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PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
RELATÓRIO DE ACTIVIDADE
“As Sucessões e os Fractais” Escola: Escola Secundária Padre António Vieira
Dinamizadora: Manuela Ribeiro
A actividade:
desenvolveu-se no ano lectivo 2005/2006 em duas turmas do 11º
ano do curso Científico-Humanístico de Ciências e Tecnologia,
abrangendo um total de 31 alunos;
ocupou quatro blocos de 90 minutos entre 10/5 e 8/6;
e englobou uma visita à Exposição “Matemática Viva” do Pavilhão
do Conhecimento.
Embora o estudo dos fractais apareça no programa do 11º ano como uma
hipótese, de abordagem muito ligeira, pareceu-me pertinente aproveitar o
estudo das sucessões, no tema Sucessões reais do 11º ano, para fazer o
estudo das principais características dos fractais.
Tal abordagem permitiu estabelecer conexões variadas com o tema
Geometria no Plano e no Espaço I tratado no 10º ano.
Foram utilizados materiais variados:
papel, tesoura e cola;
software de Geometria Dinâmica — Geometer’s Sketchpad;
enciclopédia web;
módulos que integram a Exposição “Matemática Viva” Atractor de
Sierpinski, Torres de Hanoi, Modelo Fractal e Pilha de esferas.
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
Tudo começou no segundo dia de aulas do 3º Período, 19/4, ao introduzir o
tema Sucessões Reais, pondo os alunos a jogar, com: papel, caneta e um
dado, o Jogo do Caos (ver anexo). Foram apresentadas as regras e posto o
jogo a circular rotativamente entre todos os alunos de cada uma das
turmas, de modo a que diariamente um deles contribuísse com um
conjunto de pontos. Nesse momento foi logo posta a questão:
¿Alguma previsão quanto à figura desenhada ao fim de muitos, muitos, …
passos?
Nesse momento não sabia se conseguiríamos vislumbrar o Tapete de
Sierpinski, mas não me pareceu grave se o não conseguíssemos porque
quando fossemos ao Pavilhão do Conhecimento encontrariam os pontos
reunidos desde Novembro de 2000, e aí sim o Tapete era bem visível.
O trabalho foi depois retomado a 10/5 e englobou sete fichas:
na Ficha 1 — O Tapete de Sierpinski — apareceu pela primeira vez o
Tapete de Sierpinski e foi usada para motivar o estudo da convergência
de uma sucessão.
Resolvida esta ficha foi pedido o Jogo do Caos e posta novamente a
questão:
¿Alguma previsão quanto à figura desenhada ao fim de muitos, muitos,
… passos?
Embora o número de pontos marcados fosse ainda diminuto, alguns dos
alunos avançaram imediatamente o Tapete de Sierpinski, e ficaram
surpreendidos por duas construções tão distintas ( a apresentada na
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
Ficha 1 “As Sucessões e os Fractais” e a usada no Jogo do Caos)
conduzirem à mesma figura;
na Ficha 2 — A Curva de Koch — apareceu pela primeira vez a Curva de
Koch e foi usada para motivar o estudo da soma de todos os termos de
uma progressão geométrica;
na Ficha 3 — Figuras autosemelhantes — foram explorados o Tapete de
Sierpinski e a Curva de Koch como figuras autosemelhantes, mais como
figuras estritamente autosemelhantes e os alunos foram direccionados
para encontrar em cada uma das figuras uma relação constante entre
o factor de redução e o número de cópias em que a figura se
decompõe;
na Ficha 4 — Dimensão de autosemelhança e dimensão topológica —
foi retomada a relação constante encontrada na ficha 3 e dado-lhe o
nome de dimensão de autosemelhança. Os alunos foram então
convidados a explorar figuras já conhecidas tais como: o segmento de
recta, o quadrado e o cubo do ponto de vista da autosemelhança e da
sua dimensão de autosemelhança. Puderam então constatar que para
estas últimas figuras a dimensão de autosemelhança coincide com a
dimensão topológica já conhecida, mas o mesmo não acontece para o
Tapete de Sierpinski e a Curva de Koch;
na Ficha 5 — Geometria fractal — foram reunidas as características
principais já encontradas no Tapete de Sierpinski e na Curva de Koch, e
introduzido pela primeira vez o termo Fractal. Foi feita uma breve
referência ao nascimento dos fractais e às preocupações matemáticas
que a eles conduziram;
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na Ficha 6 — Um fractal tridimensional — foi feita a construção de um
fractal tridimensional (o que haviam encontrado no Pavilhão do
Conhecimento ligado às Torres de Hanoi) com papel e dobragens;
na Ficha 7 — Fractais com Sketchpad — foi feita a construção da Curva
de Koch e do Tapete de Sierpinski com recurso ao Sketchpad.
Os alunos trabalharam regra geral em pares, embora se tenham
espontaneamente formado dois ou três grupos de quatro. Em geral
aderiram bem ao trabalho, no entanto numa das turmas — 11.2 — cuja
assiduidade costuma ser muito irregular, o trabalho não foi acompanhado
na totalidade por alguns alunos.
Reagiram muito bem à introdução da noção de dimensão de
autosemelhança, que eu receava pudesse ser demasiado ambiciosa para
este nível de aprendizagem e mostraram-se sempre cativados pela beleza
e surpresas reservadas por este tipo de imagens.
A visita à Exposição “Matemática Viva” seguiu o lançamento do Jogo do
Caos e a resolução das fichas 1 e 2. Esta visita foi realizada numa das
turmas — 11.1 — em contra horário, tendo participado 15 de 20 alunos, na
outra — 11.2 — foi realizada em período de aulas e participaram 6 de 11.
Para a visita à Exposição foi preparado um pequeno guião (ver anexo)
com o objectivo de estimular a exploração mais aprofundada dos módulos
intimamente relacionados com as sucessões e fractais. Tendo em conta a
experiência da visita anterior, procurei acompanhar mais de perto a
adesão de cada grupo aos referidos módulos, tendo sistematicamente
renovado o incentivo à exploração, pondo-lhes questões e sempre que
necessário dando pistas para a obtenção das respostas. Talvez por isso o
balanço em qualquer uma das turmas foi superior ao da primeira visita.
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O trabalho que ainda no 2º Período tinha sido divulgado aos alunos como
elemento de avaliação, acabou logo no início do 3º Período por deixar de
desempenhar tal papel atendendo a que, feito o plano de trabalho para o
3º Período, vi que grande parte deste se iria desenvolver na ponta final do
período, dificultando por isso todas as tarefas subsequentes (correcção da
parte escrita, balanço do trabalho realizado, …).
Para auscultar a reacção dos alunos a todo o trabalho realizado pedi-lhes
que respondessem a um pequeno questionário (ver anexo).
Relativamente ao aspecto que mais gostaram de trabalhar, é o primeiro —
Vários fractais — que recolhe a quase totalidade das preferências,
destacando-se entre eles o fractal tridimensional. Os restantes aspectos são
indicados por um número não significativo de alunos. Quanto às razões que
levaram à escolha de cada um deles destaco:
Vários fractais:
“Os fractais oferecem a visualização da construção de figuras
geométricas, através de sucessões, com formas muito peculiares e
interessantes”.
“Porque em todos os trabalhos vemos o infinito confinado no limitado
que é uma ideia muito interessante”.
“Achei muito interessante a construção do fractal tridimensional, foi uma
tarefa divertida e educativa pois engloba a matemática e os trabalhos
manuais”.
“Porque foi engraçado fazer um fractal (o tridimensional) igual ao que
tinha visto”.
“Porque pela repetição do mesmo padrão se obtém uma figura (Curva
de Koch) com comprimento igual a ∞+ ”.
“Começo por dizer que o Tapete de Sierpinski é o fractal que inclui a
sucessão mais desenvolvida no ramo da abstracção e o que tem um
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resultado mais bonito e organizado. Dá uma sensação de que é algo
confuso embora não seja”. (Creio que se está a referir ao Tapete obtido
com o Jogo do Caos).
Princípio de indução matemática:
“Porque os materiais utilizados foram muito elucidativos”.
“Em relação às Torres de Hanoi, gostei do facto de estimular o raciocínio
e a paciência”.
Aparece ainda uma preferência muito abrangente:
“Gostei de todos os aspectos, todos desde que com o material ou um
desenho à frente (nunca no abstracto), talvez não tenha dado a
importância devida à enciclopédia web. Gostei de todos porque gosto de
sucessões e estes desafios foram muito bons a nível da reflexão”.
Quanto ao aspecto que mais surpreendeu, é o primeiro — Várias fractais —
que recolhe mais uma vez a quase totalidade das preferências,
destacando-se entre eles o Tapete de Sierpinski. Quanto às razões que
levaram à escolha de cada um deles destaco:
Vários fractais:
“Como o conjunto de figuras geométricas vai dar origem a figuras que
não são naturalmente geométricas”.
“Pois é fenomenal a maneira como uma série de pontos vai dar o
aspecto de triângulos, e a maneira como é executado acho muito
interessante”. (Está a referir-se ao Tapete de Sierpinski obtido com o Jogo
do Caos.)
“O aspecto que mais me surpreendeu no Tapete de Sierpinski foi o caso
de este quando é repetido indefinidamente dar origem a triângulos tão
ínfimos que por fim são “quase” pontos”.
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“Porque a partir de um normalíssimo triângulo equilátero se chegou a
uma imagem tão complexa (a Curva de Koch)”.
“Porque à primeira vista, durante os recortes, o efeito que viria a ter (o
fractal tridimensional) não foi imediato”.
“Pelas imagens (do Conjunto de Mandelbrot) que nunca pensei
poderem advir de um estudo matemático”.
Princípio de indução matemática (Torres de Hanoi):
“Porque é um jogo prático com que naturalmente ninguém se lembraria
do uso da matemática, mas é um ramo onde a matemática pode
ajudar bastante”.
“Pois nunca pensei que demorassem tantos anos a mover os 64 discos …
pelo menos no início, pois ainda não compreendia tão bem os
conceitos relacionados”.
Proporcionalidade entre as diferentes dimensões de figuras semelhantes:
“Porque à primeira vista nunca pensei que pudesse haver uma relação
entre os triângulos por exemplo do Tapete de Sierpinski”.
“A pilha de esferas aparentava ter mais esferas do que as que na
realidade tinha (embora ache que os materiais manipuláveis ou mesmo
os softwares acabam sempre por nos surpreender)”.
Dimensão de autosemelhança e dimensão topológica:
“Não esperava que, por exemplo, uma sucessão de triângulos (o Tapete
de Sierpinski) pudesse ser considerada uma figura unidimensional”.
Aparecem ainda aspectos surpreendentes não mencionados:
“A infinidade de sucessões e a beleza delas, e também as suas
características porque não sabia existirem tantas sucessões úteis ou tão
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giras de se verem. São exemplos os fractais e a Curva de Koch,
respectivamente”.
“O facto de imaginar o processo indefinidamente porque nunca tinha
pensado que fosse possível”.
A adequação dos materiais utilizados foi reconhecida pela totalidade dos
alunos e o maior interesse despertado foi para o Sketchpad, seguindo-se-
lhe em pé de igualdade: o Jogo do Caos, as Torres de Hanoi e o uso de
papel na construção do fractal tridimensional. Das razões apontadas
destaco:
para o Sketchpad:
“Porque permite obter todas aquelas figuras que estudamos mostrando
o modo como se obtêm”.
“Porque permitiu observar passo a passo a construção da Curva de
Koch e do Tapete de Sierpinski com pouco esforço”.
“O computador dá para manipular e fazer mais do que uma vez e de
várias maneiras”.
para o Jogo do Caos:
“É engraçado a forma como ao princípio pensamos que os pontos vão
preencher toda a folha incluindo o lugar dos triângulos pretos, mas de
facto não”.
“Não fazia ideia que ao lançar aleatoriamente um dado poderíamos
chegar a uma figura daquelas e por aquele processo”.
para as Torres de Hanoi:
“Porque me obrigaram a pensar”.
“Achei muito interessante pois nunca tinha acabado o jogo com muitos
discos e com as escadas está tudo explicado”.
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para o uso de papel na construção do fractal tridimensional:
“O uso de materiais diferentes dos que se usam habitualmente é sempre
interessante”.
“Porque mais uma vez, permitiu-nos sermos nós a realizar o trabalho”.
para os materiais, em geral, que integram a Exposição “Matemática
Viva”:
“Pela sua dinâmica, e lado prático e visível que criam”.
“Podemos interagir com as coisas, vê-las de forma diferente e debatê-
las”.
Dos comentários a todo o trabalho realizado escolhi os que me pareceram
mais significativos:
“Bastante bom. Foi bom aprendermos estas coisas pois ajudam-nos a
pensar noutras matérias, assim como ganhamos ainda mais gosto pela
matemática”.
“Foi um trabalho muito interessante que contribuiu para o desenvolvimento
da nossa cultura matemática e poderá mesmo ter incitado em certos
alunos o gosto pela matemática: Nota de destaque positiva”.
“Tenho de admitir que com estas matérias fiquei a apreciar mais a
matemática”.
“É uma excelente tentativa de dinamizar o ensino da matemática, de
forma a torná-la menos monótona. Tem ainda uma dimensão prática que
suscita o interesse pela disciplina porque mostra que podemos usar a
matemática no dia a dia”.
“Gostei bastante de realizar todo o trabalho. Permitiu, na minha opinião,
tornar a matéria mais simples. Assim a matéria foi dada de uma forma mais
“leve” e divertida ajudando a perceber melhor a matéria”.
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
“Ao longo do ano este trabalho fez com que aprendesse mais coisas
relacionadas com a matemática que achei muito interessante. A
diversidade de trabalhos feitos também ajudou para ficarmos mais curiosos
com o resultado final”.
O balanço final é muito positivo, tenho ainda presente o entusiasmo com
que os alunos viveram as duas últimas aulas construindo três fractais: Curva
de Koch e Tapete de Sierpinski com o Sketchpad, e o fractal tridimensional
com papel, tesoura e cola. Se entre as duas visitas à Exposição
“Matemática Viva” (a primeira a quando do estudo das cónicas e a
segunda a quando do estudo dos fractais) as opiniões se dividiram quanto
à mais interessante, o mesmo não aconteceu quanto ao trabalho global
realizado com cónicas e com fractais, a totalidade dos alunos optou por
este último, talvez porque os fractais são figuras muito mais apelativas que
as cónicas, talvez porque ele englobou dois jogos: o do Caos e o das Torres
de Hanoi. Só tenho pena de não ter tido tempo para abordar o outro
aspecto que me tinha proposto — o Caos — mas em contrapartida
consegui englobar na exploração dos módulos da Exposição “Matemática
Viva”: o Princípio de indução matemática nas Torres de Hanoi e a conexão
entre a proporcionalidade entre as diferentes dimensões de figuras
semelhantes e a soma de n termos de uma progressão aritmética na Pilha
de esferas, o que não estava previsto.
Manuela Ribeiro
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ANEXOS
O Jogo do Caos
Vamos todos jogar o jogo do Caos.
Para isso começamos por preparar a mesa de jogo:
Um triângulo (para maior simplicidade vamos considerar equilátero) com
os três vértices etiquetados com 1, 2 e 3.
3
1 2
Um dado com as faces etiquetadas com os números 1, 2 e 3.
Como o nosso dado de seis faces está como qualquer dado normal
etiquetado com os números de 1 a 6, vamos identificar com o mesmo
número as faces opostas. Assim as faces:
1 e 4 identificam o número 1
2 e 5 identificam o número 2
3 e 6 identificam o número 3
Uma régua e uma caneta.
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Em seguida inteiramo-nos das regras do jogo:
Escolhemos um vértice ao acaso lançando o dado — Ponto original P0;
Lançamos novamente o dado (está escolhido o segundo vértice);
Unimos o ponto original P0 com este vértice e marcamos o ponto médio
do segmento — Ponto P1;
Repetimos novamente o processo lançando o dado, unindo o vértice
identificado com P1 e marcando o ponto médio do segmento — Ponto
P2;
E assim sucessivamente.
Eis os quatro primeiros pontos obtidos
P3P2
P1
3 P0
1 2
P0 = 3
Vértice 2 —— P1
Vértice 1 —— P2
Vértice 1 —— P3
Proponho agora que todos vocês continuem o jogo.
? Alguma previsão quanto à localização do próximo ponto P4?
? Quantas localizações possíveis?
? Alguma previsão quanto à figura desenhada ao fim de muitos, muitos, …
passos?
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Como nem todos certamente têm um dado, vamos usar a calculadora
para simular um. Para isso pedimos-lhe um número aleatório inteiro entre 1 e
6 com:
MATH
PRB
5: randInt (
ENTER
randInt (1, 6)
ENTER
Com estas instruções a calculadora gera números aleatórios a partir de um
valor original — semente — de fábrica o mesmo para todas as
calculadoras, o que faz com que a sequência de números aleatórios
gerados seja a mesma para todos vós, se nada foi feito.
Para alterar a situação vamos mudar a semente memorizando uma
personalizada, por exemplo o número de telefone. Para isso:
Nº de telefone
STO
MATH
PRB
1: rand
ENTER
NB: Embora a nova semente tenha sido armazenada em rand, também
afecta as instruções 5, 6 e 7.
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Guião de Visita à ao Pavilhão do Conhecimento – Ciência Viva
Exposição “Matemática Viva” Eis-nos de novo de visita à Exposição “Matemática Viva”. Proponho-te hoje
que dês particular atenção aos módulos intimamente relacionados com o
tema que tem ocupado o 3º Período — Sucessões. São eles:
Atractor de Sierpinski
Torres de Hanoi
Modelo Fractal
Pilha de esferas
No tempo que te sobrar revê algum dos módulos explorados aquando da
visita anterior ou explora alguns dos restantes.
— Atractor de Sierpinski
Estás perante a imagem construída pelos sucessivos visitantes da Exposição,
desde 24 de Novembro de 2000, que se dispuseram a jogar o Jogo do
Caos.
Recorda a imagem obtida pondo o Jogo do Caos a circular rotativamente
pela tua turma. Como vês, a figura que atrai todos os pontos marcados
aparece aqui muito mais definida. O que te lembra?
É verdade o Tapete de Sierpinski pode ser obtido:
por um processo recursivo — primeiro exemplar que te apareceu.
Partindo de um triângulo o que fazer?
ou por um processo aleatório — o exemplar que tens à frente.
Onde reside o carácter aleatório?
Queres contribuir com mais alguns pontos para a construção do Tapete de
Sierpinski?
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— Torres de Hanoi - Modelo fractal
Joga o jogo com 4 discos e conta o número de movimentos efectuados.
Joga agora o jogo com 5 discos e volta a contar o número de
movimentos efectuados.
¿ Terás, em cada caso, encontrado a solução óptima para o jogo?
Os modelos fractais de 4 e 5 cores permitir-te-ão testar as tuas soluções. Vê
como os usar, num computador disponível.
¿ Então as tuas soluções eram as óptimas?
Procura agora num computador disponível a lenda associada a este
jogo.
Por último procura, usando o método de indução, justificar que o
número mínimo de movimentos necessários para n discos é 12 −n .
Para isso começa por definir por recorrência o número de movimentos:
— Condição inicial M(1) = …
— Condição de recorrência
Como relacionar M(n) com M(n-1) ?
Supõe que já sabes mover n-1 discos de uma haste para outra qualquer,
isto é, conheces M(n-1). Como mover agora n discos de uma haste para
outra?
Supõe os n discos na haste 1.
1. Pega nos n-1 primeiros discos (do topo para a base) e coloca-os na haste
2. Quantos movimentos?
2. Move agora o último disco da haste 1 para a haste 3. Quantos
movimentos?
Se sim parabéns
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3. Por último move os n-1 discos da haste 2 para a haste 3. Quantos
movimentos?
4. Então qual a relação de recorrência?
Prova agora por indução que nnM n ∀−= 12)( .
— Pilha de Esferas
Para além de contares o número total de bolas existentes na pilha, conta
também quantas estão invisíveis.
Cib@rcafé Tomaste já contacto com a geometria fractal através do Tapete de
Sierpinski. Embora na sala de aula vás dedicar mais algum tempo à
geometria fractal, procura hoje na enciclopédia
www.wikipedia.org
ficar a saber mais alguma coisa sobre fractais.
Para isso:
1. Escolhe o idioma Português.
Faz uma busca com o termo “Fractais”.
2. Escolhe o idioma Espanhol.
Faz uma busca com o termo “Conjunto de Mandelbrot”.
Procura ser expedito nas tuas contagens
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Questionário
Com recurso a materiais manipuláveis, software de geometria dinâmica e
enciclopédia web abordaste:
• vários fractais: Tapete de Sierpinski, Curva de Koch, Conjunto de
Mandelbrot, fractal tridimensional, para além de outros, presentes na
natureza;
• o princípio de indução matemática (lembras-te das Torres de Hanoi?);
• a proporcionalidade entre as diferentes dimensões de figuras
semelhantes e a soma de n termos de uma progressão aritmética
(lembras-te da pilha de esferas?).
Fizeste ainda uma viagem pelas figuras autosemelhantes, dimensão de
autosemelhança e dimensão topológica, e geometria fractal.
— Qual o aspecto que mais gostaste de trabalhar?
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Porquê?
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
— Qual o aspecto que mais te surpreendeu?
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Porquê?
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
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— Achaste adequados os materiais utilizados?
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
— Qual ou quais achaste mais interessantes?
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Porquê?
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
— Que comentário te oferece todo o trabalho realizado?
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Nome ………………………………………………………………………………………...
Nº ………. Turma ………
