ARIMA Box Jenkins

MODELOS ARIMA

Prof. Rafael de Arce Prof. Ramn Maha

Dpto. Economa Aplicada U.D.I. Econometra e Informtica

Programa Citius.- Tcnicas de Previsin de variables financieras Pgina 2 _________________________________________________________________________________________

INTRODUCCIN En 1970, Box y Jenkins desarrollaron un cuerpo metodolgico destinado a identificar, estimar y diagnosticar modelos dinmicos de series temporales en los que la variable tiempo juega un papel fundamental. Una parte importante de esta metodologa est pensada para liberar al investigador econmetra de la tarea de especificacin de los modelos dejando que los propios datos temporales de la variable a estudiar nos indiquen las caractersticas de la estructura probabilstica subyacente. En parte, los procedimientos que vamos a analizar se contraponen a la "forma tradicional" de identificar y especificar un modelo apoyndonos en las teoras subyacentes al fenmeno analizado aunque, convenientemente utilizados, los conceptos y procedimientos que examinaremos constituyen una herramienta til para ampliar y complementar los conocimientos economtricos bsicos. Se comenzar analizando los modelos en los que una variable es explicada utilizando exclusivamente una "exgena": su propio pasado. Podemos decir que la consideracin exclusiva de los valores pasados de una determinada variable para explicar su evolucin presente y futura supone, al mismo tiempo, una ventaja y un inconveniente: - la ventaja radica en el hecho de no necesitar distintas series de datos (distintas variables) referidas al mismo perodo de tiempo (caracterstica comn a todos los modelos univariantes) y, al mismo tiempo, ahorrarnos la identificacin y especificacin del modelo en el sentido de la econometra tradicional, - el inconveninete es que, al renunciar a la inclusin de un conjunto ms amplio de variables explicativas, no atendemos a las relaciones que sin duda existen entre casi todas las variables econmicas perdiendo capacidad de anlisis al tiempo que renunciamos, implicitamente, al estudio terico previo del fenmeno y a su indudable utilidad. Dentro de estos modelos univariantes se desarrollarn suficientemente los conocidos con el nombre de ARIMA. Posteriormente se complementar esta perspectiva univariante aadindose a la especificacin una o ms variables exgenas al modelo "tradicional" aproximndonos al estudio de los conocidos como modelos de transferencia. Como es habitual en economa, definiremos una estructura que nos permita, por sus caractersticas, cumplir el fin ltimo de prediccin: proceso estocstico estacionario. Diremos cuales son las condiciones que ha de cumplir esta funcin para que podamos calcularla y definiremos el proceso estocstico estacionario lineal y discreto. Posteriormente, analizaremos los modelos ms simples (que emplean menos retardos) conforme a una serie de funciones caractersticas (covarianza, autocorrelacin total y autocorrelacin parcial), describiendo sus condiciones y planteando estructuras tericas que luego puedan ser identificables con series temporales reales. DEFINICIN Y CONCEPTOS BSICOS DE LOS MODELOS ARIMA Proceso estocstico y estacionariedad Los modelos autorregresivos o de medias mviles que ms tarde conceptualizaremos necesitan para su comprensin de la introduccin del concepto de proceso estocstico. Un proceso estocstico es una sucesin de variables aleatorias Yt ordenadas,pudiendo tomar t cualquier valor entre - y . Por ejemplo, la siguiente sucesin de variables aleatorias puede ser considerada como proceso estocstico:


El subndice t no tiene, en principio, ninguna interpretacin a priori, aunque si hablamos de proceso estocstico en el contexto del anlisis de series temporales este subndice representar el paso del tiempo. Cada una de las variables Yt que configuran un proceso estocstico tendrn su propia funcin de distribucin con sus correspondientes momentos. As mismo, cada par de esas variables tendrn su correpondiente funcin de distribucin conjunta y sus funciones de distribucin marginales. Esto mismo ocurrir, ya no para cada par de variables, sino para conjuntos ms amplios de las mismas. De esta forma, para caracterizar un proceso estocstico deberamos especificar las funciones de distribucin conjunta de cualquier conjunto de variables:

cualesquiera que fueran los valores de (t1, t2,....tm) y cualquiera que fuera el valor de m; por ejemplo:

Habitualmente, conocer esas funciones de distribucin resulta complejo de forma que, para caracterizar un proceso estocstico, basta con especificar la media y la varianza para cada yt y la covarianza para variables referidas a distintos valores de t:

Las distribuciones de probabilidad podran no estar completamente caracterizadas en algunas de las variables, los momentos podran no coincidir incluso no existir para alguna de las variables aleatorias, lo mismo puede ocurrir con las distribuciones conjuntas o marginales. Sin embargo, de todos los tipos de procesos estocsticos posibles, nos interesan especialmente dos de ellos a los que la estadstica ha dado nombres precisos: - ruido blanco es una sucesin de variables aleatorias (proceso estocstico) con esperanza

(media) cero, varianza constante e independientes para distintos valores de t (covarianza nula). - proceso estocstico estacionario.

y,y,........y,y,y,Y 432-3-4-5-

)Y,....Y,Y,Y( tttt m321

4)=my 3=t ( y,y,y,Y

3)=my 1=t( y,y,y

16543

1321

)]-y)(-yE[(=)Y,YCov(=

]-yE[=)yVar(=

=]YE[

ssttsyt

2ttt

2t

tt

mmg

ms

m

Programa Citius.- Tcnicas de Previsin de variables financieras Pgina 4 _________________________________________________________________________________________ Decimos que un proceso estocstico es estacionario si las funciones de distribucin conjuntas son invariantes con respecto a un desplazamiento en el tiempo (variacin de t). Es decir, considerando que t, t+1, t+2, ...., t+k reflejan perodos sucesivos:

para cualquier t, k y m; por ejemplo:

Esta definicin de estacionariedad se conoce como estacionariedad en sentido estricto o fuerte y puede relajarse sustancialmente utilizando la denominada estacionariedad en sentido amplio o dbil. Decimos que un proceso estocstico es dbilmente estacionario si: - Las esperanzas matemticas de las variables aleatorias no dependen del tiempo, son

constantes:

- Las varianzas tampoco dependen del tiempo y son finitas:

- Las covarianzas entre dos variables aleatorias del proceso correspondientes a perodos

distintos de tiempo (distintos valores de t) slamente dependen del lapso de tiempo transcurrido entre ellas:

De esta ltima condicin se desprende que, si un fenmeno es estacionario, sus variables pueden estar relacionadas linealmente entre si, pero de forma que la relacin entre dos variables slo depende de la distancia temporal k transcurrida entre ellas.

)Y,.....,Y,YF(=)Y,.....Y,YF( m+k+tm+1+tm+tk+t1+tt

4=m ,2=k ,3=t donde

)Y,Y,yF(=)Y,Y,yF(

9=m ,5=k ,1=t donde

)y,.....Y,yF(=)y,......,y,yF(

987543

151110621

m ]YE[=]YE[ m+tt "

m ]YVar[=]YVar[ m+tt "

m )Y,YCov(=)Y,YCov( m+sm+tst "

Programa Citius.- Tcnicas de Previsin de variables financieras Pgina 5 _________________________________________________________________________________________ Lgicamente, la estacionariedad en sentido estricto grantiza la estacionariedad en sentido amplio pero no al revs. Una vez introducido el concepto genrico de proceso estocstico puede decirse que una serie temporal cualquiera es, en realidad, una muestra, una realizacin concreta con unos valores concretos de un proceso estocstico terico, real. El anlisis de series que vamos a estudiar tratar, a partir de los datos de una serie temporal, inferir las caractersticas de la estructura probabilstica subyacente, del verdadero proceso estocstico. Modelos autorregresivos La palabra ARIMA significa Modelos Autorregresivos Integrados de Medias Mviles. Definimos un modelo como autorregresivo si la variable endgena de un perodo t es explicada por las observaciones de ella misma correspondientes a perodos anteriores aadindose, como en los modelos estructurales, un trmino de error. En el caso de procesos estacionarios con distribucion normal, la teora estadstica de los procesos estocsticos dice que, bajo determinadas condiciones previas, toda Yt puede expresarse como una combinancin lineal de sus valores pasados (parte sistemtica) ms un trmino de error (innovacin). Los modelos aotorregresivos se abrevian con la palabra AR tras la que se indica el orden del modelo: AR(1), AR(2),....etc. El orden del modelo expresa el nmero de observaciones retasadas de la series temporal analizada que intervienen en la ecuacin. As, por ejemplo, un modelo AR(1) tendra la siguiente expresin:

El trmino de error de los modelos de este tipo se denomina generalmente ruido blanco cuando cumple las tres hiptesis bsicas tradicionales mencionadas al principio del texto: - media nula - varianza constante - covarianza nula entre errores correspondientes a observaciones diferentes La expresin genrica de un modelo autorregresivo, no ya de un AR(1) sino de un AR(p) sera la siguiente:

pudindose escribir de forma abreviada como:

donde fp(L) es lo que se conoce como operador polinomial de retardos:

a+Y+=Y t1-t10t ff

a+Y+......+Y+Y+=Y tp-tp2-t21-t10t ffff

a+=Y(L) t0tp ff


y donde, a su vez, el trmino L es lo que se conoce como operador retardo tal que, aplicado al valor de una variable en t, d como resultado el valor de esa misma variable en t-1: LYt=Yt-1 y aplicado sucesivamente p veces retarda el valor en p perodos Lp Yt=Yt-p Normalmente, se suele trabajar con modelos autorregresivos de rdenes bajos: AR(1) o AR(2), o bien con rdenes coincidentes con la periodicidad de los datos de la serie analizada (si es trimestral AR(4), si es mensual AR(12)....). Modelo de medias mviles Un modelo de los denominados de medias mviles es aquel que explica el valor de una determinada variable en un perodo t en funcin de un trmino independiente y una sucesin de errores correspondientes a perodos precedentes, ponderados convenientemente. Estos modelos se denotan normalmente con las siglas MA, seguidos, como en el caso de los modelos autorregresivos, del orden entre parntesis. As, un modelo con q trminos de error MA(q) respondera a la siguiente expresin:

que de nuevo puede abreviarse utilizando el polinomio de retardos (como en en caso de los modelos AR):

Al igual que en el caso de los modelos autorregresivos, el orden de los modelos de medias mviles suele ser bajo MA(1), MA(2) o corresponderse con la periodicidad de los datos analizados MA(4), para series trimestrales, o MA(12) para series mensuales. Interpretacin de un modelo de medias mviles As como un modelo autorregresivo es intuitivamente sencillo de comprender, la formulacin de un modelo de medias mviles resulta sorprendente para el no iniciado. Qu significa que una variable aleatoria se explique en funcin de los errores cometidos en perodos precedentes?, De dnde proceden esos errores?, Cul es la justificacin de un modelo de este tipo?. En realidad, un modelo de medias mviles puede obtenerse a partir de un modelo autorregresivo sin ms que realizar sucesivas sustituciones.

L-......-L-L-1=(L) pp2

21p ffff

a+....+a+a+a+=Y q-tq2-t21-t1tt qqqm

mq +a(L)=Y tqt

Programa Citius.- Tcnicas de Previsin de variables financieras Pgina 7 _________________________________________________________________________________________ Efectivamente, un modelo AR(1), sin trmino independiente, tiene la expresin:

si consideramos t-1 en lugar de t el modelo sera en este caso:

y sustituyendo queda:

si ahora sustituimos yt-2 por su expresin autorregresiva y as sucesivamente llegamos a un modelo del tipo:

que es la expresin, sin trmino independiente, de un modelo de medias mviles como el planteado anteriormente. En realidad, de forma estricta, el paso de un modelo a otro debera realizarse al contrario (de un MA a un AR) utilizando el teorema general de descomposicin de Wold. Condiciones y races unitarias para los modelos AR y MA Hemos dicho anteriormente que, bajo condiciones generales, todo proceso estocstico estacionario se prestaba a una especificacin tipo AR(p) y en consecuencia poda expresarse tambin como un MA(q). Es ahora el momento de especificar lo que antes hemos llamado "condiciones generales" y examinar en que casos es posible la realizacin de un proceso AR MA para representar un proceso estocstico estacionario. Para que un proceso estocstico estacionario admita una formulacin del tipo que aqu estudiaremos han de cumplirse dos condiciones accesorias: - el proceso no debe ser anticipante (hiptesis de recursividad temporal); lo que quiere decir que los valores de una variable en un momento t no dependern de los que esta misma tome en t+j, siendo jota cualquier valor superior a cero. - el proceso ha de ser invertible; lo que supone que la correlacin entre una variable y su pasado va reducindose a medida que nos alejamos ms en el tiempo del momento para el que estamos considerando dicha correlacin (proceso ergdico). La explicacin intuitiva de esta situacin derivara de que si el especificramos una variable en funcin de ciertos coeficientes que nos determinen su correlacin con los valores pasados de ella misma, los valores de dichos coeficientes deberan ser necesariamente inferiores a uno, porque sino el proceso de infinitos nmeros sera "explosivo".

a+Y=Y t1-tt f

a+Y=Y 1-t2-t1-t f

Y+a+a=Y 2-t2

1-ttt ff

....+a+....+a+a+a+a=Y j-tj

3-t3

2-t2

1-ttt ffff

Programa Citius.- Tcnicas de Previsin de variables financieras Pgina 8 _________________________________________________________________________________________ La estacionariedad de las series temporales en la realidad Queda clara que la aproximacin a los procesos estocsticos con modelos AR o MA est restringida, en trminos generales, a aquellos procesos estocsticos que cumplan, al menos de forma dbil, la restriccin de estacionariedad. Cuando, en la realidad, queremos inferir a partir de una serie temporal (muestra) la estructura del proceso estocstico mediante modelos AR MA, debemos cubrir dos etapas: - asegurarnos de que la serie temporal, como muestra del proceso estocstico, es estacionaria

y, si no lo es, - transformar la serie temporal original de forma que la nueva serie transformada si lo sea.

a) cmo verificamos si la serie a analizar es estacionaria en media? cmo lograr que lo sea? Filtrado de la serie original

Para resolver la primera cuestin existen diversos mtodos de aproximacin y, de entre ellos, destacamos Podramos subdividir la serie temporal en varios perodos de, aproximadamente, la misma longitud, y calcular su media. El proceso sera estacionario en el caso en que dichos estadsticos fueran prcticamente iguales para todos los subperodos analizados. En la mayora de los casos, un simple grfico sirve para observar si existe o no una clara tendencia y, por tanto, si la serie es estacionaria o no. Habitualmente, cuando una serie muestra tendencia, se subdivide dicha serie en dos componentes: una primera, la estimacin de dicha tendencia, y, la segunda, el residuo o error que se comete cuando se utiliza dicha tendencia como valor estimado de la serie original.

ttt rTy +=

Una vez estimada la tendencia, aproximada con una regresin lineal, parablica, exponencial ... que sea ms conveniente; trabajaremos con la serie del residuo, que entonces no mostrara tendencia y podremos decir que es estacionaria en media. Es sobre este residuo sobre el que llevaremos a cabo todo el proceso descrito como metodologa de identificacin ARIMA, sumando finalmente el valor de la tendencia estimada si queremos dar resultados de estimacin de la serie original. Es decir: 1.- la identificacin del proceso ARIMA se har sobre esta serie del residuo ttt Tyr -= , estimada previamente la tendencia del modo ms adecuado. 2.- Para obtener valores estimados de la serie original, sumaremos el componente tendencial al valor estimado del residuo mediante el modelo ARIMA ttt rTy += . A este procedimiento se le conoce con el nombre de filtrado de la tendencia de la serie. Por supuesto, existen muy variadas formas de aplicar un filtro, siendo la que aqu hemos enunciado la ms sencilla.

b) Cmo se comprueba si una serie es estacionaria en varianza? Orden de integracin


Sin duda alguna, el test ms habitual a la hora de determinar la estacionariedad de una serie temporal, consiste en la aplicacin del conocido como test de DickeyFuller (Test DF) o Dickey-Fuller Ampliado (Test ADF). ste es un contraste de No estacionariedad ya que la hiptesis nula es precisamente la presencia de una raz unitaria en el proceso generador de datos de la serie analizada.

Vamos a suponer inicialmente, como modelo de partida para el anlisis de una determinada

serie yt, el de un proceso estacionario autorregresivo de orden uno:

yay ttt e+= -11 (Ec. 1)

frente a este modelo se plantea, como hiptesis nula H0, el modelo alternativo de un paseo aleatorio no estacionario del tipo1:

yy ttt e+= -1

se trata por tanto de contrastar si el coeficiente a1 es igual a la unidad o distinto de ella. Sin embargo, para contrastar la nulidad del coeficiente a1, no podemos utilizar el

contraste t habitual sobre una estimacin por MCO del primer modelo. La razn es que la hiptesis nula que habitualmente se contrasta y, a partir de la cual se deriva la expresin y propiedades del test t, es la de nulidad del parmetro (a1=0) de la (Ec.2), sin embargo, en nuestro caso, necesitaramos contrastar H0: a1=1. Si la hiptesis nula fuera cierta, la varianza de yt no sera estacionaria sino que crecera con los valores de t segn la expresin de la varianza de un paseo aleatorio con deriva:

2)( estyVar t =

La estimacin de a1 en ttt yay e+= -11 ser siempre consistente sin embargo, su distribucin variar segn los valores que tome la estimacin. Utilizando las palabras de Novales (1993), la distribucin de probabilidad asinttica del estimador de MCO del modelo AR(1) presenta una discontinuidad cuando a1=1 y, como sustituto, debern utilizarse las distribuciones derivadas de forma emprica mediante un procedimiento de Montecarlo realizado por Dickey (1976). Ms recientemente, MacKinnon (1991) realiz un nmero mayor de simulaciones que las tabuladas por Dickey y Fuller. Adems, MacKinnon estim la superficie de respuesta usando los resultados de la simulacin, lo que permite calcular los valores crticos del test DF para cualquier tamao muestral y cualquier nmero de variables en el lado derecho de la ecuacin. En la prctica, por cuestiones de sencillez operativa, el modelo utilizado para el contraste DF no es el expuesto al comienzo del epgrafe sino otro, equivalente al anterior, que se obtiene restando a uno y otro lado el trmino yt-1:

1 ttttt y yy ee =D+= -1 en un proceso de este tipo, sustituyendo recursivamente se obtiene:

=

+=t

iit yy

10 e , proceso con media constante [ ] [ ] 00

10 yyEyEyE

t

iit ==

+=

=

e y varianza

estocstica: [ ] [ ][ ]

[ ] [ ] 22222131212221

2

1

2

100

2

.............. eseeeeeeeee

ee

tEE

EyyEyEyEyV

t

t

ii

t

iittt

=++=++++=

=

=

-+=-=

==


ttt

ttt

ttttt

yayyaay

yyaayy

ege

e

++=D+-+=D

+-+=-

-

-

---

10

110

11101

)1( (Ec. 2)

por tanto, la hiptesis nula inicial para la (Ec. 2), se transforma ahora en H0: g=0 frente a H1:

g1


- En el caso en que, nuevamente, se sostenga la presencia de una raz unitaria, se contrastar entonces la adecuacin del trmino independiente a0 bien con el contraste tam, bien con f1. Si el trmino independiente resulta significativo usamos de nuevo las tablas de una normal para contrastar la presencia de la raz unitaria, concluyendo de nuevo aqu el contraste.

- Slo si entonces la constante a0 es no significativa se utiliza el modelo ms simple como

modelo de referencia contrastndose, de nuevo, la presencia de raz unitaria. En este caso, no tiene cabida el uso de la distribucin normal estandarizada.

Est claro que lo expuesto hasta este momento permite contrastar la presencia de una o ms races unitarias en una determinada serie temporal para la que se supone un proceso AR(1). Sin embargo, muchas serie temporales se ajustan ms adecuadamente a procesos autorregresivos de orden superior AR(2) o AR(3). No parece, por tanto, muy correcto, contrastar la presencia de una o ms races unitarias utilizando siempre la estructura de un modelo AR(1) ya que las races unitarias pueden aparecer tambin en estructuras ms complejas. Este problema da lugar a lo que se conoce como test de races unitarias de Dickey-Fuller Ampliado (DFA): si se quiere contrastar la presencia de una raz unitaria en una serie que sigue un proceso AR(p), deber aplicarse el procedimiento expuesto para el caso simple AR(1), pero suponiendo ahora del modelo:

=

+-- +D++=Dp

itititt yyay

2110 ebg

donde:

--=

=

p

iia

1

1g

y:

=

=p

jji a

1

b

MODELO ARIMA(p,d,q) SARIMA(P,D,Q) En su forma ms general el modelo ARIMA(p,d,q) ARIMA(P,D,Q,)S podra escribirse como:

Entendiendo que puede haber ms de un proceso generador de la serie (en la parte regular y en la estacional) y escribiendo una combinacin de los modelos MA(q) y AR(p) que han precisado de una serie de diferenciaciones "d" en la parte regular o "D" en la parte estacional para que fueran estacionarios. FUNCIONES DE UN PROCESO ESTOCSTICO ESTACIONARIO Definido un proceso estocstico como estacionario (ya sea de forma dbil o fuerte), ya se ha

U+...+U+U++

+Y+...+Y+Y=Y

q-sQ-Tq+Qs1-T1T

d-sD-p-Ps-Td+Ds+p+Ps2-T21-T1T

qqd

jjj

Programa Citius.- Tcnicas de Previsin de variables financieras Pgina 12 _________________________________________________________________________________________ comentado que si cumple las condiciones en sentido estricto, tambin cumple las condiciones en sentido dbil. Siendo as, el proceso estara perfectamente definido si conocieramos su media constante (m), su varianza constante (s) y la covarianza entre cada par de momentos diferentes en el tiempo. Dicho sto: La funcin de autocovarianza vendr definida por los distintos valores que tomara dicha covarianza cuando cambiamos el lapso temporal entre las observaciones de la serie que manejamos. Analticamente, se podra expresar como:

donde, evidentemente, cuando el valor de "j" es cero, tendramos la varianza de la funcin:

La funcin de autocorrelacin se define igualmente como:

como nos encontramos ante un proceso definido como estacionario, la varianza es constante, por lo que podemos escribir:

La funcin de autocorrelacin de un proceso estocstico estacionario manifiesta las siguientes propiedades: 1.- _0 = 1 2.- |_j| 1, ya que |gj| g0 Esto asegura que el comportamiento de la funcin no sea explosivo. 3.- _j = _-j (simetra) dado que si un proceso es estacionario, la covarianza de dos variables aleatorias separadas por el mismo lapso de tiempo es la misma. 4.- 0 = j

infinityj

rlim

25 (proceso ergdico).

Esta ltima propiedad, que define al proceso como "ergdico", es la que posibilita inferir valores de una serie en funcin de la informacin que sobre ella nos da su propio pasado, logrando estimadores consistentes. Slo si se da esta propiedad, la prdida de informacin al no considerar la influencia de los infinitos valores obtenidos en el pasado es cada vez ms escasa e, incluirlos, aadira poca informacin para la definicin del proceso generador de datos que se intenta reproducir para aplicar al futuro.

)]-y)(-yE[( = )y,ycov( = j-ttj-ttj mmg

smg 22

t0-tt0 = )-yE( = )y,ycov( =

)yvar( )yvar(

)y,ycov( =

j-tt

j-ttjr

g

gr

0

jj =

Programa Citius.- Tcnicas de Previsin de variables financieras Pgina 13 _________________________________________________________________________________________ Adems de las dos funciones anteriores, se puede definir una tercera conocida como funcin de autocorrelacin parcial, con el fin de tener en cuenta los valores de correlacin entre dos variables aleatorias separadas entre si "j" perodos y en funcin de los valores intermedios entre ellas. Es decir:

Si planteamos las mejores predicciones de yt e yt-j como los resultantes de plantear Mnimos Cuadrados Ordinarios (MCO) siendo el primero de ellos del siguiente modo:

Se puede escribir la funcin de autocorrelacin parcial, si la media es nula, como:

Pudiendo demostrarse que:

APLICACIN DE ESTAS FUNCIONES A MUESTRAS CONCRETAS En este apartado se pretender especificar estimaciones de los valores que caracterizan el proceso estacionario del tipo que se est describiendo ya no para el proceso estocstico general, sino para una manifestacin concreta de ste traslucida en una serie temporal. Habr que estimar la media (m), para lo que usaremos la media muestral; la varianza (g0) y la funcin de autocovarianza (gj), para lo que emplearemos la frmula de la covarianza muestral) y la funcin de autocorrelacin (rj). Media muestral. Como ya se ha dicho, el estimador m=E(yt) ser la media muestral:

dicho estimador cumplir dos propiedades: a) Insesgadez.- la esperanza de la media de la serie ser igual a m Esto se demuestra ya que:

)y,...,y,y|y,ycorr( = 1+j-t2-t1-tj-ttjP

y +... + y + y = y 1+j-t1-j2-t21-t1t aaa

)y-yvar()y-yvar(

)]y-y)(y-ycov[( =

j-tj-ttt

j-tj-tttj

P

rarara

raarar r

1-j1-j2211

11-j1-j1jj

-...---1

-...--- = 2-jP

yT1

= y tT

1=t


b) Consistencia.- es decir, la varianza se anula cuando ampliamos la muestra a la poblacin siendo el estimador insesgado, propiedad que se cumplir siempre que se d la siguiente condicin, que no desarrollamos:

Funcin de autocovarianza muestral. El estimador de gj se obtendr segn la siguiente expresin:

que, a pesar de ser sesgado, dicho sesgo ser determinable y cada vez ms reducido segn se aumente la muestra. Funcin de autocorrelacin muestral. Para su clculo se recurrir al cociente de funciones de autocovarianza del siguiente modo:

El estimador para la funcin de autocorrelacin parcial a emplear se calcular segn el mtodo recursivo de Durbin del siguiente modo:

mm = _ _T T1

= )ye(T1

= )yE( yT

1=t

)y-y)(y-y(j-T

1 = C j-tt

T

1+j=tj

CC = = r

0

j

0

jj

g

g

1...j=/i - =i ,

r-1

r-r =

r =

i-1+jj,1+j,1+jjiji

iji

j

1=i

i-1+jji

j

1=i1+j

1+j,1+j

111

ffff

f

ff

f

Programa Citius.- Tcnicas de Previsin de variables financieras Pgina 15 _________________________________________________________________________________________ Empleando estas frmulas para los primeros casos, podremos escribir:

PROCESO ESTOCSTICO ESTACIONARIO LINEAL DISCRETO Vamos a definir un nuevo caso especial de un proceso estocstico que nos permita luego intentar encontrar algo parecido en la realidad y que sea fcilmente identificable. Se conoce por proceso estocstico estacionario lineal y discreto a aquel que puede expresarse como:

donde: - es lineal porque puede escribirse como combinacin lineal de los errores. - at es ruido blanco (esperanza y covarianza nulas y varianza constante). - es discreto porque los lapsos temporales considerados son uniformes (no hay saltos temporales distintos entre las variables consideradas). El siguiente paso ser especificar las condiciones que nos aseguran que este proceso es estacionario, es decir que tiene media y varianza constantes y que su covarianza slo vara cuando lo hace el espacio temporal que separa las observaciones empleadas para calcularla. Para ver estas condiciones, calcularemos los momentos de primer y segundo orden asegurando la estacionariedad en sentido dbil. Media constante:

ffff

ffff

ffff

f

fff

f

ff

f

21332232

22332131

222121

1222213

33

1221121

111

1112

22

111

- =

- =

r-r-1r-r-r =

r- =

r-1r-r

=

r =

.... + a + a + a + = y 2-t21-t1tt qqm


Es decir la media ser constante en la medida en que exista la segunda parte del sumando que, al quedar multiplicada por la esperanza del "ruido blanco" ser finalmente cero, y la media quedar igual a m. Varianza constante:

Siendo entonces condicin necesaria para que la varianza exista que el ltimo sumatorio sea calculable (converja). Covarianza constante:

Luego el proceso ser estacionario en la medida en que se cumplan estas tres condiciones:

< k = y 1 = /

)E(

i1=i

0

ti0=i

1-t1tt a + = ....) + a + a + E( = )yE(

qq

qmqm

1=/ 02i0=i

2a

22

21

2a

2-tt21-tt12

2-t22

21-t

21

2t

22-t21-t1t

22t0

=

= 0))+0+...+++(1 =

= ...)+aa2+aa2+...+a+a+aE( =

= )....+a+a+a+-E( = ) - yE( =

qqs

qqs

qqqq

qqmmmg

qqsqqqqqs

qqqqq

qqqq

mmg

j+ii0=i

2a2+j21+j1j

2a

22-j-t2+j2

21-j-t1+j1

2j-tj

2-j-t21-j-t1j-t2-t21-t1t

j-ttj

= ....+++(

= ...+)aE(+aE(+aE( =

= ...)]+a+a+a...)(+a+a+aE[(

= )]-y)(-yE[( =


Ventajas: Una vez definido este proceso particular, vamos a ver resumidamente sus ventajas respecto a no contar con l. En principio, si quisieramos definir un proceso estocstico en general, tendramos, al menos, que definir sus momentos de primer y segundo orden, para lo cual sera necesario estimar T varianzas, T esperanzas y (T2 -T)/2 covarianzas, lo que nos es imposible si slo contamos con T datos. Si el proceso fuera estacionario, ya slo tendramos que estimar una esperanza y una varianza (media y una varianza constantes) y (T-1) covarianzas (cov(yt,yt-1), cov(yt,yt-2), ...); en total 1+1+(T-1)=T+1 parmetros, lo que tampoco es posible. Si estamos ante un proceso estocstico estacionario lineal discreto, slo necesitaremos contar con: T > p+ q + 2 siendo "p" y "q" los rdenes de los retardos de los modelos autorregresivos y de medias mviles que ya hemos definido anteriormente. MODELOS MA(1) Una vez tenemos definidas las ventajas de contar con un proceso estocstico estacionario lineal y discreto, y que podemos calcular las funciones de autocovarianza y autocorrelacin, puede resultar interesante ver que valores toman stas en aquellos casos sencillos que luego nos permitan comprobar si series econmicas generales pueden tener un comportamiento similar, simplemente acudiendo a la comparacin de sus correlogramas (de la funcin de autocorrelacin total y parcial). El primer caso a analizar ser el modelo de medias mviles de orden uno, que se define como:

Este modelo tambin se puede escribir en funcin del operador retardo, ya comentado, del siguiente modo:

< k = y 1 = / )E( i1=i

0ti0=i

a qqq

1=/ < 02i0=i

qq


Se dice que un modelo MA(q) es invertible en la medida en que se pueda escribir como un proceso autorregresivo de orden infinito. Para que esta circunstancia pueda darse, ser condicin necesaria que las races de:

caigan fuera del crculo unitario, lo que se cumplir siempre que |q|


Varianza:

Funcin de autocovarianza:

Luego la funcin de autocovarianza se anula para valores de "j" mayores que uno y es una fraccin de la varianza del error para el valor de j=1. Funcin de autocorrelacin:

mqmqm = )aE(+)aE(+)E( = )a+a+E( = )yE( 1-t1t1-t1tt

= 0++ =

= )aa2+a+aE(

)-a+a+E( = )-yE( = )yvar(

2a

21

2a

1-tt12

1-t21

2t

21-t1t

2tt

sqs

qq

mqmm

sqq

qqq

qq

mmg

2a1

21-t1

2-t1-t211-t1-t12-tt11-tt

2-t11-t1-t1t

1-tt1-tt1

= )aE(

= aa+aa+aa+aaE(

= ))a+a)(a+aE((

= ))-y)(-yE(( = )y,ycov( =

gqqq

qqq

qq

mmg

j1-j-t1-t211-j-tt1j-t1-t1j-tT

1-j-t1-t211-j-tt1j-t1-t1j-tt

1-j-t1j-t1-t1t

j-ttj-ttj

= 0 = )aa+aa+aa+aaE(

)aa+aa+aa+aaE( =

= ))a+a)(a+aE((

= ))-y)(-yE(( = )y,ycov( =

Programa Citius.- Tcnicas de Previsin de variables financieras Pgina 20 _________________________________________________________________________________________ Calculada como cociente entre la funcin de autocovarianza y la varianza, tal y como ya se vio antes, tendramos:

La funcin de autocorrelacin parcial se calculara siguiendo la siguiente expresin, que no demostramos:

Definidas las funciones caractersticas de los procesos estocsticos para el caso concreto del MA(1), podemos enunciar las siguientes particularidades de este tipo de proceso: 1.- Siempre es estacionario. 2.- Para ser invertible, es necesario que |q|/j 0 =

=

=

j

2a

2a1

1

0

jj

r

qq

sqsqr

g

gr

)1()1( 211

21 -

=-

q

qqf 1)+2(j

1

21

j1

jj -1)-(1

=

a + y + = y t1-t10t ff

L - 1 = (L)

a + = y(L)

1

t0t

ff

ff


lo que nos permitira escribirlo como un modelo de medias mviles y, en definitiva, esto supone que los coeficientes |f | han de ser menores que 1. Pasamos a describir las funciones definidas: Esperanza matemtica:

donde, como el proceso es estacionario, las esperanzas E(yt)=E(yt-1)=...=E(yt-j)=m y puedo escribir:

Varianza: Para hacer los clculos con mayor facilidad es conveniente poner el modelo autorregresivo en desviaciones a la media, sin que ello suponga ningn cambio en ste (se puede hacer la prueba escribiendo el modelo en desviaciones y llegando al modelo normal). El modelo en desviaciones a la media lo definiremos como:

donde:

0 = L - 1 = (L) 1ff

0 + + yE( =

= )a + + yE( = )yE(

01-t1

t01-t1t

ff

ff

ff

m

fmfm

1

0

01t

-1 =

+ = = )yE(

a + y = y t1-t1t~~ f

f

fm

1

0tj-tj-t -1

- y = - y = yj

~

Programa Citius.- Tcnicas de Previsin de variables financieras Pgina 22 _________________________________________________________________________________________ Para calcular la varianza, escribimos el momento de segundo orden:

dado que el proceso es estacionario:

como el proceso en desviaciones a la media se puede escribir como un proceso de medias mviles y por lo que hemos visto anteriormente, podramos escribir:

Por todo lo cual:

)ayE(2+)aE(+)yE(

= )ay2+a+yE(

)a+yE( = = )yvar(

t1-t12

t2

1-t21

t1-t12t

21-t

21

2t1-t10t

~~

~

~

ff

ff

fg

s

g

2a

2t

02

1-t2

t

= )aE(

= )yE( = )yE( ~~

0>h si 0y 0=/h = )yaE( 2ah-tt s~

fsg

sgfg

21

2a

0

2a0

210

-1 =

+ =

Programa Citius.- Tcnicas de Previsin de variables financieras Pgina 23 _________________________________________________________________________________________ Funcin de autocovarianza:

Lo que generalizando, se podra escribir como:

Funcin de autocorrelacin total

Funcin de autocorrelacin parcial

Definidas todas estas funciones, podemos caracterizar el proceso autorregresivo del siguiente modo: 1.- Siempre es invertible (est directamente invertido). 2.- Para ser estacionario, ha de cumplirse que |f |j si 0y 1=/j = 1jj rf


FAC FAP

MA(q) Se anula para retardos superiores a q Decrecimiento rpido sin llegar a anularse

AR(p) Decrecimiento rpido sin llegar a anularse

Se anula para retardos superiores a p

ARMA(p,q)

Decrecimiento rpido sin llegar a anularse

Decrecimiento rpido sin llegar a anularse

IDENTIFICACIN DEL MODELO Aunque podramos seguir definiendo las caractersticas de otros procesos ARIMA de rdenes mayores, no tiene mayor inters una vez se ha entendido el procedimiento y s interesa precisar la forma que adoptaran los correlogramas de estas funciones porque, fruto de su comparacin con los que obtendremos con nuestras series de inters, podremos asociar a nuestra serie temporal de estudio un proceso ARIMA que identifique su proceso generador de datos, tanto a pasado como a futuro. Los correlogramas o funciones de autocorrelacin total y parcial estn disponibles en el libro de Pulido,A(1989): "Prediccin Econmica y Empresarial" Editorial Pirmide. De forma muy poco acadmica, el proceso de identificacin consistir en calcular las funciones de autocorrelacin total y parcial de nuestra serie (una vez estamos seguros de que sta cumple las condiciones que definen un proceso estocstico estacionario) y comparar sus correlogramas con los correspondientes a los modelos tericos AR(p),MA(q) o ARMA(p,q). En principio, si el proceso est bien identificado, procederemos a su estimacin y, si analizamos los correlogramas de los residuos obtenidos en la estimacin, sern "ruido blanco". Si sto no es as, habr que realizar una nueva estimacin incorporando la estructura ms parecida al modelo terico que podamos intuir con la comparacin con los modelos tericos. Para saber cuando estamos ante un "ruido blanco", se pueden hacer las siguientes comprobaciones: - Media nula Puede observarse en el grfico de residuos si el error se mueve en torno al valor cero o bien calcularse el cociente entre la media y la varianza muestral de los residuos. Si ese ratio es inferior a 2, podemos concluir (con un e=0,05) que la media no es significativamente distinta de cero. - Varianza constante Observando el grfico de los residuos puede analizarse la constancia de la varianza del error. En caso de heterocedasticidad y es recomendable una transformacin logartmica en la serie original. - Incorrelacin

Programa Citius.- Tcnicas de Previsin de variables financieras Pgina 25 _________________________________________________________________________________________ Deben observarse los coeficientes de autocorrelacin muestral de los residuos y comprobar que ninguno de ellos supera el valor de las bandas de significatividad al 5% (1,96(1/T)).El valor T es una aproximacin de la varianza asinttica pero resulta slo adecuada para valores grandes de "j". Se aconseja,por tanto, utilizar distinta amplitud de bandas como por ejemplo (1/T) para los trminos ms cercanos a cero. El estudio de las funciones de autocorrelacin muestral y autocorrelacin parcial muestral de los residuos, pueden servirnos fcilmente para el replanteamiento del modelo inicial. El contraste de la "Q" de Box-Pierce analiza la hiptesis nula de que: H0: r1(a)=r2(a)=r3(a)=..........rM(a)=0 suponiendo que la expresin:

o la alternativa propuesta por Ljung-Box:

se distribuye como una chi-cuadrado con M-k grados de libertad. Otros contrastes alternativos son los de Vandaele (1983), que analiza las autocorrelaciones muestrales de los residuos transformados mediante una diferencia regular y el de Pea (1983). BREVE RESEA SOBRE LA ESTIMACIN DE LOS MODELOS ARIMA Se analizar a continuacin el proceso de estimacin de los modelos ARMA(p,q) x ARMA(P,Q), centrando los desarrollos en el caso especfico de un modelo sin componente estacional, es decir, un ARMA(p,q) ARIMA (p,d,q):

donde se entiende por Wt la serie ya en diferencias y donde, como siempre, at se supone un ruido blanco con media cero y varianza constante (s2u). Definida esta funcin genrica, el objetivo principal es estimar el vector formado por los parmetros correspondientes a la parte autorregresiva f j y de medias mviles qj (incluido, si fuera necesario, el trmino independiente) as como la varianza residual. Problemas iniciales: los valores iniciales y la no linealidad.

)rT=Q t2jM

1=j

a( S

)a(r)j-(T2)+T(T=Q t2j

1-M

1=j

* S

a)L -......-L -L -(1+ = w)L -......-L -L -(1 tqq221tpp2

21 qqqdfff

Programa Citius.- Tcnicas de Previsin de variables financieras Pgina 26 _________________________________________________________________________________________ La naturaleza del modelo implica que la variable a explicar se hace depender de valores pasados de la misma y errores cometidos en la estimacin de dichos valores pasados. De esta forma el planteamiento de minimizacin de los errores como procedimiento de estimacin lleva necesariamente aparejada la necesidad de conocer valores pasados de la variable endgena y de los errores ya que la expresin del error, por ejemplo para un perodo "t" sera:

Al conjunto de valores iniciales requeridos de la variable endgena desde "t-1" a "t-p" y de los errores desde "t-1" a "t-q" los notaremos por los vectores:

El procedimiento de estimacin que lleva implcita la especificacin a priori de unos valores iniciales se denomina "enfoque condicional", mientras que aquel en el que se estiman simultneamente los valores iniciales y los parmetros se denomina "enfoque exacto". Adems de este primer problema, se seala el de la no linealidad del modelo cuando este incluye medias mviles, lo que puede comprobarse fcilmente a partir de una transformacin de la especificacin de un modelo sencillo [por ejemplo MA(1)]:

Partiendo de esta expresin, se observa como al minimizar:

a-...-u+-w-...-W-w=a q-tq1-t1p-tp1-t1tt qqdff

)a,.....,a,a(=a

)W,.....,W,W(=W

q-t2-t1-t0

p-t2-t1-t0

a021qq

qq

q

q

qq

+Y+Y=

=)a+y(+Y=

=a+Y=a 2=tpara

a+Y=a 1=tpara

a+Y=a a-a=Y

112

01112

1122

0111

1-t1tt1-t1tt

a 2 tT

1=tS

Programa Citius.- Tcnicas de Previsin de variables financieras Pgina 27 _________________________________________________________________________________________ (3) en el proceso de estimacin, esta expresin no ser lineal. Por ello, una primera conclusin es que sea cual sea el mtodo de estimacin utilizado (Mnimos cuadrados o Mxima verosimilitud) debern aplicarse algoritmos de resolucin no lineales. PREDICTOR PTIMO. "La prediccin es el fin ltimo y primordial del anlisis univariante de series temporales"4 Una vez identificado y estimado el modelo ARIMA, se plantea su utilizacin para conseguir la mejor prediccin de los valores a futuro de una serie a partir de su propia historia . El primer interrogante que surge se referir a la determinacin del PREDICTOR PTIMO para este fin. Intuitivamente, el mejor predictor posible ser "el que menos se equivoca" o, en trminos estadsticos, aquel que minimiza el error cuadrtico medio respecto a otro potencial predictor alternativo. Esto se puede expresar:

donde YT(l) sera el valor de prediccin de la serie para el perodo (T+l), condicionado a los valores histricos de YT (YT = YT-1,YT-2, ...). Se demuestra que el predictor elegido es ptimo cuando su valor esperado es igual al valor real de prediccin condicionado a la informacin existente en el perodo T respecto a la serie que nos ocupa; es decir:

El error cuadrtico medio de un predictor arbitrario siempre es mayor que aquel cuyo valor coincide con la esperanza del valor real en el perodo que estemos considerando. Esta propiedad ser fundamental para el posterior desarrollo de la prediccin puntual. PREDICCIN PUNTUAL Partiendo de un modelo ARIMA sobre el que se han realizado una serie de diferenciaciones para lograr una serie estacionaria, el planteamiento de la prediccin se hace sobre los valores reales de la serie, por entender que es de stos de los que se quiere obtener valores a futuro. Esta circunstacia

3 El trmino " T " hace referencia a los valores disponibles de la serie una vez tomadas diferencias tanto en la componente regular (d) como en la estacional (D): T= N - d - sD

4TRIVEZ,F.J. y AZNAR,A.: "Mtodos de prediccin en economa" Volumen II, Anlisis de series temporales" Pgs.240-267. Editorial Ariel, 1993.

]I|)(l)Y-YE[(]I|)(l)Y-YE[( T2*

Tl+TT2

Tl+T

]I|YE[ = (l)Y Tl+TT

Programa Citius.- Tcnicas de Previsin de variables financieras Pgina 28 _________________________________________________________________________________________ deber ser tomada en cuenta a la hora de interpretar los subndices que acompaan a las frmulas de este apartado. La aparicin de rdenes autorregresivos superiores a "p" ser debida a dos circunstancias: traslacin del modelo a perodos fuera del espacio temporal conocido y aplicacin de las expresiones obtenidas para WT = (1 - L)d YT directamente a los valores de la serie sin transformar (sustituir WT por su valor en cada caso). En su forma ms general el modelo ARIMA(p,d,q) ARIMA(P,D,Q,)S podra escribirse como:

El desarrollo terico se hace para un modelo sin parte estacional, sin que ello suponga prdida de generalidad en los resultados. El modelo podra escribirse entonces como:

como sabemos que WT = (1 - L)d YT, la expresin anterior se puede reescribir como:

donde:

El modelo ARIMA correspondiente sera:

En la medida en que aparece la perturbacin aleatoria en la definicin de cada valor de prediccin de la serie YT, el modelo es susceptible de ser escrito como funcin infinita de los valores de la perturbacin aleatoria del perodo considerado y de los anteriores (no habra ms que despejar el valor de la perturbacin aleatoria de la expresin general de un modelo ARIMA).

a+...+a+a++

+Y+...+Y+Y=Y

q-sQ-Tq+Qs1-T1T

d-sD-p-Ps-Td+Ds+p+Ps2-T21-T1T

qqd

jjj

a(L)+ = W(L) t*qt

*p qdf

a(L)+ = Y(L) t*qt

*p qdj

L+...+L-1=(L)

+L+...+L-L-1=Y(L)

qq1

d+pd+p

221T

qqq

jjjj

a++...1-Ta+a++

+Y+...+Y+Y=Y

q-Tq1T

d-p-Td+p2-T21-T1T

qqd

jjj

Programa Citius.- Tcnicas de Previsin de variables financieras Pgina 29 _________________________________________________________________________________________ Para hacer prediccin hay que tener en cuenta dos supuestos inciales: 1.- Los parmetros de las funciones presentadas son conocidos. 2.- Las perturbaciones aleatorias se conocen en el perodo muestral y tiene carcter de

ruido blanco para los perodos de prediccin. Teniendo en cuenta ambos supuestos, se puede especificar un modelo ARIMA para definir el valor de prediccin en funcin de la serie en "p" perodos anteriores (por la parte autorregresiva) y de los "q" errores cometidos al estimar la serie en los "q" perodos previos (por la parte de las medias mviles). Dado que son los valores reales aquellos sobre los que es verdaderamente interesante hacer prediccin, se plantea la ecuacin de prediccin de un perodo (T+l) como:

Es conveniente remarcar tres aspectos de la prediccin siguiendo esta formulacin: - Los valores de prediccin se calculan de forma secuencial. Para hacer posible la aplicacin de la parte autorregresiva del modelo en perodos distintos al primero de prediccin, se toma el valor predicho en el inmediatamente anterior (YT(l-1)). - Por la condicin necesaria para estar ante el predictor ptimo (el valor esperado de la serie en el perodo de prediccin es igual al predicho si es ptimo), se demuestra que las perturbaciones aleatorias empleadas en la prediccin son slo las de perodos anteriores, es decir:

ya que se ha supuesto que en el perodo de prediccin, las perturbaciones aleatorias tienen esperanza nula. Para realizar las sucesivas predicciones de YT(l) tenemos que contar con unos valores para aT, aT-1, ...aT+l-q . Como tales se tomarn:

- Las predicciones ARIMA son adaptativas y los resultados obtenidos para (T+l), con la informacin disponible hasta el perodo T, son los mismos que las que obtendramos para el mismo perodo tomando como base informativa hasta T-1, y aadiendo un trmino de error.

a-...-a-a-+Y+...+Y+

+...+(l)Y+Y+1)-(lY = (l)Y

q-l+Tq1-T1+lTld-p-l+Td+pl-T1+l

T1-lT2T1

qqqdjj

jjj

0 j a j+T "

0 j (l)Y-Y = a l-j+Tj+Tj+T "

Programa Citius.- Tcnicas de Previsin de variables financieras Pgina 30 _________________________________________________________________________________________ CARACTERSTICAS DE LAS PREDICCIONES REALIZADAS CON MODELOS ARIMA - Modelos AR(p): la prediccin tiende a m (media del proceso) a medida que aumenta el horizonte temporal de la prediccin. - Modelos MA(q): dada la memoria limitada que caracteriza a estos procesos, la prediccin es igual a m (media del proceso) cuando el horizonte temporal de la prediccin es mayor que el orden del proceso (q). - Modelos ARMA(p,q): a partir de "q" perodos futuros la prediccin tiende a m (media del proceso) a medida que aumenta el horizonte temporal de la prediccin. - Modelos ARI(p,d) e IMA(d,q): la prediccin ya no tiende a m sino que ser una lnea recta que parte de (1)Y 88con pendiente igual a la media del proceso wT (serie resultante de las transformaciones necesarias para hacerla estacionaria). SELECCIN DE MODELOS Si entendemos que una prediccin es mejor que otra cuando comete menor error, los criterios de seleccin de modelos seran el error cuadrtico medio (ECM), error absoluto medio (EAM) y error absoluto porcentual medio (EAPM). Estos indicadores se calcularan a perodo histrico, es decir, se calcularan los valores que el modelo ofrece para las H ltimas observaciones y se compararan con el valor real, del siguiente modo:

El problema es que estos indicadores no tienen en cuenta la estructura estocstica del modelo, no informan sobre alguna caracterstica estocstica supuesta sobre el perodo extramuestral.

100*y

|(l)y-y|H1

=100*y

|(l)e|H1

=EAPM(H)

|(l)y-y|H1

|=(l)e|H1

=EAM(H)

](l)y-y[eH1

=ECM(H)

l+H-T

H-Tl+H-TH

1=ll+H-T

H-TH

1=l

H-Tl+H-T

H

1=lH-T

H

1=l

2H-Tl+H-T

H

1=l

2H-T

H

1=l H1=(l)

Programa Citius.- Tcnicas de Previsin de variables financieras Pgina 31 _________________________________________________________________________________________ BIBLIOGRAFA BSICA AZNAR, A. Y TRIVEZ, F.J.(1993): Mtodos de Prediccin en Economa II. Anlisis de series temporales Editorial Ariel Economa, Barcelona 1993. ESPASA, A. Y CANCELO, J.R. (1993): Mtodos cuantitativos para el anlisis de la coyuntura Econmica Alianza Editorial, Madrid 1993. PULIDO, A. Y PREZ GARCA, J. (2001): Modelos Economtricos Editorial Pirmide, Madrid 2001. Enders, W. (1995). Applied Econometric Times Series. John Wiley & Sons, Inc. United States.

Documents

ARIMA Box Jenkins