Gimnazija ,,Svetozar Marković''

ATOMSKA FIZIKASEMINARSKI RAD

Nemanja Madić

Niš, 2013

Sadržaj:

1.Uvod……………………………………………………………………....3

2. Atom...........................................................................................................42.1 Istorijat otkrića................................................................................42.2 Struktura atoma...............................................................................5

3. Energija i impuls fotona.............................................................................73.1 Impuls fotona..................................................................................7

3.1.1 Pritisak reflektovanih fotona............................................73.1.2 Pritisak absorbovanih fotona............................................8

4. De-Broljevi talasi.......................................................................................94.1 Fizički smisao.................................................................................94.2 Eksperimentalni dokaz De-Broljevih talasa.................................10

5. Hajzenbergov princip neodređenosti.......................................................116. Borovi postulati i proračun spektroskopskih veličina u Borovom

modelu.....................................................................................................126.1 Borovi postulati………………………………………….….....126.2 Proračun spektroskopskih veličina……………………………13

7. Talasna funkcija i Šredingerova jednacina………………….167.1 Talasna funkcija...........................................................................167.2 Šredingerova jednačina................................................................17

8. Fotoelektrični i Komptonov efekat..........................................................198.1 Fotoelektrični efekat.....................................................................198.2 Komptonov efekat........................................................................20

9. Zaključak..................................................................................................2110.Literatura..................................................................................................22

1..Uvod

U daljem tekstu predstavljeni su neki od glavnih postulata atomske fizike, kao i objašnjenja nekih krajnje neobičnih principa i zakona koji važe na kvantnom nivou. Na samom početku rada predstavljen je hronološki niz događaja koji su su doveli do današnjeg standardnog modela.

U osnovi kvantne mehanike jesu ,,kvanti’’ čestice kao fotoni koji prenose elektromagnetne interakcije, stoga su baš oni opisani u drugoj glavi seminarskog rada. Priložene su i neke od najčešće korišćenih jednačina koje baš opisuju interakciju između fotona i materije.

Nakon ovih objašnjenja slede naslovi koji već malo dublje zalaze u kvantu teoriju. Objašnjeni su De-Broljevi talasi, kao i veoma neobičan Hajzenbergov princip neodređenosti . Na ovo se naslanja Borov model atoma kao I njegova čuvena 3 postulata. Kao dokaz Borove teoreme prikazane su formule koje veoma tačno opisuju elektrone I njihovu konfiguraciju u atomu, kao I metod određivanja Ridbergove konstante.

U glavi sa talasnom funkcijom objašnjeni su postupci probabilističkog izračunavanja pomoću Bornove teoreme. Kao kulminacija rada predstavljena je Šredingerova jednačina.

Završnicu predstavljaju neki od eksperimentalno dokazanih kvantnig zakona kao što su fotoelektrični I Komptonov efekat.

2..ATOM

2.1 Istorijat otkri ća

Ideja da je materija sastavljena od diskretnih delova i da se dalje ne može deliti postoji i

više od milenijuma, ali ove ideje su pre svega predstavljale neke od filozofskih misli nego

eksperimentalna tj. empirijska posmatranja. Izgled i priroda atoma poprilično je varirala tokom

vremena kao i izmedju različitih kultura I škola.

Reference na konceptu atoma datiraju iz antičke Grčke. Pojavile su se u 5. veku pre naše ere sa Leucippusom, čiji je student, Demokrit, sistematizovao svoje poglede. Otprilike 450 godina PNE, Demokrit je stvorio pojam átomos (grčki: ἄτομος), što znači "nedeljiv". Iako su grčki pojmovi atoma temeljeni isključivo na filozofiji, moderna nauka je zadržala ime koje je stvorio Demokrit.

,,Corpuscularianism’’ je postulat, iznet je u 13. veku od strane alhemičara Gebera, I on kaže da su sva fizička tela sastavljena od sitnih sferičnih tela pri čemu svaka sfera poseduje unutrašnji i spoljašnji sloj. Corpuscularianism je teorija veoma slična današnjoj teoriji atoma, osim gdje su atomi trebali da budu zrnca koja se dalje nikako ne mogu podeliti. Corpuscularianism je ostala dominantna teorija u narednih nekoliko stotina godina.

Godine 1661, filozof Robert Bojl (Boyle) objavio je rad u kome je tvrdio da je materija bila sastavljena od različitih kombinacija različitih "corpuscules" ili atoma, umjesto klasičnih elemenata vazduha, zemlje, vatre i vode. Tokom 1670.godine corpuscularianism je korišten od strane Isaka Njutna u svom razvoju korpuskularne teorije svetlosti.

Daljnji napredak u razumevanju atoma nije došao sve dok se hemija kao nauka nije razvila. 1789.godine francuski plemić i istraživač Antoun Lorent de Lavoizier (Antoine Laurent de Lavoisier) je otkrio zakon održanja mase i definisao atome elementa kao osnovne delove materije koji se ne mogu dalje rastaviti metodama hemije.

1805.godine, Engleski naučnik John Dalton koristiti pojam atoma kako bi objasnio zašto elementi uvek reaguju u odnosima malih prostih brojeva (zakon višestukih proporcija), a zašto se neki gasovi bolje od drugih rastvaraju u vodi. On je predložio da se svaki element sastoji se od atoma jedinstvenog tipa, i da ti atomi mogu međusobno interagovati formirajući hemijske veze. Dalton se smatra tvorcem moderne atomske teorije. Daltonova atomska hipoteza nije određivala veličinu atoma. Logično je da moraju biti vrlo mali, ali niko nije znao koliko. Jedno od glavnih otkrića tog doba desilo se 1865.godine kada je Johann Josef Loschmidt izmerio veličinu molekula koji se nalaze u vazduhu.

Dodatnio ubrzanje teoriji čestica (i samim tim atomskoj teoriji) počelo je 1827.god. kada je botaničar Robert Brown pomoću mikroskopa gledajući čestice prašine plutajući na vodi otkrio fenomen koji je postao poznat kao ,,Brownovo kretanje ". J. Desaulx predložio je 1877.god. da

je fenomen uzrokovan termičkim kretanjem molekula vode, a 1905 Albert Ajnštajn je stvorio prvu matematičku analizu ,Brownovog kretanja ". Francuski fizičar Jean Perrin koristeći Ajnštajnov rad uspešno eksperimentalno određuje masu i dimenzije atoma, čime je dokazao Daltonovu atomsku teoriju.

Fizičar J.J. Thomson, kroz njegov rad na katodnim zracima u 1897. Godini je otkrio elektron, te je zaključio da su sastavni deo svakog atoma. Ovim eksperimentom on teoriju da su atomi najmanje i nedeljive čestice bacio u vodu. Tomson je predpostavio da su elektroni veoma malih masa i negativnog naelektrisanja raspoređeni po celom atomu, eventualno rotirajući po kružnicama, pri čemu su u potpunosti potopljeni u pozitivno naelektrisanu sredinu. Taj model je kasnije postao poznat pod imenom ,,Model pudinga od šljiva’’.

Godine 1909. Hans Geiger i Ernest Marsden, su pod vodjstvom fizičara Ernesta Raderforda (Rutherforda), bombardovali list zlatne folije sa alfa zracima za koje se tada znalo da prestavljaju koncetrisani snop ubrzanih dvostruko jonizovanih jezgra helijuma otkrili da se određeni procenat alfa čestica reflektuje pod mnogo većim uglom nego što je predvideo Tomsonov predlog. Raderford je tumačio eksperiment sa zlatnom folijom, tako da je skoro sva masa atoma kao i svo pozitivno naelektrisanje skoncetrisano u njegovom centru tj. u jezgru. Ovaj model je poznat pod imenom ,,Raderfordov model’’. Pri malim izmenama od strane Bora, Šredingera, De Brolja dobijen je danasnji štandardni model.

2.2 Struktura atoma

Svaki atom se sastoji od dve čvrsto vezane celine: Atomskog jezgra i Elektronskog omotača.

Atomsko jezgro se nalazi u samom centru atoma. Sastavljeno je od dve vrste čestica od

protona i neutrona. Protoni predstavljaju hadrone spina 12

koji se sastoje od 3 kvarka I to dva

orjentisana navise i jedan naniže koji su na mestu držana gluonskim poljima. Masa protona je aproksimativno 1836 puta veća od mase elektrona a priblizno jednaka masi neutrona pa se moze reći da je sva masa atoma približno skoncetrisana u njegovom jezgru. Naelektrisanje protona je pozitivno po znaku i jedinično po kolicini. Broj protona u jezgru predstavlja redni broj elementa ciji je atom. Z=N ¿

Zbir broja protona i neutrona u jezgru predstavlja atomski broj elementa čiji je atom A=N ¿

Ukupna masa jezgra nije brojno jednaka sumi masa svih protona i svih neutrona vec je manja usled efekta defekta mase, naime:

Masa jezgra: M j=Zm ¿ pri cemu ∆ m predstavlja defekt mase

U atomskom jezgru deo mase nestaje i pretvara se u energiju veze datog nukleusa. Energija veze nekog elementa moze se odrediti po Ajnštajnovoj relaciji E=∆ m c2

Elektronski omotac predstavlja sferu oko jezgra unutar koje se nalaze elektroni. Elektroni

predstavljaju fermione spina ±12

veoma male mase (u odnosu na protone) naelekrtisane

jedinicnom kolicinom naelektrisanja negativnom po znaku. Elektroni se krecu po precizno odredjenim putanjama i rasporedjeni su po energiji koju poseduju u elektronske nivoe. Atom moze posedovati maksimalno 7 elektronska nivoa s obzirom da atom mora biti elektroneutralan i broj protona mora biti jednak broju elektrona. Unutar svakog elektronskog nivoa nalaze se podnivoi od kojih svaki podnivo ima 2 orbitale u kojima se po Paulijevom principu isključenja moraju nalaziti elektroni suprotnih spinova. Rastojanja izmedju podnivoa nisu ekvidistantna vec rastu po eksponencialnoj funkciji. Detaljnije o elektronskom omotacu moze se naci u glavi sa Borovim postulatima.

3..Energija i impuls fotona

Godine 1900. Max Planck je radeći na zračenju crnog tela predložio da se energija u elektromagnetnim talasima može prenositi samo u "paketima" energije. U svom članku 1901.godine te pakete je nazvao "energetskim elemenatima". Kasnije, 1905.godine Albert Ajnštajn je otišao korak dalje predloživši da elektromagnetni talasi mogu samo postojati kao celobrojni umnožak tih diskretnih talasnih paketa. Te paketiće svetlosti nazvao je kvantima. Naziv foton potiče od grčke riječi za svjetlo φῶς. Plank je izlozio da se energija fotona cija je frekfencija ϑ moze odrediti po formuli:

E=hϑ pri cemu je h plankova konstanta I iznosi h = 6,626×10−34 Js

3.1 Impuls fotona

Iz zakona klasicnog elektromagnetizma sledi da je pritisak elektromagnetnog talasa:

P= εC

(1+R) pri cemu je εenergija koji talas prenese na jediničnu površinu

a R koeficijent refleksije

Iz Plankovog zakona sledi da je ε=Nhϑ energija koju poseduje N fotona koji padaju na jediničnu površinu.

Iz predhodne dve relacije sledi relacija za izračunavanje pritiska elektromagnetnog zračenja :

P= Nhϑc

(1+ R)…………………(1.1)

S obzirom da se deo fotona reflektuje a deo absorbuje pritisci u oba slučaja će se razlikovati.

3.1.1 Pritisak reflektovanih fotona

Znajuci da je pritisak definisan kao P= FS

a sila kao F=∆ p∆ t

sledi relacija za određjivanje

pritiska pomoću promene impulsa: P= ∆ p∆ tS

. Uzimajuci u obzir da se problem posmatra na

jediničnoj površini u jedinici vremena predhodna jednačina postaje P=∆ p

Kako bi problem pojednostavili posmatraćemo ga u jednoj dimenziji tj, impuls upadnog fotona sadrzi samo x komponentu. Ako refleksiju posmatramo kao apsolutno elastični sudar vektor izlaznog impulsa je kolinearan sa vektorom upadnog impulsa ali su suprotnih smerova pri čemu je promena impulsa jednaka:

∆ p=|p− (− p )|=2 p Znajuci da je koeficijent refleksije R moze se

odrediti broj fotona koji se reflektuju:

N R=NR N-ukupan broj fotona

Iz predhodnih relacija sledi da je pritisak koji vrse reflektovani fotoni:

PR=N R ∆ p=2 NRp

3.1.2 Pritisak absorbovanih fotona

U slucaju absorpcije fotona nema izlaznog impulsa tj. njegov intenzitet je jednak nuli. Iz ovog zakljucka sledi da je promena impulsa u slucaju absorpcije

∆ p=p

Broj fotona koji bivaju absorbovani od strane elektrona predstavlja razliku ukupnog broja upadnih fotona i onih koji su reflektovani:

N A=N−N R=N−NR=N (1−R)

Iz predhodnih jednačina sledi da je pritisak koji vrše absorbovani fotoni jednak:

PA=N A ∆ p=N (1−R) p

Ukupan pritisak koji vrse fotoni na nekoj površini brojno je jednak zbiru pritiska koji vrše reflektovani fotoni I on absorbovani:

P=PR+PA=2 NRp+N (1−R ) p=Np (2 R+1−R )=N (1+R) p….(1.2)

Izjednačavanjem jednačina za pritisak elektromagnetnog zračenja (1.1) I (1.2) sledi:

Nhϑc

(1+R )=Np(1+R) odakle se dobija izraz p=hϑc

tj. p=hλ

Uzimajuci u obzir formulu za talasni vektor elektromagnetnog talasa

|k|=2 πλ

sledi p=h 2 π2 πλ

=> |p|= h2 π

|k| odakle je p=ℏ k

Pri cemu ℏ predstavlja redukovanu Plankovu konstantu ℏ= h2 π

4..De-Broljevi talasi

4.1 Fizički smisao

Brolj 1923.godine,podstaknut dualizmom svetlosti,došao na ideju da taj dualizam proširi i na čestice. Tako je postavio hipotezu: Svakoj čestici koja se kreće nekom brzinom,odnosno koja poseduje određeni impuls, može se pridružiti talas.Izraz za de Broljevu talasnu dužinu važi i za relativističku i za ne relativističku česticu.

Na osnovu dualne prirode fotona, de Brolj je postavio svoju hipotezu po kojoj sva tela poseduju dualnu prirodu: ponašaju se i kao čestice i kao talasi. To znači da se svakom telu mase m, koje se kreće brzinom v može pridružiti jedan talas čija se talasna dužina može odrediti iz izraza:

Talasna dužina de Broljevih talasa u slučaju elektrona ne može se zanemariti (sa smanjenjem brzine talasna dužina raste). Na osnovu ovih primera se može izvesti generalni zaključak o granici primene kvantne mehanike, Očigledno da je granični uslov, kada se sa kvantne prelazi na klasičnu mehaniku, upravo onaj koji je vezan sa talasnim svojstvom čestice (tela). Naime, ukoliko talasna dužina de Broljevih talasa teži nuli onda se sa kvantne prelazi na klasičnu mehaniku.

S obzirom da za svaku česticu vazi da je njena ukupna energija jednaka sumi njene kinetičke(T) I potencijalne energije(V):

E=T+V

Ako se u obzir uzme da se kinetčka energija čestice moze odrediti po formuli:

T=m v2

2= pv

2= pmv

2 m= p2

2 m

Predhodno navedeni izraz za energiju postaje:

E= p2

2 m+V tj. p=√2 m(E−V )

Znajuci da je impuls čestice brojno jednak p= hϑ

sledi da je talasna dužina talasa talasa kojim

se data čestica može predstaviti iznosi:

λ= hp= h

mv

λ=h

√2 m(E−V )

Ako se mikročestica mase m kreće brzinom v potrebno je da se za ovakvu česticu izračuna fazna i grupna brzina de Broljevih talasa. Prema klasičnoj talasnoj teoriji fazna brzina de Broljevih talasa je:

Grupna brzina de Broljevih talasa jednaka je brzini čestice. Mikročestica ne može da bude ravan monohromatski talas, pošto je takav talas neograničen, a čestica je lokalizovana u prostoru i vremenu, tj. u odredjenom trenutku zauzima odredjeno mesto u prostoru Zato se došlo na ideju da se mikročestica razmatra kao talasni ”paket” koji se sastoji od velikog broja talasa čiji se talasne duzine veoma malo međusobno razlikuju i koji može biti ograničen na proizvoljno mali prostor. Izgledalo je da bi ovakva hipoteza nasla svoju potvrdu u osobini de Broljevih talasa da je njihova grupna brzina (brzina kojom se pomera maksimum talasnog paketa) jednak brzini čestice. Prikazivanje čestice pomoću talasnog paketa nije dobro jer se talasni paket pri kretanju u disperzivnoj sredini brzo ,,rasipa” .

4.2 Eksperimentalni dokaz De-Broljevih talasa

Jedan od eksperimentalnih dokaza jeste difrakcija elektrona na kristalu nikla. Na taj način je potvrđeno njihovo talasno svojstvo. Kristal nikla je upotrebljen zbog toga što je rastojanje u njegovoj kristalnoj rešetki reda veličine talasne dužine upadnih elektrona, što je uslov za pojavu difrakcije. Da bi doslo do difrakcije na resetki mora biti ispunjen Wulf-Bragov uslov difrakcije:

nλ=2 d sinθ pri čemu je n ceo broj(n=1,2,3,...), λ talasna dužina upadnog snopa, d rastojanje između dva susedna proreza(2 susedna atoma) i θ upadni ugao svetlosnog snopa.

Slika1: Grafički prikaz dobijene difrakcione slike

Pri konstantim vrednostima upadnig ugla (θ=800) I rastojanja izmedju 2 susedna atoma

nikla (korišćenje homogenog komada nikla cije je d=2.03 A), znajuci pozicije difrakcionih

v f=ωk=ℏω

ℏ k=E

p=mc2

mv= c2

v

maksimuma iz Wulf-Bragove formule s lakocom moze se odrediti talasna dužina upadnog snopa elektrona. Dobijena vrednost se poklapa sa teorijski izvedenom vrednošću.

5..Hajzenbergov princip neodređenosti

U kvantnoj mehanici, princip neodređenosti određuje granicu preciznosti kojom određeni par fizickih veličina kao što su položaj i impuls ne mogu biti poznati istovremeno. Na primer, što se tačnije određuje položaj neke čestice, to je veća greška pri merenju njenog impulsa tj. brzine, i obrnuto. Prvi koji je tvrdio da takva granica mora postojati bio je Warner Hajzenberg 1927.godine , usled ceka se ovaj princip naziva Hajzenbergov princip neodređenosti.

Istorijski gledano, princip neodređenosti je u pocetku bio mešan sa sličnim efektom u fizici koji se naziva posmatracki efekt, koji napominje da se merenja fizičkih veličina unutar pojedinih sistema ne mogu izvršiti bez uticaja instrumenta na sam sistem . Hajzenberg je predložio teoriju takvog efekta na kvantnoj skali kao fizičko objašnjenje kvantne nesigurnosti. Princip neodređenosti je svojstvo svih sistema koji iskazuju bilo kakve talasne osobine, te da se javlja u kvantnoj mehanici jednostavno zbog čestitno-talasne prirode svih kvantnih objekata. Mora se naglasiti da merenje ne znači samo proces u kojem fizičar učestvuje , nego bilo kakva interakcija između klasičnih i kvantnih objekta.

Hajzenbergov princip na primeru idealnog γmikroskopa

Kako bi se odredila pozicija elektrona pomocu mikroskopa on se mora naći ispred njegovog objektiva stoga je maksimalna greska merenja pozicije elektrona baš dijametar objektiva. Po zakonima klasične optike ova greska iznosi:

∆ x ≥λ

2 sin θ…………………….(4.1)

Usled interakcije fotona i elektrona došlo je do promene pravca vektora impulsa fotona ali ne i njegovog intenziteta s obzirom da se sudar reflektovanih fotona sa elektronima posmatra kao apsolutno elasticni sudar. Ovom interakcijom doslo je do promene x komponente impulsa koja je sa slike jednaka:

Slika2: Šema γ mikroskopa ∆ p=p sinθ=hλ

sinθ………….(4.2)

Izražavanjem talasne duzine iz jednačine (4.2) kao λ=h sinθ

∆ p I uvrstavanjem u jednačinu (4.1)

dobija se:

∆ x ≥h sin θ

2 ∆ p sin θ tj. ∆ p ∆ x ≥

h2

………………………………………….…….(4.3)

Relacija (4.3) jasno predstavlja Hajzenbergov princip neodređenosti . U slucaju da:

∆ x⇾0iz predhodne relacije sledi da ∆ p⇾∞ I obratno.

6..Borovi postulati i proračun spektroskopskih veličina u borovom modelu

6.1 Borovi postulati

Da bi atom bio stabilan njegovi elektroni moraju biti dinamični, no s druge strane po zakonima klasičnog elektromagnetizma moraju emitovati elektromagnetno zračenje. Pri tome oni bi gubili energiju, usporavali bi pri čemu bi im se spektar kontinualno menjao, i na kraju bi im energija bila toliko mala da bi se obrušili na jezgro. Usled ovakvog problema Bor je objavio svoja 3 postulata.

I Borov postulat: Elektroni se u atomima mogu nalaziti samo u precizno određenim stanjima (stacionarnim stanjima). Pri stacionarnim stanjima elektrona u atomu atom ne emituje niti absorbuje elektromagnetno zracenje.

II Borov postulat: Pri kretanju po kruznoj orbiti elektroni mogu imati samo određene(diskretne) vrednosti momenta impulsa.

Moment impulsa je za proizvoljnu česticu definisan kao: L=Iω pri čemu je I moment inercije čestice koja se krece po kružnici, a ω ugaona brzina kojom se kreće po kružnici. Znajući iz zakona klasične mehanike sledi da je I=m r2 pri čemu je m masa čestice a r poluprečnik

putanje po kojoj se kreće. Ugaona brzina može se izraziti kao ω= vr

pri čemu je v tangecijalna

brzina čestice a r poluprečnik putanje. Zamenjivanjem ovih formula u formulu za moment impulsa sledi da se moment impulsa moze odrediti kao:

L=mrv…………………………………..(5.1)

S obzirom da De-Broljevi talasi elektrona na nekoj orbitali moraju biti stojeci talasi sledi:

nλ=2 πr………………………………….(5.2)

Znajući da je talasna dužina talasa po relaciji za impuls čestice :

λ=hp= h

mv………………………….…….(5.3)

Iz relacija (5.2) I (5.3) sledi:

nhmv

=2 πr⇾ nh=2 πmrv tj. L=mrv=nh

2 π=nℏ

III Borov postulat: Kad elektron prelazi iz jednog stacionarnog stanja sa energijom En u

stacionarno stanje sa energijom Em one emituje ili absorbuje kvant energije hϑ koji je jednak

energetskoj razlici ova dva stanja tj. hϑ=|En−Em|

6.2 Proracun spektroskopskih velicina

Kinetička energija elektrona na n-toj orbitali:

T=12

m v2………………………………………………………………..(5.4)

Potencialna energija elektrona na n-toj orbitali:

V= −Z e2

4 π ε0 rn………………………………………………………………(5.5)

Znajući da se elektron nalazi u stanju dinamične ravnoteže važi da se sila kulonske interakcije izjednačila sa centrifugalnom silom:

F c=Fcf

m vn

2

rn

= Z e2

4 π ε0 rn2 tj. m vn

2 rn=Z e2

4 π ε 0 odakle sledi

m vn2= Z e2

4 π ε0r n………………………………………………………….…(5.6)

Prepoznavajući formule za kinetičku i potencialnu energiju iz jednačina (5.4) I (5.5) u predhodno dobijenoj jednačini dobija se:

Kn=−V n

2 a pošto je ukupna energija n-te orbitale jednaka zbiru kinetičke i

potencialne energije na n-toj orbitali sledi da je ukupna energija na n-toj orbitali:

En=V n

2= −Z e2

8 π ε0 rn……………………………………………………….(5.7)

Potrebno je odrediti i brzinu na n-toj orbitali:

m vn2 rn=

Z e2

4 π ε 0

m vn2 rn=vn ( m vnr )=vn L=vn

hn2 π

= Z e2

4 π ε0 tj.

vn=Z e2

2 ε0hn= Z e2

2 ε 0h1n

………………………………………………………….(5.8)

Iz relacije (5.8) se vidi da je funkcija vn=f (n) hiperbola tj. Sto je broj n veći (udaljavanje od

jezgra) to je brzina kojom se elektron kreće manja.

Slika 3: Šematski prikaz funkcije vn=f (n)

Iz relacije (5.6) sledi da je poluprečnik orbite na n-toj putanji:

rn=Z e2

4 π ε0 m vn2…………………………………………………………..…(5.9)

Uvrstavanjem relacije za brzinu iz jednačine (5.8) u jednačinu (5.9) dobija se izraz za izračunavanje poluprečnika n-te orbitale:

rn=ε0 n2 h2

Z e2 mπ=

ε 0h2

Z e2 mπn2………………………………………………….(5.10)

Iz predhodne jednačine može se zaključiti da orbitale nisu međusobno ekvidistantne već da se sa porastom rednog broja orbitale n povećava i međusobno rastojanje između susednih orbitala zato što funkcija rn=f (n) ustvari predstavlja parabolu

Slika 4: Šematski prikaz funkcije rn=f (n)

Energiju koju poseduje elektron na n-toj orbitali moze se izračunati ako se u formulu za energiju (5.7) zamene brzina iz (5.8) i poluprečnik orbitale iz jednačine (5.10)

En=−Z2 e4 m8 ε 0

2n2h2 =−Z2 e4 m8 ε0

2 h2

1n2……..………………………………..…….(5.11)

Grafik funkcije En=f (n ) predstavlja hiperbolu koja se u celini nalazi u negativnom delu y-ose.

Energija sa porastom n raste po navedenom hiperboličkom zakonu.

Slika 5: Šematski prikaz funkcije En=f (n )

Borov model atoma je dobro prihvaćen jer je uspešno opisao neke od spektroskopskih pojava među kojima jeste Ridbergova formula. Naime još od pocetka 20. veka ljudi su počeli koristiti spektroskopiju unutar koje je jedna od tada najvažnijih relacija baš Ridbergova relacija koja glasi:

Pri cemu su n1i n2 celi brojevi, Rh Ridbergova konstanta, a λvac talasna dužina svetlosnog zraka. Ova relacija se lako moze izvesti iz borovih jednacina.

Znajući da je po III Borovom postulatu:

hϑ=|En−Em|

Ako uzmemo u obzir da je ϑ= cλ

I da je energija n-tog nivoa En=−Z2 e4 m8 ε 0

2nn2h2 I m-tog nivoa

Em=−Z2 e4 m8 ε 0

2nm2 h2 sledi:

hcλ

=−Z2e4 m8 ε0

2 nn2 h2 −(−Z2e4 m

8 ε02 nm

2 h2 ) tj.

hcλ

=−Z2e4 m8 ε0

2 h2 [ 1nn

2 −1nm

2 ] odavde sledi da je

1λ=−Z2 e4 m

8 ε 02h3c [ 1

nn2 −

1nm

2 ] …………………………………..……..(5.12)

Ako iz formule (5.12) deo izraza ispred zagrade objedinimo i nazovemo konstantom R dobijamo Ridbergovu formulu za spektroskopska izračunavanja.

R=−Z2e4 m8 ε0

2 h3 c Ako se izračuna vrednost Ridbergove konstante dobijena vrednost se poklapa sa

eksperimentalnim podacima koji datiraju još od početka 20.veka.

7..Talasna funkcija i Šredingerova jednacina

7.1 Talasna funkcija

Talasna funkcija je amplituda verovatnoće u kvantnoj mehanici koja opisuje kvantno stanje čestice i kako se ona ponaša. Najčesce vrednosti talasne funkcije su kompleksni brojevi. U slučaju jedne čestice predstavlja funkciju prostora i vremena. Zakoni kvantne mehanike (Šredingerova jednacina) opisuje kako se talasna funkcija razvija tokom vremena.Talasna funkcija se ponaša kao i svi drugi talasi, poput talasa na vodi ili talasa na zategnutom koncu, zato sto je Šredingerova jednacna matematički tip klasične talasne jednačine.

Najčešći simboli talasne funkcije su ψ ili Ψ. Za jednu česticu u tri dimenzije, jedinica

talasne funkcije je m−3

2 . Ove jedinice su potrebne, tako da integral |ψ|2preko regije u

trodimenzionalnom prostoru predstavlja verovatnocu (verovatnocu da je čestica u toj regiji). Za različiti broj čestica ili dimenzija, jedinice mogu biti različite. Talasna funkcija je srž kvantne mehanike, jer predstavlja temeljni postulat.

Iz postulata kvantne mehanike sledi da se talasna funkcija moze napisati u obliku:

ψ (r ,t )=A cos (kr−ωt )+ A isin(kr−ωt )..............................................(6.1)

Pri čemu je A amplituda talasne funkcije (odredjuje verovatnocu), k talasni vektor

stojaceg talasa i važi |k|=2πλ

, ω ugaona brzina, r vektor položaja čestice i t vreme posmatranja.

Ako se amplituda stojaćeg talasa izvuče ispred zagrade ono što u njoj ostane može se napisati u Ojlerovom obliku te jednačina (6.1) postaje:

ψ (r ,t )=A ei (kr−ωt).....................................................................................(6.2)

Uz pomoć talasne funkcije pre svega se može odrediti mogućnost da se kvantni objekat nađe u nekom delu prostora i to koristeći Bornov princip, naime mogućnost da se čestica nađe u nekom delu prostora predstavlja određeni integral od a do b (a i b su granice posmatranog dela prostora) kvadrata modula talasne funkcije tj,

Pa ≤ x ≤b=|ψ ( x , t )|2 ∆ba pri čemu iz relacije (6.1) važi da je |ψ ( x , t )|2=A2

Bornov zakon se moze predstaviti i u integralnom obliku kao:

Pa ≤ x ≤b=∫a

b

|ψ ( x , t )|2 dx..............................................................................(6.3)

7.2 Šredingerova jednačina

Šredinger je tražio jednačine kako bi opisao ove talase, i bio je prvi koji je stvorio i objavio jednačinu 1926.godine. U principu jednačina se temelji na zakonu održanja energije. Jednačina se danas naziva Šredingerova jednačina.

Znajući da se energija koju poseduje čestica može izračunati po formuli E=ωℏ i njen impuls kao p=kℏ jednačina talasne funkcije može se napisati kao:

ψ (r ,t )=A eiℏ

(pr−Et )................................................................................(6.4)

Ako na datu funkciju primenimo prvi izvod po rastojanju(∇)

∇ψ (r , t )= iℏ

p A eiℏ

( pr−Et ) tj. ∇ψ (r , t )= i

ℏpψ (r , t ) iz ove relacije sledi:

pψ (r , t )=−iℏ∇ψ (r ,t )............................................................................(6.5)

Iz relacije (6.5) može se odrediti relacija matematičkog operatera impulsa, naime:

p=−iℏ∇...................................................................................................(6.6)

Ako na datu funkciju primenimu prvi izvod po vremenu

d ψ (r , t )dt

=−iℏ

EA eiℏ

( pr−Et) tj.

d ψ (r , t )dt

=−iℏ

Eψ (r , t ) iz čega sledi da je:

Eψ (r , t )=iℏd ψ (r , t )

dt...................................................................................(6.7)

Iz predhodne relacije može se zaključiti da je matematički operator energije jednak:

E=iℏ ddt

......................................................................................................(6.8)

Znajući da ukupna energija nekog izolovanog sistema mora ostati konstantna sledi:

E=E tj. Energija se moze prestaviti kao operacija operatora energije i talasne funkcije, a takođe kao operacija Hamiltonijana (H ) i talasne funkcije. Hamiltonijan predstavlja operator sume kinetičke i potencialne energije nekog kvantnog objekta.

H=T +V tj znajući da je T= p2

2m sledi da je Hamiltonijan čestice jednak:

H= p2

2 m+V .................................................................................................(6.9)

E ψ (r ,t )=H ψ (r ,t )tj. E ψ (r ,t )=( p2

2 m+V )ψ (r ,t ).............................(6.10)

Ako u jednačinu (6.10) iz jednačina (6.6) i (6.8) operatore energije i impulsa dobija se:

iℏd ψ (r , t )

dt=−ℏ2

2 m∇2ψ (r ,t )+V (r , t)ψ (r , t )

Gore izvedena jednačina predstavlja vremenski zavisnu Šredingerovu jednačinu za jednu česticu.

U slučaju N čestica Hamiltonian predstavlja sumu svih kinetičkih i potencialnih energija čestica. Ukupna kinetička energija predstavlja sumu svih kinetičkih energija svake čestice ponaosob:

T=∑n=1

N pn2

2m.................................................................................................(6.11)

Ukupna potencialna energija sistema nije suma svih potencialnih energija već usled međusobne interakcije predstavlja funkciju vektora položaja svih čestica i vremena:

V (r 1 , r2 …,rN , t).............................................................................................(6.12)

U ovom slučaju Hamiltonijan je jednak:

H=∑n=1

N pn2

2 m+V (r1 ,r2 …, rN ,t )

Za slučaj N čestica vremenski zavisna Šredingerova jednačina dobija oblik:

iℏd ψ (r , t )

dt=−ℏ2

2∑n=1

N1

mn

∇2 ψ ( rn ,t )+V (r 1 , r2 …, rN , t)ψ (r ,t )

U slučaju vremenski nezavisne jednačine ekvivalentan je metod izvođenja samo sto u datim funkcijama ne figurise vreme t.

Za jednu česticu vremenski nezavisna Šredingerova jednačina:

iℏd ψ (r )

dt=−ℏ2

2 m∇2 ψ (r )+V (r , t)ψ (r )

I za N čestica:

iℏd ψ (r )

dt=−ℏ2

2∑n=1

N1

mn

∇2 ψ ( rn )+V (r1 , r2 …,r N)ψ (r )

Rešavanjem Šredingerove jednačine ne samo da se dobijaju šabloni stojećih talasa u elektronskim stacionarnim stanjima već se u slučaju bodonikovoh atoma dobijaju vrednosti kvantnih brojeva kao I njihove međusobne relacije. U sistemu sa velikim brojem čestica usled komplikovanosti problema danas se rešenja dobijaju statistički.

8..Fotoelektrični i Komptonov efekat

8.1 Fotoelektrični efekat

Fotoelektrični efekt je emisija elektrona iz metala pod delovanjem svetlosti. Otkrio ga je sasvim slučajno Herc 1887. godine. Na energiju elektrona utiče boja (talasna dužina), a ne intenzitet svetlosti. Ajnštajn je sve nedoumice riješio 1905. godine predpostavkom da je svetlost čestične prirode tj. da se svjetlost prostire u kvantima koji su nazvani fotoni. Više fotona izbacuje i više elektrona ali energija izbačenih elektrona može porasti samo ako poraste i energija fotona.

Kinetička energija elektrona istrgnutog iz metala trebala bi zavisiti od intenziteta upadne svetlosti, jer bi s povećanjem intenziteta upadne svetlosti elektronu trebalo da se predaje više energije ali ovaj zaključak protivureči drugom zakonu fotoefekta. Naime, po talasnoj teoriji, energija, koja se predaje elektronima, proporcionalna je intenzitetu svetlosti. U tom slučaju bi svetlost bilo koje frekvencije, ali dovoljno velikog intenziteta, morala izbijati elektrone iz metala

tj. crvena granica fotoefekta ne treba postojati, što se protivi trećem zakonu fotoefekta. Pored toga, talasna teorija nije mogla objasniti bezinertnost fotoefekta (trenutna pojava fotoelektričnog efekta). Na taj način, fotoelektrični efekat je neobjašnjiv koristeći talasnu teoriju svetlosi.

Prvi koji je izneo validno rešenje problema jeste Albert Ajnštajn, koji je stvorio jednačinu fotoelektričnog efekta koja glasi:

hϑ=E jon+ Ai+T

Ai predstavlja izlazni rad elektrona (rad koji se vrši protiv kulonove sile jezgara). Izlazni

rad nekog materjala zavisi od njegovih fizičko-hemijskih osobina. E jon predstavlja energiju jonizacije(minimalna energija koja se treba dodati elektronu da bi on prešao iz valentne u provodnu zonu, za metale energija jonizacije je 0 zato sto vec postoje slobodni elektroni u metalnoj rešetki u obliku elektronskog gasa). T predstavlja kinetičku energiju izbijenog elektrona.

U slučaju metala brzina izbijenog elektrona je po predhodnoj relaciji jednaka:

v=√ 2(hϑ−A i)me

Crvena granica predstavlja najmanju moguću frekvenciju upadnog snopa pri čemu dolazi do fotoelektričnog efekta. U graničnome slučaju kinetička energija elektrona je 0 odakle sledi da je crvena granica nekog metala:

ϑ 0=A i

h

8.2 Komptonov efekat

Komptonov efekat je pojava rasejanja fotona sa atoma pri čemu foton gubi deo energije tj. Menja svoju talasnu dužinu. Ovim efektom je potvrđena čestitna priroda svetlosti. Klasična teorija rasejanja elektromagnetnih talasa na naelektrisanoj čestici ne može da objasni promenu talasne dužine svetlosti. Komptonov efekat je uverio fizičare da se svetlost mora posmatrati kao skoncetrisani snop čestica čija je energija proporcionalana njihovoj frekvenciji.

Slika 6: Šematski prikaz Komptonovog efekta

Koristeći neke od zakona klasične fizike Kompton je izveo relaciju promene talasne dužine:

λ2−λ1=∆ λ= hmc

(1−cosθ)

Pri čemu je λ1 talasna dužina upadne svetlosti, a λ2 talasna dužina rasejane svetlosti.

9..Zaključak

Fizika se kao nauka značajno razvijala kroz vekove, ali ubedljivo zadnji stupanj njenoga razvića jeste atomska fizika. Uprkos velikoj zainteresovanosti ljudi za ovu oblast, ona je i dalje krajnje neistražena. Jedan od glavnih razloga ovog problema jeste njen visok stepen apstrakcije, kao i preko potreban dobro razvijen matematički aparat. Pre svega cilj mog pisanja seminarskog rada baš na ovu temu jeste pokušaj da se atomski deo fizike populariše koliko je to moguće, jer se sa sigurnošću može reći da atomska fizika predstavlja najperspektivniju granu fizike kao nauke tj, ona je fizika budućnosti. Uz njenu pomoć s lakoćem se može predvideti evolutuvni razvoj nekih sistema i možda će se kroz nekoliko godina, decenija ili vekova konačno dati odgovor na pitanja porekla materije i univerzuma.

10..Literatura

1. Prof. Vlastimir Vučić, Osnovna merenja u fizici, Naučna knjiga, Beograd, 1979.god2. Prof.Dr. Harald Friedrich, Teoretical atomic physics, Springer-Verlag, Berlin, 2006.god3. F. Schwabl, Quantum Mechanics, 3rd Edition, Springer-Verlag, Berlin, 2002.god4. G. Baym, Lectures on Quantum Mechanics, Benjamin, New York, 1969.god5. http://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger_equation (04.05.2013.god)6. http://en.wikipedia.org/wiki/Wave_function (04.05.2013.god)7. http://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=quantum-theorys-wavefunction

(05.05.2013.god)8. https://en.wikipedia.org/wiki/Photon (06.05.2013)9. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/lapl.html (06.05.2012.god)