Embed Size (px)
Citation preview
Página 1 de 6
Atividade 1 - Matemática do acaso
1 - Justificativa
Sabemos que os estudos de probabilidade iniciaram-se com a troca de
correspondência entre Pascal e Fermat acerca da chance de ganho em jogos de azar.
Sabemos também que esses estudos, originalmente aplicados apenas aos jogos, hoje
fazem parte do moderno arsenal matemático utilizado para explicar diversos modelos
que encontramos na mecânica quântica e nos fractais, por exemplo.
O roteiro desta atividade parte dessa tradição histórica, quando exige do aluno a
escrita de frações que representam chances em sorteios. Esta justificativa torna-se
importante para que fique clara a opção pelo estudo das probabilidades associado
inicialmente ao estudo dos jogos. Não se trata, de forma alguma, de valorizar a
compreensão dos mecanismos dos jogos de azar, com o objetivo de levar vantagens
individuais durante seu exercício, mas apenas aproveitar o possível aprendizado do
conteúdo matemático que se esconde por trás das regras da atividade de maneira
crítica e responsáve l.
Por outro lado, o jogo é reconhecidamente uma das principais metodologias de
trabalho com matemática, pois nele, dentre outros motivos, desenvolve-se o
autoconhecimento – e o conhecimento dos outros – a partir da articulação entre o
conhecido e o imaginado1
2 - Descrição da atividade
Esta atividade é formada por duas partes denominadas Sorteio na caixa e Roda
matemática. Cada uma delas é concebida para um momento de aula normal de 50
minutos. Dessa forma, a atividade se esgota em 3 aulas, sendo a última destinada à
formalização e à discussão dos conteúdos envolvidos.
No Sorteio na caixa, os alunos são convidados a preencher inicialmente uma
tabela de dupla entrada, com quantidades de algumas “peças” que formarão o conjunto
a partir do qual, posteriormente, será efetuado um sorteio. Esses elementos têm
características que se interceptam. Há “peças” verdes, amarelas ou azuis e há “peças”
1 Parâmetros curriculares Nacionais – Ministério da educação e Cultura – Brasília 1997
Página 2 de 6
triangulares e circulares distribuídas pelas 3 cores. O usuário poderá escolher uma das
peças e escrever a chance que ela tem de ser sorteada dentre todos os elementos do
conjunto. A cada escolha do usuário, o sistema gera o sorteio aleatório de uma peça e
testa a correção da escrita da chance e, também, se o usuário foi feliz em sua escolha,
isto é, se a peça que escolheu foi ou não sorteada.
Na segunda parte, a Roda matemática, o usuário terá a oportunidade de refletir
sobre as probabilidades de ocorrência de eventos diversos, recolhidos de um universo
formado por uma série de subconjuntos numéricos com características bastante
variadas. Os alunos farão escolhas, calcularão a probabilidade de que suas escolhas
venham a ser sorteadas, o sistema gerará aleatoriamente o sorteio e o usuário, ao
final, calculará seu ganho ou perda de acordo com a escolha efetuada. Nessa etapa,
além das probabilidades simples, o sistema introduzirá também os alunos no estudo
das probabilidades condicionais, além de permitir, se o professor assim desejar, seu
aproveitamento para a discussão da probabilidade de reunião ou de intersecção de
eventos.
3 - Como conduzir a atividade?
3.1 - Sorteio na caixa.
- Duração da atividade: 50 minutos
- Organização: preferencialmente em grupos de 2 alunos
Sugerimos que nessa primeira atividade os alunos sejam convidados a “jogar”
sem qualquer interferência prévia.
No final, o aluno será convidado a localizar seu rendimento em uma escala de valores.
Esse rendimento leva em conta duas questões: a sorte e a correção dos cálculos, com
maior valorização desta última variável. Levando em conta a digitação correta ou não
da chance de sorteio pelo usuário, e também o sucesso ou o fracasso da escolha feita,
o sistema atribui pontos a cada jogada, da seguinte maneira:
- Chance correta e sucesso no sorteio = +2
- Chance correta e fracasso no sorteio = +1
- Chance errada e sucesso no sorteio = 0
- Chance errada e fracasso no sorteio = - 1
Página 3 de 6
Como o jogo consiste de 6 rodadas, o mínimo de pontos exigido para que
o aluno mostre que entendeu a atividade é 6; mesmo assim, com a avaliação do
professor sobre a digitação do aluno em cada rodada. O sistema emitirá mensagens,
sugerindo aos alunos que tenham obtido baixos índices de avaliação de retomar a
atividade desde o início. Caberá ao professor acompanhar essas avaliações, com o
objetivo de interferir nos casos em que não tenha ficado claro como é feito o cálculo da
chance de ocorrência de cada evento.
O professor poderá, também, complementando a atividade, discutir com os
alunos uma questão interessante e histórica, herança da correspondência entre Pascal
e Fermat, sobre um jogo interrompido, cujo enunciado é aproximadamente este:
Duas pessoas jogam um dado. Uma delas escolhe um número par e a outra
escolhe um número ímpar. Quem conseguir 3 resultados de sua escolha ganha o jogo.
Isto é, uma das pessoas ganha o jogo quando totalizar 3 números ímpares enquanto a
outra ganha com 3 números pares. Quem ganhar leva o total apostado que pode ser,
por exemplo, 60 fichas. O jogo é interrompido depois de 3 rodadas, quando havia
ocorrido 2 números ímpares e 1 número par. Como devem ser divididas as 60 fichas?
Os alunos poderão discutir entre eles sobre como acreditam ser mais justo
dividir as fichas entre os dois jogadores, e o professor poderá conduzir a discussão
anotando as respostas surgidas. Sabemos que, de acordo com Pascal e Fermat, a
divisão das fichas deveria ser na base de 45 fichas para a pessoa que escolheu ímpar
e 15 fichas para a pessoa que escolheu par, isto é, ¾ das fichas para uma e ¼ das
fichas para a outra. A justificativa pode ser mostrada para os alunos numa espécie de
árvore de probabilidades, da seguinte forma:
1ª rodada 2ª rodada 3ª rodada 4ª rodada 5ª rodada
Par Ímpar Ímpar Ímpar (1/2)
Par (1/2) Ímpar (1/2)
Par (1/2)
A observação dessa “árvore” mostra que há probabilidade ½ de que um número
ímpar saia na 4ª rodada e, se isso ocorrer, o jogo acaba. Se isso não ocorrer, haverá
Página 4 de 6
ainda a probabilidade igual a ½ de que um número ímpar saia na 5ª rodada. Dessa
forma, a probabilidade de que a pessoa que escolheu um número ímpar ganhe o jogo é
½ na 4ª rodada mais ¼ na 5ª rodada, isto é, ¾ ; enquanto a pessoa que escolheu par
tem apenas ¼ . O professor poderá, ainda, fazer variações sobre esse mesmo
problema, conforme faziam Pascal e Fermat, como aumentar o número de resultados
necessários para garantir a vitória, de 3 para 4 ou para 5, a fim de que os alunos
percebam a importância de analisar a “árvore” e de escrever frações para representar
as chances de sucesso.
Sugerimos, também, que o professor prepare uma lista de exercícios envolvendo
o cálculo de probabilidades simples, da maneira como contempla a atividade, para
pedir que seus alunos os resolvam em sala ou em casa, antes de propor a atividade
seguinte. Dessa forma, ainda sem formalizar claramente a nomenclatura envolvida, os
alunos complementarão o processo de sensibilização iniciado com a atividade no
computador.
3.2 - Roda matemática
- Duração da atividade: de 50 a 100 minutos
- Organização: preferencialmente em grupos de 2 alunos
O experimento desenvolvido nesta atividade foi baseado em um jogo bastante
conhecido, que é o jogo de roleta. As variações que aqui foram feitas em relação ao
jogo original permitiram, em primeiro lugar, retirar o caráter de um jogo de azar, e, em
segundo, introduzir eventos com características mais aproximadas daqueles que
encontramos nos problemas clássicos envolvendo probabilidades. Todavia, como em
última instância os alunos estarão diante de um jogo no qual farão apostas, será de
extrema importância que o professor, ao final da atividade, conduza uma discussão
sobre questões éticas, como falaremos mais adiante.
Como o sistema tem uma parte tutorial, não consideramos a necessidade de
uma preparação prévia, especialmente se os alunos já tiverem cumprido a primeira
parte do módulo, do Sorteio na caixa. Caberá ao professor acompanhar a atividade dos
grupos de trabalho e auxiliá-los nas dúvidas que, porventura, venham a aparecer no
momento da escrita das probabilidades. No entanto, vale observar que algumas vezes
os alunos se confundem com a forma como é calculado o total de pontos do aluno após
cada rodada, e, sobre isso, o professor precisa estar atento. Por isso, vamos
Página 5 de 6
considerar um exemplo: O aluno inicia com 10 pontos e, na primeira rodada, escolhe o
evento “par”. Ao clicar sobre essa escolha na “Tabela de escolhas”, o sistema,
automaticamente, tira 1 ponto de seu saldo, reduzindo a 9. Se o sorteio não apontar
essa escolha feita pelo usuário, é pedido que seja digitado -1, mas o sistema não abate
nenhum ponto do saldo, uma vez que isso já foi feito. No entanto, se o sorteio apontar
um número par, o sistema pede que o aluno digite +2 e o saldo anterior, de 9 pontos, é,
então, corrigido para 11 pontos.
A análise desse exemplo nos mostra que, quando a probabilidade é ½, o
usuário, ao ter sua escolha sorteada pelo sistema, ganha, na verdade, 1 ponto, apesar
de digitar +2. Isso porque, na realidade, esses 2 pontos positivos incluem o ponto que
ele “apostou” na rodada.
De acordo com o envolvimento dos alunos na atividade, que costuma ser
grande, será possível que toda uma aula de 50 minutos seja dedicada aos casos de
probabilidades simples, nível 1, deixando uma outra aula de 50 minutos para os casos
envolvendo probabilidades condicionais, nível 2.
O sistema pede aos alunos que comuniquem o total de seus pontos ao
professor, ao final do nível 1 da atividade. O professor deverá organizar esses
resultados em uma tabela, na lousa, mostrando para toda a classe que a maior parte
dos alunos terá obtido total negativo, como seria mesmo de se esperar por razões
estatísticas. Afinal, em cada rodada, a probabilidade de perda em quase todos os
eventos é maior do que a probabilidade de ganho. O professor poderá mostrar, ainda,
que a adição dos resultados finais de todos os alunos muito provavelmente será
também negativo, e, com isso, iniciar com a classe uma discussão sobre jogos de azar,
mostrando matematicamente as vantagens de quem organiza o jogo sobre quem dele
participa como apostador. Em resumo, o organizador nunca perde. Esse fato deverá
ser aproveitado para discutir com a classe as questões de caráter ético envolvido nos
jogos de azar.
Se o professor sentir-se seguro, poderá jogar de fato o “jogo da roleta” com toda
a classe, agora de maneira real, não virtual. Para tanto, precisará de uma única roleta,
possível de conseguir em uma loja de brinquedos qualquer a um custo muito baixo.
Nesse caso, o professor fará o papel de “banca”, girando a roleta e comunicando o
resultado aos alunos que, antes disso, deverão ter escrito as apostas e calculado as
probabilidades. A diferença, nesse caso, será o fato de que na roleta habitual há
Página 6 de 6
números de 0 a 36, portanto 37 números, de maneira que o denominador das frações
que representam as probabilidades simples será sempre igual a 37. Sugerimos, para
facilitar, que se exclua a possibilidade de sorteio no 0 e que os resultados possíveis
variem de 1 a 36, permitindo dessa forma que as frações sejam de denominador 36.
Finalizando a atividade, será importante que o professor formalize os conceitos
de eventos simples, espaço amostral e de probabilidade simples, introduzindo,
inclusive, a fórmula de cálculo. Também a probabilidade condicional poderá ser
formalizada, embora não seja aconselhável a escrita de uma fórmula de cálculo, uma
vez que os alunos poderão prescindir de seu uso em cálculos desse tipo. Uma lista de
problemas envolvendo probabilidades simples e condicionais poderá ser preparada
para que os alunos resolvam nas aulas seguintes, antes da continuidade do tema nas
demais atividades.
Caso o professor deseje introduzir o cálculo de probabilidades de ocorrência de
reunião ou intersecção de eventos independentes ou não, ele poderá fazê-lo a partir do
uso de uma roleta comum e não mais com a utilização do computador. Nesse caso, o
professor aproveitaria a motivação dos alunos, conseguida na interação com o sistema,
para propor a eles que apostem em dois eventos simultaneamente e avaliem quais são
suas chances de sucesso.
Partindo da discussão será possível formalizar conjuntamente que, em casos de
eventos independentes, P(A ∩ B) = P(A).P(B) e a probabilidade de reunião de dois
eventos pode ser sempre calculada por P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
Página 1 de 7
Atividade 2 - Amostras e populações
1. Justificativa
Esta atividade introduz o aluno no estudo de alguns elementos de estatística,
especialmente medidas de posição, análise de gráficos e princípios de amostragens.
Com esse objetivo, o sistema convidará os alunos a escolherem uma característica a
ser estudada em uma cidade, de sua escolha, e pedirá que estabeleçam o tamanho da
amostra que desejam pesquisar para quantificar percentualmente as condições da
característica escolhida. O sistema simulará pesquisas e apresentará resultados que
deverão ser analisados pelos alunos, e validados ou não a partir de índices de erros
percentuais pré-estabelecidos.
Os conhecimentos sobre probabilidades que, espera-se, tenham sido adquiridos
na atividade anterior poderão agora ser contextualizados em uma situação muito
conhecida. Vale observar, entretanto, que os algoritmos de cálculo seguidos pelo
sistema em suas simulações são próximos dos algoritmos estatísticos tradicionais, e
que simplificações foram feitas com o objetivo de facilitar o primeiro contato dos alunos
com esse tipo de simulação.
2. Descrição da atividade
Ao entrar na atividade, o aluno será convidado a selecionar uma dentre 4
cidades fictícias. O que difere uma cidade da outra, além do nome, é a quantidade de
habitantes de cada uma e a distribuição porcentual das características que serão
analisadas. Dessa forma, o aluno poderá fixar uma característica e analisar sua
distribuição nas 4 cidades, da mesma forma que poderá, escolhendo uma cidade,
analisar 3 características disponíveis pelo sistema: classe social, intenção de voto e
escolaridade.
Escolhida a cidade e a característica a ser estudada, o aluno será, na seqüência,
convidado a selecionar o tamanho da amostra de pesquisa que deseja estabelecer
para estudar a característica selecionada. Por exemplo, se optar por analisar a
escolaridade, o sistema simulará um sorteio que fornecerá a composição porcentual
Página 2 de 7
dos habitantes da cidade distribuídos em 5 classes: ensino fundamental incompleto,
ensino fundamental completo, ensino médio incompleto, ensino médio completo e
ensino superior, completo ou não. Ocorre, entretanto, que dependendo do tamanho da
amostra selecionada e também do número de sorteios realizados o processo terá um
determinado custo, e o sistema gerará um ou outro resultado, calculado de acordo com
algoritmo estatístico aproximado. Dessa forma, o aluno perceberá que o grau de
certeza dos resultados de uma pesquisa depende da correta dimensão dos parâmetros
envolvidos, e também dos custos.
Após a simulação da pesquisa pelo sistema, o aluno será convidado a optar por
uma medida de posição - média, mediana ou moda – para fazer, a partir dela, uma
estimativa da distribuição porcentual da população de sua cidade, de acordo com a
característica escolhida. Nessa opção, o aluno aprenderá, se ainda não sabia, a
calcular cada uma dessas medidas e também a avaliar a confiabilidade de cada uma
na análise de toda a população. O sistema não pede a análise da dispersão do
conjunto de dados, mas seria importante que isso pudesse ser feito, de acordo com a
prioridade dos conteúdos programados, a fim de enriquecer ainda mais a atividade.
3. Como conduzir a atividade?
- Duração da atividade – 50 minutos
- Organização – grupos de 2 alunos
Para introduzir a atividade, o professor poderá confeccionar um objeto de sorteio
que consiste em um determinado número de bolinhas, 150 por exemplo, divididas em 2
ou 3 cores. Colocando as bolinhas em um saco, o professor poderá sortear um
determinado número delas e contar quantas de cada cor saíram na amostra. Com isso,
poderá fazer uma estimativa, ainda que precária, do número total de bolinhas de cada
cor no saco. Por exemplo, vamos imaginar que no saquinho haja apenas bolinhas de
duas cores: 70 azuis e 80 amarelas. Se o aluno sortear uma amostra de 20 bolinhas e,
dentre elas, saírem 8 azuis e 12 amarelas, poderá fazer:
Azuis: 8 em 20, quantas em 150?
Resposta: 60
Amarelas: 12 em 20, quantas em 150?
Resposta: 90
Página 3 de 7
Esses valores, 60 e 90, são estimativas das quantidades das cores dentro do
total. Evidentemente, esses valores contêm erros que podem, até, ser além dos
esperados, e caberá ao professor discutir com seus alunos como fazer para aumentar
a confiabilidade da estimativa. A possibilidade recomendada, nesse caso, para que as
estimativas tenham maior confiabilidade, será a de repetir outras vezes as amostragens
de 20 bolinhas e calcular a média aritmética de todos os resultados obtidos. Sabemos
que a média terá mais significado quanto maior for o número de amostras sorteadas.
Dividindo a classe em vários grupos, de modo que cada grupo repita o experimento
algumas vezes, o professor poderá, ao final, calcular a média geral de todas as
estimativas e mostrar aos alunos que os valores estimados, a partir dessa média, se
aproximam bastante das quantidades reais de bolinhas no saco.
Numa outra possibilidade, o professor poderá argumentar com seus alunos
sobre a eficácia do aumento do número de elementos em cada amostra sorteada, isto
é, aumentando, por exemplo, de 20 para 30 a cada sorteio. Nesse caso, é importante
considerar que, apesar desse processo mostrar alguma eficiência, especialmente no
caso de um pequeno número total de bolinhas como 150, em um caso real em que
estiverem diante de uma população muito numerosa e com alguma característica a ser
estimada, tal conduta poderá encarecer por demais o processo, e não permitir
resultados tão precisos quanto permitiria a opção pela outra possibilidade, de aumentar
o número de sorteios.
Essas duas opções – aumentar o tamanho da amostra ou aumentar o número
de sorteios – serão colocadas para os alunos na atividade simulada. Caberá a ele fazer
a escolha e analisar os resultados obtidos em cada caso.
É preciso que o professor esteja preparado para, algumas vezes, se surpreender
com os resultados obtidos por um ou outro aluno. Por exemplo, um aluno poderá optar
por fazer apenas 4 sorteios de amostras com o menor número de elementos (0,1% da
população), e mesmo assim obter um melhor resultado em sua estimativa do que um
outro aluno que tenha optado pelo mesmo tamanho de amostra e que tenha efetuado 8
sorteios.
Vale lembrar que estamos trabalhando com estatística e não haverá, em
nenhum caso, 100% de certeza nas previsões. Mas vale considerar, também, que a
repetição do experimento mostrará que, na maior parte das vezes, a estimativa será
Página 4 de 7
mais eficiente, na atividade, se forem escolhidas amostras de poucos elementos e
repetido o sorteio o maior número de vezes possível. Caberá, assim, ao professor ficar
atento para efetuar um levantamento dos resultados obtidos pelos vários grupos e
discutir com eles os resultados obtidos. Outra possibilidade de introdução do trabalho,
também interessante , e costuma dar ótimos resultados e envolver toda a classe,
consiste na simulação de uma previsão sobre o número de corredores de uma prova
de atletismo. Veja a descrição na seqüência.
Adivinhe quantos corredores são
A atividade mostra a eficácia de inferência feita a partir da média aritmética de
elementos numéricos em uma amostra.
O professor deve providenciar um saco com números escritos em bolinhas de
isopor bem pequenas, todas do mesmo tamanho, numeradas de 1 a 172. O material
escolhido para ser numerado pode ser outro, mas deve-se garantir minimamente que a
chance de tirar um número é igual para todos os números a serem sorteados. Os
alunos não têm conhecimento do número de peças.
A atividade inicia-se com o professor contando a seguinte história: Você está
parado na rua assistindo a uma prova de atletismo, como uma maratona, por exemplo.
Por você passam alguns corredores que carregam o número de inscrição preso ao
peito. Esses corredores, que na inscrição foram numerados de 1 a n, passam agora
todos misturados, de maneira que se você observar a numeração de alguns deles
perceberá que não existe regularidade alguma. Como poderíamos fazer para avaliar o
número total de corredores apenas observando a numeração de um punhado deles?
Nesse momento, o professor procura extrair da classe que o interessado deve
analisar amostras de corredores. Em seguida, o professor mostra o saco cheio de
peças e diz : eis aqui todos os corredores. Estimem quantos são eles. De início, os
alunos poderão fazer suas estimativas apenas utilizando o toque nas peças, sem retirá-
las do saco.
É interessante escrever o número de peças do saco em um papel e escondê-lo,
sem mostrar aos alunos o valor escrito. Depois, anotar num canto da lousa alguns
valores estimados pelos alunos.
Página 5 de 7
Para continuar, o professor escolhe o tamanho de sua amostra: por exemplo, 11
peças. Retira-as e anota os números no quadro.Em seguida, pergunta à classe: o que
devo fazer com esses números? Certamente, após vários palpites, aparecerá alguém
para dizer : calcule a média . O cálculo deve ser feito e os alunos devem dizer o que
fazer com a média obtida. Isso trará novamente um valor estimado pelos alunos, e que
deve ser valorizado. No entanto, o professor poderá propor um outro método cuja
experiência mostrou ser o mais eficiente, acarretando, na maioria das vezes, erro de,
no máximo, 5%. Esse método, que será descrito a seguir, permite em cerca de 80%
das vezes resultados mais fiéis do que os demais métodos tentados, como
demonstraram simulações realizadas em computador.
1) Escrever os valores sorteados na primeira vez e colocá-los em ordem
crescente, como por exemplo:
3 17 21 34 45 67 70 89 93 104 121
2) Calcular as diferenças entre os termos sucessivos da seqüência:
3 17 21 34 45 67 70 89 93 104 121
14 4 13 11 22 3 19 4 11 17
3) O próximo passo é calcular a média das diferenças obtidas. A idéia é imaginar
que os elementos sorteados estão em progressão aritmética de razão igual à média
das diferenças, que é 11,8. Dessa forma, se adicionarmos 11,8 a 121, podemos pensar
que o número de peças é aproximadamente 133 peças.
O professor diz aos alunos que esse procedimento pode trazer um erro muito
grande, caso o experimento seja realizado apenas uma vez. Entretanto, se o
experimento for repetido pelo menos 8 vezes e, ao final, for tirada a média dos valores
obtidos, o erro comparado não será grande. Naturalmente, cada vez que o experimento
for repetido, todos as peças devem ser colocadas novamente no saco e misturadas. O
professor deve fazer os cálculos junto com seus alunos.
Ao final da atividade, a classe deve ser dividida em grupos de 4 alunos com o
objetivo de criar um método que eles consideram melhor do que o proposto pelo
professor.
Se for possível cada grupo ter o seu saco de amostras, todos poderão verificar a
validade de seu método.
Página 6 de 7
Depois de preparada a classe com uma ou duas das discussões aqui propostas,
os alunos poderão interagir com a atividade virtual praticamente sem a participação do
professor, o qual, no entanto, como já foi dito, precisará estar atento para fazer um
levantamento das estimativas que os grupos conseguiram e discutir sobre a eficiência
da escolha das amostras em cada caso.
Após o término da atividade virtual, o professor, em sala de aula, poderá
formalizar os conceitos de “Medidas de posição”, elaborando alguns exemplos de
conjunto de dados para que os alunos calculem média, mediana e moda, exemplos
esses que poderão ser recolhidos de livros didáticos de ensino médio. Caso o
professor se sinta seguro e seu planejamento permita, ele poderá também introduzir
uma discussão sobre “Medidas de dispersão” de um conjunto de dados, mostrando
para os alunos que há casos em que média e mediana coincidem em um conjunto de
dados mas, mesmo assim, tais resultados são sem significância se a dispersão do
conjunto de valores for alta. Por exemplo, vamos imaginar que em uma das séries de 8
sorteios realizados na atividade foram obtidos os seguintes valores para uma das
características analisadas:
32 18 27 23 29 16 24 31
média = 25 mediana = 25,5
Valerá a pena comentar o fato de que os limites desse conjunto de valores são
16 e 32, e a diferença entre eles, portanto a Amplitude, é 16, que é um valor muito alto
quando comparado com a média de 25. Para melhorar ainda mais a análise, o
professor poderá pedir para os alunos calcularem algum desvio, sendo recomendado,
nesse caso, o desvio médio.
Desvio médio = n
xxn
ii∑
=
−1
x = valores do conjunto; x = média; n = número de elementos do conjunto
O desvio médio desse conjunto de valores será igual a 4,7, o que é também um
valor alto quando comparado com a média de 25 - quase 20%.
Página 7 de 7
Será possível comentar, ainda, que o desvio médio não é a medida de dispersão
mais indicada, e o melhor seria calcular o desvio padrão. O planejamento e a
motivação dos alunos determinarão a viabilidade de se introduzir também o cálculo do
desvio padrão.
Página 1 de 10
Atividade 3 - Amostras confiáveis
1. Justificativa
Quando analisamos propriedades de um grupo de pessoas como, por exemplo,
idade, estatura, escolaridade ou religião, podemos associar conceitos ou números a
cada uma delas. Essas propriedades são chamadas de variáveis de pesquisa e
normalmente classificadas em dois tipos: qualitativas e quantitativas .
As variáveis qualitativas representam um atributo do indivíduo e da população,
e podem ser mensuradas apenas de uma forma conceitual. O gênero é feminino ou
masculino, a escolaridade pode ser dividida em Ensino Fundamental, Ensino Médio, e
Superior. Já as variáveis quantitativas permitem que associemos um valor à
propriedade analisada, localizando-a inclusive de acordo com determinada escala. A
estatura das pessoas, suas idades, o número de horas de sono de cada uma, e a
renda familiar são exemplos de variáveis quantitativas.
Nesta atividade, trabalharemos apenas com variáveis do primeiro tipo, isto é,
variáveis qualitativas.
O texto em anexo, extraído da Revista do Professor de Matemática, poderá
ajudar o professor a compreender melhor a intenção da atividade, embora não seja de
todo recomendável usá-lo diretamente com os alunos devido às equações matemáticas
que provavelmente não são de seu conhecimento.
Como afirma o texto, é preciso ficar claro para o aluno que é necessário senso
crítico e cuidado para escolher a amostra que posteriormente terá suas características
extrapoladas para toda a população. Mesmo com toda técnica de escolha da amostra,
não há garantias absolutas na transferência de conhecimento da amostra para o todo.
2. Descrição da atividade
Esta atividade pretende sensibilizar os alunos para o estabelecimento de
critérios na formação de uma amostra de pesquisa. Partindo de uma proposta clara –
pesquisar a intenção de voto de uma população em dois possíveis candidatos – será
necessário que os alunos determinem as características da amostra de pesquisa, que
Página 2 de 10
poderá ser formada com base em três critérios: escolaridade, sexo e classe social.
Dependendo da composição da amostra, o sistema simulará um ou outro resultado
para a pesquisa, além de confrontar o resultado obtido pelo aluno com o resultado real
catalogado pelo sistema.
De início, o sistema fará simulações do resultado da pesquisa utilizando
amostras divididas apenas em homens ou mulheres. Será importante o aluno perceber
que os resultados da pesquisa serão diferentes dependendo do porcentual de cada
gênero que compõe a amostra.
Na seqüência, os alunos poderão compor sua amostra de pesquisa com base
também na escolaridade e na classe social de seus componentes. A atividade se
encerra com a proposta de elaboração de um relatório a partir dos resultados obtidos
na pesquisa.
3. Como conduzir a atividade
- Duração da atividade: uma aula de 50 minutos para a interação com o sistema
e outra aula para discussão e elaboração do relatório.
- Organização: grupos de 2 ou de 3 alunos, a critério do professor.
Os alunos poderão iniciar a atividade sem qualquer explicação prévia, ou
poderão participar de uma discussão, conduzida pelo professor, sobre acertos e erros
de pesquisas de intenção de voto realizadas no Brasil, nos últimos tempos. Há uma
grande curiosidade dos alunos em saber como é possível conseguir erros tão baixos
em pesquisas que entrevistam porcentuais tão pequenos da população eleitoral do
país. Nesse sentido, o texto da Revista do Professor de Matemática, citado
anteriormente, pode dar elementos para o professor.
Além disso, poderá ser contada para os alunos a história da pesquisa realizada
nos Estados Unidos, em 1945, na qual um grande instituto elaborou um plano de
pesquisa via ligações telefônicas. O resultado anunciado pelo instituto era o da vitória
do candidato Dewey sobre Harry Truman, com uma margem de vantagem de
aproximadamente 10%. E o que ocorreu na realidade? Ocorreu a vitória de Truman. No
dia seguinte à eleição, Harry Truman, que inclusive viria a se reeleger, deixou-se
Página 3 de 10
fotografar com um jornal da véspera cuja manchete estampava em letras garrafais:
“Dewey bate Truman”. Esse foi um dos episódios mais absurdos da história política
americana.
Ao final desse relato, podemos perguntar aos alunos sobre o que eles avaliam
ter sido o problema para o total fracasso da previsão. Sabemos que o problema
ocorreu exatamente porque a pesquisa selecionou uma amostra completamente
viciada, ao utilizar ligações telefônicas numa época em que só quem possuía telefone
em casa eram pessoas de classe A ou B. Dessa forma, pessoas das classes menos
favorecidas não foram pesquisadas, e a pesquisa serviu apenas para mostrar que o
candidato que perdeu a eleição seria o mais votado nas classes A e B, mas não em
toda a população de eleitores.
É importante, também, que o aluno acione o link e leia o texto que justifica o
tamanho da amostra, “Por que 2400?” O texto é bastante simples e mostra um dos
modos de se estabelecer um tamanho de amostra, que será usado na atividade.
Depois que a atividade virtual ocorrer, no momento de discutir a elaboração dos
relatórios o professor poderá estabelecer uma boa conversa sobre pesquisas e como
os institutos as realizam. Os institutos de pesquisa, como o IBGE 1, por exemplo , podem
escolher suas amostras de forma simples, pelo sorteio, considerando as moradias.
Partem do princípio de que todos moram em algum lugar e é lá que são feitas suas
pesquisas. Todas as moradias têm igual chance de serem sorteadas para a pesquisa.
Há um tipo de amostragem, conhecida como sistemática, criada a partir de uma
regra; pegar a lista telefônica de uma cidade e ir escolhendo os participantes de 10 em
10, segundo a lista , é um exemplo disso.
As amostras podem ser escolhidas depois que a população foi dividida em
grupos mais homogêneos, ou estratos, sorteando ou sistematizando a escolha depois
da população estratificada, que é o exemplo utilizado na atividade.
O professor pode discutir o exemplo que se segue:
Vamos supor que você vá fazer uma pesquisa em sua cidade e escolha uma
amostra de 1000 pessoas. Para que ela corresponda à realidade da população, é
necessário que todos os bairros sejam igualmente representados. Imagine que um
bairro A tenha uma população que corresponda a 8 % do total da cidade. Portanto, 1 Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
Página 4 de 10
nessa amostra, deverão estar 80 pessoas do bairro A , isto é, 8% do total da amostra,
que poderão ser escolhidas por sorteio .
Faz-se necessário deixar claro que, numa pesquisa real, a amostra bem
escolhida pode evitar informações tendenciosas mas, ainda assim, é preciso alguns
cuidados. Se você fizer uma pesquisa entre jovens que trabalham e só procurá-los no
período diurno, não saberá o que pensam os que trabalham à noite. É preciso ter
cuidado com o local, período, a formulação de questões, e até com quem faz a
pesquisa. Há pesquisadores que inibem os pesquisados.
Por fim, os alunos poderão dispor de um certo tempo em sala de aula para a
elaboração de seu relatório de pesquisa, cuja orientação é fornecida pelo próprio
sistema. Nessa etapa, o professor poderá disponibilizar computadores para que os
relatórios sejam elaborados com a ajuda de um editor de texto e de uma planilha
eletrônica que os ajudaria a desenhar os gráficos.
Texto adaptado do original A ESTATÍSTICA E AS PESQUISAS ELEITORAIS,
de Flavio Wagner Rodrigues- IME – USP, publicado na Revista do Professor
de Matemática , número 40, 1999, da Sociedade Brasileira de Matemática.
Introdução
Neste artigo, serão discutidas algumas idéias intuitivas que estão por trás da
Teoria Estatística da Estimação, que é a base teórica para a análise de pesquisas
eleitorais. Serão apresentadas as principais fontes dos erros que podem ocorrer,
discutindo-se também a possibilidade de que eles efetivamente ocorram.
Gostaríamos de deixar claro que nunca trabalhamos para nenhum instituto de
pesquisa e nem temos nenhuma procuração para defendê-los. Temos, no entanto,
duas fortes razões para acreditar que os poucos erros cometidos não foram
intencionais. A primeira delas é a reputação dos institutos envolvidos, que têm uma
longa história de seriedade e competência na realização de pesquisas. A segunda,
mais pragmática, é que, embora as pesquisas eleitorais estejam longe de ser a
Página 5 de 10
principal fonte de renda desses institutos, elas são um importante fator de prestígio,
que contribui para que eles consigam projetos mais rendosos.
1. Universo e amostra
Serão consideradas apenas as pesquisas de intenção de voto, isto é, aquelas
que são feitas antes da realização das eleições. As pesquisas de boca de urna (nas
quais o eleitor que acabou de votar é entrevistado) e as pesquisas que se baseiam em
contagens parciais já efetuadas não serão consideradas aqui.
Numa pesquisa de intenção de voto o conjunto de interesse (que os
estatísticos chamam de universo) é formado por todos os eleitores aptos a votar
naquela eleição. É claro que problemas de tempo e de custo tornam impraticável a
consulta a todos os elementos desse conjunto. Temos que nos contentar em ouvir
apenas uma pequena parcela dessa população e é esse conjunto de eleitores
escolhidos para serem entrevistados que recebe o nome de amostra.
Para os estatísticos, uma boa amostra deve poder ser pensada como um
retrato, em tamanho pequeno, do universo que está sendo considerado. Assim, por
exemplo, nenhuma pessoa de bom-senso entrevistaria apenas moradores das
mansões do Morumbi, em São Paulo, ou somente habitantes das favelas da periferia
da cidade.
Os principais fatores utilizados para definir a composição da amostra são o
nível sócio-econômico, grau de instrução, idade, etc. A escolha desses fatores é em
grande parte determinada pela experiência passada, podendo em alguns casos refletir
uma opinião pessoal do pesquisador que acredita que um determinado fator é
importante para o problema considerado.
Resumindo, durante a realização de uma pesquisa existe uma proporção
desconhecida de eleitores que pretendem votar num determinado candidato. Após a
conclusão das entrevistas, obtemos a proporção de eleitores da amostra que
manifestaram sua preferência por esse candidato.
2. Os problemas de interpretação da média
Provavelmente o conceito estatístico mais utilizado no dia-a-dia é a média.
Expressões tais como renda média e vida média aparecem com freqüência nas nossas
Página 6 de 10
conversas diárias, nos jornais e revistas e a televisão está sempre garantindo que 9
em cada 10 donas de casa preferem o sabão X.
Vamos recordar, através de um exemplo, a definição de média ou esperança
matemática de uma distribuição de probabilidades. O lançamento de um dado perfeito
admite como resultado qualquer um dos números 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, a cada um deles
sendo atribuída probabilidade 61
. A média dessa distribuição é definida como sendo a
soma dos produtos de cada resultado possível pela probabilidade correspondente.
Portanto:
5,3621
)654321(61
==+++++=M
Vamos considerar agora uma situação real na qual um dado perfeito é lançado
1000 vezes e calcula-se a média aritmética dos resultados obtidos. Essa média
dificilmente será igual a 3,5, mas resultados bastante gerais nos permitem afirmar que
a probabilidade de que ela se afaste muito de 3,5 é bastante pequena. Portanto, se a
média teórica fosse desconhecida, esse experimento nos daria uma idéia sobre o seu
valor. É importante observar que, ao contrário da média teórica, a média aritmética de
1000 observações não é constante, isto é, se alguém repetir esse experimento nas
mesmas condições, irá, quase certamente, encontrar um valor diferente daquele que
obtivemos.
É claro que o conhecimento apenas da média de uma distribuição não nos dá
muita informação sobre ela. Assim, por exemplo, se em três faces de um dado perfeito
for colocado o número 1 e nas outras três o número 6 (e portanto o 1 e o 6 irão
aparecer com probabilidade 21
cada um), a média dessa distribuição será também
igual a 3,5, embora ela seja bastante diferente da distribuição associada a um dado
comum. Como não poderia deixar de ser, a média nos dá apenas o centro da
distribuição, não fornecendo nenhuma informação sobre como os demais valores se
situam com relação ao centro. Para medir esse efeito, que os estatísticos chamam de
variabilidade, a medida mais utilizada é a variância.
A variância de uma distribuição nunca é negativa e a determinação positiva da
Página 7 de 10
raiz quadrada da variância recebe o nome de desvio padrão. É interessante observar
que, embora existam infinitas distribuições com a mesma média e mesma variância, o
conhecimento da média e da variância permite que se façam afirmações bastante
gerais sobre os valores da distribuição. De fato, pode-se mostrar que o intervalo com
centro na média e semi-amplitude igual a 2 desvios padrões contém, no mínimo, 75%
dos valores da distribuição.
Quando dispomos de informações adicionais, essas estimativas podem ser
bastante melhoradas. Assim, por exemplo, para variáveis contínuas com distribuição
normal, esse mesmo intervalo conterá, no mínimo, 95% dos valores da distribuição.
Esses resultados são bastante utilizados na clínica médica. São eles que possibilitam
a construção das tabelas e dos gráficos que os pediatras utilizam para acompanhar o
desenvolvimento das crianças com relação ao peso e à altura.
Os intervalos de normalidade para os resultados de exames laboratoriais são
também determinados com base nessa teoria. Fica fácil agora explicar as brincadeiras
que são feitas sobre a média. Dependendo do valor da variância é bastante provável
que um rio cuja profundidade média é igual a um metro e meio tenha pontos onde a
profundidade supere um metro e oitenta. Da mesma forma a variância da distribuição
do tempo de vida do brasileiro mostra que não só é possível, como até bastante
provável que alguém viva três ou quatro anos a mais. A única coisa a se lamentar é
que também seja possível e até provável que muitos morram antes de atingir a idade
média.
3. A determinação do intervalo de confiança
Nos meses que antecedem uma eleição encontramos com freqüência nos
jornais informações que dizem que, de acordo com o instituto X, o candidato A tem
37% das intenções de voto e que a margem de erro da pesquisa é de dois pontos
percentuais para mais ou para menos. Essa informação significa que, na amostra
colhida pelo instituto, 37% dos entrevistados manifestaram sua prefe rência pelo
candidato A e que, com uma probabilidade conhecida, que quase nunca é mencionada
mas que geralmente vale 95%, o valor real da proporção de eleitores de A está
compreendida entre 35 e 39%.
Para ver como esse intervalo é determinado, seja p a proporção de eleitores
Página 8 de 10
que pretendem votar num candidato A. Vamos admitir que p é estritamente positiva e
diferente de 1. Suponhamos que, numa amostra de n eleitores, k manifestem a
intenção de votar em A. A proporção dos eleitores da amostra que pretendem votar em
A será denotada por
nk
p =1
É claro que uma outra amostra de tamanho n irá, quase certamente, produzir
um valor diferente para p1. Utilizando a distribuição binomial de probabilidades
podemos mostrar que a média de p1 é igual a p e sua variância é igua l a
n
pp )1( −
Um resultado teórico importante nos permite mostrar que, para valores
grandes de n, p1 tem uma distribuição aproximadamente normal. Uma consulta à
tabela da normal mostra que, se z tem uma distribuição normal com média zero e
variância 1, temos: p(-1,96< z < 1,96) = 95%
Segue-se que a probabilidade de que o intervalo n
ppp
)1(96,11
−± contenha
o verdadeiro valor de p é aproximadamente igual a 95%. O problema que ainda resta é
que os extremos desse intervalo dependem do valor desconhecido de p. Uma solução
possível é aumentar o intervalo substituindo p(1 – p) pelo seu valor máximo, que é
igual a 41
. Podemos então afirmar que a probabilidade de que o intervalo n
p2
96,11 ±
contenha o verdadeiro valor de p é no mínimo igual a 95%.
Assim, por exemplo, se desejarmos uma confiança de 95% e uma margem de
erro de dois pontos percentuais (para mais ou para menos), n deverá satisfazer:
100
22
96,1=
n e portanto n deverá ser igual a 2401.
Na determinação de um intervalo de confiança lidamos com três quantidades
inter-relacionadas, que são as seguintes:
1. O tamanho da amostra n.
2. A precisão da estimativa que é definida pela amplitude do intervalo.
Página 9 de 10
3. A confiança depositada no intervalo que é definida pela probabilidade de
que o intervalo contenha o verdadeiro valor de p.
Assim, por exemplo, se o tamanho da amostra permanece fixo, um aumento da
precisão implica necessariamente uma diminuição da confiança e reciprocamente. A
única maneira de melhorar a precisão sem alterar a confiança é aumentar o tamanho da
amostra. Analogamente, se estivermos dispostos a aceitar uma redução da confiança, a
mesma precisão poderá ser obtida com uma amostra de tamanho menor. Se no
exemplo anterior trabalharmos com uma confiança de 90% (o que corresponde a
substituir o valor 1,96 por 1,64), o tamanho da amostra se reduzirá de 2401 para 1681.
Finalmente, é importante observar que a confiança e a precisão estão
relacionadas com n e, assim, para manter a confiança e reduzir o intervalo à metade,
nós vamos precisar de uma amostra quatro vezes maior. O preço a ser pago em
termos de custos e do tempo necessário para obter as informações nem sempre
compensa os ganhos de precisão.
4. A coleta da amostra ou onde mora o perigo
Nesta seção nós vamos discutir uma possível fonte de erro que muitas vezes
não é sequer considerada pelos pesquisadores. Suponha que o número de elementos
da amostra foi determinado, bem como os critérios que irão reger a sua composição.
Resta definir o processo que será utilizado para selecionar os elementos que serão
entrevistados. O saudoso professor José Severo de Camargo Pereira, que, entre os
estatísticos que conheci, era o que mais sensibilidade tinha para os problemas dessa
área, costumava contar uma história bastante ilustrativa sobre o que pode acontecer
de errado no processo.
Um estudo foi realizado para determinar os gastos com alimentação de
famílias de baixa renda na periferia da cidade de São Paulo. Pequenas vendas e
mercados eram visitados, perguntando-se a pessoas escolhidas ao acaso o custo da
compra que estavam fazendo no momento. Os valores encontrados na pesquisa foram
significativamente maiores do que aqueles que eram esperados. Convidado para
participar da análise dos resultados, o professor Severo descobriu que os
pesquisadores entrevistavam a pessoa que se encontrava no caixa no momento em
que eles chegavam à loja. A explicação para os valores mais altos estava no fato de
Página 10 de 10
que quem gastava mais ficava mais tempo no caixa e tinha portanto uma probabilidade
maior de ser incluído na amostra.
Nas pesquisas eleitorais, esse problema surge devido ao processo de seleção
adotado pela maioria dos institutos, que consiste em entrevistar pessoas escolhidas
entre as que passam pelos pontos mais movimentados das grandes cidades. É claro
que, embora muita gente passe por esses pontos, existe um número maior de pessoas
que raramente ou nunca passa por lá. Se por alguma razão esses dois grupos tiverem
opiniões diferentes sobre a eleição, os resultados finais serão distorcidos. Infelizmente,
no entanto, esse é um erro provável que é praticamente impossível de ser evitado. A
adoção de um plano de amostragem por domicílios, que envolva a visita dos
pesquisadores à casa do eleitor, teria um cus to proibitivo e seria muito demorado em
razão da rapidez que geralmente é exigida pelos patrocinadores das pesquisas
eleitorais.
Página 1 de 7
Atividade 4 - Acerte no alvo
1. Justificativa
Para entender um processo estatístico, é possível criar um experimento em que
os alunos possam vivenciá-lo, organizando, selecionando, interpretando e criticando
informações. Um modelo para tal experimento pode ser lúdico, através de um jogo de
bola no alvo.
A escolha desse jogo, além da motivação, é a possibilidade de trabalhar com
variáveis quantitativas e com as medidas, tanto as de posição quanto as de dispersão,
bem como com tabelas e gráficos.
Nesse estudo, o professor pode trabalhar com gráficos e associá-los às
probabilidades, além de estabelecer paralelos com as curvas normais de distribuição
de freqüência.
2. Descrição da atividade
1ª fase: Jogo no alvo e coleta de dados
Para iniciar a atividade, o professor deve fornecer conhecimentos teóricos sobre
medidas de posição e de dispersão, bem como informações sobre curvas normais,
simetrias e porcentagens associadas a elas.
Em seguida, o professor apresenta a atividade, ajuda na formação dos dois
grupos maiores e nos grupos menores, de 5 alunos, e também organiza o experimento
e orienta na anotação dos dados.
Essa é uma fase parcialmente lúdica. Para que ela ocorra, é necessário
confeccionar um quadro com 75 cm de comprimento e 40 cm de largura. O quadro
deve ser dividido em 15 faixas de 5 cm cada uma. As faixas serão numeradas, cada
uma, da esquerda para a direita, com os números inteiros de -7 a +7. O número zero
estará localizado na faixa central.
Esse quadro deverá ser fixado numa parede, rente ao chão, e os alunos, todos
eles, serão convidados a atingir o alvo central, com uma pequena bola.
Página 2 de 7
Podem ser construídos dois alvos e toda a classe ser dividida em dois grupos:
rapazes e moças, por exemplo, ou algum outro critério qualquer estabelecido pelos
alunos. Cada um dos dois grupos deve ser dividido em grupos menores, de 5 alunos.
Os alunos serão informados que deverão anotar todas as jogadas das pessoas
que fazem parte do seu grupo maior, isto é, os valores das jogadas, como por exemplo,
-7, +2, -5, etc. Cada aluno terá a oportunidade de jogar ao menos 6 vezes.
Em seguida, os resultados observados no experimento são tabulados e
organizados em tabelas confeccionadas pelos próprios alunos.
2ª fase: Organização dos dados
Nessa fase, os dados são trabalhados estatisticamente para permitir
comparações entre grupos de resultados. Serão confeccionados gráficos,
estabelecidas as medidas de posição e dispersão para o grupo grande e, em separado,
para os grupos pequenos.
Medidas a serem calculadas: a média, a moda, a mediana, a amplitude e o
desvio padrão de cada aluno, depois as médias das mesmas medidas tanto do
grupinho quanto do grupão ao qual o grupo menor pertence. É interessante contar com
calculadoras e planilhas eletrônicas nessa fase.
O professor acompanha os trabalhos de análise, cálculos de medidas,
organização e apresentação dos resultados.
3ª fase: Apresentação dos dados
Nessa fase, os resultados estatísticos serão apresentados em cartazes
produzidos pelos alunos e afixados na classe ou em algum outro lugar para que
possam ser vistos pelos colegas.
É importante o professor orientá-los na confecção dos cartazes, principalmente
quanto a títulos, para que eles sejam compreendidos e façam com que as pessoas se
interessem por eles. Tanto a distribuição dos gráficos em cartazes, como o uso de
cores e legendas são fundamentais nessa confecção.
Convém lembrar que jornais e revistas costumam apresentar exemplos interessantes
que podem orientar os alunos.
Página 3 de 7
4ª fase: Probabilidades
Os alunos, orientados pelo professor, farão cálculos de probabilidades
associados a faixas sob a curva obtida, que se aproximará de uma curva normal, e
responderão às questões propostas de análise do material.
As perguntas sobre probabilidades feitas pelo professor e respondidas em grupo
são elaboradas com base nas curvas estatísticas construídas. Há uma série de
exemplos de questões propostas mais adiante.
5a fase: Relatório
Os alunos, em grupo, prepararão um relatório final que analisa o significado das
medidas de posição e dispersão, e eventuais diferenças de resultados obtidos nos
grupos. Também responderão às questões propostas pelo professor, que envolvem
cálculos de probabilidades associados a faixas de curvas normais.
O professor facilitará a confecção do relatório final fornecendo perguntas que
orientem o aluno.
3. Como conduzir a atividade
- Duração da atividade: 3 aulas de 50 minutos. Uma para o jogo propriamente dito e
as outras duas para o desenvolvimento da parte teórica.
- Organização: divisão em grupos de 5 alunos que farão a composição de dois
grupos maiores. O critério da organização dos grupos pode estar a cargo do professor ,
de comum acordo com os alunos.
Passos e sugestões
(I) Coleta e organização de dados
O professor pode sugerir que os alunos preparem, primeiramente, a ficha dos
elementos do seu grupo menor (de 5 alunos) , dados esses que serão trocados com
Página 4 de 7
os outros elementos que formam o grupo maior. Dessa forma, todos os alunos de
um dos grupos terão os dados dos participantes desse grupo.
Observe as sugestões de tabelas para a atividade. Os alunos podem optar por
se organizar de outra forma. Na segunda coluna da Tabela de Participantes estão
anotados dados fictícios do primeiro participante, como exemplo.
Tabela de Participantes
Participantes
Jogadas P1 P2 P3 P4 P5
1a. +6
2a. -7
3a. 0
4a. +3
5a. -2
6a. -1
......
Obs: P1 , etc. são indicações para os participantes.
Tabela de medidas
x
DP
Moda
Mediana
x : média; DP:desvio padrão
Página 5 de 7
O professor pode aproveitar o momento para definir o desvio padrão e fornecer
sua fórmula de cálculo :
DP = n
ixxn
i)( 2
1−∑
=
O aluno pode familiarizar-se com os cálculos de desvio para pequenos valores,
mas para efetuar os necessários para essa atividade deve valer-se de calculadora que
possui a função desvio padrão.
Convém sugerir que os alunos calculem todas as médias das medidas da tabela
de medidas.
Com os dados recolhidos para o grupo maior, os alunos devem construir mais
uma tabela:
Tabela Porcentual
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
Total
%
(II) Construção de gráficos
a) O primeiro gráfico deve ser de barras, pictórico, sugerindo a atividade de
acertar o alvo. Os alunos podem optar por construir o gráfico porcentua l.
b) O segundo gráfico deve ser de setores ( “pizza”)
c) Gráfico de curva de freqüência
Os gráficos devem ser distribuídos em cartazes, com um bom título.
(III) Análise dos resultados
Nessa atividade, os alunos usarão as medidas de posição e as medidas de
dispersão para analisar o resultado de um experimento prático. Portanto, é importante
que o professor retome aqui as medidas de posição e trabalhe com eles, de forma
simples, com ajuda de calculadoras ou planilhas eletrônicas antes de iniciar a atividade.
Em seguida, os alunos fazem os cálculos e preenchem a “Tabela de medidas” .
Depois de calcularem as médias das medidas, constrói-se mais uma tabela:
Página 6 de 7
Tabela das médias das medidas de posição e dispersão
Essa tabela deve conter os dados do grupo maior
Grupo
Medida
P1 P2 ....
Média
Moda
Mediana
Desvio
De posse da primeira e da terceira tabela, os alunos, em pequenos grupos,
podem responder a algumas questões.
Sugestão de questões
a) Qual dos participantes do grupo tem maior dispersão? Justifique sua resposta.
b) Qual dos pequenos grupos apresenta o melhor resultado? Por quê?
O professor deve ficar atento, nesse momento, porque, se os alunos
considerarem os grupos empatados, é preciso que eles usem o desvio para
desempatar.
c) Qual é a probabilidade de, numa próxima jogada, um jogador desse grupo
acertar o alvo entre zero e +1? Justifique sua resposta.
d) Considere os valores da “Tabela das Médias” e dos pequenos grupos.
Sorteando um aluno de cada grupo, em qual deles é mais provável de ser sorteado um
aluno com a média -1? Por quê?
É interessante que, ao final dessa discussão, as conclusões dos grupos sejam
lidas e discutidas em um painel com a classe toda.
(IV) Discussão sobre o significado das medidas usadas
Após a exposição dos trabalhos e análise dos resultados, o professor poderá, se
sentir-se seguro e se seu planejamento permitir, discutir o significado das medidas
usadas na atividade.
Página 7 de 7
Na prática, o desvio padrão é o número mais indicado para medir a dispersão de
um conjunto de valores, desde que a freqüência dos dados se distribua nos gráficos de
curvas com a forma de “sino”. Tais gráficos são conhecidos como normais.
No caso do experimento escolhido para esta atividade, quanto maior for o
número de jogadas dos alunos, mais próxima da curva normal será a obtida pelo
experimento, principalmente nos dois maiores grupos formados para a atividade.
Nesses casos, podemos afirmar que, no intervalo de um desvio normal acima ou
abaixo do valor numérico da média aritmética do conjunto de valores do experimento,
sempre estão localizados cerca de 34% do conjunto de dados.
Os alunos precisam verificar, analisando os gráficos construídos e comparando-
os no sentido de quão próximo eles chegaram da curva normal, se houve simetria na
curva construída e sobre qual medida de posição se encontra o eixo de simetria da
curva.
x : média aritmética DP: desvio padrão
Página 1 de 11
Atividade 5 - Análise de situação real e proposta de intervenção: saúde bucal.
1. Justificativa
A atividade se justifica a partir do próprio título. Saber usar um procedimento
estatístico, mesmo que ainda de forma rudimentar, para conhecer realidades
relevantes para uma determinada comunidade e, a partir desses conhecimentos,
refletir, sugerir e iniciar transformações significativas para essa comunidade, é colocar-
se – e a um determinado saber – a serviço da cidadania.
2. Descrição da atividade
Os dentes são de extrema importância para a saúde de nosso corpo, pois eles
fazem parte de nosso sistema digestório. Podemos, então, começar por sugerir uma
pesquisa sobre as principais doenças dos dentes, tratamentos e prevenção na escola.
A pesquisa deve começar com o levantamento de uma questão, como por
exemplo: Está a nossa comunidade escolar preparada para prevenir e combater as
doenças do dente?
Para iniciar o trabalho, os alunos deverão ser divididos em grupos de 5 alunos.
1ª fase: conhecimentos específicos
Dessa fase, todos os alunos devem participar de igual forma. É necessário que
todos tenham os conhecimentos específicos sobre saúde bucal.
Antes de iniciar a pesquisa propriamente dita – com os procedimentos estatísticos
adequados – é necessário estar de posse de alguns conhecimentos específicos sobre
o assunto a ser abordado, sem os quais fica impossível a elaboração dos questionários
para a pesquisa . Nessa fase, deve-se fazer a pesquisa teórica em bibliotecas, internet
ou consultando profissionais do ramo.
Mais adiante, as questões formuladas ajudarão na pesquisa teórica. Ao final, os
alunos deverão entregar, em grupo, um relatório dessa pesquisa teórica.
Tempo dessa fase: duas aulas de 50 minutos cada uma
Página 2 de 11
2ª fase: população e amostra
A escolha da população a ser pesquisada pode ser a de todos os alunos, a partir
da 1a. série do ensino fundamental até os da 3a. série do ensino médio.
Um procedimento estatístico pede a obtenção de uma amostra, tanto de
questões quanto da parte da população a ser analisada. Para garantir que ela
represente bem a população, isto é, que todos os seus elementos tenham a mesma
chance de fazer parte dessa amostra, pode ser feito um sorteio em cada classe de
cada nível.
Depois de estabelecido o número total de pessoas a ser pesquisado, os alunos
devem decidir qual número de alunos sorteados em cada classe. Pode ser, por
exemplo, calculado de acordo com a porcentagem da classe em relação ao total da
população.
Uma vez estabelecido o tamanho da amostra, esta deve ser dividida pelos
grupos formados para o trabalho. Cada grupo deverá ter a lista de pessoas que vai
entrevistar.
Tempo para essa fase: 1 aula de 50 minutos
3ª fase: a elaboração dos questionários
Na pesquisa proposta, será necessário elaborar blocos de questionário,
tomando o cuidado se estabelecer em qual dentição se encontra o entrevistado para
que, na apresentação dos dados, se destaque claramente cada uma delas. Vamos
apresentar sugestões que podem e devem ser enriquecidas ou adaptadas.
Uma forma de pensar na elaboração dos questionários é em sua separação por
partes. A primeira pode ser a de pesquisar em que estado se encontram os dentes do
aluno pesquisado: quantos dentes ele tem; se ele já completou a dentição e, se faltar
alguns, quais são eles; se alguma vez extraiu algum dente, e caso isso tenha
acontecido, qual foi a razão da extração e qual o dente extraído; se há algum dente
doente sem que se tenha iniciado um tratamento e, em caso afirmativo, quantos e
quais são ; se há dentes tratados, quantos e quais são ; se usa aparelho ortodôntico,
desde quando e por quanto tempo vai usá-lo.
Página 3 de 11
A segunda é pesquisar se a população conhece e reconhece os sinais das
doenças do dente e como tratá-las: como se inicia uma cárie ou gengivite; quais são as
formas de tratamento; o que fazer quando um dente, em algum acidente, quebra , sai
inteiro ou sofre um abalo.
A terceira parte trata da prevenção. Nessa fase, o questionário deve verificar: o
número de escovações diárias de cada entrevistado; se ele escova ou não os dentes
após todas as refeições ou apenas após as principais – é bom inserir uma questão
sobre a higiene bucal após o lanche na escola; se usa ou não fio dental e,
naturalmente, o número de vezes ao dia que o faz; caso use aparelho, como e quando
faz sua higiene; se sabe o que é e como reconhecer placa bacteriana e como removê-
la; se sabe quais são os alimentos que facilitam o aparecimento de cáries; de quanto
em quanto tempo consulta um dentista ; se faz aplicação de flúor e seladora
regularmente e, se o fizer, qual é o tempo considerado por ele adequado para isso .
Os questionários devem conter perguntas claras, que não dêem margem à
interpretação duvidosa de forma a facilitar a coleta, apresentação e interpretação dos
dados e, portanto, devem diferir para os diferentes níveis de alunos : educação infantil,
ensino fundamental (1a. e 2a. série num grupo, 3a. e 4a. em outro, de 5a. a 7a. em outro
e de 8a.série ao 3o. ano de ensino médio) .
Tempo para a fase: 2 aulas de 50 minutos cada uma
4ª fase: coleta e apresentação dos dados
Nessa fase, os questionários são aplicados e é feita a tabulação dos dados. Os
alunos poderão valer-se de planilhas eletrônicas e calculadoras.
Tempo para a fase: 2 aulas de 50minutos cada uma
5a fase: Construção de gráficos e tabelas para a apresentação dos dados
Cada variável pesquisada precisa de sua forma de apresentação – seja gráfico
ou tabela – e feita de acordo com sua natureza: se qualitativa ou quantitativa, se por
classes ou não.
Uma pesquisa organizada e aplicada numa comunidade deve ser a ela
comunicada para que sirva de elemento para uma tomada de decisão. Sendo assim, a
Página 4 de 11
forma de apresentação dos dados é muito importante. Convém escolher gráficos
ilustrativos, claros e atraentes de forma a provocar curiosidade, interesse e atenção.
É possível escolher uma forma de apresentação de dados mesclada com vários
tipos de gráficos, pictóricos ou não, bem como tabelas e relatórios .
Tempo necessário: 2 aulas de 50 minutos cada uma
6ª fase: descrição numérica e inferência
A nova fase se inicia escolhendo quais variáveis terão as medidas de posição e
dispersão calculadas. Nesse momento, faz-se a síntese do trabalho estatístico e as
medidas estatísticas dão a descrição numérica dos dados apresentados. Se forem
escolhidos histogramas ou curvas de freqüência para apresentação de variáveis, as
medidas de posição e dispersão devem aparecer neles assinaladas.
É necessário verificar, a partir das informações fornecidas pela localização nos
gráficos das medidas de posições, se a distribuição é ou não simétrica. De posse das
informações gráficas e numéricas, torna-se possível fazer generalizações da amostra
para a população toda.
Tempo : 1 aula de 50 minutos
7ª fase: correlação e conclusão
Um estudo de duas variáveis ao mesmo tempo é necessário para se estabelecer
correlação entre elas. Para responder à nossa questão geradora, precisamos
estabelecer correlações entre higiene, alimentação e proteção de flúor, e o
aparecimento de doenças do dente. Esse é um caso típico de correlações de causa e
efeito.
Se com os dados coletados, analisados e sintetizados não foi possível responder
à questão geradora, talvez se faça necessário completar a pesquisa com um novo
questionário que auxilie a complementação da tarefa.
Os procedimentos estatísticos sugeridos mostram os caminhos a ser percorridos
que devem levar a uma análise cuidadosa, seguida de uma síntese abrangente e
correta que dirá como está a comunidade escolar em relação à saúde bucal.
Tempo: 2 aulas de 50 minutos cada uma
Página 5 de 11
8a. fase: apresentação do resultado da pesquisa e sugestão de intervenção
Os grupos de alunos devem apresentar os resultados de sua pesquisa: gráficos
e relatórios, orais ou escritos sob a forma de manchetes. Nessa apresentação, é
preciso ficar bem clara a questão geradora que iniciou a pesquisa e qual foi o resultado
encontrado.
Uma vez encontrada a resposta à questão geradora, pode-se dizer que o
momento é adequado para que se tome uma posição frente a essa informação. Se a
resposta à questão for considerada positiva, isto é, se a comunidade está preparada
para prevenir e combater as doenças do dente, ela certamente valoriza o conhecimento
que envolve tal situação. Nesse caso, pode-se sugerir uma campanha de
esclarecimentos no bairro, que ampliaria o grupo de pessoas adequadamente
preparadas para a saúde bucal.
Os alunos da escola poderiam produzir cartazes divulgando procedimentos
preventivos, escrever artigos de mesma natureza para o jornal do bairro ou colocar
uma página na Internet, produzir vídeo que ensine a população a efetuar uma
escovação correta e apresentá-lo para a comunidade do bairro, em sessões na própria
escola. Dependendo das necessidades da região, também podem envolver
comerciantes e outros empresários na doação de fio dental, pasta de dente e escovas,
ou ainda conseguir a participação de dentistas, como alguns já fazem atualmente, que
possam “adotar um sorriso“, isto é, tratar os dentes de pessoas carentes gratuitamente.
Nesse caso, a triagem pode ser feita pelos próprios alunos.
Todo esse trabalho pode ser feito internamente, caso a resposta obtida pela
pesquisa mostre que a comunidade escolar está despreparada para prevenir e
combater as doenças do dente.
Sugere-se uma convocação geral para essa apresentação de resultados, num
local espaçoso, onde os cartazes possam ser colocados e alguns alunos apresentem
oralmente, com uso ou não de recursos audio-visuais, suas conclusões e sugestões
para decisões futuras.
Tempo: 2 aulas de 50 minutos cada uma
3. Como conduzir a atividade
Página 6 de 11
O professor organiza a divisão da classe em grupos e a pesquisa teórica : se ela
será feita pela internet, usando a biblioteca da escola ou do bairro ou entrevistando
dentistas.
Ele decide, junto com os alunos, qual a forma de divisão da amostra a ser
pesquisada, como por exemplo, dividir os grupos por faixa etária. Fornece, também, a
lista dos alunos que serão entrevistados.
O professor orienta a adequação das questões para os questionários de acordo
com os diferentes grupos de alunos e verifica se tais questionários estão ou não
completos. Nessa orientação, é importante ressaltar o cuidado na aplicação do
questionário, discutindo as questões éticas que possam estar envolvidas nas perguntas
formuladas, salientando o respeito devido ao entrevistado. Também é importante
retomar a formação das amostras por estrato, levando em conta a proporção das
características dentro da amostra.
Ainda é tarefa do professor acompanhar o aluno no levantamento dos dados, na
tabulação e organização em tabelas; orienta r na confecção de gráficos, discutindo a
natureza das variáveis e a adequação dos tipos de gráfico, e ajudar no planejamento
da apresentação dos resultados.
Na 6a fase do trabalho, o professor pode iniciá-la retomando as noções de
medidas de dispersão e posição. É um momento adequado para explicar o que são
curvas normais e o papel do desvio padrão e média aritmética na compreensão de
polígonos de freqüência.
Junto com os alunos, o professor analisa os resultados obtidos nas várias faixas
etárias, verificando se as variáveis escolhidas para serem apresentadas sob a forma de
curvas de freqüência são ou não curvas normais. Nessa fase, os alunos devem ser
incentivados a discutir em painel para que a síntese sobre os dados recolhidos seja
obtida coletivamente.
Para iniciar a 7a fase, o professor poderá fazê-lo com uma explicação simples
sobre correlação entre variáveis, para que os alunos consigam fazer algum tipo de
análise, simples, de correlação. Tal explicação está apresentada logo abaixo.
O professor deve participar da análise das correlações entre variáveis
Página 7 de 11
Para finalizar, o professor ajuda a organizar a apresentação dos resultados para
a comunidade e também das sugestões de intervenção sugeridas pelos grupos.
Procedimento
A atividade pede uma seqüência de procedimentos estatísticos, entre os quais
descreveremos um deles, possível para essa atividade.
Como começa um procedimento estatístico? Naturalmente pelo que queremos
saber, isto é, pelas informações que nos interessam obter para uma futura tomada de
posição. Para que tal aconteça, partimos de uma questão geradora inicial. Com isso
estabelecido, passamos para a fase de captação de informações .
A coleta de informações que permitam o acompanhamento e as posteriores
análises das ocorrências é a primeira etapa do processo. A capacidade do investigador
de observar fatos ou eventos, que lhe permita tirar conclusões a respeito de algo que
está acontecendo, é necessária, mas, para que as conclusões a respeito da
observação de qualquer fenômeno possam ser fidedignas, é absolutamente
indispensável que a seleção de amostras representativas do universo a ser estudado
seja feita do modo mais criterioso possível. No entanto, o professor deve lembrar-se de
que os alunos não são estatísticos, e , portanto, critérios e precisões devem ser
adequados a alunos de ensino médio.
Inicia-se, a seguir, o levantamento das informações que se quer obter e quais
são as melhores questões que levam a elas, tomando o cuidado para que essas
questões não possam trazer respostas duvidosas ou equivocadas. Se quisermos
saber, por exemplo, se há discriminação de raça numa população, não podemos fazer
uma questão direta como: Você discrimina pessoas de outra raça? Num assunto como
esse, que envolve inclusive a lei, as pessoas tenderão a responder que não , e haverá
distorção da pesquisa iniciada .
O momento seguinte diz respeito à aplicação das questões na população que
nos interessa consultar, e temos, logo de saída, a conduta estatística usual de
determinação da amostra: tamanho e qualidade.
É preciso levar em conta , também, que o conjunto de questões escolhidas para
o levantamento de informações é uma amostra das possíveis questões para a
pesquisa.
Página 8 de 11
Aplicados os questionários, ainda na fase de captação, os dados são contados e
organizados sob a forma de tabelas, gráficos e outras informações numéricas,
principalmente sob a forma de porcentagem.
Vale a pena refletir um pouco acerca das informações porcentuais. Elas são
usadas porque igualam referências. Na análise dos dados obtidos em duas amostras,
uma de 50 000 pessoas e outra de 50 pessoas, se usarmos porcentagem podemos
apresentar resultados comparativos entre elas, mesmo que uma seja tão maior do que
a outra.
Dados numéricos não atingem todas as pessoas, pois é preciso entender a idéia
que o número está mostrando. É por essa razão que as informações gráficas são
usadas, embora muitas vezes imprecisas. Não há dúvida quanto à clareza de uma
informação gráfica, que pode ser melhorada, investida de humor e tornada evidente.
Falando de gráficos, já estamos tratando de análise das informações. É nessa
fase que procedemos como se espalhássemos todos os dados sobre uma mesa e
cuidadosamente os examinássemos .
Há um grande avanço da tecnologia da informação a partir do final dos anos 90,
e os novos processos de apresentar e analisar dados são acessíveis às pessoas
comuns, não especialistas, que podem alcançá-los de forma instantânea. Precisamos,
no entanto, de algumas ferramentas para fazer uma boa análise dos dados coletados,
e elas nos vêm da Estatística.
Finalmente, passamos para a fase de síntese, na qual fazemos comparações de
quantidades e qualidades, inclusive relacionando qualidade com quantidade. Nessa
fase, há procedimentos mais simples, como calcular medidas de posição e de
dispersão, ou mais sofisticadas como estabelecer correlações .
Um trabalho estatístico pode ser encerrado com uma inferência, isto é, permite,
ainda que com uma certa margem de erro, estender o que aprendemos, analisando e
sintetizando os conhecimentos adquiridos com a amostra, para toda a população.
Algumas questões que facilitam a pesquisa teórica sobre saúde bucal
Antes de iniciar a pesquisa propriamente dita, com os procedimentos estatísticos
adequados, é necessário se apossar de alguns conhecimentos específicos sobre o
Página 9 de 11
assunto a ser abordado, sem os quais fica impossível a elaboração dos questionários
para a pesquisa. Nessa fase, deve-se fazer uma pesquisa teórica em bibliotecas,
internet ou consultando profissionais do ramo. Uma pequena lista, a seguir, auxiliará a
pesquisa teórica. A partir da questão ou questões levantadas para a pesquisa pode ser
necessário o aumento dessa lista .
Sugestão de questões para a pesquisa teórica:
1. Qual é a função dos dentes?
2. Quantas e quais são as dentições existentes?
3. Quantos dentes completam cada dentição?
4. Quando começa e quando termina, aproximadamente, a troca de dentição?
5. Quais são os tipos de dentes e para que servem?
6. Quais são as partes de um dente?
7. Quais são as principais doenças bucais?
8. Quais são os hábitos adequados para ter bons dentes e gengivas sadias?
9. Como é feita uma escovação eficiente?
10. Quais são os outros recursos para limpeza dos dentes e gengiva?
11. Quais são os cuidados específicos que devem ter as pessoas que usam
aparelhos nos dentes?
12. Quais são os dentes mais propensos às cáries e qual a razão disso?
13. Quais são as atitudes preventivas de saúde bucal?
Como apresentar e discutir as informações?
A resposta mais imediata a essa questão é: faça uma tabela. Há mais de uma
forma de apresentar a informação de forma tabular. A mais simples é a que representa
a freqüência, isto é, o conjunto de valores das variáveis, pela contagem.
Como é proposto na atividade, o aluno também deve construir gráficos. O
professor precisa orientá-los na escolha dos tipos de gráfico, de acordo com as
variáveis que foram trabalhadas, se qualitativas ou não. Algumas variáveis devem ser
escolhidas para a construção de curvas, de modo a ser possível avaliar se elas são ou
não normais, e estudar a posição no gráfico das medidas de posição e como analisar
Página 10 de 11
essas medidas em relação à pesquisa feita. Também é necessário avaliar quanto há de
dispersão nas medidas pesquisadas, pelo desvio padrão, e a distribuição porcentual na
curva construída. Naturalmente, o que foi aprendido na atividade Acerte no alvo será
de grande valia.
O professor também deve ajudar o aluno a estabelecer correlação entre
variáveis para inferir resultados.
É comum estudarmos duas variáveis ao mesmo tempo para saber se elas variam
do mesmo jeito. Quando coletamos, por exemplo, numa população de jovens, suas
alturas e respectivos pesos, sabemos que as duas variáveis crescem juntas, isto é, há
uma correlação positiva entre elas. Há correlação negativa entre variáveis se, enquanto
uma cresce, a outra decresce, como por exemplo, as variáveis idades de pessoas e
expectativa de vida. Não há nenhuma correlação se o crescimento ou não de uma
delas ocorre enquanto na outra a variação ocorre ao acaso, como por exemplo, os
resultados obtidos no lançamento de dois dados honestos.
Mas atenção: correlação não é necessariamente relação de causa-e-efeito. Veja
um exemplo: se houver um aumento da venda de doces num período e um aumento de
casos de diabetes no mesmo período, não dá para concluir que o aumento de venda
de doces causou o aumento de casos de diabetes, nem mesmo descartar essa
possibilidade. Por outro lado, se há relações de causa-e-efeito entre duas variáveis, há
certamente uma correlação entre elas. Pense nas variáveis quantidade de lajotas e
área de piso a ser recoberto por lajotas, e perceberá que há uma correlação positiva
entre elas e também uma relação de causa-e-efeito.
De qualquer maneira, é bom que os alunos saibam que se há correlação entre
duas variáveis isso não significa que, para modificar um valor assumido por uma delas,
basta modificar o valor assumido pela outra. Um bom exemplo para ser discutido é
O termo correlação é usado em estatística para designar uma “força” que mantém relacionados dois conjuntos de valores de dados,
referentes a duas variáveis distintas. Existem até fórmulas para calcular coeficientes de correlação, como a
que foi desenvolvida por Karl Person (1857 - 1936) .
Página 11 de 11
imagine um aluno que mede 1,80m e pese 60 quilos. Se ele quiser aumentar o peso
não é necessário que cresça, não é mesmo?
Se o professor achar interessante, pode dizer que a fórmula criada por Karl
Person produz um número entre –1 e 1. Quando temos uma correlação igual a 1, isso
significa que as variáveis em estudo estão relacionadas diretamente. Quando há um
aumento em uma delas a outra diminui na mesma proporção. Quando o valor é igual a
–1, temos uma situação em que o comportamento de uma variável é diretamente
oposto ao da outra. Na medida em que aumentam os valores de uma das variáveis,
diminuem os da segunda e vice-versa. Quando a correlação é igual a 0, isso significa
que o comportamento de uma variável é absolutamente independente da outra. Não é
o caso de fornecer a fórmula para alunos do ensino médio.
Para terminar, o professor pode sugerir a leitura do livro “Como mentir com
Estatística”1, criar atividades de acompanhamento e abordar as possíveis
manipulações da Estatística na distorção da realidade.
1 HUFF, DARREL, Trad. Ruy Jungmann – 1992 - Rio de Janeiro, Ediouro.
