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Capitulo I. Axonometría

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CAPITULO I Axonometría La axonometría es un tipo de representación intermedia entre el sistema de proyecciones ortogonales y la perspectiva, que permite incluir las tres dimensiones de la realidad en un solo dibujo.2 De hecho la axonometría se considera como un tipo de perspectiva en la que las líneas paralelas no convergen en un punto sino en el infinito, y ha llegado a denominarse como perspectiva paralela, y así estamos acostumbrados a llamarla por su gran similitud que tiene con los dibujos que representan los objetos de la forma que los vemos o veríamos desde un punto de vista determinado, que son los que en realidad llamamos perspectivas, sin embargo se trata de dibujos de proyecciones oblicuas y ortogonales. Tipos geométricos de proyección En los dibujos geométricos de proyección que se componen de conjuntos de líneas paralelas que representan las orillas de un objeto se pueden considerar dos tipos genéricos: ortogonales y oblicuos. Los dibujos geométricos de proyección ortogonal, son los obtenidos en la proyección perpendicular sobre un plano de todos los puntos que forman un objeto, con este tipo de proyecciones obtenemos los dibujos que llamamos: plantas,

fachadas y cortes, utilizados para la ejecución de una obra, y que normalmente forman parte de lo que llamamos planos constructivos. Los dibujos geométricos de proyección oblicua, resultan cuando los objetos son proyectados en forma inclinada sobre el plano de proyección obteniendo un efecto tridimensional de líneas paralelas. De este tipo de proyecciones resulta lo que llamamos perspectiva caballera y militar, según la ubicación del objeto frente al plano. Este tipo de proyección a veces sustituye a la perspectiva cónica. Las perspectivas paralelas son fáciles de construir, se les considera perspectivas de distancia infinita.3 Cuando queremos dar a conocer el diseño de un objeto para su ejecución o estudio, tenemos que recurrir a una serie de dibujos ortogonales que abarquen todas las vistas necesarias para su mejor descripción, como lo hacemos con la geometría descriptiva en sus diferentes proyecciones sobre los planos: horizontal, vertical y lateral, que corresponde a los dibujos geométricos de proyección ortogonal. Cuando la presentación del diseño de un objeto es para un espectador no técnico, será mejor el uso de dibujos en perspectiva cónica, en donde con un solo dibujo podemos mostrar casi todas sus características. En este tipo de dibujo no técnico (perspectiva), podemos considerar dos tipos genéricos; la proyección paralela oblicua que llamamos perspectiva paralela y la proyección central que se llama

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perspectiva cónica. Los dibujos de proyección paralela se dividen en dos grupos: los oblicuos entre los que se encuentra la perspectiva caballera y la militar, y los axonométricos a los que pertenece la perspectiva isométrica, bimétrica y trimétrica.4 Perspectiva caballera Los primeros ejemplo de utilización de este tipo de perspectiva se dan en los bocetos o croquis hechos por Leonardo da Vinci en 1490 del proyecto del Codex Atlánticus. En estos dibujos hace una combinación con la planta y las elevaciones. La perspectiva caballera es el dibujo resultado de la proyección paralela oblicua de un cubo sobre un plano vertical, en el que presenta su forma más completa (ver fig. 1).

PV

FRENTE PERFIL

PL

PROYECCIÓNORTOGONAL

PROYECCIÓN OBLICUA

AE BF

DGCH

H

E F

C

A B

D

EF AB

GH CD

Figura 1

Para dibujar la perspectiva caballera, se dibuja el alzado a escala en una proyección ortogonal normal, después se trazan las otras superficies hacia atrás desde el alzado no distorsionado. Este dibujo se regirá por tres ejes: uno vertical “Y”, en donde todas las líneas que sean paralelas a este eje se dibujarán en su verdadera magnitud a escala; un eje horizontal “X”, lo mismo que en el anterior todas las líneas que sean paralelas a este eje se dibujarán en su verdadera magnitud a escala; y un eje inclinado “Z”, en el que todas las líneas paralelas a este eje se escorzan, por lo que deberán reducirse en un 25%, es decir que se dibujarán a escala con una medida de ¾ de su longitud real. Este eje inclinado “Z” podrá dibujarse a cualquier ángulo con relación a la línea horizontal, pero generalmente se utilizan los ángulos naturales de las escuadras de: 30°, 45° y 60° (ver fig.2).5

EJES Y PROPORCIONES DE LA PERSPECTIVA CABALLERA

X 1

30º, 45º Ó 60º

Y

1

3/4

Z

Figura 2

4

Los ángulos se escogerán de acuerdo con las características del objeto a dibujar, de manera que se vea lo más completo posible (ver fig. 3).

PLANTA

ELEVACIÓN

PERSPECTIVA CABALLERA

Figura 3

5

El uso de este tipo de perspectiva paralela no es frecuente, debido a la dificultad que presenta calcular las distancias de las líneas paralelas al eje inclinado para dibujarlas a escala. Una de sus características es presentar siempre una de sus caras de frente en su verdadera magnitud y las demás reducidas inclinadas hacia atrás,6 se buscará que esta

cara sea la que permita que el objeto se vea lo más claro y completo posible, que no se tapen ni queden ocultas partes importantes del objeto. En la Fig. 4 se presentan las diferentes vistas, que pueden variar según el punto de vista seleccionado.

Figura 4

6

Perspectiva militar La perspectiva militar se empezó a utilizar a partir de la segunda mitad del siglo XV, cuando el perfeccionamiento de la técnica bélica requiere de fortificaciones, lo que lleva a plantear un sistema de representación para diseñar fortalezas ideales.7 La perspectiva militar resulta de la proyección paralela oblicua de un cubo sobre un plano horizontal (ver fig. 5). Las características más importantes de esta perspectiva son: la planta permanece sin distorsión y con su verdadera magnitud, las superficies que son perpendiculares a la planta sufren una distorsión la que deberá corregirse al reducir sus medidas a la mitad de su longitud real.8 Este dibujo se rige por tres ejes; dos inclinados “X” y “Y”, y uno vertical “Z”, los ejes inclinados deberán formar entre sí un ángulo de 90°. El ángulo que forma el eje “X” con la horizontal, podrá ser mayor, menor o igual al ángulo que forma con la horizontal el eje “Y”, la suma de estos dos ángulos deberá ser de 90°. Los ángulos que forman los ejes inclinados “X” y “Y” con la horizontal, pueden variar, pero por facilidad de trazo normalmente se utilizan los ángulos naturales de las escuadras: 45° y 45° o 30° y 60° (ver fig. 6). Para dibujar la perspectiva militar, procedemos de la siguiente manera: se dibuja la planta a escala en una proyección ortogonal normal, después se trazan las superficies perpendiculares a la planta hacia abajo. Las

líneas paralelas a los ejes inclinados que corresponden a la planta se dibujan en su magnitud real a escala; las líneas del eje vertical “Z” se dibujan reducidas a la mitad de su longitud real, para corregir la deformación anteriormente señalada (ver fig. 6).9

45°

Figura 5

A + B = 90

X

Y

Z

90°

90°

90°

90°

60°

30°

EJES DE LA PERSPECTIVA MILITAR

Figura 6

7

Este tipo de perspectiva es utilizado con frecuencia en la representación de plantas de proyectos arquitectónicos como: casas de interés social, edificios de departamentos, edificios de despachos, que algunas veces sustituyen el uso de la maqueta cuando no se puede gastar en el costo de estas, utilizándose para publicidad en el manejo de bienes raíces de renta o venta (ver fig. 7).

Figura7

8

Perspectiva isométrica En 1820 el matemático Gaspar Monge y M. Théodore Oliver publicaron una obra en la que presentaron un nuevo método de proyección que denominaron isométrica.10 La perspectiva isométrica es el dibujo resultado de la proyección ortogonal de un cubo sobre dos planos de proyección, uno horizontal y otro vertical después de realizar dos giros, uno sobre su eje vertical y otro sobre su eje horizontal; en la primera proyección antes de girar el cubo, solo vemos una cara tanto en el plano vertical como en el horizontal, en el primer giro sobre el eje vertical, en la proyección sobre el plano vertical ya apreciamos dos caras, y en el segundo giro sobre el eje horizontal, ya presenta tres de sus caras, tanto en la proyección del plano vertical como en el horizontal (ver fig. 8). De estas proyecciones axonométricas que resultan al ir girando el cubo sobre el eje horizontal, solo hay una en que las tres caras visibles en la proyección tanto horizontal como vertical se igualan, y es la que llamamos perspectiva isométrica. Al escorzarse las tres caras en la proyección por no ser paralelas al plano, se reducen sus dimensiones reales a un 81% aproximadamente, pero al reducirse todas en la misma proporción, podemos dibujarlas a escala con sus dimensiones reales sin tener que hacer ningún ajuste.

A'A'A'

A

AA

PV

L

Y

ISOMETRICO

Z

EJES DE LA PERSPECTIVA ISOMETRICA

120°120°30°30°

X

PH

120°

120°

Figura 8

9

En las proyecciones oblicuas que utilizamos para definir la perspectiva caballera y militar, las líneas paralelas a dos de los tres ejes se dibujaban sin distorsión, es decir ortogonal mente. En el caso de la perspectiva isométrica, las líneas paralelas a los tres ejes se distorsionan y se representan como paralelogramos reduciéndose todos en la misma proporción. Los ángulos que se forman entre eje y eje serán de 120°, habrá dos ejes inclinados y uno vertical, los ejes inclinados “X” y “Y” se dibujarán siempre con un ángulo de 30° con relación a la horizontal, si varían estos ángulos dejará de ser un dibujo isométrico. En otras proyecciones como el bimétrico y el trimétrico, por la distorsión de sus caras sus dimensiones se reducen en diferentes proporciones, por lo que resulta laboriosa su representación a escala. Los tres tipos principales del dibujo axonométrico son: isométrico, dimétrico y trimétrico (ver fig. 9).11

30°30°

ISOMÉTRICO

DIMÉTRICO

15° 15°

15°

45°

TRIMÉTRICO

Figura 9

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Los círculos en los dibujos isométricos son representados con elipses, si no se usa plantillas se pueden construir usando arcos que nos aproximen al trazo de la elipse (ver fig. 10).12 La perspectiva isométrica en el grupo de la perspectiva paralela es la de uso más frecuente, su construcción es más fácil ya que no se tiene que hacer ningún ajuste en sus medidas. Este tipo de perspectiva a diferencia de la perspectiva cónica, se puede dibujar a escala y se puede acotar directamente el dibujo para una identificación rápida de sus medidas, y así facilitar su construcción ya sea en mobiliario, detalles constructivos u otros, uno de sus usos más frecuentes es en dibujos de instalaciones hidráulicas, sanitarias y de gas A pesar de construirse con facilidad y ser popular su uso, es menos representativa que la perspectiva cónica que presenta con más realidad los objetos tal como aparecen o aparecerían a la vista del observador, sin embargo su uso para representar ciertos proyectos descriptivos desde un punto de vista elevado de conjunto resulta útil, o proporcionar información adicional de diversos espacios interiores desapareciendo la cubierta. También es de gran utilidad para cumplir las funciones de una maqueta. (ver fig. 11)

30° 30°

Figura 10

Figura 11

11

Figura 12

12

APLICACIÓN EN DETALLE CONSTRUCTIVO13

Figura 13

13

Capítulo II. Perspectiva

cónica

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CAPITULO II Perspectiva cónica. Antecedentes La perspectiva esta dirigida a establecer un sustituto gráfico semejante a la imagen que percibimos en la realidad, y ofrecer una vista parecida a la que ofrece la visión del objeto. Los avances en la perspectiva contribuyeron a conseguir un medio capaz de representar una imagen del espacio parecida a la de la visión humana.14 Fue Filippo Brunelleschi, que además de desarrollar la primera obra parcial considerada renacentista sobre una estructura aún medieval, es decir, el Duomo de Florencia, invento a mediados del siglo quince la perspectiva. Su realización consistió en un artificio pictórico por el que, a través de un orificio hecho en un papel, se veía la panorámica del baptisterio de la catedral de Santa María de las Flores de Florencia tal y como se observaba desde la puerta de la catedral. Se trataba por lo tanto de producir una pintura que observada desde un determinado punto proporcionaba una imagen idéntica a la que se veía desde el punto donde se producía la verdadera observación. Fue también en esta época del bajo renacimiento que otros estudiosos contribuyeron en el manejo de los elementos que establecieron las reglas que a partir de ese momento

determinaría el empleo de la perspectiva, entre los más importantes están: Fillippo Brunelleschi (1377-1466), Leon Battista Alberti (1401-1472), Piero de la Francesca (1406-1492) y Leonardo da Vinci (1425-1516).15 La perspectiva cónica a diferencia de la perspectiva paralela, que da un efecto tridimensional en un solo dibujo con líneas paralelas, representa en un plano los objetos del espacio dando un aspecto semejante al que darían vistos al natural, establece gráficos semejantes a las imágenes que percibimos en la realidad, por lo tanto es utilizada para representar los objetos tal y como aparecen o aparecerían a la vista del observador. Para dibujar un objeto en perspectiva cónica debe apegarse a un procedimiento, un método. Los elementos básicos de todo método de perspectiva, son un conjunto de planos, líneas y puntos, que se manejan en este tipo de dibujo. Para entender el manejo de la perspectiva nos apoyaremos en un sistema de proyecciones cónicas que describiremos a continuación. Mecanismo de las proyecciones cónicas. En las proyecciones ortogonales el objeto ocupa una posición intermedia entre el observador y el plano de proyección. En las proyecciones cónicas el plano de proyección es el que ocupa la posición intermedia entre el observador y el objeto, como puede observarse en la siguiente figura (ver fig, 14).

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PVPV

CDD'C'

ABB'A'

objeto entre el plano de proyeccion y el observador

el observador y el objetoplano de proyeccion entre

PERFILPROYECCIONES ORTOGONALES

FRENTE

D'C'

B'A'

D

C

A

B

PROYECCIONES CÓNICAS

Figura 14

Por medio del sistema de proyecciones cónicas podemos obtener la perspectiva natural de los objetos, pero lo que el arquitecto necesita es como representar sus proyectos que no existen al natural, solo están representados en geometral; plantas, fachadas, cortes y detalles. Más adelante en este capítulo se podrá ver como manejar las proyecciones cónicas para obtener las perspectivas partiendo de los geometrales. Para definir el procedimiento del sistema de proyecciones cónicas, podríamos decir que este sistema se basa en un punto focal que forma un haz cónico de donde parten los rayos proyectantes, relacionando el punto focal, objeto y plano de proyección. Elementos de la perspectiva cónica. La perspectiva cónica se basa en el sistema de proyecciones cónicas, por lo tanto describiremos la definición y características de los diferentes elementos geométricos con que se maneja este sistema. Plano horizontal PH: Es el terreno considerado siempre como un plano horizontal sobre el que se relacionan los objetos del espacio y en el que se apoya el observador. Plano del cuadro PC: Es el plano que se considera transparente a través del cual ve el observador los objetos, y sobre el se realizan las proyecciones cónicas, se considera siempre perpendicular al centro del cono visual que parte de la vista del observador, su

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posición es vertical es decir perpendicular al plano horizontal, aunque en algunos casos se inclina como se verá en algún ejemplo de este capitulo. Todos los elementos del objeto por proyectar que estén en contacto con el plano del cuadro, estarán en su verdadera magnitud, ya no se modifican en perspectiva, en este plano es en donde podremos dar las alturas reales, y de ahí se podrá transportar a lugares más lejanos o cercanos según el caso. Línea de tierra LT: El contacto del plano del cuadro con el plano horizontal define lo que llamaremos línea de tierra, que viene a ser la base del plano del cuadro y que será de donde partan las alturas reales. Punto de vista PV: Corresponde a la vista del observador que se considera monocular, se trata de la posición relativa del observador con relación al objeto y al plano del cuadro, que puede ocupar cualquier posición respecto al objeto. La altura del punto de vista puede variar, pues el observador podría estar sentado, parado o sobre un edificio. Proyección del punto de vista v: Es el que corresponde a la proyección sobre el plano horizontal del punto de vista PV, nos determina su altura, y es de donde parten las líneas que representan la proyección de las visuales hacia la proyección de los puntos en el espacio sobre el plano horizontal. Línea de horizonte LH: Es la línea que siempre consideramos estará a la altura de los ojos del observador. Si el observador sube o

baja automáticamente también lo hará la línea de horizonte, siempre será horizontal paralela a la línea de tierra. Sobre ella se encontrarán todos los puntos de fuga de las aristas del objeto que sean horizontales, no importando la dirección que tengan con relación al plano del cuadro.

A

PPV

PP

HT

PC

L

L

PV

V

APDI

pV

PH

VA

AV

Figura 15

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Visual V: Son las líneas que parten del punto de vista PV a cada punto visado del objeto y que al intersectar el plano del cuadro, define su proyección cónica o perspectiva natural. Proyección horizontal de la visual pV: Es la línea que representa la proyección de la visual sobre el plano horizontal, y que al tocar la línea de tierra nos permite definir al trazar una vertical desde este punto y cruzar la visual, donde dicha visual toca al plano del cuadro. Visual principal VP: Es la visual perpendicular desde el punto de vista al plano del cuadro que define el centro del ángulo visual. Simbología PH Plano horizontal PC Plano del cuadro LT Línea de tierra PV Punto de vista v Proyección del punto de vista LH Línea de horizonte V Visual pV Proyección de la visual VP Visual principal PP Punto principal PF Punto de fuga AV Angulo visual

Punto principal PP: Queda determinado en donde la visual principal cruza con el plano del cuadro. Punto de fuga PF: Es el sitio en donde concurren un conjunto de líneas paralelas. Este se determina al trazar una línea paralela a las aristas del objeto en la planta, que pase por el punto de vista hasta cortar el plano del cuadro, si son horizontales el punto de fuga quedará sobre la línea de horizonte, esto quiere decir que todas las líneas que sean horizontales cualquiera que sea su posición respecto al plano del cuadro, tendrán su punto de fuga sobre la línea de horizonte. En una perspectiva habrá tantos puntos de fuga sobre la línea de horizonte como lados horizontales no paralelos existan en la planta del objeto. Las dimensiones de los planos y líneas que hemos descrito, son infinitas en su correspondiente posición, pero para efectos del dibujo en la comprensión del procedimiento, se representan en planos limitados, dibujándolos en isométrico (ver fig. 16). Para saber que pasa con las líneas y poder determinar cual es su comportamiento en perspectiva, podemos aplicar las reglas que como ya mencionamos al inicio de este capítulo establecieron los estudiosos en la materia y que presenta en su libro “Dibujo arquitectónico” José Luis Moia.

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LT

PC

LH

PH 30°30°

Figura 16 Reglas de la perspectiva cónica. 1.-Toda línea recta permanece recta en perspectiva. 2.-Toda línea vertical permanece vertical en perspectiva, salvo algunos casos especiales. 3.-Las líneas horizontales, verticales o inclinadas paralelas al plano del cuadro, en perspectiva permanecen paralelas al plano del cuadro, no tienen puntos de fuga, estos estarán en el infinito.

4.-Todas las líneas perpendiculares al plano del cuadro, en perspectiva se dirigen al punto de fuga principal. 5.-Todas las líneas horizontales cualesquiera que sea su dirección, en perspectiva tendrán su punto de fuga sobre la línea de horizonte. 6.-Las líneas paralelas, en perspectiva se dirigen a un mismo punto de fuga. 7.-Todas las líneas ascendentes convergen encima de la línea de horizonte y las descendentes debajo de la línea de horizonte, sobre la vertical que pasa por el punto de fuga de su proyección horizontal. Empleando croquis isométricos vamos a estudiar cada una de las reglas, es decir la forma en que se comportan en perspectiva las líneas en sus diversas posiciones. Primero veremos cual es el procedimiento de las proyecciones cónicas a través del manejo de los planos en isométrico. Describiremos el procedimiento de la proyección cónica de un punto en el espacio, con la premisa que si podemos proyectar un punto, podemos proyectar una recta, una superficie, o un volumen cualquiera que sea la complejidad de este. Primero trazamos el PH y el PC en isométrico con su respectiva posición uno con relación al otro, localizamos el punto A en el espacio al lado derecho del PC, y definimos su posición respecto a los dos planos, a una altura determinada trazando su proyección (a) sobre el plano horizontal, y a una distancia cualquiera

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del PC. Localizamos la posición del observador del lado izquierdo del PC, colocándolo cerca o separado del PC, a la izquierda o derecha según sea la propuesta desde donde se quiere ver el punto. Trazamos una visual desde el PV al punto en el espacio A, y donde cruza la V al plano del cuadro ahí se encontrara la proyección cónica del punto Á, para saber donde corta la V al PC, trazamos la proyección horizontal de la visual y donde toca al PC que sería también la línea de tierra, trazamos una vertical hasta cruzar con la visual, determinando de esta manera la proyección cónica o su perspectiva natural del punto A (ver fig. 17).16

a

A

A'

pV

v

PV

V

T

L

PC

PH

Figura 17

Con este procedimiento ya podemos hacer el análisis gráfico de la primera y segunda regla de la perspectiva, utilizando un solo dibujo en isométrico. Como primer paso trazamos el PH y PC de acuerdo a las características ya mencionadas, localizamos dos rectas verticales a la derecha del PC, una AB en contacto con el PH y otra CD separada, las dos a una distancia cualquiera del PC. A la izquierda del PC, localizamos el PV suponiendo al observador de pie y a una distancia cualquiera del PC. Trazamos visuales a cada punto extremo de las rectas AB y CD partiendo del PV, para determinar en donde estas visuales tocan al PC, utilizamos la proyección de las visuales, cuyo trazo partirá de (v) a la proyección de los puntos proyectados sobre el plano horizontal (a,b,c y d), donde estas proyecciones de las visuales tocan a la LT, se trazan verticales hasta que crucen a las visuales trazadas para cada punto en el espacio, y ahí precisamente se encontrarán las proyecciones cónicas o perspectiva natural de los puntos en el espacio Á´,B´, C y´D´ y que al unirlos A´con B´ y C´con D´, habremos obtenido la perspectiva natural de las rectas verticales (ver fig. 18) Como se advierte en esta figura 18, en el resultado de la perspectiva se cumplen las dos reglas “Toda línea recta, permanece recta en perspectiva” y “Toda línea vertical permanece vertical en perspectiva, excepto casos especiales”, es decir que todas las líneas que

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son rectas así seguirán en perspectiva, no se quiebran o se curvan, y las que son verticales así seguirán en perspectiva, salvo los casos especiales que se verán más adelante.

A'

A

abB

B'

D

cd

C

T

PC

LD'

C'

V

PV

PH

REGLAS 1 y 2

Figura 18

Para hacer el análisis gráfico de la siguiente regla número 3, trazamos en posición el PH y PC, para dar mayor claridad al análisis de esta regla, trazaremos un plano a la derecha y paralelo al PC, sobre este plano localizamos dos rectas AB y CD en cualquier posición, pero que estén contenidas en este plano.

De la misma manera que en los casos anteriores, localizamos la posición del observador PV. Trazamos las visuales correspondientes desde el PV hasta cada uno de los puntos extremos de las rectas A,B,C,y D.

B

B'

D'

C'

Dc

C

b

d

A'

A

a

REGLA 3

Figura 19 Siguiendo el mismo procedimiento de las proyecciones cónicas, determinamos por medio de las proyecciones horizontales de las visuales, la proyección cónica de los puntos visados que al unirlos A´con B´ y C´con D´ obtenemos la perspectiva de las rectas.

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Estas rectas en cuanto más cerca se encuentren del PC más grandes se verán en perspectiva y viceversa, sus puntos de fuga se encontrarán en el infinito. (ver. fig. 19) La regla No. 4 dice: “Todas las líneas perpendiculares al plano del cuadro, en perspectiva se dirigen al punto de fuga principal”. Siguiendo el mismo procedimiento de proyecciones cónicas, localizaremos sobre el PH dos rectas con la característica que enuncia la regla; una AB perpendicular en contacto al PC y contenida en el PH, y la otra CD también perpendicular al PC y separada tanto del PH como del PC. Localizamos la posición del observador fijando el PV y su proyección (v). Al aplicar el mismo procedimiento determinamos la perspectiva de las rectas A´B´ y C´D´, definiendo su posición sobre el PC por medio de las visuales y su proyección. Localizamos el punto de fuga principal que como ya se dijo cuando definimos sus características; se traza una visual que sea perpendicular al PC desde el PV hasta cortar al plano del cuadro, definiendo el PP al trazar la proyección de esta visual y tocar la LT, para trazar una línea vertical que corte a la visual, este PP también nos define la altura de la línea de horizonte, la cual deberá estar a la misma altura del PV. Si analizamos la perspectiva de las dos rectas en cuestión, vemos que al prolongarlas hacia arriba fugarán al punto de fuga principal (ver fig. 20).

PP

B

D'C'

D

C

d

T

c

PC

L

A'

A

PH

B'

REGLA 4

Figura 20 Las reglas No. 5 y 6 las analizaremos en el mismo dibujo. La regla 5 dice: “Todas las líneas horizontales cualquiera que sea su dirección, en perspectiva tendrán su punto de fuga sobre la línea de horizonte” y la 6 dice “Las líneas paralelas en perspectiva, se dirigen a un mismo punto de fuga”. Siguiendo el mismo procedimiento localizaremos una recta AB contenida en el PH con una dirección cualquiera, y otras dos rectas CD y EF paralelas a AB, las rectas CD y EF del mismo tamaño que AB coincidiendo su proyección (cd) y (ef) con AB y (ab).

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Trazamos visuales a los puntos A y B y dibujamos la proyección de las visuales desde (v) hasta (a) y (b) que son las proyecciones de los puntos A y B coincidiendo en el mismo lugar ya que como se dijo antes la recta AB esta contenida en el PH, donde estas proyecciones de las visuales tocan al PC y a su vez la LT, trazamos verticales hasta cruzar con las visuales correspondientes, determinando la perspectiva de la recta al unir los puntos A´y B´. De la misma forma determinamos las perspectivas de las rectas CD y EF las que se encuentran separadas del plano horizontal a una distancia cualquiera. Una vez determinada la perspectiva de cada una de las rectas, las prolongamos en este caso a la izquierda y veremos que coincidirán en un mismo punto de fuga sobre la línea de horizonte (ver fig. 21). En estas dos reglas demostramos que; todas las líneas que sean horizontales, cualquiera que sea su dirección, en perspectiva siempre tendrán su punto de fuga sobre la LH, también se demostró que todas las líneas que sean paralelas, en perspectiva concurrirán al mismo punto de fuga.

Figura 21

Figura 22

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En el análisis de la regla No. 7 que dice; “Todas las líneas ascendentes convergen encima de la línea de horizonte y las descendentes debajo de la línea de horizonte teniendo su punto de fuga sobre la vertical que pasa por el punto de fuga de su traza horizontal”. Colocaremos dos rectas, una ascendente AB y otra descendente CD, con una dirección cualquiera respecto a PC pero no paralelas, para definir su posición, trazamos su proyección sobre el PH (ab) y (cd), en este caso coincidiendo las dos proyecciones en el mismo lugar. Localizamos la posición del PV y su proyección (v), e iniciamos el procedimiento; trazamos las visuales a cada extremo de las rectas en el espacio A,B,C y D, dibujamos las proyecciones horizontales de las visuales desde (v) a los extremos de la proyección de las rectas (a), (b), (c) y (d), donde cruzan al PC trazamos verticales hasta cruzar a las visuales, determinando de esta manera la perspectiva de las rectas A´B´ y C´D´. De la misma manera determinamos la perspectiva de la proyección horizontal de las rectas (ab) y (cd), cuya perspectiva sería (a´c´) (b´d´), al prolongar esta línea hacia la izquierda y cruzar con la LH, definimos el PF. Para encontrar el PF de la línea ascendente AB, prolongamos la perspectiva de la recta A´B´ hacia arriba hasta cruzar la vertical que pasa por el PF de la traza horizontal (a´b´). De la misma manera, para encontrar el PF de la línea descendente CD, prolongamos la perspectiva

de la recta C´D´ hacia abajo hasta cortar la vertical que pasa por el PF de la traza horizontal (c´d´). A estos puntos de fuga PF1 y PF2, fugarán todas las líneas que sean paralelas a AB y CD respectivamente (ver fig. 22). En el análisis de las reglas de la perspectiva, hemos manejado los planos en isométrico y hemos obtenido la perspectiva natural de los objetos en el espacio, pero como ya lo anotamos en este capítulo, lo que el Arquitecto necesita es como representar sus proyectos que no existen al natural, los que solo están representados en geometral; plantas, fachadas cortes y detalles, por lo que tenemos que determinar como manejar las proyecciones cónicas para obtener la perspectiva partiendo de los geometrales. Una vez que hemos entendido el sistema de las proyecciones cónicas en el espacio auxiliados con el isométrico, llevaremos los planos a un dibujo en geometral; trazamos el PH que estaría representado en planta, en este caso limitado por un rectángulo, con una línea horizontal al centro representando el PC, un punto que representaría tanto a la posición del PV como su proyección (v). Colocaremos como ejemplo la posición de una recta AB contenida en el PH, perpendicular y en contacto con el PC. Para definir la posición del PC en geometral, lo abatimos para ponerlo en la misma posición del PH y lo desplazamos hacia arriba para que no interfiera los trazos de la

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planta, dibujamos la LT que sería la base de este plano, dibujamos la LH según la altura del observador, la que será propuesta según se quiera (ver fig. 23).

Figura 23

Procedimiento de las proyecciones cónicas En este geometral, siguiendo el procedimiento de las proyecciones cónicas tenemos: Primero dibujamos el objeto sobre el PH, en este caso una recta AB contenida en él y en contacto con el PC el cual se encuentra representado en planta por una línea, como ya se indicó, se localiza la posición del observador en el lugar desde donde se quiere que se vea la recta, trazamos una V desde el PV hasta el punto B extremo de la recta, localizamos sobre el PC el punto de intersección (b)´. Atendiendo al enunciado de la regla No. 4 que dice: “Todas las líneas perpendiculares al plano del cuadro, en perspectiva se dirigen al punto de fuga principal”, en este caso nuestra línea es perpendicular al PC, por lo que su fuga sería al PP, ya sabemos que para encontrar la posición de este punto, trazamos una V desde PV perpendicular al PC, hasta cruzarlo y ahí se encontrará el PP, la V al punto A de la recta, no es necesario pues ya se dijo que todo lo que este en contacto con el PC ya está en su verdadera posición en perspectiva. Una vez obtenidos todos estos datos en planta, iremos al plano del cuadro en elevación, trazamos la LT que sería la base del PC, tazamos la LH que estará a la altura del PV, en la LT transportamos los datos encontrados como son; el PP, el punto (b)´ y el punto A., este ultimo punto es el dato que ya tenemos conocido en perspectiva, y sabemos que la

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línea AB debe fugar al PP, unimos el punto A con PP y obtenemos la fuga de la recta, para determinar su longitud en perspectiva, trazamos una vertical desde el punto (b)´ hasta cruzar a la fuga y ahí habremos determinado la proyección del punto B extremo de la recta en perspectiva A´B´ (ver fig. 23). Cuando las líneas que se van a proyectar en perspectiva no sean perpendiculares al PC, tendremos que determinar la posición de su punto de fuga, este punto de fuga se determina al trazar una línea paralela a la línea en cuestión que pase por el punto de vista hasta cruzar al plano del cuadro. Esto quiere decir, que para encontrar la posición del punto de fuga de cualquier recta, bastará trazar una V desde el PV paralela a la recta hasta cortar al PC. “ Esta conversión que hemos hecho de los planos representados en isométrico a geometral, será la posición en que se trabajará para el trazo de la perspectiva de cualquier objeto. De este procedimiento de proyecciones cónicas, resulta un método exacto para el trazo de perspectivas llamado “Método de Visuales y Dominantes”. El manejo de un método exacto nos permite precisión en el trazo de las perspectivas y nos da las bases del comportamiento de todos los elementos que intervienen en la perspectiva, esto nos ayudará en el manejo de un método simplificado que veremos en el siguiente capítulo.

Método de “Visuales y dominantes” El PH y PC, los estábamos manejando limitados a una superficie rectangular para su manejo en isométrico, pero ya manejados en geometral, los consideramos como son en realidad, infinitos. Para el trazo de cualquier perspectiva, se requiere tener como datos; los dibujos de la planta o plantas arquitectónicas y fachada o fachadas. Para hacer la aplicación de este método tomaremos como ejemplo un volumen sencillo que nos permita visualizar con facilidad el proceso (un prisma recto de base rectangular). Procedimiento 1.- Se dibuja la planta del objeto a escala conveniente, se recomienda una escala de fácil manejo como es la escala 1:100, pero todo dependerá del tamaño del proyecto de que se trate y del tamaño del papel en el que se va a dibujar. 2.- Se selecciona la posición del observador desde donde se quiere ver la perspectiva, buscando el ángulo más interesante, que se vea más completo o que muestre algo importante del proyecto, esto se hace a base croquis en barios intentos, sobre todo cuando se trata de proyectos complejos con muchas alternativas de diferentes vistas (ver fig. 24)

26

2

3

1

ANGULO OPTICO30°- 45°

LOCALIZACION DEL PUNTO DE VISTA

DH CG

AE BF

ELEVACION ZELEVACION XPLANTA

A

B 21

34

Figura 24

Si se escoge la posición del PV No. 1, solo se verá una cara del volumen igual que la No. 2, si se selecciona la posición No. 3, ya veremos dos caras del volumen, y si lo vemos desde un punto de vista elevado se verán tres de sus caras. Regularmente una de las fachadas es más importante que las otras, y si desplazamos el PV de tal manera que esa fachada importante se vea más de frente y la menos importante más de perfil, obtendremos una mejor impresión en la perspectiva, con un punto de fuga más cerca y el otro más retirado dando cierta dinámica y evitando la simetría con los puntos de fuga equidistantes que a veces resulta molesto. Cuando el proyecto sobre el terreno está en esquina, normalmente se opta por las perspectivas exteriores angulares de dos puntos de fuga. Cuando el terreno del proyecto es intermedio, las perspectivas exteriores se trazan de frente a un solo punto de fuga cuando el PV se encuentra en el centro, y de frente a dos puntos de fuga cuando el observador se desplaza del centro sin rebasar los límites el terreno. 3.- Una vez seleccionada la posición del PV, debemos determinar a que distancia deberá colocarse, esto lo definimos por medio del ángulo óptico, este ángulo es el cono visual que envuelve todos los elementos que intervienen en la plantas del proyecto, se recomienda que este ángulo este comprendido entre los 30° y 45°; si es menor de 30° quiere

27

decir que el observador se encuentra muy retirado, y la perspectiva resultante tendrá poca deformación, pues sus puntos de fuga quedarán muy retirados, si el ángulo es mayor de 45° el observador se encontrará muy cerca, lo que provocará una deformación violenta, pues sus puntos de fuga quedarán muy cerca.

B F

C G

PLANO DEL CUADRO

BISECTRIZ

A E

D H

VISUALES

ANGULO OPTICO

LOCALIZACION DEL PLANO DE CUADRO

30°- 45°

90°

Figura 25

4.- Se localiza la posición del PC, que como ya quedó anotado en sus características, siempre será perpendicular al centro de la visión, es decir perpendicular a la bisectriz del ángulo óptico (ver fig. 25). Se recomienda que este PC toque la arista más cercana de la planta, en el ejemplo AE con relación al PV, ya que en esta arista por estar en contacto con el PC, se podrán dar las alturas reales a la misma escala a la que se dibujó la planta. Cuando el PC no toca al punto más cercano no se podrán dar las alturas en esta arista, se tendrá que utilizar un punto auxiliar como se verá más adelante. 5.- Para definir la posición de los puntos de fuga de cada una de las líneas que intervienen en la planta, se trazan paralelas a estas líneas que pasen por el PV hasta que crucen con el PC, y ahí se localizará el PF de cada línea, si las líneas en la planta son horizontales, estos puntos de fuga se encontrarán sobre la LH. 6.- Se trazan visuales a cada uno de los puntos visibles desde el PV, y donde corten al PC, ahí se encontrará la proyección cónica o perspectiva de cada uno, indicándolos ya sea con letras si son pocos mayúsculas en el volumen y minúsculas en el PC, o números y números con prima si son muchos (ver fig. 26).

28

Figura 26

29

7.- Se traza la LT que es base del PC, paralela a esta línea se traza la LH con una altura según los ojos del observador; altura normal parado, a vista de oruga o a vista de pájaro. En el ejemplo se planteo que la vista del observador rebasara la altura del objeto para verlo más completo,

es decir a vista de pájaro. Sobre la LT, se marcan todos los puntos que encontramos en el PC visto en planta; PFAD, , (dh), (de), (cg) (bf) y PFAB. Los puntos de fuga, se suben a la LH que es donde se deben encontrar (ver fig. 27).

Figura 27

30

d h b fc g

P F AB

E'

LINEA DE ALTURAS

H

L H

L T

PF AD

a e

A'

8.- Sobre la arista (AE) que es la que quedó en contacto con el PC, trazamos la línea de alturas, marcando la altura H del volumen a la misma escala que se dibujó la planta determinando así los puntos en perspectiva A y E.

9.- Para poder trazar la perspectiva de cada una de las líneas que forman el volumen, necesitamos conocer en perspectiva uno de sus extremos y a donde fugará, como ya conocemos el punto en perspectiva A´, que forman parte de la recta AB, , y como también sabemos donde se encuentra el PF de esta recta, la fugamos para ponerla en perspectiva (ver fig. 28)

Figura 28

31

c g b td h

H'

D'

A'

E'

F'

B'

LINEA DE ALTURAS

P F ABL H LINEA DE HORIZONTE

L T LINEA DE TIERRA

P F ADP F AD

a e

10.- Fugamos los puntos A y E al PFAB, para encontrar la perspectiva de las rectas AB y EF, trazamos una vertical desde el punto (bf) hasta que cruce las fugas de las rectas AB y EF, determinando así la perspectiva de las rectas A´B´ y E´F´. De la misma manera podemos determinar la perspectiva de las rectas A´D´ y E´H´.

Una vez conocidos los puntos en perspectiva H´ y F´, ya podemos trazar las perspectivas de las rectas H´G´ y F´G´, fugando los puntos H´ y F´ a sus respectivos puntos de fuga, y donde se cruzan estará determinado el punto G, y que deberá coincidir con la vertical trazada por el punto (cg) (ver figuras 29 y 30).

Figura 29

32

C'

P F ABP F ADP F AD

G'

A'

D'

H'

E'

B'

F'

L T

L H

b td h

L H LINEA DE HORIZONTE

L T LINEA DE TIERRA

De esta manera hemos trazado la perspectiva del volumen aplicando el método de “Visuales y Dominantes”. Cuando se tiene que realizar la perspectiva de un proyecto muy grande, se tendrá que usar la escala adecuada que permita que los trazos del método quepan en el papel,

obteniendo en consecuencia una perspectiva pequeña, para agrandarla se duplican o multiplican las medidas obtenidas en el PC en planta, y lo mismo se tendrá que hacer con las alturas aumentándolas en la misma proporción.

Figura 30

33

Variaciones de la posición del objeto con relación al plano del cuadro. La posición del objeto con relación al PC puede variar de la siguiente manera: a).- el objeto puede encontrarse atrás del PC y despegado, lo que hemos llamado objeto en segundo término (ver fig. 31). b).- el objeto puede encontrarse atrás del PC y en contacto a través de la arista más cercana, objeto en primer término (ver fig. 32), c).- el objeto se podrá encontrar adelante del PC pasando el plano del cuadro por algún punto de la planta (ver fig. 33), En la figura 36, cuando el objeto está delante del PC, las visuales trazadas a cada uno de los puntos visibles se prolongan hasta tocar al PC. Se iniciará a poner en perspectiva las rectas partiendo de los puntos conocidos que son los que están en contacto con el PC, en el ejemplo de la figura 36 serían los puntos D´ y H´. Los puntos de fuga se determinan en la misma forma que en los casos anteriores. Al fugar el punto D´ hacia el PF que le corresponde a la recta DA, y al trazar la vertical por el punto (a) hasta cruzar dicha fuga se determina el punto A´, quedando definida la perspectiva de la recta D´A´. De la misma manera se determina la perspectiva de las demás rectas.

E1

LINEA DE ALTURAS

90°

ángulo óptico

PC

LT

LH

D'

A'

B'

F'

G'

E'

H'

1A

d

H

EA

F B

G

C

D

A1

PF PF

H

bfgae ch

h

PV

Figura 31

34

PFLHPF

H'

E'

G'

F'

B'

D'

LINEA DE ALTURAS

B

LT

PC

D

C

G

AE

H

A'

h ce a g f bd

F

ángulo óptico

90°

h

H

PV Figura 32

Como podemos apreciar en estos ejemplos, la perspectiva del objeto más retirado del PC y atrás de él,

LINEA DE ALTURAS

h

H

90°

ÁNGULO ÓPTICO

PC

LT

LH

A'

B'

F'

G'

E'

H'

D'

d H

EA

F B

G

C

D

PF PF

bfgae c

PV

Figura 33

resulta más pequeña y en cuanto más se acerca al observador y delante del PC será más grande.

35

FRENTE

2'

8'

6'

4'7'

5'

1''

3'

1'

8

6

3

1 2

4

5

P F 3,4

P V

P F 1,3

7

PERFIL

Perspectiva de un objeto en primer término En el ejemplo de la figura 31, se presenta la perspectiva de un volumen en primer término, es decir el volumen en contacto con el plano del cuadro.

Figura 34

36

LT

h1

h2

h3

LH PF 7,8PF 3,1

8'6'4'7'2'5'3' 1''1'

LINEA DE ALTURAS

Perspectiva a vista de pájaro

Figura 35

37

Perspectiva de un objeto en segundo término. Cuando en el proceso de trazo de una perspectiva, al localizar el PC este no toca al punto más cercano de la planta quedando despegado, no tendremos ningún punto de referencia para iniciar a poner en perspectiva las aristas del volumen. En este caso lo que se hace es prolongar cualquiera de las líneas de la planta hasta tocar al PC, para facilitar el proceso se recomienda tomar la línea que parta del punto más cercano al observador, en nuestro ejemplo tomamos la línea AB y la prolongamos hasta quedar en contacto con el PC y ahí tendremos un punto auxiliar A1 del cual podremos partir; fugamos el punto A1 al punto de fuga PF2 que le corresponde a la recta A1B hacia la derecha, para determinar la perspectiva de la recta AB, trazamos verticales desde los puntos (a) y (b), hasta cortar la línea fugada de la recta A1B, y habremos encontrado la perspectiva de la recta A´B´. Con estos dos datos ya conocidos en perspectiva, seguimos el procedimiento para determinar la perspectiva de la recta AD. En el punto auxiliar A1 se marcan las alturas reales, y de ahí se transportan hasta la vertical trazada en el punto A´ y determinamos el punto E´ que sería la altura del volumen, y de este punto partimos para determinar la perspectiva de las rectas EF y EH. Al fugar los puntos H´ y F´ a los puntos de fuga PF2 y PF1, respectivamente. Donde se cruzan quedará determinado el

punto G´, que deberá coincidir con la vertical trazada desde el punto (g), de esta manera quedará definida la perspectiva del volumen en segundo término (ver fig. 36).

Figura 36

38

Método de Visuales y Dominantes Aplicado en una perspectiva exterior. Aplicaremos el método para obtener la perspectiva exterior del ejemplo que a continuación se presenta (ver fig 37).

Figura 37

39

Procedimiento: 1. Dibujamos la planta a escala conveniente 2. Se selecciona la posición del observador, buscando un punto de vista agradable y descriptivo, en este caso cuando el terreno en el que se encuentra la construcción esta libre de linderos, escogeremos una vista angular, buscando el ángulo de donde se vea más completo y muestre los elementos más importantes del proyecto. 3. Determinamos la distancia a la que deba estar el observador respecto al volumen por medio del ángulo óptico, en este caso será de 35°. 4. Localizamos la posición del plano del cuadro haciéndolo pasar por el punto (1) del volumen general que es el más cercano al observador y se traza de manera que sea perpendicular a la bisectriz del ángulo óptico. 5. Se localiza la posición de los puntos de fuga, trazando paralelas a los dos sistemas de líneas que intervienen en la planta, que pasen por el punto de vista hasta cruzar el plano del cuadro, obteniendo a la izquierda el punto de fuga PF1 Y a la derecha el PF2. 6. Se trazan visuales a cada uno de los puntos visibles desde el punto de vista, y donde corten al plano del cuadro ahí se encontrará la proyección cónica de cada uno (Ver fig. 38).

Figura 38

40

7. Trazamos la línea de tierra y sobre esta se marca los puntos que proyectamos en el plano del cuadro. Paralela a la línea de tierra trazamos la línea de horizonte en este caso estará a la altura de los ojos del observador estando parado 1.65 metros, sobre la cual se localizan los puntos de fuga PF1 y PF2. 8. Sobre el punto (1) que es el que está en contacto con el plano del cuadro, trazamos la línea de alturas, marcando sobre esta línea las alturas de la fachada a la misma escala que se dibujó la planta. 9. Para obtener una perspectiva más grande, en este caso duplicamos las distancias obtenidas sobre las líneas de tierra y horizonte, así como las alturas. 10. Para definir la perspectiva del volumen general, trazamos las fugas desde los extremos de la línea de alturas por los puntos (1) y E hacia PF1 y PF2 respectivamente, y trazamos verticales por los puntos 7´ y 16´ hasta cruzar la fugas, y determinamos los puntos 16” y 7”1. 11. Para definir la terraza volada, trazamos una vertical por el punto 15´ hasta cruzar la fuga del punto A al PF1, de este punto 15” fugamos a PF2 y trazamos una línea vertical por el punto 14´ hasta cruzar esta fuga, desde este punto 14” fugamos al PF1, y levantamos una vertical por el punto 8´ y determinamos el punto 8”, desde el punto B de la línea de alturas fugamos a PF1 y al prolongar la vertical del punto 15” obtenemos el punto 15”1, fugamos al PF2 y al

cruzar con la continuación de la vertical desde el punto 14”, obtenemos el punto 14“1 que al fugarlo al PF1 y cruzar con la prolongación de la vertical del punto 8”, obtenemos el punto 8”1, fugamos al PF2 hasta cruzar la vertical por el punto 13´ y obtenemos los puntos 13” y 13”1, fugamos el punto 13” al PF1 hasta cruzar la vertical por el punto 7´ y obtenemos el punto 7”, y de esta forma hemos obtenido la perspectiva del volumen de la terraza. (ver fig.39). 12. De la misma forma determinamos los demás elementos; trazamos una vertical por el punto 6´ hasta cruzar las líneas de fuga de los punto E y 1 al PF2 y habremos determinado los puntos 6” y 6”1, desde el punto 6” fugamos al PF1 y levantamos una vertical por el punto 5´ hasta cruzar esta línea de fuga. determinando el punto 5”, de este punto fugamos al PF2, de este mismo punto 5” continuamos la vertical para definir la profundidad de los ventanales en el punto 5”1 y lo fugamos al PF2. Desde el punto D fugamos al PF2 hasta cruzar la vertical del punto 6´ y de este cruce D´ fugamos al PF1 hasta cruzar la vertical desde el punto 5´ determinando el punto D” y de este punto fugamos al PF2. 13. Trazamos una vertical por el punto 2´ para determinar el espesor del muro, trazamos verticales desde los puntos 3´ y 4´ hasta cruzar la fuga del punto 1 al PF2 determinando los puntos 3”, y 4”, de estos puntos trazamos

41

Figura 39

42

verticales hasta cruzar la fuga del punto A al PF2 definiendo los puntos 3”1 y 4”1, desde estos puntos fugamos al PF1 y trazamos verticales por los puntos 9´ y 11´ definiendo los puntos 9” y 11”, desde estos puntos fugamos al PF2 hasta cruzar las verticales trazadas desde los puntos 10´ y 12´, definiendo los puntos 10” y 12“. 14. Para definir la jardinera, trazamos una vertical desde el punto 18´ hasta cruzar la prolongación de la fuga del punto 3” al PF1, determinando el punto 18” y de ahí fugamos a ambos puntos para definir la posición de la jardinera, la altura la transportamos desde la línea de alturas punto (a) y (b) fugando primero al PF1 hasta cruzar la vertical del punto en donde cruzan las fugas de los puntos 18” y 1, y desde ahí fugamos al PF2 hasta cruzar la vertical del punto 18” determinando los puntos 18”1 y 18”2. 15. Para determinar la posición del muro de piedra, trazamos una vertical hacia abajo desde el punto 17´, hasta cruzar con la prolongación de la fuga del punto 13” al PF2, de la misma forma que en el inciso 14, para determinar su altura marcamos esta sobre la línea de alturas punto (c) y la transportamos a la vertical trazada por el punto donde cruzan la fuga del punto 1 al PF1 y la fuga del punto 13” al PF2 definiendo el punto (c´), de este punto fugamos al PF2 hasta cruzar la vertical del punto 17” y definimos el punto 17”1 (ver fig. 40).

De esta manera hemos aplicado el método de visuales y dominantes para una perspectiva exterior, quedando lista para agregar; figura humana, vegetación, árboles, pisos, sombras, etc., y aplicar la técnica que se desee (ver fig. 41).

43

Figura 40

44

Figura 41

45

Perspectiva con techumbres inclinadas. Para la solución de perspectivas de casas o edificios con techos inclinados, se aplica el método de “Visuales y dominantes” en la misma forma que en los casos anteriores. La inclinación de las techumbres se determina tomando como base la fachada en la cual se manifiesta dicha inclinación, en nuestro ejemplo sería la fachada de frente (ver fig.42), se define la posición de la cumbrera y su altura en dicha fachada. En el trazo de la perspectiva se traza primero la envolvente de los techos inclinados, es decir envolver todo el volumen en un prisma regular. Con los datos de la posición de la cumbrera y su altura, se traza en perspectiva la inclinación del perfil de los techos. Para determinar el entramado del tejado, se aplica la regla número siete, prolongamos la línea ascendente A1X hasta que cruce a la vertical que pasa por el punto de fuga de la proyección horizontal de dicha línea inclinada, y ahí se encontrará el punto de fuga PF3 para todas las líneas que sean paralelas a la línea A1X. De la misma manera se encuentra el punto de fuga PF4 para las líneas descendentes paralelas a XB1, que como se ve en la figura 36, queda debajo de la línea de horizonte.

PC

PERFILFRENTE

X

1 1

654321

CBBA

BA

GE F F

f

X

6

5

4

3

2

1

E FB

C

GH

D

ángulo óptico

6'5' 4' 3' 2'

h 2

h 1

90°

A

PF

PF

1'

X

b

a

hd

Figura 42

46

1PF PF2

65

43

21

LINEA DEALTURAS

3

4

LH

LT

H

1

1

F'

G'

X

B

B'

H'

D'

E'

A

PF

aA'

X g 6' 5' 4' 3' 2'

h 2

h 1

1'

PF

b fd

Figura 43

47

Perspectiva con plano del cuadro inclinado. En todos los ejemplos que se han visto hasta ahora, la visual principal partiendo del punto de vista al plano del cuadro, se ha considerado horizontal, porque la distancia del punto de vista al objeto que se ha determinado por medio del ángulo óptico es suficiente para abarcar con la vista horizontal la altura de los objetos, pero cuando se trata de un edificio muy alto esto cambia; o el observador se aleja lo suficiente para abarcar la altura del edificio con la vista horizontal, o levanta la vista lo necesario para que su ángulo de visión abarque la altura del edificio, lo que hace que se salga de la horizontal. Con esta última consideración, y tomando en cuenta las características del plano del cuadro que debe ser siempre perpendicular al centro del ángulo óptico, el plano del cuadro en el sentido vertical tendrá que inclinarse, y este es el caso especial del que habla la regla número dos. Cuando las líneas verticales ya no se conservan verticales, tendrán un punto de fuga arriba de la línea de horizonte si el observador se encuentra parado a vista normal del edificio, o el punto de fuga se encontrará debajo de la línea de horizonte si el observador rebasa la altura del edificio. Procedimiento: El procedimiento seguirá siendo el mismo que hemos utilizado del método de “Visuales y

Dominantes” para determinar en planta; la posición del observador en su distancia al objeto por medio del ángulo óptico, la proyección de los puntos visibles en planta sobre el plano del cuadro y la determinación de los puntos de fuga sobre la línea de horizonte de las líneas horizontales (ver fig. 45).

E GFF

A

E F

G

B

9

5

6

8

7

3

4

2

FRENTE PERFILPLANTA

C

1

CBBA

HD

h

Figura 44

48

90°a

b

Y

DH

A

C

B

G

FE

PF

PC

ÁNGULO ÓPTICO

PF

c

Figura 45

De la misma forma que determinamos en la (fig 45) la proyección sobre el plano del cuadro de los puntos A,B y C, y determinamos la posición de los puntos de fuga de las rectas horizontales, también lo haremos en elevación para determinar la proyección sobre el plano del cuadro inclinado de los entrepisos del edificio y del punto de fuga para las líneas verticales. Conservamos en elevación la distancia (y) del observador al edificio obtenida en planta, trazamos el ángulo óptico formado por las líneas que abarcan todo el edificio, trazamos la bisectriz del ángulo óptico, y perpendicular a esta bisectriz el plano del

cuadro que toque al punto del edificio más cercano al observador punto B, sobre este plano proyectamos la posición de cada entrepiso trazando visuales igual que como lo hicimos en planta. Para determinar el punto de fuga de las líneas verticales, trazamos una línea paralela al sistema de verticales que pase por el punto de vista hasta cruzar al plano del cuadro (ver fig. 46).

f

1'

2'

3'

4'

5'

6'

7'8'

9'

PC

LT

LHPV

PFC

Z

Y

ÁNGULO ÓPTICO

7

8

6

5

9

FE

B

1

ELEVACION

2

3

A

4

Figura 46

49

Una vez obtenidos todos los datos sobre el plano del cuadro tanto en planta como en elevación, trazamos la línea de tierra y sobre esta los puntos (a),(b),(c) y (x), y sobre la línea de horizonte los puntos de fuga de las líneas horizontales AB y BC. Desde el punto (x) donde la bisectriz toca al plano del cuadro que marca el centro del ángulo óptico, es decir el centro de la visión, se levanta una vertical y sobre esta estará a una distancia (z) determinada sobre el plano del cuadro en elevación, el punto de fuga de todas las líneas verticales (ver fig. 47). Una vez determinada la posición del punto de fuga de las líneas verticales, se fugan las aristas del edificio partiendo de los puntos en perspectiva A´,B´y C´, previamente determinados al fugar el punto (b) al punto de fuga que le corresponde a la recta BA y al trazar una vertical desde el punto (a) hasta cruzar la fuga determinando el punto A´, de la misma manera se determinó el punto C´. Las alturas del edificio y los entrepisos, se determinan al llevar las proyecciones obtenidas en el plano del cuadro de la vista en elevación, sobre la línea que está en contacto con el plano del cuadro en el punto B´, de esta manera se obtiene la posición en perspectiva de los puntos; F´,10,9,8,7,6,5,4,3,2 y 1, de ahí se fugará a los puntos de fuga que les corresponde para obtener el complemento de la perspectiva (ver fig. 47).

PERSPECTIVA

PF

G'

dB'

X

C'

ca

A'

E'

F'

1'

2'

3'

4'

5'

6'

7'

8'9'

PFV

PF LH

LT

Z

Figura 47

50

O

PFV

90°e

h

b

E

A

1'2'

3'4'

5'6'

7'8'

9'

PC

LT

LH PV

Z

Y

7

8

6

5

9FH

B

1

ELEVACION

2

3

D

4

Figura 48

El mismo procedimiento se aplica cuando el observador este localizado en una posición tal que su altura rebase la del edificio, este se vera deformado a la inversa con el punto de fuga de las líneas verticales debajo de la línea de horizonte.

D'

9'

8'

7'

6'5'4'3'2'

b

F

F'

1'

Z

PERSPECTIVA

PF

G'

d

B'

X

C'

ca

A'

E'

PFC

PFLH

Figura 49

La altura del edificio y los entrepisos, así como todos los puntos visibles del edificio, se determinan en la misma forma que el ejemplo anterior sobre el plano del cuadro (ver fig. 48 y 49)

51

Para este caso la proyección de los vértices visibles del edificio corresponderán a la parte superior del edificio (e),(h),(x),(f) y (g), los que marcaremos ahora sobre la línea de horizonte y no sobre la línea de tierra. El punto de fuga de las líneas verticales PFV, se deberá localizar sobre la vertical trazada desde el punto X que corresponde al centro del ángulo óptico, el punto de partida para iniciar la perspectiva será el F, que es el que está en contacto con el plano del cuadro. Perspectiva interior. En este capítulo que se refiere a la perspectiva cónica, hemos hablado de la representación exterior de los objetos, su comportamiento y sus variantes, ahora estudiaremos sus características internas para su representación en perspectiva. La aplicación del método de “Visuales y Dominantes” para resolver una perspectiva interior, será igual que para la exterior, pero tendremos que tomar en cuenta ciertas consideraciones que en realidad son falsas; la mayoría de las veces el punto de vista esta fuera del local arquitectónico, colocado a una distancia tal que el ángulo óptico permita abarcar el espacio que queremos dibujar, si este punto de vista se colocara dentro del espacio interior, quedaría demasiado cerca rebasando el ángulo óptico y provocando una gran deformación en la perspectiva.

Considerando que cuando estamos en el interior de un espacio vemos los objetos en forma sucesiva, la vista se encarga de integrar las varias perspectivas que se le presentan produciendo la sensación de conjunto, por lo tanto para resolver las perspectivas interiores, en algunos casos tendremos que eliminar muros. Esta perspectiva interior, igual que la exterior tendrá sus variantes: a).- Podrá presentarse una perspectiva angular de dos puntos de fuga, el procedimiento es el mismo que para la exterior, se localiza la posición del observador viendo en forma angular los dos muros del fondo en el ejemplo BC y CD, se determina la distancia del observador por medio del ángulo óptico que en este caso se propuso sea de 45° formado por las líneas que representan las visuales desde el punto de vista hacia los puntos extremos B y D que abarquen todo lo que queremos representar, trazamos la bisectriz de este ángulo y perpendicular a ella localizamos el plano del cuadro haciendo que este toque los extremos de las rectas BC y CD, que son las que queremos ver en perspectiva, desapareciendo los muros AB y AD (ver fig. 50).

52

H

d

b

PP

LT

LH

C'

c

B'

d

D'

b

F'G'

H'

E'

PF PF

45°

90°

a

D

H

A

C

B

G

FE

PF

PC

PF

c

A'

Figura 50

Este tipo de perspectiva de esquinas es poco utilizado, pues no muestra el conjunto del interior, se utiliza cuando queremos ver un detalle especial, sin embargo se le puede dar una impresión de conjunto cuando los muebles definen en el piso con su posición una forma rectangular o cuadrada. b).- Se podrá presentar una perspectiva de frente de un solo punto de fuga, cuando el observador se encuentra situado al centro del muro frontal del interior, es decir que el punto de fuga principal esta sobre la línea del centro del espacio interior, cuando esto sucede todas las líneas frontales se conservan paralelas al plano del cuadro, su punto de fuga estará en el infinito, en la figura 51, vemos que la distancia del punto de vista a los puntos A y B son iguales, por lo tanto la altura de las aristas en ambos puntos será la misma, por lo que las líneas AB y EF se manifiestan paralelas en perspectiva, las líneas perpendiculares al plano del cuadro fugarán al punto de fuga principal. Este tipo de perspectiva a veces resulta de poco interés en espacios pequeños, la simetría en la deformación de los elementos en perspectiva produce cierta monotonía y pasividad (ver fig. 50), cuando la línea de horizonte queda a la mitad de la altura del espacio interior, la perspectiva quedará en una total simetría en el sentido vertical y horizontal.

53

90°

PCbc

F

G

B

CPP

EA

H

D da

F'

LH

PF

PP

G'

b

B'

LTc

C'

E'

H'

D'

d

A'

a

H

45°

Figura 51

c).- Cuando el observador se desplaza hacia la izquierda o derecha del centro, sin rebasar los muros laterales, se presenta una perspectiva interior de frente a dos puntos de fuga, en este caso la distancia del punto de vista al punto A será menor que la del punto B, y sabemos que en perspectiva los objetos entre más cerca se ven más grandes y entre más se alejan se verán más pequeños, por lo tanto la altura en el punto A será mayor que en el punto B, lo que significa que las rectas AB y EF en perspectiva ya no se mantienen paralelas, y tendrán que fugar hacia la derecha o izquierda a un punto de fuga sobre la línea de horizonte. Para determinar los puntos de fuga de las líneas que intervienen en la perspectiva, se sigue el mismo procedimiento ya planteado en el método; para encontrar el punto de fuga de la recta AB y todas las que sean paralelas a ella, se traza una línea paralela a AB que pase por el punto de vista hasta cruzar al plano del cuadro, y ahí se encontrará el PF2 sobre la línea de horizonte. De la misma manera trazamos una línea paralela a la línea AD que pase por el punto de vista hasta cortar al plano del cuadro y determinaremos el punto de fuga PF1 de la recta AD y todas las que sean paralelas. Este tipo de perspectiva es más utilizada que la anterior, pues no hay simetría resultando una perspectiva dinámica y agradable (ver fig. 52).

54

PF1

1PF PF2

45°

90°

PP

PF

b f

a e

H

a ed h

LT

LH

C'

c gA'

B'

d h

D'

b f

F'G'H'

E'

D

H

A

C

B

G

FE

PC

c g

Cuando el observador se encuentra con una posición muy cerca del centro del muro frontal, el punto de fuga de las líneas frontales se encontrará muy retirado,

Figura 52 en algunos casos fuera del papel, en ocasiones será conveniente considerar el punto de fuga en el infinito.

55

Perspectiva interior de frente con un punto de fuga La perspectiva interior de frente con un punto de fuga, requiere menos tiempo para su ejecución, solo requiere un punto de fuga, a menos que existan muros o muebles que se encuentren fuera del paralelismo general del interior que normalmente tiene dos direcciones y son perpendiculares entre sí los dos sistemas de rectas. Al colocar el plano del cuadro paralelo al eje frontal todas las líneas que pertenezcan a este eje se verán de frente y se dibujan horizontales en la vista en perspectiva, las que son paralelas al eje perpendicular al plano del cuadro fugarán al punto de fuga principal. Si colocamos el plano del cuadro al fondo del interior, todos los objetos en contacto con este plano se dibujan en proyección ortogonal, es decir en su verdadera forma y magnitud, y este alzado servirá de punto de partida para el trazo de la perspectiva. En el siguiente ejemplo realizaremos la perspectiva interior de frente a un punto de fuga siguiendo los pasos de aplicación del método. 1.- Para iniciar el trazo es necesario contar con la planta arquitectónica del espacio a dibujar y sus elevaciones correspondientes a la misma escala (ver fig. 52) El ejemplo es un espacio interior simple, con una chimenea integrada a un mueble de pared y un conjunto de muebles de sala.

h5

h4

ALTURA MUEBLES

ELEVACION

h3

h2

h1

h

PLANTA

Figura 53

56

2.- Localizamos la posición del observador, en este caso estará centrado, es decir sobre la línea que pasa a la mitad de la recta AB, y su distancia será determinada por el ángulo óptico propuesto de 45° formado por las visuales trazadas del punto de vista a los puntos A y B, de tal manera que abarque todo lo que se va a dibujar. 3.- Se localiza la posición del plano del cuadro perpendicular a la bisectriz del ángulo óptico y en este ejemplo que pase por el muro del fondo del interior por los puntos C y D. 4.- Proyectamos sobre el plano del cuadro los puntos visibles que forman el interior A, B, C, y D, obteniendo sobre el plano del cuadro los puntos (a), (b), (c) y (d), así como el punto de fuga principal. Las visuales a los puntos A y B que forman el ángulo óptico, se prolongan hasta tocar el plano del cuadro, y los puntos C y D por estar en contacto con el plano del cuadro ya no se modifica su posición en perspectiva. 5.- La línea de horizonte estará a la altura de los ojos del observador en una posición normal parado. Para iniciar el trazo de la perspectiva, dibujamos el alzado que está contenido en el plano del cuadro, como ya se dijo antes deberá estar dibujado a la misma escala que se utilizó para la planta. Las medidas obtenidas en el plano del cuadro y las alturas, se podrán duplicar o multiplicar para obtener una perspectiva más grande.

fgh

e

90°

visual

45°

bisectriz

bisectriz

PPba

d

PV

D

H

A

C

B

G

FE

PCc

Figura 54

57

6.- Para dibujar en perspectiva los elementos primarios piso, plafón y muros, trazamos la línea de tierra y sobre esta el alzado del muro que está en contacto con el plano del cuadro, localizamos la posición de la línea de horizonte y sobre esta la posición del punto de fuga principal

7.- Trazamos las fugas desde el punto principal pasando por los puntos D´, C´, G´, y H´ y habremos obtenido la fuga de los muros laterales, para definir su longitud en perspectiva, trazamos verticales desde los puntos (a) y (b) hasta cortar las líneas fugadas, al unir los puntos A´ B´ E´ y F´ determinamos la perspectiva de los elementos primarios (ver fig. 55)

Figura 55

58

8.- Para el trazo en perspectiva de los muebles, previamente en la planta se traza una retícula que defina su posición. Todas las líneas de la retícula perpendiculares al plano del cuadro, fugarán al punto de fuga principal partiendo de los puntos 1,2,3,4,5,6 y 7, extremos de estas líneas que están en contacto con el plano del cuadro. Para determinar la proyección sobre el plano del cuadro de uno de los extremos de las líneas que son paralelas al plano del cuadro, tendremos que trazar visuales a cualquiera de sus extremos en este caso por los puntos 8,9,10,11 y 12 hasta tocar el plano del cuadro y obtener los puntos 8´,9´,10´,11´ y 12´. 9.- Con los datos sobre el plano del cuadro, estaremos en condiciones de trazar en perspectiva la retícula sobre el piso. En la perspectiva de los elementos primarios, que determinamos en el punto 7, sobre la línea de tierra marcamos los puntos 1,2,3,4,5,6 y 7, y los fugamos al punto de fuga principal; los puntos 8´,9´,10´,11´, y 12´, los marcamos sobre la línea de tierra, y de ahí trazamos verticales hasta cruzar la línea en perspectiva B´C´, desde estos cruces trazamos líneas horizontales paralelas al plano del cuadro, y en esta forma hemos obtenido la perspectiva de la retícula sobre el piso (ver fig. 56)

4 765321PP

a

PV

D

A

8

9

10

12

11

PC12'11'8' 10'C

B

9'

Figura 56

59

11.- Sobre la retícula localizamos en planta la posición de los muebles y les damos altura para representarlos sintéticamente en forma prismática, de esta manera nos será más fácil su representación en perspectiva.

Figura 57 Las alturas las damos sobre la línea de tierra en el plano del cuadro, y de ahí las transportamos a cada mueble, usando los puntos de fuga para hacer viajar la altura lateralmente o en profundidad (ver fig. 58)

Figura 58

60

Finalmente sobre el bosquejo de los muebles se hace el detallado según el tipo de mueble que se quiera.

Se añade la ambientación; lámparas, cuadros, tapetes, figura humana, etc. quedando listo el trazo para la aplicación de cualquier técnica (ver fig.59)

Figura 59

61

Perspectiva interior de frente con dos puntos de fuga Cuando el punto de vista no se localiza al centro del interior, y se desplaza a la derecha o izquierda del eje central, la perspectiva será de frente a dos puntos de fuga. El procedimiento será el mismo que en el caso anterior, solo que al moverse el punto de vista, cambiará la posición del plano del cuadro y aparecerá el punto de fuga para las líneas frontales. Resolveremos con esta variante el mismo ejemplo del interior que se resolvió a un punto de fuga Procedimiento: 1.- Utilizamos los mismos datos como son: planta arquitectónica del espacio a dibujar y sus elevaciones correspondientes. 2.- Localizamos la posición del observador, en este caso estará desplazado del centro hacia la izquierda sin rebasar el muro lateral, y su distancia se definirá por medio del ángulo óptico propuesto de 45°, formado por las visuales trazadas del punto de vista a los puntos A y B. 3.- Se localiza la posición del plano del cuadro perpendicular a la bisectriz del ángulo óptico y que pase por el extremo del muro del fondo que este más cercano al observador, en este caso los puntos D y H

Figura 60

62

4.- Proyectamos sobre el plano del cuadro los puntos visibles de las aristas que forman el interior A, B y C, prolongando las visuales hasta cortar el plano del cuadro, obteniendo los puntos (a), (b) y (c), el punto D ya no se modifica su posición en perspectiva por estar en contacto con el plano del cuadro. De la misma forma que en la perspectiva exterior determinamos la posición de los puntos de fuga, trazando paralelas a los sistemas de rectas que pasen por el punto de vista hasta cortar el plano del cuadro, obteniendo los puntos de fuga PF1 al centro y PF2 a la derecha (ver fig. 60) 5.- La línea de horizonte en este caso se traza a la altura de los ojos del observador en una posición normal parado. En la línea de tierra se trazan los datos obtenidos de las proyecciones en planta sobre el plano del cuadro.

6.- Iniciamos el trazo de la perspectiva partiendo de los datos en la línea de tierra cuyas distancias podremos duplicar o multiplicar así como las alturas para obtener una perspectiva más grande. Determinamos la altura del interior sobre la vertical que pasa por el punto D´ que es el que esta en contacto con el plano del cuadro, trazamos la línea de horizonte y sobre ella localizamos la posición de los puntos de fuga. 7.- Trazamos las líneas de fuga partiendo de los puntos D´ y H´ hacia el punto de fuga PF2, trazamos una vertical desde el punto (cg) y donde cruce con las fugas determinamos los puntos C´ y G´, así hemos definido en perspectiva el muro frontal. Trazamos las líneas de fuga que pasen por los puntos D´, C´, G´ y H´ partiendo del PF1.

Figura 61

63

8.- Para definir la longitud en perspectiva de los muros laterales, trazamos verticales desde los puntos (ae) y (bf) hasta cruzar las fugas, obteniendo los puntos A´, B´, C´ y E´, al unir estos puntos definimos en perspectiva los elementos primarios; piso, plafón y muros (ver fig 61). 9.- Para el trazo en perspectiva de los muebles, previamente en la planta se trazó una retícula que definió su posición. Para determinar la proyección sobre el plano del cuadro de uno de los extremos de las líneas que son paralelas a las rectas AB y AD, tendremos que trazar visuales a cualquiera de sus extremos en este caso los puntos; 1,2,3,4,5,6,7 y 8,9,10,11 y 12, obteniendo los puntos; 1´,2´,3´,4´,5´,6´,7´ y 8´,9´,10´,11´ y 12´ (ver fig. 62). 10.- Con los datos sobre el plano del cuadro, estaremos en condiciones de trazar en perspectiva la retícula sobre el piso. Todas las líneas paralelas a la recta AB, fugarán al punto de fuga PF2, partiendo de los puntos; 8´,9´,10´,11´ y 12´, que se obtuvieron al trazar verticales desde los puntos sobre la línea de tierra hasta cruzar la fuga de la línea BC, y las líneas paralelas a AD, fugarán al punto de fuga PF1 partiendo de los puntos; 1´,2´,3´,4´,5´,6´ y 7´ que se obtuvieron en la misma forma que los anteriores (ver fig. 63)

Figura 62

64

11.- Sobre la retícula localizamos en planta la posición de los muebles y les damos altura, las alturas las marcamos sobre la línea de alturas a partir de la línea de tierra en el punto D que está en contacto con el plano del cuadro,

Figura 63 y de ahí las transportamos a cada mueble utilizando los puntos de fuga para hacer viajar la altura lateralmente o en profundidad (ver fig. 64).

Figura 64

65

Finalmente sobre los bosquejos de la representación prismática de los muebles, se hace el detallado según el tipo de mueble que se quiera.

Se añade la ambientación; cuadros, lámparas, tapetes, figura humana, etc., quedando listo el trazo para la aplicación de la técnica que se desee (ver fig. 65)

Figura 65

66

Capítulo III. Perspectiva por método

simplificado

67

CAPITULO III: Perspectiva por método simplificado. Cuando se quiere utilizar un método simplificado, es fundamental el conocimiento de un método exacto, para estar familiarizado con el manejo de sus elementos y reglas. El método de “Visuales y Dominantes” como algunos otros, de pronto se antoja laborioso cuando hay que utilizar como elemento fundamental la planta, sobre todo cuando son proyectos grandes y los datos obtenidos en el plano del cuadro se tienen que duplicar o multiplicar para obtener perspectivas más y grandes. Hay métodos que simplifican en cierto grado el manejo de las plantas. El método que aquí se propone trata de simplificar trabajo y ahorrar tiempo para el trazo de perspectivas, aplicando procedimientos prácticos que lo lleven a obtener de una forma muy aproximada y satisfactoria el trazo de las perspectivas. El Arquitecto en general requiere manejar con rapidez y facilidad la perspectiva en la ejecución de sus proyectos, algunas veces un poco informal en el proceso del diseño y otras para la presentación formal del proyecto Estos procedimientos prácticos no se podrían utilizar con eficiencia si se desconoce el funcionamiento general de la perspectiva, plantearemos en seguida las características y manejo de los procedimientos prácticos.

División de una línea en partes iguales o desiguales. Cuando tenemos una línea dibujada en geometral y queremos dividirla en partes iguales o desiguales, procedemos de la siguiente manera: 1.- Trazamos la línea AB que puede estar en cualquier dirección. 2.- Por uno de sus extremos punto A, trazamos otra línea que se abra a una distancia considerable, y marcamos a cualquier escala el número de partes iguales o desiguales en que se quiera dividir la línea AB.

Figura 66

68

3.- Unimos los dos extremos libres, el de la línea que queremos dividir y el de la línea dividida a escala. Trazamos líneas paralelas a la línea que unió los dos extremos, que pasen por las divisiones de la línea dividida a escala hasta que cruce la línea que queremos dividir, y así habremos obtenido las divisiones requeridas (ver fig. 66). Este sistema o procedimiento para dividir una línea en geometral, también es válido para dividir una línea o superficie en perspectiva. Tenemos una superficie en perspectiva que queremos dividir en partes iguales o desiguales, en este ejemplo en seis partes iguales, lo podemos hacer en dos formas: 1.- Trazamos una línea horizontal que pase por el extremo más cercano al observador de cualquiera de sus dos líneas horizontales, se recomienda que se tome la línea que esté más separada de la línea de horizonte. 2.- Se divide esta línea horizontal que pasa por el punto B a escala en seis partes iguales, procurando que su tamaño sea mayor que la línea que se va a dividir. 3.- Se une el extremo de la línea dividida por el punto 6, con el extremo de la línea que se va a dividir punto C, y se continúa esta línea hasta tocar la línea de horizonte, desde este punto de contacto que llamaremos punto medidor PM, fugamos a cada una de las divisiones de la línea horizontal dividida a escala, y desde donde cortan la línea en perspectiva trazamos verticales, y de esta forma tenemos la

superficie en perspectiva dividida en seis partes iguales (ver fig. 67) Otra forma de dividir una superficie en perspectiva, es utilizando el mismo punto de fuga de la superficie por dividir: 1.- Se traza una línea vertical que pase por el extremo más cercano al observador de cualquiera de sus dos líneas horizontales punto A o B. 2.- Se divide esta línea vertical en las seis partes iguales a cualquier escala, y se une el extremo (6) de la línea vertical con el extremo D de la línea por dividir, se fugan cada una de las divisiones de la línea vertical al punto de fuga de la superficie por dividir, donde corten estas fugas a la línea que unió los dos extremos de la línea dividida con la línea por dividir, se trazan verticales y quedará dividida la superficie en perspectiva (ver fig. 67).17 Cualquiera de los dos procedimientos se podrá utilizar, pues da el mismo resultado todo depende del espacio que se disponga para su trazo. Cuando no se quiera que se encimen los trazos, la línea a dividir se puede desplazar hacia arriba o hacia abajo usando el mismo punto de fuga de la superficie a dividir Este procedimiento se puede aplicar a la línea en perspectiva completa, o a algún sector de esta y las divisiones pueden ser iguales o desiguales (ver fig. 68).

69

Figura 67

70

Figura 68

71

Repetición de una superficie “N” veces. Para repetir gráficamente una superficie dibujada en geometral sin tener que usar un escalímetro, se procede de la siguiente manera: 1.-Partiendo del dibujo en geometral de una superficie rectangular o cuadrada, trazamos diagonales para determinar su centro, por el que se traza una línea horizontal (línea media).

2.- Se traza una línea diagonal que pase por el extremo superior izquierdo y el extremo derecho medio, prolongando la línea hasta cortar la línea horizontal que pasa por la base de la superficie, obteniendo la repetición de la medida horizontal de la superficie y al trazar una vertical por este punto, habremos obtenido la repetición de la superficie. Siguiendo el mismo procedimiento podemos repetir la superficie “n” veces (ver fig. 69)

Figura 69

72

El mismo procedimiento es aplicable para repetir una superficie dibujada en perspectiva, siguiendo los mismos pasos tenemos: 1.- Partiendo del trazo de una superficie en perspectiva con su línea de horizonte y su punto de fuga, se define el tamaño de la superficie que se quiere repetir. 2.- Se trazan las diagonales para determinar el centro de la superficie, y por este punto que marca el centro, se traza una línea fugada al punto de fuga de la superficie para obtener la línea media.

3.- Se traza una línea diagonal que pase por el extremo superior izquierdo y el extremo derecho medio, prolongando la línea hasta cruzar la línea fugada que pasa por la base de la superficie, por este cruce trazamos una vertical hasta cruzar la línea fugada superior y habremos repetido la superficie en perspectiva, siguiendo el procedimiento podemos repetir la superficie en perspectiva “n” veces (ver fig. 70).18

73

Figura 70

74

4.- Las líneas diagonales que repiten las superficies son paralelas entre sí, por lo que deberán fugar al mismo punto de fuga, este punto de fuga por ser para líneas inclinadas ascendentes o descendentes se encontrará arriba o debajo de la línea de horizonte sobre la vertical que pasa por el punto de fuga de su proyección horizontal, “Regla No 7” líneas inclinadas.

La repetición de superficies o módulos en perspectiva se podrá hacer en profundidad sobre superficies horizontales y verticales, o longitudinalmente en superficies horizontales (ver fig. 71 y 72).19

Figura 71

75

Figura 72 Proporción óptica del cuadrado. Otro elemento tal ves el más importante que nos servirá para el trazo de perspectivas por el método simplificado, es la proporción óptica del cuadrado en perspectiva. Esta proporción óptica del cuadrado variará en relación a la distancia del punto de fuga, cuanto más lejos se encuentre el punto de fuga, mayor será la amplitud del cuadrado y cuanto más cerca la amplitud será menor. Para tener una idea más concreta de la proporción de este cuadrado en perspectiva,

aplicaremos el método exacto de “Visuales y Dominantes” para obtener la perspectiva de un cubo cuyas caras sabemos perfectamente que son cuadrados, lo que nos ayudará al objetivo que perseguimos. Buscaremos que la posición del observador frente al cubo sea tal, que vea una de sus caras casi de frente, y la otra más de perfil, y obtendremos como resultado en la perspectiva que la cara que se ve más de frente tendrá su punto de fuga más retirado, y la que se ve más de perfil su punto de fuga estará más cerca (ver fig. 73)

Figura 73

76

En conclusión podríamos plantear que; entre más lejos este el punto de fuga de una superficie en perspectiva, en nuestro caso el cuadrado, mayor será su amplitud, y entre más cerca este el punto de fuga menor será su amplitud. Para proporcionar ópticamente el cuadrado en perspectiva, tomaremos en cuenta que la proporción será más acertada cuando el punto de fuga este más lejos. Cuando el punto de fuga está más cerca es más probable que no se capte con certeza la proporción del cuadrado. En la figura 74, observamos que hay una relación directa entre la cercanía o lejanía de los puntos de fuga con la proporción del cuadrado.

Figura 74 Si analizamos la proporción del cuadrado que tiene el punto de fuga más alejado PF2 y el cuadrado con el punto de fuga más cercano PF1, podemos establecer una relación de proporción entre distancias de puntos de fuga a partir de la línea de alturas, es decir que proporción guarda la distancia del punto de fuga PF1 a la línea de alturas, con relación a la distancia de esta línea al punto de fuga PF2, y vemos que aproximadamente en números enteros es de 1 a 3, quiere decir que lo que se encuentra de la línea de alturas al PF1, será tres veces menor que lo que hay hacia el punto de fuga PF2. Si tomamos una tercera parte del cuadrado que fuga al PF2, vemos que es aproximadamente la proporción del cuadrado que fuga al PF1.

77

Procedimiento para localizar las alturas en perspectiva Cuando en el trazo de una perspectiva un punto de fuga queda muy retirado fuera del papel, se dificulta transportar de la línea de alturas a cada punto del edificio la altura correspondiente, para eliminar dicha dificultad se puede utilizar un procedimiento práctico. Procedimiento: 1.- Se traza la planta del edificio en perspectiva A, B, C, D. 2.- Se traza una vertical a partir de la línea de tierra colocada a un lado de la perspectiva en un lugar estratégico fuera de los puntos de fuga para no interferir los trazos de construcción de la perspectiva. Se marcan las alturas tomadas de la fachada tal y como se hace en la línea de alturas. A una distancia adecuada de esta línea, se localiza un punto de fuga PF3 sobre la línea de horizonte, que servirá para fugar las alturas de la línea descrita 1- 2. 3.- Para determinar las alturas en los puntos que se quiera del volumen, por ejemplo en el punto A, trazamos una paralela a la línea de tierra que pase por el punto A hasta cruzar la vertical de la línea de alturas en el punto 1, y trazamos una línea paralela a la línea de tierra desde la altura punto 2, hasta cruzar la vertical trazada por el punto A y definimos la altura del volumen en el punto A´. 4.- Para encontrar la altura en el punto B, tendríamos que fugar el punto A´ al punto de fuga PF2 hasta cruzar la línea vertical trazada

desde el punto B, pero como el punto de fuga está fuera del papel se dificulta este proceso. Si seguimos el procedimiento del inciso 3; trazamos una paralela a la línea de tierra que pase por el punto B hasta cruzar la línea de fuga del punto 1 al PF3, desde este cruce en el punto (b) trazamos una línea vertical hasta cruzar la línea de fuga del punto 2 al PF3 y regresamos con la paralela a la línea de tierra hasta cruzar con la vertical que pasa por el punto B, y habremos determinado el punto B´ que al unirlo con el punto A´ obtenemos en perspectiva la arista A´B´. De esta manera se encuentra la altura en los demás puntos y de cualquier punto que pudiera existir en el objeto a dibujar (ver fig. 75).20

Figura 75

78

Procedimiento del método simplificado: Describiremos la aplicación del método por pasos de una manera simple, resolviendo la perspectiva de un ejemplo sencillo, de una figura compuesta de varios prismas, que representarían en forma esquemática edificios. Para poder trazar la perspectiva como en cualquier método, requerimos de los datos fundamentales como son la planta o plantas y fachadas El paso inicial será determinar la proporción en las fachadas en base al cuadrado del volumen general dominante, o la envolvente si el tema es muy irregular como si lo metiéramos en una caja de cristal, para después hacer substracción o agregado de volúmenes, y después definir los elementos complementarios; ventanales, puertas, etc. utilizando los procedimientos prácticos (ver fig. 76)

Figura 76

79

1.- Localizamos la posición del observador en un croquis de la planta igual que en el método exacto, en este ejemplo se plantea una posición angular de manera que se vea más de frente la fachada más importante como es la sur, y menos de frente la fachada poniente (ver fig. 77)

Figura 77

2.- Tomaremos como base la envolvente general del edificio para definir la proporción en perspectiva segun el punto de vista propuesto. De acuerdo con el criterio planteado en las figuras 73 y 74, en que se estableció que; mientras más de frente al observador este una superficie más lejos estará el punto de fuga, y cuanto menos de frente este respecto al observador más cerca estará el punto de fuga. Este será el criterio para proponer la posición de los puntos de fuga. 3.- Para iniciar el trazo en la superficie del papel disponible, se debe plantear el encuadre de la perspectiva dentro de ese espacio, como el primer trazo será la línea de alturas la que corresponderá a la arista del edificio más cercana al observador, el trazo de esta se cargará a la derecha o izquierda del centro del papel de acuerdo con la posición de los punto de fuga, es decir que se cargará al lado donde se localice el punto de fuga más cercano con relación a la línea de alturas ya que por lógica la perspectiva se desarrollará hacia el punto de fuga más lejano. La altura de esta línea que corresponderá a la altura del volumen general del edificio se recomienda que ocupe una tercera parte aproximadamente de la altura total del espacio disponible (ver fig. 78).

80

Figura 78 4.- Una vez planteado el encuadre, se traza la línea de alturas a escala, y de acuerdo a esta escala se traza la línea de horizonte a la altura de los ojos del observador que será según la altura a la que se desee ver la perspectiva. 5.- Se localiza la posición de los puntos de fuga según el criterio planteado en el inciso 2, localizamos el punto de fuga de la fachada poniente más cerca pues de acuerdo con su posición respecto al observador, cuanto menos de frente este la fachada el punto de fuga estará más cerca y viceversa, en consecuencia por estar más de frente la fachada sur, su punto de fuga deberá colocarse más retirado. No se deben colocar los puntos de fuga muy

cerca uno de otro, pues habría deformaciones muy violentas y desagradables, un criterio para su separación sería, que la relación de uno y otro con respecto a la línea de alturas estuviera comprendido entre las proporciones de 1:3 y 1:8, empleando estas proporciones de acuerdo al proyecto y la altura del edificio. 6.- Fugamos el extremo superior e inferior de la línea de alturas que corresponde a la altura de la envolvente del edificio, a los puntos de fuga PF1 y PF2 y tendremos fugadas en perspectiva las dos fachadas. 7.- Para determinar la longitud en perspectiva de las fachadas, lo haremos en base al cuadrado utilizando la proporción óptica del primer cuadrado y su repetición, como se planteo en la descripción del procedimiento. Determinamos en las fachadas su proporción en cuanto su longitud y altura de la envolvente general, es decir cuantas veces cabe la altura en la longitud, y observamos que en la fachada sur cabe una ves más una cuarta parte, y en la fachada poniente cabe solo una ves, lo que quiere decir que la fachada sur tiene un cuadrado más una cuarta parte de proporción, y la fachada poniente solo un cuadrado.

81

Figura 79

82

8.- Proporcionamos primero la fachada sur que es la que esta más de frente, es decir la que tiene su punto de fuga más retirado. Proporcionamos ópticamente el primer cuadrado y lo repetimos una ves para obtener la longitud total de un cuadrado más un cuarto, el segundo cuadrado lo dividimos en cuatro partes y solo tomamos una. Para trazar ópticamente el primer cuadrado en perspectiva de la fachada poniente, como su punto de fuga está muy cerca es probable que no acertemos con precisión el tamaño del cuadrado, por lo que utilizaremos la proporción de la distancia de los puntos de fuga con relación a la línea de alturas, esta proporción en números cerrados es de 1 a 3, lo que nos indica que todo lo que se encuentre en la fachada poniente es tres veces menor a lo que exista en la fachada sur, por lo que si tomamos el primer cuadrado de la fachada sur y lo dividimos en tres partes, una de estas partes será la dimensión del primer cuadrado en la fachada poniente, quedando definidas en perspectiva las proporciones de las envolventes de la fachada sur O,O´,D,D´ y la fachada poniente O,O´,3,3´ (ver fig.79). 9.- Se traza una retícula en la planta para localizar los puntos que determinan los volúmenes, y aplicamos el procedimiento practico de “como dividir una superficie en perspectiva en partes iguales o desiguales”. 10.- En el extremo inferior de la línea de alturas punto O, trazamos líneas horizontales a ambos lados, que nos servirán para definir aplicando el

procedimiento, los puntos en la fachada sur en perspectiva A,B,C y D, y en la fachada poniente los puntos 1,2 y 3. 11.- Para definir el volumen (1) en perspectiva, trazamos líneas verticales por los puntos B´y C´ hasta cruzar la línea de fuga del punto O´ al PF2. Fugamos los puntos obtenidos B”, C” y al PF1 hasta cruzar con la fuga del punto 3”” al PF2, obteniendo los puntos L´y M´. 12.- Para definir el volumen (2), trazamos líneas verticales por los puntos 2´ y 3´ hasta cruzar la fuga del punto h2 en la línea de alturas al PF1, fugamos el punto obtenido 2” y el punto 2´ al PF2 hasta cruzar la vertical trazada por el punto K, obteniendo en el cruce de las fugas del punto B´ al PF1 y el punto 2´ al PF2.el punto J. Para terminar la definición de este volumen, unimos los puntos 2´ y 3´, y los puntos 2” y 3”, ambas líneas fugarán a PF1. 13.- Para definir el volumen (3), fugamos los puntos A´,B´ y D´ al PF1, y los puntos 1´ y 2´ al PF2, en donde se cruzan estas líneas fugadas definimos los puntos E,F,G,H,J,L y K, donde cruzan las líneas verticales trazadas desde estos puntos, con las líneas de fuga que parten desde los puntos 1” y 2” al PF2, encontraremos los puntos E´, F´ G´, H´, J´, y K´, que al unirlos ordenadamente definimos la perspectiva del volumen (3). Los puntos 1” y 2”, fueron definidos en el cruce de las líneas fugadas desde el punto h1 de la línea de alturas al PF1, con las líneas verticales trazadas desde los puntos 1´ y 2´.

83

Figura 80

84

14.- Todas las alturas de los diferentes volúmenes h1, h2 y h3 se marcaron a escala sobre la línea de alturas, y de ahí fueron llevadas a los volúmenes respectivos asiéndolas viajar a la derecha con el PF2 y a la izquierda con el PF1. De esta manera hemos trazado la perspectiva del ejemplo aplicando el método simplificado (ver fig. 80. Aplicación del “Método simplificado” en una perspectiva exterior de vista angular

Figura 81

85

Figura 82

86

Figura 83

87

Aplicación del “Método simplificado” en una perspectiva exterior, de frente con dos puntos de fuga. En este ejemplo la envolvente del volumen se tomará en el plano de la línea XY, con el objeto de presentar el manejo de entrantes y salientes.

Figura 84

88

Figura 85

89

Figura 86

90

Aplicación del “Método simplificado” en una perspectiva interior, de frente a dos puntos de fuga. En el ejemplo, para proporcionar el, espacio interior se tomó como base el muro frontal del fondo, y el muro lateral derecho.

Figura 87

91

Figura 88

92

Figura 89

93

Capítulo IV. Localización de la figura

humana en la perspectiva

94

CAPITULO IV: La figura humana en la perspectiva El trazo geométrico en las perspectivas utilizando los diferentes métodos para su realización, por más detallados que resulten los diferentes volúmenes y elementos que las forman, no serán suficientes si carecen de los elementos de ambientación que conforman los ingredientes en la composición de la escena, que harán que el edificio o espacio diseñado tenga vida propia. No se podrá prescindir de elementos tan importantes como son; la escala humana, el mobiliario, los accesorios, la vegetación, textura, sombras y diversos materiales, que indudablemente enriquecerán la ilustración del proyecto diseñado con su vocación de uso y le impriman el carácter deseado. La incorporación de la figura humana en la perspectiva, además de dar la escala para percibir las proporciones del proyecto, deberá dar realismo con actitud y carácter en su presentación que vayan de acuerdo al tipo de proyecto y lugar en que se ubique. La localización de la figura humana en cuanto a su proporción con la perspectiva, dependerá independientemente de su carácter de la localización de la línea de horizonte. La posición más común es a vista normal cuando la línea de horizonte se encuentra a la altura de los ojos del observador estando parado y este se encuentra hipotéticamente frente al edificio

o en el interior, de acuerdo con el punto de vista seleccionado, cuando esto sucede será muy fácil su localización, bastara poner la cabeza de la figura coincidiendo la altura de sus ojos con la línea de horizonte, y cualquiera que sea su tamaño estará proporcionada su altura en la perspectiva (ver fig. 90).21 Para trazar la figura de la mujer que normalmente es menor que la del hombre, su cabeza estará un poco más abajo de la línea de horizonte, obviamente también habrá figuras de hombre y mujer más altas o más bajas, así como niños y jóvenes en diferentes tamaños. Cuando la línea de horizonte se localiza más arriba de la altura de la figura humana, se marca esta altura de la figura sobre la línea de alturas, y se transporta a cualquier punto en donde se quiera dibujar la figura, utilizando los puntos de fuga del edificio para hacer viajar la figura en un sentido o en otro (ver fig. 91). En este mismo caso con la línea del horizonte rebasando la altura de la figura, también se puede localizar la figura en distintos puntos, partiendo de la altura inicial marcada en la línea de alturas utilizando un punto de fuga para cada figura, fugando el punto seleccionado que pase por la base de la altura inicial hasta cruzar el horizonte, y desde ese punto fugar por la parte superior de la altura inicial hasta la parte superior del punto seleccionado (ver figuras 91 y 92).

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Figura 90

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Figura 91

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Cuando hay la necesidad de dibujar la figura humana sobre planos en diferentes alturas,

Figura 92 hay que elevar la figura a la altura que se requiera, pero sobre el mismo plano vertical (ver fig. 93).22

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Figura 93

99

Cuando la figura se encuentra en un plano inclinado, para transportarla deberá usar el punto de fuga del plano inclinado, o la línea de horizonte falsa que pasa por este punto de fuga (ver fig. 94).23

Figura 94

Es frecuente que cuando no se utilizan los procedimientos adecuados para localizar la figura humana en la perspectiva, se cometen errores en el tamaño de la figura, sobre todo cuando se quiere dibujar una persona en primer término, resultando a veces muy grande o enterrada en el piso (ver fig. 95).24

Figura 95

100

Capítulo V. Reflejos en

perspectiva

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CAPITULO V Reflejos en perspectiva Los reflejos de objetos o personas pueden producirse en superficies horizontales como el agua, superficies mojadas u otras menos obvias como el mármol pulido, y verticales como ventanales de vidrio reflector y espejos. Un reflejo no es una repetición invertida de la imagen, la imagen reflejada fugará al mismo punto de fuga de la imagen real, pero con su propia perspectiva. Aún cuando las proporciones de la imagen se repiten, el dibujo verdadero será diferente en deformación y vista al objeto reflejado.

Reflejo en superficie horizontal. Cuando el objeto está en contacto con la superficie horizontal reflejante, su reflejo estará en contacto con el objeto y del mismo tamaño pero con deformación en perspectiva diferente (ver fig.96).25

Figura 96

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Trazo de reflejos de una perspectiva de frente sobre superficie horizontal

Figura 97

Trazo de reflejos de una perspectiva angular sobre superficie horizontal

Figura 98 En los ejemplos de reflejos de las perspectivas de las figuras 97 y 98 sobre superficie horizontal, podemos observar la repetición de medidas verticales del objeto real al objeto reflejado, y como las líneas horizontales de la imagen reflejada convergen a los mismos puntos de fuga del objeto real.

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Cuando el objeto no está en contacto con la superficie reflejante, hay que determinar la distancia del objeto real a la superficie reflejante, para poder repetir la imagen (ver fig. 99).

Figura 99

104

Reflejo sobre superficie vertical En el reflejo sobre superficie vertical, se presenta el mismo fenómeno que en la superficie horizontal, cuando el objeto no está en contacto con la superficie reflejante. En el trazo de la perspectiva la distancia a la superficie reflejante se puede determinar y repetir para definir la posición del objeto reflejado, utilizando el procedimiento práctico de “como repetir una superficie en perspectiva” (ver fig. 100).26

Figura 100

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Figura 10127

106

Capítulo VI. Sombras

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CAPÍTULO VI: Sombras En la representación de proyectos por medio de perspectivas, que ubican al proyecto en el contexto cuando se agregan los elementos de ambientación y que se ponderan con las diferentes técnicas de dibujo,, cualquiera que sea la técnica que se emplee, no podrá valorarse el claroscuro mientras no se tracen las sombras que definan con certeza las superficies que reciben la luz directa, indirecta, las que están en sombra propia y las que reciben sombras arrojadas. La valoración tonal con el manejo de las sombras dará más realismo a los proyectos arquitectónicos. En la proyección de sombras se requiere conocer; las leyes que rigen su proyección en perspectiva y el tipo y posición de la fuente luminosa. Fuente luminosa La fuente luminosa puede ser natural o artificial. La fuente natural son los rayos del Sol que se consideran paralelos, debido a la gran distancia que viajan hasta alcanzar la tierra. La fuente de luz artificial, o luz de foco generalmente interna, a diferencia de la luz natural no produce rayos paralelos, ésta es central o cónica los rayos son radiales.28 Para determinar la posición de los rayos luminosos, se requieren dos datos que son fundamentales:

a).- El ángulo vertical del rayo respecto al plano horizontal, puede variar según la hora del día y la fecha del calendario. b).- El ángulo horizontal o azimut de los rayos, que marcará cual es su dirección, dependerá también de la hora del día y la fecha del calendario. Si se quiere manejar estos rayos en una hora y día determinado, se podrán utilizar las gráficas solares si es que se quiere ver la proyección de sombras de un edificio con relación a otro, por ejemplo. En la práctica para la representación arquitectónica de sombras, la dirección e inclinación de los rayos se selecciona al gusto, buscando que la proyección de la sombra luzca bien para un dibujo en particular.29 Bajo esta consideración, podríamos proponer la dirección e inclinación de los rayos como más nos convenga buscando dar realismo y profundidad al proyecto.30 En el manejo de las sombras, es muy importante saber distinguir cuales son las superficies en luz, en sombra propia y sombra arrojada. Las superficies iluminadas o caras en luz, son aquellas que reciben luz directa ya sea luz natural o luz artificial. La sombra propia, se refiere a aquellas superficies que no reciben la luz. La sombra arrojada, es la que proyecta un objeto o superficie y estas se proyectarán solo sobre las superficies iluminadas (ver fig. 102)

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Figura 102

Método En el método aquí propuesto para la proyección de sombras, se presume que quien pueda proyectar la sombra de un punto, podrá proyectar la de una recta, de una superficie y de un volumen por muy complicado que este sea (ver figuras 102, 103 y 104). Para proyectar la sombra de un punto, se requiere conocer cuatro datos, si se desconoce alguno de ellos, no se podrá proyectar su sombra, estos datos son: a).-El punto en el espacio b).-La proyección del punto sobre el plano horizontal c).-El ángulo de altitud o inclinación del rayo d).-La dirección del rayo a través de su proyección horizontal El punto en el espacio, para poder proyectar sombra, deberá estar despegado del plano de proyección de las sombras, obviamente si esta en contacto no provocará sombra. La proyección del punto sobre el plano horizontal, es indispensable aún cuando la proyección de la sombra se realice sobre un plano vertical o inclinado. El ángulo de altitud del rayo, este puede ser cualquiera siempre y cuando el ángulo sea mayor de 0° con relación al plano horizontal. La dirección del rayo, representado con la proyección del rayo sobre el plano horizontal puede ser; paralelo al plano del cuadro con dirección de izquierda a derecha o de derecha

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a izquierda, de atrás hacia delante o de delante hacia atrás. La que se utiliza con más frecuencia sobre todo en perspectiva paralela, es con los rayos paralelos al plano del cuadro. Proyección de la sombra de un punto

Figura 103

Mecanismo y normas 1.- Se traza una línea paralela a la dirección del rayo R, que pase por el punto A en el espacio. 2.- Se traza una línea paralela a la dirección de la proyección del rayo (r), que pase por la proyección del punto (a) sobre el plano horizontal. 3.- Donde cruzan estas dos líneas se encontrará la sombra A´ del punto (ver fig. 103). Proyección de la sombra de una superficie

Figura 104

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Proyección de la sombra de un volumen

Figura 105

Cuando los volúmenes de los cuales se va a proyectar la sombra tienen ciertas complicaciones, al momento de unir los puntos para determinar la sombra de las aristas, puede haber equivocaciones, esto se puede evitar aplicando dos normas muy simples: a.- Todas las líneas perpendiculares al plano de proyección, proyectan sombras paralelas a la dirección de la proyección del rayo (r). b.- Todas las líneas paralelas al plano de proyección, proyectan sombras paralelas a las propias líneas. Al aplicar estas normas evitamos errores y ahorramos trazos. Las sombras proyectadas pueden ser; sobre superficies horizontales, verticales e inclinadas, o combinadas sobre superficie horizontal y vertical, y superficie horizontal e inclinada. Proyección sobre superficie horizontal En el ejemplo de la figura 106, para determinar las sombras procedemos de la siguiente manera: Definimos primero la dirección e inclinación de los rayos, en los dibujos ortogonales generalmente no se usan los valores reales de los ángulos de inclinación de los rayos del Sol, para la inclinación convencional de los rayos por comodidad se utilizan los ángulos naturales de las escuadras, y la dirección en planta normalmente se utiliza paralela al plano del cuadro. Antes de determinar la posición de los puntos y sus proyecciones sobre el plano horizontal, conviene visualizar con la dirección propuesta

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de los rayos, cuales son las aristas que van a provocar sombras para no hacer el trazo de las aristas que no van a provocar sombras, una ves definidas estas aristas, marcamos los puntos con letras mayúsculas y su proyección correspondiente sobre el plano horizontal con letras minúsculas, de esta manera ya tenemos completos los cuatro datos que se requieren para proyectar la sombra de un punto. Cuando una superficie o volumen va a proyectar sombra horizontal sobre un volumen de menor altura, la proyección de los puntos (d) y (e) en el ejemplo, se hacen no en el piso, sino sobre la superficie horizontal del volumen en donde se va a proyectar la sombra.

Figura 106

Siguiendo el procedimiento planteado en la figura 103; trazamos una línea paralela al rayo (R) que pase por el punto (A), trazamos una línea paralela a la proyección del rayo (r), que pase por la proyección del punto (a) sobre el plano horizontal, y donde cruzan estas dos líneas se encontrará la sombra arrojada del punto (A´). Lo mismo hacemos con los puntos B,C,D,E y F. Una vez trazada la sombra de todos los puntos, los unimos y habremos obtenido la sombra arrojada sobre la superficie horizontal de los dos volúmenes. Cuando se trata de volúmenes más o menos complicados, como ya se planteo antes en este mismo capítulo, utilizamos las dos reglas para revisar que la unión de los puntos y el resultado de la sombra de cada arista sea la correcta. También utilizando estas dos reglas se puede ahorrar trazos, en el mismo ejemplo, se podría ahorrar los trazos de la proyección de la sombra de los puntos C y E, conociendo la proyección de la sombra de uno de sus extremos punto (B´) en el caso de la arista BC, y (E´) en el caso de la arista EF, y sabiendo que estas dos aristas son paralelas al plano de proyección, y que atendiendo a una de las reglas que dice que deberán proyectar una sombra paralela a la propia arista, por lo tanto trazamos paralelas a las aristas que pasen por los puntos ya conocidos B´ y E´, obteniendo el trazo de la sombra que es visible.

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Proyección de sombras sobre superficie vertical. En la figura 107, se presenta la proyección de la sombra de un plano horizontal sobre un plano vertical, el procedimiento para su proyección será el mismo que utilizamos para la proyección de sombras sobre superficie horizontal.

Figura 107 Se define cual va a ser la dirección de los rayos y su inclinación, determinamos la posición de la proyección de los puntos A y B sobre el plano horizontal (a) y (b), los puntos C y D por estar en contacto con el plano de proyección vertical

no provocan sombra, trazamos líneas paralelas a la dirección del rayo (R) que pasen por los puntos A y B, y líneas paralelas a la proyección del rayo (r) que pasen por los puntos (a) y (b), donde cruzan al plano vertical, trazamos líneas verticales hasta cruzar con las líneas paralelas al rayo, y ahí se encontrará la sombra de los puntos (A´) y (B´), al unir los puntos A con B, A con D y B con C, habremos encontrado la sombra sobre el plano vertical de la superficie horizontal. Proyección de la sombra de una superficie horizontal, parte sobre un plano horizontal y parte sobre un plano vertical. Tomando el mismo ejemplo de la figura 107, y cambiando la inclinación de los rayos, veremos en la figura 108 como se obtiene la sombra. Siguiendo el mismo procedimiento anterior, vemos que la sombra de los puntos A y B ahora quedan sobre el plano horizontal, como sabemos que las aristas AD y BC son paralelas al plano de proyección horizontal, trazamos líneas paralelas a estas aristas que pasen por los puntos A´ y B´ hasta tocar al plano de proyección vertical en los puntos (d) y (c); de estos puntos trazamos líneas hasta los puntos D y C extremos de las aristas que provocan las sombras, pero como estos puntos están en contacto con el plano de proyección vertical, su sombra estará en ese mismo lugar ya no se desplaza, al unir los puntos A´ y B´ se completa el trazo de la sombra de la que parte

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queda en el plano vertical y parte en el horizontal (ver fig. 108).

Figura 108 Proyección de la sombra de una superficie vertical sobre un plano horizontal y un plano inclinado. Aplicando el procedimiento tenemos; se fija la inclinación de los rayos y su dirección de acuerdo a los planos planteados en la figura 109. Trazamos las sombras de los puntos A y B como si no existiera el plano inclinado

definiendo los puntos A´ y B´, las líneas paralelas a la proyección del rayo (r) que definen estos puntos, las prolongamos hasta la línea (ef) proyección de la arista EF extremo de la superficie inclinada determinando los puntos (g) y (h) , trazamos líneas verticales desde estos puntos hasta la arista EF definiendo los puntos G y H, unimos estos puntos con los puntos 1y2, que se definieron en donde cortaron las líneas paralelas a la proyección de los rayos a la arista CD base del plano inclinado.31

Figura 109

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Donde las líneas paralelas a la dirección del rayo (R) que pasan por los puntos A y B cruzan a las líneas 1G y 2H se encontrarán los puntos A” y B”. Uniendo los puntos (a),2,A”,B”,1y(b), se determina la sombra, parte de ella en el plano horizontal y parte en el plano inclinado (ver fig. 109).

Figura 110 En la figura 110, se muestra la sombra de una superficie vertical apoyada sobre la superficie inclinada, y la sombra arrojada parte se proyecta en el plano horizontal y parte en el plano inclinado.32

Sombras en perspectiva paralela En el ejemplo de la figura 111, la luz incide sobre el paralelepípedo en forma de cajas una vertical y otra horizontal, la sombra arrojada parte es en el exterior y parte en el interior. Aplicando el procedimiento punto por punto, podemos determinar el contorno de la sombra arrojada, parte sobre planos verticales y parte sobre planos horizontales.

Figura 111

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En el ejemplo de la figura 112, apreciamos la proyección de las sombras de volúmenes combinados en forma vertical y horizontal, donde se ve con claridad como se comportan las sombras arrojadas en superficie vertical y horizontal. Cuando se trata de proyectar sombras de volúmenes irregulares y complejos, será conveniente descomponerlos en formas más simples, y envolverlas en formas regulares, y seguir el procedimiento de proyección punto por punto aplicando las dos normas de las sombras ya mencionadas.

Figura 112

Proyección de sombras en fachadas La proyección de sombras en dibujos de líneas paralelas como es el caso de las fachadas, nos permitirá sugerir profundidad con las sombras arrojadas dando más realce e interés a las fachadas. Para el trazo de las sombras es necesario contar además de la fachada, con una vista en planta. Procedimiento 1.- Se selecciona la dirección e inclinación de los rayos, estos se seguirán considerando paralelos entre sí, la dirección e inclinación puede ser cualquiera, pero por comodidad se utilizan los ángulos naturales de las escuadras. Podrá utilizarse el mismo ángulo en la planta y en el alzado, o puede ser diferente uno de otro, normalmente se utilizan iguales y a 45°, pero dependerá de la fachada de que se trate y la intención del dibujo según lo que se quiera resaltar. 2.- Se trazan líneas paralelas a la dirección del rayo (R) en el alzado, que pasen por los puntos extremos de las aristas que van a provocar sombras en el ejemplo A,B,C,D,E,F, y G. 3.- Se trazan líneas paralelas a la dirección del rayo en planta (r), que pasen por la proyección de los puntos (a),(b),(c),(d),(e),(f) y (g), donde tocan a la superficie vertical se trazan líneas verticales hasta cruzar con las líneas de los rayos en el alzado, obteniendo los puntos A´,B´,C´,D´,E´,F´ y G´, que al unirlos obtenemos la sombra arrojada sobre la fachada (ver fig. 113)

116

Además de representar la volumetría de las fachadas con diferenta calidad de línea que nos permita situar los diferentes planos, la proyección de las sombras le agregará mayor realismo en los planos de presentación

Figura 113

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Proyección de sombras en plantas de conjunto. En los dibujos de presentación, también se usan las sombras en plantas arquitectónicas y plantas de conjunto. Como el plano de proyección de las sombras es paralelo a las plantas, las sombras serán iguales en forma y tamaño. SOMBRA EN VOLÚMENES CON DIFERENTES ALTURAS

Figura 114

La planta de conjunto nos muestra en geometral, solo la distribución de los edificios que integran el proyecto, y solo muestra la proyección horizontal con las líneas que definen el perímetro en planta, pero no podemos apreciar otras características importantes como por ejemplo sus diferentes alturas, estas alturas las podremos apreciar cuando se tracen las sombras produciendo una sensación tridimensional (ver fig. 114). Para el trazo de las sombras en las plantas de conjunto, solo requerimos la proyección horizontal es decir la planta. Generalmente estas plantas de conjunto se dibujan a una escala de 1: 250 en adelante. La dirección e inclinación de los rayos que seguirán siendo paralelos, podrá ser cualquiera de igual manera que se consideró en las fachadas, es decir con la dirección que más nos convenga de tal manera que resalten y se observen los elementos más importantes del proyecto. La longitud de las sombras, deberá corresponder a la altura de cada elemento, si las alturas diferentes, se toma una unidad de longitud por ejemplo; que medio centímetro represente tres metros de altura, esta unidad se escogerá de acuerdo con el tamaño del proyecto, la escala a la que se dibuja y la longitud de sombra que se desee obtener (ver fig. 115).

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Figura 115

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Sombras en perspectiva cónica El manejo de sombras en la perspectiva paralela, nos ha permitido familiarizarnos con el procedimiento de proyección punto por punto, lo que nos ayudará a entender la construcción de las sombras en la perspectiva cónica. De todas las posiciones imaginables que puede tener el Sol arriba del horizonte con relación al observador, podríamos decir en forma general que puede presentar las siguientes posiciones: a).-Lateralmente con dirección a la derecha o izquierda del observador b).-Detrás o a espaldas del observador c).-Delante del observador Hemos planteado que los rayos del Sol llegan paralelos a la tierra, debido a la gran distancia entre ambos, también planteamos en las reglas de la perspectiva que “Todas las líneas paralelas, en perspectiva tienen el mismo punto de fuga” y que “Las líneas ascendentes fugan encima y las descendentes debajo de la línea de horizonte teniendo ambas su punto de fuga sobre la vertical que pasa por el punto de fuga de su traza horizontal”, sin perder de vista estas reglas haremos el análisis de las tres posiciones planteadas del Sol respecto al observador.

Figura 116 a).- Primer caso Cuando los rayos del Sol son paralelos al plano del cuadro, el Sol se encuentra a la derecha o izquierda del observador y la sombra del objeto se proyecta lateralmente. b).- Segundo caso Cuando el Sol se encuentra detrás del observador, los rayos van de atrás hacia delante, la sombra se proyecta hacia atrás del objeto. c).- Tercer caso Cuando el Sol se encuentra frente al observador, los rayos van de atrás del objeto hacia el observador, la sombra se proyecta hacia el frente (ver fig. 116)

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PRIMER CASO Rayos del Sol paralelos al plano del cuadro. Este resulta ser el caso de proyección de sombras en perspectiva cónica más censillo, pues siendo los rayos paralelos al plano del cuadro, el procedimiento de proyección es similar al utilizado en perspectiva paralela, todos los rayos y las trazas de los rayos se manejan paralelos entre sí respectivamente, con la condición de que la traza de los rayos se dibuje horizontalmente, pues si dejan de ser horizontales pasaremos al segundo o tercer caso. Procedimiento 1.- Se selecciona la inclinación de los rayos R dependiendo de la longitud de la sombra que se quiera obtener, como ya se dijo anteriormente esta inclinación puede ser cualquiera, pero en este primer caso normalmente se utilizan los ángulos naturales de las escuadras. La dirección de los rayos en este caso solo puede ser de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. 2.- Se trazan líneas paralelas al rayo R, que pasen por los puntos que van a provocar sombra en el ejemplo A,B y C. 3.- Se trazan líneas paralelas a la dirección de la proyección de los rayos (r) que pasen por la proyección de los puntos sobre el plano horizontal de proyección (a),(b) y (c). 3.- Donde se cortan las líneas paralelas al rayo y a las proyecciones de los rayos, ahí se encontrará la sombra de los puntos A´,B´ y C´.

Figura 117 4.- Al unir los puntos proyectados para obtener la sombra, aplicamos las dos normas de las sombras para no equivocarnos y ahorrar trazos, las aristas AB y BC, proyectan sombras que deberán fugar al mismo punto de las aristas originales, y las aristas A(a) y C(c) proyectan sombras con la dirección de la traza de los rayos (r) (ver fig. 117)

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SEGUNDO CASO Sol detrás del observador Cuando los rayos del Sol tienen una dirección de atrás hacia delante y obviamente de arriba hacia abajo respecto al observador, las líneas de los rayos se consideran descendentes y de acuerdo a la regla de la perspectiva número siete, tendrán su punto de fuga debajo de la línea de horizonte, este punto de fuga de los rayos lo localizamos según el tamaño y dirección de sombra que se quiera obtener, cuanto más cerca este la línea de horizonte del punto de fuga de los rayos más larga será la sombra, y si se localiza entre los dos puntos de fuga en una perspectiva angular, la sombra se proyectará hacia atrás del volumen (ver fig. 118). Cuando el PFRAYOS, se localiza fuera de los puntos de fuga de la perspectiva, la sombra se desplaza hacia la derecha o izquierda según la posición del punto de fuga de los rayos (ver fig. 119). Procedimiento 1.- Se selecciona la posición del punto de fuga de los rayos PFRAYOS desde este punto se traza una línea vertical hasta la línea de horizonte para determinar la posición del punto de fuga de la traza de los rayos PFTRAZAS. 2.- Se define cuales son los puntos que van a proyectar sombra A,B y C y su proyección sobre el plano horizontal (a),(b) y (c).

Figura 118 3.- Se trazan líneas que pasen por los puntos A,B y C y que fuguen al PFRAYOS. 4.- Se trazan líneas que pasen por la proyección de los puntos (a),(b) y (c), y que fuguen al PFTRAZAS. 5.- Donde crucen las líneas fugadas que pasan por los puntos A,B y C, y por la proyección de los puntos (a),(b) y (c), se encontrará la proyección de la sombra de los puntos A´,B´ y C´.

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6.- Al unir los puntos (a),A´,B´,C´ y (c), habremos encontrado la sombra arrojada del volumen.

Figura 119

TERCER CASO Sol frente al observador Cuando los rayos del Sol tienen una dirección de atrás del objeto hacia el observador, según la regle numero siete, se consideran líneas ascendentes con su punto de fuga arriba de la línea de horizonte. De la misma manera que en el segundo caso el PFRAYOS, podrá variar de acuerdo con la sombra deseada, en este tercer caso la sombra se proyectará hacia el frente.(ver fig. 120)

Figura 120

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SOMBRA DE VOLUMENES Proyección de la sombra de volúmenes aplicando el primer caso.

Figura 121 Como se planteó al inicio de este capítulo, para que se pueda trazar la sombra de un punto, se requiere conocer los cuatro datos fundamentales; la inclinación del rayo R, la traza del rayo (r), el punto A que va a proyectar sombra, y su proyección (a) sobre el plano horizontal.

Procedimiento. 1.- Se definen cuales son las aristas que van a proyectar sombras, y se proyecta la sombra punto por punto. 2.- Trazamos una línea paralela al rayo R que pase por el punto A, y una línea paralela a la traza del rayo (r) que pase por la proyección del punto (a), donde cruzan estas dos líneas estará definida la sombra del punto A´, lo mismo hacemos con los puntos B,C,G y H. 3.- Para el punto D, como su proyección no será en el plano horizontal del piso, si no en un plano más alto, su proyección (d) será en este plano siguiendo el mismo procedimiento, al determinar la sombra de este punto D´, aplicando la regla de las sombras sabemos que la arista CD provocará una sombra paralela que fugará al mismo punto de fuga PF2 y siendo D uno de sus extremos lo fugamos obteniendo la sombra hasta el borde del volumen bajo; por otro lado tenemos la sombra del punto C´ el otro extremo de la misma arista que deberá fugar al mismo punto de fuga PF2 y donde toca a la superficie vertical del volumen bajo, se une con la sombra de la otra parte que quedó cortada, esta dirección de la sombra resultante en la superficie vertical, nada tiene que ver con la dirección del rayo R. La dirección de la sombra de las aristas DE y HI, las encontramos aplicando la misma regla ahorrando trazos. La sombra de la arista AJ, se maneja de la misma forma que la arista CD (ver fig. 121).

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Proyección de la sombra de volúmenes aplicando el segundo caso.

Figura 122

Procedimiento: 1.- Se definen cuales son las aristas que van a provocar sombras, se escoge la posición del punto de fuga de los rayos PFRAYOS según la sombra deseada 2.- Siguiendo el mismo procedimiento; para definir la sombra de la arista vertical A(a), trazamos el rayo R que pase por el punto A, dibujamos la traza del rayo (r) que pase por la proyección del punto (a), como esta traza es interrumpida por un plano vertical, en donde cruza con su base, se traza una vertical hasta cruzar al rayo, y en ese cruce se encontrará la sombra del punto A´. 3.- Para definir la sombra de la arista AB procedemos de la siguiente manera; como ya tenemos la sombra del extremo A´, y el otro extremo B no se mueve por estar en contacto con el plano de proyección vertical, al unir estos dos puntos se obtiene la sombra de la arista AB. 4.- Las aristas D(d) y DE, proyectan su sombra sobre la parte superior del volumen bajo, siguiendo el procedimiento, proyectamos en forma ortogonal los puntos D y E sobre la superficie en la que se proyectará la sombra obteniendo los puntos (d) y (e). 5.- Trazamos los rayos que pasen por los puntos D y E, dibujamos las trazas de los rayos que pasen por la proyección de los puntos (d) y (e), y donde cruzan los rayos con las trazas ahí estará la sombra de los puntos que al unirlos se obtiene la sombra de la arista D´E´, la

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sombra de las aristas verticales D(d) y C(c) tendrán la dirección de la traza del rayo, (ver fig.122). Sombra de un cilindro aplicando el tercer caso.33

Figura 123 Para el trazo de la sombra de un cilindro se puede seguir utilizando el procedimiento de proyección punto por punto. Definimos la posición del punto de fuga de los rayos PFRAYOS, así como la posición del punto de fuga de la traza de los rayos PFTRAZAS, de acuerdo a estas posiciones determinamos los puntos de tangencia del circulo A y B, y definimos la parte del cilindro que provocará sombra,

marcamos puntos intermedios en esta parte de la elipse C,D,E,F y G, y seguimos el procedimiento para el trazo de las sombras de cada punto, al unir estos puntos obtenemos la sombra del cilindro (ver fig. 123). Sombra de un cono recto aplicando el tercer caso.34

Figura 124

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Para trazar la sombra de un cono recto cuya base circular está inscrita en el cuadrado en perspectiva, determinamos la posición del punto de fuga de los rayos PFRAYOS y el punto de fuga de la traza de los rayos PFTRAZAS, de acuerdo con la sombra deseada; proyectamos la sombra del punto C de la cúspide del cono, y se trazan las tangentes a la base en los puntos A y B a partir de C (ver fig. 124).35 Sombra sobre una superficie inclinada de una varilla vertical en el piso.

Figura 125

Para determinar la sombra de una varilla delgada que proyectará sombra parte sobre el plano horizontal y parte sobre la superficie inclinada se procede de la siguiente manera: Una vez definido en perspectiva el volumen con una de sus caras inclinada B,C,D,E con sus respectivos puntos de fuga PF1 y PF2, así como la posición de la varilla A(a), aplicando el procedimiento de proyección de sombras en el segundo caso tenemos: 1.- Fugamos el punto A extremo superior de la varilla al punto de fuga de los rayos PFRAYOS 2.- Fugamos el punto (a) extremo inferior de la varilla que esta en contacto con el piso que corresponde también a la proyección del punto A sobre el plano horizontal, al punto de fuga de la traza de los rayos PFTRAZAS, y donde cruzan estas dos fugas estaría la proyección del punto A´ si no existiera el volumen con la superficie inclinada. 3.- Para definir la parte de la sombra de la varilla sobre el plano inclinado, determinamos la posición del punto O en donde cruza la fuga del punto (a) al punto de fuga de las trazas con la línea BC Prolongamos la línea OA´ hasta cruzar la línea (d)(e) en el punto (f), y trazamos una vertical hasta cruzar con la línea DE en el punto F, se une este punto F con el punto O y donde cruza con la línea de fuga del punto A al punto de fuga de los rayos PFRAYOS , ahí se encontrará el punto A” que al unirlo con el punto O, se determina la sombra sobre la superficie inclinada (ver fig. 125).

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Sombra sobre superficie inclinada y horizontal cuando la varilla esta sobre la superficie inclinada.

Figura 126 Siguiendo el mismo procedimiento del ejemplo anterior, determinaremos la sombra que produce una varilla colocada verticalmente sobre la superficie inclinada BCDE.

Una vez trazado en perspectiva el volumen que presenta una de sus caras inclinada, y localizada la posición de la varilla A(a), se determina la proyección ortogonal de la varilla sobre el plano horizontal (a´), para determinar este punto, fugamos el punto (a) al PF1 y donde toca a la arista CD punto (p), trazamos una vertical hasta cruzar con la arista CG en el punto (p´), el que se fuga al PF1, y donde toca la línea prolongación de la varilla hacia abajo, determinamos la proyección del punto (a´), Aplicamos el tercer caso de proyección de sombras en perspectiva cónica: 1.- Localizamos arriba de la línea de horizonte el punto de fuga de los rayos PFRAYOS y sobre la línea de horizonte el punto de fuga de la traza de los rayos PFTRAZAS 2.- Fugamos el punto A al punto de fuga de los rayos y el punto (a´) al punto de fuga de la traza de los rayos PFTRAZAS 3.- Donde se cruzan las dos fugas se localiza la sombra del punto A´ y la sombra de la varilla que se proyecta en el piso. 4.- Para encontrar la sombra sobre la superficie inclinada, determinamos la posición del punto 0 en donde cruza la fuga del punto (a´) al PFTRAZAS con la recta BC, y se une con el punto (a). 4.- La sombra de la varilla sobre la superficie inclinada será la recta O(a) (ver fig.126).

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Figura 127

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Figura 128

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Figura 129

131

Sombras con luz de foco En el trazo de sombras por medio de luz artificial, a diferencia de la luz natural en donde consideramos los rayos del Sol paralelos, en la luz artificial o de foco, los rayos divergen desde un punto, y mientras más se alejan los objetos del foco la longitud de sombra es mayor .Para el trazo de estas sombras, se requiere la posición del foco luminoso y su proyección sobre el plano de proyección de las sombras. Siguiendo un procedimiento similar al de la proyección de sombras con luz natural, seguimos utilizando el sistema de proyección punto por punto.36 Procedimiento: 1.- Se traza una línea desde el punto de fuga de los rayos PFRAYOS (que en este caso es el foco), que pase por el punto A que va a proyectar sombra 2.- Se traza una línea desde del punto de fuga de la proyección de los rayos PFTRAZAS que pase por la proyección del punto (a), y donde se cruzan estará la sombra del punto A´, siguiendo el mismo procedimiento se determina la sombra de los demás puntos. Como se ve en la figura 132, la sombra se desplaza radialmente a partir del foco y su proyección sobre el plano horizontal (ver figuras 131 y 132).

Figura 130

Figura 131

132

2 San José Alonso, Jesús Ignacio, Apuntes sobre el desarrollo del dibujo arquitectónico, Salamanca, Universidad de Valladolid, 1997, p. 79 3 Griffin, Anthony W. y Víctor Álvarez Brunicardi, Introducción a la arquitectura y representación gráfica, México, Pearson educación, 2001, p. 9 4 Idem, pp. 12-15 5 Idem. P.10 6 Thomas, Reiner, Perspectiva y axonometría, México, Gustavo Gili, 1979, pp. 82-83 7 San José Alonso, Jesús Ignacio, op.cit. pp. 84-85 8 Griffin, Anthony W. y Víctor Álvarez Brunicardi, op.cit., p.10 9 Thomas, Reiner, op.cit., p.82 10 San José Alonso, Jesús Ignacio, op.cit., p.87 11 Griffin, Anthony W. y Víctor Álvarez Brunicardi, op.cit., p.15 12 Idem, pp.12 -16 13 Plazola Cisneros, Alfredo y Plazola Anguiano, Alfredo, Normas y costos de construcción, México, ed. LIMUSA, 1976, p.101 14 San José Alonso, Jesús Ignacio, op.cit., p.112 15 Idem, pp.112-114 16 Moya, José Luis, Dibujo arquitectónico 17 Loomis, Andrew, Dibujo de éxito, Buenos Aires, Sebastián de Amorrortu e hijos, 1957, p.43 18 Idem, p.38 19 Idem, p.38 20 De la Torre Carbó, Miguel, Perspectiva geométrica, México, UNAM, 1991, p.38 21 Loomis, Andrew, op.cit., p.70 22 Idem, p.67 23 Idem, p.72 24 Idem, p.77 25 Idem, p.74 26 Idem, p.75 27 Griffin, Anthony W. y Víctor Álvarez Brunicardi, op.cit., p.238 28 Idem, p.211 29 Ibídem. 30 Idem, p.212 31 Bärstschi, Willy A., El estudio de las sombras en perspectiva, México, Gustavo Gili, 1982, p. 22 32 Ibídem.

33 Idem, p.32 34 Idem, p.34 35 Idem, p.22 36 Idem, p.75