Figure piane

poligoni cerchi figure a contorno curvilineo

figure a contorno mistilineo

I due poligoni sono congruenti I due cerchi non sono congruenti

Due figure sono congruenti se sovrapposte coincidono perfettamente

A B C

A A

BB

B CC F

A

BC CC F

F’

F’’

Le figure F, F’ ed F’’ non hanno la stessa forma, non sono quindi congruenti, ma sono formate dallo stesso numero di parti congruenti; diciamo che sono equicomposte (composte dallo stesso numero di parti congruenti).

Essendo equicomposte, hanno tutte la stessa estensione, in quanto occupano la stessa parte di superficie; le chiamiamo allora equivalenti e indichiamo ciò nel seguente modo:

=&F =&F’ F’’ (leggi: “F equivalente a F’ equivalente a F’’ ”)

2 1cm

h

b

Consideriamo un rettangolo avente la base lunga 5 cm e l’altezza lunga 3 cm. Per calcolare la sua area basterà vedere quante volte un’unità di misura è contenuta in esso.

Se scegliamo come unità di misura il centimetro quadrato e L’area del rettangolo si ottiene moltiplicando misura il centimetro quadrato e lo riportiamo in esso, osserviamo che ci sono 15 quadratini, cioè l’area è di 15 cm².

A tale risultato arriviamo moltiplicando fra loro i numeri 5 e 3 che esprimono, in centimetri, la lunghezza della base b e dell’altezza h.

L’area del rettangolo si ottiene moltiplicando la misura della base per quella dell’altezza.

La formula è quindi:

) (

) (

inverseformuleb

Ah

h

Ab

direttaformulahbA

==

×=

llll

Il quadrato è un particolare rettangolo avente la base congruente all’altezza. Per calcolare la sua area possiamo applicare la stessa formula del rettangolo:

llAcioèlhbdovehbA ×===×= , llAcioèlhbdovehbA ×===×= , L’area del quadrato si ottiene moltiplicando la misura del lato per se stessa.

La formula è:

) (

) ( 2

inversaformulaAl

direttaformulalllA

=

=×=

Osserva il parallelogramma ABCD; se da esso ritagliamo il triangolo ABH e lo spostiamo dalla parte opposta, otteniamo un rettangolo equivalente al parallelogramma.

Possiamo quindi affermare che:

h

A

B H b C

D

B

h

A

H b C

D

≡BPossiamo quindi affermare che:

Un parallelogramma è equivalente a un rettangolo avente la stessa base e la stessa altezza.

L’area del parallelogramma si ottiene moltiplicando la misura della base per quella dell’altezza.

La formula è:

) (

) (

inverseformuleb

Ah

h

Ab

direttaformulahbA

==

×=

B H b C ≡B

B

A

Cb

hUn triangolo è equivalente alla metà di un parallelogramma avente la stessa base e la stessa altezza.

DA

h

L’area del triangolo si ottiene moltiplicando la misura della base per quella dell’altezza a essa relativa e

bB C

hquella dell’altezza a essa relativa e dividendo tale prodotto per due.

La formula è:

) ( 2

2

) ( 2

inverseformuleb

Ah

h

Ab

direttaformulahb

A

×=×=

×=

D

A C

D

d2

d1

O

E H

A C

d1

d2 O

Un rombo è equivalente alla metà di un rettangolo che ha per base e per altezza rispettivamente le due diagonali del rombo.L’area del rombo si ottiene moltiplicando le misure delle due diagonali e dividendo tale prodotto

BBF G

diagonali e dividendo tale prodotto per due.

La formula è:

) ( 2

2

) ( 2

12

21

21

inverseformuled

Ad

d

Ad

direttaformuladd

A

×=×=

×=

Disegniamo il trapezio ABCD

Disegniamone due congruenti e sistemiamoli in modo da far coincidere un lato obliquo.

C

A

B H

Db1

b2

h h

b1

b2 b1

b2

Otteniamo un

Un trapezio è equivalente alla metà di un parallelogramma che ha come base la somma delle basi del trapezio e come altezza la stessa altezza.

L’area di un trapezio si Otteniamo un parallelogramma che ha per base la somma delle basi del trapezio e per altezza la stessa altezza.

L’area di un trapezio si ottiene moltiplicando la somma delle basi per la misura dell’altezza e dividendo tale prodotto per due. La formula sarà:

( )

) ( 2

2

) ( 2

2121

21

inverseformulebb

Ah

h

Abb

direttaformulahbb

A

+×=×=+

×+=

A

DC

F

E

G

B

H

l

a

Consideriamo un poligono regolare, per esempio l’ottagono ABCDEFGH. Come vedi si può dividere in 8 triangoli congruenti. In ognuno di questi triangoli la base coincide con un lato dell’ottagono e l’altezza è l’apotema del poligono. Per calcolare l’area dell’ottagono basterà calcolare l’area di uno dei triangoli e basterà calcolare l’area di uno dei triangoli e moltiplicare il risultato per otto:

2

: ,' )6( 2

6 : 22

apA

diventaformulalaquindiesagonodellperimetroilchealtroènonlma

alAcuida

alhbA ot

×=

×

××=×=×=

A

DC

F

E

G

B

H

l

a

Diremo quindi che:

L’area di un poligono regolare si ottiene moltiplicando la misura del perimetro per la misura dell’apotema e dividendo tale prodotto per due.

La formula è:) ( direttaformula

apA

×=

) ( 2

2

) ( 2

inverseformulep

Aa

a

Ap

direttaformulaA

×=×=

=

Calcolare la misura dell’apotema

) (

) (

2

inversaformulaA

l

direttaformulalA

f

alefla

ϕ

ϕ

=

×=

=×=

ffff e φ sono due costanti, detti impropriamente numeri fissi, il loro valore dipende dal tipo di poligono.