Mtodos Numricos Aplicados a la Ingeniera

Mtodos Numricos Aplicados a la Ingeniera

II. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE UNA MATRIZ 2.1. Aspectos bsicos.

2.2. Teorema de Schur y Gershgorin

2.3. Problemas propios de una matriz.

2.4. Factorizaciones Ortogonales y problemas de mnimos cuadrados

2.5. Mtodo de QR de Francis para problemas de valores propios.

2.6. Mtodo mixtos evaluacin de la determinante Iteracin en un subespacioII. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE UNA MATRIZ2.1. ASPECTOS BSICOS

Para ingresar a los estudios de los valores propios de una matriz debemos tener cierta familiaridad con matrices y determinantes los nmeros complejos.2.1.1. MATRICES, DEFINICIN, INTERPRETACIN DEFINICIN: Llamaremos matriz a un arreglo rectangular de entes (nmeros, funciones, etc) ordenados en filas y columnas.

2.1.2. ORDEN DE UNA MATRIZ: Se llama as al producto de las filas y columnas.

; ;

2.1.3. MATRIZ FILA Y MATRIZ COLUMNA

MATRIZ FILA: Llamaremos matriz fila o vector fila a aquella matriz que posee slo una fila y n columnas.

La representamos del siguiente modo:

MATRIZ COLUMNA: Llamaremos matriz columna o vector columna a aquella matriz que posee slo una columna y m filas.

La representamos del siguiente modo:

2.1.4. IGUALDAD DE MATRICES: Las matrices son iguales si tienen el mismo orden; es decir el nmero de filas y columnas de cada una deben de ser iguales y adems cada elemento de una de ellas tiene que ser igual al correspondiente de la otra.

Su representacin matricial es:

El resultado quiere decir que los elementos de las matrices A y C son diferentes excepto el elemento que est en la segunda fila y primera columna

2.1.5. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ:

Ejemplo:

1.

2.

Esta matriz nos proporciona la cantidad de productos producidos por una empresa en cuatro diferentes plantas cuando su produccin aumenta en diez veces.

Propiedades:

1

2

SUMA DE MATRICES: Dadas las matrices ; la suma de ambas es otra matriz en la que cada elemento de es igual a la suma de los elementos correspondientes de .

Su representacin matricial es:

Ejemplo:

1.

2. En una empresa

M1=

M2=

Esta matriz nos proporciona el costo para producir parte de cada uno de los cuatro productos en cuatro plantas ubicadas en ciudades diferentes se requiere saber el costo total de cada uno de los productos.

Matriz de costo total =

Propiedades:

1.

2.

3.

4.

2.1.6. PRODUCTO DE MATRICES

El producto de las matrices es una matriz . El producto de las matrices estar definido correctamente si ; es decir si el nmero de columnas de la matriz es igual al nmero de filas de la matriz . Su representacin matricial es:

Donde el elemento es el producto escalar de la fila de por la columna de , es decir:

Ejemplo:1. ; Entonces:

Propiedades:

1.

2.

3.

4.

5.

2.1.7. TIPOS ESPECIALES DE MATRICES:

1. MATRIZ CUADRADA: Cuando ; se llama matriz cuadrada de orden y se denota por .

: Matriz cuadrada de orden 2x2.

: Matriz cuadrada de orden 3x3.

: Matriz cuadrada de orden nxn.

Ejemplo:

1. 2.

2. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: Llamaremos matriz triangular superior a aquella matriz cuyos elementos son ceros para ; y se representa como:

3. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: Llamaremos matriz triangular inferior a aquella matriz cuyos elementos son ceros para ; y se representa como:

4. MATRIZ DIAGONAL: Llamaremos matriz diagonal a aquella matriz donde todos sus elementos son ceros para , y se representa de la siguiente forma:

5. MATRIZ ESCALAR: Es aquella matriz diagonal donde todos los elementos son igual a una constante ; y se representa de la siguiente manera:

6. MATRIZ IDENTIDAD: Es una matriz escalar con ; y se representa de la siguiente manera:

7. MATRIZ TRANSPUESTA: Dada una matriz ; llamaremos transpuesta de denotada por a la matriz

Ejemplo:1.

Propiedades:

1.

2.

3.

4.

5.

8. MATRIZ SIMTRICA:Se dice que una matriz cuadrada es simtrica si se cumple que los elementos ; es decir .

Ejemplo:

9. MATRIZ ANTISIMTRICA: Una matriz cuadrada se llama anti simtrica si

Ejemplo:

1.

2.

10. MATRIZ HERMITIANAS

Las matrices cuadradas cuyos elementos tienen simetra conjugada se le llama matriz Hermitianas es decir: , en donde * indica la conjugada compleja

Ejemplo:

, en donde Observemos si todos los elementos de la matriz Hermitiana fueran reales, entonces tenemos una matriz simtrica.

11. MATRIZ BANDA

Es una matriz cuadrada en donde la mayor parte de los elementos son ceros y los elementos con valor significativo estn agrupados alrededor de su diagonal principal en este caso se llama matriz banda.Ejemplo:

Obs.

1. Las lneas paralelas a la diagonal principal se le llama codiagonales.

2. El nmero total de diagonal y codiagonales con elementos significativos es el ancho de banda (3 en este ejemplo). 3. Para matrices simtricas puede tambin hablarse de un ancho de semi banda; que incluye a la diagonal principal (2 en el ejemplo precedente). 4. Una matriz banda tiene baja densidad. Considerando densidad como la razn entre el nmero de elementos con valor significativo y el nmero total de elementos.

2.1.8 DETERMINANTE DE UNA MATRIZDefinicin: Determinante de una matriz denotada por .

Si ; entonces

Ejemplo:1.

2.1.8.1. MENOR COMPLEMENTARIO

Definicin: Llamaremos menor complemento de un elemento de una matriz de tercer orden al determinante de una matriz cuadrada de segundo orden que se obtiene despus de eliminar la fila y la columna ;.

El menor complementario de se denota por .

Ejemplo: el menor complementario de:

es

es

2.1.8.2. COFACTOR DE UN ELEMENTO

Sea un elemento de una matriz denotaremos cofactor y se define como:

Sea entonces

Entonces

Ejemplo:

1.

A=[1 0 0;1 2 3;0 0 5]

A =

1 0 0

1 2 3

0 0 5

det(A)

ans =

10

2.

Por lo tanto

B=[2 5 3;-2 3 4;0 -2 1]

B =

2 5 3

-2 3 4

0 -2 1

det(B)

ans =

44

2.1.8.3. Propiedades:

1. Si se intercambian una fila por una columna en su determinante su valor no se altera.

Es decir:

2. Si todos sus elementos de una fila o columna son ceros el determinante es cero.

3. Si se intercambian dos filas o dos columnas continuas el determinante cambia de signo.

Es decir:

4. Si un determinante tiene dos filas dos columnas iguales o proporcionales su valor es cero.

Es decir:

5. Todos los elementos de una fila o columna de un determinante se multiplica por un nmero el valor del determinante queda multiplicado por el nmero.

Es decir:

6. Si todos los elementos de una fila o columna son expresados como la suma de dos o ms nmeros, el determinante puede expresarse como la suma de dos o ms determinantes.

Es decir:

7. Si a cada uno de los elementos de una fila o columna se le multiplica por m y a este resultado se le suma otra fila o columna el valor del determinante no se altera.

Es decir:

2.1.8.4. Observaciones

La determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. , det(A) = (1)(5)(12)= 60

; det(A)= (1)(2)(10)(2)(20)=800Para un producto matricial se cumple que: det(A.B.C)=det(A). det(B). det(C)2.1.8.5. MATRIZ DE COFACTORES

Sea la matriz entonces llamamos matriz de cofactores de la matriz a la matriz ; donde

Ejemplo:

2.1.8.6. MATRIZ ADJUNTA Se llama as a la matriz transpuesta de la matriz de cofactores y se denota por ,

Ejemplo:

2.1.8.7. MATRIZ INVERSA.Supongamos la matriz cuadrada tiene , entonces la inversa de la matriz denotada por es:

Ejemplo:

Verificando tenemos:

Una matriz cuadrada tiene inversa si y slo si es una matriz no singular en este caso se dice que es una matriz invertible.

Propiedades:

1.

2.

3.

4. Donde es el orden de la matriz

5. La inversin de matrices permite efectuar la operacin equivalente a la divisin del lgebra comn.

6. Una matriz A se llama ortogonal si AAT=I, en particular si A es una matriz cuadrada se tiene que A-1 = ATEjemplo:

,

,21.1.8.8. RANGO DE UNA MATRIZ:

Se llama rango de una matriz A de orden nxn, al orden de la matriz cuadrada mas grande contenida en A cuyo determinante es diferente de cero y se denota r(A) = rango de A.

Debemos resaltar que el r(A) min:{m,n} donde la matriz A en de orden de mxn.

Para determinar el rango de una matriz se debe de tener en consideracin que al determinar las matrices cuadradas es suficiente que una de ellas tenga su determinante diferente de cero.

Ejemplo: Hallar el rango de la siguiente matriz:

Solucin

Como la matriz es de orden 4x3, esto quiere decir que r(A) min{4,3} en otras palabras r(A) 3

Determinamos las matrices de 3x3:

; ;;

Como no existen ms matrices de orden de 3x3 cuyos determinantes sean ceros esto quiere decir que el orden de la matriz dada es 3.

Si en caso que sus determinantes fueran ceros entonces se prosigue a determinar los determinantes de orden 2x2.

Aclaraciones:

- Toda matriz nula tiene como rango cero,

- Si una matriz A es de orden mxn no nula entonces su rango es mayor que cero y menor igual que min (m,n)

- Si la matriz es de orden nxn su rango es mayor que cero y menor o igual a n;

- Si la matriz es no nula de orden nxn , entonces existe su inversa si solo si su determinante es diferente cero , en este caso se dice que la matriz es no singular.

- De la afirmacin anterior tambin se dice que una matriz cuadrada de orden nxn tiene inversa si y solo si r(A) =n.

- Supongamos dos matrices A y B y que exista AB, entonces r(AB) min{r(A), r(B)};

- Tambin es necesario resaltar que existe otra manera de calcular el rango de una matriz y es usando operaciones elementales o transformaciones elementales.

2.1.8.9. OPERACIONES O TRANSFORMACIONES ELEMENTALES

Son operaciones con matrices que no alteran su orden ni su rango, existiendo operaciones elementales por fila o por columnas.

1. La permutacin de una fila por una columna se denota por Hij,

2. La permutacin de columna por columna se denota por Kij;

3. El producto de todos los elementos de la fila i por un escalar a distinto de cero se representa por Hi(a);

4. El producto de todos los elementos de una columna J por un escalar b se denota por Kj(b);

5. La suma de los elementos de la fila I con los correspondientes elementos de la fila j multiplicados por un escalar k es representado por Hij(k);

6. La suma de los elementos de una columna i, con los correspondientes elementos de una columna j multiplicado por un escalar p se denota por Kij(p);

7. Debemos aclarar que a las operaciones de tipo H se les llama operaciones de tipo fila y a las operaciones de tipo K se les llama operaciones columna.2.1.8.10. LONGITUD DE UN VECTOR

Supongamos x un vector en R2, su longitud denotado por |x| es definido como un nmero positivo o cero.

,

En trminos de producto punto

,

Ejemplo: sea determinar su norma

Solucin

=7.0711

Debemos tener en consideracin que el campo de los nmeros reales R tiene el defecto de que un polinomio de grado n con coeficientes reales no necesariamente tiene n ceros reales.

Por ejemplo carece de ceros reales, este defecto se supera extendiendo el campo de tal manera que contenga al elemento i, elemento que se caracteriza por la ecuacin , que es el campo C de los nmeros complejos en donde sus elementos tienen la forma: x=a+bi , en donde a, b son reales.

Su conjugado, norma, o modulo, se le define:

; ,

,

Observe que:

1. ,

2. El campo de los complejos ya no tiene la anomala de los reales, es mas tenemos el teorema fundamental del algebra, que establece que todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos un cero en el plano complejo.

3. La afirmacin anterior permite afirmar que todo polinomio de grado n se puede descomponer como un producto de n factores lineales.

ANGULO ENTRE VECTORES

El coseno entre dos vectores es dado por ,

Ejemplo

Sean los vectores y , entonces el ngulo entre ellos es:

,

PERPENDICULARIDAD DE VECTORES

Dos vectores son ortogonales si el coseno entre ellos es cero es decir si solo si

,

Ejemplo

Sean los vectores x=(2,3,3,4), y =(4,-3,7,-5) son ortogonales pues:

X*y=2*4+3(-3)+3*7+4(-5)=0

2.1.9. ESPACIO VECTORIAL Cn

El espacio vectorial Cn, esta compuesto de todos los vectores en donde los , Si al vector complejo x es multiplicado por tambin complejo el resultado es otro vector complejo as:

,

En consecuencia Cn, es un espacio vectorial sobre el campo de C. En consecuencia en este espacio Cn. El producto interno se define:

,2.1.10. NORMA DE VECTORES

La norma Euclidiana se define:

,

Podemos observar que,

1. ,

2. ,

3. ,

Consideremos A una matriz con elementos complejos, y A* denota su conjugada transpuesta es decir en particular, si x es una matriz de nx1 (o vector columna), entonces , es una matriz de 1xn o vector fila,

,

,

En general podemos definir norma de un vector x

,Como casos particulares tenemos la norma Euclidiana cuando p=2

,Mximo valor absoluto

Propiedades

1. ,

2. ,

3. ,

Estas propiedades son familiares en relacin a la norma Euclidiana o longitud de un vector.

La norma de una matriz cuadrada, A , puede ser definida en forma consistente con la definicin de norma de un vector:, (x),

La norma de es donde es el mximo valor caracterstico de At.A. Tambin

Estas normas definidas satisfacen ,

2.1.10. VALOR PROPIO DE UN MATRIZ A

Ahora consideremos A una matriz de orden nxn cuyos elementos pueden ser complejos y sea un escalar (numero complejo). Si la ecuacin

..................................................................................................(1)

Tiene una solucin no trivial es decir entonces , es un valor propio de A . Un vector x distinto de cero que satisface la ecuacin (1) es un vector propio de A correspondiente al valor propio .

Ejemplo: Consideremos la Ecuacin siguiente

,

Esta ecuacin nos afirma que -2 es un valor propio de matriz 3x3 y que (1,3,-4)T, es un vector propio correspondiente.

Observemos que cualquier mltiplo distinto de cero de un vector propio es tambin un vector propio correspondiente al mismo valor propio.

La condicin de que la ecuacin (1) tenga una solucin no trivial es equivalente a cada una de las siguientes afirmaciones:

1. , mapea algn vector distinto de cero en 0,......................(2).

2. , es singular,.............................................................(3)

3. ),........................................................................(4)

2.1.11. ECUACIN CARACTERSTICA DE LA MATRIZ ADebemos decir que podemos resolver la relacin (4) para las incgnitas , y de esta manera determinamos los valores propios de A. Resaltando que a esta relacin se le conoce como ecuacin caracterstica de la matriz A . Nosotros podemos escribir esta ecuacin mas detalladamente as:

La funcin determinante se define como una suma de trminos que son productos de elementos de la matriz.

2.1.12. POLINOMIO CARACTERSTICO DE A,Podemos observar que la ecuacin (4) tiene la forma de un polinomio de grado n en la variable , a esto se le llama polinomio caracterstico de A, de lo cual podemos decir que una matriz de nxn tiene exactamente n valores propios, siempre y cuando se cuenten con las multiplicidades que tienen como races de la ecuacin caracterstica.

,

Si x es un autovector asociado con el autovalor en estas circunstancias , es decir la matriz A transforma el vector x en un mltiplo escalar de si mismo. Cuando , es un numero real mayor que uno, A tiene el efecto de alargar x en un factor de y cuando , A disminuye a x en un factor de , cuando , los efectos son similares pero en direccin contraria.

EjemploSea la matriz , calcular los autovalores de A

,

Los autovalores de A son ;

Un auto vector de A asociado con es una solucin de , as que , por lo tanto , esto quiere decir que cualquier valor no nulo de x1, produce un autovector para el autovalor , por ejemplo x1=1 tenemos el autovector De manera anloga un auto vector de A asociado con es una solucin de , as que , por lo tanto , esto quiere decir que cualquier valor no nulo de x1, produce un autovector para el autovalor , por ejemplo x1=1 tenemos el autovector Ejemplo

Dada la matriz A determinar, 1. Su ecuacin caracterstica y sus races

,

Siendo sus races , esto lustra el hecho de que los valores propios de una matriz real no son necesariamente nmeros reales. Debemos decir que la metodologa anterior es la directa y es la mejor cuando se trata de matrices pequeas.

2.1.13. RADIO ESPECTRAL DE UNA MATRIZ

Radio espectral de una matriz A se define as:

en donde es un autovalor de A

Ejemplo: Consideremos la matriz sus autovalores son, , entonces El radio espectral se encuentra estrechamente vinculada con la norma de una matriz. Para la norma matricial

,

, para cualquier norma subordinada.

2.2. INDEPENDENCIA LINEAL

Diremos que los vectores no nulos son linealmente independientes si el nico conjunto de nmeros reales tal que , es , en caso contrario se dir que los vectores son dependientes.

Ejemplo

Dados los vectores: , son linealmente dependientes de pues existen (1) y (2) tal que: Si es un conjunto Linealmente Independiente de n vectores en Rn, entonces para cada vector x en Rn, existe un nico conjunto de nmero reales , tal que

,

, en este caso se dice que es una base de Rn.

Ejemplo:

Sean los vectores .Si los nmeros son tales que ,

Entonces

, de esta manera tenemos que,

, Pues la nica solucin al sistema es entonces el conjunto , es Linealmente independiente en R3, y por lo tanto es una base de R3. Entonces cualquier vector en R3, puede escribirse de la siguiente manera:,.2.2.2. INDEPENDENCIA LINEAL DE AUTOVECTORES

Si A es una matriz y son autovalores distintos de A con autovectores correspondientes , entonces , es linealmente independiente.

Un conjunto de vectores es ortogonal si , Si, dems entonces el conjunto es ortogonal.

Como , es un conjunto ortogonal de vectores , es ortogonal si, solo si, , para cada i=1,2,...,n.

2.2.3. INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES ORTOGONALES

Un conjunto ortogonal de vectores que no contenga el vector cero es linealmente independiente.

Ejemplo: El conjunto de vectores,

, forman un conjunto ortogonal, pues para estos vectores tenemos que:

,

,

.

Este conjunto forman un conjunto ortogonal por heredar la ortogonalidad de , y adems

,

Diremos que una matriz Q de dimensiones nxn es una matriz ortogonal si , debemos aclarar que esta terminologa provienen del hecho de que las columnas de una matriz ortogonal forman un conjunto ortogonal.

Ejemplo. Considerando el ejemplo anterior la matriz ortogonal ser:

,

Observemos que: Q*Qt=I

*

Adems se tiene que, 2.2.4. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE MATRICES SEMEJANTES

Se dice que dos matrices A y B de dimensiones nxn son semejantes si existe una matriz P tal que A=P-1BP. Dos matrices semejantes tienen los mismos autovectores.

Supongamos que las matrices A y B son semejantes de orden nxn, y que es un autovalor de A con un autovector asociado x. En estas condiciones diremos que es un autovalor de B y adems si A=P-1BP., entonces Px es un autovector de B asociado a Obsrvese que la determinacin de los autovalores de una matriz triangular de orden nxn es relativamente sencilla, pues en este caso es la solucin de la ecuacin

, si solo si para algn i .2.2.5. TEOREMA DE SCHUR Y GERSHGORIN

Diremos que dos matrices A y B son semejantes entre si cuando existe una matriz no singular P tal que este concepto es importante por que permite establecer que dos matrices que representan una misma transformacin lineal con respecto a dos bases distintas, son semejantes entre si.

Teorema 1. Todas las matrices semejantes tienen los mismos valores propios

Pues supongamos que A y B son dos matrices semejantes esto es

,

Veremos que A y B tienen el mismo polinomio caracterstico

,

,

,

,

Obsrvese:

Que se a considerado que el determinante del producto de dos matrices es el producto de sus determinantes, y el determinante de la inversa de una matriz es el reciproco de su determinante. El teorema anterior sugiere una manera para determinar los valores propios de A. es decir convertir la matriz A en una matriz B por medio de una transformacin de semejanza y calcule los valores propios de B. Si B es mas simple que A, el calculo de sus valores propios es mas fcil. En el caso de que B sea triangular los valores propios de B y de A son los elementos de la diagonal de B, es as como medito SCHUR , segn el siempre ser posible al menos tericamente

Una matriz U ser untara si UU* =I, en donde U*, es la conjugada transpuesta de U es decir .

TEOREMA DE SCHUR. Sea A una matriz de orden nxn cualquiera, entonces existe una matriz U ortogonal tal que T=U-1AU, donde T es triangular superior cuyos elementos diagonales son los autovalores de la matriz A.

Debemos manifestar que el teorema de Schur garantiza que la matriz triangular existe, pero su prueba no proporciona la construccin de T. En otras palabras SCHUR afirmo que toda matriz cuadrada es unitariamente semejante a una matriz triangular.Corolario 1: toda matriz cuadrada es semejante una matriz triangular.

Corolario 2. Toda matriz Hermitiana es semejante unitariamente a una matriz diagonal.

Pues si A es Hermitiana, entonces A=A*, y sea U una matriz untara tal que UAU*, es triangular superior. En este caso (UAU*)*, es triangular inferior, pero, (UAU*)*= U** A* U*= UAU*, De esta manera la matriz UAU* es triangular superior e inferior en consecuencia se trata de una matriz diagonal. Ejemplo

LOCALIZACIN DE LOS VALORES PROPIOS TEOREMA DE GERSHGORIN

Sea A una matriz nxn y denotemos por Ri, el crculo del plano complejo con centro en aii y radio , es decir

En donde C denota el conjunto de los nmeros complejos. Entonces los autovalores de la matriz A estn contenidos en , es ms, si la unin de estos k crculos no se cortan con los dems n-k crculos entonces dicha unin contiene precisamente k autovalores contando las multiplicidades.

Ejemplo

Sea la matriz Los crculos del teorema de Gershgorin son:

,

,

,

Como los R1 y R2 son disjuntos de R3, existen dos autovalores en y uno con R3

2.3. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MNIMOS CUADRADOS

En tems anteriores ya se ya se conceptualizo un espacio complejo Cn, En este espacio el producto nos permite definir el concepto de ortogonalidad, es decir dos vectores x, y son ortogonales si , lo que podemos generalizarlo considerando un conjunto en Cn, diremos que los vectores vi y vj, son ortogonales si

Si , en este caso se dice que el conjunto de los vectores es ortonormal

Ejemplo.

Determinar si los vectores son ortogonales x1 =[10,10] y . x2 =[-2,2]Pues , Sin embargo si tenemos x1 =[10,10] y . x2 =[2,-2.0003], son casi ortogonales lo que induce al estudio de criterios de Ortagonalizacion.2.3.1. MTODO DE ORTAGONALIZACION DE GRAM SCHMIDT Consideremos dos vectores x1 , y x2 en el plano XY linealmente Independientes, a partir de estos vectores construyamos los vectores e1 y e2, ortogonales.

Supongamos x1= e1, y e1 como componente de e 2 perpendicular a x1, en consecuencia , grficamente es

En donde debemos de encontrar de tal manera que es decir: ,Consecuentemente se tiene que ,

De esta manera e2 se encuentra en funcin de x1 y x2, y sean ortogonalizado dichos vectores. Ejemplo.Ortogonalizar x1 =[4,6]t y . x2 =[8,0]tHacemos

Primero: consideramos el primer vector , Segundo: determinamos

Tercero: determinamos el segundo vector ortogonal.

Grficamente

Para un conjunto de n vectores Linealmente Independientes de n componentes. A partir de ellos se puede construir un conjunto de ortogonal de la siguiente manera. Primero: consideramos el primer vector ,

Segundo:

,

Tercero:

,Ejemplo. Ver Antonio Nieves y Federico DomnguezAfirmacin 1. Una sucesin de vectores ortogonales genera una base ortogonal del espacio generado por para . Cuando el proceso de Ortagonalizacion de Gram-Schmidt, se aplica a las columnas de una matriz, se puede interpretar el resultado como una factorizacin matricial.

Pues los productos internos que aparecen en el calculo se guarda en una matriz que ser uno de los factores.

Aplicamos el proceso a las columnas A1, A2, ...,An de una matriz A de mxn y finalmente se llega despus de n pasos a una matriz B de mxn cuyas columnas forman un conjunto de ortogonal.

2.3.2. PROBLEMA DE LOS MNIMOS CUADRADOS El problema de los mnimos cuadrados para sistemas de ecuaciones lineales es justamente una aplicacin de las factorizaciones ortogonales. Consideremos un sistema de m ecuaciones con n incgnitas, es decirAx=b

En este sistema de ecuaciones A es una matriz de mxn, x es de nx1, y b es de mx1.

Vamos a considerar que el rango de A es n de donde .Por lo general el sistema no tiene solucin, como consecuencia de que b no pertenece al espacio Cm, de dimensin n. generado por las columnas de A .

En consecuencia generalmente se quiere encontrar una x que minimice la norma del vector residual b-Ax. La solucin en mnimos cuadrados del sistema planteado es el vector x que hace de , un mnimo el cual x ser nico segn el supuesto del rango de A.

LEMA: Si x es tal que A*(Ax-b)=0 entonces x es una solucin del problema de mnimos cuadrados.

Si suponemos que A se a factorizado de la forma A= BT, la solucin en mnimos cuadrados del sistema Ax=b ser la solucin exacta del sistema nxn Tx=(B*B )-1 B*b. el cual se verifica usando el lema anterior A*Ax=(BT)*BTx=T* B*BTx = T* B*B(B*B )-1 B*b=T*B*b=A*b La matriz (B*B )-1es un matriz diagonal , esta diagonal es calculado por el algoritmo modificado de Gram-Schmidt cuyo algoritmo evita el calculo de races cuadradas.

Otra manera de abordar el problema de mnimos cuadrados asociado al sistema Ax=b es utilizar directamente el lema citado de esta manera , ser un mnimo si A* (Ax-b)=0.Suponiendo que la matriz A de mxn es de rango n entonces A*A es una matriz de nxn no singular y solo existe una solucin de mnimos cuadrados que se determina resolviendo un sistema no singular de nxn llamado sistema de ecuaciones normales.

A* Ax=A* bEn donde la matriz A* A es Hermitiana y definida positiva en consecuencia se utiliza la factorizacin de Cholesky para solucionar el sistema normal. Si A tiene rango menor que n el sistema ser consistente pero puede tener muchas soluciones. FACTORIZACIN QR DE HOUSEHOLDER En uno de los mtodos mas tiles para factorizar ortogonalmente. La idea es factorizar una matriz A de orden mxn como un producto

A=QR

En donde Q es una matriz unitaria de mxm y R una matriz triangular superior de mxn, vale destacar que el algoritmo de factorizacin produce Q*A=R Construyndose Q* paso a paso como un producto de matrices untaras que tiene la forma de,

Esto se le conoce con el nombre de transformaciones de Householder Primero, determinamos el vector con la caracterstica que l-vv*, sea untara de tal manera que (I-vv* )A inicie con tener la forma de R es decir una matriz triangular superior de orden mxm es decir su primera columna debe de tener la forma , y denotamos la primera columna de A con A1, Queremos que , esto se realiza como sigue:

Primero, elegimos un nmero complejo , sea real.Segundo, hacer ,

En donde ,

Obsrvese que aqu se admite dos valores para , en este caso nosotros elegimos la que permita realizar menos cancelaciones al calcular el valor de v es decir,

,

Los siguientes pasos son similares al primero, pues despus de k pasos se habra conseguido multiplicar por la izquierda por k matrices untaras, obteniendo de esta manera lo siguiente,

,

En donde J : es una matriz triangular superior de KxK

0: es la matriz nula de (m-k)xk

H: es una matriz de kx(n-k)

W: es una matriz (m-k)x(n-k)

Se afirma que existe un vector tal que I-W*, es una matriz unitaria de orden m-k con la caracterstica de que (I-W*) tiene ceros por debajo del elemento en su primera columna, esto es, . ,

En esta relacin , es una matriz unitaria y lo denotamos por Uk+1, y el proceso termina cuando la columna (n-1) sima de R queda en la forma apropiada y consecuentemente tenemos, Q* A = R, en donde Q* denota el producto de todas las matrices unitarias que se han usado como factores dado que Q es una matriz unitaria, A=QR .Observemos que Q*= Qn-1Qn-2....Q1 en este caso , siendo

, se puede observar que Uk es Hermitiana consecuentemente tenemos ,

Ejemplo.

Sea la matriz Paso I

Primero: Calculamos , como , pues A1es real ,Segundo, hacer ,

,

,

En este caso el primero factor unitario

Tercero. Calculamos U1A

Paso IIPrimero: Calculamos ,

,Segundo, hacer ,

,

,

En este caso el primero factor unitario

Tercero. Calculamos U2 U1A

Paso IIIPrimero: Calculamos ,

,Segundo, ,

,

En este caso el primero factor unitario

En este caso la matriz triangular superior es

Tercero. Calculamos Q* U3 U2 U1A

Luego A=QR

Encuentre la solucin en minemos cuadrados del sistema ,Encuentre la factorizacin QR de la matrz

,2.3. DESCOMPOSICION DE LOS VALORES SINGULARES Y SEUDOINVERSAS

La descomposicin en valores singulares es otra manera de factorizar matrices que tiene una diversidad de aplicaciones en el mundo real.

Se afirma que toda matriz compleja A de orden mxn se puede factorizar en la forma

A=PDQ

En donde

P= es una matriz de orden mxm

D= es una matriz de orden mxn

Q= es una matriz de orden nxn.

Ejemplo.

Se tiene que

De esta manera ,

Podemos considerar, , Entonces A=PDQ

,

Filas

Columnas

Ax

Ax

x

x

QUOTE ,

QUOTE ,

Ax

x

x

Ax

QUOTE ,

QUOTE ,

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Eje Imaginario

Eje Real

e2

X2

X1=e1

X2

E1

-1

-2 --

-3 -

-4 -

1 2 3 4 5 6

4

3

2 --

1 -

Ver demostracion en Analisis numeric de David Kincaid; Ward Cheney

Ver David Kincaid Ward Cheney pag. 254

Autovalores y Autovectores de una Matriz Pgina 34

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