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INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE LA REGION SIERRA

PRESENTACION:

NOMBRE: ARNOLDO ALARCON VALENCIA

CARRERA: ING. INFORMATICA

GRUPO: B

SEMESTRE: 3

MATERIA: MATEMATICA DISCRETA

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TEMAS:

5.1.1 PRODUCTO CARTECIANO

5.1.2 RELACION BINARIA

5.1.3 REPRESENTACION DE RELACIONES (MATRIZES, CONJUNTOS,

GRAFOS DIAGRAMA DE FLECHAS).

5.2 PROPIEDADES DE LAS RELACIONES (REFLEXIVA, IRREFLEXIVA,

SIMETRICA, ASIMETRICA, ANTISIMETRICA, TRANSITIVA).

5.3 RELACIONES DE EQUIVALENCIA (CERRADURAS, CLASE DE

EQUIVALENCIA, PARTICIONES).

5.4 FUNCIONES (INYECTIVA, SUPRAYECTIVA, BIYECTIVA).

5.5 APLICACIN DE LAS RELACIONES Y LAS FUMCIONES EN LAS

COMPUTADORAS.

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5.1.1 PRODUCTO CARTECIANO:

En teora de conjuntos y en lgebra abstracta, el producto

cartesiano de dos conjuntos es una relacin de orden que resulta

en otro conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados

que pueden formarse tomando el primer elemento del par del

primer conjunto, y el segundo elemento del segundo conjunto.

Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su

producto cartesiano es:

A B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)}

El producto cartesiano recibe su nombre de Ren Descartes, cuya

formulacin de la geometra analtica dio origen a este concepto.

DEFINICION:

Un par ordenado es una coleccin de dos objetos distinguidos

como primero y segundo, y se denota como (a, b), donde a es el

"primer elemento" y b el "segundo elemento". Dados dos

conjuntos A y B, su producto cartesiano es el conjunto de todos

los pares ordenados que pueden formarse con estos dos

conjuntos:

El producto cartesiano de A y B es el conjunto A B cuyos

elementos son los pares ordenados (a, b), donde a es un elemento

de A y b un elemento de B:

Puede definirse entonces el cuadrado cartesiano de un conjunto

como A2 = A A.

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5.1.2 RELACIONES BINARIA:

Relacin binaria en A

Dados dos conjuntos A y B, una relacin R binaria es cualquier

subconjunto de AxBDados aA y bB, a est relacionado con b

por R si (a,b)R, aRb. Si a no est relacionado con b, es decir,

(a,b)R, escribimos aRb.Si B=A, R es una relacin binaria en A.

REPRECENTACION DE UNA RELACION:

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DIAGRAMA SAGITAL:

MATRIZ ADYACENTE:

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5.1.3 REPRESENTACION DE RELACIONES (MATRIZES,

CONJUNTOS, GRAFOS DIAGRAMA DE FLECHAS).

Representacin de relaciones

Los ejemplos de relaciones que ms se presentan en el rea de la

computacin son aquellas que estn definidas sobre conjuntos

finitos. En esta seccin se trataran dos formas de representar

dichas relaciones y su uso para poder identificar las propiedades

vistas en la seccin anterior.

Representacin de relaciones usando matrices

Un mtodo para el estudio de las relaciones de manera

algortmica es utilizando matrices compuestas de ceros y unos.

Sean A y B conjuntos finitos de la forma:

Si R es una relacin de A en B. La relacin R puede ser

representada por la matriz, donde

La matriz se denomina matriz de R. En otras palabras la matriz, de

ceros y unos, de R tiene un 1 en la posicin cuando est

relacionado con, y un 1 en esta posicin si no est relacionado

con:

Obsrvese en la definicin anterior que los elementos de A y B

han sido escritos en un orden particular pero arbitrario. Por lo

tanto, la matriz que representa una relacin depende de los

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rdenes usados para A y B. Cuando A = B usamos el mismo orden

para A y B.

EJEMPLO:

Sean.

Consideremos la siguiente relacin de:

.

Entonces la matriz de R es

Recprocamente, dando los conjuntos A y B con m y n elementos

respectivamente, una matriz de m x n formada de ceros y unos

determina una relacin de A en B, como se ilustra en el siguiente

ejemplo.

Representacin de relaciones usando conjuntos.

Un conjunto es una coleccin de objetos considerada como un

objeto en s. Los objetos de la coleccin pueden ser cualquier

cosa: personas, nmeros, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de

los objetos en la coleccin es un elemento o miembro del

conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Ail, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos

sus elementos comparten. Por ejemplo, para los nmeros

naturales, si consideramos la propiedad de ser un nmero primo,

el conjunto de los nmeros primos es:

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P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, }

Un conjunto queda definido nicamente por sus miembros y por

nada ms. En particular el orden en el que se representen estos es

irrelevante. Adems, cada elemento puede aparecer de manera

idntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos

totalmente idnticos repetidos. Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Mircoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes,

Jueves, Lunes, Mircoles}

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Ail, Violeta} = {Rojo,

Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Ail, Violeta, Naranja}

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los

nmero naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en

el sistema solar es finito (tiene ocho elementos). Adems, con los

conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera

similar a las operaciones con nmeros.

Los conjuntos son un concepto bsico, en el sentido de que no es

posible definirlos en trminos de nociones ms elementales, por

lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando

a la intuicin y a la lgica. Por otro lado, son el concepto

fundamental de la matemtica: mediante ellos puede formularse

el resto de objetos matemticos, como los nmeros y las

funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la

introduccin de axiomas y conduce a la teora de conjunto.

Representacin de relaciones usando grafos.

un grafo es el principal objeto de estudio de la teora de grafos.

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Informalmente, un grafo es un conjunto de objetos llamados

vrtices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que

permiten representar relaciones binarias entre elementos de un

conjunto.

Tpicamente, un grafo se representa grficamente como un

conjunto de puntos (vrtices o nodos) unidos por lneas (aristas).

Un grafo G es un par ordenado G = (V,E), donde:

V es un conjunto de vrtices o nodos, y

E es un conjunto de aristas o arcos, que relacionan estos

nodos.

Normalmente V suele ser finito. Muchos resultados importantes

sobre grafos no son aplicables para grafos infinitos.

Se llama orden del grafo G a su nmero de vrtices, | V | .

El grado de un vrtice o nodo V es igual al nmero de arcos E que

se encuentran en l.

Un bucle es una arista que relaciona al mismo nodo; es decir, una

arista donde el nodo inicial y el nodo final coinciden.

EJEMPLO:

V:={1,2,3,4,5,6}

E:={{1,2},{1,5},{2,3},{2,5},{3,4},{4,5},{4,6}}

El hecho que el vrtice 1 sea adyacente con el vrtice 2 puede ser

denotado como 1 ~ 2.

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En las teoras de las categoras una categora puede ser

considerada como un multgrafo dirigido, con los objetos como

vrtices y los morfismos como aristas dirigidas.

En ciencias de la computacin los grafos dirigidos son usados

para representar mquinas de estado finito y algunas otras

estructuras discretas.

Una relacin binaria R en un conjunto X es un grafo dirigido

simple. Dos vrtices a, b en X estn conectados por una arista

dirigida ab si aRb.

5.2 PROPIEDADES DE LAS RELACIONES (REFLEXIVA,

IRREFLEXIVA, SIMETRICA, ASIMETRICA, ANTISIMETRICA,

TRANSITIVA).

TIPOS DE RELACIONES:

Considerando que A=B las relaciones se clasifican de la Siguiente

forma:

Reflexiva

Simtrica

Asimtrica

Irreflexiva

Anti-simtrica

Transitiva

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RELACION REFLEXIVA

Cumple la propiedad cuando todo elemento del conjunto A est

relacionado consigo mismo.

Por ejemplo, sea A={1,2,3,4}

R={(1,1),(1,3),(2,2),(3,2),(3,3),(4,3),(4,4)}

RELACION IRREFLEXIVA

Cumple la propiedad cuando ningn elemento del conjunto A est

relacionado consigo mismo.

Por ejemplo, sea A={1,2,3,4}

R={(1,3),(1,4),(2,4),(3,2),(4,3)}

RELACION SIMETRICA

Cumple la propiedad cuando para cada par(a,b)Ry(b,a)R.

Si(a,b)est en la relacin pero(b,a) entonces la relacin no es

simtrica.

Por ejemplo, sea A={1,2,3,4}

R={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(3,4)

RELACION ASIMETRICA

Cumple la propiedad cuando para cada(a,b)R

entonces(b,a)Adems de que ningn elemento deber estar

relacionado consigo mismo.

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Por ejemplo, sea A={1,2,3,4}

R={(1,3),(3,2),(3,4)}

RELACION ANTI-SIMETRICA

Cumple la propiedad cuando para cada(a,b),(a,b)Ro(b,a)Inclusive

si es vlido si existen las parejas(a,a).

Por ejemplo, sea A={1,2,3,4}

R={(1,1),(1,3),(2,2),(3,3),(4,3),(4,4)}

RELACION TRANSITIVA

Cumple la propiedad cuando para cada par(a,b)Ry(b,c)R entonces

existe el par(a,c)R.

Por ejemplo, sea A={1,2,3,4}

R={(1,1),(1,3),(2,2),(3,3),(4,3),(4,4)}

RELACION REFLEXIVA Y IRREFLEXIVA:

Teorema: Una relacin R en un conjunto es reflexiva si y solo si la

diagonal principal de la matriz asociada a la relacin tiene

nicamente unos. De la misma forma es Irreflexiva si tiene

solamente ceros.

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Una relacin A es:

Reflexiva: Si todo elemento en A esta relacionado con sigo mismo,

con smbolos:

Irreflexiva: Si ningn elemento en A esta relacionado con sigo

mismo, con smbolos:

Relacin Simtrica, Asimtrica, Anti-simtrica Y Transitiva

Teorema: Una relacin R es simtrica si y solo si los elementos opuestos con respecto a la diagonal principal son iguales.

Simtrica: Si cuando un elemento esta relacionado con un

segundo elemento, el segundo tambin se relaciona con el

primero, con smbolos: (x ,y) R (y ,x) R

Asimtrica: Una relacin R en un conjunto A es asimtrica si

cuando a R b, entonces b Ra. De esto se sigue que R no es

simtrica si se tiene a y b e A con ambos a R b y b R a.

Teorema: Una relacin R en conjunto es Anti-simtrica si y solo si

los elementos opuestos con respeto a la diagonal principal no

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pueden ser iguales a 1; esto es, puede aparecer 0 con 1 o pueden

aparecer ceros.

Anti-simtrica: Si cuando un elemento est relacionado con un

segundo elemento diferente, el segundo no se relaciona con el

primero, con smbolos: x, y, ((x, y) R (y, x) R x = y)

La anti-simetra no es lo opuesto de la simetra.

Transitiva: Si cuando un elemento est relacionado con un

segundo elemento y el segundo est relacionado con un tercero,

entonces el primero est relacionado con el tercero:

Ejemplo para todas las relaciones

Cuando tenemos la matriz de una relacin es muy fcil verificar si

es reflexiva, Irreflexiva, Simtrica, Asimtrica, Antisimtrica,

Transitiva:

Ejemplo.- Sea A = { a, b, c, d, e }

R1 = { (a,a), (b,b), (a,c), (b,c), (c,a), (d,d) }

R2 = { (a,a), (a,d), (c,b), (d,a), (c,e), (e,e) }

R3 = { (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (b,c), (b,a) }

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R4 = { (a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (b,c), (b,e), (c,e), (b,d), (d,a), (e,e) }

R5 = { (a,c), (a,e), (e,c), (b,c) }

R6 = { ( (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (a,e), (b,c), (c,b), (e,a) }

R7 = { (a,b), (b,d), (c,a), (d,e), (e,c), (b,c), (b,a) }

Si observamos la figura podemos darnos cuenta que R3 y R6

son Reflexivas, y tambin podemos ver que R5 y R7 son

Irreflexivas.

De las relaciones anteriores R6 es simtrica, R3 y R5 son anti-

simetricas; R3, R4 y R5 son Transitivas.

5.3 RELACIONES DE EQUIVALENCIA (CERRADURAS, CLASE

DE EQUIVALENCIA, PARTICIONES).

CERRADURAS DE UNA RELACION:

Sea R una relacin en un conjunto A. Una cerradura reflexiva ref(

R ) de R en A es la menor relacin que la incluye y que es

reflexiva, con smbolos: ( R reflexiva) (A R ref( R )) R =

ref( R )) Una cerradura simtrica sim( R ) de R en A es la menor

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relacin que la incluye y que es simtrica, con smbolos: (R

reflexiva) (A R ref( R )) R = ref( R ))

Una cerradura transitiva trans( R ) de R en A es la menor

relacin que la incluye y que es transitiva, con smbolos: ( R

reflexiva) (A R ref( R )) R = ref( R )

La cerradura reflexiva y la cerradura simtrica de una relacin es

muy simple de encontrar, solamente se le agregan los pares

necesarios de una forma directa. Cuando conocemos la matriz

asociada a la relacin, la forma de encontrar las cerraduras

anteriores es muy simple.

Teorema: Sea R una relacin en A y MR su matriz asociada. La

cerradura reflexiva y la cerradura simtrica de R son nicas y se

pueden obtener mediante las matrices siguientes

Mref(R) = MR In, donde In es la matriz identidad de orden |A|.

Msim(R) = [a ij], donde a ji = 1 si a ij = 1 en MR.

La Matriz identidad In de orden n es:

{$ {(1,,0), (vdots, ddots, vdots), (0,,1)] $}

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O sea que para lograr la cerradura reflexiva debemos agregar 1s

en la diagonal, para la cerradura simtrica debemos agregar 1s en

luagres simtricos a la diagonal principal donde existan 1s.

Cierre de equivalencia

Para calcular el cierre de equivalencia de una relacin binaria R

sobre un conjunto A: Calcularemos primero su cierre reexivo,

(R) Sobre el resultado calcularemos el cierre simtrico, ((R))

nalmente el cierre transitivo del resultado anterior, (((R)))

CLASES DE EQUIVALENCIA

Al conjunto de los elementos del conjunto A que estn

relacionados con l se llama clase de equivalencia.

Ejemplo:

La relacin a - b = 2.k (mltiplo de 2), siendo a y b nmeros

enteros es una relacin de equivalencia porque cumple las

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propiedades: Reflexiva: a - a = 0 = 2.k (k = 0). Simtrica: a - b = b - a

porque b - a = -(a - b). Si a - b es mltiplo de 2, -(a - b) tambin lo

ser. Transitiva: a - b = 2.k1 b - c = 2.k2 Sumando queda a - c =

2.k3 Entonces a - c es mltiplo de 2.

En el ejemplo anterior, la clase de equivalencia del nmero cero

(uno de los elementos del conjunto de los nmeros enteros) C(0)

= {... -4, -2, 0, 2, 4, ...}, pues 0 - (-4) es mltiplo de 2, 0 - (-2) es

mltiplo de 2 ya s sucesivamente. La clase de equivalencia del

nmero 1 ser C(1) = {... -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...} pues la diferencia

entre 1 y los nmeros indicados es mltiplo de 2.

Del mismo modo podramos calcular las clases de equivalencia de

ms nmeros.

El conjunto formado por las clases de equivalencia se llama

conjunto cociente.

En el ejemplo anterior el conjunto cociente Z / 2 es el conjunto

formado por las clases de todos los elementos Z / 2 = {C(0), C(1),

C(2), ... }.

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PARTICIONES:

Sea X un conjunto. P es una particin de X si y slo si: Los

conjuntos de P son disyuntos 2 a 2, es decir, si y entonces

Observe que si P es una particin de X, entonces todo elemento

de X est en uno y slo un elemento uno y slo un elemento de

modo que parte a en conjuntos disyuntos. Por ejemplo, el

conjunto de barriles propuesto al comienzo de la seccin es una

particin del conjunto de mangos. Otro ejemplo de una particin

es de la divisin poltica de un pas: El pas (visto como un

conjunto de personas) se parte en estados o departamentos no

vacos disyuntos entre s.

Ejemplo

Sea ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Entonces = {{1, 9}, {2, 8}, {3, 4, 5, 6, 7}}

Es una particin de X en tres conjuntos: elementos externos (1,9),

elementos semi-externos (2, 8) y elementos internos (3, 4, 5, 6, 7).

Note que Q = {{1, 2, 9}, {2, 8}, {3, 4, 5, 6, 7}} no es particin de X

(por qu?).

Como lo habamos insinuado, resulta que toda relacin de

equivalencia determina de manera natural una particin.

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RELACION DE EQUIVALENCIA

En teora de conjuntos y lgebra la nocin de relacin de

equivalencia sobre un conjunto, permite establecer una relacin

entre los elementos del conjunto que comparten cierta

caracterstica o propiedad. Esto permite reagrupar dichos

elementos en clases de equivalencia, es decir, paquetes de

elementos similares. Esto posibilita la construccin de nuevos

conjuntos aadiendo todos los elementos de una misma clase

como un solo elemento que los representar y que define la

nocin de conjunto cociente.

DEFINICION:

Sea un conjunto dado no vaco y una relacin binaria definida

sobre. Se dice que es una relacin de equivalencia si cumple las

siguientes propiedades:

Reflexividad: Todo elemento de est relacionado consigo

mismo.

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.

5.4 FUNCIONES (INYECTIVA, SUPRAYECTIVA, BIYECTIVA).

Ejemplo de funcin inyectiva.

En matemticas, una funcin es inyectiva si a cada valor del

conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el

conjunto (imagen) de . Es decir, a cada elemento del conjunto A le

corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede

haber dos o ms elementos que tengan la misma imagen.

As, por ejemplo, la funcin de nmeros reales, dada por no es

inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f(

2). Pero si el dominio se restringe a los nmeros positivos,

obteniendo as una nueva funcin entonces s se obtiene una

funcin inyectiva.

Funcin biyectiva

Definicin. Una funcin es biyectiva si al mismo tiempo es

inyectiva y suprayectiva, y la relacin entre los elementos del

dominio y los del codominio es biunvoca.

Ejemplo de funcin biyectiva.

En matemtica, una funcin es biyectiva si es al mismo tiempo

inyectiva y sobreyectiva.

Formalmente,

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Para ser ms claro se dice que una funcin es biyectiva cuando

todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x)

tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la

regla de la funcin inyectiva. Sumndole que cada elemento del

conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de

llegada, en este caso (y) que es la norma que exige la funcin

sobreyectiva Teorema Si es una funcin biyectiva, entonces su

funcin inversa existe y tambin es biyectiva.

FUNCION SUPRAYECTIVA

Definicin. Una funcin es suprayectiva o sobre si todo

Elemento de su Codominio es imagen de por lo menos un

Elemento de su Dominio, lo que se expresa como:

Sea f : Df Cf

( ) f f Si b C existe a D tal que ,

Entonces F es sobre.

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5.5 APLICACIN DE LAS RELACIONES Y LAS FUMCIONES EN

LAS COMPUTADORAS.

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES A DISTINTAS REAS:

En cualquier rea de las ciencias, existen leyes en las que se

relacionan distintas magnitudes, temperatura-presin, masa-

velocidad, intensidad del sonido-distancia, etc. Es decir, a partir

de los valores de algunas magnitudes se obtienen los valores de

otras de forma directa a travs de frmulas ya demostradas.

Un punto de origen del concepto de funcin nace precisamente de

las relaciones que mantienen diferentes magnitudes, as pues la

funcin se puede representar algebraicamente o de forma grfica

en la que se relacionan varias magnitudes entre s.

Mediante la representacin grfica de estas relaciones entre

diferentes magnitudes, se pudo dar de forma visual esa relacin e

interpretarla de forma rpida y sencilla. Una forma de

representacin es la que se hace mediante ejes cartesianos, en la

que se la funcin se representa de forma general por la relacin

numrica de magnitudes en una grfica.

As pues, la funcin la podremos representar tanto

grficamente como mediante una expresin algebraica o frmula.

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Euler fue el primero en emplear la expresin f(x) para

representar una funcin f asociada a un valor x. Es decir, con esta

representacin que es empleada hoy, se comienza la utilizacin

del concepto de funcin tal y como hoy se entiende.

Funcin en Cinemtica:

El problema consiste en expresar la relacin entre el espacio

recorrido y el tiempo invertido en ello. Si queremos la funcin que

representa el espacio recorrido por un mvil, con velocidad

uniforme que parte del reposo e(t ) = v * t que es una funcin del

tipo f ( x ) = m * x cuya grfica es una recta dependiente de m y

que pasa por el origen de coordenadas.

BIBLIOGRAFIAS:

Http/Wikipedia.com

http//allshare.com

http//buenastareas.com

http//funcionesinyectivas.com

http//clasedeequivalencia.com