CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 1 de 83Resumen de Medios de Enlace M ME ED DI IO OS S D DE E E EN NL LA AC CE E PRIMERA PARTE: CAMPO ELECTROMAGNTICO TEORA DE CAMPOS Nociones Bsicas Lneas de Flujo: Las lneas de flujo son representaciones grficas de los campos vectoriales. Las mismas son siempre tangentes al vector campo en todos los puntos. La densidad de las lneas de flujo representa la magnitud del campo vectorial considerado. Criterio de unicidad: las lneas de flujo no pueden cortarse entre s. Puliafito Parte I Pg.: I-2 Flujo: El flujo total de un campo, ligado a una cierta superficie finita S, vale: =SS d F siendoFel vector que representa al campo yS des el vector diferencial de superficie (normal al plano tangente a ella en cada punto). Como convencin se toma para el diferencial de superficie el sentido positivo para la cara donde sale la normal. Para una superficie cerrada se considera que la normal apunta hacia fuera, por lo que el flujo saliente ser positivo y el entrante negativo. Puliafito Parte I Pg.: I-2 Divergencia: Se define como divergencia de un vectorFa la siguiente relacin: ( )ddF F div = = El resultado de sta operacin vectorial da un valor escalar, que representa la variacin que experimenta el flujo de campo al interaccionar con una superficie cerrada elemental. Puliafito Parte I Pg.: I-5 Teorema de Gauss: Consideremos un cierto volumen finito , delimitado por una superficie cerradaS , con una cantidad neta de causas del campoQ en su interior. El teorema de Gauss dice que: Q d F S d FS= = = . Es decir que es lo mismo integrar un vector en una cierta superficie cerrada que integrar la divergencia de ese vector en el volumen encerrado por dicha superficie. sta relacin vincula la componente irrotacional del campo con la causa que la produce. Puliafito Parte I Pg.: I-7 Circulacin: Definimos como trabajo a la integral de lnea de la fuerza desde un puntoaa otrobdel espacio: =bas d F l siendos del diferencial de arco (camino). Si la trayectoria considerada fuera una curva cerradaC , estaramos evaluando la circulacin del campo, que se define como: =Cs d F l Puliafito Parte I Pg.: I-12 Rotor: Se define como rotor de un vectorFa la siguiente relacin: CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 2 de 83Resumen de Medios de Enlace ( ) J F F rot = =El resultado de sta operacin vectorial da un valor vectorial, que representa la causa que origina la componente rotacional del campo. Llamamos a ste vector vrtice del campo. Puliafito Parte I Pg.: I-25 Teorema de Stokes: Consideremos una curva cerradaC , contorno de una superficie abiertaS , atravesada por una corriente elctricaI . El teorema de Stokes dice que: ( ) I S d F S d FS C= = . Es decir que la circulacin de un vector de campo a lo largo de un contorno de una superficie abierta es igual al flujo del vrtice del campo a travs de dicha superficie, o de cualquier otra que tenga el mismo contorno. sta relacin vincula la componente rotacional del campo con la causa que la produce. Puliafito Parte I Pg.: I-26 Gradiente: Se define como gradiente de una funcin escalarVa la siguiente relacin: ( ) F V V grad = =El resultado de sta operacin vectorial da un vector, que representa con su direccin la mxima variacin del campo y con su mdulo el valor del mdulo de la componente irrotacional del campo. Puliafito Parte I Pg.: I-21 Laplaciano: Se define como laplaciano de una funcin escalarVa la siguiente relacin: ( ) ( ) = = = V V V lap2 El resultado de sta operacin vectorial da un escalar, que representa la funcin densidad de fuentes irrotacionales en una regin del espacio. sta relacin vincula directamente la funcin potencial escalar con la causa que la produce. Puliafito Parte I Pg.: I-31 Clases de Campos Vectoriales Clasificacin general: Potenciales: Este tipo de campo vectorial se caracteriza por tener lneas de flujo con un principio y un fin. Existen discontinuidades del campo cuando encontramos una fuente o sumidero. Puliafito Parte I Pg.: I-8 Funcin Potencial Escalar: Para que un campo vectorial sea conservativo, se puede definir una funcin potencial escalar( ) z y x V , ,tal que su variacin elemental sea igual (a menos de un signo convencional) a la variacin de trabajo elemental que realiza el campo sobre una unidad de prueba: dl dV =CAMPOS Dependen solamente del espacio Campo VectorialCampo Escalar Efecto definido slo por una cantidad escalar, cuya magnitud depende del espacio y el tiempo Efecto definido por una cantidad vectorial, cuya magnitud, direccin y sentido dependen del espacio y el tiempo Campo estacionario CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 3 de 83Resumen de Medios de Enlace Matemticamente podemos decir que el diferencial de trabajo debe ser un diferencial total exacto. El signo menos indica que si el desplazamiento de una unidad de prueba se hace desde un punto de mayor a otro de menor potencial, el trabajo ser positivo, pues contribuye al movimiento de la misma, y viceversa. En el caso de trabajo negativo, el signo se debe a que es necesaria la intervencin de un agente externo que realice ste trabajo, que es contrario al campo. Puliafito Parte I Pg.: I-13 Como hemos definido, la funcin potencial es de magnitud escalar, por lo que es conveniente usarla debido a que tiene ciertas ventajas, a saber: Conocida la funcin, puedo conocer el campo por simples operaciones escalares. Las funciones potenciales pueden adicionarse escalarmente. Puliafito Parte I Pg.: I-18 Se pueden definir superficies equipotenciales considerando los puntos en donde la funcin potencial tiene el mismo valor (constante). Dichas superficies son nicas, es decir, que no pueden interceptarse entre s. Una propiedad geomtrica de las superficies equipotenciales es que las lneas de flujo las interceptan siempre en forma normal. Esto se deduce de saber que el gradiente define la mxima variacin del campo, que es la recta normal a una superficie equipotencial. Puliafito Parte I Pg.: I-19 Condiciones de existencia: Las condiciones necesarias para que exista una funcin potencial escalar son: ===000yFxFxFzFzFyFxyz xyz Puliafito Parte I Pg.: I-15 Propiedades: La circulacin del campo es siempre nula, debido a que el trabajo no depende de la trayectoria, sino de los puntos inicial y final. Puliafito Parte I Pg.: I-14 Los campos potenciales o conservativos son irrotacionales, es decir: 0 = FPuliafito Parte I Pg.: I-25 Solenoidales: Este tipo de campo se caracteriza por tener lneas de flujo continuas formando caminos cerrados. Las causas que lo originan son vectoriales y se denominan vrtices, torbellinos o rotores. Puliafito Parte I Pg.: I-25 Funcin Potencial Vectorial: Supongamos un campo rotacionalFtal que: J F= Definir una funcin potencial escalar para ste tipo de campo sera ambiguo, porque no existen potenciales unvocos. Sera lgico suponer que como la fuente de estos campos es vectorial, existir una funcin potencial vectorialAque se relacione directamente con las causas del campo. Relacionaremos a sta funcin con el campo a travs de la operacin rotor: F A= Por lo tanto, podemos vincular la funcin potencial vectorial con la densidad de corriente (causa del campo) mediante la siguiente relacin: J A= Del anlisis matemtico surge que: ( ) J A A = 2 CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 4 de 83Resumen de Medios de Enlace Por otra parte, podemos establecer una condicin adicional vlida para campos estacionarios, conocida como condicin de Coulomb: 0 = AEntonces, para campos rotacionales estacionarios, la relacin que vincula la funcin potencial vectorial con la densidad de corriente es: J A= 2 La dependencia se da en que el camino de integracin de la funcin es donde evaluamos la densidad de corriente. Si dicho camino no encierra fuentes, la ecuacin anterior se iguala a cero. Puliafito Parte I Pg.: I-32 Propiedades: La divergencia del vector de campo es siempre nula:0 = F , por ser las lneas de flujo cerradas, sin principio ni fin. El flujo total ligado a una superficie abiertaSdepende solamente de su contornoC . El flujo total que atraviesa una seccin cualquiera de un tubo de flujo es constante, dado que no existen causas para la creacin o prdida de lneas de flujo. Puliafito Parte I Pg.: I-10 Sistemas de Coordenadas Sistema General: Parmetros del sistema:3 2 1e e e Elemento diferencial de arco:3 3 3 2 2 2 1 1 1. . e . . e . . e u du u du u du s d) ) )+ + = Gradiente:33 322 211 1e1e1e1uuVuuVuuVV) ) )++= Divergencia: ( ) ( ) ( )((

++= 32 123 113 23 2 13 2 1. .e e . .e e . .e e.e .e e1uAuAuAAu u u Rotor:3 2 1. e . e . e.e e .e e .e e3 2 13 2 12 133 123 21u u uA A Au u uu u uA= ) ) ) Laplaciano: V V = 2 Puliafito Parte I Pg.: I-35 Sistema Cartesiano: Parmetros del sistema: 1 e 1 e 1 e3 2 1= = =Elemento diferencial de arco:z dz y dy x dx s d . . . + + =Gradiente:zzVyyVxxVV ++= Divergencia:zAyAxAAzyx++= CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 5 de 83Resumen de Medios de Enlace Rotor:z y xA A Az y xz y xA= Laplaciano:2222222zVyVxVV++= Puliafito Parte I Pg.: I-35 Sistema Cilndrico: Parmetros del sistema:1 e e 1 e3 2 1= = = Elemento diferencial de arco:z dz d d s d .. . . + + = Gradiente:zzV V VV 1++= Divergencia:( ) ( )( )((

++= zAA AAz..1 Rotor:zA A AzzA .= Laplaciano:22222 2221 1zV V V VV+++= Puliafito Parte I Pg.: I-35 Sistema Esfrico: Parmetros del sistema: sin . e e 1 e3 2 1r r = = =Elemento diferencial de arco: . . sin .. . . d r d r r dr s d + + =Gradiente: sin .11++= VrVrrrVVDivergencia:( ) ( )( )((

++= AArAAr. r. sin r. . sin . rsin . r122 CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 6 de 83Resumen de Medios de Enlace Rotor: A A r ArrrAr. r.sin .sin . rsin . r2= Laplaciano:222 2 2222sin1. sinsin1 1 + ||

\|+ ||

\|= VrVr rVrr rV Puliafito Parte I Pg.: I-35 CAMPO ELECTROSTTICO El campo electrosttico es un caso particular de un campo ms general: el campo electromagntico. ste ltimo contempla todos los casos, de rgimen dinmico y esttico. Caractersticas Causa o fuente: El campo elctrico es producido por cargas elctricas y, en particular, el campo electrosttico es producido por cargas elctricas en reposo. Las caractersticas del campo dependen de la distribucin espacial (discreta o continua) de la carga. Tipo de campo: Las lneas de fuerza o de flujo del campo electrosttico siempre comienzan en cargas positivas y terminan en cargas negativas, por lo tanto, el campo es vectorial irrotacional. Como sabemos, todos los campos irrotacionales son campos potenciales o conservativos. Leyes experimentales y definiciones Ley de Coulomb: En un medio homogneo (sin condiciones de contorno), dos cargas elctricas puntuales (sin volumen) 1qy 2qseparadas entre s una distanciarproducen entre s una fuerza de atraccin o repulsin, segn sea el signo de las cargas en juego, que obedece la siguiente ley experimental: rrq qF .. . 4122 1 =donderes el vector unitario (versor) que representa la direccin de la recta sobre la cual se ubican las cargas;es la constante dielctrica del medio, que resulta de multiplicar la constante dielctrica del vaco mF10 . 85 , 8120= por una constante dielctrica relativa (r ), que depende del medio, de tal manera de obtener: 0. r=La constante 0. . 41 (para el caso del vaco) se puede resumir en un nmero fcil de recordar: 229 90CN.m10 . 9Fm10 . 9. . 41= = Las cargas en la frmula de Coulomb llevan su signo correspondiente, con lo cual, si son cargas opuestas, la magnitud de la fuerza dar negativa, es decir que habr atraccin. Caso contrario, para cargas iguales, la magnitud ser positiva y habr repulsin. Puliafito Parte I Pg.: II-1 Caso de n cargas discretas: Para el caso de n cargas discretas ubicadas en el espacio (medio homogneo con constante dielctrica ), la fuerza resultante sobre una carga pq , es: CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 7 de 83Resumen de Medios de Enlace ( )= =niiiippr rr rqqF13. . 4 Cabe destacar que el exponente cbico del denominador se debe a un mdulo del vector diferencia extra, que proviene del versor en la direccin de dicho vector, que es: ( )iiir rr ru = Puliafito Parte I Pg.: II-3 Intensidad de campo elctrico: La intensidad de campo elctrico en un cierto punto es una medida de la fuerza que ejercera el campo sobre una carga unitaria ubicada en dicho punto. Por definicin entonces, la intensidad de campo elctrico es: ( )( )ppqr Fr E = [ ]mVCN= = EPuliafito Parte I Pg.: II-4 Caso de n cargas discretas: ( )= =niiiir rr rq E13. . 41 Puliafito Parte I Pg.: II-4 Caso de distribucin continua de carga elctrica: Para el caso de una distribucin continua de carga el campo elctrico en un punto del espacio es en todos los casos: ( ) = dqr rr rEii3. . 41 El diferencial de carga, el tipo de integral y el campo se definirn de acuerdo al tipo de distribucin como sigue: Distribucin volumtricaDistribucin superficialDistribucin lineal Funcin de distribucin ( ) r ( ) r ( ) r Diferencial espacial d (diferencial de volumen) S d (diferencial de superficie) s d (diferencial de camino) Diferencial de carga ( ) = d r dq . ( ) S d r dq = . ( ) s d r dq = . Expresin del campo elctrico ( )( ) = dr rr r rEii3. . 4 ( )( ) =SiiS dr rr r rE3. . 4 ( ) ( ) =siis dr rr r rE3. . 4 Puliafito Parte I Pg.: II-5 Densidad de flujo electrosttico: La densidad espacial de lneas de flujo ser una medida de la intensidad del campo en cada regin del espacio. Se define un vector densidad de flujo electrostticoD , cuya magnitud es proporcional al nmero de lneas de flujo que penetran por unidad de rea normal a la direccin del flujo y cuya direccin coincide con la del vector intensidad de campo elctrico en ese lugar, es decir, tangente a las lneas de flujo. La expresin matemtica es la que sigue: E D . = [ ]2flujomC= DCasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 8 de 83Resumen de Medios de Enlace Ntese que la densidad de flujo electrosttico de un campo es la misma, independientemente del medio en que se encuentre dicho campo. Esto se debe al factor , que se cancela con el que est en el denominador de la expresin de campo elctrico, y por lo tanto, hace que el vector no dependa del medio. Puliafito Parte I Pg.: II-7 Potencial escalar: Al ser el campo electrosttico de tipo conservativo, admite una funcin potencial escalar que define las caractersticas del campo en cada punto. El potencial escalar producido en un cierto punto por una carga puntualqse describe mediante la siguiente expresin: ( )r rqr V = . . 41 Vemos que el potencial disminuye a medida que me alejo de la carga puntual. Esto definir superficies equipotenciales esfricas (debido a la dimensin puntual de la carga). Puliafito Parte I Pg.: II-13 Potencial de una distribucin discreta de cargas: Como ya vimos, la ventaja de la funcin potencial es la facilidad del trabajo con una magnitud escalar. Este principio permite definir el potencial de una distribucin discreta de cargas como la suma escalar de los potenciales producidos por cada carga puntual: ( )= =ni iipr rqr V1. . 41 Puliafito Parte I Pg.: II-14 Potencial de una distribucin continua de carga: La misma consideracin del caso anterior se tiene en cuenta aqu, con la diferencia que ahora ser una integral escalar: ( )( ) = dr rrr Vp. . 41 Reemplazando las funciones de distribucin, tipos de integral y regiones de integracin por los casos vistos para la intensidad de campo elctrico, encontramos el potencial producido por cualquier distribucin continua de carga. Puliafito Parte I Pg.: II-16 Relaciones Relacin entre la causa y el campo: Ley de Gauss: Segn la ley de Gauss, la divergencia del vector densidad de flujo electrosttico es igual a la densidad volumtrica de carga, o sea: = D La integral deen un cierto volumen, es igual a la carga neta encerrada en ese volumen, por lo que aplicando el teorema de Gauss nos queda la relacin de Gauss: enc Q S d DS= =Es decir que el flujo elctrico neto que atraviesa una superficie cerrada depende de la carga elctrica que haya en el interior de la misma. Si no encierro carga con la superficie de evaluacin, el flujo es nulo. Interpretando la mencionada ley de Gauss, decimos que la divergencia de un vector en un punto es una medida de la densidad de fuentes en ese punto. Puliafito Parte I Pg.: I-7 y II-8 Relacin entre el campo y el potencial: Gradiente de potencial: Las lneas de fuerza del campo elctrico siempre tienen la direccin normal a las superficies equipotenciales, por lo tanto, el camino de mayor variacin de la magnitud del campo son esas lneas. Sabemos que la direccin de la mxima variacin de una funcin est dada por el gradiente. Si, adems de eso, sumamos el hecho de que la magnitud del campo est directamente relacionada con la diferencia de potencial entre dos puntos, podemos establecer la siguiente relacin: ( ) ( ) r V r E =es decir que la intensidad de campo elctrico es igual al gradiente de potencial cambiado de signo (el signo menos se debe a que el campo va en la direccin de los potenciales decrecientes). Puliafito Parte I Pg.: I-21 y II-16 CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 9 de 83Resumen de Medios de Enlace Relacin entre la causa y el potencial: Ecuaciones de Poisson y Laplace: Vinculando la ley de gauss en forma diferencial con el gradiente de potencial, obtenemos una relacin directa entre la carga elctrica y el potencial escalar, que sigue la siguiente ecuacin, llamada ecuacin de Poisson: ( )( ) rr V = 2 Es decir que el laplaciano de la funcin potencial est directamente relacionado con la distribucin espacial de cargas y con el medio. Si en la seccin considerada no existieran cargas elctricas (como por ejemplo en un dielctrico ideal), la ecuacin pasa a ser la llamada ecuacin de Laplace: ( ) 02= r VPuliafito Parte I Pg.: I-31 y II-18 Condiciones de contorno: Existirn datos adicionales necesarios para poder vincular el potencial directamente con la distribucin de carga. Son las llamadas constantes de integracin o condiciones de contorno. Para ste caso, se supone que conocemos la distribucin espacial de cargas y la constante dielctrica del medio. Por integraciones sucesivas, las que dependen de la simetra del problema, obtendremos la funcin potencial escalar mas algunas constantes de integracin, cuyo valor slo podemos obtener conociendo los potenciales de superficies equipotenciales que delimiten el espacio en el que desarrollamos el problema. Estas superficies equipotenciales no admiten campo elctrico en su interior (componente tangencial nula), debido a que al no haber diferencia de potencial entre sus puntos, no se requiere trabajo para mover cargas en su interior. En consecuencia, el campo elctrico slo ser normal a dichas superficies. En los problemas prcticos, stas son las superficies conductoras o la superficie externa de cuerpos conductores. Puliafito Parte I Pg.: II-19 Hojas cargadas: Sea una superficieScargada con una distribucin superficial( ) r , sumergida en el seno de un campo elctrico externo, las componentes normales de campo elctrico se vern afectadas de la siguiente manera: ( )= n E E .1 2 /*Estudiar la demostracin*/ (Teorema de Gauss) Asimismo, las componentes tangenciales del campo elctrico tendrn continuidad sobre la superficie cargada: t tE E2 1=/*Estudiar la demostracin*/ (Teorema de Stokes) Puliafito Parte I Pg.: II-24 Separacin de dos dielctricos: Sean dos medios de distinta constante dielctrica separados por una superficie que no tiene distribucin de cargas. Existe un campo elctrico externo que atraviesa dicha superficie. Consideremos una superficie gaussiana con forma de caja de pldoras o pillbox, como muestra la figura. Se pueden demostrar las siguientes conclusiones: CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 10 de 83Resumen de Medios de Enlace Las componentes de campo normales no son continuas a travs de la superficie de separacin, es decir: 1221=nnEE Las componentes de campo tangenciales son continuas a travs de la superficie de separacin, es decir: t tE E2 1=La relacin entre los ngulos a ambos lados de la superficie de separacin, tiene que ver con las constantes dielctricas a travs de la Ley de Snell: 2121tantan=/*Estudiar las demostraciones*/ Puliafito Parte I Pg.: II-24 Polarizacin elctrica En general los dielctricos se polarizan cuando, por efecto de la aplicacin de un campo elctrico externo, se produce un desplazamiento relativo de la carga elctrica negativa, respecto de la positiva, en el seno de los mismos. En general se distinguen cuatro tipos diferentes de polarizacin elctrica: a)Polarizacin electrnica: es un proceso de polarizacin a nivel atmico. b)Polarizacin inica: desplazamiento relativo entre los iones positivos y negativos de una molcula. c)Polarizacin orientacional: se da en materiales con molculas polarizadas permanentemente, pero desordenadas. Cuando se polariza el material, las molculas se ordenan, orientndose en la misma direccin. d)Polarizacin por carga espacial: se produce en dielctricos no ideales (o sea que poseen algunos electrones libres en su seno) que tienen lmites (barreras) para las cargas. Cuando se aplica un campo elctrico, las cargas se apilan contra stas barreras, produciendo la separacin requerida para la polarizacin. Como hemos visto, un campo elctrico externo polariza un trozo de material dielctrico. A su vez, el material polarizado generar un campo elctrico que se superpondr al existente, no slo en el interior, sino tambin en el exterior del dielctrico. Por eso es importante estudiar los efectos de ste fenmeno. Puliafito Parte I Pg.: V-2 Vector polarizacin elctrica: Se puede definir una magnitud que tenga que ver con la cantidad de molculas polarizadas por cada elemento de volumen (momento dipolar macroscpico), respecto a ste. Llamamos a sta relacin vector polarizacin elctrica: ( ) dp dr P = [ ]2mC= PSiendopel momento dipolar elemental del diferencial de volumen. Si recordamos, el momento de un dipolo es: r q p . =Puliafito Parte I Pg.: V-3 Potencial y campo elctrico producido por un medio dielctrico polarizado: Despejando de la frmula del momento de un dipolo, podemos obtener una expresin para la carga como sigue: rpq =Si reemplazamos esto en la frmula del potencial de un diferencial de carga, pero considerando no un momento dipolar individual sino el momento dipolar macroscpico, nos queda: ( )( ) ( ) ( ) ( ) = = = dr rr r r Pr rr r p dr rr r dqr dV303020 . . . 4 . . . 4. . 4 y por lo tanto, el potencial lejano de un dielctrico polarizado ser: ( )( ) ( ) =030. . 41 dr rr r r Pr VCasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 11 de 83Resumen de Medios de Enlace siendo 0el volumen del dielctrico. Puliafito Parte I Pg.: V-4 Densidades de carga latentes: En la expresin anterior podemos reemplazar: ( )|||

\| = r rr rr r 13 donde el operador primado indica que la variable a la que se aplica esr . Operando llegaremos a una expresin como la que sigue: ( )( ) + =0 00 0. . 41 . . 41 dr rPS dr rn Pr VS Donde podemos definir nuevas magnitudes interesantes para el anlisis: Densidad superficial de cargas de polarizacin (densidad superficial latente): n PP = Como consecuencia de la polarizacin, aparece sobre la superficie externa una distribucin de cargas elctricas, que a diferencia de lo ocurrido con un conductor, forma dipolos en el sentido de la polarizacin. Densidad volumtrica de cargas de polarizacin (densidad volumtrica latente): PP = Es una consecuencia directa de la no uniformidad del vector polarizacin elctrica en el seno del material. Podemos finalmente expresar el potencial de la siguiente manera: ( ) + =0 00 0. . 41. . 41 dr rS dr rr VPSP o( ) =00. . 41 r rq dr VP Por lo tanto, el campo elctrico externo al dielctrico polarizado ser: ( )( ) ( )(((

+ = 0 03 30. .. . 41 dr rr rS dr rr rr EPSP Se puede demostrar que estas mismas expresiones tambin responden al campo elctrico interno del dielctrico. Puliafito Parte I Pg.: V-7 Relacin entre el vector polarizacin elctrica y el campo elctrico polarizante: La polarizacin elctrica es una consecuencia del campo elctrico polarizante, por lo que resulta de inters establecer la relacin de dependencia del efecto con su causa. sta relacin responde a la frmula: E P . .0 =dondees la susceptibilidad elctrica del medio o material, y es adimensional. Cuando un material es isotrpico,es constante, y decimos que ste es un dielctrico lineal. Puliafito Parte I Pg.: V-11 Ley de Gauss generalizada: Como vemos ahora, la ley de Gauss debe ser generalizada para poder tener en cuenta el efecto de la carga latente. Es por ello que podemos escribir: ( ) ( )0 0 PEP =+= Si reagrupamos obtenemos la expresin general de la ley de Gauss: ( ) = + P E .0 Por lo tanto, de manera generalizada, podemos establecer que la densidad de flujo electrosttico es: P E D + = .0Con lo que la ley de Gauss seguir siendo vlida en su forma: = DPuliafito Parte I Pg.: V-12 Constante dielctrica relativa o coeficiente dielctrico: Podemos ahora definir una frmula para la constante dielctrica relativa que caracteriza al medio: CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 12 de 83Resumen de Medios de Enlace + =1r con lo que: ( ) ( ) E E EPE P E D . 1 . . .0 000 0 + = + =|||

\|+ = + =E Dr. .0 =Puliafito Parte I Pg.: V-14 Energa almacenada Energa de un grupo de cargas puntuales: Para calcular la energa electrosttica de ste conjunto, se computarn los valores parciales que se van a obtener mediante el procedimiento de ir trayendo una carga elctrica por vez, desde el infinito, hasta ubicarla en su posicin final. La energa total ser: = == njnk jkk jrq qW1 1 0. . . 4.21 k j donde jkres la distancia entre dos cargas distintas. En sta expresin no tenemos en cuenta la energa de autoformacin de cada carga, debido a que tericamente sera infinita. Por esok j . Puliafito Parte I Pg.: II-39 Energa de una distribucin continua de cargas: Aqu reemplazamos la carga puntualqpor la carga elemental( ) d r . . Aqu no es necesaria la consideracin de quek j , ya que no puntualizamos ninguna carga. La energa electrosttica ser entonces: ( ) ( ) = d dr rr rW .. . 4.210 En sta expresin, a diferencia del caso anterior, s tenemos en cuenta la energa de autoformacin del conjunto, que no es infinita. Si la distribucin de carga fuera superficial, existe la posibilidad de tener superficies externas de conductores cargadas, cuya energa agrega un trmino a la expresin anterior, teniendo en cuenta los reemplazos de las distribuciones volumtricas por superficiales. La energa total de una distribucin superficial de carga ser entonces: ( ) ( )=+ =njj jSV Q dS r V r W1.21. .21dondeSes la superficie total no conductora, y el segundo trmino representa la energa de la superficie externa de un conductor cargado. jQes la carga total del conductorj , y jVes el potencial existente en el mismo (superficie equipotencial). Recordar que la expresin del potencial es: ( )( ) =SS dr rrr V 0. . 41 Puliafito Parte I Pg.: II-42 Densidad volumtrica de energa de un campo electrosttico: Hasta ahora, encontrar la energa electrosttica en una regin del espacio requera conocer la distribucin de carga elctrica en la misma. Sin embargo podemos tambin calcularla conociendo la magnitud del campo elctrico en cada punto, teniendo en cuenta una magnitud denominada densidad volumtrica de energa de un campo electrosttico, que responde a la expresin: 20.21E w =Por lo tanto, la energa total en esa regin ser: = = d E d w W . .21.20 Puliafito Parte I Pg.: II-45 CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 13 de 83Resumen de Medios de Enlace Clculos de campo elctrico Generalmente, los datos conocidos para el clculo de un campo elctrico son las distribuciones de carga y los potenciales de los conductores que delimitan el espacio en el que nos interesa conocer el campo. Por otra parte, la simetra del problema determina el sistema de coordenadas a usar para que la resolucin sea la ms simple y prctica. A travs de los procedimientos vistos en el apartado anterior, se puede diferenciar distintos mtodos para resolver el campo elctrico, dependiendo de los datos, simetra y complejidad del problema. A continuacin se detalla cada uno de stos mtodos. Resolucin directa: La forma ms fcil y directa de encontrar el valor del campo elctrico conociendo las distribuciones de carga es encontrando la expresin del potencial escalar y luego aplicando la operacin gradiente a dicha expresin. La facilidad del caso es que podemos aplicar sumas meramente escalares en el caso de superposicin de efectos, y adems la integracin es ms fcil debido al exponente del denominador de la expresin. Recordemos que: ( ) =r rq dr V . . 41 donde el diferencial de carga puede ser reemplazado por la funcin de distribucin multiplicada por el diferencial espacial. Puliafito Parte I Pg.: III-3 Aplicacin de la ley de Gauss: Cuando la distribucin de cargas presenta simetra favorable, el campo elctrico puede calcularse directamente aplicando la ley de Gauss. Para ello, la seleccin de la superficie gaussiana debe cumplir ciertas condiciones: a)Las lneas de flujo elctrico debern ser normales a la superficie gaussiana elegida, o en algunas secciones pueden ser tangenciales (en stas, el flujo ser nulo). b)La magnitud deDdeber tener igual valor sobre todos los puntos de la superficie seleccionada. Eligiendo esto, la aplicacin de la ley de Gauss dar como resultado: enc. 0 cos . . Q dS D dS D S d DS S S= = = = =SdSQE.enc donde SdSes el rea de la superficie Gaussiana y encQes la carga encerrada por dicha superficie. Puliafito Parte I Pg.: III-2 Resolucin de las ecuaciones de Poisson y Laplace: Para resolver el problema con ste mtodo es necesario que se especifique: a)La distribucin volumtrica de carga . b)Las condiciones de contorno, es decir, los potenciales de las superficies conductoras actuantes en el problema. Como sabemos, la ecuacin de Poisson es: = V2 En la mayora de los casos, resolveremos problemas donde el medio es, o puede considerarse, un dielctrico ideal. Por lo tanto, para ellos aplicaremos la ecuacin de laplace, donde la condicin a) no es necesaria: 02= VDependiendo de la simetra del problema, sern los trminos del laplaciano que se anularn. Es decir, si la distribucin del potencial no depende de una variable, las derivadas del mismo respecto a sta se anularn, y la integracin ser ms sencilla. A travs de las condiciones de contorno, es decir, los potenciales conocidos, podremos calcular las constantes que surgen de la integracin. En algunos casos, la forma ms simple de realizar integraciones cuando se depende de dos o ms variables es formando una solucin general a partir de la combinacin lineal de soluciones particulares. Puliafito Parte I Pg.: III-4 CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 14 de 83Resumen de Medios de Enlace Teoremas: Teorema I: Si 1V , 2V , , nVson todas soluciones de la ecuacin de Laplace, entonces se verificar que: n nV C V C V C V C V . . . .3 3 2 2 1 1+ + + + = Les tambin una solucin de la ecuacin de Laplace. ste teorema nos permite superponer dos o ms soluciones particulares que configuren una solucin general que satisfaga las condiciones de contorno impuestas a un problema particular. Puliafito Parte I Pg.: III-6 Teorema II (unicidad): Dos soluciones a la ecuacin de Laplace que satisfacen las mismas condiciones de contorno difieren, a lo sumo, en una constante. Puliafito Parte I Pg.: III-7 Armnicos cilndricos: Ciertos problemas de simetra cilndrica donde los potenciales no dependen de la variablezpueden ser resueltos empleando una solucin conocida, denominada armnicos cilndricos, que son soluciones particulares para la ecuacin de Laplace. La ecuacin de Laplace para las condiciones mencionadas es: 01 1222=+|||

\| V V Suponemos una solucin general de la forma: ( ) ( ) nnV = . ,y( ) ( ) nnV = . ,Las dos formas son soluciones que satisfacen la ecuacin. Reemplazando stas en la ecuacin, logramos soluciones para la funcin dependiente dede la forma: ( ) ( ) ( ) . sin . . cos . n B n An n n+ = Existe una propiedad para las ecuaciones diferenciales del tipo que se acaba de exponer, y es que si se encuentra una solucin particular, tambin sern soluciones particulares todas las derivadas parciales sucesivas respecto dexey(en este caso no respecto dez ). Por lo tanto, teniendo en cuenta que: 2 2y x + = podemos construir una tabla, con los distintos valores den , y sus correspondientes soluciones particulares: nDerivaciones respecto dexDerivaciones respecto deynDerivaciones respecto dexDerivaciones respecto deyn ( )nnK . cos ( )nnK . sin 0 ( ) ln K - M M M 1 ( ) cos . . K ( ) sin . . K2 ( )2. 2 cosK( )2. 2 sinK2 ( ) . 2 cos . .2K ( ) . 2 sin . .2K1 ( ) cosK( ) sinKM M M0 ( ) ln K -n( ) . cos . . n Kn( ) . sin . . n Kn Podemos elegir, dependiendo de los puntos lmites del problema o de la dependencia notoria de los potenciales con las variables, el o los armnicos a utilizar en nuestro problema. Las constantes se determinan con los valores de las condiciones de contorno. Puliafito Parte I Pg.: III-15 Armnicos esfricos: Se denominan armnicos esfricos a una coleccin de soluciones particulares del laplaciano del potencial, cuando la expresin en coordenadas esfricas no dependa de la coordenada . Para ste caso, la expresin de la ecuacin de Laplace ser: CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 15 de 83Resumen de Medios de Enlace 0 . sinsin1 1222= ||

\|+ ||

\| Vr rVrr r Las soluciones se hallarn reemplazando cos = uy tendrn la forma: ( ) ( ) u P r u r Vnn. , =y( )1,+=nnrPu r VRealizando consideraciones similares a las del caso anterior, encontraremos soluciones donde nPson los polinomios de Legndre. Derivando una solucin particular respecto dezobtenemos la tabla de armnicos esfricos: n Armnico esfricon Armnico esfrico n ( ) cos11nnPrK+0 KM M 1 ( ) cos . .r K2 ( ) ( ) 1 cos . 3123 rK 2 ( ) ( ) 1 cos . 3 .2 2 r K1 ( ) cos12rKM M0rK1n ( ) cos .nnP r KPuliafito Parte I Pg.: III-23 Mtodo de las imgenes: Este mtodo es slo aplicable en casos puntuales como: 1.Carga puntual frente a un plano conductor infinito 2.Carga puntual frente a una esfera conductora 3.Otros casos particulares En stos casos se reemplaza el plano o la esfera conductora por una carga puntual imaginaria de signo contrario a la carga puntual dada, ubicada correctamente, de tal manera que su efecto sea exactamente el mismo que el que producen el plano o la esfera conductora. La solucin encontrada con sta simplificacin ser vlida slo en el espacio dielctrico existente entre el cuerpo considerado y la carga puntual. Puliafito Parte I Pg.: III-5 Caso de carga puntual frente a un plano conductor infinito: Vemos que hemos reemplazado el plano conductor infinito por una carga puntual ficticia, de igual magnitud pero signo contrario a la original, ubicada en su interior a la misma distancia del mismo que la carga original sobre el eje perpendicular al plano. La expresin del campo elctrico ser la misma que para el caso de dos cargas puntuales, y ser vlida slo en el exterior del conductor, es decir para valores dexpositivos. Para realizar los clculos se computan las distancias entre las cargas puntuales y un punto cualquieraPdel espacio. La expresin de la funcin potencial ser: ( )( ) ( )|||

\|+ + ++ + =2 2 2 2 2 201 1. . 4z y d x z y d xqr V Y por lo tanto, las expresiones del campo elctrico segn las coordenadasxeysern: CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 16 de 83Resumen de Medios de Enlace ( )( ) [ ] ( ) [ ]( )( ) [ ] ( ) [ ]||||

\|+ + ++ + = = =||||

\|+ + ++ + + = = =232 2 2232 2 20232 2 2232 2 20. . 4. . 4z y d xyz y d xy qyrrVyVr Ez y d xd xz y d xd x qxrrVxVr Eyx La densidad superficial de carga negativa inducida en la superficie conductora ser: ( )( )232 2 200. . 2.. ,z y dd qE z yxx+ += == /*Estudiar las demostraciones*/ Puliafito Parte I Pg.: III-29 Caso de carga puntual frente a una esfera conductora: Vemos que hemos reemplazado la esfera conductora de radioapor una carga puntual ficticia, de igual magnitud pero signo contrario a la original, ubicada en su interior a una cierta distancia del centro de la esfera, sobre el eje que contiene a la carga original y al punto central de la misma. La expresin del campo elctrico ser la aplicada para el caso de dos cargas puntuales, y ser vlida slo en el exterior de la esfera, es decir para valores dermayores quea . Para realizar los clculos se computan las distancias entre las cargas puntuales y un punto cualquieraPdel espacio. La distancia entre la carga ficticia y el centro de la esfera se deduce a partir de las condiciones de contorno, es decir, con( ) 0 , = a V . La expresin de la funcin potencial ser: ( )||||||

\| + += cos . . . 2.1cos . . . 21. . 4,222 2 2 20r d aad r r d d rqr VY por lo tanto, las expresiones del campo elctrico segn las coordenadasrysern: ( )( )( )( )|||||||

\||||

\| + + =|||||||

\||||

\| ++ + =23222 2 232 2023222 222232 20cos . . . 2.1cos . . . 21. . 4sin . .,cos . . . 2.cos ..cos . . . 2cos .. . 4, r d aad r r d d rd qr Er d aad rdar dr d d rr d qr Er La densidad superficial de carga negativa inducida en la superficie de la esfera conductora ser: ( ) ( )( )( )232 202 20cos . . . 2 . . . . 4., . , d a d a aa d qa E ar + = =/*Estudiar las demostraciones*/ Puliafito Parte I Pg.: III-34 CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 17 de 83Resumen de Medios de Enlace CAMPO MAGNETOSTTICO El campo magnetosttico es tambin un caso particular del campo electromagntico, pero para rgimen estacionario, es decir, que las variaciones en el campo o sus fuentes son a nivel meramente espacial, y no temporal. Caractersticas Causa o fuente: El campo magntico es producido por cargas elctricas en movimiento y, en particular, el campo magnetosttico es producido por cargas cuyo movimiento es uniforme, es decir, su velocidad es constante. Como sabemos, cargas en movimiento en el seno de un medio se interpretan como corrientes elctricas, por lo tanto, la causa del campo magnetosttico es la corriente elctrica constante. Las caractersticas del campo dependen de la distribucin espacial (discreta o continua) de corrientes elctricas. Estudiaremos algunas relaciones importantes en lo que hace a la definicin matemtica y fsica de stas fuentes. Puliafito Parte I Pg.: IV-2 Densidad de corriente: Supongamos una corriente elctrica constituida por un solo tipo de portador de cargaq , que existen en el medio conductor en promedio una cantidad de ellos por unidad de volumen definida comoNy que todos se mueven a la misma velocidadv . Consideremos una seccin de controlS den el seno del medio. Definimos una densidad superficial de corriente como: v q N JC. . =Por lo tanto, la corriente ligada a una superficie finitaSser: =SCS d J IPuliafito Parte I Pg.: IV-5 Ecuacin de la continuidad: Podemos definir una ecuacin que nos represente matemticamente el principio de conservacin de la carga elctrica. La relacin integral se expresa: = dtS d JSC Aplicando el teorema de la divergencia, llegamos a la expresin diferencial: tJC = stas ecuaciones nos dicen que el reposo o movimiento uniforme de cargas elctricas no supone generacin o prdida de cargas, ya que, en stos dos casos: 0 = CJPuliafito Parte I Pg.: IV-7 Tipo de campo: Las lneas de fuerza o de flujo del campo magnetosttico no tienen principio ni fin, es decir, son lneas cerradas y continuas. Por lo tanto, el campo es vectorial rotacional. Como sabemos, todo campo vectorial rotacional tiene una causa o fuente vectorial llamada vrtice. Decimos entonces que la corriente elctrica es el vrtice del campo magntico. Puliafito Parte I Pg.: IV-15 Leyes experimentales y definiciones Leyes de Ampre y Lorentz: Ley de la fuerza de Ampre: Ampre, en su primera ley, formula una expresin de la fuerza que experimenta un conductor por el que circula una corrienteIcuando se encuentra en el seno de un campo magntico de induccinB (o densidad de flujo magntico), cuyo valor punto a punto es conocido. sta expresin es, para un elemento diferencial de corriente: B l d I F dm = .CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 18 de 83Resumen de Medios de Enlace Por lo tanto, para un hilo de corriente, se expresa la fuerza como una integral de lnea. Si el tramo considerado como circuito de integracin fuese cerrado, y la induccin constante en toda la regin (campo magntico uniforme), ste se puede sacar fuera de la integral, y la fuerza se anula. Esto nos dice que una espira sumergida en el seno de un campo magntico constante no experimenta ninguna fuerza magntica. Puliafito Parte I Pg.: IV-20 Segunda ley de Ampre: La segunda ley de Ampre, tambin conocida como ley de Biot y Savart, para un elemento de corriente, establece la relacin entre el campo magntico existente en un cierto punto del espacio y la corriente elemental que lo produce. La expresin de este diferencial es: ( )( )3. . 4. .r rr r l dI r B d =y es vlida slo para aplicarse con hilos de corriente exclusivamente. Para el caso de conductores gruesos, podemos reemplazar el diferencial de corriente usando la densidad superficial de corriente de la siguiente manera: ( ) = d r J l d IC. .Por lo tanto, la expresin ms general de sta ley es: ( )( ) ( ) = dr rr r r Jr B dC3. 4 Puliafito Parte I Pg.: IV-22 Ley de la fuerza de Lorentz: Es una expresin microscpica de la ley de la fuerza, ya que en vez de referirse a un elemento de corriente, lo hace con una carga puntual que se mueve con una cierta velocidad, en el seno de un campo magntico. La expresin de sta ley es: B v q Fm = .Como vemos, la fuerza resulta perpendicular a la direccin del movimiento de la carga, por lo que el trabajo realizado por la fuerza es nulo, o sea que el campo no cambia la energa cintica de la carga en movimiento, sino slo su direccin. A partir de sta relacin podemos definir la unidad en que se mide la induccin magntica: [ ]2mWeberC.mN.s= = BPuliafito Parte I Pg.: IV-24 Densidad de flujo magntico: La permeabilidad magntica de un medio se designa con , y es expresado de manera relativa con la permeabilidad magntica del vaco, mediante la siguiente expresin: 0. r=Donde el valor de 0es: mHy10 . . 470= Existen tres tipos de medios, segn su comportamiento magntico. stos son: Materiales ferromagnticos: Exhiben una permeabilidad relativa de muy alto valor y no constante. Poseen ciclos de histresis donde la permeabilidad relativa depende de la intensidad del campo magntico y de la historia magntica. Materiales no ferromagnticos: Exhiben una permeabilidad relativa cercana a la unidad. Pueden clasificarse a su vez en: oMateriales diamagnticos: Su permeabilidad relativa es menor que la unidad. oMateriales paramagnticos: Su permeabilidad relativa es mayor que la unidad. Como hemos utilizado el modelo de lneas de flujo en la formulacin del campo magntico, cabe esperar que exista una densidad de flujo magntico, que sea una medida de la intensidad del campo en el entorno de un cierto punto del espacio. Si definimos una intensidad de campo magnticoH , siempre que el medio sea isotrpico, la densidad CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 19 de 83Resumen de Medios de Enlace de flujo ser proporcional a sta (igual direccin y sentido). Podemos entonces expresar, usando la constante de permeabilidad magntica, sta relacin: H B . =Puliafito Parte I Pg.: IV-18 Intensidad de campo magntico: Definimos la intensidad de campo magntico, como analoga con el campo elctrico, mediante la relacin anterior. Sin embargo, aunque pueda parecer intuitiva la analoga entre las constantes representativas del medioy , debemos establecer una relacin correcta. Como se puede ver comparando la expresin del campo elctrico de una distribucin volumtrica de cargas, y la expresin general de la segunda ley de Ampre, vemos que la analoga debera establecerse de la siguiente manera: 1Entonces, las relaciones anlogas son: BH E D = = .La unidad de medida de la intensidad de campo magntico es entonces, en analoga con la densidad de flujo electrosttico, la causa sobre la unidad de superficie, es decir: [ ]mAmpmAmp.m2= = HPuliafito Parte I Pg.: IV-27 Potencial vectorial: En la siguiente seccin se ver que la causa (densidad de corriente) se vincula con el campo magntico mediante la ley circuital de Ampre que, en su forma diferencial, se expresa de la siguiente manera: CJ H= Vamos a definir una funcin potencial vectorialA , dado que la fuente es de sta naturaleza, que cumpla con la siguiente relacin: B A= Como sabemos, el teorema de Heltmothz dice que para definir completamente a una funcin vectorial, basta con especificar su rotor y su divergencia. Es por esto que definiremos un valor para sta ltima que se ajuste a nuestros problemas de inters. ste valor es: 0 = ACombinando la ley circuital de Ampre con nuestras definiciones, llegamos a una funcin potencial vectorial del campo magntico que se vincular con la causa mediante la siguiente ecuacin: CJ A .2 = Puliafito Parte I Pg.: IV-33 Relaciones Relacin entre la causa y el campo: Ley circuital de Ampre: Tambin conocida como ley del trabajo de Ampre, la ley circuital define la relacin entre la corriente elctrica constante (causa) y el campo magntico, vinculados mediante una integral de circulacin que establece a la corriente como una fuerza magnetomotriz. La ecuacin de sta ley se expresa como: I l d HC= Entonces, podemos calcular el campo magntico, estableciendo un camino cerrado de integracin, con una simetra determinada que facilite los clculos, que encierre a las corrientes que lo generan. Si tomamos el caso particular de un hilo de corriente recto e infinitamente largo, y un camino de integracin circular de radior , centrado en el hilo, la relacin anterior se vuelve: rIH. . 2 =y donde el sentido del campo es siempre perpendicular a la espira de integracin, siguiendo la regla de la mano derecha. Vemos en sta relacin que se cumple la definicin de la unidad de intensidad de campo magntico. CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 20 de 83Resumen de Medios de Enlace Sabiendo que la corriente se puede expresar como: =SCS d J Ipodemos reemplazarla en la frmula de la ley circuital de Ampre, para obtener la relacin de malla correspondiente: = SCCS d J l d HAplicando el teorema de Stokes, llegamos a la relacin de punto, que es una ecuacin diferencial del campo magntico: CJ H= Cabe destacar como punto importante que stas leyes as expresadas son vlidas slo para el caso de campos magnetostticos, es decir, invariantes en el tiempo. Ms tarde veremos su generalizacin, en las ecuaciones de Maxwell. Puliafito Parte I Pg.: IV-25 y IV-32 Relacin entre el campo y el potencial: Rotor del potencial vectorial: Cuando definimos la funcin potencial vectorial, dijimos que sta estaba vinculada con el campo magntico mediante la operacin vectorial rotor, es decir que: H A . = Por lo tanto, si conocemos la funcin potencial, podemos mediante simples operaciones matemticas obtener la expresin del campo magntico. Puliafito Parte I Pg.: IV-33 Relacin entre la causa y el potencial: Ecuaciones de Poisson y Laplace sobre potencial vectorial: Como vimos al definir la funcin potencial vectorial, la relacin diferencial que la vincula con la causa es: CJ A .2 = Si resolvemos sta ecuacin diferencial, quedar una expresin, en analoga con el potencial elctrico, de la siguiente manera: ( )( ) =r rd r Jr AC.. 4 De sta manera, especificada la fuente( ) r JC , se puede calcular directamente el potencial vectorial en un punto exterior de la misma. Una vez determinado el potencial, se puede aplicar la relacin vista en el punto anterior. Puliafito Parte I Pg.: IV-33 Condiciones de contorno: Sean dos medios de distinta permeabilidad magntica separados por una cierta superficie que no contiene corrientes elctricas. Existe un campo magntico externo que atraviesa dicha superficie. Consideremos una superficie gaussiana con forma de caja de pldoras o pillbox, como muestra la figura. Se pueden demostrar las siguientes conclusiones: Las componentes de campo normales no son continuas a travs de la superficie de separacin, es decir: CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 21 de 83Resumen de Medios de Enlace 1221=nnHH Las componentes de campo tangenciales son continuas a travs de la superficie de separacin, es decir: t tH H2 1=La relacin entre los ngulos a ambos lados de la superficie de separacin, tiene que ver con las permeabilidades de los medios a travs de la siguiente relacin: 2121tantan=/*Estudiar las demostraciones*/ Puliafito Parte I Pg.: V-45 Polarizacin magntica Momento dipolar magntico: Se define el momento dipolar magntico de un circuitocrecorrido por una corrienteIal vector: S I m . =dondeSes un vector referido a un sistema de coordenadas cartesianas, cuyas componentes son los vectores representativos de las reas encerradas por las proyecciones del contornocsobre los planosxoy ,yozyxoz . Se puede demostrar que: =Cl d r S21 Entonces, podemos expresar el diferencial de momento dipolar magntico como: ( ) d r J r m d .21 =Hemos definido un dipolo magntico como un circuito cerrado, pero tambin puede ser tal una aguja imantada, ya que ambos producen campos lejanos de configuraciones similares. De hecho, los campos sern iguales si ambas fuentes tienen el mismo momento dipolar magntico. Es por eso que podemos establecer una equivalencia entre ellas. Para la espira el momento valeS I m . =y para la aguja, vale r mu a Q m . . 2 . = , donde mQes la intensidad de polo magntico, yaes la distancia del mismo hasta el centro del dipolo. Si los igualamos, podemos obtener una equivalencia entre ambas fuentes: aS IQm. 2.=Puliafito Parte I Pg.: V-26 Cupla: Se puede demostrar que la cupla magntica para un circuito cerrado con una corrienteI , sumergido en un campo magntico uniformeB , vale: B m B S I = = . Puliafito Parte I Pg.: V-28 Magnetizacin: Como sabemos, los electrones en la materia orbitan alrededor de los ncleos en circuitos cerrados, por lo tanto constituyen dipolos magnticos. El mismo efecto se produce con los spins de cada partcula. Si una muestra de materia tiene una densidad volumtrica de tomosN , y cada tomo tiene un momento dipolar magnticom , que engloba la interaccin de todas sus partculas, entonces podemos definir un momento magntico por unidad de volumen, o magnetizacin, como: m N M . =Los distintos comportamientos magnticos de los materiales tambin se ven en ste caso, ya que si aplicamos un campo magntico externo al material, ste se adicionar con el producido por cada tomo, y los efectos sern, para los distintos tipos: CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 22 de 83Resumen de Medios de Enlace Materiales ferromagnticos: Su magnetizacin no es constante, y el resultado de la suma de los campos es muy intenso. Materiales no ferromagnticos:oMateriales diamagnticos: Sus tomos no manifiestan un momento dipolar magntico permanente, por lo que cuando se les aplica el campo, desarrollan un campo inducido que tiende a oponerse al aplicado, resultando en consecuencia un campo total inferior. oMateriales paramagnticos: La adicin da resultados relativamente dbiles. Podemos establecer una relacin entre la magnetizacin de un material y el campo magntico externo aplicado, siempre que el material sea no ferromagntico, mediante la siguiente expresin: H Mm. =donde si el campo aplicado no es muy intenso, la constante m(susceptibilidad magntica del medio) es constante. Los materiales paramagnticos poseen susceptibilidades positivas, mientras que los diamagnticos negativas.Podemos, mediante sta constante, definir la permeabilidad magntica relativa del medio, como: m r + =1Puliafito Parte I Pg.: V-25 Densidades de corriente de magnetizacin: Podemos, en analoga con el caso elctrico, definir densidades de corriente de magnetizacin. Todo material magnetizado se puede considerar como un conjunto de infinitas fuentes de campo magntico.Definimos una densidad superficial equivalente de corriente como: n M Jsm =que debe interpretarse como la corriente por unidad de longitud que fluye por la capa superficial lmite de la muestra. Definimos tambin una densidad volumtrica equivalente de corriente como: M Jm =que es el resultado de una distribucin no uniforme de la magnetizacin en el seno de la muestra. El potencial vectorial total de la muestra ser: ( )( ) ( ) + =0 0. 4 . 40 0Ssm mS dr rr Jdr rr Jr A Puliafito Parte I Pg.: V-37 Energa almacenada Energa almacenada por unidad de volumen: De forma similar que para el campo electrosttico, podemos establecer la cantidad de energa almacenada en el campo por unidad de volumen como: =BmB d H W0 Donde, si realizamos la integral, considerando un medio isotrpico (induccin e intensidad con la misma direccin y sentido), el valor ser: 2.21H Wm =Puliafito Parte I Pg.: IV-36 INDUCCIN ELECTROMAGNTICA Ley de Faraday: La ley de Faraday enuncia que si sumergimos una espira cerrada en el seno de un campo magntico exterior se inducir una f.e.m. en la misma si se produce, de algn modo, alguna variacin en el tiempo del flujo magntico concatenado con la espira. Expresado matemticamente: dtdem =Donde el flujo puede calcularse como: =SmS d B CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 23 de 83Resumen de Medios de Enlace Otra interpretacin de sta ley es que la f.e.m. total inducida en un circuito cerrado es igual a la velocidad de disminucin del flujo magntico total concatenado por dicho circuito. Cuando decimos variar el flujo, podemos hacerlo de tres maneras distintas: a)variando el campo magntico externo en el tiempo y dejando estacionario al circuito; b)modificando el tamao, forma y/o posicin de la espira en un campo estacionario, de modo que concatene cantidades variables de lneas de flujo en el tiempo; c)combinando las dos acciones anteriores. Cabe aclarar que la f.e.m. producida por cualquiera de las tres alternativas anteriormente mencionadas, es de naturaleza netamente dinmica, dado las causas que la provocan, lo que abre la puerta al tratamiento de campos elctricos y magnticos ya no estacionarios, sino en rgimen dinmico. Puliafito Parte I Pg.: VI-2 Ley de Neumann: Es un caso particular para la alternativa a) de variacin de flujo, es decir, con un circuito estacionario y un campo magntico variable. Combinando las dos ecuaciones anteriores se llega a: =SS dtBePuliafito Parte I Pg.: VI-4 Ley de induccin mocional: Es un caso particular para la alternativa b) de variacin de flujo, es decir, con un campo magntico estacionario y un circuito de tamao, forma y/o posicin variables. Como se ve en la figura, la fuerza se produce sobre las cargas en el conductor porque la orientacin del elemento es perpendicular al campo y a la velocidad que trae, pero si no fuera as las cargas se moveran en la proyeccin en esa direccin del elemento. La figura aclara la situacin. El campo elctrico producido en el conductor tender a oponerse a la fuerza de Lorentz, y puede expresarse como: B vqFEm = =Por lo tanto, la f.e.m. producida en un circuito cerrado ser: ( ) =Cl d B v e .Puliafito Parte I Pg.: VI-6 Ley general de induccin electromagntica: Es la generalizacin para la alternativa c) de variacin de flujo, es decir con campo magntico y circuito variables. La expresin de la f.e.m. total ser: ( ) =S CTS dtBl d B v e .Puliafito Parte I Pg.: VI-11 Expresin diferencial: A partir de la siguiente expresin vlida para el caso de un circuito estacionario en un campo variable: = =S CS dtBl d E e .podemos aplicarle el teorema de Stokes en el primer miembro y obtenemos la expresin diferencial o relacin de punto de la ley de Faraday: tBE = sta expresin nos da una conclusin muy importante: siempre que exista un campo magntico variable en el tiempo, existir un campo elctrico asociado, tambin de origen dinmico, y de caractersticas rotacionales. Esto ltimo se visualiza al ver que el rotor de ese campo tiene un valor, que es la velocidad de disminucin del campo magntico que le da origen. Puliafito Parte I Pg.: VI-4 CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 24 de 83Resumen de Medios de Enlace Ley de Lenz: Es equivalente a la ley de Faraday, pero hablando de la corriente en vez de la f.e.m. Su enunciado es el siguiente: la corriente inducida en un circuito cerrado es siempre la necesaria para producir un flujo magntico tal que se oponga a la variacin del flujo magntico externo. Puliafito Parte I Pg.: VI-3 Ecuaciones de Maxwell Inconsistencia de la ley de Ampre: Maxwell, al intentar postular la existencia de ondas electromagnticas, se encontr con una inconsistencia en la ley de Ampre, ya que ste slo haba tenido en cuenta corrientes estacionarias. Puede comprenderse sta inconsistencia analizando un tramo de circuito que contenga un capacitor, como en la figura. Realizando el cmputo de la ley de Ampre tomando el contornoCy la superficie 1S , nos da el valor de la corriente de conduccin Ci . Si en cambio tomamos como superficie a 2S , vemos que tiene el mismo contorno pero el resultado sera nulo, porque no hay corriente de conduccin que atraviese a dicha superficie. Aqu es donde est la contradiccin: para un mismo contorno obtenemos dos valores distintos en el cmputo de la corriente. Maxwell levant esta inconsistencia ampliando la ley al rgimen dinmico, en el cual un campo elctrico variable en el dielctrico que separa las placas del capacitor produce un campo magntico variable. Al haber campo magntico variable, debera haber una corriente variable que lo provoque. Postul entonces la existencia de una corriente de desplazamiento, provocada por la variacin del campo elctrico de la siguiente manera: tEtDJD== Maxwell revalida la primera ley de Kirchoff en el nodo encerrado por ambas superficies igualando la corriente de conduccin con la de desplazamiento: = SCSDS d J S d JPor lo tanto, la ley de Ampre generalizada quedar de la siguiente manera: D CJ J J H + = = Puliafito Parte I Pg.: VI-15 Expresin integral o de malla de las ecuaciones de Maxwell: Maxwell, a partir de ver que campos elctricos variables producan campos magnticos, y que campos magnticos variables producan campos elctricos, propuso una teora de campo electromagntico que prev, en el rgimen dinmico, la propagacin de ondas. Los pilares fundamentales de dicha teora son la ley circuital de Ampre, debidamente generalizada por Maxwell, y la ley de induccin de Faraday. La primera ecuacin fundamental se expresa de la siguiente manera: = S CS d J l d HSiendo que la densidad de corriente puesta en la frmula, representa la superposicin de una corriente de conduccin y una de desplazamiento: tEE J J JD C+ = + = .La segunda ecuacin fundamental se escribe de la siguiente forma: = S CS dtBl d EA estas dos ecuaciones falta agregarles dos ecuaciones que terminan de completar la definicin o especificacin del campo electromagntico en una regin del espacio. stas son las expresiones de la ley de Gauss para campos elctricos y magnticos: CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 25 de 83Resumen de Medios de Enlace = SS d D0 = SS d BPor lo tanto, las cuatro ecuaciones de Maxwell escritas en forma integral (relacin de malla) se expresan as: = = = |||

\|+ = 0.SSS CS CS d HS d ES dtHl d ES dtEE l d H Con ellas describimos todo fenmeno de origen electromagntico existente en la naturaleza. Vemos la armona existente en estas ecuaciones, sobre todo en las dos primeras, ya que se ve que un tipo de campo, con su variacin, genera al otro, y a su vez ste, como vara, genera al primero. Esto nos da un indicio de la existencia de ondas electromagnticas, que se propagan en el espacio indefinidamente. Puliafito Parte I Pg.: VII-1 Expresin diferencial o de punto de las ecuaciones de Maxwell: Aplicando a las ecuaciones anteriores segn sea el caso los teoremas de Gauss y Stokes, llegamos a expresiones ms sencillas, tiles y fciles de recordar de las ecuaciones de Maxwell. stas son: = = = + = 0.HEtHEtEE H Aqu se ve claramente que el campo elctrico puede tener dos naturalezas: una conservativa, que es la provocada por la distribucin de cargas , y otra solenoidal, que es la provocada por la variacin del campo magntico. Otro punto importante que se ve es que la corriente de desplazamiento aparece siempre, ya que es la condicin necesaria para que se pueda propagar una onda electromagntica. En el caso de un conductor ideal, por ejemplo, su valor es nulo, y por ende en el interior del mismo no es posible la propagacin de ellas. Puliafito Parte I Pg.: VII-1 Expresiones para el caso de un medio dielctrico ideal: Para el caso de que las ondas se propaguen en un medio dielctrico ideal, donde0 = y0 = las expresiones quedan como sigue: = = = = 00HEtHEtEH Aqu es donde notamos la mayor simetra entre ellas. Puliafito Parte I Pg.: VII-4 CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 26 de 83Resumen de Medios de Enlace PROPAGACIN DE ONDAS ELECTROMAGNTICAS Ecuaciones de onda: A partir de las ecuaciones de Maxwell podemos, mediante pasos matemticos, deducir ecuaciones de onda que describan de manera ms visible la propagacin de las mismas en el espacio.Medio dielctrico ideal: A partir de la ecuacin de la ley de Faraday: tHE = aplico la operacin rotor a ambos miembros, y queda: tHE = . Operando con el primer miembro, e intercambiando las operaciones del segundo, por serHuna funcin que esperamos sea continua, obtenemos: ( )( )tHE E = 2 Por ltimo, sabiendo que la divergencia del campo elctrico (dinmico) en un medio dielctrico ideal es nula, y reemplazando mediante la ley de Ampre para medios dielctricos ideales en el segundo miembro obtenemos la ecuacin de onda para el campo elctrico. Anlogamente, podemos obtener una ecuacin similar para el campo magntico: 0 . .222= tEE 0 . .222= tHH Las dos ecuaciones anteriores son diferenciales a las derivadas parciales y homogneas, por lo que nos dan la descripcin del fenmeno sin considerar las causas que lo producen. Introduciendo el operador dalambertiano que es: 22221__t v =Obtenemos las ecuaciones de onda en forma abreviada y en forma explcita: = = ===0 . .0 . .0 __0 __222222tHHtEEHE Aqu vemos que la velocidad de propagacin de la onda vale: .1= vPuliafito Parte I Pg.: VII-6 Medio conductor: Como sabemos, en el interior de dichos medios la carga elctrica neta es siempre nula, dado que cualquier exceso se depositara en la superficie exterior. Adems, la corriente de conduccin no altera este equilibrio. Tenemos entonces, para el caso de medios conductores, que las ecuaciones de Maxwell se expresan de la siguiente manera: = = = + = 00.HEtHEtEE H CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 27 de 83Resumen de Medios de Enlace Operando de la misma manera que para el caso anterior, se obtienen las siguientes ecuaciones de onda: = = 0 . . . .0 . . . .222222tHtHHtEtEE Como vemos, aparece un trmino nuevo en cada una de las ecuaciones, que como veremos ms adelante, tienen en cuenta la interaccin de la onda con el medio conductor provocando el calentamiento del mismo por efecto Joule. Cabe esperar entonces que la onda que se propaga en este medio sufra una atenuacin. Puliafito Parte I Pg.: VII-8 Propagacin: Definiciones: Superficies equifase o frentes de onda: Se definen como tales al considerar todos los puntos del espacio en los cuales los campos tienen la misma fase en sus ciclos de variacin. Direccin o eje de propagacin: Se define dicha direccin o eje en un punto del medio al tomar la direccin normal a una superficie equifase que pasa por dicho punto. Rayos: Son lneas que indican la direccin de propagacin en los distintos puntos de un frente de onda. Puliafito Parte I Pg.: VIII-1 y 2 Tipos de ondas: Ondas planas: Se caracterizan por poseer frentes de onda de tipo plano extendindose indefinidamente en el espacio. El frente ser paralelo al plano en que se ubican las fuentes y la propagacin ser en una nica direccin. Ondas cilndricas: Se caracterizan por poseer frentes de onda de forma cilndrica con superficie infinita. Se producen por una distribucin lineal, uniforme e infinita de fuentes. Se propagan radialmente en dos dimensiones. Ondas esfricas: Su frente de onda se desarrolla segn superficies esfricas concntricas en tres dimensiones del espacio. Se producen tericamente por una fuente puntual. Puliafito Parte I Pg.: VIII-2 Modos de propagacin: Antes de hablar de los distintos modos de propagacin, debemos definir el concepto de planos transversos, que son planos tangentes a las superficies equifases en distintos puntos de las mismas, y por lo tanto son siempre perpendiculares a la direccin de propagacin de la onda. En general, los vectores representativos de los campos elctricos y magnticos pueden o no estar contenidos enteramente en un plano transverso. Podemos, en general, definir una terna cartesiana, y escribir la expresin de los vectores de campo en ella: + + =+ + =z H y H x H Hz E y E x E Ez y xz y x . . . . . . Cada componente de campo a su vez es funcin de las cuatro variables espacio-temporales. Si en particular orientamos nuestra terna cartesiana de tal manera que el ejexcoincida con la direccin de propagacin, el planoyozcoincidir con el plano transverso. Podemos a partir de esto definir ciertos modos de propagacin segn se orienten las componentes del campo elctrico y magntico en el sistema. Puliafito Parte I Pg.: VIII-2 Transversal Electromagntico (T.E.M.): Se define un modo transversal electromagntico (T.E.M.) en aquellos casos en que los vectores representativos de los campos elctricos y magnticos de la onda se encuentran totalmente contenidos en un plano transverso.ste es el modo natural o fundamental de propagacin de las ondas electromagnticas en un medio ilimitado y lejos de la fuente de radiacin. Para ste caso tendremos0 = =x xH EPuliafito Parte I Pg.: VIII-4 CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 28 de 83Resumen de Medios de Enlace Transversal Elctrico (T.E.): Se define un modo transversal elctrico (T.E.) en aquellos casos en que slo el vector representativo del campo elctrico se encuentra completamente contenido en un plano transverso. El campo magntico, en consecuencia, posee componentes sobre el plano transverso y el eje de propagacin. En ste caso tendremos0 =xEpero0 xHPuliafito Parte I Pg.: VIII-4 Transversal Magntico (T.M.): Se define un modo transversal magntico (T.M.) en aquellos casos en que slo el vector representativo del campo magntico se encuentra completamente contenido en un plano transverso. El campo elctrico, en consecuencia, posee componentes sobre el plano transverso y el eje de propagacin. En ste caso tendremos0 =xHpero0 xEPuliafito Parte I Pg.: VIII-4 Ondas planas: Vamos a referirnos a ondas planas y orientadas de tal manera que su direccin de propagacin coincida con el eje x . Se puede deducir que para el caso de ste tipo de ondas siempre el modo de propagacin es T.E.M., y por lo tanto: 0 = =x xH E/*Estudiar demostracin*/ Si orientamos el vector del campo elctrico de tal manera que coincida con el ejey , se puede demostrar que el vector de campo magntico se orientar segn el ejez . Por lo tanto: 0 = =y zH E/*Estudiar demostracin*/ Y los vectores representativos del campo nos quedarn: ==z H Hy E Ezy . . Como vemos, los vectores de campo elctrico y magntico en el caso de ondas planas se encuentran en cuadratura espacial. Esto se ilustra en la figura. Puliafito Parte I Pg.: VIII-5 Ondas planas en medios dielctricos ideales Solucin general: Considerando la orientacin elegida para los vectores de campo elctrico y magntico en el caso de ondas planas, las ecuaciones de onda en un medio dielctrico ideal, homogneo y libre de cargas quedan de la siguiente forma: ==0 . .0 . .22222222tHxHtExEz zy y ste tipo de ecuaciones, denominadas Ecuaciones de DAlambert tienen soluciones generales que se escriben as: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )+ + =+ + =t v x f t v x f t x Ht v x f t v x f t x Ezy. . . . ,. . . . ,2 2 1 12 2 1 1 En donde 1E , 2E , 1Hy 2Hson las constantes de integracin que debern evaluarse en cada caso particular por las condiciones de contorno. La constantevque aparece en las ecuaciones es, segn la resolucin de las ecuaciones, la velocidad de propagacin de las ondas segn el ejex . Su valor es: .1= vCasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 29 de 83Resumen de Medios de Enlace Los primeros trminos de las soluciones generales representan lo que denominaremos ondas incidentes, ya que progresan en el sentido positivo de la coordenadax , mientras que los segundos trminos se denominan ondas reflejadas ya que progresan en el sentido negativo de la misma. Esto puede demostrarse matemticamente. /*Estudiar demostracin*/ Puliafito Parte I Pg.: VIII-9 Dominio de la frecuencia: Si elegimos la terna como se especific para ondas planas, de las dos primeras ecuaciones de Maxwell, obtenemos las siguientes ecuaciones diferenciales escalares: = =tExHtHxEyzzy Ya que la mayora de las aplicaciones utilizan ondas con variaciones armnicas en el tiempo (adems cualquier forma de onda puede representarse por una serie de Fourier), podemos encontrar las soluciones a las ecuaciones anteriores con variaciones armnicas en el tiempo. Podemos entonces llevar los clculos al dominio auxiliar de las frecuencias. Utilizamos el mtodo de resolucin por producto de funciones de variables separadas, y proponemos una solucin de la forma: ( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ] = =t jz zt jy ye x t x He x t x E. .. .. Re ,. Re , donde( ) xyy( ) xzson los fasores del campo elctrico y magntico respectivamente (notar que se no se escriben en letra cursiva). Utilizando sta solucin, las ecuaciones diferenciales a las derivadas parciales anteriores se convierten en las siguientes ecuaciones diferenciales a las derivadas totales: = =yzzyjdxdjdxd. . .. . . Derivando respecto axlas ecuaciones anteriores y reemplazando con las mismas, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden: = += +0 . . .0 . . .222222zzyydxddxd cuyas soluciones son: ( )( ) + = + = + + x j x jzx j x jye e xe e x. .2. .1. .2. .1. .. . donde llamamos afactor o constante de fase, y es: v = = . .Por lo tanto, obtenemos finalmente una solucin espacio-temporal para ondas planas armnicas en el tiempo de la siguiente manera: ( )( ) ( )[ ]( )( ) ( )[ ] + = + =+ + x t j x t jzx t j x t jye e t x He e t x E. . .2. . .1. . .2. . .1. . Re ,. . Re , El segundo trmino de cada expresin, correspondiente a las ondas reflejadas, estar presente slo si existen condiciones de contorno que justifiquen la presencia de tal fenmeno, como cambios de medio o superficies reflectoras. Puliafito Parte I Pg.: VIII-11 CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 30 de 83Resumen de Medios de Enlace Impedancia intrnseca: Sabemos de las ecuaciones de Maxwell que los campos elctricos y magnticos son interdependientes, es decir que debe existir una relacin entre yEy zH , o ms particularmente entre las constantes 1y 1 , y entre 2y 2 . Se puede demostrar que la constante que las vincula tiene que ver con el medio y es la impedancia intrnseca del mismo, que es: =0Z [ ] =0Z/*Estudiar demostracin*/ Por lo tanto, la relacin existente entre estas constantes es: = = 2 0 21 0 1..ZZ Puliafito Parte I Pg.: VIII-15 Velocidad de fase: La velocidad de fase es la velocidad de un plano de fase constante de la onda a medida que progresa en el medio en la direccin positiva del ejex . Un plano de fase constante se caracteriza por: ctte . . = = x t Si derivamos respecto al tiempo y despejamos la derivada dex , obtenemos la velocidad como: .1= = =dtdxvAnlogamente, para las ondas reflejadas se llega a deducir que su velocidad es igual pero de signo contrario. Puliafito Parte I Pg.: VIII-17 Factor de velocidad: Como hemos visto, la velocidad de propagacin de una onda en un medio dado depende de las caractersticas propias del medio, esto es, su constante dielctrica y su permeabilidad magntica. Si relacionamos el valor de la velocidad de fase de la onda en un medio dado con la velocidad de la luz en el vaco, tendremos una velocidad de fase relativa, o factor de velocidad, que se expresar como: r rcvFV .1= =Definimos tambin un ndice de refraccin que es la inversa del factor de velocidad: r rFV .1= =Puliafito Parte I Pg.: VIII-21 Longitud de onda: Para medir la longitud de onda incidente es necesario mantener constante el tiempo y recorrer una distancia = xde tal manera que encontremos el primer punto consecutivo de igual fase. Matemticamente: ( ) ( ) ( ) + =x t j x t je e. . . . . . Como el fenmeno es peridico, esto se cumple para: . 2=Puliafito Parte I Pg.: VIII-18 Constante de propagacin: La constante de propagacin es una caracterstica que depende del medio y de la frecuencia de trabajo. Su expresin caracterstica es siempre: j + =dondees una constante que determina la atenuacin que sufrir la onda en dicho medio, yes la constante de fase, de la que ya hemos hablado. Como en los medios dielctricos ideales no existe posibilidad de tener una corriente de conduccin, la onda progresar sin perder energa, y por lo tanto sin atenuacin. Es por ello que, para estos medios, la constante de atenuacin es nula: CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 31 de 83Resumen de Medios de Enlace 0 = Entonces, nuestra constante de propagacin toma el valor: j =Puliafito Parte I Pg.: VIII-14 Ondas planas en medios dielctricos de reducidas prdidas Solucin general: Para el caso de propagacin de ondas planas en ste tipo de medios, debemos considerar que existe una corriente de conduccin an cuando sea de valor reducido respecto a la corriente de desplazamiento. Por ende, las ecuaciones de Maxwell que vamos a usar se expresan en su forma ms general. Operando matemticamente como en el caso anterior, llegamos a las siguientes expresiones: |||

\|+ = =tEExHtHxEyyzzy . El anlisis va a ser realizado nuevamente en el dominio de la frecuencia. Puliafito Parte I Pg.: VIII-26 Dominio de la frecuencia: Suponemos para el sistema de ecuaciones diferenciales anterior una solucin del tipo: ( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ] = =t jz zt jy ye x t x He x t x E. .. .. Re ,. Re , Utilizando sta solucin, las ecuaciones diferenciales a las derivadas parciales anteriores se convierten en las siguientes ecuaciones diferenciales a las derivadas totales: ( ) + = =yzzyjdxdjdxd. . .. . . Derivando respecto axlas ecuaciones anteriores y reemplazando con las mismas, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden: ( )( )= + = + 0 . . . . . .0 . . . . . .2222zzyyj jdxdj jdxd Si definimos: ( ) . . . . .2j j + =Podemos escribir las ecuaciones de la siguiente forma: = = 0 .0 .222222zzyydxddxd Cuyas soluciones sern: ( )( ) + = + = + + x xzx xye e xe e x.2.1.2.1. .. . Si el medio dielctrico es de buena calidad, se cumplir la siguiente condicin: CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 32 de 83Resumen de Medios de Enlace 1001.< (condicin de dielctrico) Con lo cual la constante , que llamaremos factor de propagacin, tendr una expresin aproximada como: . . .2j + /*Estudiar la demostracin*/ Donde vemos que el factor de atenuacin ser: 2y el factor de fase: . . Podemos entonces expresar los fasores de campo como: ( )( ) + = + = x j x x j xzx j x x j xye e e e xe e e e x. . .2. . .1. . .2. . .1. . . .. . . . Finalmente, con estas consideraciones, las expresiones espacio-temporales de las soluciones sern: ( )( ) ( )[ ]( )( ) ( )[ ] + = + =+ + x t j x x t j xzx t j x x t j xye e e e t x He e e e t x E. . . .2. . . .1. . . .2. . . .1. . . . Re ,. . . . Re , Puliafito Parte I Pg.: VIII-26 Impedancia intrnseca: Se puede demostrar que la impedancia intrnseca del medio, que relaciona las constantes en las expresiones anteriores, tiene la siguiente expresin: . .0jZ =/*Estudiar demostracin*/ Utilizando la condicin de dielctrico, podemos llegar a una expresin como la siguiente: ||

\|+ . . 210j Z/*Estudiar demostracin*/ Como vemos, para un medio dielctrico de reducidas prdidas, la impedancia es compleja, con un ngulo de fase que llamaremos ngulo de prdidas definido por la relacin: ||

\|= . . 2arctanDebido a ste ngulo, si bien las componentes de campo elctrico y magntico siguen manteniendo la cuadratura espacial, existir un defasaje temporal entre ambos campos. Si tomamos, por ejemplo, como referencia el campo elctrico, las expresiones de los fasores para una onda incidente pura sern: ( )( )= = . . . .00. . .0. . .. .j x j xzx j xye e eZxe e x Puliafito Parte I Pg.: VIII-31 Velocidad de fase: Debido a la aproximacin que hacemos con la condicin de dielctrico, la velocidad de fase es igual que en el caso del dielctrico ideal, es decir: .1= = vPuliafito Parte I Pg.: VIII-32 CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 33 de 83Resumen de Medios de Enlace Factor de velocidad: Debido a la aproximacin que hacemos con la condicin de dielctrico, las expresiones del factor de velocidad y del ndice de refraccin son idnticas a las encontradas para dielctricos ideales. Puliafito Parte I Pg.: VIII-32Longitud de onda: Debido a la aproximacin que hacemos con la condicin de dielctrico, la expresin de la longitud de onda es idntica a la encontrada para dielctricos ideales. Puliafito Parte I Pg.: VIII-32Constante de propagacin: Como vimos anteriormente, para el caso de stos medios dielctricos imperfectos, existe una atenuacin de la onda al progresar por la direccin de propagacin. Esto se debe a que el factor de propagacin tiene en cuenta una constante de atenuacin, que como vimos vale: 2Por lo tanto, la onda cambiar su amplitud de un extremo al otro del recorrido, como muestra la figura. Puliafito Parte I Pg.: VIII-29 Ondas planas en medios conductores Solucin general: Un medio se dice conductor cuando la corriente de conduccin predomina sobre la corriente de desplazamiento. Para que esto ocurra, debe cumplirse la siguiente relacin: 100.> (condicin de conductor) Como vemos, la caracterizacin de conductor o dielctrico depende de la frecuencia de la onda. Esto quiere decir que un medio puede ser conductor para una frecuencia baja, pero para un valor mayor de la misma puede comportarse como un dielctrico.Igual que en el caso anterior, trabajaremos en el dominio de la frecuencia. Puliafito Parte I Pg.: IX-1 y 5 Dominio de la frecuencia: Nuevamente usaremos las ecuaciones de Maxwell en su forma ms general, y haremos el mismo anlisis que anteriormente hasta llegar a la siguiente expresin de la constante de propagacin: ( ) . . . . .2j j + =Utilizando la condicin de medio conductor, podemos llegar a que: 2. .2. . j + /*Estudiar la demostracin*/ Con lo que vemos que la constante de atenuacin y de fase tienen el mismo valor numrico: 2. .2. . Dejaremos para el siguiente punto la expresin de las soluciones fasoriales y en el dominio del tiempo, ya que pueden facilitarse introduciendo el concepto de profundidad de penetracin. Puliafito Parte I Pg.: IX-5 Profundidad de penetracin: Vamos a definir la constantecomo profundidad de penetracin en un medio conductor. Su expresin ser: CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 34 de 83Resumen de Medios de Enlace . .2=y por lo tanto: 1= =sta cantidad tiene dimensiones de longitud. Una onda electromagntica slo puede penetrar desde un medio dielctrico externo al conductor una cantidad definida prcticamente por el valor de . Podemos ahora expresar los fasores de campo elctrico y magntico para stos medios. Tendremos en cuenta slo ondas incidentes, ya que la profundidad de penetracin es tan pequea que, en un conductor de dimensiones mayores, no se apreciarn ondas reflejadas. Las expresiones fasoriales sern: ( )( ) = = xjxzxjxye e xe e x. .. .00 Demostramos aqu el sentido fsico de la profundidad de penetracin, ya que, para = x , el fasor de campo habr reducido su amplitud aproximadamente al 30% del valor inicial. Esto se aclara en la figura. Las expresiones en el dominio del tiempo sern: ( )( )( )( )((

=((

= xt jxzxt jxye e t x He e t x E.0.0. . Re ,. . Re , Puliafito Parte I Pg.: IX-4 Efecto pelicular: Como vemos, la profundidad de penetracin se reduce mientras se aumenta la frecuencia. A ste fenmeno se lo suele llamar efecto pelicular, ya que los efectos de las ondas electromagnticas se aferran a los conductores en ste espesor. Es por eso que se ahuecan los conductores para determinadas aplicaciones. Puliafito Parte I Pg.: IX-10Impedancia intrnseca: Se puede demostrar que la impedancia intrnseca del medio, que relaciona las constantes en las expresiones anteriores, tiene la siguiente expresin: . .0jZc=/*Estudiar demostracin*/ Reemplazando el valor del factor de propagacin, podemos obtener la expresin de la impedancia intrnseca del medio conductor: . 2.. 2.0j Zc+ /*Estudiar demostracin*/ cuya magnitud ser: .2 .0= cZy cuya fase ser 45 = . Vemos por lo tanto que, como era de esperarse, los medios conductores tienen comportamiento inductivo. Puliafito Parte I Pg.: IX-6 CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 35 de 83Resumen de Medios de Enlace Tiempo de relajacin: A partir de la ecuacin de continuidad y la ley de Ohm se puede llegar a una ecuacin diferencial como la siguiente: 0 = + t cuya solucin es: ( ) ( )te r t r = . ,0 Podemos definir el concepto de tiempo de relajacin, que sera la constante de tiempo de sta funcin, a la magnitud: =rTcon lo cual la solucin es: ( ) ( )rTte r t r= . ,0 sta expresin describe la rapidez con que un medio tiende a reestablecer el equilibrio electrosttico, una vez que se ha introducido en l un desbalance de carga 0 . Puliafito Parte I Pg.: IX-10 Velocidad de fase: Para el caso particular de los medios conductores, la velocidad de fase es: .. 2. = =cvComparando sta magnitud con la correspondiente a medios dielctricos, vemos que es muy baja. Por otra parte, observamos que la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia en medios conductores. Puliafito Parte I Pg.: IX-8 Longitud de onda: Para los medios conductores, la expresin que resulta para la longitud de onda es: . . 2 =c /*Estudiar demostracin*/ y si la comparamos con la misma para un medio dielctrico, vemos que es de muy bajo valor. Puliafito Parte I Pg.: IX-9 Constante de propagacin: Como se observa en las expresiones de la constante de propagacin, la atenuacin y la fase dependen de la frecuencia, a diferencia del caso de los dielctricos en que slo la fase tena sta dependencia. Puliafito Parte I Pg.: IX-3 Velocidad de fase y de grupo: Como vemos en el anlisis anterior, las constantes caractersticas en los medios conductores dependen de la frecuencia de la onda, por lo tanto, existe una discriminacin de frecuencias a medida que una seal compleja progresa en un medio conductor. Es por eso que ste comportamiento hace que a los medios conductores se los denomine medios dispersivos. En definitiva, un medio conductor acta como un filtro pasabajos, dado que la impedancia crece con la frecuencia. Tambin vemos que, como la constante de fase vara con la misma, existir una distorsin de fase en la onda. En particular nos interesa la dependencia de la velocidad de fase de la onda con la frecuencia.Si suponemos un par de ondas cuyas frecuencias sean 1y 2 , de tal forma que exista una frecuencia equidistante de ellas: 22 10 +=y una distancia entre frecuencias: 22 1 = CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 36 de 83Resumen de Medios de Enlace La onda resultante de superponer ste grupo de ondas aparece modulada en amplitud con una seal de frecuencia y constante de fase . Deberamos considerar la velocidad de fase de la onda original de frecuencia 0y del par de ondas, a la cual llamaremos velocidad de grupo. Ella ser: = uSi hacemos que las frecuencias extremas estn a una distancia infinitesimal, la velocidad de grupo ser: ddu =Para el caso de los medios dielctricos, la dependencia entre la constante de fase y la frecuencia es lineal, por lo tanto la relacin anterior nos dar el mismo valor que la velocidad de fase de la onda. En cambio, para medios conductores, la dependencia no es lineal. Podemos entonces clasificar a los medios segn sta dependencia: 1.Medios no dispersivos:v u =2.Medios dispersivos:v u a.Medios dispersivos normales:v u Finalmente, podemos encontrar una expresin alternativa para el clculo de la velocidad de grupo: ddvv u =/*Estudiar demostracin*/ Haciendo los reemplazos correspondientes para medios conductores, encontramos que: c cv u . 2 =/*Estudiar demostracin*/ Por lo tanto, los medios conductores son dispersivos anormales. Puliafito Parte I Pg.: IX-13 Cuadro de resumen de ondas planas: Comportamiento del medio Dielctrico IdealDielctricoConductor Condicin0 = 1001.< 100.> Constante de atenuacin 0 = 2=2. . = Constante de fase . . = . . =2. . = Constante de propagacin . j = . j + = . j + =Impedancia intrnseca del medio=0Z ||

\|+ = . . 210j Z . 2.. 2.0j Zc+ =Velocidad de fase .1= v .1= v .. 2=cv Velocidad de grupo v u =v u =c cv u . 2 = = caracterstica especial: depende de la frecuencia y de manera alineal Polarizacin de ondas planas Polarizacin de ondas: Se define como direccin de polarizacin de una onda electromagntica a la direccin segn la cual se encuentra dirigido el campo elctrico en un punto fijo del espacio. Puliafito Parte I Pg.: VIII-33 CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 37 de 83Resumen de Medios de Enlace Tipos de polarizacin: Polarizacin lineal: Una onda est polarizada linealmente cuando las direcciones de los vectores representativos del campo elctrico y magntico no cambian en el tiempo en un cierto punto del espacio. Esto puede ocurrir para cualquier direccin del vector representativo del campo elctrico en el plano transverso, siempre y cuando no exista defasaje temporal entre las componentes del mismo. Polarizacin elptica: Se da en el caso de existir un defasaje temporal entre las componentes del campo elctrico en el plano transverso. Para cada instante dado, la direccin de polarizacin cambiar y el lugar geomtrico del vector campo elctrico en el plano transverso describir una elipse. Esto se aclara en la figura. Polarizacin circular: Es un caso particular de la polarizacin elptica para cuando los componentes del campo elctrico son iguales y el defasaje temporal entre ellos es de 90. En ese caso el lugar geomtrico del vector campo elctrico en el plano transverso describir una circunferencia. Esto se aclara en la figura. Puliafito Parte I Pg.: VIII-33 Relacin axil: Se define como relacin axil a la relacin existente entre las magnitudes de las componentes del vector representativo del campo elctrico en el plano transverso yy z : zyAxR=Puliafito Parte I Pg.: VIII-35 Sentido de giro: Teniendo en cuenta el sentido positivo de avance de la onda en la direccin de propagacin, se puede definir un sentido de giro levgiro (hacia la izquierda) o dextrgiro (hacia la derecha) para el caso general de polarizacin elptica, dependiendo del defasaje temporal existente entre las componentes del campo. Puliafito Parte I Pg.: VIII-36CasIngenierosAutor: http://www.casingenieros.890m.comJuan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Pgina 38 de 83Resumen de Medios de Enlace Energa y potencia Energa y potencia en ondas electromagnticas: Como habamos encontrado al tratar campos estacionarios, las densidades volumtricas de energa para campos electrostticos y magnetostticos son, respectivamente: 2.21E we =y 2.21H wm =Entonces, la densidad de energa de un campo electromagntico en el entorno de un punto dado ser funcin del tiempo, debido al rgimen dinmico, y puede computarse considerando los valores instantneos de ambos tipos de campo: ( )2 2. .21H E w w wm e em + = + =Si consideramos un volumen finito , la energa total de campo electromagntico almacenada en el mismo es: = d w Wem em.Si la energa vara en el tiempo podr definirse una potencia instantnea: ()= d wdtdt pem.Puliafito Parte I Pg.: XI-1 Vector de Poynting: La energa irradiada por una fuente y la captada por un receptor son muy distintas, debido a que la primera se propaga en el medio ocupando volmenes rpidamente crecientes. Vamos a definir un flujo de potencia por unidad de rea para una superficie cerrada correspondiente al punto P: () =SS d t p Donde suponemos un vectoradecuadamente definido que tendr la direccin del flujo de energa de la onda electromagntica. Podemos igualar sta potencia a la definida anteriormente para encontrar el vector: = SemS d d wdtd .El signo menos se debe a la convencin energtica de potencia entrante. Trabajando con sta expresin, encontramos que el vector , al que llamaremos vector de Poynting, representa la potencia de campo electromagntico por unidad de rea.Puliafito Parte I Pg.: XI-2Vector de Poynting en medios dielctricos ideales: Se puede demostra