Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito

Lezione 4

Derivati e Leverage

Contratti forward

• L’acquirente al tempo t definisce l’acquisto al prezzo F di un lotto del titolo S, definito il sottostante, per consegna (delivery) al tempo T.

• Al tempo T il valore del contratto per l’acquirente è la S(T) - F

Contratti forward: ingredienti• Data dell’operazione 16/03/2005• Prezzo a pronti ENEL 7,269• Prezzo BOT scadenza 16/05/2005: 99,66• Prezzo forward Enel:

7,269/0,9966 = 7,293799 ≈ 7,2938• Posizione lunga (acquisto) in un contratto forward: acquisto di

10000 Enel forward per consegna il 16 maggio 2005 al prezzo di 7,2938.

• Valore del contratto forward alla data 16/05/200510000 ENEL(15/09/2005) – 72938

• Esempio: se si verifica ENEL(15/09/2005) = 8 euro, la posizione lunga (chi ha acquistato il contratto forward) incasserà 80000 – 72938 = 7062 euro. Se invece il prezzo scenderà a 7 euro, la posizione lunga pagherà 70000 – 72938 = – 2938

Derivati e leverageUn altro esempio di arbitraggio

• I contratti derivati implicano leverage• Alternativa 1

Forward 10000 ENEL a 7,2938 €, 2 mesi

Dopo 2 m.: Valore 10000 ENEL – 72938• Alternativa 2

Acquisto 10000 ENEL con debito 72938 di valore nominale per rimborso a 2 mesi.

Dopo 2 m.: Valore 10000 ENEL – 72938

Costruzione sintetica di un forward

• Un posizione lunga/corta in un contratto lineare (un forward) è equivalente a una posizione dello stesso segno sul sottostante e una posizione di debito/credito per un ammontare pari al prezzo e scadenza alla data di consegna.

• Nel nostro caso abbiamo che, alla data di origine dell’operazione, 16/03/2005, il valore del contratto forward CF(t) è

CF(t) = 10000 x 7,269 – 0,9966 x 72938 ≈ 0• All’origine il contratto forward vale zero per costruzione,

perché il prezzo di consegna è fissato pari al prezzo forward.

Un giorno dopo…• Data di valutazione: 17/03/2005• Prezzo a pronti ENEL 7,340• Prezzo BOT scadenza 16/05/2005: 99,656• Prezzo di consegna (delivery price) osizione lunga

(acquisto) in un contratto forward: acquisto di 10000 Enel forward per consegna il 16 maggio 2005 al prezzo di 7, 2938.

• Valore del contratto forward10000 ENEL(17/03/2005) –0,99656 x 72938

= 73400 – 72687 = 713 €

Contratti futures

• Contratti lineari su mercati organizzati• Standardizzazione di prodotti e delivery dates• Scambio col meccanismo del “margine”

– Deposito all’accensione della posizione– Regolamento giornaliero (marking-to-market) e

attribuzione di profitti e perdite sul margine

• Presenza della “clearing-house” • Esempio: il futures su Enel il 16/3/05 alla chiusura

valeva 7,290

Copertura del rischio• Consideriamo la seguente posizione

– Lungo 10000 Enel (prezzo PEnel)– Corto forward su 10000 Enel a T mesi

• Valore della posizione all’origine: 10000 PEnel – forward = 10000 PEnel – 10000 PEnel + v(t,T) [10000 PEnel /v(t,T)]= 10000 PEnel

• Valore della posizione a 3 mesi10000 PEnel/ v(t,T)

• Il valore della posizione a tre mesi è uguale al prezzo forward di Enel. Abbiamo costruito sinteticamente un investimento privo di rischio

Speculazione• Consideriamo la seguente posizione

– Lungo 1000 Enel (prezzo PEnel)– Lungo forward su 1000 Enel a T mesi

• Valore della posizione all’origine: 1000 PEnel + forward =

= 10000 PEnel + 10000 PEnel – v(t,T) [10000 PEnel /v(t,T)]

= 10000 PEnel

• Valore della posizione a T mesi

2000 PEnel – 1000PEnel /v(t,T)• Abbiamo raddoppiato l’esposizione a Enel costruendo

sinteticamente debito (leverage) pari a 1000PEnel /v(t,T).

Prodotti non lineari: opzioni

• Opzione call (put) europea: conferisce al tempo t il diritto, ma non l’obbligo, di acquistare (vendere) al tempo T (tempo di esercizio) un’unità di S al prezzo K (strike o prezzo di esercizio).

• Payoff della call a T: max(S(T) - K, 0)

• Payoff della put a T: max(K - S(T), 0)

Valutazione di un’opzione call

Tempo t Tempo T

Prezzo H L

Y(t) Y(H) Y(L)

C (Y,t;T,K) Max(Y(H)-K,0) Max(Y(L)-K,0)

v(t,T) 1 1

Esempio ispirato a Enel

Enel = 7,269

v(t,T) = 0,9966

Call(Enel,t;7,400,T) = ?

Enel (H) = 7,500

v(T,T) = 1

Call (H) = 0,100

Enel(L) = 7,100

v(T,T) = 1

Call (L) = 0

T = 16 maggio 2005t = 16 marzo 2005

Relazioni arbitraggio tra i prezzi

• Consideriamo un portafoglio conUna posizione in unità di YUn posizione di investimento/indebitamento W

• Poniamo =[max(Y(H) –K,0)–max(Y(L)–K,0))]/(Y(H)–Y(L))• Al tempo T

Max(Y(H) – K,0) = Y(H) + W

Max(Y(L) – K, 0) = Y(L) + W

Opzioni Call• Per K ≥ Y(H) ≥ Y(L) il è uguale a zero. Di

conseguenza anche W è uguale a zero. L’opzione è out-of-the-money, e non verrà esercitata.

• Per Y(H) ≥ Y(L) ≥ K abbiamo = 1 e W = – K. L’opzione call è in-the-money e verrà esercitata con probabilità 1: per questo motivo corrisponde a una posizione lunga in un contratto forward.

• Un’opzione call corrisponde a una posizione lunga nel sottostante finanziata con debito.

Call(Enel,16/03/05;7,400, 16/05/05)• Consideriamo un portafoglio con

= (0,100 – 0)/(7,500 – 7,100) = 0,25 EnelW = – 0,25 x 7,100 = – 1,775 (leverage)

• Notiamo che al tempo TC(H) = 0,100 = 0,25 x 7,500 – 1,775

C(L) = 0 = 0,25 x 7,100 – 1,775• Il principio di non arbitraggio implica che alla data di valutazione

16/03/05 siaCall(Enel,t) = 0,25 x 7,269 – 0,9966 x 1,775 = 0,048285

• Una call su 10000 azioni Enel per strike price 7,400 vale quindi 4828,5 € e corrisponde aUna posizione lunga in 2500 azioni ENEL sul mercato a prontiDebito (leverage) per 17750 € di nominale al 16/05/05

Un altro esempio di arbitraggioPut-Call Parity

• Portafoglio A: opzione call + v(t,T)Strike• Portafoglio B: opzione put + sottostante• Data di esercizio della call: T• Prezzo strike call = Prezzo strike put• Al tempo T:

Valore A = Valore B = max(sottostante,strike)…da cui abbiamo che il valore dei portafogli A e B

deve essere lo stesso in ogni t < T, che implicaCall + v(t,T) Strike = Put + Sottostante

Opzioni put

• Utilizzando la relazione di parità put-call è agevole ottenere

Put = Call – Y(t) + v(t,T)K e dalla scomposizione precedente

Put = ( – 1)Y(t) + v(t,T)(K + W)• Il risultato è che il delta di un’opzione put

varia tra zero e – 1 e la posizione nel titolo privo di rischio varia tra zero e K.

Put(Enel,16/03/05;7,400, 16/05/05)

• Il valore del delta della put e della posizione nel titolo privo di rischio sono – 1 = 0,25 – 1 = – 0,75 EnelK + W =7,400 – 1,775 = 5,625 investimento nel titolo risk-

free• Il principio di non arbitraggio implica che alla data di

valutazione 16/03/05 siaPut(Enel,t) = – 0,75 x 7,269 + 0,9966 x 5,625 = 0,154125

• Una contratto put su 10000 azioni Enel per strike price 7,400 vale quindi 15412,5 € e corrisponde aUna posizione corta in 7500 azioni ENEL a prontiCredito per 56250 € di nominale al 16/05/05