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LA TEORIA DEI NUMERI DI FERMAT E I SUOI SEGRETI

Sommario: 1. Il quadro generale 2. Fermat: i suoi teoremi e i suoi metodi 3. Le dimostrazioni degli enunciati di Fermat 4. Le ricostruzioni di Paolini 4.1. Il teorema sui numeri primi della forma 4n+1 4.2. Il teorema sui numeri poligonali.

1. IL QUADRO GENERALE

Se nella matematica moderna vi un nome che pu essere collegato alla parola segreto, tale nome senzaltro quello di Pierre de Fermat (1601-1665). Magistrato al Parlamento di Tolosa, Fermat pass quasi tutta la propria vita nella citt francese. Il fatto che la matematica e la scienza non rappresentassero per lui una fonte di guadagno e sostentamento, ma che al contempo le esigenze del suo lavoro non fossero troppo pressanti, gli permise di sviluppare con la massima calma e col dovuto tempo di riflessione una serie di risultati e scoperte davvero impressionanti. Fermat dette contributi fondamentali in tutti i settori della matematica allora noti: teoria delle tangenti, problemi concernenti i massimi e i minimi delle curve, principi di minimo in ottica. Fu uno degli inventori dellanalisi ed introdusse, in sostanza in termini moderni, il concetto di derivata. Insieme a Pascal ide il calcolo combinatorio e dette contributi fondamentali al calcolo delle probabilit. Da profondo conoscitore della geometria sintetica e da raffinato filologo, svilupp il metodo dei baricentri al di l dei grandi risultati raggiunti da Archimede e restaur i Luoghi piani di Apollonio e i Luoghi solidi di Aristeo. Tuttavia il nome di Fermat divenuto quasi leggendario tra i matematici e avvolto da un alone di mistero per ragioni che non sono connesse ai pur grandi risultati ricordati finora in estrema sintesi: linteresse principale di Fermat era rivolto alla teoria dei numeri1 ed in questo settore che egli ha prodotto una serie di teoremi e problemi della massima difficolt tra loro strettamente interrelati. Questo tanto pi sbalorditivo se si pensa che gli studi sui numeri interi erano, prima dellingresso in scena del Senator Tolosano, a uno stadio che, dopo lopera di Fermat, apparir davvero come primitivo. Per una volta, si pu dire che un profondo cambiamento culturale sia iniziato grazie allopera di un solo individuo. Ma perch parlare di segreto, di mistero riguardo a Fermat? Una prima risposta concerne un teorema - detto Ultimo Teorema di Fermat2 -che divenuto noto anche ai non esperti del settore: laffermazione del matematico francese secondo cui lequazione nnn zyx =+ non ammette soluzioni in interi se n un intero maggiore di 2. Fermat era solito scrivere le proprie note ed osservazioni sul margine dellAritmetica del matematico Diofanto, vissuto nel periodo ellenistico, curata da Bachet nel 1621 e conservata nella biblioteca di Tolosa. Il Diofanto di Bachet annotato da Fermat fu pubblicato postumo dal figlio di Fermat, Samuel nel 1670. Diofanto allottava questione del secondo libro propone di dividere un quadrato dato in due quadrati. E a commento Fermat scrive:

Non invece possibile dividere un cubo in due cubi, o un biquadrato in due biquadrati, n, in generale, dividere alcunaltra potenza di grado superiore al secondo in due altre potenze dello stesso grado: della qual cosa ho scoperto una dimostrazione veramente mirabile, che non pu esser contenuta nella ristrettezza del margine3.

1 Le opere di Fermat sono state pubblicate tra il 1891 e il 1922. Per le indicazioni si veda la bibliografia. In italiano sono disponibili le Osservazioni si Diofanto (Fermat, 1959). Quanto alla letteratura, fornisco qui solo le indicazioni concernenti opere generali sulla teoria dei numeri di Fermat: un testo fondamentale Weil, 1984, 1993. Un volume dedicato a tutta la matematica di Fermat, ove la teoria dei numeri trattata in dettaglio Mahoney, 1973, 1994. Parte consistente di Giorello-Sinigaglia, 2001 dedicata alla teoria dei numeri. Cos come la prima parte di Bussotti, 2006. Quanto agli articoli, ricordo: Henry, 1879; Genocchi, 1883; Bussey, 1918; Vacca, 1927-28; Hofmann, 1944a, Hofmann, 1944b, Hofmann, 1960-62; Cassinet, 1980. Questo elenco non ha alcuna pretesa di esaustivit. In Bussotti, 2006 si trovano indicazioni pi dettagliate. 2 Il nome dipende dal fatto che questo teorema stato lultimo in ordine di tempo ad essere stato dimostrato. La letteratura ad esso relativa semplicemente sterminata cos come numerose sono i tentativi di dimostrazione. Ricordo qui solo lottima trattazione storica e matematica presente in Edwards, 1977 e due volumi di carattere divulgativo apparsi anche in traduzione italiana dopo la dimostrazione di Wiles: 1) Singh, 1997; 2) Aczel, 1998. 3 Fermat, 1959, p. 18.

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Fermat non solo non scrisse la dimostrazione sul margine, ma non la scrisse neppure in altre sue opere n in lettere e nemmeno ripropose lenunciato in forma generale, ma si rifer poi solo allimpossibilit di risolvere in interi le due equazioni 333 zyx =+ e 444 zyx =+ . E qui sorge la domanda: quale il segreto di Fermat? Possedeva effettivamente la dimostrazione ma non la scrisse? Credeva di possederla, ma poi accortosi di qualche errore, non ripropose pi il problema? N ebbe mai tale dimostrazione, n mai credette di possederla, ma scrisse quelle parole come una sibillina sfida per i matematici che le avessero lette? Se cos fosse, tale sfida ha resistito fino agli anni 90 del XX secolo, quando il matematico inglese Andrew Wiles ha dimostrato che lultimo teorema di Fermat vero. Tuttavia la dimostrazione di Wiles non getta alcuna luce su Fermat poich i metodi usati sono legati ai pi recenti sviluppi della matematica e non possono quindi in alcuna maniera essere attribuiti a uno studioso vissuto nel XVII secolo. Il mistero quindi rimane. La prova dellimpossibilit di risolvere in interi lequazione nnn zyx =+ ha rappresentato una di quelle poche circostanze in cui un problema matematico divenuto un caso anche fuori degli ambienti matematici probabilmente per lestrema semplicit dellenunciato (comprensibile da un ragazzo di terza media) e lestrema difficolt di giungere a una sua dimostrazione.

Ma i segreti di Fermat non si limitano certo allequazione nnn zyx =+ . Egli ha ideato un intero corpus di teoremi di cui ha fornito gli enunciati, ma quanto alle dimostrazioni ha lasciato solo vaghe e sporadiche indicazioni nelle Osservazioni su Diofanto ed in alcune lettere, limitandosi a fornire la dimostrazione completa di una sola tra le difficili proposizioni da lui scoperte4. La differenza tra lultimo teorema di Fermat e gli altri suoi asserti che questi sono stati poi provati al pi tardi allinizio del XIX secolo, ma i metodi utilizzati, per quanto elementari5, non sono quasi mai attribuibili a Fermat6 e sono piuttosto disparati, mentre il matematico francese si riferiva anche a una certa uniformit metodologica nel proprio lavoro. Fino a poco tempo fa, quindi, i segreti di Fermat restavano tali a proposito di quasi tutta la sua produzione e dei suoi metodi. La questione non riguardava quindi solo il cosiddetto ultimo teorema. Certo si conoscevano dimostrazioni dei teoremi, ma queste prove sembravano trascendere il bagaglio di conoscenze di un matematico del XVII secolo. Si pu facilmente immaginare come gli studiosi abbiano ed abbiano avuto in passato le opinioni pi diverse riguardo al matematico francese. Lo spettro varia da chi come Eulero, Legendre e Brassinne riteneva che Fermat possedesse le dimostrazioni dei propri teoremi a chi, e questo vale soprattutto per i matematici e gli storici della matematica dellultimo secolo, pensa invece con estremo scetticismo al Principe dei dilettanti. Andr Weil ha una posizione intermedia tra queste due tendenze. Il quadro degli studi su Fermat - se si esclude il caso generale dellultimo teorema - ha avuto recentemente una svolta significativa: una matematico italiano, Sergio Paolini7, ha ricostruito (a partire dal 1997) lintelaiatura dellaritmetica di Fermat ed ha fornito prove delle proposizioni (di cui come detto, il Senator Tolosano aveva lasciato solo gli enunciati) attribuibili a Fermat e connotate da una certa uniformit metodologica. Ho dedicato al lavoro di Paolini parte consistente di una ricerca sulla storia della teoria dei numeri che ho svolto in Germania8 come borsista della Fondazione Humboldt nel periodo 2003-2005. Sono giunto alla conclusione che i segreti di Fermat - almeno per quel che riguarda parte consistente della sua teoria dei numeri - sono stati svelati. Certo, in mancanza di un documento direttamente scritto dal matematico francese, non vi pu essere assoluta certezza, ma le ricostruzioni di Paolini ricalcano con tale precisione i pochi indizi lasciati da Fermat, correlano cos bene gli enunciati gli uni agli altri, sul piano contenutistico e metodologico, che pochi dubbi possono sussistere in proposito. E almeno si pu affermare questo con certezza: possibile dimostrare i teoremi di Fermat con i mezzi che egli aveva a disposizione. 4 Chiariremo nel corso dellarticolo quali siano queste proposizioni e di quale Fermat abbia lasciato dimostrazione. 5 La parola elementare estremamente ambigua e non semplice da definire. Noi riteniamo elementari quei metodi che non fanno uso della matematica del continuo e che non impiegano concetti dellanalisi matematica, quale quello di integrale o derivata. Tanto meno sono elementari i metodi della moderna teoria analitica dei numeri ove si usano nozioni ancor pi astratte e calate in spazi di tipo particolare. 6 Anche in questo caso si comprender laffermazione nel prosieguo dellarticolo. 7 Il lavoro di Paolini consultabile su Internet al sito http://fermat.graficaedesign.biz/. Una prima versione di parte di questo lavoro si pu consultare nelle sezioni scritte da Paolini in Bussotti-Paolini, 1997. Le parti scritte da me sono un commento storico-metodologico ai contributi di Paolini. Cos come la parte finale di Bussotti, 2000 dedicata a una delle ricostruzioni di Paolini. 8 Il frutto di questa ricerca pu esser consultato in Bussotti, 2006. Il testo si conclude con una traduzione in inglese di alcuni dei risultati di Paolini.

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Il presente articolo sar pertanto suddiviso nelle seguenti sezioni: A) le affermazioni di Fermat e le enunciazioni dei suoi teoremi con i pochi indizzi metodologici che egli ha lasciato; B) breve storia delle dimostrazioni di questi teoremi e spiegazione del perch le prove precedenti quelle di Paolini possano difficilmente essere attribuite a Fermat; C) il lavoro di Paolini.

2. FERMAT: I SUOI TEOREMI E I SUOI METODI

La produzione di Fermat in teoria dei numeri davvero ingente, tuttavia possibile enucleare un insieme di teoremi i quali, per le difficolt dimostrative che presentano e per le reciproche interconnessioni, ne rappresentano il cuore concettuale. Lo stesso Fermat nel 1659 sped, tramite lintermediazione di Carcavi, una lettera9 a Huygens dal titolo Relation des nouvelles dcouvertes en la science des nombres in cui forn un riassunto dei suoi principali risultati ottenuti in trentanni e dei suoi metodi. La lettera fu scoperta solo nel 1879 da Ch. Henry nella biblioteca di Leida tra le carte di Huygens, per cui chi avesse voluto ricostruire i metodi di Fermat prima di quella data non avrebbe potuto usufruire di questa lettera. Quanto agli enunciati dei teoremi, la quasi totalit appare invece anche in altre lettere e nelle Osservazioni su Diofanto. Fermat ricorda i seguenti asserti come particolarmente significativi: 1) Larea di un triangolo rettangolo i cui lati siano un terna pitagorica non mai il quadrato di un intero10. 2) Ogni numero primo della forma 4n+1 somma di due quadrati. 3) Ogni numero primo della forma 6n+1 somma di un quadrato e del triplo di un quadrato. 4) Ogni numero primo della forma 8n+1 e 8n+3 somma di un quadrato e del doppio di un quadrato. 5) Ogni intero somma di tre triangolari, quattro quadrati, cinque pentagonali, sei esagonali, ecc. (teorema sui

numeri poligonali). 6) Nessun cubo somma di due cubi in interi o razionali e, pi in generale lequazione nnn zyx =+ non ha

soluzioni per x,y,z interi e n intero maggiore di 2 (cosiddetto ultimo teorema di Fermat). 7) Lequazione 122 = Nyx ha sempre soluzione in interi, essendo N un intero, ma non un quadrato

(cosiddetta equazione di Pell). 8) Le equazioni 32 2 yx =+ e 32 4 yx =+ hanno come sole soluzioni intere (5,3) e (2,2,), (11,5)

rispettivamente.

Il punto 8 menzionato solo nella lettera del 1659, mentre 1-7 rappresentano appunto il cuore dellaritmetica fermatiana. necessaria una precisazione: la missiva a Huygens riguardava specificamente il metodo della discesa indefinita, di cui parleremo tra breve, quindi Fermat rifer quei teoremi per dimostrare i quali occorreva la discesa. Cos, al punto 5, egli nella lettera parl solo del fatto che ogni intero somma di quattro quadrati e, in merito al 7, si rifer alla impossibilit di risolvere in interi lequazione 333 zyx =+ . Il che lascia pensare che per le rimanenti asserzioni relative a 5, Fermat non ricorse alla discesa e che il caso generale dell ultimo teorema non fu dimostrato - se lo fu - per discesa. I punti 3,4 non sono riferiti nella missiva a Huygens, ma in altre lettere. Tuttavia, in questo caso, si pu pensare che il metodo usato per dimostrare 3 e 4 sia simile a quello necessario per 2. Due parole di spiegazione per chi vede questi enunciati per la prima volta: le terne pitagoriche sono triple di numeri interi tali che il quadrato del numero maggiore somma dei quadrati dei due minori. Per esempio (3,4,5) rappresentano una terna pitagorica poich 222 543 =+ . Le terne pitagoriche possono essere considerate come le dimensioni di un triangolo rettangolo. Bene, al punto 1, Fermat sostiene che 9La lettera consultabile in Fermat, Oeuvres, II, pp. 431-436. 10 Alla storia dei metodi dimostrativi usati per provare questo teorema dedicato Goldstein, 1995.

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il semiprodotto (larea del triangolo appunto) dei due numeri minori di una terna pitagorica non mai

un quadrato. Nel nostro esempio, tale semiprodotto 62

43=

e 6 non un quadrato. Questo teorema

pi che altro importante perch rappresenta lunico caso in cui Fermat lasci una dimostrazione esplicita per discesa indefinita. Tale dimostrazione non riportata nella lettera a Huygens, ma nelle Osservazioni su Diofanto al punto 45 (pp. 105-107 della traduzione italiana). In relazione a 2, i numeri della forma 4n+1 sono quelli che si ottengono sostituendo progressivamente a n tutti gli interi 0,1,2,3,4, Abbiamo cos la successione 1,5,9,13, Fermat asser che i numeri primi di questa forma sono somma di due quadrati. Infatti 22 125 += , 22 2313 += , 22 1417 += , ecc. Non tutti i numeri della forma 4n+1 sono somma di due quadrati. Ad esempio 21, che composto, non lo . Nel caso del teorema sui numeri primi della forma 4n+1, la lettera a Huygens davvero significativa poich questo enunciato viene citato da Fermat in numerose circostanze, ma solo nella missiva del 1659 che egli afferma di aver impiegato la discesa indefinita per dimostrarlo. Quanto detto per il punto 2, si applica mutatis mutandis ai punti 3 e 4. In relazione al punto 5, I numeri poligonali sono quelli scrivibili nella forma

2)1()1(2 knkn ++ e, ponendo k=0, otteniamo

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2 nn + , cio i numeri triangolari che si ricavano come

somme dei successivi interi, cio sono gli elementi originati dalla serie 0+1+2+3+4+5+6+, vale a dire 0,1,3,6,10,15,21, Con k=1, si hanno i quadrati 2n ottenuti come somme dei successivi numeri

dispari 0+1+3+5+7+9+ Con k=2 abbiamo i numeri pentagonali 2

3 2 nn come elementi di

0+1+4+7+11,, cio 0,1,5,12,22, Fermat giudicava particolarmente significativo il teorema sui numeri poligonali. Leggiamo infatti nelle Osservazioni su Diofanto:

Noi abbiamo scoperto per primi una proposizione bellissima e assolutamente generale: ogni numero infatti o triangolo o composto di due o tre triangoli; quadrato o composto di due, tre, quattro quadrati; pentagono o composto di due, tre, quattro, cinque pentagoni, e cos di seguito allinfinito, per gli esagoni, gli eptagoni, e qualsivoglia poligono potendosi tale meravigliosa proposizione enunciare in generale in ragione del numero degli angoli. Tuttavia non possiamo darne qui la dimostrazione che si basa su numerosi e astrusissimi misteri dei numeri: abbiamo stabilito infatti di dedicare a questo argomento unopera e un intero libro, e di sviluppare in maniera mirabile questa parte dellaritmetica oltre i vecchi e noti confini.11

Il libro non mai stato scritto, cos che, anche in questo caso, i segreti di Fermat possono essere

penetrati indirettamente tramite una dimostrazione che possa essere attribuita potenzialmente al matematico francese. Tuttavia non vi dubbio sullimportanza che Fermat annetteva a questo teorema.

Quanto ai punti 6,7,8 sono di per s abbastanza chiari, almeno a livello di enunciati. Una volta introdotto questo insieme di teoremi, si pongono due domande: 1) con quale metodo Fermat sostenne di averli dimostrati; 2) quali sono le loro interconnessioni.

In relazione al primo punto, se si fa eccezione per la proposizione secondo cui nessun triangolo pitagorico ha come area il quadrato di un intero, le uniche e scarne indicazioni sono riferite nella lettera a Huygens. Fermat sostenne, dunque, di aver usato la discesa infinita o indefinita. Dobbiamo perci anzitutto chiarire in che cosa consista questo metodo. Il principio che ne alla base in linea teorica semplice: dato un intero n ed un altro intero m minore di n, ovvio che tra n ed m vi sono n-m-1 numeri. Se, negando la verit di un certo teorema T, fossimo costretti ad ammettere lesistenza di infiniti numeri tra n ed m, ci sarebbe assurdo e quindi T sarebbe dimostrato. Forniamo un esempio semplice tratto da Euclide e non da Fermat poich le dimostrazioni per discesa dei teoremi fermatiani sono tuttaltro che semplici. In Elementi VII, 31 Euclide vuole provare che ogni numero composto ha per divisore un numero primo. Sia p il numero composto che ammette come divisori 1p e

2p entrambi maggiori di 1 e minori da p. 1p e 2p devono essere composti, perch in caso contrario il

11 Fermat, 1959, p. 45.

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teorema sarebbe provato. Consideriamo 1p . Esso avr due divisori '1p e ''1p , entrambi maggiori di 1 e minori di 1p . '1p e ''1p devono essere numeri composti perch se uno di essi fosse primo dividerebbe anche p, contro la nostra ipotesi per assurdo che p non abbia divisori primi. A '1p pu essere applicato lo stesso ragionamento applicato a 1p e cos via. Ma allora ci troveremmo nella situazione di dover ammettere tra p ed 1 uninfinit di numeri interi, il che assurdo. Se ne conclude che p ha almeno un divisore che un numero primo. Fermat asser che la discesa indefinita pu presentarsi in varie forme. Egli si ritiene lautentico inventore di questo metodo. Leggiamo infatti allinizio della lettera a Huygens:

E poich i metodi ordinari che si trovano nei libri, sono insufficienti a dimostrare proposizioni tanto difficili, ho trovato infine un metodo del tutto particolare per ottenere tali prove. Ho chiamato questa procedura dimostrativa discesa infinita o indefinita [] La prova procede sempre per riduzione allassurdo.12

Le parole di Fermat sono giustificate poich se vero che prima di lui tale metodo fu usato in

rare circostanze, tuttavia si deve al matematico francese la piena comprensione delle sue potenzialit e unapplicazione estesa.

Quanto alle modalit applicative, Fermat ne enuclea quattro: 1) applicazioni a tesi negative ordinarie, tra cui ricorda a) il teorema sul triangolo pitagorico, b) la propriet che nessun numero della forma 3n-1 uguale a un quadrato pi il triplo di un quadrato (proposizione questultima che si dimostra molto semplicemente anche per altra via); 2) applicazioni a tesi affermative ordinarie. Qui Fermat ricorda il teorema che ogni numero primo della forma 4n+1 somma di due quadrati e si esprime con queste parole:

Stetti a lungo senza poter applicare il mio metodo alle questioni affermative, poich il cammino ed il mezzo per arrivarci sono molto pi difficili di quelli di cui mi servo per le negative. Di modo che quando mi fu necessario dimostrare che ogni numero primo che sorpassi dellunit un multiplo di 4 composto di due quadrati, mi trovai in un bellimbroglio. Ma infine una riflessione ripetuta diverse volte mi dette lispirazione che mi mancava e le tesi affermative entrarono nel mio metodo con laiuto di qualche nuovo principio che vi dovetti aggiungere per necessit. Questo progresso del mio ragionamento nelle tesi affermative il seguente: se un numero primo preso a discrezione che sorpassa dellunit un multiplo di 4 non composto di due quadrati, ci sar un numero primo della stessa natura pi piccolo di quello dato e per conseguenza un terzo numero ancora pi piccolo e cos discendendo allinfinito fino al numero 5 che il pi piccolo di tutti quelli di questa natura e che si direbbe non esser composto di due quadrati, mentre al contrario lo . Da ci deve arguirsi per assurdo che tutti i numeri primi di questa natura sono composti da due quadrati.13

Qui si ha un altro segreto e mistero: quali sono i nuovi principi di cui parla Fermat? le

dimostrazioni per discesa applicate, dopo Fermat, a quelle che il matematico francese chiamava tesi affermative hanno la seguente variante rispetto alle applicazioni a tesi negative, cio ad asserti non esistenziali: se si intende dimostrare il teorema T, si verifica che T vero per un pacchetto iniziale di valori, si suppone poi, per assurdo, T falso per un certo numero n, si costruisce un algoritmo tale che, se T falso per n, allora falso anche per un m

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ma ci assurdo. Io ho chiamato questo metodo riduzione-discesa. Il nuovo principio che il ruolo dellinfinito , in questo caso, indiretto. Fermat sottolinea che ci sono infinite questioni di questo tipo14. Mi sembra abbastanza evidente che si riferisca ai teoremi riferiti ai punti 3 e 4 di cui aveva gi parlato in una precedente lettera a Pascal (1654). Tuttavia le discesa ha altre applicazione. In particolare 3) Applicazione a tesi affermative particolarmente complesse. Qui Fermat si riferisce al teorema dei quattro quadrati e allequazione di Pell (punti 5 e 7). Infine egli parla anche di applicazione a tesi negative complesse citando il caso cubico dellultimo teorema e le equazioni del punto 8. Fermat enuclea quindi quattro distinte applicazioni della discesa.

Passando dal livello metodologico a quello contenutistico, davvero notevole la connessione interna tra i teoremi menzionati nonch le loro correlazioni con i problemi che allepoca erano allordine del giorno in aritmetica. opportuno cominciare dal teorema sui numeri primi della forma 4n+1: il sesto libro dellAritmetica di Diofanto dedicato a vari problemi concernenti i triangoli rettangoli i cui lati siano numeri interi o razionali. Specificamente, anche allepoca di Fermat, erano particolarmente studiati i triangoli pitagorici e ci si chiedeva quali numeri interi potessero esserne ipotenusa ed, eventualmente, quante volte un numero potesse esserlo. Poich era stato dimostrato da tempo che le terne pitagoriche primitive (in cui cio i tre numeri sono primi tra loro), da cui poi si possono ricavare facilmente tutte le altre, hanno la forma 2222222 )2()()( abbaba +=+ , con a e b, uno pari e laltro dispari, a>b, a e b coprimi, il problema era vedere quali numeri fossero esprimibili come somme di due quadrati 22 ba + e quante volte lo fossero. Il teorema che tutti i numeri primi della forma 4n+1 sono somma di due quadrati, il passo decisivo per risolvere questa classica questione, a cui Fermat fornisce risposta nella settima delle Osservazioni su Diofanto (edizione italiana, pp. 24-27). Daltronde questo teorema anche, per cos dire, il punto di partenza della teoria delle forme quadratiche binarie, cio nello studio della decomposizione degli interi nella forma generale

22 cybxyax ++ . Il teorema fermatiano risolve il problema della forma 22 yx + , ottenuta ponendo nellespressione generale a=c=1, b=0. Le proposizioni di cui ai punti 3 e 4 rientrano anchesse nella teoria delle forme binarie sviluppata dopo Fermat, soprattutto da Lagrange e Gauss, ma di cui il matematico francese forn i primi e fondamentali elementi. Inoltre, prestando fede a quel che scrisse Fermat a Pascal nel 1654, il teorema sui numeri primi della forma 4n+1 usato come lemma per provare lasserto sui numeri poligonali. Leggiamo infatti:

Ho trovato della massima importanza la proposizione che ogni numero composto di uno, di due o di tre triangoli; di uno, di due, di tre o di quattro quadrati; di uno, di due, di tre, di quattro o di cinque pentagoni; di uno, di due, di tre, di quattro, di cinque o di sei esagoni e cos allinfinito. Per giungere a provare questo asserto, mi stato necessario dimostrare che ogni numero primo che supera di ununit un multiplo di 4, come 5, 13, 17, 29, 37 composto di due quadrati.15

Quando tratteremo della ricostruzione di Paolini vedremo proprio che per dimostrare che ogni

intero somma di tre triangolari necessario il teorema sui numeri primi della forma 4n+1 e che inoltre viene usata anche lequazione di Pell e il cosiddetto piccolo teorema di Fermat secondo cui, se p un numero primo e a non un multiplo di p, ).(mod11 pa p , cio 11 pa divisibile per p. Fermat enunci questo teorema in alcune sue lettere. Oltre a ci Paolini usa il fatto che ogni intero sia somma di tre triangolari, per provare che ogni intero somma di quattri quadrati. Cos tutta la produzione di Fermat acquista una coerenza e compattezza interna davvero notevole, con una serie di teoremi strettamente interconnesi che giustificano lidea di Fermat di dedicare un libro a questi temi.

Prima di fornire qualche dettaglio sulle ricostruzioni di Paolini, presenter un breve excursus storico relativo alle dimostrazioni dei teoremi fermatiani, di cui appunto il matematico francese aveva lasciato solo gli enunciati e, come visto, appena qualche misteriosa e lacunosa traccia su come potesse procedere la dimostrazione.

14 Fermat, Oeuvres, II, p. 433. 15 Ibidem, pp. 312-313.

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3. LE DIMOSTRAZIONI DEGLI ENUNCIATI DI FERMAT

I difficili problemi proposti da Fermat incontrarono per lo pi il disinteresse o, nel migliore dei casi, lapprezzamento esterno degli altri matematici. Ed probabilmente per questa mancanza di interesse, nonch per una indubbia idiosincrasia nello scrivere dimostrazioni dettagliate, che Fermat ha lasciato prova di pochissimi dei suoi asserti in teoria dei numeri. Le parole di Pascal, in risposta alla summezionata lettera di Fermat, in cui egli lo invitava a una discussione sui problemi concernenti le forme binarie dei numeri primi ed i numeri poligonali, sono davvero significative. Leggiamo infatti in una lettera del 27 ottobre 1654:

Ma signore se ho condiviso con voi questo interesse [per il calcolo delle probabilit], voi cercate di indurmi a seguirvi in queste vostre invenzioni sui numeri di cui mi avete fatto la grazia di inviarmi gli enunciati. Vi confesso che le mie capacit sono molto lontane dal risolvere questi problemi e io non posso che ammirarli. Vi supplico molto umilmente di occupare la maggior parte del vostro tempo libero a terminarli. Tutti noi li abbiamo visti sabato scorso e li abbiamo apprezzati in tutti i loro aspetti; non si pu sopportare che cose tanto belle siano tenute ulteriormente nascoste.16

E Pascal fu senzaltro uno dei matematici stimato maggiormente da Fermat e con il quale egli

ebbe una collaborazione fruttuosa quanto al calcolo combinatorio e delle probabilit. Il quadro descritto ha una notevole eccezione: lequazione di Pell 122 = Nxy . Fermat

intrattenne su questa equazione una importante corrispondenza con il matematico francese Frenicle de Bessy e con gli inglesi Wallis e Brouncker. In particolare egli sfid i due inglesi a risolvere lequazione. La vicenda dur dal 1657 al 1659 e pu essere seguita nellepistolario di Fermat e di Wallis. Inizialmente i due inglesi risolsero lequazione in razionali. Ma Fermat rispose che le soluzioni razionali possono essere ottenute facilmente e che egli richiedeva le soluzioni in soli interi. In due importanti lettere17 datate rispettivamente 17 dicembre 1657 e 20 gennaio 1658 Wallis risolse la particolare equazione

113 22 = xy , essendo 13 uno dei valori proposti da Fermat come N. Nel giugno 1658, Fermat tramite una lettera a Digby si congratula con Wallis e Brouncker per la soluzione proposta. Tuttavia lanno seguente, nella pi volte menzionata lettera a Huygens, Fermat sostiene che la soluzione degli inglesi corretta per il caso particolare, ma non la soluzione generale, soluzione che pu essere ottenuta tramite la discesa debitamente applicata. Wallis us un metodo di riduzione in base al quale, supponendo che lequazione 113 22 = xy abbia soluzioni (y,x), prov che la soluzione maggiore y, pu essere scritta nella forma bqxy += , ottenendo cos una nuova equazione le cui eventuali soluzioni sono (x,b), con x>b ed avente soluzione se e solo se 113 22 = xy ha soluzioni. Iterando il processo si ottengono equazioni con eventuali soluzioni in interi sempre minori, fino a giungere a unequazione che ha la soluzione evidente (1,0) e poter risalire fino alla soluzione di 113 22 = xy . Quel che in sostanza chiedeva Fermat era la dimostrazione che questo metodo applicabile per ogni N, non solo per casi particolari. La prima dimostrazione rigorosa del fatto che lequazione di Pell ha sempre soluzioni fu data da Lagrange, il quale dette dimostrazioni diverse. Le prime due18, e specialmente la seconda, pi chiara, sintetica e perspicua della prima, sono basate fondamentalmente sullestensione del ragionamento di Wallis grazie ad un sapiente uso della frazioni continue (algoritmo gi noto e usato nel XVI secolo). In una fase del ragionamento ricorre una argomentazione per discesa indefinita. Le parole di Fermat secondo cui il suo metodo usato in maniera del tutto particolare potrebbero allora essere interpretate nel senso che la discesa indefinita usata allinterno di una procedura di riduzione diretta, in cui cio la struttura generale del ragionamento non basata su una riduzione allassurdo, bench la parte in cui interviene la discesa lo sia.

16 Ibidem, p. 310. 17 Wallis, 1693, pp. 789-797 e 802-807. 18 La prima dimostrazione si trova in Lagrange 1766-69, la seconda in Lagrange, 1769, ove egli affronta il problema pi generale di risolvere in interi tutte le equazioni indeterminate di secondo grado a due incognite.

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Quanto alle dimostrazioni relative alle forme quadratiche binarie 222222 3 ,2 , yxyxyx +++ assunte dai numeri primi, la prima dimostrazione che ogni numero primo della forma 4n+1 somma di due quadrati fu data da Eulero nel 1754/5. Eulero prov anche che ogni numero primo della forma 8n+1 e ogni primo della forma 8n+3 scrivibile come 22 2yx + e che ogni primo della forma 6n+1 scrivibile come 22 3yx + . In tutte queste dimostrazioni Eulero usa come lemma fondamentale lasserto che, se x e y sono primi tra loro, allora i divisori delle forma 22 yx + sono anchessi somma di due quadrati. I divisori di 22 2yx + sono a loro volta esprimibili com somma di un quadrato e del doppio di un quadrato e i divisori di 22 3yx + come somma di un quadrato e del triplo di un quadrato. Eulero fornisce due diverse dimostrazioni di questi asserti sulla divisibilit: la prima decisamente di spirito fermatiano ed usa il metodo che io ho chiamato riduzione-discesa. Consideriamo il caso della forma

22 yx + . I numeri piccoli che sono somma di due quadrati primi tra loro sono divisibili per numeri somma di due quadrati. Eulero suppone che esista un numero n, somma di due quadrati primi tra loro e divisibile per numeri non somma di due quadrati. Costruisce una riduzione la quale implica che dovrebbe esistere un m

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Quanto al caso cubico dellultimo teorema di Fermat, la prima dimostrazione nota risale ad Eulero21. Egli impiega la discesa indefinita, ma in una fase del ragionamento decompone il binomio

22 3ba + in )3)(3( + baba , usa cio la radice quadrata di un numero negativo. Bench prima dellepoca di Fermat i numeri immaginari fossero stati usati per risolvere le equazioni di terzo grado, tuttavia Eulero fa un uso degli immaginari che sembra trascendere la mentalit di un matematico vissuto nel XVII secolo.

Il teorema che ogni intero somma di tre triangolari di gran lunga il pi difficile e profondo tra i teoremi proposti da Fermat (escludendo il caso generale dellultimo). La dimostrazione dovuta a Gauss, che nelle Disquisitiones arithmeticae22 prov lasserto equivalente che ogni numero della forma 8n+3 somma di tre quadrati dispari. La tecnica usata da Gauss, per quanto elementare, rientra nella complicatissima teoria generale delle forme quadratiche ternarie, di cui non vi era traccia prima di Gauss. Non si pu quindi in nessun modo attribuire la prova gaussiana a Fermat.

Nel 1815 Cauchy, basandosi sui risultati di Gauss, dimostr il teorema generale sui numeri poligonali23. Ma, bene sottolinearlo di nuovo, la proposizione fondamentale per il teorema sui numeri poligonale che ogni intero somma di tre triangolari.

Dal quadro presentato, si capisce che i teoremi di Fermat sono stati dimostrati nel corso degli anni con una molteplicit di tecniche e soprattutto senza tener conto che, nella mente di Fermat, essi erano strettamente interrelati. Ovviamente questa non affatto una critica ai grandi matematici che hanno dimostrato questi teoremi poich il loro scopo (se si fa una parziale eccezione per Eulero) non era tanto una ricostruzione matematico-filologica di Fermat, quanto una dimostrazione dei suoi teoremi e una generalizzazione, anche oltre quanto Fermat aveva lasciato.

Scopo di Paolini invece proprio una ricostruzione matematico-filologica di Fermat e vedremo come egli abbia perseguito e ottenuto questo scopo.

4. LE RICOSTRUZIONI DI PAOLINI

Il lavoro di Paolini consultabile sul sito http://fermat.graficaedesign.biz/ non concerne solo la ricostruzione di parte cospicua dellaritmetica fermatiana, ma vi sono affrontati anche altri problemi di teoria dei numeri. Tuttavia le sezioni concernenti direttamente Fermat sono le pi estese ed interessanti ed di queste che ci occuperemo. Paolini ridimostra i seguenti teoremi: 1) larea di un triangolo rettangolo in numeri non pu mai essere il quadrato di un intero. 2) Forme quadratiche binarie dei numeri primi: ogni primo della forma 4n+1 somma di due quadrati; ogni

primo della forma 8n+1 e 8n+3 somma di un quadrato e del doppio di un quadrato; ogni primo della forma 6n+1 somma di un quadrato e del triplo di un quadrato.

3) Teorema sui numeri poligonali: ogni intero somma di tre triangolari; ogni intero somma di quattro

quadrati. 4) Lequazione 333 yxz += non ha soluzioni in interi.

Con 1) il lettore viene introdotto al metodo della discesa indefinita e alla mentalit di Fermat. Il

4) importante perch limpossibilit di risolvere in interi lequazione 333 yxz += viene dimostrata

tramite la discesa indefinita e senza ricorrere agli interi complessi, come aveva fatto Eulero. Il nucleo centrale del lavoro di Paolini concerne per i punti 2) e 3).

21 Eulero, 1770, capitolo 15, paragrafo 243. Anche per il teorema die quattro quadrati e il caso cubico dellultimo teorema di Fermat, si possono consultare le parti di Bussotti, 2006 concernenti Eulero e Lagrange e dedicate a qusti argomenti. 22 Gauss, 1801, art. 293. 23 Cauchy, 1815.

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4.1. IL TEOREMA SUI NUMERI PRIMI DELLA FORMA 4N+1

Riguardo ai numeri primi della forma 4n+1, Paolini fornisce due dimostrazioni. Qui mi riferir alla seconda perch essa estendibile anche alle altre forme di cui aveva parlato Fermat. Per capire realmente il significato di quanto andiamo esponendo necessario entrare in dettagli tecnici, altrimenti la trattazione rimane troppo vaga: in merito al teorema sui numeri primi della forma 4n+1, si visto che Fermat aveva lasciato due segreti da svelare: 1) la proposizione veniva dimostrata tramite discesa indefinita applicata usando nuovi principi; 2) il ruolo di 5 fondamentale. La ricostruzione di Paolini risponde ad entrambi i desiderata. Premetto, senza dimostrazione, ma aggiungendo alcune spiegazioni ove questo mi sembri necessario, i teoremi preparatori e le definizioni che Paolini usa, sottolineando che tutti i simboli indicano numeri interi: 1) Teorema 1: se p un numero primo della forma 4n+1, allora lequazione 12 += xkp ha sempre soluzione.

2) Definizione: se lequazione 12 += xkm ha soluzioni, si consideri la frazione xm , la si sviluppi in frazione

continua e se ne invertano le ridotte. Sia ng il massimo ig tale che mgi