Upload
ada-udar
View
241
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
&RQFXUVXO�QD LRQDO�GH�PDWHPDWLF �$5+,0('(�(WDSD�ILQDO �����PDL������
6ROX LL�FODVD�D�,,,�D���D���
��������������������������
�����������������
======−=
=+++=+=+×
HGFED �
�E��&RQVWDW P�F ��� �������������� >=+++++ ��$úDGDU��VXPD�SRDWH�IL�HJDO �FX����QXPDL�GDF �GRX �QXPHUH�FRLQFLG���XQXO�GLQ�QXPHUH�V �ILH�vQORFXLW�FX�DQWHULRUXO�V X�������D���
�����������������
������
=+==⇒=+=+
=+++
EDEDED
DEED�
E���
�������
�����
==⇒=−=−
=−−+
EDEDED
DEED�
����
���������������������������������������
���������������������������������
=+=−+=−+=⇒=++=⇒=++
=⇒=++⇒=++==⇒++=++=⇒++=++
HDFEGGGDD
HH6FFDDEEDD
�
���6H�FRQVLGHU �F �GDF �E�HVWH�QXP UXO�E LH LORU�úL�I�QXP UXO�IHWHORU��DWXQFL������ =×+× ISUXQHESUXQH �YHULILF �XUPDWRDUHOH�VLWXD LL��
��E LH L����IHWH���E LH L����IHWH����E LH L����IHWH����E LH L����IHWH�'DF � LQHP�FRQW�F �QXP UXO�E LH LORU�HVWH�PDL�PLF�GHFkW�DO�IHWHORU��vQVHDPQ �F �vQ�JUXS�VXQW���E LH L�úL���IHWH��1XPDUXO�PHUHORU��YD�IL��DúDGDU�� ���������� =+=×+× ���
&RQFXUVXO�QD LRQDO�GH�PDWHPDWLF �$5+,0('(�(WDSD�ILQDO �����PDL������
&ODVD�D�,9�D��
��D��1XP UXO������vPS U LW�OD���G �FkWXO�����úL�UHVWXO����$úDGDU��QXP UXO�F XWDW�HVWH����������� �
RULGH ���������� �
E�� 1XP UXO����vPS U LW�OD���G �FkWXO���úL�UHVWXO����1XP UXO�F XWDW�YD�IL�������������D�� DDDDDD =⇒×=⇒= ��������� ��'HFL�RULFH�QXPDU�GLIHULW�GH�]HUR�������E��3UHVXSXQHP�F �WRDWH�QXPHUHOH�VXQW�GLIHULWH��'DF ��
������������������++++
=++++=6 �5H]XOW �F ��� ���������������
��×=+++= �� ���
RULGH6 ���������� =×=6 �
������� =− �'HFL�XQ�QXP U�GLQ�VXP �WUHEXLH�PLúFDW�FX����1XP UXO���QX�SRDWH�IL�PLúFDW�GHRDUHFH�QXPHUHOH�VXQW�QHQXOH��2ULFH�DOW�QXP U�PLFúRUDW�FX���QH�G �XQ�QXP U�HJDO�FX�DOWXO�GLQ�VXP �����D��3URGXVXO� �� �× �DUH�XOWLPD�FLIU ����GHFL� �HVWH���VDX���'DU ��� �� × �HVWH�XQ�QXP U�FX���FLIUH��GHFL���QX�H�EXQ��5 PkQH�F �vQPXO LWRUXO�HVWH����'LQ�vQPXO LUHD�
� � ��� �� =× �VH�YHGH�F � �GLQWUH���VL���WUHEXLH�V �ILH���VDX���
������������� =+=× �ÌQ�DFHVW�FD]��vQPXO LUHD�GHYLQH��
������������������×
FDUH�FRQYLQH�
FRQGL LLORU�SUREOHPHL��ÌQ�DO�GRLOHD�FD]�
������������������×
FDUH�QX�FRQYLQH���
E��6WXGHQWXO�,�vQ���K��VWXGHQWXO�,,�vQ���K PDFKHWD�����6WXGHQWXO�,�vQ���K��VWXGHQWXO�,,�vQ��K PDFKHWD�����6WXGHQWXO�,�vQ��K�VWXGHQWXO�,,�vQ��K �
PDFKHWD= �
����6WXGHQWXO�,�vQ��K��6WXGHQWXO�,,�vQ��K PDFKHWD��
= ����6WXGHQWXO�,�vQ���K��K��VWXGHQWXO�,,�vQ��K PDFKHWD�⇒ �VWXGHQWXO�,�vQ����RUH �
PDFKHWD= �
��6WXGHQWXO�,�vQ����RUH �PDFKHWD���6WXGHQWXO�,�vQ����RUH� �
PDFKHWD= ⇒ �VWXGHQWXO�,,�HIHFWXHD] � �
� �GLQ�PDFKHWD�vQ����RUH��'HFL�DO�GRLOHD�VWXGHQW�WHUPLQ �VLQJXU�PDFKHWD�vQ� RUH������� =⋅ ��
���2EVHUYD LD����6 �FRQVWDW P�F �VXPD�FLIUHORU�SH�ILHFDUH�OLQLH��FRORDQ �úL�GLDJRQDO �WUHEXLH�V �ILH��������������������� ���� ������2EVHUYD LD����3 WU LFD�GLQ�FHQWUXO�FDUHXOXL�WUHEXLH�V �FRQ LQ �FLIUD����ÌQWU�DGHY U��GDF �DU�FRQ LQH�FLIUD����DWXQFL�SH�R�S WU LF �YHFLQ �YD�H[LVWD�FLIUD���FHHD�FH�DU�DQWUHQD��SHQWUX�FRPSOHWDUHD�OLQLHL�VDX�FRORDQHL�UHVSHFWLYH��GLQ�QRX�FLIUD��������� �����FHHD�FH�QX�HVWH�SHUPLV����� �� �����6LWXD LD�HVWH�VLPLODU �vQ�FD]XO�FLIUHL��������������������������� ��'DF �vQ�FHQWUX�DU�IL�FLIUD����VDX����DWXQFL�DU�H[LVWD�R�VLWXD LH�GH�WLSXO����� �� "�,DU�OLQLD�QX�PDL�SRDWH�IL�FRPSOHWDWD�FX�FLIUH�GH�OD���OD�����ÌQ�FD]XO�FLIUHL����VDX�PDL�PDUH����DMXQJHP�OD�VLWXD LL�LPSRVLELOH��GH�WLSXO������ �� "�$úDGDU��OLQLD��VDX�FRORDQD�FDUH�FRQ LQH�FHQWUXO�FDUHXOXL�FD�úL�GLDJRQDOHOH��DUH�XQD�GLQ�IRUPHOH����� �� ����� �� ����� �� ����� �� ���6H�DMXQJH�OD�VROX LD���� �� ���� �� ���� �� ��6DX�URWD LL�DOH�DFHVWHLD��ÌQ�WRWDO���VROX LL��
����� �� ���� �� ���� �� ���
��� �� ���� �� ���� �� ���
�� �� ��
�� �� ���� �� ���� �� ��
6ROX LL��&ODVD�D�9�D��,�� D�� ��������
������������ =⋅=⋅
=++++ �E��'DF �SULQ�UHGXFHUH�OD�DEVXUG�OH�DP�SXWHD�JUXSD�DU�vQVHPQD�F �VXPD�QXPHUHORU�GLQ�ILHFDUH�JUXS �DU�IL�XQ�QXP U�SDU� => VXPD�WXWXURU�QXPUHORU�GH�OD���OD����HVWH�XQ� QU�� SDU�� GDU� =⋅=++++ ������������ QXP U� LPSDU=> QX� SXWHP� JUXSD�QXPHUHOH�GLQ�$�DYkQG�SURSULHWDWHD�GLQ�HQXQ ��
,,�� D� =>++−− ���������������������������� DDDDD � VXPD� ORU� D⋅= ���� �� LDX���������=D LPSDU��
E�� ( ) ���������� ����������������������� ++++=++++=⋅− ��( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )������������������� �������������������� EEEEEE ++++==>== ��
,,,�� UDQ += � �� UEQ += �� �� UFQ += �� �� �<U �� ���++= FED => �������� +
−+
−=
− UQUQUQ => ( ) ������
���
��
=
−−− UQ => �
( ) ����������
=⋅− UQ => ����=− UQ => UQ += ���� => { }����������∈Q �,9�� D��
������������
������
⋅++
⋅+
⋅<D => ��
���������
���
−++−<D => ���
���
−<D =>
���
<D => � �����<D ��� ���
����
��������
����
+−++−>D => ����
���
���
+−>D �=> ����
������
+>D => �������>D �=> �SULPHOH�GRX �]HFLPDOH�VXQW���úL����� E�� ������ ��
����
���
������
����� =<=⋅<
+ �
� ������ ���
���
���
������
����� =<=⋅<
+ �
� ««««««««««««««�� ������ ��
����
���
������
����� =<=⋅<
+ � => ED <� �
��
����� ����
��
���
���
��
������
�����
>⇔>⋅=⋅>
+ �
��
����� ����
��
���
���
��
������
�����
>⇔>⋅=⋅>
+ �
� «««««««««««����
������ ��
����
���
���
��
������
�����
>⇔>⋅=⋅>
+ �
� 'HRUHFH� ������
�����������
��������
��=>>=>= � => HVWH� VXILFLHQW� V � DU W P� F �
�
����
��
> �
� � !� ������� > � �$� !� DE �< � !� ��
��
<< ED �� �
6ROX LL��&ODVD�D�9,�D��
,�� D�� 'LQ� E������ �� F������ �� ��� � úL� ���������� =++ FED � DYHP� D��� ��( ) ���� = ��UH]XOW �F � D�� ��� 'LQ� D�� �UH]XOW �F � .D �= �� =. ∈ ������� FDFE ����������� +−=+ � � !� DFFE ���������� −=+ �=> ( ) DFFE ������� −=+ �
� => ( )DF ������� − �=> SDF ������ =− �� =S∈ ������ ( )DFDQ �� −= ������ ÌQORFXLQG�����úL�����vQ�����DYHP��� SNQ ⋅= ����� �� =SN ∈�� �=> � Q����� ��� E��
( )����
��
��������
����
����
�����=
+⋅++
⋅+
⋅+
⋅
⋅
[[�
<=>
( )
�����
�������
���
����
�����=
+⋅
++⋅
+⋅
+⋅
⋅
⋅
[[<=> �
<=> �����
�������
��
��
��
��
��
����=
+−++−+−+− [[
� => �����
����=
+[[ � <=> �
( ) [[ ⋅=+⋅ ��������� �<=> �<=> � [[ ������������ =+ �<=> � ����=[ �
,,��� 'XS �R�RSHUD LH�GH�WLSXO�GLQ�HQXQ ��VH�vQORFXLHVF�QXPHUHOH� P� �úL� S� �� ( )SP > �FX�QXP UXO� SP−� ��
7HUPHQXO�XOWLP�FDUH�VH�RE LQH�DUH�IRUPD� !� LDU�XOWLPD�FLIU �D�DFHVWXL�QXP U�YD�IL���VDX���GXS �FXP�H[SRQHQWXO�! �HVWH�SDU�VDX�LPSDU��(VWH�HYLGHQW�F � ( )��������� +±±±±= Q! �úL�GHRDUHFH�QXPHUHOH� SP + �úL� SP − �DX�DFHHDúL�SDULWDWH�UH]XOWD�F �SDULWDWHD�H[SRQHQWXOXL��
( )������� +±±±±= QK HVWH�DFHHDúL�FX�SDULWDWHD�OXL ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) �������
������������ +∈+⋅+=+⋅+
=++++ 1QQQQQ GHFL�H[SRQHQWXO�HVWH�LPSDU��'HRDUHFH�! �HVWH�LPSDU�UH]XOW �F �XOWLPD�FLIU �D�QXP UXOXL�UH]XOWDW�SULQ�RSHUD LD�GLQ�HQXQ �HVWH����
,,,�� D��
≡≡≡≡
∠≡∠≡∠
$3$0$6$4$1$5
3$41$06$5⇒ � ( ) 3465/8/$43$56 ≡⇒∆≡∆ �� �
� E�� &56$&6$&5$&0$&6$&1$&5 ��⇒∠≡∠⇒
∠≡∠∠≡∠ �FROLQLDUH��
� $QDORJ�4�3�%�FROLQLDUH��( ) ⇒>⋅>+=∠+∠ �� ������ÖÖ� &%3%&6&% � ����<′∠+′∠ 4&%6%& �XQGH�
6′ úL� 4′ � VXQW� VLPHWULFHOH� OXL� 6� úL� 4� ID � GH� &� UHVSHFWLY� %�� ⇒ � 6&� úL� 4%� VH�LQWHUVHFWHD] �vQ�7��$�úL�7�VXQW�GH�R�SDUWH�úL�GH�DOWD�D�OXL�%&��
� F�� ⇒∆≡∆ $43$56 � DX� vQ O LPLOH� FRQJUXHQWH�( ) ( ) ∈⇒=⇒ $34$G65$G �� ELVHFWRDUHL� 573∠ ��
,9�� )LH� ( )$%) ∈′ � D�v�� ( ) )%&)%&P ′∆⇒=′ ��� � LVRVFHO� ( ) &%)&% ≡′⇒= ���Ö � �����'DU� (%&∆ �HVWH�LVRVFHO��XQJKLXULOH�FRQJUXHQWH�DX������ %&(& ≡⇒ ������'LQ� ��� úL� ��� )&(& ′≡⇒ �� 'DU� ( ) &)(&()P ′∆⇒=′ ��� � HVWH� HFKLODWHUDO�
&)() ′≡′⇒ �úL� )))&)( ′=⇒≡ �GHRDUHFH� )) ′� �DSDU LQ�PHGLDWRDUHL� [ ](& �úL�ODWXULL�[ ]$% )(&∆⇒ �HFKLODWHUDO��
6ROX LL��&ODVD�D�9,,�D��
,�� D�� (FXD LD� GLQ� HQXQ � HVWH� HFKLYDOHQW � FX�( ) ( ) ( ) ( )( )���\��VL������� ���� ==−⇔=−+− \[\\[ � VDX�( ) ( )( )����VL���� �� =−=− \\[ ��
� &D]XO�,�� ( ) �� � =− \[ �� � �� ( ) �� � =−\ �� 5H]XOW �F � ( )����VL��� =−= \\[ �VDX� ( )����VL��� −=−= \\[ ���� 2E LQHP�VROX LLOH�
==��
\[ ���
==��
\[ �
� &D]XO�,,�� ( ) ( ) ����VL���� �� =−=− \\[ �� 'LQ� ( ) �� � =−\ �RE LQHP�\ ��úL�FXP� ( ) �� � =− \[ �UH]XOW � ( ) �� � =−[ �FX�VROX LLOH�
����� == [[ ��� $YHP�VROX LLOH�
==��
\[ ��
==��
\[ �
� ( ) ( ) ( ) ( ){ }������������������=6 ��� E�� &RQVLGHU� ]\[ ≤≤ � FHOHODOWH� FD]XUL� VH� WUDWHD] � VLPLODU�
( ) ( )������� ������� +<++≤⇒+<+≤++≤ ]\[]]]]]\[]] �� FXP� \[] ��� ++ � HVWH� S WUDW� SHUIHFW� \[]] ���� ++=⇒ � VDX�( ) \[]] ��� �� ++=+ ��� &D]XO� ,��
==
⇒=+⇒++= �������
\[\[\[]] �� 'HFL� ]� � S WUDW� SHUIHFW�
ℵ∈=⇒ N���� �N] �&D]XO� ,,�� ( ) \[]\[]] ������� �� +=+⇒++=+ � FRQWU�� �LPSDU� � SDU��
( ) ( ) ( ){ }ℵ∈= NNNN6 ������������������ ��� �,,��� D��'DF � ������� �� +=++=⇒+= SNNQNQ ��
3UHVXSXQHP� F � SXWHP� DYHD� R� DVHPHQHD� DúH]DUH� ⇒SH� ILHFDUH� OLQLH� VXPD�QXPHUHORU�YD�IL�SDU �⇒ VXPD�WXWXURU�QXPHUHORU�YD�IL�SDU ��
� 3H� GH� DOW � SDUWH� VXPD� WXWXURU� QXPHUHORU� YD� IL� ( )( ) ( )( )���������
++=++ SSSS �
LPSDU�⇒ FRQWUDGLF LH��
� 'HFL�SHQWUX�Q�LPSDU�SUREOHPD�QX�DUH�VROX LL��� E��'DF �Q�HVWH�SDU��� ��� SQ �= �� ��������������������������� ����������������������«������N�� �N������N������N������N�����««««��� «««««««««««««««���� «««««««««««««««������N���� ���'DF � �� += NQ �� �≠N SUREOHPD�YD�DYHD�VROX LH�� �� �� �� �� �� �� ��N���� ��N���� ��N���� ��N�����«��� �� �� �� ��� ��� ��� ««««««««««««««««««««««���� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ««««««««««««««««««««««���� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ««««««««««««««««««««««���� ««««««««««««««««««««««««««««««««««««««««���� ««««««««««««««�� ��N���««««««««««««««««««««««���,,,�� D��9RP�DU WD�F �FHOH�GRX �DILUPD LL�VXQW�HFKLYDOHQWH�FX�DILUPD LD��
����WULXQJKLXULOH�VXQW�DVHPHQHD������⇔ ����� FED
FED$%& FKEKDKFKEKDK$ ==⇒===∆ ��� ��
� � FEDFED
&%$ KFKEKDKFKEKD$ ′′′′′′
′′′∆ ′=′=′⇒′
=′
=′
= ��� �
F
F
E
E
D
D
F
F
E
E
D
DKK
KK
KK
FF
EE
DD
KFFK
KEEK
KDDK
′′′′′′
==⇔′
=′
=′
⇒′
=′
=′
⇒ � ��⇒ �HYLGHQW��� �� ⇒ �'LQ�IRUPXOD�GH�FDOFXO�D�PHGLDQHL�
⇒ � ( )( )
( )( )
( )( ) NFED
FEDEFDEFD
DFEDFE
FEDFED
=′+′+′
++=
′−′+′−+
=′−′+′
−+=
′−′+′−+
������
������
������
������
��
��
�� �
⇒ � NFF
FEDFEDFEDFEDN =
′⇒
′+′−′−′+′+′+−−++
= ��
������������
���������� �
$QDORJ� FF
EE
DDND
DEE
′=
′=
′⇒=
′=
′ ��
�� ��
�
� E��&RQIRUP�WHRUHPHL�PHGLDQHL�DYHP��� ( )
�� ���� %&$&$%$' −+
= � úL� ( )�
� ���� $&%&$%%( −+= �� &RQIRUP� HQXQ XOXL�
DUH�ORF�UHOD LD�� ( ) ( ) ���������� ��
��
��� $%$&%&$%%&$&$%$%%($' =−+
+−+
⇔⋅=⋅+ �⇔ �
� ⇔ � ������� ������� $%$&%&$%%&$&$% =−++−+ �⇔ �� ⇔ � ����� ������ $%%&$%%&$% =⇔=+ �⇔ �� �$%%& = ⇔ �⋅= $%%& �� $��� (�� %��� '�� &� �
,9�� D��'DF �6�HVWH�PLMORFXO� VHJPHQWXOXL�$7��GLQ� WULXQJKLXULOH�GUHSWXQJKLFH�$71�úL�$70�UH]XOW ��� ��$76061 == ��DGLF �SXQFWXO�6�VH�DIO �SH�PHGLDWRDUHD�VHJPHQWXOXL�01��� )LH� 710 ′′′ �� �VLPHWULFHOH�SXQFWHORU� 710 �� �ID �GH�ELVHFWRDUHD� $' �D�XQJKLXOXL�$��(YLGHQW� $&1$%0 ∈′∈′ ��� ��'LQ�PRWLYH�GH�VLPHWULH� 1331 ′= �úL� 0330 ′= ������LDU�SDWUXODWHUHOH� 1077 ′′ �úL� 0177 ′′ VXQW�WUDSH]H�GUHSWXQJKLFH��� &XP�3�HVWH�PLMORFXO�OXL� �77 ′ UH]XOW �F � 1330 ′= �úL� 0331 ′= �� ����� 'LQ� ���� úL� ���� UH]XOW � 3130 = �� DGLF � SXQFWXO� 3� VH� DIO � SH� PHGLDWRDUHD�VHJPHQWXOXL�01��� ÌQ�FRQFOX]LH��SXQFWHOH�6��3�úL�PLMORFXO�OXL�01�VXQW�FROLQLDUH��� � $����� �� 0���������������������������������������������0 ′ �����6�� � � � � � � �� � � � � � � 1 ′ ��� 3� 7 ′ ���������������������������� 1��� %��������������7������������������'����������������������������������������&�� �
� E��1RW P� ��� FEDG ++= ��$WXQFL�
� ( )�
�����
��
����
�����
�
DGGGGDDDG
GDGGD
DGGGD
FED
−+−−−=
−+
−−
=−
+−=
+�
� 'HFL��
( ) ( )∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑=
−+−−≥
−+−−−=
−+++−=
+ ����
�����
�����
��� �����
DGGGDDGGGGDDGGGGDDFED
��
�������������� ����
��
���
���� 66EDDEDDDGDGGD ==
+−=
++−=+−=+−−= ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑
�
6ROX LL��&ODVD�D�9,,,�D��
,�� ������D��3UHVXSXQHP� DEED �� + �⇒ ��� ≤+⇒≤+ DE
EDDEED ��'DU� �≥+ D
EED �FRQWUDGLF LH�
FX�SS��I FXW � DEED _�� /+⇒ �� E��3S�� 1DE
EDEDDE ∈+
⇒+���� � Ν∈+⇒ D
EED�� ��
� )LH� ∆⇒−=∆⇒=+−⇒∈=+⇒∈⇒= ���� �� QQ[[1Q[[4[ED[ �S WUDW�
SHUIHFW��� ( )( ) ⇒=+−⇒=−⇒ �� �� NQNQNQ ��
=+=−��
NQNQ � �
=+=−��
NQNQ �
� �� =Q IDOV�� �=Q �� �=N �⇒ � EDDE
ED
=⇒=+ � �FRQWUDGLF LH�����'LQ� �� −=++ D]\[ �UH]XOW �VXFFHVLY��( ) ( ) ( ) ����������� ����������� −=−−+++⇔+−=+++++⇔+−=++ DD\[D]\[DD][\][\]\[DD]\[�
( ) ( ) ⇔+−=+−+−⇔+−=−−++⇔ ���������� �������� DD]\[DD\[]\[ �( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ��������
��������� ]\[DDD]\[
+−+−=−⇒+−=+−+− �� � �
� ��'LQ� �� −=++ D]\[ � ( ) ( ) ���� −=+−+−⇒ D]\[ �� � �� � ��(VWH�HYLGHQW�F � ( ) ( ) ( ) ���� ≥−+−+− γβγαβα �� ( ) 5∈∀ γβα ���� ��FX�HJDOLWDWH�QXPDL�SHQWUX� γβα == ��FDUH�GHYLQH�� ( ) ( )����� γβαγβα ++≥++ ��'DF �vQ�DFHDVW �XOWLP �LQHJDOLWDWH�IDFHP�VXEVWLWXLULOH��
]\[ =−=−= γβα �������� �úL� LQHP�FRQW�GH�UHOD LLOH�� ��úL�� ��VH�RE LQH��( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )�������� �������������� −=−=+−+−≥+−+−=+−=− DD]\[]\[DDD
��GHFL��W]W\W[WQRW]\[ =+=+=⇒=−=− ������������� ��LDU�GLQ�SULPD�UHOD LH�GLQ�LSRWH] �
UH]XOW �� �−= DW ��GHFL� D\ = �� �−= D] ��
,,�� D��)RORVLP�LQHJDOLWDWHD� ( )YX\[
Y\
X[
++
≥+��� �úL�JUXS P�DVWIHO�
( )( ) �
���� ��
���
���
�>
++
≥+
++ FD
FDDF
FFD
D ��� $QDORJ�FHOHODOWH�úL�SULQ�vQVXPDUH�⇒ �LQHJDOLWDWHD�GRULW ��� E��0HWRGD����)RORVLP�FXQRVFXWHOH�LQHJDOLW L��� DEED ��� ≥+ ��� 5ED ∈∀ ��� �úL�� EFDFDEFED ++≥++ ��� ��� 5FED ∈∀ ���� �� $YHP�SH�UkQG���
( ) ( ) ( ) ( )��������������� �������������� +=++=⋅++≥+++=++++=++ DDDDDDDDDDDD��
( ) ( ) ( ) ≥+++=+++++≥++++++++ ������������� ������������ ]\[]\[]]\\[[�� ���� =+=+++≥ \][][\ ��� 0HWRGD����)RORVLP�LQHJDOLWD LOH��� ��
�� EDED +≥
+ �� 5ED ∈∀ ��� �� úL� EFDFDEFED ++≥++ ��� �� 5FED ∈∀ ���� ��� $YHP��
( ) ( ) �����
����
�������� ��������� +=
++≥
++=
++=++ DDDDD[[ �HWF��
� (JDOLWDWH�DYHP�SHQWUX��� ( ) ( ) ( ){ }������������� −−−∈]\[ �,,,�� D��1RW P� D2$ = �� E2% = �� F2& = �� P%& = �� Q$& = �� S$% = ��� ⇒=+⇒⊥ ��� 0&2&202&20 �GLQ�WHRUHPD�PHGLDQHL�
⇒−+
=+−+
���
��� ������ SQPFSED �
� ����� �FEDQP ++=+ � ����$QDORJ�� ����� �EFDSP ++=+ � ����� ����� �DFESP ++=+ � ����� 'LQ�����úL����� ⇒−=−⇒ ���� EFSQ �GLQ����
( ) ������� ����� =⇒+=⇒+= $2&PFDQDFQ ���� $QDORJ� ( ) ���=$2%P �úL� ( ) ���=%2&P ��� E��)RORVLQG�WHRUHPD�PHGLDQHL� ���� 9'9%9&9$ +=+⇒ ���
� 3UHVXSXQHP�F �9$�HVWH�PXFKLD�ODWXUDO �GH�OXQJLPH�PD[LP �( )���� 9'9%9'9%9$ +<+<⇒ �
� 9'9%9$9'9%9$ ��⇒+<⇒ �VXQW�OXQJLPLOH�ODWXULORU�XQXL�WULXQJKL��,9��D��([LVW �XQ�SODQ�FDUH�QX�HVWH�SDUDOHO�FX�QLFL�XQD�GLQWUH�GUHSWHOH�IRUPDWH�GH�RULFDUH�GRX �GLQWUH�FHOH������GH�SXQFWH�GDWH��) U �D�PLFúRUD�JHQHUDOLWDWHD��SXWHP�SUHVXSXQH�F �FHOH������GH�SXQFWH�VH�DIO �GH�DFHHDúL�SDUWH�D�DFHVWXL�SODQ��'HSODV P�DFHVW�SODQ�SDUDOHO�FX�HO�vQVXúL�vQ�VHPLVSD LXO�LQ�FDUH�VH�J VHVF�FHOH������GH�SXQFWH��'LQ�PRGXO�vQ�FDUH�D�IRVW�DOHV�SODQXO��SXQFWHOH�VXQW�LQWHUVHFWDWH�XQXO�FkWH�XQXO��QHILLQG�SRVLELO�FD�GRX �SXQFWH�GLVWLQFWH�V �VH�J VHDVF �VLPXOWDQ�vQ�DFHHDúL�SR]L LH�WUDQVODWDW �D�SODQXOXL�UHVSHFWLY��'XS �FH�VXQW�LQWHUVHFWDWH�SULPHOH���SXQFWH��FRQVWUXLP�WULXQJKLXO�IRUPDW�GH�DFHVWHD��$SRL�FRQWLQX P�V �PLúF P�SULQ�WUDQVODWD LH�SODQXO�SkQ �FkQG�LQWHUVHFWHD] ��XQXO�FkWH�XQXO��DOWH�WUHL�SXQFWH��&RQVWUXLP�WULXQJKLXO�IRUPDW�GH�DFHVWHD�úL�FRQWLQX P�PLúFDUHD�GH�WUDQVOD LH�ú�D�P�G��ÌQ�DFHVW�PRG�VXQW�FRQVWUXLWH�FHOH������GH�WULXQJKLXUL�LDU�SURFHGHXO�GH�PDL�VXV�JDUDQWHD] �F �RULFDUH�GRX �GLQWUH�DFHVWH�WULXQJKLXUL�QX�DX�QLFL�XQ�SXQFW�FRPXQ���E���
��������
�
�������������������
����
FP9OOOO99999
O9
=⇒=⇒=⇒⋅+++=+++=
=
�
6ROX LL��&ODVD�D�,;�D��
�,�� L��1RW P�FX�6�DULD�WULXQJKLXOXL�$%&�úL�FX� D6 �� E6 �� F6 �DULLOH�WULXQJKLXULORU�3%&��3$&��3$%��$WXQFL�� 6
6DKDG
KG D
D
D
D
D == �� 66
KG E
E
E = �� 66
KG F
F
F = �
� 3ULQ�XUPDUH�� �=++
=++ 6666
KG
KG
KG FED
F
F
E
E
D
D �� LL�� ,QHJDOLWDWHD� GH� OD� SXQFWXO� LL�� UH]XOW � LPHGLDW� GLQ� LQHJDOLWDWHD� FXQVFXW �( ) ( )���� � ]\[]\[ ++≥++ �,,� ���'DF � ( ) �≥QQ[ HVWH�R�SURJUHVLH�JHRPHWULF ��DWXQFL� ��������� �
�� >≥∀⋅= − [NT[[ N
N �úL����� ≠> TT ��DWXQFL��
�
( ) ( ) ( ) ( )T
T[[
TTT
TT[T[T[[[[[[[ Q
NN
Q
N NN ������
���������
��
�
�
����
���
�
� ����
��
��
�
� ���
�� −
−
−=−
−⋅⋅−=−=−
−−
=−
−
= +∑∑ �
��GHFL�� ( ) ( )
��
��
��
���
��
� ���
��
�Q
Q
Q
N NN [[[[[
[[[T[[[[ −
=−
⋅=− ∑−
= +
��
���'DF � ( ) ( ) ( ) ������� ��
��
��
��
���
� ���
�� ≥∀
−=
−=− ∑
−
= +
Q[[
[[
[[[[[
N NN��VFULHP�UHOD LD�
úL�SHQWUX� �+Q �úL�RE LQHP� ( )
−=−
+
−
= +∑
�
��
���
� ���
�� ��
Q
Q
N NN [[
[[
[[[[ ��6F GHP�FHOH�GRX �
UHOD LL�úL�RE LQHP� ( )
−
=−
++
��
�
��
��
���
��
�QQQQ [[
[[
[[
[[[[ ��6F GHP�FHOH�GRX �
UHOD LL��RE LQHP���Q
Q
Q
Q
QQ[[
[[
[[
[[
[[[[
[[[[ ��
��
��
�
���
��
��
�� ++
+
+ −=−⇔−
=− ��GH�XQGH��
���[[
[[
Q
Q =+ � VDX����[[
[[
Q
Q −=+ �� &XP� �≥N[ �� RE LQHP����[[
[[
Q
Q =+ �� ( ) �� ≥∀ Q � úL� GHFL�
( ) �≥QQ[ �HVWH�R�SURJUHVLH�JHRPHWULF �FX�UHOD LD���[[T = ��
,,,��� D��9RP�GHPRQVWUD�XUP WRDUHOH�DILUPD LL��
� $ILUPD LD����'DF � ��� ≥∈ Q1Q �úL� ( )���∈[ �DWXQFL� [Q[QQ ++−<−�� �� 'HPRQVWUD LH��5LGLFkQG�OD�S WUDW�LQHJDOLWDWHD�SUHFHGHQW �RE LQHP��
����������������� �������� +>⇔−<+−⇔−<−⇔−+<− [Q[QQQ[QQ[QQQ�� 8OWLPD�LQHJDOLWDWH�HVWH�DGHY UDW �GHRDUHFH� �≥Q �LPSOLF � �������� � +>>≥ [Q �� $ILUPD LD����'DF � ( )���∈[ �DWXQFL� [ ] ��� =−++ [[ ��� 'HPRQVWUD LH��2EVHUY P�F ��� ���������� � =+<−+=−++<+< [[[[ � vQ� FRQVHFLQW �[ ] ��� =−++ [[ ��� $ILUPD LD����'DF � ���� ≥∈ Q1Q �úL� ( )���∈[ �DWXQFL�[ ] [ ]�� −=−++ Q[Q[Q �� 'HPRQVWUDWLH��'LQ�DILUPD LD���UH]XOW � [Q[QQ ++−<−�� �� 1RW P� [ ]�� −= QK ��5H]XOW � ��� +<−≤ KQK ��GHFL� ( )�� ��� +<−≤ KQK �� 'HRDUHFH�QXPHUHOH�GH� IRUPD� �� −Q � úL� �� −Q � QX�SRW� IL� S WUDWH�SHUIHFWH�� UH]XOW �
( )��� +≤ KQ ��'LQ� LQHJDOLW LOH� [ ] ������ �� +≤<−+=−++<−= KQ[QQ[Q[QQK �
UH]XOW �F ��[ ] [ ]�� −==−++ QK[Q[Q ��E�� &XP� [ ] [ ] P\P\ +=+ �� 5\ ∈∀� � úL� ( ) =P∈∀ � �� QRW P� [ ] =S[ ∈= ��{ } [ )���∈= α[ �VLVWHPXO�GH�PDL�VXV�GHYLQH��
�[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]
[ )
∈=++
=+
������
��
ααααα
ααα��� DGLF ��
[ ] [ ][ ] [ ] [ ]
[ )
∈=+
=
������
��
αααα
αα��VDX�
[ ] [ ][ ] [ ]
[ )
∈=⋅
=
������
��
ααα
αα� ⇔
[ ] [ ]
=
∪
∈
αα
α
�������
����� �
�3HQWUX�
∈ �
����α �� DYHP @�>��@�>� αα =≠= �� LDU� SHQWUX�
∈ �
���α �DYHP @�>�@�>� αα == ��GH�XQGH��
∈ �
���α ��'HFL�VLVWHPXO�DUH�VROX LLOH� α+= S[ �� =S∈ �úL�
∈ �
���α ��
,9�� 9RP�GHPRQVWUD�F � ]]\[ ��� FRVFRV��FRVFRV +−≤+ � ����6 � REVHUY P� F � LQHJDOLWDWHD� ���� HVWH� HFKLYDOHQW � FX�
( ) ( )\[\[\[ +++−≥+ ��� FRVFRV��FRVFRV �VDX�FX��( ) \[\[\[\[\[\[ ������ VLQVLQFRVFRVVLQVLQ�FRVFRVFRVFRV�FRV� +−+−−≥+
� ����,QHJDOLWDWHD�����HVWH�HFKLYDOHQW �FX��
( ) \[\[\[\[ VLQVLQFRVFRV�VLQVLQ�FRV� �� −≥+ � VDX� FX�( ) ( )\[[\[ +−≥+ FRVVLQVLQFRV� � FDUH� HVWH� HYLGHQW � GHRDUHFH� �VLQ ≤[ � úL��VLQ ≤\ ��
'LQ� LQHJDOLWDWHD� ���� UH]XOW � ]\[ FRV�FRVFRV −≥+ ����'HFL� ∑ ≥�FRV [ �����6XPkQG� LQHJDOLWDWHD� ���� úL� DQDORDJHOH� SULQ� VLPHWULH� RE LQHP�∑ ∑ ∑+−≥ [[[ �� FRVFRV��FRV� �VDX�∑ ∑∑ =−≥ [[[ �� VLQFRV�FRV� � � ����
'LQ�����UH]XOW �∑ ∑≥ [[ �VLQ��FRV � ����
'LQ�����úL�����UH]XOW �LQHJDOLWDWHD�GLQ�HQXQ ���
6ROX LL��&ODVD�D�;�D��,�� D��6 �FRQVLGHU P�IXQF LD� 55I →� �� ( ) ��� −++= [[I [[ ��� 6H�REVHUY �F �IXQF LD�I�HVWH�VWULFW�FUHVF WRDUH�FD�VXP �GH�IXQF LL�VWULFW�FUHVF WRDUH��
'HFL�I�HVWH�R�IXQF LH�LQMHFWLY ��'HRDUHFH� ( ) �� =I VH�REVHUY �F �HFXD LD�GLQ�HQXQ �VH�PDL�VFULH� ( ) ( )�I[I = ��5H]XOW � �=[ HVWH�VROX LD�HFXD LHL�GDWH���
� E��6 �REVHUY P�F �HFXD LD�GLQ�HQXQ �VH�PDL�VFULH� ( )( ) ������� =−++−− [[[[[ ��
'DF � ���� =−− [[ DWXQFL� UH]XOW � ��� += [[ � VDX� HFKLYDOHQW� ���
��
=
+
[[��
9RP� FRQVLGHUD� IXQF LD� 55J →� � ( )[[
[J
+
= �
��� �� )XQF LD� J� HVWH� VWULFW�
GHVFUHVF WRDUH� FD� VXP � GH� IXQF LL� VWULFW� GHVFUHVF WRDUH�� 'HFL� J� HVWH� LQMHFWLY � ��'HRDUHFH� ( ) �� =J � UH]XOW � F � HFXD LD� ��� += [[ � VH�PDL� VFULH� ( ) ( )�J[J = �� 'HFL�
�=[ �GHRDUHFH�J�HVWH�LQMHFWLY �� LQkQG�VHDPD�GH�SXQFWXO�D��UH]XOW � { }���=6 ��
,,�� D�� 'HRDUHFH� ��� >+ DE � HFXD LD� ��� =−+ E[D[ � DUH� U G FLQLOH� UHDOH� �� [[ ≠ � úL�
NN [ED[ �
=+ �� ( )���=N ��( ) ( ) ( ) D[EI[DI[IEDD[EI[DIED[IED
NNNNNN +
+
≥
+⇒+
+
≥++
��������� �� �⇒ �
� ��� �≤
−
N[ID � ⇒ ���
��=
=
[I[I � ⇒ � I�QX�HVWH� LQMHFWLY ��GHFL�SUREOHPD�
QX�DUH�VROX LL��� E��3UHVXSXQHP�F �WRDWH�QXPHUHOH� Q
QQQ &&& ���
�� �������� �VH�GLYLG�FX�����DWXQFL�GLQ��
� ��
��
��
��� ����� −+− == Q
QQQQ
QQ &&&& �úL�VXPD� �������
�� −=−== ∑
−
=
QQQ
N
NQ&6 �VH�GLYLGH�FX������
'DU�( ) =−+=−= − ������ ��
�NN
N6 PXOW��������=−⋅=+ ������
NN6 PXOW�������
=−⋅=+ �������N
N6 PXOW�������DGLF � �≡/Q6 �PRG�����
,,,�� D��)LH� �� =]\[ ∈ �R�VROX LH�vQ�QXPHUH�vQWUHJL�D�VLVWHPXOXL��'HRDUHFH�QXPHUHOH�\�úL� ��� \+ �VXQW�SULPH�vQWUH�HOH�UH]XOW �F �\�GLYLGH�SH�[��$QDORJ�J VLP� \] _ �úL� ][ _ ��� 'HFL� ][\][\ ≤≤≤ ������ ��'LQ�LQHJDOLW LOH�SUHFHGHQWH�UH]XOW � ]\[ == ��� 2EVHUY P�F �QXPHUHOH�[�\�]�DX�DFHODúL�VHPQ��5H]XOW �F � ]\[ == �� LQkQG�VHDPD�
GH�DFHVW�OXFUX�GLQ�SULPD�HFXD LH�D�VLVWHPXOXL�UH]XOW � ( ) ( )��� �� +=+ [[[[ �FHHD�FH�LPSOLF � { }�����−∈[ ��
� 'HFL�VLVWHPXO�DUH�vQ�PXO LPHD�QXPHUHORU�vQWUHJL���VROX LL� ( ) ( ) ( )������������������� −−− ��� E�� )LH� ( )]\[ �� � R� VROX LH� D� VLVWHPXOXL� FX� &]\[ ∈�� � FDUH� HVWH� GLIHULW � GH� FHOH� ��
VROX LL�GH�PDL�VXV���� 2EVHUY P� F � VLVWHPXO� VH�PDL� SRDWH� VFULH� DVWIHO� ��
��
�
++
= \\\[ � � � � � � � ��
��
�
++
= ]]]\ �������
���
��
++
= [[[] � ����
� LQkQG�FRQW�GH�����VLVWHPXO�VH�PDL�SRDWH�VFULH�VXE�IRUPD�
��
��
��
−+
=−+
\\
[[ ��
�
��
��
−+
=−+
]]
\\ ��
�
��
��
−+
=−+
[[
]] �
� )LH� {} && →− ��ϕ �� ( ) ��
−+
= WWWϕ �� �≠W ��
� $WXQFL� VXQW� DGHY UDWH� XUPDWRDUHOH� HJDOLW L��� ( ) ( )�\[ ϕϕ = �� � ( )�]\ ϕϕ = ����( ) ( )�[] ϕϕ = �
� 5H]XOW � F � ( ) ( )[[ ϕϕ =�� � FHHD� FH� HVWH� HFKLYDOHQW� FX� ( ) ( )[ ] ���� =−[[ ϕϕ �� 'LQ�( ) �=[ϕ �RE LQHP��
� ���
=−+
[[ ��GHFL� �−=[ �VROX LH�RE LQXW �DQWHULRU��
� 'LQ� ( ) ��� =[ϕ �RE LQHP� ( ) K[ ωϕ = �XQGH�� ��
�VLQ���FRV ππω KLK
K += ��� �������������=K ��
� 'LQ� ( ) KK[ ωϕ = �UH]XOW � KK
K[[ ω=
−+�� ���GHFL� ��� πKFWJL[K −= �'LQ� ( ) �
KK] ωϕ = �RE LQHP�
���� πKFWJL] K −= �
������������'LQ� ( ) �KK\ ωϕ = �RE LQHP� ��
�� πKFWJL\K −= ��'HFL�VROX LLOH�VLVWHPXOXL�vQ�&�VXQW����
( ) ( ) ( ){ }
=
−−−∪−−−= �����������������������
���������������������������� KKFWJLKFWJLKFWJL6 πππ
��,9�� 6 �FRQVLGHU P���
NNN [[[
N[[[\
+++−+++= ���
���������
�
��� { }QN ��������∈ �
� $YHP�( )
=+++
+−−−−++++
+−++++=−
+++
NNNNNNNN [[[
N[[[[[[[
N[[[[\\ ���
������������������
��
�
�����
�
����
�� ( ) ( )( )
( )( ) �������������
����
����
�����
�
���
�
��
�
�≥
++++++++−
+=+++
+−
++++=
+
+
+++ NNN
NN
NNNNN [[[[[[[N[N
[[[[N
[[[N
[�� { }��������� −∈ QN ��������
� 6 � FRQVLGHU P� IXQF LD� ( ) 5I →∞��� � ( ) [[I �= � úL� V � QRW P� N
[[[ N++=
����� � úL�
�+= N[\ ����� { }������� −∈ QN �
5HOD LD� ���� VH� PDL� VFULH� ( ) ( ) ( )\I[NIN\N[IN +≤
++
+ �� � FDUH� HVWH� DGHY UDW �GHRDUHFH�I�HVWH�FRQYH[ ��'HFL�DP�GHPRQVWUDW�F � Q\\\ ≤≤≤ ������ �5H]XOW � �
�����
�
��
������
������� \[[[[[[Q
Q =+
−+≥++
−+++= �
'HFL� ( )( )MLML
MLQMLQQ [[[[
[[[[
Q[[ +
−≥
++−++
≤≤
�
���
�
�PD[���
����� �
6ROX LL��&ODVD�D�;,�D��,�� D��ÌQ�XUPD�GH]YROW ULL�� ( ) ( )]SD]D]D]$], =+++=+ ��
��
��GHW �
&DDD ∈��� �� ��9RP�DU WD�F � ���� === DDD ��)LH� ��� �� εεε U G FLQLOH�GH�RUGLQXO���DOH�OXL���úL� ��� �� ωωω �U G FLQLOH�GH�RUGLQXO���DOH�OXL�±���$WXQFL�
� ( ) ( ) ( ) ( )����� ���� DDSSS +=+=++ εεε �LDU�� ( ) ( ) ( ) ( )����� ���� DDSSS +−=+−=++ ωωω �� GH�XQGH�VH�RE LQH�� �� � ≤+ D �� �� � ≤+− D �� 'DF � FHO� SX LQ� XQD� GLQ� LQHJDOLW L� HVWH� VWULFW �� FRQIRUP� LQHJDOLW LL� PRGXOXOXL�RE LQHP��� ���� �� <+−++≤ DD �� GH�XQGH�UH]XOW �F ��� ��� �� =+−=+ DD �� 'DU� ( )��
��
�� ���� DDD +=++− �
� GH�XQGH�VH�RE LQH �� =D �VDX� �� =D �� $WXQFL�VH�REVHUY �F ��� &]]D]D] ∈∀≤++ ������
� �GH�XQGH�� �����������
��
� =∈∀≤++ ]FX&]D]D] �3URFHGkQG� DQDORJ� VH� UHGXFH� GLQ� QRX� JUDGXO� SROLQRPXOXL� RE LQkQGX�VH�
����������� =∈∀≤+ ]FX&]D] �úL�DSRL�VH�RE LQH� �� =D �ÌQ�FRQVHFLQ � ( ) �]]S = �E��&DOFXO P��
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
+++++++++
=
=
F]F\F[E]E\E[D]D\D[
]\[]\[
FFEEDD
$%VLQVLQVLQVLQVLQVLQVLQVLQVLQ
���VLQVLQVLQFRVFRVFRV
�FRVVLQ�FRVVLQ�FRVVLQ
�'H�DLFL�� ��GHWGHWGHW =⇒=⋅= G%$$% �$YHP�� ( ) ������
� ≥∀≤+ Q[[ QQ � VDX� ( )( ) ( ) �������� ≥∀≤+− ++ Q[[[[ QQQQ ��'H�DLFL� UH]XOW ��( ) ������� ≥∀≤−+ Q[[ QQ ��
'HRDUHFH� úLUXO� ( ) �≥QQ[ � HVWH� GHVFUHVF WRU� úL�( ) ( ) ������ � ≥∀≥⇒≥∀≥+≥ + QD[QD[[[ QQQQ ��'HFL�úLUXO� ( ) �≥QQ[ �HVWH�FRQYHUJHQW��
,,�� 'DF � ( ) ( ) 5[[JI\ ∈∀+
=⇒= �������� �� � úL� WUHFkQG� OD� OLPLW � FkQG� ∞→[ � UH]XOW �
( ) �� =I ��� 'DF � �=[ UH]XOW � ( ) ( ) 5\����� ∈∀= \JI úL� FXP� ( ) �� =I � UH]XOW �
( ) 5\���� ∈∀=\J ��� $WXQFL����GHYLQH����� ( ) ( ) ( ) 5\�[��� ∈∀+=+ \I[I\[I ���
ÌQ����� ( ) ��� =⇒== I\[ �LDU�GDF � ( ) ( ) 5�[�� ∈∀−=−⇒−= [I[I[\ ��'H�DVHPHQHD�SULQ�LQGXF LH� ( ) ( ) 1Q5[[QIQ[I ∈∀∈∀= ������ ��)LH� DFXP� �>[ � úL� úLUXO� ( ) ∞→=≥ QQQQ \Q[\\ ��������� � úL� GLQ� ��� ( ) D\
\IQQ
Q∞→
→ �� 'DU�( ) ( ) ( )
[[I
Q[Q[I
\\IQ
Q == ���
3ULQ�XUPDUH� ( ) D[[I
= �úL�GHFL� ( ) ��[��� >∀= D[[I ��'DF � �<[ � DWXQFL� ( ) D[[I[ −=−⇒>− � � úL� FXP� I� HVWH� LPSDU � UH]XOW �
( ) ���� <∀= [D[[I ��&XP� ( ) �� =I UH]XOW �F � ( ) 5[D[[I ∈∀= ���� ��
,,,�� D��&RQFOX]LD�UH]XOW �LPHGLDW�GLQ�DSOLFDUHD�IRUPXOHL�OXL�/HLEQL]�� ( )( ) ( ) ( )LKL
K
L
LK
K JI&JI −
=∑=�
$ �� E��'DF � ( ) [WJ[I �= ��DWXQFL� ( ) ( ) �� � ≥+=′ [I[I ��
( ) ( ) ( ) �� ≥′=′′ [I[I[I �� 'LQ� HJDOLWDWHD�( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( )( )[I[I&[I[I[I KQK
Q
K
KQ
QQ −−−
=−
− ∑=′= ��
��
� �� � úL� GLQ� SULQFLSLXO� LQGXF LHL�FRPSOHWH�UH]XOW �F �I�DUH�WRDWH�GHULYDWHOH�SR]LWLYH��'LQ�D��UH]XOW �F �úL�I��DUH�WRDWH�GHULYDWHOH�SR]LWLYH��
� F��9RP�DSOLFD�WHRUHPD�OXL�&DQFK\�IXQF LLORU�� ( ) ( )
[[I[I =� �� � ( ) [[I �
� = �� � [ ] 5II →����� �� �
� $YHP� ( )( ) ( ) ( ) ( )
[[[I[I[
[[[I[[I
[I ���
��
−′=
−′=′ �
� � ( ) ( )( )
( ) ( ) [[[[[I[[I
[I[I
[[[I ���
��
��� ⋅
′−=
′⇒
−=′ �
� ([LVW � ( )���∈F � Dv� ( ) ( )( ) ( )
( )( )FIFI
IIII
��
��������
′′
=−− � ⇔ �
( ) ( )( ) ( )FIFFI
II′−=
−
− ���
�� �
���
� ⇔ �
( ) ( ) ( ) ( )FIFIFII −′=− ���� �,9�� 6 � SUHVXSXQHP� F � { }���∈Q � úL� Q2$% ≠ �� 'LQ� WHRUHPD� OXL� 6\OYHVWHU� UH]XOW �
�== UJ%UJ$ ��� 'HFL�H[LVW � ( )&Q0YX\[ ����� ×∈ �Dv�� 7[\$ = �úL� 7XY% = ��� 'LQ� Q2%$ == �� �UH]XOW � �== YX\[ 77 ��� $YHP� 7777
Q [\XYXY[\%$$%2 +=+= � GH� XQGH� SULQ� vQPXO LUH� OD� GUHDSWD� FX� Q�RE LQHP� �=X[\XY 77 ��� 'HRDUHFH� �≠X �UH]XOW � ( )( ) �=X\[Y 77 �� 'DF � �=[Y7 �DWXQFL� Q2%$ = �FHHD�FH�FRQWUD]LFH� Q2$% ≠ ��� 'DF � �=X\7 DWXQFL� Q2$% = �FHHD�FH�FRQWUD]LFH� Q2$% ≠ ��� 'HFL�$% %$ 2Q��� 3HQWUX�Q ��FRQVLGHU P��
�
=
����������������
�$ � �
−−−−−−
=
����������������
�% �
� $YHP� ���������
�� %$2$%%$%$ ≠=+== ��
� 'DF � �≥Q FRQVLGHU P�
=
−���
�Q
Q 2$$ �
=
−���
�Q
Q 2%% �
� $YHP� QQQQQQQQQ %$2$%%$%$ ≠=+== �� ��� 5H]XOW �F �DILUPD LD�GLQ�HQXQ �HVWH�DGHY UDW �GDF �úL�QXPDL�GDF � { }���∈Q ��
6ROX LL��&ODVD�D�;,,�D��,�� D�� $YHP� ( ) ( )( ) ( ) ���
�ÖÖ�Ö��ÖÖÖ
��ÖÖ�Ö�ÖÖÖ
��ÖÖÖ
=
−
++⇔
++=
+ QQQQQQQQ � VDX�
( ) �Ö��Ö�Ö
��ÖÖÖ
=−
⋅+ QQQ ��
� 'HFL� ( ) �Ö��ÖÖÖ �
=−QQ �� $YHP� ( ) NQQQ ��� =− � =N ∈ �5H]XOW � ��+= 0Q � úL�
��+= 0Q �� E�� { }��Ö�������Ö��Ö��Ö=6 ��,,�� ��� 3RUQLQG� GH� OD� LQHJDOLWDWHD� FXQRVFXW � 5WWW
∈≤≤− ����FRV�� � � RE LQHP�LQHJDOLWDWHD�� WW
WWW
�FRV�
�≤≤− �vQ�FD]XO� �>W � � � � � � ����
� ,QWHJUkQG�LQHJDOLWDWHD�SUHFHGHQW �GH�OD� D[W = �OD� E[W = �FX�[!��RE LQHP��� D
EGWWW[DE
DE E[
D[OQFRV
�OQ ���≤≤
−− ∫ � � � � � � ����
� 7UHFkQG�OD�OLPLW �FkQG� �→[ �vQ������ � � � � �>[ � �� RE LQHP� ∫ =
>→
E[D[
[[ D
EGWWW OQFRVOLP
���
� ���)LH�)�R�SULPLWLY �D�IXQF LHL� ( ) ��FRV≠= WW
WWI ��� 8WLOL] P�WHRUHPD�OXL�O¶+RVSLWDO���
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
��FRVFRVOLP
�OLPOQ
OLPOQVLQVLQ
OLP��
�
������
ED\
D\E\\
D\)DE\)E\
DED\)E\)
[DE[D)[E)
\
\\[[
−=
−=
=′−′
=−−
=−−
→
→→>→ �
,,,�� D��6H�DSOLF �LQHJDOLWDWHD�&DXFK\�6FKZDU]��� &RQIRUP�FX�LQHJDOLWDWHD�&DXFK\�%XQLDNRYNL�6FKZDU]��DYHP���� ( ) ( )
���
���
⋅−≥⋅− ∫∫ G[JIG[JI λλ ��� ( )5∈∀λ �
� (IHFWXkQG�FDOFXOHOH��DYHP��
�( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⋅−
⋅+
≥⋅+⋅− ∫ ∫∫∫∫∫∫
��
��
���
����
��
����
��
� �� G[[JG[[IG[[JG[[IG[[JG[[J[IG[[I λλλλ
�� ⇔
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) �� ��
��
���
���
��
���
���
� ≥
−+−
⋅
⋅−⋅
− ∫ ∫ ∫∫∫∫ ∫ G[[JG[[IG[[J[IG[[JG[[IG[[JG[[J λλ
�� �DYHP�XQ�SROLQRP�GH�JUDGXO���vQ�λ �úL�FRHILFLHQWXO�OXL�D�HVWH�SR]LWLY�GLQ�&�%�6��� $YHP��
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−
−−
−
⋅
=∆ ∫ ∫∫ ∫∫∫∫
��
���
���
���
���
���
�� �� G[[IG[[IG[[JG[[JG[[J[IG[[JG[[I
�� 9RP� RE LQH�
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ≤
+
⋅
⋅
−
⋅
∫∫∫∫∫∫
���
��
��
��
���
��� � G[[J[IG[[J[IG[[JG[[IG[[JG[[I
�� � ��������
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )��
���
��
����
��
����
��
���
�
⋅+
⋅
−
⋅
−
⋅
≤ ∫ ∫∫∫∫∫∫∫ G[[JG[[IG[[IG[[JG[[JG[[IG[[JG[[I
�� )RORVLQG�LSRWH]D�SUREOHPHL��LQHJDOLWDWHD�GH�PDL�VXV�VH�UHGXFH�OD��� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ��
����
���
����
��
���
� ≥
⋅
−
⋅
−
⋅
∫∫∫∫∫∫ G[[IG[[JG[[JG[[IG[[JG[[I ��⇔ �
����� � ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⋅
+
⋅
≥
⋅
∫∫∫∫∫∫
��
����
��
����
��
���
� G[[IG[[JG[[JG[[IG[[JG[[I �
'DF � ( )∫ ≠��
� �G[[I �úL� ( )∫ ≠��
� �G[[J ��$VWIHO��LQHJDOLWDWHD�����HVWH�HFKLYDOHQW �FX��
( )
( )
( )
( )��
��
���
��
�
��� ≤
+
∫∫
∫∫
G[[JG[[J
G[[IG[[I
� � ����
1RW P� FX�( )
( )∫∫
= ��
�
���
G[[IG[[I
$ � úL�( )
( )∫∫
= ��
�
���
G[[JG[[J
% �'HFL�� DP� RE LQXW� F � �≤+ %$
� ����$FXP��FRQFOX]LD�SUREOHPHL�VH�UH]XP �OD�D�GHPRQVWUD�F � �� ≤$% �,QWU�DGHY U��WRWXO�UH]XOW �GLQ� ( ) �� � ≤+≤ %$$% ��IRORVLQG������
'DF � ( ) ���
� =∫ G[[I �VDX� ( ) ���
� =∫ G[[J UH]XOW �F �LQHJDOLWDWHD�����HVWH�DGHY UDW ��,9�� 3HQWUX� *D∈ �YRP�QRWD�FX� ( ) { }D[*[D5 Q
Q =∈= �� 6 �SUHVXSXQHP�SULQ�DEVXUG�F �H[LVW � Q+++ ������ �� �VXEJUXSXUL�SURSULL�DOH�JUXSXOXL�*�FX�SURSULHWDWHD�F ��� Q+++* ∪∪∪= ������ �úL��
Q
LNN
N *+≠=
≠�
�
� )LH� ( )Q+++D ∪∪∈ ���? �� �ùL� �� ? ++E∈ ��$YHP� ( ) ( )QN ++++D5 ∪∪⊆ ���? ��� ����( ) �≥∀ N ��������������ÌQWU�DGHY U�vQ�FD]�FRQWUDU�H[LVW � �≥N �úL�H[LVW � ( ) ( )QN +++D5[ ∪∪∪∩∈ ����� �� 'HFL�H[LVW � { }QM ��������∈ �DVWIHO�vQFkW� M+[∈ �úL� M
N +[D ∈= �)$/6�� )LH� ( )��+= QP ����� ( )D5\ P∈ �úL� E\[ M
M = �SHQWUX�RULFH� { }Q\ ��������∈ �� (YLGHQW� ( )��? ++*E\[ M
M ∪∈= �GHRDUHFH� �� ? ++\ M ∈ �úL� �� ? ++E∈ ��� 'HFL� Q
M ++E\ ∪∪∈ ���� �� 'DF � H[LVW � { } ML����������� >∈ QML � úL� { }QN �����∈ � DX� NML +[[ ∈� � DWXQFL�
NML
ML +\[[ ∈= −−� ��� 'HRDUHFH� ( ) N
SML +\D ∈= − �FX� ( )ML
QS−+
=�� �UH]XOW �FRQWUDGLF LH��
� 'HFL�*�QX�VH�SRDWH�VFULH�FD�R�UHXQLXQH�ILQLW �GH�VXEJUXSXUL�SURSULL���