Upload
draguich-macha-chamorro
View
995
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Arcos planosJ. T. Celigeta
Arcos planos. DefinicinDirectriz curva plana. Seccin transversal despreciable. Curvatura pequea: radio mucho mayor que el canto R>>h Varias condiciones de apoyo en los extremos.
1
Ejemplos
Veldromo olmpico (Atenas)
Puente del Milenio (Londres)
Puente romano (Crcega)
Puente Michigan (Detroit) L=80 m2
Teora bsicaEsfuerzos internos: N, M, Q Hiptesis de Navier: secciones perpendiculares a la directriz curva se mantienen perpendiculares a la directriz deformada R >> h Es aplicable la teora de flexin de vigas, en un dominio curvo (ds sustituye a dx), pero hay acople entre N y M. Energa elstica:
U =
*
N2 M2 ds + ds + N Tmds M Tgds 2EA 2EI
3
Ecuaciones de equilibrioqsM N ds Q+dQ M+dM N+dN Q
Equilibrio radial: Nuevo trmino asociado a N
dQ N = qs + ds R
Equilibrio de momentos:
dM = Q ds
4
Arco triarticulado (I)Isosttico
C fB fA B h A LA LB
Se aplica la frmula de los prticos planos b=2 n=3 r=4 c=1 6 b + r = 165
3 n + 3 b + c = 16
h=0
Arco triarticulado (II)CY CX CY fB fA B h A LA LB
( M AAC ) = 0 ( M BBC ) = 0 6
extAC C x fA + C y LA + M A =0
CX, CYextCB C x fB + C y LB + M B =0
Arco triarticulado simtrico. Carga uniforme (1)q
qf
CX
AYL
AX
Forma y(x) sin definir. Por simetra: CY=0 Gran reaccin horizontal en los apoyos (1/f)
qL2 Cx = 8f7
Cy = 0
qL2 Ax = 8f
Ay =
qL 2
Arco triarticulado sin momento flector (2)qL qL2 qx 2 M = x y 2 8f 2q M N Q
M =0qL/2 qL2/8f x
4f y = 2 (Lx x 2 ) L
Parbola simtrica
qL2 qL Q = qx cos + sin cos = 0 8f 28
Sustituyendo forma parablica
Arco triarticulado sin momento flector (3)qL qL2 N = qx sin sin cos 2 8fqL NX = 8f2
L4 L2 2 + x xL + N = q 64 f 2 4 Es siempre de compresin
1/ 2
qL NY = qx 2
Proyeccin horizontal constante
qL 2 2 1/ 2 N A = (L + 16 f ) 8fValor mximo en los apoyos9
NClave
qL2 = 8f
Arco triarticulado parablico. DeformacinFuerza virtual unitaria
V=11/2 1/2
L/2f
L/2f
N
0V
L 1 = cos sin 2f 2CY = N
Q 0V =
L 1 sin cos 2f 2
1 1 1 N 0V ds + (M = 0) M 0V ds = N N 0V ds EA EI EA
10
Arco triarticulado parablico. DeformacinV=11/2 1/2
N 0V =
L 1 cos sin 2f 21/ 2
L/2f
L/2f
L4 L2 2 N = q + x xL + 64 f 2 4
CY =
1 L 1 N cos sin ds = 2f EA 2
1 L 1 N tan cos ds 2f EA 2
CY =
1 L 4 f 2 (L 2x ) dx N 2f EA L
11
Simplificaciones habituales Rigidez axial infinita. Se desprecia la energa debida al esfuerzo axial
1 = =0 EA Momento de inercia variable segn la ley de la secante Flexibilidad a flexin variable segn la ley coseno
I = I 0 sec =
I0 cos
I0 : momento de inercia en la clave
1 1 cos = 0 cos = = EI EI 0Simplifica las integrales pues :
f (x ) ds = f (x ) 12
0
cos ds = 0 f (x )dx
Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (1)q f
M0 q Q0
N0 Q1
M1
N1
L
qL/2
h=1
X1=Axx 1 x
q M 0 = (Lx x 2 ) 2Parablico Sin energa de esfuerzo axial. Inercia variable segn la ley de la secante13
M 1 = y
y=
4f (Lx x 2 ) L2
Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (2)M 1 = y
f11 = f11
= (y ) 2
N 1 N 1ds + M 1M 1ds =0 cos ds =
(y )2 ds
y 2 0 dx
f11 =
80 f 2 L 15
Sin energa de esfuerzo axial. Inercia variable segn la ley de la secante14
Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (3)q M = (Lx x 2 ) 20
M0 q Q0
N0
D1 = N 0 N 1ds M 0 M 1ds = q (Lx x 2 ) (y )ds 2 q D1 = (Lx x 2 ) 0 cos (y ) ds 2 q 0 f L3 D1 = 15 D =1 qL/2
x
D1 qL2 AX = = f11 8f15
Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (4)M0 q Q0
N0
M1 Q1
N1
qL/2
q M = (Lx x 2 ) 20x 1 x
M 1 = y qL2 AX = 8f
2 q 4f 2 2 qL M = M yAX = (Lx x ) 2 (Lx x ) =0 2 L 8f 0
Sustituyendo forma parablica
qL2 qL Q = qx cos + sin cos = 0 8f 2Sin momento flector. Mismo comportamiento que el arco triarticulado16
Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (5)Esfuerzo axial (igual que el triarticulado)N = qx sin qL2 NX = 8f1/ 2
qL qL sin cos 2 8f
2
L4 L2 N = q + x 2 xL + 64 f 2 4 Es siempre de compresin
NY = qx
qL 2
N
NClave
qL2 = 8f
qL 2 2 1/ 2 N A = (L + 16 f ) 8fValor mximo en los apoyos17
Arco biarticulado parablico. Carga puntualD1 = P (L x ) (y )0 cos ds = 2 5P 0 f L2 48
75PL AX = 384 f
P 75x 2 0 M = M yAX = 27x 96 L P M
neg M max = 0.0253PL
x = 9L / 50
M clave = 0.0547PL18
Arco biarticulado. Clculo de la rigidez (1)Clculo de la columna 1: deformacin unidad en IX
K21IX=1
K41 K31
K11
h=1
X1 = K 11
Caso 1
Sin energa de esfuerzo axial. Condicin de compatibilidad:
f11 =
M 1M 1ds =
(y )2 ds
f11X1 = 119
X1 =
1 = f11
1
y ds2
K11
Arco biarticulado. Clculo de la rigidez (2)Clculo de la columna 1K21IX=1
K41 K31
K11
Condicin de compatibilidad:
f11X1 = D1 + 1
D1 = 0 K 11 K =0 21 K 31 = K11 K 41 = 0
X1 =
1 = f11
1
y ds2
K11
K 31 = K 1120
K 21 = K 41 = 0
Arco biarticulado. Matriz de rigidezColumnas 2 y 4 nulas Columna 3 igual a la 1 Agrupando las 4 columnasIX IY
y
JY
JX
KL =
1 0 1 1 2 y ds 0
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
Slo aporta rigidez en la direccin X Sin energa de esfuerzo axial.21
Arco biarticulado parablico. RigidezDirectriz parablica. Inercia segn la secante: I=I0 sec I0 inercia en la clave
y 2ds = y 20 cos ds = y 20dx =
8f 2 L 15EI 0
1 15EI 0 0 KL = 8Lf 2 1 0
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
Si f se anula, no se obtiene la rigidez de la barra recta pues no se ha considerado la energa de axial22
Arco biarticulado circular. Carga uniforme (1)M0 q Q0 N0Q1
M1
N1
yqL/2
x R e
x
1
x
L
h=1
X1=Ax
q M = (Lx x 2 ) 20
M 1 = y
Longitud del arco S=2R Inercia constante. Sin energa de axial
f11 = M 1M 1ds =
(y )2 Rd
y = R cos e
R 2S + 2e 2S 3eLR f11 = 2EI23
x = R sin + L / 2
Arco biarticulado circular. Carga uniforme (2)+
D1 = M M ds = 0 1
D1 =
q 24EI
q (Lx x 2 ) (y )Rd 2
(2RL3 3L2eS 6e 2RL + 6R2eS )
3 2 2 2 q 2RL 3L eS 6e RL + 6R eS X = AX = 12 R 2S + 2e 2S 3eLR
M 1=-yA x
Momento flector
f Ax
q M = M yAX = (Lx x 2 ) (R cos e)AX 20
Momento mximo en la clave x=L/2, =0
M0
qL 2/8
M24
max
q L L2 qL2 = L (R e)AX = fAX 2 2 4 8
Arco biarticulado circular. RigidezDirectriz circular: Radio R, Luz L. Longitud del arco S=2R Inercia constanteParticularizando la expresin general de la rigidez del arco biarticulado
y = R cos e
y ds = (R cos e) ds = 2 2
+
(R cos e)2 Rd
1 0 2EI KL = 2 R S + 2e 2S 3eL R 1 0 25
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
Arco atirantadoNo se transmite reaccin horizontal en A. Tampoco en B para cargas verticales Flexibilidad del tirante
t =
1 L = Kt Et At
N t = K t t + N 0tPretensin de montaje en el tirante: N0t Positiva a traccin Error en longitud del tirante: (positivo ms largo)
t = N 0t t
N t = K t (t t )26
Arco atirantado. Clculo por flexibilidadh=1M0 q Q0 N0
X1=Nt
qL/2
q M 0 = (Lx x 2 ) 2
M 1 = y N 1 = cos
f11 = f11 =
M 1M 1ds + N t1t N t1 =2
(y )2 ds + (1)t (1)
Directriz parablica Inercia segn la secante: I=I0 sec
80 f 2L y 0dx + t = + t 150 1 0 t t 1 t 1 t
qf 0L3 D1 = M M ds N N t N = t 15 27
Arco atirantado. Esfuerzo en el tiranteLa pretensin aumenta el esfuerzo final en el tirante
qf 0L3 + N 0t D 15t X = 1 = Nt = 80 f 2L f11 +1 15tConstante D > 1
Esfuerzo final en el tirante siempre positivo para q hacia abajo y pretensin de traccin Nota: Si t=0 (tensor infinitamente rgido) sale Nt = q L 2 / 8f como en el arco biarticulado28
Arco atirantado. Momento flectorq M = M 0 + XM 1 = M 0 + N t (y ) = (Lx x 2 ) y N t 2Momento sin tirante (Punto A libre) El tirante hace disminuir el momento flector. Disminuye ms cuanto ms arriba (y)
Momento en la clave C:
qL2 MC = M (x = L 2) = f Nt 8Similar al arco biarticulado:biart MC =29
M1=-yNt
qL f AX 8
2
M=M0 y Nt M0
Arco atirantado. Esfuerzo axial qL N = N + XN = 2 + qx sin N t cos 0 1
Axial siempre de compresin Axial sin tirante (Punto A libre) (negativo) La traccin del tirante aumenta el valor de la compresin en el arco.
NC = N tN1 = - cos N0 N=N0 Nt cos30
Arco atirantado. Deformacin del apoyo AEs igual a la deformacin del tiranteN N0t
Nt =
t + N 0t tt
Despejando la deformacin:
t = (N t N 0t )tSustituyendo el valor del esfuerzo en el tirante:
qf 0L3 1 D t N 0t t = + 15D D
D= denominador de la expresin del esfuerzo en el tirante. D>1
Segundo sumando negativo. La pretensin hace disminuir la deformacin del apoyo:31
Arco atirantado pretensado. ResumenSin reaccin horizontal en A. Tampoco en B para cargas verticales Esfuerzo final en el tirante: 3 - siempre positivo para q hacia abajo y pretensin de traccin N t = qf 0L + N 0t 15t D D - la pretensin aumenta el esfuerzo final en el tirante Aparece momento flector - el esfuerzo en el tirante hace disminuir el flector Axial siempre de compresin - La traccin del tirante aumenta el valor de la compresin en el arcoq M = (Lx x 2 ) y N t 2
qL N = + qx sin N t cos 2
La pretensin hace disminuir la deformacin del apoyo.32
qf 0L3 1 D t = + t N 0t 15D D
Arco biempotradoq
M0 Q0
N0y
M1 Q1
N1
y
BCaso 1 Caso 0
Ax 1 x
M 1 = yM2 Qy2
N 1 = cos M3 Q3 N3
N2y
A X X = AY M A
Caso 21 x1 x
Caso 3
M2 = x33
N 2 = sin
M 3 = 1
N3 = 0
Arco biempotradoEcuaciones de compatibilidad:
fX=D
I +J A N 0 cos ds + Tm cos ds Tg yds + M 0yds I 11 + J 11 I 01 x 02 02 0 0 I 11 + J 11 I 20 + J 20 I 10 Ay = N sin ds + Tm sin ds Tg xds M xds I 01 0 I 00 M A I 10 Tgds + M ds
I mn = x m y n ds
m, n = 0,1, 2
J mn = sinm cosn dsEsfuerzos finales:
M = M 0 yAX + xAY M A34
N = N 0 AX cos AY sin
Arco biempotrado parablico. Carga uniformeEnerga axial nulaM 1 = y M2 = x
f jk = M j M k dsM 3 = 1A B
Inercia segn la ley de la secante
8Lf 2 15 2 Lf f = EI 0 3 2Lf 3
L2 f 3 L3 3 L2 2
2Lf 3 L2 2
L
35
Arco biempotrado parablico. Carga uniformeCoeficientes D
D j = M M ds0
j
q
M0 Q0
N0
qL3 f /10EI 0 qL4 / 8EI D= 0 3 qL / 6EI 0
qx 2 M = 20
y
x
A qL2 / 8 f X X = AY = qL / 2 M A 0 36
Mismas reacciones que en el arco isosttico No hay momento en los apoyos
Arco biempotrado parablico. Carga uniformeMomento flector: nulo !!
qx 2 qL2 qL M = M 0 yAX + xAY M A = y +x +0= 0 2 8f 2Axial: igual que en el arco isosttico
L4 L2 N = q + x 2 xL + 64 f 2 4
1/ 2
Es siempre de compresin
N
NClave
qL2 = 8f
qL 2 2 1/ 2 N A = (L + 16 f ) 8fValor mximo en los apoyos37
Arco biempotrado. Clculo de la rigidez (1)M0 N0y
M1 Q1
N1
Columna 1 de K
h=3y
Q0
Caso 1 Caso 0 Descargadox 1 x
M2 Q2
N2Q3y
M3
N3
X1 = AX = K11 X 2 = A = K 21 Y X 3 = M A = K 311
y
Caso 2
Caso 3
x
1
x
38
Arco biempotrado. Clculo de la rigidez (2)Sin energa de esfuerzo axial. Directriz parablica. Inercia segn la secante: I=I0 sec()
fij =
M i M jds
La matriz f es la empleada para el clculo del arco por flexibilidad. El vector D es nulo, pues el caso 0 est descargado. Hay que considerar el desplazamiento impuesto en la direccin X
f X = D + 0
8Lf 2 15 2 Lf EI 0 3 2Lf 3
L2 f 3 L3 3 L2 2
2Lf 3 L2 2
K 1 11 K 21 = 0 K 31 0 L
39
Arco biempotrado. Clculo de la rigidez (3)Repitiendo para las columnas 1, 2 y 3 de K en el nudo I: slo cambia la deformacin unidad
Columna 1
Columna 2
Columna 3
8Lf 2 15 2 Lf EI 0 3 2Lf 3
L2 f 3 L3 3 L2 2
2Lf 3 L2 2
K11 K12 K 21 K 22 K 31 K 32 L
Deformacin impuesta
K13 1 0 0 K 23 = 0 1 0 0 0 1 K 33
fII KII = I
KII = fII 1
Flexibilidad en el nudo I40
Rigidez en el nudo I
Arco biempotrado. RigidezSin energa de esfuerzo axial. Directriz parablica. Inercia segn la secante. I=I0 sec() I0 inercia en la clave 45 4Lf 2 PIX 0 P IY 15 M I = EI 2Lf 0 PJX 45 4Lf 2 P JY M J 0 15 2Lf41
IY
JY
IX I
JX
J
0 12 L3 6 L2 0 12 3 L 6 L2
15 2Lf 6 L2 9 L 15 2Lf 6 2 L 3 L
45 4Lf 2
0 15 2Lf 45 4Lf 2 0 15 2Lf
15 2Lf 0 12 6 3 L L2 6 3 2 L L 15 2Lf 0 12 6 2 L3 L 6 9 2 L L
IX IY I JX JY J
Ejemplo 1qqY
fX
f
Rgido axialmente
H
H
L
L
L
Pilar central infinitamente rgido axialmente Arco parablico, sin energa de esfuerzo axial, inercia segn la secante.42
45I 0 12I + 3 4Lf 2 H E 0 15I 0 + 6I 2Lf H2
0 12I 0 A + L3 H 6I 20 L
15I 0 6I + 2 2Lf H 6I 0 2 L 9I 0 4I + L H
F X X Y = FY M
Ejemplo 1. FuerzasM0=0 qL2/8f
qL/2
qL/2 qL2/8f
Fuerzas de fase 0 en el arco debidas a la fuerza q
q
qL/2 qL2/8f qL2/8f
qL/2
qL2 F 8 f X qL F = Y 2 M 0
No hay momentos en la fase 0
43
Ejemplo 1. Esfuerzos finales en el arco qL2 45 8f 4Lf 2 PIX qL 2 0 P IY 15 0 M I + EI 2Lf = 0 PJX qL2 45 4Lf 2 PJY 8 f qL MJ 0 2 15 0 2Lf 0 12 L3 6 L2 0 12 3 L 6 L2 15 2Lf 6 L2 9 L 15 2Lf 6 2 L 3 L 45 4Lf 2 0 15 2Lf 45 4Lf 2 0 15 2Lf 15 2Lf 0 12 6 3 L L2 6 3 2 L L 15 2Lf 0 12 6 2 L3 L 6 9 2 L L X Y 0 0 0
Hay momentos, producidos por las deformaciones del nudo I
44
Ejemplo 1. Flector en el arcoqL2 45EI 0X 15EI 0 PIX = + 8f 4Lf 2 2Lf qL 12EI 0Y 6EI 0 PIY = + + 2 L3 L2 15EI 0X 6EI 0Y 9EI 0 MI = + + 2Lf L2 L
qx 2 M = PIY x PIX y M I 2fVariacin parablica en xI
IY
IX
45
Ejemplo 2q C1Y 2Y
Arco semi circular uniforme
KC =2X
1X
2EIC 16EI = 3 C R 2S L
R= L/ 2
AL
B
H
3EI 3 + KC H 0 KC 0
0 EA H 0 0
KC 0 3EI + KC 3 H 0
0 F 1X 1X 0 F 1Y 1Y = F 0 2X 2X 2Y F2Y EA H
46
Ejemplo 2. Fuerzas
qL/2 1 F1XL=2R
-F2X
2
F10 X
2RL3 3L2eS 6e 2RL + 6R 2eS q 2qL = = 2 2 12 R S + 2e S 3eLR 3
2qL F = 3 qL 0 F1Y = 2 qL 0 F2Y = 20 2X
47
Ejemplo 2. Ecuacin de equilibrioq
2qL
2qL
qL/2
qL/2
3EI 3 + KC H 0 KC 0 48
0 EA H 0 0
KC 0 3EI + KC 3 H 0
2qL 0 3 1X qL 0 1Y = 2 2qL 0 2X 3 2Y qL EA 2 H
Ejemplo 3. Aadimos un tirante pretensadoq C1Y 2Y
1X
R= L/
2
2X
K AL
B
H
3EI 3 + KC + K H 0 KC K 0 49
0 EA H 0 0
KC K 0 3EI + KC + K H3 0
2qL 0 (N 0 ) 3 1X qL 0 1Y 2 = 2qL 0 2X 0 (N ) 3 2Y EA qL H 2
Disminuyen las fuerzas exteriores
Aumenta la rigidez (poco)