Apunts Estructures Algebraiques

7/24/2019 Apunts Estructures Algebraiques

1/53

ESTRUCTURES ALGEBRAIQUES

Albert Iribarne

Tardor 2011


2/53


3/53

Est. Algebraiques Teoria Tardor 2011

1 GRUPS

1.1 Introduccio. Definicio de grup

Definicio 1.1.1. Un grup es un conjuntGamb una operacio interna

G G G(a, b) a b

tal que satisfa

es associativa:a,b,cG (ab)c= a(bc) existeix element neutre eG|aG ae= ea = a existeix element invers,aGa1|aa1 =a1a= e

Observacio 1.1.1. Si no hi ha perill de confusio a b= abDefinicio 1.1.2. (G, ) es un grup abelia o commutatiu a, bG ab= baObservacio 1.1.2. Si (G, ) es abelia

ab = a +be = 0a1 = a

Notacio: G grup, aG

an =a . . . aambn >0 a0 :=e an =a1 . . . a1 ambn >0

Observacio 1.1.3. En general, anbm =bman, nomes passa quan G es abelia.Definicio 1.1.3. (G, ) grup. G es finit #(G) < +, sent #(G) =|G|: ordrede GDefinicio 1.1.4. (G, ) grup.

Es diu que H es subgrup de G, [H < G] si i nomes si

eH a, bHabH aHa1 H

Definicio 1.1.5. H < G: Hsubgrup propi

H= G{e}

1


4/53


Proposicio 1.1.1. G grup. Hi< G, iI

iIHi< G

Demostracio. Veurem les tres propietats que ha de complir per ser subgrup.

1. 1Hi iI1

iIHi

2. a, b iIHi iI a, bHi

abHi iI

Hi < G

ab iIHi3. aiIHi iI aHia1 Hi

a1 iIHi

Observacio 1.1.4. La unio de subgrups en general no es un subgrup. Veiem-hoamb un exemple:

(Z, +), n Z, (n) =nZ ={na|a Z}< ZH= (3) (4)< Z, 7 = 3 + 4 i 3(3), 4(4) pero 7 /(3) (4)

Observacio 1.1.5. El producte de subgrups no es un subgrup. Veiem-ho amb unexemple:

H1, H2< G

H1H2 ={ab|aH1, bH2} GQue en general no es subgrup.

Definicio 1.1.6. G grup. S

G subconjunt.

S= S={1}

S= S:=

HG, SH

H

Direm que S es unconjunt de generadors deS. I queS es el mes petit delssubgrups que conte S

G grup finitament generat SG finit.

Notacio: S={

a1, . . . , an}

; {

a1, . . . , an}

=

a1, . . . , an

2


5/53


Proposicio 1.1.2. SG subconjunt=

S={an11 . . . anrr | r1, ni Z, aiS}

Demostracio. Demostrarem les dues inclusions.

) aiS S anii S i= 1, . . . , r

an11 . . . anrr S

)L={an11 . . . anrrr1, aiS, ni Z}< G

1L, 1 =a0, aS x= an11 . . . anrr L, y= bm11 . . . bmss L =xy =an11 . . . anrr bm11 . . . bmss L x= an11 . . . anrr Lx1 =anrr . . . an11 L =L < G

SL < G{S}=

HG, SH

H.

L es un dels SH. Definicio 1.1.7. H < G es cclic aHtal que

H=a={ann Z}

Proposicio 1.1.3. Dues propietats:

1. Tot grup cclic es abelia.

2. Tot subgrup dun grup cclic es cclic.

Demostracio. La primera es veu facilment;anam =an+m =am+n =aman. Respectea la segona, correspon a lexercici 9 de la llista de grups.

Definicio 1.1.8. aG.Lordre de a[o(a)] =| a |= min {n >0an = 1} N {+}

Propietats:

1. o(a) = 1a = 1, ja que o(a) = 1 =min{n >0an = 1} a1 = 1 =a.2. o(a1) = o(a). Per veure aquesta de manera comoda cal tenir morfismes de

grups.

3


6/53


1.2 Dos grups importants:

1.2.1 Grup diedral

Dn={isometries dR2 que deixen invariant un poligon regular}.Loperacio del grup es la composicio.

Si tenim un polgon regular P ambn costats Dn={f :P P isometria}.

d(x, y) =d(f(x), f(y))x, yP

(Dn, ) grup.

D3)

Si tenim un triangle equilater de vertex 1, 2, 3, fem passar un eix de sime-tria e per un vertex 2 i pel centre. Llavors = rotacio de 120 , 0 =I, 120,

2240 ,

3 =I, i o() = 3

= simetria axial eix e.

1 32 23 1

0 =I , 1, 2 =I . o() = 2.

=. D3={I, , 2

, , , } 6 elements.Pern= 3 qualsevol permutacio dels vertex es isometria

D4)

Si tenim un quadrat de vertex 1, 2, 3, 4, fem passar un eix de simetria e pelsvertex 1 i 3. Llavors = rotacio de 90 , 0 = I , , 2, 3, 4 = I, io() = 4 = simetria axial eix e. 0 = I, , 2 =I. o() = 2.

Observacio 1.2.1. No totes les permutacions produeixen isometries

1 12 23 44 3

d(1, 3)=d(1, 4)

no es isometria.

Llavors

D4 ={I, , 2

, 3

, , , 2

, 3

} 8 elements

4


7/53


Extenem els casos a un polgon dncostats i tenim

|Dn|= 2n Dn =, =

I , , . . . , n1, , , . . . , n1

Sent = simetria amb eix que passa per un vertex i pel centre del polgon. = girdun angle de 2

nrad

1.2.2 Grup simetric

Sn={: XX bijectius} conjunt de permutacions de n elements.X={1, 2, . . . , n} n1. Loperacio es la composicio daplicacions.(Sn, ) grup no abelia per n3 i|Sn|= n!

: XX = 1 2 . . . na1 a2 . . . an

a1=(1)Quan no apareix algun element ai vol dir que ix va a parar a ell mateix.Transposicio: = (i, j) i, j {1, . . . , n} i=j

1 2 . . . i j . . . n1 2 . . . j i . . . n

(l) =l l=i, j

(i) =j (j) =iDefinicio 1.2.1. Cicle: es una permutacio = (k1, . . . , kr), r n amb ki{1, . . . , n} tots diferents, tal que

(j) =j j=k1, . . . , kr

(ki) =ki+1 i= 1, . . . , r 1(kr) =k1

Observacio 1.2.2. = (k1, . . . , kr) = (kr, k1, . . . , kr1) =. . .= (k2, k3, . . . , kr, k1)

Observacio 1.2.3. = (k1, . . . , kr)

1 = (kr, kr1, . . . , k1)

Definicio 1.2.2. (k1, . . . , kr), (h1, . . . , hs) dos cicles

son disjunts {k1, . . . , kr} {h1, . . . , hs}=Proposicio 1.2.1. 1, 2 son cicles disjunts

12=21

Demostracio evident

Proposicio 1.2.2. Tota permutacio es producte de cicles disjunts unvocament de-terminats llevat lordre.

5


8/53


Demostracio. SnS2={I, (1, 2)}Suposem que el resultat val per Sm m < n

Suposem(1)= 1cicle (1, (1), 2(1), . . . , r1(1))

r(1) = 1

si r = n = si r < n

Y ={1, (1), . . . , r1(1)} {1, . . . , n}

cas 1:j {1, . . . , n} \ Y(j) =j =

cas 2:j {1, . . . , n} \ Y =Z #(Z) =n r < n(j)=j indueix una permutacio dels elements de Zja que (Y) =Y

(Z) =Z ( es bijectiva) :

Z Zj (j) es restringida a Z. |Z

Induccio =1 . . . r = 1 . . . r, sent 1, . . . , r cicles disjunts de Z.

Queda demostrada lexistencia. Falta la unicitat.

i {1, . . . , n}. (i, (i), . . .) determina un i nomes un cicle dels obtingutsanteriorment. Atencio, pot ser que dos (i) donin el mateix cicle!

Corollari 1.2.1. Tota permutacio es producte de transposicions.

Demostracio. Sn= 1 . . . n i cicle. On 1, . . . , n son cicles disjunts

Cicle: (k1, . . . , kr) = (k1, kr)(k1, kr1) . . . (k1, k2). A partir daqu es la resoluciodel problema 16 de la llista de grups.

Fem el cas r= 4 per no resoldre el problema:

(k1, k2, k3, k4) = (k1, k4)(k1, k3)(k1, k2)

1 2 3 4 (k1, k2)2 1 3 4 (k1, k3)2 3 1 4

(k1, k4)2 3 4 1

6


9/53


Observacio 1.2.4. (k1, . . . , kr) = (k1, kr) . . . (k1, k2)

(k1, ki) = (1, k1)(1, ki)(1, k1)

(k1, kr) = (1, k1)(1, kr)(1, k1)

(k1, kr1) = (1, k1)(1, kr1)(1, k1)

(kr1, kr) = (1, k1)(1, kr)(1, k1)

(1, k1)(1, kr1)(1, k1)

Tota permutacio es producte de transposicions del tipus (1, i) i {1, . . . , n}Observacio 1.2.5. La descomposicio duna permutacio en producte de transposi-cions no es unica.

Proposicio 1.2.3. La paritat del nombre de transposicions en que es pot descom-posar una permutacio depen de la permutacio.

Definicio 1.2.3. permutacio

() = +1 si el nombre de transposicions en que descomposa es parell () =1 si es senar

sanomena el signe o la paritat de

Observacio 1.2.6. (12) =(1)(2) (trivial). (I) = 1

Definicio 1.2.4. An={Sn() = 1}< Sn

1. IAn2. (12) =(1)(2)

1, 2An12An3. An ?=1 An

1 =I

(1) = (I) = 1 = ()(1) (1) = 1 perque () = 1, per ser deAn

7


10/53


1.3 Quocients

Definicio 1.3.1. G grup, H < G.

Relacions binaries:

per la dreta aHbbaH hHb= ah per lesquerra aH bbH a hHb= ha

Notacio: aH={ahhH} i Ha={hahH}Proposicio 1.3.1.H i H son relacions dequivalencia

Demostracio. H dequivalencia

Reflexiva: a= a 1, 1HaHa

Simetrica: aHb ?bHa

aHbb = ahbh1 =abHa Perque hH i H < Gh1 H

Transitiva aHb, bHc ?aHc

aHbb = ah hHb

Hc

b = cg g

H

c = bg = (ah)g = a(hg) aH c Per lassociativa i per que h, g HhgH

La demostracio es analoga pel cas H

Notacio: aG, [a]H =aHClasse dequivalencia lateral per la dreta de a[a]H =aHClasse dequivalencia lateral per lesquerra de a

Observacio 1.3.1. En general, donat que Gno es abelia, aH

=H a

Notacio: G/H={aHaG} Conjunt de classes laterals per la dretaG/H={HaaG} Conjunt de classes laterals per lesquerra

Observacio 1.3.2. a1H=a2Ha1a2H hHa1 = a2hgHa2 = a1g

8


11/53


Proposicio 1.3.2. H < G

1. card(aH) = (aH) =|H|= card(Ha) aG

2. card (G/H) =card (G/H)Demostracio. Demostrem les dues proposicions.

1. : H aH

h ahexhaustiva: aH={ahhH}injectiva: ah1=ah2a1ah1 = a1ah2h1=h2. bijectivacard(aH) =|H|Analogament es veu que card(Ha) =|H|

2. : G/H G/H

aH Ha1ben definida:

aH=bHabHa = bh hH

a1 =h1b1 a1 H b1 H a1 =H b1

exhaustiva:

HcG/H Hc= (c1H)exhaustiva

injectiva:a, bGHa1 =H b1 aH=bH?

gH, g1 H : Ha1 =H b1 a1 =gb1 a = bg1aH=bH

9


12/53


1.3.1 Teorema de Lagrange

Definicio 1.3.2. Index de Gen H

[G: H] =card (G/H) =card (G/H)

Teorema 1.3.1 (de Lagrange). H < G G es finit

|H|finits

[G: H]

Si aix passa,|G|= [G: H] |H|

Demostracio. Demostrem les dues implicacions.

) evident: Gfinit

H f initG/H finitG/H finit

.

) Suposem|H| i [G: H] finits

G=

aG

aH

Unio disjunta de classes dequivalencia.

|aH|=|H|< +#classes dequivalencia = [G: H]< +

|G|=|H| [G: H]

G finit.

Corollari 1.3.1. H < K K < G

1. H < G

2. [G: H] finit [G: K] , [K :H] finits.En aquest cas [G: H] = [G: K] [K :H]

Demostracio. La primera es evident. La segona

[G: H] = |G||H|

= |G||K|

|K||H|

= [G: K] [K :H]Utilitzant el teorema de Lagrange en la primera i en la tercera igualtat.

10


13/53


Observacio 1.3.3. G/H, G/H.

1. No son iguals en general.

2. No son en general grups amb loperacio induida

(aH) (bH)=abH.

Definicio 1.3.3. G grup, K < G.

K es subgrup normal de G (K G)

aG aK=K a

Observacio 1.3.4. .

1. 1 ={1} G, G G.2. Gabeliatot subgrup es normal.3. aK=K ano significa, en general, que

kK ak= ka

sino queaK=K a kK k K; ak= k a

Definicio 1.3.4. G es un grup simple si, i nomes si els unics subgrups normals deG son{1} i G.Teorema 1.3.2. G grup, K G

1. G/K=G/K2. Necesitem la seguent definicio per seguir amb el teorema.

Definicio 1.3.5. (aK)(bK):=(ab)K

Llavors loperacio (aK)(bK) = (ab)K fa deG/Kun grupNotacio: K GG/K=G/Kgrup quocient deG perKObservacio 1.3.5. Es pot demostrar que si

K < G(aK)(bK) = (ab)K

fa de G/Kun grupK G

11


14/53


Demostracio. Veiem les dues demostracions.

1.aG aK=K aG/K={aKaG}={KaaG}= G/K

2. La Definicio 1.3.5 es independent dels representants.

aK=aK,bK=bK ?abK=abK

ak= ak aaK kK a= akbk= bk bbK kK b= bk

=

=ab = akbk=abkken general.

kb K b =bK perque K es normal.

k Kkb =bk

ab= akbk= a(bk)k= abkk ambkkK

ababKabKabK.

Per simetria abKabK

=abK=abKFalta demostrar que el grup compleix els axiomes:

1 K=K 1 =Kelement neutre.

Unitat: (aK)G/K. Aleshores (1K)(aK) = (1a)K=aK(aK)(1K) = (a1)K=aK

Invers: (aK)1 = (a1K). (aK)(a1K) = (aa1)K= 1K=K

(a1K)(aK) = (a1a)K= 1K=K

Associativitat: ((aK)(bK)) (cK) = ((ab)K) (cK) = ((ab)c) K(aK) ((bK)(cK)) = (aK) ((bc)K) = ((a(bc)) K)

son iguals perque a, b, c pertanyen a un grup.

12


15/53


Proposicio 1.3.3. H < G. [G: H] = 2H G

Demostracio. [G: H] = 2

G/H={H,aH}aGG/H={H,Hb}bG

aH=G/HaH=H b

Hb= G/H

xG xH

x /H

x

H

xH=H=H x x /H

xH=HxH=aHHx=HH x= H b

aH=H bxH=H xSempre xH=H x subgrup normal.

Observacio 1.3.6. Pel teorema de Lagrange

[G: H] =|G||H| = 2H G

Observacio 1.3.7. G grup, K subgrup:

Gabelia =G/Kabelia ()G cclic =G/K cclic ()

13


16/53


1.4 Morfismes

Definicio 1.4.1. G1, G2 grups. Diem que laplicacio

f :G1G2es un morfisme sia, bG1 f(a b) =f(a) f(b) sent el primer loperacio deG1i el segon la de G2

Propietats:

1. f(1) = 1

f(1) =f(1 1) =f(1) f(1) f1(1)= 1 =f(1)

2. f(a1) =f(a)1 aG1f(a1)f(a) =f(a1a) =f(1) = 1f(a)f(a1) =f(aa1) =f(1) = 1

3. La composicio de morfismes es un morfisme

4. G IdG

* G1 G2

a 1 es el morfisme constant

5. HG

H < Gi : H

G

a a es un morfisme de grups6. K G

: G G/K

a a= aK es un morfisme de grups pro jeccio

(ab) =ab = ab = (a) (b)Definicio 1.4.2. f :G1G2 morfisme.

Ker(f) ={xG1f(x) = 1}Im(f) =

{f(x)

G

2x

G1}

Proposicio 1.4.1. Ker(f) G

Demostracio.aG1 a Ker(f) ?= Ker(f)a) xKer(f) yKer(f) ax= yaaxa1 =yNomes cal veure

axa1 Ker(f)f(axa1) = 1f(axa1) =f(a)f(x)f(a1) = 1

axa1

Ker(f)

) Idem.

14


17/53


Definicio 1.4.3. f :G1G2 morfisme.

f monomorfismef injectiu

f epimorfisme f exhaustiu f isomorfismef bijectiu

Proposicio 1.4.2. f isomorfisme f1 isomorfismeProposicio 1.4.3. f :G1G1 morfisme.

f monomorfismeKer(f) ={1}

Demostracio. Veiem les dues implicacions.

) a

Ker(f)

f(a) = 1 =f(1)

f(a) =f(1)a = 1 perque f injectiva.) a, bG1 f(a) =f(b) ?a = bf(a) =f(b)f(a)f(b)1 = 1f(ab1) = 1 perque f(b)1 =f(b1)ab1 Ker(f) ={1} a = b1 = 1a = b

1.4.1 Teoremes disomorfia

Definicio 1.4.4. G1 i G2 son isomorfs (G1=G2) f :G1G2 isomorfisme.Teorema 1.4.1 (Primer teorema disomorfia). .

f :G1G2 morfisme de grups.

!f :G1/ Ker fIm f isomorfismetal que

(projeccio)

fG1 G2

i

G1Ker f Im ff

el diagrama es commutatiu, f=if

Demostracio. .

a

a= aK

b ib

te sentit. Ker f G1

Im f < G1

Definicio de f:

f : G1/ Ker f

Im f

a= a Ker f f(a) =f(a)

15


18/53


Independencia del representanta= b

?f(a) =f(b)a Ker f=b Ker f

a

b Ker f

h

Ker f; a= bh

f(a) =f(bh) =f(b)f(h) =f(b) ja que f(h) = 1. es una aplicacio f morfisme

f(ab) =f(ab) =f(ab) =f(a)f(b) =f(a)f(b)

f monomorfisme Ker f ?= 1f(a) = 1f(a) = 1aKer f a = 1per tant Ker f

1

i com que

1

Ker fpassa sempre,Ker f=

1

f epimorfismebIm fb = f(a) aG1b = f(a)

Diagrama commutatiuaG1 if (a) =if(a) =if(a) =f(a)if = f

UnicitatSuposemF :G1/ Ker fIm f iF = f ?F =f

a

G1 F(a) = f(a)

iF(a) = if(a)

|| ||iF (a) i(f(a)) =f(a) F ha de fer

commutatiu el diagrama.

Observacio 1.4.1. Cas particular:

f :G1G2 epimorfisme

G1/ Ker f

Im f=G2

Observacio 1.4.2.Z

Z/(n)a a

Ker = (n)

16


19/53


Aplicacio Signe duna permutacio

: Sn {1, 1}

()

es morfisme de grups. () es el signe de sigma.

({1, 1} , ) es un grup1 1

0 1 11 1 1

({1, 1} , )=(Z/(2), +)

La taula que teniem abans, es transforma, mitjancant, en

1 10 1 1

1 1 1

0 10 0 11 1 0

(1) = 0(1) = 1 = 0

:{1, 1} Z/(2)Anem a veure que es un morfisme de grups.

SnGL(n,R) det{1, 1}

Sn I=

1 0 . . . 0

0 . . .

......

. . . 00 . . . 0 1

GL(n,R)

() = matriu que sobte permutant les columnes de I segons

es un morfisme de grups. (Exercici!)

= det ( ())

= (2, 3)

1 0 00 0 10 1 0

=()n= 3

det( ()) =1 per tota transposicio.= 1 . . . n transposicions

det(()) (1...n)=(1)...(n)

= det((1) . . . (n) = det((1)) . . . det((n)) =(

1) . . . (

1) = (

1)n =()

() = det(())

17


20/53


= (det ) : Sn {1, 1}

() =(1 . . . n) =(1) . . . (n) = (1)n =

1 si n= 21 si n= 2 + 1 =()

es independent de la descomposicio .

: Sn {1, 1}

Ker() ={() = 1}= AnAn Sn perque es un nucliSn/An={1, 1} (2 elements)[sn:An] = 2

Estructura del grup cclic (veure problema 11)

Teorema 1.4.2 (de la correspondencia). K G

{HH < G, KH} {LL < G/K}H H/K

es bijectiva

Observacio 1.4.3. H/K={hKh inH} G/K={gKgG}H/K < G/K es evident

1. (h1K)(h2K) =h1h2KH/Kh1, h2Hh1h2H

2. (hK)1 =h1KH/KhHh1 H

Teorema 1.4.3 (Segon teorema disomorfia). K H GH/K G/KG/K

H/K= G

H

Demostracio. .

G/K f G/H

aK aH aplicacio.

Te sentit ja que KHaK=bK

?=aH=bH

aK=bK

a = bh

aH=bH h

K

H

18


21/53


f morfisme.

f(aKbK) =f(abK) =abH= (aH)(bH) =f(aK)f(bK)

Ker f=H/K : f(aK) =HaH=HaHH/K={hKhH} ahH/K

G/K

H/K=G/H

Teorema 1.4.4 (Tercer teorema disomorfia). H < G, K G K H K 1 card (O(x))

24


27/53


Demostracio. .

1. G/I(x) O(x)

gI(x)

gx

esta definit:

g1I(x) =g2I(x) ?=g1x= g2x

g2 = g1hg2x= (g1h)x= g1(xh) =g1xja que hI(x) exhaustivitat: evident; gxO(x), gx= (gI(x)) injectivitat g1x= g2xg12 g1x= x

g12 g1I(x) hI(x), g12 g1=hg1 = g2hg1I(x) =g2I(x)hI(x)card (O(x)) =card

G/I(x)

= [G: I(x)]

Lagrange|G|= [G: I(x)] |I(x)|= card (O(x)) |I(x)|

2. X0 =Conjunt de punts fixos de laccio

Definicio 1.5.3. Relacio dequivalencia en X

x, yX. xy yG; gx = y

xy 1 x= xxygx= yx = g1yyxxy yzy =gx z=hy. z =hy = hgxzx

Les classes dequivalencia son les orbites.

xy gG gx= yyO(x)En particular les orbites son una particio de X. Per tant, utilitzant lequaciodorbites

card(X) =

card (O(x)) =card(X0) + |O(x)|>1

card (O(x))

Teorema 1.5.1 (Cauchy). G grup finit.|G|= np/n, p primer xG; o(x) =p

Demostracio. X={(x1, . . . , xp)Gp | x1, . . . , xp = 1}

X Gp1(x1, . . . , xp)

(x1, . . . , xp1)

xp = (x1, . . . , xp1)1

25


28/53


injectiva:(x1, . . . , xp) =(y1, . . . , yp)xi=yi i= 1, . . . , p 1xp = (x1, . . . , xp1)

1 = (y1, . . . , yp1)1 =yp

exhaustiva:(x1, . . . , xp1)

(x1, . . . , xp1, (x1 xp1)1)

X

= (x1, . . . , xp1)

card(X) =card(Gp1) =np1

n=|G|

:

Z

(p) X X

(k, (x1, . . . , xp)) (xk+1, . . . , xp, x1, . . . , xk)Esta definida, es independent del representant i es accio.

X0={x , . . . , x)Gp|xp = 1}; z= (x1, . . . , xp)Xcard(z) =card(X0) +

|O(z)|>1 card(O(z))

card(O(z)) =

Z

(p) :I(z)

| | Z

(p)|= p pel teorema de Lagrange.

p primercard(O(z)) = 1p

o

1zX0pz /X0p= n = card(X) =card(X0) +

|O(z)|=p

card(O(z))

p

card(X0) = p(1, . . . , 1)X0card(X0) = p= 0card(X0)p

x

= 1 xp = 1

o(x) =p

Definicio 1.5.4. Ggrup,p N primerG pgrup |G|= pn n1

Observacio 1.5.1. Teorema de CauchyG grupH < G; Hpgrup,|H|= pDefinicio 1.5.5. G grup, H < G

N(H) ={yG|yH=H y} es el normalitzador de H.Observacio 1.5.2. .

1. N(H)< G

26


29/53


y1, y2N(H) ?=y1y12 N(H)y2N(H)y2H=H y2H y12 =y12 Hy12 N(H)y1y

12 H=y1Hy

12 =H y1y

12

y1y

12

N(H)

2. H N(H)

yN(H) yH=H y es evidentObservacio 1.5.3. N(H) es el subgrup mes gran de G que conte H i on Hes normal.

Lema 1.5.2. G grup. H < G pgrup

[G: H] = [N(H) :H] modulp

Demostracio. [G: H] = [N(H) :H] + p

x= G/H H X X

(h,gH) hgH es una accio.

gHX0 hH hgH =gH hH g1hgH=H hH g1hgHg1HgH[#(g1Hg) = #(H)]

g1Hg= HH g=gHgN(H)

X0 ={gH|gN(H)}= N(H)/H

#(X0) = #(N(H)/H) = [N(H) :H]Apliquem lequacio dorbites

#(G/H) = #(X0) +

#(O(gH))>1 O(gH)

[G: H] = [N(H) :H] +

#(O(gH))>1

O(gH)

Sabem que #(O(gH)) = [G: I(gH)]

i que I(gH)< Hpgrup ja que|H|= pn

|I(gH)| |pn |I(gH)|= ps, sn

#(O(gH)) = [G: I(gH)] = #

|G||I(gH)|

=

pn

ps =pr

si #(O(gH))> 1r >0#(O(gh)) =pr r >1#(O(gH)) = p

=

[G: H] = [N(H) :H] + p

27


30/53


Teorema 1.5.2 (1r teorema de Sylow). G grup finit,|G|= np primer, p|n, siguir el mes gran enter tal quepr|n

Hi i= 1, . . . , r |Hi|= pi

(Hi pgrup)

H1 H2 . . . Hr < G

Demostracio. El teorema de Cauchy H1; |H1|= pSuposem que hem construit

H1 . . . Ht1< G

|Hi|= pi i= 1, . . . , t 1si t 1 =r

Suposemt 1< r Hem de demostrar que

Ht|Ht|= pt

Ht1 Ht

pr|n, [G: Ht1] = |G||Ht1| = n

pt1 = pja que t 1< r

Pel Lema 1.5.2[N(Ht1) :Ht1] = [G: Ht1]

p

+ p

p

= p

[N(Ht1) :Ht1] = p

=

N(Ht1)Ht1 =p|

N(Ht1)Ht1

N(Ht1)

Ht1grup quocient, ja que Ht1 N(Ht1)

K=N(Ht1)

Ht1es un grup, p| |K|

Cauchy= LK subgrup. |L|= p

28


31/53


N(Ht1)

N(Ht1)

Ht1=K

Ht =1(L)

L

L N(Ht1)Ht1

Ht < N(Ht1)

Ker =Ht1Ht

Ht1

=L pel primer teorema disomorfia : Ht LHt1< Ht

|L|= p

Ht

Ht1 = |Ht||Ht1|

=p = |

Ht|= p

|Ht1

|= ppt1 =pt

Falta la normalitat. Es pot demostrar de varies maneres, entre elles

HtHt1

=L |L|= pL= Z/(p) abeliaHt1 Ht

Ht1 = Ker Ht

Definicio 1.5.6. G grup finit. p|n=|G| pprimer, r el maxim enter tal que pr|nS < G subgrup de Sylow |S|= pr

Observacio 1.5.4. El primer teorema de Sylow diu quep|nS < G subgrup deSylow

Observacio 1.5.5. Si S es un subgrup de SylowgSg1 < Gsubgrup de Sylow.|gSg1|=|S|= pr

Observacio 1.5.6. Si nomes existeix un grup pSylow SS GUn grup pSylow es un subgrup de Sylow tal que|S|= pr

Teorema 1.5.3 (2n teorema de Sylow). H pgrup, S pSylow de G. gG; HgSg1

en particular: S1, S2 pSylow gG tal queS2 = gS1g

1

Per tant{S GS pSylow} ={gSg1g G} amb S pSylow. Daquestaigualtat, la inclusio es la Observacio 1.5.5, i la inclusio es el segon teoremade Sylow.

Teorema 1.5.4 (3r teorema de Sylow). np = #{pSylow deG}

29


32/53


1. np= [G: N(S)] amb S pSylow.2. np|[G: S] amb S pSylow.

3. np1 modpTeorema 1.5.5 (de Cayley).|G|= n

: GSn monomorfisme de grups

Demostracio.G Sng (g) : G G

h ghSn son les permutacions de G, i

G={g1, . . . , gn}

(g) bijeccio:

Injectiva: h1, h2G. (g)(h1) =(g)(h2)gh1=gh2h1=h2 Exhaustiva: (g) :G G(g) exhaustiva ja que Gfinit.

=(g) bijectiva morfisme: (g1, g2) =(g1) (g2)

hG(g1, g2)(h) = (g1, g2)(h) = g1(g2h) = g1((g2)(h)) = (g1) ((g2)(h)) =((g1)

(g2)) (h)

(g1, g2) =(g1) (g2)

monomorfismeKer ={gG(g) =ISn}gKer : (g)(h) =hhG hG gh = hg = 1G

Ker ={1}

Observacio 1.5.7. G=Im Sn pel primer teorema disomorfia.

Sn conte tots els grups finits dordre n.

30


33/53


2 Anells

2.1 Introduccio

Definicio 2.1.1. Un anell es un conjunt A i dues operacions +, : (A, +, ) tals que:

(A, +) es un grup abelia amb element neutre 0 (suma). A AA es una operacio (producte) que satisfa:

es associatiua (b c) = (a b) c a,b,cA

es distributiu respecte la suma

a (b+c) =a b+a c

Diem que lanell A es commutatiu o abelia si a b= b a a, bA.Lanell A es unitari si1A tal que 1 a= a 1 =a aA.

Observacio 2.1.1. Veiem algunes propietats dels anells.

1. a 0 = 0 a= 02. (a) b= a (b) =a b3. (a) (b) =a b

-Notacio- per aA, n N diem na= a +a + +a n cops

Definicio 2.1.2. Sigui Aun anell.

aA \ {0} es un divisor de zero bA \ {0} tal que a b= 0Definicio 2.1.3. Sigui Aun anell.

A es un domini dintegritat

A no te divisors de zero.

Observacio 2.1.2. 1. Z Z

(0, 1) (1, 0) = (0, 0) Z Z no es un domini dintegritat.

2. Z/(6) no es domini dintegritat.

3. Z,Q,R,C,Z/(p) amb pprimer son dominis dintegritat.

Definicio 2.1.4. Sigui Aun anell.

a

A es un element invertible

b

A tal que ab= 1.

En aquest cas, a1 :=b

31


34/53


Definicio 2.1.5. Aanell.

Diem que A es un cos si i nomes si tot element no nul dA es invertible.

Proposicio 2.1.1. A anell. A cos

A domini dintegritat.

Demostracio. 0=aASigui bA tal que a b= 0a b= 0a1 a b= a1 0b = 0Per tant A es un domini dintegritat.

Definicio 2.1.6. Aanell, BA subconjunt.BA subanellB es una anell amb les operacions dA.

Observacio 2.1.3. Z Q R C subanellsDefinicio 2.1.7. Aanell, IA subconjunt. I es un ideal si i nomes si

(I, +) es subgrup de (A, +) aA, xIaxI

Observacio 2.1.4. IA es un ideal si i nomes si satisfa:

1. x, yIx+yI2. aA, xIaxI

Definicio 2.1.8. SiA es un anell i (I, +) es un subgrup d(A, +), podem definic laseguent relacio dequivalencia en A:

a, a A aa a a I

denotem per a la classe de aA:

a= a +I={a +x; xI}

En A/Ipodem definir una suma

a, bA/I a +b= a +b

i pel productea b= a b

Proposicio 2.1.2. A anell, IA subgrup aditiu. Son equivalents:

I ideal dA

A/I es un anell amb el productea b= a b

32


35/53


Demostracio. (1)(2)A/I es un grup amb la suma a +b= a +b. Siguin a =a i b =b, aleshores

x, yI; a

=a +x b

=b+y

aleshoresab = (a +x)(b+y) =ab+ay+bx+xy

com que I es un ideal ay,bx,xyI. En aquest cas,

ab =ab+ay+bx+xy I

=ab.

(2)(1)aA, xI; axA/I

ax= ax = a 0 = 0axI

33


36/53


2.2 Operacions amb ideals

Definicio 2.2.1. Aanell, S subconjunt.

Lideal generat per S es (S) ={ri=1 iai; aiS, iA, 1ir, r N}Observacio 2.2.1. S(S)

(S) es un ideal (S) = SII ambI ideal

Donats I, J ideals de Apodem considerar:

1. I

J es un ideal

xI JyI J

x+y

I

J, ja que I, J ideals i xy

I

J

pel mateix.

2. I+ J :={x+y; xI , yJ} es un ideal.I+ J=I J. Per tant es lideal mes petit que conte I, J.

3. I J := (ab; aI , bJ) ={r1 aibi; aiI , bJ}Observacio 2.2.2. En general{ab; aI , bJ} I J.

Observacio 2.2.3. Tenim les seguents inclusions

I J I JIJ I+ J

que en general no son igualtats.

Definicio 2.2.2. Un ideal Ide A es principal si i nomes si existeix xA tal que

I= (x) =xA

Definicio 2.2.3. A es un domini dideals principals si, i nomes si, A es un dominidintegritat i tot ideal de A es principal. La seva abreviacio es DIP.

Definicio 2.2.4. Aanell.

A es un anell noetheria si i nomes si tot ideal de A es finitament generat. Es adir,

I= (a1, . . . , ar)

Observacio 2.2.4. A DIP Anoetheria

Proposicio 2.2.1. A anell.

A es un cos si i nomes si els unics ideals que te son(0) iA

34


37/53


Demostracio.) Suposem que A es un cos, i sigui I= (0) un ideal.Sigui 0=xI. Aleshores

1 =x1xIiaA a= a 1I. Llavors I=A

) Suposem que els unics ideals de A son (0) i A. Considerem 0= x A;aleshores (x) =A i 1 =x aper a cert aA. Aix a = x1. Definicio 2.2.5. Sigui Aun anell, i IA un ideal,

I es primer

I=AxyIxI yI

Definicio 2.2.6. Sigui Aun anell, i IA un ideal.I es maximal

I=AJI idealJ=I J=A

Proposicio 2.2.2. A anell, P A ideal.

1. P es primerA/P es domini dintegritat.2. P es maximalP es primer

Demostracio. 1.) P primer; x, y A/P xy = xy = 0 xy P yP xP x = 0 y= 0.Aix doncs, A/P es un domini.

) x, yA; A/P domini.x, yP xy =xy = 0A/P x = 0 y= 0xP yP

2. Sigui Pun ideal maximal i x, yA tals que xyP.Suposem que x /P. Aleshores

Px /P P+ (x)

P maximal= A

Aix, 1 =a +x aP Ay= ya +yx = ya +xy

P ja que ya

P i xy

P

Definicio 2.2.7. Sigui Zun conjunt no buit, i siguiun ordre en Z.T Z es una cadena si, i nomes si T es un conjunt totalment ordenat segons.

Es a dir,a, bT ab ba

Definicio 2.2.8. Sigui Zun conjunt no buit, i siguiun ordre en Z.Lordre es inductiu si, i nomes si, per tota cadena no buida T de Zw Z

cota superior de T. Es a dir,

aT aw

35


38/53


Lema 2.2.1 (o axioma, de Zorn). Tot conjunt no buit ordenat inductivament, es adir, on existeix un ordre inductiu, te un element maximal. Es a dir,

Z=, inductiu enZ mZ; xmx = mAtencio, no vol dir quem sigui un maxim!

Teorema 2.2.1 (de Krull). SiguiA= un anell, i siguiI A un ideal deA.El conjunt didealsJ A que contenen aI te elements maximals.

Demostracio. ={J A idealIJ} es el nostre conjunt. Volem demostrar que te elements maximals.

1. Veiem que no es buit.

I ideal de A, I=, i III=

2. Definim un ordreen .J1, J2. J1J2J1J2

3. Veiem que es inductiu.T ={Ji}i es una cadena delements de . Definim

W=i

Ji

Veiem que W es un ideal de A.

x, yW i; xJij; yJjT cadena

=

JiJjx, yJjx+yJjW

JjJix, yJix+yJiW

xW, aA i; xJiaxJiW

W es ideal. Veiem que W=A.SuposemW =A. Llavors, 1A = W i|1JiJi =A, i aixo esuna contradiccio, ja que Ji.El pas 1 Ji Ji = A es degut a que lunic ideal que conte l1 es eltotal.

Veiem que IW.

JiIJiIi

Ji=W

Per tant, W .

36


39/53


Veiem que W es cota superior de T.

Corollari 2.2.1. Tot anellA= 0 te elements maximals.Demostracio. Agafem J= 0 en el teorema de Krull. El conjuntJ A ideals teelements maximals.

m Aideal i element maximal.K Aideal tal que m Km = K.m es un element maximal.

Observacio 2.2.5. En Z, ideals maximalsprimer(p) amb pprimer.

37


40/53


2.3 Morfismes danells

Definicio 2.3.1. Siguin A, B anells, commutatius i unitaris. Sigui f : A Buna aplicacio.

Direm que f es un morfisme danells

1. f(a1+a2) =f(a1) +f(a2)

2. f(a1a2) =f(a1)f(a2)

3. f(1) = 1, sent el primer 1 el neutre de Ai el segon el de B.

Observacio 2.3.1. Si f :AB es un morfisme danells, llavors f :AB esun morfisme de grups.

Observacions 2.3.1. f(0) = 0. f(a) =f(a).

A iB anells, Asubanelli morfisme danells. IA ideal. : AA/I es un morfisme danells. Veiem-ho.

(x) =x = x+I

(x+y) =x+y = x+y+I=x+I+ y+I=(x) +(y).

(xy) =xy =xy +I= (x+I)(y+I) =(x)(y).

(1) = 1 +I, que es lelement neutre de A/I.

Proposicio 2.3.1. Siguif :AB un morfisme danells.

1. Im f={f(a)aA} B es un subanell.2. Ker f={aAf(a) = 0} A es un ideal.

Demostracio. 1. f(a) +f(b) =f(a +b)Im f. f(a)f(b) =f(ab)Im f. 1 =f(1)Im f.

2. El Ker f A es subgrup ja que tot morfisme danells es morfisme de grups, iel nucli dun morfisme de grups es subgrup. Llavors nomes resta veure que

aA, bKer f

f(ab) =f(a)f(b) =f(a) 0 = 0abKer f

Definicio 2.3.2. Sigui f :AB un morfisme danells.

38


41/53


1. f es un monomorfismef es injectiva.2. f es un epimorfismef es exhaustiva.

3. f es un isomorfismef es bijectiva.Observacions 2.3.2. 1. A

i B. Si A es subanell de B, llavors i es un mono-morfisme.

2. :AA/I es un epimorfisme, Ies ideal de A.3. Id: AA es un isomorfisme.

Observacio 2.3.2. Sigui f :AB un morfisme danells.f es un isomorfisme g: BA morfisme danells.

f g= IBgf=IA

f1 morfisme danells.Observacio 2.3.3. Diem que A i B son isomorfs, i escrivim A=B si, i nomes si,f :AB isomorfisme danells.Proposicio 2.3.2. Siguif :AB un morfisme danells.

f es monomorfisme si, i nomes si, Ker f= 0

Demostracio. Es consequencia de la proposicio corresponent dels morfismes degrups.

Observacions 2.3.3. 1. Sigui f : A B un morfisme danells, i definimf= 0 xAf(x) = 0.

f= 00 =f(1) = 1B = 0

2. Sigui f : A B un morfisme danells, A un cos, i f= 0. Llavors f esinjectiva. Veiem-ho.

Ker f A A cos Ker f= 0

Ker f=Af= 0 N O!Ker f= 0f injectiva.

Proposicio 2.3.3. Sigui f : A B un morfisme danells. J B idealf1(J) =JC ideal deA.

Demostracio. Demostracio a classe de problemes

Proposicio 2.3.4. Siguif :A

B un epimorfisme danells iI

A un ideal.

f(I) es un ideal deB

39


42/53


Demostracio. 1. La imatge dun subgrup es un subgrup.

2. xf(I); bB ?xbf(I):x

f(I)

z

I tal que x= f(z). B =f(A)

a

A tal que b= f(a).Llavors,

xb= f(z)f(a) =f(az)f(I), ja que aA i zI implica azI.

Corollari 2.3.1. SiguiA un anell, Iun ideal deA, i : AA/I.{ideals de A/I} son isomorfs {ideals J de A, JI}

k 1(K)(J) =J/I JI

Demostracio.) : AA/I1(J) es un ideal de Aper la Proposicio 2.3.3.

) J ideal de I, (J) ideal de A/I per la Proposicio 2.3.4. (J) = J/I ={y+IyJ}

J I :1(J) =J

1(K) =K1(K)I

deberes.

Proposicio 2.3.5. P A ideal

A/P es un cos

P es maximal.

Demostracio. A/P cos { ideal A/P}={0,A/P} {ideals de A que contenena P}={P, A}

P =1(0), A= 1(A/P), sent = AA/PP maximal.

Teorema 2.3.1 (Isomorfia). f :AB morfisme danells.!f : A

Ker fIm f isomorfisme danells tal que el diagrama

A f

B i

A/ Ker f f Im f

es commutatiu; f=if

Demostracio. f morfisme de grups abelians. Tenim que! isomorfisme de grupsabelians f(x) =f(x). tal que

A f B

i

A/ Ker f f Im f

40


43/53


f=if

Nomes cal demostrar que f es un morfisme danells.

f(1) =f(1) = 1 f(xy) =f(xy) =f(xy) =f(x)f(y) =f(x)f(y)

La unicitat no cal demostrar-la perque sabem que hi ha unicitat en el morfismede grups.

Corollari 2.3.2. f :AB epimorfisme danells

A

Ker f= B

x f(x)anells.

Observacio 2.3.4. C es domini dintegritat R[x](x2 + 1)

es domini dintegritat.

(x2 + 1) es ideal primer i maximal dR[x]I=)(x2 + 1) C[x] no es ideal primer de C[x]:

(x2 + 1) ={(x2 + 1)p(x)p(x) C[x]}(x i)(x+i)(x2 + 1) = 1

x i /Ix+i /I

Definicio 2.3.3. Anomenem extensio de B a lideal de B generat per f(I), onf :AB morfisme danells.

f(I)B =Ie =

ri=1

bif(xi); r N; biB ; xiI

Proposicio 2.3.6. Veiem quatre propietats:

1. I(Ie)c =f1 ((f(I))B).En efecte, ja quef(I) f(I)B

2. J(Jc)e =f(f1(J))BEn efecte,f(f1(J))B JB =J, f(f1(J))J

3. Ie =Jece

)IIec Ie Iece) En la inclusio J Jce considero J=Ie, Ie (Ie)ce =Iece

4. Jc =Jece analogament.

41


44/53


Proposicio 2.3.7. Existeix una bijeccio entre ideals contrets dAi ideals extrets deB.

Demostracio.

{ideals contrets dA} =? {ideals extrets de B}Jc

JceIec

Les dues aplicacions son inverses luna de laltra ja que

((Jc)e)c =Jc; ((Ie)c)e =Ie

Teorema 2.3.2 (Isomorfia II). I, J ideals dA, IJ. JI A

I i

A/I

J/I= A

J

Demostracio.A

I

f

A

Jx+I x+J

epimorfisme danells.

Ker f={x+IxJ}= J/If(x+I) =x+J=J si xJ. Pel primer teorema disomorfia A/I

J/I= A

J

42


45/53


2.4 Divisibilitat. Domini euclidia (DE). Domini didealsprincipals (DI P).

En aquest apartat A es un domini dintegritat (DI).Definicio 2.4.1. a, bA, diem que adivideixb cA; b= ac. Diem tambeque b es multiple de a.

La notacio sera a|bObservacions 2.4.1. 1. a|b(b)(a).

2. uA u|11 =cuu unitat invertible

Notacio: A ={uAu unitat} unitats dA.Definicio 2.4.2. Siguin a, b A (a= 0 i b= 0). Diem que a i b son associats, iescrivim ab uA t.q. b= uaa|b, b|a.

) evident

) b= caa= db

a = dcaa(1 cd) = 0cd = 1

Observacio 2.4.1. A ={0=aAa1}Definicio 2.4.3. A (DI). el maxim comu divisor da i de b es un d A d =mcd(a, b) tal que:

d|a, d|b |a, |b|d

Observacio 2.4.2. d= mcd(a, b) es unic modul unitats.

Definicio 2.4.4. a, bA. Diem que a, bson primers entre smcd(a, b) = 1Definicio 2.4.5. A es un domini euclidia (DE)

si existeixN :A

\ {0

} N (funcio norma) que compleix:

1.a, bA \ {0} a|bN(a)N(b)

2.a, bA b= 0 c, rA a= bc+r

r= 0r= 0N(r)N(b)

Definicio 2.4.6. Diem que A es un domini dideals principals (DI P) si, i nomes sitot ideal dA es principal.

Proposicio 2.4.1. a, bA \ {0}

a|b, N(a) =N(b)ab

43


46/53


Demostracio. a= bc+r

Si r= 0 i N(r)< N(b)

r= a bc b=a

= a ac= a(1 c)a|rN(a)N(r)< N(b) pero N(a) =N(b), per tant tenim una contradiccio.Llavors, r = 0, a= bc b= aab Corollari 2.4.1. aA \ {0} aA N(a) =N(1).

Demostracio.) aA a|1N(a)N(1) daltra banda 1|aN(1)N(a). Llavors N(1) =N(a)

) 1|a, N(a) =N(1)a1 per la proposicio anterior.

Teorema 2.4.1. Domini euclidia implica domini dideals principals.

(DE) (DIP)

Demostracio. ) Donem un contraexemple:

A=

a +

b

2+

b

2

19 : a, b Z

C

es subanell, A es (DIP), pero no es (DE)

) IA ideal, I= 0.Sigui q= 0, qI , N(q) N.Sigui N(q) el mnim en{N(x)xI\ {0}} N

pI c, rA p= cq+r

r= 0r= 0 N(r)< N(q)

Si r= 0p(q)

Si r= 0 r= p cqI N(r)< N(q) NO!Es a dir, r= 0 semprep(q).AleshorespIp(q) I(q). Sempre (q)I(q) =I.

Proposicio 2.4.2. En un domini dideals principals existeix elmcd

Demostracio. Exercici 4 de la llista danells.

Observacio 2.4.3. cmcd(a, b); c(a, b)c= +b identitat de Bezout.

44


47/53


Proposicio 2.4.3. SiguiA un domini euclidia amb normaN. Sia = bc+r, r=0 N(r)< N(b)

mcd(a, b) =mcd(b, r)

Demostracio. d= mcd(a, b)

1. r= a bc d|ad|b

d|r2. Suposem

|b|r

|a = bc+r. Aleshores |b|a |d

(1)(2)d = mcd(b, r)

Proposicio 2.4.4 (Algorisme dEuclides). Donatsa, b; calculemd= mcd(a, b)a= bc1+r1 r1= 0 N(r1)< N(b) d= mcd(a, b)b= r1c2+r2 r2= 0 N(r2)< N(r1) d= mcd(b, r1)r1 = r2c3+r3 r3= 0 N(r3)< N(r2) d= mcd(r1, r2)...rn3=rn2cn1+rn1 rn1= 0 N(rn1)< N(rn2) d= mcd(rn2, rn1)

N(ri) > N(ri+1) > . . . 0. En algun punt passara que rn = 0, i llavorsrn2=rn1rn+ 0d = rn1Definicio 2.4.7. a, bA

Diem que m es el mnim comu multiple da i b

m= mcm(a, b)A

a lelement que compleix

1. a|m b|m2. a| b|m|

Observacions 2.4.2. 1. Dos mnims comuns multiples da i bson associats:

mcm(2, 3) = 6mcm(2, 3) =6

2. El mnim comu multiple a Z es lhabitual, el de sempre.

3. Z[5] ={a +b5a, b Z}.

Proposicio 2.4.5. A es un domini dideals principals. Aleshoresa, bA

1. existeixd= mcd(a, b) (d) = (a, b)

45


48/53


2. existeixm= mcm(a, b) (m) = (a) (b)

Demostracio. 1. -

2. (a) (b) = (m) mA ?m = mcm(a, b); A(DI P)

m(m) (a)a|m(b)b|m

a|, b| ()(a)()(b)

()(a) (b) = (m)m|

Observacio 2.4.4. (DE)(DIP) en un (DE) existeixmcmi mcd

46


49/53


2.5 Dominis de factoritzacio unica (DF U)

(DE) (DIP) (DF U) (DI).

En aquesta seccio Asempre sera un (DI).

Definicio 2.5.1. Sigui qA q= 0. Diem que q es irreductible si, i nomes si

1. q /A

2.q= abaA bA

Definicio 2.5.2. aA.a= p1 . . . ps es una factoritzacio en irreductibles (essencialment) unica si

1. pi son irreductibles

2. si a= q1 . . . q rirreductibles

r= sSr = permutacio de{1, . . . , r} piq(i)

Observacio 2.5.1. q irreductible, uA qu irreductible. q1q2, q1 irreducti-bleq2 irreductible.Definicio 2.5.3. A es un domini de factoritzacio unica (DF U), o factorial, si, inomes si, tot element no nul i no unitat admet una factoritzacio en irreductiblesessencialment unica.

Definicio 2.5.4. Diem que pA es primer si, i nomes si

1. p /A

2. p|abp|a p|bProposicio 2.5.1. 1. p irreductiblep primer

2. p primerp irreductible

Demostracio. 1. A= Z[

5]. 2 es irreductible pero no es primer.

2. p = q1q2 p| q1q2

p|q1p|q2

. Si p| q1 p| q1 i q1| p q2 A. Si

p|q2 . . . q 1A.

Proposicio 2.5.2. SiguiA un(DF U). Aleshores

p primerp irreductible

47


50/53


Demostracio.) Val sempre) 0=pA irreductible, p|ab ?p|a p|b

A(DF U)

a= p1 . . . psb= q1 . . . q r ab= pcc= c1 . . . ckpi, qj, cl irreductibles

p1 . . . psq1 . . . q r =pc1 . . . ckA(DF U)

!i; pqip|a

j; pqjp|b

Proposicio 2.5.3. SiguiA un(DF U), i siguipA \ {0}. Son equivalents:

1. (p)A ideal primer.

2. pA primer.3. p irreductible.

Demostracio. Observem que p /A si pA(p) =A(p) no es ideal primer.

(2)(3) ok.

(1)(2) p|abab(p)

a(p)p|ab(p)p|b

.

(2)(1) ab(p)p|ab (2)p|a i p|ba(p) b(p).

Proposicio 2.5.4. SiguiA un(DF U). Aleshores,

a, bA mcd(a, b), mcm(a, b)

Demostracio. Sigui a = qn11 . . . q nss ni 1, qi irreductibles (primers) diferents i

b= pm11 . . . pmrr mi1, pi irreductibles (primers) diferents.

Aleshores,

mcd(a, b) = producte de primers comuns ({p1, . . . , pr} {q1, . . . , q s}) ambexponent el mnim (si pi = qj exp=min{mi, mj})

mcm(a, b) = producte de primers comuns i no comuns amb lexponent maxim.

Proposicio 2.5.5. SiguiA un domini dintegritat on tot element no nul admet unadescomposicio en irreductibles no necessariament unica. Aleshores,

A(DF U) a, bA mcd(a, b)

48


51/53


Demostracio. La demostracio de la implicacio) esta feta a la proposicio anterior.) Veiem que si A(DI) ia, b Amcd(a, b), aleshores tot irreductible es

primer.

q irreductibleqprimer?

qprimer(q|abq|a q|b).Veurem que q es primer per contrarecproc:

qprimer(q|a q|bq|ab).

Suposem que q es irreductible.

q

|a

mcd(q, a) = 1

q|bmcd(q, b) = 11 =mcd(q, b)

=mcd(q,mcd(qb,ab))

=mcd(mcd(q,qb), ab) =mcd(q,ab)q|ab

()mcd(AB,AC) =Amcd(B, C)()mcd(A,mcd(B, C)) =mcd(mcd(A, B), C)Ara veurem la unicitat. Suposem que tenim dues descomposicions da. Aleshores

a= pn11 . . . pnss , n11, pi primers, i

b= qm11 . . . q mrr , m11, qi primers.

Tenim que p1|qm11 . . . q mrr p|qii; qi irreductible p1qiReordenant, suposem que i= 1:

a= pn11 pnss =p

m111 q

m22 . . . q

mrr u, amb uA

essencialment unica

aleshorespn111 p

n22 . . . p

nss =p

m111 q

m22 . . . q

mrr .

Suposemn1m1p

n2

2 . . . pns

s =pm11

1 qm2

2 . . . q mr

r

Si m1 n1>0p1|pn22 . . . pnss p1|pi, i >2p1 = pi absurd!!Largument per n1m1 es semblant:si n1 > m1;p

n1m11 p

n22 . . . p

nss =q

m22 . . . q

mrr p1|qi, i >2no pot ser.

Aleshores n1=m1

Tenimpn22 . . . pnss =q

m22 . . . q

mrr . Iterem el proces i observem que no pot sers=r,

ja que al final, si fos aix, tindriem o 1 = qmtt . . . q mrr o 1 =p

mtt . . . p

mss , i cap de les

dues pot ser. Llavors, r= s.

Teorema 2.5.1. A(DIP)A(DF U)

49


52/53


Demostracio. (Emmy Noether) En tot (DI P) existeix mcd. Nomes cal veure quetot a= 0, a A descomposa en producte dirreductibles. Fem una reduccio alabsurd:

Suposem que a0 A no admet una factoritzacio en irreductibles. Aleshores a0no es irreductible.a1, b1 /A

a0 = a1b1 o be a1 no admet una factoritzacio en irreductibles, o be

esb1 qui no ladmet, ja que si fos aix implicaria quea0 descompon en irreductibles.

Suposem ara que a1 no admet la descomposicio en irreductibles (simetric perb1). (a0) (a1) ja que si (a0) = (a1) a1 = ca0, a0 = ca0a1 b1 A ja quea0=a1b1=ca0b1 i aixo no es veritat.

Existeix una cadena(a0) (a1) (a2) . . .

on ai no admet una descomposicio en irreductibles.

ai= ai+1bi+1

I=

iN(ai)A ideal, ja que es una unio dideals que formen una cadena.

A(DI P)iN

(ai) =I= () A k; (ak) = ak c, cA

ak

iN(ai) =I= ()

ak =

c, c

A

= akc= cc cc = 1

ak+1I= () = (ak)ak+1= dak, dAper altra banda

(ak)(ak+1)ak=eak+1, eAcosa que ens duu a pensar que de = 1, pero aixo voldria dir que (ak) = (ak+1) i aixoes una contradiccio.

Proposicio 2.5.6. SiguiA un(DIP), i siguip

A, p

= 0 i no unitat, aleshores

(p) primer(p) maximal.

Demostracio.) Feta.) (p)(a) A ?=(p) = (a)

(p)(a)p = abbA

((p) primerp primerp irreductible)

=(p) = (a)

50


53/53


Observacio 2.5.2 (final). (DE) =

=(DIP) ==(DF U) ==(DI)Donem contraexemples per les implicacions cap a lesquerra, per ordre

A= a + b2

+ b219 , a , b Z

Z[x]

Z[5] fet.Teorema 2.5.2 (de Gauss). A(DF U)A[x](DF U)Observacio 2.5.3 (cas particular). K(x1, . . . , xn) (DF U) amb K cos.

Observacio 2.5.4. Z(DIP)

Z(DF U)

Z[x](DF U)

(2, x) Z[x] ideal no principal.Definicio 2.5.5. A es un anell Noetheria siI A ideal,f1, . . . f s, tals queI= (f1, . . . , f s).

Teorema 2.5.3 (de Hilbert). SiguiA un anell Noetheria llavorsA[x] es un anellNoetheria.

En particular, si K es un cos, K es Noetheria, iK[x1, . . . , xn] tambe. Es veutambe queZ(DI P) Z Noetheria.

Documents

Apunts Estructures Algebraiques