arX

iv:1

010.

0824

v2 [

mat

h.C

A]

3 N

ov 2

015

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

С.С.Акбаров

10 апреля 2019 г.

http://arxiv.org/abs/1010.0824v2

2

Настоящий текст представляет собой черновик учебника по математическому анализу, которыйавтор надеется опубликовать в обозримом будущем. Главную цель изложения автор видит в построе-нии университетского курса анализа, как аксиоматической системы. Принципиально доказываютсявсе (нетривиальные) формулируемые утверждения, за исключением нескольких фактов общема-тематического значения (таких, как теорема Гёделя о неполноте или парадокс Банаха-Тарского),приводимых в тексте только для прояснения мотивировок, и никак не проявляющих себя в логиче-ской структуре курса. По способу подачи материал делится на основной, излагаемый текстом в однуколонку, и иллюстративный, представленный двумя колонками. Разница между тем и другим со-стоит в том, что основной материал задуман, как логически последовательное изложение основныхутверждений теории, в котором, в частности, не допускаются ссылки на утверждения, не дока-занные на момент цитирования. В иллюстративном материале, наоборот, приоритетом считаетсяобеспечение читателя достаточным количеством примеров и упражнений для скорейшего привыка-ния к используемым в основном тексте понятиям и приемам, и, как следствие, уровень логическойстрогости здесь снижается. Однако, не намного, а только до той планки, на которой некоторыепонятия позволяется упоминать существенно раньше, чем они будут формально определены (на-пример, понятие последовательности впервые упоминается на с.22, хотя определяется только нас.79), а некоторым утверждениям позволяется быть сформулированными задолго до того, как онибудут аккуратно доказаны в тексте (таковы, например, формулы для простейших геометрическихвеличин в главе 6 – площади правильной области на плоскости, объема тела вращения и т.п. –которые мы по традиции приводим раньше, чем эти величины формально будут определены, и какследствие, доказательство этих формул переносится на несколько глав вперед).

При работе над текстом автор использовал многие идеи доказательств, а также некоторые за-дачи и упражнения из учебников и пособий, выходивших в разные годы в России, в частности:

1) Г. И. Архипов, В. А. Садовничий, В. Н. Чубариков. Лекции по математическому анализу,М.: Высшая школа, 1999.

2) Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал-пресс, 2001.

3) Г. Грауэрт, И. Либ, В. Фишер. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Мир,1971.

4) В. А. Зорич. Математический анализ, М.: Фазис, Т.1-2, 1997.

5) А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа.М.: Наука, 1972.

6) Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, М.: Высшая школа, Т.1-2, 1981, Т.3,1989.

7) Л. Д. Кудрявцев, А. Д. Кутасов, В. И. Чехлов, М. И. Шабунин. Сборник задач по мате-матическому анализу, М.: Физматлит, Т.1-3, 2003.

8) У. Рудин. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976.

9) М. Спивак. Математический анализ на многообразиях. М.: Мир, 1968.

10) Е. Титчмарш. Теория функций. М.: Наука, 1980.

11) Х. Уитни. Геометрическая теория интегрирования. М.: ИЛ, 1960.

Автор будет признателен читателям за любые замечания и предложения.

Оглавление

I ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 17

0 ЧИСЛА 18§ 1 Множества и отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Об истории теории множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Соглашения и логическая символика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20«Наивная» теория множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Пересечение, объединение и разность множеств. . . . . . . . . . . . . . . 23Упорядоченные пары и декартово произведение множеств. . . . . . . . . 24Отображения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Семейства множеств и аксиома выбора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

§ 2 Вещественные числа и числовые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31(a) Вещественные числа R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Измерения по эталону и вещественные числа. . . . . . . . . . . . . . . . . 31Аксиомы теории вещественных чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Собственные обозначения для чисел и числовые равенства. . . . . . . . . 35

(b) Числовые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Алгебраические операции над числовыми множествами и неравенства

между ними. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Минимум и максимум числового множества. . . . . . . . . . . . . . . . . 38Минимум и максимум двух чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Нижняя и верхняя грани числового множества. . . . . . . . . . . . . . . 40

(c) Модуль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Алгебраические тождества с модулем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Алгебраические неравенства с модулем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Решение неравенств с модулем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

§ 3 Натуральные числа и конечные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45(a) Натуральные числа N и целые неотрицательные числа Z+ . . . . . . . . . . . . 45

Определение натуральных чисел N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Принцип математической индукции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Свойства натуральных чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Целые неотрицательные числа Z+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Определения по индукции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Доказательство формул по индукции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Индуктивная сумма

∑nk=1 ak и индуктивное произведение

∏nk=1 ak . . . 55

Принцип Архимеда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56(b) Конечные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Принцип Дирихле и его следствия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Мощность конечного множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Конечные множества в R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Конечные множества в N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

(c) Бесконечные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62§ 4 Целые числа, делимость и рациональные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

(a) Целые числа Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Определение множества целых чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Степени с целым показателем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Целая и дробная части числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Десятичная запись целых чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3

4 Оглавление

(b) Деление с остатком и делимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Деление с остатком. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Делимость в множестве N натуральных чисел. . . . . . . . . . . . . . . . 73Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. . . . . . . . 73Основная теорема арифметики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

(c) Рациональные числа Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Определение и свойства рациональных чисел. . . . . . . . . . . . . . . . 80Несократимые дроби. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Существование иррациональных чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Рациональные числа с нечетным знаменателем Z2N−1 . . . . . . . . . . . . 83

1 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 86§ 1 Числовые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

(a) Определение функции и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86(b) Функции с симметриями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Четные и нечетные функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Периодические функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

(c) Свойства функций, связанные с отношением порядка . . . . . . . . . . . . . . . 92Ограниченные функции и точная грань функции на множестве. . . . . . 92Монотонные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

§ 2 Элементарные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97(a) Степени с нецелым показателем и логарифмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Аксиома степеней. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Корни. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Степенная функция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Показательная функция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Логарифм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Формулы, связывающие показательные функции и логарифмы. . . . . . 117

(b) Тригонометрические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Аксиома тригонометрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Синус и косинус. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Тангенс и котангенс. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Обратные тригонометрические функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

2 ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 133§ 1 Числовые последовательности и их пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

(a) Числовые последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Способы описания числовой последовательности. . . . . . . . . . . . . . 133Способы изображения числовой последовательности. . . . . . . . . . . . 134

(b) “Почти все n ∈ N” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135(c) Предел числовой последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Окрестность точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Конечный предел последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Бесконечный предел последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

(d) Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности . . . . . . . . . . 143(e) Арифметические операции с пределами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148(f) Ограниченные последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150(g) Вычисление пределов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

§ 2 Теоремы о последовательностях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153(a) Предельный переход в неравенствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153(b) Монотонные последовательности и теорема Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . 155(c) Теорема о вложенных отрезках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159(d) Подпоследовательности и теорема Больцано-Вейерштрасса . . . . . . . . . . . 160(e) Критерий Коши сходимости последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165(f) Теорема Штольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

§ 3 Приложения предела последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169(a) Десятичная запись вещественных чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169(b) Число Непера e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Экспонента ex и натуральный логарифм ln x. . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Оглавление 5

3 НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ПРЕДЕЛ И ПРОИЗВОДНАЯ 175§ 1 Непрерывные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

(a) Что такое непрерывная функция? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Непрерывные элементарные функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

(b) Непрерывность и монотонные последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . 179(c) Операции над непрерывными функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Арифметические операции с непрерывными функциями. . . . . . . . . . 180Непрерывность композиции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Непрерывные стандартные функции одного переменного. . . . . . . . . . 182

(d) Теоремы о непрерывных функциях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Теорема о сохранении знака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Теорема Коши о промежуточном значении. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Теоремы Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Теорема Вейерштрасса об ограниченности. . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Теорема Вейерштрасса об экстремумах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Теорема Кантора о равномерной непрерывности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Теоремы о монотонных функциях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Монотонные функции на отрезке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Монотонные функции на интервале. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

§ 2 Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193(a) Определение и свойства предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Нахождение предела функции по определению. . . . . . . . . . . . . . . 197Связь между нулевым и бесконечным пределом. . . . . . . . . . . . . . . 199Связь между односторонними и двусторонними пределами. . . . . . . . 200Связь предела функции с монотонными последовательностыми. . . . . . 202Предел монотонной функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

(b) Вычисление пределов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Существование предела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Принцип подстановки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Вычисление упрощением. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Замена переменной под знаком предела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Первый замечательный предел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207Второй замечательный предел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

(c) Теоремы о пределах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Связь между понятием предела и непрерывностью. . . . . . . . . . . . . 209Теорема о замене переменной под знаком предела. . . . . . . . . . . . . . 211Арифметические операции над пределами. . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Критерий Коши существования предела функции. . . . . . . . . . . . . . 212

(d) Язык ε-δ Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214Определение предела функции по Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214Равномерная непрерывность функции по Коши. . . . . . . . . . . . . . . 216

§ 3 Производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217(a) Производная и дифференцируемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Геометрический смысл производной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Наглядный смысл дифферецируемости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Производные элементарных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

(b) Правила вычисления производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223Арифметические действия с производными. . . . . . . . . . . . . . . . . . 223Производная композиции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

(c) Классические теоремы о дифференцируемых функциях . . . . . . . . . . . . . 227Теорема Ферма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227Теорема Ролля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228Теорема Лагранжа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229Теорема Коши об отношении приращений. . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

(d) Правило Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230Раскрытие неопределенностей типа 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231Раскрытие неопределенностей типа ∞∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232Раскрытие неопределенностей 0 · ∞, ∞−∞, 00, 1∞, ∞0. . . . . . . . . . 235

(e) Построение графика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

6 Оглавление

Монотонность и экстремум. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235Выпуклость и перегиб. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239Асимптоты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Общая схема построения графика функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242График стандартной функции без симметрий. . . . . . . . . . . . . . . . 242Четные и нечетные функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Периодические функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

(f) Формулы Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247Теорема об остатке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. . . . . . . . 249Формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши. . . . . . . . . . . 250Дифференциал функции и запись формулы Тейлора с его помощью. . . 250

4 ИНТЕГРАЛ 251§ 1 Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

(a) Определение определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251Разбиения отрезка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251Определение определенного интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

(b) Когда существует определенный интеграл? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Суммы Дарбу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256Критерий интегрируемости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258Ограниченность интегрируемой функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260Интегрируемость монотонной функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261Интегрируемость непрерывной функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

(c) Свойства определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263§ 2 Формула Ньютона-Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

(a) Основные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270Дифференцируемые функции и первообразная на отрезке. . . . . . . . . 270Гладкие функции и интеграл с переменным верхним пределом на отрезке.272Формула Ньютона-Лейбница. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

(b) Интеграл по ориентированному отрезку и вычисления . . . . . . . . . . . . . . 274Ориентированные отрезки в R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274Интеграл по ориентированному отрезку. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275Интегрирование по частям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

(c) Интегрирование кусочно-непрерывных и кусочно-гладких функций . . . . . . . 280Кусочно-непрерывные функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280Кусочно-гладкие функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

(d) Некоторые следствия формулы Ньютона-Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . 285Первообразная на интервале. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285Лемма Адамара. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

(e) Приложения определенного итеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287Площадь правильной области на плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . 287Площадь области, ограниченной параметризованной кривой. . . . . . . . 287Площадь области в полярных координатах. . . . . . . . . . . . . . . . . . 290Длина кривой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292Объем тела вращения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293Площадь поверхности вращения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

§ 3 Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295(a) Определение несобственного интеграла и его свойства . . . . . . . . . . . . . . 297

Несобственный интеграл по конечному промежутку. . . . . . . . . . . . . 297Несобственный интеграл по бесконечному промежутку. . . . . . . . . . . 298

(b) Несобственные интегралы от степенной и показательной функций . . . . . . . 299(c) Замена переменной в несобственном интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300(d) Признаки сходимости несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

Признаки сходимости знакопостоянных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . 301Критерий сходимости знакоположительного интеграла. . . . . . . . . . . 302Признак сравнения интегралов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

Критерий Коши сходимости несобственного интеграла . . . . . . . . . . . . . . 305Признак абсолютной сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Оглавление 7

Формула Бонне и признаки Дирихле и Абеля для интегралов. . . . . . . . . . . 307

5 РЯДЫ И АППРОКСИМАЦИЯ 311§ 1 Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

(a) Определение числового ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311(b) Арифметические свойства числовых рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313(c) Признаки сходимости рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

Сходимость знакопостоянных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314Критерий сходимости знакоположительного ряда. . . . . . . . . . . . . . 315Интегральный признак Коши и постоянная Эйлера. . . . . . . . . . . . . 315Признак сравнения рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318Признак Даламбера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320Радикальный признак Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

Критерий Коши сходимости ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323Общие признаки сходимости рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

Необходимое условие сходимости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324Признак абсолютной сходимости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Специальные признаки сходимости рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326Признак Лейбница. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326Преобразование Абеля и признаки Дирихле и Абеля для рядов. . . . . . 328

§ 2 Функциональные последовательности и функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . 332(a) Поточечная сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

Область сходимости функциональной последовательности . . . . . . . . . . . . 332Область сходимости функционального ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

(b) Равномерная сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337Равномерная сходимость функциональной последовательности . . . . . . . . . 337

Критерий Коши равномерной сходимости последовательности. . . . . . 342Равномерная сходимость функционального ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

Критерий Коши равномерной сходимости ряда. . . . . . . . . . . . . . . 349Необходимое условие равномерной сходимости ряда. . . . . . . . . . . . . 350Признак Вейерштрасса равномерной сходимости. . . . . . . . . . . . . . 351Признак Лейбница равномерной сходимости. . . . . . . . . . . . . . . . . 351Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости. . . . . . . . . . . . 352Всюду непрерывная, но нигде не дифференцируемая функция. . . . . . 354

(c) Равномерная по производным сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356Равномерная по производным сходимость последовательности . . . . . . . . . . 357Равномерная по производным сходимость ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

Контрпримеры в классе гладких функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . 359(d) Интегральная сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

Интегральная сходимость последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363Интегральная сходимость ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

§ 3 Аппроксимация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364(a) Приближение интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

Приближение интегрируемой функции кусочно постоянными. . . . . . . 364Приближение интегрируемой функции непрерывными. . . . . . . . . . . 365

(b) Свертка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367(c) Приближение непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

Аппроксимативная единица. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372Аппроксимация гладкими функциями. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375Аппроксимация алгебраическими многочленами. . . . . . . . . . . . . . . 376Аппроксимация тригонометрическими многочленами. . . . . . . . . . . . 377

6 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 379§ 1 Степенные ряды, аналитические последовательности и производящие функции . . . . 379

(a) Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379Область сходимости степенного ряда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379Равномерная сходимость степенного ряда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383Непрерывность суммы степенного ряда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384Дифференцирование и интегрирование степенных рядов. . . . . . . . . . 385

8 Оглавление

Вычисление суммы степенного ряда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388(b) Аналитические последовательности и производящие функции . . . . . . . . . . 389

Алгебраические операции с аналитическими последовательностями. . . 390Порядок аналитической последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . 393Сравнение аналитических последовательностей. . . . . . . . . . . . . . . 393Модуль аналитической последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . . 394Степень аналитической последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . 395Композиция аналитических последовательностей. . . . . . . . . . . . . . 396

§ 2 Ряд Тейлора и аналитические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399(a) Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

Контрпримеры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399Всякий сходящийся степенной ряд есть ряд Тейлора своей суммы. . . . 400Сходимость ряда Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400Стандартные разложения Маклорена. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

(b) Аналитические и целые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403Аналитические функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403Целые функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

§ 3 Приложения степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407(a) Доказательство зависимости Аксиомы степеней. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

Функция exp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407Функция ln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408Определение степеней ab и доказательство Аксиомы степеней. . . . . . . 409

(b) Доказательство зависимости Аксиомы тригонометрии. . . . . . . . . . . . . . . 413(c) Значение числа π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417(d) Числа Фибоначчи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

7 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ 420§ 1 Сходимость ряда Фурье в среднем квадратичном . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

(a) Основная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421Скалярное произведение функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422Ортогональность тригонометрической системы и связь скалярного про-

изведения с коэффициентами Фурье. . . . . . . . . . . . . . . 424Минимальное свойство многочленов Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . 425Полнота тригонометрической системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426Неравенство Бесселя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427Равенство Парсеваля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428Доказательство основной теоремы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

§ 2 Поточечная и равномерная сходимость ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429(a) Кусочно-непрерывные и кусочно-гладкие функции на R . . . . . . . . . . . . . 430(b) Суммирование ряда Фурье обычным способом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

Лемма Римана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432Ядро Дирихле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433Интегралы Дирихле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434Поточечная сходимость ряда Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435Дифференцирование ряда Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436Равномерная сходимость ряда Фурье непрерывной кусочно-гладкой функ-

ции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437Равномерная по производным сходимость ряда Фурье непрерывной кусочно-

гладкой функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438(c) Суммирование ряда Фурье методом арифметических средних . . . . . . . . . . 438

Ядро Фейера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439Интеграл Фейера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440Поточечная сходимость многочленов Фейера. . . . . . . . . . . . . . . . . 441Равномерная сходимость многочленов Фейера. . . . . . . . . . . . . . . . 442Равномерная по производным сходимость многочленов Фейера. . . . . . 443

(d) Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444Разложение Фурье произвольной 2π-периодической функции. . . . . . . 444Разложение Фурье четных и нечетных 2π-периодических функций. . . . 445Ряды Фурье функций с произвольным периодом. . . . . . . . . . . . . . 447

Оглавление 9

8 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 449§ 1 Асимптотические отношения и формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

(a) Асимптотические отношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449Асимптотическая эквивалентность функций (символ ∼) . . . . . . . . . 449Асимптотическое сравнение функций (символы ≪ и o) . . . . . . . . . . 451Принцип выделения главного слагаемого . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453Эквивалентность модулей, степеней и логарифмов . . . . . . . . . . . . . 455

(b) Асимптотические формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456Связь между символами ∼ и o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457Свойства символа o и упрощение асимптотических формул . . . . . . . 458Вычисление пределов с помощью асимптотических формул . . . . . . . 461

§ 2 Формулы Пеано и асимптотика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463(a) Формулы Пеано . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

Формула Тейлора-Пеано. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463Формулы Маклорена-Пеано. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465Вычисление пределов в помощью формул Маклорена-Пеано. . . . . . . . 466

(b) Асимптотика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471Степенная последовательность в нуле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472Степенная последовательность на бесконечности. . . . . . . . . . . . . . 472Другие асимптотические последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . 472

§ 3 Асимптотика интегралов, сумм и рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474(a) Асимптотика интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

Асимптотическая эквивалентность интегралов . . . . . . . . . . . . . . . 474Асимптотическое сравнение интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478Интегрирование асимптотических формул . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481Нахождение асимптотики интегрированием по частям . . . . . . . . . . . 482

(b) Асимптотика сумм и рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484Асимптотическая эквивалентность рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484Асимптотическое сравнение рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487Связь с несобственными интегралами и формула суммирования Эйлера. 491Точное вычисление сумм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

§ 4 Формула Стирлинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

II ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 499

9 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 500§ 1 Комбинаторика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

(a) Основные понятия комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501Правило комбинаторного умножения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501Размещения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503Подмножества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504Разбиения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505Выборки и мультииндексы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

(b) Перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511Число перестановок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511Группа перестановок Sn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511Циклы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512Транспозиции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513Знак перестановки и четность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514Перестановка, как смена порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516

§ 2 Векторные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520(a) Векторные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

Определение векторного пространства и примеры. . . . . . . . . . . . . . 520Линейно независимые системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521Базис и размерность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523Подпространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527

(b) Линейные функционалы и сопряженное пространство . . . . . . . . . . . . . . . 529Столбец коэффициентов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

10 Оглавление

Линейные операции над функционалами и сопряженное пространство X∗.532(c) Линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532

Ядро и образ оператора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532Линейные операции над операторами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533Произведение операторов и обратимые операторы. . . . . . . . . . . . . . 534Сопряженные операторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535Алгебраические дополнения и проекторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

(d) Полилинейные отображения, полилинейные формы и тензоры . . . . . . . . . . 537Полилинейные формы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537Тензоры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539Изоморфизм X1 ⊗ ...⊗Xk ∼= L

(X∗1 , ..., X

∗k

). . . . . . . . . . . . . . . . . . 540

Универсальность пространства тензоров. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541§ 3 Матрицы и определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542

(a) Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542Алгебраические операции над матрицами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543Действие матрицы на строку векторов и разложение по базису. . . . . . 543Действие матрицы на столбец векторов и разложение по базису. . . . . . 544Матрица перехода к новому базису. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544Матрица линейного оператора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545Матрица билинейной формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

(b) Определитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548Определитель матрицы, как полилинейная кососимметрическая форма. 548Правило Крамера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551Свойства определителей матриц. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553Определитель оператора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555

§ 4 Симметрические формы и однородные многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556(a) Общие симметрические формы и однородные многочлены . . . . . . . . . . . . 556

Симметрические формы Σm(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556Симметрическое произведение функционалов. . . . . . . . . . . . . . . . 556Симметризация. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556Базис в пространстве симметрических форм Σk(X). . . . . . . . . . . . . 557

(b) Однородные многочлены Pm(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560Базис в пространстве однородных многочленов. . . . . . . . . . . . . . . 560Изоморфизм Pm(X∗) ∼= Σm(X)∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561Симметрическая поляризация Pm(X) ∼= Σm(X). . . . . . . . . . . . . . . 563Универсальность пространства однородных многочленов. . . . . . . . . . 564

(c) Симметрические билинейные формы и критерий Сильвестра . . . . . . . . . . 566Симметрические билинейные формы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566Квадратичные формы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566Ортогональное дополнение и невырожденные формы. . . . . . . . . . . . 568Ортогональный базис. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571Ортогонализация Грама-Шмидта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574Знакоопределенные квадратичные формы и критерий Сильвестра. . . . 576

§ 5 Кососимметрические (внешние) формы и поливекторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577(a) Внешние формы Λm(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

Конкатенация функционалов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579Альтернация. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580Базис в пространстве внешних форм Λm(X). . . . . . . . . . . . . . . . . 582Внешние формы максимальной степени. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585Конкатенация внешних форм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

(b) Поливекторы Vm(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588Конкатенация векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588Базис в пространстве поливекторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590Поливекторы максимальной степени. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591Кососимметрическая поляризация Vm(X) ∼= Λm(X∗). . . . . . . . . . . . 591Конкатенация поливекторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592Универсальность пространства поливекторов. . . . . . . . . . . . . . . . 592

(c) Действие матрицы и оператора на внешнюю форму и поливектор . . . . . . . . 593Действие оператора на внешнюю форму и поливектор. . . . . . . . . . . 593

Оглавление 11

Действие матрицы на форму и на поливектор. . . . . . . . . . . . . . . . 594(d) Ориентация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595

Линейный векторный порядок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595Ориентация, как порядок на пространстве поливекторов Vn(X). . . . . . 597Сторона ориентированной гиперплоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . 599

10 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 600§ 1 Евклидовы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600

(a) Модуль вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600Неравенство Коши-Шварца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601

(b) Ортогональность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602Ортогональные векторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602Ортонормированный базис. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603Ортогональное проектирование. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603Ортогонализация Грама-Шмидта в евклидовом пространстве. . . . . . . 605

(c) Евклидова структура на пространстве функционалов X∗ . . . . . . . . . . . . . 606Скалярное произведение в X∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606Градиент линейного функционала. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607

(d) Евклидова структура на пространстве операторов L(X,Y ) . . . . . . . . . . . . 607Скалярное произведение в L(X,Y ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608Модуль и норма оператора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609

(e) Евклидова структура на пространстве поливекторов Vk(X) . . . . . . . . . . . 610Определитель Грама. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610Скалярное произведение поливекторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

(f) Изометрии и движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617Изометрии и теорема о представлении. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617Движения в евклидовом пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618

§ 2 Топология евклидова пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619(a) Сходимость последовательности в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . 620(b) Внутренность и открытые множества в евклидовом пространстве . . . . . . . . 621

Внутренние точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621Внутренность множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622Открытые множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623

(c) Замыкание и замкнутые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624Точки прикосновения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624Замыкание множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626Замкнутые множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626

(d) Двойственность между открытыми и замкнутыми множествами . . . . . . . . 627Дополнения открытых и замкнутых множеств. . . . . . . . . . . . . . . . 627Разность открытых и замкнутых множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . 629Двойственность между замыканием и внутренностью. . . . . . . . . . . . 629

(e) Некоторые дополнительные понятия из топологии . . . . . . . . . . . . . . . . . 629Граница множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629Ядро и нарост. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630Всюду плотные множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630Связные множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630

§ 3 Компактность и паракомпактность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631(a) Ограниченные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631

Ограниченные последовательности и теорема Больцано-Вейерштрасса. . 631(b) Компактные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

Определение компакта и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633Критерий компактности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633Отделимость компакта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635Стягивание к компакту. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636Исчерпывание компактами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638

(c) Открытые покрытия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638Открытые покрытия компакта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639Счетные подпокрытия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641Локально конечные семейства множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641

12 Оглавление

Вписанные покрытия и паракомпактность. . . . . . . . . . . . . . . . . . 642

11 ГЛАДКАЯ СТРУКТУРА НА ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 645§ 1 Гладкие функции на евклидовых пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645

(a) Непрерывность, предел и асимптотические формулы . . . . . . . . . . . . . . . 646Непрерывные функции на еквлидовом пространстве. . . . . . . . . . . . 646Предел функции на евклидовом пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . 649Асимптотические формулы на евклидовых пространствах. . . . . . . . . 651

(b) Непрерывно дифференцируемые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653Дифференциал и непрерывно дифференцируемые функции порядка 1. . 653Градиент функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655Непрерывная дифференцируемость порядка 2 и теорема Шварца. . . . . 657Непрерывная дифференцируемость порядка m и производная по муль-

тииндексу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658Дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659Формула Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660

(c) Локальный экстремум на евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . 662Условия локального экстремума в терминах свойств дифференциалов. . 662Условия локального экстремума в терминах свойств частных производных665Локальный экстремум функции двух переменных. . . . . . . . . . . . . . 666

(d) Гладкие функции на евклидовых пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670Отделение компакта гладкой функцией. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670Локально конечные семейства функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671Разбиение единицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672

§ 2 Гладкие отображения евклидовых пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675(a) Непрерывность и гладкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675

Непрерывные отображения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675Вложения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676Непрерывно дифференцируемые и гладкие отображения. . . . . . . . . . 678

(b) Формула Тейлора для непрерывно дифференцируемых отображений и ее след-ствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680

Формулы Тейлора для гладких отображений. . . . . . . . . . . . . . . . . 680Композиция отображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680Якобиан. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682

(c) Теорема об обратном отображении и ее следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . 683Точки нестабильности и критические точки. . . . . . . . . . . . . . . . . 683Диффеоморфизмы и теорема об обратном отображении. . . . . . . . . . 685Ретракции и коретракции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690

§ 3 Многообразия и условный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693(a) Многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693

Множества уровня. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693Параметризованные многообразия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694Многообразия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698

(b) Касательное пространство к многообразию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700Касательная прямая и касательный вектор к параметризованной кривой.700Касательное пространство к многообразию произвольной размерности. 701

(c) Условный экстремум функции многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . 703Теоремы Лагранжа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704Задачи на условный экстремум. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709

12 МЕРА ЖОРДАНА И КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 715§ 1 Мера Жордана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715

(a) Площадь и объем в школьной геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715Площадь многоугольника. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715Объем геометрической фигуры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720

(b) Теории меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724Парадокс Банаха-Тарского. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724Понятие меры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725

(c) Определение меры Жордана в Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726

Оглавление 13

Мера Жордана в R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726Двоичная сетка, клеточные множества и клеточная мера в R2. . . . . . 726Внутреннее, граничное и инцидентное клеточные множества в R2. . . . 728Измеримые множества и мера Жордана в R2. . . . . . . . . . . . . . . . 731

Мера Жордана в Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733(d) Множества нулевой меры Жордана в Rn и критерий измеримости . . . . . . . 734

Свойства внешней меры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734Множества нулевой меры и их свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734Критерий измеримости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735Измеримость параллелепипеда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736Измеримость шара. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737

(e) Проверка аксиом меры в Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738Аксиома кольца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738Аксиома нормировки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739Аксиома аддитивности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739Следствия из аксиом кольца и аддитивности. . . . . . . . . . . . . . . . . 739Инвариантность меры Жордана относительно движений. . . . . . . . . . 740

(f) Мера Жордана в произвольном евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . 745Определение меры Жордана в евклидовом пространстве. . . . . . . . . . 745Измеримость многогранников: мера, как продолжение объема. . . . . . . 746Искажение меры при линейном преобразовании. . . . . . . . . . . . . . . 746Инвариантность меры Жордана при переходе к внутренности и замы-

канию. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748Компакты нулевой меры и теорема об исчерпывании. . . . . . . . . . . . 749Открытые множества полной меры и теорема о стягивании. . . . . . . . 750

§ 2 Кратные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751(a) Определение и свойства кратного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751

Измеримое разбиение измеримого множества. . . . . . . . . . . . . . . . . 751Последовательности измельчающихся разбиений. . . . . . . . . . . . . . . 752Разбиения, подчиненные покрытию. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752Определение кратного интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753Интегрируемость непрерывной функции на измеримом компакте. . . . . 754Свойства кратного интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755

(b) Вычисление кратных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756Правильные области в Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756Площадь правильной области в R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757Объем правильной области в R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757Доказательство теоремы о мере правильной области. . . . . . . . . . . . 760Переход от двойного интеграла к повторному. . . . . . . . . . . . . . . . 764Переход от тройного интеграла к повторному. . . . . . . . . . . . . . . . 769

(c) Интегралы со значениями в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . 770§ 3 Гладкие, регулярные и полурегулярные отображения компакта . . . . . . . . . . . . . 773

(a) Гладкие отображения компакта и условие Липшица . . . . . . . . . . . . . . . . 773(b) Теоремы Сарда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773

Условие Липшица и его следствия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773Условие Гельдера и его следствия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776Малая теорема Сарда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777Критические точки и критические значения. . . . . . . . . . . . . . . . . 777Большая теорема Сарда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778

(c) Регулярные и полурегулярные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781Гладкие отображения компакта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781Регулярная и сингулярная части отображения. . . . . . . . . . . . . . . . 781Регулярные и полурегулярные отображения. . . . . . . . . . . . . . . . . 785Композиция полурегулярных отображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . 787След отображения в другом отображении. . . . . . . . . . . . . . . . . . 788

(d) Подчиненность, эквивалентность и функция перехода . . . . . . . . . . . . . . . 789Функция перехода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789Регулярно подчиненные отображения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791Вырожденные полурегулярные отображения. . . . . . . . . . . . . . . . . 792

14 Оглавление

Подчиненные полурегулярные отображения. . . . . . . . . . . . . . . . . 794

Эквивалентные полурегулярные отображения. . . . . . . . . . . . . . . . 796

§ 4 Замена переменных в кратном интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796

(a) Теорема о замене переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796

Формулировка теоремы о замене переменных в кратном интеграле. . . . 796

Мера внутренних компактов при полурегулярной замене переменных. . 796

Мера произвольных компактов при полурегулярной замене переменных. 801

Доказательство теоремы о замене переменных. . . . . . . . . . . . . . . . 802

(b) Применение теоремы о замене переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803

Разные замены. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803

Полярные координаты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805

Цилиндрические координаты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806

Сферические координаты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808

13 КРИВАЯ, ЕЕ ДЛИНА И ИНТЕГРАЛЫ ПО КРИВОЙ 811§ 1 Параметризованная кривая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811

(a) Подчиненность, эквивалентность и функция перехода . . . . . . . . . . . . . . . 812

Скалярная подчиненность и скалярная эквивалентность. . . . . . . . . . 812

Ориентированная подчиненность и ориентированная эквивалентность . 815

(b) Разбиения параметризованных кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816

Кривые, пересекающиеся несущественно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816

Разбиения параметризованных кривых. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817

§ 2 Скалярная кривая, ее длина и изотропный интеграл по кривой . . . . . . . . . . . . . 820

(a) Скалярная кривая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 820

Определение скалярной кривой и примеры. . . . . . . . . . . . . . . . . . 820

След подчиненной кривой в области параметров объемлющей кривой. . 823

Разбиение кривой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823

(b) Длина кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824

Определение длины и формула для ее вычисления. . . . . . . . . . . . . 824

Длина вырожденной кривой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826

Аддитивность длины. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826

Длины стягивающихся кривых. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827

Регулярная аппроксимация скалярной кривой. . . . . . . . . . . . . . . . 827

Длина кривой, подчиненной регулярной кривой . . . . . . . . . . . . . . 828

Доказательство формул длины (e) главы 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 828

(c) Изотропный интеграл по кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829

Определение и формула для вычисления изотропного интеграла по кри-вой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829

Изотропный интеграл, как функционал на кривых. . . . . . . . . . . . . 832

§ 3 Ориентированная кривая, ее векторная длина и анизотропный интеграл по кривой . 835

(a) Ориентированная кривая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835

Определение ориентированной кривой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835

Ориентированно подчиненная кривая. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836

Разбиения ориентированных кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836

Измельчающиеся разбиения ориентированных кривых. . . . . . . . . . . 838

(b) Векторная длина ориентированной кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840

Определение векторной длины и ее свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . 840

Аддитивность векторной длины. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841

Связь между скалярной и векторной длиной. . . . . . . . . . . . . . . . . 842

(c) Анизотропный интеграл по кривой и дифференциальные формы степени 1 . . 844

Дифференциальные формы степени 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844

Интеграл от дифференциальной формы степени 1 вдоль кривой. . . . . 845

Анизотропный интеграл, как функционал на кривых. . . . . . . . . . . . 848

Оглавление 15

14 ПОВЕРХНОСТЬ, ЕЕ ПЛОЩАДЬ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ 852§ 1 Параметризованная поверхность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852

(a) Подчиненность, эквивалентность и функция перехода . . . . . . . . . . . . . . . 853Якобиан параметризованной поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853Скалярная подчиненность и скалярная эквивалентность. . . . . . . . . . 854Ориентированная подчиненность и ориентированная эквивалентность. . 855

(b) Разбиения параметризованных поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855Поверхности, пересекающиеся несущественно. . . . . . . . . . . . . . . . 855Разбиения параметризованных поверхностей. . . . . . . . . . . . . . . . . 856

§ 2 Поверхность, ее скалярная площадь и изотропный интеграл по поверхности . . . . . . 858(a) Поверхность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858

Определение поверхности и примеры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858След подчиненной поверхности в области параметров объемлющей по-

верхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858Разбиение поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858

(b) Площадь поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859Определение площади поверхности и формула для ее вычисления. . . . 859Площадь вырожденной поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865Аддитивность площади. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866Площади стягивающихся поверхностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866Регулярная аппроксимация скалярной поверхности. . . . . . . . . . . . . 867Площадь поверхности, подчиненной регулярной поверхности . . . . . . . 867Доказательство формул площади (e) главы 1. . . . . . . . . . . . . . . . . 868

(c) Изотропный интеграл по поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869Определение и формула вычисления изотропного интеграла по поверх-

ности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869Изотропный интеграл, как функционал на поверхностях. . . . . . . . . . 873

§ 3 Ориентированная поверхность, ее векторная площадь и анизотропный интеграл поповерхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876(a) Ориентированная поверхность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876

Определение ориентированной поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . 876Ориентированно подчиненная поверхность. . . . . . . . . . . . . . . . . . 876Разбиения ориентированных поверхностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . 877Измельчающиеся разбиения ориентированных поверхностей. . . . . . . . 878

(b) Векторная площадь ориентированной поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . 880Определение векторной площади и ее свойства. . . . . . . . . . . . . . . 880Аддитивность векторной площади. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882Связь между скалярной и векторной площадью. . . . . . . . . . . . . . . 882

(c) Анизотропный интеграл по поверхности и дифференциальные формы степени 2884Дифференциальные формы степени 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885Интеграл от дифференциальной формы степени 2 вдоль кривой. . . . . 885Анизотропный интеграл, как функционал на поверхностях. . . . . . . . 888

15 ТЕОРЕМА СТОКСА 892§ 1 Дифференциальные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892

(a) Алгебраические свойства дифференциальных форм . . . . . . . . . . . . . . . . 892Конкатенация дифференциальных форм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892Разложение дифференциальной формы по базису. . . . . . . . . . . . . . 893Внешний дифференциал. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894Действие гладкого отображения на дифференциальную форму. . . . . . 897

(b) Интегрирование дифференциальных форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 900Гиперповерхности, их объем и ориентированный объем. . . . . . . . . . . 900Интеграл от дифференциальной формы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902Преобразование гиперповерхностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903

§ 2 Формулы Грина, Стокса и Гаусса-Остроградского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905(a) Ориентация области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906

Полурегулярные области. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906Ориентированные области. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907

(b) Формулы Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910

16 Оглавление

Формула Грина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910Формула