Asuransi Jiwa

Asuransi Jiwa

Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati

S2 Matematika FMIPA UGM

January 1, 2014

Seftina Diyah Miasary // Desty Rakhmawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Asuransi Jiwa January 1, 2014 1 / 39

Outline

1 Pendahuluan

2 Jenis-Jenis Asuransi JiwaAsuransi yang Dibayarkan Seketika pada Saat KematianAsuransi dengan Manfaat BertingkatAsuransi DwigunaAsuransi TertundaAsuransi dengan Manfaat Kematian yang Tak Tetap

3 Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan)Asuransi yang Dibayarkan Pada Akhir Tahun KematianAsuransi Jiwa Berjangka n-TahunAsuransi Jiwa Seumur HidupAsuransi Jiwa DwigunaAsuransi dengan Santunan yang Tak Tetap

4 Hubungan Asuransi Kontinu dan Asuransi Diskrit

5 Persamaan Differensial untuk Asuransi Kontinu


Pendahuluan

Definisi Asuransi Jiwa

Asuransi jiwa merupakan sebuah janji dari perusahaan asuransi(pihak penanggung) kepada nasabahnya (tertanggung) bahwaapabila nasabah mengalami resiko kematian dalam hidupnya makaperusahaan asuransi akan memberikan santunan (manfaatkematian) dengan jumlah tertentu pada ahli waris dari nasahabtersebut.

Nilai harapan dari vriabel random nilai sekarang E(Z) adalahnilai sekarang aktuaria (Actuarial Present Value) atau dengankata lain nilai uang sekarang (Present Value) yang harusdibayarkan untuk mendapatkan sejumlah nilai yang sama padasaat meninggal dalam periode waktu sampai t tahun.


Pendahuluan

Definisi Asuransi Jiwa

Asuransi jiwa merupakan sebuah janji dari perusahaan asuransi(pihak penanggung) kepada nasabahnya (tertanggung) bahwaapabila nasabah mengalami resiko kematian dalam hidupnya makaperusahaan asuransi akan memberikan santunan (manfaatkematian) dengan jumlah tertentu pada ahli waris dari nasahabtersebut.Nilai harapan dari vriabel random nilai sekarang E(Z) adalahnilai sekarang aktuaria (Actuarial Present Value) atau dengankata lain nilai uang sekarang (Present Value) yang harusdibayarkan untuk mendapatkan sejumlah nilai yang sama padasaat meninggal dalam periode waktu sampai t tahun.


Jenis-Jenis Asuransi JiwaAsuransi yang Dibayarkan Seketika pada Saat

Kematian

Asuransi yang Dibayarkan Seketika Saat Kematian

Model asuransi ini juga disebut sebagai model kontinu dimanabesarnya manfaat dan waktu pembayaran hanya bergantung padalamanya waktu yang ditentukan saat asuransi diterbitkan sampaitertanggung meninggal.

Besar manfaat kematian dihitung dari fungsi manfaat dan fungsidiskon (vt).Fungsi dari nilai manfaat kematian pada saat sekarang dari zt,yaitu

zt = btvt

dengan zt adalah nilai sekarang untuk nilai polis dari pembayaranmanfaat kematian dan T = T (x) merupakan varriabel random sisausia yang diasuransikan.



Kematian


Model asuransi ini juga disebut sebagai model kontinu dimanabesarnya manfaat dan waktu pembayaran hanya bergantung padalamanya waktu yang ditentukan saat asuransi diterbitkan sampaitertanggung meninggal.Besar manfaat kematian dihitung dari fungsi manfaat dan fungsidiskon (vt).

Fungsi dari nilai manfaat kematian pada saat sekarang dari zt,yaitu

zt = btvt




Kematian


Model asuransi ini juga disebut sebagai model kontinu dimanabesarnya manfaat dan waktu pembayaran hanya bergantung padalamanya waktu yang ditentukan saat asuransi diterbitkan sampaitertanggung meninggal.Besar manfaat kematian dihitung dari fungsi manfaat dan fungsidiskon (vt).Fungsi dari nilai manfaat kematian pada saat sekarang dari zt,yaitu

zt = btvt



Jenis-Jenis Asuransi Jiwa Asuransi dengan Manfaat Bertingkat

Asuransi Jiwa Berjangka n-Tahun(n-Year TermInsurance)

• Pada asuransi jiwa berjangka n-tahun, pembayaran manfaatkematian dilakukan hanya jika nasabah meninggal di dalamn-tahun masa kepesertaannya sejak memutuskan terdaftar menjadipeserta asuransi.

• Misalkan besarnya manfaat kematian adalah 1 unit dandibayarkan saat seseorang berusia (x) mengalami kematian, maka:

bt ={

1, t ≤ n0, t > n

vt = vt, t ≥ n

Z ={

vT , T ≤ n0, T > n



• Nilai sekarang aktuaria asuransi berjangka n-yahun denganpembayaran manfaat kematian sebesar 1 unit dan dilakukanseketika pada saat (x) mengalami kematian adalah E[Z],dinotasikan A1

x:n dengan Z adalah fungsi dari T

A1x:n = E[Z] =

∫ ∞

0ztfT (t) dt

sehingga,

A1x:n =

∫ n

0vt

tpxµx(t) dt

=∫ n

0e−δt

tpxµx(t) dt

selanjutnya diperoleh,

var(Z) = 2A1x:n − (A1

x:n )2



Asuransi Seumur Hidup (Whole Life Insurance)

• Asuransi jiwa seumur hidup merupakan asuransi jiwa berjangkan-tahun dengan n →∞, berlaku:

bt = 1, t ≥ 0

vt = vt, t ≥ 0

Z = vT , T ≥ 0

• Asuransi ini membayar manfaat kematian ketika nasabahmeninggal dunia kapanpun kematian tersebut terjadi.



• Nilai sekarang aktuaria seumur hidup (whole life insurance) yakni:

Ax =∫ ∞

0vt

tpxµx(t) dt

• Untuk seseorang yang terseleksi pada saat [x] dan sekarang berusia[x] + h, maka nilai sekarang aktuarianya sebesar:

A[x]+h =∫ ∞

0vt

tp[x]+hµx(h + t) dt



Contoh 1

Diasumsikan mortalita mengikuti :lx = 100− x untuk 0 ≤ x ≤ 100 dantingkat suku bunga kontinu 0,005. Hitunglah A 1

40:25Jawab:Diketahui lx = 100− x = 100.S(x),0 ≤ x ≤ 100, δ = 0, 05terlebih dahulu ditentukan µ(x + t)

µ(x + t) =1

S(x + t).dS(x + t)

dt

= − 1100− x− t

.d(100− x− t)

dt

=1

100− x− t



Sehingga,

µ(40 + t) =1

60− t

tp40 =S(40 + t)

S(40)=

(60− t

60

)Selanjutnya,

A 140:25

=∫ 25

0e−δt

tp40µ(40 + t) dt

=∫ 25

0e−0,05t

(60− t

60

) (1

60− t

)dt

=160

∫ 25

0e−0,05t dt

= 0, 283



Contoh 2

Suatu polis asuransi jiwa seumur hidup (whole life) dengan uang per-tanggungaan senilai 70 diterbitkan atas (30). Manfaat meninggal diba-yarkan pada saat meninggal dunia. Jika probability density function darifuture lifetime T untuk (x) adalah :

f(t) ={

t70 , 0 ≤ t ≤ 700, lainnya

dan δ = 0, 10. Hitunglah premi tunggal neto (net single premium)?Jawab:

Ax =∫ 70

0e−δt.fT (t) dt

=∫ 70

0e−0,1t 1

70dt



=−t

700e−0,1t − e−0,1t

70|700

= −e−7

(17

+170

)+

170

=170

− 1170

e−7

diperoleh net single premium,

btAx = 70(

170

− 170

e−7

)= 1− 11e−7


Jenis-Jenis Asuransi Jiwa Asuransi Dwiguna

Asuransi Dwiguna (Endowment Insurance)

• Asuransi dwiguna terdiri dari dwiguna murni berjangka n-tahundan dwiguna berjangka n-tahun.

• Manfaat kematian akan diberikan seketika pada saat kematianapabila peserta asuransi meninggal sebelum n-tahun. sebaliknya,apabila masih hidup sampai dengan n-tahun maka kepadanya akandiberikan dwiguna murni.



Asuransi Dwiguna Murni Berjangka n-Tahun

• Manfaat kematian akan diberikan akhir tahun ke-n apabilanasabah tetap hidup minimal selama n-tahun sejak masuk menjadipeserta asuransi sehingga dapat dituliskan:

• Nilai sekarang untuk aktuaria untuk dwiguna murni memiliki duanotasi yang berarti sama, yaitu A 1

x:n atau nEx,

A 1x:n = E[Z] = vn

npx

variansinya dapat diperoleh dari,

var(Z) = 2A 1x:n − (A 1

x:n )2

= v2nnpxnqx



Asuransi Dwiguna n-Tahun

• Asuransi dwiguna n-tahun merupakan kombinasi dari asuransiberjangka n-tahun dan dwiguna murni.

• Manfaat kematian akan diberikan seketika pada saat kematianapabila peserta asuransi meninggal sebelum n-tahun. sebaliknya,apabila masih hidup sampai dengan n-tahun maka kepadanya akandiberikan dwiguna murni. berikut nilai sekarang aktuarianya,

Ax:n = A1x:n + A 1

x:n

variansi untuk asuransi ini yaitu,

var(Z) = 2Ax:n − (Ax:n )2


Jenis-Jenis Asuransi Jiwa Asuransi Tertunda

AsuransiTertunda (Deffered Insurance)

• Asuransi tertunda m-tahun memberikan manfaat kematian jikanasabaha meninggal setelah m-tahun menjadi peserta asuransi.

• Asuransi jiwa seumur hidup tertunda m-tahun mempunyai nilaisekarang aktuaria sebagai berikut,

E[Z] = m|Ax =∫ ∞

mvt

tpxµx(t) dt

, sedangkan• Asuransi jiwa berjangka n-tahun yang tertunda m-tahun, nilai

sekarang aktuarinya adalah,

m|nAx = m|nA1x:n =

∫ m+n

mvt

tpxµx(t) dt


Jenis-Jenis Asuransi Jiwa Asuransi Tertunda

Contoh 3

Suatu polis asuransi jiwa seumur hidup tertunda 5 tahun diterbitkanatas (x) dengan manfaat meninggal dibayarkan pada saat meninggaldunia. jika diketahui force of mortality constant µ = 0, 04 dan δ = 0, 10.Berapakah nilai sekarang aktuaria dari asuransi ini?Jawab:

5|Ax =∫ ∞

5tpxµx(t) dt =

∫ ∞

5e−δtµx(t) dt

=∫ ∞

5e−0,10te−0,04t(0, 04) dt

=(0, 04)e0,14t

−0, 14|∞5

=27e−0,7 = 0, 1419


Jenis-Jenis Asuransi JiwaAsuransi dengan Manfaat Kematian yang Tak

Tetap

Asuransi dengan Manfaat Kematian Meningkat

• Asuransi jiwa seumur hidup dengan manfaat kematian meningkatper tahun (anually increasing whole life insurance) akanmemberikan manfaat kematian sebesar 1 unit pada saat terjadikematian di tahun pertama, 2 unit pada tahun kedua, danseterusnya,

bt = bt + 1c, t ≥ 0

vt = vt, t ≥ 0

Z = bT + 1c, T ≥ 0

Dimana tanda ”bc” menyatakan bilangan bulat terbesar.• Nilai sekarang aktuaria dari asuransi ini adalah,

(IA)x = E[Z] =∫ ∞

0bt + 1cvt

tpxµx(t) dt



Tetap

Asuransi dengan Manfaat Kematian Meningkat

• Secara umum, nilai sekarang aktuaria untuk asuransi jiwa seumurhidup dengan manfaat kematian meningkat per m-bulan (m-thlyincreasing whole life insurance) yakni,

E[Z] = (I(m)A)x

• Selain itu, jika kematian terjadi dalam jangka waktu n-tahun makadisebut m-thly increasing n-year term life insurance, dimanadalam kasus ini m →∞, maka nilai sekarang aktuarianya adalah

E[Z] = (IA)x =∫ ∞

0s|Ax ds



Tetap

Asuransi dengan Manfaat Kematian Menurun

• Asuransi jiwa seumur hidup dengan manfaat kematian menurunper tahun (anually decreasing whole life insurance). misalkansuatu asuransi memberikan manfaat kematian sebesar n apabilaterjadi kematian di tahun pertama, n− 1 di tahun kedua danseterusnya sampai dengan jangka waktu asuransi selesai makafungsinya adalah,

bt ={

n− btc, t ≤ n0, t > n

vt = vt, t > n

Z ={

vT (n− bT c, T ≤ n0, T > n



Tetap

Asuransi dengan Manfaat Kematian Menurun

• Nilai sekarang aktuaria dari asuransi ini adalah,

(DA)1x:n =

∫ n

0vt(n− btc)tpxµx(t) dt


Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan)Asuransi yang Dibayarkan Pada Akhir Tahun

Kematian

Asuransi yang Dibayarkan Pada Akhir Tahun Kematian

Merupakan asuransi yang dibayarkan secara diskrit.

Model asuransi ini didefinisikan sebagai fungsi sisa usia masadepan dari nasabah dengan K = K(x) merupakan variabelrandom sisa usia (diskret). Fungsi manfaat bk + 1, yaitu jumlahpembayaran manfaat dimana indeks k + 1 menyatakan sisa usiadari nasabah dan fungsi diskonto vk + 1, yaitu faktor diskontosuku bunga yang ditetapkan untuk periode dari waktupengembalian pembayaran sampai waktu diterbitkannya polis.Nilai sekarang pada saat polis diterbitkan dari pembayaranmanfaat asuransi dinotasikan dengan zk+1, yaitu:

zk + 1 = bk+1vk+1



Kematian


Merupakan asuransi yang dibayarkan secara diskrit.Model asuransi ini didefinisikan sebagai fungsi sisa usia masadepan dari nasabah dengan K = K(x) merupakan variabelrandom sisa usia (diskret). Fungsi manfaat bk + 1, yaitu jumlahpembayaran manfaat dimana indeks k + 1 menyatakan sisa usiadari nasabah dan fungsi diskonto vk + 1, yaitu faktor diskontosuku bunga yang ditetapkan untuk periode dari waktupengembalian pembayaran sampai waktu diterbitkannya polis.

Nilai sekarang pada saat polis diterbitkan dari pembayaranmanfaat asuransi dinotasikan dengan zk+1, yaitu:

zk + 1 = bk+1vk+1



Kematian


Merupakan asuransi yang dibayarkan secara diskrit.Model asuransi ini didefinisikan sebagai fungsi sisa usia masadepan dari nasabah dengan K = K(x) merupakan variabelrandom sisa usia (diskret). Fungsi manfaat bk + 1, yaitu jumlahpembayaran manfaat dimana indeks k + 1 menyatakan sisa usiadari nasabah dan fungsi diskonto vk + 1, yaitu faktor diskontosuku bunga yang ditetapkan untuk periode dari waktupengembalian pembayaran sampai waktu diterbitkannya polis.Nilai sekarang pada saat polis diterbitkan dari pembayaranmanfaat asuransi dinotasikan dengan zk+1, yaitu:

zk + 1 = bk+1vk+1


Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan) Asuransi Jiwa Berjangka n-Tahun

Asuransi Jiwa Berjangka n-Tahun(n-Year TermInsurance)

• Asuransi berjangka n-tahun dengan memberikan 1 unit pada akhirtahun kematian diperoleh:

bk+1 ={

1, k = 0, 1, · · · , n− 10, lainnya

vk+1 = vk+1

Z ={

vK+1,K = 0, 1, · · · , n− 10, lainnya

• Nilai aktuaria untuk asuransi ini diberikan dengan,

A1x:n = E[Z] =

n−1∑k=0

vk+1kpxqx+k


Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan) Asuransi Jiwa Berjangka n-Tahun

• Dengan menggunakan penurunan aljabar, rumus rekursi dari nilaisekarang aktuaria dari asuransi berjangka n-tahun adalah:

A1x:n = vqx + vpxA 1

x+1:n−1

• Selanjutnya, nilai variansi dari asuransi berjangka n-tahun sebagaiberikut,

var[Z] = 2A1x:n − (A1

x:n )2

dimana, 2A1x:n =

n−1∑k=0

v2k+1kpxqx+k


Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan) Asuransi Jiwa Seumur Hidup

Asuransi Jiwa Seumur Hidup(Whole Life Insurance)

• Asuransi jiwa seumur hidup yang diterbitkan untuk x, model yangakan digunakan pada asuransi ini dapat diperoleh denganmemisalkan n →∞ dari model asuransi berjangka n-tahunsehingga nilai sekarang aktuaria dari asuransi ini adalah:

Ax =∞∑

k=0

vk+1kpxqx+k

• selanjutnya rumus rekursi untuk asuransi jiwa seumur hidupdimana n →∞ yakni,

Ax = vqx + vpxAx+1


Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan) Asuransi Jiwa Seumur Hidup

Contoh 4

Jika lx = 100−x untuk 0 ≤ x ≤ 100 dan jika i = 0,05. Hitunglah A40:25 ?

Jawab: k|qx = kpxqx+k =lx+k − lx+k+1

lx=

1100− x

Sehingga, k|q40 =160

Selanjutnya diperoleh,

A40:25 =24∑

k=0

(1, 05)−(k+1) 160

+ v2525p40

=160

a25 + v25 3560

=160

(14, 09359) +712

(0, 295308)

= 0, 407159


Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan) Asuransi Jiwa Dwiguna

Asuransi Jiwa Dwiguna(Endowment Insurance)

Asuransi dwiguna (endowment) n-tahun dengan jumlah unit pemba-yaran pada akhir tahun kematian adalah kombinasi dari asuransi ber-jangka n-tahun dengan asuransi dwiguna murni (pure endowment) n-tahun. Fungsinya sebagai berikut:

bk+1 = 1, k = 0, 1, · · · , n− 1

vk+1 ={

vk+1, k = 0, 1, 2, · · · , n− 1vn, k = n, n + 1, · · ·

vk+1 ={

vk+1, k = 0, 1, 2, · · · , n− 1vn, k = n, n + 1, · · ·



Nilai sekarang aktuaria dari asuransi dwiguna diperoleh,

Ax:n =n∑

k=0

vk+1kpxqx+k

dengan menggunakan penurunan secara aljabar, diperoleh rumus rekursiuntuk asuransi ini, yakni:

Ax:n =n−1∑k=0

vk+1kpxqx+k + vn

npx



Contoh 5

Y adalah nilai sekarang dari variabel random untuk asuransi berjangka30 tahun dengan anuitas 1 yang dibayarkan setiap tahun oleh (x) selamahidupnya. Diberikan,

1 i = 0, 052 30px = 0, 703 2A1

x:30= 0, 0694

4 A1x:30

= 0, 1443

Hitung E[Y 2]?



Jawab:Y =

1− Z

d, dimana Z adalah nilai sekarang dari variabel random asu-

ransi dwiguna 30 tahun.

E[Y ] =1−Ax:30

d=

1−A1x:30

− v3030px

d= 14, 568

V ar(Y ) =(

1d2

(2Ax:30 − (A1x:30

)2)

=1

(21)2

(2A1

x:30+ v60

30px − (A1x:30

+ v3030px)

)= 5, 76700

sehingga diperoleh,E[Y 2] = var(Y ) + (var[Y ])2 = 218


Jenis-Jenis Asuransi Jiwa (Lanjutan) Asuransi dengan Santunan yang Tak Tetap

Asuransi Jiwa dengan Santunan Meningkat SetiapTahun

• Asuransi jiwa seumur hidup dengan santunan yang meningkatsetiap tahun, yang menyediakan santunan sejumlah k+1 unitapabila tertanggung meninggal pada tahun-tahun kematian.Fungsi manfaat dan fungsi diskonto serta variabel random darinilai sekarang, yaitu:

bk+1 = k + 1, k = 0, 1, · · ·

vk+1 = vk+1, k = 0, 1, 2, · · ·

Z = (K + 1)vK+1,K = 0, 1, · · ·

• Nilai sekarang aktuaria dari asuransi jiwa seumur hidup dengansantunan yang meningkat setiap tahunnya dinotasikan dengan(IA)x.



Asuransi Jiwa dengan Santunan Menurun Setiap Tahun

• Asuransi jiwa berjangka n-tahun dengan santunan yang menurunsetiap tahun, selama periode n-tahun menyediakan manfaat padaakhir tahun kematian sejumlah n-k dimana k adalah lamanyatertanggung hidup sejak asuransi diterbitkan, dengan fungsisebagai berikut,

bk+1 ={

n− k, k = 0, 1, · · · , n− 10, k = n, n + 1, · · ·

vk+1 = vk+1, k = 0, 1, 2, · · ·

Z ={

(n−K)vK+1,K = 0, 1, · · · , n− 10,K = n, n + 1, · · ·



• Nilai sekarang aktuaria untuk asuransi jiwa berjangka n-tahundengan santunan yang menurun setiap tahun dinotasikan dengan(DA)1

x:n , yakni:

(DA)1x:n =

n−1∑k=0

(n− k)k|Ax


Hubungan Asuransi Kontinu dan AsuransiDiskrit

Hubungan Asuransi Kontinu dan Asuransi Diskrit

Pada asuransi yang dibayarkan seketika saat kematian (kontinu) danasuransi yang dibayarkan pada akhir tahun kematian (diskrit) dapatdiperoleh beberapa hubungan dengan cara menganalisis nilai sekaranguntuk asuransi jiwa seumur hidup dengan manfaat sebesar 1 unit yangdibayarkan seketika pada saat kematian, yakni:

Ax =∫ ∞

0vt

tpxµx(t) dt

=∫ 1

0vt

tpxµx(t) dt +∫ ∞

1vt

tpxµx(t) dt



Bentuk diatas dapat dirubah menjadi:

=∫ 1

0vt

tpxµx(t) dt + vpxAx+1

Dengan asumsi uniform tpxµx(t) = qx dan definisi asuransi berjangka,maka persamaannya menjadi:

Ax =i

δvqx + vpxAx+1

Selanjutnya nilai sekarang aktuaria pada asuransi seumur hidup diskrit

jika dikalikan dengani

δ,diperoleh:

i

δAx =

i

δvqx + vpx

(i

δAx+1

)



dari dua persamaan diatas dapat dilihat hubungan antara asuransi yangdibayarkan seketika saat kematian(kontinu) dengan asuransi yang diba-yarkan pada akhit tahun kematian adalah:

Ax =i

δAx



Contoh 6

Diberikan,

1 Kematian terdistribusi secara merata2 i = 0, 053 q35 = 0, 014 A36 = 0, 185

Hitunglah A35?Jawab:Hitung terlebih dahulu: e−δ =

11 + i

, Sehingga

δ = eln( 11+i

)

= eln( 1

1,05)

= 0, 4879



Ax =i

δA36 =⇒ A36 =

δ

iAx.

Sehingga,

A36 =0, 48790, 05

(0, 185) = 0, 180523

Selanjutnya dapat dihitung,

A36 = vq35 + vp35A36

=1

1, 05(0, 01) +

11, 05

(1− 0, 01)(0, 180523)

= 0, 179


Persamaan Differensial untuk Asuransi Kontinu

Persamaan Differensial untuk Asuransi yang dibayarkanSeketika pada Saat Kematian (Kontinu)

Rumus rekursif dapat dibetuk dari asuransi yang dibayarkan seketikapada saat kematian dengan menggunakan persamaan diferensial. Con-tohnya adalah asuransi seumur hidup pada usia (x) yakni

d

dxAx = −µ(x) + Ax[δ + µ(x)] = δAx − µ(x)(1− Ax)

atau bisa dituliskan sebagai berikut,

d

dxAx = −µ(x) + Ax[µ(x) + δ]


Documents

Asuransi Jiwa