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Departamento de Industrial y Manufactura Universidad Autonoma de Cd. Juarez APUNTES IMPRESOS: CONTROL I

Apuntes Impresos Control I (2011)

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Universidad Autonoma de Cd. Juarez

APUNTES IMPRESOS:

CONTROL I

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APUNTES IMPRESOS CONTROL I

M.I. Rossana Villegas A.

Cd. Juárez, Chih.

Diciembre 2010

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Departamento de Industrial y Manufactura

APUNTES IMPRESOS

Sistemas de Control Digital

Cd.Juárez, Chih.

Universidad Autónoma de Ciudad Juárez

2010

No. páginas: 27

Principios básicos de los sistemas de control continuo

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Tabla de contenido:

Introducción del documento

I.- Introducción a los sistemas de control……………………………………………… 7

1.1.Definiciones1.2.Control de Lazo Cerrado y Abierto1.3.Ejemplos ilustrativos de Sistemas de Control

II.- Modelación matemática de sistemas físicos…………………………..……………14

2.1. Funciones de transferencia2.2. Linealizacion de un modelo matematico no lineal2.3. Diagramas de bloques2.4. Obtencion de funciones de transferencia de sistemas fisicos2.5. Sistemas de multiples variables: matrices de transferencia2.6. Graficas de flujo de señales

III.- Acciones básicas de control…………………………………………………………17

3.1. Controles proporcionales3.2. Acciones de control derivativa e integral3.3. Sistemas de control de lazo cerrado

IV.- Analisis de respuesta transitoria…………………………………………………… 22

4.1. Funciones de respuesta al impulso4.2. Sistemas de primer orden4.3. Sistemas de segundo orden4.4. Sistemas de ordenes superiores4.5. Criterio de estabilidad de Ruth

V.- El método de lugar de raices……………………………………………………….. 35

5.1. Diagramas de lugar de raices5.2. Reglas generales para construir un diagrama de lugar de raices5.3. Analisis de sistemas de control usando el método del lugar de raíces

VI.- El método de respuesta a la frecuencia………………………………………….. 35

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5.1. Diagramas logaritmicos5.4. Diagramas de BODE5.5. Criterio de estabilidad de Nyquist5.6. Analisis de estabilidad5.7. Respuesta a la frecuencia de lazo cerrado

Bibliografía………………………………………………………………………………… 38

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INTRODUCCIÓN DEL DOCUMENTO:

En este apunte impreso se organiza alrededor de los conceptos de la teoría de los sistemas de control tal como han sido desarrollados en los dominios frecuencial y temporal. Se ha hecho un esfuerzo para hacer la selección de temas, asi como los sistemas presentados en los ejemplos y problemas, modernos en el mejor sentido.

El siguiente apunte impreso es el resultado de una revisión amplia de la bibliografía de los sistemas de control continuo. Donde se da una introducción a los conceptos básicos de control continuo y analógico en el primer capítulo, para pasar posteriormente a la representación de modelos matemáticos de sistemas físicos mediante bloques de cuerpo libre, detallándolo en el capitulo dos. En el capitulo tres se analiza las acciones básicas de control como lo son el control proporcional, derivativo e integral. El capitulo cuatro, se abarca el estudio del análisis de respuesta transitoria, las distintos métodos de solución de respuestas forzadas en tiempo continuo de primer y segundo orden. En el capitulo cinco, se detalla la solución de estabilidad por medio de métodos para tiempo continuo: lugar de las raíces. Por último, el capitulo seis se abarca la solución de frecuencia: Diagramas de Bode y Nyquist.

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El siguiente capítulo abarca la definición de conceptos básicos de los Sistemas de Control continuo y el proceso general para diseñar un sistema de control.

CAPITULO I:

“INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL”

1.1. Definiciones

El ingeniero de sistemas de control esta interesado en el conocimiento y control de una parte de su medio, frecuentemente denominado sistema.

La ingeniería de control se basa en los fundamentos de la teoría de la realimentación y el análisis de sistemas lineales, e integra los conceptos de las teorías de redes y de comunicación.

Un sistema de control es una interconexión de componentes que forman una configuración del sistema que proporcionara una respuesta deseada. La base para el análisis de un sistema es el fundamento proporcionado por la teoría de los sistemas lineales, que supone una relación entre causa y efecto para sus componentes. Por tanto, un componente o proceso que vaya a ser controlado puede representarse mediante un bloque tal como se muestra en la siguiente figura.

Figura No.1.- Proceso a controlar

1.2. Control de Lazo Cerrado y Lazo Abierto

La relación entrada-salida representa la relación entre causa y efecto del proceso, que a su vez representa un procesamiento de la señal de entrada para proporcionar una señal de salida, frecuentemente con una amplificación de potencia. Un sistema de control en lazo abierto utiliza un regulador o actuador de control para obtener la respuesta deseada, tal como se muestra en la siguiente figura. Un sistema de lazo abierto es un sistema sin realimentación1

1 Dinamica de Sistemas de Control, Eronini-Umez-Eronini, The Fairmont

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Figura No. 2.- Sistema de control en lazo abierto (sin realimentación).En contraste con un sistema de control de lazo abierto, un sistema de control en

lazo cerrado utiliza una medida adicional de la salida real, para compararla con la respuesta de la salida deseada. La medida de la salida se denomina señal de realimentación. En la figura 3, se muestra un sencillo sistema de control con realimentación en lazo cerrado. Un sistema de control con realimentación es aquel que tiende a mantener una relación prescrita de una variable del sistema con otra, comparando funciones de estas variables y usando la diferencia como un medio de control.

Figura No. 3.- Sistema de control en lazo cerrado (con realimentación).

Debida a la complejidad creciente del sistema bajo control y al interés en obtener comportamiento optimo, en la pasada década ha crecido la importancia de la ingeniería de sistemas de control. Ademas, conforme los sistemas se hacen mas complejos, deben considerarse en el esquema de control las interrelaciones de muchas variables controladas. En la figura 4 se muestra un diagrama de bloques que representa a un sistema de control multivariable.

Figura No. 4.- Sistema de control multivariables

1.3. Ejemplos ilustrativos de sistemas de control

El control por realimentación es un hecho fundamental de la industria y la sociedad modernas. Conducir un automóvil es una tarea agradable cuando el coche responde rápidamente a las ordenes del conductor. Muchos automóviles tienen dirección y frenos asistidos con amplificadores hidráulicos para aumentar la fuerza de

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los frenos o del volante de la diresccion. En la figura 5, se muestra un sencillo diagrama de bloques del sistema de control de la dirección de un automóvil.

Figura No. 5.- Sistema de control de la dirección de un automóvil

En la figura 6, se muestra un sistema de control de tres ejes para inspeccionar obleas individuales de semiconductores. El sistema emplea un motor especifico para mover cada eje a la posición deseada en los ejes x, y, z respectivamente. Este sistema de control es realmente importante para la industria de fabricación de semiconductores.

Figura No. 6.- Sistema de control de tres ejes para inspeccionar de forma individual obleas de semiconductor con una cámara de alta sensibilidad

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El siguiente capítulo se detalla los modelos matematicos cuantitativos de sistemas físicos para diseñar y analizar sistemas de control.

CAPITULO II:

“Modelación matemática de sistemas físicos”

2.1. Funciones de transferencia

Para comprender y controlar sistemas complejos, hay que obtener modelos matematicos cuantitativos de ellos. Por tanto, es necesario analizar las relaciones entre las variables del sistema y obtener un modelo matematico.

Las ecuaciones diferenciales que describen el funcionamiento dinamicos de un sistema físico se obtienen utilizando las leyes físicas del proceso. Este método se aplica igualmente a sistemas mecanicos, eléctricos, de fluidos y termodinámicos. Sea el sistema torsional resorte-masa de la figura 7, con un par aplicado Ta(t). Se supone que el resorte no tiene masa.

Figura No. 7.- Sistema torsional masa-resorte y su representación en cuerpo libre.

En la siguiente tabla se proporciona un resumen de las ecuaciones descriptivas para elementos dinámicos lineales concentrados. Estas ecuaciones son descripciones idealizadas y solo se aproximan a las condiciones reales (por ejemplo, cuando se usa una aproximación lineal concentrada para un elemento distribuido.

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Tabla No.1.- Resumen de ecuaciones que describen a elementos ideales.

El propio modelo físico es de alguna forma la representación (bosquejos detallados, esquemas de símbolos, diagramas de bloques, flujogramas, diagramas de circuitos), de estos componentes del comportamiento, interconectados en un arreglo en el que las características generales simulan el comportamiento del sistema.

2.2. Linealización de un modelo matemático no lineal

Una gran mayoría de los sistemas físicos son lineales dentro de algún rango de las variables. Sin embargo, todos los sistemas acaban siendo no lineales si sus variables aumentan sin ningún límite. Por ejemplo, el sistema resorte-masa-amortiguador de la figura 8, es lineal y esta descrito por la siguiente ecuación, siempre y cuando la masa esté sujeta a pequeñas deflexiones y(t).

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Sin embargo, si y(t) se aumentara continuamente, el resorte se estiraría mas alla de sus limites y finalmente se rompería. Por tanto, para cada sistema debe considerarse el problema de la linealidad y rango de aplicación.

2.3. Diagramas de bloques

La palabra sistema se utiliza en forma muy general no solo en ingeniería, sino también en otras disciplinas, por ejemplo, en química, matemáticas y políticas. Por lo general, se presupone que se comprende el significado de la palabra. Sin embargo, es posible definir un sistema como algo hecho a partir de componentes de modo que es posible predecir el comportamiento de la combinación global si (a) se puede predecir el comportamiento de cada uno de los componentes, y (b) se conoce la iteración entre ellos.

Un diagrama de bloque es una secuencia de causa-efecto. La importancia de esta relación causa-efecto se hace evidente por el interés en representar las relaciones de las variables del sistema por medio de diagramas. La representación por diagramas de bloques para las relaciones de los sistemas predomina en la ingeniería de control. Los diagramas de bloques consisten en bloques operacionales y unidireccionales que representan la función de transferencia de las variables de interés. En la figura 9, se muestra un diagrama de bloques de un motor de cc y carga controlado por campo. La relación entre el desplazamiento Ɵs y el voltaje de entrada V f (s) se muestra con claridad mediante el diagrama de bloques.

Figura No. 9.- Diagrama de bloques de un motor de cc.

2.4. Obtención de funciones de transferencia de sistemas fisicos

La función de transferencia de un sistema se define como la relación entre la transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales se hacen iguales a cero. La función de transferencia de un sistema (o elemento) representa la relación que describe la dinámica del sistema considerado.

Una función de transferencia puede definirse solamente para un sistema lineal y estacionario (de parámetro constante). Un sistema no estacionario, denominado a

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veces sistema variable con el tiempo, tiene uno o más parámetros que varian en dicha forma y no puede utilizarse la transformación de Laplace.

El amplificador operacional pertenece a una clase importante de circuitos integrados analógicos que se suelen utilizar como bloques de construcción en la implementación de sistemas de control y en muchas otras aplicaciones importantes.

El amplificador operacional es un dispositivo lineal de propósito general el cual tiene la capacidad de manejo de señal desde f=0 Hz hasta una frecuencia definida por el fabricante, tiene además limites de señal que van desde el orden de los nV, hasta unas docenas de voltio (especificación también definida por el fabricante). Los amplificadores operacionales se caracterizan por su entrada diferencial y una ganancia muy alta, generalmente mayor que 105 equivalentes a 100dB.

El amplificador operacional es un amplificador de alta ganancia directamente acoplado, que en general se alimenta con fuentes positivas y negativas, lo cual permite que tenga excursiones tanto por arriba como por debajo de tierra (o el punto de referencia que se considere).El AO se comporta de forma lineal si:– Hay camino de circulación de corriente entre la salida y la entrada negativa.– La tensión de salida no supera los limites de la tensión de alimentación.

Es posible realizar funciones matemáticas, de ahí su nombre: Amplificador Operacional.– Sumador– Restador– Integrador– Diferenciador– Amplificadores de instrumentación– Adaptadores de niveles

• Sumador

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••

• Restador

Sumador inversor-

+Vo

V1R´R1

Rn

R2Vn

V2

iVd

in

n

2

2

1

1

R

V

R

V

R

Vi Al ser Vd=0

Como Vo=-R´·i

n

n2

21

1o V

R

´RV

R

´RV

R

´RV

Si R1=R2=…=Rn

Vo es la combinación lineal de las tensiones de entrada.

n211

o VVVR

´RV

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•Integrador

Amplificador de Instrumentación

1

21

1

2

43

42o R

RV

R

R1

RR

RVV

Aplicando superposición:

121

2o VV

R

RV

La tensión de salida es

proporcional a la

diferencia de las tensiones

de entrada

-+

Vo

V1

R3V2

R4

R1 R2

V+ Si hacemos R1=R3 y R2=R4

-+

Vo

Vi CRi iVd

VcR

)t(V)t(i i

t

0

ci

c

t

0

cc

)0(VdtR

)t(V

C

1)t(V

)0(Vdt)t(iC

1)t(V

Dado que Vd=0

La tensión Vc

es:

Como Vo(t)=-Vc(t) entonces

t

0

cio )0(Vdt)t(VCR

1)t(V

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Derivador

12d1

212o VV´A

R

´R21

R

RVVV

V1V2

Ra

Ra Ra

Ra+DRa

V

Impedancia de entrada alta

La ganancia depende de una resistencia (R)

-+ Vi

V1

R1V2

R2

R1 R2

V+

-+

-+

R´R´R

dt

)t(dVC)t(i i

R)t(i)t(VR

dt

)t(dVRC)t(V i

o

Dado que Vd=0

La tensión VR

es:

Como Vo(t) es:

-+

Vo

ViC Ri iVd

Vc VR

)t(V)t(V Ro

entonces:

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Convertidor Tensión-Corriente

2.5. Sistemas de multiples variables: matrices de transferencia

Para representar un sistema con algunas variables bajo control, se utiliza una interconexión de bloques. Por ejemplo, el sistema que se muestra en la figura 10, tiene dos variables de entrada y dos variables de salida. Usando las relaciones de las funciones de transferencia, se pueden escribir las ecuaciones simultaneas para las variables de salida como:

Y 1(s) = G11(s)R1(s) + G12(s)R2(s),YY 2(s) = G21(s)R1(s) + G22(s)R2(s),Donde Gij(s) es la function de transferencia que relaciona la i-esima variable de

la salida con la j-esima variable de entrada.

Figura No. 10.- Representacion general en bloques de un sistema de dos entradas, dos salidas.

En la figura 11, se muestra el diagrama de bloques que representa este conjunto de ecuaciones. En general, para J entradas e I salidas, se escribe la ecuación simultanea en forma matricial como

O simplemente,

Aquí las matrices Y y R son matrices columna que contienen las I variables de salida y las J variables de entrada, respectivamente, y G es una matriz I x J de función de transferencia. La representación matricial de la interrelacion entre muchas variables es particularmente valiosa para sistemas de control multivariables complejas.

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Figura No. 11.- Diagrama de bloques de un sistema interconectado.

La representación en diagramas de bloques de un sistema dado, a menudo puede reducirse a un diagrama de bloques simplificado con menos bloques que el original. Como las funciones de transferencia representan sistemas lineales, la multiplicación es conmutativa, como se muestra en la tabla 2.

Tabla No. 2.- Transformaciones de bloques.

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2.6. Gráficos de flujo de señales

Los diagramas de bloques son adecuados para la representación de las interrelaciones entre las variables controladas y las variables de entrada. Sin embargo, para un sistema con interrelaciones razonablemente complejas el proceso de reducción en el diagrama de bloques es engorroso y con frecuencia difícil de completar. Mason a desarrollado un método alternativo para determinar la relación entre variables del sistema que se basa en la representación del sistema por segmentos de recta. La ventaja del método de las trayectorias, conocido como método del grafo de flujo de señal, es la disponibilidad de una formula de ganancia del grafo de flujo, que proporciona la relación entre las variables del sistema sin requerir ningún procedimiento de reducción o manipulación del grafo de flujo.

En la figura 12, se muestra un grafo de flujo de señal de dos trayectorias y el correspondiente diagrama de bloques se muestra en la figura 13.

Figura No. 12.- Grafo de flujo de señal.

Figura No.13.- Diagrama de bloques.

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En el siguiente capítulo se detalla el controlador básico PID .

CAPITULO III:

“Acciones básicas de control”

3.1. Controles proporcionales

P: acción de control proporcional, da una salida del controlador que es proporcional al error, es decir: u(t) = KP.e(t),que descrita desde su función transferencia queda:

Cp(s) = Kp

donde Kp es una ganancia proporcional ajustable. Un controlador proporcional puede controlar cualquier planta estable, pero posee desempeño limitado y error en régimen permanente (off-set).

3.2. Acciones de control derivativa e integral

PD: acción de control proporcional-derivativa, se define mediante:

donde Td es una constante de denominada tiempo derivativo. Esta acción tiene carácter de previsión, lo que hace más rápida la acción de control, aunque tiene la desventaja importante que amplifica las señales de ruido y puede provocar saturación en el actuador.

La acción de control derivativa nunca se utiliza por sí sola, debido a que sólo es eficaz durante períodos transitorios. La función transferencia de un controlador PD resulta:

CPD(s) = Kp + sKpTd

Cuando una acción de control derivativa se agrega a un controlador proporcional, permite obtener un controlador de alta sensibilidad, es decir que responde a la velocidad del cambio del error y produce una corrección significativa antes de que la magnitud del error se vuelva demasiado grande. Aunque el control derivativo no afecta en forma directa al error de estado estacionario, añade amortiguamiento al sistema y, por tanto, permite un valor más grande que la ganancia K, lo cual provoca una mejora en la precisión en estado estable.

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3.3. Sistemas de control de lazo cerrado

Los sistemas de control realimentado se denominan también sistemas de lazo cerrado. En la practica, los términos de control realimentado y control en lazo cerrado. En un sistema de control en lazo cerrado, se alimenta al controlador la señal de error de actuación, que es la diferencia entre la señal de entrada y la salida de realimentación (que puede ser la señal de salida misma o una función de la señal de salida y sus derivadas o/y integrales) a fin de reducir el error y llevar la salida del sistema a un valor conveniente. El termino control en lazo cerrado siempre implica el uso de una acción de control realimentado para reducir el error del sistema.

La figura 14, muestra un sistema de control de lazo cerrado.

Figura No.14.- Sistema de control de lazo cerrado y sus componentes.

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En el siguiente capítulo se detalla el análisis de los diferentes sistemas de control tanto de primer orden como los de segundo orden con respecto a una respuesta forzada.

CAPITULO IV:

“Análisis de respuesta transitoria”

4.1. Funciones de respuesta al impulso

El lenguaje de programación de los PLC’s varia de una marca a otra, pero los principios básicos son los mismos, ya que se emplea el mismo estándar de ejecución, el cual consta de dispositivos lógicos como lo son: Timers, contadores, compuertas lógicas, suma, resta, etc.

4.2. Sistemas de primer orden

Si a un sistema de primer orden se aplica una entrada escalón de magnitud He, considerando el caso de un sistema hidráulico la respuesta en función del tiempo (respuesta transitorial), en términos de parámetros ya definidos, es

La cual gráficamente queda representada por la figura 15.

Figura No.15.- Respuesta a una entrada escalon.

En esta figura se aprecia que h(t), a medida que t - > , tiende asintóticamente a kHe, valor que corresponde al de la respuesta en estado estacionario, es decir, corresponde a

De lo expuesto hasta aquí, en este punto, se desprende que

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Es decir, la ganancia queda definida, para el caso considerado, como la razón entre la magnitud de la respuesta en estado estacionario y la magnitud de la entrada escalón. Por su parte, la constante de tiempo queda definida como el tiempo que la respuesta emplea para ir de 0 al 63% de su valor en estado estacionario.

4.3. Sistemas de segundo orden

Al aplicar una función senoidal a un circuito simple, el resultado o respuesta del circuito estará compuesto de dos partes, una respuesta natural que depende de la clase de circuito únicamente, y una respuesta forzada que será una composición de las funciones derivadas de la función de excitación; el estado senoidal permanente se refiere entonces al estado en el que el circuito a alcanzado la respuesta forzada.

Para el circuito de la figura 16, se tiene que para

y Dado que el circuito tiene que cumplir con la ecuación diferencial:

Figura No.16.- Circuito RL

La respuesta forzada debe tener la forma:

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Reemplazando en esta ecuación y agrupando los términos semejantes se tiene:

4.4. Sistemas de orden superior

4.5. Criterio de estabilidad de Ruth

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En este ultimo capitulo se abarca la solución de sistemas de control por medio del lugar de las raíces para diseño de sistemas estables.

CAPITULO V:

“El método de lugar de raices”

5.1. Diagramas de lugar de raices

En este método se representan las raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro del sistema. La idea básica detrás del método de lugar de las raíces es que los valores de s que hacen de la función de transferencia alrededor del lazo sea igual a -1 deben de satisfacer la ecuación característica del sistema. Es la representación grafica de los polos en lazo cerrado cuando varia un parámetro de un sistema. También se define como un método de análisis y diseño para la estabilidad y respuesta transitoria. Nace por la necesidad de solucionar sistemas de control retroalimentados de orden superior a dos, desde el punto de vista cualitativo, cuando la solución matemática es muy compleja. Este método es una técnica grafica que nos da la descripción cualitativa del sistema cuando se cambian varios parámetros, y herramienta cuantitativa, que proporciona más información que otros métodos. Además el LGR proporciona gráficamente márgenes de estabilidad e inestabilidad y la relación entre ambas.   El lugar geométrico de las raíces muestra los cambios en la respuesta transitoria cuando la ganancia K, varia.

El método del lugar de raíces permite determinar la posición de los polos de la función de transferencia a lazo cerrado para un determinado valor de ganancia K a partir de la función de transferencia a lazo abierto.

El lugar de raíces es una herramienta útil para analizar sistemas dinámicos lineales tipo SISO (single input single output) y su estabilidad (BIBO stability). (Recuérdese que un sistema es estable si todos sus polos se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s (en el caso de sistemas continuos) o dentro del círculo unitario del plano z (para sistemas discretos).)

De la figura 17, se deduce G(s)H(s) la función de transferencia del sistema a lazo abierto.

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Figura No. 17.- Grafica de lugar de las raíces

Pertenecen al lugar de raíces todos los puntos del plano complejo que satisfacen la ecuación característica

1 + kG(s)H(s) = 0

Para el caso en que , no se trata entonces del lugar de raíces verdadero, sino, del lugar de raíces complementario. Una solución de la ecuación para un valor de k dado se llama lugar de la raíz.

5.2. Reglas de lugar de raices

Las reglas que se detallan a continuación permiten graficar el lugar de raíces sin resolver la ecuación caracterísitica, permitiendo que el método sea aplicable a sistemas complejos. Se basan en el desarrollo de R. Evans, publicado en 1948, y por consiguiente se las conoce como Reglas de Evans.

Las siguientes reglas permiten graficar el lugar de raíces para valores de k positivos. Para valores negativos de k se utiliza un conjunto de reglas similar.

En lo que sigue, nos referimos a la función de transferencia a lazo abierto.

1. Número de ramas. El número de ramas del lugar de raíces es igual al orden de la ecuación característica de la función de transferencia a lazo cerrado. Para

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sistemas racionales, esto equivale al orden de la ecuación característica de la función de transferencia a lazo abierto, es decir, el denominador de la función de transferencia a lazo abierto.

2. Simetría. Dado que la ecuación característica es de coeficientes reales, las raíces complejas deben ser complejas conjugadas. Por tanto, el lugar de raíces es simétrico respecto al eje real.

3. Polos de lazo abierto. Los polos de la función de transferencia a lazo abierto pertenecen al lugar de raíces y corresponden a k = 0.

4. Ceros de lazo abierto. Los ceros de la función de transferencia a lazo abierto pertenecen al lugar de raíces y corresponden a . Si hay t polos más que ceros, entonces t posiciones se harán infinitas a medida que k se aproxime a infinito.

Asíntotas. Si la función de transferencia de lazo cerrado tiene t polos más que ceros, entonces el lugar de raíces tiene t asíntotas equiespaciadas, formando

entre ellas un ángulo de , donde . El lugar de raíces se aproxima a estas asíntotas a medida que K tiende a infinito.

5. Centroide de las asíntotas. El punto del eje real donde las asíntotas se intersecan se suele llamar el centroide de las asíntotas, se denota mediante σ0, y se calcula mediante

6. , donde t = n − m, siendo n la cantidad de polos y m la cantidad de ceros.

7. Lugar de raíces sobre el eje real. Si la función de transferencia a lazo abierto tiene más de un polo o cero reales, entonces el segmento del eje real que tiene un número impar de polos y ceros reales a su derecha forma parte del lugar de raíces.

8. Puntos de entrada-salida. Los puntos de entrada-salida, o puntos singulares, indican la presencia de raíces múltiples de la ecuación característica, y se dan

en los valores de s para los cuales se verifica . 9. Intersección con el eje imaginario. Las intersecciones con el eje imaginario se

encuentran calculando los valores de k que surgen de resolver la ecuación característica para s = jω.

10.Pendiente del lugar de raíces en polos y ceros complejos. La pendiente del lugar de raíces en polos y ceros complejos de la función de transferencia a lazo abierto se puede encontrar en un punto de la vecindad del polo o cero mediante

la relación . 11.Cálculo de k en un punto del lugar de raíces. El valor absoluto de k que

corresponde a un punto dado del lugar de raíces puede determinarse midiendo

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el módulo de cada segmento que une cada polo y cero de la función de transferencia a lazo abierto y el punto en Cuestión.

5.3. Analisis de sistemas de control usando el método de lugar de raices

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En este ultimo capitulo se abarca la solución de sistemas de control continuo a una respuesta a la frecuencia y su representación por medio de diagramas de Bode y Nyquist.

CAPITULO VI:

“El método de respuesta a la frecuencia”

6.1. Diagramas logarítmicas

6.2. Diagramas de BODE

6.3 Criterio de estabilidad de Nyquist

6.4 Analisis de estabilidad

6.5 Respuesta a la frecuencia de lazo cerrado.

BIBLIOGRAFIA.

Sistemas de control moderno, Dorf and Bishop, editorial Prentice Hall Mechatronics: a Machine Tool, S. Karunakaran, editorial McGraw-Hill. Sistemas de control automatic, Benjamin Kuo, editorial Prentice Hall Dinamica de Sistemas, Katsuhiko Ogata, editorial Prentice Hall