Ejemplo Si el lado de un cuadrado aumenta al doble. Qu ocurre
con el rea y su permetro? Consideremos un cuadrado de lado a,
entonces su permetro es 4a y su rea a2. Si su lado aumenta al
doble, ahora medir 2a. Aplicando las frmulas de permetro y rea de
este nuevo cuadrado obtenemos que su permetro es 8a y que su rea es
4a2. Por lo tanto, al comparar los permetros, vemos que aument el
doble (de 4a a 8a) y que el rea aument 4 veces, o sea se cuadruplic
(de a2 a 4a2 ) Suma de reas Algunas veces, el rea de una figura est
formada por la suma de reas de varias figuras, por lo tanto, hay
que descomponerla, luego hacer el clculo de cada parte, y
finalmente, sumarlas para encontrar el rea total. Veamos el
siguiente ejemplo: ABCD cuadrado de lado 4 cm.
Esta figura se descompone en medio crculo y un cuadrado.
Primero, tendremos que calcular el rea del crculo. Como AB = 4 cm,
entonces el radio del semicrculo, mide 2 cm. y su rea es r2 / 2
=
22 cm2cm42
= . Determinemos ahora el rea del cuadrado, A = a2 = 42 = 16
cm2. Sumando ambas reas nos dar el rea total sombreada, o sea 2 2cm
+ 16 2cm = 2( + 8) 2cm Ejercicio 1 Deduce la frmula del rea del
cuadrado en funcin de su diagonal (Recuerda el Teorema de Pitgoras)
Ejercicio 2 Deduce la frmula del rea del rombo pensando a esta
figura como la suma de dos tringulos. Ejercicio 3 Deduce la frmula
del rea del trapecio pensando a esta figura como la suma de otras
de rea conocida.
B
C
A
D
Resta de reas En algunos casos, la solucin se encuentra buscando
la diferencia entre las figuras que forman el sector sombreado. Por
ejemplo: ABCD rectngulo de lado AB = 12 cm. El rea del rectngulo es
AB BC, BC mide lo mismo que el radio de la semicircunferencia, por
lo tanto el producto debe ser 12 cm 6 cm = 72 cm2. Ahora calculemos
el rea del semicrculo de radio 6, o sea r2 / 2, lo cual resulta 18
cm2 El rea sombreada queda determinada por la resta entre el rea
mayor, que es la del rectngulo, y el rea menor, que es el del
semicrculo, o sea 72 cm2 - 18cm2 = 18(4 - ) cm2 rea y volumen de
cuerpos
Cubo: Tiene 12 aristas iguales y 6 caras iguales y cuadradas,
luego, suponiendo que cada arista mide a, se tiene rea = 6a2 V = a3
Paraleleppedo recto: Si llamamos a a la longitud de la base, b a la
profundidad de la base y c a la altura, como las caras opuestas son
iguales entre s, se tiene rea: 2(ab + ac + bc) Volumen: abc Cono:
Se forma por la rotacin de un tringulo rectngulo como lo indica la
figura V = r2.h / 3
A B
D C
Cilindro Se forma por la rotacin de un rectngulo como lo indica
la figura V = r2 h Esfera Se forma por la rotacin de una
semicircunferencia como lo indica la figura
V = 3r34
EJERCITACIN Ejercicio 1: En cunto aumenta el rea de un rectngulo
cuyos lados miden 12 m. y 4 m. si se aumentan ambos lados en un
25%? Ejercicio 2: Calcula el rea del hexgono regular de la figura
sabiendo que est inscripto en una circunferencia de radio 6.
(Sugerencia: divide la figura en tringulos) Ejercicio 3: Si la
arista de un cubo mide 2 cm. y se aumenta en 1 cm., en cunto
aumenta su rea?, y en cunto aumenta su volumen? Ejercicio 4: a)
Determina el rea de cada una de las partes sombreadas: a =10 cm. a
= 8 cm.
b) Calcula el rea de la regin sombreada: AB es el dimetro de la
circunferencia de centro O OB es el dimetro de la circunferencia de
centro C CB = 4 cm.
A B c) Calcula el rea y el permetro de las siguientes
figuras
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES 1.- El rea aumenta 27 m2.
3.- El rea aumenta 30 cm2. El volumen aumenta 19 cm3.
