Embed Size (px)
Citation preview
Facultad de Química - Departamento de Química Física
Asignatura deQuímica Física II , 2º
Problemas
ProfesoresGrupo 2. Rafael Rodríguez PappalardoGrupo 3. Antonio M. Márquez CruzGrupo 4. Enrique Sánchez Marcos
Curso 2015-2016
© 2010 — 2016 Rafael Rodríguez PappalardoAll rights reserved
15 14 13 12 11 10 9 8 6 5 4 3 2 1
Primera edición: 6 de febrero de 2015Añadida sección sobre series.Añadido problema Raman en el Tema 6 (AMMC).Cambio comandos de Mathematica por Maxima.Tercera edición: 13 de abril de 2015Expresión correcta de los erroresCuarta edición: 30 de enero de 2016
Índice general
Recomendaciones v
Tema 1 Fundamentos de la mecánica cuántica. Ecuación de Schrödinger. 1
Tema 2 Postulados de la mecánica cuántica. 4
Tema 3 Aplicación de la mecánica cuántica a sistemas sencillos. 5
Tema 4 Operadores y mecánica cuántica. 7
Tema 5 Vibración y rotación en mecánica cuántica. 8
Tema 6 Espectroscopía vibracional y rotacional. 10
Tema 7 El átomo de hidrógeno. 14
Tema 8 Átomos polielectrónicos. 15
Tema 9 Estados cuánticos para átomos polielectrónicos y espectroscopíaatómica. 17
Tema 10 Estructura electrónica molecular. 20
Tema 11 Espectroscopía electrónica molecular. 21
Tema 12 Espectroscopía de resonancia magnética nuclear y de resonanciade spin electrónico. 23
Tema 13 Termodinámica Estadística. 24
Soluciones 26
Datos útiles 32Unidades base del SI 32Unidades derivadas del SI 32Prefijos del SI 33Alfabeto griego 33Constantes fundamentales 34Factores de conversión para unidades de energía 34
Suplemento matemático 35Relaciones trigonométricas 35Funciones hiperbólicas 35Integrales 37
Básicas 37Polinómicas 37Exponenciales 37Trigonométricas 38
i i i
iv Índice general
Expansiones en series 38Sistemas de coordenadas 39
Coordenadas polares planas 39Coordenadas esféricas 40
Números complejos 40Vectores 41
Suma y substracción de vectores 42Producto de vectores 42
Producto escalar 42Producto vectorial 42
Determinantes 43Definiciones 43Propiedades 43Resolución de sistemas de ecuaciones 44
Operadores 44Operadores lineales 44Autovalores y autofunciones 45Conmutador de operadores 45Operadores hermíticos 45
Funciones especiales 45Funciones definidas mediante integrales 45
Función Gamma de Euler 45Función Beta 46Función de error 46Función complementaria de error 47
Polinomios ortogonales 47Polinomios de Hermite 47Polinomios y funciones asociadas de Legendre 49Armónicos esféricos 50Polinomios generalizados de Laguerre 51
Maxima Reference Card 54
Índice de figuras 57
Índice de tablas 58
Recomendaciones
Antes de intentar resolver los problemas propuestos en un tema es recomenda-ble, al menos, haber leído la información suministrada en clases de teoría. Esfundamental entender los conceptos desarrollados en el tema. La realizaciónde un formulario de cada tema es de gran ayuda.
Al intentar resolver un problema léalo al menos dos veces. En una primeralectura intente averiguar qué es lo que se pregunta. En las lecturas siguientesintente averiguar qué información se suministra y cuál falta.
Estudie qué datos se suministran. Pregúntese qué se proporciona y cómo serelaciona con lo que necesita para responder la pregunta planteada.
Al pensar en la solución no busque una fórmula que contenga todos los pará-metros proporcionados en el enunciado. Una parte importante del aprendizajees saber distinguir las limitaciones de uso de las ecuaciones desarrolladas enla teoría.
Los gráficos nos permiten “ver” los datos. Considere la posibilidad de repre-sentar gráficamente los datos suministrados o derivados de los mismos demodo que se distribuyan en una línea recta. Las desviaciones de los datos dela línea recta son mucho más fáciles de detectar que las desviaciones de unacurva.
Para evitar errores de redondeo o de manipulación, es conveniente realizarprimero las operaciones algebraicas y luego sustituir los valores numéricos enla fórmula final. Esto permite utilizar el resultado analítico con otros datos sintener que repetir el cálculo completo.
El número de cifras significativas en el resultado de un cálculo no debe excederel número de cifras significativas en los datos.
Use las unidades de cada magnitud al plantear el problema. Si está bien plan-teado las unidades de la respuesta suelen ser obvias. En lo posible utilice elSistema Internacional.
Conozca las unidades de algunas magnitudes físicas. Por ejemplo, la unidadde energía es el julio (J). Aunque es equivalente a kg m2 s−2 este conglomeradode unidades es difícil de recordar y reconocer.
Los ordenadores y calculadoras no son más que instrumentos. Aprenda a uti-lizarlos correctamente, sólo así los resultados que obtenga con su uso tendránsentido.
v
Te
ma 1
Fundamentos de la mecánicacuántica. Ecuación de
Schrödinger.
Colapso de las ideas clásicas: radiación del cuerpo negro, efecto fotoeléctrico, dualidadonda–partícula. Espectros atómicos y modelo de Bohr del átomo de hidrógeno. Laecuación de Schrödinger. Operadores, observables, funciones propias y valores propios.Operadores y mecánica cuántica.
1. Las líneas observadas en el espectro de emisión del hidrógeno atómico vienendadas por
ν(cm−1) = RH(cm−1)
(1
n21− 1
n2
), n > n1
En la notación preferida por los espectroscopistas ν = 1/λ = E/hc y RH =109 677 cm−1. Las series de Lyman, Balmer y Paschen se corresponden conn1 = 1, 2 y 3, respectivamente, para emisión desde hidrógeno atómico. ¿Cuáles el valor más alto de ν y E en cada una de las series?
2. ¿Cuál es el máximo número de electrones que puede emitirse si una superficiede potasio con función trabajo 2.40 eV absorbe 5.00× 10−3 J de radiación deuna longitud de onda de 325 nm? ¿Cuál es la energía cinética y la velocidadde los electrones emitidos?
3. Para un gas monoatómico, una medida de la “velocidad promedio” de losátomos es la raíz cuadrada de la velocidad cuadrática media, vrms = 〈v2〉1/2 =√
3kBT/m, en la quem es la masa atómica o molecular y kB es la constante deBoltzmann. Use esta fórmula para calcular la longitud de onda de de Brogliepara H2 y Ar a 200 K y 900 K.
4. Si un electrón pasa a través de una diferencia de potencial eléctrico de 1 V, tieneuna energía de 1 eV (electronvoltio). ¿A través de qué diferencia de potencialdebe pasar para tener una longitud de onda de 0.300 nm?
5. ¿Qué velocidad tiene una molécula de F2 si tiene el mismo momento que unfotón de longitud de onda 225 nm?
1
2 Tema 1. Fundamentos de la mecánica cuántica. Ecuación de Schrödinger.
6. La distribución de longitudes de onda de luz emitida por un cuerpo negroradiante es una función que depende de la temperatura. Esta dependencia seusa paramedir la temperatura de objetos calientes sin establecer contacto físicocon ellos en una técnica llamada pirometría óptica. En el límite (hc/λkBT ) 1el máximo en una representación de ρ(λ, T ) frente a λ viene dado por λmax =hc/5kBT . ¿A qué longitud de onda aparece el máximo en ρ(λ, T ) para T =675 K, 1150 K y 6200 K?
7. En un experimento de efecto fotoeléctrico con potasio se obtuvieron los si-guientes datos:
1019× Energía cinética /J 5.10 4.49 3.09 1.89 1.34 0.700 0.311Longitud de onda /nm 200. 250. 300. 350. 400. 450. 500.
Mediante la representación gráfica adecuada obtenga los valores de la funcióntrabajo y la constante de Planck.
8. La función trabajo de paladio es 5.22 eV. ¿Cuál es la frecuencia mínima deradiación que se requiere para observar el efecto fotoeléctrico en el Pd? Sise irradia con luz de longitud de onda 200 nm, ¿cuál es la velocidad de loselectrones emitidos?
9. Las funciones cos(nπxd ) con n = 1, 2, 3, . . . son ortogonales ya que las integralesd∫−d
cos(nπxd ) cos(mπxd ) dx = 0 si n 6= m. ¿Por qué constante se deben multiplicar
estas funciones para que formen un conjunto ortonormal?
10. Determine en cada caso si la función de la primera columna es función propiadel operador de la segunda columna. En caso afirmativo, diga cuál es el valorpropio.
Función Operador
a) x2x2
8
d2
dx2
b) x3 + y3 x3∂3
∂x3+ y3
∂3
∂y3
c) sin 2θ cosφ∂4
∂θ4
11. Encuentre el resultado de operar con d2
dx2− 2x2 sobre la función e−ax
2 . ¿Cuáldebe ser el valor de a para que esta exponencial sea función propia del opera-dor? ¿Cuál es el valor propio?
12. Si dos operadores actúan sobre una función como en ABf(x), es importantellevar a cabo las operaciones de forma que primero actúe el operador B sobre lafunción y luego el operador A sobre la función resultante, ABf(x) = A(Bf(x)).Evalúe las operaciones de la siguiente tabla.
Tema 1. Fundamentos de la mecánica cuántica. Ecuación de Schrödinger. 3
A B f(x, y)
a) d
dyy ye−2y
3
b) yd
dyye−2y
3
c) y∂
∂xx∂
∂ye−2(x+y)
d) x∂
∂yy∂
∂xe−2(x+y)
13. Normalice el conjunto de funciones φn(θ) = einθ, 0 ≤ θ ≤ 2π. Para ello necesitamultiplicar las funciones por una constante N de tal modo que la integral
NN∗2π∫0
φ∗m(θ)φn(θ) dθ = 1, param = n si n ym son enteros.
14. ¿Cuáles de las siguientes funciones son funciones propias del operador d2
dx2?
Si son funciones propias, ¿cuál es el valor propio?
a(e−3x + e−3ix),a) sin 2πxa ,b) e−2ix,c)
cos axπ ,d) e−ix2 .e)
Problemas matemáticos
Los siguientes problemas son de carácter matemático. Si no los sabe resolversería conveniente que repasara la materia correspondiente.
15. Efectúe las siguientes transformaciones de coordenadas.
a) Exprese el punto x = 3, y = 1 y z = 1 en coordenadas esféricas.
b) Exprese el punto r = 5, θ =π
4y φ =
3π
4en coordenadas cartesianas.
16. Demuestre quea+ ib
c+ id=ac+ bd+ i(bc− ad)
c2 + d2
17. Exprese los siguientes números complejos en la forma exponencial.
5 + 6i,a) 2i,b) 4,c)5 + i
3− 4i,d) 2− i
1 + i.e)
18. Exprese los siguientes números complejos en la forma a+ ib.
2e3iπ/2,a) 4√
3 eiπ/4,b)
eiπ,c)√
5
1 +√
2eiπ/4.d)
Te
ma 2
Postulados de la mecánicacuántica.
Estados y función de ondas. Representación de observables por operadores. Valoresperado y resultado de una medida individual. Significado físico de la función deondas. Evolución temporal de un sistema mecano–cuántico.
1. ¿Cuáles de las siguientes funciones son funciones monoevaluadas de la varia-ble x?
sin2πx
aa) e3
√x,b)
1− 3 sin2 x,c) e2πix.d)
2. La función sinx/x, ¿es continua en x = 0? Responda esta cuestión evaluandof(0) y lım
x→0f(x).
3. ¿Cuáles de las siguientes funciones son aceptables como funciones de ondasen el intervalo especificado?
e−x, 0 < x <∞,a) e−x, −∞ < x <∞,b)
e−2πix, −100 < x < 100,c) 1
x, 1 < x <∞.d)
4. Para un operador hermítico A se cumple que∫ψ∗(x)
[Aψ(x)
]dx =
∫ψ(x)
[Aψ(x)
]∗dx
Suponga que Af(x) = (a + ib)f(x) donde a y b son constantes. Muestre quesi A es un operador hermítico, b = 0 por lo que los valores propios de A sonreales.
5. La relación A(f(x)+g(x)) = Af(x)+Ag(x), ¿se cumple siempre? Si no, pongaun ejemplo que demuestre su conclusión.
4
Te
ma 3
Aplicación de la mecánicacuántica a sistemas sencillos.
La partícula libre. La partícula en una caja mono-, bi- y tridimensional de paredesinfinitas. Barreras finitas y efecto túnel.
1. Calcule los valores esperados 〈x〉 y 〈x2〉 para una partícula en el estado n = 5moviéndose en una caja monodimensional de longitud a = 2.5× 10−10 m. ¿Es〈x2〉 = 〈x〉2? Explique su respuesta.
2. Suponga que la función de ondas de un sistema de masam se puede escribircomo
ψ(x) =
√3
4φ1(x) +
√3
2√
2φ2(x) +
2 + i√
3
4φ3(x)
y que φ1(x), φ2(x) y φ3(x) son funciones propias normalizadas del operadorenergía cinética (Ec), con valores propios E1, 2E1 y 4E1, respectivamente.
a) Compruebe que ψ(x) está normalizada.b) ¿Cuáles son los valores que se pueden obtener al medir la energía cinética
en sistemas que se encuentran en el mismo estado descrito por la funciónψ(x)?
c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener cada uno de estos valores?d) ¿Cuál es el valor medio de la energía cinética que se obtendría al realizar
un número grande de medidas en sistemas idénticos?
3. Deduzca una ecuación para la probabilidad de que una partícula caracterizadapor el número cuánticon esté en el primer cuarto (0 ≤ x ≤ 0.25a) de una caja deparedes de potencial infinito,de dimensión a. Demuestre que esta probabilidadse aproxima al límite clásico cuando n→∞.
4. Demuestre que los valores propios de la energía para la partícula libre, E =~2k2/2m, son consistentes con el resultado clásico, E = mv2/2.
5. Calcule la longitud de onda de la luz emitida cuando un electrón en una cajamonodimensional de longitud 5.0 nm realiza una transición desde el estadode número cuántico n = 7 al estado de n = 6.
5
6 Tema 3. Aplicación de la mecánica cuántica a sistemas sencillos.
6. Calcule a) el valor del punto cero de energía de un átomo de He en una cajamonodimensional de longitud 1.00 cm y b) el cociente entre esta energía y elvalor kBT a 300 K.
7. ¿Cuáles son las energías de los cinco niveles de energía más bajos en una cajatridimensional de dimensiones a = b = c? ¿Cuál es la degeneración de cadanivel?
8. Considere una partícula en una caja monodimensional definida por V (x) = 0,a > x > 0 y V (x) = ∞, x ≥ a, x ≤ 0. Explique por qué cada una de lassiguientes funciones no normalizadas es o no es aceptable como función deondas, basándose en criterios tales como ser consistente con las condicioneslímite y con la definición de probabilidad asociada al producto ψ∗(x)ψ(x) dx:
A cosnπx
a+A′ sin
nπx
a,a) B(1 + sin
nπx
a),b)
Cx3(x− a),c) D(a− x)x,d)
E
cos nπxa.e)
9. Calcule la probabilidad de que una partícula en una caja monodimensionalde longitud a se encuentre entre 0.32a y 0.35a cuando está descrita por lassiguientes funciones de ondas:√
2
asin(πxa
)a)
√2
asin
(3πx
a
)b)
¿Qué resultado cabría esperar para una partícula clásica? Compare sus resul-tados en los dos casos con el límite clásico.
10. ¿Las funciones propias del hamiltoniano, H , de la partícula en una caja mo-nodimensional son también funciones propias del operador momento lineal,px? Calcule el valor promedio de px para el caso n = 3. Repita el cálculo paran = 5 y, a partir de estos dos resultados, sugiera una expresión válida paratodos los valores de n. ¿Cómo compara su resultado con la predicción basadaen la física clásica?
Te
ma 4
Operadores y mecánica cuántica.
Relaciones de conmutación. Experimento de Stern–Gerlach. Principio de incertidumbrede Heisenberg.
1. Demuestre:
a) Que la función ψ(x) = e−x2/2 es función propia del operador A = x2 −
d2/ dx2.b) Que Bψ(x) (donde B = x− d/dx) es otra función propia de A.
2. Evalúe el conmutador [d/dx, 1/x2] aplicando los operadores a una funciónarbitraria f(x).
3. Evalúe el conmutador [x(∂/∂y), y(∂/∂x)] aplicando los operadores a una fun-ción arbitraria f(x, y).
4. En el caso de que la función de ondas que describe un sistema no sea funciónpropia de un operador B, se obtienen resultados diferentes cada vez que serealiza una medida de la propiedad B, en sistemas idénticos. La varianza delconjunto de resultados se define como σ2B = 〈(B− 〈B〉)2〉, donde B es el valorde una medida y 〈B〉 es la media de todas las medidas. Demuestre que σ2B =
〈B2〉 − 〈B〉2, usando la definición del valor medio 〈A〉 =∫ψ∗(x)Aψ(x) dx.
5. Evalúe el conmutador [x, px] aplicando los operadores a una función arbitrariaf(x). ¿Qué valor tiene el conmutador [px, x]?
6. Demuestre que [A, BC] = [A, B]C + B[A, C] si los operadores A, B y C sonlineales.
7
Te
ma 5
Vibración y rotación en mecánicacuántica.
Oscilador armónico monodimensional. Cuantización del momento angular. Funcionespropias y valores propios de los operadores de momento angular. Los armónicosesféricos. El rotor rígido.
1. Una molécula de 1H127I en fase gaseosa, cuya longitud de enlace es 160.92 pm,puede girar en el espacio tridimensional.
a) Calcule la energía del punto cero asociada a este giro.b) ¿Cuál es el valor más pequeño de energía que puede absorber esta molé-
cula en un proceso de excitación rotacional?
2. Demuestre que el conmutadorde los operadores lx y ly viene dadopor: [lx, ly] =
i~lz , siguiendo los pasos:
a) El vector momento angular en tres dimensiones tiene la forma: ~l =~ilx +~jly + ~klz , donde~i, ~j y ~k son los vectores unitarios en las tres direcciones.Determine lx, ly, y lz identificándolos en el producto vectorial ~l = ~r × ~p.Los vectores ~r y ~p vienen dados por las expresiones ~r = ~ix + ~jy + ~kz y~p =~ipx +~jpy + ~kpz .
b) Sustituya las definiciones de los operadores posición ymomento en las ex-presiones para lx y ly. Escriba siempre el operador posición a la izquierdadel operador momento al efectuar el producto de los dos.
3. Calcule la relación nJ/n0 para la molécula de 1H35Cl y los valores de J = 0,5, 10 y 20 a 1025 K. ¿Pasa la función nJ/n0 por un máximo a medida que Jaumenta? En caso afirmativo, ¿qué se puede decir del valor de J correspon-diente al máximo? (Nota: en rotación se usa el número cuántico J en lugar delnúmero cuántico l).
4. Las funciones de ondas px y dxz son combinaciones lineales de armónicosesféricos que son las funciones propias de los operadores H , l2 y lz para larotación en tres dimensiones. Las combinaciones se han elegido de maneraque resulten funciones reales. ¿Son las funciones px y dxz funciones propiasdel operador lz?
8
Tema 5. Vibración y rotación en mecánica cuántica. 9
5. La frecuencia vibracional de la molécula de 35Cl2 es 1.68× 1013 s−1. ¿Cuál esla constante de fuerza del enlace Cl−Cl? ¿Qué masa será necesaria para estirarun muelle clásico con esta constante de fuerza 2.25 cm? Use la aceleración dela gravedad de la Tierra al nivel del mar.
6. Demuestre, efectuando la integración apropiada, que las funciones propiascon v = 0 y v = 2 del hamiltoniano del oscilador armónico son ortogonales enel intervalo −∞ < x < ∞ y que la función con v = 2 está normalizada en elmismo intervalo. Tenga en cuenta que la integral de funciones impares en todoel intervalo es nula y que la integral de funciones pares en todo el intervalo esel doble de la integral en la región positiva o negativa del intervalo.
7. Calcule los valores medios de la energía cinética y de la energía potencial,〈Ec〉 y 〈Epot〉, para el segundo estado excitado (n = 2) del oscilador armónico,efectuando las integraciones correspondientes.
8. Calcule la frecuencia y la longitud de onda de la radiación absorbida cuandoun oscilador armónico de frecuencia 3.15× 1013 s−1, efectúa una transicióndesde el estado n = 2 al estado n = 3.
9. Determine elmomento linealmedio del oscilador armónico, 〈px〉, para el estadofundamental (n = 0) y para los dos primeros estados excitados (n = 1 y n = 2).Haga uso de las propiedades de las integrales de funciones pares e impares,indicadas en el problema 6.
10. Una molécula de 1H35Cl está en el estado cuántico rotacional J = 8 y el estadocuántico vibracional n = 0,
a) calcule la energía rotacional y vibracional de la molécula. Compare cadauna de estas energías con kBT a 300 K.
b) calcule los períodos de rotación y vibración. ¿Cuántas veces vibra la mo-lécula durante un período de rotación?
Te
ma 6
Espectroscopía vibracional yrotacional.
Interacción de la radiación con la materia. Absorción, emisión espontánea y emisiónestimulada. Reglas de selección. Espectroscopía vibracional. Espectroscopía rotacional.Efecto Raman.
1. En el espectro IR de 12C16O se observa una señal intensa a ν = 2170 cm−1.Suponiendo que se cumple el modelo de oscilador armónico para esta molé-cula, calcule la frecuencia fundamental de vibración de la molécula en Hz, elperiodo de la vibración en segundos y la energía de vibración en el punto ceroen julios.
2. La constante de fuerza de la molécula de F2 es 470 N m−1. Calcule la relaciónde poblaciones de los estados de vibración n1/n0 y n2/n0 a T = 300 K y a1000 K para esta molécula.
3. Teniendo en cuenta que la intensidad de una transición depende de la pobla-ción del nivel de partida y que la población relativa de un nivel viene dada porla ley de distribución de Boltzmann, demuestre que la transición más intensaen la espectroscopia de rotación es aquella que parte del nivel correspondienteal número cuántico
Jmax =1
2
[√4IkBT
~2− 1
]
Para ello a) trate J comouna variable continua en la expresión de nJn0
,b) obtenga
la derivada de nJn0
respecto a J , c) iguale la derivada a cero y d) resuelva laecuación para obtener Jmax.
4. Utilice el resultado obtenido en el problema 3 para estimar T en los espectrosde rotación–vibración simulados para 1H35Cl que se muestran en la figura. Déuna estimación realista de la precisión con la que se puede determinar T apartir de los espectros.
10
Tema 6. Espectroscopía vibracional y rotacional. 11
2700 2800 2900 3000 3100 32000.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
wavenumbers Hcm-1L
abso
rban
ce
2700 2800 2900 3000 3100 32000.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
wavenumbers Hcm-1L
abso
rban
ce
5. Demuestre que el potencial de Morse se aproxima al potencial armónico paravalores pequeños de la amplitud de la vibración. (Recomendación: expanda elpotencial de Morse en series de Taylor-Maclaurin).
6. La siguiente figura muestra el espectro de vibración–rotación del 1H19F, mos-trando las ramas P y R (todos los datos están expresados en cm−1). A partirde los datos de la misma: a) identifique las ramas e indique a qué transicióncorresponde cada una, b) obtenga el valor de la constante rotacional (B, encm−1), c) determine la distancia de enlace (en Å), d) indique dónde deberíaaparecer la transición 0→ 0 y por qué no aparece y e) obtenga la constante defuerza del enlace.
12 Tema 6. Espectroscopía vibracional y rotacional.
7. Las frecuencias fundamentales de vibración para las moléculas de 1H2 y 2D2son 4401 cm−1 y 3115 cm−1, respectivamente. Para ambas moléculas De =7.677× 10−19 J. ¿Cuál es la energía de enlace de ambas moléculas?
8. La vibración de la molécula de 1H81Br se puede describir por un potencial deMorse con De = 7.70× 10−19 J. La constante de fuerza para esta molécula es412 N m−1 y ν = 7.94× 1013 s−1.
a) Calcule los cuatro niveles de energía más bajos que se obtendrían usandoun potencial de Morse (oscilador anarmónico) usando la fórmula
En = hν
(n+
1
2
)− (hν)2
4De
(n+
1
2
)2b) Calcule la frecuencia fundamental, ν0, del espectro IR, correspondiente
a la transición n = 0 → n = 1 y las frecuencias de los dos primerossobretonos. ¿Qué error se cometería si se supone que estos sobretonosaparecen a 2ν0 y 3ν0?
9. Indique cuáles de los modos normales de las moléculas de CO2 y H2O indica-dos en la figura son activos en espectroscopia IR.
10. La energía de los niveles de vibración de la molécula de 12C16O viene dadapor la expresión:
νn = 2170.21
(n+
1
2
)cm−1 − 13.461
(n+
1
2
)2
cm−1
Donde n es el número cuántico vibracional. La frecuencia característica de vi-bración vale ν0 = 2170.21 cm−1. A partir de estos datos calcule la profundidaddel pozo de potencial de Morse, De, para esta molécula. Calcule la energía deenlace para 12C16O.
11. La constante rotacional para la molécula de 7Li19F, determinada por espectros-copia de microondas es B = 1.342 583 cm−1. Las masas atómicas del 7Li y del19F son 7.016 004 548 amu y 18.998 403 224 amu, respectivamente. Calcule la lon-gitud de enlace de la molécula con el máximo número de cifras significativasconsistente con estos datos.
12. El espaciado entre líneas en el espectro de rotación pura de la molécula de11B2D es 3.9214× 1011 s−1. Calcule la longitud de enlace de esta molécula.
Tema 6. Espectroscopía vibracional y rotacional. 13
13. Calcule el momento de inercia, el momento angular de rotación y la energíapara el estado rotacional J = 4 de la molécula de 14N2, para la que la longitudde enlace es de 109.8 pm. La masa atómica del 14N es 14.0031 amu.
14. El modelo del rotor rígido se puede mejorar suponiendo que la longitud deenlace aumenta con el número cuántico vibracional, n. Por tanto, la constanterotacional dependerá de n, y se puede demostrar que: Bn = B − (n + 1/2)α,donde B es el valor en el caso del modelo del rotor rígido. El parámetro αse puede obtener de los datos espectrales. Para la molécula de 1H81Br, B =8.464 88 cm−1 yα = 0.233 28 cm−1. Usando la fórmula anterior para Bn, calculela longitud de enlace de la molécula de HBr en su estado fundamental y en elestado con n = 3.
15. La figura muestra la primera línea Stokes en el espectro Raman de 1H35Cl.Sabiendo que se utilizó para la excitación un láser de λ = 514.5 nm, identifi-que cada una de las ramas y obtenga: a) el número de onda de vibración del1H35Cl (en cm−1), b) la constante de fuerza del enlace (enN m−1), c) la constanterotacional (en cm−1) y d) la distancia de enlace (en Å).
16200 16400 16600 16800 17000
1658
0.63
1681
6.52
1677
2.2716
728.65
1668
5.65
1664
3.27
1651
9.8516
479.9516
440.67
1640
2.01
1636
3.97
ν (cm−1)
Intens
idad
Te
ma 7
El átomo de hidrógeno.
Ecuación de Schrödinger para átomos hidrogenoides. Orbitales hidrogenoides. Funciónde distribución radial.
1. Calcule la probabilidad de que un electrón 1s del H se encuentre entre r = a0y r = 2a0.
2. Calcule a qué distancias del núcleo se encuentran el máximo principal y se-cundario de la función de distribución radial para un orbital 2s.
3. Calcule el valor esperado 〈(r− 〈r〉)2〉 si la función de ondas del átomo de H esψ100(r).
4. La fuerza que actúa entre un electrón y un protón en el átomo de H viene dada
por F =−e′2
4πε0r2. Calcule el valor esperado 〈F 〉 para los estados 1s y 2pz del
átomo de H.
5. Considere la función de ondas para el átomo de hidrógeno
ψ310(r, θ, φ) =1
81
(2
π
)1/2( 1
a0
)3/2(6r
a0− r2
a20
)e−r
3a0 cos θ
¿es función propia de algún otro operador? En ese caso, ¿de cuáles?¿Cuálesson los valores propios?
6. Compare el valor medio del radio, 〈r〉 al que se encuentra un electrón 1s en H,He+, Li2+ y Be3+.
7. Calcule las energías de ionización de H, He+, Li2+ y Be3+ en su estado funda-mental en unidades de eV.
14
Te
ma 8
Átomos polielectrónicos.
El átomo de helio. Spin electrónico. Principio de antisimetría. Determinantes de Slater.Método de variaciones. El método de Hartree–Fock.
1. Calcule los ángulos que forma el vector de momento angular de spin de unelectrón con el eje z.
2. Demuestre que ψ(1, 2) = 1s(1)α(1)1s(2)β(2) + 1s(2)α(2)1s(1)β(1) es una fun-ción propia del operador Sz = sz(1) + sz(2). ¿Cuál es el valor propio?
3. Escriba el determinante de Slater para la configuración del estado fundamentaldel átomo de Be.
4. Clasifique las siguientes funciones como simétricas, antisimétricas o sin sime-tría respecto al intercambio de los electrones 1 y 2.
a) [1s(1)2s(2) + 2s(1)1s(2)]× [α(1)β(2)− β(1)α(2)]
b) [1s(1)2s(2) + 2s(1)1s(2)]× α(1)α(2)
c) [1s(1)2s(2) + 2s(1)1s(2)]× [α(1)β(2) + β(1)α(2)]
d) [1s(1)2s(2)− 2s(1)1s(2)]× [α(1)β(2) + β(1)α(2)]
e) [1s(1)2s(2) + 2s(1)1s(2)]× [α(1)β(2)− β(1)α(2) + α(1)α(2)]
5. Calcule el porcentaje de error que se comete en el cálculo de la energía delestado fundamental de la partícula en una caja unidimensional de longitud lsi se toma como función de prueba φ = x(l − x) para 0 ≤ x ≤ l y φ = 0 fuerade la caja.
6. Utilice como función variacional de prueba para el oscilador armónico
φ = (1 + cαx2)e−αx2
a) Obtenga la expresión de la integral variacional. b) Calcule el valor de c quehace mínima la integral variacional. c) Calcule el porcentaje de error cometidoal evaluar la energía del estado fundamental del oscilador armónico unidimen-sional de esta forma. (Recuerde que α =
√kµ/~ = 2πνµ/~).
7. Para el estado fundamental del oscilador armónico, utilice la función de pruebaφ = e−cx
2 , demuestre que la minimización de la integral variacional nos dac = πνm/~ y que se cumple el teorema variacional.
15
16 Tema 8. Átomos polielectrónicos.
8. Para el estado fundamental del átomo de hidrógeno, utilice la función de prue-ba Gaussiana φ = e−cr
2/a20 . Encuentre el valor óptimo de c y el porcentaje deerror en la energía. (Funciones variacionales gaussianas se usan a menudo enmecánica cuántica molecular).
9. Aplique la función variacional lineal de prueba
φ = c1x2(l − x) + c2x(l − x)2, 0 ≤ x ≤ l
a la partícula en una caja unidimensional. Calcule los porcentajes de errorpara las energías de los estados n = 1 y n = 2. Dibuje x2(l− x), x(l− x)2, y lasdos funciones de ondas encontradas. (Como ayuda encuentre los nodos y losmáximos y mínimos de cada función).
Te
ma 9
Estados cuánticos para átomospolielectrónicos y espectroscopía
atómica.
Aproximación de electrones independientes. Números cuánticos, términos, niveles yestados. Acoplamiento spin–órbita. Efecto Zeeman. Fundamentos de la espectroscopíaatómica.
1. La línea principal del espectro de emisión del Na es amarilla. Cuando se ins-pecciona con alta resolución se ve que la línea, de hecho, consiste en un dobletecuyas longitudes de onda son 589.0 nm y 589.6 nm. Explique el origen de estedoblete.
2. El espectro de absorción del átomo de hidrógeno presenta líneas a 5334 cm−1,7804 cm−1, 9145 cm−1, 9953 cm−1 y 10 478 cm−1. No existen líneas de frecuen-cias menores en el espectro. Use un método gráfico para determinar el valorde ninicial del que parten todas estas transiciones y la energía de ionización delhidrógeno en este estado.
3. Usando la tabla adjunta y las reglas deHund,escriba los símbolos de los nivelespara el estado fundamental de los átomos de los 9 primeros elementos de laTabla Periódica.
17
18 Tema 9. Estados cuánticos para átomos polielectrónicos y espectroscopía atómica.
4. ¿Cuáles son los valores de J posibles para un término 6H? Calcule el númerode estados asociados con cada uno de los niveles y compruebe que el númerototal de estados es el mismo que el calculado con la expresión: (2S+1)(2L+1).
5. Use las longitudes de onda (nm) de las transiciones del siguiente diagrama deGrotrian para calcular la energía (en julios y en eV) de los seis niveles relativosal nivel fundamental 3s 2S1/2. Indique sus respuestas con los números correctosde cifras significativas.
6. El espectro del átomo de hidrógeno refleja la separación de los términos 1s 2S y2p 2P en niveles. La diferencia de energías entre los niveles de cada término esmucho más pequeña que la diferencia de energía entre los términos. Con estainformación, ¿cuántas líneas espectrales se observan en la transición 1s 2S→2p 2P? ¿Cómo son de iguales o diferentes las frecuencias de estas transiciones?
7. ¿Cuáles son los términos posibles para las siguientes configuraciones? a)ns1np1,b) ns1nd1, c) ns2np1, d) ns1np2. ¿Cuáles son los términos de menor energía encada caso?
8. Si se suman dos momentos angulares con números cuánticos j1 = 3/2 y j2 =5/2, ¿cuáles son los posibles valores de J para los estados demomento angularresultantes?
9. Deduzca los símbolos de los estados fundamentales para las siguientes confi-guraciones: a) d2, b) f9, c) f12.
10. El primer potencial de ionización del estado fundamental del átomo de Hees 24.6 eV. La longitud de onda de la luz asociada con el término 1s2p 1P es
Tema 9. Estados cuánticos para átomos polielectrónicos y espectroscopía atómica. 19
58.44 nm. ¿Cuál es la energía de ionización del átomo de He en este estadoexcitado?
11. En el espectro de absorción del Na se observan las siguientes transiciones:4p 2P→ 3s 2S λ = 330.26 nm3p 2P→ 3s 2S λ = 589.593 nm, 588.996 nm5s 2S→ 3p 2P λ = 616.073 nm, 615.421 nm
Calcule las energías de los estados 4p 2P y 5s 2S con respecto al estado funda-mental 3s 2S.
12. Basándose en el diagrama de Grotrian del He que se adjunta, responda justi-ficadamente a las siguientes cuestiones: ¿Cuáles de las transiciones indicadasmás abajo muestran líneas múltiples como consecuencia de la separación delos términos en niveles? ¿Cuántas líneas se observan en cada caso? ¿Algunade las transiciones está prohibida por las reglas de selección?
1s2 1S→ 1s2p 1Pa) 1s2p 1P→ 1s3s 1Sb)
1s2s 3S→ 1s2p 3Pc) 1s2p 3P→ 1s3d 3Dd)
13. Deduzca los símbolos de los términos fundamentales para las siguientes con-figuraciones a) s1d5, b) f3 y c) g2.
14. Considere la transición 1s3p 3P→ 1s4d 3D en Li+. Dibuje un diagrama de nive-les de energía teniendo en cuenta el acomplamiento espín–órbita. ¿En cuántosniveles se desdobla cada término? La regla de selección para las transicionesen este caso es ∆J = 0,±1. ¿Cuántas transiciones se observarán en el espectrode absorción? Muestre las transiciones permitidas en el diagrama.
Te
ma 10
Estructura electrónicamolecular.
Aproximación de Born–Oppenheimer. La molécula H+2 . Concepto de orbital molecular.
Combinación de orbitales atómicos para formar orbitales moleculares. Orbitales paramoléculas diatómicas homonucleares. Orden de enlace, energía de enlace y longitud deenlace. Moléculas diatómicas heteronucleares.
1. Exprese la configuración electrónica del estado fundamental de a) CO, b) NOy c) CN−.
2. De las siguientes moléculas, N2, NO, O2, C2, F2 y CN, ¿cuáles se estabilizaránpor a) adición de un electrón, formando AB– , b) eliminación de un electrón,formando AB+?
3. Haga un esquema del diagrama de niveles de energía de orbitales molecularesdel FCl y deduzca la configuración electrónica de su estado fundamental. ¿Esposible que la longitud de enlace del FCl sea menor que la del FCl– ?
4. Ordene las siguientes especies químicas según la longitud de enlace creciente:O +
2 , O2, O –2 , O 2–
2 .
5. Suponga que un orbital molecular tiene la forma φA + λφB , donde φA y φBson dos orbitales atómicos normalizados. Normalice el orbital molecular entérminos del parámetro λ y la integral de solapamiento.
6. La siguiente tabla muestra la distancia de enlace de equilibrio, el número deonda de la vibración fundamental y la profundidad de pozo en las moléculasF2 y F −
2
especie Re /Å ν /cm−1 De /eV
F2 1.411 916.6 1.60F −2 1.900 450.0 1.31
Explique los datos anteriores basándose en el esquema de orbitales molecula-res de ambos sistemas. ¿Podría indicar algo acerca de esos parámetros en lamolécula F +
2 ?
20
Te
ma 11
Espectroscopía electrónicamolecular.
Símbolos de los términos moleculares. Transiciones entre estados electrónicos demoléculas diatómicas. Estructura fina vibracional. Absorción de radiación UV–visibleen moléculas poliatómicas. Transiciones entre el estado fundamental y estadosexcitados. Transiciones singlete–singlete: absorción y fluorescencia. Cruzamiento entresistemas y fosforescencia.
1. El estado fundamental del ion O +2 es X2Πg y los siguientes estados excitados,
por orden de energía creciente son: a4Πu, A2Πu, b4Σ−g , B2∆g, C2Σ−g y c4Σ−u .Usando las reglas de selección ¿a qué estados excitados puede tener lugar unatransición desde el fundamental por absorción de radiación UV?
2. Para lasmoléculas de a) H2, b) O2, c) F2 y d) NO, indique la configuración, ordende enlace y término fundamental de la molécula neutra y del catión de menorenergía.
3. Considere las moléculas de N2, F2 y CO. Escriba las configuraciones electróni-cas fundamental y primera excitada (considerando la excitación de un electróndel HOMO al LUMO). Determine los términos que derivan de cada una deellas. Establezca qué transiciones y por qué están permitidas o prohibidas entreel término fundamental y los términos excitados.
4. En el espectro electrónico de absorción de la molécula de Li2 se observa unaestructura vibracional con una serie de picos a los siguientes números de onda:
asignación (v → v′) (0→ 0) (0→ 1) (0→ 2)
ν /cm−1 14020 14282 14541
donde v y v′ indican, respectivamente, los números cuánticos vibracionalesde los estados electrónicos fundamental y excitado. Determine, usando estosdatos, el número de onda de vibración fundamental del estado electrónicoexcitado.
5. Obtenga la configuración y el término electrónico fundamental de la moléculade N2. Los siguientes estados excitados, por orden de energía son 3Σ+
u , 5Σ+g ,
21
22 Tema 11. Espectroscopía electrónica molecular.
3Πg, 3Πu y 1Πg. Usando las reglas de selección ¿a qué estados excitados puedetener lugar una transición desde el fundamental por absorción de radiaciónUV?
Te
ma 12
Espectroscopía de resonanciamagnética nuclear y de
resonancia de spin electrónico.
Momento angular intrínseco y momento magnético. Energía de núcleos con spinnuclear no nulo en presencia de un campo magnético. Desplazamiento químico.Desdoblamiento en multipletes de los picos de RMN. Resonancia paramagnéticaelectrónica.
No se proponen problemas en este curso.
23
Te
ma 13
Termodinámica Estadística.
Microestados y configuraciones. Ley de distribución de Boltzmann. Función departición. El conjunto canónico. Funciones de partición traslacional, rotacional yvibracional en un gas ideal. La función de partición electrónica. Evaluación demagnitudes termodinámicas a partir de propiedades moleculares. Equilibrio químico.
1. Para una colección de osciladores armónicos monodimensionales calcule lasfracciones de población de los niveles vibracionales más bajos cuando hν/kBTes a) 4, b) 1 y c) 0.2.
2. La molécula de NO tiene un estado electrónico fundamental con degeneracióndoble y un estado electrónico excitado con degeneración doble a 121.1 cm−1
por encima del fundamental. Calcule la función de partición electrónica y sucontribución a la energía interna molar a a) 50 K, b) 298 K y c) 500 K.
3. El monóxido de carbono tiene un momento de inercia de 1.45× 10−46 kg m2
y su frecuencia de vibración es de 6.50× 1013 s−1. Calcule las contribucionestraslacional, rotacional y vibracional a la entropía molar a 298 K y una presiónde 1 bar.
4. Calcule la constante de equilibrio a 1000 C para la reacción de disociación
I2 −−−− 2 I
dada la siguiente información: momento de inercia de I2 7.426× 10−45 kg m2,númerode ondade la vibración fundamental213.67 cm−1,∆U0 = 148.45 kJ mol−1.El nivel fundamental del átomo de I es 2P3/2.
5. Sin hacer ningún cálculo, estime las constantes de equilibrio para las reaccio-nes:
a) 35Cl−35Cl + 37Cl 35Cl−37Cl + 35Cl
b) 35Cl−35Cl + 37Cl−37Cl 2 35Cl−37Cl
6. Calcule la constante de equilibrioKP a 1200 K para Cl2 −−−− 2Cl a partir de lossiguientes datos: separación internuclear en Cl2 199 pm, número de onda devibración 565.0 cm−1, ∆U0 = 240.0 kJ mol−1. Los niveles más bajos en energíadel átomo de Cl son un doblete, 2P3/2,1/2 con una separación entre ellos de881 cm−1.
24
Tema 13. Termodinámica Estadística. 25
7. Calcule la constante de equilibrio para la reacción H2 −−−− 2H a a) 300 Ky b) 3000 K, haciendo uso de la siguiente información: el nivel fundamentaldel átomo de H es 2S1/2, la energía de disociación de H2 es 431.8 kJ mol−1, ladistancia internuclear de H2 es 0.074 nm y θvib = hν/k = 6210 K.
8. Calcule la constante de equilibrio a 300 K para la reacción H2 + D2 −−−− 2HD.Las masas relativas son mH = 1.0078, mD = 2.014 y los números de ondavibracionales son: νH2
= 4371 cm−1, νHD = 3786 cm−1 y νD2= 3092 cm−1. La
separación internuclear en las tres especies es 0.074 nm.
Soluciones
Tema 1
1. Para la serie de Lyman νmax = 109 677 cm−1 y Emax = 2.18× 10−18 J, para lade Balmer νmax = 27 419.3 cm−1 y Emax = 5.45× 10−19 J y para la de Paschenνmax = 12 186.3 cm−1 y Emax = 2.42× 10−19 J.
2. 8.18× 1015 electrones, Ec = 2.26× 10−19 J, v = 7.04× 105 m s−1.
3. 1.26× 10−10 m para H2 a 200 K y 5.93× 10−11 m para H2 a 900 K. Para Ar,2.83× 10−11 m y 1.33× 10−11 m a 200 K y 900 K, respectivamente.
4. 16.7 V.
5. v = 0.0467 m s−1.
6. 4.26× 10−6 m, 2.50× 10−6 m y 4.64× 10−7 m para 675 K, 1150 K y 6200 K.
7. h ≈ 7.0× 10−34 J s y φ ≈ 4.0× 10−19 J o 2.5 eV.
8. νmin = 1.26× 1015 s−1 y v = 5.87× 105 m s−1.
9. N = ±√
1
d.
10. a) Sí, 1/4, b) sí, 6, c) sí, 16.
11. a = ± 1√2.
12. a) 2ye−2y3(1−3y3), b) ye−2y
3(1−6y3), c) 2ye−2(x+y)(2x−1),d) 2xe−2(x+y)(2y−1).
13. N = ± 1√2π
.
14. a) No, b) sí, −4π2
a2, c) sí, −4, d) sí, −a
2
π2, e) no.
15. a) r =√
11, θ = 1.26 rad y φ = 0.322 rad. b) x = −52 , y = 5
2 y z = 5√2.
17. a)√
61e0.876i, b) 2eiπ/2, c) 4e0i, d)√
26
5e1.125i, e)
√5
2e−1.249i.
18. a) −2i, b) 2√
6(1 + i), c) −1, d)
√5
2(1 + i)
1 +√
2.
Tema 2
1. a) Sí, b) no, c) sí, d) sí.
2. lımx→0
f(x) = 1.
3. a) Aceptable, b) no aceptable, c) aceptable, d) aceptable.
26
Soluciones 27
Tema 3
1. 〈x〉 = 1.25× 10−10 m, 〈x2〉 = 2.07× 10−20 m2.
2. c) 3/16, 3/8 y 7/16, d) 〈E〉 =43
16E1.
3. P =1
4−
sin(nπ
2
)2nπ
.
5. 6.34× 10−6 m.
6. a) 8.26× 10−38 J, b) 1.99× 10−17.
7.
nx ny nz E/(h2/8ma2)
1 1 1 31 1 2 61 2 2 91 1 3 112 2 2 12
8. a) Aceptable, b) no aceptable, c) aceptable, d) aceptable, e) no aceptable.
9. a) 0.045, b) 0.00041.
10. 〈px〉 = − i~ sin2(nπ)
a.
Tema 4
1. a) El valor propio es 1. b) El valor propio es 3.
2. [d/dx, 1/x2] = − 2
x3.
3. [x(∂/∂y), y(∂/∂x)] = x(∂/∂x)− y(∂/∂y).
5. [x, px] = i~.
Tema 5
1. a) E0 = 0, b) E = 2.59× 10−22 J.
3.
J nJ/n0
0 1.05 7.0410 4.1020 0.0799
Jmax ≤ 10.
4. No.
5. k = 324 kg s−2, 0.742 kg.
28 Soluciones
7. Ec = Epot =5~4
√k
µ.
8. ν = 3.15× 1013 s−1, λ = 9.52× 10−6 m.
9. Para los tres casos 〈px〉 = 0. Este resultado es general para cualquier n.
10. a)Erot = 1.51× 10−20 J,Erot/kBT = 3.7,Evib = 2.97× 10−20 J,Evib/kBT = 7.2
b) Trot = 1.86× 10−13 s, Tvib = 1.12× 10−14 s, TrotTvib
= 16.6.
Tema 6
1. ν = 6.51× 1013 Hz, periodo = 1.54× 10−14 s, E = 2.16× 10−20 J.
2. Para T = 300 K, n1/n0 = 0.0123 y n2/n0 = 1.52 × 10−4. Para T = 1000 K,n1/n0 = 0.268 y n2/n0 = 0.0716.
4. T = 190.4 K y T = 373.2 K
6. a) Rama izquierda P y rama derecha R. b) 〈BP〉 = 22.455 cm−1 y 〈BR〉 =17.515 cm−1, c) r0(P) = 8.86× 10−11 m y r0(R) = 1.00× 10−10 m, d) ν0 =3960.24 cm−1, e) k = 884.4 N m−1.
7. 7.240× 10−19 J para 1H2 y 7.368× 10−19 J para 2D2.
8. a) E0 = 2.61× 10−20 J, E1 = 7.69× 10−20 J, E2 = 1.26× 10−19 J y E3 =1.73× 10−19 J.
b) v0→1 = 7.67× 1013 s−1, v0→2 = 1.51× 1014 s−1 y v0→3 = 2.22× 1014 s−1.Error(v0→2) = 1.8% y Error(v0→3) = 4%.
9. Para CO2 son activos los de tensión asimétrica y flexión. Para H2O todos sonactivos.
10. 1.738× 10−18 J y 1.034× 103 kJ mol−1.
11. 1.565 42× 10−10 m.
12. 123.0 pm.
13. 1.402× 10−46 kg m2, 4.716× 10−34 kg m2 s−1 y 7.934× 10−22 J.
14. 1.4243× 10−10 m y 1.4880× 10−10 m.
15. a) ν = 2855.67 cm−1, b) k = 467.7 N m−1, c) B = 10.285 cm−1 y d) r = 1.298Å.
Tema 7
1. 0.439.
2. r = (3 +√
5)a0 y r = (3−√
5)a0.
3. 34a
20.
4. 〈F 〉1s =−e2
2πε0a20y 〈F 〉2pz =
−e2
48πε0a20.
Soluciones 29
6. 〈r〉H = 32a0, 〈r〉He+ = 3
4a0, 〈r〉Li2+ = 12a0 y 〈r〉Be3+ = 3
8a0.
7. IH = 13.6 eV, IHe+ = 54.42 eV, ILi2+ = 122.4 eV y IBe3+ = 217.7 eV.
Tema 8
1. 54.7° y 125.3°.
2. El valor propio es 0.
3. |1s1s2s2s|.
4. a) Antisimétrica, b) simétrica, c) simétrica, d) antisimétrica, e) sin simetría.
5. error = 1.3 %.
6. a) hν(43c2 − 8c+ 80)
24c2 + 64c+ 128, b) c = 0.672, c) error = 3 %.
7.dW
dc=c2~2 − µ2ν2π2
2µc2.
8. c = 8/9π, error = 15 %.
9. Para n = 1 error = 1.3 %, para n = 2 error = 6 %.
Tema 9
1. Son las transiciones desde 2P3/2 y 2P1/2 a 2S1/2, respectivamente.
2. ninicial = 3.
3. H: 2S1/2, He: 1S0, Li: 2S1/2, Be: 1S0, B: 2P1/2, C: 3P0, N: 4S3/2, O: 3P2 y F: 2P3/2.
4. J = 15/2, 13/2, 11/2, 9/2, 7/2, 5/2 y 16, 14, 12, 10, 8 y 6 estados.
5.
E(3p2P1/2) = 3.369× 10−19 J = 2.103 eV,
E(3p2P3/2) = 3.373× 10−19 J = 2.105 eV,
E(4s2S1/2) = 5.048× 10−19 J = 3.150 eV,
E(5s2S3/2) = 6.597× 10−19 J = 4.118 eV,
E(3d2D1/2) = 5.797× 10−19 J = 3.618 eV,
E(4d2D3/2) = 6.869× 10−19 J = 4.287 eV.
6. 2 líneas.
7. a) 1P y 3P, b) 1D y 3D, c) 2P, d) 2S, 2P, 4P y 2D.
8. 4, 3, 2, 1.
9. a) 3F, b) 6H, c) 3H.
30 Soluciones
10. 3.4 eV.
11. E(4p 2P) = 6.015× 10−19 J y E(5s 2S) = 6.597× 10−19 J.
12. a) No hay desdoble, b) no hay desdoble, c) 3 líneas y d) 6 líneas.
13. a) 7S, b) 4I y c) 3K.
14. Cada término de divide en tres niveles. Se observarán seis transiciones.
Tema 10
1. a) CO (1σ)2(2σ∗)2(3σ)2(4σ∗)2(1π)4(5σ)2 b)NO (1σ)2(2σ∗)2(3σ)2(4σ∗)2(1π)4(5σ)2(2π∗)1
c) CN– (1σ)2(2σ∗)2(3σ)2(4σ∗)2(1π)4(5σ)2
2. Se inestabilizan: N2, NO, O2, F2. Se estabilizan: C2, CN.
3. (core) (1σ)2(2σ∗)2(3σ)2(1π)4(2π∗)4. Sí. El electrón se añade a un OM antienla-zante.
4. rO 2−2
> rO −2> rO2
> rO +2
5. Ψ =1√
1 + 2λS + λ2(φA + λφB)
6. Re(F +2 ) < Re(F2), ν(F +
2 ) > ν(F2), De(F+
2 ) > De(F2)
Tema 11
1. a4Πu (prohibido por ∆S 6= 0), A2Πu (permitida ∆Λ = 0,∆S = 0 y g → u),b4Σ−g (prohibido por ∆S 6= 0), B2∆g (prohibida por g → g), C2Σ−g (prohibidapor g → g) y c4Σ−u (prohibido por ∆S 6= 0).
2. a) Para H2 1σ2g , 1Σ+g , O.E.=1; para H +
2 1σ1g , 2Σg, O.E.=1/2.b) Para O2 (1σg)
2(1σ∗u)2(2σg)2(2σ∗u)2(3σg)
2(1πu)4(1π∗g)2, 3Σg, O.E. = 2; para
O +2 (1σg)
2(1σ∗u)2(2σg)2(2σ∗u)2(3σg)
2(1πu)4(1π∗g)1, 2Πg, O.E. = 2.5.
c) Para F2 (1σg)2(1σ∗u)2(2σg)
2(2σ∗u)2(3σg)2(1πu)4(1π∗g)
4, 1Σg, O.E. = 1; paraF +2 (1σg)
2(1σ∗u)2(2σg)2(2σ∗u)2(3σg)
2(1πu)4(1π∗g)3, 2Πg, O.E. = 1.5.
3. N2 estado fundamental: (1σg)2(1σ∗u)2(2σg)
2(2σ∗u)2(1πu)4(3σg)2, 1Σg, estado
excitado (1σg)2(1σ∗u)2(2σg)
2(2σ∗u)2(1πu)4(3σg)1(1πg)
1, 1Πg y 3Πg, la tran-sición X1Σg →1 Πg está prohibida por g → g; la transición X1Σg →3 Πg
está prohibida por ∆S 6= 0.F2 estado fundamental: (1σg)2(1σ∗u)2(2σg)
2(2σ∗u)2(3σg)2(1πu)4(1π∗g)
4, 1Σg, es-tado excitado: (1σg)
2(1σ∗u)2(2σg)2(2σ∗u)2(1πu)4(3σg)
2(1π∗g)3(3σ∗u)1, 1Πu y
3Πu, la transiciónX1Σg → 1Πu está permitida; la transiciónX1Σg → 3Πu
está prohibida por ∆S 6= 0.CO estado fundamental: (1σ)2(2σ)2(3σ)2(4σ)2(1π)4(5σ)2,X1Σ+; estado exci-
tado: (1σ)2(2σ)2(3σ)2(4σ)2(1π)4(5σ)1(2π)1,A1Π y a3Π. Sólo la transicióncon ∆S = 0 está permitida.
4. νe = 262 cm−1
Soluciones 31
5. El estado fundamental es 1Σ+g . Por la regla ∆S = 0 sólo la transicion al estado
1Πg estaría permitida, pero está prohibida porque la paridad del estado nocambia, los dos son g. (En realidad esta regla se rompe y la transición se observaexperimentalmente como una banda de baja intensidad, G. Hezberg, Phys. Rev.1946, 69, 362).
Tema 13
1. a) v 0 1 2 3pv 0.982 0.018 3× 10−4 6× 10−6
b) v 0 1 2 3 4 5pv 0.632 0.233 0.086 0.031 0.012 4× 10−3
c) v 0 1 2 3 4 5 10 15pv 0.181 0.148 0.122 0.099 0.081 0.067 0.025 0.09
2. a) zelec = 2.061 yU−U0 = 43.13 J mol−1,b) zelec = 3.115 yU−U0 = 518.5 J mol−1
y c) zelec = 3.412 y U − U0 = 599.4 J mol−1.
3. St = 150.288 J K−1 mol−1, Sr = 47.182 J K−1 mol−1 y Sv = 0.003 J K−1 mol−1.
4. KP = 0.180.
5. a) 2, b) 4.
6. KP = 6.88× 10−6 mol m−3.
7. a)K = 8.95× 10−70, b)K = 0.114.
8. K = 3.26.
Datos útiles
Unidades base del SI
Tabla 1: Unidades base del SI
Magnitud base Nombre Smbolo
Longitud metro mMasa kilogramo kgTiempo segundo sIntensidad de corriente eléctrica amperio ATemperatura termodinámica kelvin KCantidad de substancia mol molIntensidad luminosa candela cd
Unidades derivadas del SI
Tabla 2: Unidades derivadas del SI
Magnitud Nombre Smbolo Unidadesbase Unidadesderivadas
Actividad radiactiva becquerel Bq s−1
Temperatura grado Celsius C K−273.15Carga eléctrica culombio C A sCapacidad eléctrica faradio F m−2 kg−1 s4 A2 C V−1
Dosis absorbida de radiación gray Gy m2 s−2 J kg−1
Frecuencia hercio Hz s−1
Inductancia eléctrica henrio H m2 kg s−2 A−2 V A−1 sEnergía, trabajo y calor julio J m2 kg s−2 N mActividad catalítica katal kat mol s−1
Flujo luminoso lumen lm cd srIluminancia lux lx cd sr m−2 lm m−2
Fuerza newton N m kg s−2
Resistencia eléctrica ohmio Ω m2 kg s−3 A−2 V A−1
Presión pascal Pa m−1 kg s−2 N m−2
Ángulo plano radian radConductancia eléctrica siemens S m−2 kg−1 s3 A2 A V−1
Dosis de radiación absorbida sievert Sv m2 s−2 J kg−1
Ángulo sólido estereorradián srInducción magnética tesla T kg s−2 A−1 V s m−2
Potencial eléctrico voltio V m2 kg s−3 A−1 J C−1
Potencia vatio W m2 kg s−3 J s−1
Flujo magnético weber Wb m2 kg s−2 A−1 V s
32
Prefijos del SI 33
Prefijos del SI
Tabla 3: Prefijos del SI
Factor Nombre Símbolo Factor Nombre Símbolo
1024 yotta Y 10−1 deci d1021 zetta Z 10−2 centi c1018 exa E 10−3 mili m1015 peta P 10−6 micro µ1012 tera T 10−9 nano n109 giga G 10−12 pico p106 mega M 10−15 femto f103 kilo k 10−18 atto a102 hecto h 10−21 zepto z101 deca da 10−24 yocto y
Alfabeto griego
Tabla 4: Alfabeto griego
Nombre Mayúscula Minúscula Nombre Mayúscula Minúscula
Alfa A α Nu N νBeta B β Xi Ξ ξ
Gamma Γ γ Ómicron O oDelta ∆ δ Pi Π π, $Épsilon E ε, ε Rho P ρ, %Zeta Z ζ Sigma Σ σ, ςEta H η Tau T τTheta Θ θ, ϑ Ypsilon Υ υIota I ι Phi Φ φ, ϕKappa K κ Ji X χLambda Λ λ Psi Ψ ψMu M µ Omega Ω ω
34 Datos útiles
Constantes fundamentales
Tabla 5: Constantes fundamentales
Magnitud Símbolo Valor (CODATA2010)∗
Velocidad de la luz c0 2.997 924 58× 108 m s−1
Permitividad del vacío ε0 1.112 650 056× 10−10 F m−1
Constante de Planck h 6.626 069 57× 10−34 J s~ = h/2π 1.054 571 726× 10−34 J s
Carga elemental e 1.602 176 565× 10−19 CMasa del electrón en reposo me 9.109 382 91× 10−31 kgMasa del protón en reposo mp 1.672 621 777× 10−27 kgMasa del neutrón en reposo mn 1.674 927 351× 10−27 kgConstante de masa atómica mu 1.660 539 21× 10−27 kgConstante de Avogadro NA 6.022 141 29× 1023 mol−1
Constante de Boltzmann kB 1.380 648 8× 10−23 J K−1
Constante de los gases R 8.314 462 1 J mol−1 K−1
Radio de Bohr a0 = 4πε0~2/mee2 0.529 177 210 92× 10−10 m
Energía Hartree Eh = ~2/mea20 4.359 744 34× 10−18 J
Constante de Rydberg R∞ = Eh/2hc0 10 973 731.568 539 m−1
Magnetón de Bohr µB = eh/2me 927.400 968× 10−26 J T−1
Aceleración de la gravedad gn 9.806 65 m s−2
∗http://physics.nist.gov/Constants/
Factores de conversión para unidades de energía
Tabla 6: Factores de conversión para unidades de energía
Eh J eV cm−1
1 Eh 1 4.359 744 34× 10−18 27.211 385 05 2.194 746 313 708× 105
1 J 2.293 712 48× 1017 1 6.241 509 34× 1018 5.034 117 01× 1022
1 eV 3.674 932 379× 10−2 1.602 176 565× 10−19 1 8.065 544 29× 103
1 cm−1 4.556 335 252 755× 10−6 1.986 445 684× 10−23 1.239 841 930× 10−4 1
Suplemento matemático
Relaciones trigonométricas
x
y
−1 1
−1
1
−12
−12
12
αsinα
cosα
tanα =sinα
cosα
Figura 1: Definición de las funciones trigonométricas básicas.
sin2 α+ cos2 α = 1
sin(α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ
sin(α− β) = sinα cosβ − cosα sinβ
cos(α+ β) = cosα cosβ − sinα sinβ
cos(α− β) = cosα cosβ + sinα sinβ
sin 2α = 2 sinα cosα
cos 2α = cos2 α− sin2 α
2 sin2 α = 1− cos 2α
2 cos2 α = 1 + cos 2α
eiθ = cos θ + i sin θ
Funciones hiperbólicas
Un segmento desde el origen intersecta la hipérbolax2−y2 en el punto (coshα, sinhα),donde α es dos veces el área delimitada por el segmento, la hipérbola y el eje x. Al-
35
36 Suplemento matemático
x
y
−1 0 1
−1
0
1
sinhα
coshα
α/2
Figura 2: Definición de las funciones hiperbólicas.
gunas relaciones que cumplen las funciones hiperbólicas son:
sinh(−α) = − sinhα
cosh(−α) = coshα
cosh2 α− sinh2 α = 1
sinh(α+ β) = sinhα coshβ + coshα sinhβ
sinh(α− β) = sinhα coshβ − coshα sinhβ
cosh(α+ β) = coshα coshβ − sinhα sinhβ
cosh(α− β) = coshα coshβ − sinhα sinhβ
sinh 2α = 2 sinhα coshα
cosh 2α = cosh2 α+ sinh2 α
eα = coshα+ sinhα
-4 -2 2 4
-60
-40
-20
20
40
60
(a) sinh-4 -2 2 4
10
20
30
40
50
60
70
(b) cosh
-4 -2 2 4
-1.0
-0.5
0.5
1.0
(c) tanh
Figura 3: Representación de funciones hiperbólicas.
Integrales 37
Integrales
Básicas
∫xn dx =
1
n+ 1xn+1 + C∫
1
xdx = lnx+ C∫
u dv = uv −∫v du∫
1
ax+ bdx =
1
aln |ax+ b|+ C∫
sin axdx = −1
acos ax+ C∫
cos axdx =1
asin ax+ C∫
eax dx =1
aeax + C
Polinómicas
∫ a
0xm(a− x)n dx =
m!n! am+n+1
(m+ n+ 1)!= B(m+ 1, n+ 1)∫ a
0x(a− x)n dx =
an+2
n2 + 3n+ 2∫ a
0xn(a− x) dx =
an+2
n2 + 3n+ 2
Exponenciales
∫x2 e−ax dx = −
e−ax(a2x2 + 2ax+ 2
)a3
, a > 0∫ ∞0
xn e−ax dx =n!
an+1, n > −1, a > 0∫ ∞
0x2n e−ax
2dx =
1 · 3 · · · (2n− 1)
2n+1
( π
a2n+1
)1/2, a > 0, n = 1, 2, 3, ...∫ ∞
0x2n+1 e−ax
2dx =
n!
2an+1, a > 0, n = 0, 1, 2, 3, ...∫ ∞
0e−ax
2dx =
1
2
√π
a
38 Suplemento matemático
Trigonométricas
∫sin2(ax) dx =
x
2− 1
4asin(2ax) + C∫
x sin2(ax) dx =x2
4− x
4asin(2ax)− 1
8a2cos (2ax)∫
x2 sin2(ax) dx =x3
6−(x2
4a− 1
8a3
)sin(2ax)− x
4a2cos (2ax)∫ a/2
−a/2x2 cos2
(πxa
)dx =
a3
π3
(π3
24− π
4
)∫
cos2(ax) dx =x
2+
1
4asin(2ax) + C∫
sin3(ax) dx = −cos(ax)
3a
[sin2(ax) + 2
]+ C∫
x sin(ax) dx =1
a2sin(ax)− x
acos(ax)∫
sin2(ax) dx =x
2− 1
4asin(2ax)∫
sin(ax) cos(ax) dx = −cos2(ax)
2a∫x sin2(ax) dx =
x2
4− x
4asin(2ax)− 1
8a2cos (2ax)∫
x2 sin2(ax) dx =x3
6−(x2
4a− 1
8a3
)sin(2ax)− x
4a2cos (2ax)∫ L
0x sin
aπx
Lsin
bπx
Ldx =
L2
2π2
[1
(a− b)2(cos(a− b)π − 1)− 1
(a+ b)2(cos(a+ b)π − 1)
]
Expansiones en series
Una aplicación de la diferenciación es el desarrollo de funciones en series depotencias. La serie de Taylor para una función f(x) en las proximidades de x = a es:
f(x) = f(a) +
(df
dx
)a
(x− a) +1
2!
(d2f
dx2
)a
(x− a)2 + · · · =∞∑n=0
1
n!
(dnf
dxn
)a
(x− a)n
donde la notación (. . . )a significa que la derivada se evalúa en x = a.La serie de Maclaurin para una función es un caso especial de la serie de Taylor
en el que x = 0. Algunos ejemplos de desarrollos en serie de Maclaurin son:
Sistemas de coordenadas 39
(1 + x)−1 = 1− x+ x2 − · · · =∞∑n=0
(−1)nxn
ex = 1 + x+1
2x2 + · · · =
∞∑n=0
xn
n!
log(1 + x) = x− 1
2x2 +
1
3x3 − · · · =
∞∑n=1
(−1)n+1xn
n
Una serie se dice que converge si la suma se aproxima a un valor finito definidocuando n se aproxima a infinito. Si la suma no tiende a un valor finito definidoentonces se dice que la serie diverge. Por ejemplo, la serie para (1 + x)−1 convergepara x < 1 y diverge para x ≥ 1. Hay una serie de pruebas para saber si una serieconverge o diverge.
Sistemas de coordenadas
Coordenadas polares planas
Un punto en el plano se puede especificarmediante dos coordenadas cartesianas(x, y) o mediante su distancia al origen r y el ángulo θ que forma la línea que va delorigen al punto con el eje x positivo. Las coordenadas r y θ se llaman coordenadaspolares. Hay que tener en cuenta que r ≥ 0 y 0 ≤ θ ≤ 2π. Según la relación entrecoordenadas cartesianas y polares es
x = r cos θ e y = r sin θ
yr2 = x2 + y2 y θ = tan−1
y
x
Cuando se calcula θ a partir de la fórmula del arcotangente hay que considerar el
r
θ x
y
(x, y)
Figura 4: Localización de un punto en el plano mediante coordenadas polares
cuadrante en que se encuentra el punto. Por ejemplo, (−1,−1) daría θ = π/4 cuandoel valor correcto es θ = 5π/4.
Un elemento diferencial de área, que en coordenadas cartesianas es dx dy, encoordenadas polares se expresa como r dr dθ.
El operador Laplaciana bidimensional en coordenadas cartesianas es∇2 =∂2
∂x2+
∂2
∂y2y en polares ∇2 =
∂2
∂r2+
1
r
∂
∂r+
1
r2∂2
∂θ2
40 Suplemento matemático
Las coordenadas polares aparecen en el estudio de la rotación en un plano.
Coordenadas esféricas
x
y
z
(r, θ, φ)r
φ
θ
Figura 5: Localización de un punto en el espacio mediante coordenadas esféricas
En vez de localizar un punto en el espacio mediante las coordenadas cartesianas(x, y, z) se pueden utilizar las coordenadas esféricas (r, θ, φ). Según la figura 5 larelación entre los dos conjuntos de coordenadas es:
x = r sin θ cosφ
y = r sin θ sinφ
z = r cos θ
o
r = (x2 + y2 + z2)1/2
cos θ =z
(x2 + y2 + z2)1/2=z
r
tanφ =y
x
Los rangos de existencia son 0 ≤ r ≤ ∞, 0 ≤ θ ≤ π y 0 ≤ φ ≤ 2π. El cero de θ estásobre el eje z y se acostumbra a elegir el cero de φ sobre el eje x.
El elemento diferencial de volumen dx dy dz se expresa en coordenadas esféricascomo r2 sin θ dr dθ dφ.
El operador Laplaciana en coordenadas esféricas es:
∇2 =1
r2∂
∂r
(r2∂
∂r
)+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(sin θ
∂
∂θ
)+
1
r2 sin2 θ
∂2
∂φ2
Se usan coordenadas esféricas en la resolución del átomo de hidrógeno.
Números complejos
Un número de la forma a+ ib donde a y b son números reales e i =√−1 se dice
que es un número complejo. Si z = x+ iy a x se le llama parte real de z y a y parte
Vectores 41
r
θRe
Im
z = x+ iy
Figura 6: Representación de un número complejo mediante coordenadas polares
imaginaria, x = Re(z), y = Im(z). El conjugado complejo se obtiene cambiando ipor−i, z∗ = x− iy. La raíz cuadrada de zz∗ se denomina magnitud o valor absolutode z, es un número real y se representa como |z|.
Para sumar o restar números complejos se suman o restan, separadamente, laspartes reales e imaginarias. Si z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 tendremos z1 ± z2 =(x1 ± x2) + i(y1 ± y2).
Para multiplicar dos números complejos se opera como si fueran binomios y setiene en cuenta que i2 = −1.
El cociente entre dos números complejos se obtiene haciendo z1z2
=z1z∗2
z2z∗2=
z1z∗2
|z2|2=x1x2 + y1y2 + i(y1x2 − x1y2)
x22 + y22Se puede considerar que un número complejo representa un punto en un sistema
de coordenadas bidimensional denominado diagrama de Argand o plano complejo,figura 6.
Un número complejo se puede representar en forma polar, teniendo en cuentaque x = r cos θ e y = r sin θ, como z = r cos θ + ir sin θ. Donde r = (x2 + y2)1/2 ytan θ = y/x. El ángulo θ se denomina argumento de z y r su magnitud, θ = arg(z)y r = |z|. Otra forma de representar un número complejo es empleando la fórmulade Euler, eiθ = cos θ + i sin θ, z = reiθ. La multiplicación y división de númeroscomplejos es mucho más fácil si están representados en forma polar, si z1 = r1e
iθ1 yz2 = r2e
iθ2 : z1z2 = r1r2ei(θ1+θ2) y z1
z2= r1
r2ei(θ1−θ2). Las potencias se obtienen por la
fórmula de Moivre: zn = |z|einθ, n ∈ N y las raíces por z1/n = n√|z|e
i(θ+2kπ)n , n ∈
N, k = 0, 1, 2, ..., n− 1.Usando la forma polar se puede llegar a relaciones como:
sin θ =eiθ − e−iθ
2iy cos θ =
eiθ + e−iθ
i
En general las funciones de ondas son complejas.
Vectores
Un vector es una cantidad que posee magnitud y dirección. Se puede representargeométricamente por una flecha en la que su longitud representa la magnitud yla dirección de la flecha representa la dirección del vector. Vectores de la misma
42 Suplemento matemático
longitud y dirección son iguales independientemente de su origen. Un conjuntoútil de vectores es el formado por los tres vectores de longitud unidad que estándirigidos hacia la parte positiva de los ejes x,y y z. Cualquier vectorpuede expresarseen función de estos vectores unitarios, ~u = ux~ı+ uy~+ uz~k.
La magnitud del vector se obtiene calculando su módulo como |~u| = (u2x + u2y +
u2z)1/2. Si un vector se multiplica por un escalar se obtiene un vector paralelo al
original con una magnitud que está multiplicada por dicho escalar.
Suma y substracción de vectores
Para sumar o restar dos vectores se expresan estos a partir de sus componentescartesianas y
~u± ~v = (ux ± vx)~ı+ (uy ± vy)~+ (uz ± vz)~k
La suma de vectores es conmutativa mientras que la substracción no lo es.
Producto de vectores
Producto escalar
El resultado del producto escalar de dos vectores no es otro vector sino un escalar.También se le llama producto interno, ~a ·~b = |~a||~b cos θ, siendo θ el ángulo más pe-queño entre los dos vectores. Si ~a y~b son perpendiculares (ortogonales) su productoescalar es cero. Teniendo en cuenta que~ı ·~ı = ~ ·~ = ~k ·~k = 1 y~ı ·~ =~ı ·~k = ~ ·~k = 0,~a ·~b = axbx + ayby + azbz .
Producto vectorial
El resultado del producto vectorial de dos vectores sí es un vector, ~a × ~b =
(|~a||~b sin θ)~n. El vector ~n es un vector unitario perpendicular al plano formado porlos vectores ~a y ~b. La magnitud del vector producto vectorial se puede interpretarcomo el área de un paralelogramo que tenga ~a y~b como lados.
El producto vectorial no es conmutativo ~a×~b = −(~b× ~a).
Los vectores unitarios~ı, ~ y ~k cumplen~ı× ~ = ~k, ~× ~k =~ı y ~k ×~ı = ~.
Si dos vectores son paralelos su producto vectorial es nulo,~ı ×~ı = ~ × ~ =~k × ~k = 0.
En función de las componentes cartesianas de los vectores~a y~b, el producto vectorialse expresa como ~a×~b = (aybz−azby)~ı+ (axbz−azbx)~+ (axby−aybx)~k. O en forma
determinantal como ~a×~b =
∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~kax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣
Determinantes 43
Determinantes
Definiciones
Un determinante es una agrupación de n2 elementos ordenados en n filas y ncolumnas. Por ejemplo, un determinante 3× 3 se representa como:∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣donde el primer índice indica la fila y el segundo la columna.
El cofactor,Aij , de un elemento aij es un determinante (n−1)× (n−1) obtenidoeliminando la fila i y la columna j del determinante original y multiplicándolo por(−1)i+j . Por ejemplo, el cofactor del elemento a12 es:
A12 = (−1)1+2
∣∣∣∣a21 a23a31 a33
∣∣∣∣Los cofactores se pueden utilizar para evaluar los determinantes. El valor del deter-minante 3× 3 anterior se puede obtener por la fórmula:∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = a11A11 + a12A12 + a13A13
Un determinante 2× 2 se evalúa como a11a22 − a12a21.
Propiedades
1. El valor de un determinante no cambia si las filas se convierten en columnasmanteniendo el orden∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33
∣∣∣∣∣∣2. Si dos filas o dos columnas son iguales el valor del determinante es cero.
3. Si se intercambian dos filas o dos columnas el signo del determinante cambia.
4. Si cada elemento de una fila o columna se multiplica por un factor k, el valordel determinante se multiplica por k.
5. Si cualquier fila o columna se escribe como suma o diferencia de dos o mastérminos, el determinante puede escribirse com suma o diferencia de dos omás determinantes.∣∣∣∣∣∣
a11 ± a′11 a12 a13a21 ± a′21 a22 a23a31 ± a′31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣±∣∣∣∣∣∣a′11 a12 a13a′21 a22 a23a′31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣6. El valor de un determinante no cambia si una fila o columna es añadida o
substraída de otra.
44 Suplemento matemático
Resolución de sistemas de ecuaciones
En muchos aspectos de la Química Física aparecen sistemas de ecuaciones linea-les que pueden resolverse empleando determinantes. Un caso de ecuación determi-nantal aparece en la teoría de orbitales moleculares de Hückel.
La solución de las incógnitas xi de un sistema de ecuaciones lineales empleandodeterminantes se conoce como regla de Cramer.
Supongamos que tenemos el sistema de dos ecuaciones
a11x1 + a12x2 = d1
a21x1 + a22x2 = d2
DefinimosD =
∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣Las soluciones se obtienen calculando
x1 =
∣∣∣∣d1 a12d2 a22
∣∣∣∣D
y x2 =
∣∣∣∣a12 d1a12 d2
∣∣∣∣D
En el caso de que d1 = d2 = · · · = dn = 0 se dice que es sistema es homogéneo.En este caso existe una solución trivial x1 = x2 = · · · = xn = 0. La única forma deque se pueda obtener una solución no trivial requiere que D = 0.
Para asegurar la antisimetría de la función de ondas de un átomo polielectrónicose utilizan los determinantes de Slater.
Operadores
Un operador no es más que un símbolo para una instrucción que realiza alguna
acción, operación, sobre una función convirtiéndola en otra función. Por ejemplo, d
dxes un operador que indica que hay que derivar la función. Se representan medianteun acento circunflejo ˆ encima del símbolo, D. En general, Af(x) = g(x) significaque el operador A convierte la función f(x) en la función g(x).
Operadores lineales
Un operador se dice que es lineal si
A[c1f1(x) + c2f2(x)] = c1Af1(x) + c2Af2(x)
donde c1 y c2 son constantes (reales o complejas). Los operadores que aparecen enmecánica cuántica son lineales.
Autovalores y autofunciones 45
Autovalores y autofunciones
En algunas ocasiones se requiere encontrar la función ψ(x) que cumple Aψ(x) =aψ(x), donde a es una constante. La función ψ(x) se llama autofunción o funciónpropia del operador A. La constante a se llama autovalor o valor propio. El problemade determinar ψ(x) y a para un operador A se llama problema de valor propio.
En general un operador no tiene una única función propia y un solo valor propiosino que
Aψn(x) = anψn(x) n = 1, 2, 3, ...
Los operadores lineales tienen la propiedadque si Aψ1 = aψ1 y Aψ2 = aψ2 cualquiercombinación lineal de ψ1 y ψ2 también es función propia de A con valor propio a.
A(c1ψ1 + c2ψ2) = a(c1ψ1 + c2ψ2)
Conmutador de operadores
El producto de dos operadores A y B, AB, se entiende com el resultado de apli-car primero el operador B sobre la función y luego el operador A sobre la funciónresultante.
ABf(x) = A[Bf(x)] = Ah(x) donde h(x) = Bf(x)
En general el producto de operadores no es conmutativo. Se define el operadorconmutador de operadores como [A, B] = AB − BA. Si el conmutador es 0 paracualquier función se dice que los operadores conmutan.
Operadores hermíticos
Un operador hermítico es aquel que satisface la relación∫f∗(x)Af(x) dx =
∫f(x)[Af(x)]∗ dx
o la relación equivalente∫f∗(x)Ag(x) dx =
∫f(x)[Ag(x)]∗ dx
siendo f y g dos funciones cualesquiera. Los operadores hermíticos tienen valorespropios reales. Los operadores mecano–cuánticos que corresponden con propie-dades físicas u observables son hermíticos. Las funciones propias de un operadorhermítico son ortogonales o pueden hacerse ortogonales.
En mecánica cuántica cada observable (magnitud medible) tiene asociado elcorrespondiente operador.
Funciones especiales
Funciones definidas mediante integrales
Función Gamma de Euler
La función Gamma se define mediante la integral
Γ(n) ≡∫ ∞0
xn−1e−x dx para n 6= 0,−1,−2,−3, ... y n ∈ R
46 Suplemento matemático
Para valores de n enteros y positivos la función gamma se reduce a la función facto-rial, Γ(n) = (n− 1)! con n > 0 y n ∈ Z. Se cumple que
Γ(n+ 1) = nΓ(n) y Γ(n)Γ(1− n) =π
sin(nπ)
Otros valores especiales son
Γ(1) = 1, Γ(12) = 2
∫ ∞0
e−x2
dx =√π
En general
Γ(n+ 12) =
1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)
2n√π =
(2n− 1)!!
2n√π
donde n!! = n(n− 2)(n− 4)....
Función Beta
Otra función introducida por Euler es la función Beta que se define como
B(n,m) =
∫ 1
0xn−1(1− x)m−1 dx, 0 < n, 0 < m
Se cumple que B(n,m) = B(m,n) y que
B(n,m) =Γ(n)Γ(m)
Γ(n+m)
La integral que define la función Beta aparece en el tratamiento variacional dela partícula en una caja.
Función de error
Se define la función de error como la integral
erf(x) =2√π
∫ x
0e−u
2du −∞ < x < +∞
El valor de la función en los extremos del intervalo de existencia es
erf(−∞) = −1 y erf(+∞) = 1
En general erf(x) = − erf(−x).
La función de error aparece en la teoría cinética de los gases.
Función complementaria de error 47
-4 -2 2 4
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Figura 7: Representación gráfica de la función de error
-4 -2 2 4
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 8: Representación gráfica de la función complementaria de error
Función complementaria de error
Se define como
erfc(x) = 1− erf(x) =2√π
∫ +∞
xe−u
2du
En este casoerfc(−∞) = 2 y erfc(+∞) = 0
La función complementaria de error aparece al calcular la probabilidad de queun oscilador armónico cuántico exceda la amplitud permitida clásicamente.
Polinomios ortogonales
Polinomios de Hermite
Los polinomios de Hermite son solución de la ecuación diferencial
d2Hn(x)
dx2− 2x
dHn(x)
dx+ 2nHn(x) = 0, n = 0, 1, ...
Pueden calcularse mediante la relación de recurrencia
H0(x) = 1, H1(x) = 2x,
Hn(x) = 2xHn−1(x)− 2(n− 1)Hn−2(x), n = 2, 3, ...
o usando la fórmula de Rodrigues
Hn(x) = (−1)nex2 dn
dxne−x
2
48 Suplemento matemático
Tabla 7: Primeros polinomios de Hermite
n Hn(x)
0 11 2x2 4x2 − 23 8x3 − 12x4 16x4 − 48x2 + 125 32x5 − 160x3 + 120x6 64x6 − 480x4 + 720x2 − 1207 128x7 − 1344x5 + 3360x3 − 1680x8 256x8 − 3584x6 + 13440x4 − 13440x2 + 1680
Satisfacen la relación de ortogonalidad∫ +∞
−∞Hn(x)Hm(x)e−x
2dx = δnm2nn!
√π
y la relación de simetríaHn(−x) = (−1)nHn(x)
Aparecen en las funciones propias del oscilador armónico.
-2 -1 1 2
0.5
1.0
1.5
2.0n = 0
-2 -1 1 2
-4
-2
2
4n = 1
-2 -1 1 2
5
10
n = 2
-2 -1 1 2
-20
-10
10
20
n = 3
-2 -1 1 2
-20
20
40
60
n = 4
-2 -1 1 2
-100
-50
50
100
n = 5
-2 -1 1 2
-800
-600
-400
-200
200n = 6
-2 -1 1 2
-3000
-2000
-1000
1000
2000
3000n = 7
-2 -1 1 2
-2000
2000
4000
6000
n = 8
Polinomios de Hermite
Figura 9: Representación gráfica de algunos polinomios de Hermite
Polinomios y funciones asociadas de Legendre 49
Tabla 8: Primeros polinomios de Legendre
` P`(x)
0 11 x
2 12
(3x2 − 1
)3 1
2
(5x3 − 3x
)4 1
8
(35x4 − 30x2 + 3
)5 1
8
(63x5 − 70x3 + 15x
)6 1
16
(231x6 − 315x4 + 105x2 − 5
)7 1
16
(429x7 − 693x5 + 315x3 − 35x
)8 1
128
(6435x8 − 12012x6 + 6930x4 − 1260x2 + 35
)9 1
128
(12155x9 − 25740x7 + 18018x5 − 4620x3 + 315x
)Polinomios y funciones asociadas de Legendre
Los polinomios de Legendre resuelven la ecuación diferencial
(1− x2)d2P`(x)
dx2− 2x
dP`(x)
dx+ `(`+ 1)P`(x) = 0, ` = 0, 1, 2, ...
Se obtienen mediante la relación de recurrencia
P0(x) = 1, P1(x) = x,
(`+ 1)P`+1(x) = (2`+ 1)xP`(x)− `P`−1(x), ` = 2, 3, ...
o por la fórmula de Rodrigues
P`(x) =1
2``!
d`
dx`[(x2 − 1)`]
Satisfacen la relación de ortogonalidad∫ 1
−1P`(x)P`′(x) dx =
2
2`+ 1δ``′
Las funciones asociadas de Legendre son soluciones de la ecuación diferencial:
(1−x2)d2Pm` (x)
dx2−2x
dPm` (x)
dx+
[`(`+ 1)− m2
1− x2
]Pm` (x) = 0, ` = 0, 1, 2, ..., m = 0, 1, ..., `.
Cuandom = 0 se reducen a los polinomios de Legendre, P 0` (x) = P`(x). Se pueden
calcular mediante la relación de recurrencia:
Pmm (x) = (−1)m(2m)!
2mm!(1− x2)m/2,
(2`+ 1)xPm` (x) = (`−m+ 1)Pm`+1(x) + (`+m)Pm`−1(x)
o conPm` (x) = (1− x2)m/2 dm
dxmP`(x)
Son ortogonales ∫ 1
−1Pm` (x)Pm`′ (x) dx =
2
2`+ 1
(`+m)!
(`−m)!δ``′
50 Suplemento matemático
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.5
1.0
1.5
2.0 = 0
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0 = 1
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0 = 2
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0 = 3
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0 = 4
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0 = 5
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0 = 6
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0 = 7
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0 = 8
Polinomios de Legendre
Figura 10: Representación gráfica de algunos polinomios de Legendre
Tabla 9: Primeras funciones asociadas de Legendre
` m Pm` (x) ` m Pm` (x)
0 0 1 4 0 18
(35x4 − 30x2 + 3
)1 0 x 4 1 −5
2(1− x2)1/2(7x3 − 3x
)1 1 −(1− x2)1/2 4 2 15
2
(1− x2
) (7x2 − 1
)2 0 1
2
(3x2 − 1
)4 3 −105x
(1− x2
)3/22 1 −3x(1− x2)1/2 4 4 105
(1− x2
)22 2 3(1− x2)3 0 1
2x(5x3 − 3x
)3 1 3
2(1− x2)1/2(1− 5x2
)3 2 15x
(1− x2
)3 3 −15
(1− x2
)3/2Armónicos esféricos
Los armónicos esféricos resuelven la ecuación diferencial
1
sin θ
∂
∂θsin θ
∂Y m` (θ, φ)
∂θ+
1
sin2 θ
∂2Y m` (θ, φ)
∂φ2+ `(`+ 1)Y m
` (θ, φ) = 0
Polinomios generalizados de Laguerre 51
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.5
1.0
1.5
2.0 = 0 m = 0
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0 = 1 m = 0
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
= 1 m = 1
-1.0 -0.5 0.5 1.0-0.4-0.2
0.20.40.60.81.0
= 2 m = 0
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.5-1.0-0.5
0.51.01.5
= 2 m = 1
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.51.01.52.02.53.0
= 2 m = 2
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0 = 3 m = 0
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-2.0-1.5-1.0-0.5
0.51.01.5
= 3 m = 1
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-6-4-2
246
= 3 m = 2
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-14-12-10
-8-6-4-2
= 3 m = 3
-1.0 -0.5 0.5 1.0-0.4-0.2
0.20.40.60.81.0
= 4 m = 0
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-2
-1
1
2
= 4 m = 1
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-5
5
10 = 4 m = 2
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-30-20-10
102030
= 4 m = 3
-1.0 -0.5 0.5 1.0
20406080
100 = 4 m = 4
Funciones asociadas de Legendre
Figura 11: Representación gráfica de algunas funciones asociadas de Legendre
se pueden expresar mediante las funciones asociadas de Legendre
Y m` (θ, φ) = (−1)m
√2`+ 1
4π
(`−m)!
(`+m)!Pm` (cos θ)eimφ, 0 ≤ m ≤ `
Para los valores negativos dem Y m` (θ, φ) = (−1)mY
|m|` (θ, φ)∗
Los armónicos esféricos son ortogonales∫ 2π
0
∫ π
0Y m′`′ (θ, φ)∗Y m
` (θ, φ) sin θ dθ dφ = δ`′`δm′m
En general los armónicos esféricos son funciones complejas. El valor absolutodel cuadrado de un armónico esférico es directamente proporcional al cuadrado dela función asociada de Legendre con los mismos índices.
|Y m` (θ, φ)|2 =
2`+ 1
4π
(`−m)!
(`+m)![Pm` (cos θ)]2
Aparecen al obtener las funciones propias del momento angular y como parteangular de la función de ondas del átomo de hidrógeno.
Polinomios generalizados de Laguerre
Los polinomios de Laguerre son solución de la ecuación diferencial
xd2Lαn(x)
dx2+ (α+ 1− x)
dLαn(x)
dx+ nLαn(x) = 0
52 Suplemento matemático
Tabla 10: Primeros armónicos esféricos
` m Y m` (θ, φ) ` m Y m
` (θ, φ)
0 0 12√π
3 -3 18
√35π e−3iφ sin3 θ
1 -1 12
√32π e−iφ sin θ 3 -2 1
4
√1052π e−2iφ sin2 θ cos θ
1 0 12
√3π cos θ 3 -1 1
8
√21π e−iφ sin θ
(5 cos2 θ − 1
)1 1 −1
2
√32π eiφ sin θ 3 0 1
4
√7π
(5 cos3 θ − 3 cos θ
)2 -2 1
4
√152π e−2iφ sin2 θ 3 1 −1
8
√21π eiφ sin θ
(5 cos2 θ − 1
)2 -1 1
2
√152π e−iφ sin θ cos θ 3 2 1
4
√1052π e2iφ sin2 θ cos θ
2 0 14
√5π
(3 cos2 θ − 1
)3 3 −1
8
√35π e3iφ sin3 θ
2 1 −12
√152π eiφ sin θ cos θ
2 2 14
√152π e2iφ sin2 θ
Tabla 11: Primeros polinomios generalizados de Laguerre
n Lαn(x)
0 1
1 −x+ α+ 1
2 12
(x2 − 2(α+ 2)x+ α2 + 3α+ 2
)3 1
6
(−x3 + 3(α+ 3)x2 − 3
(α2 + 5α+ 6
)x+ α3 + 6α2 + 11α+ 6
)Se pueden obtener mediante la relación de recurrencia
Lα0 (x) = 1, Lα1 (x) = α+ 1− x,
(n+ 1)Lαn+1(x) = (2n+ α+ 1− x)Lαn(x)− (n+ α)Lαn−1(x), n = 2, 3, ...
o por la fórmula explícita
Lαn(x) =
n∑j=0
(−1)jΓ(α+ n+ 1)xj
Γ(n− j + 1)Γ(α+ j + 1)j!
o por la fórmula de Rodrigues
Lαn(x) =1
n!
ex
xαdn
dxn(xn+αe−x)
Satisfacen la relación de ortogonalidad∫ ∞0
Lαn(x)Lαm(x)xαe−x dx =Γ(n+ α+ 1)
n!δnm
Cuando α = 0 se reducen a los polinomios de Laguerre, L0n(x) = Ln(x).
Lαn(x) =dα
dxαLn(x)
Polinomios generalizados de Laguerre 53
Tabla 12: Primeros polinomios de Laguerre
n Ln(x)
0 1
1 1− x2 1
2
(x2 − 4x+ 2
)3 1
6
(−x3 + 9x2 − 18x+ 6
)
Aparecen en la parte radial de la función de ondas del átomo de hidrógeno.
2 4 6 8 10
0.5
1.0
1.5
2.0n= 0
2 4 6 8 10
-8
-6
- 4
-2
n= 1
2 4 6 8 10
5
10
15
20
25
30n= 2
2 4 6 8 10
- 40
-30
-20
-10
n= 3
2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
n= 4
2 4 6 8 10
5
10
15
20
n= 5
2 4 6 8 10
5
10
n= 6
2 4 6 8 10
-10
-5
5
n= 7
2 4 6 8 10
-15
-10
-5
n= 8
Figura 12: Representación gráfica de algunos polinomios de Laguerre
54 Suplemento matemático
Maxima Reference CardGeneral & Helpend of a command ;end without output $exit Maxima quit()describe command ? <string>get an example example(<command>)previous computation %i-th previous computation %th(i)don’t evaluate ’<expr>
Operatorsbasic operations +, -, *, /, ˆfactorial !assignment :function definition :=equality =not equal #inequality <, >, >=, <=matrix multiplication .logical operators and, or, not
Basic functionsabsolute value abs(<expr>)bxc fix(<num>)checks, if even / odd evenp(<expr>), oddp(<expr>)checks, if a predicate holds is(<pred>) (e.g. is(x<y))square root sqrt(<expr>)integer square root isqrt(<expr>)maximum, minimum max(<expr1>,<expr2>,...), min(..)division remainder mod(<dd>,<ds>)random integer r ∈ 0, . . . , n− 1 random(n)signum sign(<expr>), signum(<expr>)exponential function exp(<expr>)greatest common divider gcd(<expr1>,<expr2>)factors an expression factor(<expr>)numerator of a fraction num(<expr>)denominator of a fraction denom(<expr>)real part of a complex number realpart(<expr>)imaginary part of a complex number imagpart(<expr>)∏upk=low f(k) product(f,k,low,up)∑upk=low f(k) sum(f,k,low,up)
sums a function over a list lsum(<expr>,<index>,<list>)Working with expressionssorting a list sort(<list>), sort(<list>,<pred>)substitute x for y in z subst(x,y,z)combining all terms of an expression overa common denominator xthru(<expr>)sublist of a list, for which a booleanfunction returns true sublist(<list>,<boolfun>)expanding expressions expand(<expr>)
Maxima Reference Card 55
Constantsπ %pieuler’s number %eimaginary unit %iboolean constants true, false
Plottingplotting an expression as a functionof one variable plot2d(<expr>,[<var>,<min>,<max>])plotting an expression as a functionof two variables (specify range as above) plot3d(<expr>,range1,range2)
Input and Outputloading a file load("<fullpath>")printing an expression print(<expr>)saving expressions to a file save("<fullpath>",expr1,...)loading a file (saved by maxima) loadfile("<fullpath>")TEX output tex(<expr>), tex(<expr>,<file>)executing a system command system("<command>")
Floating point operationsconverting into float/ bigfloat float(<expr>), bfloat(<expr>)set floating point precision fpprec:<value>set digits to print fpprintprec:<value>rounding a float to an integer ?round(<expr>)truncating a floats decimal places ?truncate(<expr>)
Polynomialsgives quotient and remainder divide(<poly1>,<poly2>)converts into horner’s scheme horner(<poly>,<var>)
Logarithms and Trigonometrynatural logarithm log(<expr>)principal branch of complex logarithm plog(<expr>)sinus, arcus sinus sin(<expr>), asin(<expr)cosinus, arcus cosinus cos(<expr>), acos(<expr)tangent, arcus tangent tan(<expr>), atan(<expr>)
Differential and Integral calculusinfinity, negative infinity inf, minflımx→k f(x) limit(f,x,k)lımxk f(x), lımxk limit(f,x,k,PLUS), ..(..,MINUS)differentiate an expression diff(<expr>,<var>,<ntimes>)antiderivative of an expression integrate(<expr>,<var>)∫ upx=low f(x) dx integrate(f(x),x,<low>,<up>)
Equationsfind all roots of a real polynomial allroot(<poly>)solve a system of equations solve([<eq1>,..],[<var1>,...])solve an ordinary differential equation ode2(<equ>,<y-var>,<x-var>)finds the zero of f(x) in [a, b] interpolate(f,x,a,b)
56 Suplemento matemático
Matrices and Linear Algebracreates a matrix (where row is a list) matrix(<row1>,<row2>,..)enter am× nmatrix value by value entermatrix(m,n)computes the adjoint of a matrix adjoint(<matrix>)gets column / row of a matrix col(<matr>,<num>), row(<m>,<n>)gets element (i,j) from a matrix <matrix>[i,j]creates a copy of a matrix copymatrix(<matrix>)computes the charact. polynomial charpoly(<matrix>,<var>)computes the determinant determinant(<matrix>)computes the eigenvalues eigenvalues(<matrix>)computes eigenvectors eigenvectors<matrix>)creates an n× n identity matrix ident(n)finds an inverse matrix invert(<matrix>)maps a func. onto each matrix-elem. matrixmap(<fun>,<matrix>)computes the rank of a matrix rank(<matrix>)transposes a matrix transpose(<matrix>)computes an upper triangular form triangularize(<matrix>)
Seriesexpands into a powerseries powerseries(<expr>,<var>,<point>)expands into a truncated taylor series taylor(<fun>,<var>,<point>,<pot>)
Number theorybinomial coefficient binomial(<expr>,<expr>)converts into a continued fraction cf(<expr>)nth Fibonacci number fib(n)checks, if an expression is prime primep(<expr>)Euler’s ϕ-function totient(<expr>)
Listscreates a list [<expr1>,..]creates a copy of a list copylist(<list>)gets the ith element <list>[i]concatenates two lists append(<list1>,<list2>)
Programmingprogram block block(<epxr1>,..)for-loop for <decl> thru <num> step <num> do <block>while-loop for <decl> while <cond> do <block>if-then-else construct if <cond> then <block> else <block>returns a value return(<value>)function definition with block f(x):=block(<expr1>,..,return(<value>))
Miscellaneousrandom number from normal distrib.with mean and standard deviation gauss(<mean>,<dev>)
Maxima Reference Card by mf, version: 01.05.2005Maxima is distributed under the GNU General Public License, visit http://maxima.sourceforge.net/ to get
information about Maxima.
Índice de figuras
1. Definición de las funciones trigonométricas básicas. 352. Definición de las funciones hiperbólicas. 363. Representación de funciones hiperbólicas. 364. Localización de un punto en el plano mediante coordenadas polares 395. Localización de un punto en el espacio mediante coordenadas esféricas 406. Representación de un número complejo mediante coordenadas polares 417. Representación gráfica de la función de error 478. Representación gráfica de la función complementaria de error 479. Representación gráfica de algunos polinomios de Hermite 4810. Representación gráfica de algunos polinomios de Legendre 5011. Representación gráfica de algunas funciones asociadas de Legendre 5112. Representación gráfica de algunos polinomios de Laguerre 53
57
Índice de tablas
1. Unidades base del SI 322. Unidades derivadas del SI 323. Prefijos del SI 334. Alfabeto griego 335. Constantes fundamentales 346. Factores de conversión para unidades de energía 347. Primeros polinomios de Hermite 488. Primeros polinomios de Legendre 499. Primeras funciones asociadas de Legendre 5010. Primeros armónicos esféricos 5211. Primeros polinomios generalizados de Laguerre 5212. Primeros polinomios de Laguerre 53
58
