AREA BAJO UNA CURVA

CALCULO INTEGRAL

Sean f(x) una función continua en el intervalo [a,b]. Entonces el

área determinada por la gráfica de f(x) y el eje x en el intervalo [a,b] está dada por la integral.

𝐴 = 𝑎

𝑏

|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥

El signo de valor absoluto garantiza que las partes negativas de la

función f(x) no se restan en la integral.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL

DEFINIDA

𝑎

𝑎

|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 0 (𝑐𝑒𝑟𝑜)

𝑏

𝑏

|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 0 (𝑐𝑒𝑟𝑜)

𝑎

𝑏

|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 + (𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎)

𝑏

𝑎

|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 − 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 "a" 𝑦 "b" son los límites y f(x) es la función tal...

HALLAR EL ÁREA LIMITADA POR LA

PARÁBOLA 𝑦 = 𝑥2, EN EL EJE DE LAS X Y

LAS ORDENADAS 𝑥 = 1 Y 𝑥 = 5

SOLUCIÓN:

1

5

𝑥2 𝑑𝑥

=1

3𝑥3 + 𝐶

5

1=

1

35 3 + 𝐶 −

1

31 3 + 𝐶

=1

3125 + 𝐶 −

1

31 + 𝐶 =

125

3+ 𝐶 −

1

3+ 𝐶 =

125

3=125

3

∴ 𝐴 = 1

5

𝑥2 𝑑𝑥 =125

3𝑈2

LA GRAFICA DE LA FUNCIÓN TAL

SERÍA ASÍ:

LA GRAFICA DE LA FUNCION SERÍA ASÍ:

HALLAR EL ÁREA LIMITADA POR EL CÍRCULO 𝑥2 + 𝑦2 = 36, EN EL EJE DE LAS X Y LAS ORDENADAS 𝑥 = −4 Y 𝑥 = 5

SOLUCIÓN:

𝑥2 + 𝑦2 = 36

𝑦2 = 36 − 𝑥2

𝑦 = 36 − 𝑥2

𝐴 = −4

5

36 − 𝑥2 𝑑𝑥 =𝑥

236 − 𝑥2 +

36

2𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛

𝑥

6

5

−4

=5

236 − 52 +

36

2𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛

5

6−−4

236 − (−4)2+

36

2𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛

−4

6

=5

236 − 25 +

36

2𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛

5

6−−4

236 − 16 +

36

2𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛

−4

6

=5

211 + 18𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛

5

6− −2 20 + 18𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛

−2

3

= 2.5 3.316 + 18 0.985 − −2 4.472 + 18 −0.7297 = 8.29 + 17.73 − −8.944 − 13.1346

= 26.02 − −22.0786 = 26.02 + 22.0786 = 48.0986 = 48.0986

∴ 𝐴 = −4

5

36 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 48.0986 𝑈2

BOSQUEJAR LA CURVA 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝜋

2Y

HALLAR EL ÁREA DE UNA ARCADA

SOLUCIÓN:

PARA ENCONTRAR LOS LIMITES SE HACE LO SIGUIENTE:

𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝜋

2

X Y

0 0

0.5 2

1 2

1.5 2

2 0

LA GRAFICA DE LA FUNCION SERÍA ASÍ

Y de acuerdo con los valores del dominio hay 2 en los que el condominio se obtiene el 0 (cero); así que continuamos y da:

𝐴 = 0

2

2 𝑠𝑒𝑛𝑥

2𝜋 𝑑𝑥 =

2

𝜋 0

2

2 𝑠𝑒𝑛𝑥

2𝜋𝜋

2𝑑𝑥

=2

𝜋−2 cos

𝑥

2𝜋2

0=2

𝜋−2 cos

2

2𝜋 − −2 cos

0

2𝜋

=2

𝜋−2 cos𝜋 − −2 cos 0 =

2

𝜋−2(−1) − −2(1)

=2

𝜋2 + 2 =

2

𝜋4 =

2

𝜋4 =

8

𝜋

∴ 𝐴 = 0

2

2 𝑠𝑒𝑛𝑥

2𝜋 𝑑𝑥 =

8

𝜋𝑈2

CALCULAR EL AREA DE LA FUNCIÓN 𝑥 = 𝑦3 + 9 EN EL EJE

DE LAS Y Y EN LAS ORDENADAS Y=0 Y Y=15

SOLUCION:

𝐴 = 0

15

𝑦3 + 9 𝑑𝑦 =1

4𝑦4 + 9𝑦

15

0

=1

415 4 + 9 15 −

1

40 4 + 9 0

=1

415 4 + 135 − 0 =

50625

4+ 135 =

51165

4=51165

4

∴ 𝐴 = 0

15

𝑦3 + 9 𝑑𝑦 =51165

4𝑈2

LA GRAFICA DE LA FUNCION SERÍA ASI:

Por lo general las coordenadas “x” y “y” de un punto en una curva se expresan

como funciones de una tercera variable, por ejemplo “t”, a la que se le denomina

parámetro; también pueden ser otras letras del alfabeto o las letras del alfabeto

griego. Las ecuaciones de la curva x=f(t) y y=g(t) expresadas en forma paramétrica,

en donde cada valor de “t” da un valor de x y un valor y, dan lugar a un punto de

la curva.

𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝑦 = 𝑔(𝑡)

𝑑𝑥 = 𝑓′ 𝑡 𝑑𝑡

Entonces tenemos:

𝐴 = 𝑎

𝑏

𝑦𝑑𝑥 = 𝑡1

𝑡2

𝑔(𝑡) 𝑓′ 𝑡 𝑑𝑡

HALLAR EL ÁREA DE LA SUPERFICIE LIMITADA POR UNA ARCADA DE

LA CICLOIDE 𝑥 = 𝑎(𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃), 𝑦 = 𝑎 COS𝜃 − 1 Y EL EJE DE LAS X

SOLUCION:

COMENZAMOS CON DAR VALORES A “x” Y ”y” DE LAS DOS FUNCIONES:

COMO VEMOS QUE LA FUNCION TERMINA HASTA 𝟐𝝅 SE HACE LO SIGUIENTE:

𝜃 0 𝝅

𝟔

𝝅

𝟒

𝝅

𝟑

𝝅

𝟐𝟐𝝅

𝟑

𝟑𝝅

𝟒

𝟓𝝅

𝟔

𝝅 𝟕𝝅

𝟔

𝟓𝝅

𝟒

𝟒𝝅

𝟑

𝟑𝝅

𝟐

𝟓𝝅

𝟑

𝟕𝝅

𝟒

𝟏𝟏𝝅

𝟔

𝟐𝝅

X 0 0.024 0.078 0.181 0.571 1.228 1.649 2.118 3.142 4.165 4.634 5.055 5.712 6.102 6.205 6.26 6.283

Y 0 0.134 0.293 0.500 1.000 1.500 1.707 1.866 2 1.866 1.707 1.500 1.000 0.500 0.293 0.134 0

LA GRÁFICA DE ESA FUNCIÓN SERÍA ASÍ:

𝐴 = 𝑎

𝑏

𝑦𝑑𝑥 = 𝑡1

𝑡2

𝑔(𝑡) 𝑓′ 𝑡 𝑑𝑡

𝑥 = 𝑎 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑎𝜃 − 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑦 = 𝑎 cos 𝜃 − 1

𝑑𝑥 = 𝑎 1 − cos𝜃 𝑑𝜃

𝐴 = 0

𝟐𝝅

𝑎 1 − cos𝜃 𝑎 1 − cos 𝜃 𝑑𝜃 = 0

𝟐𝝅

𝑎2 1 − cos𝜃 2𝑑𝜃 = 𝑎2 0

𝟐𝝅

1 − cos 𝜃 2𝑑𝜃

= 𝑎2 0

𝟐𝝅

(cos 𝜃2 − 2 cos 𝜃 + 1)𝑑𝜃 = 𝑎2 0

𝟐𝝅

cos 𝜃2 𝑑𝜃 − 2𝑎2 0

𝟐𝝅

cos 𝜃 𝑑𝜃 + 𝑎2 0

𝟐𝝅

𝑑𝜃

= 𝑎2 0

𝟐𝝅 1

2+ cos 2𝜃 𝑑𝜃 − 2𝑎2

0

𝟐𝝅

cos 𝜃 𝑑𝜃 + 𝑎2 0

𝟐𝝅

𝑑𝜃

=1

2𝑎2

0

𝟐𝝅

𝑑𝜃 + 𝑎2 0

𝟐𝝅

cos 2𝜃 𝑑𝜃 − 2𝑎2 0

𝟐𝝅

cos 𝜃 𝑑𝜃 + 𝑎2 0

𝟐𝝅

𝑑𝜃

=1

2𝑎2𝜃 +

1

2𝑎2𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 2𝑎2𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑎2𝜃

𝟐𝝅

0

=1

2𝑎2 𝟐𝝅 +

1

2𝑎2𝑠𝑒𝑛2 𝟐𝝅 − 2𝑎2𝑠𝑒𝑛 𝟐𝝅 + 𝑎2𝟐𝝅 = 𝝅𝑎2 + 0 − 0 + 𝟐𝝅𝑎2 = 3𝝅𝑎2

∴ 𝐴 = 3𝝅𝑎2 𝑈2

BIBLIOGRAFIAS

Garza Olvera, Benjamín, Cálculo Integral, Matemáticas V DGETI,

1ra Edición, 269-275 págs.

AGUILAR, Gerardo y Castro, Jaime, “PROBLEMARIOS DE

CÁLCULO INTEGRAL”, 1ra edición, División Iberoamericana, Julio 2003, págs. 37-38.

SOFTWARE

GRAPH

MAPLE 14

WOLFRAM|ALPHA