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Atividade 4 - MA211- Calculo II -
Unicamp Desenvolvimento
Questão 1 e 3 : Matheus Rufino 160925
Questão 2: Leticia Martins Marreiro 146925
Apoio:
Professor Márcio Antônio de Faria Rosa
Wesley Henrique 140986
Eduardo Silva 155208
Vanessa Teixeira 139201
Gabriel Vieira 155482
Phillipe Oliveira 157020
Isabela G. Fernandes 159753
A comparação feita no começo da página 91 no livro de Edwards & Penney grosso modo nos traz a
ideia de que o método de cálculo de volume por meio de seções transversais no sólido, visto no
Cálculo I, não passa também de uma espécie de limite de somas de Riemann -
um método para aproximação da área total inferior à curva em um gráfico - associado a uma altura
para o cálculo de um volume.
Sendo assim, pode-se definir Volume através de uma integral dupla - que também é uma soma de
Riemann - integrando-se uma z = f(x,y) em x e depois em y. Caso a integral exista, temos então o
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valor associado de um volume para determinados limtes de integração (a,b) na externa e
(y2(x),y1(x)) na interna. Isto é, a integral interior nos elucida a área da região no plano yz que está
abaixo da curva e acima do intervalo dado pelos seus limites de integração. Ora, mas essa é a
definição de seções transversais num sólido, uma vez que a integral é a área da seção transversa
da região sólida T em um plano perpendicular ao eixo x. Portanto, Volume = V = ∫a
bA (x)ⅆx.
Então, finalmente podemos concluir que o volume é a integral da área da seção transversa. Sendo
essa seção transversa, como queríamos demonstrar, uma Soma de Riemann que nos apresenta a
área total inferior à curva em um gráfico. Essa é a relação existente entre o teorema de Fubini e o
método tradicional de cálculo de volume estudado no Càlculo I.
Agora, como a segunda parte do enunciado sugere, vamos ilustrar a tese apresentada anterior-
mente. Para isso, precisamos primeiro plotar a área da região no plano yz, com o comando Region
Plot.
r1 = RegionPlot1 < x ≤ 4 && 0 ≤ y ≤ 3.5, 0 ≤1
4+ 0.4 (x - 4)2 + (y - 4)2 ≤
3
2+ 1
2
,
{x, 0, 5}, {y, 0, 5}, PlotTheme → "Minimal",
PlotStyle → {Directive[RGBColor[0, 0, 1], Opacity[0.4]],
Directive[GrayLevel[1], Opacity[1]]},
BoundaryStyle → None, AxesLabel → {"y", "z"}
y
z
2 Atv 4 - Calc II - Marcio.nb
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b3 = RegionPlot3D1 ≤ x ≤ 4 && y ≤ 5 && -1
4+ 0.4 (x - 4)2 + (y - 4)2 ≤
3
2+ 1
2
,
{x, 0, 5}, {y, 0, 5}, {z, 0, 2}, PlotPoints → 20, AspectRatio → Automatic,
PlotTheme → "Minimal", AxesLabel → {"y", "z", "x"},
PlotStyle → {Directive[RGBColor[0, 0, 1], Opacity[0.4`]]}
A seção móvel
Para fazer isso precisamos primeiro definir uma nova função com qualidades parecidas mas que
permita uma melhor análise estrutural para o uso dos comandos. A escolhida será uma uma função
Seno acrescida de uma constante, uma vez que essa função nos retorna uma maleabilidade
gráfica melhor com o uso dos comandos do Mathematica.
Atv 4 - Calc II - Marcio.nb 3
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In[1]:= α = Plot3D[{3 + Sin[x], 0}, {x, -π, π},
{y, -2, 2}, PlotStyle → Directive[Opacity[0.4]]]
Out[1]=
Observa-se acertadamente na curva acima que juntamos o plano 0 com a função sino ao longo dos
eixos em R3. Agora iremos escolher uma faixa dessa função para ser a nossa seção móvel, usando
o comando ParametricPlot podemos definir os limites através de uma parametrização.
In[2]:= β = ParametricPlot3Dx, 0, t 3 + Sin[x], {x, -π, π},
{t, 0, 1}, PlotStyle → Directive[Green, Opacity[0.4]]
Out[2]=
Juntamos finalmente as duas para analisar o resultado, como queríamos demonstrar.
4 Atv 4 - Calc II - Marcio.nb
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Show[α, β]
Agora, precisamos fazer com que essa faixa se mova. Usaremos então o comando Manipulate para
mexermos os parâmetros da faixa que irá se mover. Mas antes, vejamos como as curvas que
limitam a faixa em suas extremidades verticais podem ser observadas como o conjunto de inter-
secção entre o plano 0 e a curva seno.
In[3]:= γ = ParametricPlot3D[{{x, 0, 3 + Sin[x]}, {x, 0, 0}}, {x, -π, π}, PlotStyle → Thick]
Out[3]=
Com todas essas curvas em mãos podemos finalmente usar o comando Manipulate para observar
o movimento da seção.
Atv 4 - Calc II - Marcio.nb 5
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In[4]:= ManipulateShowα, ParametricPlot3Dx, λ, t 3 + Sin[x], {x, -π, π},
{t, 0, 1}, PlotStyle → Directive[Green, Opacity[0.4]], ParametricPlot3D[
{{x, λ, 3 + Sin[x]}, {x, λ, 0}}, {x, -π, π}, PlotStyle → Thick], {λ, -1.3, 1.3}
Out[4]=
λ
f[x_, y_] = 1 + x + y
1 + x + y
6 Atv 4 - Calc II - Marcio.nb
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c = RegionPlot0 ≤ x ≤ 1 && 0 ≤ y ≤ x2, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
d = ContourPlot[{x ⩵ 1, y ⩵ 0, x^2 ⩵ y}, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, ContourShading → False]
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Atv 4 - Calc II - Marcio.nb 7
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Show[c, d]
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Plot3D{f[x, y], 0}, {x, 0, 1}, {y, 0, 1},
RegionFunction → Function{x, y, z}, y ≤ x2, Filling → Bottom
8 Atv 4 - Calc II - Marcio.nb
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q[x_, y_] = 23 x2 + 72 x y + 2 y2;
Simplify[q[a u - b v, b u + a v]];
SolveD[D[%, u], v] ⩵ 0, a2 + b2 ⩵ 1, {a, b}
a → -4
5, b → -
3
5, a → -
3
5, b →
4
5, a →
3
5, b → -
4
5, a →
4
5, b →
3
5
A priori, nossa função q[x,y] possuía valores no espaço R2 com dificuldade considerável para
análise, uma vez que a mesma não está na forma canônica. Está de fato rotacionado. Então o que
fizemos foi uma substituição de eixos coordenados com a intenção de se encontrar eixos os quais
coincidam a os pontos (0,0) dos vetores geradores de um espaço R2 com os zeros de nossa curva.
Sendo então a e b os coeficientes que irão multiplicar respectivamente (u,v) que é o vetor correspon-
dente a resolução do Sistema Linear clássico para o encontro da matriz Rθ (de rotação), (A
-λ1 Id).X = 0.
Sendo X = (u,v) temos que X
||X ||.(Cos[θ], Sin[θ]) que finalmente nos traz Rθ =
Cos θ -Sin θ
Sin θ Cos θ =
//que para o caso onde a →35, b → -
45 \\ = Rθ =
35
45
-45
35
.
A grande sacada deste método é que já temos os valores do Cos(θ) e Sin(θ) sendo respectiva-
mente a e b. Logo, também já podemos facilmente encontrar o valor de θ com a função ArcCos ou
ArcSin.
Ou seja, precisávamos encontrar um sistema de coordenadas cujo o qual não houvesse termo
cruzado (xy) na equação geral da curva. No caso, a função dada não possui os termos d, e, f
esperados em uma cônica, facilitando nosso trabalho.
Então, para prosseguirmos com as análises, usaremos o comando Simplify para que o Mathemat-
Atv 4 - Calc II - Marcio.nb 9
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ica substitua os valores de a e b na equação q[x,y]. Sendo assim, teremos uma q2[u,v] nos eixos
coordenados em R2 os quais possuem coincidência de zeros entre curva e espaço.
(**Observação: O método tradicional elucidado pela
Geometria Analítica não prevê casos em que f = o ou f = z,
dificultando toda a questão de se transportar para os novos eixos coordenados,
retornando sempre a uma equação do tipo x2+y2=0...No entanto,
a forma aqui demonstrada pode aparentemente driblar esse problema.**)
Simplifyq3 5 u + (4 / 5) v, -(4 / 5) u + 3 5 v
-25 u2 - 2 v2
q2[u_, v_]
q2[u_, v_]
Pronto, finalmente temos a equação nos novos eixos coordenados u e v sendo q2(u,v) =
-25 u2 + 50 v2. Pode-se facilmente perceber que quando u = 0 e v = 0, a hipérbole passará pela
origem, ou seja, a troca de eixos foi acertada.
q2[0, 0]
q2[0, 0]
A forma mais simples de se saber com qual cônica degenerada estamos trabalhando, é fazendo o
Determinante da Matriz A = a
b
2b
2c
, sabendo que em q2 {a, b, c, d, e ,f} = {-25, 0, 50, 0, 0, 0}.
A = -25 00 50
;
Det[A]
-1250
Temos que o Det[A] < 0, logo por definição é uma hipérbole. Vejamos a mesma no ContourPlot.
10 Atv 4 - Calc II - Marcio.nb
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ContourPlot-25 u2 - 2 v2, {u, -8, 8}, {v, -8, 8}, Axes → True,
Frame → False, Mesh → Full, AxesLabel → {"u", "v"}, Contours → 2
-5 5u
-5
5
v
Agora vamos resolver o sistema linear para encontrar o valor do ângulo usado na construção de Rθ
.
Sabemos que esse sistema nos retorna os valores de um vetor X = (u, v) preferencialmente quando
a norma = 1. Portanto, basta que façamos X
||X ||.(Cos[θ], Sin[θ]) e finalmente poderemos definir e
comprovar não só a matriz de rotação Rθ =
35
45
-45
35
como consequentemente o ângulo o qual
está rotacionada a nossa hipérbole em torno de x,y para x’,y’ que iremos denotar de
X1 e X2 respectivamente e também encontra os valores de u,v nas coordenadas x,y.
Rθ =
35
45
-45
35
;
X2 = u
v;
X1 = xy;
Solve35
45
-45
35
. uv ==
xy, {u, v}
u →1
5(3 x - 4 y), v →
1
5(4 x + 3 y)
NArcCos 3
5
°
53.1301
Atv 4 - Calc II - Marcio.nb 11
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NArcSin 4
5
°
53.1301
Como queríamos demonstrar, podemos obter os eixos coordenados u,v (x’,y’) em função de x,y. E
além disso, também chegamos a conclusão de que o ArcSin 45 = 53.1301° =
ArcCos 35, uma vez que já sabíamos os valores de a
b =
CosθSinθ
bastava que se
resolvesse a equação simples para θ e encontrar o seu valor.
Finalmente, posto que temos todos os valores nos eixos primitivos, podemos colocar em contraste
ao comando ContourPlot tanto os geradores (u,v), (x,y) e a hiperbole.
u2[x_, y_] =1
53 x - 4 y;
v[x_, y_] =1
54 x + 3 y;
q[x_, y_] = 23 x2 + 72 x y + 2 y2;
Para calcular as assíntota usaremos o truque de saber a equação reduzida, -25 u2 + 50 v2 = 0,
simplificada para u2 = 2 v2, tendo em mente que a regra geral y = ± ba
então a equação das assínto-
tas será:
n[x_] = ± 2 v;
Hiperbole = ContourPlot[q[x, y], {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, Axes → True, Frame → False,
Mesh → Full, AxesLabel → {"x", "y"}, Contours → 2, ColorFunction → "Hue"];
ContourPlot::cfun : Value of option ColorFunction -> Hue is not a valid color function, or a gradient ColorData entity.
Eixos = ContourPlot[{u2[x, y] ⩵ 0, v[x, y] ⩵ 0},
{x, -1, 1}, {y, -1, 1}, ContourStyle → Directive[Red, Thick]];
Assintotas = ContourPlotu2[x, y] ⩵ 2 v[x, y], u2[x, y] ⩵ - 2 v[x, y],
{x, -1, 1}, {y, -1, 1}, ContourStyle → Directive[Black, Thick];
12 Atv 4 - Calc II - Marcio.nb
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Show[Hiperbole, Eixos, Assintotas]
-1.0 -0.5 0.5 1.0x
-1.0
-0.5
0.5
1.0
y
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