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A.S.E.A.S.E. 9.9.11
ARCHITETTURA DEI SISTEMI ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICIELETTRONICI
LEZIONE N° 9LEZIONE N° 9
• Esempi di applicazione dei vari teoremiEsempi di applicazione dei vari teoremi• Passaggi da forma SP a PS e viceversaPassaggi da forma SP a PS e viceversa• insieme insieme funzionalmente completofunzionalmente completo• Funzione Funzione NANDNAND• Funzione Funzione NORNOR
A.S.E.A.S.E. 9.9.22
RichiamiRichiami
• Mintermini Mintermini • MaxterminiMaxtermini• Forma Canonica SPForma Canonica SP• Forma Canonica PSForma Canonica PS• Manipolazione delle funzioni logicheManipolazione delle funzioni logiche
A.S.E.A.S.E. 9.9.33
RiassuntoRiassunto• POSTULATIPOSTULATI
0 5b 1 5a
4b 4a
3b 3a
1 2b 0 2a
)( logico Prodotto 1b )( logica Somma 1a
distinti elementi due Almeno
xxxx
zxyxzyxzxyxzyx
xyyxxyyx
xxxx
A.S.E.A.S.E. 9.9.44
RiassuntoRiassunto
• TEOREMITEOREMI
8b 8a
7b y y 7a
yz 6b 6a
5b 5a
4b 4a
3b 3a
2a
00 1b 11 1a
yxyxyxyx
zxyxzyzxyxzxxyzzxx
xyzzxyxzyxzyxzyx
xyyxxyxyxx
xyxxxxyx
xxxxxx
xx
xx
A.S.E.A.S.E. 9.9.55
OsservazioniOsservazioni
1.1. I teoremi di destra si possono ottenere I teoremi di destra si possono ottenere da quelli di sinistra scambiando OR con da quelli di sinistra scambiando OR con AND e “0” con “1”AND e “0” con “1”
2.2. Principio di dualitàPrincipio di dualità
3.3. Molti dei teoremi visti sono veri anche Molti dei teoremi visti sono veri anche nell’algebra che conosciamonell’algebra che conosciamo
4.4. Particolarmente significativi sono i Particolarmente significativi sono i teoremi di De Morgan e la proprietà teoremi di De Morgan e la proprietà distributivadistributiva
5.5. Molti teoremi, in particolare quelli di De Molti teoremi, in particolare quelli di De Morgan, sono veri anche per “n” variabiliMorgan, sono veri anche per “n” variabili
A.S.E.A.S.E. 9.9.66
Esempio 1Esempio 1
• Semplificare la seguente espressione:Semplificare la seguente espressione:
• In base ai teoremi visti si ha:In base ai teoremi visti si ha: zyzxzx
zyxzyxzyzzxzyzxzx
0
P 4b
P 5b
P 2a
8b 8a
7b y y 7a
yz 6b 6a
5b 5a
4b 4a
3b 3a
2a
00 1b 11 1a
yxyxyxyx
zxyxzyzxyxzxxyzzxx
xyzzxyxzyxzyx
xyyxxyxyxx
xyxxxxyx
xxxxxx
xx
xx
0 5b 1 5a
4b 4a
3b 3a
1 2b 0 2a
)( logico Prodotto 1b )( logica Somma 1a
xxxx
zxyxzyxzxyxzyx
xyyxxyyx
xxxx
A.S.E.A.S.E. 9.9.77
Esempio 1’Esempio 1’
• Per altra via; posto:Per altra via; posto:• si ha:si ha:
zyxzyx
zyzzxzxzxzyzzxzxzxx
zyzTxTzyTzxzyzxzx
0
zxT
P 4b
8b 8a
7b y y 7a
yz 6b 6a
5b 5a
4b 4a
3b 3a
2a
00 1b 11 1a
yxyxyxyx
zxyxzyzxyxzxxyzzxx
xyzzxyxzyxzyx
xyyxxyxyxx
xyxxxxyx
xxxxxx
xx
xx
0 5b 1 5a
4b 4a
3b 3a
1 2b 0 2a
)( logico Prodotto 1b )( logica Somma 1a
xxxx
zxyxzyxzxyxzyx
xyyxxyyx
xxxx
P 4aP 3b
A.S.E.A.S.E. 9.9.88
Esempio 2Esempio 2
• Semplificare la seguente espressione:Semplificare la seguente espressione:
• In base ai teoremi visti si ha:In base ai teoremi visti si ha:yzxyyxyx
yzxy
yzyyxxxy
yzxyyxyxyxyzxyyxyx
A.S.E.A.S.E. 9.9.99
Esempio 3Esempio 3
• Verificare la seguente identità:Verificare la seguente identità:
• In base al teorema di De Morgan si ha:In base al teorema di De Morgan si ha: yxyxyxxy
xyyxxyyx
yyxyyxxxyxyxyxxy
yxxy
00
A.S.E.A.S.E. 9.9.1010
Esempio 4Esempio 4
• Trasforma in somma di prodotti la Trasforma in somma di prodotti la seguente espressione:seguente espressione:
• risulta:risulta:
zyxzyxzyx
zyzxyxyx
yxzyx
zzzzyxyxyxzyx
zyxzyxzyx
A.S.E.A.S.E. 9.9.1111
OsservazioniOsservazioni
• Se l’espressione in esame e funzione di Se l’espressione in esame e funzione di tre variabilitre variabili
• L’espressione di partenza è nella forma L’espressione di partenza è nella forma canonica PS canonica PS
• L’espressione di arrivo non è nella L’espressione di arrivo non è nella forma canonica SP, perché i termini di forma canonica SP, perché i termini di prodotto non sono costituiti da tre prodotto non sono costituiti da tre letteraliletterali
A.S.E.A.S.E. 9.9.1212
Trasformazione SP – PS e PS - Trasformazione SP – PS e PS - SPSP
• Dalla tabella dei prodotti e delle sommeDalla tabella dei prodotti e delle somme
nn xx yy zz pp ss
00 00 00 00 x •x •y y ••z z
pp00 11 x + y + x + y + zz
ss00 00
11 00 00 11 x •x •y • y • zz
pp11 11 x + y x + y ++z z
ss11 00
22 00 11 00 x • y x • y ••z z
pp22 11 x +x +y + y + zz
ss22 00
33 00 11 11 x • y x • y • z• z
pp33 11 x +x +y y ++z z
ss33 00
44 11 00 00 x •x •y y ••zz
pp44 11 x + y + x + y + zz
ss44 00
55 11 00 11 x •x •y • y • zz
pp55 11 x + y x + y ++zz
ss55 00
66 11 11 00 x • y x • y ••z z
pp66 11 x +x +y + y + zz
ss66 00
77 11 11 11 x • y • zx • y • z pp77 11 x +x +y y ++zz
ss77 00
A.S.E.A.S.E. 9.9.1313
OsservazioneOsservazione• Data un’espressine nella forma SP Data un’espressine nella forma SP
• Si può scrivere come SP complementata Si può scrivere come SP complementata dei dei
22nn-k prodotti non impiegati -k prodotti non impiegati nell’espressione precedentenell’espressione precedente
• Applicando il teorema di De MorganApplicando il teorema di De Morgan
• Applicando De Morgan si ottiene la Applicando De Morgan si ottiene la forma PSforma PS
kba PPP
knPPP
221
kk nn PPPPPP
221221
A.S.E.A.S.E. 9.9.1414
EsempioEsempio• Data l’espressioneData l’espressione
• Si haSi ha zyxzyxzyx
zxyxyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyx
zyxzyxzyx
A.S.E.A.S.E. 9.9.1515
OsservazioniOsservazioni
• Si ha quindi la seguente regolaSi ha quindi la seguente regola• Passaggio da SP a PSPassaggio da SP a PS
– Applicare il Th di De Morgan al complemento Applicare il Th di De Morgan al complemento di ciascun mintermine di ciascun mintermine assenteassente nella forma nella forma SPSP
– Formare il prodotto dei maxtermini ottenutiFormare il prodotto dei maxtermini ottenuti
• Passaggio da PS a SPPassaggio da PS a SP– Applicare il Th di De Morgan al complemento Applicare il Th di De Morgan al complemento
di ciascun maxtermine di ciascun maxtermine assenteassente nella forma nella forma PSPS
– Formare il prodotto dei mintermini ottenutiFormare il prodotto dei mintermini ottenuti
A.S.E.A.S.E. 9.9.1616
Premessa 1Premessa 1
• OsservazioniOsservazioni– le funzioni AND, OR e NOT costituiscono un le funzioni AND, OR e NOT costituiscono un
insieme insieme funzionalmente completofunzionalmente completo di operatori di operatori logicilogici
– In base al teorema di De Morgan si ha:In base al teorema di De Morgan si ha:
– ovvero la funzione OR si può realizzare con le ovvero la funzione OR si può realizzare con le funzioni AND e NOT quindi:funzioni AND e NOT quindi:
– le funzioni le funzioni AND e NOTAND e NOT costituiscono un costituiscono un insieme insieme funzionalmente completofunzionalmente completo di operatori di operatori logicilogici
yxyx
A.S.E.A.S.E. 9.9.1717
Premessa 2Premessa 2
• OsservazioniOsservazioni– Sempre in base al teorema di De Morgan si ha:Sempre in base al teorema di De Morgan si ha:
– ovvero la funzione AND si può realizzare con le ovvero la funzione AND si può realizzare con le funzioni OR e NOT quindifunzioni OR e NOT quindi
– le funzioni le funzioni OR e NOTOR e NOT costituiscono un insieme costituiscono un insieme funzionalmente completofunzionalmente completo di operatori logici di operatori logici
– le funzioni OR e AND le funzioni OR e AND nonnon costituiscono un costituiscono un insieme insieme funzionalmente completofunzionalmente completo di operatori di operatori logici perché non è possibile realizzare la logici perché non è possibile realizzare la funzione NOTfunzione NOT
yxyx
A.S.E.A.S.E. 9.9.1818
DefinizioneDefinizione
• Le funzioni NAND e NOR sono definite Le funzioni NAND e NOR sono definite dalle seguenti tabelle di veritàdalle seguenti tabelle di verità
xx yy uu
00 00 11
00 11 11
11 00 11
11 11 00
xx yy uu
00 00 11
00 11 00
11 00 00
11 11 00
yxu NAND yxu NOR
A.S.E.A.S.E. 9.9.1919
OsservazioniOsservazioni
• NAND e NOR sono contrazioni di NAND e NOR sono contrazioni di NOT-AND e NOT-ORNOT-AND e NOT-OR
• la funzione la funzione NANDNAND costituisce un costituisce un insieme insieme funzionalmente completofunzionalmente completo di di operatori logicioperatori logici
• la funzione la funzione NORNOR costituisce un insieme costituisce un insieme funzionalmente completofunzionalmente completo di operatori di operatori logicilogici
xxx yxyx
xxx yxyx
A.S.E.A.S.E. 9.9.2020
ConclusioniConclusioni
• Esempi di applicazione dei vari teoremiEsempi di applicazione dei vari teoremi• Passaggi da forma SP a PS e viceversaPassaggi da forma SP a PS e viceversa• insieme insieme funzionalmente completofunzionalmente completo• Funzione Funzione NANDNAND• Funzione Funzione NORNOR
A.S.E.A.S.E. 9.9.2121
Quesiti 1Quesiti 1
• Costruire la tabella di verità per le Costruire la tabella di verità per le seguenti funzioni.seguenti funzioni.
32143214321
31321321
,,,
,,
,,
xxxxxxxxxxxfc
yzxyxzyxfb
xxxxxxxxfa
32143214321
31321321
,,,
,,
,,
xxxxxxxxxxxfc
yzxyxzyxfb
xxxxxxxxfa
A.S.E.A.S.E. 9.9.2222
Quesiti 2Quesiti 2• Scrivere le forme canoniche PS e SP per Scrivere le forme canoniche PS e SP per
le due tabelle di verità seguenti:le due tabelle di verità seguenti:
xx yy zz ff
00 00 00 11
00 00 11 00
00 11 00 00
00 11 11 11
11 00 00 00
11 00 11 00
11 11 00 11
11 11 11 11
xx yy zz ff
00 00 00 00
00 00 11 11
00 11 00 11
00 11 11 11
11 00 00 00
11 00 11 11
11 11 00 00
11 11 11 11
A.S.E.A.S.E. 9.9.2323
Quesiti 3Quesiti 3
• Verificare le seguenti identitàVerificare le seguenti identità
313221313221
4241421431431
21313121
xxxxxxxxxxxxc
xxxxxxxxxxxxxb
xxxxxxxxa