ARITMÉTICA 13 CIENCIAS

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REGLA DE INTERÉS – REGLA DE DESCUENTO

1. CONCEPTOS IMPORTANTES CAPITAL ( C ) Designa un conjunto de bienes o una cantidad de dinero de los que se puede obtener ingresos en el futuro. INTERÉS ( I ) Es la ganancia, renta, beneficio o utilidad que produce el capital durante un cierto tiempo con la condición de que cien unidades de dinero produzcan una cierta cantidad anual.

Ejemplo: Si se depositan 1 000 soles en un banco, después de

cierto tiempo se retira en total 1 200 soles, significa que se ha ganado un interés de 200 soles.

TASA DE INTERÉS ( r% ) Llamado tasa de interés o rédito. Expresa el tanto por ciento del capital que se paga por la utilización de éste durante un tiempo. Ejemplos: Una tasa de 18% mensual significa que se gana el 18% del capital por cada mes. Una tasa de 22% bimestral significa que se gana el 22% del capital por cada dos meses. Observación:

TIEMPO (t) Intervalo durante el cual se presta o utiliza el capital. * 1 año < > 12 meses. * 1 mes comercial < > 30 días * 1 año comercial < > 360 días * 1 año común < > 365 días * 1 año bisiesto < > 366 días MONTO (M) Es la suma del capital y el interés generado.

Ejemplo: Si un capital de 8 000 soles, genera un interés de 500 soles, el monto es:

8 000 soles + 500 soles = 8 500 soles

ALGUNAS CONSIDERACIONES

• Tasas Proporcionales

0,5% diario

15% mensual 30% bimestral 45% trimestral 60% cuatrimestral 90% semestral180% anual360% bianual

Ejemplos:

( )( )

8% semestral 8 2 % 16% anual

20% trimestral 20 4 % 80% anual

4848% anual % 4% mensual

12

<> × =

<> × =

<> =

Números de días por meses Forma práctica para obtener el número de días de los meses del año. 2. CLASES DE INTERÉS A) INTERÉS SIMPLE En este caso, el capital es constante durante todo el tiempo, el interés es proporcional al tiempo y a la tasa. Ejemplo: Donde: C : Capital ; t : tiempo ; I : Interés r% : Tasa de interés o rédito ; M : Monto

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FEBRERO ABRIL NOVIEMBRE

JUNIO SETIEMBRE

31 días

ENERO DICIEMBRE

MARZO OCTUBRE

MAYO AGOSTO

JULIO

30 días Año común: 28 días Año bisiesto: 29 días

Cuando no se especifica cada cuanto tiempo se aplica la tasa se deberá considerar la tasa anual

Monto = Capital + Interés t = 1 año

C = S/. 600 M = S/. 720

I = S/. 120

r%=20% anual

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Aritmética Teoría y ejercicios – Semana 13


Se observa: Ejemplo: Steven prestó 4 000 soles a Victoria durante 5 años con una tasa de 2% anual. Calcule el interés generado. Solución: Como la tasa es 2% anual, por cada año que pasa se gana el 2% de S/. 4000 = S/. 80, entonces en 5 años se gana el 5 veces S/. 80 = S/. 400 Observación:

Fórmula para el cálculo del interés simple:

Cuando la tasa y el tiempo están en las mismas unidades de tiempo. Fórmula para el cálculo del monto al interés simple: B) INTERÉS COMPUESTO En este caso el interés generado pasa a formar parte del capital cada cierto tiempo denominado periodo de capitalización, o sea que el capital aumenta cada cierto tiempo.

Fórmula para halle el Monto en el interés compuesto

Donde: “n” es el # de períodos de capitalización contenidos en el tiempo de préstamo. Nota: Ejemplo: Beto prestó 40 000 soles a Victor durante 4 años con una tasa de 20% anual capitalizable anualmente. Calcule el interés generado.

Solución: Como la tasa es 20% anual, por cada año que pasa se gana el 20% del capital acumulado al comenzar el año. En 4 años se han realizado 4 aumentos sucesivos del 20%.

1er. Año : 120% de S/. 40000 = S/. 48000 2do. Año : 120% de S/. 48000 = S/. 57600 3er. Año : 120% de S/. 57600 = S/. 69120 4to. Año : 120% de S/. 69120 = S/. 82944

Al finalizar el 4to. Año, el monto es de S/. 82944; que también se puede calcular :

120% 120% 120% 120% S/.40000 = S/.82944

Entonces el interés en los 4 años es: S/. 82944 ‒ S/. 40000 = S/. 42944

3. REGLA DE DESCUENTO

Ejemplo: Observación:

donde :

Vn : valor nominal Va : valor actual D : descuento T : tiempo de descuento r% : tasa de descuento

4. CLASES DE DESCUENTO

Descuento Comercial (Dc) Descuento Racional (Dr)

RELACIONES ENTRE EL DESCUENTO COMERCIAL Y EL DESCUENTO RACIONAL (Para una misma letra de cambio) 1. Dc Dr

Vac Var

− >

<

12 junio fecha de vencimiento

de la letra

60 días

El interés es DP al capital, a tasa y al tiempo

I = C . r % . t

M = C + I

M = C + I C ( 1 + r% . t )

M = (1+r %)n.C

D = Vn ‒ Va

Dc = r% . Vn . t = Vn ‒ Vac

Dc = r % . Var . t = Vn ‒ Var El periodo de capitalización determina las unidades de tasa tiempo.

14 diciembre fecha en que se

firmó la letra (fecha de giro)

13 abril fecha de negociación de la letra

DESCUENTO

S/. 2 000S/. 400S/. 1 600S/. 1 200

PRÉSTAMO

VALOR NOMINAL VALOR ACTUAL

Pago anticipadovalor efectivo

( )Valorfuturo

( )Beneficiodel deudor




2. Dc r% Vn tDividiendo

Dr r% Var t

Dc VnDr Var

− = ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

∴ =

Dr

Luego :Dc Vn Por propiedad de proporciones

Dc Dr Vn Var=

− −

Dc VnDr Var

∴ =

( )Dr

3. Dc r% Vn tDividiendo

Dr r% Var t

Dc Dr Vn Var r% t

Dc Dr Dr r% t

− = ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

− = − ⋅ ⋅

∴ − = ⋅ ⋅

Vac Dc Var Dr

4. Vn Vn

Var Var Dc Dr+ +

− =

∴ − = −

Ejemplos

1. Camilo coloca 50% de su capital a una tasa de interés del 3% mensual y el resto al 28% obteniendo una renta anual de S/. 96 000. ¿Cuánto es el monto? Solución Capital 2x

36 28 x x 96 000 x 150 000100 100

M 2(150 000) 96000 39 6000

∗ =

∗ ⋅ + ⋅ = → =

∗ = + =

2. Un capital de S/. 2 000 es impuesto al 20%

capitalizable cada año, durante 4 años. Halle el interés del segundo año en soles. Solución Al terminar el primer año I 20%(2000) M 120%(2000)1 1Al terminar el segundo año: I 20%(120%(2000)) S/. 4802

= → =

= =

3. El valor actual de una letra es S/. 455 000 y es

descontada al 5% semestral ¿Dentro de cuánto tiempo vencerá? Considere que la relación entre el descuento y el valor nominal es como 1 a 8.

Solución:

Dc 1 Vn.10%.t 1 Vn 8 Vn 8

t 1,25 años 15meses

∗ = → =

= = 4. El valor actual de una letra de cambio que vence

dentro de medio año es S/. 455. Calcule la tasa de descuento anual si su valor nominal es de S/. 500.

Solución:

ac Dc Vn V Dc 500 455 Dc 45 Dc Vn r% t

45 500 r% 0,5 r 18%

∗ = −

∗ = − → =∗ = ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ → =

5. Una letra cuyo valor nominal es S/. 9 000, se negocia

faltando 72 días para su vencimiento. Si el descuento es del 20% bimestral ¿Cuánto se recibirá por ella?

Solución:

ac

ac

ac

72 días V 20%bim Vn = S/.9000

V Vn Dc

20%.9000 V 9000. 6 84060

∗

←←←←←←←←←←←←←←←←∗ = −

∗ = =

EJERCICIOS DE CLASE

1. ¿Cuál es el capital, en soles, que se coloca al 25%

durante 3 años, para obtener un interés de 1620 soles? A) 2 160 B) 1 800 C) 720 D) 972 E) 2 430

2. ¿A qué tasa anual debe ser colocado un capital para

que en 6 años y 8 meses produzca un interés equivalente a la cuarta parte del monto? A) 4% B) 5% C) 12% D) 10% E) 3%

3. Un capital impuesto al 5% anual de interés simple,

ha producido durante un cierto tiempo un interés igual al 4% del monto. ¿Durante cuántos meses se colocó el capital? A) 13 B) 8 C) 10 D) 9 E) 12

4. La diferencia de dos capitales es de 2 000 soles el

primero se impone al 16% anual y el segundo al 10% semestral. Si al cabo de un año los montos son iguales, halle, en soles, el mayor capital.

A) 48 000 B) 46 200 C) 60 800 D) 60 000 E) 48 400




5. Miriam depositó a interés simple 8 500 soles a una tasa anual del 12% durante 2 años, pero al cabo de 20 meses retiró su dinero debido a un problema de salud. ¿Qué cantidad de dinero, en soles, dejó de recibir Miriam respecto a lo que tenía previsto? A) 450 B) 420 C) 280 D) 320 E) 340

6. Se tiene un capital prestado a una determinada tasa de interés de tal manera que en 5 meses produce un monto de 33 750 soles y en 7 meses el monto producido es de 35 250 soles. ¿Cuál sería el monto, en soles, al término del año? A) 39 000 B) 37 750 C) 39 250 D) 39 750 E) 40 000

7. Un capital impuesto al 15 % trimestral de interés

simple produce anualmente 3 000 soles más de interés que si se impusiese al 55 % anual. ¿Cuánto, en soles, es el capital inicial? A) 65 000 B) 60 000 C) 68 000 D) 69 000 E) 70 000

8. Calcule el valor nominal, en soles, de una letra que

se vence dentro de 45 días y que al descontarla comercialmente al 9% anual se paga 11 865 soles. A) 14 000 B) 15 000 C) 12 000 D) 13 000 E) 10 000

9. Determine el valor actual, en soles, de un pagaré de 72 000 soles que vence el 10 de octubre y se negocia con una tasa de descuento del 7% anual el 12 de setiembre del mismo año? A) 79 250 B) 73 240 C) 75 420 D) 71 608 E) 78 600

10. ¿Qué descuento, en soles, se le debe hacer a una letra de 7 200 soles al 5%, si faltan 2 trimestres para que venza? A) 90 B) 300 C) 240 D) 270 E) 180

11. ¿Cuánto se pagará, en soles, por una letra de 8 400

soles al 2% bimestral, si faltan 3 meses para que venza? A) 8 148 B) 8 132 C) 3 421 D) 4 358 E) 3 458

12. Calcule la tasa descontable de una letra cuyo valor

nominal era 18 000 soles, si se ha pagado por ella 17 635 soles, faltando 73 días para su vencimiento A) 5 B) 10 C) 8 D) 12 E) 18

13. Se ha descontado comercialmente una letra de 1 800 soles que vencía dentro de 4 meses a una tasa del 40% anual. ¿Cuánto, en soles, ha sido el descuento?

A) 640 B) 320 C) 240 D) 480 E) 360

14. Un pagaré de 3 000 soles se ha descontado

comercialmente al 3% trimestral, obteniéndose 1 200 soles de valor actual. ¿Cuál es el tiempo, en años, de vencimiento? A) 7 B) 6 C) 8 D) 5 E) 9

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN 1. ¿A qué tasa de interés la suma de 20 000 soles

llegará a un monto de 21 200 soles colocada a interés simple en 9 meses? A) 8% B) 6% C) 9% D) 7% E) 5%

2. Un capital estuvo impuesto al 9% anual. Si se obtuvo

un monto de 10 200 después de 4 años, calcule a cuantos soles asciende el capital.

A) 5 800 B) 7 500 C) 6 500 D) 7 000 E) 6 000

3. Determine el tiempo necesario, en meses, que se

requiere para triplicar un capital impuesto a interés simple y al 1% mensual.

A) 220 B) 128 C) 200 D) 180 E) 160

4. Dos capitales diferentes se depositan en un banco. El mayor capital al 2% semestral y el otro al 2% trimestral; luego de 6 años, los montos son iguales. Determine el mayor capital, si excede en 3 000 soles al otro capital.

A) 17 500 B) 15 500 C) 16 500 D) 18 500 E) 19 500

5. Se presta un capital al 21 % trianual. Si se hubiese

impuesto a 2 años más, a la misma tasa, el interés hubiera sido 125 % del anterior, ¿cuántos años fue el tiempo de imposición?

A) 9 B) 10 C) 7 D) 6 E) 8




6. Un capital se impone al 50 % anual durante 3 años, de manera que cada año se reciben las ganancias y la mitad de ellas se suman al capital. Si al final del tercer año se recibieron 37 500 soles, determine el valor del capital que fue depositado.

A) 19 200 B) 17 200 C) 20 200 D) 21 200 E) 18 200

7. Maritza divide su capital en tres partes iguales y las

impone al 1% mensual, 5% trimestral y 4% semestral logrando un interés anual de 10 000 soles. Calcule el capital inicial de Maritza.

A) 72 000 B) 75 000 C) 74 000 D) 78 000 E) 79 000 8. Una letra de 2 000 soles fue negociada a 40 días de

su vencimiento y por ella se obtuvo 1980 soles. Determine la tasa de descuento.

A) 18% B) 12% C) 9% D) 4,5% E) 16%

9. ¿A qué tasa cuatrimestral cuyo descuento comercial

debe estar sujeto una letra de 2 208 soles, tal que si se paga con una anticipación de 1 año y 8 meses se obtenga un descuento comercial de 276 soles? A) 7% B) 5% C) 3% D) 2,5% E) 6%

10. Una letra cuyo valor nominal es de 30 000 soles vence dentro de 2 años y es descontable al 5% anual. ¿Dentro de cuántos meses se podrá pagar dicha letra con un monto generado por 25 000 soles con una tasa del 6% cuatrimestral? A) 10 B) 7 C) 9 D) 11 E) 8

11. Calcule el descuento comercial, en soles, de una

letra de cambio cuyo valor nominal es de 24 300 soles que vence en 60 días a una tasa del 8 % anual. A) 324 B) 328 C) 334 D) 452 E) 326

12. Determine el valor nominal, en soles, de una letra

que ha sufrido un descuento de 24 soles al 2% trimestral, faltando 5 meses para que venza. A) 600 B) 720 C) 660 D) 840 E) 450

13. El valor nominal y el descuento comercial de una letra suman 1 580 soles. Si el valor actual es de 1 420 soles y la tasa de descuento es del 8% anual, ¿cuántos meses antes de la fecha de vencimiento se canceló la deuda? A) 3 B) 11 C) 8 D) 10 E) 6


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