CENAPREDCOORDINACION DE INVESTIGACIONArea de Riesgos Hidrometeorológicos

MANUAL DE OPERACION DEL PROGRAMA AX.EXE(Ajuste de funciones de distribución de probabilidad)

Martín Jiménez Espinosa

RH/05/92Mayo, 1992

CENTRO NACIONAL DE PREVENCION DE DESASTRES

,bq @o j 001909

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SISTEMA NACIONAL DE PROTECCION CIVIL

MANUAL DE OPERACION DEL PROGRAMA AX.EXEAjuste de funciones de distribución de probabilidad)

Martín Jiménez Espinosa

Mayo, 1992

COORDINACION DE INVESTIGACIONRIESGOS HIDROMETEOROLOGICOS

MANUAL DE OPERACION DEL PROGRAMA AX.EXE

INDICE

1 Introducción 1

2 Funciones de distribución de probabilidad 3

3 Ecuaciones para el cálculo de parámetros de las funciones de probabilidad 5

3.1 Método de momentos 53.2 Método de máxima verosimilitud 5

4 Problemas con la función Gamma 8

5 Función Doble Gumbel 9

6 Línea de comandos de AX.EXE 13

7 Menús 14

7.1 Usar archivos 157.2 Crear archivos 157.3 Sistema operativo 157.4 Salir del programa 157.5 Global 167.6 Ajusta una función 17

8 Ejemplo 21

Reconocimientos 23

Referencias 23

MANUAL DE OPERACION DEL PROGRAMA AX.EXE

1 Introducción

El programa AX.EXE ajusta distintas funciones de probabilidad a muestras de datos ycalcula el error cuadrático de cada una de ellas respecto de la muestra.

Las funciones de probabilidad que contempla el programa son las siguientes:Normal, Log-normal, Gumbel, Exponencial, Gamma y doble Gumbel.

Los métodos para calcular los parámetros de las funciones de probabilidad son: pormomentos y por máxima verosimilitud; además, las funciones Log-normal y Gammapueden calcularse para dos o tres parámetros. En la tabla siguiente se muestran lascombinaciones de solución posibles que da el programa:

Tabla 1: Funciones de distribución de probabilidad analizadas y métodos de solución

FunciónMétodos

Momentos Máx. venos.

3 par. 2 par. 3 par. 2 par.

Normal --- 3 ---- 3

Log-normal 3 3 3 3

Gumbel --- 3 ---- 3

Exponencial ---- 3 ---- 3

Gamma 3 3 3 3

Doble Gumbel 3

Se puede usar cada uno de los ajustes por separado, o bien seleccionar la opciónde cálculo global, que calcula los errores cuadráticos de todas las funciones y los muestra

1

en una tabla como la anterior.

Si se elige el cálculo de los ajustes por separado, se pueden extrapolar valores paracualquier período de retorno deseado.

En todos los casos anteriores se pueden imprimir los resultados.

También se despliega en pantalla una representación gráfica de la función dedistribución ajustada y de los valores de la muestra, en una escala doble logarítmica delperíodo de retorno, en el eje horizontal abscisas) y en el eje vertical ordenadas) a laescala en que se manejan los datos de la muestra.

2

2 Funciones de distribución de probabilidad

En la tabla siguiente se agrupan las distintas funciones de probabilidad que se analizan

en el programa:

Nombre Función Parámetros

Normalestandarizada

t_ t=F( t) = f_1 e 2 dt a y B

, V1W

donde t - x - a

R

Lognormal

t ti12dtF( t) = e

13 y bf0 4-7/

donde t - in (x-6) -aR

Gumbel F(x) = e _B i (x - °) a: parámetro deforma

B: parámetro deescala

ExponencialX -a

a y BF(x) = 1- e a

Gamma

F (x) - 1 *

a, B y óar(13)

X X- a^) * -f x-8 a

dxe

aa

donde r 13) :función matemática Gamma

Doble GumbelB -ii (x - °i)

F(x) - p (e ) +

•2 (x - °2)+ 1 - p) (e_e)

3

al, B1, a2, B2 y P

2.1 Consideraciones

1) En el caso de la. función Normal, se usa la siguiente aproximación ref. [1]):

= y - bo + b1Y S 1 + Cly + C2y2

donde y= A ln ( la )^J P

bo = 2.30753 ; /Di = 0.27061 ; Cl = 0.99229 ; C2 = 0.04481

para 0<1/TR S0.5p =1/TR, t = Spara 0.5 < 1/rR s 1.0 p = 1 - 1/rR , t = -S

2) Abramowitz y Stegun (ref. [2]) proponen la siguiente aproximación a la funciónmatemática Gamma:

I (z) = e -zZ z - o.s 27[ (1 + 1 + 1 _ 13 _ 571 + • • • )12z 288z2 518z3 248832z4

y para resolver la integral y calcular la probabilidad asociada a la variable x se usa lasiguiente aproximación:

P(x 2 / y ) = ( x2 / 2)° /2 e -x2/2 ( E1

j' ( V + 2 ) r=12

(x2) r

( y + 2) (v +4)...(v + 2r))

donde x2 =2 x- 8

ay v =2(3

4

3 Ecuaciones para el cálculo de parámetros de las funciones de probabilidad

3.1 Método de momentos

El método de momentos consiste en igualar los valores de los parámetros estadísticos dela muestra con los de la población, es decir, que la media, variancia y asimetría primero,segundo y tercer momentos) de la muestra sean iguales a los de la función de distribuciónde probabilidad.

3.2 Método de máxima verosimilitud

Como su nombre lo indica, el método de máxima verosimilitud busca maximizar la funciónde verosimilitud Lx) para encontrar el mejor ajuste de cada función de probabilidad.Esta función se define como:

N

L = 7L fxi)i =1

(3.1)

donde n es el operador que indica el producto de los valores que representa su argumentosemejante al operador suma E, ya que mientras Ex; = x1 + x2 x3 + ..., el operador nse define como nx; = X1 x2 x3...).

En la siguiente tabla se muestran las ecuaciones ref. [3]), para ambos métodos,que deben resolverse para encontrar el ajuste de cada función de probabilidad que elprograma analiza.

5

F. .D, P. MOMENTOS MAXIMA VEROSIMILITUD

Normal a = media y 3 = desv igual que por momentos

Logn<DrmalN

a = 1 E

ln xi -a )

N1 =1N

R = ÑZ[lnxi -8) -a] 2

^ i

rNa - R N ln(xi - ó) - o

ó = media - desv y 13 = Vln z 2 + 1)

a=ln dZv- 1 lnz 2 + 1)

1 - w2/3 -asime + Vasime2 + 4=

-Z 01/3 y w 2 1'a -i-i )CI - ^ xi - ó

Gumbel a -1.2825 E xie '°`Xi - (media - —1 ) ^ e-aXi = O

1.1 a i•l

Np = in

desv

13 = media -0 . 45desv áN

p-aXi

ni

Exponencial a = desv y p = media - a a = media y 13 = O

Gamma R = 4 desvN

a= w a =1 ^ (xi - -6)y a _

asime 2

ó = media - a *(3

y)w - N2 ^ i-,

^ N

-Ni + ln(xi - 8) - N lna = OEi-1

6

En las ecuaciones anteriores se hicieron las siguientes consideraciones:

media = media de la muestradesv = desviación estándar de la muestra

asime = asimetría de la muestra

De la distribución Lognormal por momentos:

si el parámetro 6 se introduce manualmente, entonces se usarán las fórmulas: a) Por momentos:

Í3desv2= ln [ (media + 8 )

2 + 1] y a = ln(media - 8) - E2

b) Por máxima verosimilitud:

a = ^ lnxi -ó)Y ^ = IÑ^

[lnxi - 8) - a]2Ñ

Si el parámetro 6, para la distribución Gamma por momentos, se introducemanualmente, entonces el valor de B se deberá calcular con la expresión siguiente:

- (media - 8) 2

desv2

De la distribución Gamma por máxima verosimilitud se puede usar la siguienteaproximación:

rR)lnR + 2)1

2p + 2) 12 2) 2 1200 + 2)4

1 1 12520 + 2) 6a + 1 3

1

7

4 Problemas con la función Gamma

Habrá ocasiones en que la función Gamma no pueda ajustarse a alguna muestra de datos,ya sea por que ésta es más bien simétrica, o por que el rango de los parámetros definidospara la solución, mediante el método de máxima verosimilitud con tres parámetros, no seael correcto, es decir, no incluya la solución para esa muestra en especial; sin embargo,pueden modificarse algunos parámetros definidos en el archivo "AJUSTES.PAR" paraencontrar una solución.

Cuadro 7: Parámetros definidos en el archivo "AJUSTES.PAR"

" [ límite inferior Gamma]=" , 0 ,_

"[limite_superior aamma)='^, 100" [Tolerancia^_Gamma]=^, í},^}Ot^ol`" [NCi iteraciones Gamma^=^, 45"[Porcentaje _delitaite infer or Gamma] ="...:::.. 0:.95

En el caso en que no se puedan resolver las ecuaciones de máxima verosimilitudpara tres parámetros, en la opción de cálculo Global, el error cuadrático será 11111.0como se aprecia en el ejemplo de la tabla resumen de errores cuadráticos).

En este caso se sugiere modificar en el archivo AJUSTES.PAR el porcentaje delímite inferior del tercer parámetro por default vale 0.95, por lo que el rango del tercerparámetro queda definido como 0.95*datomrnimo < ó < datomtn;mo)• Los valores que sesugiere probar pueden ser los siguientes: 0.9, 0.8,...,0.1. En caso de que aún así sepresente el error cuadrático igual a 11111.0, entonces no existe solución.

Si el problema se presenta al querer calcular un valor para un período de retornodeterminado, los valores calculados serán todos iguales a -1.0. También puede aparecerel mensaje de error de desbordamiento o de "rebozamiento".

Para solucionar esto se aconseja lo siguiente:

1) Si hay desbordamiento, bajar el límite superior del rango de solución de la funciónGamma por default vale 100).

8

2) Si no aparece el mensaje de error de desbordamiento, pero los valores calculados dela muestra valen -1.0, entonces se deberá aumentar el límite superior del rango desolución de la función Gamma, o bien, aumentar el número de iteraciones para el cálculode la función Gamma.

5 Función Doble Gumbel

La función de distribución de probabilidad Doble Gumbel permite analizar muestras dedatos formadas por dos poblaciones distintas. Es muy útil cuando se tienen datos, degastos máximos por ejemplo, en los que se registran gastos provocados por ciclones, loscuales sobresalen de los demás, ya que forman parte de otra población.

En la tabla del inciso 2 se muestra la función Doble Gumbel y los 5 parámetrosque la definen: a l , Bl, a 2, B2 y P, en donde los subíndices 1 y 2 indican las poblaciones queforman la muestra. P y 1-P son los porcentajes de datos de cada población.

En la tabla resumen de errores cuadráticos opción "Global") se presenta unaprimera aproximación al ajuste de esta función. El procedimiento se basa en escogerarbitrariamente un valor de P igual a 0.8, con lo que la población con datos grandes seríael 20% del número total de ellos; después se ajusta a cada población una función Gumbelsencilla. De esta manera los parámetros que resulten de estos dos ajustes serán los dela función Doble Gumbel y se calcula con ellos el error cuadrático. Por último se puedemejorar dicho ajuste seleccionando en el menú de "Ajustar una función" a la funciónDoble Gumbel.

El ajuste se lleva a cabo, en gran parte, de manera visual. Para ello se parte delos parámetros calculados en la opción Global. Después se muestra el error y la gráficapara dichos parámetros. Enseguida se pregunta si se desea continuar con el análisis. Sies así se teclea "S" o "s", con lo que se muestran en pantalla los parámetros que hasta esemomento representan a la función Doble Gumbel. Para modificar alguno de ellos, amedida que el programa pregunta el nuevo valor de cada uno de estos parámetros, se vanintroduciendo los nuevos valores. Si no se quiere cambiar estos valores sólo se teclea<ENTER>.

9

-lnln F = a (x - 13)

x = - l lnlnl +a F

Si:13

(5.1)

Cuando el programa pregunta si se desea continuar y el ajuste es satisfactorio, seintroduce cualquier tecla excepto "S" o "s".

Existen varias reglas para ir modificando el ajuste de esta función de manerasatisfactoria y se basan en la similitud que existe entre la función Gumbel sencilla, a lacual se le ha transformado previamente con logaritmos para llevar a la ecuación de unarecta:

F = e -e-`(:-p)

ln 1 = e -4(x - p)F

x = -lnln lFm = 1

ab =y=x

entonces: y = mx +b

es decir, si se desea "tener una pendiente más pronunciada" en alguna de las dospoblaciones, su correspondiente parámetro a se deberá disminuir.

Y si se quiere "mover en forma par alela" alguna de las curvas de cada población,se deberá aumentar o disminuir, según que se quiera subir o bajar, al parámetro B.

Para ilustrar lo anterior se mostrará un ejemplo en el que se describe la forma dehacer el ajuste de la función Doble Gumbel. La estación analizada se llama Aguila y elarchivo de datos tiene el mismo nombre.

Al llevar a cabo la función "Global" los resultados que se obtienen son los que sepueden ver en la figura 5.1.

Ahora se analiza en detalle la función Doble Gumbel. Con base en los parámetroscalculados en "Global" se despliega gráficamente el ajuste y se muestra el error cuadráticover figura 5.2).

10

Archivo: AGUILA.AJUDoblo GumbelError cuadrático:a1= 0.0044b1= 671.9a2= 0.0007b2= 2510.9p= 0.e000

1495.4&1= I

-LnLnCTr/Tr-1)-I.

Resultados del archivo: AGUILA.AJUFunción Momentos

3p 2pNAxima verosimilitud

3p 2pNormal ---- 3743.1 ---- 3743.1

Log 1 2SS7.7 2517.7 3615.6 3274.0

Gumbel ---- 2990.7 ---- 3674.5

Exponencial ---- 2453.5 ---- 2442.4

Gamma 2377.9 2515.7 11111.0 3169.9

Doble Gumbel 1495.4Mfnimo error cuadr tico: 1495.4

Calculado por 1a fui-ación: Doble GumbelLDesea imprimir?

Figura 5.1: Salida de resultados de la estación Aguila

Figura 5.2: Fase uno de corrección de ajuste por Doble Gumbel

Como se observa, puede mejorarse aún el ajuste. Si disminuye el porcentaje Pahora se tendrá un error menor ver figura 5.3).

Ahora se aumenta la pendiente de la segunda población y también se recorre haciaarriba ver figuras 5.4 y 5.5).

Archivo: AGUILA.AJU

Doble GumbelError cuadrático:

a1= 0.0044b1= 671.9aZ= 0.8007b2= 2510.9p= 0.7908

1433.3

a1 =11

-LnLn(rr/tr-1

Figura 5.3: Fase dos de corrección de ajuste de la Doble Gumbel

Archivo: AGUILA.AJUtQ Doble Gumbel

Error cuadrático: 967.4

a1= 8.8044b1= 671.9a2= 8.0005b2= 2518.9p= 8.7900

a1=1 -

..^..

^ ^..

. . ..p. -.^..

i-LnLn(?r/7r-1)

Figura 5.4: Fase tres de corrección de ajuste por Doble Gumbel

Por último, en la figura 5.6 se muestran los resultados de extrapolaciones con losparámetros obtenidos de este ejemplo.

De esta manera el error cuadrático se ha disminuido lo mayor posible. Sinembargo, este no puede ser el único ni el mejor criterio para seleccionar los parámetrosde la función Doble Gumbel, por lo que es de mucha ayuda la experiencia que tenga elusuario en este sentido.

12

Arch ivo : AGUILA.AJUtQ Doble Gumbel

Error cuadrbtico: 966.0

a1= 0.0044 a1=1 ^+•

b1= 671.9a2= 0.0005b2= 2540.0p= 0.7900

-LnLnCTr/Tr-1)

Figura 5.5: Fase cuatro de corrección de ajuste por Doble Gumbel

Archivo: AGUILA.AJUtQ

.

Doble GumbelError cuadrfitico: 966.0

y-- ....Presione cualquier tecla ... -L11LnCTr/Tr-1)

Figura 5.6: Extrapolación de valores para la función Doble Gumbel

6 Línea de comandos de AX.EXE

Se puede ahorrar tiempo si desde la misma línea de comandos, se define un archivo en

especial para trabajar, o bien, un directorio desde el que se puedan leer los archivos de

trabajo, o ambas cosas al mismo tiempo. La manera de proceder es la siguiente:

1) Si se quiere seleccionar un archivo para trabajar se deberá teclear lo siguiente:

ax {nombre del archivo}

13

la opción entre llaves es lo que debe añadirse.

Ejemplo: si se quiere trabajar con el archivo llamado "tetel.aju" en el directorio de

trabajo (el directorio que contiene al programa), la línea de comando será:

ax tetel ó ax tetel.aju

2) Si se desea seleccionar un directorio y un archivo para trabajar diferente al que tiene

el programa, se deben poner las siguientes opciones:

ax {nombre del archivo} {ruta o directorio}

Ejemplo: si se quiere trabajar con el archivo llamado "tetel.aju" en el directorio

"B:\datos", la línea de comando será: ax tetel b:\datos\

como se puede apreciar, se deberá poner el símbolo "\" al final de la ruta.

3) Si sólo se quiere indicar una ruta, se deberá teclear lo siguiente en la línea de

comandos: ax {-d} {ruta o directorio}es decir, se deberá anteponer la opción "-d" y luego de un espacio teclear la ruta.

Ejemplo: si se quiere trabajar con el directorio "B:\datos", la línea de comando

será: ax -d b:\datos\

7 Menús

La forma de usar el programa es por medio de menús. La selección de las opciones de

cada menú se hace moviendo el cursor, representado por el símbolo "J", con las teclas de

movimiento de cursor, o bien oprimiendo la tecla resaltada con rojo de cada opción. En

el primer menú se tienen las opciones siguientes:

Menú 1

Usar archi. vosCrear archivosSistema operativoSalir del programa

14

7.1 Usar archivos

Esta opción sirve para desplegar el directorio y elegir alguno de los archivos con extensión"AJU". En el directorio sólo se despliegan los archivos con esta extensión, pero se puedeintroducir el nombre del archivo con cualquier otra. Si se desea ver archivos con otrasextensiones puede usarse la opción Sistema operativo y desplegar un directorio.

Los archivos que se usen con otra extensión deberán estar en formato ASCII, paraque puedan ser leídos, por lo que pueden exportarse de LOTUS o dBASE por ejemplo,y después utilizarse por este programa.

7.2 Crear archivos

El programa cuenta con la posibilidad de capturar archivos y salvarlos en formato ASCII,que pueden ser utilizados para realizar los ajustes. Este editor es muy sencillo y sólopueden corregirse valores erróneos, una vez que se ha terminado la capturado.

7.3 Sistema operativo

Mediante esta función se puede acceder al sistema operativo momentáneamente, parahacer tareas tales como copiar, renombrar y ver archivos y si la computadora tienecapacidad, correr otros programas. Para regresar al programa de ajustes sólo se deberáteclear la palabra "exit".

7.4 Salir del programa

Con esta opción se dará por terminado el uso del programa. En los subsiguientes menúsla opción "Salir" permitirá regresar al menú anterior.

El siguiente menú que aparece en el programa es el que se muestra a continuación:

15

FunciónResumen de errores cuadráticosMomentos Máxima verosimilitud3 p 2p 3p ;;; 2p,:

Normal 3743.1 ---- 3743.1

Lognormal 2557.7 2517.7 3574.6 3274.0

Guimbel 2990.7 --- 3674.5

2453.5 ---.._._....._ 2442.4 _..

Gamma ' 2377.9 2515:7 11111.0 3169:9`

Doble Gumbet : --------» 1433.3 ------------

Resultados del archivo: i aguila.aiuMitin" error cuadrático: 1433.3_

Calculado por la función: Doble Gumet

Menú 2

Global

Ajusta una función

Salir

Para acceder a este menú es necesario que se haya seleccionado o creado un

archivo para que pueda ser procesado por las funciones siguientes.

7.5 Global

Esta función permite hacer un análisis de todas las funciones de probabilidad que el

programa contempla, para el archivo seleccionado, y presenta en una tabla un resumen

de errores cuadráticos, con lo cual se tiene una idea de cuales serán las funciones que

mejor se ajustan a la muestra de datos.

El error cuadrático que se calcula en este programa es el que se define como:

N

e. c. =dato muestra, - dato calculado)2=1

En el siguiente cuadro se presenta un ejemplo de la tabla resumen:

Tabla resumen de errores cuadráticos

(7.1)

16

Si para las funciones Gamma o Lognormal de tres parámetros no se puede hacerel ajuste, el error cuadrático correspondiente a cualquiera de los métodos de solución,será de 11111.0. Esto se puede apreciar en el cuadro anterior.

Sin embargo, puede buscarse una solución modificando al rango de valores posiblesdel tercer parámetro que tiene el programa, para resolver esta función. Esto se puedehacer modificando el archivo "AJUSTES.PAR", que acompaña al programa principal verProblemas con la función Gamma).

7.6 Ajusta una función

Esta opción permite analizar al archivo seleccionado con una función de distribución deprobabilidad en especial. Con ello se tiene acceso al tercer menú ver cuadro).

Estas son las funciones que pueden analizarse mediante el programa de ajustes,con la opción de calcular para períodos de retorno distintos que los de la muestra verCálculo para cualquier período de retorno).

Menú 3

0N7.^llla l............ ................... .. . ............................................. ............... ............... .........................................................................

Lügnorma l

iel'

onencial

Gamma

Doble Gumbel

Salir

Si se selecciona a las funciones Lognormal o Gamma, se debe decidir si se haceel ajuste con tres o con dos parámetros. Esto se lleva a cabo mediante el siguiente menú:

17

Momentos

Máxima verosimilitud'Salir

Cálculo del tercer parámetro 002407Dos parámetros

2/3 Dato menorEcuacionesPropuesto

Salir

donde:• Dos parámetros: las funciones Lognormal y Gamma tienen al parámetro o con

un valor igual a cero.• 2/3 del dato menor: el valor de S será dos tercios del valor del dato menor de

la muestra.

• Ecuaciones: el valor de S se calculará mediante las ecuaciones de cada métodomomentos o máxima verosimilitud). Ver inciso 4).

• Propuesto: el valor de S se puede proponer, siempre y cuando este sea menorque el dato menor de la muestra.

Después de estos menús, ya sea que se trate el caso de lognormal y Gamma o delas restantes, aparece otro en el cual se selecciona el método de solución, ya sea pormomentos, o por máxima verosimilitud.

Menú 4

Una vez que se ha definido el método, y en su caso, la forma de calcular el tercerparámetro, el programa realiza el ajuste de la función de probabilidad escogida a lamuestra. De esta manera, los resultados que arroja el programa son los parámetrosestadísticos de la muestra: media, desviación estándar y coeficiente de asimetría, definidosde la siguiente manera:

18

Nmedia = 1 L dato muestra,

N ,= 1

(dato muestra, - media)2desviación estándar =

N- 1

asimetria =N (dato muestra ; - media)3

(N - 1) (N - 2) (desviación estándar)3

También muestra los parámetros de la función ajustada, el valor calculado de cada

uno de los datos de la muestra, así como los errores cuadráticos de cada uno de ellos y

el de toda la muestra (ver Global). En forma opcional se pueden imprimir estos

resultados, o bien, se pueden grabar en un archivo con el mismo nombre del archivo de

trabajo, pero con extensión ".RES".

Enseguida el programa pregunta si se desean calcular valores para períodos de

retorno diferentes a los de la muestra, es decir, lleva a cabo una interpolación o

extrapolación, según sea el caso. Si se desea también pueden imprimirse estos resultados.

Un ejemplo de los resultados anteriores se puede ver en las figuras 7.1 y 7.2.

i Resultados del archivo prueba.AJUir Caños) DatoCi) Valor ajustada Error""2

1 11.08 526.88 272.64 64595.972 5.50 228.50 193.91 706.823 3.67 158.60 152.47 3.494 2.75 118.40 124.72 205.185 2.28 95.40 103.93 72.786 1.83 87.40 87.16 0.067 1.57 79.08 72.93 36.878 1.38 63.10 68.21 8.349 1.22 41.88 48.20 40.9318 1.18 23.88 35.65 159.97

Podia = 139.800 Des ., = 147.123 Aim = 2.408 Error = 256.6Parbmetros de la función Log-normal Cm&x. ver.)

ac = 4.4945 p = 8.8186 = 5.6358

).Desea imprimir?

Figura 7.1: Resultados del ajuste

(7.2)

19

Rutina da extrapol ación Co loterpolaci6v)LA cuantos periodos de retorno quieres extrapolar? CHO=<Entar>)S

1 Tr= 7 10000 Q = S007.9672 Tr= 7 S000 Q = S600.7673 Tr= 7 1000 Q = 4701.1034 Tr= 7 S00 Q = 4313.404S Tr= 7 100 Q = 3411.950

LDesom imprimir?Figura 7.2: Valores calculados con períodos de retorno diferentes

Por último los resultados se grafican en "papel Gumbel", es decir, con una escaladoble logarítmica en función del período de retorno, en el eje de las abscisas y con escalaaritmética en el eje de las ordenadas. Los datos de la muestra se dibujan como puntosy los de la función de probabilidad ajustada con línea continua ver figura 7.3). Semostrará también otra gráfica más pequeña pero con una escala aritmética en ambos ejes,sólo como comparación.

Archiwo: AGUILA.AJUtQ

-_r-

Doble Gurwbe 1Error cundrfitico: 966.0

yPresione cua lquier tecla ... -LnLn(Tr/Tr-1)

Figura 7.3: Gráfica de resultados del ajuste

20

Valores del ar-

chivo PAPAL.AJU

16421694240821372513154 624512612.52293.12160.12883'2120 <>

2618.5. ......... .. .....09.6

535.61874.916861972.62093.71544.32036.82869.81958.41731.72640.62517.7

8 Ejemplo

A continuacióndistribución dePapaloapan, enesta estación es

se resuelve un ejemplo en el que se ajustan diversas funciones deprobabilidad a los datos de gastos máximos anuales de la estaciónel estado de Oaxaca. El nombre del archivo que contiene los datos deel "PAPAL.AJU".

Los resultados de la opción Global son los siguientes:

Resultados del archivo: papal.AJU

Función Momentos

3p 2p

Máxima verosimilitud

3p 2p

Normal ---- 418.7 ---- 410.7

Lognornal 405.4 446.9 1547.4 439.6

Gumbel ---- 562.6 ---- 529.5

Exponencial ---- 823.3 ---- 7156.8

Gamma 11196.9 416.5 472.5 401.5

Doble Gumbel 418.9 ---

Mínimo error cuadrático: 401.5

Calculado por la función: Gamma (máx. ver.) 2 p.

¿Desea imprimir?

Figura 8.1: Resultados de Global para el ar-

chivo PAPAL.AJU

Al resolver la función Gamma de tres parámetros por máxima verosimilitud setienen los resultados que se pueden ver en la figura 8.2. Y los resultados de la rutina deinterpolaciones o extrapolaciones se pueden ver en la figura 8.3, y la representación gráfica para este en la figura 8.4.

i TrResultados del archivo: papal.AJUCanos) Dato(i) Valor ajustado Error''2

21 1.29 1694.88 1883.9? 12094.5022 1.23 1686.08 1761.63 5728.6223 1.17 1642.08 1715.9? 5471.7024 1.13 1546.88 1665.81 14162.8325 1.08 1544.30 1604.65 3641.5926 1.04 1535.68 1523.44 147.94

Media = 2155.766 Das., = 428.904 Asim = 0.054 Error = 472.5Parámetros As la función Gamma Cmáx. ver.)

a = 193.6192 p = 5.1858 6 = 1151.7808nu = 18.37

'.Desea imprimir?

Figura 8.2: Resultados de una función en especial

LA cuantosButina'de extrapolación

periodos de retorno quieresCo interpolación)extrapolar? CHO=<Enter>)10

1 Tr= ? S Dato cal = 2495.8022 Tr= 7 25 Dato cal = 3042.8083 Tr= ? S0 Dato cal = 325 1.6844 Tr= ? 100 Dato cal = 3450.81S Tr= ? 500 Dato cal = 3881.5616 Tr= 7 1008 Dato cal = 4049.377 Tr= ? 2008 Dato cal = 4205.3628 Tr= ? 5000 Dato cal = 4384.999 Tr= ? 75.813 Dato cal = 4441.71410 Tr= ? 10080 Dato cal = 4479.53

LDesea imprimir?

Figura 8.3: Resultados de la extrapolación

Figura 8.4: Representación gráfica

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Reconocimientos

Se agradece al Dr. Ramón Domínguez Mora la revisión crítica de este trabaja

Referencias

1. Berezowsky V., M., Fuentes M., O., Peña S., P., et al,"Métodos numéricos", capítulo A.2.16. del Manual de Diseño deObras Civiles, de la Comisión Federal de Electricidad, México,D.F., 1983.

2. Abramowitz, M y Stegun, I, "Handbook of mathematical fun-ctions", Dover Publications, N. Y., 1972.

3. Domínguez M., R. y Cuadra A., A., "Métodos para el cálculo deavenidas de diseño de vertedores en presas de almacenamiento",informe interno del Instituto de Ingeniería, proyecto 1992, enero1992, México, D.F.

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