Architetti CORSO DI AGGIORNAMENTO PROFESSIONALE · Geometria Geometria delle aree Velocità, accelerazione La gravità 17/90 VELOCITA’ E ACCELERAZIONE MODULO 1 Francesco BIASIOLI

Ordine degli Architetti della Provincia di Varese – Modulo M1

1

16 SETTEMBRE 2016

MODULO M1

Ordine degli Architettidella Provincia di

Varese

Francesco BIASIOLIGiulia BIANCO

Ipogea Associati –Torino

[email protected]

Varese 16/09/2016

CORSO DI AGGIORNAMENTO PROFESSIONALE

«PROGETTARE EDIFICI IN ZONA SISMICA»

GLI STRUMENTI

MODULO 1


Varese 16/09/20162/90

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria

Geometria delle aree

Velocità, accelerazione

La gravità

GEOMETRIA E ANALISI


2

MODULO 1


Varese 16/09/20163/90

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

RENE’ DESCARTES «CARTESIO»

(1596 - 1650)

NEL PIANO

IL «PIANO CARTESIANO»

+

NELLO SPAZIO

REGOLA DELLA MANO DESTRA

y

(x,y,z)

x

(x,y)

MODULO 1


Varese 16/09/20164/90

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

AB

CPITAGORA

(570 – 495 a.C.)

IL «TEOREMA DI PITAGORA»

34

A +B =C

L + L = L


3

MODULO 1


Varese 16/09/20165/90

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

x

y

C,r

A,x

B,y

TEOREMA DI PITAGORA

LA CIRCONFERENZA

EQUAZIONE CIRCONFERENZA

Se C è costante

A +B =C

x +y =r

CIRCONFERENZA: «luogo» dei punti posti tutti alla stessa distanza r da un punto detto Centro

MODULO 1


Varese 16/09/20166/90

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

x/r

y/r

1

x/r

y/r

1

1

LA CIRCONFERENZA

CIRCONFERENZA

x +y =r

xr

+yr

= 1

[-] + [-] = [-]

EQUAZIONE «PARAMETRICA» DELLA CIRCONFERENZA


4

MODULO 1


Varese 16/09/20167/90

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

L’ELLISSE

x/a

y/b

a

b e a ≠ b

E.P.CIRCONFERENZA

EQUAZIONE ELLISSE

1

1,0

0,1

Se a = b è una CIRCONFERENZA

xr

+yr

= 1

xa

+yb

= 1

Se r non è costante

ELLISSE: «luogo» dei punti posti tutti alla stessa distanza da due punti, detti Fuochi

MODULO 1


Varese 16/09/20168/90

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

F

F

L’ELLISSE


5

MODULO 1


Varese 16/09/20169/90

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

x

y

r s

C

α2π

GRADI E RADIANTI

LUNGHEZZA CIRCONFERENZA

αrad = π α°

180

αrad : 2 = α°

: 360

s= α ∙ in RADIANTI

C=(2π r

Angolo α[°] [rad]90 0,5π

180 π

270 1,5π

360 2π

LUNGHEZZA ARCO

MODULO 1


Varese 16/09/201610/90

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

SENO, COSENO,TANGENTE (Aryabhata, 476-500 d.C.)

(476–550)

TEOREMA DI PITAGORA

L

L cos α

L sen αα

A +B =C

cos x+sen =1

coordinate dei punti di una circonferenza di un raggio unitario

TEOREMA DI EUCLIDEDC : OC = BA : 1


6

MODULO 1


Varese 16/09/201611/90

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

SENO, COSENO,TANGENTE (Aryabhata, 476-500 d.C.)

(476–550)

MODULO 1


Varese 16/09/201612/90

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

x

y

1α = 45°

1

PENDENZA E INCLINAZIONE

è la PENDENZA DEL SEGMENTO DI RETTA

Un segmento inclinato di 45° ha pendenza 100%Un segmento inclinato di 90° ha pendenza infinita

° %


7

MODULO 1


Varese 16/09/201613/90

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

α = 12°

x

y

12°

è la PENDENZA p

p = ?


| °| ,

, ∙ %

168°

α = 12°

12° 12°

y

x

° , ° ,

+−

MODULO 1


Varese 16/09/201614/90

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità α = ?

Data la pendenza, trovare l’angolo:

p = 30% = 0,30α = arctg (p) = tan‐1(p)


tan−1(p)

tan−1 , ≅ 17°

p = 8% tan−1 , ≅ 4,6°p = 2% tan−1 , ≅ 1,1°

APP STORE: Calcolatrice Calc ProPLAY STORE: Natural ScientificCalculator


8

MODULO 1


Varese 16/09/201615/90

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

DAL PO AL TICINO...

Il Canale Cavour:lunghezza totale ≅ 83km, dislivello ≅ 21m

Pendenza: (21/83.000) x 100 = 0,0253%

tan−1 , ≅ 0,014°

MODULO 1


Varese 16/09/201616/90

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

INTEGRALI E DERIVATEy

x0

y = k

x

z

x0

z kx

x

k

t

x0

t kx2

x

ydx =k dx = kx

ydx k xdx= k x2=

f′ t kx

dx

ydx

f′ y = 0

f′ z k

INTE

GRALE

DER

IVATA


9

MODULO 1


Varese 16/09/2016

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

17/90

VELOCITA’ E ACCELERAZIONE

MODULO 1


Varese 16/09/2016

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

18/90

LA VELOCITA'

ESSERE VELOCI = «fare qualcosa» in un tempo limitato

La rete 4G viaggia a 2,2 Mbyte/sec

Ho letto 10 pagine in mezz’ora

Italo va da Torino a Milano (120 km) in 45 minuti.

VELOCITA’ v = PRESTAZIONETEMPO


10

MODULO 1


Varese 16/09/2016

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

19/90

LA VELOCITA'

Se ampiezzapasso costante Velocità

Velocità aumenta se:

v = PRESTAZIONE

TEMPO

SPAZIO TEMPO

v = st

ms,kmh

Ridurre il tempo = aumentare la «frequenza» (1/t)

MODULO 1


Varese 16/09/2016

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

20/90

0 t (sec)

s (m)

∆t ∆t

∆s

∆s

SPOSTARSI A VELOCITA‘ COSTANTE

Velocità costante

Pendenza costante

α

Velocità MEDIA, costante

v = ∆s∆t

[ms]

S = ∆s = v∆t =v ∆t=vT T= ∆t

∆s = v ∆t

v = ∆s∆t = S

T =tg α

Il grafico è una retta

S

T


11

MODULO 1


Varese 16/09/2016

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

21/90

t (sec)

v (m/s)

0 dt

ds = vdt

Per istanti piccolissimi di tempo dt

Lo spazio percorso in un dato intervallo t è l’INTEGRALE (= l’AREA) del diagramma della velocità rispetto al tempo.

S = ds = vdt

v = dsdt

dtt (sec)

s (m)

0

ds

SPOSTARSI A VELOCITA‘ COSTANTE

MODULO 1


Varese 16/09/2016

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

22/90

0 t (sec)

s (m)

∆t ∆t

Velocità variabile

Il grafico è una curva

pendenza variabile della curva («gradiente, derivata»)

Per istanti piccolissimi di tempo dt

∆s > ∆s

v = ∆s∆t >v = ∆s

∆t [ms]

v = dsdt

v = dsdt

A parità di ∆t

SPOSTARSI A VELOCITA‘ VARIABILE

ds

dt


12

MODULO 1


Varese 16/09/2016

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

23/90

t (sec)

v (m/s)

10

100

0

L’ACCELERAZIONE

a = 100/10 = 10 m/s2 costante

s aumenta con il quadrato del tempo

10

100

a (m/s2)

t (sec)

t (sec)

s (m)

Cosa succede se v, anziché essere costante, aumenta regolarmente nel tempo? dv = a dt

0

500

10

dt

a = dvdt

V = adt = a dt

= a

s = vdt = atdt

= a tdt

at2

101002

500

MODULO 1


Varese 16/09/2016

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

24/90

Le macchine elettriche forse non emetteranno il rombo di una Ferrari ma quanto a prestazioni sono in grado di fare bene, molto bene. Un team di studenti svizzero delle facoltà di ingegneria dell'ETH Zurich e dell'Università di Lucerna ha raggiunto un nuovo Guinness World Record grazie a una macchina da corsa elettrica che ha accelerato da 0 a 100 km/h in 1,513 secondi.La vettura ha polverizzato il record precedente fatto segnare dall'Università di Stoccarda di più di un quarto di secondo (1,779 secondi) durante il test che si è svolto presso la base aerea di Dubendorf, vicino a Zurigo, raggiungendo i 100 km/h in 30 metri.La macchina pesa solo 168 chili grazie all'uso di materiali in fibra di carbonio, ha quattro ruote motrici e un computer di bordo che applica il controllo di trazione a ogni singola ruota.

Il tempo messo a segno è di oltre mezzo secondo migliore rispetto alle automobili sportive più quotate (Porsche, Ferrari, ecc.) con motore a benzina e decisamente più veloce delle Tesla, le auto elettriche più "famose" e prestanti

v = 100 km/h == 100 x 1000/(60x60) == 27,8 m/sec

a = 27,8 /1,513 = 18 m/sec2

L’ACCELERAZIONE


13

LEZIONE 1


Varese 16/09/2016

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

25/90

NEWTON E LA GRAVITA’

LEZIONE 1


Varese 16/09/2016

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

26/90

LE FORZEFORZA: una «freccia orientata», un «VETTORE»L’effetto di una forza (non equilibrata) è di «muovere » un corpo di massa assegnata

Unità di misura delle forze nel Sistema Internazionale SI

Newton]

Attenzione alla differenza tra direzione e verso…


14

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

27/90

I TRE PRINCIPI DELLA DINAMICA (1684)1) Principio di inerzia Se su un corpo non agiscono forze o agisce un

sistema di forze in equilibrio, il corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme

2) Legge fondamentale della dinamicaL‘accelerazione di un corpo è

direttamente proporzionale e nella stessa direzione della forza risultante agente su di esso, mentre è inversamente proporzionale alla sua massa

a FF = m ·a

3) Principio di azione e reazionePer ogni forza che un corpo A esercita su un altro

corpo B, ne esiste istantaneamente un'altra uguale in modulo e direzione, ma opposta in verso, esercitata dal corpo B sul corpo A

(1642-1727)

Le forze si misurano in Newton (N)

LEZIONE 1


Varese 16/09/2016

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

28/90

LA «GRAVITA’»

m1 = massa della Terram2 = massa del Sole

r = distanza Terra - Sole

F12 = forza di attrazione Sole - TerraF21 = forza di attrazione Terra - Sole

costante di gravitazione universale G = 6,67 * 10 -11

NEWTON Legge di gravitazione universale

F =F = G m ∙m

r

[ mkg∙s ]

Massa = quantità di materia di un corpo. E’ un invarianteche si conserva durante il moto del corpo (E = mc2 Einstein)Si misura in kg (massa)


15

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

29/90

dalla TERRA…

mT = massa della Terra = 5,985 * 10 24 kgr = raggio della Terra = 6'378'000 m

G = 6,67 * 10 -11

g = accelerazione di gravità sulla terra

F = 10 * 80 = 800

Le forze si misurano in Newton N

1 N ≈ 1 hg = 0,1 kg1 kN = 1000N = 100 kg

mU

mT

6,67·10 5,985·106 378 000

g = 9,81ms

F = P = m1 g ≅ 10 ·m

kgms

mU = massa dell'uomo = 80 kg

m3

kgs

F =F = G m ∙m

r

F = G mr

m = gm

m/s2≈ 10

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

30/90

…alla LUNA

Sulla Terra:

FORZA PESO

ma….sulla Luna?

mL = massa della Luna = 7,35 * 10 22 kgrL = raggio della Luna = 1'737'000 m

G = 6,67 * 10 -11

che sulla Terra

II^ PRINCIPIO DI NEWTONF = m·a

P = m·g

g = 9,81ms

P ≅ 10 ·m

g = G mr

g = 6,67·10 7,35·101 737 000

= 1,62ms ≅16

m3

kgs


16

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

31/90

Nel II principio della dinamica, la massa è la costante di proporzionalità traforza applicata a un corpo e la sua accelerazioneMassa e peso sono due grandezze diverse: la massa è una grandezza scalare,propria di ogni corpo, mentre il peso, o meglio la «forza peso», è una grandezzavettoriale che varia da punto a punto dello spazio. Il peso si misura in Newton,la massa in kilogrammi e i due sono legati dall’equazione P =mg

L’accelerazione di gravità g ha direzione perpendicolare alla superficieterrestre, verso rivolto verso il basso e modulo che varia a seconda nel luogoove ci troviamo ma che vale, mediamente a livello del mare, 9,8 m/s2.

Nel linguaggio comune, però, si misura il peso in kilogrammi, non in Newton!A quanti Newton corrisponde la «forza peso» esercitata da un corpo dimassa 1 kg posto su un piatto di una bilancia che segna «1 kg»? Sostituendo lamassa m = 1 kg e il valore medio dell’accelerazione di gravità g = 9,8m/s2 nell’equazione P =mg si ottiene che il peso di un corpo dimassa 1 kg è 9,8 N.

Questo dato vale sul pianeta terra, al livello del mare e in media. Spostandocisulla superficie terrestre, il peso esercitato da un corpo di massa m varierebbeleggermente. Se cambiassimo pianeta, varierebbe l’accelerazione di gravità, equindi il peso cambierebbe drasticamente, mentre la massa rimarrebbe uguale.

MASSA E PESO

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

32/90

FORZE E COPPIE


17

LEZIONE 1


Varese 16/09/2016

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

33/90

LE FORZE

Sistema di riferimento «generale» verso positivo se concorde con gli assi di riferimento

Regola della «mano destra»

Esempio nel piano

F1 F3 positive, F2 F4 negative

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

34/90

COMPONENTI DI UNA FORZA

Fy = F · sin α

Fx = F · cos α

1

2

α

P

α

P’P1

P2

1

F = F +F

= F (sen α+cos α)

P = P ∙ cos (α

P = P ∙ sen(α


18

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

35/90

COMPOSIZIONE DI 2 FORZE aventi la stessa retta d’azione

r1

F1

F2

r1

R

iFR

Risultante:

1. Medesima retta d’azione2. Intensità = somma algebrica

dei moduli

F1F2r1

F1 = F2

Rr1

F1 > F2

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

36/90

DOM VARIGNON (1654-1722)

COMPOSIZIONE DI 2 FORZE CONCORRENTI IN UN PUNTO –IL «PARALLELOGRAMMA»DELLE FORZE

R

F2F1

r1r2

R F2

F1F1

F2

X

Y

α2

α1

Ry

Rx

F1

F2

Y

α2

α1

F2 x F1 x

F1y

F2y

R

X

RX = F1 X + F2 X = F1 cosα1 + F2 cosα2

Ry = F1 y + F2 y = F1 sinα1 + F2 sinα2R = forza risultante, «staticamente equivalente» al sistema di forze


19

LEZIONE 1


Varese 16/09/2016

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

37/90

COMPOSIZIONE DI FORZE non concorrenti in un punto: le successive risultanti

F2

F3

F4

F1

F2

F3

F4

F1

R

R12

R123

Poligono delle forzeRX = ΣFx i= ΣFi cosαi

Ry = Σ Fyi = Σ Fi sinαi

Si conosce R ma non dove è posta la sua retta d’azione

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

38/90

MOMENTO DI UNA FORZA

Il momento di una forza Frispetto a un punto O è unvettore applicato nel punto Ocon intensità pari al prodottodell’intensità F della forza per ilsuo «braccio» b

M = Fb

e verso definito dalla regola della“mano destra”

(braccio: segmento che si ottieneproiettando ortogonalmente Osulla retta di azione di F)


20

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

39/90

I MOMENTI

2211 bFbF = 21 bb 21 FF

Il momento della forza misural’«efficacia» di una forza aprodurre una rotazione.

F2F1

b1

b2Per aprire più facilmente la portasi spinge in un punto il piùlontano possibile dai suoi cardini.Nessuna forza, per quantointensa, riuscirà a far ruotare laporta se esercitata in un puntodella retta passante per i cardini.

2112 b/b FF

Perché F2 abbia lo stesso effetto di F1 deve essere

Cosa succede se b2 0 ?

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

40/90

UN PARTICOLARE SISTEMA DI FORZE

Il momento di una coppia è lasomma dei momenti delle forzedel sistema rispetto a un qualsiasipolo O. Indipendente da O, èsempre pari al prodottodell’intensità F di una delle dueforze per la distanza d tra lerette d’azione delle due forze.

M = Fd1+ Fd2 = F(d1+d2) = Fd

Coppia: «sistema di forze» che si può «ridurre» adue sole forze aventi intensità e direzione uguali,versi opposti e rette d’azione distinte.L’effetto di una coppia (non equilibrata) è quello difar RUOTARE un corpo

Il momento di una coppia è dunqueun vettore libero = non dipende dalpolo O rispetto al quale vienecalcolato

dO

d2

d1


21

LEZIONE 1


Varese 16/09/2016

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

41/90

SISTEMI DI FORZE COMPLANARITeorema di Varignon

•Direzione:

la medesima di F1, F2, F3 , F4

R=

=

=

ni

1iii

R

bFb

R44332211 bRbFbFbFbF =+++

Q,RQ,4Q,3Q,2Q,1 MMMMM

Fissato arbitrariamente un polo Q, per il teorema di Varignon:

Il momento risultante rispetto a un polo O di un sistema piano di forze «equivale» (= è staticamente equivalente) al momento della risultante R del sistema dei forze, calcolato rispetto allo stesso polo.

•Intensità: 4321 FFFFR

Forze complanari parallele: posizione della retta d’azione della risultante R

LEZIONE 1


Varese 16/09/2016

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

42/90

IL TEOREMA DI VARIGNON

R

4ni

1iii

R44332211

bRbF

bRbFbFbFbF

Rx

=

=ixix = bRbF x

ni

1i

Considerando le componenti secondo x e y di ogni forza e di ogni braccio, con i relativi segni (+,-)

F1

F2

F3

F4

x

y

z

R

bR

O

b1

b2

b3

b4

Ry

=

=iyiy = bRbF y

ni

1i

Ry

Rx

bRy

bRx

Forze complanari non parallele: posizione della retta d’azione della risultante R


22

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

43/90

COMPOSIZIONE DI FORZA E COPPIA

0bFbFM

FF

Q

r

=+=

=

F

r

C r’

F

F b

Q

F

r

La risultante di una coppia C e di una forza F è unaforza di pari direzione, intensità, verso della forzaoriginaria, agente su una retta d’azione distante b = C/Fdalla retta d’azione della forza F.

FORZA + COPPIA = FORZA TRASLATA

“Invento” un sistemain cui le due forzeabbiano valore F dunque siano poste tra loro a distanzab = C/F.Posiziono una delledue forze della coppiasulla retta d’azionedella forza F in mododa annullarla.

LEZIONE 1


Varese 16/09/2016

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

44/90

«TRASLARE» LE FORZE

Una forza F agente su una retta r può essere traslata parallelamente a se stessa di unaassegnata distanza b aggiungendo al sistema un sistema equilibrato di due forze F che agiscono lungo r’. Nasce una coppia M di intensità M = F b.

C=

=

Q

M

FF

Q

r’

F

r

bF

F

F

r

b

F

r

r’

C = Fb

b

r’

FORZA = FORZA TRASLATA + COPPIA

F


23

LEZIONE 1


Varese 16/09/2016

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

45/90

TRASLARE LE FORZE

«Trasporto» dell’azione dovuta alla ruota di un carroponte lacui via di corsa è posta sulla mensola di un pilastro all’assedel pilastro

b

F

rr’

Q

b

F

C = -Fb

Q

rr’

F

F

LEZIONE 1


Varese 16/09/2016

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

46/90

L’EQUILIBRIO


24

LEZIONE 1


Varese 16/09/2016

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

47/90

QUANDO SI PERDE L’EQUILIBRIO…

LEZIONE 1


Varese 16/09/2016

Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

48/90

L’EQUILIBRIO

L’equilibrio di un corpo può essere:

ABC

Nelle strutture si cerca la situazione B

InstabileStabileIndifferente


25

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

49/90

UN CORPO IN EQUILIBRIO NON SI MUOVE(SE LO DICE NEWTON…)

F1

F2 Un sistema in equilibrio «non si muove»(PRIMO PRINCIPIO DI NEWTON)

a = 0

Perché sia R = 0 IL POLIGONO DELE FORZE DEVE ESSERECHIUSO (l’estremo dell’ultima forza coincide con il punto diinizio della prima forza)

F1 = F2

F = m a

R = F = 0

F2

F3

F4

F1

R

R12

R123

F2

F3

F4

F1

E

R12

R123

R = 0

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

50/90

L’EQUILIBRIO DI UNA STRUTTURA NEL PIANO

1

2 3

4

Esempio: i nodi della capriata, sia «esterni» (1) che «interni» (2,3,4)

EQUILIBRI «GLOBALE» e «LOCALI»: I POLIGONi DELLE FORZE DEVONO RISULTARE «CHIUSI»


26

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

51/90

CONDIZIONI PER L’EQUILIBRIO:

Affinché un corpo sia in equilibrio, devono essere nulle lerisultanti sia delle FORZE che dei MOMENTI.

ΣM = 0

ΣF = 0ΣM ‡ 0

R = ΣF = 0

è condizione necessaria ma non sufficiente per

l’equilibrio, occorre che sia pure

UN CORPO IN EQUILIBRIO NON RUOTA

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

52/90

Sistema di forze equilibrato: ha risultante e momento risultante rispetto a un polo qualsiasi entrambi nulli

m

1jj

n

niiAA 0CMM

MOMENTO RISULTANTE NULLO

∑ estesa ai momenti di tutte le forze calcolati rispetto ad un polo A qualsiasi e di tutte le coppie del sistema

0FRn

nii

RISULTANTE NULLA

∑ estesa a tutte le forze del sistema

EQUILIBRIO (STATICO) DI UN SISTEMA DI FORZE

Equazioni di equilibrio: legano tra loro le forze e le coppie che costituiscono il sistema


27

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

53/90

Nel piano caso particolare del precedente caso: 2 equazioni di equilibrio alla traslazione1 equazione di equilibrio alla rotazione

A

b

0bFbFM 21R F1x

F1y

F2x

F2y 0FFR 21

0FF x2x1

0FF y2y1 F1

F2

y

x

Nello spazio ognuna delle due equazioni vettoriali può essere scritta sotto forma di tre equazioni scalari

Equilibrio alla rotazione

3 equazioni di momento rispetto ai 3 assi

y

xz

Equilibrio alla traslazione: 3 equazioni di proiezione su 3 assi ortogonali

y

xz

EQUILIBRI NEL PIANO E NELLO SPAZIO

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

54/90

L’EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO

Se la rotazione è tale che la proiezione verticale del centro di gravità «esce» dalla base d' appoggio (c) il corpo cade

Spigolo

Nelle strutture reali la condizione limite si verifica prima perché si raggiunge la crisi o del materiale della

struttura o del materiale su cui la struttura appoggia


28

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

55/90

L’EQUILIBRIO SU UN PIANO INCLINATOForza che deve applicare l’uomo per mantenere fermo il vaso?

AB:ACDE:DF =

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

56/90

VINCOLI E REAZIONI VINCOLARI


29

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

57/90

I GRADI DI LIBERTÀ DI UN CORPO

x

y

z

Nello spazio:•3 traslazioni•3 rotazioni

6 «gradi di libertà”

y

x

αz

ux

uy

Nel piano:•2 traslazioni•1 rotazione

3 «gradi di libertà”

Gradi di libertà (GdL) : i possibili movimenti di un corpo

u

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

58/90

VINCOLI SEMPLICI (tolgono 1 GDL)

Un vincolo impedisce o limita il moto di un corpo

I VINCOLI NEL PIANO

Il manicotto o l’asola permettono 2 GDL (rotazione e traslazione)


30

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

59/90

I VINCOLI NEL PIANOVINCOLI DOPPI (tolgono 2 GDL)

VINCOLI TRIPLI (tolgono 3 GDL)

Il manicotto permette 1 GDL (traslazione)

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

60/90

I VINCOLI NELLA PRATICA

CernieraWaterloo Station Londra

Incastro

Carrello, appoggio


31

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

61/90

CLASSIFICAZIONE DEI CORPI

Sistema isostatico: i vincoli sono in numero strettamente sufficiente per impedire ogni movimento rigido del corpo (m = n)

Sistema iperstatico: i vincoli sono sovrabbondanti, si possono togliere senza che si renda possibile alcun movimento rigido (m > n)

Sistema labile: i vincoli sono insufficienti a impedire un movimento rigido (m < n)

m = grado di vincolo n = grado di libertà

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

62/90

ESEMPI

Struttura -1 grado di vincolo

Corpo su tre appoggi

Portale (cerniera + carrello)

Corpo su sempliceappoggio


32

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

63/90

SISTEMI ANOMALI

Interpretazione cinematica

Struttura

C

C C

b

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

64/90

STRUTTURE DI CEMENTO ARMATO

Dettaglio con armatura di una cerniera dei semiarchi

Opera: passerella in Garfagnana

Progettista: Ing. Riccardo Morandi


33

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

65/90

STRUTTURE D’ACCIAIOTerminal dell’aeroporto di Amburgo Progettista: Von Gerkan. Strutture: Weber, Poll, Kockjoy

Appoggio Cerniera Incastro

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

66/90

I VINCOLI INTERNI

Waterloo station Londra

Progettisti: Grimshawand Partners

Strutture: HuntAssociates

Sezione trasversale: arco a tre cerniere

Cerniera interna

ARCO A TRE CERNIERE:

esternamente iperstatico (2 cerniera al piede), globalmente isostatico


34

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

67/90

LE REAZIONI VINCOLARIUn vincolo impedisce a un corpo di compiere definiti

movimenti.

Forze: sono i «carichi» (interni o esterni) applicati a una struttura

Reazioni vincolari: sono le forze trasmesse dai vincoli che mantengono la struttura in equilibrio

Il terreno impedisce alla vettura di sprofondare – vale

il III principio di Newton

La morsa impedisce al pezzo di muoversi e ruotare

R1

R2

R1R2P=R1+R2

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

68/90

CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARIdi strutture isostatiche

la risultante delle forze (interne e esterne, dunque comprese le reazioni vincolari) deve essere nulla. In termini di componenti (X,Y)

la risultante dei momenti delle forze deve essere nulla

ΣFx + ΣRx = 0

ΣMF + ΣMR = 0

F1 e F2 forze esterne note - Va , Ha e Vb reazioni vincolari incognite

Le tre equazioni forniscono le reazioni vincolari Va , Ha e Vb

ΣFy + ΣRy = 0

3 EQUAZIONI individuano 3 incognite

A B

A B

Va + Vb – F1 + F2y = 0

F2y – Ha = 0

–F1a + F2y(a+b) + Vb(a+b+c) = 0 A


35

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

69/90

GEOMETRIA DELLE AREE

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

70/90

IL BARICENTRO“centro di gravità”, puntoideale dove è posizionata la risultante delle masse di un

sistema

Il baricentro può non appartenere al sistema


36

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

71/90

IL BARICENTRO1 ASSE DI SIMMETRIA Il baricentro appartiene

all’asse

2 ASSI DI SIMMETRIA Il baricentro si trovaall’intersezione dei due assi

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

72/90

BARICENTRO DI MASSE «CONCENTRATE»

x

y

z

P1 ∙ (L+d) + P2 ∙ d = R ∙ (x+d)

R = P1 + P2

P1 ∙ (L+d) + P2 ∙ d = (P1 + P2) ∙ (x+d)

2,9 ∙ (574+100) + 1 ∙ 100 = 3,9 ∙ (x + 100)1954,6 + 100 = 3,9 ∙ x + 390

x = 1954,6 + 100 − 3903,9 = 427 mm


37

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

73/90

3b b

3b

6b

b

x

y

z

= massa volumica costante

3/2b b/2

3b

b/3

3/2b

7/2b

19/3b

F1

F2

F3

|F1|= 9b2 pg

|F2|= 6b2 pg

|F3|= 1/2b2 pg

xG

F1

F2

F3

R

Determinare xG

R = F1 F2 F3 = b2 (9+6+0,5) pg = 15,5b2 pg

RxG = − F1 b− F2 b − F3 b= −b3 ( + + ) pg= − b3 pg

xG = 115,5 b2

2186 b3 ≈ 2,3b

BARICENTRO DI UN SISTEMA PIANO DI MASSE(massa volumica costante)

p=spessore costante

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

74/90

MOMENTI STATICI DELLE AREE

SEZIONE RETTANGOLARE

[L ]

Ipotesi; la densità d’area è costante su tutta la superficie, quindi possiamo non indicarla

x

y

dx

dA

b

h

x

dA = hdx

Sy = xdA = xhdx

Sy = h b2

x

y

dydA

b

h

y

[L ]

dA = bdy

Sx = ydA = ybdy

Sx = bh2


38

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

75/90

G

XG

YG

COORDINATE DEL BARICENTRO

E’ una applicazione del teorema di Varignonin cui R = A = A

XG=SyA

YG=SxA

XG=hb2bh = b

2

YG=bh2bh = h

2

Metà base

Metà altezzaSx=bh2

Sy=hb2

XGA = Sy

YGA = Sx

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

76/90

BARICENTRO DI FIGURE COMPOSTE

SUDDIVISIONE DELLA FIGURA COMPLESSA IN FIGURE ELEMENTARI

ESEMPIO: Momenti statici

Coordinate del baricentro


39

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

77/90

LE PROPRIETA’ GEOMETRICHE IN AUTOCAD

AUTOCAD

Polilinea comando: REGIONE

comando: PROPMASS

[mm]

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

78/90

COSA HANNO IN COMUNE?


40

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

79/90

misura dell’attitudine di un corpo a opporsi al movimentorotatorio intorno ad un asse

MAGGIORE E’ IL MOMENTO DI INERZIA, MINORE E’

“L’ATTITUDINE A RUOTARE”

MOMENTI D’INERZIA

1ρ=ME I

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

80/90

MOMENTO DI INERZIA DI UNA MASSA m

I = mr

Inerzia

r m


41

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

81/90

MOMENTI D’INERZIA ASSIALI

[L ]

[L ]

SEZIONE RETTANGOLARE – momento baricentrico

Jx=bh12 Jy=

hb12

[L ] [L ]

b

hG

X

Y

A Jx= y ∙ dA

Jy= x ∙ dA

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

82/90

SERVE A VALUTARE l’EFFICIENZA DELLE SEZIONI

A = πRxGG

yG

RJx=

π4R Jy=

π4R

G xG

yG

b

h

A = 12 bh Jx=

136 bh Jy=

136 b h

IL «RAGGIO GIRATORE»

IN GENERE A PARITA’ DI AREA SONO PIU “EFFICIENTI” LE SEZIONI CON RAGGIO MAGGIORE

b

h GxG

yGA = bh Jx=

112 bh Jy=

112 b h

ρ=IA

ρx=R2

ρx=h12

ρy=R2

[L]

ρy=b12

ρx=h18

ρy=b18


42

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

83/90

Jx=bh12 =4∙212 = 2,67 cm

A = 8cm4cm

2cm

asse parallelo a b passante per G

G

asse parallelo a h passante per G

G

Jx= 2,67 cm

VARIARE L’ORIENTAMENTO

Jy=hb12 =2∙4

12 = 10,67 cm

Jy= 10,67 cm

ρx=h12

= 212

= 0,58 cm

ρx=1,15 cm

ρy=b12

= 412

= 1,15 cm

ρy= 0,58 cm

x

y

x

y

= 4 = 2

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

84/90

ELLISSE D’INERZIA

ρmin

Ellissed’inerzia

Luogo degli estremi dei raggigiratori

ρ max

G

ρ

ρ

A/2

A/2

x

Ix=2A2 ∙ ρ = A ∙ ρρmax,min

=Imax,

A


43

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

85/90

AUTOCAD


comando: PROPMASS

[mm]


G

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

86/90

AUTOCAD

[mm4]

[mm]


G

ρmax=58962,66

600 = 9,9 mm

[mm4]

ρmin=23849,84

600 = 6,3 mm

ρmax,min =

Imax,

AEllisse

d’inerzia


44

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

87/90

AUTOCAD

[cm4]

[cm]


[cm4]

G

Sezione con due assi di simmetria (baricentro G noto)

ρmax=3600431,72

2000 = 42,4 cm

ρmin=382901,61

2000 = 13,8 cm

ρmax,min =

Imax,

A

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

88/90

AUTOCAD


comando: PROPMASS


[cm4]

[cm]

[cm4]

ρmin=0,060,82 = 0,27 cm

ρmax=0,240,82 = 0,54 cm

ρmax,min =

Imax,

A

G


45

LEZIONE 1


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Forze e coppie

Equilibrio

Vincoli

Geometria



La gravità

89/90


ITALSIDER

Profilario

16 SETTEMBRE 2016

MODULO M1

Ordine degli Architettidella Provincia di

Varese


Ipogea Associati –Torino

[email protected]

Varese 16/09/2016

CORSO DI AGGIORNAMENTO PROFESSIONALE

«PROGETTARE EDIFICI IN ZONA SISMICA»

GLI STRUMENTI

Documents

Architetti CORSO DI AGGIORNAMENTO PROFESSIONALE · Geometria Geometria delle aree Velocità, accelerazione La gravità 17/90 VELOCITA’ E ACCELERAZIONE MODULO 1 Francesco BIASIOLI