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El Método de Elemento Finitos - Aplicación a la
Mecánica Escalar
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El Método de Elemento Finitos Aplicación a la Mecánica Escalar
elementos
unidimensionales
En este capítulo se cubren aspectos introductorios para el desarrollo y uso
del Método de los Métodos Finitos (MEF), como el planteamiento de la
forma general del Método de los Residuos Ponderados (MRP) y su forma
débil con el uso del Método de Galerkin. Se da el planteamiento general
para hallar las soluciones aproximadas a problemas de Mecánica Escalar
como son los problemas de Poisson aplicados a la transferencia de calor y
al Principio de Trabajos Virtuales. Se introducen los conceptos de
Formulación Paramétrica e Integración Numérica, ambos muy
importantes para la implementación del MEF y que se ampliarán más
adelante en elementos finitos bi y tridimensionales.
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Mediante ecuaciones diferenciales se puede generalizar el comportamiento de un sistema
continuo, y por tanto dicho comportamiento se logra obteniendo la solución analítica de dichas
ecuaciones. Para obtener la solución de la ecuación diferencial se pueden usar los métodos directos de
integración, que nos dará la solución exacta al problema. Otra alternativa es la de abordar dicha ecuación
por métodos aproximados. Los métodos aproximados se dividen en un primer grupo que toma en cuenta
la ecuación diferencial original (el método de las diferencias finitas), y el segundo grupo que toma la
formulación integral equivalente. En el segundo grupo se consideran al Método de los Elementos Finitos,
cuya integral equivalente puede ser una formulación variacional o una formulación residual.
A continuación mencionaremos los tres métodos que se pueden usar para obtener la solución
numérica de las ecuaciones diferenciales.
Método de las Diferencias Finitas.
En este método se aproximan las derivadas que gobiernan la ecuación diferencial usando
ecuaciones diferenciales. Este método es usado en problemas de campo como la transferencia de
calor y la mecánica de fluidos. Con este método se trabaja muy bien en regiones de dos
dimensiones y con bordes paralelos a los ejes de coordenadas, lo que es una desventaja cuando
se quiere aplicar este método en regiones curvas o de bordes irregulares, en los que su
implementación en programas de cómputo se vuelve muy complicada.
Método Variacional.
La solución aproximada de una ecuación diferencial se puede obtener, sustituyendo diferentes
funciones de prueba en un funcional apropiado. La función de prueba que nos dé un mínimo
valor del funcional, será la solución aproximada [Seg]. Consideremos la siguiente integral:
∫ 0
(
*
1
El valor de puede calcularse mediante una función y=f(x). Por cálculo variacional, la ecuación
particular y=g(x) que cumpla con las condiciones de borde y entregue el menor valor de , será
la solución para la ecuación diferencial siguiente:
Método de Residuos Ponderados.
En este método se elige una función aproximada y=h(x) y se evalúa en la ecuación diferencial
(1.1). El resultado generará un cierto error (no será igual a cero), lo que indica que la función
y=h(x) no satisface la ecuación diferencial.
En el Método de los Residuos Ponderados, al residuo R(x) se le multiplica por una función de
peso y se procede a integrar el producto, el requerimiento es que la integral sea igual a cero. Se
tendrán tantas funciones de peso como coeficientes desconocidos hayan.
∫
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Para la elección de las funciones de peso se tienen varios métodos, entre los cuales los más
populares son: el método de colocación puntual, el método de colocación por subdominios, el
método de Galerkin y el método de mínimos cuadrados.
Se desarrollará el ejemplo de una viga simple sometida a momentos en sus extremos, para
plantear los métodos descritos anteriormente. Más adelante se trabajarán sólo con los métodos de
formulación residual, cuando se desarrolle el método de residuos ponderados en su forma general y en su
forma débil.
Figura 1.1: Viga sujeta a momentos [Seg].
Las condiciones de borde serán: y(0) = y(L) = 0.
Si se traza el diagrama de momentos se podría notar que toda la viga está sujeta a un valor de Mo
(valor constante para el momento). La ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de la viga es:
EI representa la resistencia de la viga a la flexión, M(x) en este ejemplo tiene un valor constante
igual a Mo. Una solución aproximada para evaluar la deflexión en la viga es:
La ecuación (1.3) se considera como una ecuación apropiada, ya que cumple con las condiciones
de borde y(0) = y(H) = 0 y además la curva es similar a la curva de deformación de la viga. La solución
analítica o exacta de la ecuación (1.2) es como sigue:
Solución por el Método Variacional
La integración para la ecuación diferencial (1.2), mediante el método variacional es la siguiente:
∫ 0
(
*
1
De la ecuación particular (1.3), el valor de A que nos da la mejor aproximación a la curva de
deflexión es el valor que hace un mínimo. deberá ser escrito en función de A y luego ser minimizado
con respecto a A. De la ecuación (1.3) se tendrá:
Reemplazando los valores de (1.3) y (1.4) en el valor de , tendremos:
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
∫ 0
(
*
1
.
/ (
*
Minimizando :
.
/ (
*
Luego el valor de A, será igual a:
.
/
La solución aproximada de la curva de deflexión será entonces:
.
/
⏟
Solución por el Método de Colocación Puntual
En este método se requiere que la ecuación residual sea cero en tantos puntos como incógnitas se
tengan. Como función aproximada se tomará la ecuación (1.3) y sustituyéndola en la ecuación (1.2), nos
dará la ecuación residual:
Como se tiene un solo coeficiente incógnita, igualaremos la ecuación residual a cero en sólo un
punto. Evaluaremos para el punto = L/2.
(
*
.
/
La solución aproximada de la curva de deflexión será entonces:
.
/
⏟
De elegir un punto distinto a L/2 la solución aproximada puede variar.
Solución por el Método de Colocación por Subdominios
En este método lo que se requiere es que la integral ∫ sea igual a cero en tantos
intervalos como incógnitas se tengan. Se puede elegir cualquier longitud como tamaño del intervalo. Para
nuestro ejemplo, se elegirá un solo intervalo o subdominio ya que sólo se tiene una incógnita a ser
calculada, por tanto el intervalo elegido será toda la viga (0<x<L).
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
∫
∫ 0
1
Resolviendo la integral se tendrá:
(
*
.
/
La solución aproximada de la curva de deflexión será entonces:
.
/
⏟
Solución por el Método de Galerkin
En este método la integral ∫ , es evaluada usando como función de peso , la
misma función aproximada. En este ejemplo se tendrá una sola función de peso debido a que se tiene una
sola incógnita.
∫
∫
0
1
Resolviendo la integral se tendrá:
.
/
.
/
La solución aproximada de la curva de deflexión será entonces:
.
/
⏟
Solución por el Método de Mínimos Cuadrados
El error en este método será: Er = ∫ [ ] :
∫ 0
1
Resolviendo la integral se tendrá:
.
/
Minimizando Er:
.
/
Luego el valor de A, será igual a:
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
.
/
La solución aproximada de la curva de deflexión será entonces:
.
/
⏟
De los métodos usados el método variacional, el método de Galerkin y el método de mínimos
cuadrados nos han entregado resultados iguales; se tendría que elaborar una comparación de los métodos
con la solución analítica para verificar la exactitud de cada uno. La elección de la función aproximada, así
como los puntos de colocación o elección de subdominio hacen que los métodos puedan ser más o menos
precisos.
En lo que sigue del texto se trabajará sólo con los métodos residuales, y entre los métodos
residuales se dará preferencia al método de Galerkin.
En la figura 1.2 se tiene una barra sometida a una fuerza horizontal H en su extremo libre, y a
cargas axiales distribuidas b(x), no se considerarán las fuerzas de cuerpo como es el peso propio.
Según se indica en la Figura 1.2, se tomará un elemento diferencial de la barra horizontal. En
dicho elemento diferencial se aplicará el equilibrio por sumatoria de fuerzas, por lo que se tendrá:
∑
La relación esfuerzo-deformación se expresa por la ley de Hooke:
Figura 1.2: Barra cargada axialmente [OZ]
Si el área transversal de la sección es “A”, el esfuerzo axial “N” será:
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Reemplazando N en la ecuación (1.5):
(
*
La ecuación (1.6) es la ecuación de equilibrio de fuerzas en la barra. Las condiciones de
contorno serán:
Desplazamiento para u=0 en x=0 (Condiciones de Dirichlet)
2
(Condiciones de Neumann)
Al desplazamiento se le conoce como primera variable, y está especificado en las condiciones de
contorno de Dirichlet o contorno esencial. A
, se le conoce como la segunda variable y está prescrita
en las condiciones de contorno de Neumann o contorno natural.
La ecuación de Poisson se puede aplicar a muchos campos como a la electroestática, flujo en
medios porosos, transferencia de calor, flujo en tuberías, flujo de fluidos viscosos, torsión de barras, etc.
La ecuación general de Poisson tiene la siguiente forma general [Red]:
(
*
En la tabla a continuación se enumeran algunos de los campos de estudio donde se puede aplicar
la ecuación de Poisson.
Como se ha visto anteriormente, en el Método de los Residuos Ponderados se transforma la
ecuación diferencial en una expresión integral equivalente. Se tiene una ecuación diferencial A(ϕ) en el
dominio Ω (0 ≤ x≤ L, para la barra de la figura 1.2, donde se satisface dicha ecuación:
(
*
Campo de EstudioVariable
Primaria (u)a c b
Variable
Secundaria
Transferencia de Calor Temperatura (T)Comductividad
(k)
Superficie de
Convección (pβ)
Fuente de Calor
(Q)Calor (q)
Flujo a través de Medios
Porosos
Altura
Piezométrica (ϕ)Permeabilidad 0 Infiltración Flujo (q)
Flujo a través de Tuberías Presión (P)Resistencia de la
Tubería (1/R)0 0 Flujo (q)
Flujo de Fluidos Viscosos Velocidad (vs) Viscosidad (µ) 0Gradiente de
Presión (-dP/dx)
Esfuerzo de
Corte (σxz)
Cables ElásticosDesplazamiento
(u)Tensión (T) 0
Fuerza
Transversal (f)
Fuerza Puntual
(P)
Barras ElásticasDesplazamiento
(u)
Rigidez Axial
(EA)0 Fuerza Axial (f)
Fuerza Puntual
(P)
Torsión de BarrasÁngulo de Giro
(θ)
Rigidez al Corte
(GJ)0 0 Torque (T)
ElectroestáticaPotencial
Eléctrico (ϕ)
Constante
Dieléctrica (ε)0
Densidad de
Cambio (ρ)
Flujo Eléctrico
( E)
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Las condiciones de contorno serán expresadas por las ecuaciones:
8
Donde es el contorno de Dirichlet (x = 0, para la barra de la figura 1.2), que prescribe la
función incógnita (desplazamientos, temperaturas, etc.); y es el contorno de Neumann (x = L, para la
barra de la figura 1.2), donde se prescribe el flujo o tensiones en el dominio.
La forma integral equivalente se obtiene multiplicando a las expresiones A(ϕ) y B(ϕ), por
funciones de peso e integrando sobre el dominio de cada ecuación:
∫
∮
Donde son las funciones de peso. Para cumplirse con la ecuación integral (1.8),
debe también de cumplirse con las siguientes condiciones:
Por tanto se puede indicar que se puede tener cualquier función de peso, y también indica que la
función que satisface con las ecuaciones (1.6) y (1.7) también cumplirá la ecuación integral (1.8). Por
tanto se podrá solucionar el problema a partir de las ecuaciones (1.6) y (1.7), que sería usar el método de
las diferencias finitas, o mediante la ecuación integral (1.8) que es la base del método de los elementos
finitos.
1.4.1. Aproximación de la Incógnita.
Como no es posible encontrar soluciones exactas al problema, se buscarán soluciones
aproximadas .
Por tanto la ecuación integral podrá ser expresada por la integral de residuos
ponderados, mediante:
∫
( ) ∮ ( )
A la ecuación (1.9) se le conoce como la ecuación de residuos ponderados, ya que al
sustituir en las ecuaciones A y B, al ser una función aproximada de , tendremos los
residuos de la solución (no serán igual a cero).
( )
( )
La ecuación (1.9) también se puede escribir como:
∫
∮
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Si , se cumplirá que . La ecuación (1.10) nos lleva a
interpretarla como la integral de los residuos de la ecuación diferencial ponderados por las
funciones de peso, de ahí el nombre a este método [OZ].
La solución aproximada se expresa a través de una combinación lineal de funciones.
∑
Donde serán los coeficientes a determinar y son las funciones de la variable
independiente x. Para , suelen escogerse:
a. Monomios:
∑
∑
b. Funciones de Fourier:
∑
∑
∑
∑
c. Funciones Exponenciales:
∑
Tomando en cuenta las funciones , la expresión de residuos ponderados será:
∫
4∑
5 ∮ 4∑
5
La expresión anterior, ordenada adecuadamente, como se verá más adelante, se puede
escribir en forma matricial como:
Ka = f
La solución de la ecuación (1.11), nos dará los valores de las incógnitas .
1.4.2. Aplicación del Método de Residuos Ponderados a problemas
unidimensionales de transmisión de calor
Se tendrán las siguientes condiciones para el problema a resolver:
La conductividad k será constante y tendrá un valor de 1, Q es el calor generado por
unidad de longitud y es la temperatura. El valor de Q tiene las siguientes condiciones:
{
Se cumplen las siguientes condiciones de contorno:
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
{
Se tomarán las funciones de forma globalmente . La aproximación de se hará
por series de Fourier.
∑
La función es continua en todo el dominio , además se cumplen con las
condiciones de contorno.
}
De lo anterior se tiene que en el contorno (x=0, x=L):
( )
Operando en :
( ) (∑
+
(∑
+
∑0 (
*
1
La ecuación integral será por tanto:
∫
( ) ∮ ( )
⏟
∫
8∑0 (
*
1
9
∫
8∑0 (
*
1
9 ∫
∑
[
(
*
∫
⏟ ]
∫
⏟
∑
Resolviendo la ecuación (1.12) para distintos valores de i:
Para i=1
∑0 (
*
∫
1
∫
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
(
)
∫
(
*
∫
(
)
∫
∫
Para i=2
(
)
∫
(
*
∫
(
)
∫
∫
Para i=n
(
)
∫
(
*
∫
(
)
∫
∫
Las ecuaciones integrales anteriores, también se pueden expresar en forma matricial:
(
)
[ ∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
]
{
}
{
∫
∫
∫
}
O:
[
]
⏟
{
}
⏟
{
}
⏟
En la anterior ecuación matricial, cada término Kij de la matriz K se expresa por:
(
*
∫
La matriz K no es una matriz simétrica, . Cada término fi, será:
∫
1.4.3. Método de Galerkin
Este método consiste en tomar como funciones de peso, las mismas funciones de
aproximación .
La ecuación integral general, tendrá la siguiente forma con el Método de Galerkin:
∫
( ) ∮ ( )
Continuando con la resolución del problema unidimensional de transmisión de calor, se
tendrá:
∫
( ) ∮ ( )
⏟
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Resolveremos el problema tomando uno y dos términos.
Para n=1:
[ ]{ } { }
∑
Calculando los términos de la ecuación matricial:
(
)
∫ (
)
(
) (
)
∫ (
)
∫
∫
∫
⏟
Evaluando la ecuación matricial:
[ ]{ } { }
0
1 { } {
}
Por tanto:
Para n=2:
[
] ,
- {
}
∑
Calculando los términos de la ecuación matricial:
i=1:
(
)
∫ (
)
(
) (
)
∫ (
)
(
*
∫ (
)
(
*
⏟
⏟
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
∫
∫
i=2:
(
)
∫ (
*
(
)
(
*
∫ (
*
(
* (
*
∫ (
*
∫
∫
Evaluando la ecuación matricial:
*
+ ,
- 2
⁄
⁄3
Por tanto, la solución aproximada es:
Se dirá que una función tiene continuidad o clase Cm, si la función es continua y sus m primeras
derivadas; por ejemplo C1 significará que la función y su primera derivada son continuas, C0 indicará que
sólo la función es continua y C-1 que la misma función es discontinua.
Para que la derivada m-ésima de una función sea integrable, es necesario que la m-1 derivada sea
continua.
Figura 1.3: Integral de una función y sus dos primeras derivadas [OZ]
En la figura 1.3, la integral de la función f(x) existe en el intervalo [0,xi+1] y se calcula hallando
el área del triángulo, f(x) es una función continua (no presenta ningún salto). La primera derivada f ’(x)
no es un función continua, pero es integrable, la integral de la primera derivada de f(x) se calcula hallando
el área de los dos rectángulos que forma la función en el intervalo [0,xi+1]. Sin embargo, f ”(x) ya no es
⏟
⏟
⏟
⏟
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
integrable (m=2), lo que demuestra lo anteriormente mencionado: no es integrable ya que f ’(x), que es la
derivada m-1, no es una función continua. En resumen la función mostrada, tendrá una continuidad C0.
Considerando la ecuación diferencial inicial:
(
* ⏟
Con las condiciones de contorno:
8
Aplicando el Método de Residuos Ponderados se tendrá:
∫
∮
∫
[ ]
Es común tomar funciones aproximadas que cumplan con las condiciones de contorno de
Dirichlet, es la razón por la que no se toma en cuenta la ponderación en . Sustituyendo las
ecuaciones diferenciales se tendrá:
∫
[
(
* ]
⏟
[ (
*
⏟
]
En la ecuación 1.15, aparece derivada 2 veces (m=2), lo que nos indica que para que sea
integrable, la derivada m-1 (primera derivada), debe ser continua; es decir tener una continuidad C1. Esta
condición también la deben de cumplir las funciones de forma.
También se puede evaluar el grado de continuidad para k, ya que está derivada una sola vez
(m=1), es necesario que sólo la función sea continua (m-1=0), C0.
Por otro lado, W no se encuentra afectada por ninguna derivada, entonces no es necesario
cumplir con ningún requisito de continuidad, pudiendo ser una función de peso discontinua. De evaluar
las continuidades para y para W, podemos concluir que los requisitos de continuidad son asimétricos,
lo que nos conducirá a obtener sistemas de ecuaciones algebraicas no simétricas (K no sería una matriz
simétrica como se ha indicado, ).
Por el método de integración por partes podremos generar otra expresión para la ecuación
integral que nos permita trabajar con expresiones para y W simétricas:
∫
[ ] ∫
∫
[
(
* ] [ (
*]
∫
(
* ∫
[ (
*]
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
∫ ⏟
4
⏟
5
⏟
6 ⏟
⏟
7
∫
⏟
4
⏟
5
Reemplazando la integración por partes en la ecuación (1.16):
∫
(
*
∫
[
]
[ (
*]
En la ecuación (1.17), se han modificado los requisitos de continuidad. Para y W se requiere
una continuidad C0 (m=1, m-1=0), mientras que k puede ser discontinua.
La ecuación integral (1.17) recibe el nombre de forma integral débil, ya que al usarla se restringe
el campo de selección de la función W, ya que la forma débil exige funciones de peso continuas, mientras
que la forma integral original permite cualquier tipo de funciones de peso [OZ].
1.6.1. Condición de Contorno Natural
Si = -W, simplificando y reordenando la ecuación se tendrá:
∫
(
*
∫
[
]
[ ]
∫
(
*
∫
[ ] [ ]
La variable q0, para el tratamiento de transferencia de calor, es el flujo entrante donde
está prescrito el valor de . Hablando de cálculo de estructuras, q0 es la reacción en x=0. En
ambos casos, q0 puede calcularse una vez que se haya calculado la solución para .
1.6.2. Solución de la Ecuación Diferencial por la forma débil del MRP
Sustituyendo:
∑
En la ecuación (1.18):
∫
4∑
5
∫
[ ] [ ]
Si se dan valores sucesivos a “i”, se obtiene un sistema de “n” ecuaciones:
Para n=1
∫
(
*
∫
[ ] [ ]
Continuidad MRP MRP Débil
ϕ C 1 C 0
W C -1 C 0
k C 0 C -1
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Para n=2
∫
(
*
∫
[ ] [ ]
Para n=n
∫
(
*
∫
[ ] [ ]
Las ecuaciones anteriores, con el debido acomodo se pueden escribir en forma matricial
como:
[
]{
} {
}
Usando el Método de Galerkin, Wi = Ni, se tendrán las siguientes ecuaciones generales
para cada término de la matriz de rigidez y para el vector de fuerzas:
∫
∫
La matriz “K” será simétrica, es una de las propiedades que se tiene al usar el método de
Galerkin en la forma débil de los residuos ponderados. Se tendrán tantas funciones de forma
como en nodos se tenga dividida la barra. Como ya se indico, q0 se desconoce y se podrá calcular
después, una vez que se hayan calculado todos los valores para ai.
Para el cálculo de q0, se tiene la siguiente ecuación:
|
De la ecuación (1.20), debemos indicar que la precisión de , por lo general, será
menor al de ; esto se debe a que se calcula a partir de la primera derivada de . En cálculo
numérico se considera a la derivada de una función como un error adicional, de ahí el menor
grado de precisión para los flujos o reacciones.
Problema de Evaluación Nº 01:
Se tiene la siguiente ecuación de Poisson para un problema de transferencia de calor:
⏟
Con las condiciones de contorno:
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
8
Se pide obtener la función polinómica aproximada de la incógnita , que satisfaga las
condiciones de contorno prescrita en x=0. Calcular para n=2, aplicando la forma débil de Galerkin.
Además calcular |
Que se puede comentar de la solución hallada si se sabe que la solución analítica es:
Retomando la barra cargada axialmente de la figura 1.2. La ecuación diferencial es:
(
* ⏟
Las condiciones de contorno estarán dadas mediante:
8
Aplicando la ecuación (1.15):
∫
[
(
* ]
⏟
[ (
*
⏟
]
De (1.21) se obtiene la forma débil integrando por partes:
∫
[ ] ∫
∫
[
(
* ] [ (
*]
∫
(
* ∫
[ (
*]
∫ ⏟
(
⏟
,
⏟
[ ⏟
⏟
]
∫
⏟
(
⏟
,
Reemplazando la integración por partes en la ecuación (1.22) y haciendo :
∫
(
*
∫
[
]
[ (
*]
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
∫
(
*
∫
[
] [
] [ (
*]
[ ]
∫
(
*
∫
[
] [ ]
∫
(
*
∫
[
] [ ]
De la relación esfuerzo-deformación se tiene:
Reemplazando N en (1.23):
∫
∫
[ ] [ ]
La función de peso W, será conocida como el desplazamiento virtual, denotándose por :
El término [ ] se elimina haciendo que la función desplazamiento virtual satisfaga las
condiciones de frontera cinemáticas.
|
Sustituyendo la función de desplazamientos virtuales en (1.24), tendremos:
∫
∫
[ ]
La deformación virtual se define por:
Sustituyendo en la ecuación (1.25), se tiene:
∫
∫
El principio de trabajos virtuales es el punto de partida para la solución por el MEF de problemas
de mecánica de sólidos, fluidos y gases [OZ].
La ecuación (1.26) se conoce como el Principio de Trabajos Virtuales (PTV), su cumplimiento
es necesario y suficiente para el equilibrio estructural de un cuerpo. Su definición es la siguiente: “Un
cuerpo está en equilibrio, si se cumple que para cualquier desplazamiento virtual que satisfaga las
condiciones de contorno cinemáticas, el trabajo que realizan las tensiones sobre las deformaciones
virtuales es igual al trabajo que realizan las fuerzas exteriores sobre los desplazamiento virtuales”.
De la definición dada podemos interpretar la ecuación (1.26). “ ” será el trabajo (por unidad
de longitud), que realiza la carga repartida b(x) sobre los desplazamientos virtuales . “ ” es el
trabajo de la fuerza sobre el desplazamiento virtual del extremo de la barra. Y para que el cuerpo esté
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
en equilibrio, la integral del primer miembro, en la ecuación (1.26), es el trabajo que realizan los
esfuerzos axiales sobre las deformaciones virtuales en toda la barra.
De todo el procedimiento realizado se concluye que el PTV coincide con la forma débil de
Galerkin. El PTV también tiene aplicación problemas de Poisson, donde se equilibrará el trabajo virtual
de los flujos internos y externos.
En el Método de los Elementos Finitos se combina el Método de los Residuos Ponderados con
aproximaciones polinómicas locales dentro de cada elemento [OZ].
Figura 1.4: Discretización de una barra en elementos finitos unidimensionales de 2 nodos [OZ]
En la figura 1.4, se puede apreciar la discretización del dominio de análisis (dominio
unidimensional), en subdominios no intersectantes entre sí, a los que se denominan elementos finitos. La
función incógnita se aproximará por medio de funciones polinómicas definidas localmente para cada
término:
∑
Donde n será el número de puntos del elemento donde se supone que se conoce el valor
aproximado de . A los puntos se le denominará nodos. Los valores de a0, a1,…,an son constantes que
dependen de los valores de en los nodos
La expresión (1.27) se puede escribir también como:
∑
La función interpola dentro del elemento únicamente los desplazamientos
correspondientes al nodo i y se denomina función de forma del nodo i. Cada función de forma vale la
unidad en el nodo i y cero en el resto de los nodos.
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Sustituyendo la expresión aproximada de en la expresión integral del MRP, se obtendrán
ecuaciones algebraicas de equilibrio, las que se podrán escribir en forma matricial: Ka=f. En análisis
estructural a K se le denomina matriz de rigidez de la malla de elementos finitos, a será el vector de
incógnitas nodales y f será el vector de flujos nodales. La matriz K y el vector f , se pueden obtener de las
contribuciones individuales de cada elemento
1.8.1. Definición local de las funciones de forma
Trabajaremos en cada elemento finito discretizado, el que se presenta de manera general
en la figura en la figura 1.5 de manera aislada.
Figura 1.5: Funciones de forma lineales en un elemento finito unidimensional de dos nodos.
Podemos expresar la variable incógnita en cada nodo mediante un polinomio
lineal:
∑
Si la función verdadera y la función aproximada, toman el mismo valor en cada nodo,
tomando los nodos extremos se tendrá el siguiente sistema de ecuaciones:
Resolviendo el anterior sistema de ecuaciones, obtendremos:
Sustituyendo los valores de en la expresión (1.29):
(
+ (
+
Reordenando la expresión (1.30) en términos de
, tendremos:
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
⏟
⏟
∑
Las funciones de forma se pueden también expresar como:
A sido necesario resolver las ecuaciones lineales para obtener las funciones de forma en
relación a x, más adelante se usarán funciones de forma con elementos lagrangianos para nos
darán las funciones de orden lineales y de mayor grado sin necesidad de resolver un sistema de
ecuaciones. A continuación podemos confirmar la propiedad de una función de forma, que indica
que en un nodo toma el valor de uno y cero en los otros nodos:
{
{
La interpolación realizada permite obtener el valor de la función incógnita en cualquier
punto del elemento en función de los valores nodales
. Generalizando esta técnica a
todos los elementos finitos, se obtendrá una aproximación lineal por intervalos. En el caso de que
aproxime exactamente a , lo que indicaría que la función de forma tiene el mismo grado
de polinomio que la solución analítica; se cumplirá lo que se muestra en la figura 1.6(a), donde
se aprecia que la poligonal que nos dan las funciones de forma aproximadas coincide con la
curva de la solución exacta en cada nodo, no así la variación interna de la incógnita en el
elemento. En el MEF no es común que se cumpla lo indicado previamente, generalmente se
cumplirá lo mostrado en la figura 1.6(b), donde se generará un error que se traduce en que en los
nodos no se obtendrá el valor exacto de la función y en el interior de los elementos no se podrá
obtener la variación exacta de la solución.
Figura 1.6: Solución por el MEF. (a) Aproximación exacta nodalmente; (b) Solución
aproximada.
1.8.2. Solución de la ecuación de Poisson con un elemento de dos nodos
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Figura 1.7: Solución de la ecuación de Poisson con un elemento de dos nodos.
En la figura 1.7 se tiene un problema de transferencia de calor por conducción, donde
gobierna la ecuación diferencial siguiente:
(
* ⏟
Con las condiciones de contorno:
8
La solución analítica para k constante es la siguiente:
La forma débil es:
∫
.
/
∫
[ ] [ ]
La aproximación de la temperatura se escribe de la siguiente manera:
Las temperaturas en los nodos 1 y 2 son respectivamente. Derivando (1.33):
Sustituyendo (1.34) en (1.32):
∫
.
/
∫
[ ] [ ]
Aplicando Galerkin en (1.35) ( :
∫
.
/
∫
[ ] [ ]
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Se tendrán dos funciones de peso, ya que se está trabajando con un solo elemento de dos
nodos.
Para i=1:
∫
(
*
∫
[ ] ⏟
[ ] ⏟
[ ]
[ ]
∫
(
*
∫
Para i=2:
∫
(
*
∫
[ ] ⏟
[ ] ⏟
[ ]
[ ]
∫
(
*
∫
Las ecuaciones integrales (1.37) y (1.38), nos llevan a un sistema de ecuaciones con dos
incógnitas, que podemos expresarlas en forma matricial:
[
] {
} {
}
Los elementos de la matriz de rigidez de los elementos finitos tendrán la siguiente
expresión:
∫
Calcularemos las derivadas de las funciones de forma:
Calculando cada término de la matriz:
∫
∫ (
* (
*
∫
∫ (
* (
*
∫
∫ (
* (
*
Se procederá a calcular el término f1 del vector de fuerzas:
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
∫
∫ (
)
∫ (
)
∫ (
)
∫
∫ (
)
[ ] 0
1
De igual manera se calcula f2.
∫ (
)
Todos los términos acomodados en la ecuación matricial (1.39), nos dará:
*
+ {
} {
}
Se sabe que , por tanto será:
Comparando con la solución analítica se puede observar que el valor para coincide,
no así la variación dentro del elemento que es de forma cuadrática. El flujo q0 se obtendrá
sustituyendo en la primera ecuación, lo que será:
.
/
1.8.3. Solución de la ecuación de Poisson con varios elementos de dos nodos
El procedimiento general para la solución de problemas de Poisson por el MEF, para
varios elementos de dos nodos y funciones lineales será el siguiente:
Se debe de obtener la matriz de rigidez de los elementos finitos y el vector de
flujos. Para cada elemento se tendrá la ecuación matricial:
[
] {
} {
}
Donde cada elemento de la matriz es igual a:
∫
(
*
∫
(
*
Ensamblar la matriz de rigidez global K y el vector de fuerzas o flujos nodales f.
La ecuación matricial para n elementos de dos nodos tendrá la siguiente forma:
[
] {
} {
}
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
[
]
{
}
{
}
Problema de Evaluación Nº 02:
Resolver el problema presentado en el apartado 1.8.2 considerando como elementos finitos dos
elementos de dos nodos.
Considerar k constante así como también una distribución de Q constante en toda la barra.
Hasta lo tratado previamente, se hizo uso de funciones de forma lineales. Se ha mencionado que
la solución aproximada coincide con la exacta cuando ambas tienen el mismo grado de polinomio, por
tanto en esta sección veremos cómo se eligen funciones de forma de grado superior, a la vez obtendremos
estas funciones de forma sin necesidad de resolver un sistema de ecuaciones, como se vio en la sección
1.8.1.
La aproximación polinomial de puede escribirse de la siguiente manera:
Para obtener las funciones de forma se pueden hacer uso de los polinomios de Lagrange. Con los
polinomios de Lagrange se tendrá un valor en un punto y cero en el resto de puntos, cumpliendo la
propiedad de una función de forma. Se normalizará el valor que toma el polinomio de Lagrange a uno,
para de esta forma hacerlas coincidir con las funciones de forma del MEF. La función de forma de un
nodo “i” de n nodos para un elemento lagrangiano se obtiene de la expresión:
∏
( )
( )
Para un elemento de 2 nodos se tendrán las siguientes funciones de forma:
Introduciremos un sistema de coordenadas natural o normalizado para relacionarlo con el
sistema cartesiano con el que hemos venido trabajando, como se puede observar en la figura 1.8.
Donde:
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Siendo xC es la coordenada en el centro del elemento.
Figura 1.8: Sistema Cartesiano y Natural (ξ)
Sustituyendo valores para x, se tendrá:
⏞
⏞
En la geometría natural la longitud del elemento será 2. En este nuevo sistema podemos expresar
la expresión de las funciones por los polinomios lagrangianos:
∏
( )
( )
Para un elemento lagrangiano de dos nodos con ξ1=-1 y ξ2=+1, se tendrá:
El uso de coordenadas naturales permite independizar las expresiones de las
funciones de forma de la geometría del elemento [OZ] (las funciones para interpolar la
geometría del elemento se verá en el tema siguiente).
En la figura 1.9(a), se tiene un elemento finito cuadrático unidimensional de tres
nodos, donde ξ1=-1, ξ2=0 y ξ3=+1. Las funciones de forma serán:
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Figura 1.9: Elementos unidimensionales cuadrático(a) y cúbico (b) de clase C0.
Las funciones de forma para un elemento finito unidimensional cúbico de cuatro
nodos, tal como se muestra en la figura 1.9(b), con ξ1=-1, ξ2=-1/3, ξ3=+1/3 y ξ4=+1, serán:
⁄ ⁄
⁄ ⁄
(
*(
*
⁄
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
(
*
⁄
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
(
*
⁄ ⁄
⁄ ⁄
(
*(
*
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Problema de Evaluación Nº 03:
Obtener las funciones de orden para un elemento finito unidimensional de polinomio de cuarto
orden con cinco nodos.
La formulación paramétrica se refiera a interpolar la geometría del elemento a partir de las
coordenadas de una serie de puntos conocidos. En un elemento lineal de dos nodos, la variable en un
nodo del elemento se expresa dentro del elemento usando la expresión normalizada por:
El gradiente (g) se obtiene de:
Al usar la expresión normalizada se necesita calcular la derivada de las funciones
. Las
funciones de forma no están en expresadas en función de x, ya que se está usando el sistema de
coordenadas naturales. Para el cálculo de la gradiente se harán los siguientes procesos:
.
/
.
/
Sustituyendo (1.42) y (1.43) en (1.41):
Ahora es necesario conocer
, por lo que se debe de conocer la relación entre las coordenadas
cartesianas x y las coordenadas naturales. Esta relación se puede obtener realizando una interpolación
numérica de la geometría del elemento. Conociendo las coordenadas de m puntos del elemento, se podrá
calcular la coordenada de cualquier punto interior del elemento, interpolando los valores de las
coordenadas conocidas. La interpolación de la geometría se puede escribir por la siguiente expresión:
Las funciones de interpolación de geometría (
), tienen las mismas propiedades que las
funciones de forma que se utilizan para interpolar los desplazamientos (temperaturas en el caso de
problemas de transferencia de calor), entonces toman el valor de uno en el punto i y cero en resto de
puntos. La expresión (1.45) también se interpreta como la transformación de coordenadas de a x.
En la figura 1.10 se muestra una curva que representa la geometría o contorno de un elemento
finito curvo, dicha curva cumple con la función y = x3 – 2x2 – x + 4. Para la interpolación paramétrica de
la geometría con una aproximación cuadrática se conocen los valores x1 = 0, x2 = 1 y x3 = 2 y sus
respectivos valores y(x1) = 4, y(x2) = 2, y(x3) = 2.
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
La aproximación cuadrática usando los tres puntos conocidos, nos dará la relación entre las
coordenadas x,y con .
La aproximación cuadrática se muestra en la figura 1.10, y se puede apreciar el error que se
presenta al comparar con la función cúbica que representa la geometría del elemento curvo.
Figura 1.10: Interpolación de geometría curva.
Para conseguir mayor precisión, se procederá a realizar la interpolación paramétrica
considerando una aproximación cúbica, para lo que se conoce los siguientes cuatro puntos: x1 = 0, x2 =
2/3, x3 = 4/3 y x4 = 2 donde y(x1) = 4, y(x2) = 74/27, y(x3) = 40/27, y(x4) = 2. Siguiendo el desarrollo
planteado par la aproximación cuadrática, se llegará a las siguientes relaciones:
∑
∑
Al tener la función de aproximación igual grado que el polinomio de la función exacta se llega a
obtener errores nulos.
Se puede indicar que al usar funciones de aproximación geométricas tendremos errores de
aproximación de geometría, los que se deberán tratar de minimizar.
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Se tienen entonces dos clases de puntos, puntos que se usan para interpolar el campo de los
desplazamientos (nodos) y los que se utilizan para interpolar la geometría. Estos puntos pueden ser o no
coincidentes, lo que puede depender de cuan compleja o no puede ser la geometría del elemento.
Si m es el número de puntos que se usan para interpolar la geometría y es mayor al número de
nodos del elemento, las funciones de geometría
serán polinomios de mayor grado que las funciones
de forma
que se usan para interpolar los desplazamientos; a este tipo de formulación se le denomina
superparamétrica. Si m coincide con el número de nodos se denomina formulación isoparamétrica. Y por
último cuando m sea menor al número de nodos se denomina formulación subparamétrica.
Normalmente se usa la formulación isoparamétrica teniendo las mismas funciones para
interpolar la geometría y los desplazamientos.
1.10.1. Formulación Isoparamétrica de un elemento de dos nodos
La geometría del elemento la representaremos en función de las coordenadas de los dos
nodos:
Las funciones de forma para aproximar la geometría del elemento serán las mismas
funciones de forma para aproximar la incógnita
. La relación
será:
Reemplazando valores de
en (1.46):
.
/
.
/
(
*(
*
(
*(
*
La matriz de rigidez de los elementos finitos, considerando que Q es constante sobre
todo el elemento, se pueden expresar en el sistema normalizado por:
∫
∫ (
+ (
+.
/
∫ (
+ (
+.
/
∫ (
+ (
+(
*
(
*
El vector de fuerzas será expresado por:
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
∫
∫
(
*
1.10.2. Formulación Isoparamétrica de un elemento cuadrático de tres nodos
La aproximación de la incógnita es:
La formulación isoparamétrica para la coordenada x será:
Las funciones de forma para aproximar la geometría del elemento serán las mismas
funciones de forma para aproximar la incógnita
. La gradiente o relación
será:
(
*
(
*
Reemplazando valores de
en (1.47):
(
*
(
*
La relación (1.48) nos proporciona la relación entre las coordenadas x y las coordenadas
naturales . Si
es el punto medio del elemento se tendrá:
[ ⏟
⏟
]
⏟
La matriz de rigidez y el vector de fuerzas nodales se obtendrán de las siguientes
expresiones:
∫
∫ (
+ (
+(
*
∫
∫
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Problema de Evaluación Nº 04:
Para un elemento cuadrático de tres nodos, calcular la matriz de rigidez del elemento y el vector
de fuerzas, suponiendo que el segundo punto coincide con el punto central y k y Q son constantes.
El uso de la integración numérica y la formulación paramétrica han sido importantes en el
desarrollo de los elementos finitos. La integración numérica se vuelve más importante en elementos bi y
tridimensionales, donde el cálculo de las integrales se vuelve más difícil.
En la formulación isoparamétrica vista para un elemento cuadrático de tres nodos, hace que
la integral para el cálculo de los elementos de la matriz de rigidez y los elementos para el vector de
fuerzas, ya no sea muy fácil en comparación a elementos lineales, y su complejidad aumenta mientras se
tengan elementos de mayor grado.
Entre los diversos métodos de integración numérica el más usado es el de Gauss-Legendre y es
el que se desarrollará.
Si se desea calcular la integral de una función en el intervalo [-1,+1]:
∫
La integración numérica o cuadratura de Gauss-Legendre, calcula dicha integral como una suma
de los productos de los valores del integrando en una serie de puntos conocidos en el interior del intervalo
por unos coeficientes (pesos) determinados [OZ].
∑
La propiedad de la integración de Gauss-Legendre es que una cuadratura de orden n integra
exactamente un polinomio de grado 2n-1 o menor [OZ]. El error en el cálculo aproximado es de orden
, donde es la distancia entre los puntos de integración.
La tabla a continuación muestra las coordenadas y los pesos , para las ocho primeras
cuadraturas de Gauss-Legendre:
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
La tabla anterior está normalizada para el rango [-1,+1]. A continuación se verá una aplicación
de la integración de Gauss-Legendre.
Se tiene un polinomio de cuarto orden: f(x) = 1 +x + x2 + x3 + x4, se pide calcular la integral en
los límites [-1,+1].
La integral exacta será:
∫
0
1
[
]
Usando la cuadratura de Gauss-Legendre de primer orden, se usará un punto, la coordenada del
punto x1 será igual a 0, y el peso W1 será 2:
[ ]
∑
Usando una cuadratura de Gauss-Legendre de segundo orden, se usarán dos puntos, la
coordenadas de los puntos son: x1=-0.57735, x2=+0.57735, W1=1, W2=1.
[ ]
[ ]
∑
Usando una cuadratura de Gauss-Legendre de tercer orden, se usarán tres puntos de integración,
la coordenadas de los puntos son: x1=-0.77459, x2=0, x2=+0.77459, W1=0.55555, W2=0.88888,
W2=0.55555.
[ ]
[ ]
[ ]
n ±ξ W i1 0 2
2 0.5773502692 1
0.7745966970 0.5555555556
0 0.8888888890
4 0.8611363116 0.3478548451
0.3399810436 0.6521451549
0.9061798459 0.2369268851
0.5384693101 0.4786286705
0 0.5688888889
0.9324695142 0.1713244924
0.6612093865 0.3607615730
0.2386191861 0.4679139346
0.9491079123 0.1294849662
0.7415311856 0.2797053915
0.4058451514 0.3818300505
0 0.4179591837
0.9602898565 0.1012285363
0.7966664774 0.2223810345
0.5255324099 0.3137066459
0.1834346425 0.3626837834
3
6
5
7
8
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
∑
La cuadratura de tercer orden da un valor igual al valor exacto de la integral, con lo que se
comprueba que una cuadratura de orden n integra exactamente un polinomio de grado 2n-1 o menor. Una
cuadratura de tercer orden nos dará resultados exactos hasta polinomios de quinto grado o menores.
Evaluando la cuadratura de segundo orden, el polinomio al que integrará exactamente será un
polinomio de grado 3 (2x2-1=3), tal como se vio en el cálculo para una cuadratura de segundo orden, el
valor de la integral fue de 2.89 y no es la solución exacta ya que el polinomio es de cuarto orden.
Como se ha ido viendo en cada una de las secciones, el proceso del cálculo para la solución de
problemas de Poisson nos lleva a evaluar la matriz de rigidez y el vector de fuerzas o flujos, por lo que se
puede enumerar las etapas necesarias que nos servirán para un cálculo manual o para programación.
1.12.1. Interpolación de la Incógnita
La variable en el interior del elemento se expresa mediante funciones aproximadas:
∑
*
+
{
}
1.12.2. Interpolación de la Geometría
La coordenada x de un punto del elemento se calcula con la siguiente expresión:
∑
1.12.3. Interpolación del Gradiente
∑
Las derivadas cartesianas de las funciones de forma son:
Luego se deduce:
∑
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales
Entonces:
Por tanto:
A se le interpreta como la determinante del jacobiano de la transformación ,
.
1.12.4. Cálculo del Flujo
∑
1.12.5. Matriz de Rigidez del elemento
∫
∫ (
+ (
+(
*
Dependiendo de se tendrá mayor o menor sencillez de la integral. El cálculo de
se efectúa por integración numérica, por tanto tiene la siguiente forma:
∑ [(
+ (
+(
*]
1.12.6. Vector de Fuerzas Nodales Equivalentes
∫
∫
Usando integración numérica:
∑ * +
Problema de Evaluación Nº 05:
Resolver el problema presentado en el apartado 1.8.2 considerando como elementos finitos dos
elementos cuadráticos de tres nodos. Aplicar las etapas de la sección 1.12.
Considerar k constante así como también una distribución de Q constante en toda la barra.
elementos
bidimensionales
En este capítulo se cubren aspectos introductorios para el desarrollo y uso
del Método de los Métodos Finitos (MEF), como el planteamiento de la
forma general del Método de los Residuos Ponderados (MRP) y su forma
débil con el uso del Método de Galerkin. Se da el planteamiento general
para hallar las soluciones aproximadas a problemas de Mecánica Escalar
como son los problemas de Poisson aplicados a la transferencia de calor y
al Principio de Trabajos Virtuales. Se introducen los conceptos de
Formulación Paramétrica e Integración Numérica, ambos muy
importantes para la implementación del MEF y que se ampliarán más
adelante en elementos finitos bi y tridimensionales.
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
La ecuación bidimensional estacionaria de Poisson se puede obtener por balance de flujos (ver
figura 2.1).
Figura 2.1: Obtención de la ecuación de Poisson en dos dimensiones.
Se procede similar al caso unidimensional, entonces la ecuación de Poisson en dos dimensiones
tendrá la expresión:
(
*
(
*
es la incógnita. Se tiene un solo grado de libertad por nodo.
Las condiciones de contorno serán:
2
Para calcular que es el flujo normal, se proyecta el flujo en el contorno sobre la normal:
[ ] *
+
Los flujos en cada dirección son:
. Sustituyendo todas las expresiones
necesarias en la condición de flujo normal prescrito:
es el flujo prescrito en dirección normal al contorno (será positivo si el flujo está en la
dirección normal al contorno). es el flujo de calor que sale por el contorno debido a
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
diferencias de temperatura entre los puntos del contorno y el ambiente a temperatura ; es el
coeficiente de convección.
Se usará la terminología: , pero sólo es conceptual, ya que puede darse el caso en
que las condiciones de borde se alternen.
Para solucionar problemas de Poisson en dominios bidimensionales procederemos a usar el
Método de los Residuos Ponderados con el Método de Galerkin, los pasos son similares a los aplicados
para elementos unidimensionales.
2.2.1. Método de los Residuos Ponderados en Elementos Bid imensionales
La forma integral equivalente a las ecuaciones diferenciales que gobiernan el
comportamiento en elementos en dos dimensiones se obtienen por el Método de los Residuos
Ponderados:
∬
∯
Reemplazando las expresiones de (2.1) y (2.2) en (2.3), se tendrá la forma integral
equivalente por el MRP:
∬ [
(
*
(
* ]
∫ [
]
La forma débil del MRP se obtiene acomodando los términos e integrando por partes:
∬ [
(
*]
⏞
∬ [
(
*]
⏞
∬ [ ]
∫ [
]
Recordando la integración por partes:
∫
[ ] ∫
Trabajando en (I):
∬ [
(
*]
∫ ∫ ⏟
6
4
⏟
57
⏟
∫ {
} ∫ ∫
∫
∬
De manera similar en (II):
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
∬ [
(
*]
∫
∬
Reemplazando los valores de (I) y (II) en (2.4):
∫
∬
⏞
∫
∬
⏞
∬ [ ]
∫ [
]
Arreglando la expresión:
∬ [
]
∬ [ ]
∫ [
]
∫ [
]
De la figura 2.2, se pueden obtener las siguientes relaciones:
Sustituyendo (2.6) y (2.7) en (2.5) y aplicando condiciones de contorno natural
haciendo , se tendrá:
∬ [
]
∬ [ ]
∫ [
]
∫ [
]
Eliminando términos que se hacen nulos:
∬ [
]
∬ [ ]
∫ [
]
∫ [ ]
Recordando:
Reemplazando (2.9) en (2.8) y acomodando en el primer miembro las expresiones
donde interviene la incógnita , tendremos:
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
Figura 2.2: Normal al contorno.
∬ [
]
∬ [ ]
∫ [
⏟
]
∫ [ ]
∬ [
]
∫
∬
∫
∫ [ ]
La expresión (2.10) es la forma débil del MRP aplicando el Método de Galerkin, y será
la expresión que usaremos para encontrar la solución a los problemas de Poisson en dos
dimensiones.
La integral ∫ es el flujo que sale por el contorno donde el valor de
se conoce. El signo es negativo, lo que indica que el flujo normal sale del contorno. Este flujo
al igual que en el caso unidimensional, puede interpretarse como una reacción que se calcula una
vez se conoce el valor de sobre .
2.2.2. Discretización por el MEF
En la figura 2.3 se puede apreciar la discretización del dominio en elementos
bidimensionales de n nodos. La aproximación de en el interior de cada elemento se define por:
∑
El sistema de ecuaciones de la discretización se obtendrá sustituyendo (2.11) en la
forma débil del MRP (2.10), escogiendo N funciones de peso Wi:
∬ [
]
∫
∬
∫
∫ [ ]
Donde n es el número de nodos de la malla. Aplicando el Método de Galerkin, haciendo
, la expresión se convierte en:
∑∬ 6
4∑
5
4∑
57
∑∫
4∑
5
∑∬
∑∫
∑∫ [ ]
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
Figura 2.3: Discretización de un dominio bidimensional en elementos triangulares.
La expresión (2.12) pueden escribirse en forma matricial:
Los términos de la matriz de rigidez de los elementos finitos K y el vector de flujos f, se
obtienen ensamblando las contribuciones de cada elemento. La matriz de rigidez es simétrica por el uso
de la forma débil del MRP. Con la propiedad de las funciones de forma
, que toman un valor de uno
en el nudo y cero en los restantes, los elementos , pueden escribirse como:
∬ (
+
⏟
∫
⏟
El vector de flujos será:
∬
⏟
∫
⏟
∫ [ ]
⏟
Las contribuciones de cada elemento que provienen de las integrales sobre los contornos
elementales se cancelan entre sí, cuando el elemento pertenece al interior del dominio. Dicho de otro
modo, en (2.14) las integrales sobre los contornos elementales sólo contribuyen al vector de fuerzas
globales en el caso de que el elemento en cuestión tenga uno o más de sus lados sobre los contornos
externos .
es la contribución del término de fuente de calor sobre el dominio, es la contribución del
término de flujo de calor a través del contorno de Neumann donde se prescribe el flujo saliente, es el
término de flujo (reacción) sobre el contorno donde se prescribe la variable .
En la Mecánica Escalar, analizando el problema de Poisson, cada nodo tiene un grado de
libertad, que es el valor de la incógnita en el nodo.
Expresaremos una variación lineal de por el polinomio a continuación:
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
Para calcular los coeficientes del polinomio (2.15), sustituiremos las coordenadas nodales:
La solución al sistema de ecuaciones anterior nos da los valores de los coeficientes ( ,
sustituyendo estos coeficientes en (2.15) se tendrá:
[
(
)⏟
(
)⏟
(
)⏟
]
∑
Las funciones de forma serán:
(
)
Donde:
Los índices i, j y k, varían con los nodos, las funciones de forma cumplen con la propiedad de
tomar el valor de uno en el nodo y cero en los restantes (ver figura 2.4). La función de forma global de un
nodo, también valdrá uno en el nodo y cero en todos los restantes, el dominio de influencia de la función
de forma global de un nodo abarca todos los elementos que rodean al mismo.
El área del elemento se obtiene de los coeficientes del sistema de ecuaciones:
|
|
2.3.1. Matriz de Rigidez del Elemento
De la ecuación (2.18):
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
Figura 2.4: Funciones de forma para un elemento lineal de tres nodos.
Sustituyendo (2.18) y (2.19) en (2.13):
∬ (
+
∬ 0 (
*.
/ (
)(
)1
∬
[ ]
[ ]
La matriz
se obtendrá de:
6
7
La matriz de convección
será:
∫
∫ [
]
La matriz
sólo es relevante si el lado ij del elemento pertenece al contorno exterior
por tanto al realizar la integral sobre el lado del elemento que pertenece al contorno, la
función del tercer nodo tomará un valor nulo sobre el mismo. Con lo que se logra simplificar la
expresión (2.21) de acuerdo con el lado donde se calcula la integral de contorno.
Para el lado 12,
= 0:
∫ 6
7
Para el lado 23,
= 0:
∫ 6
7
Para el lado 13,
= 0:
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
∫ 6
7
Suponiendo que es constante, podemos integrar los términos de las matrices
presentadas como:
∫
{
⁄
⁄
Donde
es la longitud del lado que se encuentra en el contorno. Reemplazando (2.25)
en (2.22), (2.23) y (2.24):
[
]
[
]
[
]
La matriz general se puede expresar entonces por:
2.3.2. Vector de flujos equivalente nodales
La expresión general de para un triangulo de tres nodos es:
{
}
De (2.14) se tiene:
∬
⏟
∫
⏟
∫ [ ]
⏟
Suponiendo en valor constante de Q, operando :
∬
. Equivale a calcular el volumen del tetraedro que forma
(ver figura
2.4), de base y altura uno (1). ∬
⁄ , volumen del tetraedro es área de la base
por altura dividió por 3.
{
}
∬ {
}
{ }
La contribución del término de convección al vector de flujos se calcula como sigue:
tal como para el cálculo de la matriz de rigidez, se toma en cuenta que sobre cada lado sólo son
diferentes de cero las funciones de forma correspondientes a dicho lado:
Para el lado 12,
= 0:
∫ 8
9 [ ]
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
Para el lado 23,
= 0:
∫ 8
9 [ ]
Para el lado 13,
= 0:
∫ 8
9 [ ]
Suponiendo que son constantes sobre el lado, se tendrá:
[ ] {
}
[ ] {
}
[ ] {
}
Al vector de flujos nodales se le añade la contribución de los flujos reacción en los
contornos donde está prescrito . Dichos flujos se añaden directamente a los nodos del
contorno correspondiente y su valor se obtiene una vez que se tienen los valores nodales de .
Problema de Evaluación Nº 06:
Analizar la transmisión de calor en el dominio que se presenta en la figura 4.5. Se supondrá kx =
ky = k = 2.0 cal/cm ºC y Q = 2.4 cal/cm2s. Dada la simetría del dominio, sólo analizar un octavo del
dominio total.
Las condiciones de contorno son las siguientes:
En el contorno exterior 4-6, α=0, .
En los segmentos de borde 1-6 y 1-4, se exige las condiciones de simetría:
⁄ . Lo
que indica que el gradiente de temperatura en una dirección normal al contorno de simetría
es cero, lo que también significa que dicho contorno está térmicamente aislado. Al no
trasmitirse el flujo a través de los ejes de simetría, éste lo hará sólo a través del lado
exterior 4-6.
Las funciones de forma sólo reproducen exactamente variaciones polinómicas de grado igual o
inferior al del polinomio completo de mayor grado contenido en dichas funciones. Por tanto la solución
por el MEF será mejor cuanto mayor sea el grado de dicho polinomio completo.
En 2D un polinomio completo de grado n puede escribirse como:
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
Figura 2.5: (a) Transmisión de calor en un dominio cuadrado, (b) Malla de cuatro elementos
triangulares de tres nodos utilizada por simetría.
∑
El número de términos que tendrá el polinomio se calcula por la siguiente fórmula:
Entonces si escogemos un polinomio lineal (n=1), el número de términos será: p=3.
Un polinomio de segundo orden o cuadrático, usando la ecuación (2.28), tendrá 6 términos:
Para hallar los términos completos de un polinomio de dos variables, podemos utilizar el
“Triángulo de Pascal” (ver figura 2.6).
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Figura 2.6: (a) Triángulo de Pascal en dos dimensiones.
Para definir la geometría del elemento se definirá un sistema de coordenadas naturales o
intrínseca ξ,η. En la figura 2.7 se puede observar un rectángulo de lados 2ª x 2b, cuyos lados están
normalizados en el sistema natural . La relación entre las coordenadas cartesianas y las
naturales será la siguiente:
son las coordenadas del centro del elemento. Las derivadas serán:
Por tanto:
Para integrar una función en dos dimensiones en el sistema natural, se hará la siguiente
conversión:
∬
∫ ∫
Las funciones de forma expresadas en coordenadas naturales deben satisfacer los mismos
requisitos que en coordenadas cartesianas. Por tanto para elementos de clase C0, se debe de cumplir con:
Condición de compatibilidad nodal.
( ) {
Condición de sólido rígido
∑
Dentro de los elementos rectangulares se clase C0 se distinguen dos grupos o familias diferentes:
la lagrangiana y la serendípita.
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Figura 2.7: Elemento Rectangular en Coordenadas Cartesianas y Naturales.
Las funciones de forma de elementos rectangulares lagrangianos se obtienen del producto de dos
polinomios de Lagrange unidimensionales. Por ejemplo, si es el polinomio de Lagrange de grado I
en dirección del nodo i, y el de grado J en dirección , la función de forma de nodo será:
( )
En la figura 2.8 se muestran algunos elementos rectangulares lagrangianos. Una vez que se ha
definido el número de nodos en cada dirección, dicho número no puede variar a lo largo de las diferentes
líneas nodales. El número de términos polinómicos contenidos en las funciones de forma de un elemento
lagrangiano puede obtenerse usando el triángulo de Pascal. Los polinomios nunca serán polinomios
completos y todas contienen un número de términos adicionales que crece con el orden del elemento.
Si analizamos el elemento rectangular lineal de cuatro nodos, se tiene el término que
corresponde a un polinomio de segundo grado, entonces se dice que la función de forma contiene
términos de polinomios incompletos. Dichos términos generan variables nodales que no contribuyen a
aumentar la aproximación del elemento. Se puede entonces afirmar que entre dos elementos cuyas
funciones de forma contengan polinomios completos del mismo grado, es más recomendable aquella
función con menos variables nodales.
2.6.1. Elemento Rectangular Lagrangiano de cuatro nodos
Si se considera un nodo i, los polinomios unidimensionales en cada dirección
coinciden con las funciones de forma del elemento de barra de dos nodos. Por tanto:
(
)
Donde toman los valores de la tabla mostrada en la figura 2.9. Entonces
sustituyendo los valores de (2.31) en (2.32), la función de forma en el nodo i es:
( )
(
)
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Figura 2.8: Elementos lagrangianos.
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
Figura 2.9: Elemento rectangular Lagrangiano de cuatro nodos.
2.6.2. Elemento Rectangular Lagrangiano cuadrático de nueve nodos
Las funciones de forma para el elemento rectangular lagrangiano de nueve lados, las
obtendremos como productos de dos polinomios de Lagrange de segundo grado de un elemento
cuadrático de tres nodos unidimensional. La forma gráfica de obtener dichas funciones se puede
observar en la figura 2.10, además se muestra las coordenadas naturales para cada nodo que se
debe de usar.
Las funciones de forma unidimensionales son:
Nodos de Esquina:
( )
(
)
Nodos Intermedios en los Lados:
( )
(
)
( )
(
)
Nodo Central:
( )
En la figura 2.8, se muestra que el elemento lagrangiano cuadrático contiene todos los
términos del polinomio completo de segundo grado y 3 términos adicionales ( )
de pertenecen al tercer y cuarto grado. Entonces podemos afirmar que la aproximación del
elemento de nueve nodos es simplemente cuadrática.
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
Figura 2.10: Elemento rectangular Lagrangiano de nueve nodos.
2.6.3. Elementos Rectangulares Lagrangianos de Orden Superior
Elementos lagrangianos de orden superior como los de 4, 5, 6, 7, etc., se obtienen como
producto de dos polinomios de Lagrange de tercer, cuarto, quinto, sexto, etc., grado
respectivamente. Se deduce que las funciones de forma de un elemento lagrangiano con n nodos
en cada una de las dos direcciones naturales, contiene un polinomio completo de grado n-1, y
n(n-1)/2 términos de polinomios incompletos de grados superiores.
Los elementos rectangulares lagrangianos pueden tener diferente número de nodos en
cada dirección. En este caso las funciones de forma se obtienen igualmente por el producto de
dos polinomios de Lagrange adecuados en cada dirección. El aumento del número de nodos en
una dirección no contribuye a incrementar el grado de aproximación, ya que estos elementos
contendrán polinomios completos de un grado igual al menor de los dos polinomios de Lagrange
unidimensionales en cada dirección.
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
Los elementos Serendípitos se obtienen de la siguiente manera: se selecciona el número de nodos
de cada lado para definir una variación lineal, cuadrática, cúbica, etc.; luego se escoge el mínimo número
de nodos en el interior para que se pueda obtener una variación polinómica completa y simétrica del
mismo grado que la variación sobre los lados. En la figura 2.11 se muestran algunos de los elementos
rectangulares más populares.
El elemento más sencillo es el rectángulo de cuatro nodos, que es similar a la familia de
elementos lagrangianos. Las funciones de forma serendípitas no se obtienen de manera sistemática como
en los elementos lagrangianos, sino dependen de la “observación y el ingenio”. El nombre es una
referencia al príncipe Serendip y a sus descubrimientos ingeniosos.
2.7.1. Elemento Rectangular Serendípito Cuadrático de Ocho nodos
Las funciones de forma en los nodos intermedios, se obtienen del producto de un
polinomio de segundo grado en , por otro de primer grado en . El producto de los
polinomios contiene los términos polinómicos deseados. Para dichos nodos las funciones de
forma se pueden escribir de manera general como sigue:
Para los nodos de esquina no se pueden multiplicar directamente dos polinomios de
segundo orden, ya que nos daría un valor nudo en el centro del elemento, violando la condición
de sólido rígido. Por tanto se debe de realizar un procedimiento distinto (ver figura 2.12).
Se trabajará para el nodo y por analogía se pueden calcular las demás funciones de
forma (ver figura 2.12). Se obtiene la función de forma que correspondería al nodo de esquina de
un elemento de cuatro lados, lo que se obtiene es que en el nudo 1 la función de forma tenga un
valor de uno y cero en el resto de nodos, excepto en los nodos adyacentes:
En uno de los nodos adyacentes se impone que el valor sea cero, lo que se logra
restando la mitad del valor de la función de forma en dicho nodo adyacente. Para anular en el
nodo 2, se hace:
El último paso será realizar el paso anterior pero en el otro nodo adyacente. Anulamos
el valor en el nodo 8:
Ahora la función cumplirá con las condiciones de compatibilidad nodal y sólido
rígido, y además contiene los términos polinómicos correctos.De manera general realizando el
mismo procedimiento para el resto de nodos de esquina, se tendrá la siguiente expresión de uso
general:
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
Figura 2.10: Elementos rectangulares Serendípitos.
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
Figura 2.11: Elemento rectangular serendípito cuadrático de ocho nodos.
El elemento serendípito de ocho nodos tiene una aproximación cuadrática completa (ver
figura 2.10) y sólo contiene dos términos adicionales x2y y xy2 del polinomio de tercer grado.
Comparado con el elemento lagrangiano de nueve lados, el elemento serendípito tiene el mismo
grado de aproximación pero con ocho nodos. Lo que significa que el elemento serendípito
presenta una mejor relación grado de aproximación/número de variables nodales, de ahí su uso y
recomendación para el desarrollo de problemas de elasticidad en dos dimensiones.
2.7.2. Elementos Rectangulares Serendípitos de Mayor Orden
En la figura 2.10 se puede observar el elemento cúbico de doce nodos. Las funciones de
forma se obtienen de manera similar al elemento de ocho nodos. Las funciones de forma de los
nodos intermedios se obtienen multiplicando polinomios lagrangianos cúbicos por otros de
primer grado. Los nodos de esquina se parten de las funciones lineales del rectángulo de cuatro
nodos a los que se restan sucesivamente las funciones de forma de los nodos adyacentes, los que
se ponderan adecuadamente para que la función resultante se anule en dichos nodos. Las
funciones de forma cumplirán con las condiciones de compatibilidad en los nodos y de sólido
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
rígido. En el caso del elemento de doce nodos, la aproximación será cúbica conteniendo sólo dos
términos del polinomio de cuarto grado. Comparando este elemento con el elemento lagrangiano
de 16 nodos, se concluye que el elemento serendípito de 12 nodos es más competitivo, pues
presenta el mismo grado de aproximación que el de 16 nodos, lo que representa un 25% menos
de variables.
En la figura 2.10, también se aprecia el elemento rectangular serendípito de cuarto
grado de diecisiete nodos. Para tener el desarrollo completo de un polinomio de cuarto orden, es
necesario introducir un nodo central, por lo que será necesario usar una función burbuja. El
proceso para la obtención de las funciones de forma, siguen el mismo procedimiento
mencionado para el elemento de 8 y 12 nodos. Se debe tener cuidado con el nudo central, ya que
es necesario que en este nodo el valor de las funciones sea cero. En comparación al elemento
lagrangiano de 25 nodos, es fácil de notar que el elemento serendípito es muy competitivo a su
análogo lagrangiano de igual aproximación, con un ahorro de casi el 50% de variables.
En la figura 2.13 se pueden ver los elementos triangulares de tres, seis y diez nodos, que definen
aproximaciones completas de primer, segundo y tercer grado respectivamente. El desarrollo de los
polinomios puede obtenerse del triángulo de Pascal.
Elemento de Tres Nodos:
Elemento de Seis Nodos:
Elemento de Tres Nodos:
Los coeficientes de los polinomios se pueden obtener mediante la solución de un sistema de
ecuaciones, pero cuando se tienen elementos de órdenes elevados se vuelve más complicado. Una forma
más sencilla y directa es haciendo uso de coordenadas de área.
2.8.1. Coordenadas de Área
Si se tiene el punto P, que es donde se encuentra el baricentro de un triángulo (ver figura
2.12), con los tres vértices, se obtienen tres áreas A1, A2 y A3, tal que A1, A2 y A3 = A. Las
coordenadas de área se definen como:
Se cumplirá:
Las coordenadas de área de un nodo pueden definirse como el cociente entre la distancia
del P al lado opuesto y la distancia entre el nodo y dicho lado (figura 2.12). El centro de
gravedad del triángulo tendrá coordenadas de área . A las coordenadas de
área se les conocen también coordenadas baricéntricas, triangulares o trilineares.
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
Figura 2.12: Coordenadas de área de un triángulo.
son coordenadas de área del baricentro.
Si la geometría y el campo de desplazamientos se definen por las mismas funciones de
forma expresadas en coordenadas de área, el elemento es isoparamétrico. Por tanto para un
elemento triangular de lados rectos se puede escribir la relación lineal entre las coordenadas de
un punto y las de área:
Trabajando con (2.34) y (2.35) para despejar los valores de obtenemos:
Donde es el área del triángulo, coinciden con los valores presentados para
el elemento triangular de tres nodos (expresión 2.18). Con la ecuación (2.37) se comprueba que
las coordenadas de área son precisamente las funciones de forma del elemento triangular de tres
nodos.
2.8.2. Expresión General de las funciones de forma de un elemento triangular
completo
Las funciones de forma de los elementos triangulares que contienen polinomios
completos de grado M se pueden obtener de las coordenadas de área. Para un nodo i cualquiera
ubicado en los lados o interior del elemento, las coordenadas (I, J, K) coinciden con los
exponentes con que va afectada cada una de las coordenadas de área , en la expresión
de forma del nodo. Se cumple que I + J + K = M. La función de forma en el nodo i esta dado por
la siguiente expresión:
, es el polinomio de Lagrange de grado I en L1, que toma el valor unidad en el
nodo i, es decir:
∏
( )
(
)
En (2.39) es el valor de la coordenada L1 en l nodo i. Para
se usan
expresiones análogas.
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
Figura 2.13: Elementos triangulares lineal, cuadrático y cúbico. Valores Nodales de las coordenadas de
área Li y entre paréntesis los de las coordenadas (I, J, K) de cada nodo.
Para deducir los valores de I, J y K se debe tener en cuenta que la función de forma de
cada nodo de vértice depende únicamente de una coordenada de área, por tanto el valor de I, J y
K del nodo; los nodos colocados sobre las rectas L1 tienen el mismo valor I, y lo mismo ocurre
con L2 y J y L3 y K; los valores I, J y K decrecen de unidad en unidad, desde sus valores
máximos sobre las rectas Li=1 en el nodo del vértice, hasta el valor de cero sobre la recta Li=0
que coincide con el lado opuesto al vértice.
2.8.3. Funciones de Forma del Elemento Triangular Lineal de Tres Nodos
Las funciones de forma serán polinomios de primer grado (M=1). La posición de cada
nodo y sus coordenadas de área pueden verse en la figura 2.13.
Nodo 1: Posición (I,J,K) = (1,0,0), Coordenadas de Área = (1,0,0)
2.8.4. Funciones de Forma del Elemento Triangular Cuadrático de Seis Nodos
Las funciones de forma serán polinomios completos d segundo grado (m=2). La
posición de los nodos y las coordenadas de área se pueden ver en la figura 2.13.
Nodo 1: Posición (I,J,K) = (2,0,0), Coordenadas de Área = (1,0,0)
∏(
)
(
)
( ⁄ )
( ⁄ )
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
Figura 2.14: Funciones de forma de un nodo esquina y un nodo lateral en un elemento triangular
cuadrático
Nodo 4: Posición (I,J,K) = (1,1,0), Coordenadas de Área = (1/2,1/2,0)
∏
( )
(
)
∏
( )
(
)
Reemplazando
en (2.40):
Siguiendo el mismo procedimiento obtenemos el resto de funciones:
2.8.5. Funciones de Forma del Elemento Triangular Cúbico de Diez Nodos
Las funciones de forma serán polinomios cúbicos (M=3).
Nodo 1: Posición (I,J,K) = (3,0,0), Coordenadas de Área = (1,0,0)
∏
( )
(
)
Nodo 4: Posición (I,J,K) = (2,1,0), Coordenadas de Área = (2/3,1/3,2/3)
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
∏
( )
(
)
∏
( )
(
)
Reemplazando
en (2.41):
Siguiendo el mismo procedimiento se obtienen las demás funciones de forma, entonces:
2.8.6. Coordenadas Naturales
En la figura 2.15, se puede observar las coordenadas naturales de un elemento
triangular, los lados del elemento se encuentran sobre los ejes α=0, β=0 y 1-α-β=0. Las funciones
de forma estarán dadas por:
Las coordenadas de área L2 y L3 coinciden con las coordenadas α y β respectivamente,
L1=1-α-β.
2.9.1. Elementos Cuadriláteros Isoparamétricos
Los elementos Isoparamétricos utilizan las mismas funciones de forma para interpolar la
geometría y las incógnitas. Por tanto, la expresión geométrica de un elemento isoparamétrico
bidimensional a partir de las coordenadas x e y de sus nodos será:
donde son las funciones de forma del elemento. Esta ecuación relaciona las
coordenadas cartesianas de un punto y las coordenadas naturales . Dicha relación debe ser
biunívoca, por tanto debe cumplirse que la determinante de la matriz jacobiana de la
transformación de coordenadas sea de signo constante en todo el elemento.
Puede demostrar que si se utilizan funciones de forma lineales, dicha condición exige
que ningún ángulo interior entre dos lados del elemento sea mayor que 180º. Si las funciones de
forma son cuadráticas es necesario que los nodos sobre los lados se encuentren en el tercio
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
central de la distancia entre los nodos esquina adyacentes. Para funciones de forma de órdenes
superiores no existen reglas prácticas y es necesario comprobar el signo del determinante
jacobiano. No obstante, las funciones de grado superior a dos son poco utilizables en la práctica.
En la Figura 2-16 se muestran algunos ejemplos de elementos Isoparamétricos en dos
dimensiones.
Figura 2.15: Coordenadas Naturales en un elemento triangular
Figura 2.16: Algunos elementos Isoparamétricos bidimensionales
Para mayor claridad se prescindirá del índice € en las funciones de forma del elemento,
así como en la matriz de flujos elementales.
La ecuación (2-43) permite obtener la relación entre las derivadas de las funciones de
forma con respecto a los sistemas de coordenadas cartesianas y naturales. En general, vendrá
expresada en las coordenadas naturales y , por lo que la regla de derivación en cadena permite
escribir como:
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
o en forma matricial
donde es la matriz jacobiana, o el jacobiano, de la transformación de coordenadas
naturales a cartesianas. De la ecuación (2.45) se deduce:
donde | | es el determinante del jacobiano.
El determinante del jacobiano permite también expresar el diferencial de área en
coordenadas naturales como:
Para calcular los términos del jacobiano se utiliza la transformación isoparamétrica
(2.43):
por lo que:
Si el elemento es rectangular se obtiene fácilmente:
Volviendo al problema de Poisson, la matriz de gradiente nodal de un elemento
isoparamétrico bidimensional se expresa en función de las coordenadas naturales, haciendo uso
de (2.46), por:
donde:
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
Haciendo uso de las expresiones anteriores, la matriz de rigidez del elemento puede
escribirse como una integral sobre el dominio normalizado de las naturales por:
Se deduce de la expresión anterior que los términos del integrando son funciones
racionales en y amenos que el determinante del jacobiano sea constante. Esto sólo ocurre en
elementos rectangulares o en elementos triangulares de lados rectos, en cuyo caso las integrales
se simplifican notablemente. Sin embargo, en elementos de lados curvos, la integración analítica
de los términos de
es compleja y es necesario hacer uso de la integración numérica.
2.9.2. Elementos Triangulares Isoparamétricos
En elementos triangulares la interpolación isoparamétrica se define de forma similar a la
ecuación (2.43):
Si el elemento triangular es de lados curvos, es más conveniente operar en función de
las coordenadas naturales y definidas anteriormente, lo que implica sencillamente sustituir
y por y , respectivamente, y por . A partir de aquí el cálculo de las
derivadas cartesianas de las funciones de forma sigue exactamente los pasos descritos en el
apartado anterior, intercambiando simplemente las coordenadas y por y ,
respectivamente. Así por ejemplo:
La matriz de rigidez del elemento se obtiene por una expresión análoga a la (2.54), tal
como:
donde los términos , y se deducen de las ecuaciones (2.50) – (2.54)
sustituyendo las coordenadas y por y , respectivamente.
En elementos de lados curvos los términos del integrando de (2.57) son funciones
racionales en y . Esa dificultad se complica con la interdependencia de los límites de
integración debida a la geometría del elemento. No obstante, el cálculo de las integrales puede
efectuarse de manera sencilla y sistemática mediante integración numérica, como veremos en el
apartado siguiente.
2.9.3. Integración Numérica en Dos Dimensiones
Mediante la formulación isoparamétrica se pueden transformar las integrales sobre el dominio
del elemento a otras sobre el espacio de coordenadas naturales. Para el cálculo de dichas
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
integrales, que suelen contener términos racionales, puede hacerse uso de cualquiera de las
cuadraturas de integración numérica. Consideraremos la cuadratura de Gauss-Legendre sobre
dominios bidimensionales.
Figura 2.17: Cuadratura de Gauss-Legendre sobre elementos cuadriláteros: a) 1 x 1; b) 2 x 2; c) 3 x 3; y
d) 4 x 4 puntos de integración
Figura 2.18: Puntos de la cuadratura de Gauss en elementos triangulares
2.9.3.1. Integración Numérica en Dominios Cuadriláteros Isoparamétricos
La integral de un término cualquiera de la matriz de rigidez
sobre el
dominio de coordenadas naturales de un elemento cuadrilátero puede evaluarse por una
cuadratura de Gauss-Legendre bidimensional como:
donde y son el número de puntos de integración seleccionados en cada una de las
direcciones y ; y son las coordenadas naturales del punto de integración p, q y ,
los pesos correspondientes a cada dirección en dicho punto.
Las coordenadas y los pesos para cada dirección se deducen directamente de los dados
en la Tabla dada para el caso unidimensional. Recordando, una cuadratura de orden n encada
dirección natural integra exactamente un polinomio de grado ≤ 2n – 1 en la correspondiente
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
coordenada natural. En la Figura 2-17 se muestran algunas de las cuadraturas bidimensionales
más usuales sobre elementos cuadriláteros.
2.9.3.2. Integración Numérica en Dominios Triangulares Is oparamétricos
La cuadratura de Gauss para elementos triangulares se escribe como:
donde es el número de puntos de integración; ,
, y son los valores de
las coordenadas de área y del peso en el punto de integración p, respectivamente.
En la Figura 2.18 se muestran las coordenadas y los pesos más utilizados en la práctica;
la “precisión” en dicha figura es el polinomio de mayor grado que la fórmula integra
exactamente. La Figura 2.18 es también de utilidad inmediata para el cálculo de integrales
definidas en función de las coordenadas naturales y haciendo uso de la relación entre dichas
coordenadas y las de áreas.
Es importante advertir que en dicha figura se han normalizado los pesos de manera
que su suma sea ½. Es también usual que los pesos se tabulen de modo que sumen la unidad. En
este caso debe afectarse el sumatorio de (2.59) del coeficiente ½ para que el área del elemento se
calcule exactamente.
2.9.4. Selección del Orden de Integración
El número de puntos de integración se selecciona de acuerdo con el grado de los
polinomios que aparecen en las integrales del elemento. Si el elemento es isoparamétrico dichas
integrales contienen funciones racionales y la integración exacta no es posible. En este caso suele
escogerse una cuadratura que integre exactamente la matriz (o vector) de un elemento análogo
rectangular o triangular de lados rectos en el que, por ser el jacobiano constante, las integrales
sólo contienen funciones polinómicas.
Está comprobado que en este último caso basta con que la cuadratura seleccionada
integre exactamente los términos de
correspondientes al polinomio completo contenido en
las funciones de forma, pues, de hecho, dichos términos son los únicos que contribuyen
significativamente a la aproximación y convergencia de la solución.
Este orden de integración recibe el nombre de cuadratura mínima para mantener la
convergencia. Vemos como de nuevo una integración “inexacta” de la matriz de rigidez conduce
a resultados correctos.
En la práctica la cuadratura mínima es la más recomendable ya que, obviamente, es la
más económica en número de operaciones. Es interesante constatar cómo, en ocasiones, la
integración mínima proporciona incluso mejores resultados debido a la mayor flexibilidad que
confiere al elemento, que cancela en parte lo errores por exceso de rigidez inherentes a la
discretización y al campo de desplazamiento supuesto.
En la Figura 2.19 se muestran las cuadraturas de integración exacta y mínima para los
elementos rectangulares y triangulares de lados rectos más usuales.
Algunos autores asocian el nombre de cuadratura mínima a aquella que garantiza que el
elemento pueda reproducir en el límite un estado de gradiente constante. Esto implica que la
cuadratura escogida debe poder evaluar correctamente el área (o el volumen) del elemento, lo
que en coordenadas naturales representa calcular exactamente:
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
Figura 2.19: Cuadraturas de integración exacta y mínima para algunos de los elementos rectangulares y
triangulares de las rectos más usuales
Figura 2.20: Modos de energía nula (mecanismos) en elementos cuadriláteros de elasticidad plana: a)
Mecanismos propagables en el elemento de 4 nodos con un punto de integración; b) Mecanismo no
propagable en un elemento de 8 nodos integrado con una cuadratura 2 x 2. Los elementos diferenciales
de área en los puntos de Gauss giran sin deformarse.
En elementos rectangulares y triangulares de lados rectos esta condición es muy débil
pues exige únicamente una cuadratura de un solo punto, lo que generalmente viola la exigencia
mínima para mantener la convergencia descrita más arriba (salvo en elementos triangulares de
tres nodos), y puede dar origen a mecanismos internos asociados a modos de energía nula.
Dichos mecanismos se producen cuando el campo de gradiente se anula en los puntos de
integración numérica. En ocasiones estos mecanismos son compatibles entre sí y provocan la
singularidad de la matriz de rigidez K, con la consiguiente pérdida de la solución. Este el caso de
los mecanismos que se producen en el elemento de cuatro nodos de elasticidad plana con un solo
punto de integración (Figura 2-20 c). De cualquier manera es deseable que el elemento esté libre
El Método de los Elementos Finitos – Mecánica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales
de mecanismos internos, por lo que es más práctico definir la cuadratura mínima en base a los
criterios de integración del polinomio completo antes mencionado, ya que siempre garantizan la
integración exacta del área del elemento.
Figura 2.22: Viga en voladizo analizada con cuatro elementos Serendípitos de ocho nodos.
Valores del esfuerzo cortante en las secciones correspondientes a la cuadratura 2 x 2 de Gauss-Legendre
y extrapolación lineal a los nodos.
Es importante destacar que los puntos de la cuadratura mínima coinciden en la mayor
parte de los casos con los puntos óptimos para el cálculo de gradientes y flujos (deformaciones y
tensiones en un problema estructural). La trascendencia de esta coincidencia queda reflejada en
el ejemplo del análisis estructural de una viga en voladizo con elementos rectangulares
Serendípitos de 8 nodos (Figura 2.22). Puede apreciarse en dicha figura que la variación del
esfuerzo cortante dentro de cada elemento es parabólica y por lo tanto incorrecta. Por otra parte,
los valores del esfuerzo cortante obtenidos en las secciones correspondientes a los puntos de la
cuadratura mínima/óptima 2 x 2 coinciden con los exactos y una simple interpolación lineal de
dichos valores a los nodos proporciona la distribución exacta.
