17
MATEMATICKÁ ŠTATISTIKA Základné pojmy matematickej štatistiky Matematická štatistika sa zaoberá štúdiom prijatia rozhodnutí v tzv. podmienkach známe, ktorý zo zákonov rozdelenia pravdepodobnosti pôsobí v danom prípade. isiace od náhodnej udalosti, avšak nepoznáme ani súhrn podmienok γ pravdepodobnosti pôsobí v Fyzikálny príklad gama kvantá – napr.: K - p γγ + X. ( 29 ( 29 2 2 1 2 2 1 p p E E m + - + = γγ jej odpovedajúci pravdepodobnostný zákon nepoznáme.. Výsledkom experimentu je rozdelenie m γγ. Obr. 1: spektrum invariantných hmotností γγ γγ-parov charakterizujúce daný γγ γγ-experiment

atlas.hep.dnp.fmph.uniba.skatlas.hep.dnp.fmph.uniba.sk/~tokar/Lectures/modelexp/Mat_statistic… · ÏÅÐ Ñ ÒiÓpÔpÒ0ÓaÕ

  • Upload
    others

  • View
    3

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

MATEMATICKÁ ŠTATISTIKA

Základné pojmy matematickej štatistiky

Matematická štatistika sa zaoberá štúdiom prijatia rozhodnutí v tzv. podmienkach������������ ����������� �������������� ���!"�����#��$%�� '&() �����������*&,+-�)��/.0 ��1��+�() ������2�3�)��456 �������87���9� �:;�)9�<���známe, ktorý zo zákonov rozdelenia pravdepodobnosti pôsobí v danom prípade.= ��4�>�?��:@�A7��B.C784�1�����!D:E+-:@�A���� ,F�#G3�� '&() �����������H&,+-� isiace od náhodnej udalosti,avšak nepoznáme ani súhrn podmienok γγ ��������$-() I�?J'78�-��C:@�-���#� ��4-�)8�� )�K���� ��2LM&N *&,+-�) ��) ��pravdepodobnosti pôsobí v ��4-�) �: 7���.O784�����QPH������R���S�����6��$S���T4566&N ���4?GU�-J�78�����:E�-���I��4&,+��)5�4���V:E�-��4��).�������#�6L�W-(X���56��.C�I4<&,4Y7� �:Z �W%�����#�#L�W-(X:E�?��[��H���B ,F�#GV7���.���5��8\B��$<&,+����-�]���

Fyzikálny príklad

= ��4�>�?��:@�_^��K&N���+�5����S�-J�78�����:E�-���A&,4-:E�-��4���L`��4a\��#b)�����:c:E��&N[��) ��d�� '&�784��42��b�W�W�(e�/4@��4_fgama kvantá – napr.: K− p → γγ + X.

• g ����4-�B�4-���#��+V(�:E K�#�) ���G ( ) ( )221

221 ppEEm hh +−+=γγ

F��)���i7����������4-�) ���4?Gj��+-() �����b����59�������IW-(�4-��4-��������6&�?��b�W-�X��+k\0�-J�78�����:E�-���2�T7��B�� �: jej odpovedajúcipravdepodobnostný zákon nepoznáme..

• l �T4566&,+TW���j���2�/�� H��+-() ������2�m����59�������%�n4<&N.�����4-��42��b* ,784��) ���4-�).�:o�?J'78�-��C:@�-���#�p�• Výsledkom experimentu je rozdelenie mγγγγ.

Obr. 1: spektrum invar iantných hmotností γγγγ-parov charakterizujúce daný γγγγ-experiment

Predpoklad:

• qsr'tu�v-wExzyBr'tN{9|�}nx-u)~�x�u�vk}B�)r���x?��x�����r�y��k����� ���%��r'tu�v-wEx�t,v��)~��/{6r���� σσ od hmotnosti MyBr't��8����2�����Tx2�V�/�Q�T�k����~��TxQ�n�Vu�� γγγγ.

• qsr'tu�v-wEx���wZrK�6u)r�������y]��x2�`�T�k�B��~��x�� π0−mezón), teda poznáme jemu zodpovedajúcerozdelenie hustoty pravdepodobnosti invariantnej hmotnosti mγγγγ.

• �Mx���r'tu�v-wEx���wZrK�6u)r����"��y2����x2�D�T�k����~��TxU� η−mezón) a teda ani jemu zodpovedajúcerozdelenie hustoty pravdepodobnosti.

���,�?�p�������' k¡�¢�£�¤9�'¥¦��§,¨Q¤#¥�¨©�ª«¥�¬6¨?­?¬6®*¯Z¨T¤6°�±�ª'¯Z¬)¯�ª�¤9¨¯Zª�¤6¬�²?£�¨C§Q­?¤6ª�¤9¬�³-¤9¬#£�¡p´

1. q y�x-��x-y�~�����µ,��rK��¶�t� �¸·,xD��y2�)r��o��k����~9�r�����x π0−mezón − teda pre známe rozdelenie���8�B��rK�6µ¹��y��-�)��x���r���r,º�u)r�����~ tN~��B��~#�»u��-�)r�¼n�)r½�¦x¾��y����)��x���r���r,º�u�v¿��µN��rK��¶�t,� �d·,x¿�experimente sa realizuje rozdelenie mγγγγ zodpovedajúce π0−mezónu.

2. �Mv2�����À���8����rK�#�½y�r'tN��x�{�x-u)~9����y��-�)��x���r���r,º�u)r�����~Á��y�xÂ��y2�����Ã�T�k�B��~���� �Z��x��� u�v2�-�B�Ät,v-�)r�upravdepodobnosti, ktorý popisuje jej prejavenie sa v experimente. q y��-����~��-��µeu�v2�������wZrK�6u)r����_�B����wE�-u�x2�I�T�k����~��TxÅ�ÆtNr��,��r���x���2�����-� σσ rozdelenia mγγγγ �Ç�0�~Q�n�H��x���u�vÁr���x��u����k����~9�-�I�Y��r��8�

Poznámka: Vyššie spomínaný γγ-experiment prakticky delíme na 2 sub-experimenty:v rámci prvého (mγγ < 300 MeV) sa rieši úloha 1 a v rámci druhého sub-experimentu(mγγ > 300 MeV) sa rieši úloha 2�jÈQ~9xk}nx-u)~9x`��yBr,º�{�¶-w*�É�/~¸��µK·,����?��xÊ��y�~ ���?���R��xk����r����?�hypotézu o pozadí, t.j. o rozdelení mγγ v ��y�|O�8���xN�Æ·,x γ-kvantá nie sú geneticky spojené(nepochádzajú z y�r't��8����S��x2�Z~��B��x2�E��k����~9�Tx�Ë/�Æqsr't,���~9x¸��x@wZr'·u�¶E��y�xk�B����wE�?�Åw@x-��Ì���r��DÍdÎA���µ,��·N~ �����Y��y�~���r�wo�2�mwZr'·u)r����A~���x-y��T�-u�¶-�)r3��yB|����#�'���p�

ÏÅÐ�Ñ�ÒiÓpÔpÒ0ÓaÕ<Ó�Ö,×eÓ�ØjÙ

Náhodný výberÚ Û�ÜÝ,Þ�ß�à)á�âÝ�âäã�å@Ükæ_ç,ÜÄè�Û�éê�ë6ì;Ü?í'Þ8Ü-ÛBê�å@Ü�ît sme n-krát opakovali za tých istýchÞ�ß�Ý�åZê�Ü-î)ß�àaæ8â¸ç,ÜMïBå@Ü«ðNñ�ïBà�âá9ê

n na sebe nezávislých pozorovaní x1, ... xn è�Û�éê�ë�Ü2ãóò�Üá6ê�éêCî�ô8õ

ö�÷'ç,Ü-å@Ü_ê�ø�ùSÞ�ß�ò�â�çNß�ò�â-úað,âÁÛ�ÜTâá6ê6ð,ûTøê9Ü1è�Û�éê�ë�Ü2ãIî�û-ù)ß�Ý�î�ÜäãIò�Üá9ê9éê�î�ô ξξ charakterizujúcej nášprípad.

N-ticu ( x1, ... xn )åE÷'ç,Ü-åEÜRÞ�ß�ò�â�çNß�ò�â?úSë�ê9Ü�ç�ð,âRÛ�ÜTâá6ê6ð,ûTø�ê�èÀò�Ü-à�ë�ß�Û�ß�ò�Ü2ãaî�û-ù)ß�Ý�î�Ü2ã

premennej ΞΞ=( ξξ1,..., ξξn )æ�à�ë�ß�Û�Ü2ãóðNá9ß'çà�ô ξξi , i=1..n sú nezávislé a majú to isté rozdelenie

pravdepodobnosti ako náhodná premenná ξ sÝ�ê�ï�ë#Û�êOü�è�é-î)ß�èEý�è�î�à

ciou F(x) charakterizujúcazákladný súbor.

Náhodný vektor (ξξ1,..., ξξn ) sa nazýva jednoduchým náhodným výberom zozákladného súboru. N-tica hodnôt ( x1, ... xn ) sa nazýva realizáciou tohoto náhodnéhovýberu.

Výberová funkcia.

þ?Ü�ë�ßZÿnè'ü�ß�ò)ß�ÿnî�û�Û�ÜTû�á�î�â«ý�è�î�à�øê�â�î�û�ù)ß�Ý�î��-ù)ß*ò�ì,ü8Ü�Û]è ΞΞ teda g(ξξ1,..., ξξn) � ã¦Ü3ë�ßIë�ê�Ü�ç«î�û-ù)ß�Ý�î�ûò�Ü�á9ê�é�ê�î�â�õ������� ���������������������� ��!�"$#$�%�

. Nech náhodná premenná ξξ å@ûQÝ�ê�ï�ë6ÛBêCü�è�é-î�&�ý�è�î�à�øê�è F(x) a nechE(ξξ) = a a D(ξξ) = σσ2. Nech ΞΞ=( ξξ1,..., ξξn ) je náhodný výber o rozsahu n ( >1 ) a nechvýberová funkcia je:

')( ∑=

==n

iin n

g1

,...,1

1)( ξξξξ , po tom ju nazývame výberovým aritmetickým

priemeromæTÞ�Û�ê9éß�åÉÞ�á9â?ë�ñ+* E a D

n( ) , ( )ξ ξ

σ= =

2

b) ( )h snn i

i

n

( ),...,ξ ξ ξ ξ12 2

1

1= = −

=∑ , potom ju nazývame výberovou disperziou,

Þ�ÛBê�éß�åÂÞ�á�â?ë�ñ�* E sn

n( )2 21

=−

⋅σ .

Štatistický odhad

Výberová funkcia g(ξξ1,..., ξξn)æ8à�ë�ß�Û�ûXå@ûXë&Åò)á9âkï�ë#î)ß�ï�ú�æ�ç,ܸÞ8â-Û�â�å@Ü?ë#Û�Üjã¦Ü2ãAÛ�ß'ðNÝ�Üá9Ü-î)ê�â

ï�&�ò)ê�ï/ê9âdïEè�Û�éê�ë6ì,å Þ8â-Û�â�å@Ü?ë#Û�ß�å θθ základného súboru, nazývame štatistickým odhadomdaného parametra.

Štatistický odhad, ktorého stredná hodnota sa rovná hodnote odhadovanéhoparametra sa nazýva neodchýleným štatistickým odhadom

Kvantil .

,.-�/1032547698;:�-=<�>7?A@�BA>DC�E�F�G�HJI7E�G�K�/�>MLN?�O�PQ:R>�@S-T:.G�H10)P�<UG�-V:WO�BX-1YZ-1G�G�-V:ξ a nech je danéF\[7?�]P

α ∈4V^9_T`�8Ra�bcKdF�[7?X]MPe6

α je riešením pravdepodobnostnej rovnice:

F x P x( ) ( )α αα ξ α= < = t. j. (2.1),

potom xα nazývame αα××100 %-ným kvantilom.

Testovanie hypotéz

f�gih+j9k l�monqpTr.s5tum5vwn�x�l9syp h+x

Predpoklad:experiment je charakterizovaný náhodnou premennou ξξ s normálnym rozdelením

N(x,a,σσ2). Pritom poznáme σσ2 (=σo2) avšak nepoznáme a .

Realizujme n-krát experiment s výsledkami x1, x2, ... xN , potom:

• (x1, x2, ... xN ) predstavuje realizáciu náhodného výberu ΞΞ = ( ξξ1, ξξ2,..., ξξn );

• xn

xii

n

==∑1

1

je realizácia výberového aritmetického priemeru ξ .

Odhad strednej hodnoty a:Q-zY{P�|�G�}zE�B~P C�>���G�L3� H�K)]�L�<�-�BX-�L\]M>� H�/�>�- ξ riešením

pravdepodobnostnej rovnice:

αξ α =≥− )( kaP ( 2.2 )

kde αα ∈4+^9_T`�8U:�-�<�L�G�}�F�[7?X]MP�Li0)��L�<�H1YZ-

kαα .

Z (2) vyplýva:

P a k a k( )− < < + = −α αξ α1 ( 2.2b)

⇓⇓

N a k an

N a k an

+

− −

= −α α

σ σα, , , ,

2 2

1 ( 2.2c )

⇓⇓

N a k an

+

= −α

σ α, ,

2

12 ( 2.2d )

Nk nα

σα

, ,0 1 12

= − ( 2.3 )

Rovnica (2.3) predstavuje rovnicu pre (1−α/2)×100% kvantil .���������1�Z�����+�

uk n

1 2−=α

α

σ (2.4)

potom pre ���5����1�����W������)�� y�����\�U���M�¡�;���¢�����Q��£{���M�\��� �N¤)¥���¦T��§��M�1��¨7¥U� ��©�¥�ª��1«)¬M�D­)¥9�A¨7�¯®−α

dostávame:

ξσ

ξσ

ξσ

α α

α α

− < = ⋅

− ⋅ < < + ⋅

− −

a kn

u

nu a

nu

1

1 1

2

2 2

(2.5)

Obr. 2 °Q±%²�³D´~µM¶\·�¸º¹M»�¼\½�·�¾�¸À¿Á¶�¼\¹M³%¿�»�µS´5¼\ÂQ¾�·�Âûº·�µS·�Äi´�³Àµ7· a ¹�Å�¼\´XÆ¿ÈÇ�¿È´~²1³D¼�ÄɹM»�¼\½�·�¾�¸À¿Á¶�¼\¹M³%¿ 1-α

Metóda najmenších štvorcovÊ�Ë~ÌÎÍ1Ï�Í�ÐDÑ�Ò ÓÉÔ�Õ�Ö.×RÍ�Ø�ͺ×AÖ�ÙÚ×AÖSÕ1Û�ͺÜÞÝ Ó ßàÕ1ßZÓ ßZÙ�Ô�Ó\ÐSÜ�Í�ÐMÓáÏ�Ó�â�Ù�Ò�Ï�Õ1ßZÓdã�Ó1ä)ÙåÛçæRÓ�Ö�è�é

parametre, teda forma hustoty rozdelenia pravdepodobnosti (h.r.p.) je známe noÏ�ÓQâ�Ù�Ò�Ï�Õ1ßàÓêÛçæRÓ�Ö�è�éëã�ÓVãìâçÍ1ËAÍ1ßàÓ�Ö�ËXÓUíJî�ÍQâ�Ë�íðï�è�ñ�ßZÍ1Ï�ÕòÏ�Õ�ä)Ù�ÔUÏ�ÕóÛ�Ó�ÐÌ�Ø�ÌDÏ�ÍóßàÕòÏ)ÙUË+ßZÕ�Ð%Ï�Órozdelenie, avšak nepoznáme jej strednú hodnotu resp. disperziu.

Ê�ËAÓ�Ô â�ÙUè)Ð�Í�Ô�ÍTãXßàÓºÜ�Ý ÓcÛ bodoch x1 ,…, xn

×�ßàÓìßàÓ1ËAÍ�ÐMÌ5Ï�Ó\Ò Õ�Û)Ì7×�ÐMôeÏ�Õ�ä)Ù�ÔUÏ�ôeÛ�Ó\ÐMÌ�Ø\Ì%Ï�éy1 ,…, yn

s disperziami σ2i , i=1…n. Teda xõ je dané (nezávisle premenná) a yö je náhodný výber,è�Ö�ÙUË+ÑÉ÷�ä�÷�Ó1ßàÓ.â�ÙUø9Ý$Ì%ù¢Ï�ÍZÙ�ÔUä�Í\ÔÉÒ Õ1Û)Ì�×�ÐMÙ9×AÖ�Ì

E(y)=f(x). Nech teoretický model predpovedáÒ Õ�Û)Ì7×�ÐÙ9×Aùf(x; θö ) kde θö je súbor L

âçÍ1ËAÍ1ßàÓ1ÖËAÙUÛ�ܺè�Ö�ÙUËXô�÷�ä�÷�Ó1ßàÓúÙ�ÔUä�Í�ÔUÏ�ñ�ù�íParametre θö ×RÍwÏ�ÕVãQÔUøWß{Ì%Ï)Ì%ßZÍ�ÐMÌ�Ò Õ�÷�ÌÙUøWÏ�ͺ×�Ð�Ó\Ô�ÙUÛ�Ï�ÓVãuÛ�Ó�ÐÌ�Ø�ÌDÏ�éyû

min),(

2

1

=

−= ∑

=

n

i i

iisq

xfyL

σθö

(2.6)

üÎÙìýçæRÓ�Ù þçÓ�÷�Ï)Ù9×AÖ7ÌàßZÓ1ËXÍ�Ï�ôÚý�Ó�ÐMÌMØ�Ì%Ï�éÿß���Ý�ø þ�é ù ×~è)ÙUËXÓ�ÐÙUý�Í1Ï�ôUíÎü tomto prípade váhovou

maticou (namiesto 1/σi2 v

â�Ë�� âçÍ�Ô�ÓiÏ�Ó1è)ÙUËAÓ�ÐMÙUý�Í�Ï�Ñ�÷1äWý�Ó\ÐMÌ�Ø��%Ï�� ãQÓ�Ì%Ï�ý�Ó�Ë~Ò�Ï�Õiè)ÙUý�Í1Ë~Ì�Í�Ø�Ï�ÕißàÍ�Ö�Ì�÷�Í û

( ) ( )( )∑=

− −⋅⋅−=n

jiiijiiiSQ xfyVxfyL

1,

1, ),(),( θθ öö (2.7)

alebo vo vektorovom formalizme:

( ) ( )

=

=

=

−⋅⋅−= −

2,

22,

21,

2,2

22,2

21,2

2,1

22,1

21,,1

2

1

2

1

1

)(

)(

)(

kde

nnnn

n

n

nn

T

SQ

V

xf

xf

xf

f

y

y

y

y

fyVfyL

σσσ

σσσ

σσσ

�����

��

�ö�ö

öööö (2.8)

Podmienka minima, z ktorej vyplývajú rovnice â�ËXÓwä�\Í\Ô�Í1Ï�ôwâçÍ1ËAÍ1ßàÓ�Ö�ËXÓ θö sú:

00021

=∂∂

=∂∂

=∂∂

L

SQSQSQ LLL

θθθ� (2.9)

Príklad: ��� ���������������������� �"!�#$��%'&� (&�) γγ*"��+,!-�/.0�'���/&214365�&��� /.0�� /&217&�8�9���#:17&#���;=< γγ

Obr. 3: Spektrum invar iantných hmotností mγγγγ daného γγγγ-experimentu obsahuje γγγγ-páry od rozpaduππ0, ηη a neskorelované γγγγ-páry

geneticky spojených kvánt γ !- �17.�%>2�? π0-mezónu (normálne rozdelenie) alebo η-mezónu(normálne rozdelenie). Invariantná Mγγ geneticky nespojených kvánt γ patrí pozadiu(gamma funkcia). Náš model (hypotéza) vyzerá preto nasledovne:

),;()1(),;(),;();( 2121 βασσθ ηηππ xccmxGcmxGcxf Γ⋅−−+⋅+⋅=@

(2.10)

Vektor parametrov : ( )βασσθ ηηππ ,,,,,,, 21 mmcc=@

Nezávisle premenná xi : stredné hodnoty binov histogramu

Nezávisle náhodné premenné yi : obsah jednotlivých binov histogramu.

Disperzie n.p. yi : ii y=2σ

Príklad: Predpokladajme lineárny model (f(x)=a++bx) pre prípad súboru nekorelovanýchbodov: (xi, yi ±± σσi ) i=1,…,aPotom

2

1

)(∑=

+−=

n

i i

iiSQ

bxayL

σ (2.11)

Z rovníc:

0 a 0 =∂

∂=

∂∂

b

L

a

L SQSQ (2.12)

dostávame:

D

SSSSb

D

SSSSa

yxxy

xyxxxy

⋅−⋅=

⋅−⋅=

1

(2.13)

kde

∑∑

∑∑∑

−⋅=⋅

==

⋅===

ixxx

i

iixy

i i

iy

i i

iixx

i i

ix

i i

SSSDyx

Sy

S

xxS

xSS

2122

2221

1

σσ

σσσ

(2.14)

Disperziu (varianciu) parametrov parametrov θA (v uvedenom prípade

=

b

aθA )

získame nasledovne:TSyVSV ⋅⋅= )()( AAθ (2.15)

kde

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

n

n

y

b

y

by

a

y

a

S BB

1

1 (2.16)

Konkrétne pre náš prípad:

−=

1

1)(

SS

SS

DV

x

xxxθA (2.17)

Metóda maximálnej pravdepodobnosti

Princíp: vyberáme takú hypotézu, ktorá dáva C�DFE�G�HJI6K�LNMPO2Q�D(GR2S(O�T�R�TVU2CT�W�XYO�T,Z[T$Q�T$G�D/C�\V]udalostiam.^ G�D�_�M�E�]`SaC�b/cT�R$C�deO2Q�S(]`S/C�C�d�W�TfW4O�TgEgL'hiT$Mjclk Q(k O p(x||θθ) kde θ je parameter (x||θθ mR�n$Q�D�Z�o�M�E(S[p_VSfW�DaEgS�R$C�bqTrO�T�R$]�L�S(C�S/C�dsO2Q�D/GR2SgO�T�R�TVU2CT�W�Xq]�D�XqG�\2W�t�S�R�T$u x pri hodnote parametra θθ).Ak máme náhodný výber o rozsahu n, potom mu prislúcha h.r.p.:

∏=

=n

iin xpxxP

11 )|(),...,( θ (2.18)

vxw D�R2D/C�\yO-D(Q�D/]�S�hzS/Q θθ má pri daných realizáciách x1,…, xn nasledovnú (podmienenú)O2Q�D/GR2S(O�T�R�TVU2CT�W�X�{

( )∑

=

=

==

=

n

ii

n

ii

xpLogLlLog

xpxl

1

1

|()(

)|()|(

θ

θθ

(2.19)

Hodnota parametra θθ sa získavá z podmienky maxima L:

0=∂∂θL

(2.20)

Príklad:^ W0u�M2h�T2I/CL|t}L~W0]`S�D n pokusov s výsledkami x1,…, xn p�O2Q�L|I�T$] C�b/cT�R$C�b�O2Q�S(]`S/C�C�b� c�D/Q�D/u2hiS/Q�L7Z�M�E�d � D�C�b6K�S�m,O-S/Q0L']�S/C2h�]�b�CT$Q"]�b�t'C�S�Q0T,Z[R2S�t�S(CL�S�O2Q�D/GR2S(O�T�R�TVU2CT�W�h�Lzp�O2Q�L|I�T$]nepoznáme jeho strednú hodnotu a disperziu:

−−⋅=2

22

2

)(exp

2

1),|(

σµ

σπσµ x

xp (2.21)

� Q�S=t|T���D(Q�L7h7]�L � u�dYO2Q�D/GR2SgO�T�R�TVU2CT�W�X��|O�T�G��$C�S � c�D/C�2CT$QF]�T$G�D � � � cf�"D(u2hiT$Q�T$G��g{

2

22

2

)(

2

log)log(

σ

µσ ∑ −

−−== iix

nlL (2.22)

Na základe:

0 a 02

=∂∂=

∂∂

σµLL

(2.23)

dostávame:

n

x

n

xi

ii

i ∑∑ −==

2

2

)ˆ(ˆˆ

µσµ (2.24)

3. Modelovanie rozdelení

3.1 Rovnomerné rozdelenie

Základom modelovania je náhodná premenná αα s rovnomerným rozdelením pravdepo-dobnosti v intervale (0,1):

î

∉∈

=)1,0(0

)1,0(1)(

x

xxpα (3.1)

Prechod k všeobecnému prípadu, t.j. k náhodnej premennej ββ s rovnomerným rozdelenímv intervale (a,b):

αβ ⋅−+= )( aba (3.2)

Podstata modelovania rovnomerného rozdelením pravdepodobnosti v intervale (0,1):���F�����������������J���|������ ��|¡P�£¢�¡� �¤7¥,¢2¦¡� �§

{ xk , k=0,1, …, } , ktorú sme dostali na základe¨ �/��¥ ¨ ¦2¤7¦��/©¡���ªJ§[�(©�¥¬«)(mod

1

0

Pxbxk

jjijki θ+⋅= ∑

=++ (3.3)

kde bj a θθ  0­f�J���|��®i�¡$¦-¯�¤i�/¦2¤}°:±�²�¢�¡:¤�¡$�³¢´ ��(¥µ�¡$¦�¶/©¡�µ$¦�¶£¢�¡� �¤7¥,¢2¦¡� �§2«

·,,, 210 ααα , kde α i = xi /P (3.4)

má vlastnosti postupnosti realizácií náhodnej premennej rovnomerne rozdelenej v (0,1).

Najjednoduchší prípad:

k=1 a θθ=0 ( ) ·,1,0;mod1 =⋅=+ iPxbx ii (3.5)

Vektorová náhodná premenná s rovnomerným rozdelením pravdepodobnosti vintervale (a1,b1)××(a2,b2)××… ×× (ak,bk).

¸¹�/��­2¤�¡�¦�¶/©¡�µ$¦�­e�����}º���ºN¦�¥a�(���r¡,»�¦�� ¨ �J���|º}ª[¡$���/§�¦��¼ªV¶/��|��µ2� { }k

ii 1=α , kde αI je rovnomerne

rozdelené v (0,1) :

( ) ( )[ ]kkkk abaaba ααβ ⋅−+++⋅−+= ·½1111 (3.6)

¾�¿JÀ,Á|ÂNÃ�Ä2Å�Â}ÀYÆlÀÈÇÊÉ2Ë�Ì|Í}À2Ë�ÂCERNLIB: RNDM, RANLUX

ÎÏ¡$¥�»[º'¤iº�� X = RNDM(V)Resp. Call RANLUX(xn,n) ! dimenzia pole xn

�f¥- ��,Ð2°:§ ≥≥ n.

3.2 Všeobecné metódy modelovania

Jednorozmerná náhodná premenná.

Majme náhodnú premennú ξξ ÑsÒ�Ó�Ñ�Ô}Õ0ÓNÖ2×�Ø/ÙÚ$×�Ûi×�Ù�Ü�Ý�Ó}Ú$× F(x) a náhodnú premennú αα srovnomerným rozdelením v (0, 1). Ak ξξ´’ je riešením rovnice:

dF x F( ) ( )= ⇔ ′ =−∞

′−∫ α ξ α

ξ1

(3.7)

potom ξ’ Þgß Õ�Ú,à[Ò ß�á�ß Ù�â�ã�Ñ4ä á�å Ò ß Ñ¹Ò�ÓiÑ�Ô7Õ�ÓNÖ2×�Ø(ÙÚ$×fÛi×�Ù�Ü�Ý�Ó}Ú$× F(x), teda ξξ’=ξξ .

Vektorová náhodná premenná.

Nech náhodné premenné ξ1, ξ2, ..., ξk æ åFÞ äqÒ�ÓiÑ�Ô7Õ�ÓNÖ2×�Ø(Ù�äfÛi×�Ù�Ü�Ý�ÓN× F(x1,x2,...,xk) a

F x P x dF x x dx dx dx p x x xk

xx

k k1 1 1 1 1 1 2 1 2

11

( ) ( ) ( ,..., ) ( , , )= < = = ′ ′−∞−∞

−∞

−∞ −∞

−∞

∫∫∫∫ ∫∫ξ ç è è

∫ ∫

∫ ∫∞

∞−

∞−

∞−

∞−

′′=<=

)x,x,x(pdxdx

)x,x,x(pdxxd)x|x(P)x,x(F

k21k2

x

k21k2

122212

2

éééé

ξ (3.8)

F x x x P x x x

dx p x x x

dx p x x xk k k k k

k k

x

k k

k

( , , ) ( | , )

( , , )

( , , )1 2 1 1

1 2

1 2

è èèè

= < =′ ′

−−∞

−∞

∫ξ

ê Ú:Ô�Ú æ ã ß�á Ó�Ø�ÓNÙ�ë ξ’1, ξ’

2,..., ξ’k, ktoré sú riešením postupnosti rovníc:

F

F

Fk k k

1 1 1

2 1 2 2

1 2

( )

( , )

( , , )

′ =′ ′ =

′ ′ ′ =

ξ αξ ξ α

ξ ξ ξ α

ìí

(3.9)

sú rozdelené v súlade s funkciou F(x1,x2,...,xk).

Príklady

1. îqï,ð2ñ�ò�ó|ô�ï�õ|ñYöró}÷,ø¬ù ττ :Náhodná premenná ττ ú`û�ü�ý�þ�ÿ��0ý ��������� ����� ý � F x x( ) exp( )= − −1 λ . Vychádzajúc zrovnice (3.7) máme:

dF x F( ) ( )= =−∞∫τ

τ α ← rovnomerne rozdelené v ( 0, 1 )

11

1− − = ⇒ = − −exp( ) ln( )λ τ α τλ

α

resp.

τλ

α= −1

ln( )

lebo 1−α je náhodná premenná rovnomerne rozdelená v intervale ( 0,1 ).

2. Majme diskrétnu náhodnú premennú ξξ nadobúdajúcu hodnoty { τi} s� �����ü�� ��� ü � ��� � þ����/ú�ý { pi} , i =1,2 ..., potom pre realizáciu ξ platí: ξξ = ττi , kde k je dané� ��� � � � � þ�� � ���

p pj jj

k

j

k

≤ <==

∑∑ α11

1

.

Geometrická interpretácia:

Obr. 4: Generovanie diskrétnej náhodnej premennej .

τ nτ kτ 2τ 1

α

p np kp 2p 1

1enter tex t he re

0

Špeciálne metódy modelovania

Majme náhodnú premennú ξ s hustotou pravdepodobnosti p(x) definovaná v D ≡ (a,b)� ���� �"!"#p(x) je v D $&%' ��(*),+-#�(�./�/�10 23054 ' #6���5!/7�8 x∈ D ⇒ p(x) ≤ M.

Obr. 5: Generovanie náhodnej premennej so 9;:=<�>@?BAC<ED hustotou pravdepodobnosti .

Generujme α1 a α2, kde αi je rovnomerne rozdelená na (0,1) a definujme :x a b a

y M

= + −=

( )αα

1

2

(3.10)

ak y ≤ p(x) ⇒ x je realizácia ξ, ak nie pokus opakujeme. Takýmto spôsobom� $ (GFH� '1I*$&J ��(�.K4 $ML � I 4�( $MLHNOJ #3P�)C+3QR(TSO2@#K4 $ML � I 4�( $ML�N�$&IU' #-�3P,)WV".-X3)�Q ξ.Y #-�3P�)�V".-X5)C�6(�. %*$ 7&(�#Z2 J #3P�)C+3)R([ ξ:1. generujeme náhodný vektor ( a+(b−a)α1, α2M );2.

4 '1J �U� $&\ 4 $ (�#�(�� I 4 $&J �5! I 2@# \ #OV"� ' #-�3P�)�V".-X5) I ξ �]���^7 '1I% .6� $&\ 4 $ (�#�(��_� L 4�`ba��K4 $ 7 \ )C#�(� Iα2M<p(x) (3.11)

Dôkaz:Náhodný vektor (ξ′,η′) ≡ ( a+(b−a)α1, α2M ) je rovnomerne rozdelený v (a,b)×(0,M). Akprejdeme k náhodnému vektoru (ξ,η) ≡ (ξ′,η′) α2M < p(x), potom tento náhodný vektor jerovnomerne rozdelený v oblasti G ≡(a,b) × ( 0, p(x) )

�c2�# %*$ 7) L � ' )Rd I +�(�.fe I (��X3),�c2�#

0

ba α1(b-a)

α2M

M

p(x)

x

î

∉∈

=Gyx

Gyxyxf

),(0

),(1),(2 (3.12)

g h�ifjk l�mWh�kon�p�q�rsut prv�w3kRpξ platí:

)()(),()()()(

2 xFdttpdudtutfdudtxPxFx

a

x tpx

===⋅=<=′ ∫∫ ∫∫ ∫∞− ∞−∞−

∞−

ξ (3.13)

q.e.d.

Metóda rejekcie (odmietania)

Veta 1. Nech ϕ(x)=ϕ(x1,...,xn) x iyr�i5z"{@|�}&h1r�{Ut prv�w5kC~�j�i-tZkbr*}&��~�r�{U~�kRr�m_i3�"hH}&��~Em_i5�@r�{y�n−mernom kvádri { }D a x bi i i i

n≡ ≤ ≤

=1a pritom ϕ(x) ≤ M

|�h�i�v�~5�/j��x∈ D, kde M je

v*}&rG�Hm_~�r�m ~�����~3�,i x r�i-w�� ( )′ ′α α1, ,�n je vektorová náhodná premenná s rovnomerným

rozdelením v D a α je náhodná premenná s rovnomerným rozdelením v (0, 1), potomhustota zodpovedajúca podmienenej pravdepodobnosti

{ }P x i n Mi i i n′ < = ′ ′ ≥α ϕ α α α, , , | ( , , )1 � � (3.14)

x i�m }]mC}��3r�{�� c⋅ϕ(x1,...,xn) , kde c je normovacia konštanta.

Dôkaz:Hustota pravdepodobnosti pre vektorovú náhodnú premennú ( )′ ′α α1, ,�

n je c⋅χ(t1,...,tn)

kde χ je indikátor oblasti D ( ( )( )î

∉∈

=Dtt

Dtttt

n

nn ,,0

,,1),,(

1

11 �

��χ ). Pre vyššie zmienenú

|�}j&��kCi�r�i�rs�|�h�~��*j�i�|�}j}"n�r*}M�H��j}M��m {���~���i]�

( )

( )

( )∫ ∫

∫ ∫ ∫+ +

+ +

=≥

=≥′=+<′≤

11

1

11

,...

),...(:,...

}|..1;{

11

11

1

0

1

xx

x

xx

x

nn

nn

xx

x

xx

x

n

iiii

nn

n

i

nn

n

ttdtdtc

Mtttttdtdtdtc

MnixxxP

∂ ∂

∂ ∂

ϕ

ϕχ

ααϕ∂α

(3.15)

Kde ( )χ ϕt t t t Mtn n1 1,... : ( ,... ) ≥ x i�kbr*jkRv�{Em }&h��^r*}��/kbr��|�h�i���i�rr��w�� t1,...,tn pre ktoré platír�i�h�}&�r*}M��� ϕ ( ,... )t t Mtn1 ≥ . Analogicky:

( ) ( )∫ ∫∫ ∫ ∫∞

∞−

∞−

∞−

∞−

− =≥=1

,...),...(:,... 1111

1

0

11

nnnnn ttdtdtMtttttdtdtdtc ϕϕχ �� (3.16)

Algoritmus:

 /¡ Generujeme n+1 ¢3£C¤;¥3¦ α1,...,αn a αn+1§*¡ Ak n−tica α1,...,αn ̈�©�ª «&¬�­ ¤¯®�°b±�²³® «´&µ�¶ ¥�· ©¸�¹

( )ϕ α α αa b a a b a Mn n n n1 1 1 1 1 1+ − + − ≥ +( ) ,..., ( )º*¡ konštruujeme ξ αi i i i ia b a= + −( ) pre i=1,...,n»*¡ Ak nie − procedúru opakujeme.

Veta 2. Ak Ξ je vektorová náhodná premenná s hustotou pravdepodobnosti cϕ(x1,...,xn) v

oblasti D a bi ii

n

≡î

=

∏ ( , )1

a ξ ¼@¥K® ¬�¶© ²5½ ´«&µ Ξ =(x1,...,xn) rozdelená rovnomerne v intervale

[0, cϕ(x1,...,xn) ], potom náhodný vektor (Ξ,ξ) je rovnomerne rozdelený v (n+1)−mernej«"¾ ¦,²�¤ ªC¶�´ ¥-¿ ¶ · «&À ²�·�¥Á¼Â·�¥ ¬�«&À · « ¤HÃ/² µ�¶¯¹

a x b a x b

x c x xn n n

n n

1 1 1

1 10

≤ < ≤ <≤ < ⋅+

, ...,

( ,.., )ϕ

Veta 3. Nech náhodná premenná ηη je funkciou náhodného vektora (ξξ1, ξξ2, …, ξξn) ,ηη=f(ξξ1,...,ξξn) a ϕϕ(x1,...,xn) je hustota rozdelenia náhodného vektora (ξξ1, ξξ2, …, ξξn) potomplatí

{ } ( )∫∫∫≤≤

=≤≤dxxfc

nn

n

dxdxxxxdcP),(

121

1

,,,Ä

ÅÆϕη .

Veta 4. Nech náhodné vektory (ξ1,…, ξn) a (η1,…, ηn) majú hustoty rozdelení pΞ(x1,..,xn)resp. pΗ(y1, ..,yn) a ηi = fi(ξ1,…,ξn) (i=1,…,n) je zobrazenie s nenulovým jakobiánom

( )n

n

xx

ff

∂∂∂

=Φ ÇÇ

1

1,, potom hustoty rozdelenia pΞΞ a pΗΗ ¤¯®�°R±�²Á¼�È ÀMÉ Ã�²�Ê ¹

( ) ( ) Φ= ΞΗ ),,(,),,,(,, 1111 nnnn xxfxxfpyyp ËÇËÇ .

Veta 5. Nech ξ1 a ξ2 sú nezávislé náhodné premenné s hustotami pravdepodobností p1(x)resp. p2(x), potom hustota pravdepodobnosti p(y) sumy ξ1 a ξ2 sa rovná konvolúcii:

∫∞

∞−

⋅−= dxxpxypyp )()()( 21

Modelovanie rovnomerného rozdelenia na povrchu sféry.

ÌÎÍ�Ï*ÐCÑ3Ò&Ó�Í6Ô^ÕMÖ�Ð,×CØ�ÓÏ�Ñ�Ù¯Ú�Û�Ü3ÝRÞ�Ñ6Þgenerovaní bodov rovnomerne rozdelených vnútri gule.ßcÛ]àCÛ&ÔáÙ;Ñ6Ó�ÍZâ@Ò�ØKÚ�ãH×CØ�Ù;Ø3Ü�Ó*ÝbÏuä

P) priamky vedenej vygenerovaným bodom z centra gule (O)ѳÚ�Û&Þã�å�æ*Û&Ôèç"é*ÐCØ&ê/ëìÑ�Ï�àCÛíÓ�ÍÁâ@Ò�Ø�Ó�îKÚ�ã�×,Ø�Ù;Ø-Ü�Ó*ÝRÏÕïÙ¯ðUã�Û&ÞÓ*Û&Ô�Ø�ã1Ó�Ø6ãHÛ�ñ/Ò�Ø3ÐCØ�Ó�î³Ú�ÛyÚ�Û&Þã�å�æé^ç"é*Ð,Ø&êòEØ5Ò&Ó*Û]à�Ï*Û&Þ�î6Þ�Ø�Ï�àCÛ&ã1Õ�ÐCØ5ó/×,Ñ-å-Ø6Ó�Ñ�Ù¯Ú�Û@â�Ó*×,å3×

OP vykazujú priestorovú izotropiu.

Algoritmus:

1. ô Ø�Ó�Ø�ãHÛ&Þ�ÑEõOÓ�Í�æ*ÛÒ&ÓöíÞ�Ø�Ï�àCÛ&ã ( )321~,~,~~ αααα = , kde )3,2,1(5.0~ =−= iii αα sú náhodnéÞ�Ø5Ð,×CÜ5×bÓÕTÙ÷ã�Û&ÞÓ*Û&Ô�Ø�ã1Óö"ÔøãHÛ�ñ/Ò�Ø3ÐCØ�Ó*ÝRÔøÞ^×RÓ�à_Ø�ãÁÞ�Ñ3ÐCØ

(-0.5, 0.5) (αi je rovnomernerozdelené v (0,1) ).

2. Ak náhodný vektorα~ Ù¯Ú�ùbú�ѳÚ�ÛÒ&Ô�×CØ�ÓÏé�û

41~~~ 23

22

21 ≤++ ααα (1) ,

teda odpovedajúci bod sa nachádza vnútri gule s polomerom ½, potom vytvoriõ

vektor: ( )321 ,, ττττ = , kde 23

22

21

~~~

~

ααα

ατ

++= i

i sú smerové kosinusy

jednotkového vektora s izotropným rozdelením.

3. Ak náhodný vektorα~ Ó�Ø�Ù¯Ú�ùRú�ÑKÚ�ÛÒ&Ô�×,Ø�ÓÏéuäEü�ýÂþ&Û"ÚGÑ�Ï*Û&Þ�ÑEõ�ÿ�ÛÒ&Õ ü�Ñ � ê

Úloha 1:

� ÛÒ�Ø3Ð,Û&Þ�ÑEõ�ã�Û�ñ5ÚGÑ3Ò η(π0) → γγñ"ѳÚ�ã�Ø3Ò"Ú�Û&Ï*Ð,Ñ3Ò&é þ"ó"Ø

η(π0ý��CÔ�Ø5ñ��&Ó�Ù Ñ6ã�Û�ñ5ÚGÑ3Ò�ÍKÞ�Ú�Û&Ï*Û@â@×_þ�æÔ�Û]à�Ó*ÛMÙ�õ η(π0)-mezónu jemη=547.30 MeV (mπ=134.98 MeV ),

ãHÛ�ñ5ÚGÑ3ÒíÔ�ØEñ��&Óé�â�Øf×Wñ/Û]à�ã�Û"Ú�Óö�ê���ØEà_Ø�Ï�àCÛ&ãìäCÞ*× Û"ÿ�ã�ê ü�ýdetekuje kvantá γ, ktorých smer výletu zviera s osou z uhol menší ako 45°. RozpadajúciÙ Ñ6Ô�Ø5ñ��&Ó�â@ØfÐ,Û&Ï�Ñ5Ð,×�ñ/Û&Þ�Ñ�ÓöíÞuå-Ø�Ó�à�ã�ØOÒ�ØEà_Ø�Ï�àCÛ&ã�Ñ�äCÞ*× Û"ÿ�ã@ê ü�ý ê

• Energetické rozlíšenie detektora je: [ ]GeVE

%1=ε

• Súradnicové rozlíšenie je ideálne.

òEØ6à�ã�Ø@ÿGÑ6Ó�ÍÁâ�ÙHõspektrum invariantných hmotností páru γγγγ (mγγ) pochádzajúcich z

rozpadu vyššie uvedeného mezónu.

� ��������� ���������������������! #"mγγ je definovaná ako:

( ) ( )2

212

21 PPEEm$$

+−+=γγ

kde

( ) 2,1, =iPE ii

$ sú 4-hybnosti γ-kvánt.

Obr. 6: %'&#( &*)�( +-,.)-/�0-12(4365-78785-96+-:�5<;=&*3-78&*1�(�>@?�&#( &*)�( +-,*5<;=A8)2A�BC&*DC+C/2EF(HGI7J/-G�;K&L)2+67NMO3-P�DC+C/�&=Q!/2,#;K(R/I>S ;K(&L1�5<)2A2BT&*DC5'M#/2EU&T,#5V;�+-;K+6P z uhol 45°° )