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Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Encadrant ONERA
Vincent FABBRO
MODÉLISATION DE LA PROPAGATION D’UNE ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE SUR DES SCÈNES DE
GRANDE TAILLE PAR RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION PARABOLIQUE 3D VECTORIELLE
Arnaud GINESTET
Directeur de thèse
Jérôme SOKOLOFF
2Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Contexte
• Sensibilité de beaucoup de systèmes EM aux effets de propagation
• Radar • Systèmes de communications• Systèmes passifs pour l’écoute militaire• Systèmes de brouillage• …
• Modélisation de la propagation des ondes essentielle pour :• Amélioration de la conception des systèmes• Prise de décision en contexte opérationnel
3Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Récepteur
Émetteur
Contexte
• Modélisation tridimensionnelle nécessaire pour certaines configurations basse altitude, telles que :
• Scène urbaine• Vallée
Station sol
Récepteur
Immeubles
4Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Plan de l’exposé
• Résolution du problème 3D de grande taille : Méthodes envisageables
• Méthode de Split-Step Fourier
• Méthode des Différences Finies
• Validations des deux modèles développés
• Mise en valeur des effets propagatifs tridimensionnels
• Conclusions et perspectives
5Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Méthodes asymptotiques envisagées• Méthodes de courants et de rayons (OG, OP, etc.) couplées
avec du tracé/lancer de rayons• Lancer faisceaux gaussiens• Résolution de l’Équation Parabolique 3D• Hybridation(s)
Méthodes envisageables
• Prise en compte de scènes 3D de grande taille (plusieurs km3)• Grande variété :
• de caractéristiques diélectriques possibles• de géométries possibles
• Connaissance approximative de ces dernières
Axe de propagation (x)
Domaine de calcul
Émetteur
Utilisation de méthodes asymptotiques
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
• Hybridation(s)
6Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Méthodes asymptotiques de courants et de rayons
• Méthodes asymptotiques de courants :• Optique Physique• Théorie Physique de la Diffraction
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
Ei,Hi
Propagation
Hauteur
AntenneRelief
• Application au problème 3D grande taille
Problématique :• Calcul du champ incident
Je,Jm
Er,HrEr,Hr
Je,Jm
Je,Jm
Objet
Je,Jm?
Je,Jm?
• Théorie Physique de la Diffraction
7Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Méthodes asymptotiques de courants et de rayons
• Méthodes asymptotiques de rayons :• Optique Géométrique• Théorie Uniforme de la Diffraction
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
E
Q
R
• Application au problème 3D grande taille
Ei,Hi
Plaque (facette)
Plaque
facétisation
Front d’onde
Champ obtenu par OG
D2/20
D
FERMAT : hybridation pertinente des méthodes asymptotiques de rayons et de courants
référence pour plusieurs cas tests
8Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Obtention de l’Équation Parabolique 3D
• Équation d’Helmholtz
0 220
222 CC mkzyx
• Décomposition suivant la direction de propagationC champ électrique ou magnétique
x dérivée partielle suivant x
y dérivée partielle suivant y
z dérivée partielle suivant z
k0 nombre d’onde dans le vide
m indice de réfraction modifié
avec• On néglige la rétro-propagation
0 220
22 Cmki zyx
Propagation en avantRétro-propagation
0 220
22220
22 Cmkimki zyxzyx
Axe de Propagation (x)
Domaine de calcul
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
9Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Méthode de l’Équation Parabolique 3D
Développement de la racine carrée : 0 220
22 Cmki zyx
Cône de validité• Développement « petit angle » :2
11
Utilisation d’une fonction réduite : xjke 0uC
uu
22
20
2
0 2
1
2
1zyx k
mjk
Émetteur
30°
• Développement « grand angle » :
60°
CC
1
11 22
20
0 mk
jk zyx
1111 PQPQ
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
10Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Conditions aux limites
• Sur les bords et le haut du domaine
y
z Domaine de calcul
Domaine utile
• À la surface du relief
HnnEn ZE vecteur champ électriqueH vecteur champ magnétiquen normale unitaire extérieureZ impédance de surface de l’obstacle
Sur les bords et le haut du domaine
y
z
Domaine de calcul
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
Axe de propagation (x)
Volume de calcul
Émetteur
Dom
aine
de
ca
lcul
À la surface du relief
11Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Plan de l’exposé
• Résolution du problème 3D de grande taille : Méthodes envisageables
• Méthodes de courants et de rayons• Méthode de l’Équation Parabolique 3D
• Méthode de Split-Step Fourier
• Méthode des Différences Finies
• Validations des deux modèles développés
• Mise en valeur des effets propagatifs tridimensionnels
• Conclusions et perspectives
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
12Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Propagation par Split-Step Fourier
zyxeDFFTeDFFTezyxxx
mjkxkk
kjkx
mjk zy
,,22,, 2
111
12
10
2220
00
CC
Méthodologie : Passage dans l’espace de Fourier
Axe de PropagationÉmetteur
C(x
,y,z
)Espace spatial
x
FFT2DFFT2D-1
x
C(x
+x,
y,z)
C(x
+x,
y,z)y
z
• Équation de propagation dans l’atmosphèreconnuinconnu
C(x,k
y ,kz )
C(x+x,k
y ,kz )
C(x
+x,
y,z)
connu
Espace de Fourier
kz
ky
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
13Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Introduction du relief
• Méthodologie (théorie de Janaswamy)
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
x
y
z
Non prise en compte des CL lors de la propagation
CL appliquée après coup
Obs
tacl
e
Obstacle
y
z
Domaine de calcul
0
• Annulation du champ à l’intérieur de l’obstacle et du sol
• Application de la CL de Léontovich calculée dans l’espace spectral
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
0
0
0
x x
14Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
zy
xFront d’onde
Modélisation de la réflexion par la méthode SSF
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
Hauteur émetteur 10 mFréquence 1 GHzOuverture antenne à 3 dB 5 °Portée du calcul 1 kmLargeur domaine 240 mHauteur domaine 100mPolarisation H
Ey
Ex
|Ex| [dB] |Ey| [dB]
Nécessité d’un pas de progression fin pour assurer la convergence de la méthode
SSF
|Ex| [dB]
|Ey| [dB]
|Ez| [dB]
15Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Modélisation de la réflexion par la méthode SSF
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
Décalage émetteur 25 mFréquence 1 GHzPortée du calcul 619 mLargeur domaine 85 mHauteur domaine 30 mPolarisation VTaille plaque 20 m x 20 mAbscisse plaque 500 mInclinaison plaque 15°
|Ez|[dB]
plaque
visualisation
x
y
16Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
|Hy| [dB]|Hx| [dB]
Modélisation de la réflexion par la méthode SSF
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
Hauteur émetteur 10 mFréquence 1 GHzOuverture antenne à 3 dB 5 °Portée du calcul 1 kmLargeur domaine 240 mHauteur domaine 100mPolarisation V
SSF
|Hx| [dB]
|Hy| [dB]
|Hz| [dB] Mauvaise modélisation de la discontinuité présente au sol
17Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Plan de l’exposé
• Résolution du problème 3D de grande taille : Méthodes envisageables
• Méthodes de courants et de rayons• Méthode de l’Équation Parabolique 3D
• Méthode de Split-Step Fourier
• Méthode des Différences Finies
• Validations des deux modèles développés
• Mise en valeur des effets propagatifs tridimensionnels
• Conclusions et perspectives
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
18Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
z
y
xl l+1
p
q
q+1
q-1
p+1
Propagation par Différences Finies
Méthodologie : discrétisation des dérivées partielles
uu 22zyx avec une constant et
Point(s) connu(s)
Point(s) inconnu(s)
Point inconnu recherché
• Exemple pour l’équation de propagation en espace libre
• Schémas de discrétisation classiques• Schéma explicite• Schéma implicite pur• Schéma implicite mixte
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
22
2
1,,1,
2
,1,,1,,1
z
uuu
y
uuu
x
uu qpl
qpl
qpl
qpl
qpl
qpl
qpl
qpl
22
2
1,1
,1
1,1
2
,11
,1
,11
,,1
z
uuu
y
uuu
x
uu qpl
qpl
qpl
qpl
qpl
qpl
qpl
qpl
2
1,1
,1
1,1
2
,11
,1
,11
,,1
2
2
2
2
z
uuu
y
uuu
x
uu qpl
qpl
qpl
qpl
qpl
qpl
qpl
qpl
xjke 0Eu
2
1,,1,
2
,1,,1
2
2
2
2
z
uuu
y
uuu qpl
qpl
qpl
qpl
qpl
qpl
À inverser
lzy
lzy Ux
AAIUx
AAI
22 1
Forme matricielle
21
121
121
12
21
121
121
12
21
121
121
12
Ay=
21
21
21
21
121
121
121
121
12
12
12
12
Az=
Stabilité inconditionnelle (large x)Précision
Résolution lourde
19Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Méthode à pas fractionnaires
inversion des matrices tridiagonales Ay et Az à
chaque demi-pas 4N opérations par itération
z
y
x
pas intermédiaire : l+1/2
l l+1
lz
l
y UxA
IUxA
I
22 21
211 22
l
yl
z UxA
IUxA
I
• Méthodologie :• Utilisation d’une méthode à pas fractionnaires
Principe : diviser la résolution lourde en plusieurs résolutions plus aisées
• Problématique :• Résolution lourde du schéma implicite mixte
inversion d’une matrice pentadiagonale : N² opérations par itération
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
Résolution plus rapide
20Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
x
z
Introduction des conditions aux limites
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
x
y
z
l l+1/2 l+1
• Premier demi pas : point au sol connu
Introduction de conditions aux limites simplifiées dans l’algorithme de
propagation
Repère local
en
ety
etx
ez
ey
ex
• Second demi pas : point au sol inconnu
0
0
0
nn
ty
tx
E
E
E
0
0
0
zz
y
x
E
E
E
21
21
21
21
121
121
121
121
12
12
12
12
Az=
21
21
21
21
121
121
121
121
12
12
12
12
21Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Calcul du point au sol par DFMéthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
x
z
Repère local
en
ety
etx
0
0
0
nn
ty
tx
E
E
E
CL complète :
• En chaque point du relief• Passage dans un repère local• Application des CL complètes• Retour dans le repère cartésien
Permet de modéliser la dépolarisation et le
couplage
22Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Introduction de points virtuels pour le calcul de la CL
• Problématique :• Discrétisation des CL sur une grille régulière lorsque le relief ne
coïncide pas avec cette grille
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
obstacle
Point à la limite exacte : Pl
Point virtuel : PV
• Méthodologie :• Introduction d’un point virtuel
00)( lzzyyxxln PCnnnPCNeumann :
0)( lPC
P1
P2
22zyx
y ?
z ?
x ?
Développement de Taylor suivant z :
02
22
322
2
12
2
PCPCPC V
21 2
21
22
2
23PC
zPC
zPC
zPC Vlz
Développement de Taylor suivant z :
Développement de Taylor suivant y impossible Développement de Taylor suivant z puis développement
suivant y
Système où seul C(PV) est inconnu
Dirichlet :
23Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Synthèse sur la modélisation par DF
CL complète
Relief
En chaque point du relief
Propagation + CL simplifiée
xl l+1/2 l+1
Cx
Cy
Cz
1er demi-pas 2nd demi-pas
Com
posa
nte
itération
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
24Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Plan de l’exposé
• Résolution du problème 3D de grande taille : Méthodes envisageables• Méthodes de courants et de rayons• Méthode de l’Équation Parabolique 3D
• Méthode de Split-Step Fourier
• Méthode des Différences Finies
• Validations des deux modèles développés• Sol plan métallique• Écran• Sol pentu
• Mise en valeur des effets propagatifs tridimensionnels
• Conclusions et perspectives
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
25Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Validation de la réflexion
Hauteur émetteur 10 mFréquence 1 GHzOuverture antenne à 3 dB 5 °Portée du calcul 1 kmLargeur domaine 240 mHauteur domaine 100mPolarisation H
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
SSF DF
|Ex| [dB]
|Ey| [dB]
|Ez| [dB] SSF et DF
|Ex| [dB] |Ey| [dB]
26Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
|Hx| [dB] |Hy| [dB]
Validation de la réflexion
Hauteur émetteur 10 mFréquence 1 GHzOuverture antenne à 3 dB 5 °Portée du calcul 1 kmLargeur domaine 240 mHauteur domaine 100mPolarisation V
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
SSF DF
|Hx| [dB]
|Hy| [dB]
|Hz| [dB] DFSSF
27Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
|Ex| [dB] |Ey| [dB]
Validation de la diffractionMéthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
Hauteur émetteur 20 mFréquence 1 GHzPortée du calcul 3 kmLargeur domaine 400 mHauteur domaine 150mPolarisation HTaille écran 50 m x 100 mPosition écran 2.5 km
SSF DF
|Ex| [dB]
|Ey| [dB]
|Ez| [dB] Diffraction
28Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Prise en compte de la dépolarisationMéthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
Hauteur émetteur 10 mFréquence 1 GHzPortée du calcul 1 kmLargeur domaine 200 mHauteur domaine 100mPolarisation H
SSF DF
|Ex| [dB]
|Ey| [dB]
|Ez| [dB]
Ey
x
EzDF|E
z| [d
B]
Modélisation de la dépolarisation par DF
pente
29Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Plan de l’exposé
• Résolution du problème 3D de grande taille : Méthodes envisageables• Méthodes de courants et de rayons• Méthode de l’Équation Parabolique 3D
• Méthode de Split-Step Fourier
• Méthode des Différences Finies
• Validations des deux modèles développés
• Mise en valeur des effets propagatifs tridimensionnels• Écran• Montagne gaussienne• Montagne présentant un col• vallée
• Conclusions et perspectives
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
30Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Écran perpendiculaire au sens de propagation
• Comparaison modèle 2D/modèles 3D
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
Hauteur émetteur 20 mFréquence 1 GHzPortée du calcul 3 kmLargeur domaine 400 mHauteur domaine 150mPolarisation HTaille écran 50 m x 100 mPosition écran 2.5 km
|Ey|
[dB
]
Modèle 2Dprise en compte de l’arête horizontale uniquement
Modèles 3Dprise en compte de toutes les diffractions
31Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
|Ey| [dB]
Montagne gaussienneMéthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
Hauteur émetteur 50 mFréquence 1 GHzPortée du calcul 2.2 kmLargeur domaine 600 mHauteur domaine 200mPolarisation H
SSF DF
|Ex| [dB]
|Ey| [dB]
|Ez| [dB]
Temps de calculSSF 38min
DF 4h17min
• SSF• Grand angle• Non modélisation de la
dépolarisation• DF
• Petit angle• Modélisation de la dépolarisation
32Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
|Ey| [dB]
Montagne présentant un colMéthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
Hauteur émetteur 100 mFréquence 1 GHzPortée du calcul 2.5 kmLargeur domaine 400 mHauteur domaine 200mPolarisation H
SSF DF
|Ex| [dB]
|Ey| [dB]
|Ez| [dB]
|Ey|[
dB]
|Ey|[
dB]
Temps de calculSSF 4h01min
DF 6h42min
Mise en évidence des effets 3D
33Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
ValléeMéthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
Hauteur émetteur 50 mDécalage émetteur 100 mFréquence 250 MHzPortée du calcul 3 kmLargeur domaine 800 mHauteur domaine 250mPolarisation H
SSF DF
|Ex| [dB]
|Ey| [dB]
|Ez| [dB]
|Ey|[
dB]
Temps de calculSSF 6h12min
DF 13h30min
Mise en évidence des effets 3D
34Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Plan de l’exposé
• Résolution du problème 3D de grande taille : Méthodes envisageables
• Méthodes de courants et de rayons• Méthode de l’Équation Parabolique 3D
• Méthode de Split-Step Fourier
• Méthode des Différences Finies
• Validations des deux modèles développés
• Mise en valeur des effets propagatifs tridimensionnels
• Conclusions et perspectives
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
35Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Conclusions
• Modélisation de la propagation sur des scènes de grande taille par résolution de l’Équation Parabolique 3D vectorielle
• Méthode SSF• Grande ouverture angulaire• Pas de CL propagée• CL approximative au sol
• Méthode DF• Petite ouverture angulaire• CL simplifiée propagée• CL complète après propagation
• Mise en évidence des effets transverses et de la dépolarisation
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
• Méthode des Différences Finies• Méthode à pas fractionnaires• Introduction d’une CL simplifiée
dans la propagation• CL complète après propagation
• Méthode de Split-Step Fourier• Approche de R. Janaswamy
• Validation de ces deux modèles
36Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Perspectives
• Méthode des Différences Finies• Ouverture du cône de validité• Introduction de CL complète dans la propagation
• Validation sur des cas diélectriques
• Comparaison avec des mesures
• Codage dans un langage plus adapté pour accélérer la
résolution
• Hybridation
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
37Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Merci de votre attention…
… et place aux questions
38Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Impédance de surface
• Continuité des composantes tangentielles des champs à l’interface
• Si
• Alors
• Si milieu dense
• Et donc
Milieu 1
Milieu 2
n
0
1
22
02 iZ
L.M. Brekhovskikh, Waves in Layered Media, San Diego Calif. : Academic Press, 1980
avec
11 HnnEn 2Z
2
2
HnHn
EnEn
1
1
2222ˆ HkE Z
222ˆ HknEn 1 Z
nk 2ˆ k1
k2
39Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Impédance de surface
• Relation de Descartes
• Milieu 1 (air)Milieu 1
Milieu 2
n
0
1
11
0 sinsin
n
110000 sinsin nknk
si le milieu 1 est dense n1 très grandhypothèse
1 nul champ est transmis est normal à la surface
00
1
iZr
L.M. Brekhovskikh, Waves in Layered Media, San Diego Calif. : Academic Press, 1980
0
00
Zavec
40Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Choix des échantillonnages
• Nombre de points spatiaux, Ny et Nz, permettant de garantir un bon échantillonnage du spectre
2/sin2
2/sin2
max
max
0
0
k
k
zz
yy
hN
hN– k0 le vecteur d’onde–max l’angle de paraxialité– et le domaine ci-dessus
pour :
kx
ky
kz
Cône de paraxialité
hy
hz
11
Nz points
Ny points
Domaine de calcul
max
k0
|Ex|[dB] |Ey|[dB] |Ez|[dB]
Relation satisfaite
Relation non satisfaite
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives
41Arnaud GINESTET, le 04 mai 2007
Relations de consistance
• Erreur de troncature :• L(u) le schéma discret utilisé
• L(u) l’expression discrétisée complète de l’Équation Parabolique
• Le choix des pas satisfaisants les équations suivantes permet de diminuer cette erreur :
uLuLuR
06
062
2
zx
yx
|Ex|[dB] |Ey|[dB] |Ez|[dB]
Consistance assurée
Consistance non assurée
Méthodes envisageables
Méthode de Split-Step Fourier
Méthodes des Différences Finies
Validations
Mise en valeur des effets propagatifs 3D
Conclusion/Perspectives