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ANHANGUERA EDUCACIONAL

FACULDADE DE ENGENHARIADE CONTROLE E AUTOMAO

Audifax - RA: 2951591926

Douglas P. Galvo RA: 8822343009

Fabio Loureno RA: 1299104140

Osiel Martins RA: 2983565643

Ronan da Silva RA: 2980575310

Sidinei Arajo Dias RA: 989454330

CALCULO II

Cuiab - MT

2015

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ANHANGUERA EDUCACIONAL

FACULDADE DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAO

Audifax - RA:2951591926

Douglas P. Galvo RA: 8822343009

Fabio Loureno RA: 1299104140

Osiel Martins RA: 2983565643

Ronan da Silva RA: 2980575310

Sidinei Arajo Dias RA: 989454330

CALCULO II

Apresentao de trabalho para obteno

de nota na disciplina de ( Clculos II )no

curso de Engenharia de Controle e

Automao, na faculdade Educacional

Anhanguera.

Orientador: Prof. Edimilson

Cuiab MT

2015

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SUMARIO

ETAPA 1.................................................................................................................

ETAPA 2.................................................................................................................

REFERENCIAS......................................................................................................

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Etapa 1

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivao

Passo

Pesquisar o conceito de velocidade instantnea a partir do limite, com .

Comparar a frmula aplicada na fsica com a frmula usada em clculo e

explicar o significado da funo v (velocidade instantnea), a partir da funo s

(espao), utilizando o conceito da derivada que voc aprendeu em clculo,

mostrando que a funo velocidade a derivada da funo espao.

Dar um exemplo, mostrando a funo velocidade como derivada da funo do

espao, utilizando no seu exemplo a acelerao como sendo a somatria do

ltimo algarismo que compe o RA dos alunos integrantes do grupo.

J observamos que o conceito de velocidade mdia est associado a dois

instantes de tempo. Por exemplo, t1 e t2. E escrevemos v (t1,t2) para o mdulo dessa

velocidade mdia.

Por outro lado, conclumos que o mdulo da velocidade mdia entre esses

instantes de tempo pode ser obtido a partir do segmento de reta secante ao grfico

da posio em funo do tempo. Esse segmento de reta deve ligar os pontos A e B

do grfico, pontos estes que correspondem aos instantes de tempo t1 e t2.

O conceito de velocidade instantnea est associado a um instante de tempo.

Por exemplo, t1. E escrevemos v (t1) para o mdulo dessa velocidade instantnea.

Podemos pensar que o mdulo da velocidade instantnea v (t1) o valor do mdulo

da velocidade mdia v (t1,t2) quando t2 tomado muito prximo de t1.

Desse modo, o clculo do mdulo da velocidade instantnea v (t1) pode ser feito

como o clculo do mdulo da velocidade mdia v (t1,t2), desde que o segmento de

reta secante seja substitudo por um segmento de reta tangente ao grfico posio x

tempo.

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a taxa de variao da posio de um corpo dentro de um intervalo de tempo

infinitesimal (na prtica, instantneo). Define-se velocidade instantnea ou

simplesmente velocidade como sendo:

Exemplo: Funo x = 3t + t3 + 2t 4 Velocidade no tempo 2s x = 3t + t + 2t - 4 v = dx = 3x2t2-1 + 2xt 3-1 + 2 0 dt v = 6t + 2t + 2 Se t = 2s v = 6x2 + 2x2 + 2 v = 12 + 8 + 2 v = 22m/s

a) Acelerao no tempo 10s v = 6t + 2t + 2 a= 6 + 2x2t- + 0 a= 6 + 4t a= 6 + 4x10 a= 46m/s Passo 2

Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os clculos e plote num

grfico as funes S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5s,

diga que tipo de funo voc tem e calcular a variao do espao percorrido e

a variao de velocidade para o intervalo dado.

Calcular a rea formada pela funo da velocidade, para o intervalo dado

acima.

Grfico s(m) x t(s) x = 3t + t + 2t - 4

t(s) x(m) 0 -4 1 2 2 20

6

Grfico v(m) x t(s) v = 6t + 2t + 2

Passo 3

Pesquisar sobre a acelerao instantnea de um corpo mvel, que define a

acelerao como sendo a derivada da funo velocidade.

Explicar o significado da acelerao instantnea a partir da funo s (espao),

mostrando que a acelerao a derivada segunda.

Utilizar o exemplo do Passo 1 e mostrar quem a sua acelerao a partir do

conceito de derivao aplicada a sua funo espao e funo velocidade.

Acelerao a taxa de variao da velocidade de um corpo em um dado intervalo

de tempo. Assim como a velocidade, ela apresenta suas interpretaes em

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

0 1 2 3 4 5

0

10

20

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4 5

3 56 4 116 5 206

t(s) v(m) 0 2 1 10 2 22 3 38 4 58 5 82

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situaes mais globais (acelerao mdia) e em situaes mais locais (acelerao

instantnea). Elas so definidas como:

(acelerao mdia)

(acelerao instantnea)

Passo 4

Plotar num grfico sua funo a(m/s2) x t(s) para um intervalo de 0 a 5

segundos e dizer que tipo de funo voc tem.

Grfico acelerao a(m/s) x t(s) a= 6 + 4t.

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5

t(s) a(m/s)

0 6

1 10

2 14

3 18

4 22

5 26

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Etapa 2

Aula-tema: Conceito de Derivadas e Regras de Derivao

Passo1

O que a Constante de Euler?

Trata-se de um nmero irracional, conhecido como e. Foi atribuido a este

nmero a notao e, em homenagem ao matemtico suio Leonhard Euler

(1707-1783), visto ter sido ele um dos primeiros a estudar as propriedades

desse nmero.

Podemos expressar esse nmero com 40 dgitos decimais, ou seja: e =

2,718281828459045235360287471352662497757

Pesquisar mais sobre a constante de Euler e fazer um resumo sobre esse

assunto de pelo menos uma pgina, constando dos dados principais a

respeito do assunto e curiosidades.

Existem inmeros sites na internet que traz informaes ricas sobre esse

assunto. Abaixo deixamos alguns para que possa ser pesquisado, alm do

Wikipdia.

Construir uma tabela com os clculos e resultados aplicados na frmula

abaixo, utilizando os seguintes valores para n = {1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000,

5000, 10000, 100000, 1000000}, esboar um grfico representativo e fazer uma

concluso a respeito.

Euler legou posteridade um nmero assombroso de trabalhos sobre as mais

diversas reas, da Engenharia Mecnica, da ptica Astronomia, da Msica

Matemtica (curvas, sries, clculo de variaes, clculo infinitesimal, Geometria,

lgebra).

Produziu tanto durante a sua vida que durante quase 50 anos depois da sua

morte, os seus artigos continuaram a ser publicadas na Academia de S.

Petersburgo. A lista bibliogrfica das suas obras, incluindo itens pstumos, contm

886 ttulos. A sua pesquisa Matemtica chegava a ser, em mdia, de 800 pginas

por ano, durante toda a sua vida.

No tempo em que esteve em Berlim, Euler ganhou o hbito de escrever artigos e

coloc-los numa pilha. Sempre que era necessrio material para as publicaes da

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Academia eram retirados artigos da mesma. Como a produo de Euler era superior

s publicaes, os artigos na base demoravam muito a ser publicados. Isso explica

o fato de quando alguns artigos surgirem, extenses e melhorias dos mesmos j

terem sido publicadas antes, com a assinatura de Euler.

Jamais algum matemtico ter superado a produo deste homem. Como tal,

iremos referir somente algumas das contribuies de Leonard Euler para a cincia.

Inicialmente, o fundamento da utilizao baseava-se em representar um

nmero infinito, tal como Wallis (1616-1705) usara o . Desta maneira, Euler

apresentava

ex = lim (1 + x/i) i

onde, atualmente se escreve

ex = lim (1 + x/n)n.

Mas somente aps a opo, por parte de Gauss (1777 - 1856), do

smbolo i no seu livro Disquisitiones Arithmeticae em 1801, que se assegurou a

sua utilizao nas notaes Matemticas.

Aps apresentao dos smbolos, cuja introduo e opo se devem a

Euler, foi possvel combinar os nmeros e e i com o 0 e o 1 na mais clebre

igualdade que contm os cinco nmeros:

e i + 1 = 0

Esta revela uma importante relao entre os mesmos. A Euler tambm

associada introduo das seguintes notaes:

A sexta constante mais importante da Matemtica, a Constante de Euler.

- O logaritmo de x, ln x;

- O uso da letra para a adio;

- f(x) para uma funo de x.

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n = lim (1+1)n n n

1 2 5 2,48832 10 2,59374246 50 2,691588029 100 2,704813829 500 2,715568521 1000 2,716923932 5000 2,71801005 10000 2,718145927 100000 2,718268237 1000000 2,718280469

Passo2

Pesquisar sobre sries harmnicas na msica, na matemtica e na fsica e

sobre somatria infinita de uma PG. Fazer um relatrio resumo com as

principais informaes sobre o assunto de pelo menos 1 pgina e explicar

como a Constante de Euler se relaciona com srie harmnica e com uma PG,

mostrando as similaridades e as diferenas.

O ouvido humano consegue distinguir diferentes qualidades de som. As notas

de um piano e de uma flauta so um exemplo. Mesmo quando um piano e uma

flauta tocam duas notas idnticas, perfeitamente afinadas, ainda assim distinguimos

uma da outra. Como isso ocorre, se a nota tocada a mesma? O que diferencia os

sons do piano e da flauta o timbre de cada instrumento, algo que pode ser definido

como a impresso sonora ou o colorido particular de cada som. Os timbres, por

sua vez, resultam da srie harmnica, que pode ser explicada como o conjunto de

frequncias sonoras que soa em simultaneidade com uma nota principal.

Quando ouvimos um som, na realidade escutamos tambm uma srie de

outras frequncias mais agudas que no conseguimos perceber individualmente,

apenas como um conjunto sonoro. Essas frequncias secundrias se manifestam na

forma de timbre em nossos ouvidos. Um corpo em vibrao no produz apenas uma

nica nota (ou frequncia), mas sim um conjunto de vrias frequncias, que so

chamadas de harmnicos. A importncia que cada harmnico ter para cada nota

de cada instrumento musical o que definir o timbre.

Num texto anterior (Msica das Esferas) falamos sobre Pitgoras (570 a.C. -

496 a.C.), o matemtico grego que descobriu as relaes entre o tamanho de uma

corda e a altura da nota por ela produzida. Pitgoras observou que uma corda de

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120 cm, que emitia a nota d 1, por exemplo, quando dividida ao meio, produzia a

nota d 2, ou seja, um som oitava acima. Quando a corda de 120 cm era dividida em

trs partes, sendo tocada uma dessas partes (de 40 cm), obtinha-se a nota sol 2, ou

seja, um som uma quinta acima do d 2. Prosseguindo nas divises da corda em

quatro, cinco, seis partes, e assim por diante, Pitgoras descobriu relaes

matemticas lgicas entre o tamanho das cordas e as alturas das notas. Quanto

menores as divises, mais agudos e dissonantes ficavam os sons secundrios com

relao nota original. Pitgoras explicava desse modo, na teoria, a srie

harmnica.

Quando a corda de uma harpa tocada, ela vibra simultaneamente em toda a

sua extenso e em pequenas partes proporcionais (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, etc.), como

assinalou Pitgoras. Consequentemente, escutamos o som da vibrao total da

corda e os sons das vibraes secundrias. Ouvimos, portanto, a nota fundamental

e sua srie harmnica.

Srie Harmnica Matemtica

Em matemtica, a srie harmnica a srie infinita definida como:

O nome harmnico devido semelhana com

a proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda a vibrar: 1, 1/2, 1/3,

1/4, ... (ver srie harmnica (msica).

Esta srie diverge lentamente. A demonstrao (feita originalmente na Idade

Mdia por Nicole d'Oresme) faz-se tendo em conta que a srie

termo a termo maior que ou igual srie

que claramente diverge.

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Passo 3

CRESCIMENTO POPULACIONAL

Com base nas informaes acima, considerar uma colnia de vrus em um

determinado ambiente. Um analista de um laboratrio ao pesquisar essa

populao, percebe que ela triplica a cada 8 hora. Dessa forma, utilizando o

modelo populacional de Thomas Malthus, quantos vrus haver na colnia

aps 48 horas em relao ltima contagem?

Nt= No x ert n48= 50xe48x0,137326 No= 50xer8 n48= 50xe6x591673 150= 50xer8 n48= 36449,59 er8= 150/50 er8= 3 Ln er8 = 3 r8 = Ln3 r= Ln3/8 r= 0,137326

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Principle of Population Malthus, 2011. Disponvel em: . Bibliografia complementar HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Fsica I. 7 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.

Constante deEuler. . Funes Exponenciais. 2011. Disponvel em: .