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pierres-cochet
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Atelier Fonctions
Problème 1 :
Est-il possible que l’aire du triangle soit égale à l’aire du carré ?
Réalisation de la figure sous géogébra
Le cadre géométrique met (peut-être) en évidence la solution AM=0 . Une analyse de la configuration permet d’affirmer que si le triangle a pour base le double du côté du carré alors le triangle et le carré ont la même aire ce qui correspond à AM=8/3 cm.
L’étude géométrique sous géogébra n’est pas précise. On trouve une valeur approchée de la solution non triviale à 0,1 près.
Différence des aires:Expérimentalement, elle n’est jamais nulle
Une valeur approchée de AM est 2,7
Expérimentation avec le tableur
Côté du carré A ire du carré Base du triangle A ire du triangle Différence d'aires
0 0 8 0 00,5 0,25 7,5 1,88 -1,63
1 1 7 3,5 -2,51,5 2,25 6,5 4,88 -2,63
2 4 6 6 -22,5 6,25 5,5 6,88 -0,63
3 9 5 7,5 1,53,5 12,25 4,5 7,88 4,38
4 16 4 8 84,5 20,25 3,5 7,88 12,38
5 25 3 7,5 17,55,5 30,25 2,5 6,88 23,38
6 36 2 6 306,5 42,25 1,5 4,88 37,38
7 49 1 3,5 45,57,5 56,25 0,5 1,88 54,38
8 64 0 0 64 -10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
Différence des aires
Pour obtenir une plus grande précision il faut introduire le cadre fonctionnel car le solveur graphique permet d’obtenir
une valeur approchée beaucoup plus précise.On a deux fonctions: f(x)=x² et g(x)= x(8-x)/2 sur [0;8]
avec x=AM
Résolution algébrique:
On obtient, en faisant la différence des aires :
1,5 x² - 4 x = 0.
La factorisation ici ne pose pas de problème.
Problème 2 :
On voudrait que le motif ait une aire égale à la moitié de
celle du carré ABCDQuelles dimensions faut-il
donner au motif ?
Retour à la figure sous géogébra
Avec le tableur…
Côté du carré A ire du carré Base du triangle A ire du triangle A ire du m otif A ire du m otif-32
4,5 20,25 3,5 7,88 28,13 -3,884,6 21,16 3,4 7,82 28,98 -3,024,7 22,09 3,3 7,76 29,85 -2,164,8 23,04 3,2 7,68 30,72 -1,284,9 24,01 3,1 7,6 31,61 -0,4
5 25 3 7,5 32,5 0,55,1 26,01 2,9 7,4 33,41 1,45,2 27,04 2,8 7,28 34,32 2,325,3 28,09 2,7 7,16 35,25 3,24
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
aire du m otif
Sous-titre
Nous sommes confrontés à nouveau aux limites des logiciels utilisés.
Il faut donc revenir à la fonction donnant l’aire du motif en
fonction de la distance AM (x).
On a alors : f(x) = 0,5 x² + 4x
Résolution graphique de l’équation 0,5x²+4x=32
Résolution algébrique:
La factorisation du trinôme nécessite une aide
On peut proposer aux élèves de vérifier l’égalité entre :
puis leur demander de terminer la factorisation.
Avec le logiciel de calcul formel Xcas
L’élève peut vérifier la factorisation puis en déduire les solutions.Penser à cocher dans Cfg/configuration du cas, la case SQRT pour obtenir l’affichage des racines carrées
Remarque:
L’instruction canonical_form (ou forme_ canonique si Scolaire/Seconde)
permet dans xcas de retrouver la forme canonique
Problème 3 :
On voudrait que l’aire du triangle soit la plus grande possible.
Par expérimentation sur géogégra ou sur une calculatrice, on trouve comme maximum
8 obtenu pour AM=4.
Preuve fonctionnelle
A faire après le cours sur la représentation des trinômes.On sait que la courbe de la
fonction donnant l’aire du triangle est une parabole.
La recherche des antécédents de 0 ou de 6 par exemple
permet de mettre en évidencel’axe de symétrie de la
parabole puis d’en déduire le sommet .
Preuve algébrique
L’expérimentation a donné pour maximum 8. Il suffit donc d’étudier le signe de la différence :
0,5x (8-x)-8 ou de 8-0,5x (8-x)
On trouve 0,5x(8-x)-8= -0,5(x-4)² ou 8-0,5x(8-x) = 0,5(x-4)² .
Prolongements possiblesEst-il possible que l’aire du triangle soit plus grande que celle du carré ? (à faire au moment de la résolution des inéquations par tableau de signe)
Comment évolue l’aire du motif en fonction de AM ?
Propositions de travail
1ère propositionOn considère un quart de cercle de centre
A et de rayon 6 cm. Le point M est un point libre sur le
segment [AB]. A partir du point M, on construit le
rectangle AMLP tel que L soit un point du quart de cercle et P un point de [AC].
Le problème : suivant les positions de M, l’aire du rectangle AMLP est-elle constante ou varie-t-elle ? Si elle n’est pas constante, pour quelle(s) position(s) de M est-elle maximale ?
2 ème proposition
(situation n° 1 document ressources) A chaque nombre supérieur ou égal à 1, on associe le nombre de
diviseurs de sa partie entière.1. Quels sont les nombres associés à 10 ? 43,7 ?
182 / 3 ?2. Quel est le plus petit nombre auquel on associe 8 ?3. Représenter graphiquement la situation de départ, pour
tous les nombres compris entre 1 et 25 .
Construire une activité à partir de ces éléments du document ressources
3ème proposition
On considère un rectangle ABCD tel que AB=8 et AD=12. Le point M est un point libre sur le segment [AB].
À partir du point M, on construit le carré AMIJ avec J sur [AD] et le rectangle IHCK avec H sur [BC] et K sur [DC].
Le problème : Où placer le point M sur [AB] pour que la somme des aires du carré AMIJ et du rectangle IHCK soit la moitié de l’aire du rectangle ABCD ? Existe-t-il plusieurs solutions ? Combien?
4ème proposition
ABCD est un rectangle tel que AD = 2. On construit les points E et F tels que ACEF est un carré.
Peut-on construire un rectangle ABCD de sorte que ACEF ait une aire inférieure à celle de ABCD ?
Peut-on construire un rectangle ABCD de sorte que le triangle ACE ait une aire inférieure à celle de ABCD ?
Autres propositions de questions ?