MATEMTICAS PARA INGENIEROSGUA DEL PROFESORSECRETARA DE EDUCACIN PBLICASUBSECRETARA DE EDUCACIN SUPERIOR E INVESTIGACIN CIENTFICASUBSISTEMA DE UNIVERSIDADES TECNOLGICASCOORDINACIN GENERAL DE UNIVERSIDADES TECNOLGICAS ELABOR:GRUPO DE DIRECTORES DE LA CARRERA DE PROCESOS AGROINDUSTRIALES.REVIS:COMISIN ACADMICA NACIONAL DEL REA AGRO-INDUSTRIAL ALIMENTARIA.APROB:COORDINACIN GENERAL DE UNIVERSIDADES TECNOLGICASFECHA DE ENTRADA EN VIGOR:SEPTIEMBRE 2003Revisin no. 0. Fecha de revisin: septiembre, 2003. Pgina 1 de 1927 F-CADI-SA-MA-11-GP-A1I. DIRECTORIODR. REYES TAMES GUERRA SECRETARO DE EDUCACIN PBLICADR. JULIO RUBIO OCASUBSECRETARIO DE EDUCACIN SUPERIOR E INVESTIGACIN CIENTFICADR. ARTURO NAVA JAIMESCOORDINADOR GENERAL DE UNIVERSIDADES TECNOLGICASRECONOCIMIENTOSING. JAVIER TOCHIHUITL VZQUEZ UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE XICOTEPEC DE JUREZING. DIEGO A. GARCA RODRGUEZ UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE XICOTEPEC DE JUREZING. VICTOR MORALES GUZMN UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE XICOTEPEC DE JUREZING. MA. DEL ROSARIO ROSAS C. UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE XICOTEPEC DE JUREZING. ANGELINA ALONSO CAMPOS UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE XICOTEPEC DE JUREZT.S.U. JANET BLANCASUNIVERSIDAD TECNOLGICA DE XICOTEPEC DE JUREZMATEMTICAS PARA INGENIEROS D.R. 20001ESTAOBRA, SUSCARACTERSTICASYDERECHOSSONPROPIEDADDELA: COORDINACINGENERALDE UNIVERSIDADESTECNOLGICAS(CGUT) FRANCISCOPETRARCANo. 321, COL. CHAPULTEPECMORALES, MXICO D.F.LOS DERECHOS DE PUBLICACIN PERTENECEN A LA CGUT. QUEDA PROHIBIDA SU REPRODUCCIN PARCIAL OTOTAL PORCUALQUIERMEDIO, SINAUTORIZACINPREVIAYPORESCRITODEL TITULARDELOS DERECHOS.ISBN (EN TRMITE)IMPRESO EN MXICO.2NDICE# CONTENIDO PGINAI. DIRECTORIO Y RECONOCIMIENTOS 2II. NDICE 3III. INTRODUCCIN DE LA ASIGNATURA 4IV. UNIDADES TEMTICASUNIDAD I. INTRODUCCIN UNIDAD II.ORGANIZACIN Y PRESENTACIN DE DATOSUNIDAD III. MEDIDAS DESCRIPTIVASUNIDAD IV. MODELOS PROBABILSTICOSUNIDAD V.PRUEBAS DE HIPTESISUNIDAD VI. ANLISIS DE LA VARIANZAUNIDAD VII.REGRESIN LINEAL5517295111130148V. REFERENCIAS 177VI. GLOSARIO 177VII. ANEXOSEjercicios1783III. INTRODUCCIN DE LA ASIGNATURADentro de las asignaturas que corresponden al rea de Ciencias Bsicas Aplicadas para la formacin de TcnicoSuperior UniversitarioenProcesos Agroindustriales encontramos ladeMatemticas para ingenieros. Dichaasignaturatieneel objetivode: aplicarherramientasestadsticasenelanlisisde informacinquesegenerademediciones deprocesos alimentarios, paraproponer soluciones en problemasdecontrol decalidadeinterpretar resultadosdeexperimentosrealizados, paraformular conclusiones con nivel de escala probable.El programa que comprende est asignatura esta formada por siete unidades. La primera corresponde a una introduccin a la Probabilidad, la segunda a la Organizacin y presentacin de datos, la tercera a Medidas descriptivas, la cuarta a Modelos probabilsticos, la quinta a Pruebas de hiptesis, la sexta a Anlisis de la varianza y la sptima a Regresin lineal.LaasignaturadeMatemticasparaingenierostienecomofinalidadel estudiodelaProbabilidady Estadstica, as como sus aplicaciones a la resolucin de problemas directamente ligados con la carrera deProcesos Agroindustriales, los cuales estnenfocados hacia el conocimientodelaestadstica propiamente que se utiliza en las empresas. Considerando que las herramientas del control estadstico del procesoparalatomadedecisiones sonconocimientos fundamentales parael futuroTcnico Superior Universitario.4CAPITULO1INTRODUCCINALAPROBABILIDADINTRODUCCINEl alumnoabordarenestaunidadtemticalos conceptos deprobabilidad, aplicndoloal experimento aleatorio yespacio muestral. Conocer ydistinguirunapoblacinde datos, determinando su muestra, ordenando los datos, tabulndolos y graficando estos datos para su interpretacin; estas herramientas estadsticas apoyaran a su formacin, ya que podr ordenar e interpretar un conjunto de datos.OBJETIVO Y CRITERIOS DE APRENDIZAJE Pgina1. -Ilustrar el conceptodeexperimentoaleatorio con el del espacio muestral.1.1Diferenciar el concepto de experimento aleatorio con el del espacio muestral.77DEMOSTRACIN DE HABILIDADES PARCIALES (RESULTADO DE APRENDIZAJE)1.1.1 Distinguir el concepto de experimento aleatorio con el del espacio muestral.OBJETIVO Y CRITERIOS DE APRENDIZAJE2. Definir el concepto de poblacin y muestra2.1Distinguir el concepto de poblacin y muestra.1616DEMOSTRACIN DE HABILIDADES PARCIALES (RESULTADO DE APRENDIZAJE)2.1.1. Usar el concepto de poblacin y muestraOBJETIVO Y CRITERIOS DE APRENDIZAJE3. Definir el concepto de probabilidad y relacionarlo con el de frecuencia relativa.3.1Analizar el concepto de probabilidad y relacionarlo con el de frecuencia relativa.2727DEMOSTRACIN DE HABILIDADES PARCIALES (RESULTADO DE APRENDIZAJE)3.1.1. Utilizar el concepto de probabilidad y relacionarlo con el de frecuencia relativa.OBJETIVO Y CRITERIOS DE APRENDIZAJE4. Definir el concepto de probabilidad y relacionarlo con el de la frecuencia relativa.4.1 Diferenciarelconceptodeprobabilidad y relacionarlo con el de la frecuencia relativa...3232DEMOSTRACIN DE HABILIDADES PARCIALES (RESULTADO DE APRENDIZAJE)4.1.1. Emplearlafrmuladeprobabilidadcondicional enproblemas del mbito profesional donde la ocurrencia de un evento dependa de otroOBJETIVO Y CRITERIOS DE APRENDIZAJE5. Definir el Teorema de Bayes 4555.1Utilizar el teorema de Bayes en problemas del mbito profesional que involucren probabilidades subjetivas.45DEMOSTRACIN DE HABILIDADES PARCIALES (RESULTADO DE APRENDIZAJE)5.1.1. Emplear en problemas del mbito profesional que involucren probabilidades subjetivas y aplicar el teorema de Bayes en su solucin.DEMOSTRACIN DE HABILIDADES FINALESTa. 1 Realizar ejercicios de experimentos aleatorios y obtener el espacio muestral posible.Ta. 2 Realizar ejercicios donde se estime frecuencias relativas a partir de experimentos aleatorios y/o datos de muestrasPa. 1 Elaborar ejercicios donde se emplee la frmula de probabilidad condicional en problemas del mbito profesional donde la ocurrencia de un evento dependa de otro.Pa. 2 Elaborar ejercicios donde se planteen problemas del mbito profesional que involucren probabilidades subjetivas y aplicar el Teorema de Bayes en su solucin6TEMA 1 Objetivo de aprendizaje.1. Ilustrar y relacionar el concepto de experimento aleatorio con el del espacio muestral.Criterio de Aprendizaje.1.1 Diferenciar el concepto de experimento aleatorio con el del espacio muestral. Didctica de enseanza.Ta. 1 Realizar ejercicios de experimentos aleatorios y obtener el espacio muestral posible.La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Fermat y Pascal tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar.ChristianHuygensconocilacorrespondenciaentreBlaisePascalyPierreFermatsuscitadaporel caballeroDeMrypublic(en1657)elprimerlibrosobreprobabilidad:DeRatiociniisinLudo Aleae, (Calculating in Games of Chance), un tratado sobre juegos de azar.Durante el sigloXVIII, debidomuyparticularmente alapopularidadde los juegos de azar, se publicaron varios documentos de este tipo. Jakob Bernouilli (1654-1705) Ars Conjectandi(publicado en1713aunqueescritosobre1690) yAugusteDeMoivre(1667-1754) contribuyerondeforma importante a este desarrollo.En1812PierreLaplacepublicThorieanalytiquedesprobabilitsenel queexponeunanlisis matemtico sobre los juegos de azar. Desde los orgenes la principal dificultad para poder considerar la probabilidad como una rama de la matemticafuelaelaboracindeunateorasuficientementeprecisacomoparaquefueseaceptada comounaformadematemtica. Aprincipiosdel sigloXXel matemticorusoA. Kolmogorovla defini de forma axiomtica y estableci las bases para la moderna teora de la probabilidad que en la actualidad es parte de una teora ms amplia como es la teora de la medida. Enestas notas, entenderemos por experimentoaleatoriocualquier situacinque, realizadaenlas mismas condiciones, sea imposible de predecir el resultado que obtengamos. Experimento Aleatorio: Es aquel que se realiza sin tener el conocimiento previo de los resultados que se obtendrn del mismo.Sern experimentos aleatorios, por ejemplo, los siguientes: Lanzar un dado y considerar el resultado obtenido Extraer una carta (o varias) de una baraja Lanzar dos dados y hallar la suma de cada una de las caras obtenidas Se lanza una moneda. Si sale cara se extrae de una urna U 1, con una determinada composicin de bolas de colores, una bola y si sale cruz de extrae de una urna U 2, con otra determinada composicin de bolas de colores, una bola. A continuacin se considera el color de la bola extrado.7Los tres primeros son ejemplos de experimentos aleatorios simples y el ltimo unejemplo de experimento aleatorio compuestoSe definen las siguientes operaciones con sucesos de un determinado experimento aleatorio Unin de dos sucesos A, Bes el suceso que se verifica si se verifica A o se verifica B o ambos. La unin de los sucesos A y B la designaremos por (A o B) (cuando no haya lugar a confusin lo expresaremos sin parntesis es decir A o B) Interseccin de dos sucesos A, Bes el suceso que se verifica si se verifica A y se verifica B. La interseccindelossucesosAyBladesignaremos por (AyB) (cuandonohayalugar a confusin lo expresaremos sin parntesis es decir A y B) DiferenciadedossucesosA, B es el suceso que se realiza cuando se realiza A y no B. La diferencia de los sucesos A y B la designaremos por A - B = (A y Bc ) Igualmente podemos considerar la diferencia B - A Lanzamos un dado y consideramos los sucesos A = {obtener nmero par} = {2, 4, 6}B = {obtener mltiplo de 3} = {3, 6} Puedes comprobar las operaciones unin, interseccin y diferencias de dichos sucesos pasando el ratn sobre los correspondientes diagramas Unin:{nmeros pares o mltiplos de 3} = {2, 3, 4, 6}Interseccin:{nmeros pares y mltiplos de 3} = {6}8Diferencia B - A{mltiplos de 3 y no nmeros pares} = {3}Diferencia A - B{nmeros pares y no mltiplos de 3} = {2, 4}Puedes comprobar las diferencias simtricas pasando el ratn sobre el diagrama Se lanza una moneda tres veces y se consideran los sucesosA = {salen al menos dos cruces} = {c++, +c+, ++c, +++}B = {sale alguna cara} = {ccc, cc+, c+c, c++, +cc, +c+, ++c} Unin(A o B) = {salen al menos dos cruces o sale alguna cara} = {+++, c++, +c+, ++c, ccc, cc+, c+c, +cc} Interseccin(A y B) = {salen al menos dos cruces y sale alguna cara} = {c++, +c+, ++c} DiferenciasA - B = (A y Bc) = {salen al menos dos cruces y no sale alguna cara}B - A = (B y Ac) = {sale alguna cara y no salen al menos dos cruces} Algunas consideraciones bsicas con sucesos que sern tiles para la resolucin de problemas Sucesos incompatibles y complementarios9Si A es un suceso de un determinado experimento aleatorio cuyo espacio muestral es E, entonces A y su complementario son incompatibles, es decir (A y Ac) = Adems (A o Ac) = E Si lanzamos un dado y A es el suceso A = {obtener mltiplo de 3} = {3, 6}Entonces Ac = {no obtener mltiplo de 3} = {1, 2, 4, 5} por lo que (A o Ac) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E y (A y Ac) = Dos sucesos complementarios sonincompatibles, peroel recproconoes cierto, es decir dos sucesos incompatibles no tienen por qu ser complementarios.Por ejemplo, los sucesos A = {obtener mltiplo de 3} = {3, 6} y B = {obtener mltiplo de 5} = {5} son incompatibles pero no complementarios. DadosdossucesosAyBdeundeterminadoexperimentoaleatorioquenoseanincompatibleslos sucesos (A - B), (B - A) y (A y B) son incompatibles Adems podemos expresar tanto A como B como unin de dos sucesos incompatibles A = (A - B) o (A y B)B = (B - A) o (A y B) Tambin podemos expresar el suceso (A o B) como unin de tres sucesos incompatibles (A o B) = (A - B) o (A y B) o (B - A) Suceso contenido en otro10Consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar tres monedas y los sucesos A = {salen al menos dos cruces} = {c++, +c+, ++c, +++}B = {salen dos cruces} = {c++, +c+, ++c} El suceso B es un subconjunto del suceso A. Si se verifica A necesariamente se verifica B. En este sentido, diremos que el suceso B est contenido en el suceso A.Es interesante observar en el caso anterior que se verifican las inclusiones siguientes: (A y B) est contenido en A(A y B) est contenido en B Leyes de De MorganDos propiedades importantes que, aveces, resultantiles enlaresolucindeproblemas sonlas siguientes:El complementario de launin de dos sucesos es la interseccin de los complementarios de dichos sucesos (A o B) c = Ac y Bc 1. El complementario de lainterseccin de dos sucesos es la unin de los complementarios de dichos sucesos (A y B) c = Ac o Bc Consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar dos dados (o un dado dos veces) y sumar la puntuacin obtenida.E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} El conjunto formado por todas las posibles sumas que pueden obtenerse se denomina Espacio Muestral de dicho experimento aleatorio y suele designarse por E. Cada uno de los elementos de E es un suceso elemental.A partir de dicho subconjunto podemos considerar distintos subconjuntos de E. A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} = {obtener suma par} B = {2, 5, 7, 11} = {obtener una suma que sea nmero primo} C = {10, 11, 12} = {obtener una suma mayor o igual que 10} D = {3, 6, 9, 12} = {obtener suma mltiplo de 3} F = {2, 3} = {que la suma que sea 2 3} = {obtener una suma mayor que 15} suceso imposible E = {Obtener una suma mayor o igual que 2 y menor o igual que 12} suceso seguro M = {7} = {Obtener un 7} Entrelossucesos apuntados, existensucesos simples (oelementales) (por ejemploel M) yotros sucesos compuestos constituidos por varios sucesos elementales. El conjunto de todos estos sucesos, incluidos los sucesos seguro e imposible, se denomina Espacio de Sucesos (constituido por todos los subconjuntos que pueden formarse a partir del espacio muestral E) que suele designarse por P (E). 11Puede probarse que si el nmero de elementos de E es n, entonces P (E) tiene 2 n elementos. A veces, suele ser til utilizar un grfico como el de la figura para hallar el espacio muestral de un determinado experimento aleatorio.El diagrama de rbol de la figura corresponde al experimento aleatorio de lanzar una moneda tres veces (o tres monedas) y considerar el resultado obtenido.El espacio muestral se obtiene fcilmente sin ms que ir recorriendo todas las ramas y es E = {CCC, CC+, C + C, C++, +CC, + C +, ++C, +++} Son sucesos de dichos experimento aleatorio A = {CCC, CC +, C + C, C++, +CC, +C +, ++C} = {obtener al menos una cara} B = {CC+, C + C, +CC} = {obtener dos caras} = {obtener 5 cruces} suceso imposible C = {C++, + C +, ++C, +++} = {obtener ms cruces que caras} Se considera el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda. Si sale cara se extrae de una urnaquecontienebolasazulesyrojas una bola ysi sale cruz seextrae una bola deotraurnaque contiene bolas rojas y verdes.El espacio muestral de dicho experimento aleatorio es E = {(C, R), (C, A), (+,R), (+,V)} 12El espacio de sucesos consta de 2 4 = 16 elementos que sonP (E) = {{(C, R)}, {(C, A)}, {(+, R)}, {(+, V)}, {(C, R), (C, A)}, {(C, R), (+, R)}, {(C, R), (+, V)}, {(C, A), (+, R)}, {(C, R), (+, V)}, {(+, R), (+, V)}, {(C, R), (C, A), (+, R)},{(C, R), (C, A), (+, V)}, {(C, R), (+, R), (+, V)}, {(C, A), (+, R), (+, V)}, , E} Experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de dos dados (o un dado dos veces). Espacio muestral del experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de dos dados (o un dado dos veces) y observar el resultadoComo E tiene 36 elementos el espacio de sucesos tiene 236 sucesos.En el experimento aleatorio del lanzamiento de dos dados, el suceso la suma obtenida sea 7 es S = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} 13Enelexperimentoaleatoriodellanzamientodedosdados,el sucesolasumaobtenidaesnmero primo es S = {(1,1), (1,2), (2,1), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (5,6), (6,5)} Enel experimentoaleatoriodel lanzamientodedosdados, el sucesoenlosdoslanzamientosse obtiene nmero primo es S = {(2,2), (2,3), (2,5), (3,2), (3,3), (3,5), (5,2), (5,3), (5,5),} Complementario de un suceso A es el suceso que se verifica si no se verifica A.El complementario de A, lo designamos por Ac y tambin por (no A) En el experimento aleatorio consistente en lanzar dos dados y considerar la suma de ambos, los sucesos {obtener suma par} y {obtener suma impar} son complementarios. Tambin son complementarios los sucesos {obtener suma mayor o igual que 5} y {obtener suma menor que 5}. En el experimento aleatorio consistente en lanzar dos monedas los sucesos {obtener al menos una cara} y {no obtener ninguna cara} son complementarios. 14El complementario del suceso A = {en los dos lanzamientos se obtiene nmero primo} (en amarillo) es el suceso B = {en alguno de los dos lanzamientos (o en ambos) no se obtiene nmero primo} (en verde) Evidencia parcialTa. 1 Realizar ejercicios de experimentos aleatorios y obtener el espacio muestral posible.Evaluacin parcialEntrega de Ta.115TEMA 2Objetivo de aprendizaje.2. Definir el concepto de poblacin y muestra.Criterio de Aprendizaje.2.1 Distinguir el concepto de poblacin y muestra.Didctica de enseanza. Poblacin:es el conjuntodedatos quecaracteriza el fenmenoquesedeseaestudiar.Una poblacin est determinada por sus caractersticas definitorias. Por lo tanto, el conjunto de elementos que posea esta caracterstica se denomina poblacin o universo. Poblacin es la totalidad del fenmeno a estudiar, donde las unidades de poblacin poseen una caracterstica comn, la que se estudia y da origen a los datos de la investigacin. Muestra: es un subconjunto de la poblacin a estudiar, el cual es necesario que sea representativo de toda la poblacin.Entonces, una poblacin es el conjunto de todas las cosas que concuerdan con una serie determinada de especificaciones. Un censo, por ejemplo, es el recuento de todos los elementos de una poblacin.Cuandoseleccionamos algunoselementosconlaintencindeaveriguar algosobreunapoblacin determinada, nos referimos a este grupo de elementos como muestra. Por supuesto, esperamos que lo queaveriguamos enla muestra seaciertopara lapoblacinensuconjunto. La exactituddela informacin recolectada depende en gran manera de la forma en que fue seleccionada la muestra.Cuandonoesposiblemedir cadaunodelos individuos deunapoblacin, setomaunamuestra representativa de la misma.Lamuestradescansaenel principiodequelas partes representanal todoy, por tal, reflejalas caractersticas que definen la poblacin de la que fue extrada, lo cual nos indica que es representativa. Por lo tanto, la validez de la generalizacin depende de la validez y tamao de la muestra.Leyes del mtodo de muestreo.El mtodo de muestreo se basa en ciertas leyes que le otorgan su fundamento cientfico, las cuales son: Ley de los grandes nmeros: si en una prueba, la probabilidad de un acontecimiento o suceso es P, y si ste se repite una gran cantidad de veces, la relacin entre las veces que se produce el suceso y la cantidad total de pruebas (es decir, la frecuencia F del suceso) tiende a acercarse cada vez ms a la probabilidad P. Clculo de probabilidades: La probabilidad de un hecho o suceso es la relacin entre el nmero de casos favorables (p) a este hecho con la cantidad de casos posibles, suponiendo que todos los casos son igualmente posibles. El mtodo de establecer la probabilidad es lo que se denomina clculo de probabilidad. Deestas dos leyes fundamentales delaestadstica, seinfierenaquellas quesirvendebasems directamente al mtodo de muestreo: 16 Ley de la regularidad estadstica: un conjunto de n unidades tomadas al azar de un conjunto N, es casi seguro que tenga las caractersticas del grupo ms grande. Ley de la inercia de los grandes nmeros: esta ley es contraria a la anterior. Se refiere al hecho de que en la mayora de los fenmenos, cuando una parte vara en una direccin, es probable que una parte igual del mismo grupo, vare en direccin opuesta. Leydelapermanenciadelosnmerospequeos:siunamuestrasuficientementegrandees representativa de la poblacin, una segunda muestra de igual magnitud deber ser semejante a la primera; y, si en la primera muestra se encuentran pocos individuos con caractersticas raras, es de esperar encontrar igual proporcin en la segunda muestra.Tipos de muestras.Muestreo aleatoriosimple:la forma ms comn de obtener una muestra es la seleccin al azar. Es decir, cada uno de los individuos de una poblacin tiene la misma posibilidad de ser elegido. Si no se cumpleesterequisito, sediceque la muestra es viciada.Para tener la seguridad de que la muestra aleatoria no es viciada, debe emplearse para su constitucin una tabla de nmeros aleatorios.Muestreo estratificado:una muestra es estratificada cuando los elementos de la muestra son proporcionales a su presencia en la poblacin. La presencia de un elemento en un estrato excluye su presencia en otro. Para este tipo de muestreo, se divide a la poblacin en varios grupos o estratos con el findedar representatividadalos distintos factores queintegranel universodeestudio. Parala seleccin de los elementos o unidades representantes, se utiliza el mtodo de muestreo aleatorio.Muestreo por cuotas:se divide a la poblacin en estratos o categoras, y se asigna una cuota para las diferentes categoras y, a juicio del investigador, se selecciona las unidades de muestreo. La muestra debe ser proporcional a la poblacin, y en ella debern tenerse en cuenta las diferentes categoras. El muestreo por cuotas se presta a distorsiones, al quedar a criterio del investigador la seleccin de las categoras.Muestreo intencionado: tambin recibe el nombre de sesgado. El investigador selecciona los elementos queasujuiciosonrepresentativos, loqueexigeunconocimientopreviodelapoblacinquese investiga.Muestreomixto:secombinandiversos tipos demuestreo. Por ejemplo: sepuedeseleccionar las unidades de la muestra en forma aleatoria y despus aplicar el muestreo por cuotas.Muestreo tipo: la muestra tipo (master simple) es una aplicacin combinada y especial de los tipos de muestraexistentes. Consisteenseleccionar unamuestra"paraserusada"al disponerdetiempo, la muestraseestableceempleandoprocedimientos sofisticados; yunavezestablecida, constituirel mdulo general del cual se extraer la muestra definitiva conforme a la necesidad especfica de cada investigacin.Parailustrar, tomemosel siguienteejemplo: Supngasequesetienenqueestudiar lasedadesuna poblacin de radioescuchas, por ser tan grande la cantidad de ellos, solamente se encuestan a 350 de ellos, los cuales en este caso sern la muestra de dicha poblacin.17Las muestras representativas de su poblacin son aquellas que poseen las mismas caractersticas de la poblacin que se desea estudiar.Las poblaciones pueden ser finitas o infinitasPoblaciones infinitas:Todos los juegos o fenmenos cuyos resultados estn indeterminados cuantitativamente aquellas poblaciones que por su gran nmero de elementos, resulta prcticamente imposible trabajar con todos ellos.Poblaciones finitas:Todos los juegos o fenmenos cuyos resultados estn determinados cuantitativamente, ya que se pueden conocer cantidades especficas.Funcin: Es establecer una relacin entre dos elementos distintos, como son poblacin y tiempo, con base en esto podemos decir que la poblacin esta en funcin del tiempo: p= f (t),tambin recibe el nombre defuncin explcita, y consta de una variableindependiente(t), y una variable dependiente(p).As podemosdecir queB=aunafuncinimplcitayaqueconstadedosvariables independientes (p,t), esto quiere decir: que B esta en funcin del paso del tiempo, es decir : B=f(p.t).Grfica:Unagrfica esuna representacin de la relacin entre variables, muchos tipos de grficos aparecen en estadstica, segn la naturaleza de los datos involucrados y el propsito de la grfica, es la de representar los valores tabulados obtenidos de los muestreos o los datos del total de lapoblacin.Constante:Un elemento constante es aquel que durante un intervalo definido siempre va a valer lo mismo, conservando sus caractersticas.Variable: Es un elemento que durante un intervalo definido se va a comportar de distintas formas. Las variables que se manejan en estadstica moderna son aleatorias.Variable Aleatoria: Es aquella que al tener una funcin se asigna un nmero real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio.Existen Variables continuas y Variables discretas.Variable Continua: Es un rango que puede concebirse como un continuo de valores.Variables discretas: Son aquellas que toman determinado valor exacto como: El No. De hijos de una familia.Ecuacin: Las ecuaciones son enunciados del tipo A = B donde A = miembro lado izquierdo, y B = miembro derecho al cual sele pueden hacer una serie de operaciones.Filas de datos:Consiste en datos que no han sido ordenados y que simplemente han sido tomados como tal. Un ejemplo sera:Estatura de los estudiantes, que posteriormente se agrupan numricamente.Ordenacin: Consiste en ordenar datos en forma creciente y decreciente y la diferencia entre el mayor y el menor de los datos recibe el nombre de rango.Distribucin de frecuencia:18Al resumir grandes colecciones de datos, es til distribuirlos en clases o categoras, y determinar el nmero de individuos que pertenecen a cada clase llamado frecuencia de clase.Una disposicin tabular de los datos por clases junto con las frecuencias correspondientes de clase se llama distribuidores de frecuencia o tablas de frecuencia.Tipos de intervalos: Un intervalo de clase que, al menos en teora carece de Limite Superior o Limite Inferiorindicado. Se llama intervalo de Clase Abierto, ejemplo:refirindonos a edades de 65 aos o ms.Muestras con remplazamiento y sin remplazamientoSupngasequef(x)esunapoblacin, dondeX1,X2,X3...Xnsonlasmuestras. Sedicequeesuna muestra X1sin remplazamiento,si X1se analiza sin regresarla a la poblacin, si por el contrario se analiza la muestra y se regresa a la poblacin antes de realizar cualquier otro experimento, ser una muestra con remplazamiento.Ejemplo 1)Supngase que se tienen 12 canicas4 ROJAS4 VERDES4 NEGRASQu probabilidad existe de extraer una canica roja, con remplazamiento y sin remplazamiento?a) Con remplazamiento:4 / 12b) Sin remplazamiento:4 / 11Variables aleatoriasmuestras aleatoriasSuponga una poblacin f(x) donde X1, X2, X3,...,Xn son las muestras.Se llama muestreo sin reemplazo cuando de una poblacin tomamosXmuestras sin devolverlas.Se llama muestreo con reemplazo cuando una poblacin f ( x ) toma una o varias muestras ingresndola a la poblacin.Suponga una poblacin f( x )donde f( x ) son 1000 resistencias de diferentes valores, si tomamos de muestras 10 resistencias las analizamos y posteriormente las regresamos estamos hablando de muestras con remplazamiento, esto sera un ejemplo de poblacin infinita que resulta de una poblacin finita.Muestras Aleatorias:Lgicamente la confiabilidad de las conclusiones extradas concernientes a una poblacin depende de si la poblacin ha sido escogida correctamente de tal modo de que represente la poblacin lo 19X1 X2X3 X4Xnsuficientemente bien, uno de los problemas importantes de la diferencia estadstica es como recoger una muestra.Una forma de hacer esto para poblaciones finitas es asegurarse de que cada miembro de la poblacin tenga igual oportunidad de encontrarse en la muestra lo cual se conoce como muestra Aleatoria.Ejemplos de Poblacin, muestra y conceptosEjemplo 1:Determine si se trata de poblacin finita o infinita: a) Poblacin de libros de la biblioteca de la UT.Poblacin finita, porque el nmero de libros se puede contar. b) Poblacin de varones de Mxico entre 18 y 22 aos. La poblacin es muy grande pero se puede contar por lo tanto es finita. Para contabilizar el nmero de varones entre 18 y 22 aos se puede recurrir al INEGI, que es la oficina de censo de la poblacin y la vivienda y se podra obtener la informacin requerida. c) Poblacin de todas las personas que podran tomar aspirinas. La poblacin es infinita. d) Poblacin de todos los focos de 40 watts que sern producidos por la compaa Sylvania. La poblacin es infinita, no puede predecirse cual ser la produccin.Ejemplo 2 :a) Escribe mnimo 3 ejemplos de variables cualitativas o atributivas (VA), de variables cuantitativas continuas (VCC), y variables cuantitativas discretas (VCD): VA===>Personalidad, carcter, paciencia, I.D. decadaalumno(aunqueesunnmeroenteroes atributo de una persona), nmero de empleado, RFC. VCC ===> Edad, peso, altura, estatura, temperatura, calificaciones, promedio, medida de inteligencia.VCD ===> Hijos, propiedades, 1 ao, nmero de parientes, nmero de produccin de autos, nmero de alumnos, nmero de calculadoras vendidas, carreras, universidades, unidades de las materias b) Una muestra que consta de 4 personas en un gimnasio fue cuestionada sobre "el color de short que gustaba vestir para hacer ejercicio", la "marca" y la "talla" que usa. Los datos recolectados fueron:Short de color rojo, verde, negro y azul. Estos datos fueron reescritos con clave: Verde = 2, lila = 3 y azul = 3, rojo = 4 Las tallas fueron: 38, 32, 36, 34 Las marcas fueron: Cristian Dyor, Guess, Love y Patito respectivamente.20Detectar las variables, el promedio de cada variable y el tipo de variable. Solucin: P1) Se detectan las variable V1 = Color del short V2 = Marca V3 = Talla P2) La V1 (Color del short) es cualitativa multinomial. P3) PromedioA pesar de que los datos fueron reescritos como 1, 2, 3, 4, no tendra sentido encontrar el promedio de la muestra sumando y dividiendo entre 4: (verde + lila + azul + rojo)/4 o como (1 + 2 + 3 + 4)/4. Esto ltimo a pesar de ser un nmero sigue siendo variable cualitativa y el resultado del promedio no tiene sentido.P4) La V2 (Marca) es cualitativa multinomial. P5) Promedio. Obtener el promedio de las marcas no tiene sentido. P6) La V3 (Talla) es cuantitativa discreta. P7) Promedio. (38 + 32 + 36 + 34)/4 = 35 Ejemplo3:a) Un fabricante de medicamentos est interesado en la proporcin de personas que padecen hipertensin(presinarterial elevada) cuyacondicinpuedasercontroladaporunnuevoproducto desarrollado por la empresa. Se condujo un estudio en el que participaron 5000 personas que padecen dehipertensin, yseencontrque80%delas personas puedencontrolar suhipertensinconel medicamento. Suponiendo que las 5000personas son representativas del grupo de hipertensin, conteste las siguientes preguntas:1) Cul es la poblacin? 2) Cul es la muestra? 3) Identifique el parmetro de inters 4) Identifique la estadstica y proporcione su valor 5) Se conoce el valor del parmetro? Solucin: 1) Cul es la poblacin? Todas las personas que padecen hipertensin (presin arterial elevada), cuya presin pueda ser controlada por un nuevo producto desarrollado por la empresa. 2) Cul es la muestra? Un estudio de 5000 personas que padecen de hipertensin. 213) Identifique el parmetro de inters. La proporcin de la poblacin que padecen hipertensin y que puede ser controlada por un nuevo producto desarrollado por la empresa. Dicho de otra manera, es la proporcin de la poblacin para la que es eficaz el medicamento.4) Identifique la estadstica y proporcione su valor. La proporcin de la poblacin para la que es eficaz el medicamento es del 80%.5) Se conoce el valor del parmetro? No se conoce y difcilmente se puede encontrar.b) Un comuniclogo desea calcular el "rating" del noticiario de "Joaqun Lpez Doriga". Se condujo un estudioenelqueparticiparon1000televidentes, yseencontrqueel60%delaspersonasvenel noticiario. Suponiendo que las 1000 personas son representativas del grupo de televidentes, conteste las siguientes preguntas:1) Cul es la poblacin? 2) Cul es la muestra? 3) Identifique el parmetro de inters 4) Identifique la estadstica y proporcione su valor Solucin: 1) Cul es la poblacin? Todos los televidentes.2) Cul es la muestra? Un estudio de 1000 televidentes. 3)Identifiqueel parmetrodeinters. El "rating"del noticiariodeJoaqunLpezDoriga". Ola proporcin de la poblacin que ve el noticiario de Joaqun Lpez Doriga".4) Identifique la estadstica y proporcione su valor. La proporcin de la poblacin que ve el noticiario de Joaqun Lpez Doriga" es del 60%.c) Un tcnico de control de calidad selecciona piezas ensambladas de una lnea de montaje y registra la siguiente informacin de cada pieza: A: Defectuosa o no defectuosa B: El nmero de identificacin del trabajador que ensambl la pieza C: El peso de la pieza 1) Cul es la poblacin? 2) La poblacin es finita o infinita? 3) Cul es la muestra? 4) Clasifiquelas respuestas paracadaunadelas tres variables comodevariables cualitativas o atributivas (VA), de variables cuantitativas continuas (VCC), y variables cuantitativas discretas (VCD): Solucin: 1) Cul es la poblacin? Todas las piezas ensambladas de una lnea de montaje. 222) La poblacin es finita o infinita? Infinita. 3) Cul es la muestra? Las piezas seleccionadas y ensambladas de una lnea de montaje. 4) Clasifique las respuestas para cada una de las tres variables como variables cualitativas o atributivas (VA), de variables cuantitativas continuas (VCC), y variables cuantitativas discretas (VCD): A: Defectuosa o no defectuosa. VA. Variable atributiva binomial. B:El nmero de identificacin del trabajador que ensambl la pieza. VA. Variable atributiva Multinomial. C: El peso de la pieza. VCC. d) Se hizo un estudio con 500 estudiantes de la UDLA y se registro la siguiente informacin de cada uno: A: Nmero de identificacin (ID) B: Edad C: Estatura D: Asiste "Si" o "No" a discotecas los jueves en la noche Suponiendo que los 500 estudiantes son representativos de este estudio, se encontr que el 70 % asiste a discotecas los jueves en la noche. Conteste las siguientes preguntas 1) Cul es la poblacin? 2) Cul es la muestra? 3) Identifique el parmetro de inters. 4) Identifique la estadstica y proporcione su valor. 5) Clasifiquelas respuestas paracadaunadelas tres variables comodevariables cualitativas o atributivas (VA), de variables cuantitativas continuas (VCC), y variables cuantitativas discretas (VCD). Solucin: 1) Cul es la poblacin? Todos los estudiantes de la UT. 2) Cul es la muestra? 500 Nmero de estudiantes de la UT. 3) Identifique el parmetro de inters. La proporcin de la poblacin que asiste a una discoteca. 4) Identifique la estadstica y proporcione su valor. La proporcin de la poblacin que asiste a una discoteca cuyo porcentaje es del 70%. 5) Clasifiquelas respuestas paracadaunadelas tres variables comodevariables cualitativas o atributivas (VA), de variables cuantitativas continuas (VCC), y variables cuantitativas discretas (VCD). A: Nmero de identificacin (ID). VA. Variable atributiva Multinomial. 23B: Edad. VCC C: Estatura. VCC D: Asiste "Si" o "No" a discotecas los jueves en la noche. Variable atributiva Binomial. Nmero de estudiantes de la UT que va a las discotecas los jueves en la noche. Al contabilizar las respuestas "Si" o "No" asiste a discotecas los jueves en la noche, se convierte en el nmero de estudiantes que va las discotecas. VCD e) Un estudio est interesado en determinar algo sobre el promedio del valor en $ de las computadoras que pertenecen al cuerpo docente de la UT. Diga: 1) Cul es la poblacin? 2) La poblacin es finita o infinita? 3) Dar una muestra 4) Cul es la variable? 5) Que tipo de variable es la variable? 6) Dar un dato 7) Dar todos los datos de la muestra 8) Cul es el experimento? 9) Cul es el parmetro? 10) Cul es la estadstica que se encuentra? Solucin: 1) Cul es la poblacin? Coleccin de todas las computadoras que pertenecen a todos los miembros del cuerpo docente de la universidad. 2) La poblacin es finita o infinita? El nmero de profesores de la UT puede contarse, por lo que se trata de una poblacin finita. 3) Dar una muestra Cualquiersubconjuntodeesapoblacin.Por ejemplo,todas las computadoras que pertenecen a los profesores del departamento de Ingeniera en Sistemas Computacionales. 4) Cul es la variable? "El valor en $ de cada computadora en particular" 5) Que tipo de variable es la variable? Variable cuantitativa continua (VCC) 6) Dar un dato Por ejemplo la computadora de la "Doctora Pilar Gmez" que est valuada en $15,000. 7) Dar todos los datos de la muestra 9 personas constituyen el departamento de Ingeniera en Sistemas Computacionales, cuyas computadoras valen:$15000, $20000, $18000, $35000, $22000, $16000, $30000, $25000, $8000 8) Cul es el experimento? 24Los mtodos aplicados para seleccionar las computadoras que integran la muestra y determinar el valor de cada computadora de la muestra. El mtodo aplicado fue preguntando a cada miembro del departamento. Otra forma de realizarlo sera preguntando por medio de un memorndum o por medio de un e-mail. 9) Cul es el parmetro? Es sobre el que se est buscando informacin, es decir, el promedio del valor de todas las computadoras de la poblacin: prom = (15000 + 20000 + 18000 + 35000 + 22000 + 16000 + 30000 + 25000 + 8000)/9 = prom = $21,00010) Cul es la estadstica que se encuentra? Es el valor promedio de todas las computadoras de la muestra f) La siguiente tabla representa las caractersticas de todos los empleados de tiempo completo de la fbrica de Shampoo "Patito" al 1o. de enero del ao en curso. No. de empleadoEmpleados Color ojosSexo Puesto Aos de ServicioSalario Anual en $1 Ana azul M Ingeniero 2 700002 Miguel caf H Comuniclogo 10 700003 Andrea negro M Mecnico 23 650004 Jorge negro H Secretaria 5 200005 Eva azul M Obrera 8 180006 Alejandro verde H Vigilante 10 140007 Teresa negro M Obrera 2 180008 Susana caf M Conserje 7 12000Diga: 1) Cul es la poblacin? 2) La poblacin es finita o infinita? 3) Dar una muestra 4) Cul es la(s) variable(s)? 5) Que tipo de variable(s) es (son)? 6) Dar un dato 7) Dar todos los datos de una muestra Solucin: 1) Cul es la poblacin? Es posible obtener en este ejemplo varias poblaciones, dado que hay 6 variables (los encabezados de las columnas), esta tabla contiene 6 poblaciones. Las poblaciones son: PoblacindeempleadosporNmerodeempleado, lapoblacindeempleadosporColorojos, la poblacin de empleados por Sexo, la poblacin de empleados por Puesto, la poblacin de empleados por Aos de Servicio y la poblacin de empleados por Salario Anual. 252) La poblacin es finita o infinita? Todas las poblaciones constan de 8 empleados por lo que es finita. 3) Dar una muestra Los ltimos 3 salarios de la poblacin de empleados por Salario Anual. 4) Cul es la(s) variable(s)? Los encabezados de las columnas 1 y de la 2 a la 6 muestran algunas caractersticas de las unidades elementales (personas) que son precisamente las variables: nmero de empleado, color de ojos, sexo, puesto, Aos de Servicio y Salario Anual. 5) Que tipo de variable(s) es (son)? Variables Cualitativas: Nmero de empleado, color de ojos, sexo, puesto. Variables Cualitativas Binomial: sexo Variables Cualitativas Multinomiales: Nmero de empleado, color de ojos, puesto. Variables Cuantitativas: Aos de Servicio y Salario Anual. Variables Cuantitativas Discretas: No hay. Variables Cuantitativas Continuas: Aos de Servicio y Salario Anual. 6) Dar un dato Sueldo anual = $65000 7) Dar todos los datos de una muestra Los ltimos 3 salarios de la poblacin de empleados por Salario Anual, son: $1400, $18000, $12000 26TEMA 3Objetivo de aprendizaje.3. Definir el concepto de probabilidad y relacionarlo con el de frecuencia relativa.Criterio de Aprendizaje.3.1 Analizar el concepto de probabilidad y relacionarlo con el de frecuencia relativaDidctica de enseanza.Ta. 2 Realizar ejercicios donde se estime frecuencias relativas a partir de experimentos aleatorios y/o datos de muestrasSupngase un experimento cualquiera, por ejemplo, el nmero dos en el lanzamiento de un dado. El conjunto de todos los resultados posibles se llama universo o espacio de la muestra, en este caso, los nmeros de 1 a 6 en el lanzamiento del dado en cuestin.Usualmente se utiliza el concepto de frecuencia para ilustrar el concepto de probabilidad. Supngase que se estudian n resultados de un experimento, de los cuales m se consideran ocurrencias exitosas de un resultado deseado,E y P(E) denota la probabilidad de ocurrencia de dicho resultado; la relacin entreel nmeroderesultados exitososmyel nmeroderesultados posiblesn, es unamedida aproximada de la probabilidad de ese resultado, es decir:Esto es rigurosamente cierto cuando n es muy grande. Ms formalmente, se deber escribir as:Donde:P(E): Probabilidad que el resultado E ocurra.E: Resultado que interesa analizar.M: Nmero de veces que ocurre E.n: Nmero de veces que se ejecuta el experimento.Por ejemplo, si se desea saber cul es la probabilidad de ocurrencia de que aparezca el nmero 2 en la cara superior cuando se lanza un dado, se podran hacer lanzamientos seguidos y anotar cuntas veces aparece cada nmero, en particular el 2. Si esto se repite varias veces, entonces la relacin entre el nmero de veces que apareci el 2 y el nmero de lanzamientos ser un estimativo de la probabilidad. Esta frecuencia relativa tiende a un nmero; en el caso de un dado que no est cargado, esta frecuencia tiende a 1/6.Una variable aleatoria est definida por una funcin que asigna un valor de dicha variable aleatoria a cada punto del universo. Por ejemplo, la variable aleatoria puede ser el valor que aparezca en la cara superior del dado, o el cuadrado de este valor, etc. En este ejemplo, E=2, m es el nmero de veces que aparece el nmero 2 y n es el nmero de lanzamientos.Propiedades bsicas de la probabilidad27A continuacin se presentan algunas propiedades bsicas de la probabilidad.1) La probabilidad de un resultado del universo es una cantidad menor o igual que uno y mayor o igual que cero. Esto se explica porque la probabilidad est definida por la proporcin entre un nmero de casos exitosos y el nmero total de casos. El nmero de casos exitosos es menor que el nmero total de casos. EjercicioLanzar una moneda 50 veces. Construir y completar en la hoja de clculo la siguiente tabla de ejemplo: Construir una grfica de los resultados con n en las abcisas y m/n en las ordenadas, como se ilustra a continuacin.FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA DEL LANZAMIENTO DE UNA MONEDA2) La probabilidad de un resultado que no puede ocurrir, o sea que no pertenece al universo, es cero.3) La probabilidad del universo es uno. Es decir, la probabilidad de que ocurra alguno de los resultados de todo el conjunto posible de ellos esP(E1+E2+...+Em)y es igual a 1, donde (E1,E2,...,Em), son todos los resultados posibles, mutuamente excluyentes y exhaustivos del universo.Nota: Se dice que unos resultados son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de cualquiera de ellos elimina la ocurrencia de cualquier otro.Todos los resultados posibles mi suman n, o sea:28m1+m2+m3+...mk = n(3)Si esta ecuacin se divide por n, entonces la suma de las frecuencias relativas es igual a 1.m1/n+m2/n+m3/n+...mk/n = n/n = 1(4)As pues en el lmite:P(E1)+P(E2)+P(E3)+...P(Ek) = 1(5)4) SiEyFsonresultadosmutuamenteexcluyentes, oseaqueslounodeellospuedeocurrir, entonces laprobabilidaddequeocurraEoFesP(E+F) =P(E) +P(F). Nuevamente, enel lanzamiento de un dado de seis caras numeradas de 1 a 6, slo un nmero aparecer en la cara superior, por lo tanto, los resultados (E2) y (E6), o sea que aparezca 2 en un caso o que aparezca 6 en el otro, son resultados mutuamente excluyentes. La probabilidad de que ocurra E2 o E6 es de 1/6+1/6 o sea, 1/3.5) Si E y F son resultados independientes, esto es, que la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro, la probabilidad de que ocurran simultneamente P(EF), es P(E) x P(F). Tomando como ejemplo el dado de seis caras, el hecho que en el primer lanzamiento del dado aparezca un 2, no influye para que en el segundo lanzamiento aparezca cierto nmero; los lanzamientos son resultados independientes. Entonces, laprobabilidaddequeenel primer lanzamientoaparezcaun2yenel segundo aparezca un 6 ser 1/6x1/6, o sea, 1/36.NOTA: Obsrvesequecuandosetrataderesultadosmutuamenteexcluyentesysedeseasaber la probabilidad de que uno de los dos ocurra, se expresa con frases ligadas por o; en el caso de resultados independientes y si se desea calcular la probabilidad de que ambos ocurran, las frases se ligan con y. Estas propiedades son formales pero coinciden con las nociones intuitivas de probabilidad.Eventos y sus probabilidadesEn la realidad los hechos no son tan simples como en el ejemplo del dado. Ocurren combinaciones que complican un poco la situacin. El clculo de sus probabilidades es ms complejo.Eventos y sus probabilidadesLa realidad es compleja y ocurren combinaciones de resultados; la combinacin de varios resultados origina un evento. A travs de un ejemplo se ilustrar esta idea.EjemploSupngase que se desea analizar los resultados de una inversin $1.000 a tres aos. El resultado de cada ao es la ocurrencia de un ingreso por valor de $600 o $0. Los resultados posibles son:(NNN) = m1(NNS) = m2(NSN) = m3(NSS) = m4(SNN) = m5(SSN) = m6(SNS) = m7(SSS) = m8El orden de las letras se refiere ao 1, 2 3 y S indica si hay ingreso y Nsi no lo hay.29(NSS) significa un flujo de caja como este:Y as para los dems casos. Las probabilidades de que el resultado sea cero son:P(N)1 = ,3P(N)2 = ,3P(N)3 = ,3NOTA: Se supone que los eventos son independientes entre s. Esto significa que el resultado positivo deunaonoinfluyeenlaprobabilidaddeque, enlosaossiguientes, el resultadoseatambin positivo. Esto en la realidad puede que no ocurra. Sin embargo, para efectos del anlisis, se har caso omiso de esta consideracin.Entonces, las probabilidades asociadas a cada resultado combinado son:Estos resultados se denominarn puntos. Los eventos sern una combinacin cualquiera de puntos. As se puede pensar en el evento, por lo menos un ao con ingreso, el cual incluira los puntos m2, m3,30m4, m5, m6, m7 y m8, o en el evento a lo sumo un ao con ingreso cero, el cual incluira los puntos m4, m6, m7 y m8.Si la probabilidad de que ocurra el ingreso es diferente a 70%, hay que introducir los valores adecuados en los clculos.La probabilidad de estos eventos ser la suma de la probabilidad de los puntos. En el primer evento, la probabilidad ser de:0,063+0,063+0,147+0,063+0,147+0,147+0,343 = 0,973En el segundo caso de:0,147+0,147+0,147+0,343 = 0,784Evidencia parcialTa. 2 Realizar ejercicios donde se estime frecuencias relativas a partir de experimentos aleatorios y/o datos de muestrasEvaluacin parcialEntrega de Ta.231TEMA 4Objetivo de aprendizaje.4. Definir el concepto de probabilidad y relacionarlo con el de la frecuencia relativa.Criterio de Aprendizaje.4.1. Diferenciar el concepto de probabilidad y relacionarlo con el de la frecuencia relativa.Didctica de enseanza.Pa. 1 Elaborar ejercicios donde se emplee la frmula de probabilidad condicional en problemas del mbito profesional donde la ocurrencia de un evento dependa de otro.Probabilidad condicionalGeneralmente hablando, la probabilidad condicional de un evento A dado otro evento B, denotada P(A|B) es la probabilidad de que el evento A ocurra cuando sabemos que el evento B ocurri. Esta es razn por la cual se llama condicional a esta probabilidad. La probabilidad de que el evento A ocurra est condicionada por la ocurrencia de B. Esta informacin adicional sobre A se incluye en el cmputo de su probabilidad condicional cuando analizamos los resultados posibles que se pueden observar cuando sabemos que B ha ocurrido.Probabilidad condicional como la razn de dos reasEn algn punto de nuestras vidas, hemos jugado tirando dardos a un tablero. Supongamos que tenemos un tablero como el de al lado y tiramos un dardo. Usualmente, mientras ms cerca del centro aterrice el dardomspuntosanotamos. Si sabemosqueel dardoaterrizenA, cunprobableesquehaya aterrizado en B?Porsimplicidad, supondremosquetenemosmuybuenapunterayqueel dardosiemprecaeenel tablero S. Esto significa que la probabilidad de que el dardo aterrice en el tablero es 1. Suponemos adems, que S, A, B, C se refieren a los discos completos y no tan slo a la franja. As S es un disco que contiene al disco A, el que a su vez incluye el disco B. Este ltimo incluye el disco C.Podemos relacionar la probabilidad de que un dardo aterrice en cualquier regin directamente al rea de la regin. Les asignaremos probabilidades a las varias regiones en la tabla tomando la razn del rea de la regin al rea del tablero. Esta asignacin es razonable, ya que mientras ms grande es la regin, ms probable debe ser que el dardo aterrice all. Estamos considerando el rea del tablero S como una unidad contra la cual comparar las otras reas, adems, si comparamos el rea de S consigo misma obtendremos una razn de 1, por esto es razonable decir que el rea de S es igual a su probabilidad, 1. Con esta suposicin, el rea de cada disco es igual a la probabilidad de que el dardo caiga en el disco.32Denotaremoseleventoqueeldardo aterrice en la regin S, A, B o C por el nombre de la regin. Supongamos que la razn del rea de regin A a S es 1/2, de la regin B a S es 1/10 y de la regin C a S es 1/60. Segn la asignacin de probabilidad que hicimos, tenemos que P(A) = 1/2, P (B) = 1/10, P (C) = 1/60 y P (S) = 1.Ahorahacemosel siguienteexperimento: igual queconel juegodecolocar lacolaal burro, nos vendamoslosojosylanzamos el dardo. UnjueznosdicequeaterrizenlareginA. Entonces preguntamos cul es la probabilidad de que haya aterrizado en B? Si no hacemos uso del hecho de que eldardoaterrizenA, contestaremoslaprobabilidadbuscadaes1/10. Perosabemosqueel dardo aterriz en A, que B est contenido totalmente en A y que el rea de B es una quinta parte del rea de A, entonces la respuesta correcta es 1/5, estableciendo que P (B|A) = (1/10)/(1/2) = 1/5.Esta expresin se justifica con el siguiente argumento. Como sabemos que el dardo ha aterrizado en A, el readeAahorallegaaser unanuevaunidadcontralacual medir otrasreas, estoexplicael denominador. El numerador corresponde al rea en comn de las regiones A y B. Dado el hecho que el dardo aterriz en A, la nica manera en que el dardo puede aterrizar tambin en la regin B es que haya aterrizado en ambas regiones. Ahora la regin B est contenida en la regin A, por lo cual AB= B y P (AB) = P (B).PreguntaCul es la probabilidad que el dardo haya aterrizado en A si sabemos que aterriz en B?Como sabemos que B est contenido totalmente en A, vemos que si el dardo aterriza en B entonces tiene que haber aterrizado en A. Siguiendo este razonamiento tenemos:P (A|B)= (rea de A tambin en B)/ (rea de B)= (rea de B)/ (rea de B)= 1.PreguntaSi el dardo aterriz fuera de B, cul es la probabilidad que haya aterrizado en C?Un tablero general de dardosEl tablero de la derecha nos presenta una situacin ms general. En este caso ninguna regin (excepto S) contiene totalmente cualquier otra regin, pero los argumentos todava son vlidos. Supongamos que lasreasdeS, A, ByCsoncomo antes.Supongamosahoraqueelreaenlainterseccindelas regiones A y B es 1/ 30. Todava podemos preguntar las mismas preguntas.33ParacalcularP(B|A)debemosdarnoscuenta dequeB tieneun pedazopequeoencomn con la regin A. Este pedazo tiene rea igual a 1/ 30. Si sabemos que el dardo aterriz en A, para que haya cado en B, debe haber aterrizado en esta pequea regin en comn. La regin A es nuestra unidad de comparacin. Comparamos el rea en la interseccin de A y B con el rea de A para obtener nuestra contestacin. AsP(B|A)esigualalaproporcin(1/30)/(1/2)=1/15. Esteresultadosepuede interpretar como el nmero de veces que la regin en comn entre A y B cabe en la regin A.La respuesta a P (A|B) no es tan fcil de hallar como antes. Sabemos ahora que el dardo aterriza en la regin B. Debemos hallar la proporcin del rea de la interseccin de A y B al rea de B. Ahora la regin B es nuestra unidad y as P (A|B) es igual a (1/30) / (1/10)= 1/3.Un ejercicio fcil de resolver es hallar P (A|C). Como A y C son disjuntos, si el dardo aterriz en C sabemos que es imposible que haya aterrizado tambin en A, por esta razn la probabilidad buscada debe ser cero.Una representacin relacionadaOtra forma de representar la probabilidad condicional se puede ver en el siguiente ejemplo. Supongamos que tomamos una muestra al azar de 100 estudiantes y obtenemos los siguientes resultados:15 mujeres reciben ayuda econmica y trabajan45 mujeres reciben ayuda econmica20 mujeres trabajan55 de los estudiantes son mujeres25 estudiantes reciben ayuda econmica y trabajan60 estudiantes reciben ayuda econmica40 estudiantes trabajanSe puede traducir estos datos en proporciones o porcentajes y representar en un diagrama de Venn tal como a la derecha. El conjunto W representa todas las mujeres en la muestra, F el conjunto representa los estudiantes que reciben ayuda econmica y J el conjunto de estudiantes en la muestra que trabajan.34Nosproponemosseleccionar al azarunapersonadeestos100estudiantesenlamuestra. Entonces podemos hablar acerca de la probabilidad que la persona seleccionada es una mujer, por ejemplo. Sin temor a confundirnos, usaremos los nombres F, J y Wpara denotar el evento que la persona seleccionada recibe ayuda econmica, trabaja o es una mujer, respectivamente.EntoncesP(W)=.30+.05+.05+.15=.55, porejemplo. DeestediagramadeVennpodemos contestar rpidamente muchas preguntas que a primera vista parecen ser muy complicados, tal como, qu proporcin de estudiantes son mujeres que no trabajan y reciben ayuda econmica? Esta pregunta es equivalente a encontrar P (W y F y no J). La solucin, .30 se encuentra en la interseccin de los tres conjuntos W, no J, F.La probabilidad condicional se ve en situaciones donde queremos saber, por ejemplo qu proporcin de estudiantes que trabajan son mujeres. Esto es equivalente a encontrar P (W | J). La proporcin de estudiantes quetrabajanes.40, laproporcindemujeres quetrabajanes.20. Deestamanerala proporcin de mujeres de entre todos los estudiantes que trabajan es .20/ .40= .50, es decir, la mitad de los estudiantes que trabajan son mujeres. Igual a las ideas desarrolladas previamente podemos escribir la solucin como P (W | J ) = P (W y J)/ P (J) = .20/ .40 = .50.El diagrama de Venn que representa los resultados obtenidos en la encuesta parece tambin un tablero dedardos. Laprobabilidaddequeel dardocaigaencualquieradeesasregionesestdadaporla proporcin de estudiantes representados en esa regin. Probabilidad condicional y el conteo de resultadosLanzamos dos dados balanceados, uno rojo y el otro verde. El espacio muestral de este experimento consta de 36 pares ordenados tal como en la tabla ms abajo.Dejemos queRyGdenotenel valor observadoenlacaradel dadorojoyenel dadoverde, respectivamente y X la suma de los valores observados, es decir, X = R + G. Si suponemos que los dados estn balanceados, entonces los 36 resultados distintos del experimento son igualmente probables. Por la forma como se lleva a cabo el experimento, vemos que el valor observado en un dado no est relacionado con el valor en el otro dado, es decir. El valor obtenido en un dado es independiente del obtenido en el otro. De estas suposiciones tenemos que P (R = r) = P (G = g) = 1/ 6 y que P (R= r,G= g)= 1/ 36 para r, g= 1,2, ..., 6. En esta situacin muchas preguntas acerca de la probabilidad de eventos particulares se pueden reducir a contar el nmero de elementos en el conjunto apropiado.35Espacio muestral de los resultados al tirar dos dadosPreguntaEncontremos la probabilidad que el nmero de puntos en el dado rojo es menor o igual a 3: P(R3).Para encontrar esta probabilidad debemos contar el nmero de pares en la tabla para los cuales R 3. Vemos que hay 18 de estos pares de un total de 36 pares posibles as obtenemos P (R 3)= 18/ 36= 1/2.PreguntaCul es la probabilidad que la suma X de los valores observados en los dos dados es menor de 6, es decir, P (X< 6)?El nmero de pares donde observamos esta situacin es 10, de un total de 36 pares posibles, por eso debemos tener P(X < 6) = P (X 5)= 10/ 36. Supongamos ests en tu casa y un amigo te invita a jugar un juego donde se lanzan dos dados, tal como Parchs. A ti te interesa que la suma de los puntos en los dados sea 9. Tiras los dados, pero no miras el resultado. Tu amigo te dice que la suma de los dados es mayorde7. Te dicealgoestedato? Cules son ahora tus oportunidades de haber obtenido 9? Si hubiera dicho que la suma era menor de siete sabras de seguro que perdiste.Necesitamos calcular P ( X= 9 | X> 7). Antes de tirar los dados, sabas que la probabilidad de ganar, P(X=9) era igual a 4/ 36. Cambi esto? En la Tabla 2 estn sealados todos los pares donde X > 7 y los pares donde X = 9.Regiones donde X > 7 y X = 9Como sabemos que X > 7 el resultado observado debe estar dentro del tringulo azul. All hay 15 pares distintos de los cuales cuatro son consistentes con X= 9, por esto P (X = 9| X> 7)= 4/ 15 esto significa que tus oportunidades de haber ganado han aumentado.36El resultado se puede obtener de la siguiente forma. La proporcin de pares donde X > 7 es 15/ 36. La proporcin de pares donde X > 7 y X = 9 es 4/ 36, siguiendo las ideas anteriores tenemos que P ( X = 9|X > 7) = (4/36) (15/ 36) = 4/ 15. Igual que antes esta representacin se asemeja a un tablero de dardos y el resultado se obtiene al comparar el "rea" de la regin que representa X = 9 con el "rea" de la regin que representa X > 9. De igual manera, tambin se asemeja a un diagrama de Venn.Considera la probabilidad de que en el dado Rojo se observe un tres si sabemos que la suma de los dados es 5, es decir, P (R = 3 | X= 5). De la Tabla 1 se puede ver que P (X = 5)= 4/ 36, P (R = 3)= 6/ 36 y P( X = 5 y R = 3) = 1/36. La suma X es igual a cinco slo cuando se observa uno de los cuatro pares: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1). De esos, slo uno es compatible con que el dado rojo sea igual a 3, por esta razn, P (R = 3| X= 5)= 1/ 4. Este resultado implica que el evento {R = 3} afecta la probabilidad de que el evento {X = 5} ocurra. Antes de hacer el experimento, la probabilidad de observar {R=3} es 1/6, pero ahora sabemos que {X=5} ocurri y por lo tanto la probabilidad de observar {R=3} es ahora 1/4.PreguntaQu hubiera pasado si el evento que condiciona hubiera sido X= 7?De la tabla se puede ver que P (R = 3 | X = 7) = 1/6 = P (R = 3). Es decir, el saber que {X=7} ocurri no nos ofrece informacin alguna sobre la probabilidad de que {R=3} ocurra.Probabilidad condicional y rbolesOtra manera natural y til de estudiar probabilidad condicional es por medio de una estructura de rbol. Esta forma de visualizar el experimento es particularmente pertinente cuando ste se ejecuta en etapas. Toma por ejemplo el experimento de seleccionar a la vez dos canicas al azar de una caja que contiene 2 rojas y 3 azules. Este experimento es equivalente al de seleccionar al azar una canica, y entonces, sin reemplazar la primera, seleccionar al azar otra canica. Este proceso se puede visualizar fcilmente por medio de un rbol.En cada nodo del rbol representamos el nmero de canicas rojas y azules que quedan en la caja. Las ramas que emanan de cada nodo representan los dos resultados posibles que se pueden obtener cuando se selecciona una canica al azar: rojo o azul. Cada rama es rotulada por el resultado obtenido y por la probabilidad condicional de observar ese resultado. Los nodos al final representan los estados finales posibles que podemos obtener como resultado del experimento. Estos nodos finales se llaman hojas. Diagrama de rbol que ilustra el experimento de seleccionar dos canicas de una caja37PreguntaCul es la probabilidad que la segunda canica seleccionada sea roja dado que la primera es azul?Si la primera canica fue azul, ahora quedanenla caja dos canicas rojas ydos azules. De ah seleccionamos otra canica. La probabilidad de que una canica seleccionada de esa caja sea roja es 2/4.Para facilitar el trabajo denotamos el evento de que la primera canica seleccionada es roja por R1 y el evento de que la segunda sea roja por R2. Hacemos lo propio para las canicas azules. Esta representacin es til para encontrar probabilidades conjuntas y marginales.Por ejemplo, la probabilidad que la primera canica sea roja y la segunda azul, denotada P (R1 y B2) es el producto de las probabilidades que rotulan el camino de la raz del rbol y que son consistentes con los resultados R1 y B2. Entonces P (R1 y B2) = 2/5 x 3/4 = 6/20.Si nos interesamos por la probabilidad marginal de que la segunda canica sea roja, P(R2), tenemos que darnos cuenta de que hay dos caminos posibles en que la segunda canica es roja. Estos dos caminos dependen del resultado que se observ cuando seleccionamos la primera canica, que pudo haber sido rojooazul. Asobservamosunacanicarojaenlasegundaseleccincuandocualquieradelosdos eventos conjuntos (B1 y R2) (R1 y R2) ocurren. Estos son eventos son disjuntos por lo cual P ( R2 ) = P (B1 y R2) + P (R1 y R2) = 6/20+ 2/20 = 8/20.Los rboles son especialmente tiles para encontrar probabilidades condicionales tal como P( R1 | B2 ). Esta probabilidad se puede entender si pensamos en un experimento donde escogemos una canica al azar, sinmirarla, laescondemosyluegoseleccionamos al azar otracanica. Si lasegundacanica seleccionada es azul, cul es la probabilidad que la canica que escogimos primero era roja?Una forma de contestar esta pregunta es usando la Regla de Bayes, que an no hemos estudiado. Otra forma es la siguiente. Imaginemos que antes de comenzar el experimento quitamos una canica azul. Esa ser la canica azul que escogeremos como segunda seleccin, la hemos reservado de antemano. Ahora, en esta caja imaginaria hay 2 canicas rojas y 2 azules, por esta razn la probabilidad P (R1 | B2) debe ser igual a (nmero de canicas rojas) / (nmero total de canicas) = 2/4.Probabilidad condicional en generalEstosejemplosmotivanladefinicinmatemticadeprobabilidadcondicional dequeuneventoA ocurra cuando sabemos que el evento B ocurri como: PreguntaVerifica que la medida P( | B) satisface los axiomas de probabilidad, es decir, si B es un evento fijo en el espacio muestral S, entonces P( | B) es una medida de probabilidad.Con la representacin del rbol vimos como obtener la probabilidad conjunta de dos eventos A, B. Por ejemplo, vimos que para obtener la probabilidad de que la primera canica fuera roja y la segunda fuera azul, P(R1 y B2) multiplicamos P ( B2 | R1 ) por la cantidad P (R1) a lo largo de las ramas apropiadas del rbol. Esta operacin se justifica ahora por nuestra definicin de probabilidad condicional. Si A, B son dos eventos cualquiera en un espacio muestral S, tenemos la regla de multiplicacin.38Teorema 1 (Regla de multiplicacin)Si A , B son dos eventos cualquiera en un espacio muestral S donde P(B) > 0, tenemos P(A y B) = P(A | B) P(B).PruebaUsa la definicin de probabilidad condicional.Ejemplo 1Tienes los cuatro ases de la baraja en tus manos {A, A, A, A}. Sabemos que dos de esas barajas son rojas y las otras dos son de color negro. Sin mirar, un amigo selecciona una baraja primero luego de las restantes tres selecciona una segunda baraja. Queremos encontrar la probabilidad delevento que ambas barajas seleccionadas sean rojas, {A, A}. La nica forma en que ambas barajas sern rojas es que la primera searoja ydadoque la primera fue roja, la segunda debe ser roja tambin. La probabilidad de que la primera sea roja es 2/4. Si la primera fue roja, la probabilidad de que la segunda sea roja es entonces 1/3. Por lo tanto P(ambas barajas son rojas)=2/4 1/3 = 2/12.PreguntaEnumera el espacio muestralde este experimento. Cul representacin sera ms til? Expresa el problema del Ejemplo 1 en forma de smbolos, usando la regla de multiplicacin.Ejemplo 2El almacn de la UT recibe 100 togas para su graduacin. El fabricante haba llamado a la escuela para anticiparlequeentreesas100togas hay 10 que son de un tamao equivocado,muy pequeas para estudiantesdeescuelasuperior. Seleccionamosdostogasal azar. Cul eslaprobabilidaddeque ambas sean muy pequeas?Seguimos el mismo argumento de arriba para resolver este ejercicio. La probabilidad de que la primera seleccionada sea muy pequea es 10/100. Una vez seleccionada la primera toga pequea, seleccionamos la siguiente toga de las restantes 99, de las cuales ahora 9 son muy pequeas. As, la probabilidad de que ambas sean muy pequeas es 10/100 9/99.Qutal si seleccionamos3togas?Cul eslaprobabilidaddequelastresseanmuypequeas? Podemosrepresentaresteexperimentoconunrbol quetiene8ramas(cmo?). Estonospermite extender el argumento de antes. En este caso la probabilidad deseada es 10/100 9/99 8/98.Esta situacin facilita el generalizar la regla de multiplicacin. Para facilitar la discusin representemos por T1 el evento de que la primera toga sea muy pequea, por T2 el evento de que la segunda sea muy pequeaypor T3el eventodequelaterceratogaseamuypequea. Vemos que10/100es la probabilidaddequelaprimera togaseapequea, es decir P( T1). El valor 9/99representa la probabilidad de que la segunda sea pequea si la primera fue pequea, P( T2 | T1 ). El valor 8/98 es un poco ms complicado. Para obtener la tercera toga pequea en sucesin, debimos haber seleccionado la primera y la segunda togas pequeas, as, 8/98 es el resultado de calcular P( T3 | T1 y T2 ).La probabilidad de que las tres togas sean pequeas es entonces P( T1 y T2 y T3 ) = P( T1 ) P( T2 | T1) P( T3 | T1 y T2 ). Este resultado se puede escribir ahora como un teorema.Teorema 2Sean A, B, C eventos cualquiera en un espacio muestral S tal que P(A) > 0 y P(AB) > 0. Entonces P( ABC ) = P(A) P(A | B) P(C | AB).39Prueba.P( ABC) = P((AB)C )= P( C |AB) P(AB), usando la regla de multiplicacin para los eventos C y AB. Usamos nuevamente esa regla para calcular P( AB ) = P(A | B) P(B) y sustituimos arriba para obtener el resultado.PreguntaUsa induccin matemtica para generalizar esta regla para n eventos.40Prctica 1Elaborar ejercicios donde se emplee la frmula de probabilidad condicional en problemas del mbito profesional donde la ocurrencia de un evento dependa de otro.Instrucciones: resuelve correctamente los ejercicios que se enlistan.Nota: Debido al perfil de la materia lo que se recomienda es la resolucin de ejercicios.1. Considera una caja con cinco canicas. Dos de las canicas son blancas y las restantes son negras. Selecciona una canica al azar y anota su color.a. Representa el experimento usando un rbol.b. Enumera el espacio muestral.c. Usalanotacinyoperaciones deconjuntos pararepresentar el eventodequelacanica seleccionada:i. sea negra.ii. sea blanca.iii. no sea negraiv. sea blanca o negrav. sea negra y blanca.d. Ilustra los eventos de arriba en el rbol que representa el experimento y en un diagrama de Venn.e. Encuentra la probabilidad de que la canica seleccionada:i. sea negra.ii. sea blanca.iii. no sea negraiv. sea blanca o negrav. sea negra y blanca.2. Considera una caja con cinco canicas. Dos de las canicas son blancas y las restantes son negras. Selecciona una canica al azar, anota su color y devulvela a la caja. Selecciona otra canica y anota su color.a. Representa el experimento usando un rbol.b. Enumera el espacio muestral.c. Encuentra la probabilidad de que la primera canica seleccionada:i. sea negra.ii. sea blanca.iii. no sea negraiv. sea blanca o negrav. sea negra y blanca.d. Usa la notacin y operaciones de conjuntos para representar el evento de que:i. ambas canicas seleccionadas sean negras.ii. una de las canicas seleccionadas sea blanca.iii. ninguna canica sea blanca.iv. la segunda canica sea blanca si la primera fue negra.v. la primera canica sea blanca si la segunda no fue blanca.vi. la segunda canica es blanca.e. Encuentra la probabilidad de que:i. ambas canicas seleccionadas sean negras.ii. una de las canicas selecionadas sea blanca.iii. ninguna canica sea blanca.iv. la primera canica es blanca y la segunda es negra,41v. la segunda canica sea blanca si la primera fue negra.vi. la primera canica sea blanca si la segunda no fue blanca.f. Es el evento de que la primera canica sea negra independiente del evento de que la segunda canica sea blanca? Explica.g. Sonloseventos{laprimeracanicaesnegra},{lasegundacanicaesblanca}mutuamente excluyentes? Explica.3. Considera una caja con cinco canicas. Dos de las canicas son blancas y las restantes son negras. Selecciona una canica al azar, anota su color, esta vez no la devuelvas a la caja. Selecciona otra canica y anota su color.a. Enumera el espacio muestral.b. Encuentra la probabilidad de que:i. ambas canicas seleccionadas sean negras.ii. una de las canicas seleccionadas sea blanca.iii. ninguna canica sea blanca.iv. la primera canica no es ni blanca ni negra.v. la primera canica es blanca y la segunda es negra.vi. la segunda canica sea blanca si la primera fue negra.vii. la primera canica sea blanca si la segunda no fue blanca.viii. la segunda canica es blanca.c. En qu se distingue este experimento del efectuado en el problema nmero 2?d. Es el evento de que la primera canica sea negra independiente del evento de que la segunda canica sea blanca? Explica.e. Sonloseventos{laprimeracanicaesnegra}, {lasegundacanicaesblanca}mutuamente excluyentes? Explica.4. Considera una caja con cinco canicas. Dos de las canicas son blancas y las restantes son negras. Selecciona una canica al azar, anota su color, devulvela a la caja y aade a la caja dos canicas del mismo color de la canica seleccionada. Selecciona otra canica y anota su color.a. Representa el experimento usando un rbol.b. Enumera el espacio muestral.c. Encuentra la probabilidad de que:i. ambas canicas seleccionadas sean negras.ii. una de las canicas seleccionadas sea blanca.iii. ninguna canica sea blanca.iv. la primera canica no es ni blanca ni negra.42v. la primera canica es blanca y la segunda es negra.vi. la segunda canica sea blanca si la primera fue negra.vii. la primera canica sea blanca si la segunda no fue blanca.viii. la segunda canica sea negra.d. Es el evento de que la primera canica sea negra independiente del evento de que la segunda canica sea blanca? Explica.e. Sonloseventos{laprimeracanicaesnegra}, {lasegundacanicaesblanca}mutuamente excluyentes? Explica.5. Considera una caja con seis canicas. Dos de las canicas son blancas, una es roja y las restantes son negras. Selecciona una canica al azar, anota su color, devulvela a la caja y aade a la caja dos canicas del mismo color de la canica seleccionada. Selecciona otra canica y anota su color.a. Representa el experimento usando un rbol.b. Enumera el espacio muestral.c. Encuentra la probabilidad de que:i. ambas canicas seleccionadas sean rojas.ii. una de las canicas seleccionadas sea blanca.iii. ninguna canica sea blanca.iv. la primera canica no es ni blanca ni negra.v. la primera canica es blanca y la segunda es roja.vi. la segunda canica sea roja si la primera fue roja.vii. la primera canica sea negra si la segunda no fue blanca.viii. las dos canicas sean de colores distintos.ix. las dos canicas sean del mismo color.x. la segunda canica sea negra.d. Es el evento de que la primera canica sea roja independiente del evento de que la segunda canica sea blanca? Son estos eventos mutuamente excluyentes? Explica.e. Sonloseventos{laprimeracanicaesnegra}, {lasegundacanicaesblanca}mutuamente excluyentes? Explica.6. Considera una caja con cinco canicas. Dos de las canicas son blancas y las restantes son negras. A la misma vez, selecciona dos canicas al azar y anota sus colores.a. Representa el experimento usando un rbol.b. Enumera el espacio muestral.c. Usalanotacinyoperacionesdeconjuntospararepresentar el eventodequelascanicas seleccionadas:i. ambas sean negras.ii. ninguna sea negra.iii. sean de colores distintos.d. Ilustra los eventos de arriba en el rbol que representa el experimento.e. Encuentra la probabilidad de que las canicas seleccionadas:i. ambas sean negras.ii. ninguna sea blanca.43iii. sean de colores distintos.f. Tiene alguna relacin este problema con el nmero 3 arriba? Explica. Hacemos un experimento con dos cajas. La caja A tiene siete canicas. En esta caja, dos de las canicas son blancas, tres son rojas y dos son negras. La caja B tiene seis canicas. Cuatro de las canicas en B son rojas y dos son negras. Se tira un dado para decidir de cul caja se selecciona una canica al azar. Si se observa el evento {1,2,3,4} se selecciona una canica de la caja A. En el caso de observar el evento {5,6} se selecciona al azar una canica de la caja B.a. Representa el experimento usando un rbol.b. Enumera el espacio muestral.c. Usalanotacinyoperaciones deconjuntos pararepresentar el eventodequelacanica seleccionada:i. sea negra.ii. no sea roja.iii. sea negra blanca.iv. provenga de la caja Av. sea roja y venga de la caja B.vi. sea blanca y venga de la caja B.d. Ilustra los eventos de arriba en el rbol que representa el experimento.e. Encuentra la probabilidad de que la canica seleccionada:i. sea negra.ii. no sea roja.iii. sea negra blanca.iv. provenga de la caja Av. sea roja y venga de la caja B.vi. sea blanca y venga de la caja A.vii. sea negra dado que viene de la caja B.viii. sea blanca dado que viene de la caja B.ix. haya provenido de la caja B dado que es blanca.x. haya provenido de la caja A dado que es roja.f. Puedes generalizar tus resultados en ix y x? Explica.44TEMA 5Objetivo de aprendizaje.5. Definir el Teorema de Bayes.Criterio de Aprendizaje.5.1. Utilizar el teorema de Bayes en problemas del mbito profesional que involucrenprobabilidades subjetivas.Didctica de enseanza.Pa. 2 Elaborar ejercicios donde se planteen problemas del mbito profesional que involucren probabilidades subjetivas y aplicar el Teorema de Bayes en su solucinUn problema que nos sirve de introduccinEneldistrito universitario deJauja los estudiantes se distribuyen entre las tres carreras que pueden cursarse del siguiente modo: el 20% estudian arquitectura, el 35% medicina y el 45% economa. El porcentaje de alumnos que finalizan sus estudios en cada caso es del 5%, 12% y del 18%. Elegido un alumno al azar determinar la probabilidad de que haya acabado los estudios.Como Sea T el suceso "finalizar los estudios". Como E = A1 o A2 o A3 T = (T y E) = T y (A1 o A2 o A3) == (T y A1) o (T y A2) o (T y A3) Resulta p(T) = p(T y A1) + p(T y A2) + (T y A3) Y por tanto p(T) = = p(A1) p(T/A1) + + p(A2) p(T/A2) + + p(A3) p(T/A3) Vemos todo esto mediante un diagrama de flujo y calculamos la probabilidad de que un alumno elegido al azar haya terminado los estudios. Si A1, A2, yA3son, respectivamente, los sucesos "estudiar arquitectura", "estudiar medicina" y "estudiar economa" resulta p(Ai) = 1 Y los sucesos A1, A2, y A3 son incompatibles (no existen estudiantes que cursen dos carreras).Adems 45E = A1 o A2 o A3 En estas condiciones podemos aplicar el razonamiento de la columna de la izquierda. Apartir del razonamientoanterior podemosenunciar el siguienteteoremaqueesconocidocomo teorema de la probabilidad total Si los sucesos A1, A2, A3 ... An son una particin ( ) del espacio Muestral E y T un suceso de S, entonces Otro ejemplo y una pregunta46La fbrica de enlatados PI S.A. produce 5000 envases diarios. La mquina A produce 3000 de estos envases, de los que el 2% son defectuosos y la mquina B produce los 2000 restantes de los que se sabe que el 4% son defectuosos. Determinar la probabilidad de que un envase elegido al azar sea defectuoso.Si D es el suceso "seleccionar un envase defectuoso" y (no D) = "seleccionar un envase no defectuoso", el diagrama siguiente nos muestra el caminoAplicando el teorema anterior resulta: p(D) = p(A y D) + p(B y D) = p(A) p(D/A) + p(B) p(D/B) = 0,028 Y ahora la pregunta Si el envase seleccionado es defectuoso, qu probabilidad hay de que proceda de la mquina A? Y de la B?Es decir, sabemos que la botella seleccionada es defectuosaLa respuesta a dicha cuestin viene dada por la denominada frmula de Bayes Probabilidad de que provenga de la mquina ACalculamos la probabilidad p(A/D) es decir, la probabilidad de que provenga de la mquina A en el supuesto que el envase es defectuoso: Probabilidad de que provenga de la mquina BCalculamos la probabilidad p(B/D) es decir, la probabilidad de que provenga de la mquina B en el supuesto que el envase es defectuoso: Las expresiones 47Son las de la "frmula de Bayes" para cada uno de las preguntas formuladas. Estas expresiones pueden generalizarse fcilmente para un conjunto finito de sucesos con las condiciones indicadas. Podemos hacernos ahora varias preguntas que son fciles de contestar. Por ejemplo:Si el envase no es defectuoso, qu probabilidad hay de que provenga de la mquina A?. Y de la B?.O bien, teniendo en cuenta el primer ejercicio, si un alumno seleccionado ha finalizado la carrera, qu probabilidad hay que haya estudiado arquitectura?. Y medicina? Y adems ya estamos en condiciones de resolver el problema enunciado en la portada. ThomasBayesnacienLondres,Inglaterra. Su padrefue ministro presbiteriano.PosiblementeDe Moivre fue su maestro particular, pues se sabe que por ese entonces ejerca como profesor en Londres.Bayes fue ordenado ministropresbiteriano y muere en 1761. Sus restos descansan en el cementerio londinense de Bunhill Fields. La traduccin de la inscripcin en su tumba es Reverendo Thomas Bayes.Hijo de los conocidos Joshua y Ann Bayes. 7 de abril de 1761. En reconocimiento al importante trabajo querealizThomas Bayes enprobabilidad. Sutumba fuerestaurada en1969condonativos de estadsticos de todo el mundo. Miembro de la Royal Society desde 1742, Bayes fue uno de los primeros en utilizar la probabilidad inductivamente y establecer una base matemtica para la inferencia probabilstica. Public los trabajos: Divine Providence and Government Is the Happiness of His Creatures (1731)An Introduction to the Doctrine of Fluxions, and a Defence of The Analyst (1736) En 1763, dos aos despus de su muerte, se publicaEssay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances, en el que trataba el problema de las causas a travs de los efectos observados, y donde se enuncia el teorema que lleva su nombre. El trabajo fue entregado a la Royal Society por Richard Price y es la base de la tcnica bayesiana. 48En una urna hay 5 bolas, 3 azules y 2 verdes. Se saca una bola de la urna y sin mirarla, se guarda. A continuacin se vuelve a sacar otra bola que es verde. Cul es la probabilidad de que la primera haya sido verde?. Y si la segunda hubiera sido azul, cul es la probabilidad de que la primera sea verde?. Y azul?. Un diagrama nos aclara la situacin En donde (A1 y A2), es el suceso "sacar azul la primera bola y azul la segunda" y anlogamente los restantes (A1 y V2), (V1 y A2), (V1 y V2).Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el supuesto que la segunda ha sido verde) Aplicamos el teorema de Bayes y resulta: Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el supuesto que la segunda ha sido azul) Aplicamos el teorema de Bayes y resulta: Probabilidad de que la primera haya sido azul (en el supuesto que la segunda ha sido azul)Aplicamos el teorema de Bayes y resulta: 49Prctica 2Elaborar ejercicios donde se planteen problemas del mbito profesional que involucren probabilidades subjetivas y aplicar el Teorema de Bayes en su solucinInstrucciones: resuelve correctamente los ejercicios que se enlistan.Nota: Debido al perfil de la materia lo que se recomienda es la resolucin de ejercicios.1) Los alumnos de la Universidad Tecnolgica, proceden de 3 localidades A, B y C, siendo un 20% de A, un 30% de B y el resto de C. El 80% de los alumnos de A cursa 1 cuatrimestre y el resto 4. El 50% delosalumnos deBcursa1 cuatrimestreyel resto4. El 60%delosalumnos deCcursa1 cuatrimestre y el resto 4.(a) Seleccionado, al azar, un alumno la Universidad Tecnolgica, cul es la probabilidad de que sea de 4?(b) Si elegimos, al azar, un alumno la Universidad Tecnolgica y ste es un alumno de 1, cul es la probabilidad de que proceda de la localidad B?2)Segnlaestadsticadelosresultados enlasPruebadeAccesoenunaprovinciaandaluza, en septiembre de 2001, el nmero de alumnas presentadas es de 840, de las que han aprobado un 70%, mientras que el nmero de alumnos presentados es 668, habiendo aprobado un 75% de estos.(a) Elegida, al azar, una persona presentada a las Pruebas, cul es la probabilidad de que haya aprobado?(b) Sabiendo que una persona ha aprobado, cul es la probabilidad de que sea varn? 50CAPITULO2ORGANIZACINYPRESENTACINDEDATOSINTRODUCCINEl propsito de la presente unidad es que el alumno adquiera la habilidad para ordenar y tabular datos, construyendo conellos diversas grficas que le permitirncalcular sus medidas de tendencia central y dispersin, as como utilizar los fundamentos matemticos de probabilidad para resolver algunos problemas de Procesos Agroindustriales que se presentan en las empresas.OBJETIVO Y CRITERIOS DE APRENDIZAJE Pgina1- . Reconocer los mtodos tabulares de presentacin de datos.1.1.. Ilustrar y describir tablas de frecuencias relativas y absolutas.1.2.. Ilustrar y describir tablas para representar dos conjuntos de datos.525252DEMOSTRACIN DE HABILIDADES PARCIALES (RESULTADO DE APRENDIZAJE)1.1.1. Utilizar las tablas de frecuencias relativas y absolutas, de datos.1.2.1. Utilizar tablas para representar dos conjuntos de datos.OBJETIVO Y CRITERIOS DE APRENDIZAJE2. Diferenciar los mtodos grficos empleados para organizar datos2.1. Ilustrar los mtodos grficos empleados para organizar datos.6060DEMOSTRACIN DE HABILIDADES PARCIALES (RESULTADO DE APRENDIZAJE)2.1.1 Utilizar mtodos grficos empleados para organizar datos.DEMOSTRACIN DE HABILIDADES FINALESTa. 3Realizar ejercicios, organizando datos entablas de frecuencia relativas y absolutas de datos, as como tambin tablas para representar dos conjuntos de datos.Pa. 3Elaborar, organizardatos yconstruirdiagramas depuntos histogramas y polgonos de frecuencias.597051TEMA 1 Objetivo de aprendizaje.1. Reconocer los mtodos tabulares de presentacin de datos.Criterio de Aprendizaje.1.1. Ilustrar y describir tablas de frecuencias relativas y absolutas.1.2. Ilustrar y describir tablas para representar dos conjuntos de datos.Didctica de enseanza.Ta. 3 Realizar ejercicios, organizando datos en tablas de frecuencia relativas y absolutas de datos, as como tambin tablas para representar dos conjuntos de datos.Consideremos una poblacin estadstica de n individuos, descrita segn un carcter o variable C cuyas modalidadeshan sidoagrupadasen un nmero kde clases, que denotamos mediante . Para cada una de las clases ci,, introducimos las siguientes magnitudes: Frecuencia absolutaDe la clase ci es el nmero ni, de observaciones que presentan una modalidad perteneciente a esa clase.Frecuencia relativa Delaclasecieselcocientefi, entrelasfrecuenciasabsolutasdedichaclaseyel nmerototal de observaciones, es decir Obsrvese que fi es el tanto por uno de observaciones que estn en la clase ci. Multiplicado por 100% representa el porcentaje de la poblacin que comprende esa clase. Frecuencia absoluta acumulada Ni, secalculasobrevariablescuantitativasocuasicuantitativas, yesel nmerodeelementosdela poblacin cuya modalidad es inferior o equivalente a la modalidad ci: Frecuencia relativa acumulada Fi, se calcula sobre variables cuantitativas o cuasicuantitativas, siendo el tanto por uno de los elementos de la poblacin que estn en alguna de las clases y que presentan una modalidad inferior o igual a la ci, es decir, Como todas las modalidades son exhaustivas e incompatibles ha de ocurrir que 52O lo que es lo mismo, Frecuencia absoluta (ni): Nmero de elementos que presentan la clase xi. Frecuencia relativa:. Frecuencia absoluta acumulada:. Frecuencia relativa acumulada: Llamaremos distribucin de frecuencias al conjunto de clases junto a las frecuencias correspondientes a cada una de ellas. Una tabla estadstica sirve para presentar de forma ordenada las distribuciones de frecuencias. Su forma general es la siguiente: Modali. Frec. Abs. Frec. Rel. Frec. Abs. Acumu. Frec. Rel. Acumu.C nifiNiFic1n1N1 = n1... ... ... ... ...cjnj... ... ... ... ...cknkNk = n Fk = 1n 1Ejemplo Calcular los datos que faltan en la siguiente tabla: li-1 -- linifiNi530 -- 10 60 f16010 -- 20 n20,4 N220 -- 30 30 f317030 -- 100 n40,1 N4100 -- 200 n5f5200nSolucin: Sabemos que la ltima frecuencia acumulada es igual al total de observaciones, luego n=200. Como N3=170 y n3=30, entonces N2=N3-n3=170-30=140. Adems al ser n1=60, tenemos que n2=N2-n1=140-60=80. Por otro lado podemos calcularn4teniendo en cuenta que conocemos la frecuencia relativa correspondiente: As: N4=n4+N3=20+170 =190. Este ltimo clculo nos permite obtener n5=N5-N4=200-190=10. Al haber calculado todas las frecuencias absolutas, es inmediato obtener las relativas: Escribimos entonces la tabla completa: li-1 -- linifiNi0 -- 10 60 0,3 6010 -- 20 80 0,4 14020 -- 30 30 0,15 17030 -- 100 20 0,1 190100 -- 200 10 0,05 20020054Eleccin de las clases Encuantoalaeleccindelasclases, deben seguirse los siguientes criterios en funcin del tipo de variable que estudiemos: Cuando se trate de variables cualitativas o cuasicuantitativas, las clases ci sern de tipo nominal; En el caso de variables cuantitativas, existen dos posibilidades: o Si la variable es discreta, las clases sern valores numricos; o Si la variable es continua las clases vendrn definidas mediante lo que denominamos intervalos. En este caso, las modalidades que contiene una clase son todos los valores numricos posibles contenidos en el intervalo, el cual viene normalmente definido de la forma O bien En estos casos llamaremos amplitud del intervalo a las cantidades ai = li-li-1 Y marca de clase ci, a un punto representativo del intervalo. Si ste es acotado, tomamos como marca de clase al punto ms representativo, es decir al punto medio del intervalo, La marca de clase no es ms que una forma abreviada de representar un intervalo mediante uno de sus puntos. Por ello hemos tomado como representante, el punto medio del mismo. Esto est plenamente justificadosirecordamosquecuandosemideunavariable continua como elpeso,la cantidadcon cierto nmero de decimales que expresa esta medicin, no es el valor exacto de la variable, sino una medida que contiene cierto margen de error, y por tanto representa a todo un intervalo del cual ella es el centro. En el caso de variables continuas, la forma de la tabla estadstica es la siguiente: Interv. M. clase Frec. Abs. Frec. Rel. Frec. Abs. Acum. Frec. Rel. Acum.C nifiNiFil0 -- l1c1n1N1 = n1F1 = f1... ... ... ... ... ...lj-1 -- ljcjnjNj= Nj-1+njFj = Fj-1 + fj... ... ... ... ... ...lk-1 -- lkcknkNk=n Fk =1n 1Eleccin de intervalos para variables continuas 55A la hora de seleccionar los intervalos para las variables continuas, se plantean varios problemas como son el nmero de intervalos a elegir y sus tamaos respectivos. La notacin ms comn que usaremos para un intervalo sea El primer intervalo,l0--l1, podemos a cerrarlo en el extremo inferior para no excluir la observacin ms pequea, l0 ste es un convenio que tomaremos en las pginas que siguen. El considerar los intervalos por el lado izquierdo y abrirlos por el derecho no cambia de modo significativo nada de lo que expondremos. El nmero de intervalos, k, a utilizar no est determinado de forma fija y por tanto tomaremos un k que nospermitatrabajar cmodamenteyverbienlaestructuradelosdatos; Comoreferencianosotros tomaremos una de los siguientes valores aproximados: Porejemplosielnmerodeobservacionesquetenemosesn=100,unbuencriterioesagruparlas observaciones enintervalos. Sin embargo si tenemos n=1.000.000, ser mas razonable elegirintervalos, que. La amplitud de cada intervalo ai = li -li-1 Sueletomarseconstante, considerandolaobservacinmspequeaymsgrandedelapoblacin (respectivamentey) para calcular la amplitud total, A, de la poblacin A= lk - l0 de forma que la amplitud de cada intervalo sea: As la divisin en intervalos podra hacerse tomando: Observacin 56Podra ocurrir que la cantidad a fuese un nmero muy desagradable a la hora de escribir los intervalos (ej.a=10,325467). En este caso, es recomendable variar simtricamente los extremos, , de forma que se tenga que a es un nmero ms simple (ej. a=10). Recorrido: Amplitud: ai= li - li-1 Marca de clase: Frecuencias rectificadas:;Ejemplo Sobre un grupo de n=21 personas se realizan las siguientes observaciones de sus pesos, medidos en kilogramos: 58 42 51 54 40 39 4956 58 57 59 63 58 6670 72 71 69 70 68 64Agrupar los datos en una tabla estadstica. Solucin: En primer lugar hay que observar que si denominamos X a la variable ``peso de cada persona'' esta es una variable de tipo cuantitativa y continua. Por tanto a la hora de ser ordenados los resultados en una tabla estadstica, esto se ha de hacer agrupndolos en intervalos de longitud conveniente. Esto nos lleva a perder cierto grado de precisin. Para que la perdida de informacin no sea muy relevante seguimos el criterio de utilizarintervalos (no son demasiadas las observaciones). En este punto podemostomarbienk=4obienk=5. Arbitrariamenteseeligeunadeestasdosposibilidades. Por ejemplo, vamos a tomar k=5. Lo siguiente es determinar la longitud de cada intervalo, ai. Lo ms cmodo es tomar la misma longitud en todos los intervalos,ai=a(aunque esto no tiene por qu ser necesariamente as), donde 57Entoncestomaremosk=5intervalos delongituda=6,6comenzandoporl0=xmin=39yterminandoen l5=33: Intervalos M. clase f.a. f.r. f.a.a. f.r.a.li-1 -- licinifiNiFii=1 39 -- 45,6 42,3 3 0,1428 3 0,1428i=2 45,6 -- 52,2 48,9 2 0,0952 5 0,2381i=3 52,2 -- 58,8 55,5 6 0,2857 11 0,5238i=4 58,8 -- 65,4 62,1 3 0,1428 14 0,6667i=5 65,4 -- 72 68,7 7 0,3333 2121Otra posibilidad a la hora de construir la tabla, y que nos permite que trabajemos con cantidades ms simples a la hora de construir los intervalos, es la siguiente. Como la regla para elegir l0 y l5 no es muy estricta podemos hacer la siguiente eleccin: ya que as la tabla estadstica no contiene decimales en la expresin de los intervalos, y el exceso d, cometido al ampliar el rango de las observaciones desde A hasta A', se reparte del mismo modo a los lados de las observaciones menores y mayores: Intervalos M. clase f.a. f.r. f.a.a. f.r.a.li-1 -- licinifiNiFii=1 38 -- 45 41,5 3 0,1428 3 0,1428i=2 45 -- 52 48,5 2 0,0952 5 0,2381i=3 52 -- 59 55,5 7 0,3333 12 0,5714i=4 59 -- 66 62,5 3 0,1428 15 0,7143i=5 66 -- 73 69,5 6 0,2857 2121Evidencia parcialTa. 3 Realizar ejercicios, organizando datos en tablas de frecuencia relativas y absolutas de datos, as como tambin tablas para representar dos conjuntos de datos.Evaluacin parcial58Entrega de Ta.359TEMA 2Objetivo de aprendizaje.2. Diferenciar los mtodos grficos empleados para organizar datos.Criterio de Aprendizaje.2.1. Ilustrar los mtodos grficos empleados para organizar datos.D