A.Stefanel - Riepilogo meccanica1 Meccanica Riepilogo

A.Stefanel - Riepilogo meccanica 1

Meccanica

Riepilogo


I tre principi della dinamica

Primo PrincipioUn sistema permane nel suo stato di moto rettilineo uniforme se esso è isolato (su di esso non agisce alcuna forza), ovvero è soggetto a una risultante di forze nulle.

Secondo Principio

Un corpo di massa m, su cui agisce una risultante di forze F, è soggetto a una accelerazione proporzionale a F:

F = m a

In un sistema di riferimento inerziale.

Terzo Principio (principio di azione e reazione)

Quando due sistemi A e B interagiscono, il sistema A esercita sul sistema B una forza FB e il sistema B agisce sul sistema A con una forza FA che sono uguali in modulo, agiscono sulla stessa retta e hanno verso opposto: FB = - FA


I tre principi della dinamica

Primo Principio- sistema di riferimento inerziale - stato di moto (velocità)- per modificare lo stato di moto interazioni

Secondo Principio

F = m a (F: risultante delle forze)

Nota la risultante delle forze nota l’accelerazione (è definito il modello fisico)

Date le condizioni iniziali legge oraria ; traiettoria (è definito lo specifico processo)

In un sistema di riferimento inerziale.

Terzo Principio (principio di azione e reazione)- Indica come si costruisce il modello di una interazione- Reciprocità delle forze; azione e reazione agiscono su corpi diversi;FB= -FA

- Principio di conservazione quantità di moto per sistemi isolati- Principio di conservazione del momento della quantità di moto per sistemi isolati, ovvero per forze centrali.

F= ma

sufficiente per la fisica del punto materiale.


Equilibrio

Statica – Moto rettilineo uniforme

R = 0

Rx = 0

Ry = 0

Rz = 0

Dinamica

R = m a

Rx = m ax

Ry = m ay

Rz = m az

ax = Rx / m

ay = Ry / m

az = Rz / m

Note le condizioni iniziali (posizione iniziale e velocità iniziale), si può determinare l’evoluzione del sistema nel tempo (r = r (t); v = v (t))


Sistema di n punti materiali

Fi = mi ai R = i Fi = i mi ai

R = Fext= ------- = -----------t t

Q i mi vi

Prima equazione cardinale della dinamica.

Centro di massa:

OG = ---------i mi ri

i mi

vG = ---------- i mi vi

i mi

R = Fext= ------------ M vG

t

rG=


Sistema di n punti materiali soggetto a forze esterne con vettore risultante nullo.

------- = ----------- = ----------- = 0t t

Q i mi vi M vG

t

R =0

Qiniziale = Qfinale

Sistema isolato

Sistema soggetto a un vettore risultante di forze nullo

Q = costanteConservazione della quantità di moto

Principio di conservazione della quantità di moto:

In un sistema isolato o soggetto a un sistema di forze con vettore risultante nullo,

La quantità di moto del sistema si conserva:

Q = i mi vi= cost

vG = cost


Il momento di un sistema di forze rispetto a un punto

O

x

y

z

ri

Pi

Fi M = i ri Λ Fi

M

Or1

F1

P1

P2

F2

Fn

rn

Pn

Dal terzo principio della dinamica

M = Mext = i ri Λ Fexti


Il momento di un sistema di forze rispetto a asse

O

ri

Pi

Fi

Mn =(M·n) n = [(i ri Λ Fi)·n]n

= ( i bi Fi)n

r1

F1

P1

P2

F2

Fn

rn

Pn

n

bi

b2

b1

bn


M =Mext = ------- L

t

L = (ri Λ (mi vi)Momento angolare o della quantità di moto

M = i ri Λ FiRisultante dei momenti

Seconda equazione cardinale della dinamica


Seconda equazione cardinale della dinamica

Mext = ---- L

t

Nei corpi rigidi in rotazione intorno ad un asse

L = I Mext =I -------

t

momento di inerzia

I = i mi ri2

con ri distanza del punto i-esimo dall’asse di rotazione

: velocità angolare (in generale non costante)


Principio di conservazione del momento angolare o momento della quantità di moto

Mext = ---- L

t

si ha: Mext = 0

- sistema isolato

- forze centrali

- forze uniformi

Conservazione di L

Mext = ----d L

d t

Dalla seconda equazione cardinale della dinamica

Se Mext = 0 Liniziale = L finale L = cost

Da III legge dinamica


m

T1

Il sistema

T2 T3

Condizione di equilibrio della puleggia

R = 0

T1 + T2 + T3=0

T1 = kx1 T2 = kx2 T3=mg

Molla di costante elastica k

Allungamento x1


Allungamento x2

Funi inestensibili

Puleggia di massa m1

trascurabile Moduli delle forze

T1 : tensione esercitata dalla fune che sorregge la puleggia, di modulo uguale a quello della forza esercitata dalla molla 1.

Molla 1

Molla 2

T2 : tensione esercitata dalla parte sinistra della fune che scorre nella puleggia, di modulo uguale a quello della forza esercitata dalla molla 2.

T3 : tensione esercitata dalla parte destra della fune che scorre nella puleggia, di modulo uguale a quello della forza peso mg.

Allungamento delle molle all’equilibrio?


m

T1

Il sistema

T2 T3

Condizione di equilibrio della puleggia

R = 0

T1 + T2 + T3=0

T3=T2 kx2 = mg

Condizione di equilibrio della massa m:

x1 = 2x2 = 2(mg/k)


Allungamento x1


Allungamento x2

Funi inestensibili

Puleggia di massa m1

trascurabile

kx1 =mg + kx2

x2 = (mg/k)

T1x = -kx1 T2x = kx2 T3x=mgComponenti x delle forze

Rx =0

x

y z


m2

m1

La macchina di Atwood

Masse m1 e m2 agli estremi del cavo perfettamente flessibile e inestensibile

Puleggia di massa M e raggio R

Momento di inerzia: I = M R2/2

A

Prima equazione cardinale applicata alla puleggia

R = m a

T3

T1 T2

0 = m az

0 = m ay

T1x +T2x +T3x = m ax

x

yz

gm1 +gm2 –T3 =0Se il pignone A intorno a cui ruota la puleggia sta fermo: Rx=0

T3 = gm1 +gm2

Imporre il vettore risultante R=0 non è sufficiente per determinare la dinamica del sistema.


m2

m1





A

Dalla prima equazione cardinale applicata alla puleggia

T3

T1 T2 x

yz

T3 = gm1 +gm2

M = T2 r k – T1 r k

Seconda equazione cardinale applicata alla puleggia

k : versore asse z piano x,y su cui giacciono i vettori T1, T2 e r.

M = d L / dt

L = I k + (r m2 v2 - r m1 v1 ) k= = I k + ( m2 r2 - m1 r2 ) k=

= (I + m2 r2 - m1 r2 ) k


m2

m1





A


T3

T1 T2 x

yz

T3 = gm1 +gm2

M = T2 r k – T1 r k


k : versore asse z piano x,y su cui giacciono i vettori T1, T2 e r.

M = d L / dt

L = I k + (r m2 v2 - r m1 v1 ) k= = I k + ( m2 r2 - m1 r2 ) k=

= (I + m2 r2 - m1 r2 ) k


m2

m1





A


T3

T1 T2 x

yz

T3 = gm1 +gm2


M = d L / dt

T2 r k – T1 r k = (I + m2 r2 - m1 r2 ) (d/dt) k

d/dt = (T2 – T1)r / (I + m2 r2 - m1 r2 )

La puleggia si muove con accelerazione angolare costante


Teorema dell’energia cinetica

L = K (i Fi· Ri)

Sistema di punti materiali di massa MA, MB,……MZ

Somma su K = A, B,…..ZSomma dei contributi relativi

a ciascuna massa

Somma su i =1…n, sugli spostamenti Ri cui è soggetto il punto di applicazione del vettore risultante delle forze agenti sulla massa K-esima (Lavoro della risultante delle forze agenti sulla massa K-esima).

L = K (1/2 mK VKf2

- 1/2 mK VKo2)

L = K (1/2 mK VKf2) - K (1/2 mK VKo

2)

Ec = K (1/2 mK VK2) L = Ecf – Ec0= Ec


Energia cinetica di un sistema

Ec = K (1/2 mK VK2)

VK2 = vG

2 + vK

2 +2 (vK · vG)

x

y

z MB

MK

MZMA

G

Ec = ½ M vG2 + K (1/2 mK vK

2)

L’energia cinetica di un sistema di punti si esprime come somma dell’energia cinetica del centro di massa + l’energia cinetica rispetto al centro di massa.


Energia cinetica di un corpo rigido.

Corpo rigido: Sistema di punti materiali di massa MA, MB,……MZ, per i quali non cambia la distanza tra di essi.

r v

Ec = 1/2 (K mK rK2)2

Ec = 1/2 I 2

I = K mK rK2

Momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione

È una grandezza che caratterizza come è distribuita la massa in un sistema rispetto a un suo asse.

Tutti i punti del sistema si muovono con la stessa velocità angolare

Hanno velocità lineari diverse date da v = r..


Teorema di Huygens- Steiner

A1AG

d

Corpo rigido di massa M

Momento di inerzia IG rispetto all’asse AG passante per il baricentro del sistema.

IA1 = IG + M d2


Energia cinetica di un sistema rigido in rototraslazione intorno a un asse che resta parallelo a se stesso

(es un cilindro che rotola su un piano inclinato).

Ec = ½ M vG2 + ½ I 2

vG: velocità del centro di massa

M : massa del sistema

I : momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico (fisso nel sistema di riferimento del baricentro)

: velocità angolare di rotazione intorno all’asse (in generale non è costante)


Energia potenziale

Forze per cui il lavoro non dipende dal percorso, ma solo dal punti iniziale e finale dello spostamento.

Forze conservative (forza peso e forza gravitazionale in generale, forza elastica…)

L = - (Uf – Ui)

Il lavoro si può esprimere come meno la differenza tra l’energia potenziale del sistema nella posizione finale e l’energia potenziale nella posizione iniziale.

Il lavoro lungo un percorso chiuso è nullo

Ui = mghi Uf = mghf En. Pot. gravitazionale

Ui = 1/2 k xi2 Ui = 1/2 k xf

2 En. Pot. elastica


Principio di conservazione dell’energia meccanica

Dal teorema dell’energia cinetica : L = Ecf – Eci

Nel caso in cui si abbiano forze conservative:

L = - (Uf – Ui)

- (Uf – Ui) = Ecf – Eci

Eci + Ui = Ecf + Uf

E = Ec + U = costante

Punto materiale: E = U + ½ M v2

Corpo rigido in rotazione intorno a un asse passante per G che trasla:

E = U + ½ M vG2 + ½ I 2


Principio di conservazione dell’energia meccanica

Nel caso in cui su un sistema agiscano solo forze conservative:

Eci + Ui = Ecf + Uf

E = Ec + U = costante

N.B. Non vale nel caso in cui al lavoro della risultante di forze contribuiscano forze d’attrito.

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