/10= -10x/20 (20)

-40x+30= -10x

-40x+10x= -30

-30x= -30

x= -30/-30

x=1

4x/3 – 2x/4 = 15/5

4x/3 – 2x/4 = 15/5 (60)

80x – 30x = 150

17

50x = 150

x= 150/50

x= 3

10/2x + 5/4 = -15/6x

10/2x + 5/4 = -15/6x (12x)

60 + 15x = -30

15x= -30 -60

15x= -90

x= -90/15

x= -6

Ecuaciones propuestas con denominador

4x/3 + 2x/6 = 5/4 , 6x/2 – 2x/4 = 25/5 , -3y/7 + 4y/5 = 39 , 8/2x + 10/5 = -12/6x ,

-4/2x + 4/3 = 8/4x ; -3a/2 + 4/6 +2a/3 + 2/12=0 ; -3y/15 +3/10 – 2y/5 + 3/2 = 0 ;

-5x/9 + 10/12 = 5x/6 ; 3y/8 – 2y/12 + 5/4 = 0 ; -2/3x + 2/6 = 4/2x

V.2.6 Sistemas de ecuaciones: Los sistemas de ecuaciones y sus diversos métodos de solución: reducción,

igualación, gráfico, sustitución, determinantes, representan un paso más hacia la

consolidación de los conocimientos algebraicos de los estudiantes y también una

temática de mayor complejidad para alumnos que han quedado rezagados en

temas previos.

De igual forma somos partidarios de trabajar estos sistemas tanto en su nivel de

planteamiento del sistema a partir del problema, como en el nivel de mecanización

del procedimiento de resolución.

Planteamiento y solución desde está lógica son dos partes inseparables del

proceso de enseñanza aprendizaje de esta clase de ejercicios.

18

MÉTODO GRÁFICO

El método gráfico por su naturaleza, demanda contar con antecedentes de

tabulación y de ubicación de coordenadas en un plano.

Para efectos de localización, tener presente que el eje de las x siempre es el eje

horizontal y el eje de las y siempre es el eje vertical.

Y también que los números + siempre van a la derecha en x y hacia arriba en y.

Los números- siempre van hacia la izquierda en x y hacia abajo en y.

Ejemplos propuestos de localización de puntos (2,8) ; (-5,6) ; (0,-6) ; (7,0) ; (-3,-2) ; (-5,9) ; (-1,1) ; (1,-1) ; (0,-2) ; (-2,0) ; (-5,-4) ;

(10,8) ; (-6,-7) ; (9,8) ; (7,-5) , (.5, 1.5) ; (-2.5,-3) (.2,-.8) (-.3,.6) (1/2, 3/2)

(-1/3, 4/3)

Si previamente se ha trabajado la ecuación de la recta y=mx+b ó xB2B-xB1B=m(yB2B-yB1B),

lógicamente será más sencillo aplicar este saber previo para encontrar los valores

de las variables correspondientes a un sistema de ecuaciones lineales de 2 o tres

ecuaciones con dos o tres incógnitas.

Es un método que por su naturaleza requiere mucha precisión en el trazo para

precisar el punto de cruce exacto entre las rectas.

Estos procedimientos gráficos si bien no son muy precisos, si resultan de gran

utilidad para la identificación y diferenciación de ecuaciones lineales y cuadráticas

y también como herramienta para que los estudiantes ubiquen y localicen puntos

de manera correcta en el plano.

MÉTODOS ALGEBRAICOS

19

Los métodos algebraicos para la solución de sistemas de ecuaciones aportan

precisión y dependiendo del sistema a resolver podrá preferirse y aplicarse uno u

otro método.

Los sistemas de ecuaciones suelen resultar como ya dijimos, ejercicios de una

complejidad intermedia y de difícil comprensión para sectores significativos de

estudiantes.

Es recomendable comenzar con sistemas sencillos y con resultados en números

enteros, con la finalidad de que primero se interiorice el método. Se trata entonces

de poner primero el acento en el procedimiento y después aumentar

progresivamente la complejidad hasta donde las propias capacidades de

comprensión y resolución de los estudiantes lo permitan.

Si lo que nos interesa es el método o procedimiento de resolución, entonces no

hay que desviar la atención o concentración del alumno en el inicio, hacia

ejercicios que requieran combinar diversos contenidos y procedimientos con

grados considerables de dificultad.

Primero entonces es la ubicación de pasos y la comprensión y aplicación de los

mismos en ejercicios simples. Y después la introducción de elementos o

modalidades adicionales que vayan desafiando la capacidad del estudiante.

La predisposición mental es sin duda factor importante para el logro de resultados

en cualquier proceso cognitivo y en la matemática esto por supuesto no es la

excepción.

La acumulación progresiva de temáticas no entendidas y su uso combinado en

nuevos contenidos, sin su adecuada comprensión previa, sólo genera confusión,

parálisis y predisposición negativa hacia el objeto de estudio.

20

Para evitar ello es importante la exploración en el mismo proceso, de las

condiciones concretas que presentan los alumnos y para mejorar los resultados es

condición el ir retomando de manera paralela y complementaria aquellos temas

que el alumno desconoce o no domina, y que se requieren aplicar o que fungen

como base o herramienta en los nuevos conocimientos.

Los métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones básicamente

persiguen el generar las condiciones para poder trabajar con una sola incógnita a

la vez, determinando su valor y pasando a calcular el valor de la o las otras

incógnitas de una en una, en forma sucesiva.

De igual manera el desafiar al estudiante, forzándolo incluso al máximo de su

capacidad para realizar cálculos y operaciones mentales cotidianamente, resulta a

mi juicio fundamental para intensificar el progreso intelectual y académico.

Las tareas son un recurso de práctica útil y necesaria, siempre que efectivamente

se verifique su correcta realización y se corrija cada clase aquello que lo amerita.

Es a mi juicio conveniente acostumbrar a los alumnos a la revisión puntual de su

tarea cada clase y a que realicen la corrección y de ser el caso el complemento de

la misma, antes de iniciar la siguiente actividad académica. Lo anterior con la

finalidad de generar disciplina y rigor en el trabajo académico.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN (procedimiento)

2x + y =7

x - 2y=1

a) Despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones

y=7-2x

21

b) Sustituir el valor de la incógnita despejada, en la otra ecuación y resolverla.

x -2(7-2x)=1

x -14+4x=1

5x=1+14

5x=15

x=15/5

x=3

c) Sustituir el valor encontrado en la ecuación despejada inicialmente.

y=7-2x

y=7-2(3)

y=7-6

y=1

La comprobación en ecuaciones resulta un elemento útil para certificar nuestros

resultados. Sin embargo en alumnos rezagados en la materia se vuelve un

elemento de mayor confusión. Se dan los casos de soluciones correctas y

comprobaciones equivocadas, que orillan al estudiante a un clima de duda.

Una forma sencilla de resolver esto, cuando las condiciones se prestan es

propiciar el cálculo mental para cotejar la congruencia de los valores encontrados,

con los planteamientos algebraicos originales. La comprobación mental puede

también apoyarse anotando arriba del término de cada ecuación su resultado o

valor parcial para optimizar la precisión.

MÉTODO DE IGUALACIÓN (Procedimiento)

a + b = 30

a - b = 10

a) Despejar una de las incógnitas de ambas ecuaciones

a = 30 - b

a = 10 + b

22

b) Igualar los valores obtenidos de los despejes y resolver

30-b= 10+b

-b-b=10-30

-2b=-20

b= -20/-2

b=10

c) Sustituir en una de las ecuaciones despejadas inicialmente y resolver.

a=30-b

a=30-10

a=20

MÉTODO DE ELIMINACIÓN O SUMA Y RESTA

2x + y =52

3x - y =38

a) Eliminar una de las incógnitas sumando o restando las ecuaciones

2x + y =52

3x - y =38

2x + y =52

3x - y =38

5x =90

b) Resolver la ecuación resultante de la suma

5x=90

x=90/5

x=18

c) Sustituir el valor encontrado en una de las ecuaciones originales y resolver.

2x+y=52

2(18)+y=52

36+y=52

y=52-36

y=16

23

Es importante advertir que la aplicación de este método implica en diversas

ocasiones el manejo de conocimientos básicos relativos a los múltiplos y divisores,

para poder multiplicar o dividir las ecuaciones de tal forma que al sumarlas o

restarlas se elimine una de las incógnitas.

El mínimo común múltiplo se trabaja desde la educación primaria, por ejemplo en

la suma y resta de fracciones con diferente denominador. Su cálculo de relativa

sencillez implica la descomposición de un conjunto de números en sus factores

primos.

EJEMPLOS DE MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

10 4 5 2

5 2 5 2

5 1 5 5

1 1 1 2X2X5=20

9 3 6 2

9 3 3 3

3 1 1 3

1 1 1 2X3X3=18

(ESTE PROCEDIMIENTO DEL M.C.M. SE APLICA DESDE LA SUMA Y RESTA

DE FRACCIONES CON DIFERENTE DENOMINADOR)

Sistemas de ecuaciones propuestas. 2x + 3y = 18 4x – 2y = 4 4x + 8y = 36 5x – 6y = -9

24

6x + 9y = -3 4x – 6y = -2 3x – 4y = -1 2x + 5y = -16 4x – 2y = 28 3x – 4y = 31 2x + 3y = 13 3x + 4y = 15 8x + 10 y = 2 9x – 12y = -21 4x – 5y = 2 2x – 3y = -2 5x + 7y = -62 7x + 4y = -52 3x + 2y = 57 4x – 3y = 8 2x + 3y = 3 5x – 2y = -21 3a – 4b = 9 -2a + 6b = -26 5x + 3y = -12 -4x – 3y =15 -7x – 4y = -18 8x – 5y = -56 9a + 10 b = 38 12a + 11b = 46 8x – 2y = 12 4x – 4y = 36 9x + 3y = -12 12x + 5y = -29 14x – 9y = 23 17x – 15y = 32

25

2x + 4y = 80 3x – 5y 45 5x – 10y = 200 6x + 8y = -360

V.2.7 Ecuaciones de 2º grado: A nivel secundaria la resolución de ecuaciones cuadráticas o de segundo grado

representa un punto problemático, en particular por los referentes cognitivos

previos que se requieren para su adecuada solución.

Comenzando por cuestiones básicas como la tradicional raíz cuadrada y por

supuesto los diferentes casos de factorización.

La aplicación de la factorización algebraica como método de resolución de

ecuaciones cuadráticas, a pesar de su relativa facilidad, también presenta

dificultades para un número significativo de estudiantes de secundaria. Veamos

ejemplos de ecuaciones cuadráticas elementales que se pueden resolver con sólo

despejar y realizar operaciones.

Ecuaciones cuadráticas de la forma axP

2P+ c = 0 resueltas.

xP

2P – 16 = 0

x = √16 

xB1B = 4 xB2B = - 4 xP

2P – 64 = 0

x = √64 

26

xB1B = 8 xB2B = - 8 xP

2 P= 144

x = √144 

xB1B = 12 xB2B = -12 2xP

2P – 50 = 0

X = √50/2 

X = √25 

xB1B =+ 5 xB2B = -5

Ecuaciones cuadráticas de la forma axP

2P+ c = 0 propuestas.

XP

2P – 9 = 0

XP

2P – 36 = 0

XP

2P –81= 0

XP

2P – 121 = 0

XP

2P – 225 = 0

XP

2P – 400 = 0

XP

2P – 625 = 0

XP

2P – 900 = 0

2XP

2P – 50 = 0

3XP

2P – 48 = 0

-2XP

2P + 18 = 0

-4XP

2P +400 = 0

5XP

2P – 20 = 0

27

XP

2P = 289

XP

2P = 729

2XP

2P = 450

-3XP

2P = -507

EJEMPLOS DE FACTORIZACIÓN Y ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Ecuaciones de segundo grado de la forma axP

2P + bx = 0 por factorización

xP

2P – 2x = 0 Factorizando por factor común.

( x ) ( x – 2) = 0 Igualando cada paréntesis a 0.

x= 0 x – 2 = 0 Resolviendo cada ecuación.

xB1B= 0 xB2B = +2

xP

2P – 6x = 0

( x ) ( x – 6) = 0

x= 0 x – 6 = 0

xB1B= 0 xB2B = +6

2xP

2P – 18x = 0

( x ) ( 2x – 18) = 0

x= 0 2x – 18 = 0

xB1B= 0 xB2B = 18/2

xB2B= 9

-3xB2B + 75x = 0

( x ) ( -3x + 75) = 0

x= 0 -3x + 75 = 0

xB1B= 0 xB2B = -75/-3

xB2B= 25

28

Ecuaciones de segundo grado de la forma axP

2P + bx = 0 por factorización

propuestas.

xP

2P – 5x = 0

xP

2P – 9x = 0

xP

2P – 13x = 0

xP

2P – 4.5x = 0

xP

2P – 7.9x = 0

xP

2P – ½ x = 0

xP

2P – ¼ x = 0

2xP

2P – 20x = 0

-3xP

2P + 36x = 0

-4xP

2P – 60x = 0

5xP

2P + 75x = 0

-xP

2P – 28x = 0

-xP

2P + 47x = 0

77xP

2P – 231x = 0

-125xP

2P – 625x = 0

Ecuaciones de segundo grado de la forma xP

2P + bx + c = 0 propuestas.

xP

2P – 2x -15 = 0

xP

2P + 2x - 8 = 0

xP

2P – 10x + 24 = 0

xP

2P – 11x + 30 = 0

xP

2P + 5x + 6 = 0

xP

2P + 9x + 20 = 0

xP

2P + 7x + 12 = 0

xP

2P – 9x + 18 = 0

xP

2P – x - 20 = 0

xP

2P + x - 42 = 0

xP

2P – 17x + 72 = 0

29

xP

2P – 15x + 56 = 0

xP

2P – 3x -54 = 0

xP

2P – 4x -45 = 0

xP

2P – 5x -84 = 0

RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA POR LA FÓRMULA

GENERAL

De igual manera la resolución por la Formula General implica un reto de relativa

dificultad al tener que manejar un procedimiento elaborado de identificación y

sustitución de valores y la posterior resolución de operaciones.

Resolver la ecuación 2xP

2P-3x -2=0

a=2

b=-3

c=-2

x ‐b  √  bP

2P ‐4ac/2a 

x ‐ ‐3 √ ‐3P

2P ‐42 ‐2 /2 2  

x 3 √ 9 16/4 

x 3 √ 25/4 

30

xB1B  3 5/4 

XB1B =8/4

XB1B =2

XB2B  3‐5/4 

XB2B= -2/4

XB2= B-1/2

Resulta importante precisar a los estudiantes las razones por las cuales una

ecuación lineal es una recta en un plano cartesiano y la ecuación de segundo

grado representa una curva. Ello permite comprender mejor por qué una ecuación

de primer grado con una incógnita tiene un solo resultado en x y una ecuación

cuadrática tiene dos soluciones.

Ecuaciones de segundo grado propuestas por fórmula general. 2xP

2P + 8x + 6 = 0 , 3xP

2P + 18x + 24 = 0 , 2xP

2P – 8x + 8 =0 , 4xP

2P – 12x -40=0 , 2xP

2P +

18x + 40 = 0 , 3xP

2P – 27x + 60 = 0 , 5xP

2P – 5x – 10= 0 , 6xP

2P – 38x +12 = 0 , -2xP

2P +

10x – 12 = 0 , -3xP

2P + 30x – 63 = 0 , 8xP

2P – 68x + 32 = 0 , 7xP

2 P+ 28x – 35 = 0 , -4xP

2P +

28x – 48 = 0 , 2xP

2P – 13x – 45 = 0 , 3xP

2 P– 12x + 9 = 0

31

V.2.8 Signos de agrupación: Un tema que tradicionalmente resulta complicado es el manejo y eliminación de

signos de agrupación, no tanto por su exigencia de profundidad, sino por la alta

demanda de orden y concentración en la solución de ejercicios. Situación que se

combina con los requerimientos de conocimientos básicos previos de manejo de

signos y de operaciones de suma, resta, multiplicación y división algebraicas. En

este caso lo recomendable es iniciar con ejercicios no muy largos y que combinen

el uso de los distintos signos en específico los tradicionales paréntesis, los

corchetes y las llaves. Y en posteriores ejercicios introducir el denominado vínculo

o barra que tiene la función de un paréntesis.

Y el criterio de resolución tradicionalmente recomendado “de adentro hacia fuera”

de la expresión algebraica puede resultar eficaz siempre que se aplique con

criterio, pues hay expresiones que permiten resolver y eliminar simultáneamente

dos o más zonas de la expresión, con signos de agrupación.

Ejemplos resueltos de signos de agrupación 2a - { 4[ 3(a – 5)] } =

2a - { 4[ 3a – 15] }

2a - { 12a – 60 }

2a - 12a + 60

-10a +60

-4(2x – 5y) - { -7x + 4[ -3x+3( -2x +2y]-4x} =

-4(2x – 5y) - { -7x + 4[ -3x -6x + 6y] -4x}

-4(2x – 5y) - { -7x + 4[ -3x -6x + 6y] -4x}

-4(2x – 5y) - { -7x - 12x - 24x + 24y -4x}

-8x + 20y +7x + 12x + 24x - 24y +4x

39x – 4y

32

Ejemplos propuestos de signos de agrupación 5x - { 4[ 2(x – 5)] } = ; -3a - { 2[ 5(a-4) ] } = ; 4x + { -3[ -6(-2x+3) ] } = ; -

5b -2{ -7[ -5(2a-4b) ] +3a } ; -3(-4a+5b) - { -2a + 3[ -5a -4( 2a– 2b] +4b} =

GEOMETRÍA

La geometría representa otro campo fundamental de la matemática y es objeto de

estudio e indagación por parte de docentes y estudiantes en los diferentes niveles

educativos.

Desde su origen en el antiguo Egipto y en otras civilizaciones de primera

generación, este campo ha resultado fundamental y ha mostrado pronunciados

progresos incluyendo los aportes de NicolasLobatchevsky.

“Con su obra <Pangeometría> este geómetra ruso rompió definitivamente con el

pasado euclidiano. Criticado duramente, nadie lo entendió ni le hizo caso hasta

que su memoria fue traducida al francés en 1837 y al alemán en 1840. Para él las

paralelas eran <rectas coplanarias que no se encuentran por mucho que se les

prolonguen>”TPF

3FPT

El tradicional trazo de polígonos regulares en la circunferencia, resulta útil para

que el estudiante progrese en la comprensión de los grados como unidad de

medida aplicable a ángulos, sin olvidar que los radianes también pueden servir

para tal efecto.

Y ya ubicados en la circunferencia y en su relación con ángulos, si este contenido

se trabaja en la educación primaria correctamente, será menos problemático para

el estudiante abordar posteriormente todo lo referente a ángulos centrales,

inscritos y semi-inscritos. Y su relación con los arcos o segmentos de la propia

circunferencia.

T3T BALDOR, Aurelio. Geometría plana y del espacio: con una introducción a la trigonometría. Publicaciones Cultural. México 1992 P 160

33

De igual manera y continuando con ángulos tenemos todo lo referente al triángulo,

que da lugar por si sólo a un espacio de la matemática.

V.2.9 Teorema de Pitágoras: La aplicación del teorema de Pitágoras que establece que en todo triángulo

rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la

hipotenusa, es un tema que de manera tradicional presenta problemas de

comprensión en secundaria. Particularmente por su desconocimiento de los

elementos del triángulo: catetos e hipotenusa. Y claro por no saber despejar

ecuaciones sencillas.

En estos casos lo fundamental es trabajar desde la base el conocimiento

algebraico, regresando de manera complementaria y en el momento necesario a

explicaciones previas, con el objetivo de poder abordar la resolución del tema

original en cuestión.

EJEMPLOS RESUELTOS DEL TEOREMA DE PITÁGORAS.

a=3b=4c=x

aP

2P+ bP

2 P=cP

2

32+42=cP

2

9 + 16 = cP

2

25 = cP

2

5 = c

a=8b=6c=x

aP

2P+ bP

2P =cP

2

82+62=cP

2

64+36=cP

2

100=cP

2

10 = c

34

a=24b=xc=40

cP

2P –aP

2P=bP

2

40P

2P -24P

2P =bP

2

1600-576=bP

2

1024=bP

2

32 = b

EJEMPLOS PROPUESTOS DEL TEOREMA DE PITÁGORAS.

a=9 b=12 c=x, a=15 b=20 c=x, a=21 b=28 c= x, a=30 b=x c=50, a=x b=36 c=45,

a=12 b=16 c=x, a=x b=24 c=30, a=36 b=x c=60, a=60 b=80 c =x, a=90 b=x

c=150, a=x b=400 c=500, a= 42 b =56 c=x, a=39 b=x c=65

V.2.10 Funciones trigonométricas: Aumentando algo la complejidad entramos a la aplicación de funciones

trigonométricas en la medición y solución de problemas. La distinción y la

selección correcta de la función a partir de los elementos conocidos, es uno de los

aspectos básicos que debe realizar el estudiante.

Sabiendo elegir la función correcta y de manera complementaria, detectar el valor

(en tablas o calculadora) de la función del ángulo con el que se está trabajando,

será más simple la resolución del problema.

Aquí el docente encuentra dificultades diversas: a) desconocimiento de las

funciones trigonométricas por parte del estudiante b) desconocimiento de los

elementos del triángulo c) problemas de comprensión y abstracción para

seleccionar la función trigonométrica correspondiente.

35

SENO DE UN ÁNGULO= CATETO OPUESTO (AL ÁNGULO) /HIPOTENUSA

COSENO DE UN ÁNGULO=CATETO ADYACENTE (AL ÁNGULO)/HIPOTENUSA

TANGENTE DE UN ÁNGULO=CATETO OPUESTO/CATETO ADYACENTE

COTANGENTE DE UN ÁNGULO=CATETO ADYACENTE /CATETO OPUESTO

SECANTE=HIPOTENUSA/CATETO ADYACENTE

COSECANTE=HIPOTENUSA/CATETO OPUESTO

Ejemplos resueltos de funciones trigonométricas co= 3 ca=4 h=5

seno=3/5

coseno=4/5

tangente=3/4

cotangente=4/3

secante=5/4

cosecante=5/3

co=16 ca=18 h=20

seno=16/20

coseno=18/20

tangente=16/18

cotangente=18/16

secante=20/18

cosecante=20/16

Ejemplos propuestos de funciones trigonométricas co=5 ca=6 h=7 , co=8 ca=9 h=10 , co=25 ca=30 h=35 , co=40 ca=50 h=60 ,

co=34 ca=39 h=43 , co=1.5 ca=2.5 h=3.5 , co=2.3 ca=2.7 h=3.4 , co=12.8 ca=14.6

h=17.4 , co=1/2 ca=1/3 h=1/4 , co=3P

2Pca=4P

2P h=5P

2

36

APLICACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS A LA RESOLUCIÓN DE

PROBLEMAS

Un error muy común es trabajar una amplia gama de contenidos de la matemática,

utilizando la resolución de volúmenes importantes de ejercicios abstractos, sin su

aplicación directa y concreta en la solución de problemas. O en el mejor de los

casos se resuelven cantidades de ejercicios y sólo de manera complementaria o

adicional, se aplican en algunos problemas.

Sin embargo no menos equivocada es la posición ahora algo de moda, de ver una

matemática superficial a partir únicamente de problemas concretos muy simples,

sin entrar a la comprensión y la práctica necesaria para adiestrarse en este vasto y

complejo campo del conocimiento.

La cuestión no es entonces elegir entre problemas simples, sin dominio sólido de

los procedimientos de resolución. Ni tampoco conocimiento de procedimientos

abstractos sin la aplicación en problemas concretos.

Otro campo de la matemática que se trabaja desde la formación básica es la

Geometría. Este vasto e interesante campo presenta también importantes desafíos

para los estudiantes; desde cuestiones como el cálculo de perímetros, áreas y

volúmenes de diversas figuras, hasta cuestiones técnicas como el trazo de

bisectrices, mediatrices, medianas, etc.

En la geometría incluso pueden manifestarse carencias o déficits más básicos

como la coordinación para la realización correcta y precisa de trazos. Resulta

frecuente que los alumnos con insuficiencias en español y matemáticas, también

presenten trazos descuidados y descoordinados.

También en el nivel abstracto pueden presentarse algunas confusiones,

particularmente con el uso de diversas unidades de medida, situación que se

37

vuelve más caótica en física cuando en matemáticas no se ha trabajado

sólidamente.

“El considerable progreso habido en la ciencia y en la técnica durante los últimos

cien años procede en gran parte del desarrollo de las Matemáticas. La rama de la

Matemática conocida por Cálculo integral y diferencial es un instrumento natural y

poderosos para atacar múltiples problemas que surgen en Física, Astronomía,

Ingeniería, Química, Geología, Biología y en otros campos incluyendo

recientemente algunos de Ciencias sociales.”TPF

4FPT

La ausencia de una tradición matemática en México dificulta las condiciones para

el surgimiento de una ciencia matemática sólida en el país, a la altura de naciones

europeas promedio o de grandes potencias en la materia: Alemania, Rusia,

Inglaterra. El desarrollo de la física, la química y la matemática ha recibido

grandes impulsos históricos en esas latitudes.

V.2.11 Sistemas de numeración. También tradicional en secundaria y bachillerato es el estudio de diversos

sistemas de numeración, tanto de culturas antiguas, como en diferentes bases.

Como la numeración actual en base 10, o la binaria o la vigesimal en base 20.

“Los ordenadores han puesto muy de moda el sistema de numeración binario o

base 2 (se utilizan los dígitos 0 y 1) y el sistema de numeración en base 16 o

hexadecimal ( se utilizan los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F).

En el siglo XVII el matemático Gottfried Wilhelm Leibniz abogó por el uso del

sistema binario. Se utiliza el sistema de numeración binario porque la información

almacenada en última instancia en un medio que sólo admite dos estados posibles

(cargado o descargado) y estos dos estados se asocian al cero y al uno. Los

informáticos llaman a eso bit (derivado de binarydigit). T4T APOSTOL, Tom. Calculus. Reverte. Barcelona 1972. P2

38

Se utiliza el sistema de numeración hexadecimal porque los informáticos tratan la

información agrupando los bits de 4 en 4, por lo tanto hay 16 estados posibles

2P

4P.”TPF

5FPT

Ejemplos resueltos sistemas de numeración. 79 a base 2 = 1001111B2

79 ÷ 2 = 39, residuo 1

39 ÷ 2 = 19, residuo 1

19 ÷ 2 = 9, residuo 1

9 ÷ 2 = 4, residuo 1

4 ÷ 2 = 2 residuo 0

2 ÷ 2 = 1 residuo 0

(Se toma el último cociente o resultado y todos los residuos)

289 a base 3 = 101201B3

289 ÷ 3 = 96, residuo 1

96 ÷ 3 = 32, residuo 0

32 ÷ 3 = 10, residuo 2

10 ÷ 3 = 3, residuo 1

3 ÷ 3 = 1, residuo 0

347 a base 5 = 2342B5

347 ÷ 5 = 69, residuo 2

69 ÷ 5 = 13, residuo 4

13 ÷ 5 = 2, residuo 3

6987 a base 7 = 26241B7

6987 ÷ 7 = 998, residuo 1

998 ÷ 7 = 142, residuo 4

142 ÷ 7 = 20, residuo 2 T5T UMAÑA, Yáñez José Luis. Nociones básicas de álgebra. UNAM. México, 2001. P. 53

39

20 ÷ 7 = 2, residuo 6

1001111B2 B a base 10 = 79

1 (2P

0P) = 1x 1 = 1

1 (2P

1P) = 1 x 2= 2

1 (2P

2P) = 1 x 4 = 4

1 (2P

3P) = 1x 8 = 8

0 (2P

4P) = 0 x16= 0

0 (2P

5P) = 0 x 32= 0

1 (2P

6P) = 1x64 = 64

(Sumando resultados)

2342B5B a base 10 = 347

2 (5P

0P) = 2 x 1 = 2

4 (5P

1P) = 4 x 5 = 20

3 (5P

2P) = 3 x 25= 75

2 (5P

3P) =2 x 125=250

Ejemplos propuestos sistemas de numeración. (De base 10 a otras bases) 68 a base 2 ; 89 a base 2 ; 124 a base 2 ; 157 a base 2 ; 169 a base 2 ; 234 a

base 3 ; 256 a base 3 ; 278 a base 3 ; 299 a base 4 ; 325 a base 4 ; 348 a base 5 ;

456 a base 5 ; 678 a base 5 ; 760 a base 6 ; 851 a base 6 ; 987 a base 7 ; 2345

a base 7 ; 3567 a base 8 ; 4589 a base 8 ; 7896 a base 9 ; 9876 a base 9

Ejemplos propuestos sistemas de numeración. (De otras bases a base 10) 1100111B2B ; 10011100B2 B; 10000111B2B ; 111000B2B ; 10101010B2B ; 102012B3B , 120201B3B ;

210210B3 B; 13203B4B ; 230310B4B ; 34210B5B ; 1043102B5 B; 20431B5B ; 25403B6B ;

51064B6B25426B7B; 123056B7B 1020364B7B ; 3076B8B ; 17652B8B ; 38064B9B ; 7486B9

V.2.12 Conversiones: Igual tema de gran interés para la matemática y para otras ciencias, es el referente

a las conversiones de unidades y sus aplicaciones. Aquí cabe hablar de una

amplia gama de posibilidades, pero lo fundamental es que las conversiones hacen

posible la comparación y el establecimiento de equivalencias entre unidades de

40

medida de diferentes sistemas de medición y también el trabajar con múltiplos y

submúltiplos de una misma unidad de medida.

La medición es uno de los elementos fundamentales de la matemática,

potenciando su sentido. Las conversiones se comienzan a trabajar desde los

últimos grados de la educación primaria y su uso y estudio se profundiza en

secundaria y bachillerato.

Aquí los problemas más comunes que el estudiante encuentra son: el manejo

incorrecto de la proporcionalidad directa o regla de 3, la insuficiente destreza en el

manejo de tablas de equivalencias.

Ejemplos resueltos de conversiones.

7 pulgadas a centímetros.

1 pulgada ----- 2.54 cm

7 pulgadas ----- x = 17.78 cm

5 galones a litros.

1 galón -------3.7854118lts

5 galones -------- x= 18.9270590 lts

6 millas a kilómetros.

1 milla --------1.609344 km

6 millas ------- x= 9.656064 km

9 libras a kilogramos.

1 libra -------- .45359237kg

9 libras ------- x= 4.08233133 kg

4 kilogramos a libras.

1 kilogramo ------- 2.20462262 libras

4 kilogramos -------x = 8.81849048 libras

41

8 litros a galones.

1 litro ----------- .264172051 galones

8 litros --------- x= 2.113376408

5 kilómetros a millas.

1 kilómetros ---------- .621371192 millas

5 kilómetros ----------- 3.106855960 millas

8 centímetros a pulgadas.

1 centímetros -------- .3937008 pulgadas

8 centímetros --------- 3.1496064 pulgadas

Ejemplos propuestos de conversiones. 3 pulgadas a centímetros; 8 pulgadas a centímetros; 6 centímetros a pulgadas; 9

centímetros a pulgadas; 3 galones a litros; 7 galones a litros; 4 litros a galones; 6

litros a galones; 5 millas a kilómetros; 8 millas a kilómetros; 3 kilómetros a millas; 9

kilómetros a millas; 5 kilogramos a libras; 7 kilogramos a libras; 6 libras a

kilogramos; 8 libras a kilogramos.

V.2.13 Escritura y lectura de macro y micro cantidades De igual forma es importante que de manera paulatina se adiestre el estudiante en

la lectura y la escritura de cantidades o valores grandes y pequeños.

Resulta muy común que alumnos de grados avanzados de secundaria o

bachillerato tengan problemas con la escritura correcta de cantidades grandes, lo

que combinado con la también tradicional deficiencia en la comprensión de las

posiciones en el sistema decimal puede llevarnos a casos de verdadero

analfabetismo matemático.

Dicha temática podría abordarse de avanzar favorablemente si se trabaja de

manera sólida y profunda desde los últimos grados de la primaria y se va

42

reforzando e incrementando en años escolares posteriores. El conocimiento y la

conciencia del potencial y los límites de la matemática para formular valores de

gran magnitud, permiten clarificar la trascendencia del campo y también es un

dato para comenzar a ubicar las implicaciones de su escaso o pobre dominio y

desarrollo.

Las micro cantidades también han adquirido una poderosa vigencia en la medición

de partículas. Las macro cantidades se utilizan por ejemplo, para medir grandes

distancias o altas velocidades. De sobra está el resaltar, la relevancia de las micro

y macro cantidades para la física y la química, que hacen uso directo de este

conocimiento elemental, en la medición de las partículas subatómicas, en las

propiedades de los elementos, y en magnitudes como el tiempo, la velocidad, la

distancia.

Es recomendable abordar el conocimiento de números grandes utilizando un

criterio que facilite la comprensión por parte del alumno. Por ejemplo, dejar claro

que los millones comienzan después de las 6 cifras, los billones comienzan

después de las 12 cifras, los trillones después de las 18 cifras, los cuatrillones

después de las 24 cifras y así sucesivamente.

También conviene tener muy claro que los millonésimos están en la posición 6

después del punto decimal, los billonésimos en la posición 12 después del punto y

los trillonésimos en la posición 18 después del punto.

Además es importante precisar las diferencias con la forma de contar y la

nominación numérica utilizada en otros sitios. Por ejemplo, en Estados Unidos, le

llaman billón a los mil millones, en nuestro sistema denominamos billón al millón

de millones

43

Ejemplos de macro cantidades

Millones

7 315 234 ; 49 678 125 ; 678 456 328 ; 9879 564 378 ; 37 278 234 564

987 345 567 259

Billones

9 897 567 546 789 ; 45 678 789 456 203 ; 708 234 567 897 234 ;

4563 345 278 234 768 ; 27 896 267 896 453 607 ; 564 349 256 789 234 505

Trillones

5 897 567 456 345 889 547; 47 987 607 560 400 563 789;

256 786 405 345 678 210 567; 6709 120 203 708 506 078 094;

87 980 890 508 678 546 800 700

Ejemplos de micro cantidades

Millonésimos

.000 008; .987 455 ; .298 129

Billonésimos

.000 000 000 008; .768 246 234 567; .289 456 890 245

Trillonésimos

.000 000 000 000 000 007; .890 789 567 458 456 789;

.689 756 435 678 784 563

V.2.14 Notación científica En la notación científica sucede como con la raíz cuadrada, pues son temas que

se abordan y utilizan de manera intermitente durante la formación del estudiante.

Sin embargo al igual que el cálculo de raíces, la notación es una herramienta de

aplicación necesaria en otros procedimientos matemáticos y al demandarse su

uso, resalta lo poco que se práctica cotidianamente.

El desafío fundamental para el estudiante en la notación científica es el adecuado

manejo de los exponentes de la base 10, que se determinan a partir de la correcta

ubicación de posiciones.

44

Notación científica. Problemas resueltos.

3 x 10P

6 P= 3 000 000

5 x 10P

12P = 5 000 000 000 000

7 x 10P

27 P= 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000

12 x 10P

2P = 1200

75 x 10P

4P = 750 000

157 x 10P

5P = 15 700 000

2.5 x 10P

2P = 250

3.5 x 10P

3P = 3 500

4.51 x 10P

4 P= 45 000

6.519 x 10P

6P = 6 519 000

2 x 10P

-7P = .000 000 2

5 x 10P

-16P= .000 000 000 000 000 5

8 x 10P

-18P = .000 000 000 000 000 008

1.5 x 10P

-2P = .015

4.5 x 10P

-4PB B= .00045

5.87 x 10P

-7P = .000000587

25.4 x 10P

-3P = .0254

348.9 x 10P

-5P = .003489

Notación científica. Problemas propuestos.

4 x 10P

5P = , 9 x 10P

8P = , 7 x 10P

12P = , 8 x 10P

15 P= , 5 x 10P

22P = 13 x 10P

9P = , 79 x 10P

12P =,

245 x 10P

13 P= , 3.8 x 10P

2 P= , 4.7 x 10P

3P = , 9.76 x 10P

4P = , 5.897 x 10P

7P = , 3 x 10P

-6P = , 5

x 10P

-9P = , 9 x 10P

-14P = , 2.4 x 10P

-2P =, 3.6 x 10P

-5P = 4.58 x 10P

-6P = , 16.7 x 10P

-3 P=, 245.8 x

10P

-5P =

V.2.15 Funciones En las funciones resulta común que el estudiante procure su cálculo mental, sin la

sustitución escrita correspondiente. Para evitar errores de cálculo en los valores,

se deduce recomendable la escritura del procedimiento completo de sustitución y

operaciones para cada valor, excepto con estudiantes hábiles y precisos en sus

cálculos mentales.

45

Otros aspectos a cuidar son la correcta localización de los puntos y el que se den

los valores suficientes y adecuados de x, para el trazo de la gráfica de la función.

En el entendido de que funciones cuadráticas, cúbicas y exponenciales, requieren

un mayor número de puntos para su adecuada identificación gráfica. Para

funciones lineales suele funcionar por ejemplo dar los valores 1, 0, -1, aunque

pueden aumentarse a discreción.

Ejemplos de funciones resueltas y = 2x + 4

x = 2, y = 2(2) + 4, y = 8

x = 1, y = 2(1) + 4, y = 6

x = 0, y = 2(0) + 4, y = 4

x = -1, y = 2(-1) + 4, y = 2

x = -2, y = 2(-2) + 4, y = 0

(Graficar puntos en plano)

y = -3x – 5

x = 2, y = -3(2) -5, y = -11

x = 1, y = -3(1) -5, y = -8

x = 0, y = -3(0) -5, y = -5

x = -1, y = -3(-1) -5, y = -2

x = -2, y = -3(-2) -5, y = 1

y = -2xP

2

x = 2, y = -2(4), y = -8

x = 1, y = -2(1), y = -2

x = 0, y = -2(0), y = 0

x = -1, y = -2(1), y = -2

x = -2, y = -2(4), y = -8

46

Ejemplos de funciones propuestas y = 2x + 3 ; y = 3x + 5 ; y = 5x -2 ; y = 6x – 4 ; y = -2x +4 ; y = -4x + 6 ; y = -5x – 2 ;

y = -6x – 8 ; y = -3x – 6; y = 2x -10 ; y = 2xP

2P ; y = -3xP

2P ; y = 3xP

2 P; y= 2xP

3 P ; y = -2xP

3P

V.2.16 Logaritmos y antilogaritmos “John Napier, lord escocés quien no era matemático, inventó los logarítmos a fines

del siglo XVII. Fue él quien acuñó el término “logarítmo” de las palabras griegas

logos, relación y arithmos, número o potencia”TPF

6FPT

Logaritmos, ejemplos resueltos. Log 725 = 2.8603

Log 9732 = 3.9882

Log 1917 = 3.2826

Log 311 = 2.4928

Log .0005284 = 4.7229

Log .0809 = 2.9079

Log .47 = 1.6721

Log .00007241 = 5.8598

Logaritmos, ejemplos propuestos. Log 457 = , Log 786 = , Log 598 = , Log 79 , = , Log 97 = , Log 2345 = , Log 4538

= , Log 7541 = , Log 8062 = , Log 9659 = , Log .0567 = , Log .00345 = , Log

.0004572 = , Log .000007689 = , Log .00009671 = , Log .453 = , Log .6789 = , Log

.2134 = , Log .0067 =, Log .00056 =, Log .0000009879 = , Log .0003468 = , Log

.000000009999 =, Log .00000000006789, Log .9897 =

Antilogaritmos, ejemplos resueltos. Antilog 2.8126 = 649.5

Antilog 3.2192 = 1657

Antilog 4.198 = 14780

T6T ZILL, Dennis G. y DEWAR, Jaqueline M. (2008). Precálculo con avances de cálculo. Mc Graw Hill México. P 191.

47

Antilog 0.243 = 1.750

Antilog 1.318 = 20.80

Antilog 3.7168 = .005210

Antilogaritmos ejemplos propuestos. Antilog 2.4567 = , Antilog 3.5423 = , Antilog 4. 345 = , Antilog 5.8796 = , Antilog

3.789 = , Antilog 4.5634 =, Antilog 6. 7896 =, Antilog 5. 5432 = , Antilog 7. 5789 = ,

Antilog 2. 574 = , Antilog 3.789 = , Antilog 4.675 = , Antilog 5. 468 = , Antilog

7.679 = , Antilog 2.7658 = , Antilog 4.5674 = , Antilog 3.5432 = , Antilog 4.6054 =

, Antilog 6.6543 = , Antilog 7.5674 , Antilog 5.5675 = , Antilog 8.8999 =, Antilog

9. 9898 = , Antilog 6.980 = , Antilog 1.8976 = , Antilog 1. 6548 =

V.2.17 ÁNGULOS El tema de ángulos dentro del vasto campo de la geometría representa toda una

vertiente que parte desde la elemental identificación delas diferentes clases o tipos

de ángulos, hasta manifestaciones más complejas en el triángulo, en los polígonos

regulares (ángulos centrales e internos), en la circunferencia (ángulos central,

inscritos y semi-inscritos).

“Hay dos maneras de definir un ángulo; una de ellas es estática, que se

utiliza en geometría plana, donde un ángulo se define como el conjunto de

puntos determinados por dos rayos (o segmentos de rectas), lB1 y B lB2B, cuyo

origen es común O. (…) La otra forma de definir un ángulo , la dinámica es

usada en la trigonometría. En esta se interpreta a los ángulos como

rotaciones de rayos (o semirectas). Así para formar un ángulo Ө, se

comienza con un lado, llamado lado inicial, en posición fija; después un

segundo lado llamado lado terminal, parte de la misma posición del lado

inicial y gira en el plano alrededor del vértice O hasta que alcance su

posición final”TPF

7FPT

T7T PRADO, Pérez Carlos Daniel, et, al. Precalculo. Enfoque de resolución de problemas. Pearson educación. México, 2006. Pp. 293-294

48

ÁNGULOS CENTRALES

ÁNGULOS INSCRITOS

ÁNGULOS SEMI-INSCRITOS

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

En este caso los alumnos presentan dificultades en los ejercicios combinados

conformados por distintos ángulos trazados en una misma circunferencia. La

recomendación didáctica es trabajar de manera analítica, primero con ángulos

simples y sus ejercicios correspondientes; y posteriormente comenzar e

incrementar su combinación.

Cuando de entrada nos encontramos con circunferencias que demandan la

identificación de la medida de múltiples ángulos, la sugerencia es coincidente:

realizar la descomposición en sus partes, para poder ir resolviendo.

ÁNGULO CENTRAL.

Su vértice es el centro de la circunferencia y mide lo mismo que el arco que lo

delimita.

ÁNGULO INSCRITO.

Su vértice es uno de los puntos de la circunferencia y mide la mitad del arco que lo

delimita.

ÁNGULO SEMIINSCRITO

Su vértice es uno de los puntos de la circunferencia, uno de sus lados se

encuentra inscrito a la circunferencia y mide la mitad que el arco que lo delimita.

El debate sobre el aprendizaje de las matemáticas implica entonces entrar a un

terreno de corte o de carácter epistemológico y en el que no parece haber acuerdo

o consenso posible. Por un lado existen modalidades que privilegian el desarrollo

49

de la habilidad para la resolución de operaciones y ejercicios. Estas posiciones

ponen especial atención en los procedimientos, en los métodos, fomentando su

estudio y su práctica de manera rigurosa. Dando resultados cuando se trabaja

bien, en el terreno de la capacidad concreta de resolución de ejercicios.

Y si bien no garantizan (porque por su enfoque no es su objetivo) de manera

directa el desarrollo de la habilidad de pensar sobre el propio ejercicio y sobre los

procedimientos y métodos, tampoco se descarta que ello se dé por sí mismo, de

manera natural en estudiantes con facilidad para esta clase de conocimientos. Y

aún incluso para aquellos a quienes no les es tan fácil, también resulta una buena

práctica intelectual el entender y aplicar los métodos, sin descartarse tampoco

niveles de reflexión sobre los mismos.

Sin embargo el principal problema de este enfoque es que en muchas ocasiones

el estudiante no encuentra el sentido o la aplicación concreta de las operaciones

que resuelve. Situación que no puede ser menospreciada porque es un factor de

desinterés y falta de comprensión.

Por otro lado existen modalidades para el aprendizaje de la matemática que

privilegian el razonamiento por encima del procedimiento. Para estas posiciones

es más importante la habilidad de pensar que la de resolver. Enfoque que ha

cobrado cierto auge y que fundamenta la idea de privilegiar las habilidades

intelectuales por encima de los contenidos.

Enfoque que hay que dimensionar adecuadamente, porque por un lado se

propone de manera explícita propiciar el pensamiento; pero por el otro parece

olvidar o por lo menos relegar a un plano secundario el objeto de estudio sobre el

que adquiere sentido y posibilidad objetiva el desarrollo de dicho pensamiento.

Los libros de texto son una muestra de esta diversidad de enfoques, pues existen

materiales impresos que contienen una alta cantidad de ejercicios y operaciones.

50

Y otros textos carecen o son escasos en ejercicios y se orientan más al

razonamiento de las temáticas.

Algunos materiales logran la combinación de enfoques, es decir parten de la

explicación y el razonamiento, pero pasan al procedimiento y a la práctica de

resolución.

INECUACIONES Tema también tradicional en el álgebra son las inecuaciones que se definen como,

“una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades

desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para determinados valores de las

incógnitas)TPF

8FPT

Lógicamente resolver una inecuación es encontrar los valores de las incógnitas

que cumplen o satisfacen el planteamiento. Para resolver esta clase de ejercicios

es condición saber despejar y utilizar la lógica para la comprobación de la solución

de los mismos.

V.2.18 MATEMÁTICAS Y FÓRMULAS De especial interés es el adecuado manejo de la matemática para su aplicación en

otras disciplinas. Particularmente estrecha es la relación que traba con la física.

El conocimiento del manejo matemático de formulas o ecuaciones aplicables a la

física, constituye un tema relevante para la formación del estudiante, que si bien

es cierto que bajo algunos enfoques minimalistas predominantes en la educación

básica oficial, profundiza menos en esta clase de saberes, también irrefutable es la

implicación de los conocimientos de esta naturaleza en la condición científica

técnica individual y social.

T8T BALDOR, A. Algebra. Publicaciones Cultural, México 1993, p. 279

51

Además el propio desarrollo cognitivo intelectual del educando resulta más

desafiado y estimulado cuando se va más allá de la visión superficial y

marcadamente introductoria de algunas modalidades y niveles de la educación

básica del país.

Pedagógicamente nadie ha demostrado que la dosificación lenta del saber,

prevaleciente en la rigidez de no pocos temarios oficiales, sea superior a una

visión que potencie el ritmo y las capacidades del propio estudiante para su

incursión en saberes básicos de la ciencia.

El conocimiento de la matemática resulta fundamental para introducirse en la física

y sus cálculos básicos o elementales relativos a su objeto. Desde las iniciales

formulas del movimiento rectilíneo uniforme (MRU), que es el más sencillo de

todos los movimientos caracterizado entre otros aspectos, porque el móvil que lo

experimenta describe una trayectoria recta, recorre distancias iguales en tiempos

iguales y lleva una velocidad constante, por lo que no hay aceleración:

V= d/t

v t = d

t= d/v

Problemas resueltos MRU

Problema 1. Un jet tarda 3.5 horas en recorrer una distancia de 2800km.

Determina su velocidad.

Datos: t = 3.5 h

d = 2800 Km

v = x

Solución: v = UdU v = U2800U Km v = 800 Km/h

t 3.5 h

52

Problema 2. Un tren bala se desplaza a una velocidad de 350 Km/h. ¿Cuánto

tiempo tardará en recorrer 2100 Km?

Datos: v = 350 Km/h

d = 2100 Km

t = x

Solución: t = Ud U t = U2100U Km t = 6 h

v 350 Km/h

Problema 3. Un felino se desplaza a una velocidad de 20 m/s durante 14 s.

Calcular la distancia que recorre.

Datos: v = 20 m/s

t = 14 s

d = x

Solución: d = v t d = (20 m/s) (14 s) d = 280 m

Problemas propuestos MRU Problemas de velocidad.

Problema 1. Un avión tarda 8.5 h en recorrer 4250 Km. Calcular su velocidad.

Problema 2. Una bicicleta se desplaza 120 m en 10 s. Determinar su velocidad.

Problema 3. Un automóvil recorre 375 Km en 4.5 h. Encontrar su velocidad.

Problemas de tiempo.

Problema 4. Un tren se desplaza a una velocidad de 250 km/h ¿Qué tiempo

tardará en recorrer 875 Km?

Problema 5. Calcula el tiempo que tarda en recorrer 190 m un móvil que se

desplaza a una velocidad de 38 m/s.

53

Problema 6. Un misil recorre 4800 Km experimentando una velocidad de 1200

Km/h. Calcula el tiempo del recorrido.

Problemas de distancia.

Problema 7. Un helicóptero se desplaza con una velocidad de 129 Km/h durante

1.5 h. Determinar la distancia recorrida.

Problema 8. Un halcón vuela durante 89 s a una velocidad de 25 m/s. Calcular la

distancia que recorre.

Problema 9. Un globo aerostático experimenta una velocidad de 58 Km/h durante

5.75 h. Encontrar la distancia recorrida.

En un segundo momento encontramos las fórmulas del Movimiento Rectilíneo

Uniforme Acelerado (MRUA), que introduce el componente aceleración (entendida

como la variación de la velocidad en la unidad de tiempo) y que son ecuaciones

que también se aplican en la caída libre y el tiro vertical tan sólo con algunas

modificaciones en lo que a distancia y aceleración se refiere. En la caída libre

sustituimos la distancia por la altura y la aceleración corresponde únicamente al

valor de la gravedad (9.8 m/sP

2P)

vB2B = vB1B + gt

h = UvUBU2UBU + vUBU1 UB( t ) 2

vB2PB

2P = vB1PB

2P + 2gh

h = vB1Bt + ½ gtP

2

t = UvUBU2UBU – vUBU1

g

a = vB2B- vB1

tB2B-tB1

54

Problemas resueltos de MRUA y caída libre

Problema 1. Se suelta una piedra desde lo alto de un edificio y tarda en llegar al

suelo 3.5 s. Calcular la altura del edificio.

Datos: t = 3.5 s

g = 9.8 m/sP

2

vB1B = 0 m/s

h = x

Solución: h = vB1Bt + ½ gtP

2

h= (0 m/s) (3.5s) + (½) (9.8 m/sP

2P) (3.5s)P

2

h= 0 + (4.90m/sP

2P) (12.25sP

2P)

h= 60.025 m

Problema 2. Desde un avión que vuela a una altura de 200 m se suelta un objeto.

Calcular la velocidad con que el objeto llega al suelo.

Datos: g = 9.8 m/sP

2

vB1B = 0 m/s

h = 200 m

vB2 B= x

Solución: vB2PB

2P = vB1PB

2P + 2gh

vB2PB

2 P= (0)P

2P+ (2)(9.8 m/sP

2P)(200m)

vB2PB

2 P= 3920mP

2P/sP

2

Calculando raíz

vB2B= 62.6 m/s

55

Problema 3. Un objeto metálico es lanzado con una velocidad inicial de 50 m/s

desde un avión supersónico en vuelo, impactando con el suelo a una velocidad de

375 m/s ¿Cuánto tiempo tardó en caer el objeto?

Datos: g = 9.8 m/sP

2

vB1B = 50 m/s

vB2B = 375 m/s

t= x

Solución: t = UvUBU2UBU – vUBU1

g

t = U375 m/s – 50 m/s

9.8 m/sP

2

t = U325U m/s

9.8 m/sP

2

t = 33.16 s

Problemas propuestos de MRUA y caída libre Problemas de altura

Problema 1. Se suelta un martillo desde lo alto de un edificio y tarda en impactar

con el suelo 2.4 s. Calcular la altura de la caída.

Problema 2. Se deja caer una bomba desde un avión militar y tarda 8.5 s en

chocar con el suelo. Determinar la altura.

Problema 3. Desde un globo aerostático se suelta un saco de arena y tarda 4.5 s

en chocar con el suelo. Encontrar la altura desde la que cae el saco.

Problemas de velocidad final

Problema 4. Se lanza una cubeta a un pozo y tarda 3.4 s en chocar con el agua

¿Cuál es la velocidad con que la piedra impacta con el agua?

56

Problema 5. Se le cae una herramienta a un obrero que trabaja en lo alto de un

edificio, tardando 6.3 s en impactar en el suelo. Determina la velocidad con que

impacta.

Problema 6. Un águila en vuelo suelta una presa. Considerando que tarda 12.7 s

en alcanzar el suelo, calcular la velocidad con que choca.

Problema de tiempo

Problema 7. Un objeto se suelta desde lo alto de un acantilado llegando al suelo a

una velocidad de 189 m/s. Calcular el tiempo de la caída.

Problema 8. Un halcón se lanza en picada a una velocidad inicial de 15 m/s,

llegando al suelo con una velocidad de 45 m/s. Determinar el tiempo del descenso.

Problema 9. Un cohete desprende uno de sus módulos de propulsión, el cual

comienza a caer impactando con el suelo a una velocidad de 450 m/s. Encontrar

el tiempo que dura la caída del módulo de propulsión.

LEYES DE NEWTON

También de interés son las ecuaciones aplicables a la primera y segunda ley de

Newton:

a= F/m

F= ma

m= F/a

Aplicando las reglas de despeje respectivas, tenemos que la m (masa) que divide

de lado derecho del igual, pasa con su operación inversa la multiplicación al lado

izquierdo del igual. Es importante hacer notar para efectos de este despeje simple

y para los despejes en general que primero debemos escribir los términos o

elementos que ya se encuentran en el lado respectivo y después los términos o

elementos que estamos cambiando de lado.

57

Y para la tercera formula retomamos la segunda ecuación y trasladamos la a

(aceleración) del lado derecho hacia el lado izquierdo del igual con su operación

contraria: como está multiplicando pasa dividiendo a la F (fuerza) que como ya

precisamos debe escribirse primero.

Ahora, considerando cuerpos que caen la formula se escribe:

FBgB= mg

En dicha formulaFBgB es el peso y g es el valor de la aceleración de la gravedad,

que también usamos de manera regular en caída libre. De igual manera formulas

como la de cantidad de movimiento p=mv o la de impuso establece que la fuerza

por el tiempo (impulso) es igual a la masa por la velocidad final, menos la masa

por la velocidad inicial:

Ft = mvB2B-mvB1

EJEMPLOS DE LA 1RA Y 2DA LEY DE NEWTON

Las ecuaciones aplicables a trabajo energía y potencia representan también

ejemplos comúnmente utilizados por el estudiante de educación media y se

recomienda para los diferentes casos de fórmulas cerciorarse de la existencia de

un trabajo sólido previo o paralelo con las ecuaciones para una aplicación ágil y

precisa en la física y eventualmente en otros campos.

De un adecuado criterio y una correcta valoración docente depende que el

estudiante regrese y trabaje siempre que sea necesario contenidos matemáticos

paralelamente a su aplicación. Lo que no es recomendable es pretender trabajar

aplicaciones prescindiendo o sin cerciorarse del conocimiento básico subyacente a

las propias aplicaciones. Por ejemplo, desafiar al alumno a que despeje formulas

58

sin el conocimiento algebraico pertinente resultará por lo general poco efectivo y

puede generar una actitud adversa hacia el objeto.

Volviendo a nuestra fórmula establece que el trabajo (W) es igual a la fuerza (F)

multiplicada por la distancia (x):

W = Fx

W = Fh

FBgB = mg

W = mgh

La segunda fórmula se refiere a distancias y fuerzas verticales, por lo que la

distancia será la altura (h). Y la tercera y cuarta fórmula son útiles para problemas

que tienen como uno de sus datos a la masa (m).

V.2.19 ESTADÍSTICA En la educación secundaria también se dota al estudiante de ciertos elementos de

estadística, en particular se abordan las tradicionales medidas de tendencia

central, el cálculo de frecuencias absolutas y relativas, la elaboración de gráficas

para el manejo de datos y en ocasiones se trabaja con algunos problemas de

desviación.

En esta temática de la estadística elemental el punto que llega a dar alguna

dificultad es el relativo a la determinación de frecuencias.

DESVIACIÓN, DESVIACIÓN MEDIA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Como parte de los conocimientos estadísticos solicitados a los estudiantes en los

programas de educación media, se incluyen temáticas relacionadas con el manejo

de datos. Entre ellas, las típicas tablas de frecuencias absolutas y relativas y el

cálculo de medidas de desviación.

59

Conviene precisar la noción de desviación entendiéndola en términos generales

como la diferencia entre un conjunto de valores o datos y su media aritmética o

promedio. Es decir, la desviación de cada dato con respecto al valor promedio del

conjunto de datos.

Si partimos de una noción concreta y práctica como la planteada, será más

accesible la comprensión de la idea de desviación y permitirá abordar en mejores

condiciones temáticas como la desviación media, como la desviación estándar.

Si partimos de ejemplos y ejercicios básicos de desviación, se generan mejores

condiciones para la comprensión de estos elementales contenidos, por ejemplo, si

tenemos 10 datos correspondientes a medidas en centímetros: 167, 168, 170,

169, 173, 165, 160, 180, 175, 177, podemos calcular su promedio o media

aritmética con un mecanismo simple, que se trabaja desde la primaria, realizando

la sumatoria de todos los valores y dividiendo el resultado de la adición, entre el

número de valores.

x= U167+168+170+169+173+165+160+180+175+177

10

x= 170.4

La desviación del primer dato será de -3.4 con respecto al promedio, la del

segundo -2.4, del tercero -.4, la del cuarto -1.4, del quinto +2.6, del sexto -5.4, del

séptimo de -10.4, del octavo +9.6, del noveno +4.6 y del décimo +6.6

DESVIACIÓN MEDIA

Permite determinar el valor logrado promedio de desviación de los datos con

respecto a la media aritmética simple. Puede calcularse utilizando la fórmula:

DM= U∑│xUBUiUBU-x│(nUBUiUBU)

N

60

xBiBValor de cada dato o la marca de cada intervalo

x Media aritmética o promedio

nBiBFrecuencia absoluta de cada dato

N Número total de datos

Por ejemplo, si utilizamos los siguientes valores o datos, 6, 9, 8, 7, 9, 10, 5, 8, 9, 7

y deseamos determinar la desviación media de los mismos, lo podemos realizar

de la siguiente forma. Primero calculamos su media aritmética o promedio y

después utilizamos la fórmula de la desviación media sustituyendo para

posteriormente realizar operaciones:

x= U6+9(3)+8(2)+7(2)+10+5

10

x= U6+27+16+14+10+5

10

x= U78 U=7.8

10

DM= U∑│xUBUiUBU-x│(nUBUiUBU)

N

U│6-7.8│+│9-7.8│ (3)+ │8-7.8│ (2)+│7-7.8│ (2)+│106-7.8│+│5-7.8│

10

= U1.8+3.6+.4+1.6+2.2+2.8

10

= U12.4

10

DM= 1.24

61

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