31
Arbori binari. Aplicaţii

Arbori binari. Aplica ţii

  • Upload
    cherie

  • View
    71

  • Download
    2

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Arbori binari. Aplica ţii. Arbori binari. - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: Arbori binari. Aplica ţii

Arbori binari. Aplicaţii

Page 2: Arbori binari. Aplica ţii

Arbori binari

• Definiţie. Un arbore binar este un arbore orientat cu proprietatea că pentru orice vîrf v, od(v)2. Dacă od(v)=2, cei doi descendenţi sînt desemnaţi ca descendent stîng (fiu stînga) respectiv descendent drept (fiu dreapta). Pentru vîrfurile cu od(v)=1, unicul descendent este specificat fie ca fiu stînga, fie ca fiu dreapta

• Definiţie. Se numeşte arbore strict binar un arbore binar cu poprietatea că pentru orice vîrf v, od(v)≠1.

• Definiţie. Se numeşte nod terminal (sau frunză) orice vîrf v al arborelui cu od(v)=0. În caz contrar nodul v este neterminal.

Page 3: Arbori binari. Aplica ţii

Arbori binari. Subarbori

1

2 3

4 5 6 7

8 9 10

2

4 5

8

3

6 7

9 10

Subarbore stîng Subarbore drept

Page 4: Arbori binari. Aplica ţii

Arbori binari. Reprezentare.

• Reprezentarea Fiu-Frate (N, R, Fiu, Frate, Inf)

• Cu structuri dinamice– Structură nod: informaţie, adresă fiu stîng / drept

typedef struct nod { int info;

struct nod* st,*dr;

} TNOD;

• Pentru a cunoaşte arborele: rădăcina

TNOD* r;

Page 5: Arbori binari. Aplica ţii

Arbori binari. Parcurgere

• În lăţime– Pe niveluri Pe niveluri

• În adîncime– A-Preordine Preordine

– A-Postordine Postordine

– Inordine

void preordine(TNOD* r){ if(r!=NULL) { //prelucrare r->info preordine(r->st); preordine(r->dr); }}

void postordine(TNOD* r){ if(r!=NULL) { postordine(r->st); postordine(r->dr); //prelucrare r->info }}

void inordine(TNOD* r){ if(r!=NULL) { inordine(r->st); //prelucrare r->info inordine(r->dr); }}

Page 6: Arbori binari. Aplica ţii

Arbori binari. Parcurgere

void niveluri(TNOD* r){ TNODC* c; TNOD* p; int er; if(r != NULL) { c = NULL; c = push(c,r);

while(c != NULL) { c=pop(c,&p,&er);

// prelucrare p->info if(p->st!=NULL) c = push(c,p->st); if(p->dr!=NULL) c = push(c,p->dr); }

}}

typedef struct nodc { TNOD* info; struct nodc* next; } TNODC;

Page 7: Arbori binari. Aplica ţii

Arbori binari. Calculul înălţimii

int inaltime(TNOD* r){ int i,j,k; if(r == NULL) i = 0; else { j = inaltime(r->st); k = inaltime(r->dr);

i = 1 + (j>k ? j : k); } return(i);}

Page 8: Arbori binari. Aplica ţii

Arbori de sortare (căutare)

• Definiţie. Un arbore de sortare este un arbore binar cu următoarele proprietăţi

– fiecărui nod i al arborelui îi este ataşată o informaţie INF(i) dintr-o mulţime ordonată de valori;

– pentru fiecare nod i, INF(i) este mai mare decît INF(j), pentru toate nodurile j din subarborele stîng al arborelui cu rădăcină i;

– pentru fiecare nod i, INF(i) este mai mică decît INF(j), pentru toate nodurile j din subarborele drept al arborelui cu rădăcină i;

– pentru orice vîrfuri i şi j daca i j atunci INF(i) INF(j).

Page 9: Arbori binari. Aplica ţii

Arbori de sortare (căutare)

10

2

8

1 3

5

4

7 9

6

11

1512

14 16

13

• Operaţii– Parcurgeri (pe niveluri, preordine, inordine, postordine)– Adăugare informaţie– Ştergere informaţie

• Preordine : 10, 6, 4, 2, 1, 3, 5, 8, 7, 9, 13, 12, 11, 15, 14, 16• Inordine : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16• Postordine: 1, 3, 2, 5, 4, 7, 9, 8, 6, 11, 12, 14, 16, 15, 13, 10• Pe niveluri: 10, 6, 13, 4, 8, 12, 15, 2, 5, 7, 9, 11, 14, 16, 1, 3

Page 10: Arbori binari. Aplica ţii

TNOD* inserare(TNOD* r, int a, int* er){ *er=0; if(r==NULL) { r=(TNOD*)malloc(sizeof(TNOD));

r->info=a; r->dr=NULL; r->st=NULL;

} else if(r->info==a) *er=1; else if(r->info>a) r->st=inserare(r->st, a, er);

else r->dr=inserare(r->dr,a,er); return r;}

Arbori de sortare. Adăugare informaţie

10

2

8

1 3

5

4

7 9

6

11

1512

14 16

13

12,5

Page 11: Arbori binari. Aplica ţii

Arbori de sortare. Ştergere informaţie

10

2

8

1 3

5

4

7 9

6

11

1512

14 16

13

7,2

7,37,1

10

2

8

3

4

9

5

11 15

12

14 167,2

7,37,1

Page 12: Arbori binari. Aplica ţii

Arbori de sortare. Ştergere informaţie

TNOD* sterge(TNOD* r, int a, int*er){ TNOD* p, *q; *er=0; if(r == NULL) *er=1; else if(r->info > a) r->st = sterge(r->st,a,er); else if(r->info < a) r->dr = sterge(r->dr,a,er);

else if(r->st == NULL) { p = r; r = r->dr; free(p); }

else if(r->st->dr==NULL) { r->info = r->st->info; p = r->st; r->st = r->st->st; free(p); } else { p = r->st; while(p->dr != NULL) { q = p; p = p->dr; } r->info = p->info; q->dr = p->st; free(p); }

return r;}

Page 13: Arbori binari. Aplica ţii

Arbori de structură

• Arbore de structură: arbore strict binar folosit pentru a reprezenta expresiile aritmetice care conţin numai operatori binari. Fiecare nod conţine ca informaţie utilă:

– un operand, dacă este nod frunză

– un operator, dacă nu e nod frunză

• Arborele se construieşte acordînd priorităţi operanzilor şi operatorilor.

• Parcurgerea arborelui în preordine => forma poloneză directă a expresiei

• Parcurgere arborelui în inordine => refacerea expresiei (cu sau fără paranteze).

Page 14: Arbori binari. Aplica ţii

Exemplu: a*(b+c) –(d+e)/(f+g)

-

+

b c

a

*

ed

++

f g

/

Construire arbore:

1. Calculare priorităţi pentru operanzi şi operatori

2. Construire propriu-zisă a arborelui

Arbori de structură

Page 15: Arbori binari. Aplica ţii

1. Calculare priorităţi pentru operanzi şi operatori

• operatorii aditivi primesc prioritatea 1

• operatorii multiplicativi primesc prioritatea 10

• prioritatea fiecărui operator se măreşte cu 10 pentru fiecare pereche de paranteze care îl include

• fiecare operand primeşte prioritatea maximă (maxint)

Priorităţile sînt înscrise într-un vector.

• p[i]= prioritatea elementului i din expresie (operator sau operand, în ordinea apariţiei

Elemente expr. =( a, *, b, +, c, -, d, +, e, /, f, +, g)

Priorităţi =(maxint,10,maxint,11,maxint,1,maxint,11,maxint,10,maxint,11,maxint)

Arbori de structură

Exemplu: a*(b+c) –(d+e)/(f+g)

Page 16: Arbori binari. Aplica ţii

Elemente expr. =( a, *, b, +, c, -, d, +, e, /, f, +, g)

Priorităţi =(maxint,10,maxint,11,maxint,1,maxint,11,maxint,10,maxint,11,maxint)

Construire arbore: algoritm recursiv.

1. dacă expresia curentă este vidă, subarborele curent este vid (nil)

2. altfel se caută elementul cu prioritate minimă din expresia curentă

3. se creează un nod rădăcină pentru subarborele curent

4. fiul stîng este subarborele obţinut prin reprezentarea subexpresiei din stînga elementului curent

5. fiul drept este subarborele obţinut prin reprezentarea subexpresiei din dreapta elementului curent

Arbori de structură

Exemplu: a*(b+c) –(d+e)/(f+g)

Page 17: Arbori binari. Aplica ţii

Elemente expr. =( a, *, b, +, c, -, d, +, e, /, f, +, g)

Priorităţi =(maxint,10,maxint,11,maxint,1,maxint,11,maxint,10,maxint,11,maxint)

Arbori de structură

Exemplu: a*(b+c) –(d+e)/(f+g)

-

*

-

-1

a * b + c (maxint, 10, maxint, 11, maxint) a * b + c (maxint, 10, maxint, 11, maxint)

a (maxint) a (maxint)

a*(b+c) (d+e)/(f+g)

a b+c

(d+e)/(f+g)

Page 18: Arbori binari. Aplica ţii

Elemente expr. =( a, *, b, +, c, -, d, +, e, /, f, +, g)

Priorităţi =(maxint,10,maxint,11,maxint,1,maxint,11,maxint,10,maxint,11,maxint)

Arbori de structură

Exemplu: a*(b+c) –(d+e)/(f+g)

aa

**

--

b+c

(d+e)/(f+g)

( )

( )

( )

( )

b + c (maxint, 11, maxint) b + c (maxint, 11, maxint)

aa ++

**

--

(d+e)/(f+g)

b c

Page 19: Arbori binari. Aplica ţii

Elemente expr. =( a, *, b, +, c, -, d, +, e, /, f, +, g)

Priorităţi =(maxint,10,maxint,11,maxint,1,maxint,11,maxint,10,maxint,11,maxint)

Arbori de structură

Exemplu: a*(b+c) –(d+e)/(f+g)

aa ++

bb cc

**

--

(d+e)/(f+g)

d + e / f + g (maxint,11,maxint,10,maxint,11,maxint) d + e / f + g (maxint,11,maxint,10,maxint,11,maxint)

aa ++

bb cc

** //

--

f+gd+e

Page 20: Arbori binari. Aplica ţii

Parcurgerea arborelui în preordine => forma poloneză directă a expresiei:

- * a + b c / + d e + f g

Parcurgere arborelui în inordine => refacerea expresiei (cu sau fără paranteze – SRD sau (S)R(D) ):

a * b + c – d + e / f + g

((a)*((b)+(c)))-(((d)+(e))/((f)+(g)))

Arbori de structură

Page 21: Arbori binari. Aplica ţii

Evaluare expresie: prin parcurgere în postordine.

Prelucrarea fiecărui nod r constă în

• dacă e nod frunză nu se schimbă nimic

• altfel se înlocuieşte informaţia r->inf cu rezultatul expresiei

ss r->inf sd

unde ss şi sd sînt informaţiile din fiul stîng respectiv drept al

nodului curent

Arbori de structură

Page 22: Arbori binari. Aplica ţii

Arbori de structură

33 ++

44 66

++

1010 55

++

22 11

** //

--2525

a = 3, b = 4, c = 6, d = 10, e = 5, f = 2, g = 1

1010

3030

1515 33

55

Page 23: Arbori binari. Aplica ţii

Arbori de structură - implementare

#include <stdio.h>#include <malloc.h>#include <string.h>#include <math.h>#define MAXINT 10000

/* reprezentarea unei expresii prin arbore de structura si evaluarea ei

restrictii: - numai operatori aritmetici + - * / - identificatorii operanzilor formati din numai o litera - fara spatii*/

typedef struct nod{ char inf; float v; struct nod *s,*d; } TNOD;

Page 24: Arbori binari. Aplica ţii

Arbori de structură - implementare

char* prioritati(char *s, int p[], int* n){ int i,j,crt,l; char* r; //i - caracterul curent //j - proritatea curenta //crt - elementul curent //r - expresia fara paranteze //calcul prioritati l = strlen(s); for(i=j=crt=0; i<l; i++) switch(s[i]) { case ')': j-=10;break; case '(': j+=10;break; case '+': ; case '-': p[crt]=j+1;crt++;break; case '*': ; case '/': p[crt]=j+10;crt++;break; default : p[crt++]=MAXINT; }

Page 25: Arbori binari. Aplica ţii

Arbori de structură - implementare

//eliminare paranteze

r=(char*)malloc(strlen(s)); strcpy(r,s); i=0; while(i<l) if( (r[i]==')') || (r[i]=='(') )

{ for(j=i+1; j<l; j++) r[j-1]=r[j];

r[l]='\0'; l--;

} else i++; *n=crt; return r;}

Page 26: Arbori binari. Aplica ţii

Arbori de structură - implementareTNOD* construire_arbore(int p, int u, char *r, int pr[]){ TNOD *a; int min, poz; min = pr[p]; poz = p; for(int i=p+1; i<=u; i++) if(min >= pr[i])

{ min=pr[i]; poz=i;}

a=(TNOD*)malloc(sizeof(TNOD)); a->inf = r[poz]; if(p == u) a->s = a->d = NULL; else { a->s = construire_arbore(p,poz-1,r,pr); a->d = construire_arbore(poz+1,u,r,pr); } return a;}

Page 27: Arbori binari. Aplica ţii

Arbori de structură - implementare

void forma_poloneza(TNOD* rad, char* exp){ int l; if(rad) { l = strlen(exp); exp[l] = rad->inf; exp[l+1] = '\0'; forma_poloneza(rad->s, exp); forma_poloneza(rad->d, exp); }}

Page 28: Arbori binari. Aplica ţii

Arbori de structură - implementare

float evaluare(TNOD* rad){ if(rad) if(rad->s)

switch (rad->inf) { case '+': rad->v = evaluare(rad->s) + evaluare(rad->d); break; case '-': rad->v = evaluare(rad->s) - evaluare(rad->d); break; case '*': rad->v = evaluare(rad->s) * evaluare(rad->d); break; case '/': rad->v = evaluare(rad->s) / evaluare(rad->d); } return rad->v;}

Page 29: Arbori binari. Aplica ţii

Arbori de structură - implementare

void citire_valori_operanzi(TNOD* rad){ if(rad) if(rad->s == NULL) { printf("%c=", rad->inf); scanf("%f",&(rad->v)); } else { citire_valori_operanzi(rad->s); citire_valori_operanzi(rad->d); }}

Page 30: Arbori binari. Aplica ţii

Arbori de structură - implementare

void main(){ char expresie[100], *efp, *fpd; int p[100],n; TNOD* radacina_arbore_structura; printf("\nExpresia de analizat (corecta, conform restrictiilor):\n"); gets(expresie); radacina_arbore_structura=NULL; //calcul prioritati efp=prioritati(expresie,p,&n); //construire arbore radacina_arbore_structura=construire_arbore(0,n-1,efp,p); //determinarea formei poloneze a expresiei fpd=(char*)malloc(strlen(efp)); fpd[0]='\0'; forma_poloneza(radacina_arbore_structura,fpd); printf("\nForma poloneza directa: %s",fpd); //evaluare expresie printf("\nValorile operanzilor:\n"); citire_valori_operanzi(radacina_arbore_structura); evaluare(radacina_arbore_structura); printf("\nValoare expresiei este: %7.3f\n",radacina_arbore_structura-

>v);}

Page 31: Arbori binari. Aplica ţii

Arbori de structură - implementare

• Atenţie:– Dacă mai multe elemente au aceeaşi prioritate

minimă, se alege ultimul pentru a fi rădăcină

– Exemplu: – a-b*c+d– a=100, b=2, c=5, d=10

• Probleme de rezolvat– Eliminarea spaţiilor

– Utilizarea altor operatori

– Utilizarea de identificatori mai lungi