Topografia Aplicada Agronomia Baitelli / Weschenfelder

C L C U L O D E R E A S Em topografia, a rea de um terreno a ser avaliada sempre uma rea horizontal com a projeo vertical da superfcie do terreno no plano topogrfico, ou seja, a rea produtiva. So os seguintes os processos topogrficos para avaliao de uma rea: PROCESSO MECNICO PROCESSO GEOMTRICO ou GRFICO PROCESSO ANALTICO

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Mtodo das quadrculas Compensao Gauss Mtodo das pesagens Frmulas dos trapzios de Bezout, Simpsom e Poncelet Mtodo dos planmetros Frmula dos segmentos parablicos

Mtodo de equivalncia geomtrica PROCESSO MECNICO

MTODO DAS QUADRCULAS Consiste em contar as quadrculas limitadas pelo polgono. A limitao do mtodo reside na estimativa das pores de quadrculas que ficam cortadas pelo permetro da figura. MTODO DAS PESAGENS Com uma balana de preciso pode-se calcular a rea de uma planta, com base no princpio de que a relao entre as superfcies de dois pedaos de papel homogneos e da mesma espessura a mesma que h entre os respectivos pesos. Desenha-se a planta e recorta-se o papel acompanhando o contorno da figura e processa-se a pesagem.

Recorta-se e pesa-se um quadrado do mesmo papel (por exemplo com 10cm de lado). S/s = P/p S = s P/p

A

B

C

D

10 m

m

10 mm

S = rea do polgono P = peso do contorno do polgono s = rea do quadrado p = peso do quadrado de 10cm de lado. MTODO DOS PLANMETROS Inventado pelo suo chamado Amsler em 1856 permite, com rapidez e eficincia, avaliar mecanicamente a rea de uma superfcie plana, limitada por um contorno qualquer. um dos mtodos de avaliao de reas de polgonos mais utilizados. O planmetro deve percorrer o permetro da rea, no sentido horrio, neste momento o planmetro oferece a leitura de 4 algarismos que justapostos em determinada ordem formam um nmero (N) que associado escala da planta fornece o valor da rea em m2.

PROCESSO GEOMTRICO ou GRFICO

L1

L2

A

BC

D

E

F

GH

d5d1

d2

d6

d3

d7

d4

d8

h1 h2 h3

h4h5

L3 L4

L5

L6

L7

L8

Consiste em dividir a rea total em figuras geomtricas (tringulos, trapzios, e retngulos), efetuar o clculo da rea destas figuras e, posteriormente, o clculo da rea total. um processo que no confere grande preciso devido: (1) a erros grficos decorrentes da medio na prpria planta e da escala do desenho; (2) as aproximaes a que se recorre para transformar trechos curvos em segmentos de reta.

S = b h rea do retngulo S =(bh)/2 rea do tringulo S =(B+b)/2 h rea do trapzio

CompensaoConsiste na substituio de uma superfcie de contorno sinuoso por outra de contorno retilneo que lhe seja mais ou menos equivalente. A medida por compensao exige habilidade do topgrafo, pois a preciso deve ser equivalente e oferece a vantagem de ser mais rpida.

A

B C

D

RETNGULOTRINGULO 2

TRINGULO 1

Perda de rea

Ganho de rea

Frmulas dos Trapzios

a

b

c

a'

b'

c'altur

a (h)

So processos utilizados na avaliao de reas extrapoligonais. O levantamento de um curso d'gua, quase sempre acompanhado de densa vegetao ou de uma estrada ou canal sinuoso, uma operao que demanda muitos cuidados e medidas especiais, razo pela qual deve ser efetuada por processos adequados. Os lados das poligonais de contorno devem acompanhar de perto as sinuosidades dos limites. A abertura de picadas e longas medidas, alm de dificultar a operao, pode fornecer resultados pouco precisos. Para medir a superfcie de um terreno limitado por um permetro curvo formado, por exemplo, por dois cursos d'gua.

M

P

Q Tomaremos 3 pontos M, Q e P, por exemplo, ligados e medidos em tringulo, em virtude de ser esta a forma aproximada do terreno. Os lados das figuras so as diretrizes para o traado dos trapzios auxiliares aba'b', bcb'c', etc., de decomposio dos contornos curvilneos.

rea = (aa + bb)/2 h

COM PE NSA ONo havendo forte sinuosidade da linha, prefervel fazer uso de frmulas baseadas na diviso da figura em trapzios, a intervalos regulares, empregando uma das 3 frmulas clssicas:

y Bezout y Simpson y Poncelet

a b c d

a' b' c' d'e'

perda de rea ganho de rea

e Frmula de Bezout

Em uma rea limitada pelo alinhamento 1-2 e curva AF, dividiremos a mesma em n partes iguais, a superfcie a avaliar fica decomposta em trapzios retngulos. A B

C D EF

b c d e

rea = 1/2 (Y0 + Y1)X + 1/2 (Y1 +Y2)X + ... + 1/2 (Yn-1 + Yn)X

ou

rea = X [(y0+yn)/2 + y1+y2+y3+...+yn-1]

rea = X [(y0+yn)/2 + Yi 1 2x x x x x

y0 y1 y2 y3 y4 y5

BAS

E M

ENO

R

BASE M

AIOR

ALTURA Yi = soma de todas as ordenadas intermedirias

Topografia Aplicada Agronomia Baitelli / Weschenfelder

Frmula de Simpson

Consideremos a mesma figura porm dividida em um nmero par de figuras parciais limitadas por a-c e ABC e tracemos as ordenadas m e n a 2/3X. A

BC

Q

2

m + n 2y1

rea = X/3 [(y0 + yn) + 4yi + 2yp]

onde: 4yi = qudruplo da soma das ordenadas mpares (intermedirias)

2yp = duplo da soma das ordenadas pares (intermedirias) ba cp q

y0 y1 y2

P

2/3 x 2/3 x

x x

m n

Frmula de Poncelet

A diviso da figura tambm feita em um nmero par de partes iguais. Traando-se tangentes curva pelos pontos B e D, obtm-se novos trapzios (1cc1a1 e 2e1c2c), cuja soma das reas ser:

rea = X [(y0+yn)/4 + 2yi - (y1+yn - 1)/4] A E

onde: 1o termo da equao = quarta parte das ordenadas extremas 2o termo da equao = duplo da soma das ordenadas intermedirias 3o termo da equao = quarta parte da soma da segunda e penltima ordenada y0 yn Observao: Pelo desenho pode-se notar que existe um pequeno ganho de

rea, contudo devemos lembrar que estes mtodos somente devero ser empregados quando no houver forte sinuosidade das linhas limtrofes do terreno. 1 2

B

b

C

c

D

d

x x x x

y1 y2 y3

c1 & c2a1 e1

tangentes

Frmula dos Segmentos Parablicos

Determina as reas de polgonos com lados sinuosos. Seja o polgono ABCDEFG transformado no trapzio ABFG e nos segmentos parablicos BCD e DEF. A rea do segmento BCD (S2) deve ser somada rea do trapzio e a do segmento DEF (S3) subtrada desta soma, para termos a rea total do polgono.

A

B

C

DS2

E

F

G

flecha

cordaS3

S1

S = S1 + S2 - S3

As reas dos segmentos parablicos so determinados da seguinte forma:

S = 2/3 corda flecha

Mtodo da Equivalncia Geomtrica

Mtodo da Reduo de Garceau Consiste na transformao geomtrica de um polgono em um

tringulo de compensao de rea equivalente. Seja o quadriltero ABCD. Conduz-se por C a reta CE paralela diagonal BD do quadriltero, at o encontro E com um dos lados prolongados, por exemplo AD. O tringulo ABE resultante equivale em rea ao quadriltero dado.

A

B

CD

E

Caso a figura seja um polgono com mais de 4 lados. Considerando-se o polgono ABCDE e, com base na construo geomtrica anterior, traa-se as diagonais CA e CE e, paralelas a estas, as linhas BA' e DE'. A rea do tringulo formado CA'E' corresponder a rea do polgono.

Mtodo de Collignon

B

C

D

A EA' E'

Este mtodo consiste em transformar o polgono em um trapzio ou paralelogramo.

B C

DA

A1

B1

G

F

E

ALTU

RA Determina-se os pontos A1 e B1 que so os meios dos lados AD e AB, respectivamente.

Traa-se uma reta passando por B1 e A1. Prolonga-se o lado CD at encontrar o prolongamento da reta

B1A1, gerando o ponto F. A partir de B, traa-se uma reta paralela ao lado CD at

encontrar a reta B1F, gerando o ponto E. A partir de D, traa-se uma reta paralela ao lado AB at

encontrar a reta B1F, gerando o ponto G. O tringulo AB1A1 equivale ao tringulo A1DG. Note-se que DG

paralelo a AB1. O tringulo BB1E equivale ao tringulo DGF. Note-se que DG

paralelo a BB1, e tambm DF paralelo a BE. Portanto, a rea do TRAPZIO BCFE equivalente rea do

QUADRILTERO ABCD.