ARRAY 和朋友們Michael Tsai2010/10/01 作業 1 開始寫了

沒 ?

作業 1 題目有少數更動 . 請上課程網站下載 .

下午的 office hour 改成 4-5

點

2

今日菜單• 複習上次教過 ( 以及沒教完 ) 的部分• 陣列• 陣列的朋友們• 多項式• 字串• 矩陣

• 都是中文• Slides 底色是白的 ( 比較好印 )• 希望大家可以醒著久一點

3

Asymptotic notation 有什麼用 ?• 知道當 input” 大小”改變的時候 , 執行速度有什麼改變 ?• “ 粗略”的比較

• a, bn, c 都”比較不重要”• bn, c 都”成長得”比較慢• 不同的 a 差別不是很大

• 讓我們看看不同的” order” 長的速度差別有多大…

4

n

1 秒 10 億指令的機器的執行速度

5

兜基 ??

Θ(𝑛)Θ(𝑛2)𝑛2ms106𝑛𝑚𝑠

6

哪一個好…

• n 很大的時候右邊比左邊好

• 但是 n 會很大嗎 ?• 有時候不會• 如果 n 永遠小於 ??• 結論 : 要看 n 大小 ( 實際上寫程式的時候適用 )

Θ(𝑛)Θ(𝑛2)𝑛2ms106𝑛𝑚𝑠

7

Asymptotic notation – Big OH

• Definition [Big “oh”]: if and only if there exist positive constants and such that for all .

• “f of n is big oh of g of n”• “=“ is “is” not “equal”•

8

Asymptotic notation – Omega

• Definition [Omega]: if and only if there exist positive constants and such that for all .

• “f of n is omega of g of n”

9

Asymptotic notation – Theta• Definition [Theta]: if and only if there exist positive constants , and such that for all .

• “f of n is theta of g of n”

Theta Platform

GMC Terrain

10

用圖表示• Big Oh• 紅色• Omega• 藍色• Theta• 紅色藍色都要

11

Example

• • •

for all

12

Example

• (1)

for all

13

Example

for all

14

有用的 Theorem ( 別睡著 )• Theorem: If , then .• Proof:

, for all . So,

𝑛𝑖−𝑚≤1

15

分析演算法• 複習 :• 程式花的時間 :• Compile time• Run (execution) time

• 程式花的空間 :• Fixed space requirement• Variable space requirement

• 實用上 , 大多使用 Big Oh• 表示最糟的狀況也不會比 Big Oh 裡面的 order 糟

𝑆 (𝑃 )=𝑐+𝑆𝑃( 𝐼 )

𝑇 (𝑃 )=𝑐+𝑇 𝑃(𝐼 )

16

那麼 , 怎麼知道程式的時間複雜度 ?• 看每個 statement 執行幾次 , 畫表來計算• 今天會看到不少例子• 有時候複雜度跟 input 大小不一定有關係• 這時候就會取 average case, worst case, best case

• 實際測量程式執行時間 ( 作業有 ) 最實際

17

再看一次簡單的例子Statement Asymptotic complexity

void add(int a[][MAX_SIZE]…) { 0

int i,j; 0

for(i=0;i<rows;i++)

for(j-0;j<cols;j++)

c[i][j]=a[i][j]+b[i][j];

} 0

Total

18

接下來 , 讓我們看點有趣的 ~~~

2010/03/26 在 Carnegie Mellon University 的 Lab 中努力焊板子

19

Array 是什麼東東• 帶狀的記憶體 , 連續的 , 一格一格的• 每一格存不同的資料• 每一格有個編號

• 我們可以把它看成是一個 index 和 value 的關聯或者對應• 很像是電腦記憶體的結構 , 所以常常被拿來當作基本元素

ㄅ ㄐ ㄖ ㄊ ㄟ ㄌ

0 1 2 …

20

Array 支援那些動作 ?• 創造一個 array• 讀取某格子的值• 寫入某格子的值• 毀掉一個 array?

21

< 複習時間 > C 語言• int list[3];

• 降子的話 , list[i] 是去記憶體哪邊拿值 ?• 這邊 : list + i* sizeof (int)

• 那這樣呢 ? *(list+i) • 會拿到同樣一個值• C 會看 list 是哪種 type 的 pointer• 然後自動把 i 乘以 sizeof(type)

1 4 5

0 1 20-3

4-7

8-11

index:addres

s:

list

22

< 複習時間 > C 語言void change_array(int a[], int b) {

a[0]=10; b=10;}

int main() { int foo[2]; int bar=0; int i;

foo[0]=0; change_array(foo, bar); printf("foo[0]=%d bar=%d\n", foo[0], bar);

return 0;• }

答案 : foo[0]=10 bar=0

bar:“call-by-value”

foo:“call-by-value”, 但是 foo是 address

最好多一個參數表示 array 的大小

23

< 複習時間 > C 語言• 如果事先不知道資料大小怎麼辦 ?• 開太大浪費 , 開太小不能用• 知道了再開

• 請愛用 malloc.• Example:• 我要開一個大小 n 的陣列 list(注意 n 是變數喔 )

• int * list;• list=(int*)malloc(sizeof(int)*n);

24

< 複習時間 > C 語言• calloc : 跟 malloc 差不多 不過會把內容先都清成 0• realloc: 之前用 malloc 拿的空間 , 可以用 realloc 變大

變小

• free: 不用了 , 把之前拿來的空間還給系統

• 怎麼用 ? 請自己看 man page or help

25

那麼二維的陣列呢 ?• C 是這樣玩 - 如果我要宣告 int x[3][5]:

• 比如說 , 怎麼拿到 x[1][3] 的值 ?

x[0]x[1]x[2]

指標們

[0]

[1]

[2]

[3]

[4]

放資料的地方

26

那麼三維的陣列呢 ?• 請一位同學來畫 , 並解釋運作的方式

27

有沒有別的方法 ?• 指標一直指來指去好麻煩 • 用一個一維陣列表示多維陣列好不好 ?

• 例子 : 假設我要宣告 int list[3][5]

• 請一位同學來畫圖 :D

• 怎麼宣告 ? ( 要幾個元素 ?)• 怎麼拿值 ? ( 我要 index=(i,j) 的值 )

• 二維 : “Row major” v.s. “column major”

28

< 複習時間 > C 語言 趴兔• 什麼是 Structure?

• 例子 :

struct { char name[10]; int age; float salary;

} person;

struct person pa;pa.age=25;

Part II

29

< 複習時間 > C 語言 趴兔• 怎麼比較兩個 structure variable 一不一樣 ?

• struct person a, b;• if (!strcmp(a.name, b.name) &&• a.name==b.name && ….)

• ANSI C 可以讓你直接比 • if (a==b)

• 也可以直接 assign• a=b;

Part II

30

< 複習時間 > C 語言 趴兔• 什麼是 enum? • 什麼是 union? • typedef幹嘛用的 ?

• 例子 :typedef struct sexType {enum tagField {female, male} sex;union { int children; int beard; }u;}sexType si;si.sex=male;si.u.beard=0;

Part II

31

朋友一 : 多項式• 問題 : 我想要把多項式存起來，方便做加法 ( 可能還有別

的動作 )• 多項式 :

• 提示 : array 是它的朋友

• 這樣存方不方便作加法 ?• 有沒有什麼壞處 ?

𝑎0𝑎1𝑎2𝑎3 𝑎𝑛…

0 1 2 3 nindex代表指數

value 存係數

32

很鬆的多項式• 如果是 要怎麼存 ?

• 浪費了 999 個格子 T_T • 有沒有什麼更好的方法 ?

1000 2…

0 1 2 3 1000index代表指數

value 存係數

33

很鬆的多項式2 1 1 10 3 1

1000 0 4 3 2 0

存指數

存係數

startA finishA startB finishB

• 用兩個變數 (start, finish) 存多項式的開始與結束的index

• 照指數大排到小

34

那麼 , 加法怎麼運作呢 ?

• 題目 : 多項式 A 和多項式 B 乘起來的結果要放到 C(新的 )

• 先想一想

2 1 1 10 3 1 ?? ??

1000 0 4 3 2 0 ?? ??

startA finishA startB finishB

…

startC, finishC

存指數

存係數

35

舉個例子好了

2 1

1000 0

1 10 3 1

4 3 2 0

多項式 A 多項式 B

多項式 C

2

1000

2 1 10

1000 4 3

2 1 10 3

1000 4 3 2

2 1

1000 4

2 1 10 3 1

1000 4 3 2 0

Time complexity = O(??)

36

接下來看一下程式• Program 2.6 on page 70

• Time complexity=????

• 有沒有什麼缺點 ??

37

朋友二 : 字串• C 語言的字串是怎麼表示的 ? (Representation)

• char foo[]=“data “;

• 看起來像這樣子

• 字串可以做什麼動作 ?• 超多的 !• 把 B 字串附在 A 字串後面 strcat• 比較兩個字串是不是完全一樣 strcmp• 還有什麼 ?… • (< 複習時間 >: 回去自己看一下 string.h 裡面有哪些 function)

d a t a \0

38

< 動腦時間 >• 題目 : 把 t 字串插入 s 字串位置為 i 的地方 , 結果放到 s

• t 字串 : amobile• s 字串 : uto• i=1• 那麼結果應為 automobile

39

先看一個爛方法 • 方法 : • 開一個新的 temp 字串• 把 i之前的 a 字串 copy 過去 temp• 然後把 b 字串 copy 過去 temp• 然後把 i之後的 a 字串 copy 過去 temp• 然後把整個 temp 字串 copy 到 b

• 為什麼不好 ?• Space• Time

• 請同學們想出一個好一點的方法

40

< 動腦時間 > 趴兔• 題目 : 在 s 字串裡面找 p 字串第一次出現的位置 , 如果有

的話 output出 p 字串在 s 字串裡面開始的位置 . 如果沒有的話 output -1.

• 例子 : • s 字串 : abcbabcabca • p 字串 : abca. • output: 4

Part II

41

先看一個爛方法 • 方法 :• 比對 s 字串裡面從第一個字元開始是不是跟 p 字串一樣• 比對 s 字串裡面從第二個字源開始是不是跟 p 字串一樣• 一直比到 s 字串的最後一個字元或者找到為止

• 為什麼不好 ?• Time complexity = O(??)

42

大師們的好方法• KMP: Knuth, Morris, and Pratt• 可以達到 O(n+m). • 意思就是說 , 每個在 p 和 s 的字元都只需要處理一次 • order 來講不可能更好了

• 這個神奇的方法 , 大意是什麼呢 ?• 如果 p 裡面有重複出現的 pattern 的話 , 要記得• 如果比對到一個不對的字元 , 就退到前一次出現同樣 pattern 的下

一個字源繼續開始比較就好了

43

例子• p=“abcabcacab”

• s=“abcabcabcacab”

a b c a b c a b c a c a b

a b c a b c a c a b

44

Failure function• 定義 :

• 例子 :

a b c a b c a c a b

f

45

Failure function• 另外一個定義 (recursive)

a b c a b c a c a b

f -1 -1 -1 0 1 2 3 -1 0 1

46

Failure function• 那麼 , 算 failure function 的 time complexity=O(??)

• 答案 : O(strlen(pat))

47

有了 failure function以後要怎麼用呢 ?

• 舉個例子

a b c a b c a b c a c a b

idx

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

a b c a b c a c a b

f -1 -1 -1 0 1 2 3 -1 0 1

48

Knuth–Morris–Pratt algorithm• 看一下程式 , 看能不能理解

• O(n+m)• 每個字元處理過一遍 , order無法更好的演算法

• 利用 failure function 記得 , 現在這邊最近幾個字元的pattern 是不是前面一開始也出現過

• 如果比對錯了 , 就回到前一個字元的 failure function 的位置的下一個字元開始比對

49

朋友三 : 矩陣

• 怎麼存起來 ?• 用二維陣列 , a[ 行 ][ 列 ] 來存• 加法乘法都很容易

50

很鬆的矩陣

• 浪費很多空間在存 0

• 有沒有什麼節省空間的方法可以存 ?

51

很鬆的矩陣

• 存法 :

index

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Row 6 0 0 0 1 1 2 4 5

Col 6 0 3 5 1 2 3 0 2

value

8 15 22 -15 11 3 -6 91 28

52

空間省了 , 但是…• 如果要做 transpose…

• 直接把 row & col 的值交換 ? • 這樣就沒有照順序了 ( 以 row為主 )

index

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Row 6 0 3 5 1 2 3 0 2

Col 6 0 0 0 1 1 2 4 5

value

8 15 22 -15 11 3 -6 91 28

¿ [15 ¿11 ¿¿91 ¿

¿ ¿¿¿ ]

53

< 動腦時間 >• 怎麼用 O(columns+elements) 的時間做完 transpose?

• 當不鬆的時候 , 就變成 O(columns+elements)=O(columns+columns*rows)=O(columns*rows)

• 怎麼做 ? 當做回家習題 請看 program 2.9 (p.78)

54

那麼 , 矩陣乘法呢 ?

• 不順 ( 希望同樣 column 的會放在一起 )• 所以可以先 Transpose

¿¿

55

實際乘乘看

• 類似之前的”鬆多項式”加法• 比較兩邊的 row & col 數• a<b a移到下一項• a==b 可以相乘 , 乘起來以後的值存起來• a>bb移到下一項

¿¿

56

看看程式• program 2.10 和 2.11 (p.81)• 這個程式比較複雜 , 如果看不懂回家請再多花時間

• Time complexity = O(??)• 複雜度也很複雜 , 請也多花時間

57

休息時間

58

周末愉快 ~• 希望今天有上完• 沒有上完的話 , 下周繼續• 請踴躍發表今天上課的感想

Michael

Pittsburgh 2009年大雪 ( 有史以來第三大 )