Archivo Unidad IV Variables Aleatorias

8/17/2019 Archivo Unidad IV Variables Aleatorias

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Estadística I (451769–451837)

Unidad IV: Variables Aleatorias

Ingeniería Comercial

Universidad de ConcepciónDpto. de Gestión Empresarial

Campus Los Ángeles

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Tipos de Espacio Muestral

Un espacio muestral Ω se dice:

Discreto, si Ω es un conjunto finito o infinito numerable.

Continuo, si Ω es un conjunto infinito no numerable.

Si lanzamos dos monedas perfectas, entonces el espacio muestral es

Ω = {CC ,CS , SC , SS }

el cual resulta ser un espacio muestral discreto, pues es finito.

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Tipos de Espacio Muestral

Si observamos la cantidad de automóviles que llegan a una intersec-ción específica en un lapso de 30 minutos, entonces

Ω = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} = N0

así, Ω es un conjunto infinito numerable y por ende un espacio mues-tral discreto.

Si anotamos la vida útil, en horas, de un modelo cualquiera de unadeterminada marca de automóviles, entonces

Ω = {t ∈ R : t > 0} = [0, +∞[

de este modo, Ω es un espacio muestral continuo, por ser infinito nonumerable.

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Variables Aleatorias

Una función X , que a cada elemento de un espacio muestral Ω leasigna un número real, se conoce como variable aleatoria (v.a.). Esdecir, una variable aleatoria es una función de la forma

X : Ω −→ R (1)

En el concepto de variable aleatoria está implícito el concepto deexperimento aleatorio.

Experimento Variable AleatoriaLanzar dos dados X = suma de las carasLanzar una moneda 30 veces X = no de caras obtenidas

Contar vehículos en una esquina X = novehículos

hora

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El conjunto de todos los valores que puede tomar una v.a. X se

conoce como recorrido de X y se denota por Rec (X ). Suponga que Ω = {s 1, s 2, . . . , s n} es el espacio muestral para un

determinado experimento aleatorio y que X es una variable aleatoriadefinida sobre Ω con recorrido Rec (X ) = {x 1, x 2, . . . , x m}.

Podemos observar que X = x i si y solo si el resultado del experimentoaleatorio es un punto muestral s j ∈ Ω, de tal forma que

X (s j ) = x i

Además, podemos definir una función de probabilidad P X sobre Rec (X )en el siguiente sentido

P X (X = x i ) = P {s j ∈ Ω : X (s j ) = x i }

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P X (X = x i ) debe entenderse como: la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor x i .

Notemos que P X define una función de probabilidad para la variable

aleatoria X . Además, se tiene que P X satisface los Axiomas de Kol-mogorov.

Por simpleza, escribimos P (X = x i ) en vez de P X (X = x i )

Las variables aleatorias siempre se denotan con letras mayúsculas,mientras que los valores que ellas pueden tomar, se denotan con letrasminúsculas.

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Consideremos el experimento de lanzar tres veces una moneda per-fecta.

Definamos la variable aleatoria X como el número de caras obtenidasen los tres lanzamientos.

s CCC CCS CSC SCC SSC SCS CSS SSSX (s ) 3 2 2 2 2 1 1 0

Observamos que el recorrido de la variable X es Rec (X ) = {0, 1, 2, 3}.

Asumiendo que cada punto muestral s i tiene la misma probabilidadde ocurrir, podemos construir fácilmente la función de probabilidad P asociada a X .

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Por ejemplo, podemos calcular la probabilidad de que el no de carasobtenidas en los tres lanzamientos sea igual a 1

P (X = 1) = P {CSS , SCS , SSC }

= 3/8

En general, se tiene que

x 0 1 2 3P (X = x ) 1/8 3/8 3/8 1/8

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Con cada variable aleatoria X , podemos asociar una función llamada

función de distribución acumulada de X .

La función de distribución acumuluda (cdf por sus siglas en inglés)de una variable aleatoria X , denotada por F X (x ), está definida por

F X (x ) = P (X ≤ x ), ∀ x

La cdf para el ejemplo de las monedas es

F X (x ) =

0 si −∞


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Variables Aleatorias La gráfica de F X (x ) nos dice que se trata de una función por tramos,

definida para todos los valores x , no solo los que viven es Rec (X ) =

{0, 1, 2, 3}. A modo de ejemplo, la probabilidad acumulada hasta el valor x = 2.5

viene dada por

F X (2.5) = P (X ≤ 2.5) = P (X = 0, 1, o 2) = 7

8

Theorem

La función F es una función de distribución acumulada si y solo si se cumplen las siguientes tres condiciones:

1. limx →−∞

F (x ) = 0 y limx →∞

F (x ) = 1.

2. F es una función no decreciente de x .

3. F es una función continua por la derecha; es decir,

∀x 0 : limx →x +

0

F (x ) = F (x 0)

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Como ejemplo, consideremos el experimento de lanzar una monedahasta que aparezca la primera cara. Sea p la probabilidad de obtenercara en un lanzamiento cualquiera y definamos la v.a. X como elnúmero de lanzamientos realizados hasta obtener la primera cara.Luego, la función de probabilidad asociada a X es

P (X = x ) = p (1 − p )x −1

, x = 1, 2, . . .

Lo anterior pues de deben obtener x − 1 sellos antes de obtener laprimera cara.

La cdf asociada es

F X (x ) = P (X ≤ x ) =x

i =1

P (X = i ) =x

i =1

p (1 − p )i −1

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De donde obtenemos que

F X (x ) = P (X ≤ x )

=

x i =1

p (1 − p )i −1

= p · 1 − (1 − p )x

1 − (1 − p )= 1 − (1 − p )x para x = 1, 2, . . .

La función anterior es la cdf de una distribución llamada distribución

geométrica, cuya función de probabilidad viene dada por

P (X = x ) = p (1 − p )x −1, x = 1, 2, . . .

Notemos que las funciones involucradas en el ejemplo anterior son

todas discretas .

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Un ejemplo de cdf continua es la función

F X (x ) = 1

1 + e −x

La función anterior corresponde a la cdf de una variable aleatoria quesigue una distribución logística de probabilidades.

Se puede probar fácilmente que la función anterior corresponde a unacdf .

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Una variable aleatoria X es continua si F X (x ) es una función continuade x . Por su parte, X será discreta si F X (x ) es una función discretade x .

Se dice que dos variables aleatorias X e Y están idénticamente dis-tribuidas si poseen la misma distribución de probabilidades.

Para el experimento de lanzar tres veces una moneda perfecta. SeanX = no de caras obtenidas e Y = no de sello obtenidos, entoncesX e Y están idénticamente distribuidas, pero X no es igual a Y .

Theorem

Las siguientes proposiciones son equivalentes: Las v.a. X e Y están idénticamente distribuidas.

F X (x ) = F Y (x ), para todo x .

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PMF y PDF

Asociada a cada v.a. X y a su respectiva cdf F X también existe otrafunción: la función de masa de probabilidad (pmf por sus siglas eninglés) o función de densidad de probabilidad (pdf por sus siglasen inglés). Los términos pmf y pdf se refieren, respectivamente, alos casos discreto y continuo.

La función de masa de probabilidad o pmf de una variable aleatoria

discreta X viene dada por

f X (x ) = P (X = x ), ∀ x

Notemos que la pmf nos sirve para calcular probabilidades en el casodiscreto, ya que

P (a ≤ X ≤ b ) =b

k =a

f X (k )

P (X ≤ b ) =b

k =k 0

f X (k ) = F X (b ), siendo k 0 el primer elemento de Rec (X ).

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PMF y PDF

La función de densidad de probabilidad o pdf de una v.a. continuaX es la función f X (x ) que satisface la siguiente propiedad

F X (x ) =

x −∞

f X (t ) dt , ∀ x

Como f X (x ) en este caso es continua, usando el Primer Teorema

Fundamental del Cálculo resulta la relaciónd

dx F X (x ) = f X (x )

En el caso continuo no tiene sentido calcular probabilidad puntual

pues P (X = x ) = 0 si X es continua. En este caso solo tiene sentidocalcular probabilidades para un intervalo según la expresión

P (a ≤ X ≤ b ) =

b a

f X (x ) dx

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PMF y PDF

De la expresión anterior se desprende que

P (a ≤ X ≤ b ) = F X (b ) − F X (a)

Notemos que

P (a < X


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PMF y PDF

Theorem

Una función f X (x ) es una pmf (o una pdf) de una variable aleatoria X si y solo si:

f X (x ) ≥ 0 para todo x .

x

f X (x ) = 1 (pmf), o bien ∞−∞

f X (x ) dx = 1 (pdf)

La expresión “X tiene una distribución de probabilidad dada por f X (x )”suele abreviarse simbólicamente como “X ∼ f X (x )”. De igual forma

puede interpretarse “X ∼ F X (x )”.

Para indicar que X e Y están idénticamente distribuidas, suele ano-tarse “X ∼ Y ”.
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