Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
MATEMATICKÁ ŠTATISTIKA
Základné pojmy matematickej štatistiky
Matematická štatistika sa zaoberá štúdiom prijatia rozhodnutí v tzv. podmienkach������������ ����������� �������������� ���!"�����#��$%�� '&() �����������*&,+-�)��/.0 ��1��+�() ������2�3�)��456 �������87���9� �:;�)9�<���známe, ktorý zo zákonov rozdelenia pravdepodobnosti pôsobí v danom prípade.= ��4�>�?��:@�A7��B.C784�1�����!D:E+-:@�A���� ,F�#G3�� '&() �����������H&,+-� isiace od náhodnej udalosti,avšak nepoznáme ani súhrn podmienok γγ ��������$-() I�?J'78�-��C:@�-���#� ��4-�)8�� )�K���� ��2LM&N *&,+-�) ��) ��pravdepodobnosti pôsobí v ��4-�) �: 7���.O784�����QPH������R���S�����6��$S���T4566&N ���4?GU�-J�78�����:E�-���I��4&,+��)5�4���V:E�-��4��).�������#�6L�W-(X���56��.C�I4<&,4Y7� �:Z �W%�����#�#L�W-(X:E�?��[��H���B ,F�#GV7���.���5��8\B��$<&,+����-�]���
Fyzikálny príklad
= ��4�>�?��:@�_^��K&N���+�5����S�-J�78�����:E�-���A&,4-:E�-��4���L`��4a\��#b)�����:c:E��&N[��) ��d�� '&�784��42��b�W�W�(e�/4@��4_fgama kvantá – napr.: K− p → γγ + X.
• g ����4-�B�4-���#��+V(�:E K�#�) ���G ( ) ( )221
221 ppEEm hh +−+=γγ
F��)���i7����������4-�) ���4?Gj��+-() �����b����59�������IW-(�4-��4-��������6&�?��b�W-�X��+k\0�-J�78�����:E�-���2�T7��B�� �: jej odpovedajúcipravdepodobnostný zákon nepoznáme..
• l �T4566&,+TW���j���2�/�� H��+-() ������2�m����59�������%�n4<&N.�����4-��42��b* ,784��) ���4-�).�:o�?J'78�-��C:@�-���#�p�• Výsledkom experimentu je rozdelenie mγγγγ.
Obr. 1: spektrum invar iantných hmotností γγγγ-parov charakterizujúce daný γγγγ-experiment
Predpoklad:
• qsr'tu�v-wExzyBr'tN{9|�}nx-u)~�x�u�vk}B�)r���x?��x�����r�y��k����� ���%��r'tu�v-wEx�t,v��)~��/{6r���� σσ od hmotnosti MyBr't��8����2�����Tx2�V�/�Q�T�k����~��TxQ�n�Vu�� γγγγ.
• qsr'tu�v-wEx���wZrK�6u)r�������y]��x2�`�T�k�B��~��x�� π0−mezón), teda poznáme jemu zodpovedajúcerozdelenie hustoty pravdepodobnosti invariantnej hmotnosti mγγγγ.
• �Mx���r'tu�v-wEx���wZrK�6u)r����"��y2����x2�D�T�k����~��TxU� η−mezón) a teda ani jemu zodpovedajúcerozdelenie hustoty pravdepodobnosti.
���,�?�p�������' k¡�¢�£�¤9�'¥¦��§,¨Q¤#¥�¨©�ª«¥�¬6¨??¬6®*¯Z¨T¤6°�±�ª'¯Z¬)¯�ª�¤9¨¯Zª�¤6¬�²?£�¨C§Q?¤6ª�¤9¬�³-¤9¬#£�¡p´
1. q y�x-��x-y�~�����µ,��rK��¶�t� �¸·,xD��y2�)r��o��k����~9�r�����x π0−mezón − teda pre známe rozdelenie���8�B��rK�6µ¹��y��-�)��x���r���r,º�u)r�����~ tN~��B��~#�»u��-�)r�¼n�)r½�¦x¾��y����)��x���r���r,º�u�v¿��µN��rK��¶�t,� �d·,x¿�experimente sa realizuje rozdelenie mγγγγ zodpovedajúce π0−mezónu.
2. �Mv2�����À���8����rK�#�½y�r'tN��x�{�x-u)~9����y��-�)��x���r���r,º�u)r�����~Á��y�xÂ��y2�����Ã�T�k�B��~���� �Z��x��� u�v2�-�B�Ät,v-�)r�upravdepodobnosti, ktorý popisuje jej prejavenie sa v experimente. q y��-����~��-��µeu�v2�������wZrK�6u)r����_�B����wE�-u�x2�I�T�k����~��TxÅ�ÆtNr��,��r���x���2�����-� σσ rozdelenia mγγγγ �Ç�0�~Q�n�H��x���u�vÁr���x��u����k����~9�-�I�Y��r��8�
Poznámka: Vyššie spomínaný γγ-experiment prakticky delíme na 2 sub-experimenty:v rámci prvého (mγγ < 300 MeV) sa rieši úloha 1 a v rámci druhého sub-experimentu(mγγ > 300 MeV) sa rieši úloha 2�jÈQ~9xk}nx-u)~9x`��yBr,º�{�¶-w*�É�/~¸��µK·,����?��xÊ��y�~ ���?���R��xk����r����?�hypotézu o pozadí, t.j. o rozdelení mγγ v ��y�|O�8���xN�Æ·,x γ-kvantá nie sú geneticky spojené(nepochádzajú z y�r't��8����S��x2�Z~��B��x2�E��k����~9�Tx�Ë/�Æqsr't,���~9x¸��x@wZr'·u�¶E��y�xk�B����wE�?�Åw@x-��Ì���r��DÍdÎA���µ,��·N~ �����Y��y�~���r�wo�2�mwZr'·u)r����A~���x-y��T�-u�¶-�)r3��yB|����#�'���p�
ÏÅÐ�Ñ�ÒiÓpÔpÒ0ÓaÕ<Ó�Ö,×eÓ�ØjÙ
Náhodný výberÚ Û�ÜÝ,Þ�ß�à)á�âÝ�âäã�å@Ükæ_ç,ÜÄè�Û�éê�ë6ì;Ü?í'Þ8Ü-ÛBê�å@Ü�ît sme n-krát opakovali za tých istýchÞ�ß�Ý�åZê�Ü-î)ß�àaæ8â¸ç,ÜMïBå@Ü«ðNñ�ïBà�âá9ê
n na sebe nezávislých pozorovaní x1, ... xn è�Û�éê�ë�Ü2ãóò�Üá6ê�éêCî�ô8õ
ö�÷'ç,Ü-å@Ü_ê�ø�ùSÞ�ß�ò�â�çNß�ò�â-úað,âÁÛ�ÜTâá6ê6ð,ûTøê9Ü1è�Û�éê�ë�Ü2ãIî�û-ù)ß�Ý�î�ÜäãIò�Üá9ê9éê�î�ô ξξ charakterizujúcej nášprípad.
N-ticu ( x1, ... xn )åE÷'ç,Ü-åEÜRÞ�ß�ò�â�çNß�ò�â?úSë�ê9Ü�ç�ð,âRÛ�ÜTâá6ê6ð,ûTø�ê�èÀò�Ü-à�ë�ß�Û�ß�ò�Ü2ãaî�û-ù)ß�Ý�î�Ü2ã
premennej ΞΞ=( ξξ1,..., ξξn )æ�à�ë�ß�Û�Ü2ãóðNá9ß'çà�ô ξξi , i=1..n sú nezávislé a majú to isté rozdelenie
pravdepodobnosti ako náhodná premenná ξ sÝ�ê�ï�ë#Û�êOü�è�é-î)ß�èEý�è�î�à
ciou F(x) charakterizujúcazákladný súbor.
Náhodný vektor (ξξ1,..., ξξn ) sa nazýva jednoduchým náhodným výberom zozákladného súboru. N-tica hodnôt ( x1, ... xn ) sa nazýva realizáciou tohoto náhodnéhovýberu.
Výberová funkcia.
þ?Ü�ë�ßZÿnè'ü�ß�ò)ß�ÿnî�û�Û�ÜTû�á�î�â«ý�è�î�à�øê�â�î�û�ù)ß�Ý�î��-ù)ß*ò�ì,ü8Ü�Û]è ΞΞ teda g(ξξ1,..., ξξn) � ã¦Ü3ë�ßIë�ê�Ü�ç«î�û-ù)ß�Ý�î�ûò�Ü�á9ê�é�ê�î�â�õ������� ���������������������� ��!�"$#$�%�
. Nech náhodná premenná ξξ å@ûQÝ�ê�ï�ë6ÛBêCü�è�é-î�&�ý�è�î�à�øê�è F(x) a nechE(ξξ) = a a D(ξξ) = σσ2. Nech ΞΞ=( ξξ1,..., ξξn ) je náhodný výber o rozsahu n ( >1 ) a nechvýberová funkcia je:
')( ∑=
==n
iin n
g1
,...,1
1)( ξξξξ , po tom ju nazývame výberovým aritmetickým
priemeromæTÞ�Û�ê9éß�åÉÞ�á9â?ë�ñ+* E a D
n( ) , ( )ξ ξ
σ= =
2
b) ( )h snn i
i
n
( ),...,ξ ξ ξ ξ12 2
1
1= = −
=∑ , potom ju nazývame výberovou disperziou,
Þ�ÛBê�éß�åÂÞ�á�â?ë�ñ�* E sn
n( )2 21
=−
⋅σ .
Štatistický odhad
Výberová funkcia g(ξξ1,..., ξξn)æ8à�ë�ß�Û�ûXå@ûXë&Åò)á9âkï�ë#î)ß�ï�ú�æ�ç,ܸÞ8â-Û�â�å@Ü?ë#Û�Üjã¦Ü2ãAÛ�ß'ðNÝ�Üá9Ü-î)ê�â
ï�&�ò)ê�ï/ê9âdïEè�Û�éê�ë6ì,å Þ8â-Û�â�å@Ü?ë#Û�ß�å θθ základného súboru, nazývame štatistickým odhadomdaného parametra.
Štatistický odhad, ktorého stredná hodnota sa rovná hodnote odhadovanéhoparametra sa nazýva neodchýleným štatistickým odhadom
Kvantil .
,.-�/1032547698;:�-=<�>7?A@�BA>DC�E�F�G�HJI7E�G�K�/�>MLN?�O�PQ:R>�@S-T:.G�H10)P�<UG�-V:WO�BX-1YZ-1G�G�-V:ξ a nech je danéF\[7?�]P
α ∈4V^9_T`�8Ra�bcKdF�[7?X]MPe6
α je riešením pravdepodobnostnej rovnice:
F x P x( ) ( )α αα ξ α= < = t. j. (2.1),
potom xα nazývame αα××100 %-ným kvantilom.
Testovanie hypotéz
f�gih+j9k l�monqpTr.s5tum5vwn�x�l9syp h+x
Predpoklad:experiment je charakterizovaný náhodnou premennou ξξ s normálnym rozdelením
N(x,a,σσ2). Pritom poznáme σσ2 (=σo2) avšak nepoznáme a .
Realizujme n-krát experiment s výsledkami x1, x2, ... xN , potom:
• (x1, x2, ... xN ) predstavuje realizáciu náhodného výberu ΞΞ = ( ξξ1, ξξ2,..., ξξn );
• xn
xii
n
==∑1
1
je realizácia výberového aritmetického priemeru ξ .
Odhad strednej hodnoty a:Q-zY{P�|�G�}zE�B~P C�>���G�L3� H�K)]�L�<�-�BX-�L\]M>� H�/�>�- ξ riešením
pravdepodobnostnej rovnice:
αξ α =≥− )( kaP ( 2.2 )
kde αα ∈4+^9_T`�8U:�-�<�L�G�}�F�[7?X]MP�Li0)��L�<�H1YZ-
kαα .
Z (2) vyplýva:
P a k a k( )− < < + = −α αξ α1 ( 2.2b)
⇓⇓
N a k an
N a k an
+
− −
= −α α
σ σα, , , ,
2 2
1 ( 2.2c )
⇓⇓
N a k an
+
= −α
σ α, ,
2
12 ( 2.2d )
Nk nα
σα
, ,0 1 12
= − ( 2.3 )
Rovnica (2.3) predstavuje rovnicu pre (1−α/2)×100% kvantil .���������1�Z�����+�
uk n
1 2−=α
α
σ (2.4)
potom pre ���5����1�����W������)�� y�����\�U���M�¡�;���¢�����Q��£{���M�\��� �N¤)¥���¦T��§��M�1��¨7¥U� ��©�¥�ª��1«)¬M�D)¥9�A¨7�¯®−α
dostávame:
ξσ
ξσ
ξσ
α α
α α
− < = ⋅
− ⋅ < < + ⋅
−
− −
a kn
u
nu a
nu
1
1 1
2
2 2
(2.5)
Obr. 2 °Q±%²�³D´~µM¶\·�¸º¹M»�¼\½�·�¾�¸À¿Á¶�¼\¹M³%¿�»�µS´5¼\ÂQ¾�·�Âûº·�µS·�Äi´�³Àµ7· a ¹�Å�¼\´XÆ¿ÈÇ�¿È´~²1³D¼�ÄɹM»�¼\½�·�¾�¸À¿Á¶�¼\¹M³%¿ 1-α
Metóda najmenších štvorcovÊ�Ë~ÌÎÍ1Ï�Í�ÐDÑ�Ò ÓÉÔ�Õ�Ö.×RÍ�Ø�ͺ×AÖ�ÙÚ×AÖSÕ1Û�ͺÜÞÝ Ó ßàÕ1ßZÓ ßZÙ�Ô�Ó\ÐSÜ�Í�ÐMÓáÏ�Ó�â�Ù�Ò�Ï�Õ1ßZÓdã�Ó1ä)ÙåÛçæRÓ�Ö�è�é
parametre, teda forma hustoty rozdelenia pravdepodobnosti (h.r.p.) je známe noÏ�ÓQâ�Ù�Ò�Ï�Õ1ßàÓêÛçæRÓ�Ö�è�éëã�ÓVãìâçÍ1ËAÍ1ßàÓ�Ö�ËXÓUíJî�ÍQâ�Ë�íðï�è�ñ�ßZÍ1Ï�ÕòÏ�Õ�ä)Ù�ÔUÏ�ÕóÛ�Ó�ÐÌ�Ø�ÌDÏ�ÍóßàÕòÏ)ÙUË+ßZÕ�Ð%Ï�Órozdelenie, avšak nepoznáme jej strednú hodnotu resp. disperziu.
Ê�ËAÓ�Ô â�ÙUè)Ð�Í�Ô�ÍTãXßàÓºÜ�Ý ÓcÛ bodoch x1 ,…, xn
×�ßàÓìßàÓ1ËAÍ�ÐMÌ5Ï�Ó\Ò Õ�Û)Ì7×�ÐMôeÏ�Õ�ä)Ù�ÔUÏ�ôeÛ�Ó\ÐMÌ�Ø\Ì%Ï�éy1 ,…, yn
s disperziami σ2i , i=1…n. Teda xõ je dané (nezávisle premenná) a yö je náhodný výber,è�Ö�ÙUË+ÑÉ÷�ä�÷�Ó1ßàÓ.â�ÙUø9Ý$Ì%ù¢Ï�ÍZÙ�ÔUä�Í\ÔÉÒ Õ1Û)Ì�×�ÐMÙ9×AÖ�Ì
E(y)=f(x). Nech teoretický model predpovedáÒ Õ�Û)Ì7×�ÐÙ9×Aùf(x; θö ) kde θö je súbor L
âçÍ1ËAÍ1ßàÓ1ÖËAÙUÛ�ܺè�Ö�ÙUËXô�÷�ä�÷�Ó1ßàÓúÙ�ÔUä�Í�ÔUÏ�ñ�ù�íParametre θö ×RÍwÏ�ÕVãQÔUøWß{Ì%Ï)Ì%ßZÍ�ÐMÌ�Ò Õ�÷�ÌÙUøWÏ�ͺ×�Ð�Ó\Ô�ÙUÛ�Ï�ÓVãuÛ�Ó�ÐÌ�Ø�ÌDÏ�éyû
min),(
2
1
=
−= ∑
=
n
i i
iisq
xfyL
σθö
(2.6)
üÎÙìýçæRÓ�Ù þçÓ�÷�Ï)Ù9×AÖ7ÌàßZÓ1ËXÍ�Ï�ôÚý�Ó�ÐMÌMØ�Ì%Ï�éÿß���Ý�ø þ�é ù ×~è)ÙUËXÓ�ÐÙUý�Í1Ï�ôUíÎü tomto prípade váhovou
maticou (namiesto 1/σi2 v
â�Ë�� âçÍ�Ô�ÓiÏ�Ó1è)ÙUËAÓ�ÐMÙUý�Í�Ï�Ñ�÷1äWý�Ó\ÐMÌ�Ø��%Ï�� ãQÓ�Ì%Ï�ý�Ó�Ë~Ò�Ï�Õiè)ÙUý�Í1Ë~Ì�Í�Ø�Ï�ÕißàÍ�Ö�Ì�÷�Í û
( ) ( )( )∑=
− −⋅⋅−=n
jiiijiiiSQ xfyVxfyL
1,
1, ),(),( θθ öö (2.7)
alebo vo vektorovom formalizme:
( ) ( )
=
=
=
−⋅⋅−= −
2,
22,
21,
2,2
22,2
21,2
2,1
22,1
21,,1
2
1
2
1
1
)(
)(
)(
kde
nnnn
n
n
nn
T
SQ
V
xf
xf
xf
f
y
y
y
y
fyVfyL
σσσ
σσσ
σσσ
�����
��
�ö�ö
öööö (2.8)
Podmienka minima, z ktorej vyplývajú rovnice â�ËXÓwä�\Í\Ô�Í1Ï�ôwâçÍ1ËAÍ1ßàÓ�Ö�ËXÓ θö sú:
00021
=∂∂
=∂∂
=∂∂
L
SQSQSQ LLL
θθθ� (2.9)
Príklad: ��� ���������������������� �"!�#$��%'&� (&�) γγ*"��+,!-�/.0�'���/&214365�&��� /.0�� /&217&�8�9���#:17&#���;=< γγ
Obr. 3: Spektrum invar iantných hmotností mγγγγ daného γγγγ-experimentu obsahuje γγγγ-páry od rozpaduππ0, ηη a neskorelované γγγγ-páry
geneticky spojených kvánt γ !- �17.�%>2�? π0-mezónu (normálne rozdelenie) alebo η-mezónu(normálne rozdelenie). Invariantná Mγγ geneticky nespojených kvánt γ patrí pozadiu(gamma funkcia). Náš model (hypotéza) vyzerá preto nasledovne:
),;()1(),;(),;();( 2121 βασσθ ηηππ xccmxGcmxGcxf Γ⋅−−+⋅+⋅=@
(2.10)
Vektor parametrov : ( )βασσθ ηηππ ,,,,,,, 21 mmcc=@
Nezávisle premenná xi : stredné hodnoty binov histogramu
Nezávisle náhodné premenné yi : obsah jednotlivých binov histogramu.
Disperzie n.p. yi : ii y=2σ
Príklad: Predpokladajme lineárny model (f(x)=a++bx) pre prípad súboru nekorelovanýchbodov: (xi, yi ±± σσi ) i=1,…,aPotom
2
1
)(∑=
+−=
n
i i
iiSQ
bxayL
σ (2.11)
Z rovníc:
0 a 0 =∂
∂=
∂∂
b
L
a
L SQSQ (2.12)
dostávame:
D
SSSSb
D
SSSSa
yxxy
xyxxxy
⋅−⋅=
⋅−⋅=
1
(2.13)
kde
∑∑
∑∑∑
−⋅=⋅
==
⋅===
ixxx
i
iixy
i i
iy
i i
iixx
i i
ix
i i
SSSDyx
Sy
S
xxS
xSS
2122
2221
1
σσ
σσσ
(2.14)
Disperziu (varianciu) parametrov parametrov θA (v uvedenom prípade
=
b
aθA )
získame nasledovne:TSyVSV ⋅⋅= )()( AAθ (2.15)
kde
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
n
n
y
b
y
by
a
y
a
S BB
1
1 (2.16)
Konkrétne pre náš prípad:
−
−=
1
1)(
SS
SS
DV
x
xxxθA (2.17)
Metóda maximálnej pravdepodobnosti
Princíp: vyberáme takú hypotézu, ktorá dáva C�DFE�G�HJI6K�LNMPO2Q�D(GR2S(O�T�R�TVU2CT�W�XYO�T,Z[T$Q�T$G�D/C�\V]udalostiam.^ G�D�_�M�E�]`SaC�b/cT�R$C�deO2Q�S(]`S/C�C�d�W�TfW4O�TgEgL'hiT$Mjclk Q(k O p(x||θθ) kde θ je parameter (x||θθ mR�n$Q�D�Z�o�M�E(S[p_VSfW�DaEgS�R$C�bqTrO�T�R$]�L�S(C�S/C�dsO2Q�D/GR2SgO�T�R�TVU2CT�W�Xq]�D�XqG�\2W�t�S�R�T$u x pri hodnote parametra θθ).Ak máme náhodný výber o rozsahu n, potom mu prislúcha h.r.p.:
∏=
=n
iin xpxxP
11 )|(),...,( θ (2.18)
vxw D�R2D/C�\yO-D(Q�D/]�S�hzS/Q θθ má pri daných realizáciách x1,…, xn nasledovnú (podmienenú)O2Q�D/GR2S(O�T�R�TVU2CT�W�X�{
( )∑
∏
=
=
==
=
n
ii
n
ii
xpLogLlLog
xpxl
1
1
|()(
)|()|(
θ
θθ
(2.19)
Hodnota parametra θθ sa získavá z podmienky maxima L:
0=∂∂θL
(2.20)
Príklad:^ W0u�M2h�T2I/CL|t}L~W0]`S�D n pokusov s výsledkami x1,…, xn p�O2Q�L|I�T$] C�b/cT�R$C�b�O2Q�S(]`S/C�C�b� c�D/Q�D/u2hiS/Q�L7Z�M�E�d � D�C�b6K�S�m,O-S/Q0L']�S/C2h�]�b�CT$Q"]�b�t'C�S�Q0T,Z[R2S�t�S(CL�S�O2Q�D/GR2S(O�T�R�TVU2CT�W�h�Lzp�O2Q�L|I�T$]nepoznáme jeho strednú hodnotu a disperziu:
−−⋅=2
22
2
)(exp
2
1),|(
σµ
σπσµ x
xp (2.21)
� Q�S=t|T���D(Q�L7h7]�L � u�dYO2Q�D/GR2SgO�T�R�TVU2CT�W�X��|O�T�G��$C�S � c�D/C�2CT$QF]�T$G�D � � � cf�"D(u2hiT$Q�T$G��g{
2
22
2
)(
2
log)log(
σ
µσ ∑ −
−−== iix
nlL (2.22)
Na základe:
0 a 02
=∂∂=
∂∂
σµLL
(2.23)
dostávame:
n
x
n
xi
ii
i ∑∑ −==
2
2
)ˆ(ˆˆ
µσµ (2.24)
3. Modelovanie rozdelení
3.1 Rovnomerné rozdelenie
Základom modelovania je náhodná premenná αα s rovnomerným rozdelením pravdepo-dobnosti v intervale (0,1):
î
∉∈
=)1,0(0
)1,0(1)(
x
xxpα (3.1)
Prechod k všeobecnému prípadu, t.j. k náhodnej premennej ββ s rovnomerným rozdelenímv intervale (a,b):
αβ ⋅−+= )( aba (3.2)
Podstata modelovania rovnomerného rozdelením pravdepodobnosti v intervale (0,1):���F�����������������J���|������ ��|¡P�£¢�¡� �¤7¥,¢2¦¡� �§
{ xk , k=0,1, …, } , ktorú sme dostali na základe¨ �/��¥ ¨ ¦2¤7¦��/©¡���ªJ§[�(©�¥¬«)(mod
1
0
Pxbxk
jjijki θ+⋅= ∑
−
=++ (3.3)
kde bj a θθ 0f�J���|��®i�¡$¦-¯�¤i�/¦2¤}°:±�²�¢�¡:¤�¡$�³¢´ ��(¥µ�¡$¦�¶/©¡�µ$¦�¶£¢�¡� �¤7¥,¢2¦¡� �§2«
·,,, 210 ααα , kde α i = xi /P (3.4)
má vlastnosti postupnosti realizácií náhodnej premennej rovnomerne rozdelenej v (0,1).
Najjednoduchší prípad:
k=1 a θθ=0 ( ) ·,1,0;mod1 =⋅=+ iPxbx ii (3.5)
Vektorová náhodná premenná s rovnomerným rozdelením pravdepodobnosti vintervale (a1,b1)××(a2,b2)××… ×× (ak,bk).
¸¹�/��2¤�¡�¦�¶/©¡�µ$¦�e�����}º���ºN¦�¥a�(���r¡,»�¦�� ¨ �J���|º}ª[¡$���/§�¦��¼ªV¶/��|��µ2� { }k
ii 1=α , kde αI je rovnomerne
rozdelené v (0,1) :
( ) ( )[ ]kkkk abaaba ααβ ⋅−+++⋅−+= ·½1111 (3.6)
¾�¿JÀ,Á|ÂNÃ�Ä2Å�Â}ÀYÆlÀÈÇÊÉ2Ë�Ì|Í}À2Ë�ÂCERNLIB: RNDM, RANLUX
ÎÏ¡$¥�»[º'¤iº�� X = RNDM(V)Resp. Call RANLUX(xn,n) ! dimenzia pole xn
�f¥- ��,Ð2°:§ ≥≥ n.
3.2 Všeobecné metódy modelovania
Jednorozmerná náhodná premenná.
Majme náhodnú premennú ξξ ÑsÒ�Ó�Ñ�Ô}Õ0ÓNÖ2×�Ø/ÙÚ$×�Ûi×�Ù�Ü�Ý�Ó}Ú$× F(x) a náhodnú premennú αα srovnomerným rozdelením v (0, 1). Ak ξξ´’ je riešením rovnice:
dF x F( ) ( )= ⇔ ′ =−∞
′−∫ α ξ α
ξ1
(3.7)
potom ξ’ Þgß Õ�Ú,à[Ò ß�á�ß Ù�â�ã�Ñ4ä á�å Ò ß Ñ¹Ò�ÓiÑ�Ô7Õ�ÓNÖ2×�Ø(ÙÚ$×fÛi×�Ù�Ü�Ý�Ó}Ú$× F(x), teda ξξ’=ξξ .
Vektorová náhodná premenná.
Nech náhodné premenné ξ1, ξ2, ..., ξk æ åFÞ äqÒ�ÓiÑ�Ô7Õ�ÓNÖ2×�Ø(Ù�äfÛi×�Ù�Ü�Ý�ÓN× F(x1,x2,...,xk) a
F x P x dF x x dx dx dx p x x xk
xx
k k1 1 1 1 1 1 2 1 2
11
( ) ( ) ( ,..., ) ( , , )= < = = ′ ′−∞−∞
∞
−∞
∞
−∞ −∞
∞
−∞
∞
∫∫∫∫ ∫∫ξ ç è è
∫ ∫
∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
∞−
∞
∞−
′′=<=
)x,x,x(pdxdx
)x,x,x(pdxxd)x|x(P)x,x(F
k21k2
x
k21k2
122212
2
éééé
ξ (3.8)
F x x x P x x x
dx p x x x
dx p x x xk k k k k
k k
x
k k
k
( , , ) ( | , )
( , , )
( , , )1 2 1 1
1 2
1 2
è èèè
= < =′ ′
−−∞
−∞
∞
∫
∫ξ
ê Ú:Ô�Ú æ ã ß�á Ó�Ø�ÓNÙ�ë ξ’1, ξ’
2,..., ξ’k, ktoré sú riešením postupnosti rovníc:
F
F
Fk k k
1 1 1
2 1 2 2
1 2
( )
( , )
( , , )
′ =′ ′ =
′ ′ ′ =
ξ αξ ξ α
ξ ξ ξ α
ìí
(3.9)
sú rozdelené v súlade s funkciou F(x1,x2,...,xk).
Príklady
1. îqï,ð2ñ�ò�ó|ô�ï�õ|ñYöró}÷,ø¬ù ττ :Náhodná premenná ττ ú`û�ü�ý�þ�ÿ��0ý ��������� ����� ý � F x x( ) exp( )= − −1 λ . Vychádzajúc zrovnice (3.7) máme:
dF x F( ) ( )= =−∞∫τ
τ α ← rovnomerne rozdelené v ( 0, 1 )
11
1− − = ⇒ = − −exp( ) ln( )λ τ α τλ
α
resp.
τλ
α= −1
ln( )
lebo 1−α je náhodná premenná rovnomerne rozdelená v intervale ( 0,1 ).
2. Majme diskrétnu náhodnú premennú ξξ nadobúdajúcu hodnoty { τi} s� �����ü�� ��� ü � ��� � þ����/ú�ý { pi} , i =1,2 ..., potom pre realizáciu ξ platí: ξξ = ττi , kde k je dané� ��� � � � � þ�� � ���
p pj jj
k
j
k
≤ <==
−
∑∑ α11
1
.
Geometrická interpretácia:
Obr. 4: Generovanie diskrétnej náhodnej premennej .
τ nτ kτ 2τ 1
α
p np kp 2p 1
1enter tex t he re
0
Špeciálne metódy modelovania
Majme náhodnú premennú ξ s hustotou pravdepodobnosti p(x) definovaná v D ≡ (a,b)� ���� �"!"#p(x) je v D $&%' ��(*),+-#�(�./�/�10 23054 ' #6���5!/7�8 x∈ D ⇒ p(x) ≤ M.
Obr. 5: Generovanie náhodnej premennej so 9;:=<�>@?BAC<ED hustotou pravdepodobnosti .
Generujme α1 a α2, kde αi je rovnomerne rozdelená na (0,1) a definujme :x a b a
y M
= + −=
( )αα
1
2
(3.10)
ak y ≤ p(x) ⇒ x je realizácia ξ, ak nie pokus opakujeme. Takýmto spôsobom� $ (GFH� '1I*$&J ��(�.K4 $ML � I 4�( $MLHNOJ #3P�)C+3QR(TSO2@#K4 $ML � I 4�( $ML�N�$&IU' #-�3P,)WV".-X3)�Q ξ.Y #-�3P�)�V".-X5)C�6(�. %*$ 7&(�#Z2 J #3P�)C+3)R([ ξ:1. generujeme náhodný vektor ( a+(b−a)α1, α2M );2.
4 '1J �U� $&\ 4 $ (�#�(�� I 4 $&J �5! I 2@# \ #OV"� ' #-�3P�)�V".-X5) I ξ �]���^7 '1I% .6� $&\ 4 $ (�#�(��_� L 4�`ba��K4 $ 7 \ )C#�(� Iα2M<p(x) (3.11)
Dôkaz:Náhodný vektor (ξ′,η′) ≡ ( a+(b−a)α1, α2M ) je rovnomerne rozdelený v (a,b)×(0,M). Akprejdeme k náhodnému vektoru (ξ,η) ≡ (ξ′,η′) α2M < p(x), potom tento náhodný vektor jerovnomerne rozdelený v oblasti G ≡(a,b) × ( 0, p(x) )
�c2�# %*$ 7) L � ' )Rd I +�(�.fe I (��X3),�c2�#
0
ba α1(b-a)
α2M
M
p(x)
x
î
∉∈
=Gyx
Gyxyxf
),(0
),(1),(2 (3.12)
g h�ifjk l�mWh�kon�p�q�rsut prv�w3kRpξ platí:
)()(),()()()(
2 xFdttpdudtutfdudtxPxFx
a
x tpx
===⋅=<=′ ∫∫ ∫∫ ∫∞− ∞−∞−
∞
∞−
ξ (3.13)
q.e.d.
Metóda rejekcie (odmietania)
Veta 1. Nech ϕ(x)=ϕ(x1,...,xn) x iyr�i5z"{@|�}&h1r�{Ut prv�w5kC~�j�i-tZkbr*}&��~�r�{U~�kRr�m_i3�"hH}&��~Em_i5�@r�{y�n−mernom kvádri { }D a x bi i i i
n≡ ≤ ≤
=1a pritom ϕ(x) ≤ M
|�h�i�v�~5�/j��x∈ D, kde M je
v*}&rG�Hm_~�r�m ~�����~3�,i x r�i-w�� ( )′ ′α α1, ,�n je vektorová náhodná premenná s rovnomerným
rozdelením v D a α je náhodná premenná s rovnomerným rozdelením v (0, 1), potomhustota zodpovedajúca podmienenej pravdepodobnosti
{ }P x i n Mi i i n′ < = ′ ′ ≥α ϕ α α α, , , | ( , , )1 � � (3.14)
x i�m }]mC}��3r�{�� c⋅ϕ(x1,...,xn) , kde c je normovacia konštanta.
Dôkaz:Hustota pravdepodobnosti pre vektorovú náhodnú premennú ( )′ ′α α1, ,�
n je c⋅χ(t1,...,tn)
kde χ je indikátor oblasti D ( ( )( )î
∉∈
=Dtt
Dtttt
n
nn ,,0
,,1),,(
1
11 �
��χ ). Pre vyššie zmienenú
|�}j&��kCi�r�i�rs�|�h�~��*j�i�|�}j}"n�r*}M�H��j}M��m {���~���i]�
( )
( )
( )∫ ∫
∫ ∫ ∫+ +
+ +
=≥
=≥′=+<′≤
11
1
11
,...
),...(:,...
}|..1;{
11
11
1
0
1
xx
x
xx
x
nn
nn
xx
x
xx
x
n
iiii
nn
n
i
nn
n
ttdtdtc
Mtttttdtdtdtc
MnixxxP
∂ ∂
∂ ∂
ϕ
ϕχ
ααϕ∂α
�
�
�
(3.15)
Kde ( )χ ϕt t t t Mtn n1 1,... : ( ,... ) ≥ x i�kbr*jkRv�{Em }&h��^r*}��/kbr��|�h�i���i�rr��w�� t1,...,tn pre ktoré platír�i�h�}&�r*}M��� ϕ ( ,... )t t Mtn1 ≥ . Analogicky:
( ) ( )∫ ∫∫ ∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
− =≥=1
,...),...(:,... 1111
1
0
11
nnnnn ttdtdtMtttttdtdtdtc ϕϕχ �� (3.16)
Algoritmus:
/¡ Generujeme n+1 ¢3£C¤;¥3¦ α1,...,αn a αn+1§*¡ Ak n−tica α1,...,αn ̈�©�ª «&¬� ¤¯®�°b±�²³® «´&µ�¶ ¥�· ©¸�¹
( )ϕ α α αa b a a b a Mn n n n1 1 1 1 1 1+ − + − ≥ +( ) ,..., ( )º*¡ konštruujeme ξ αi i i i ia b a= + −( ) pre i=1,...,n»*¡ Ak nie − procedúru opakujeme.
Veta 2. Ak Ξ je vektorová náhodná premenná s hustotou pravdepodobnosti cϕ(x1,...,xn) v
oblasti D a bi ii
n
≡î
=
∏ ( , )1
a ξ ¼@¥K® ¬�¶© ²5½ ´«&µ Ξ =(x1,...,xn) rozdelená rovnomerne v intervale
[0, cϕ(x1,...,xn) ], potom náhodný vektor (Ξ,ξ) je rovnomerne rozdelený v (n+1)−mernej«"¾ ¦,²�¤ ªC¶�´ ¥-¿ ¶ · «&À ²�·�¥Á¼Â·�¥ ¬�«&À · « ¤HÃ/² µ�¶¯¹
a x b a x b
x c x xn n n
n n
1 1 1
1 10
≤ < ≤ <≤ < ⋅+
, ...,
( ,.., )ϕ
Veta 3. Nech náhodná premenná ηη je funkciou náhodného vektora (ξξ1, ξξ2, …, ξξn) ,ηη=f(ξξ1,...,ξξn) a ϕϕ(x1,...,xn) je hustota rozdelenia náhodného vektora (ξξ1, ξξ2, …, ξξn) potomplatí
{ } ( )∫∫∫≤≤
=≤≤dxxfc
nn
n
dxdxxxxdcP),(
121
1
,,,Ä
ÅÆϕη .
Veta 4. Nech náhodné vektory (ξ1,…, ξn) a (η1,…, ηn) majú hustoty rozdelení pΞ(x1,..,xn)resp. pΗ(y1, ..,yn) a ηi = fi(ξ1,…,ξn) (i=1,…,n) je zobrazenie s nenulovým jakobiánom
( )n
n
xx
ff
∂∂∂
=Φ ÇÇ
1
1,, potom hustoty rozdelenia pΞΞ a pΗΗ ¤¯®�°R±�²Á¼�È ÀMÉ Ã�²�Ê ¹
( ) ( ) Φ= ΞΗ ),,(,),,,(,, 1111 nnnn xxfxxfpyyp ËÇËÇ .
Veta 5. Nech ξ1 a ξ2 sú nezávislé náhodné premenné s hustotami pravdepodobností p1(x)resp. p2(x), potom hustota pravdepodobnosti p(y) sumy ξ1 a ξ2 sa rovná konvolúcii:
∫∞
∞−
⋅−= dxxpxypyp )()()( 21
Modelovanie rovnomerného rozdelenia na povrchu sféry.
ÌÎÍ�Ï*ÐCÑ3Ò&Ó�Í6Ô^ÕMÖ�Ð,×CØ�ÓÏ�Ñ�Ù¯Ú�Û�Ü3ÝRÞ�Ñ6Þgenerovaní bodov rovnomerne rozdelených vnútri gule.ßcÛ]àCÛ&ÔáÙ;Ñ6Ó�ÍZâ@Ò�ØKÚ�ãH×CØ�Ù;Ø3Ü�Ó*ÝbÏuä
P) priamky vedenej vygenerovaným bodom z centra gule (O)ѳÚ�Û&Þã�å�æ*Û&Ôèç"é*ÐCØ&ê/ëìÑ�Ï�àCÛíÓ�ÍÁâ@Ò�Ø�Ó�îKÚ�ã�×,Ø�Ù;Ø-Ü�Ó*ÝRÏÕïÙ¯ðUã�Û&ÞÓ*Û&Ô�Ø�ã1Ó�Ø6ãHÛ�ñ/Ò�Ø3ÐCØ�Ó�î³Ú�ÛyÚ�Û&Þã�å�æé^ç"é*Ð,Ø&êòEØ5Ò&Ó*Û]à�Ï*Û&Þ�î6Þ�Ø�Ï�àCÛ&ã1Õ�ÐCØ5ó/×,Ñ-å-Ø6Ó�Ñ�Ù¯Ú�Û@â�Ó*×,å3×
OP vykazujú priestorovú izotropiu.
Algoritmus:
1. ô Ø�Ó�Ø�ãHÛ&Þ�ÑEõOÓ�Í�æ*ÛÒ&ÓöíÞ�Ø�Ï�àCÛ&ã ( )321~,~,~~ αααα = , kde )3,2,1(5.0~ =−= iii αα sú náhodnéÞ�Ø5Ð,×CÜ5×bÓÕTÙ÷ã�Û&ÞÓ*Û&Ô�Ø�ã1Óö"ÔøãHÛ�ñ/Ò�Ø3ÐCØ�Ó*ÝRÔøÞ^×RÓ�à_Ø�ãÁÞ�Ñ3ÐCØ
(-0.5, 0.5) (αi je rovnomernerozdelené v (0,1) ).
2. Ak náhodný vektorα~ Ù¯Ú�ùbú�ѳÚ�ÛÒ&Ô�×CØ�ÓÏé�û
41~~~ 23
22
21 ≤++ ααα (1) ,
teda odpovedajúci bod sa nachádza vnútri gule s polomerom ½, potom vytvoriõ
vektor: ( )321 ,, ττττ = , kde 23
22
21
~~~
~
ααα
ατ
++= i
i sú smerové kosinusy
jednotkového vektora s izotropným rozdelením.
3. Ak náhodný vektorα~ Ó�Ø�Ù¯Ú�ùRú�ÑKÚ�ÛÒ&Ô�×,Ø�ÓÏéuäEü�ýÂþ&Û"ÚGÑ�Ï*Û&Þ�ÑEõ�ÿ�ÛÒ&Õ ü�Ñ � ê
Úloha 1:
� ÛÒ�Ø3Ð,Û&Þ�ÑEõ�ã�Û�ñ5ÚGÑ3Ò η(π0) → γγñ"ѳÚ�ã�Ø3Ò"Ú�Û&Ï*Ð,Ñ3Ò&é þ"ó"Ø
η(π0ý��CÔ�Ø5ñ��&Ó�Ù Ñ6ã�Û�ñ5ÚGÑ3Ò�ÍKÞ�Ú�Û&Ï*Û@â@×_þ�æÔ�Û]à�Ó*ÛMÙ�õ η(π0)-mezónu jemη=547.30 MeV (mπ=134.98 MeV ),
ãHÛ�ñ5ÚGÑ3ÒíÔ�ØEñ��&Óé�â�Øf×Wñ/Û]à�ã�Û"Ú�Óö�ê���ØEà_Ø�Ï�àCÛ&ãìäCÞ*× Û"ÿ�ã�ê ü�ýdetekuje kvantá γ, ktorých smer výletu zviera s osou z uhol menší ako 45°. RozpadajúciÙ Ñ6Ô�Ø5ñ��&Ó�â@ØfÐ,Û&Ï�Ñ5Ð,×�ñ/Û&Þ�Ñ�ÓöíÞuå-Ø�Ó�à�ã�ØOÒ�ØEà_Ø�Ï�àCÛ&ã�Ñ�äCÞ*× Û"ÿ�ã@ê ü�ý ê
• Energetické rozlíšenie detektora je: [ ]GeVE
%1=ε
• Súradnicové rozlíšenie je ideálne.
òEØ6à�ã�Ø@ÿGÑ6Ó�ÍÁâ�ÙHõspektrum invariantných hmotností páru γγγγ (mγγ) pochádzajúcich z
rozpadu vyššie uvedeného mezónu.
� ��������� ���������������������! #"mγγ je definovaná ako:
( ) ( )2
212
21 PPEEm$$
+−+=γγ
kde
( ) 2,1, =iPE ii
$ sú 4-hybnosti γ-kvánt.
Obr. 6: %'&#( &*)�( +-,.)-/�0-12(4365-78785-96+-:�5<;=&*3-78&*1�(�>@?�&#( &*)�( +-,*5<;=A8)2A�BC&*DC+C/2EF(HGI7J/-G�;K&L)2+67NMO3-P�DC+C/�&=Q!/2,#;K(R/I>S ;K(&L1�5<)2A2BT&*DC5'M#/2EU&T,#5V;�+-;K+6P z uhol 45°° )