ATSITIKTINIAI PROCESAI(paskaitų konspektas 2014[1] )

Alfredas RačkauskasVilniaus universitetasMatematikos ir Informatikos fakultetasEkonometrinės analizės katedra

Vilnius, 2014

Iš dalies rėmė Projektas VP1-2.2-ŠMM-07-K-02-008

Turinys

1 Mato teorijos elementai 71.1 Aibės ir funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Mačios erdvės ir erdvės su matu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Mačios funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4 Mačių realiųjų funkcijų integravimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5 Pratimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 Atsitiktiniai dydžiai 372.1 Apibrėžimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 Pasiskirstymo funkcija ir kitos charakteristikos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 Atsitiktiniai vektoriai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4 Nepriklausomumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.5 Sąlyginis vidurkis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.6 Naudingi tikimybių teorijos faktai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.7 Pratimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3 Atsitiktiniai procesai 573.1 Apibrėžimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2 Atsitiktinių procesų skirstiniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.3 Klasifikavimas pagal skirstinius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.4 Klasifikavimas pagal trajektorijas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.5 Pratimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4 Martingalai 854.1 Diskretaus laiko martingalo apibrėžimas, pavyzdžiai . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2 Paprasčiausios savybės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.3 Martingalų konvergavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.4 Tolydaus laiko martingalai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.5 Kai kurie taikymai ekonomikoje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.6 Pratimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5 Puasono procesas 975.1 Apibrėžimas ir modeliavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.2 Puasono procesų suma ir išskaidymas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.3 Sudėtinis Puasono procesas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3

5.4 Nehomogeniškas Puasono procesas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.5 Pratimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6 Brauno judesio procesas 1076.1 Apibrėžimas ir paprasčiausios savybės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.2 Atsitiktiniai procesai susiję su Brauno judesiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.3 Vynerio proceso modeliavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.4 Trajektorijų savybės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.5 Stochastinis integralas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.6 Pratimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Literatūros sąrašas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4

Įvadas

Teorija be praktikos - sausaPraktika be teorijos - akla. (E. Kantas)

Su neapibrėžtumais susiduriame nuolatos. Koks bus rytoj oras? Kaip keisis JAV dolerio kur-sas Euro atžvilgiu? Kiek kitą mėnesį išleisime maistui? Didės ar mažės kitais metais Lietuvosbendrasis vidaus produktas (BVP)? Tokie ir panašūs klausimai domina kiekvieną. Aišku, tikslausatsakymo į juos negali pasakyti niekas. Todėl dažnai į pagalbą pasitelkiame tikimybių teoriją, kuritiria neapibrėžtumus, jų pobūdį, dėsningumus ir gali pasiūlyti įvairių priemonių jiems nustatytibei modeliuoti. Sistemos būsenai vienu kuriuo nors laiko momentu aprašyti paprastai naudojamiatsitiktiniai dydžiai. Norėdami suprasti sistemos kitimą (evoliuciją) laike, atsitiktinį dydį turimepriskirti kiekvienam laiko momentui. Gautas atsitiktinių dydžių rinkinys yra atsitiktinis procesas(terminas „stochastinis procesas” yra lygiavertis). Jų pagalba sukonstruoti matematiniai modeliaisutinkami įvairiose srityse: economikoje, finansuose, fizikoje, klimatologijoje, telekomunikacijoje,biologijoje ir t.t.

Atsitiktinių procesų teorija yra labai turininga ir gerai išvystyta, o jos užuomazgos siekia net1827 metus, kai Anglų botanikas R. Brown’as stebėjo žiedadulkės chaotišką judėjimą skystyje(vėliau pavadint1 Brauno judesiu).

1 pav. Chaotiškas dalelės judėjimas skystyje

Šį nereguliarų tolydų judėjimą Einstein’as 1905 metais paaiškino šilumine molekulių osciliacijair pirmasis jį aprašė matematiškai. Pagal jo modelį dalelės pozicija kiekvienu laiko momentu yraatsitiktinis dydis, o jos trajektorija turi būti nagrinėjama kaip atsitiktinės laiko funkcijos grafikas.Dabar tai plačiai žinomas ir daug pritaikymų sulaukęs Brauno judesio procesas. Vėliau Einstein’o

5

modelį apibendrino Wiener’is. Todėl dažnai Brauno judesio procesas dar vadinamas Wiener’iovardu. Šis procesas yra bene plačiausiai taikomas modeliuojant įvairias reiškinius.

Modeliavimas yra neatsiejama bet kurio mokslo dalis - tiek socialinio, tiek gamtos. Realauspasaulio sistemos paprastai yra labai sudėtingos. Norėdami šias sistemas suprasti, prognozuotijų elgesį ar kontroliuoti, turime jas supaprastinti, t.y. sukurti modelį. Modelis – originalo atvaiz-das, tapatus pasirinktu struktūros lygmeniu arba pasirinktomis funkcijomis (TŽŽ). Egzistuoja daugmodelio formų: pavyzdžiui, verbaliniai/logistiniai (sistemų veiklos aiškinimas paradigmomis, kaipantai, nematomos rankos paradigma), fikiniai (sumažinto mastelio ir supaprastintos veiklos mode-liai), geometriniai (lentelės, diagramos), algebriniai (algebrinės lygtys) ir pan. Sukurti matematinįmodelį reiškia nagrinėjamai sistemai suteikti matematinę išraišką. Čia gali pasireikšti du kraštuti-numai: realistinis ir idealistinis. Realistinis modelis paprastai gana tiksliai aprašo tiriamą sistemą,bet būna toks sudėtingas, kad neįmanoma jo nei ištirti, nei įvertinti. Idealistinis modelis, su kuriuolengva dirbti, gali būti gerokai nutolęs nuo realaus tiriamo fenomeno. Todėl geras modelis yra tamtikras kompromisas tarp realaus ir idealaus. Rasti tinkamą kompromisą yra menas, kurio rezultatusnulemia žinios, įgūdžiai ir, be abejo, talentas.

Matematiniai modeliai būna arba deterministiniai, arba stochastiniai. Pirmieji postuluoja tiks-lią nagrinėjamų sistemų funkcinę priklausomybę ir neatsižvelgia į galimus neapibrėžtumus. Taigideterministiniai matematiniai modeliai nėra pats geriausias įrankis, pavyzdžiui, ekonominėms arsocialinėms sistemoms tirti. Modeliai aprašomi lygtimis, į kurias įeina atsitiktiniai procesai, va-dinami stochastiniais. Ekonometristams jie yra pagrindinis įrankis tiriant ekonomines sistemas,finansų makleriams padeda spręsti atsargų problemas ar sekti finansinių biržų būseną, komunika-cijų specialistams – atskirti informatyvius signalus nuo natūralių ar dirbtinų triukšmų, atpažintivaizdus, o biologams – suprasti genų mutacijos principus, augmenijos ir gyvūnijos populiacijųpasiskirstymus, epidemijų plitimą ir t.t.

Šios paskaitos apima įvadinį atsitiktinių procesų teorijos kursą. Jų tikslas yra ugdyti stochas-tinio modeliavimo, taikant atsitiktinius procesus, kompetencijas bei vystyti stochastinį mąstymą.Šiame kurse supažindinama su pagrindinėmis atsitiktinių procesų sąvokomis bei savybėmis. Tarpjų yra stacionarumas, ergodiškumas, reguliarumas. Pristatomos svarbiausios atsitiktinių proce-sų klasės: diskretaus ir tolydaus laiko Markovo procesai, diskretaus ir tolydaus laiko martingalai,Puasono, atstatymo bei Brauno judesio procesai. Pateikti įvairių pritaikymų pavyzdžiai padėspasinaudoti atsitiktinių procesų teorija identifikuojant, formuluojant ir sprendžiant įvairius taiko-muosius uždavinius.

6

1 skyrius

Mato teorijos elementai

Intervalo I ⊂ R (atviro, uždaro ar pusiau atviro), kurio kraštiniai taškai yra a < b ∈ R ilgislygus `(I) = b − a. O koks yra bet kurios kitos (ne intervalo) aibės A ⊂ R ilgis `(A)? Kaipjį apskaičiuoti? Bandymai atsakyti į šiuos klausimus matematikams padovanojo Lebego matą(pavadintą Henri Lebesgue (1875–1941) garbei). O poreikis pamatuoti dar sudėtingesnius objektus(ir ne tik plotą, tūrį ar pan.) išsivystė į turiningą mato teoriją. Šiame skyriuje jos pristatyta tiek,kiek reikės geresniam atsitiktinių procesų teorijos supratimui. Jei kam pasirodys, kad pateiktasžinių bagažas yra skurdokas, papildomam skaitymui rekomenduojame [5] vadovėlio bei [6], [2]knygų skyrius, skirtus mato teorijai.

1.1 Aibės ir funkcijos

Veiksmai su aibėmis

Aibe vadiname tam tikrų matematinių objektų rinkinį, visumą ir dažniausiai aprašome kokiu norsbūdu nusakydami jos elementus. Raide R įprasta žymėti realiųjų skaičių aibę, C – kompleksinių,N – natūraliųjų, Z – sveikųjų, Q – racionaliųjų skaičių aibes, o N0 = 0, 1, 2, . . . .

Jei A – kažkokia aibė, tai x ∈ A reiškia, kad x yra tos aibės elementas, o x 6∈ A – elementas xnepriklauso aibei A. Norėdami išskirti aibės A elementus, turinčius savybę P, rašysime x ∈ A :P arba, jei aišku apie kokios aibės elementus kalbame, trumpiau x : P.

Tuščia aibe vadiname aibę neturinčią nei vieno elemento. Ją žymėsime simboliu ∅. Aibė,susidedanti iš vieno elemento x, žymima x (atkreipkite dėmesį, kad x ir x skiriasi, pvz.,∅ 6= ∅). Jei kiekvienas x ∈ A yra kartu ir aibės B elementas, tai sakome, kad A yra B poaibis(arba B yra aibės A viršaibis) ir rašome A ⊆ B (arba B ⊇ A). Jei A ⊆ B ir B ⊆ A, tai aibės A irB sutampa: A = B. Aibė A yra tikrinis aibės B poaibis (arba B yra A tikrinis viršaibis) (žymimeA ⊂ B arba B ⊃ A), jei A ⊆ B ir A 6= B. Aibė 2A yra sudaryta iš visų aibės A poaibių:

2A = B : B ⊆ A.

Atlikdami veiksmus su aibėmis neakivaizdžiai tariame, kad jos yra vienos kurios nors (universa-lios) aibės poaibiai. Dviejų aibių A ir B sankirta A

⋂B yra aibė x : x ∈ A ir x ∈ B, o sąjunga

A⋃B = x : x ∈ A arba x ∈ B. Analogiškai bet kokiai indeksų aibei I ir aibių sistemai

7

Aα, α ∈ I apibrėžiame sąjungą⋃α∈I

Aα = x : x ∈ Aα kuriam nors α ∈ I

ir sankirtą ⋂α∈I

Aα = x : x ∈ Aα su visais α ∈ I.

Jei aibės Ai, i ∈ I poromis nesikerta, t.y. Ai ∩ Aj = ∅, kai i 6= j, tai vietoj sąjungos ženklo⋃

naudosime sumos –∑

, t.y.∑

i∈I Ai =⋃i∈I Ai, kai (Ai) yra poromis nesikertančių aibių šeima.

Kiti svarbesni veiksmai su aibėmis yra aibių skirtumas

A\B = x : x ∈ A, x 6∈ B

bei simetrinis skirtumasA∆B = (A\B) ∪ (B\A).

Jei B ⊂ A tai skirtumas A\B dar vadinamas aibės B papildiniu (iki aibės A) ir, tuo atveju, kaiaibė A aiški iš konteksto, žymimas Bc.

Aibių sąjungai ir sankirtai galioja De Morgan’o dėsniai:

(1.1)(⋃i∈I

Ai

)c=⋂i∈I

Aci ;(⋂i∈I

Ai

)c=⋃i∈I

Aci

Aibių A1, A2, . . . , Ad Dekarto sandauga yra sudaryta iš sutvarkytų rinkinių (x1, x2, . . . , xd),x1 ∈ A1, x2 ∈ A2, . . . , xd ∈ Ad ir žymima

A1 × A2 × · · · × Ad; Ad = A× · · · × A︸ ︷︷ ︸d kartų

.

Svarbus pavyzdys yra Rd = (x1, . . . , xd) : xi ∈ R, i = 1, . . . , d. Aibę Rd dar vadiname d-matevektorine erdve, o jos elementus tuomet reiškiame vektoriais stulpeliais.

Binariniai sąryšiaiAibės S elementų binariniu sąryšiu ∼ vadinamas bet kuris aibės S × S poaibis E ⊂ S × S. Jei(x, y) ∈ E tai sakome, kad elementas x ∈ S susijęs su elementu y ∈ S sąryšiu ∼ . Norėdamitai pažymėti, rašome x ∼ y arba x ∼E y, jei reikia pabrėžti aibę E. Aibės S elementų binarinissąryšis∼ yra refleksyvusis, jei x ∼ x su kiekvienu x ∈ S, asimetrinis, jei kartu x ∼ y ir y ∼ x galibūti tik tuomet, kai x = y, tranzityvusis, jei iš x ∼ y, y ∼ z gauname x ∼ z. Sąryšis E vadinamassimetriniu,jei y ∼ x, kai tik x ∼ y.

Refleksyvus simetrinis tranzityvus sąryšis vadinamas ekvivalentumo sąryšiu. Štai porą papras-čiausių pavyzdžių.

1.1 pavyzdys. S = Z, n - duotas sveikasis skaičius. Sąryšis x ∼ y reiškia x = y(mod n).

1.2 pavyzdys. S = R. Sąryšis x ∼ y reiškia, kad x− y yra sveikasis skaičius.

8

Jei ∼ – aibės S ekvivalentumo sąryšis ir x ∈ S, tai aibė y ∈ S : y ∼ x vadinama elementąx atitinkančia ekvivalentumo klase ir dažnai žymima [x].

1.1 teiginys. Dvi ekvivalentumo klasės yra arba lygios, arba nesikerta.

Įrodymas. Tarkime, [x] ir [y] - dvi aibės S ekvivalentumo klasės, atitinkančios sąryšį ∼. Jei[x] ∩ [y] 6= ∅, tai [x] = [y]. Tikrai, tegu u ∈ [x] ir v ∈ [x] ∩ [y]. Tuomet u ∼ v ir v ∼ y.Remiantis tranzityvumo savybe, u ∼ y, taigi u ∈ [y]. Vadinasi, [x] ⊂ [y]. Taip pat samprotaudamiįsitikiname, kad [y] ⊂ [x].

Šis teiginys leidžia aibę suskaidyti į ekvivalentumo klases, kurių šeima vadinama faktor-aibeatžvilgiu nagrinėjamo ekvivalentumo sąryšio ∼ arba tiesiog faktor-aibe ir žymima S/ ∼ :

S/ ∼ = [x] : x ∈ S.

Galima įsitikinti, kad 1.1 pavyzdyje R/ ∼= [0], [1], . . . , [n− 1].

FunkcijosVisur toliau terminai atvaizdis ir funkcija vartojami kaip sinonimai ir užrašas

f : U → V

žymi vienareikšmę funkciją, apibrėžtą aibėjeU su reikšmių sritimi aibėje V : kiekvienam elementuiu ∈ U funkcija f priskiria vienintelį elementą f(u) = v ∈ V .

Funkcija su reikšmėmis realiųjų skaičių aibėje R vadinama realiaja, o su reikšmėmis išplėsti-nėje skaičių tiesėje R = [−∞,+∞] – skaitine.

Įprasta V U žymėti aibę visų funkcijų f : U → V,

V U := f : U → V .

Svarbūs pavyzdžiai yra aibė RT = f : T → R, kai T bet kuri aibė ir atskiras jos atvejis, intervale[a, b] apibrėžtų realiųjų funkcijų aibė R[a,b] = f : [a, b]→ R.

AibėGf = (u, f(u)) : u ∈ U ⊂ U × V

vadinama funkcijos f grafiku. Jei A ⊂ U , tai f(A) := f(u) ∈ V : u ∈ A yra aibės Avaizdas, o f−1(B) = u ∈ U : f(u) ∈ B, vadinama aibės B ⊂ V pirmavaizdžiu. Atvaizdisf : U → V vadinamas siurjekcija arba aibės U atvaizdžiu į aibę V , jei f(U) = V ir injekcija, jeif(x1) 6= f(x2), kai x1 6= x2. Atvaizdis f : U → V vadinamas bijekcija, jei f yra ir injekcija, irsiurjekcija.

Jei f : U → V yra bijekcija, tai su kiekvienu v ∈ V egzistuoja tik vienas toks elementasu ∈ U , kad v = f(u). Šiuo atveju sakome, kad egzistuoja funkcijos f atvirkštinė funkcija, kurižymima f−1 ir kuri aibę V atvaizduoja į aibę U pagal šią taisyklę:

f−1(v) = u, jei f(u) = v.

9

Atvaizdžio f apibrėžimo sritį ir reikšmių sritį įprasta žymėti atitinkamai D(f) ir R(f). Funkcija fvadinama funkcijos g tęsiniu, o g – f siauriniu, jei D(g) ⊂ D(f) ir f(x) = g(x), kai x ∈ D(g).Dvi funkcijos yra lygios, jei sutampa jų apibrėžimo sritys ir reikšmės:

f = g, jei D(f) = D(g) ir f(x) = g(x) su visais x ∈ D(f).

Jeigu f : U → V, g : V → Z, tai funkcija

g f : U → Z, g f(u) = g(f(u)), kai u ∈ U,

vadinama funkcijų f ir g kompozicija, arba sudėtine funkcija.Jei A ⊂ U , tai aibės A indikatorinė funkcija 1A : U → R yra apibrėžta šia formule:

1A(x) =

1, kai x ∈ A;

0, kai x 6∈ A.

Funkciją f : N → V , kurios apibrėžimo sritis yra natūralieji skaičiai, vadiname aibės Velementų seka ir vietoj f(n) rašome fn. Sekas įprasta žymėti (fn, n ∈ N), (fn)n∈N, (f1, f2, . . . )arba trumpiau – (fn).

Aibių A1, A2, . . . Dekarto sandaugą A1 × A2 × · · · sudaro sekos (xi, i ∈ N), kai xi ∈ Ai :

A1 × A2 × · · · = (x1, x2, . . . ) : x1 ∈ A1, x2 ∈ A2, . . . .

Kai visos aibės Ai yra lygios, tarkime, Ai = A su visais i = 1, 2, . . . , begalinę sandaugą A1 ×A2 × · · · žymėsime AN arba A∞. Visų realiųjų skaičių sekų aibė yra RN:

RN = (xn, n ∈ N) : xn ∈ R su visais n ∈ N.

Aibė yra baigtinė, jei ji turi n elementų su kuriuo nors baigtiniu n ∈ N. Priešingu atveju aibėyra begalinė. Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių aibė N yra begalinė. Aibė B vadinama skaičia, jeiegzistuoja funkcija f , atvaizduojanti B į N abipus vienareikšmiškai. Jei aibė nėra nei baigtinė neiskaiti, tai ji vadinama neskaičia. Pavyzdžiui, norint įsitikinti, kad N × N yra skaiti aibė, užtenkapastebėti, kad f(n,m) = 2m(2n+1)−1 atvaizduoja N×N į N abipus vienareikšmiškai. Atvaizdisn→ 2n+ 1, kai n ≥ 0 ir n→ 2|n|, kai n < 0, nustato abipus vienareikšmę atitinkamybętarp aibių Z ir N.

Racionaliųjų skaičių aibė yra skaiti, o bet kuris netuščias atviras realiųjų skaičių intervalas –neskaiti. Be to, galima įsitiktinti, kad skaiti skaičių aibių sąjunga yra skaiti aibė (žr. 1.6 pratimą).

1.2 Mačios erdvės ir erdvės su matu

Mačios erdvėsTarkime, turime netuščią aibę S. Nagrinėsime jos poaibių šeimas, t.y. aibės 2S poaibius.

1.1 apibrėžimas. Aibės S poaibių šeima S ⊆ 2S vadinama algebra, jeigu ji pasižymi šiomis savy-bėmis:

10

(i) S ∈ S;

(ii) jei A ∈ S, tai ir Ac ∈ S;

(iii) jei A1, . . . , An ∈ S tai ir⋃ni=1Ai ∈ S.

Algebra S vadinama σ algebra, jei ji yra uždara skaičios sąjungos atžvilgiu, t.y., jeiA1, A2, · · · ∈ Stai ir

⋃∞i=1 Ai ∈ S.

Algebrai visada priklauso tuščia aibė ∅ = Sc. Iš De Morgan’o (1.1) tapatybių gauname, kadσ algebra (atitinkamai algebra) yra uždara skaičios (atitinkamai baigtinės) sankirtos atžvilgiu. Betkuri σ algebra yra ir algebra, bet ne atvirkščiai (žr. 1.7 pratimą).

1.1 pavyzdžiai. (a) Trivialioji σ algebra yra S = S, ∅.

(b) Diskrečioji σ algebra yra S = 2S.

(c) Jei A ⊂ S, tai S = A,Ac,S, ∅ yra algebra.

1.2 teiginys. Bet kuriam aibės S poaibių rinkiniuiA egzistuoja mažiausia σ algebra σ(A), kuriaipriklauso A (ją vadinsime šeimos A generuota σ algebra).

Įrodymas. Tegu I yra rinkinys visų σ algebrų, kurioms priklausoA. Kadangi diskrečioji σ algebra2S ∈ I, tai rinkinys I yra netuščias. Apibrėžkime σ(A) =

⋂F∈I F . Kadangi A ∈ F kiekvienai

σ algebrai F ∈ I, tai A ⊂ σ(A). Lieka patikrinti, kad σ(A) yra σ algebra. Kadangi S ∈ Fkiekvienai F ∈ I, tai S ∈ σ(A). Jei A ∈ σ(A), tai A ∈ F kiekvienai F ∈ I. Kadangi F yra σalgebra, tai Ac ∈ F . Taigi Ac ∈ σ(A). Jei (Ai, i ≥ 1) ⊂ σ(A), tai (Ai, i ≥ 1) ⊂ F , ir

⋃iAi ∈ F

kiekvienai F ∈ I. Taigi⋃iAi ∈ σ(A).

1.2 apibrėžimas. Realiųjų skaičių aibės R Borelio σ algebra BR yra aibių šeimos

A := [a, b), (−∞, b), [a,∞), (−∞,∞), a, b ∈ R

generuota σ algebra: BR = σ(A).

1.3 apibrėžimas. Aibių rinkinys A ⊂ 2S yra

• π sistema, jei A1 ∩ A2 ∈ A, kai A1, A2 ∈ A;

• λ sistema, jei

(i) S ∈ A;

(ii) B \ A ∈ A, kai A,B ∈ A ir A ⊂ B;

(iii) skaiti poromis nesikertančių aibių išA sąjunga priklausoA, t.y., jei A1, A2, · · · ∈ A irAi ∩ Aj = ∅, kai i 6= j, tuomet

⋃∞i=1Ai ∈ A.

Ekvivalenti (iii) savybei yra ši:

(iii’) jei (Ai) ⊂ A, A1 ⊂ A2 ⊂ · · · tai⋃∞i=1Ai ∈ A.

11

Įsitikinti ekvivalentumu paliekame vietoj pratimo.Akivaizdu, kad σ algebra yra tiek π sistema, tiek λ sistema. Teisingas ir atvirkščias teiginys.

1.3 teiginys. Aibės S poaibių šeima yra σ algebra, jei ji yra kartu ir π sistema, ir λ sistema.

Įrodymas. Tarkime, E ⊂ 2S yra ir π sistema ir λ sistema. Pirmiausia pastebime, kad E yrauždara papildinio atžvilgiu: jei A ∈ E tai ir S \ A ∈ E , nes S ∈ E ir A ⊂ E , o E yra λ sistema.Įsitikinkime, kad A ∪ B ∈ E , kai A,B ∈ cE. Taip yra, nes A ∪ B = (Ac ∩ Bc)c, o E yra uždaraatžvilgiu papildinio (λ sistema) ir sankirtos (π sistema) operacijų. Tegu (An) ⊂ E . Įsitikinkime,kad ∪k≥1Ak ∈ E . Tegu B1 = A1, B2 = A2 ∩Ac1, . . . Bk = Ak ∩Ack−1 ∩ · · · ∩Ac1, . . . . Aibės (Bk)nesikerta ir priklauso E . Be to,

⋃∞k=1Ak =

⋃∞k=1Bk. Teiginys pilnai įrodytas.

1.1 teorema. Tegu E ⊂ 2S yra λ sistema, o B ⊂ 2S yra π sistema. Jei E ⊃ B tai E ⊃ σ(B).

Įrodymas. Tegu B′ yra mažiausia λ sistema, kuriai priklauso B. Įsitikinsime, kad B′ ⊃ σ(B). Tampakanka patikrinti, kad B′ yra σ algebra. O tam, savo ruožtu, pakanka patikrinti, kad λ sistema B′yra kartu ir π sistema. Pasinaudosime šiuo teiginiu, kurio įrodymui pakanka žingsnis po žingsniopatikrinti λ sistemos apibrėžimą.

1.4 teiginys. Jei A yra λ sistema ir A ∈ A, tuomet ir A′ = B ∈ A : B ∩A ∈ A yra λ sistema.

Tęsdami teoremos įrodymą, fiksuokime B ∈ B ir nagrinėkime

D1 := A ∈ B′ : A ∩B ∈ B′.

Kadangi B ⊂ B′ tai, remiantis 1.4 teiginiu, D1 yra λ sistema. Be to, jai priklauso B : jei A ∈ B taiA ∩B ∈ B. Taigi D1 ⊃ B′.

Gauname, kad fiksuotai aibei A ∈ B′, rinkinys

D2 := B ∈ B′ : A ∩B ∈ B′

apima irB. Remiantis 1.4 teiginiuD2 yra λ sistema, taigi turi apimtiB′. Tai reiškia, kadA∩B ∈ B′,kai A,B ∈ B′.

1.4 apibrėžimas. Pora (S,S), kai S yra netuščia aibė, o S – jos poaibių σ algebra, vadinamamačiąja erdve. Aibės A ∈ S vadinamos mačiosiomis.

MataiMatai yra kaip tik ta matematinė priemonė, kuri padeda „pamatuoti” aibes (prisiminkime skyriauspradžioje iškeltą klausimą), o mačios aibės yra tos, kurias galima „pamatuoti”.

1.5 apibrėžimas. Tarkime, A yra aibės S poaibių algebra. Funkcija µ : A → [0,∞] vadinamamatu, jei teisingos šios aksiomos:

(1) µ(∅) = 0;

12

(2) jei An ∈ A, n = 1, 2, . . . , An ∩ Am = ∅, kai n 6= m, ir A =∑

nAn ∈ A, tai

µ(A) =∞∑k=1

µ(Ak).

Matas µ, apibrėžtas algebroje A, vadinamas:

• baigtiniu, jei µ(S) <∞;

• tikimybiniu, jei µ(S) = 1;

• σ-baigtiniu, jei egzistuoja tokia aibių seka (An) ⊂ A, kad S =⋃nAn ir µ(An) < ∞ su

kiekvienu n ∈ N.

1.3 pavyzdys. (1) Tarkime, (S,S) - mati erdvė, x ∈ S - duotas aibės S elementas. Aibei A ∈ Sapibrėžkime

µ(A) = δx(A) =

1, jei x ∈ A,0, jei x 6∈ A.

Galima įsitikinti, kad δx yra erdvės (S,S) matas. Jis vadinamas Dirako matu taške x.

(2) Tarkime, (S,S) - mati erdvė, D ⊂ S skaiti mati aibė. Aibei A ∈ S apibrėžkime

µD(A) =∑x∈D

δx(A).

Galima įsitikinti, kad taip apibrėžta aibių funkcija µD yra erdvės (S,S) matas, kuris „suskai-čiuoja” aibės A ∩ D elementus (jų gali būti ir begalo daug).

(3) Tarkime, (S,S) - mati erdvė, D ⊂ S skaiti mati aibė, m : D → R kokia nors neneigiamafunkcija. Aibei A ∈ S apibrėžkime

µD(A) =∑x∈D

m(x)δx(A).

Galima įsitikinti, kad taip apibrėžta aibių funkcija µD yra erdvės (S,S) matas. Jis vadinamasdiskrečiuoju. Jei

∑x∈Dm(x) <∞, tai matas µ yra baigtinis. Jei

∑x∈Dm(x) = 1, tai matas

µ yra tikimybinis.

Svarbios mato savybės surinktos šiame teiginyje.

1.5 teiginys. Matas µ apibrėžtas algebroje A yra:

(1) monotoniškas, t.y., jei A,B ∈ A, A ⊂ B, tai µ(A) ≤ µ(B);

(2) tolydus, t.y., jei seka (An) ⊂ A yra monotoniškai didėjanti (t.y., A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ), tai

(1.2) µ(

limnAn

)= lim

n→∞µ(An);

13

(3) monotoniškai mažėjančiai sekai (An) (t.y., A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ) (1.2) galioja, jei µ(An0) < ∞kažkuriam n0 ≥ 1.

(4) skaičiai subadityvus, t.y., jei (An) ⊂ A ir⋃nAn ∈ A, tai

µ(⋃

n

An) ≤∑n

µ(An).

Įrodymas. (1) Kadangi A ⊂ B, tai B = A+B ∩ Ac. Aibės A ir A ∩Bc nesikerta, todėl

µ(B) = µ(A) + µ(B ∩ Ac) ≥ µ(A).

(2) Tegu A0 = ∅. Tuomet⋃∞n=1An =

∑∞n=1An \ An−1. Taigi

µ( ∞⋃n=1

An

)= µ

( ∞∑n=1

An \ An−1

)=∞∑n=1

µ(An \ An−1)

= limn→∞

n∑k=1

µ(Ak \ Ak−1) = limn→∞

µ( n∑k=1

Ak \ Ak−1

)= lim

n→∞µ(An).

(3) Nagrinėkime monotoniškai mažėjančią seką (An). Nemažindami bendrumo tarkime, kad n0 =1, t.y., µ(A1) <∞. Tegu Bn = A1 \ An, n > 1. Seka (Bn) yra monotoniškai didėjanti. Taigi

limnµ(Bn) = µ(lim

nBn) = µ

( ∞⋃n=1

(A1 ∩ Acn))

= µ(A1 ∩

∞⋃n=1

Acn

)= µ

(A1 ∩

( ∞⋂n=1

An

)c)= µ(A1)− µ

( ∞⋂n=1

An

)= µ(A1)− µ(lim

nAn).

Iš kitos pusėslimµ

(Bn) = limn

(µ(A1)− µ(An)) = µ(A1)− limnµ(An).

Kadangi µ(A1) <∞ šios lygybės reiškia, kad limn µ(An) = µ(limnAn).(4) Tegu B1 = A1, B2 = A2∩Ac1, . . . , Bk = Ak∩Ack−1∩· · ·∩Ac1. Aibės B1, . . . , Bn nesikerta

ir⋃nk=1Ak =

∑nk=1Bk. Taigi

µ( n⋃k=1

Ak

)= µ

( n∑k=1

Bk

)=

n∑k=1

µ(Bk)

≤n∑k=1

µ(Ak) ≤∞∑k=1

µ(Ak).

Lieka pereiti prie ribos, kai n→∞ ir pritaikyti mato tolydumo savybę.

14

1.6 apibrėžimas. Trejetą (S,S, µ), kai S yra aibės S poaibių σ algebra ir µ yra σ baigtinis matas,apibrėžtas σ algebroje S, vadinsime erdve su matu.

Jei µ yra tikimybinis matas, tai trejetas (S,S, µ) vadinamas tikimybine erdve. Abstrakti tikimybinėerdvė dažniausiai žymima (Ω,F , P ).

1.7 apibrėžimas. Aibė A ⊂ S vadinama µ-nuline, jei egzistuoja tokia aibė E ∈ S, kad µ(E) = 0ir A ⊂ E. Erdvė su matu (S,S, µ) vadinama pilna, jei kiekviena µ-nulinė aibė A ⊂ S yra mati.

Dažnai pasitaikantis būdas sukonstruoti erdves su matu yra toks. Pirmiausia matas aprašomaskuriai nors patogiai duotos aibės poaibių klasei. Toliau patikrinama ar, išlaikant norimas savybes,galima jį apibrėžti tos aibių klasės generuotoje algebroje. Generuotas algebras, priešingai nei σalgebras galima aprašyti konstruktyviai (žr. 1.8 pratimą). Galiausiai paskutiniame žingsnyje re-miamės mato pratęsimo teorema. Šį būdą kitame skyrelyje pritaikysime konstruodami realiųjųskaičių aibės Lebego bei Lebego-Stiltjeso matus (žr. 1.3 teoremą), o čia aptarsime labai svarbiąmato pratęsimo teoremą.

1.2 teorema. ( Carathéodory teorema ) Tarkime, µ yra σ baitinis matas apibrėžtas aibės S poai-bių algebroje A. Egzistuoja tokia σ algebra A∗ ⊃ A ir toks vienintelis mačios erdvės (S,A∗) σbaigtinis matas µ∗, kad µ∗(A) = µ(A), kai A ∈ A. Be to, erdvė su matu (S,A∗, µ∗) yra pilna.

Įrodymas. Bet kuriai aibei A ⊂ S apibrėžiame vadinamą jos išorinį matą:

(1.3) µ∗(A) := inf ∞∑n=1

µ(An) : A ⊂∞⋃n=1

An, An ∈ A, n ∈ N.

Apibrėžkime

A∗ := A ∈ 2S : µ∗(C) = µ∗(C ∩ A) + µ∗(C ∩ Ac), su visais C ∈ 2S.

Taip sukonstruoti µ∗ ir A∗ ir yra ieškomieji matas bei σ algebra. Pilną teoremos įrodymą galimarasti [5] knygoje.

1.1 pastaba. Išorinio mato µ∗ apibrėžime galima nagrinėti tik poromis nesikertančias aibes Ai,mato µ∗(A) reikšmė nuo to nepasikeis, t. y.:

(1.4) µ∗(A) = inf ∞∑n=1

µ(An) : A ⊂∞∑n=1

An, An ∈ A, n ∈ N.

Tikrai, tegu Ai ∈ A, i = 1, 2, . . . tokios aibės, kad⋃∞i=1Ai ⊃ A. Apibrėžkime

B1 = A1, Bi = Ai \i⋃

k=1

Ai, i > 1.

Aibės B1, B2, . . . nesikerta ir∑∞

i=1 Bi =⋃∞i=1Ai ⊃ A. Kadangi A yra algebra, tai jai priklauso

visos aibės Bi. Be to, Bi ⊂ Ai. Todėl∞∑i=1

µ(Bi) ≤∞∑i=1

µ(Ai).

15

Toliau lieka pasinaudoti tiksliojo apatinio rėžio apibrėžimu.

1.2 pastaba. Kadangi σ(A) ⊂ A∗, matą µ∗ galime nagrinėti ir aibėms A ∈ σ(A). Mato µ∗

siaurinys σ-algebroje σ(A) vadinamas mato µ tęsiniu į σ(A) ir dažnai žymimas tuo pačiu simboliuµ. Taigi µ(A) = µ∗(A), kai A ∈ σ(A).

Erdvių su matu sandaugosSkyrelį baigsime apibrėždami erdvių su matu sandaugą. Nagrinėkime erdves su matu (Si,Si, µi),i = 1, 2, . . . , n. Dekarto sandaugos

∏ni=1 Si σ algebra yra

n⊗i=1

Si = σA1 × · · · × An : Ai ∈ Si, i = 1, . . . , n.

Pora (∏n

i=1 Si,⊗n

i=1 Si) vadinama mačių erdvių (Si,Si), i = 1, . . . , n sandauga. Imdami aibesAi ∈ Si, i = 1, . . . , n, apibrėžkime

(1.5) µ(A1 × · · · × An) =m∏i=1

µi(Ai).

Galime įsitikinti (žr. 1.24 pratimą), kad µ yra matas algebroje

(1.6) A = A1 × · · · × An : Ai ∈ Si, i = 1, . . . , n.

Remdamiesi Carathéodory teorema, pratęskime matą µ į σ algebrą σ(A) =⊗n

i=1 Si. Gautą matąžymime µ1 ⊗ · · · ⊗ µn ir vadiname sandaugos matu. Trejetas

(n∏i=1

Si,n⊗i=1

Si,n⊗i=1

µi)

vadinamas erdvių su matu (Si,Si, µi), i = 1, 2, . . . , n tiesiogine sandauga. Kai (Si,Si, µi) =(S,S, µ) su kiekvienu i = 1, . . . , n, tai atitinkamą tiesioginę sandaugą žymėsime (Sn,S⊗n, µ⊗n).

Lebego-Stiltjeso matai1.3 teorema. Tegu F : R→ R yra monotoninė nemažėjanti tolydi iš dešinės funkcija. Egzistuojatoks Borelio σ algebroje BR apibrėžtas matas µ, kad

(1.7) µ((a, b]) = F (b)− F (a).

Matas µ vadinamas Lebego–Stiltjeso matu (atitinkančiu funkciją F ).

Įrodymas. Tegu AI yra aibė visų realiųjų skaičių tiesės R intervalų, pavidalo

(a, b], (−∞, b], (a,+∞), (−∞,+∞), a, b ∈ R.

16

Nagrinėkime rinkinį A, sudarytą iš visų baigtinių nesikertančių intervalų iš AI sąjungų: A ∈ A,jei A = ∪mi=1Ii, I1, . . . , Im ∈ AI ir Ii ∩ Ij = ∅, kai i 6= j. Galime įsitikinti, kad šeima A yraalgebra. Be to, jos generuota σ algebra sutampa su Borelio, σ(A) = BR (žr. 1.12 pratimą).

Pirmiausia matą µ apibrėžiame algebroje A. Tuo tikslu bet kuriam intervalui (a, b], kai a ≤b ∈ R, tegu µ((a, b]) = F (b)− F (a). Be to, tegu

µ((a,∞)) = limx→∞

[F (x)− F (a)],

µ((−∞, a]) = limx→−∞

[F (a)− F (x)],

kai a ∈ R ir. teguµ((−∞,∞)) = lim

x→+∞[F (x)− F (−x)].

Jei A ∈ A ir A =∑m

k=1 Ik, I1, . . . , Im ∈ AI , apibrėžkime

µ(A) =m∑k=1

µ(Ik).

Įsitikinkime, kad toks apibrėžimas yra korektiškas, tai yra µ(A) nepriklauso nuo aibės A reiškimobaigtine nesikertančių intervalų sąjunga. Tegu A =

∑dk=1 Jk. Pastebėkime, kad

Ik = Ik ∩ A =d∑j=1

(Ik ∩ Jj), Ji = Ji ∩ A =m∑l=1

(Ji ∩ Il), k = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , d.

Kadangi funkcija µ yra adityvi algebroje A, tai

µ(Ik) =d∑j=1

µ(Ik ∩ Jj), µ(Ji) =n∑l=1

µ(Ji ∩ Il).

Iš šių lygybių matome, kadm∑k=1

µ(Ik) =d∑l=1

µ(Jl).

Tai ir įrodo funkcijos µ apibrėžimo vienareikšmiškumą. Taigi µ(A) ≥ 0 apibrėžėme kiekvienaiaibei A ∈ A. Įrodykime, kad taip apibrėžta aibių funkcija µ yra algebros A matas. Tam pakankapatikrinti funkcijos µ skaitų adityvumą, nes µ(∅) = µ((a, a]) = F (a) − F (a) = 0. Tarkime,(a, b] =

∑∞n=1(an, bn] - skaiti nesikertnčių intervalų sąjunga. Tegu skaičiai ε > 0 ir δ > 0 yra

laisvai pasirenkami. Kadangi funkcija F tolydi iš dešinės, egzistuoja tokie εk > 0, kad

(1.8) F (bk + εk)− F (bk) < ε/2k, k ≥ 1.

Uždarą intervalą [a+δ, b] dengia atvirieji intervalai (ak, bk+εk), k ≥ 1. Remiantis Heinės–Borelioteorema (žr. [4]), egzistuoja toks svaikasis skaičius N , kad

(a+ δ, b] ⊂ [a+ δ, b] ⊂N⋃k=1

(ak, bk + εk) ⊂N⋃k=1

(ak, bk + εk].

17

Taigi

F (b)− F (a+ δ) ≤N∑k=1

[F (bk + εk)− F (ak)]

≤N∑k=1

[F (bk)− F (ak)] +N∑k=1

ε2−k

≤N∑k=1

[F (bk)− F (ak)] + ε.

Perėję prie ribos, kai δ → 0 ir ε→ 0 bei pritaikę funkcijos F tolydumą iš dešinės, gauname

(1.9) F (b)− F (a) ≤∞∑k=1

[F (bk)− F (ak)].

Kadangi (a, b] ⊃∑n

k=1(ak, bk] su kiekvienu n, tai

(1.10) F (b)− F (a) ≥∞∑k=1

[F (bk)− F (ak)].

Taigi skaitų adityvumą kai baigtinis intervalas yra nesikertančių intervalų sąjunga įrodo (1.9) ir(1.10) nelygybės. Galima įsitikinti, kad bet kuriam intervalui I ,

µ(I) =+∞∑

n=−∞

µ(I ∩ (n, n+ 1]).

Jei dabar I =∑∞

j=1 Ij yra nesikertančių baigtinių intervalų sąjunga, tai pagal jau įrodytą dalį∑µ(Ij) =

∑j

∑n

µ(Ij ∩ (n, n+ 1])

=∑n

µ(I ∩ (n, n+ 1]) = µ(I).

Dabar jau nesudėtinga užbaigti teoremos įrodymą.

Nemažėjanti tolydi iš dešinės funkcijs F : R→ R, tenkinanti sąlygas

limx→+∞

F (x) = 1, limx→−∞

F (x) = 0,

vadinama pasiskirstymo funkcija. Lebego–Stiltjeso matas µ = PF , kurį apibrėžia pasiskirstymofunkcija F , yra tikimybinis, t.y., PF (R) = 1. Be to, jei P yra tikimybinis matas, apibrėžtas realiųjųskaičių aibėje R, tuomet funkcija F (x) = P ((−∞, x]), x ∈ R yra pasiskirstymo funkcja.

18

Lebego matasNagrinėkime funkciją F (x) = x, x ∈ R. Ją atitinkantis Lebego–Stiltjeso matas µ vadinamasLebego matu ir toliau žymimas m. Dėl Lebego mato svarbos atskirai pateiksime jo apibrėžimą.Tuo tikslu, intervalo I ⊂ R ilgį žymėkime `(I).

1.8 apibrėžimas. Aibės A ⊂ R išoriniu Lebego matu m∗(A) vadinamas skaičius

m∗(A) = inf ∞∑k=1

`(Ik) : Ik yra toks atvirų intervalų rinkinys, kad E ⊂∞⋃i=1

Ii

.

Akivaizdu, kad 0 ≤ m∗(A) ≤ ∞.

1.4 teorema. Išorinis Lebego matas m∗ apibendrina ilgį, yra monotoninis ir invariantinis postū-miams. Be to,

• m∗(A) = 0, jei A yra skaiti aibė;

• bet kuriai aibių sekai Ai ⊂ R, i ≥ 1,

m∗( ∞⋃i=1

Ai

)≤

∞∑i=1

m∗(Ai).

1.9 apibrėžimas. Aibė A ⊂ R vadinama Lebego prasme mačia, jei su bet kuria aibe B ⊂ R

m∗(A) = m∗(A ∪B) +m∗(A ∪Bc).

1.10 apibrėžimas. Lebego prasme mačios aibės A Lebego matas m(A) yra apibrėžiams kaip iš-orinis matas m∗(A), t.y.

m(A) = m∗(A).

Aibę visų Lebego prasme mačių R poaibių žymime A∗. Žemiau išrašytos savybės parodo,kad m yra matas σ-algebroje A∗. Be to, trejetas (R,A∗,m) yra pilna erdvė su matu. Bet dažniaunagrinėjame lebego mato siaurinį Borelio σ algebroje BR, kurį bėl gi žymime m ir vadinameLebego matu.

1.5 teorema. Aibė A∗ pasižymi šiomis savybėmis:

1. ∅ ∈ A∗ ir R ∈ A∗;

2. jei A ∈ A∗ tai ir Ac ∈ A∗;

3. jei m∗(A) = 0, tai A ∈ A∗;

4. jei A1, A2 ∈ A∗, tai A1 ∪ A2 ∈ A∗ ir A1 ∩ A2 ∈ A∗;

5. jei A ∈ A∗ ir b ∈ R, tai A+ b ∈ A∗;

6. Bet kuris intervalas I ∈ A∗ ir, be to, m(I) = m∗(I) = `(I);

19

7. jei A1, . . . , An ∈ A∗ ir nesikerta, tai su bet kuria aibe B ⊂ R

m∗(n⋃i=1

B ∩ Ai) = m∗(B ∩n⋃i=1

Ai) =n∑i=1

m∗(B ∩ Ai);

Atskiru atveju, imdami B = R, gauname

m(n⋃i=1

Ai) =n∑i=1

m(Ai).

8. Jei Ai ∈ A∗, i = 1, 2, . . . , tai

∞⋂i=1

Ai ∈ A∗ ir∞⋃i=1

Ai ∈ A∗;

9. Jei (Ai, i = 1, 2, . . . ) ⊂ A∗ ir nesikerta, tai

m( ∞⋃i=1

Ai

)=∞∑i=1

m(Ai);

10. Bet kuri atvira aibė ir bet kuri uždara aibė yra mačios Lebego prasme.

1.3 Mačios funkcijos

Mačios funkcijos sąvokaTarkime, (S,S) ir (V,V) yra dvi mačios erdvės.

1.11 apibrėžimas. Atvaizdis f : S → V, vadinamas (S,V)-mačiuoju (mačiu σ algebrų S,V at-žvilgiu arba tiesiog mačiuoju, kai atitinkamos σ algebros yra žinomos iš konteksto), jei

f−1(V) := f−1(A) : A ∈ S ⊆ S.

Norėdami pabrėžti f reikšmių aibę, sakysime, kad f yra V-reikšmis matus atvaizdis (arba, matusatvaizdis su reikšmėmis aibėje V).

Svarbi yra sudėtinės funkcijos matumo teorema.

1.6 teorema. Tarkime, (S,S), (V,V) ir (E, E) – mačios erdvės, f : S → V, g : V → E – matūsatvaizdžiai. Tuomet kompozicija g f : S→ E (g f(s) = g(f(s)), s ∈ S) yra matus atvaizdis.

Įrodymas. Paliekamas vietoj pratimo.

1.6 teiginys. Tegu f : S→ V. Su bet kokia aibės T poaibių klase A galioja lygybė

σ(f−1(A)

)= f−1(σ(A)).

20

Iš šio teiginio gauname, kad bet kuriai funkcijai f : S→ V, aibių šeima f−1(V) yra σ algebra.Ji vadinama atvaizdžio f generuota σ algebra ir dažnai žymima σf arba σ(f). Tai mažiausia σalgebra, kurios atžvilgiu yra mati funkcija f .

1.6 teiginio įrodyme pasiremsime funkcijos pirmavaizdžio savybėmis. Jos surinkos šioje lemo-je, kurios įrodymą paliekame vietoj pratimo.

1.1 lema. Bet kuriai funkcijai f : S→ T, teisingos šios savybės:

(a) f−1(∅) = ∅;

(b) f−1(T) = S;

(c) f−1(Ac) =(f−1(A)

)c;(d) f−1

(⋃i∈I Ai

)=⋃i∈I f

−1(Ai);

(e) f−1(⋂

i∈I Ai

)=⋂i∈I f

−1(Ai);

1.6 teiginio įrodymas. Pirmiausia, pritaikę 1.1 lemą įsitikinkime, kad f−1(σ(A)) yra σ algebra.Be to, f−1(A) ⊂ f−1(σ(A)). Taigi

σ(f−1(A)

)⊂ f−1(σ(A)).

NagrinėkimeA′ := A′ ⊂ T : f−1(A′) ∈ σ

(f−1(A)

).

Pastebėkime, kad A′ yra σ algebra ir, be to, A′ ⊂ A. Todėl ir A′ ⊂ σ(A). Taigi

f−1(σ(A)) ⊂ f−1(A′) ⊂ σ(f−1(A)).

Tai užbaigia įrodymą.

Šis teiginys palengvina funkcijos matumo tikrinimą.

1.7 teiginys. Jei A yra tokia aibės T poaibių klasė, kad T = σ(A) ir

f−1(A) ⊂ S,

tai funkcija f : S→ T yra (S, T )-mati.

Įrodymas. Kadangif−1(T ) = f−1(σ(A)) = σ(f−1(A)) ⊂ S,

nes f−1(A) ⊂ S ir S yra σ algebra.

21

Realios ir skaitinės mačios funkcijosPlačiau aptarsime realias mačias funkcijas. Tegu (S,S) yra bet kuri mati erdvė. Jei nepasakytakitaip, realiųjų skaičių aibėje R nagrinėsime Borelio σ algebrą BR.

Funkcija f : S → R yra mati, jei f−1(B) ∈ S su kiekviena Borelio aibe B ⊂ R. KadangiBorelio σ algebrą generuoja aibės pavidalo (a,+∞), a ∈ R (žr. 1.12 pratimą), tai teisingas šisteiginys.

1.8 teiginys. Funkcija f : S→ R yra (S,BR)-mati tada ir tik tada, kai

f−1((a,∞)) ∈ S, su visais a ∈ R.

Be to, aibę (a,∞) galime pakeisti bet kuria iš aibių (−∞, a), (−∞, a], [a,∞).

1.4 pavyzdys. Nagrinėkime indikatorinę funkciją 1A : S→ R, A ⊂ S. Tegu B ∈ BR. Tuomet

1−1A (B) =

S, jei 0, 1 ∈ B∅, jei 0, 1 ∈ Bc

A, jei 1 ∈ B, 0 ∈ Bc

Ac, jei 0 ∈ B, 1 ∈ Bc.

Taigi 1−1A (B) ∈ S su bet kuria B ∈ BR, jei tik A ∈ S. Vadinasi, 1A yra mati funkcija tada ir tik

tada, kai A ∈ S.

1.12 apibrėžimas. Poromis nesikertančių mačių aibių rinkinys A1, . . . , An ⊂ S vadinamas ai-bės S skaidiniu, jei S =

∑nk=1 Ak. Funkcija f : S→ R vadinama laiptine, jei

f =n∑k=1

xk1Ak;

čia x1, . . . , xn ∈ R, o A1, . . . , An yra aibės S skaidinys. Jei x1, . . . , xn ≥ 0, tuomet f vadinamaneneigiama laiptine funkcija.

1.9 teiginys. Laiptinės funkcijos yra mačios.

Įrodymas. Tegu f =∑n

k=1 xk1Ak; čia x1, . . . , xn ∈ R, A1, . . . , An ⊂ S yra aibės S skaidinys.

Tuomet

f−1((a,∞]) = x ∈ S : f(x) > a =n⋃k=1

x ∈ Ak : f(x) > a

=n⋃k=1

x ∈ Ak : xk > a.

Kadangi

x ∈ Ak : xk > a =

Ak, jeigu xk > a

∅ priešingu atveju,

tai f−1((a,∞]) yra mačių aibių sąjunga, todėl yra mati aibė.

22

1.10 teiginys. Tarkime, f, g : S → R yra mačios funkcijos, a, b ∈ R. Tuomet yra teisingi šieteiginiai:

(a) funkcijos f + c ir cf yra mačios su bet kuriuo c ∈ R;

(b) su bet kuriais a, b ∈ R funkcija af + bg yra mati;

(b) funkcija fg yra mati;

(d) savo apibrėžimo srityje funkcija f/g yra mati;

(e) funkcijos maxf, g ir minf, g yra mačios;

(f) funkcija |f | yra mati.

Įrodymas. (a) Kadangi x : f(x) + c > a = x : f(x) > a − c = f−1(a − c,∞) ∈ S, nes fyra mati. Jei c = 0, tuomet

x : cf(x) > a =

∅, kai a ≥ 0

S, kai a < 0.

Taigi x : cf(x) > a ∈ S , kai c = 0. Jei c > 0, tuomet x : cf(x) > a = f−1((a/c,∞)) ∈ S .Galiausiai, jei c < 0, tuomet x : cf(x) > a = f−1((−∞, a/c)) ∈ S, nes f yra mati.

(b) Pakanka įrodyti, kad funkcija f + g yra mati. Turime

x ∈ S : f(x) + g(x) > a = Ac ∩ x ∈ S : f(x) > a− g(x).

Pasinaudosime tuom, kad realiesiems skaičiams c, d nelygybė c > d teisinga tada ir tik tada, kaiegzistuoja toks racionalus skaičius r, kad c > r > d. Todėl

x ∈ S : f(x) > a− g(x) =⋃r∈Q

[x ∈ S : f(x) > r ∩ x ∈ S : r > a− g(x).

Iš čia matyti, kad aibė x ∈ S : f(x) > a−g(x) ∈ S , taigi ir x ∈ S\A : f(x)+g(x) > a ∈ S .(c) Pirmiausia pastebėkime, kad bet kurios mačios funkcijos f kvadratas f 2 yra mati funk-

cija. Tikrai, jei a ≤ 0, tuomet (f 2)−1((a,∞)) = S. Jei a > 0, tuomet (f 2)−1((a,∞)) =f−1((

√a,∞))∪ f−1((−∞,−

√a)) ∈ S. Toliau pastebėkime, kad fg = 2−1((f + g)2− f 2− g2).

Taigi fg yra mati.(d) Pakanka įrodyti, kad funkcija 1/g yra mati. Ji apibrėžta aibėje Bc, kai B = x ∈ S :

g(x) = 0. Tegu a > 0. Tuomet

x ∈ Bc : 1/g(x) > a = x ∈ Bc : 0 ≤ g(x) < 1/c = x ∈ S : 0 < g(x) < 1/c ∈ S.

Jei a ≤ 0, tuomet

x ∈ Bc : 1/g(x) > a = x ∈ Bc : 0 ≤ g(x) ∪ x ∈ Bc : g(x) < 1/a= x ∈ S : 0 < g(x) ∪ x ∈ S : g(x) < 1/a ∈ S.

23

(e) Pakanka pastebėti, kad

x : maxf(x), g(x) > a = x : f(x) > a ∪ x : g(x) > ax : minf(x), g(x) > a = x : f(x) > a ∩ x : g(x) > a.

(f) Funkcijos f ∗ = maxf, 0 ir f− = −minf, 0 yra mačios, kaip ką tik įsitikinome. Taigiir funkcija |f | = f+ + f− yra mati.

Mačių funkcijų sekų ribosTegu fn : S → R yra mačių funkcijų seka. Pataškiui apibrėžta funkcija supn→∞ fn reiškia, kad(supn→∞ fn)(x) = supn→∞ fn(x), x ∈ S. Analogiškai pataškiui apibrėžiamos ir kitos sekos (fn)funkcijos.

1.11 teiginys. Tarkime, f, fn : S→ R, n ≥ 1 yra mačios funkcijos. Tuomet

(a) funkcijos inf fn, sup fn yra mačios;

(b) funkcijos lim inf fn, lim sup fn yra mačios;

(c) aibė x : lim fn(x) egzistuoja yra mati;

(d) aibėje x : lim fn(x) egzistuoja apibrėžta funkcija x→ limn→∞ fn(x) = f(x) yra mati.

Įrodymas. (a) Tegu g(x) = supn fn(x), x ∈ S. Tuomet

x : g(x) ≤ a =⋂n

x : fn(x) ≤ a, a ∈ R,

x : g(x) = +∞ =∞⋂N=1

⋃n

x : fn(x) > N

x : g(x) = −∞ =∞⋂N=1

⋃n

x : fn(x) < −N.

Kadangi kiekviena aibė dešinėje lygybių pusėje priklauso S, tai kairėje pusėje esančios aibės taipat priklauso σ algebrai S. Taigi g yra mati funkcija. Kadangi infn fn(x) = − supn(−fn(x)), taifunkcija infn fn taip pat mati.

(b) Pastebėję, kad

lim infn→∞

fn = supn≥1

(infk≥n

fk) ir lim supn→∞

fn = infn≥1

(supk≥n

fk),

rezultatą išvedame iš (a).(c) Turime

x : limn→∞

fn(x) egzistuoja = x : lim infn→∞

fn(x) = lim supn→∞

fn(x).

24

(d) Pažymėkime A = x : limn→∞ fn(x) egzistuoja. Kadangi aibėje A teisinga lygybėlim infn→∞ fn(x) = limn→∞ fn(x), tai

x ∈ A : limn→∞

fn(x) > a = x ∈ A : lim infn→∞

fn(x) > a

= A ∩ x ∈ X : lim infn→∞

fn(x) > a ∈ S,

nes funkcija limn→∞ fn yra apibrėžta visoje aibėje S ir yra mati. Teiginys pilnai įrodytas.

Taigi mačiųjų funkcijų pataškė riba, kai ji egzistuoja, yra mati funkcija. Čia verta pastebėti, kadtolydžiųjų funkcijų sekos riba nebūtinai tolydi funkcija. Pavyzdžiu gali būti seka fn(t) = tn, t ∈[0, 1]. Jos pataškė riba yra

limn→∞

fn(t) =

0, kai t 6= 1

1, kai t = 1.

1.13 apibrėžimas. Mačių funkcijų seka (fn) konverguoja prie mačios funkcijos f tolygiai, jei

limn→∞

supx∈S|fn(x)− f(x)| = 0.

1.14 apibrėžimas. Mačių funkcijų seka (fn) konverguoja prie mačios funkcijos f beveik tikraimato µ atžvilgiu (µ-b. t.) jei egzistuoja tokia mati aibė N , kad µ(N) = 0 ir

limn→∞

fn(x) = f(x)

su visais x ∈ N c.

1.15 apibrėžimas. Mačių funkcijų seka (fn) konverguoja prie mačios funkcijos f pagal matą µ,jei su kiekvienu ε > 0

limn→∞

µ(x : |fn(x)− f(x)| > ε) = 0.

Taigi turime keturis mačių funkcijų sekos konvergavimo tipus: pataškis, pataškis tolygus, pagalmatą ir beveik tikrai mato atžvilgiu. Panagrinėkime 6iuos konvergavimus indikatorinių funkcijųpavyzdžiu. Tegu (S,S, µ) yra erdvė su matu, (An) ⊂ S - mačių aibių seka, A ∈ cS. Apibrėžkime

fn(x) = 1An(x), x ∈ S, n ≥ 1

ir f(x) = 1A(x), x ∈ S. Kadangi supx∈S |1A(x)−1B(x)| = 1, jeiA 6= B, tai seka (fn) konverguostolygiai vieninteliu atveju, kai An = A su visais n ≥ 1. Pataškiui seka konverguos prie funkcijosf = 1A tada ir tik tada, kai

lim supn→∞

An =⋂n

⋃m≥n

Am = lim infn→∞

=⋃n

⋂m≥n

Am = A

(žr. 1.22 pratimą). Seka fn → f pagal matą tada ir tik tada, kai

limn→∞

µ(An∆A) = 0.

Taigi fn → 0 pagal matą tada ir tik tada, kai µ(An)→ 0, nes 0 =∅ .

25

1.12 teiginys. Funkcija f : S → R yra neneigiama mati funkcija. Tuomet egzistuoja tokia nenei-giamų laiptinių funkcijų seka (fn), kad fn ≤ f su visais n ir

limn→∞

fn(x) = f(x) su visais x ∈ S.

Įrodymas. Kiekvienam n apibrėžkime An,k = f−1((k/n, (k + 1)/n]), kai k = 1, . . . , n2 − 1 irAn,0 = f−1([0, 1/n] ∪ (n,∞)). Be to, tegu A∞ = f−1(∞). Apibrėžkime

fn(x) =1

n

n2−1∑k=0

k1An,k(x) + n1A∞(x), x ∈ S.

Užbaigti teiginio įrodymą paliekame vietoj pratimo.

1.4 Mačių realiųjų funkcijų integravimas

Apibrėžimai ir paprasčiausios savybės

Tegu (S,S, µ) yra erdvė su matu. Nagrinėsime mačias funkcijas f, g, · · · : (S,S) → (R,BR).Joms apibrėšime ingeralą atžvilgiu mato µ. Tai daroma trimis žingsniais. Pirmuoju apibrėžiamaslaiptinės funkcijos integralas, antruoju - neneigiamos mačios funkcijos ir, galiausiai – bet kuriosmačios funkcijos integralas. Mato ir integralo teorijoje sutariama, kad 0 · ∞ = 0.

1.16 apibrėžimas. Neneigiamos laiptinės funkcijos f =∑n

k=1 xk1Ak(xk ∈ [0,∞], k = 1, . . . , n)

(Lebego) integralas aibėje E ∈ S yra∫E

fdµ :=n∑k=1

xkµ(Ak ∩ E).

Pirmiausia reikėtų įsitikinti, kad integralo reikšmė nepriklauso nuo laiptinės funkcijos reprezenta-cijos, t.y., jei f =

∑mk=1 yk1Bk

, tai

n∑k=1

xkµ(Ak ∩ E) =m∑k=1

ykµ(Bk ∩ E).

Tai paliekame vietoj pratimo. Iš integralo apibrėžimo iškart matyti, kad funkcija E →∫Ef dµ :

S→ [0,∞] yra neneigiama ir skaičiai adityvi.

1.17 apibrėžimas. Jei mati funkcija f ≥ 0, tai jos (Lebego) integralas aibėje E ∈ S yra∫E

f dµ := sup∫

E

g dµ : g ≥ 0, g yra laiptinė funkcija ir g ≤ f aibėje E.

26

Norėdami apibrėžti integralą bet kuriai mačiai funkcijai f , pažymėkime

f+ = maxf, 0, f− = max−f, 0.

Funkcijos f+, f−, kurios vadinamos atitinkamai teigiama ir neigiama funkcijos f dalimi, yra ma-čios (žr. 1.10 teiginį ) ir

f = f+ − f−, |f | = f+ + f−.

1.18 apibrėžimas. Funkcija f vadinama integruojama aibėje E ∈ S, jei integralas∫E|f | dµ yra

baigtinis. Šiuo atveju, funkcijos f integralas aibėje E yra∫E

f dµ =

∫E

f+ dµ−∫E

f− dµ.

1.13 teiginys. Jei mačios funkcijos f, g aibėje E yra lygios beveik visur mato µ atžvilgiu, t.y.µ(s ∈ E : f(s) 6= g(s)) = 0, tai ∫

E

f dµ =

∫E

g dµ.

Įrodymas. Paliekamas vietoj pratimo.

Integralą∫S f dµ toliau žymėsime trumpiau –

∫f dµ. Jei µ yra tikimybinis matas, dažnai∫

f dµ žymimas Ef ir vadinamas funkcijos f vidurkiu.

1.14 teiginys. Jei f yra neneigiama mati funkcija, tai atvaizdis

(1.11) E →∫E

f dµ, E ∈ S,

yra neneigiama monotoninė nemažėjanti ir skaičiai adityvi funkcija.

Įrodymas. Kad (1.11) formule apibrėžta funkcija yra nemažėjanti, gauname tiesiog iš apibrėžimo.Tegu (En) yra mačių aibių seka ir E =

⋃nEn. Bet kuriai neneigiamai laiptinei funkcijai g ≤ f ,

remiantis integralo apibrėžimu,∫E

g dµ ≤∑n

∫En

g dµ ≤∑n

∫En

f dµ.

Nagrinėdami kairiosios pusės tikslųjį viršutinį rėžį atžvilgių visų neneigiamų laiptinių funkcijųg ≤ f , gauname ∫

E

f dµ ≤∑n

∫En

f dµ.

Norėdami įrodyti skaitų adytivumą, pakanka įsitikinti, kad

(1.12)∫E

f dµ ≥∑n

∫En

f dµ,

27

kai Ei ∩ Ej = ∅, i 6= j. Nagrinėkime dvi nesikertančias aibes E1, E2 ∈ S. Kiekvieną ε > 0atitinka tokios dvi laiptinės funkcijas g1, g2, kad gi ≤ f aibėje Ei, i = 1, 2 ir

(1.13)∫Ei

f dµ ≤∫Ei

gi dµ+ ε/2.

Apibrėžkime

g(s) =

g1(s), kai s ∈ E1,

g2(s), kai s ∈ E2,

0, kai s ∈ (E1 ∪ E2)c.

Funkcja g yra neneigiama ir g ≤ f aibėje E1 ∪ E2. Sudėję (1.13) nelygybes kai i = 1, 2, gauname∫E1

f dµ+

∫E2

f dµ ≤ ε+

∫E1

g dµ+

∫E2

g dµ

= ε+

∫E1∪E2

g dµ

≤ ε+

∫E1∪E2

f dµ.

Kadangi ε > 0 laisvai pasirenkamas skaičius ir funkcija E →∫Ef dµ pusiauadityvi, tai∫

E1∪E2

f dµ =

∫E1

f dµ+

∫E2

f dµ.

Remiantis šia lygybe ir integralo, kaip aibės funkcijos monotoniškumu, gauname∫E

f dµ ≥∫A1∪···∪En

d dµ =n∑k=1

∫Ek

f dµ

. Perėję prie ribis, kai n → ∞, įsitikiname, kad (1.12) nelygybė yra teisinga. Teiginys pilnaiįrodytas.

Lebego teoremos1.7 teorema. ( Lebego teorema apie monotoninį konvergavimą ) Tegu 0 ≤ f1 ≤ f2 ≤ · · · ≤fn ≤ · · · yra mačių funkcijų seka ir limn fn(t) = f(t) su visais t ∈ S. Tuomet

(1.14) limn→∞

∫E

fn dµ =

∫E

f dµ

bet kuriai E ∈ S.

Įrodymas. Kairę (1.14) lygybės pusę pažymėkime v. Kadangi fn ≤ f su visais n ≥ 1, tai

(1.15) v ≤∫E

f dµ.

28

Tegu laiptinė funkcija g ≤ f aibėje E. Imdami skaičių c ∈ (0, 1), apibrėžkime aibes

En = x : x ∈ E, 0 ≤ cg(x) ≤ fn(x).

Seka (En) yra nemažėjanti ir konverguoja į E. Todėl∫E

fn dµ ≥∫En

fn dµ ≥ c

∫En

g dµ.

Perėję prie ribos, kai n→∞ ir, pritaikę ką tik įrodytą 1.4 teiginį, gauname v ≥ c∫Eg dµ. Imdami

tikslųjį viršutinį rėžį pagal neneigiamas laiptines funkcijas g ≤ f ir perėję prie ribos, kai c → 1,gauname v ≥

∫Ef dµ. Ši nelygybė, kartu su (1.15), įrodo (1.14).

Integralo savybėsĮrodysime, kad integravimas yra tiesinė operacija.

1.15 teiginys. Jei mačios funkcijos f1, f2 yra integruojamos aibėje E ∈ S, tai su bet kuriaisa, b ∈ R, funkcija af1 + bf2 yra integruojama aibėje E ir∫

E

(af1 + bf2) dµ = a

∫E

fi dµ+ b

∫E

f2 dµ.

Įrodymas. Paliekame vietoj pratimo įrodyti, kad teiginys yra teisingas laiptinėms funkcijoms.Tarkime, f1, f2 yra neneigiamos mačios funkcijos. Egzistuoja tokios dvi laiptinių funkcijų sekos(g1n) ir (g2n) kurios monotoniškai didėja ir konverguoja į atitinkamai f1 ir f2. Suma (g1n+g2n) yranemažėjanti laiptinių funkcijų seka ir konverguoja į sumą f1 + f2. Pritaikę 1.7 teoremą, gauname∫

E

(f1 + f2) dµ = limn→∞

∫E

(g1n + g2n) dµ

= limn→∞

∫E

g1n dµ+ limn→∞

∫E

g1n dµ

=

∫E

f1 dµ+

∫E

f2 dµ.

1.16 teiginys. Neneigiamos mačios funkcijos f integralas∫Ef dµ = 0 tada ir tik tada, kai µ(x ∈

E : f(x) 6= 0) = 0.

Įrodymas. Tarkime, kad∫Ef dµ = 0, bet µ(x ∈ E : f(x) 6= 0) = α > 0. Tuomet egzistuoja tokia

konstanta c > 0 ir tokia aibė A ⊂ E, kad µ(A) > 0 ir f(s) ≥ c su visais s ∈ A. Tokiu atveju,∫E

f dµ ≥∫A

f dµ ≥ c

∫A

1 dµ = cµ(A) > 0.

Taigi būtinumas įrodytas. Pakankamumą paliekame skaitytojui vietoj pratimo.

Kai kurios kitos integralo savybės surinktos šiame pratime.

29

1.17 teiginys. Integralo pasižymi šiomis savybėmis:

(a) Jei µ(t : f(t) > g(t)) = 0, tai ∫S

f(t)µ( dt) ≥∫S

g(t)µ( dt);

(b) Jei yra integruojama funkcija f tai integruojama ir funkcija |f | ir, be to,∣∣∣∣∣∫S

f(t)µ( dt)

∣∣∣∣∣ ≤∫S

|f(t)|µ( dt);

(c) Jei f yra integruojama funkcija, a, b ∈ R ir E – tokia mati aibė, kad a ≤ f(t) ≤ b su visaist ∈ E, tai

aµ(E) ≤∫S

f(t)1Eµ( dt) ≤ bµ(E);

(d) Atvaizdis

E →∫E

fdµ : F → R

yra σ-adityvus.

Įrodymas. Paliekamas vietoj pratimo.

Integralų ribosPerėjimą prie ribos po integralo ženklu nustato trys žemiau suformuluoti rezultatai: Lebego teo-rema apie mažoruojamą konvergavimą, B. Levy teorema apie monotoninį konvergavimą ir Fatulema. Sakysime, kad seka (fn) konverguoja prie f pagal matą µ, jei su kiekvienu ε > 0

limn→∞

µ(t : |fn(t)− f(t)| > ε) = 0.

Seka (fn) konverguoja į funkciją f µ beveik visur, jei

µ(t : fn(t) 6→ f(t)) = 0.

1.8 teorema. Tarkime, integruojamų funkcijų seka (fn) konverguoja pagal matą µ į funkciją f iregzistuoja tokia integruojama funkcija g, su kuria |fn(t)| ≤ g beveik visiems t ∈ S (n ∈ N.)Tuomet

(1.16) limn→∞

∫S

fn(t)µ( dt) =

∫S

f(t)µ( dt).

30

Įrodymas. Pereidami, jei reikia, prie posekių, galime tarti, kad seka (fn) konverguoja prie fpataškiui. Be to, galime tarti, kad |fn(t)| ≤ g(t) kiekvienai argumento reikšmei t. Tuomet suvisais t

g(t)− fn(t) ≥ 0, g(t) + fn(t) ≥ 0.

Remiantis Fatu lema

lim infn→∞

∫(g − fn) dµ ≥

∫lim infn→∞

(g − fn) dµ =

∫(g − f) dµ.

Kairėje šios lygybės pusįėje esantys dydis yra lygus∫g dµ−lim infn→∞

∫fn dµ.Kadangi funkcija

g yra integruojama ir |f | ≤ g, |fn| ≤ g, tai fn ir f taip pat integruojamos, todėl

lim infn→∞

∫fn dµ ≤

∫f dµ.

Atlikę analogiškus veiksmus su seka (g + fn), gauname

lim infn→∞

∫fn dµ ≥

∫f dµ.

Iš pastarųjų dviejų nelygybių gauname (1.16).

1.9 teorema. Tarkime (fn) yra tokia mačių funkcijų seka, kad fn(t) > 0 beveik visiems t ∈ S,fn(t) 6 fm(t) su visais t ∈ S, kai n 6 m ir limn fn(t) = f(t) visiems t ∈ S. Tuomet galioja (1.16)sąryšis.

1.2 lema. Tarkime, (fn) yra neneigiamų integruojamų funkcijų seka. Jei

limn→∞

∫S

fn(t)µ( dt) <∞,

tai funkcija f(t) = lim infn→∞ fn(t), t ∈ S, yra integruojama ir∫S

f(t)µ( dt) ≤ lim infn→∞

∫S

fn(t)µ( dt).

Įrodymas. Apibrėžkime gn(s) = inffi(s), i ≥ n, s ∈ S. Tuomet seka (gn) monotoniškainemažėja ir konverguoja į lim infn fn. Remiantis teorema apie monotoninį konvergavimą

lim infn

∫E

gn dµ =

∫E

(lim infn

fn) dµ.

Kadangi gn ≤ fn su visais n, tai∫Egn dµ ≤

∫Efn dµ su visais n.

31

Integravimo kintamųjų keitimasKintamųjų keitimo integrale taisyklę nustato ši teorema.

1.10 teorema. Tarkime, (S1,S1, µ1) yra kita erdvė su matu, T : S1 → S – matus atvaizdis. Be to,tarkime µ1 yra toks σ baigtinis matas, kad matas µ1 T−1 taip pat σ baigtinis. Tuomet su bet kuriamačia funkcija f ir bet kuria mačia aibe F∫

T−1(F )

f T dµ1 =

∫F

f dµ1 T−1.

Matas µ1 T−1(A) = µ1(T−1(A)), A ∈ T .

Įrodymas. Pirmausia imkime funkciją f = 1A. Tuomet∫F

1A dµ T−1 = µ T−1(B ∩ F ) = µ(T−1(B) ∩ T−1(F ))

=

∫T−1(F )

1T−1(B) dµ =

∫T−1(F )

1B T dµ.

Taigi formulė teisinga, kai f indikatorinė funkcija. Kadangi laiptinės funkcijos yra tiesinė kom-pinacija indikatorinių, tai formulė išlieka teisinga ir bet kuriai laiptinei funkcijai. Toliau tarkime,f yra neneigiama mati funkcija. Tuomet egzistuoja tokia laiptinių funkcijų seka (gn), kuri mono-toniškai didėja ir konverguoja į f . Be to, (gn T ) taip pat yra monotoniškai didėjanti laiptiniųfunkcijų seka, kuri konverguoja į f T . Lieka pritaikyti teoremą apie monotoninį konvergavimą.Bendras mačios funkcijos atvejis susiveda į išnagrinėtą pritaikius lygybę |f T | = |f | T.

1.18 teiginys. Tegu (fn) yra neneigiamų mačių funkcijų seka, kuri konverguoja prie f pagal matą.Jei fn ir f integruojamos ir

∫fn dµ→

∫f dµ, tai

limn→∞

∫|fn − f | dµ = 0.

1.5 Pratimai1.1 pratimas. Raskite

⋃x∈[0,1][x, 2] ir

⋂x∈[0,1][x, 2].

1.2 pratimas. Tarkime, Ai, i ∈ I yra kurios nors aibės poaibių šeima. Įrodykite De Morgano(1.1) tapatybes.

1.3 pratimas. Nustatykite, kurie iš pateiktų binarinių sąryšių ∼ yra ekvivalentumo ir jiems apra-šykite ekvivalentumo klases:

(a) Aibėje R sąryšis x ∼ y reiškia, kad |x− y| < 1.;

(b) Aibėje R2 sąryšis x ∼ y reiškia, kad taškai x ir y yra vienoje tiesėje, einančioje per koordi-načių pradžią;

32

(c) Aibėje R2 sąryšis x ∼ y reiškia, kad taškai x = (x1, x2) ir y = (y1, y2) tenkina x21 + x2

2 =y2

1 + y22;

(d) Aibėje 2R sąryšis A ∼ B aibėms A,B ⊆ R reiškia, kad A ∩B = ∅;

(e) Funkcijų aibėje RR sąryšis f ∼ g reiškia, kad egzistuoja tokia konstanta c, kad f(x) =g(x) + c, x ∈ R.

1.4 pratimas. Apibrėžkime funkciją f : N ∪ 0 → Z:

f(x) =

x/2, jei x yra lyginis−(x+ 1)/2, jei x yra nelyginis.

Įrodykite, kad funkcija f yra bijekcija.

1.5 pratimas. Patikrinkite šias lygybes:

(a) 1A4B = |1A − 1B|.

(b)x :∑

n 1An(x) <∞

=⋃n

⋂k≥nA

ck.

1.6 pratimas. Įrodykite šiuos teiginius.

(1) Racionaliųjų skaičių aibė Q yra skaiti.

(2) Skaiti skaičių aibių sąjunga yra skaiti aibė.

(3) Bet kuris netuščias atviras realiųjų skaičių intervalas yra neskaiti aibė.

1.7 pratimas. Įsitikinkite, kad visų galimų intervalo [0, 1] pointervalių baigtinių sąjungų rinkinysyra algebra, bet nėra σ algebra.

1.8 pratimas. Imkime A ⊂ 2S. Nagrinėkime aibių

B =n⋃k=1

m⋂i=1

Bki,

rinkinį, kai arba Bki ∈ A, arba Bcki ∈ A. Pažymėkime jį A0. Įsitikinkite, kad šeima A0 ir yra

mažiausia algebra, kuriai priklauso A.

1.9 pratimas. Tegu A,A′ ⊂ 2S. Įrodykite šiuos sąryšius:

(a) Jei A ⊂ A′, tai σ(A) ⊂ σ(A′);

(b) Jei A ⊂ σ(A′) tai σ(A) ⊂ σ(A′);

(c) Jei A ⊂ A′ ⊂ σ(A), tai σ(A) = σ(A′).

33

1.10 pratimas. Įsitikinkite, kad BR = σ(A), kai A yra bet kuri iš šių šeimų:

(a, b) : a, b ∈ R, (a, b) : a, b ∈ Q,(−∞, a) : a ∈ R. (−∞, a) : a ∈ Q.

1.11 pratimas. Įrodykite, kad realiųjų skaičių aibės R bet kuri taškinė aibė x yra Borelio.

1.12 pratimas. Įsitikinkite, kad BR = σ(A), kai

(a) A = (a, b) : a, b ∈ R;

(b) A = (−∞, a] : a ∈ R;

(c) A = (a,∞) : a ∈ R.

1.13 pratimas. Įsitikinkite, kad

BR = σ(BR, −∞, +∞)

1.14 pratimas. Įsitikinkite, kad topologinės erdvės Borelio σ algebra yra taip pat generuojamauždarųjų aibių šeima. Taigi tiek atviros tolologinės erdvės S aibės, tiek uždaros yra Borelio.

1.15 pratimas. Įrodykite, kad atvirasis metrinės erdvės rutulys yra atvira aibė, o uždarasis - užda-ra.

1.16 pratimas. Įsitikinkite, kad atvirųjų metrinės erdvės (S, d) aibių šeima τd sudaro topologiją.Ji vadinama natūraliaja metrinės erdvės topologija.

1.17 pratimas. Patikrinkite metrikos aksiomas funkcijai

d(x, y) =|x− y|

1 + |x− y|, x, y ∈ R.

Ar metrinės erdvės (R, d) topologija yra ekvivalenti Euklidinei?

1.18 pratimas. Patikrinkite metrikos aksiomas funkcijoms d1, d2, d∞, apibrėžtoms ?? pavyzdyje.Įsitikinkite, kad jos aprašo ekvivalenčias erdvės Rm topologijas.

1.19 pratimas. Tegu F yra aibės Ω poaibių σ algebra, B ⊂ Ω. Įsitikinkite, kad rinkinys G =A ∩B : A ∈ F yra aibės B poaibių σ algebra.

Tegu (S,S) yra mati erdvė. Seka (An) ⊂ S yra

• monotoniškai didėjanti, jei An ⊆ An+1 su visais n ≥ 1;

• monotoniškai mažėjanti, jei An ⊇ An+1 su visais n ≥ 1.

Aibei

lim supn→∞

An =∞⋂i=1

∞⋃n=i

An

34

priklauso tik tie s ∈ S, kurie priklauso begalo daugeliui An. Aibei

lim infn→∞

An =∞⋃i=1

∞⋂n=i

An

priklauso tik tie s ∈ S, kurie priklauso visoms aibėms An išskyrus galbūt baigtinį jų skaičių. Jeilim infn→∞An = lim supn→∞An tai tą aibę žymime limn→∞An ir vadiname aibių sekos (An)riba.

1.20 pratimas. Koks ryšys tarp lim sup ir lim inf apibrėžimų skaičių sekai (xn) ir aibių sekai(An)?

1.21 pratimas. Apibrėžkime

An =

(−1/n, 1], kai n nelyginis(−1, 1/n], kai n lyginis.

Raskite lim infn→∞An ir lim supn→∞An.

1.22 pratimas. Tegu (An, n ∈ N) yra aibių seka. Įrodykite šiuos teiginius:

(a) lim infn→∞An = lim supn→∞An tada ir tik tada, kai su kiekvienu ω ∈ Ω egzistuoja ribalimn→∞ 1An(ω).

(b) Jei seka (An) monotoniškai didėjanti, tai limn→∞An =⋃∞n=1 An.

(c) Jei seka (An) monotoniškai mažėjanti, tai limn→∞An =⋂∞n=1An.

1.23 pratimas. Įrodykite 1.1 lemą.

1.24 pratimas. Įrodykite, kad (1.5 formule aprašoma aibių sistema yra algebra, o (1.5 formuleaprašoma funkcija - matas toje algebroje.

1.25 pratimas. Įrodykite, kad funkcija f : S → R yra mati tada ir tik tada, kai f−1((r,∞]) ∈ Ssu visais r ∈ Q.

1.26 pratimas. Įrodykite, kad atitinkamai parinkus matą µ∞∑n=1

f(xn) =

∫f(x)µ(dx).

1.27 pratimas. Tegu metrinės erdvės (S, d) σ algebra σ(C) yra generuota atvirų rutulių šeimaCS = Sr(x) : r ≥ 0.x ∈ S. Pateikite pavyzdį, kuris įrodytų, kad bendru atveju σ(CS) 6= BS.

Pagalba. Nagrinė metrinę erdvę (R, d), kai d yra diskrečioji metrika:

d(x, y) =

1, kai x 6= y,

0, kai x = y..

Tuomet bet kuris R poaibis yra atvira aibė, taigi BR = 2R.. Atviri diskrečiosios metrinės erdvės rutuliai yraarba vieno taško aibės arba visa R.

35

1.28 pratimas. Tegu (S,S) yra mati erdvė, A ⊂ R yra tiršta aibė. T.y., kokį beimtume skaičių ε > 0,kiekvienam x ∈ R rasime tokį xε ∈ A, kad |x− xε| < ε. Pavyzdžiui, racionaliųjų skaičių aibė Q yra tiršta.Įrodykite, kad funkcija f : S→ R yra mati tada ir tik tada, kai išpildoma viena iš šių sąlygų:

(a) f−1((a,∞]) ∈ S su kiekvienu a ∈ A;

(a) f−1([a,∞]) ∈ S su kiekvienu a ∈ A;

(a) f−1([−∞, a)) ∈ S su kiekvienu a ∈ A;

(a) f−1([−∞, a]) ∈ S su kiekvienu a ∈ A.

1.29 pratimas. Tarkime, funkcija f : R → R yra tolydi visur išskyrus baigtinį arba skaitų taškų skaičių.Įrodykite, kad funkcija f yra Borelio.

1.30 pratimas. Įrodykite, kad bet kuri monotoninė funkcija f : R→ R yra Borelio.

36

2 skyrius

Atsitiktiniai dydžiai

2.1 ApibrėžimaiFiksuokime tikimybinę erdvė (Ω,F , P ). Tuo atveju, kai tikimybinę erdvę siejame su kokiu nors statistiniueksperimentu, aibę Ω interpretuojame kaip elementariųjų įvykių visumą, F – eksperimento metu stebimųįvykių σ-algebrą, o P (A) reiškia įvykio A pasirodymo galimybė išreikšta skaičiumi iš intervalo [0, 1]. Vi-siškai bendru atveju, Ω galima interpretuoti kaip vsiumą Gamtos scenarijų, o A ∈ F yra scenarijų rinkinys,kurį Gamta parenka su tikimybe P (A).

Matematine-tikimybine kalba, atsitiktinis dydis, apibrėžtas tikimybinėje erdvėje (Ω,F , P ), yra (F ,BR) -matus (trumpiau – F-matus) atvaizdis X : Ω→ R, t.y., tokia funkcija

X : Ω→ R,

kad

(2.1) ω ∈ Ω : X(ω) ∈ A ∈ F

su kiekviena Borelio aibe A ⊂ R (A ∈ BR).Kadangi Borelio σ algebrą generuoja intervalai, pakanka, kad (2.1) savybė būtų teisinga šio pavidalo

(2.2) [a, b), (−∞, b), [a,∞), (−∞,∞), a, b ∈ R

aibėms A ⊂ R. Taigi tie scenarijai ω ∈ Ω, dėl kurių atsitiktinio dydžio X reikšmės yra, tarkime, intervale[a, b), visados yra pamatuojami, t.y.

ω ∈ Ω : X(ω) ∈ [a, b) ∈ F

ir galime kalbėti apie tikimybę P (ω : X(ω) ∈ [a, b)). Trumpindami, vietoj P (ω : X(ω) ∈ A) dažnairašysime P (X ∈ A).

2.1 teiginys. Jei X yra atsitiktinis dydis, o g : R→ R yra Borelio funkcija, t.y., tokia funkcija, kuriai

g−1(A) := x ∈ R : g(x) ∈ A ∈ BR,

su kiekviena aibe A ∈ BR, tai g(X) yra atsitiktinis dydis.

37

Įrodymas. Išvedame iš 1.6 teoremos.

Tolydžios funkcijos ir funkcijos turinčios ne daugiau nei skaičią trūkio taškų aibę yra Borelio (žr. 1.29pratimą). Taigi pavyzdžiui, jei X yra atsitiktinis dydis, tai X2, cos(X), 1/X , yra atsitiktiniai dydžiai.

Visų atistiktinių dydžių, apibrėžtų tikimybinėje erdvėjs (Ω,F , P ) aibė žymima L0 = L0(Ω,F , P ). Duatsitiktiniai dydžiai X1 ir X2, apibrėžti toje pačioje tikimybinėje erdvėje, vadinami ekvivalenčiais (žymėsi-me X1

b.t.= X2 arba X1 = X2 b.t., arba tiesiog X1 = X2), jei

P (ω : X1(ω) 6= X2(ω)) = 0.

Galima įsitikinti, kad∼ yra aibėsL0 ekvivalentumo sąryšis (žr. 2.3 pratimą). Atitinkama faktor aibė žymimaL0 = L0(Ω,F , P ):

L0(Ω,F , P ) = L(Ω,F , P )/ ∼ .

Atsitiktinis dydis X apibrėžia σ algebrą FX := X−1(B) : B ∈ BR ⊂ F , kuri vadinama atsitiktiniodydžio X generuota σ algebra (žr. 2.1 pratimą), bei tikimybinį matą PX :

PX(B) = P (ω : X(ω) ∈ B), B ∈ BR.

Tikimybinis matas PX vadinamas atsitiktinio dydžio X skirstiniu. Taigi atsitiktinis dydis tikimybinę erd-vę (Ω,F .P ) pakeičia kita tikimybine erdve (R,BR, PX) arba (R,FX , PX). Jei µ yra tikimybinis matas,apibrėžtas aibės R Borelio σ algebroje, tai egzistuoja tikimybinė ervdvė (Ω,F , P ) ir toks atsitiktinis dydisX : Ω→ R, kad PX = µ. Pakanka paimti Ω = R, F = BR ir apibrėžti X : Ω→ R, X(ω) = ω.

2.2 Pasiskirstymo funkcija ir kitos charakteristikosAtsitiktinio dydžio aprašymui naudojamos įvairios neatsitiktinės charakteristikos. Bene svarbiausia yra pa-siskirstymo funkcija. Atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija yra realioji realaus argumento funkcijaFX : R→ R,

FX(x) = P (ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x), x ∈ R.

Pagrindines jos savybes aprašo šis teiginys.

2.2 teiginys. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija F pasižymi šiomis savybėmis:

(i) limx→+∞ F (x) = 1, limx→−∞ F (x) = 0,

(ii) F yra nemažėjanti: jei x < y tai F (x) ≤ F (y),

(iii) F yra tolydi iš dešinės: F (x+ h)→ F (x), jei h ↓ 0.

Be to, kiekviena nemažėjanti tolydi iš dešinės ir tenkinanti (i) sąlygą funkcija F : R → R yra kurio norsatsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija, t.y. egzistuoja tokia tikimybinė erdvė (Ω,F , P ) ir toks jojeapibrėžtas atsitiktinis dydis X , kad F = FX .

Atsitiktiniai dydžiai X1, X2 yra vienodai pasiskirstę (žymėsime X1D= X2), jei jų pasiskirstymo funkci-

jos sutampa, t.y.FX1(x) = P (ω : X1(ω) ≤ x) = P (ω : X2(ω) ≤ x) = FX2(x)

su visais x ∈ R. Čia atkreipiame dėmesį, kad vienodai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai nebūtinai turi būtiapibrėžti vienoje tikimybinėje erdvėje.

Ekonometrija bei finansų matematika paprastai nagrinėja tik diskrečiuosius ir tolydžiuosius atsitiktiniusdydžius.

38

2.1 apibrėžimas. Atsitiktinis dydis X vadinamas diskrečiuoju, jeigu jo įgyjamų reikšmių aibė xi yrabaigtinė arba skaiti.

Diskretūs atsitiktiniai dydžiai pilnai aprašomi įgyjamomis reikšmėmis x1, x2, . . . , ir atitinkamomis tųreikšmių įgyjimo tikimybėmis p1, p2, · · · :

pk = pX(xk) = P (ω : X(ω) = xk), k = 1, 2, . . .

Skaičių rinkinys (pX(xk)) (arba trumpiau (pk)) vadinamas diskrečiojo atsitiktinio dydžio X reikšmių tiki-mybių funkcija. Ji pasižymi šiomis savybėmis:

(i) 0 ≤ pX(xk) ≤ 1 su visais k

(ii) pX(x) = 0, jei x 6= xk;

(iii)∑

k pX(xk) = 1.

Jei X yra diskretus atsitiktinis dydis su reikšmėmis x1, x2, . . . ir

P (X = xk) = pk, k = 1, 2, . . .

tai jo pasiskirstymo funkcija yraF (x) =

∑k: xk≤x

pk, x ∈ R.

Jei aibė A ⊂ Ω yra mati (A ∈ F), tuomet (ir tik tuomet) indikatorinė funkcija

1A(ω) =

1, kai ω ∈ A,0, kai ω 6∈ A

yra atsitiktinis dydis. Tai bene paprasčiausias diskretusis atsitiktinis dydis.

2.2 apibrėžimas. Atsitiktinį dydįX su pasiskirstymo funkcija FX vadiname tolydžiuoju, jei egzistuoja tokianeneigiama Borelio funkcija fX : R→ R, kad

FX(x) =

∫ x

−∞fX(t) dt, x ∈ R.

Jei nepasakyta kitaip, realaus argumento funkcijų integralai suprantami Lebego prasme. Funkcija fX vadi-nama atsitiktinio dydžio X tankio funkcija (tankiu). Ji pasižymi šiomis savybėmis:

(i) fX(x) ≥ 0 su visais x ∈ R;

(ii)∫∞−∞ fX(x) dx = 1;

(iii) fX yra atkarpomis tolydi funkcija;

(iv) P (ω : a < X(ω) ≤ b) =∫ ba fX(x) dx su visais a < b;

(v) Borelio aibei B ⊂ R, ∫Bf(x) dx = P (X ∈ B).

39

Atsitiktinio dydžio X vidurkis (tikėtina reikšmė arba tipinė reikšmė) yra X integralas atžvilgiu tikimybiniomato P :

E(X) =

∫ΩX(ω) dP (ω) =

∫X dP.

Priminsime šio integralo apibrėžimą. Atskiru atveju, kai X yra diskretusis atsitiktinis dydis, tarkime, sureikšmėmis a1, a2, . . . ir Aj = ω : X(ω) = aj, j = 1, 2, . . . , apibrėžiame∫

ΩX(ω) dP (ω) := a1P (A1) + a2P (A2) + · · · .

Taigi E(1A) = P (A). Todėl vidurkis yra tam tikra prasme bendresnė sąvoka už tikimybę.Toliau remiamės šiuo faktu: jei X yra neneigiamas a.d. tai egzistuoja tokia neneigiamų diskrečiųjų a.d.

seka X1, X2, . . . , kadX1(ω) ≤ X2(ω) ≤ · · ·

ir, be to,limn→∞

Xn(ω) = X(ω)

su visais ω ∈ Ω. Remdamiesi šiuo faktu, apibrėžiame∫ΩX(ω) dP (ω) := lim

n→∞

∫ΩXn(ω) dP ≤ ∞.

Čia reikia pažymėti, kad riba visada egzistuoja (baigtinė arba begalinė), nes seka (∫

ΩXndP, n ≥ 1) yranemažėjanti.

Galiausiai, jei X yra bet kuris atsitiktinis dydis, tuomet

E(X) := E(X+)− E(X−),

čia X+ = maxX, 0, X− = −minX, 0, jei tik bent vienas iš vidurkių E(X+) arba E(X−) yra baigti-nis. Jei abu vidurkiai EX+ ir EX− yra baigtiniai, tuomet E|X| <∞. Šiuo atveju sakome, kad a.d. X yraintegruojamas.

2.3 teiginys. Neneigiamo tolydžiojo atsitiktinio dydžio vidurkis yra

(2.3) E(X) =

∫ ∞0

P (ω : X(ω) > x) dx.

Įrodymas. Šią formulę nesunkiai išvedame sukeitę integravimo tvarką:

E(X) =

∫ΩX(ω) dP (ω) =

∫Ω

(∫ ∞0

1X(ω)>t dt)

dP (ω)

=

∫ ∞0

P (X > t) dt.

Iš (2.3) gauname kitą svarbią formulę, kuri susieja atsitiktinio dydžio momentus su galimų didelių reikšmiųtikimybėmis: jei p ≥ 1, tada

(2.4) E|X|p = p

∫ ∞0

xp−1P (ω : |X(ω)| > x) dx.

Diskretaus neneigiamo sveikareikšmio a.d. vidurkiui skaičiuoti galima naudotis tokia formule.

40

2.4 teiginys. Jei X yra neneigiamas sveikareikšmis atsitiktinis dydis, tai

(2.5) EX =∞∑k=0

P (X > k).

Įrodymas. Įrodymui reikia sukeisti sumavimo tvarką:

∞∑k=0

P (X > k) =

∞∑k=0

∞∑j=k+1

pj =

∞∑j=1

( j−1∑k=0

)pj

=∞∑j=1

jpj = EX.

Atsitiktinio dydžio vidurkį galime išreikšti Rymano-Stiltjeso integralu atžvilgiu jo pasiskirstymo funk-cijos:

E(X) =

∫ ∞0

xdFX(x).

Jei g : R→ R yra Borelio funkcija ir E|g(X)| <∞, tuomet

E(g(X)) =

∫Ωg(X(ω)) dP (ω) =

∫ ∞−∞

g(x) dFX(x).

Atskiru atveju, jei X yra tolydusis a.d. su tankio funkcija fX , tai

Eg(X) =

∫ ∞−∞

g(x) dPX(x) =

∫ ∞−∞

g(x)fX(x) dx.

Jei X yra diskretusis a.d. su reikšmių tikimybių funkcija (pk) tuomet

Eg(X) =

∫ ∞−∞

g(x) dFX(x) =∑k

g(xk)pk.

Priminsime kitas svarbesnes diskrečiųjų bei tolydžiųjų atsitiktinių dydžių charakteristikas.

• n-tosios eilės momentas:

E(Xn) =

∫∞−∞ x

kfX(x)dx, kai X tolydus a.d.∑k x

nkpX(xk), kai X diskretus a.d.

• dispersija

σ2X = var(X) =

∫∞−∞(x− µX)2fX(x)dx, kai X tolydus a.d.∑k(xk − µX)2pX(xk), kai X diskretus a.d.

• standartinis nuokrypis yra σX - kvadratinė šaknis iš dispersijos.

• charakteristinė funkcija yra argumento t ∈ R, bendru atveju, kompleksinė funkcija

cX(t) = EeıtX = E cos(tX) + ıE sin(tX).

Čia ı =√−1.

41

• generuojanti funkcija yra argumento s > 0 funkcija

gX(s) = EsX , s > 0.

Funkcija gX yra apibrėžta tiems s > 0 su kuriais EsX <∞.

2.1 pavyzdys. Bernulio atsitiktinis dydis.Atsitiktinis dydis X turintis tik dvi galimas reikšmes 0 ir 1, vadinamas Bernulio atsitiktiniu dydžiu.

Tikimybė, kad tas dydis įgis reikšmę 1 lygi p, o P (X = 0) = 1− p. Bernuli atsitiktinis dydis aprašo vienokurio nors įvykio „sėkmę” – „nesekmę”. Tai gali būti, tarkime, vartotojo sprendimas pirkti kurią nors prekę;banko sprendimas apie kredito išdavimą; darbdavio sprendimas apie priėmimą į darbą ir t.t. Jo vidurkis irdispersija yra atitinkamai

µX = p ir σ2X = p(1− p).

2.2 pavyzdys. Binominis atsitiktinis dydis.Jei atliekame n bandymų, kiekviename iš kurių įvykis pasirodo su tikimybe p ir nepasirodo su tikimybe

1 − p, tuomet įvykio pasirodymų skaičius X yra Binominis atsitiktinis dydis (žymime X ∼ b(k;n, p)). Jogalimos reikšmės yra 0, 1, . . . , n ir atitinkamos tikimybės

P (X = k) = b(k;n, p) :=

(n

k

)pk(1− p)n−k, k = 0, 1, . . . , n.

Be to, µX = E(X) = np, σ2X = var(X) = np(1− p), o generuojanti funkcija yra

gX(s) = (1− p+ ps)n, s > 0.

2.3 pavyzdys. Puasono atsitiktinis dydis.Puasono atsitiktinis dydis X yra diskretusis atsitiktinis dydis, kurio reikšmės yra 0, 1, 2, 3, . . . , o atitin-

kamos tikimybės

P (X = k) = p(k;λ) :=λk

k!e−λ

su kiekvienu k = 0, 1, . . . (žymėsime X ∼ p(k;λ)). Čia λ > 0 yra Puasono parametras, dar vadinamasintensyvumu.

Tai labai plačiai naudojamas atsitiktinis dydis, dažniausiai aprašantis kokių nors įvykių pasirodymoskaičių vienetinio ilgio laiko intervale, kai vidutinis tų įvykių pasirodymas per tą patį laiką yra λ. Pavyzdžiui,skambučių skaičius per tam tikrą laiką (valandą, dieną ir t.t.); fiksuotame laiko intervale kreditinių korteliųpanaudojimo bankomate skaičius; per tam tikrą laiko intervalą (per dieną, valandą ar pan.) užeinančiųį parduotuvę pirkėjų skaičius. Puasono atsitiktinis dydis labai paplitęs modeliuojant skaičiuojančiuosiusprocesus.

Tegu X yra Puasono atsitiktinis dydis su parametru λ > 0. Tuomet

EX =

∞∑k=0

kλk

k!e−λ =

∞∑k=1

kλk

k!e−λ

=λ

∞∑k=1

λk−1

(k − 1)!e−λ = λ.

Norėdami suskaičiuoti Puasono atsitiktinio dydžio dispersiją, pirmiausia suskaičiuojame

EX(X − 1) =

∞∑k=2

k(k − 1)λk

k!e−λ = λ2.

42

Kadangi EX2 = EX(X − 1) + EX = λ2 + λ, tai dispersija yra

var(X) = EX2 − (EX)2 = λ.

Puasono atsitiktinio dydžio generuojanti funkcija yra

gX(s) = eλ(s−1), s > 0.

2.4 pavyzdys. Geometrinis atsitiktinis dydis.Bandymą, kuriame įvykis pasirodo su tikimybe p tol kartojame, kol įvykis pasirodo. Reikalingų tam

bandymų skaičius X ir turi geometrinį skirstinį (žymėsime X ∼ g(n; p). Atitinkamos tikimybės yra

P (X = n) = (1− p)np, n = 0, 1, 2, . . .

Pažymėję q = 1− p, suskaičiuojame

EX =∞∑k=0

kqkp = p∞∑k=0

kqk = p∞∑k=0

( k∑j=1

1)qk

=p∞∑j=1

∞∑k=j

qj = p∞∑j=1

qj(1− q)−1

=

∞∑j=1

qj =q

p.

Geometrinio atsitiktinio dydžio generuojanti funkcija yra

gX(s) =p

1− qs, 0 < s < q−1.

2.5 pavyzdys. Tolygusis a.d. Atsitiktinis dydis X vadinamas tolygiuoju intervale (a, b), jei jo tankio funk-cija yra

fX(x) =

1

b− a, kai a < x < b

0 kitur.

Tolygiojo a.d. pasiskirstymo funkcija yra

FX(x) =

0, kai x ≤ ax− ab− a

, kai a < x < b;

1 kai x ≥ b.

Kitos jo skaitinės charakteristikos: vidurkis µX = E(X) = a+b2 , dispersija σ2

X = var(X) = (b−a)2

12 .

2.6 pavyzdys. Eksponentinis a.d. Atsitiktinis dydis X vadinamas eksponentiniu su parametru λ > 0 (žy-mėsime X ∼ expλ), jei jo tankio funkcija yra

fX(x) =

λe−λx, kai x > 0

0 kitur.

43

Eksponentinio a.d. pasiskirstymo funkcija yra

FX(x) =

1− e−λx, kai x ≥ 0;

0 kai x < 0.

Kitos jo charakteristikos yra: vidurkis µX = E(X) = 1λ , dispersija σ2

X = var(X) = 1λ2. Eksponentiniai

atsitiktiniai dydžiai taikomi modeliuojant draudiminius įvykius.

2.7 pavyzdys. Normalusis a.d. Atsitiktinis dydis X vadinamas normaliuoju su parametrais (µ, σ2) (žymė-sime X ∼ N (µ, σ2)), jei jo tankio funkcija yra

fX(x) =1√2πσ

exp− (x− µ)2

2σ2

, x ∈ R.

Parametrai µ ir σ2 yra atitinkamai vidurkis ir dispersija. Atsitiktinis dydis X ∼ N (0, 1) vadinamas stan-dartiniu normaliuoju. Jo pasiskirstymo funkcija žymima Φ:

Φ(x) =1√2π

∫ x

−∞e−s

2/2 ds, x ∈ R.

A.d. X ∼ N (0, σ2) charakteristinę bei generuojančią funkcijas galime rasti pasinaudoję šia formule: suvisais u ∈ R

E expuX =1

σ√

2π

∫ ∞−∞

euxe−x2/2σ2

dx =1

σ√

2πeσ

2u2/2

∫ ∞−∞

euxe−(x−σ2u)2/2σ2dx

= expσ2u2/2.

Normalusis atsitiktinis dydis, kurio vidurkis yra µ, o dispersija σ2 reikšmes iš intervalo [µ−1.96σ, µ+1.96σ]įgyja su tikimybe 0.95:

P (µ− 1.96σ ≤ X ≤ µ+ 1.96σ) = Φ(1.96)− Φ(−1.96) = 0.95.

Šis sąryšis plačiai taikomas statistikoje.

2.3 Atsitiktiniai vektoriaiJei X1, . . . , Xd yra atsitiktiniai dydžiai, apibrėžti vienoje tikimybinėje erdvėje (Ω,F , P ), tai jų sutvarkytasrinkinys X = (X1, . . . , Xd) vadinamas atsitiktiniu vektoriumi. Norėdami jį interpretuoti kaip atsitiktinįerdvės Rd elementą, turime apibrėžti atitinkamą tos erdvės σ algebrą.

2.3 apibrėžimas. Erdvės Rd Borelio σ algebra BRd yra mažiausia σ algebra, kuriai priklauso aibės

A1 × · · · ×Ad, A1, . . . , Ad ∈ BR.

Galima įsitiktinti (žr, 2.21 pratimą), kad atsitiktinis vektorius X = (X1, . . . , Xd) yra F/BRd-matus atvaiz-dis:

X−1(B) ∈ F , B ∈ BRd .

Taigi, atsitiktinis vektorius yra atsitiktinis erdvės Rd elementas. Ir atvirkščiai, jei X : Ω→ Rd yra F/BRd-matus atvaizdis, tuomet X = (X1, . . . , Xd) ir Xi, i = 1, . . . , d yra atsitiktiniai dyžiai.

44

Atsitiktinio vektoriaus X = (X1, . . . , Xd) pasiskirstymo funkcija vadiname d kintamųjų funkciją

FX(x) = FX(x1, . . . , xd) = P (ω : X1(ω) ≤ x1, . . . , Xd ≤ xd), x = (x1, . . . , xd) ∈ Rd.

Atsitiktinio vektoriaus X = (X1, . . . , Xd), kurio pasiskirstymo funkcija yra FX(x1, . . . , xd) komponentėsXk marginalinė pasiskirstymo funkcija yra

Fk(xk) = FX(+∞, · · · ,+∞, xk,+∞, . . . ,+∞) : limx1,...,xk−1,xk+1,...,xd→∞

FX(x1, . . . , xd), xk ∈ R.

Analogiškai apibrėžiame ir bet kurio vektoriaus X = (X1, . . . , Xd) kooedinačių rinkinio (Xk1 , . . . , Xkq)marginalinę pasiskirstymo funkciją

Fk1,...,kq(xk1 , . . . , xkq) = limxj→∞,j∈1,...,d\k1,...,kq

FX(x1, . . . , xd).

Bet kuri d-mačio atsitiktinio vektoriaus pasiskirstymo funkcija F pasižymi šiomis savybėmis:

(i) kiekvienam k, 1 ≤ k ≤ d, F (x1, . . . , xd)→ 0, kai xk → −∞;

(ii) F (x1, . . . , xd)→ 1, kai x1 →∞, . . . , xd →∞;

(iii) F yra tolydi iš dešinės kiekvieno argumento atžvilgiu;

(iv) su bet kuriais ai < bi, i = 1, . . . , d,∑ε1,...εd=±1

(−1)ε1+···+εdF (ε1a1 + (1− ε1)b1, . . . , εdad + (1− εd)bd) ≥ 0.

Ir atvirkščiai, jei d kintamųjų funkcija F (x1, . . . , xd) pasižymi (i)–(iv) savybėmis, tai ji yra kurio norsatsitiktinio vektoriaus pasiskirstymo funkcija.

Atsitiktiniai vektoriai X1 = (X11, . . . , X1d), X2 = (X21, . . . , X2d) yra

• ekvivaletūs X1 ∼ X2 arba lygūs beveik tikrai X1 = X2 b.t., jei P (ω : X1(ω) 6= X2(ω)) = 0;

• vienodai pasiskirstę (žymėsime X1D= X2), jei jų pasiskirstymo funkcijos sutampa, t.y.

P (ω : X11(ω) ≤ x1, . . . , X1d(ω) ≤ xd) = P (ω : X21(ω) ≤ x1, . . . , X2d ≤ xd)

su visais (x1, . . . , xd) ∈ Rd.

Sakysime, kad atsitiktinis vektorius X ∈ Rd turi tankio funkciją fX jei fX : Rd → R yra tokia neneigiamaBorelio funkcija, kad

P (ai < Xi ≤ bi, i = 1, . . . , d) =

∫ b1

a1

· · ·∫ bd

ad

fX(x1, . . . , xd)dx1 · · · dxd,

su bet kuriais realiaisiais skaičiais ai < bi, i = 1, . . . , d.

2.5 teiginys. Jei funkcija g : Rd → Rm yra Borelio, t.y.

g−1(A) ∈ BRd

su kiekviena aibe A ∈ BRm , tai g(X1, . . . , Xd) yra m-matis atsitiktinis vektorius.

45

Atskiru šio teiginio atveju gauname, kad su kiekviena Borelio funkcija g : Rd → R, g(X) yra atsitiktinisdydis, jei X yra atsitiktinis vektorius. Taigi galime kalbėti apie to atsitiktinio dydžio įvairias skaitinescharakteristikas.

Tolydi funkcija arba funkcija turinti ne daugiau nei skaičią trūkio taškų aibę yra Borelio. Taigi pavyz-džiui, jei X1, X2 yra atsitiktiniai dydžiai, tai X1 +X2, X1X2, X1/X2 yra atsitiktiniai dydžiai.

Atsitiktinio vektoriaus X = (X1, . . . , Xd) vidurkis yra vektorius

E(X) = (E(X1), . . . , E(Xd)).

Atsitiktinio vektoriaus X = (X1, . . . , Xd) kovariacinė matrica yra matrica

ΓX = (ΓX(i, j))1≤i,j≤d = (cov(Xi, Xj))1≤i,j≤d;

čia

ΓX(i, j) = cov(Xi, Xj) = E(XiXj)− E(Xi)E(Xj),

yra atsitiktinių dydžių Xi ir Xj kovariacija, i, j = 1, . . . , d. Matrica ΓX yra simetrinė ir neneigiamai api-brėžta, t.y., ΓX(i, j) = ΓX(j, i) ir

d∑i,j=1

ΓX(i, j)aiaj ≥ 0

su visais realiaisais skaičiais a1, . . . , ad. Kovariacinės matricos simetriškumas yra matomas tiesiog apibrė-žime, o jos neneigiamą apibrėžtumą gauname iš šių lygybių:

d∑i,j=1

ΓX(i, j)aiaj =

d∑i,j=1

cov(Xi, Xj)aiaj = var( d∑i=1

aiXi

)≥ 0.

2.8 pavyzdys. Atsitiktinis vektorius X = (X1, . . . , Xd) turi normalųjį skirstinį su parametrais m ir Γ (tru-mai žymėasime X ∼ N (m,Γ)), jei jo tankio funkcija yra

fX(x1, . . . , xd) = (2π det(Γ))−d/2 exp− 1

2

d∑i,j=1

(xi −mi)(xj −mj)Γ−1(i, j)

.

Čia m = (m1, . . . ,md) ∈ Rd yra atsitiktinio vektoriaus X vidurkio vektorius, Γ = (Γ(i, j)) - kovariacinėmatrica, o Γ−1 = (Γ−1(i, j)) - jos atvirkštinė matrica. Atsitiktinis vektorius X ∼ N (0, I); čia I yravienetinė matrica, vadinamas standartiniu normaliuoju.

Jei Γ yra diagonalinė matrica, Γ = diag(σ21, . . . , σ

2d), tuomet atsitiktinio vektoriaus X tankio funkcija

yra normaliųjų tankio funkcijų sandauga:

fX(x1, . . . , xd) =

d∏i=1

( 1√2πσ2

i

exp−(xi −mi)2/2σ2

i ).

Jei X ∼ N (m,Γ) ir A yra bet kuri d × d matrica, tai atsitiktinis vektorius AX turi normalinį skirstinį suparametrais Am ir AΓA′ (A′ žymi transponuotą matricą).

46

2.4 NepriklausomumasNepriklausomumo sąvoka yra bene svarbiausia tikimybių teorijoje. Tegu (Ω,F , P ) yra tikimybinė erdvė.

2.4 apibrėžimas. Įvykiai A,B ∈ F yra vadinami tarpusavyje P -nepriklausomais, jei

P (A ∩B) = P (A)P (B).

Nagrinėkime tikimybinę erdvę, atitinkančią taisyklingo lošimo kauliukų metimą. Įvykiai

A = dviejų mestų kauliukų iškritusių taškų suma yra 6

irB = pirmame kauliuke iškrito 4

nėra nepriklausomi.Tačiau įvykiai B ir

C = dviejų mestų kauliukų iškritusių taškų suma yra 7

yra nepriklausomi.Pažymėsime, kad įvykiai gali būti tarpusavyje nepriklausomi vieno tikimybinio mato atžvilgiu, bet pri-

klausomi atžvilgiu kito (žr. 2.25 pratimą).

2.5 apibrėžimas. • Įvykiai A1, . . . , An vadinami:

– poromis tarpusavyje P -nepriklausomais, jei

P (Aj ∩Ak) = P (Aj)P (Ak), kai k 6= j;

– tarpusavyje P -nepriklausomais, jei su bet kuriais 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n,

P (Ai1 ∩ · · · ∩Aik) = P (Ai1) · · ·P (Aik),

• Begalinis rinkinys įvykių yra tarpusavyje P -nepriklausomi, jei bet kuris baigtinis jų porinkinis yratarpusavyje P -nepriklausomi.

• Dvi aibės Ω poaibių σ algebros F1 ir F2 vadinamos P -nepriklausomomis, jei

P (A ∩B) = P (A)P (B),

kai A ∈ F1, B ∈ F2.

Galima įsitikinti, kad poromis tarpusavioP -nepriklausomumas negarantuoja tarpusavioP -nepriklausomumo(žr. 2.26 pratimą).

Šiuose apibrėžimuose, tikimybinį matą P praleisime, kai jis yra žinomas iš konteksto, t.y., vietoj P -nepriklausomi sakysime tiesiog nepriklausomi.

2.6 apibrėžimas. Atsitiktiniai dydžiaiX ir Y , apibrėžti vienoje tikimybinėje erdvėje vadinami nepriklauso-mais, jei σ algebros FX ir FY yra nepriklausomos. Analogiškai, atsitiktiniai vektoriai X = (X1, . . . Xm)ir Y = (Y1, . . . , Yd), apibrėžti vienoje tikimybinėje erdvėje vadinami nepriklausomais, jei jų generuotos σalgebros FX ir FY yra nepriklausomos.

47

Galima įrodyti (žr. 2.28 pratimą), kad atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi tada ir tik tada, kai

P (X ≤ x, Y ≤ y) = P (X ≤ x)P (Y ≤ y), x, y ∈ R.

Ši nepriklausomumo savybė sugeneruoja įvairius atsitiktinių dydžių priklausomumo modelius. Pavyzdžiui,atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra vadinami neigiamai priklausomais, jei

P (X ≤ x, Y ≤ y) ≤ P (X ≤ x)P (Y ≤ y)

ir

P (X ≥ x, Y ≥ y) ≤ P (X ≥ x)P (Y ≥ y)

su visais x, y ∈ R.Jei vektoriai X = (X1, . . . Xm) ir Y = (Y1, . . . , Yd) yra nepriklausomi, tai nepriklausomi yra ir at-

sitiktiniai dydžiai h(X), g(Y ), kokios bebūtų Borelio funkcijos h : Rm → R ir g : Rd → R (žr. 2.27pratimą).

2.7 apibrėžimas. Atsitiktiniai dydžiai X ir Y , kuriems EX2 < ∞ ir EY 2 < ∞ vadinami nekoreliuotais,jei

E(XY ) = E(X)E(Y ).

Atsitiktinių dydžių koreliacija rodo tam tikrą tų dydžių tarpusavio priklausomybę. Jei jie yra nepriklau-somi tai ir nekoreliuoti. Bet atvirkščiai nebūtinai. Pavyzdžiui, jei X ∼ N (0, 1), tai atsitiktiniai dydžiaiX1 = X ir X2 = X2 yra akivaizdžiai priklausomi, bet nekoreliuoti : E(X1X2) = E(X3) = 0 =E(X1)E(X2).

Šis teiginys paaiškina nepriklausomumo sąryšį su koreliacija.

2.6 teiginys. Su bet kuriais m ≥ 1, d ≥ 1 atsitiktiniai vektoriai X = (X1, . . . Xm) ir Y = (Y1, . . . , Yd),apibrėžti vienoje tikimybinėje erdvėje yra nepriklausomi tada ir tik tada, kai

E(h(X1, . . . , Xm)g(Y1, . . . , Yd)) = Eh(X1, . . . , Xm)Eg(Y1, . . . , Yd),

bet kurioms aprėžtoms Borelio funkcijoms h : Rm → R ir g : Rd → R.

Pritaikę teiginį dviems atsitiktiniams dydžiams matome, kad atsitiktiniai dydžiaiX1 irX2 yra nepriklausomitada ir tik tada, kai atsitiktiniai dydžiai h(X1) ir g(X2) yra nekoreliuoti su bet kuriomis aprėžtomis Boreliofunkcijomis g, h : R→ R.

Tikimybių teorija negrinėja įvairius atsitiktinių dydžių priklausomumo modelius.

2.8 apibrėžimas. Tegu sveikasis skaičiusm ≥ 1. Atsitiktiniai dydžiaiX1, X2, . . . vadinamim-priklausomais,jei atsitiktiniai dydžiai Xi ir Xj yra nepriklausomi, kai tik |i− j| ≥ m.

2.9 pavyzdys. Tarkime, Y0, Y1, Y2, . . . yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai. Apibrėžkime

Xj = Yj−1 + Yj , j = 1, 2, . . .

Tuomet atsitiktiniai dydžiai X1, X2, . . . yra 2-priklausomi.

Kitokius atsitiktinių dydžių priklausomumo modelius (pavyzdžiui, martingalinis, markoviškas priklau-somumai) sutiksime studijuodami atsitiktinius procesus.

48

2.5 Sąlyginis vidurkisĮvykio A ∈ F sąlyginė tikimybė su sąlyga, kad įvyko įvykis B ∈ F , apskaičiuojama pagal formulę

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B).

Sąlyginės tikimybės interpretacija paprasta. Tarkime, kad įvykisB įvyko. Ši, papildoma informacija, leidžiapakeisti tikimybinę erdvę. Priskirkime nulinę tikimybę įvykiui Bc, o vienetą – įvykiui B. Taip įvykis Bpasidaro nauja elementariųjų įvykių erdve, tarkime, Ω′, o įvykiais dabar yra jos matūs jos poaibiai A∩B ⊂Ω′ (žr. 3.2 pratimą). Naujoje erdvėje apibrėžiame tikimybinį matą normalizuodami senąsias tikimybesP (A ∩B) skaičiumi P (B).

Jei P (B) > 0 ir X – atsitiktinis dydis, tai jo sąlyginė pasiskirstymo funkcija atžvilgiu B yra funkcija

FX(x|B) =P (X ≤ x,B)

P (B), x ∈ R,

o sąlyginis vidurkis:

E(X|B) =1

P (B)EX1B.

2.10 pavyzdys. Imkime Ω = (0, 1], F = B(0,1] - jos Borelio σ algebrą, o tikimybę P apibrėžkime taip, kadP ((a, b]) = b− a. Apibrėžkime atsitiktinį dydį X(ω) = ω, ω ∈ Ω. Nesunku įsitikinti, kad X turi tolygųjįpasiskirstymą ir EX = 0.5. Jei B = (0, 1/4], tai

E(X|B) =1

P (B)EX1B =

1

P (B)

∫ 1/4

0x dx =

1

8.

Dabar tarkime, kad Y yra diskretusis atsitiktinis dydis, apibrėžtas aibėje Ω ir įgyjantis reikšmes yi, i =1, 2, . . . . Nemažindami bendrumo galime tarti kad tos reikšmės yra skirtingos ir

Bi = ω : Y (ω) = yi, i = 1, 2, . . .

Tuomet aibių rinkinys (Bi) yra aibės Ω skaidinys:

Bi ∩Bj = ∅, kai i 6= j ir∞⋃i=1

Bi = Ω.

Be to, tarsime, kad P (Bi) > 0, su visais i = 1, 2, . . . .

2.9 apibrėžimas. Atsitiktinio dydžio X , apibrėžto aibėje Ω ir turinčio baigtinį vidurkį (E|X| < ∞) sąly-giniu vidurkiu atžvilgiu atsitiktinio dydžio Y vadinamas toks diskretusis atsitiktinis dydis E(X|Y ), kad

E(X|Y )(ω) = E(X|Bi) = E(X|Y = yi), kai ω ∈ Bi, i = 1, 2, . . .

Jei žinome, kad įvyko įvykis Bi, tuomet apsiribojame tik tais ω, kurie priklauso aibei Bi. Tiems ω,E(X|Y )(ω) sutampa su sąlyginiu vidurkiu E(X|Bi).

2.11 pavyzdys. Tęskime 2.10 pavyzdį. Tegu a.d. Y yra apibrėžtas toje pačioje tikimybinėje erdvėje kaip irX , tokiu būdu:

Y (ω) =

ω/2, kai ω ∈ [0, 1/4)

2ω, kai ω ∈ [1/4, 1].

49

Tuomet

E(X|Y )(ω) =

1/8, kai ω ∈ [0, 1/4)

5/8, kai ω ∈ [1/4, 1].

Išvardinsime kelias sąlyginio vidurkio savybes:

• Sąlyginis vidurkis yra tiesinė funkcija:

E([aX + bZ]|Y ) = aE[X|Y ] + bE[Z|Y ].

• Atsitiktinių dydžių X ir E[X|Y ] vidurkiai sutampa:

EX = E(E[X|Y ]).

Šių savybių įrodymą paliekame vietoj pratimo.Sąlyginis vidurkisE[X|Y ], kai Y diskretusis a.d. yra diskretus a.d. Tam tikra prasme, tai yra šiurkštesnė

(grubesnė) a.d. X versija. Kuo mažiau reikšmių įgyja Y , tuo grubesnis yra a.d. E[X|Y ]. Taip, jei Y =const, tai E[X|Y ] = EX; jei Y įgyja dvi skirtingas reikšmes, tai toks yra ir sąlyginis vidurkis E[X|Y ].

Sąlyginis vidurkis E[X|Y ] yra Y funkcija:

E[X|Y ] = g(Y ), čia g(y) =

∞∑i=1

E[X|Y = yi]1yi(y).

Iš sąlyginio vidurkio E[X|Y ] apibrėžimo, kai Y yra diskretus atsitiktinis dydis, aišku, kad a.d. Y reikš-mės čia visai nesvarbios, bet svarbūs įvykiai lemiantys tas reikšmes. Todėl sąlyginį vidurkį galime suprastikaip atsitiktinį dydį sukonstruotą pagal su dydžiu Y susijusią įvykių aibę, tarkime σ(Y ) ir simboliškai, vietojE[X|Y ] rašyti E[X|σ(Y )]. Aišku, kad σ(Y ) suteikia visą informaciją apie a.d. Y , kaip ω ∈ Ω funkciją.

Priminsime, kad atsitiktinius dydžius nagrinėjame apibrėžtus tikimybinėje erdvėje (Ω,F , P ). Tarkime,G yra kita aibės Ω poaibių σ algebra ir G ⊂ F .

2.10 apibrėžimas. Atsitiktinio dydžio X sąlyginis vidurkis atžvilgiu σ algebros G yra toks G-matus atsitik-tinis dydis E(X|G), kuriam

E(E(X|G)1F ) = E(X1F ),

su kiekviena aibe F ∈ G.

Sąlyginis vidurkis E(X|Y ) = E(X|FY ), kai FY yra mažiausia σ algebra atžvilgiu kurios yra matus atsi-tiktinis dydis Y . Įvykio A ∈ F sąlyginė tikimybė atžvilgiu G yra

P (A|G) = E(1A|G).

Svarbu įsidėmėti, kad sąlyginis vidurkis ir sąlyginė tikimybė atžvilgiu kurios nors σ algebros yra atsitiktinisdydis.

Jei σ algebra G yra generuota baigtiniu skaidiniu B1, . . . , Bn, tuomet

E(X|G) =n∑k=1

1

P (Bk)E(X1Bk

)1Bk.

Jei atsitiktinis vektorius (X,Y ) yra aprašomas tankio funkcija f(x, y), tai atsitiktinio dydžioX sąlyginėtankio funkcija, kai fiksuota dydžio Y reikšmė y, yra

f(x|y) =f(x, y)

fY (y),

50

kai fY (y) yra atsitiktinio dydžio Y marginalioji tankio funkcija. Tuomet

P (a < X ≤ b|Y = y) =

∫ b

af(x|y)dx,

E(X|Y = y) =

∫ ∞−∞

xf(x|y)dx.

Išvardinsime paprasčiausias sąlyginio vidurkio savybes. Lygybės tarp atistiktinių dyžių yra lygybėsbeveik tikrai.

1) Jei X = c b.t., tai E(X|G) = c b.t.

2) E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G);

3) Jei σ algebros FX ir G yra nepriklausomos, tai E(X|G) = EX;

4) Jei X yra G-matus, tai E(X|G) = X;

5) Jei X ≤ Y b.t., tai E(X|G) ≤ E(Y |G) b.t.

6) |E(X|G)| ≤ E(|X|| G);

7) Dvigubo vidurkinimo taisyklė: jei σ-algebros G1 ir G2 tenkina G1,⊂ G2 ⊂ F , tai

E(E(X|G2)|G1) = E(X|G1).

8) Jei Y yra G-matus, taiE(XY |G) = Y E(X|G).

9) Jenseno nelygybė: jei h : R→ R yra iškiloji funkcija (t.y., h(λx+ (1−λ)y) ≤ λh(x) + (1−λ)h(y)su visais λ ∈ [0, 1] ir x, y ∈ R), tuomet

h(E(X|G)) ≤ E(h(X)|G).

2.6 Naudingi tikimybių teorijos faktaiŠiame skirelyje surinkti naudingi tikimybių teorijos faktai, kuriais ateityje naudosimės.

• Čebyševo nelygybė: jei λ > 0, tai

P (|X| > λ) ≤ λ−pE|X|p.

• Švarco nelygybė: E(XY ) ≤(EX2EY 2

)1/2.

• Hiolderio nelygybė: jei skaičiai p, q > 1 tenkina sąryšį 1/p+ 1/q = 1, tai

E(XY ) ≤(E|X|p

)1/p(E|Y |q

)1/q.

• Jenseno nelygybė: jei funkcija φ : R→ R yra iškila, tai

φ(E(X)) ≤ E(φ(X)).

51

Atsitiktinių dydžių sekoms apibrėžiami kelių tipų konvergavimai. Tarkime, atsitiktinių dydžių seka (Xn)ir a.d. X yra apibrėžti vienoje tikimybinėje erdvėje (Ω,F , P ).

• Konvergavimas beveik tikrai: Seka (Xn) konverguoja beveik tikrai prieX (Xnb.t.−→ X), jei egzistuoja

tokia mati aibė N ∈ F , kad P (N) = 0 ir

limn→∞

Xn(ω) = X(ω),

su visais ω 6∈ N.

• Konvergavimas pagal tikimybę: Seka (Xn) konverguoja pagal tikimybę prie X (XnP−→ X), jei

limn→∞

P (|Xn −X| > ε) = 0,

su visais ε > 0.

• Konvergavimas p-ojo momento prasme: tegu p ≥ 1. Seka (Xn) konverguoja p-ojo momento praseme

(Lp-prasme) prie X (XnLp−→ X), jei

limn→∞

E|Xn −X|p = 0.

Sekos (Xn) konvergavimo pagal skirstinį apibrėžimui jau nėra būtina, kad tie dydžiai būtų apibrėžtivienoje tikimybinėje erdvėje.

• Konvergavimas pagal skirstinį: Seka (Xn) konverguoja pagal skirstinį prie X (XnD−→ X), jei

limn→∞

Ef(Xn) = Ef(X)

su bet kuria aprėžta tolydžia funkcija f : R→ R.Pasiskirstymo funkcijų terminais konvergavimas pagal skirstinį yra ekvivalentus

limn→∞

FXn(x)→ FX(x)

kiekvienam funkcijos F tolydumo taškui x ∈ R.

Sąryšius tarp konvergavimo tipų nusako šis teiginys.

2.7 teiginys. Tegu (Xn) yra a.d. seka, a.d. X ∈ R. Teisingi šie teiginiai:

1. Xnb.t.−→ X ⇒ Xn

P−→ X;

2. XnLp−→ X ⇒ Xn

P−→ X;

3. XnP−→ X ⇒ Xn

D−→ X;

4. XnD−→ C(konstanta) ⇒ Xn

P−→ X;

3. XnP−→ X ⇒ egzistuoja posekis Xnk

b.t.−→ X.

Tikimybių teorijai labai svarbūs yra didžiųjų skaičių dėsnis bei centrinė ribinė teorema. Silpnasis di-džiųjų skaičių dėsnis yra šis teiginys.

52

2.8 teiginys. (Silpnasis didžiųjų skaičių dėsnis) Tegu (Xn) yra nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių at-sitiktinių dydžių seka. Tuomet

n−1(X1 + · · ·+Xn)P−→ 0

tada ir tik tada, kai

• limt→∞ tP (|X1| > t) = 0;

• limn→∞EX1|X| > n = 0.

Stiprusis didžiųjų skaičių dėsnis ir centrinė ribinė teorema suformuluoti šiuose teiginiuose.

2.9 teiginys. (Stiprusis didžiųjų skaičių dėsnis) Tegu (Xn) yra seka nepriklausomų vienodai pasiskirsčiu-sių a.d. Tuomet

n−1(X1 + · · ·+Xn)b.t.−→ EX1.

tada ir tik tada, kai E|X1| <∞.

2.10 teiginys. (Centrinė ribinė teorema) Tegu (Xn) yra seka nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių a.d.su vidurkiu µ = EX1 ir baigtine dispersija σ2 = EX2

1 <∞. Tuomet

Zn = n−1/2(X1 + · · ·+Xn − nµ)D−→ N (0, 1).

2.7 Pratimai2.1 pratimas. Įsitikinkite, kad FX yra σ algebra.

2.2 pratimas. Įrodykite 2.1 teiginį.

2.3 pratimas. Įrodykite kad atsitiktinių dydžių lygybė beveik tikrai yra ekvivalentumo sąryšis.

2.4 pratimas. Įrodykite, kad atsitiktinių dydžių X ir X skirstiniai sutampa, jei sutampa jų pasiskirstymofunkcijos.

2.5 pratimas. Įrodykite, kad λF + (1 − λ)G yra pasiskirstymo funkcija, kai F ir G yra pasiskirstymofunkcijos, o λ ∈ [0, 1]. Ar sandauga FG yra pasiskirstymo funkcija?

2.6 pratimas. Įrodykite, kad tolydžiam atsitiktiniam dydžiui X ,

P (ω : X(ω) = x) = 0.

2.7 pratimas. Tegu (Xn) yra atsitiktinių dydžių seka. Įsitikinkite, kad

(a) lim supn→∞Xn, yra atsitiktinis dydis;

(b) lim infn→∞Xn yra atsitiktinis dydis;

(c) aibė ω : limn→∞Xn(ω) egzistuoja yra mati;

(d) X(ω) =

limn→∞Xn(ω), jei riba egzistuopja0, kitur.

.

Įsitikinkite, kad X yra atsitiktinis dydis.

53

2.8 pratimas. Įrodykite, kad λf + (1−λ)g yra tankio funkcija, kai f ir g yra tankio funkcijos, o λ ∈ [0, 1].Ar sandauga fg yra tankio funkcija?

2.9 pratimas. Tarkime, X yra atsitiktinis dydis su tankio funkcija

fX(x) =λ

2e−λ|x|,

kai x ∈ R. Raskite var(X).

2.10 pratimas. Atsitiktinių dydžių

X+ = max0, X, X− = −min0, X, |X| = X+ +X−, −X

pasiskirstymo funkcijas išreiškite atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija FX .

2.11 pratimas. Atvaizdis d : S × S → R vadinamas aibės S metrika, jei yra teisingos šios savybės:

(i) d(s, t) = d(t, s) ≥ 0 su visais s, t ∈ S,

(ii) d(s, t) = 0 tada ir tik tada, kai s = t,

(iii) d(s, t) ≤ d(s, u) + d(u, t) su visais s, t, u ∈ S.

(a) Levi metrika. Pasiskirstymo funkcijoms F ir G, Levi metrika yra

dL(F,G) = infε > 0 : G(x− ε) ≤ F (x) ≤ G(x+ ε), visiems x.

Įrodykite, kad dL yra pasiskirstymo funkcijų aibės metrika.

(b) Pilnosios variacijos metrika. Tegu X ir Y yra sveikareikšmiai atsitiktiniai dydžiai ir

dTV (X,Y ) =∑k

|P (X = k)− P (Y = k)|.

Įrodykite, kad funkcija dTV tenkina pirmą ir trečią metrikos savybes ir dTV (X,Y ) = 0 tada ir tiktada, kai P (X = Y ) = 1.

(c) Įrodykite, kaddTV (X,Y ) = 2 sup

A⊂Z|P (X ∈ A)− P (Y ∈ A)|.

2.12 pratimas. Įrodykite, kadargmina∈RE(X − a)2 = EX.

2.13 pratimas. Tarkime, X yra Puasono atsitiktinis dydis su parametru λ. Raskite E(1/(X + 1)).

2.14 pratimas. Tegu X,Y yra nepriklausomi eksponentiniai atsitiktiniai dydžiai su parametru λ. RaskiteE|X − Y |.

2.15 pratimas. Tegu X ∼ N (0, σ2). Žinodami, kad

EeλX = exp1

2λ2σ2

su visais λ ∈ R, išveskite:

54

(a) EX2k =(2k)!

2kk!σ2k, k = 1, 2, . . . ;

(b) EX2k−1 = 0, k = 1, 2, . . . .

2.16 pratimas. Įrodykite, kad Puasono atsitiktinio dydžio X su paramatru λ charakteristinė funkcija yralygi

cX(t) = expλ(eit − 1),

t ∈ R. Remdamiesi šia formule suskaičiuokite EX2, var(X), EX3.

2.17 pratimas. Tegu X yra Bernulio atsitiktinis dydis, P (X = 0) = 1 − p, P (X = 1) = p. Tegu Y =1−X, o Z = XY . Raskite P (X = x, Y = y) ir P (X = x, Z = z), kai x, y, z ∈ [0, 1].

2.18 pratimas. Įrodykite, kad a.d. X ∼ p(k;λ), generuojanti funkcija yra

gX(s) = eλ(s−1), s > 0.

2.19 pratimas. Tarkime g(s) yra atsitiktinio dydžio generuojanti funkcija, kurios konvergavimo spindulysnemažesnis už 1. Įrodykite, kad funkcija g(s) yra be galo daug kartų diferencijuojama.

2.20 pratimas. Įrodykite šią generuojančių funkcijų savybę:

Jei X1, X2 yra nepriklausomi neneigiami sveikareikšmiai a.d., kurių generuojančios funkcijos yragXi(s), 0 ≤ s ≤ 1, i = 1, 2, tai

gX1+X2(s) = PX1(s)PX2(s).

2.21 pratimas. Įsitikinkite, kad jei X1, · · · , Xd yra vienoje tikimybinėje erdvėje (Ω,F , P ) apibrėžti atsi-tiktiniai dydžiai, tai vektorius (X1, . . . , Xd) yra F/BRd-matus.

2.22 pratimas. Įrodykite 2.5 teiginį.

2.23 pratimas. Tarkime, vektoriaus (X,Y ) pasiskirstymo funkcija yra F . Įrodykite, kad

P (a < X ≤ b, c < Y ≤ d) = F (b, d)− F (a, d)− F (b, c) + F (a, c),

kai a < b, c < d.

2.24 pratimas. Ar funkcija F (x, y) = 1− exp−xy, 0 ≤ x, y <∞ yra kokio nors atsitiktinio vektoriauspasiskirstymo funkcija?

2.25 pratimas. Sukonstruokite dviejų įvykių pavyzdį,kurie būtų tarpusavyje nepriklausomi vieno tikimy-binio mato atžvilgiu, bet priklausomi atžvilgiu kito.

2.26 pratimas. Įsitikinkite, kad poromis tarpusavioP -nepriklausomumas negarantuoja tarpusavioP -nepriklausomumo.

2.27 pratimas. Įsitikinkite, kad jei vektoriai X = (X1, . . . Xm) ir Y = (Y1, . . . , Yd) yra nepriklausomi,tai nepriklausomi yra ir atsitiktiniai dydžiai h(X), g(Y ), kokios bebūtų Borelio funkcijos h : Rm → R irg : Rd → R.

55

2.28 pratimas. Įrodykite, kad atsitiktiniai dydžiai X1, . . . , Xd yra tarpusavyje nepriklausomi tada ir tiktada, kai

P (X1 ≤ x1, . . . , Xd ≤ xd) = P (X1 ≤ x1) · · ·P (Xd ≤ xd), x1, . . . , xd ∈ R.

2.29 pratimas. Tegu Xi ∼ N (mi, σ2i ), i = 1, 2 yra nekoreliuoti atsitiktiniai dydžiai. Įrodykite, kad jie yra

nepriklausomi. Apibendrinkite atsitiktiniams Gausiniams vektoriams.

2.30 pratimas. Jei X ∼ N (0, Im) (Im = diag(1, . . . , 1) yra m×m vienetinė matrica) ir A,B yra m×mmatricos, tai vektoriai AX ir BX yra nepriklausomi tada ir tik tada, kai AB′ = 0.

2.31 pratimas. Tegu τ yra eksponentinis atsitiktinis dydis su parametru λ. Raskite sąlyginį vidurkįE(τ |τ <c).

2.32 pratimas. Raskite atsitiktinio dydžio Y sąlyginę tankio funkciją ir sąlyginį vidurkį atžvilgiu X , jeiporos (X,Y ) tankio funkcija yra:

(a) f(x, y) = λ2e−λy, 0 ≤ x ≤ y <∞,

(b) f(x, y) = xe−x(y+1), x, y ≥ 0.

2.33 pratimas. Įrodykite, kad beveik visur konvergavimas yra invariantinis tolydinių transformacių atžvil-giu: jei Xn

b.t.−→ X ir f : R→ R yra tolydi funkcija, tuomet f(Xn)b.t.−→ f(X).

2.34 pratimas. Tegu (Xn) yra nepriklausomų bernuli a.d. seka, P (Xn = 1) = pm, P (Xm = 0) =1− pm. Įrodykite šiuos teiginius:

(a) XnP−→ 0 tada ir tik tada, kai pn → 0;

(b) XnLp−→ 0 tada ir tik tada, kai pn → 0;

(c) Xnb.t.−→ 0 tada ir tik tada, kai

∑n pn <∞.

56

3 skyrius

Atsitiktiniai procesai

Atsitiktinius procesus galime apibrėžti dviem būdais. Pirmuoju - kaip atsitiktinių dydžių rinkinį indeksuotąkokia nors realiųjų skaičių aibe. Antruoju - kaip atsitiktinį kokios nors mačios realiojo argumento funkcijųerdvės elementą. Šiam apibrėžimui reikalingos tam tikros funkcinės analizės žinios. Pirmajam gi tokių žiniųnereikia, tačiau tuomet galime kalbėti tik apie atsitiktinio proceso baigtiniamačius skirstinius, bet ne apie jųtrajektorijų savybes, tokias kaip tolydumas ar diferencijuojamumas. Šiame skyriuje pateikti abu atsitiktiniųprocesų apibrėžimai, aprašytos jų skaitinės charakteristikos bei reguliarumo (matumo, diferencijuojamumo,integruojamumo) savybės.

3.1 ApibrėžimaiTegu T ⊂ R yra duota aibė.

3.1 apibrėžimas. Tikimybinėje erdvėje (Ω,F , P ) apibrėžtų atsitiktinių dydžių rinkinys

(Xt, t ∈ T )

vadinamas atsitiktiniu procesu.

Atsitiktinio proceso (Xt, t ∈ T ) indeksų aibė T dažnai vadinama laiko sritimi, o t ∈ T interpretuojamaskaip laiko momentas. Jei aibė T bus aiški iš konteksto, vietoj (Xt, t ∈ T ) dažnai rašysime tiesiog (Xt).

Atsitiktinis procesas (Xt, t ∈ T ), kai T ⊂ Z = 0,±1,±2, . . . vadinamas diskretaus laiko procesuarba laikine seka. Jei T yra baigtinė aibė, tuomet (Xt, t ∈ T ) yra tiesiog atsitiktinis vektorius. Jei aibė Tyra tolydi, pavyzdžiui, T = [0, 1], tai procesas (Xt, t ∈ T ) vadinamas tolydaus laiko.

Atsitiktinis procesas (Xt, t ∈ T ) yra dviejų argumentų t ∈ T ir ω ∈ Ω funkcija. Kai t ∈ T fiksuotas,

Xt = Xt(ω), ω ∈ Ω

yra atsitiktinis dydis ir interpretuojamas kaip proceso būsena laiko momentu t. Kai fiksuotas „elementarusisįvykis” ω ∈ Ω, turime argumento t ∈ T funkciją:

Xt(ω), t ∈ T arba t→ Xt(ω) : T → R.

Ši funkcija vadinama proceso trajektorija arba realizacija.

3.1 pavyzdys. Bene paprasčiausias diskretaus laiko atsitiktinio proceso pavyzdys - atsitiktinis klaidžiojimasmetant monetą. Dalelė startuoja nulinio laiko momentu koordinačių pradžioje (žr. 2.1 pav.). Kiekvienu laiko

57

momentu n = 1, 2, . . . metama moneta ir dalelė juda per vienetą į dešinę iškritus „pinigui”, į kaire - iškritus„herbui”. Xn yra dalelės padėtis po n-ojo monetos metimo, n = 1, 2, . . . .

2.1 pav. Diskretaus laiko proceso trajektorija

3.2 pavyzdys. TeguX ir Y yra du nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai. Apibrėžkime tolydaus laiko atsitiktinįprocesą (Xt, t ≥ 0):

Xt = tX + Y, t ≥ 0.

Šio proceso trajektorijos yra tiesės su atsitiktiniais koeficientais (atsitiktinės tiesės).

3.3 pavyzdys. (Atvykimų procesas) Nagrinėkime klientų atvykimą į parduotuvę, matuodami laikus nuovieno kliento atvykimo iki kito. Tegu tie laikai yra teigiami atsitiktiniai dydžiai X1, X2, . . . . Imdamit ∈ [0,∞), apibrėžkime Nt = k, jei sveikasis skaičius k yra toks, kad

X1 + · · ·+Xk ≤ t < X1 + · · ·+Xk+1.

Tegu Nt = 0, jei t < X1. Tuomet Nt yra iki laiko momento t (laiko intervale [0, t]) į parduotuvę atvykusiųklientų skaičius. Pastebėkime, kad su kiekvienu t ≥ 0, Nt yra atsitiktinis dydis įgyjantis reikšmes aibėjeN := 0, 1, 2, . . . . Taigi Nt, t ≥ 0) yra tolydaus laiko diskretus procesas. Jo trajektorijos yra nemažė-jančios, tolydžios iš dešinės funkcijos ir didėjančios vienetiniais šuoliukais taškuose X1 + · · ·+Xk. Be to,Nt <∞ su visais t ≥ 0 tada ir tik tada, kai

∑∞k=1Xk =∞.

3.4 pavyzdys. Nagrinėkime diskretaus laiko atsitiktinį procesą (Xt), kurio būsenų aibė yra S = 1, 2, 3.Proceso dinamika (kitimas laike) aprašoma taip: iš būsenos 1 į būseną 2 procesas pereina su tikimybe 1. Išbūsenos 3 gali pereiti arba į 1, arba 2 su vienoda tikimybe 1/2, o iš 2 peršoka į 3 su tikimybe 1/3 arba liekabūsenoje 2. Tai yra Markovo grandinės pavyzdys. Jas detaliai nagrinėsime vėliau.

58

Kaip jau minėjome, kitaip atsitiktinį procesą galime apibrėžti panaudoję atsitiktinės funkcijos sampratą.Priminsime, kad RT žymi visų funkcijų f : T → R aibę:

RT := f : T → R.

Jei T = 1, . . . , d, tuomet RT = Rd yra tiesiog d-mačių vektorių aibė. Jei T = Z arba T = N, tuomet RTyra visų galimų skaitinių sekų aibė, atitinkamai

RZ := (xj , j = 0,±1,±2, . . . ), RN := (xj , j = 0, 1, 2, . . . ).

Taigi atsitiktinį procesą (Xt, t ∈ T ) atitinka atvaizdis

ω → Xt(ω), t ∈ T : Ω→ RT ,

apibrėžtas aibėje Ω ir reikšmes įgyjantis funkcijų erdvėje RT . Norėdami atsitiktinį procesą interpretuoti arapibrėžti kaip atsitiktinį aibės RT elementą (kaip atsitiktinę funkciją), aibėje RT turime apibrėžti σ algebrąkurios atžvilgiu atvaizdis ω → X(ω) = (Xt(ω), t ∈ T ) būtų matus.

Aibės RT d-mate cilindrine aibe vadinsime aibę

A = x ∈ ST : x(t1) ∈ E1, . . . , x(td) ∈ Ed,

kai t1, . . . , td ∈ T, Ei ∈ BR, i = 1, . . . , d. Cilindrinė aibės RT σ algebra yra CTR :

CTR = σ1−mačiai stačiakampiai).

Pagal σ algebros apibrėžimą bet kuri baigtiniamatė cilindrinė aibė priklauso CTR .

3.2 apibrėžimas. Atsitiktine realiąja funkcija, apibrėžta aibėje T , vadinsime atvaizdį X : Ω → RT , kurisyra F/CTR -matus, t.y.

ω : X(ω) ∈ C ∈ F , jei C ∈ BTR .

3.1 teiginys. Atsitiktinis procesas X = (Xt, t ∈ T ), kaip atvaizdis X : Ω→ RT , yra F/BTR -matus.

Įrodymas. Jei E ∈ BR ir C = x ∈ R : x(t) ∈ E yra bet kuri vienmatė cilindrinė aibė, tai

X−1(C) = omega : Xt(ω) ∈ E = X−1t (E) ∈ F ,

nes Xt yra atsitiktinis dydis.

3.3 apibrėžimas. Atsitiktinė (realioji) funkcija apibrėžta aibėje T yra (F , CTR )-matus atvaizdis X : Ω →RT .

Taigi atsitiktinis procesas yra kartu ir atsitiktinė funkcija. Atvirkščiai yra taip pat. Apibrėžkime projek-torius πt : RT → R:

πtx = x(t), x ∈ RT .

3.2 teiginys. FunkcijaX : Ω→ RT yra (F , CTR )-matu tada ir tik tada, kai πtX : Ω→ R yra (F ,BR-matussu kiekvienu t ∈ T .

59

Įrodymas. Pakanka prisiminti, kad cilindrinę σ-algebrą generuoja vienmačtės cilindrinės aibės.

Taigi atsitiktiniu procesu galime vadinti bet kurį BTR/F-matų atvaizdį X : Ω → RT . Ši atsitiktinioproceso interpretacija leidžia kalbėti apie įvairias procesų trajektorijų savybes, pavyzdžiui, trajektorijų toly-dumą, diferencijuojamumą ir pan. Tarkime, mus domina atsitiktinio proceso X = (Xt, t ∈ T ) trajektorijųsavybė, kurią aprašo aibė U ⊂ RT . Pati U gali nepriklausyti (o dažniausiai ir nepriklauso) σ algebrai BTR .Todėl nagrinėkime susiaurintą σ algebrą U∩BTR := U ∩A : A ∈ BTR. Tuomet pora (U,U∩BTR) yra matierdvė (žr. 3.2 pratimą).

3.4 apibrėžimas. Atsitiktiniu procesu su trajektorijomis aibėje U vadinsime atvaizdį X : Ω→ U, kuris yraF/U ∩ BTR -matus.

3.3 teiginys. Funkcija X = (Xt, t ∈ T ) : Ω → U yra F/U ∩ BT – mati tada ir tik tada, kai su kiekvienut ∈ T , Xt : Ω→ R yra F/BR-matus atvaizis.

Įrodymas. Kadangi X(ω) ∈ U, tai ω : X(ω) ∈ U∩A = ω : X(ω) ∈ A su kiekviena A ∈ BT . Kitaiptariant, jei X : Ω→ U tai X yra F/U ∩ BT -matus atvaizdis tada ir tik tada, kai jis yra F/BT -matus.

Keletas pavyzdžių paaiškins, kaip aibės U parinkimas atspindi proceso trajektorijų savybes. Tegu T =[a, b] ir U := C(T ) = C[a, b] – visų tolydžių funkcijų f : [a, b] → R aibė. Taigi atsitiktinio procesoX = (Xt, t ∈ [a, b]) trajektorijos yra tolydžios, jei tas procesas yra atsitiktinis erdvės C[a, b] elementas.Kartais tai matyti tiesiog iš proceso apibrėžimo. Taip, pavyzdžiui, atsitiktinis procesas X = (Xt, t ≥ 0):

Xt = ηt+ ξ, t ≥ 0,

kai η, ξ yra atsitiktiniai dydžiai yra akivaizdžiai procesas su tolydžiomis trajektorijomis (su kiekvienu t ≥ 0,Xt = ηt+ ξ yra atsitiktinis dydis ir X : Ω→ C[0,∞), nes ω : X(ω) ∈ C[0,∞) = Ω).

Kiti analogiški pavyzdžiai: U = B[a, b] – aprėžtų funkcijų f : [a, b] → R aibė; T = (0,∞) ir U =L1(T ) – Lebego prasme integruojamų funkcijų f : (0,∞)→ R aibė; T = N ir U = c0 – konverguojančių įnulį skaitinių sekų aibė arba U = `2 – kvadratu sumuojamų skaitinių sekų aibė.

Norėdami įsitikinti, kad atsitiktinio proceso X = (Xt, t ∈ T ) beveik visos trajektorijos turi savybę,kurią aprašo aibė U ⊂ RT , pakanka įrodyti, kad X ∈ U su tikimybe vienas. Pavyzdžiui, atsitiktinioproceso X = (Xn, n ∈ N) beveik visos trajektorijos konverguoja prie nulio, jei P (X ∈ c0) = 1. KadangiP (ω : X(ω) ∈ c0) = P (ω : limn→∞Xn(ω) = 0), tai X ∈ c0 beveik tikrai reiškia, kad Xn → 0 beveiktikrai.

Tačiau patikrinti, kad X ∈ U su tikimybe vienas, ne visada yra paprasta tolydaus laiko procesams, nesgali iškilti matumo problemos. Įvykis ω : X(ω) ∈ U nebūtinai yra matus. Pavyzdžiui, atsitiktiniamprocesui X = (Xt, t ∈ [0, 1]), aibė

ω : X(ω) ∈ C[0, 1] =∞⋂n=1

∞⋃k=1

⋂|t−s|<1/k

ω : |Xt(ω)−Xs(ω)| ≤ 1/n

nebūtinai priklauso F . Šią matumo problemą detaliau aptarsime kiek vėliau.

60

2.2 pav. Tolydaus laiko proceso trajektorijos

Taigi turime atsitiktinio proceso apibrėžimą ir atsitiktinio proceso su aprašytomis trajektorijų savybėmisapibrėžimą.

3.2 Atsitiktinių procesų skirstiniaiNagrinėkime atsitiktinį procesą (Xt, t ∈ T ), T ⊂ R. Fiksuotu laiko momentu t1 ∈ T , Xt1 yra atsitiktinisdydis. Jo pasiskirstymo funkcija yra

Ft1(x1) = P (ω : Xt1(ω) ≤ x1), x1 ∈ R.

Pasiskirstymo funkcijų rinkinys Ft1 , t1 ∈ T vadinamas atsitiktinio proxceso (Xt, t ∈ T ) pirmosios eilėspasiskirstimu. Analogiškai, jei t1 < t2 ∈ T , tai Xt1 , Xt2 yra du atsitiktiniai dydžiai. Jų bendra pasiskirsty-mo funkcija yra

Ft1,t2(x1, x2) = P (ω : Xt1(ω) ≤ x1, Xt2(ω) ≤ x2).

Rinkinys Ft1,t2 , t1 < t2 ∈ T sudaro proceso antrosios eilės pasiskirstimą.Jei t1 < · · · < tn yra baigtinis parametro t skirtingų reikšmių rinkinys, tai atsitiktinio vektoriaus

(Xt1 , . . . , Xtn) pasiskirstymo funkcija Ft1,...,tn yra

Ft1,...,tn(x1, . . . , xn) = P (ω : Xt1(ω) ≤ x1, . . . , Xtn(ω) ≤ xn)

ir jų šeima, kai t1 < · · · < tn ∈ T vadinama n-tosios eilės pasiskirstimu. Visų eilių pasiskirstimų rinkinys,

(3.1) Ft1,...,tn : t1 < t2 · · · < tn ∈ T, n ≥ 1

vadinama proceso (Xt, t ∈ T ) baigtiniamačių pasiskirstymo funkcijų šeima. Ji pilnai aprašo atsitiktinįprocesą.

Funkcijų šeima Ft1,...,tn : t1 < t2 · · · < tn ∈ T, n ≥ 1, vadinama suderinta pasiskirstymo funkcijųšeima, jei

61

(i) Ft1,...,tn yra n-mačio atsitiktinio vektoriaus pasiskirstymo funkcija;

(ii) jei tk1 < · · · < tkm ⊂ t1 < · · · < tn, tuomet Ftk1 ,...,tkm yra pasiskirstymo funkcijos Ft1,...,tnmarginalinė funkcija atitinkanti indeksus tk1 , . . . , tkm , t.y.

limxi→∞, i∈1,...,n\i1,...,km

Ft1,...,tn(x1, . . . , xn) = Ftk1 ,...,tkm (xk1 , . . . , xkm).

3.1 teorema. (Kolmogorovo) Jei Ft1,...,tn : t1 < t2 · · · < tn ∈ T, n ≥ 1, yra suderinta pasiskirstymofunkcijų šeima, tai egzistuoja tikimybinė erdvė (Ω,F , P ) ir toks joje apibrėžtas atsitiktinis procesas (Xt, t ∈T ), kurio baigtiniamačių pasiskirstymo funkcijų šeima sutampa su Ft1,...,tn : t1 < t2 · · · < tn ∈ T, n ≥1.

3.5 pavyzdys. (Chaoso procesas) Tegu F yra bet kuri pasiskirstymo funkcija, apibrėžta realiųjų skaičiųaibėje R. Imdami skirtingus t1 < · · · < tm ∈ T ir bet kuriuos x1, . . . , xm ∈ R, apibrėžkime

Ft1,t2,...,tm(x1, x2, . . . , xm) =m∏k=1

F (xk),

Atitinkama baigtiniamačių pasiskirstymo funkcijų šeima apibrėžia atsitiktinį procesą (Xt, t ∈ T ), kurį gali-me interpretuoti kaip chaosą, nes visi procesą sudarantys atsitiktiniai dydžiai yra tarpusavyje nepriklausomi.

Jei atsitiktinį procesą apibrėžiame kaip atsitiktinę funkciją, galime kalbėti apie jos skirstinį. Tegu U ⊂RT ir X = (Xt, t ∈ T ) : Ω → U yra F/U ∩ BTR -matus atvaizdis. Jo skirstiniu vadiname tikimybinį matąPX , apibrėžtą aibėms A ∈ U ∩ BTR :

PX(A) = P (ω : X(ω) ∈ A).

Jei A yra cilindrinė aibė, tarkime, A = (−∞, x]× RT\t, tai

PX(A) = P (Xt ≤ x).

3.2 teorema.∗ Tarkime X = (Xt, t ∈ T ) ir Y = (Yt, t ∈ T ) yra du atsitiktiniai procesai su trajektorijomisaibėje U ⊂ RT . Tuomet PX = PY tada ir tik tada, kai procesų (Xt, t ∈ T ) ir (Yt, t ∈ T ) baigtiniamačiaiskirstiniai sutampa.

Įrodymas. Jei PX = PY , tuomet PX(C) = PY (C) su kiekviena cilindrine aibe C ∈ RT . Imdami C =f ∈ RT : f(t1) ≤ x1, . . . , f(td) ≤ xd gauname

P (Xt1 ≤ x1, . . . , Xtd ≤ xd) = P (Yt1 ≤ x1, . . . , Ytd ≤ xd).

Taigi procesų baigtiniamačiai skirstiniai sutampa.Pakankamumo įrodymui pasinaudosime aibių π − λ-sistemų savybėmis. Nagrinėkime cilindrinių aibių

šeimąC = f ∈ RT : (f(t1), . . . , f(td)) ∈ B, d ∈ N, B ∈ BRd , t1, . . . , td ∈ T.

Ji yra uždara sankirtų atžvilgiu. Taigi yra π-sistema.Toliau nagrinėkime tokių aibių U ⊂ RT sistemą U , kad PX(U) = PY (U). Įsitikinkime, kad ji yra

λ-sistema: (i) jai priklauso RT ; (ii) uždara atžvilgiu papildymo; (iii) uždara atžvilgiu monotoniniškai didė-jančių ribų.

Kadangi PX(RT ) = 1 = PY (RT ), tai RT ∈ U . Jei U ∈ U , tai PX(U c) = 1−PX(U) = 1−PY (U) =PY (U c), taigi U c ∈ U . Galiausiai, jei turime monotoniškai didėjančią aibių seką (Un) ⊂ U ir Un ↑ U ,

62

tuomet PX(Un) ↑ PX(U) ir PY (Un) ↑ PY (U). Bet PX(Un) = PY (Un), todėl PX(U) = PY (U). Taigi Uyra λ-sistema.

Kadangi C ⊂ U ir C yra π − λ-sistema, tai ir σ(C) ⊂ U . Kita vertus σ(C) = BTR . Taigi BTR ⊂ U .Vadinasi, BTR = U ir PX(U) = PY (U) su visais U ∈ BTR . Taigi PX = PY .

Atsitiktinio proceso baigtiniamačiai skirstiniai aprašo įvairius jo skaitinius parametrus bei įvairias tra-jektorijų savybes.

Atsitiktinio procesoX = (Xt, t ∈ T ) vidurkio funkcija (arba tiesiog vidurkis) yra funkcija µX : T → R,

µX(t) = EXt, t ∈ T.

Vidurkio funkciją, kuri charakterizuoja vidutinę ar tipinę proceso trajektoriją, aprašo proceso pirmos eilėspasiskirstymas, nes µX(t) =

∫∞−∞ x dFt(x).

Atsitiktinis procesas X = (Xt, t ∈ T ) vadinamas antrosios eilės procesu, jei EX2t < ∞ su visais

t ∈ T . Antrosios eilės procesui X = (Xt, t ∈ T ) apibrėžiami šie parametrai:

• autokoreliacinė funkcija QX : T 2 → R,

QX(t, s) = EXtXs, t, s ∈ T,

Funkcija (QX(t, t), t ∈ T ) dažnai vadinama proceso (Xt, t ∈ T ) vidutine galia.

• autokovariacinė funkcija ΓX : T 2 → R,

ΓX(t, s) = covX(t, s) = E[(Xt − µX(t))(Xs − µX(s))], t, s ∈ T,

• variacijos funkcija σ2X : T → R,

σ2X(t) = covX(t, t) = varXt, t ∈ T.

• autokoreliacijos keoficientas ρX : T 2 → R,

ρX(t, s) =ΓX(t, s)

[ΓX(t, t)ΓX(s, s)]1/2, s, t ∈ T.

Tiek autokoreliacinę funkciją, tiek autokovariacinę funkciją aprašo proceso antrosios eilės pasiskirstymas.Autokovariacinės funkcijos savybės surinktos šiame teiginyje.

3.4 teiginys. Tarkime, X = (Xt, t ∈ T ) yra atsitiktinis procesas su nuliniu vidurkiu ir autokovariacinefunkcija Γ = ΓX . Tada teisingos šios savybės:

(1) Γ(s, t) = Γ(t, s) ir Γ(t, t) ≥ 0.

(2) Funkcija Γ yra neneigiamai apibrėžta, t.y.,

n∑j,k=1

Γ(tj , tk)ajak ≥ 0

su visais ti ∈ T, ai ∈ R, i = 1, . . . , n ir visais n ∈ N;

(3) |Γ(s, t)| ≤ Γ1/2(s, s)Γ1/2(t, t);

63

(4) dviejų autokovariacinių funkcijų suma yra autokovariacinė funkcija;

(5) dviejų autokovariacinių funkcijų sandauga yra autokovariacinė funkcija;

(6) su bet kuria realiąja funkcija σ : T → R, funkcija (s, t)→ σ(s)σ(t) yra autokovariacinė funkcija.

Įrodymas. Pimoji savybė gaunama tiesiog iš autokoreliacijos funkcijos apibrėžimo. Norėdami įrodyti (2)savybę, apibrėžkime atsitiktinį dydį Y =

∑nk=1 akXtk . Galime suskaičiuoti

EY 2 =n∑

j,k=1

ajakΓ(tj , tk) ≥ 0.

Trečioji savybė yra tiesiog perrašyta Cauchy-Schwarz’o nelygybė. Norėdami įrodyti (4), nagrinėkime dutokius procesus X ir Y , kuriems atsitiktiniai dydžiai X1(t) ir X2(t) yra nepriklausomi su bet kuriuo t ∈ Tir kurių autokovariacinės funkcijos yra atitinkamai Γ1 ir Γ2. Tuomet sumos X +Y autokovariacinė funkcijayra Γ1 + Γ2. (Įsitikinkite!) Kita savybė įrodoma analogiškai, suskaičiuojant sandaugos XY autokoreliacinęfunkciją. Galiausiai (6) savybės įrodymui nagrinėjamre procesą Xt = σ(t)Z, t ∈ T . Čia a.d. Z ∼ N (0, 1).

Kaip jau minėjome, baigtiniamačiai atsitiktinio proceso skirstiniai aprašo ir tam tikras trajektorijų savy-bes. Paprasčiausia apibrėžti atsitiktinio proceso tolydumą pagal tikimybę.

3.5 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas (Xt, t ∈ T ) vadinamas tolydžiu pagal tikimybę taške t0 ∈ T , jei sukiekvienu ε > 0

limh→0

P (|Xt0+h −Xt0 | > ε) = 0.

Jei procesas tolydus pagal tikimybę kiekviename taške, tai jis vadinamas tiesiog tolydžiu pagal tikimybę.

3.6 apibrėžimas. Tegu p > 0. Atsitiktinis procesas (Xt, t ∈ T ) vadinamas tolydžiu p-ojo momento prasmetaške t0 ∈ T , jei su kiekvienu ε > 0

limh→0

E|Xt0+h −Xt0 |p = 0.

Jei procesas tolydus p-ojo momento prasme kiekviename taške, tai jis vadinamas tiesiog tolydžiu p-ojomomento prasme (kvadratinio vidurkio prasme, kai p = 2).

Pritaikę Čebyševo nelygybę matome, kad tolydumas p-ojo momento prasme yra stipresnis už tolydumąpagal tikimybę:

P (|Xt0+h −Xt0 | > ε) = P (|Xt0+h −Xt0 |p > εp) ≤ ε−pE(|Xt0+h −Xt0 |p),

jei ε > 0 ir p > 0. Panašiai galime apibrėžti diferencijuojamumą pagal tikimybę: procesas (Xt) yradiferencijuojamas pagal tikimybę taške t0 jei egzistuoja riba

limh→0

Xt0+h −Xt0

h:= X ′t0

pagal tikimybę. Riba X ′t0 vadinama proceso išvestine pagal tikimybę taške t0.

64

2.3 pav. Tolydaus pagal tikimybę proceso realizacija

Kad ne visas atsitiktinio proceso trajektorijų savybes galima aprašyti baigtiniamačiais skirstiniais paaiš-kinsime pavyzdžiu.

3.6 pavyzdys. Tegu Ω = [0, 1] ir P yra tolygusis intervalo [0, 1] skirstinys. Apibrėžkime atsitiktinius pro-cesus (Xt, t ∈ [0, 1]) ir (Yt, t ∈ [0, 1]):

Xt(ω) = 0 su visais t, ω ∈ [0, 1]

Yt(ω) =

1, kai t = ω

0, kai t 6= ω

Galima įsitikinti, kad abu procesai turi vienodus baigtiniamačius skirstinius:

Ft1,...,tn(x1, . . . , xn) =

1, kai visi xj ≥ 0

0, kitur

TačiauP (ω : Xt(ω) < 1 su visais t ∈ [0, 1]) = P (Ω) = 1

tuo tarpuP (ω : Yt(ω) < 1 su visais t ∈ [0, 1]) = P (∅) = 0

Taip pat matome, kad

P ((Xt) tolydus intervale [0, 1]) = 1

P ((Yt) tolydus intervale [0, 1]) = 0.

Šiame paprastame pavyzdyje nagrinėjamų įvykių tikimybės nėra aprašomos baigtiniamačiais skirstiniais.Taigi vien Kolmogorovo teoremos nepakanka norint analizuoti atsitiktinius procesus. Mat tokios geometri-nės trajektorijų savybės kaip tolydumas, diferencijuojamumas, integruojamumas ir pan., susijusios su visaproceso trajektorija, t.y. su reikšmėmis Xt kiekvienam laiko momentui t ∈ T . Tuo atveju, kai T yra neskaiti

65

aibė kyla matumo problemų. Nagrinėjami įvykiai gali būti nematūs. Pavyzdžiui, jei T = [a, b], A ∈ BR -bet kuri Borelio aibė, tai įvykis

ω ∈ Ω : Xt(ω) ∈ A su visais t ∈ T =⋂t∈Tω ∈ Ω : Xt ∈ A

yra neskaitaus skaičiaus mačių įvykių sankirta. Nors kiekvienas iš įvykių ω ∈ Ω : Xt ∈ A yra matus(priklauso F) σ algebros apibrėžimas negarantuoja, kad jų neskaiti sankirta bus mati. Taigi norėdami ana-lizuoti tas atsitiktinio proceso trajektorijų savybes, kurių aprašymui rekia kontroliuoti reikšmes kiekvienulaiko momentu t ∈ T , turime ieškoti papildomų priemonių, nei suteikia baigtiniamačiai skirstiniai. Laimei,tam yra galimybė modifikuoti procesus, nekeičiant jų baigtiniamačių skirstinių.

3.3 Klasifikavimas pagal skirstiniusŠiame skyrelyje klasifikuojami atsitiktiniai procesai pagal savybes, aprašomas baigtiniamačiais skirstiniais.

Gauso procesai3.7 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas X = (Xt, t ∈ T ) yra Gauso (arba normalusis), jei visi jo baigtinia-mačiai skirstiniai yra Gauso (normaliniai).

3.7 pavyzdys. Tegu X,Y yra normaliniai atsitiktiniai dydžiai. Tuomet procesas Xt = tX + Y, t ≥ 0 yraGauso.

3.5 teiginys. Gauso procesą pilnai aprašo jo vidurkio funkcija ir autokovariacinė funkcija šia prasme: jeim : T → R yra bet kuri funkcija, o simetrinė funkcija Γ : T × T → R yra neneigiamai apibrėžta, taiegzistuoja Gauso procesas su vidurkio funkcija m ir autokovariacine funkcija Γ.

Įrodymas. Įrodoma remiantis Kolmogorovo teorema, nes daugiamačius Gauso vektorius vienareikšmiškaiaprašo vidurkio vektorius ir kovariacijų matrica.

3.6 teiginys. Atsitiktinis procesas X = (Xt, t ∈ T ) yra Gauso tada ir tik tada, kai su bet kuriuo n ≥ 1 irbet kuriais rinkiniais t1, . . . , tn, λ1, . . . , λn atsitiktinis dydis

∑nk=1 λkXtk yra Gauso.

Įrodymas. Paliekame vietoj pratimo.

3.8 pavyzdys. (Gauso baltasis triukšmas) Nagrinėkime procesąX = (Xt, t ∈ Z), kaiXt, t ∈ Z yra nepri-klausomi normaliniai atsitiktiniai dydžiai su vienodu pasiskirstymu N (0, σ2). Tada procesas X yra Gausoprocesas su vidurkio funkcija

mX(t) = 0, t ∈ Z,

ir kovariacine funkcija

ΓX(s, t) =

σ2, kai s = t

0, kai s 6= t,s, t ∈ Z.

Šitaip apibrėžtas procesas vadinamas Gauso baltuoju triukšmu.

66

3.9 pavyzdys. (Vynerio procesas) Tarkime, T yra arba uždaras intervalas [0.a], arba aibė [0,∞). Imdami0 = t0 < t1 < · · · < tn ir x0 = 0, x1, . . . , xn ∈ R apibrėžkime

Ft1,...,tn(x1, . . . , xn) =

∫ x1

−∞· · ·∫ xn

−∞ft1,...,tn(u1, . . . , un) du1 · · · dun,

o

ft1,...,tn(u1, . . . , un) =n∏k=1

(2π(tk − tk−1))−1/2 exp− (uk − uk−1)2

2(tk − tk−1)

;

čia t0 = u0 = 0. Galime patikrinti, kad pasiskirstymo funkcijų šeima Ft1,...,tn , 0 ≤ t1 < · · · < tn ∈T, n ≥ 1 tenkina Kolmogorovo 3.1 teoremos sąlygas. Taigi egzistuoja atsitiktinis procesas, pažymėkimejį (Wt, t ∈ T ), kurio baigtiniamačių pasiskirstymo funkcijų šeima sutampa su Ft1,...,tn , t1 < · · · < tn ∈T, n ≥ 1. Gautasis procesas vadinamas Vynerio arba Brauno judesio procesu.

Stacionarūs procesaiDaugelio svarbių atsitiktinių procesų baigtiniamačiai skirstiniai nepriklauso nuo laiko postūmio. Todėl na-tūralu juos apjungti į vieną klasę. Primename, kad nagrinėjame atsitiktinius procesus, kurių indeksų aibė Tyra realiųjų skaičių intervalas arba sveikųjų skaičių aibė.

3.8 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas X = (Xt, t ∈ T ) vadinamas stipriai stacionariu (stacionariu siau-rąja prasme), jei atsitiktinių vektorių

(Xt1 , Xt2 , . . . , Xtm)

ir(Xt1+h, Xt2+h, . . . , Xtm+h)

skirstiniai sutampa kokie bebūtų t1 < t2 < · · · < tm ∈ T ir toks h > 0, kad t1 + h, . . . , tm + h ∈ T .

Stipriai stacionaraus atsitiktinio proceso (Xt, t ∈ T ), atsitiktiniai dydžiai Xt, t ≥ 0, yra vienodai pasi-skirstę. Tikrai, imdami t < s, turime

Ft(x) = P (Xt ≤ x) = P (Xt+(s−t) ≤ x) = Fs(x), x ∈ R.

Taigi a.d. Xt irXs pasiskirstymo funkcijos sutampa. Kadangi proceso vidurkį aprašo pirmos eilės skirstinys,tai stacionaraus proceso vidurkio funkcija yra konstanta.

3.7 teiginys. Stacionaraus proceso (Xt, t ∈ T ) kovariacinė funkcija Γ(s, t), s > t, priklasuso tik nuoskirtumo s− t.

Įrodymas. Tarkime, EXt = 0 su kiekvienu t ∈ T . Jei s > t, tai

Γ(s, t) = E(XsXt) =

∫xy dFs,t(x, y) =

∫xy dFs−t,0(x, y) = Γ(s− t, 0).

Taigi Γ(s, t) = Γ(s− t, 0) su visais s > t.

Stacionaraus atsitiktinio proceso autokovariacinį funkcija yra vieno argumento funkcija. Dėl šios prie-žasties, vietoj Γ(h, 0) rašysime tiesiog γ(h).

67

3.10 pavyzdys. (Stiprus baltasis triukšmas) Atsitiktinių dydžių seka Xt, t ∈ Z sudaryta iš centruotų ir ne-priklausomų vienodai pasiskirs2iusių atsitiktinių dydžių: EXt = 0, vadinama stipriu baltuoju triukšmu. Joautokoreliacinė funkcija yra

(3.2) QX(s, t) = EXtXs =

σ2, jei s = t

0, jei s 6= t.

2.3 pav. Stiprus baltasis triukšmas

Bendru atveju, atsitiktinis procesas su nuliniu vidurkiu ir (3.4) autokoreliacine funkcija nėra stacionarus.Tokia autokoreliacinė funkcija tik reiškia, kad atsitiktiniai dydžiai Xt ir Xs yra nekoreliuoti.

3.11 pavyzdys. Tegu (Yt, t ∈ Z) yra stacionarus procesas, sveikasis skaičius d ≥ 1 ir a1, . . . , ad – realiejiskaičiai. Apibrėžkime

Xt =

d∑k=0

akYt−k, t ∈ Z.

Atsitiktinis procesas (Xt, t ∈ Z) yra stacionarus (įsitikinkite!). Jis vadinamas d-eilės slenkančio vidurkioprocesu (MA(d) procesu). Jo autokoreliacinė funkcija yra

(3.3) QX(s, t) =d∑

k=0

d∑m=0

akamE(Yt−kYs−m) =d∑

m=0

amat−s+m,

kai t ≥ s.

2.4 pav. Slenkančio vidurkio procesas MA(1)

Stipraus stacionarumo sąlyga dažniausiai yra per stiprus reikalavimas praktiniuose atsitiktinių procesųteorijos taikymuose. Todėl dažnai pakanka vadinamojo silpnojo stacionarumo.

3.9 apibrėžimas. Antrosios eilės atsitiktinis procesas X = (Xt, t ∈ T ) vadinamas silpnai stacionariu(stacionariu plačiąja prasme) , jei su visais t1, t2 ∈ T ir tokiais h > 0, kad t1 + h, t2 + h ∈ T,

68

(i) E(Xt1) = E(Xt2);

(ii) cov(Xt1 , Xt2) = cov(Xt1+h, Xt2+h).

Silpnai stacionaraus atsititktinio proceso X kovariacinė funkcija Γ(t, t + h) = Γ(0, h). Taigi Γ(t, s) pri-klauso tik nuo skirtumo t− s. Ir šiuo atveju vietoj Γ(0, h) rašysime γ(h).

3.12 pavyzdys. Atsitiktinis procesas (Xt, t ∈ T ), kurio vidurkis yra nulis, o autokoreliacinė funkcija

(3.4) QX(s, t) =

σ2, jei s = t

0, jei s 6= t.

vdinamas silpnu baltuoju triukšmu. Akivaidu, kad toks procesas yra silpnai stacionarus.

3.13 pavyzdys. Apibrėžkime procesą

Xt = A cos(φ+ λt), t ≥ 0,

čia A ir φ yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, E(A) = 0, E(A2) < ∞, o φ yra tolygiai pasiskirstęs in-tervale [0, 2π]. Taip apibrėžtas procesas (Xt, t ≥ 0) yra antrosios eilės, jo vidurkio ir kovariacinės funkcijosyra (žr. 3.4 pratimą):

(3.5) mX(t) = 0 t ≥ 0,

ir

(3.6) ΓX(t, s) =1

2E(A2) cos(λ(t− s)), t, s ≥ 0.

Taigi procesas (Xt) yra silpnai stacionarus.

3.14 pavyzdys. Tarkime, α ir β yra nekoreliuoti atsitiktiniai dydžiai su nuliniais vidurkiais ir vienetinėmisdispersijomis. Imdami λ ∈ [0, π] apibrėžkime

Xn = α cos(λn) + β sin(λn), n ≥ 0.

Akivaizdu, kad EXn = 0 su visais n ≥ 1. Suskaičiuokime kovariacinę funkciją:

ΓX(m,m+ n) = E(XnXn+m)

= E(α cos(λm) + β sin(λm))(α cos(λ(m+ n)) + β sin(λ(m+ n))

= E(α2 cos(λm) cos(λ(m+ n))) + E(β2 sin(λm) sin(λ(m+ n)))

= cos(λn),

nes E(αβ) = 0. Tagi ΓX(m,m+ n) priklauso tik nuo n, todėl procesas X yra silpnai stacionarus. Bendruatveju jis nėra stipriai stacionarus. Norėdami tai pastebėti, paimkime λ = π/2. Tuomet

(X0, X1, X2, X3, . . . ) = (α, β,−α,−β, . . . ).

Šis procesas bus stipriai stacionarus, tada ir tik tada, kai poros (α, β), (β,−α), (−α,−β) bus vienodaipasiskirsčiusios. Kita vertus, jei α ir β yra standartiniai normaliniai atsitiktiniai dydžiai, tai procesas X busir stipriai stacionarus (įsitikinkite).

69

3.8 teiginys. Stacionaraus proceso kovariacinę funkciją γ(h) galime išreikšti Furjė integralu

γ(h) =

∫ ∞−∞

eiλh dF (λ).

Funkcija F yra vadinama spektrine pasiskirstymo funkcija. Ji charakterizuojama šiomis savybėmis:

(i) dF (−λ) = dF (λ);

(ii) F (λ) ≤ F (λ′), jei λ ≤ λ′;

(iii) F (+∞)− F (−∞) = γ(0) <∞.

Spektrinės pasiskirstymo funkcijos vienareikšmiškumą užtikrina papildomas apribijimas viename taške.Dažniausiai tariama, kad F (−∞) = 0. Jei F yra absoliučiai tolydi ir F (λ) =

∫ λ−∞ f(s) ds, tai funkcija

f yra vadinama spektrine tankio funkcija. Spektriniai momentai yra

λk =

∫ ∞−∞

λk dF (λ).

Kadangi F yra simetrinė, tai visi nelyginiai momentai yra nuliai. Kaip matysime vėliau spektriniai momen-tai yra susiję su proceso trajektorijų savybėmis.

Levy procesai3.10 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas (Xt, t ∈ T ) vadinamas procesu su stacionariais prieaugiais, jeiatsitiktiniai dydžiai Xt+h −Xs+h ir Xt −Xs yra vienodai pasiskirstę su visais s < t ∈ T ir tokiais h > 0,kad t+ h, s+ h ∈ T .

3.15 pavyzdys. Vynerio procesas (Wt, t ≥ 0) nėra stacionarus, tačiau turi stacionarius prieaugius. Tikrai,atsitiktiniai dydžiai Wt ∼ N (0, t), t > 0 nėra vienodai pasiskirstę. Tegu s < t ∈ T ir t + h, s + h ∈ T .Suskaičiuokime prieaugio Wt −Ws pasiskirstymo funkciją:

P (Wt −Ws ≤ x) =

∫z−y≤x

ps,t(y, z) dy dz;

čia ps,t(y, z) yra vektoriaus (Ws,Wt) pasiskirstymo tankio funkcija,

ps,t(y, z) =1√2πs

exp−y2/2s 1√2π(t− s)

exp−(z − y)2/2(t− s).

Suintegravę šią tankio funkciją, gauname

P (Wt −Ws ≤ x) =

∫z−y≤x

1√2πs

exp−y2/2s 1√2π(t− s)

exp−(z − y)2/2(t− s)dy dz

=

∫ x

−∞

1√2π(t− s)

exp−u2/2(t− s) du.

Taigi Wt −Ws ∼ N (0, t− s). Todėl prieaugiai Wt+h −Ws+h ir Wt −Ws yra vienodai pasiskirstę.

3.11 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas (Xt, t ∈ T ) vadinamas nepriklausomų (atitinkamai nekoreliuotų)prieaugių, jei prieaugiai Xt4 − Xt3 ir Xt2 − Xt1 yra nepriklausomi (nekoreliuoti) atsitiktiniai dydžiai suvisais t1 < t2 ≤ t3 < t4.

70

3.16 pavyzdys. Tegu Yt, t = 1, 2, . . . yra nepriklausomi (nekoreliuoti) atsitiktiniai dydžiai. Apibrėžkime

Xt =

t∑k=1

Yt, t = 1, 2, . . .

Atsitiktinis procesas (Xt, t = 1, 2, . . . ) yra nepriklausomų (nekoreliuotų) prieaugių procesas.

3.12 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas (Xt, t ≥ 0) vadinamas Levy procesu, jei

(i) X0 = 0;

(ii) procesas turi stacionarius ir nepriklausomus prieaugius;

(iii) procesas yra tolydus pagal tikimybę.

Du svarbiausi (bet ne vieninteliai) Levy proceso pavyzdžiai yra Brauno judesio procesas ir Puasonoprocesas. Pastarąjį galime apibrėžti nusakydami jo baigtiniamačius skirstinius:

3.17 pavyzdys. (Puasono procesas) Galima patikrinti, kad pasiskirstymo funkcijų šeima

Ft1,...,tn : 0 ≤ t1 < · · · < tk, k ∈ N,

Ft1,...,tk(x1, . . . , xk) =∑

n1≤x1,...,nk−1≤nk≤xk

Pt1,...,tk(n1, . . . , nk);

čia

Pt1,...,tk(n1, . . . , nk) = e−λtkk∏j=1

(λtj − λtj−1)nj−nj−1

(nj − nj−1)!,

0 = t0 ≤ t1 < · · · < tk ir 0 = n0 ≤ n1 ≤ · · · ≤ nk tenkina Kolmogorovo 3.1 teoremos sąlygas. Vadinasi,egzistuoja procesas (Nt, t ≥ 0), kurio baigtiniamačių pasiskirstymo funkcijų šeima sutaps su duotaja. Tasprocesas vadinamas Puasono.

Dar viena svarbi Levy procesų klasė yra stabilūs Levy procesai. priminsime šį stabilaus skirstinio api-brėžimą.

3.13 apibrėžimas. Atsitiktinis dydis ξ vadinamas stabiliu, jei jo charakteristinei funkcijai c(t), t ∈ R teisin-ga ši savybė: kiekvieną a > 0 atitinka tokie b > 0 ir c ∈ R, kad(

c(t))a

= c(bt)eict, t ∈ R.

Atsitiktinis dydis ξ yra griežtai stabilus, jei kiekvieną a > 0 atitinka toks b > 0, kad(c(t))a

= c(bt), t ∈ R.

Yra žinoma, kad konstanta b = a1/α su α ∈ (0, 2]. Skaičius α vadinamas stabilumo indeksu.

3.14 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas X = (Xt, t ≥ 0) vadinamas stabiliu (α-stabiliu) Levy procesu, jeiX yra Levy procesas ir X1 yra stabilus (su stabilumo indeksu α) atsitiktinis dydis.

Čia dar pastebėsime, kad Levy procesui X = (Xt, t ≥ 0), su kiekvienu s > 0, teisinga ši charakteristiniųfunkcijų savybė:

EeitXs =(EeitX1

)s.

71

Markovo procesaiAtsitiktinio proceso markoviškumas aprašo proceso „ateities” priklausomybę nuo jo „praeities”.

Nagrinėkime tolydaus laiko procesą (Xt, t ≥ 0).

3.15 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas (Xt, t ≥ 0) vadinamas Markovo procesu, jei su bet kuriais tokiaist1, t2, . . . , tn ∈ T , kad t1 < t2 < · · · < tn ir bet kuria Borelio aibe A ⊂ R teisinga ši sąlyginės tikimybėssavybė:

(3.7) P (Xtn ∈ A∣∣Xtn−1 , . . . , Xt1) = P (Xtn ∈ A

∣∣Xtn−1).

Jei, be to, dešinė (3.7) lygybės dešinė pusė priklauso tik nuo skirtumo tn − tn−1, tai Markovo procesasvadinamas homogeniniu.

Homogeniniam diskrečiam Markovo procesui, funkcija p : [0,∞)× R× R→ [0,∞) :

p(t, x, y) := P (Xt = y∣∣X0 = x)

vadinama stochatine perėjimo funkcija.Interpretuodami laiko momentą tn−1 dabartimi, matome, kad Markovo proceso elgesys ateityje (laiko

momentu tn) nepriklauso nuo praeities (laiko momentais tk, k < n− 1, jei fiksuota dabartis.Markovo procesus pilnai aprašo jo dvimačiai skirstiniai. Tačiau tam dvimačiai skirstiniai turi tenkinti

tam tikras savybes. Tiksliau, šias dvi savybės

(i) P (Xt ≤ x) =∫∞−∞ P (Xt ≤ x

∣∣Xs = y)dP (Xs ≤ y);

(ii) su bet kuriais t0 < s < t,

P (Xt < x∣∣Xt0 = x0) =

∫ ∞−∞

P (Xt ≤ x∣∣Xs = y)dP (Xs ≤ y

∣∣Xt0 = x0).

Pirmoji savybė yra teisinga bet kuriems dvimačiams skirstiniams. Antroji yra tam tikras apribojimas. Kokstai apribojimas galime pamatyti iš šio klasikinio pavyzdžio.

3.18 pavyzdys. Nagrinėkime procesą (Xt, t ∈ T ), kurio reikšmių sritis yra −1, 1 ir

(1) P (Xt = 1) = P (Xt = −1) = 1/2 su visais t ∈ T ;

(2) su visais t > sP (Xt = Xs) = p(t− s), P (Xt = −Xs) = 1− p(t− s).

Čia funkcija t→ p(t) yra tolydi ir p(0)− 1.

Panagrinėkime, kokia gali būti funkcija p, kad procesas būtų Markovo. Tegu T = [0,∞). Antroji savybėreiškia, kad

p(t− t0) = p(t− s)p(s− t0) = (1− p(t− s))(1− p(s− t0))

su visais t0 < s < t. Pakeitę kintamuosius t− s = τ ir paėmę t0 = 0 gauname lygtį

p(s+ τ) = p(τ)p(s) + (1− p(τ))(1− p(s))

arbap(s+ τ) = 2p(τ)p(s)− (p(τ) + p(s)).

Jei pažymėsime f(t) = 2p(t)− 1, tai funkcijai f gausime šią lygtį:

f(s+ τ) = f(s)f(τ)

kuri turi vienintelį netrivialų sprendinį f(t) = e−λt, λ > 0. Taigi p(t) = (1 + e−λt)/2, t ≥ 0.

72

3.4 Klasifikavimas pagal trajektorijas

Stochastinis ekvivalentumasTikimybių teorijoje atsitiktinius dydžius priimta apibrėžti nulinės tikimybės tikslumu: atsitiktiniai dydžiaiyra ekvivalentūs, jei jie sutampa beveik visur. Jei atsitiktiniam procesui (Xt, t ∈ T ) skirtingiems t tokiosnulinės tikimybės aibės nebus suderintos tarpusavyje, tuomet trajektorijos samprata apskritai neteks pras-mės. Todėl natūralu tarti, kad visi a.d. Xt yra apibrėžti vienoje bendroje pilnosios tikimybės aibėje Ω0 ⊂ Ω.Kiekvieną a.d. Xt „pataisę” nulinės tikimybės aibėje Ω \ Ω0, galime gauti įvairias proceso (Xt) modifi-kacijas. Tarp jų gali pasitaikyti ir tokių, kurių realizacijos pasižymės reikalingomis savybėmis, pavyzdžiui,tolydumu, matumu ar diferencijuojamumu.

3.16 apibrėžimas. Vienoje tikimybinėje erdvėje apibrėžti atsitiktiniai procesai X = (Xt, t ∈ T ) ir Y =(Yt, t ∈ T ) yra vadinami stochastiškai ekvivalenčiais, jei su kiekvienu t ∈ T ,

P (ω : Xt(ω) 6= Yt(ω)) = 0.

Atsitiktinio proceso X = (Xt, t ∈ T ) modifikacija vadinsime bet kurį jam stochastiškai ekvivalentųprocesą.

3.9 teiginys. Jei procesai X = (Xt, t ∈ T ) ir Y = (Yt, t ∈ T ) yra stochastiškai ekvivalentūs, tai jųbaiginiamačiai skirstiniai sutampa.

Įrodymas. Pakanka įsitikinti, kad P ((Xt, t ∈ J) = (Yt, t ∈ J)) = 1 su bet kuria baigtine aibe J ⊂ T .Tegu J = t1, . . . , td ⊂ T. Tuomet

P ((Xt, t ∈ J) = (Yt, t ∈ J)) = P (Xt1 = Yt1 , . . . , Xtd = Ytd) = 1− P( ⋃ti∈JXti 6= Yti

)≥ 1−

∑ti∈J

P (Xti 6= Yti) = 1.

Taigi tikimybė kairėje pusėje būtinai lygi 1.

Stochastiškai ekvivalentūs procesai gali turėti visiškai skirtingas trajektorijų savybes. Tikrai, 3.6 pavyz-dyje, atsitiktiniai procesai X = (Xt, t ∈ [0, 1]) ir (Y = (Yt, t ∈ [0, 1]) yra stochastiškai ekvivalentūs, nesP (ω : Xt(ω) = Yt(ω)) = P (ω : ω = t) = 0, nes P yra tolygusis skirstinys. Tačiau vienas iš šių procesųturi tolydžias trajektorijas, o kitas - ne.

3.17 apibrėžimas. Atsitiktiniai procesaiX = (Xt, t ∈ T ) ir Y = (Yt, t ∈ T ) apibrėžti vienoje tikimybinėjeerdvėje vadinami neatskiriamais, jei egzistuoja tokia mati aibė N ⊂ Ω, kad P (N) = 0 ir X(ω) = Y (ω) suvisais ω /∈ N.

Separabilūs procesaiSvarbi proceso trajektorijų savybė yra separabilumas. Separabili funkcija yra tokia, kurią tam tikra prasmegalime atstatyti pagal jos reikšmes tam tikroje skaičioje aibėje. Atsitiktinis procesas yra separabilus, jei sutikimybe vienas visos jo trajektorijos yra separabilios funkcijos. Taigi separabiliam atsitiktiniam procesuineskaičią indeksų aibę galima pakeisti skaičia, kai norime ištirti kokias nors proceso trajektorijų savybes.Tai padeda išspręsti kai kurias matumo problemas, apie kurias buvo jau užsiminta anksčiau.

73

Tarkime, T yra neskaiti aibe (T = [0, 1] arba T = [0,∞)). Tegu D ⊂ T yra skaitus poaibis. Funkcijaf : T → R vadiname D-separabilia, jei kiekvieną t ∈ T atitinka tokia seka (tn) ⊂ D, kad

limn→∞

tn = t ir limn→∞

f(tn) = f(t).

Atsitiktinis procesas X = (Xt, t ∈ T ) yra D-separabilus, jei egzistuoja tokia aibė N ∈ F , kad P (N) = 0ir trajektorija t→ Xt(ω) yra D-separabili su kiekvienu ω ∈ N .

Atsitiktinis procesas yra separabilus, jei jis yra D-separabilus su kuria nors aibe D ⊂ T .

3.10 teiginys. Jei X = (Xt, t ∈ T ) yra separabilus procesas, tai inft∈TXt ir supt∈T Xt yra atsitiktiniaidydžiai.

Dar pastebėsime, kad separabiliam procesui X = (Xt, t ∈ [0, 1]) aibė ω : X ∈ C[0, 1]) yra mati.Pavyzdžiui, aibė ω : suptXt(ω) ∈ (−∞, a] =

⋃t∈T ω : Xt(ω) ∈ (−∞, a] gali nebūti mačia,

nes σ algebros savybės negarantuoja, kad neskaiti mačių aibių sankirta yra mati. Separabiliam procesui tasankirta gali būti paimta atžvilgiu skaičios aibės S.

Priminsime, kad tikimybinė erdvė (Ω,F , P ) yra pilna, jei A ∈ F , kai egzistuoja tokia nulinio mato aibėB ∈ F ir A ⊂ B. Kitaip tariant, bet kurios nulinės tikimybės aibės poaibis yra matus.

3.3 teorema. Tegu T = [a, b] arbe T = [0,∞). Tarkime, kad atsitiktinis procesas (Xt, t ∈ T ) yra apibrėž-tas pilnoje tikimybinėje erdvėje (Ω,F , P ).

(a) Jei atsitiktinis procesas (Xt, t ∈ T ) reikšmes įgyja kokiame nors baigtiniame uždarame intervale taiegzistuoja separabili jo versija.

(b) Egzistuoja atsitiktinio proceso (Xt, t ∈ T ) separabili versija su reikšmėmis praplėstoje skaičių tiesėje[−∞,∞].

Nagrinėdami atsitiktinių procesų trajektorijų savybes dažniausiai tarsime, kad tie procesai yra separabi-lūs.

Tolydūs procesai3.18 apibrėžimas. Separabilus atsitiktinis procesas (Xt, t ∈ T ) yra tolydus su tikimybe vienas, jei

P (ω :⋃t∈T

limh→0|Xt+h −Xt| 6= 0) = 0.

Jau minėjome, jei procesas yra tolydus p-ojo laipsnio vidurkio prasme, tai jis tolydus ir pagal tikimybę.Tačiau tolydumas pagal tikimybę negarantuoja, kad bus tolydžios proceso trajektorijos. Kokio tolydumo vi-durkio prasme pakanka, kad egzistuojtų proceso versija su tolydžiomis trajektorijomis, aprašo Kolmogorovoteorema.

3.4 teorema. (Kolmogorovo kriterijus) Tegu X = (Xt, t ∈ [0, 1]) yra atsitiktinis procesas.Tarkime, egzis-tuoja tokios lyginės nedidėjančios funkcijos g ir q, kad∑

n

g(2−n) <∞,∑n

2nq(2−n) <∞

ir

(3.8) P (|Xt+h −Xt| ≥ g(h)) ≤ q(h);

su visais t ∈ [0, 1] ir tokiais h ∈ (0, 1), kad t + h ∈ [0, 1]. Tuomet egzistuoja proceso (Xt, t ∈ T ) versija,kurios trajektorijos su tikimybe 1 yra tolydžios.

74

Įrodymas. Įrodymui naudojama labai paprasta idėja, funkcijos aproksimavimas laužtėmis. Nagrinėkimediadinius skaičius

tn,j = 2−nj, j = 0, 1, . . . , 2n; n ≥ 1.

Imdami n-ojo lygmens skaičius tn,j , j = 0, 1, . . . , 2n, apibrėžkime

X(n)t = Xtn,j + 2n(t− tn,j)[Xtn,j+1 −Xtn,j ], kai t ∈ [tn,j , tn,j+1].

Taip gauname atsitiktinių laužčių seką X(n) = X(n)t , t ∈ [0, 1]. Akivaidu, kad funkcijos X(n) yra to-

lydžios. Įrodysime, kad su tikimybe vienas taip sukonstruota laužčių seka tolygiai konverguoja. Imdamit ∈ [tn,j , tn,j+1] ir pastebeję, kad tn,j = tn+1,2j , tn,j+1 = tn+1,2j+2, įvertiname

|X(n+1)t −X(n)

t | ≤ 2−1|Xtn+1,2j+1 −Xtn+1,2j |+ 2−1|Xtn+1,2j+1 −Xtn+1,2j+2 |

ir, pritaikę teoremos sąlygą, gauname

P ( maxt∈[tn,j ,tn,j+1]

|X(n+1)t −X(n)

t | ≥ g(2−n−1)) ≤ 2q(2−n−1).

Diadiniai bet kurio lygmens skaičiai sudaro intervalo [0, 1] skaidinį, todėl

P ( maxt∈[0,1]

|X(n+1)t −X(n)

t | ≥ g(2−n−1)) ≤ 2n+1q(2−n−1).

Kadangi eilutė∑

n 2nq(2−n) konverguoja, galime įsitikinti, kad X(n) konverguoja tolygiai su tikimybevienas. Ribinę funkciją pažymėkime Y = (Yt, t ∈ [0, 1]). Būdama tolygi tolydinių funkcijų riba, Y yratolydinė su tikimybe vienas. Kai t = tn,j ir p = 1, 2, . . . tuomet X(n+p)

t = Xt todėl P (Yt = Xt) = 1. Tegut 6= tn,r. Tuomet egzistuoja tokia seka rn, kad t = limn→∞ tn,rn . Be to, 0 < t − tn,rn < 2−n. Remiantisteoremos sąlyga

P (|Xtn,rn−Xt| ≥ g(t− tn,rn)) ≤ q(t− tn,rn) ≤ q(2−n).

TaigiP (|Xtn,rn

−Xt| ≥ g(2−n)) ≤ q(2−n)

ir, remiantis Borelio-Cantelli lema, Xtn,rn

b.t.−→ Xt. Kita vertus, kadangi (Yt) tolydi funkcija, tai Ytn,rn

b.t.−→Yt. Bet, kaip matėme anksčiau, P (Xtn,rn

= Ytn,rn) = 1. Taigi ir P (Xt = Yt) = 1.

3.1 išvada. Jeigu

E|Xt+h −Xt|p ≤C|h|

| log |h||1+r

su 0 < p < r ir bet kuria konstanta C > 0, tuomet egzistuoja proceso (Xt) tolydi versija.

Jei procesas (Xt) yra separabilus ir jam yra teisingos teoremos sąlygos, tuomet

P (procesas (Xt) yra tolydus) = 1.

Tai yra, separabilus procesas, kuriam egzistuoja tolydi versija yra pats tolydus. Tikrai, remiantis Kolmogo-rovo teorema, egzistuoja proceso (Xt, t ∈ [0, 1]) versija (Yt, t ∈ [0, 1]) kurio trajektorijos su tikimybe vienasyra tolydžios. Tegu S ⊂ [0, 1] yra skaiti aibė, kuri egzistuoja pagal separabilumo apibrėžimą. Tuomet sutikimybe 1,

Xt = Yt su visais t ∈ S.

75

Nagrinėkime tolydžią trajektoriją t → Yt(ω), t ∈ [0, 1]. Kiekvieną ε > 0 ir t0 ∈ [0, 1] atitinka toks δ > 0,kad

|Yt − Yt0 | < ε, kai |t− t0| < δ.

Imdami intervalą I = (t0 − δ, t0 + δ) gauname

Xt0 ≥ inft∈I

Xt = inft∈IS

Xt = inft∈IS

Yt ≥ Yt0 − ε.

Kadangi ε > 0 laisvai pasirenkamas skaičius, tai Xt0 ≥ Yt0 . Analogiškai įsitikiname, kad Xt0 ≤ Yt0 . TaigiXt0 = Yt0 . Kadangi proceso (Yt) trajektorijos tolydžios su tikimybe vienas, tai

P (Xt = Yt, t ∈ [0, 1]) = 1.

Tai ir įrodo rezultatą.Priminsime, kad realioji funkcija t → f(t) taške t0 turi pirmosios rūšies trūkį, jei egzistuoja ribos iš

dešinės ir kairės:f(t0 + 0) := lim

t↓t0f(t), f(t0 − 0) := lim

t↑t0f(t),

bet ne visi skaičiai f(t0 + 0), f(t0 − 0) ir f(t0) yra tarpusavyje lygūs.

3.5 teorema. Tegu X = (Xt, t ∈ [0, 1]) yra atsitiktinis procesas. Tarkime, egzistuoja tokios lyginės nedi-dėjančios funkcijos g ir q, kad ∑

n

g(2−n) <∞,∑n

2nq(2−n) <∞

ir su visais 0 ≤ t1 < t2 < t3 ≤ 1, t3 − t1 = h,

(3.9) P (|[Xt3 −Xt2 ][Xt2 −Xt1 ]| ≥ g2(h)) ≤ q(h).

Tuomet egzistuoja proceso (Xt, t ∈ T ) versija, kurios trajektorijos su tikimybe 1 turi ne daugiau nei pirmosrūšies trūkius.

Matūs ir integruojami procesaiTarkime, atsitiktinio proceso (Xt, t ∈ T ) indeksų aibėje T apibrėžta σ algebra T ir σ baigtinis matas µ, t.y.turime erdvę su matu (T, T , µ).

Norėdami kalbėti apie integralą∫T Xt dµ(t) turime žinoti, ar proceso trajektorijos yra mačios funkcijos.

3.19 apibrėžimas. Tegu (Ω,F , P ) yra tikimybinė erdvė. Atsitiktinis procesas X = (Xt, t ∈ T ) vadinamasmačiu, jei su kiekvienu ω ∈ Ω funkcija t→ Xt(ω) : T → R yra mati.

Taigi, jei atsitiktinis procesas X = (Xt, t ∈ T ) yra matus, tai į jį galime žiūrėti, kaip į dviejų argumentų(t, ω) mačią funkciją, X : T × Ω → R, X(t, ω) = Xt(ω). Ji yra mati atžvilgiu σ algebrų T ⊗ F/BR. Čiasandaugos σ algebra T ⊗ F = σ(A×B : A ∈ T , B ∈ F) yra papildyta iki pilnos.

3.6 teorema. Jei atsitiktinis procesas X = (Xt, t ∈ T ) yra matus ir funkcija t → E(Xt) : T → R yraµ-integruojama, tuomet su bet kuria aibe I ⊂ T ,∫

IE(Xt)µ( dt) = E

(∫IXtµ( dt)

).

3.7 teorema. Tegu T = [0, a] ⊂ R. Jei procesas (Xt, t ∈ T ) yra stochastiškai tolydus, tai jis turi mačiąversiją.

76

Ergodiniai procesai

Stacionariųjų procesų teorijai labai svarbūs yra du rezultatai, tai „spektrinė teorema” ir „ergodinė teorema”.Su spektrine teorija susipažinsime vėliau. Čia trumpai aptarkime ergodiškumą. Panagrinėkime du kraštu-tinumus. Tegu X = (Xn : n ≥ 0) yra nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių atsitiktinių dydžių seka sunuliniu vidurkiu ir vienetine dispersija. Akivaizdu, kad procesas X yra stacionarus ir jo autokovariacinėfunkcija yra

ΓX(m,m+ n) = E(XmXm+n) =

1, kai n = 0,

0, kai n 6= 0.

Remiantis stipriuoju didžiųjų skaičių dėsniu n−1∑n

k=1Xkb.t.−→ 0, kai n→∞.

Nagrinėkime kitą pavyzdį. Tegu Y yra atsitiktinis dydis su nuliniu vidurkiu ir vienetine dispersija.Procesą X = (Xn, n ≥ 0) apibrėžkime imdami Xn = Y su visais n ≥ 0. Jo kovariacinė funkcija yra

ΓX(m,m+ n) = EXmXm+n = EY 2 = 1 su visais n,m. Be to, n−1∑n

k=1Xkb.t.−→ Y.

Abiejuose pavyzdžiuose matėme, kad egzistuoja sumos n−1∑n

k=1Xk riba beveik tikrai, kai n → ∞.Pirmuoju atveju riba yra konstanta, antruoju – atsitiktinis dydis.

Ergodinės teoremos (stiprus ar silpnas didžiųjų skaičių dėsnis) nagrinėja sąlygas, prie kurių agreguotostrajektorijos T−1

∫ T0 Xs ds konverguoja prie proceso vidurkio. Proceso ergodiškumas yra dar stipresnis, nes

leidžia tvirtinti, kad T−1∫ T

0 f(Xs) ds konverguoja plačiai funkcijų f klasei.

3.11 teiginys. (Ergodinė teorema vidurkiams ) Tarkime, (Xk, k ≥ 0) yra stacionari laikin4 seka, m =EX0, (r(h), h ≥ 0) - jos autokovariacinė seka: γ(h) = EX0Xh −m2, h ≥ 0. Tuomet

1

n+ 1

n∑k=0

Xk,

kvadratinio vidurkio prasme konverguoja prie vidurkio m tada ir tik tada, kai

(3.10) limn→∞

1

n+ 1

n∑h=0

γ(h) = 0.

Įrodymas. Įrodysime tik (a). Antrosios dalies įrodymas yra analogiškas ir paliekamas vietoj pratimo.Pradėkime pakankamumo įrodymu. Pažymėkime Sn =

∑n−1k=0(Xk −m). Tuomet

E(n−1Sn)2 = n−2n−1∑k=0

n−1∑m=0

γ(k −m)

= n−1∑|k|≤n−1

(1− |k|/n)γ(k).

Iš sąlygos

limn→∞

n−1∑|k|≤n−1

(1− |k|/n)γ(k) = 0.

77

Tai ir įrodo pakankamumą. Sąlygos būtinumą gauname pastebėję, kad∣∣∣n−1n−1∑k=0

γ(k)∣∣∣ =

∣∣∣E[n−1n−1∑k=0

(Xk −m)(X0 −m))]∣∣∣

≤(E[n−1

n−1∑k=0

(Xk −m)]2)1/2

(E[(X0 −m)]2)1/2 → 0,

kai n→∞.

Analogiškai įrodomas analogas tolydauus laiko procesui.

3.12 teiginys. Jei (Xt,∈ [0, T ] yra stacionarus plačiąja prasme procesas, su vidurkiu EXt = m ir kova-riacine funkcija ΓX(t), tuomet

T−1

∫ T

0Xt dt

konverguoja prie m kvadratinio vidurkio prasme tada ir tik tada, kai

limT→∞

T−1

∫ T

0ΓX(t) dt = 0.

Priminsime, kad iš konvergavimo kvadratinio vidurkio prasme gauname taip pat konvergavimą pagaltikimybę.

3.13 teiginys. (Ergodinė teorema kovariacijoms) Tarkime, (Xk, k ≥ 0) yra stacionari laiko eilutė, (v(h), h ≥0) - atitinkama antros eilės autokovariacinė seka:

v(h) = E[Xh+h0Xh − EXh+h0Xh][Xh0X0 − EXh0X0], h ≥ 0.

Jei

(3.11) limn→∞

1

n+ 1

n∑h=0

v(h) = 0,

tuomet

EX0Xh = limn→∞

1

n+ 1

n∑k=0

XkXk+h,

kvadratinio vidurkio prasme.

Pateiktieji rezultatai yra taip vadinamos individualios ergodinės teoremos. Kokios bendros proceso savybėsužtikrina analogiškus rezultatus?

Pirmiausia apibrėžkime ergodiškumą sekoms. Nagrinėkime diskretaus laiko procesą (Xt, t ∈ Z). Tegujis yra apibrėžtas tikimybinėje erdvėje (Ω,F , P ). Nagrinėkime mačią erdvę (RZ,BZ). Atsitiktinis procesas(Xt, t ∈ Z) yra atsitiktinis erdvės RZ elementas. Jo skirstinys yra tikimybinis matas PX apibrėžtas aibėmsC ∈ BZR:

PX(C) = P (ω : (Xt(ω)) ∈ C).

Erdvėje RZ apibrėžkime operatorių τ : RZ → RZ :

τ((xt)) = (xt+1).

Atvaizdis τ yra matus. (Įsitikinkite!) Be to, PX(τ−1(C)) = PX(C) tada ir tik tada, kai procesas (Xt) yrastacionarus. (Įrodykite!) Aibę C ∈ BZ vadinsime τ -invariantine, jei τ−1(C) = C.

78

3.20 apibrėžimas. Sakysime, kad stacionarus procesas (Xt) yra ergodinis, jei kiekvienai τ -invariantineiaibei C ∈ BZ arba PX(C) = 0 arba PX(C) = 1.

Paprasčiausias ergodinio proceso pavyzdys - chaoso procesas, t.y. (Xt, t ∈ Z), kai a.d. Xt, t ∈ Z yranepriklausomi.

3.14 teiginys. Jei (Xt) yra stacionarus ergodinis procesas ir f : RN → R yra matus atvaizdis, tuomet

Xt = f(Xt, Xt−1, . . . ), t ∈ Z

yra stacionarus ergodinis procesas.

Įrodymas. Stacionarumo įrodymui reikia patikrinti, kad a.p. (Xt) baigtiniamačiai skirstiniai sutampa suatitinkamais proceso (Xt+k) baigtiniamačiais skirstiniais kokį beimtume k ∈ Z. Nagrinėkime operatoriųF : RN → RZ,

F ((xj , j ∈ N)) = (f(xt, xt+1, · · · )) = (xt, t ∈ Z).

Turime (Xt+k, t ∈ Z) = τk((Xt, t ∈ Z)). Tegu τ : RN → RN yra postūmio operatorius. Galime įsitikinti,kad

(3.12) τk F = F τk.

Taigi

(Xt+k, t ∈ Z) ∈ C = τk((Xt, t ∈ Z) ∈ C = (Xt, t ∈ Z) ∈ τ−k(C)= P ((Xt) ∈ F−1(τ−k(C))).

Pastaroji tikimybė yra lygi P (τk(Xt) ∈ F−1(C)), kuri, savo ruožtu, yra P ((Xt) ∈ F−1(C)), nes procesas(Xt) yra stacionarus. Taigi proceso (Xt) stacionarumas įrodytas. Norėdami įrodyti proceso (Xt) ergodiš-kumą, tarkime, kad C ∈ RZ yra invariantinė aibė. Įsitikinsime, kad aibė F−1(C) yra invariantinė. Iš (3.12)gauname

F−1(C) = F−1(τ−1(C)) =)τ F )−1(C) = (F τ)−1(C) = τ−1(F−1(C)).

Kadangi F−1(C) yra invariantinė procesui (Xt) tai arba P ((Xt) ∈ F−1(C)) lygi nuliui arba vienam. Liekapastebėti, kad P ((Xt) ∈ C) = P ((Xt) ∈ F−1(C).

3.15 teiginys. Tarkime, (Xt, t ∈ Z) yra stipriai stacionarus procesas ir f yra tokia mati funkcija, kadE(|f(Xt)|) <∞. Tuomet riba

limn→∞

1

n

n∑t=1

f(Xt)

egzistuoja beveik tikrai ir yra atsitiktinis dydis, kurio vidurkis lygus Ef(X0). Jei procesas (Xt, t ∈ Z) yraergodinis, tuomet

1

n

n∑t=1

f(Xt)b.t.−→ Ef(X0).

Tarkime procesas (Xt, t ∈ R) yra apibrėžtas tikimybinėje erdvėje (Ω,F , P ). Nagrinėkime mačią erdvę(RT ,BTR). Atsitiktinis procesas X = (Xt, t ∈ R) yra matus atvaizdis Ω→ RR arba, kitais žodžiais tariant,yra atsitiktinis erdvės RR elementas (atsitiktinė funkcija). Tegu PX ,

PX(A) := P (ω : X(ω) ∈ A)

aibei A ∈ BRR yra atsitikinio proceso skirstinys trajektorijų erdvėje.

79

3.21 apibrėžimas. Aibė A ⊂ RR vadinama invariantine procesui (Xt, t ∈ R), jei su kiekvienu h ∈ R

(Xt, t ∈ T ) ∈ A ⊂ (Xh+t, t ∈ T ) ∈ A.

Kitaip tariant, invariantinė aibė yra ta, kurioje pasilieka ir pastumtas laike procesas. Pavyzdžiui, aibė

A = x ∈ RR : limT→∞

T−1

∫ T

0f(xt+s) dt = 0

yra invariantinė procesui (Xt). O aibė x : x(s) ∈ (a, b), kažkuriam s ∈ R nėra invariantinė.

3.22 apibrėžimas. Procesas (Xt) vadinamas ergodiniu, jei kiekvienai jo realizacijų invariantinei aibei Aarba PX(A) = 0, arba PX(A) = 1.

3.16 teiginys. Tarkime, (Xt) yra stipriai stacionarus procesas ir f yra tokia mati funkcija, kadE(|f(Xt)|) <∞. Tuomet riba

limT→∞

1

T

∫ T

0f(Xs) ds

egzistuoja beveik tikrai ir yra atsitiktinis dydis, kurio vidurkis lygus Ef(X0).Jei procesas (Xt, t ∈ [0, T ]) yra ergodinis, tuomet

1

T

∫ T

0f(Xs) ds

b.t.−→ Ef(X0).

Savipanašūs procesai3.23 apibrėžimas. Tegu H > 0 yra fiksuotas skaičius. Atsitiktinis procesas (Xt, t ≥ 0) vadinamas H-savipanašiu, jei jei jo baigtiniamačiai skirstiniai tenkina:

(Xat1 , . . . , Xatd)D= (aHXt1 , . . . , a

HXtd)

su visais a > 0 ir bet kuriuo rinkiniu ti ≥ 0, i = 1, . . . , d ir d ≥ 1.

Jei tarsime, kad(Xat, t ≥ 0)

D= (bXt, t ≥ 0)

su kažkuriuo b = b(a), tai imdami a1, a2 > 0, gausime

b(a1a2)XtD= Xa1a2t

D= b(a1)b(a2)Xt.

Jei dydis Xt nėra išsigimęs, taib(a1a2) = b(a1)b(a2).

Jei, be to, X yra stochastišai aprėžtas, tai b(a) < 1, kai a < 1. Taigi b(a) = aH su kokiu nors H ≥ 0. Beto, jei H = 0, iš proceso X stochastinio tolydumo nulyje gauname

P (|Xt −X0| > ε) = P (|Xt/a −X0| > ε) = lima→∞

P (|Xt/a −X0| > ε) = 0.

Vadinasi, X yra trivialus procesas. Taigi H > 0.Jei procesas X yra kvadratu integruojamas ir savipanašus, tai

var(Xt) = var(tHXt) = t2Hvar(X1).

80

Tarkime, X turi stacionarius prieaugius, nulinį vidurkį ir var(X1) = 1. Tuomet jo autokovariacinė funkcijayra

RH(s, t) =1

2(t2H + s2H − |t− s|2H).

Jei H > 1, tai

limn→∞

cov(X1, Xn −Xn−1) =∞.

Taigi H ≤ 1.

3.17 teiginys. Funkcija RH yra neneigiamai apibrėžta, jei H ∈ (0, 1].

Jei H = 1, tuomet

X(Xt − tX1)2 = 0,

taigi Xt − tX1 b.t. Todėl H = 1 dažniausiai nenagrinėjamas.Trupmeninis Brauno judesio procesas: vienintelis Gauso savipanašus su nuliniu vidurkiu ir stacionariais

prieaugiais: jo kovariacinė funkcija RH(s, t).

Trajektorijų savybės.

3.24 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas X = (Xt, t ∈ [0, 1]) yra β-Hiolderio, jei egzistuoja toks baigtinisa.d. K, kad

sups,t∈[0,1],s 6=t

|Xt −Xs||t− s|β

≤ K.

3.18 teiginys. Trupmeninis Brauno judesio procesas yra β-Hiolderio su β < H .

P (lim supt↓0

Xt

tH√

log log(1/t)) = 1.

Taigi, X negali būti β-Hiolderio, jei β ≥ H.

3.19 teiginys. Levy atsitiktinis procesas X = (Xt, t ≥ 0) yra savipanašus tada ir tik tada, kai jis yraα-stabilus. Šiuo atveju savipanašumo indeksas H = 1/α.

Įrodymas. Tegu ct(λ) = EeiλXt ir X yra savipanašus su indeksu 1/α. Tuomet XtD= t1/αX1 su kiekvienu

t > 0. Kita vertus,

ct(λ) = (c1(λ))t, t > 0,

taigi (c1(λ)t = c1(t1/αλ), t.y., atsitiktinis dydis X1 yra α-stabilus.Dabar tarkime, kad X1 yra α-stabilus. Kadangi procesas X turi nepriklausomus ir stacionarius prieau-

gius, tai pakanka įsitiktinti, kad XatD= a1/αXt su visais t > 0 ir a > 0. Taip yra, nes

cat(λ) = (c1(λ)at = (c1(a1/αλ))t = ct(a1/αλ),

su visais λ ∈ R.

81

3.5 Pratimai3.1 pratimas. Įrodykite , kad cilindrinė σ algebra BT sutampa su vienmačių cilindrinių aibių generuota σalgebra σA× RT\s : A ∈ BR, s ∈ T.

3.2 pratimas. Tegu U ⊂ RT . Įrodykite kad U⋂BT yra σ algebra.

3.3 pratimas. Įsitikinkite, kad 3.5-3.17 pavyzdžiuose pateiktos baigtiniamačių skirstinių šeimos tenkinaKolmogorovo suderinamumo sąlygas.

3.4 pratimas. 3.13 pavyzdžiui išveskite (3.5) ir (3.6) formules.

3.5 pratimas. Tegu X ir U yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, U yra tolygiai pasiskirstęs intervale[0, 2π], o a.d. X tankis yra

fX(x) = 2x3 exp−1/(2x4), x > 0.

įsitikinkite, kad procesasXt = X2 cos(2πt+ U), t ≥ 0,

yra Gauso ir suraskite jo vidurkio bei kovariacinę funkcijas.

3.6 pratimas. Tegu εn, n ≥ 0 yra seka nekoreliuotų atsitiktinių dydžių su nuliniu vidurkiu ir vienetinedispersija. Apibrėžkime procesą

Yn =

r∑i=0

aiεn−i, n ≥ 0.

Čia a,a2, . . . , ar yra realūs skaičiai, o sveikasis skaičius r ≥ 1.. Įrodykite, kad procesas (Yn, n ≥ 1) yrastacionarus ir raskite jo autokovariacinę funkciją.

3.7 pratimas. Tarkime, (Zn, n = 0,±1,±2 . . . ) yra nekoreliuoti atsitiktiniai dydžiai su nuliniu vidurkiu irvienetine dispersija. Tegu atsitiktinis procesas Y = (Yn) tenkina autoregresinę lygtį:

Yn = ρYn−1 + Zn, n = 0,±1, . . . .

Čia |ρ| < 1. Raskite proceso Y autokovariacinę funkciją.

3.8 pratimas. Tegu U yra tolygusis intervale [0, 1] atsitiktinis dydis. Jo dvejetainis išdėstymas yra U =∑∞i=1Xi2

−i. Apibrėžkime

Vn =∞∑i=1

Xi+n2−i, n ≥ 0.

Įrodykite, kad procesas V = (Vn, n ≥ 0) yra stipriai stacionarus ir raskite jo autokovariacinę funkciją.

3.9 pratimas. Tegu (Xn, n = . . . ,−1, 0, 1, . . . ) yra stacionarus procesas su nuliniu vidurkiu ir kovariacinefunkcija cX(m). Įrodykite šiuos teiginius:

a) Jei skaitinė eilutė∑

k ak konverguoja absoliučiai, tai eilutė∑∞

k=0 akXk konverguoja beveik tikrai irkvadratinio vidurkio prasme.

b) Tegu

Yn =

∞∑k=0

akXn−k, n ∈ Z.

82

Čia∑

k |ak| < ∞. Raskite proceso Y autokovariacinę funkciją cY (m),m = 0,±1, · · · ir įrodykite,kad

∞∑m=−∞

|cY (m)| <∞.

83

4 skyrius

Martingalai

4.1 Diskretaus laiko martingalo apibrėžimas, pavyzdžiaiTikimybinės erdvės (Ω,F , P ) filtarcija vadinasime bet kuria nemažėjančių σ algebrų seką

F0 ⊂ F1 ⊂ · · · ⊂ F .

σ algebra Fn yra interpretuojama kaip informacija iki laiko momento n, tai yra tokių įvykių F ⊂ Ω σalgebra apie kuriuos iki laiko momento n žinoma ar jie įvyko ar ne. Ketvertas (Ω,F , (Fn), P ) vadinamastikimybine erdve su filtracija arba „stochastine baze”. Tipinis filtarcijos pavyzdys yra natūralioji diskretauslaiko atsitiktinio proceso (Xn, n ≥ 0) filtracija (Fn), kai

Fn = σ(X0, X1, · · · , Xn)

yra σ algebra generuota proceso iki laiko momento n. Tuomet F ∈ Fn reiškia, kad

F = ω : (X0(ω), X1(ω), . . . , Xn(ω)) ∈ A

kuriai nors Borelio aibei A ∈ BRn . Taigi kai tik sužinome atsitiktinių dydžių X0, X1, . . . , Xn realizacijąX0(ω), X1(ω), . . . , Xn(ω)), žinome ar įvykis F įvyko ar ne.

Atsitiktinis procesas (Xn) vadinamas adaptuotu prie filtarcijos (Fn) (trumpai (Fn)-adaptuotu), jei suvisais n ≥ 0, atsitiktinis dydis Xn yra Fn-matus. Natūralioji proceso filtarcija yra mažiausia, prie kuriosprocesas yra adaptuotas.

4.1 apibrėžimas. Tegu (Ω,F , (Fn), P ) yra stochastinė bazė. Atsitiktinis procesas (Xn, n ≥ 0), apibrėžtastikimybinėje erdvėje (Ω,F , P ) vadinamas martingalu atžvilgiu filtracijos (Fn, n = 0, 1, 2, . . . ), jei

(a) (Xn) yra (Fn)-adaptuotas;

(b) E|Xn| <∞, su visais n = 0, 1, . . . ;

(c) E(Xn+1|Fn) = Xn b.t. su visais n = 0, 1, . . .

Norėdami pažymėti σ algebrų filtraciją, atžvilgiu kurios diskretaus laiko procesas (Xn, n ≥ 0) yra martinga-las, sakysime, kad ((Xn,Fn), n ≥ 0) yra martingalas. Jei nepasakyta kokios filtracijos atžvilgiu atsitiktinisprocesas (Xn, n ≥ 0) yra martingalas, suprasime, kad tai yra Fn = σ(X0, . . . , Xn), n ≥ 0.

Analogiškai apibrėžiame martingalus (Xn, n ∈ Z). Pavadinimas „martingalas” kilęs iš vadinamosiosdvigubinamo lošimo strategijos, kuri ir vadinasi martingalo strategija. Esmė yra tokia. Statomas vienas

85

litas. Jei išlošiama, tai vėl statomas litas. Jei pralošiama, tai statomi du litai. Kiekvieną kartą pralošus,statymas dvigubinamas. Pavyzdžiui, galimas toks variantas

Rezultatas P P P P L

Lošimas 1 2 4 8 16Pelnas −1 −3 −7 −15 +1

Pažymėkime Xn lošėjo pelną po n-ojo lošimo. Aišku, kad X0 = 0, |Xn| ≤ 1 + 2 + · · ·+ 2n−1 = 2n − 1.be to, Xn+1 = Xn, jei lošimas sustoja n+ 1-uoju momentu. Kitu atveju

Xn+1 =

Xn − 2n su tikimybe 1/2;

Xn + 2n su tikimybe 1/2.

Taigi E(Xn+1|X0, X1, . . . , Xn) = Xn, todėl (Xn, n ≥ 0) yra martingalas.

4.2 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas (Xn, n ≥ 0) vadinamas submartingalu (supermartingalu) atžvilgiu(Fn, n = 0, 1, 2, . . . ), jei su visais n = 0, 1, . . . yra teisingos 4.1 apibrėžimo (a)–(b) savybės ir

c’) E[Xn+1|Fn] ≥ (≤)Xn b.t.,

4.1 pavyzdys. Tegu Y yra bet kuris integruojamas atsitiktinis dydis apibrėžtas tikimybinėje erdvėje (Ω,F , P )ir (Fn, n = 0, 1, 2, . . . ) – bet kuri jos filtracija. Apibrėžkime

Xn = E[Y |Fn], n = 0, 1, 2, . . . .

Atsitiktinis procesas ((Xn,Fn), n = 0, 1, 2, . . . ) yra martingalas. Tuom įsitikiname pritaikę dvigubo vidur-kinimo taisyklę.

4.2 pavyzdys. TeguX0, Y1, Y2, . . . yra nepriklausomi a.d., apibrėžti vienoje tikimybinėje erdvėje. Apibrėž-kime

Xn = X0 + Y1 + · · ·+ Yn, n = 0, 1, 2, . . . .

Procesas (Xn, n ≥ 0) vadinamas atsitiktiniu klaidžiojimu, startuojančiu atsitiktiniame taške X0. Nagrinki-me σ algebrų srautą

F0 = σ(X0), Fn = σ(X0, Y1, . . . , Yn), n ∈ N.

Tuomet

• jei EYn = 0 su visais n ∈ N, tai ((Xn,Fn), n ≥ 0) yra martingalas;

• jei EYn ≤ 0 su visais n ∈ N, tai ((Xn,Fn), n ≥ 0) yra supermartingalas;

• jei EYn ≥ 0 su visais n ∈ N, tai ((Xn,Fn), n ≥ 0) yra submartingalas.

Galima įsitikinti, kad šiame pavyzdyje σ(X0, X1, . . . , Xn) = σ(X0, Y1, . . . , Yn), n ≥ 0 (įsitikinkite!).

4.3 pavyzdys. Paprasčiausias besišakojantis procesas. Populiacija startuoja nuo pradininko, kuris sudaronulinę kartą. Tas pradininkas skyla (išsiskaido į, palieka) k palikuonių su tikimybe pk, k = 0, 1, . . . , kuriesudaro pirmąją populiacijos kartą. Kiekvienas iš pirmosios kartos palikuonių savo ruožtu, nepriklausomaiskyla į atsitiktinį skaičių palikuonių su ta pačia tikimybių funkcija (pk). Procesas tęsiasi iki išnykimo, kainei vienas kartos narys nebeturi palikuonių.

86

Šis modelis yra plačiai taikomas ir vadinamas besišakojančiu arba Galtono-Watsono-Bienimė proce-su. Iš pradžių jis buvo taikomas modeliuojant neutronų skilimą. Juo galime modeliuoti giminės pavardėsišlikimo procesą (kiek vaikų turi būti šeimoje, kad šeimos pavardė niekada ateityje neišnyktų?)

Formaliai procesas apibrėžiamas taip. Tegu Zn,j , n ≥ 1, j ≥ 1 yra nepriklausomi vienodai pasiskirstęneneigiami sveikareikšmiai atsitiktiniai dydžiai, su vienoda tikimybių funkcija (pk). Prilygindami sumąnuliui, kai joje nėra dėmenų, apibrėžkime procesą Zn, n ≥ 0 taip:

Z0 = 1

Z1 = Z1,1

Z2 = Z2,1 + · · ·+ Z2,Z1

...

Zn = Zn,1 + · · ·+ Zn,Zn−1 .

Taigi Zn,j galime interpretuoti kaip n-tosios kartos narių, kurie yra n − 1-osios kartos j-ojo nariopalikuonys, skaičių.

Pastebėkime, kad Zn+1 = 0, jei Zn = 0. Be to, Zn−1 nepriklauso nuo Zn,j , j ≥ 1. Taigi nagrinėkimepaprasčiausią besišakojantį procesą (Zn, n = 0, 1, 2, . . . ). Tegu vidutinis kiekvieno individo palikuoniųskaičius yra

µ =∑k

kpk.

Akivaizdu, kad jei n-toje kartoje yra zn individų, tai vidutinis n + 1-os kartos individų skaičius yra µzn,taigi

E(Zn+1|Zn, Zn−1, . . . , Z0) = µZn

< Zn, jei µ < 1

= Zn, jei µ = 1

> Zn jei µ > 1.

Dar galime pastebėti, kad su visais n = 0, 1, . . .

E(Zn+1

µn+1|Zn, . . . , Z0

)=Znµn.

Taigi atsitiktinis procesas (Zn/µn, n ≥ 0) yra martingalas.

4.4 pavyzdys. Akcijų kaina. Tegu ζ1, ζ2, . . . nepriklausomi teigiami atsitiktiniai dydžiai,Eζi <∞ su visaisi = 1, 2, . . . . Tegu X0 = c,

Xn = X0ζ1 · · · ζn, n ∈ N.

Atsitiktinis procesas (Xn, n ≥ 0) yra martingalas. Atsitiktiniai dydžiai ζi aprašo kainos pasikeitimą. Atskiriatvejai yra šie gerai žinomi kainų modeliai.

• Diskretus Black–Scholes modelis. Čia ζi = expηi, ir ηi ∼ Norm(µ, σ2), i = 1, 2, . . . .

• Binominis (CRR) modelis. Čia ζi = (1+a)e−r su tikimybe p ir ζi = (1+a)−1e−r su tikimybe 1−p.Dydis r aprašo palūkanų normą.

Iš apibrėžimo matome, kadE(Xn+1|Xn, . . . , X0) = XnEζn+1

su visais n = 0, 1, 2, . . . .

87

4.2 Paprasčiausios savybės4.1 teiginys. Tarkime, (Xn, n ≥ 0) yra martingalas atžvilgiu filtracijos (Gn). Tegu su kiekvienu n, Fn =σ(X0, . . . , Xn) ⊂ Gn. Tuomet (Xn, n ≥ 0) yra martingalas ir atžvilgiu filtracijos (Fn).

Įrodymas. Remiantis dvigubo vidurkinimo taisykle

E(Xn+1|Fn) = E(E(Xn+1|Gn))|Fn) = E(Xn|Fn) = Xn.

4.2 teiginys. Jei (Xn,Fn) yra martingalas, tai (|Xn|,Fn) – submartingalas.

Įrodymas. Gauname iš sąlyginio vidurkio savybės: E|(Xn+1| |Fn) ≥ |E(Xn+1|Fn)| = |Xn|.

4.3 teiginys. Jei (Xn,Fn) yra supermartingalas, ir 0 ≤ m < n, tai

EXm ≥ EXn.

Įrodymas. Kadangi E(Xn+1|Fn) ≤ Xn, tai ir E(E(Xn+1|Fn)) ≤ E(Xn). Bet E(E(Xn+1|Fn)) =E(Xn+1). Taigi EXn+1 ≤ EXn. Iš šios lygybės gauname E(Xn) ≤ E(Xn−1) ≤ · · · ≤ E(Xm).

4.4 teiginys. Jei (Xn,Fn) yra submartingalas, ir 0 ≤ m < n, tai

EXm ≤ EXn.

Įrodymas. Analogiškas 4.2 teiginio įrodymui.

4.5 teiginys. Jei (Xn,Fn) yra martingalas, ir 0 ≤ m < n, tai

EXm = EXn.

Įrodymas. Išvedame iš 4.2 ir 4.4 teiginių.

4.6 teiginys. Jei (Xn) yra martingalas ir φ yra tokia iškila (žemyn) funkcija, kad E|φ(Xn)| <∞ su visaisn ≥ 0. Tuomet (φ(Xn)) yra submartingalas.

Įrodymas. Remiantis Jenseno nelygybe

E(φ(Xn+1)|Fn) ≥ φ(E(Xn+1|Fn)) = φ(Xn).

Atskiru atveju, imdami φ(t) = |t|p, p ≥ 1 matome, kad (|Xn|p) yra submartingalas, jei (Xn) yramartingalas ir E|Xn|p <∞ su visais n ≥ 0.

88

4.3 apibrėžimas. Tarkime, duota filtracija (Fn, n ≥ 0). Sakysime, kad atsitiktinių dydžių seka (Hn, n ≥ 0)yra numatoma atžvilgiu (Fn, n ≥ 0), jei su kiekvienu n ≥ 1, atsitiktinis dydis Hn yra Fn−1 matus.

4.1 teorema. (Dubo išskaidymas) Submaringalą (Yn,Fn) galima išskaidyti

Yn = Mn + Sn,

su visais n ≥ 0. Be to, (Mn,Fn) yra martingalas, o (Sn,Fn) – didėjantis numatomas procesas praside-dantis nulyje (S0 = 0 ir išskaidymas yra vienintelis.

Atsitiktinis procesas (S,F) yra vadinamas submartingalo (Y,F) kompensatoriumi.

Įrodymas. Procesai M ir S apibrėžiami išreikštiniu būdu. Imkime M0 = Y0, S0 = 0,

Mn+1 −Mn = Yn+1 − Yn − E(Yn+1 − Yn|Fn),

Sn+1 − Sn = E(Yn+1 − Yn|Fn),

kai n > 0. Galime įsitikinti, kad (M,F) ir (S,F) tenkina teoremos tvirtinimus. Lieka įrodyti išskaidymovienatį. Tarkime, yra dar vienas išskaidymas: Yn = M ′n + S′n. Tuomet

Yn+1 − Yn = (M ′n+1 −M ′n) + (S′n+1 − S′n)

= (Mn+1 −Mn) + (Sn+1 − Sn).

Suskaičiavę sąlyginį vidurkį atžvilgiu Fn gauname, kad S′n+1 − S′n = Sn+1 − Sn su visais n ≥ 0. TačiauS′0 = S0 = 0, taigi S′n = Sn ir, kartu, M ′n = Mn.

Martingalo (Mn, n ≥ 0) transformacija su numatoma seka (Hn, n ≥ 1) vadinsime seką

(H M)n = M0 +

∞∑j=1

Hj∆Mj , n ≥ 1.

4.7 teiginys. Jei (Mn, n ≥ 0) yra (sub)martingalas, o (Hn, n ≥ 1) yra aprėžta (neneigiama) numatomaseka, tuomet transformuota seka ((H M)n) yra (sub)martingalas.

Jei martingalą interpretuosime kaip lošėjo pelną, tuomet natūralus klausimas yra toks: ar galime maksi-mizuoti pelną sustabdydami lošimą kuriuo nors laiku. Jei (Xn, n = 0, 1, 2, . . . ) yra martingalas irEX0 = 0,tuomet ir EXn = 0 su kiekvienu n = 1, 2, . . . Taigi, lošimo sustabdymas bet kuriuo fiksuotu laiko momen-tu nepadeda padidinti vidutinio pelno. Tačiau, tai neįrodo, kad negalima lošimo sustabdyti atsitiktiniu laikomomentu. Pavyzdžiui, prieš gręsiančius didelius nuostolius (jei žinotume, kad jie artėja). Tokį scenarijųgalime nagrinėti panaudoję sustabdymo momentus.

4.4 apibrėžimas. Neneigiamas sveikareikšmis atsitiktinis dydis T : Ω→ 0, 1, . . . ,∞, apibrėžtas tikimy-binėje erdvėje (Ω,F , P ) vadinamas sustabdymo momentu atžvilgiu σ algebrų srauto (Fn, n = 0, 1, 2, . . . ),jei

T ≤ n ∈ Fn

su visais n = 0, 1, 2, . . . .

Atkreipiame dėmesį, kad T gali įgyti ir reikšmę∞.

89

4.5 pavyzdys. Tegu (Xn, n = 0, 1, 2, . . . ) yra adaptuotas σ algebrų srauto (Fn, n = 0, 1, 2, . . . ) atžvilgiu.Jei B ⊂ R yra bet kuri Borelio aibė, tuomet

T = infn : Xn ∈ B (inf ∅ =∞)

yra sustabdymo momentas.

4.6 pavyzdys. Jei T yra sustabdymo momentas, tuomet procesas

Hn = 1T≥n, n ≥ 0

yra numatomas. Tikrai, T ≥ nc = T ≤ n − 1 ∈ Fn−1. Atitinkama martingalo (Xn) transformacijayra

(H X)n =

n∑j=1

1T≥j(Xj −Xj−1)

= X0 +

T∧n∑j=1

(Xj −Xj−1) = XT∧n.

Taigi, jei (Xn) yra (sub)martingalas tai ir sustabdytas procesas yra (sub)martingalas.

4.8 teiginys. T yra sustabdymo momentas tada ir tik tada, kai T = n ∈ Fn su visais n = 0, 1, 2, . . .

Tai kad apsiribojama sustabdymo momentu yra visai natūralu. Jei pasirinkome laiką T tai su kiekvienun = 0, 1, 2, . . . turime žinoti ar T = n laiko momentu n. Jei srautas (filtracija) yra generuotas pačioproceso, tai įvykis T = n turi priklausyti nuo informacijios apie X0, X1, . . . , Xn, jei T yra sustabdymomomentas. Taigi sprendimas turi būti priimtas atsižvelgiant į proceso istoriją, bet ne į ateitį.

Tarkime, EX0 = 0. Klausimas ar galime rasti tokį sustabdymo momentą T , kad EXT > 0 dar neatsa-kytas. Čia atsitiktinis dydis XT yra apibržtas taip:

(XT )(ω) = XT (ω)(ω), ω ∈ Ω.

Jei T gali įgyti begalinę reikšmę, tai reikia apibrėžti X∞.Norėdami atsakyti į iškeltą klausimą, pirmiausia apibrėšime procesą (XT

n , n = 0, 1, 2, . . . ):

XTn (ω) = XT (ω)∧n(ω).

4.9 teiginys. Jei (Xn) yra martingalas, tai ir (XTn ) yra martingalas.

Įrodymas. Galime užrašyti

XTn = X0 +

n∑k=1

1k≤T (Xk −Xk−1).

Taigi XTn+1 −XT

n = 1n+1≤T (Xn+1 −Xn). Atsitiktinis dydis 1n+1≤T = 1− 1T≤n yra Fn–matus. Todėl

E(XTn+1 −XT

n |Fn) = 1n+1≤TE(Xn+1 −Xn|Fn) = 0

nes (Xn) yra martingalas. Taip pat reikia pastebėti, kad

|XTn | ≤ max1≤i≤n|Xi|.

90

4.3 Martingalų konvergavimas4.2 teorema. Jei (Xn) yra martingalas ir supnEX

2n <∞ tuomet egzistuoja toks a.d. X∞, kadXn → X∞

b.t. ir kvadratinio vidurkio prasme.

Šios teoremos įrodymui labai svarbi yra Doob-Kolmogorov nelygybė.

4.3 teorema. (Doob-Kolmogorov nelygybė) Jei (Xn) yra martingalas, tuomet su kiekvienu λ > 0

P ( max1≤k≤n

|Xk| ≥ λ) ≤ λ−2EX2n.

Įrodymas. Pažymėkime A0 = Ω,

Ak = |Xi| < λ su visais i ≤ k, Bk = Ak−1 ∩ |Xk| ≥ λ.

Taigi k yra toks pirmasis indeksas i su kuriuo |Xi| ≥ λ. Tuomet

Ak ∪ (

k⋃i=1

Bi) = Ω.

Taigi

EX2n =

n∑i=1

EX2n1Bi + EX2

n1An ≥n∑i=1

EX2n1Bi .

Kita vertus

EX2n1Bi = E(Xn −Xi +Xi)

21Bi = E(Xn −Xi)21Bi + E(Xi)

21Bi + 2E(Xn −Xi)Xi1Bi

= I1 + I2 + I3.

Pirmiausia pastebėkime, kad I1 ≥ 0 ir I2 ≥ λ2P (Bi), nes |Xi| ≥ λ aibėje Bi. Dabar nagrinėkime I3.Kadangi (Xn) yra martingalas

E((Xn −Xi)Xi1Bi |Fi) = 0.

Surinkę gautą informaciją užbaigiame teoremos įrodymą.

Pastebėkime, kad a.d. Xm ir (Xn+m −Xm) yra nekoreliuoti, kei n.m ≥ 1, nes

E(Xm(Xm+n −Xm)) = E[(Xm(Xm+n −Xm))|Fm] = 0.

TaigiEX2

n+m = EX2m + E(Xn+m −Xm)2.

Matome, kad seka (EX2n) yra nemažėjanti ir, remiantis teoremos sąlyga, aprėžta. Taigi ta seka konverguoja.

Pažymėkime M = limn→∞EX2n. Įsitikinsime, kad seka (Xn) yra Koši seka b.t.

Pažymėkime C = ω : (Xn(ω)) yra Koši seka. Taigi jei ω ∈ C, tuomet Xn(ω)→ X∞(ω). Įrodysi-me, kad P (C) = 1. Pagal Koši sekos apibrėžimą

C = kiekvieną ε > 0 atitinka toks m, kad |Xm+i −Xm+j | < ε su visais i, j ≥ 1.

Kadangi |Xm+i −Xm+j | ≤ |Xm+i −Xm|+ |Xm −Xm+j |,

91

C = kiekvieną ε > 0 atitinka toks m, kad |Xm+i −Xm| < ε su visais i ≥ 1

=⋂ε>0

⋃m

|Xm+i −Xm| ≥ ε su visais i ≥ 1.

Aibės C paildinį galime užrašyti

Cc =⋃ε>0

⋂m

Am(ε), Am(ε) = |Sm+i − Sm| ≥ ε su visais i ≥ 1.

Kadangi An(ε) ⊂ Am(ε′), jei ε ≥ ε′, tai

P (Cc) = limε↓0

P(⋂m

Am(ε))≤ lim

ε↓0limm→∞

P (Am(ε)).

Tikimybes P (Am(ε)) įvertinsime pasinaudoję Doob-Kolmogorovo teorema. Fiksuokime m ir nagrinėkimeseką (Yn), Yn = Xn+m −Xm. Galime patikrinti, kad (Yn) yra martingalas. Taigi

P ( max1≤i≤n

|Sm+i − Sn| ≥ ε) ≤ ε−2E(Xn+m −Xm)2.

Perėję prie ribos, kai n→∞, gauname

P (Am(ε)) ≤ ε−2(M − ES2m).

Taigi P (Am)→ 0, kai m→∞.Liko įrodyti, kad konvergavimas taip pat teisingas kvadratinio vidurkio prasme. Tam pasinaudosime

Fatu lema:

E(Xn −X∞)2 = E(lim infm→∞

(Xn −Xm)2) ≤ lim infn→∞

E(Xn −Xm)2

= M − EX2n → 0

kai n→∞. Teorema pilnai įrodyta.

4.7 pavyzdys. Tegu ξn, n ≥ 1 yra nepriklausomi vienodai pasiskirstę normaliniai atsitiktiniai dydžiai sunuliniu vidurkiu ir dispersija σ2. Apibrėžkime X0 = 1,

Xn = expn∑j=1

ξj − nσ2/2.

Seka (Xn) yra neneigiamas martingalas ir Xnb.t.−→ 0. Bet EXn = 1 su visais n.

4.4 Tolydaus laiko martingalaiTolydaus laiko tikimybinės erdvės (Ω,F , P ) filtracija yra toks σ algebrų srautas (Ft)t≥0, kad Fs ⊂ F suvisais s ≥ 0 ir Fs ⊂ Ft, jei s ≤ t. Standartinis pavyzdys yra natūralioji atsitiktinio proceso (Xt, t ≥ 0)generuota filtracija Ft = σ(Xs, s ≤ t), t ≥ 0. Ketvertas (Ω,F , (Ft)t≥0, P ), kaip ir diskrečiuoju atveju,vadinamas tikimybine erdve su filtracija arba stochastine baze. Be atskiro priminimo tarsime, kad filtracija(Ft)t≥0 tenkina taip vadinamas įprastastines sąlygas:

92

(i) kiekvienai σ algebrai Ft priklauso visi nulinės tikimybės įvykiai (filtracijos pilnumas);

(ii) su kiekvienu t > 0, Ft =⋂s>tFs; (tolydumas iš dešinės).

Pirmą filtracijos savybę nesunku pasiekti prie kiekvienos σ algebros Ft prijungus nulinės tikimybės įvykius.Antroji savybė yra sudėtingesnė. Daugumoje pavyzdžių ji yra išpildoma. Retais atvejais, kai taip nėra,galima nagrinėti filtraciją

⋂s>tFs, t ≥ 0, kuri pasižymi tolydumu iš dešinės.

Kaip ir diskrečiuoju atveju, procesas (Xt, t ≥ 0) yra adaptuotas atžvilgiu filtracijos (Ft)t≥0, (trumpiau(Ft)-adaptuotas), jei Xt yra Ft-matus atsitiktinis dydis.

4.5 apibrėžimas. Tegu yra duota stochastinė bazė (Ω,F , (Ft)t≥0, P ). Tuomet (Ft)-adaptuotas integruoja-mas procesas (Xt, t ≥ 0) vadinamas

(i) martingalu, jei E(Xt|Fs) = Xs b.t., su visais s ≤ t;

(ii) submartingalu, jei E(Xt|Fs) ≥ Xs b.t., su visais s ≤ t;

(iii) supermartingalu, jei E(Xt|Fs) ≤ Xs b.t., su visais s ≤ t;

Norėdami diskretizuoti (sub/super) martingalą (Xt, t ≥ 0) imame bet kuriuos fiksuotus laiko momentust0 = 0 < t1 < t2 < · · · ir apibrėžiame Yk = Xtk , k = 0, 1, 2, . . . . Galima patikrinti, kad (Yk,Ftk) yra(sub/super) martingalas.

4.4 teorema. Jei (Xt,Ft, t ≥ 0) yra (sub/super) martingalas ir filtracija (Ft) tenkina įprastines sąlygas, ofunkcija t→ EXt yra tolydi iš dešinės, tuomet egzistuoja proceso (Xt) cadlag modifikacija.

Įrodymas. Žr......

4.8 pavyzdys. Duotai filtracijai (Ft, t ≥ 0) ir atsitiktiniam dydžiui, X , apibrėžkime Xt = E(X|Ft), t ≥ 0parinkdami kurią nors sąlyginio vidurkio modifikaciją (visos jos skiriasi tik nulinės tikimybės aibėse). Beto, galima parinkti tokią, kad martingalas būtų cadlag.

Martingalų konvergavimas

4.5 Kai kurie taikymai ekonomikoje4.9 pavyzdys. Kainos prognozės procesas. Tarkime, ...., Xt, Xt+1, . . . , Xt+T , . . . – procesas, aprašantiskainas, pvz. aukso, vilnos ir pan., Xt yra kaina dabartiniu momentu, Xt+T – ateities kaina, praėjus Tlaiko momentų (dienų). Tarkime, kad atsitiktiniai dydžiai Xj yra aprėžti ir apibrėžti tikimybinėje erdvėje(Ω,F , P ). Ekonomikos dalyvis žino šios dienos kainą ir buvusias kainas. Kitais žodžiais, tariame, kadekonominis agentas žino visą informaciją, kurią generuoja procesas iki laiko momento t, arba informacijąesančią σ-algebroje Ft = σ(X0, X1, . . . , Xt). Joje, beje, yra ir stebėtos kainos, tarkime, x0, x1, . . . , xt. Josyra viena iš proceso realizacijų,

X0(ω) = x0, . . . , Xt(ω) = xt.

Tačiau agentas negali žinoti nei rytdienos kainos Xt+1 nei, juo labiau, kainos Xt+T . Tačiau laikui bėgant,informacijos vis daugėja, todėl galima vis kita kainos prognozė. Tarkime, norime prognozuoti kainą Xt+T .Tegu Y (T, t) – jos prognozė laiko momentu t. Pasibaigus vienam laiko periodui, tos kainos prognozė jaubus Y (T − 1, t+ 1) ir taip toliau. Taip gauname seką

(4.1) Y (T, t), Y (T − 1, t+ 1), . . . , Y (T − n, t+ n), . . . , Y (1, t+ T − 1).

93

Racionalių lūkesčių hipotezė teigia, kad

(4.2) Y (T, t) = E[Xt+T |Ft], su visais T = 1, 2, . . .

Įsitikinsime, kad jei teisinga racionalių lūkesčių (4.2) hipotezė, tai (4.1) seka yra martingalas atžvilgiu σ-algebrų

Ft,Ft+1, . . . ,Ft+T−1.

Iš esmės reikia patikrinti tik martingališkumo sąryšį

E[Y (T − 1, t+ 1)|Ft] = Y (T, t).

Tam reikia pasinaudoti dvigubo vidurkinimo taisykle:

E[Y (T − 1, t+ 1)|Ft] = E[E[Xt+T |Ft+1]|Ft]= E[Xt+T |Ft]= Y (T, t).

Martingalinė ateities kainų savybė gali būti panaudota tiriant akcijų rinkos efektyvumą. Kapitalo rinkayra efektyvi, jei vertybinių popierių kaina atspindi visą prieinamą informaciją.

informaciją (silpna, pusiau stipri, stipri infoprmacijos). kurie bandymai praeities kainose įžvelgti kokiąnors naudą prognozuojant yra pamerkti žlugti.

4.10 pavyzdys. Efektyvios rinkos hipotezė.Tarkime, Pt, t = 0, 1, 2, . . . yra akcijos (dieninių) kainų procesas,

Xt = ln(Pt/Pt−1) = ln(1 +Pt − Pt−1

Pt−1≈ Pt − Pt−1

Pt−1, t = 1, 2, . . .

yra logaritminių (santykinių) grąžų procesas. Tegu It yra visa prieinama informacija iki laiko momento t.Sakoma, kad yra teisinga efektyvios rinkos hipotezė, jei

E(Xt|It−1) = E(Xt), t = 1, 2, . . . .

Kitaip tariant, grąžų procesas Xt − E(Xt), t = 1, 2, . . . yra martingalinių skirtumų procesas atžvilgiuinformacijos srauto It, t = 0, 1, 2, . . . . Efektyvios rinkos atveju, kainų proceso logaritmas yra martingalas.

Yra trys rinkos efektyvumo sampratos, besiskiriančios informacijos It apibrėžimu.

1. Silpna efektyvumo forma reiškia, kad It yra tik informaciją apie procesą Xs, s ≤ t.

2. Pusiau stipri efektyvumo forma reiškia, kad It yra informacija apie proceso praeitį, t.y. apieXs, s ≤ tir visa informacija, kuri yra viešai prieinama laiko momentu t.

3. Stipri efektyvumo hipotezė reiškia, kad It sudaro visa tiek vieša, tiek privati informacija prieinamalaiko momentu t.

Žinios apie naujas prekiavimo strategijas ar naujus rinkų modeliavimo metodus laikomos privačia informa-cija. Pateikta efektyvios rinkos hipotezė yra klasikinė ir labiau siejama su negalimumu prognozuoti. Yra irmodernesnių šiuolaikinių efektyvumo apibrėžimų.

94

4.6 Pratimai4.1 pratimas. TeguX , Y yra du nepriklausomi Bernulio atsitiktiniai dydžiai. ApibrėžkimeZ = 1X+Y=0.Raskite E(X|Z) ir E(Y |Z). Ar tie atsitiktiniai dydžiai yra nepriklausomi?

4.2 pratimas. Tegu (Yn, n ≥ 1) yra nepriklausomų atsitiktinių dydžių tolygiai pasiskirsčousių intervale[−1, 1] seka. Tegu S0 = 0, Sn = Y1 + · · ·+ Yn, n ≥ 1. Patikrinkite ar duotos sekos yra martingalai:

a) Xn =∑n

k=1 S2k−1Yk, X0 = 0;

b) Xn = S2n − n

3 , X0 = 0.

4.3 pratimas. Tarkime, (Y,F) yra martingalas. Įrodykite, kad

E(Yn+m|Fn) = Yn

su visais n,m ≥ 0.

4.4 pratimas. Tegu (Xn, n ≥ 1) yra nepriklausomi N (0, σ2) a.d. Tegu Y0 = 1,

Yn = expan∑k=1

Xk − nσ2, n ≥ 1.

Su kuria parametro a reikšme, (Yn) yra martingalas?

4.5 pratimas. Tarkime, Sn yra draudimo kompanijos kapitalas n-tųjų metų gale. n-taisiais metais gautaspelnas yra c > 0 ir išmokėta ξn išmokų. Tegu ξn yra N (µ, σ2) ir µ < c. Kompanija bankrutuoja, kai joskapitalas pasidaro mažesnis ar lygus nuliui. Įrodykite, kad

P (bankrotas) ≤ exp−2(c− µ)S0/σ2).

95

5 skyrius

Puasono procesas

5.1 Apibrėžimas ir modeliavimasPirmiausia apibrėšime homogeninį Puasono procesą.

5.1 apibrėžimas. Homogeniniu Puasono procesu su parametru λ vadiname procesą Xt, t ∈ [0,∞) api-brėžtą tikimybinėje erdvėje (Ω,F , P ), jei teisingos šios trys savybės:

(P1) X0 = 0

(P2) su visais 0 < t1 < · · · < tn priaugliai Xt1 , Xt2 −Xt1 , . . . , Xtn −Xtn−1 yra nepriklausomi;

(P3) Jei 0 ≤ s < t <∞, tai Xt −Xs turi Puasono skirstinį su parametru λ(t− s), t.y.

P (Xt −Xs = k) =[λ(t− s)]k

k!exp−λ(t− s),

su visais k ∈ N.

Šio apibrėžimo (P2) ir (P3) sąlygos reiškia, kad Puasono procesas turi nepriklausomus ir stacionarius priaug-lius.

Puasono proceso konstravimui labai svarbūs yra eksponentiniai atsitiktiniai dydžiai. Priminsime, kada.d. τ turi eksponentinį skirstinį su parametru λ, jei

P (τ ≤ t) = 1− e−λt, t ≥ 0.

Tai yra tolydus atsitiktinis dydis su tankio funkcija

fτ (t) =

λe−λt, kai t ≥ 0,

0, kitur.

Svarbiausios eksponentinio atsitiktinio dydžio charakteristikos yra šios.

• Vidurkis Eτ = 1/λ :

Eτ =

∫ ∞−∞

xfX(x)dx =

∫ ∞0

xλe−λxdx

= −xe−λx∣∣∣∞0

+

∫ ∞0

e−λxdx =1

λ.

97

• Dispersija var(τ) = 1/λ2. Pirmiausia suskaičiuokime antrąjį momentą:

Eτ2 =

∫ ∞−∞

x2fX(x)dx =

∫ ∞0

x2λe−λxdx

= −x2e−λx∣∣∣∞0

+

∫ ∞0

2xe−λxdx =2

λ2.

Taigi

varτ = Eτ2 − (Eτ)2 =1

λ2.

• Atminties nebuvimas: P (τ > t+ s|τ > t) = P (τ > s) :

P (τ > t+ s|τ > t) =P (τ > t+ s)

P (τ > t)=e−λ(t+s)

e−λt= P (τ > s).

Keletas kitų svarbių savybių.

• Jei τ1, . . . , τm yra nepriklausomi eksponentiniai atsitiktiniai dydžiai su parametrais atitinkamai λ1, . . . , λm,tai atsitiktinis dydis V = minτ1, . . . , τm yra eksponentinis su parametru λ1 + · · ·+ λm:

P (minτ1, . . . , τn) > t) = P (τ1 > t, . . . , τn > t)

= P (τ1 > t) · · ·P (τn > t)

=

n∏k=1

e−λkt = exp−(λ1 + · · ·+ λn)t.

• P (τi = minτ1, . . . , τm) = λi/(λ1 + · · ·+ λm).

Norėdami įrodyti šią savybę, pirmiausia tarkime, kad S ir τ yra nepriklausomi eksponentiniai a.d. su para-metrais atitinkamai λ ir µ. Tuomet

P (S < τ) =

∫ ∞0

P (τ > s)fS(s)ds =

∫ ∞0

λe−λse−µsds

=λ

λ+ µ

∫ ∞0

(λ+ µ)e−(λ+µ)sds =λ

λ+ µ.

Lieka pasinaudoti šia ir prieš tai išvestąja savybėmis.

• Jei I = argminτ1, . . . , τm, tai

P (I = i) = λi/(λ1 + · · ·+ λm).

Tegu I = i, S = τi, U = minj 6=i τj . Atsitiktinis dydis U yra eksponentinis su parametru

µ = λ1 + · · ·+ λn − λi.

Taigi

P (I = i) = P (S < U) =λi

λi + µ=

λiλ1 + · · ·+ λn

.

• a.d. I ir V yra nepriklausomi.

98

Suskaičiuokime bendrą šių a.d. skirstinį:

P (I = i, V = t) = P (τi = t, τj > t, kai j 6= i)

= λie−λit

∏j 6=i

e−λjt

=λi

λ1 + · · ·λn(λ1 + · · ·+ λn)e−(λ1+···+λn)t

= P (I = i)P (V = t),

nes a.d. V turi eksponentinį skirstinį su parametru λ1 + · · ·+ λn.

5.1 teiginys. Jei τ1, τ2, . . . nepriklausomi eksponentiniai su parametru λ, tai a.d. Zn = τ1 +· · ·+τn tankiofunkcija yra

fZn(t) = λe−λt(λt)n−1

(n− 1)!, t ≥ 0.

Įrodymas. Įrodysime pasitelkę matematinę indukciją. Teiginys akivaizdžiai teisingas, kai n = 1 (priminsi-me, kad pagal susitarimą 0! = 1). Tarkime, kad teiginys teisingas, kai n = m ir suskaičiuokime fZm+1(t).Kadangi a.d. Zm ir τm+1 yra nepriklausomi, tai

fZm+1(t) =

∫ t

0fZn(t)fτm+1(t− s)ds

=

∫ t

0λe−λs

(λs)m

m!λe−λ(t−s)ds

= eλtλm+1

∫ t

0

sm

m!ds

= λe−λtλmtm

m!.

Teiginys įrodytas.

Tegu τ1, τ2, . . . yra nepriklausomi vienodai pasiskirstę eksponentiniai atsitiktiniai dydžiai, su pasiskirs-tymo funkcija

Fτ (x) = P (τi ≤ x) = 1− e−λx, x ≥ 0.

Atsitiktinį dydį τi interpretuojame, kaip i-ojo kliento laukimo laiką. Apibrėžkime

Tn = τ1 + · · ·+ τn, n = 1, 2, . . . .

Atsitiktinį dydį Tn interpretuojame, kaip n-ojo kliento atvykimo laiką. Pastebėkime, kad limn→∞ Tn =∞beveik tikrai, nes pagal didžiųjų skaičių dėsnį

limn→∞

1

nTn =

1

λb.t.

Apibrėžkime procesą (Nt, t ≥ 0) taip:

N0 = 0, Nt = maxn ≥ 1 : Tn ≤ t, t > 0.

Ekvivalenčiai

Nt =∞∑n=1

n1Tn≤t<Tn+1 , t > 0.

99

5.1 teorema. Atsitiktinis procesas (Nt, t ≥ 0) yra homogeninis Puasono procesas su parametru (intensy-vumu) λ.

Įrodymas. Irodysime, kad procesas (Nt, t ≥ 0) turi (P1)–(P3) savybes.

5.1 lema. Su kiekvienu s > 0, Ns yra Puasono atsitiktinis dydis su parametru λs.

Įrodymas. Reikia pastebėti, kad įvykiai Ns = n ir Tn ≤ s < Tn+1 yra lygūs, todėl

P (Ns = n) = P (Tn ≤ s < Tn+1).

Pastaroji tikimybė lygi

P (Tn ≤ s < Tn + τn+1) =

∞∫0

P (t ≤ s < t+ τn+1)fTn(t)dt

=

s∫0

P (τn+1 > s− t)fTn(t)dt

=

s∫0

e−(s−t)λλe−λt(λt)n−1

(n− 1)!dt

= e−λs(λs)n

n!.

Lema įrodyta.

5.2 lema. Atsitiktinis dydis Nt+s −Ns yra Puasono su parametru λt ir nepriklauso nuo atsitiktinių dydžiųNu, 0 ≤ u ≤ s.

5.3 lema. Atsitiktinio proceso (Nt, t ≥ 0) priaugliai yra nepriklausomi.

Jau matėme, kad Puasono proceso trajektorijos yra trūkios su vienetiniais šuoliukais. Tačiau Puasonoprocesas yra tolydus antrojo momento prasme:

E(Nt −Ns)2 = λ(t− s) + [λ(t− s)]2 → 0 kai s→ t.

Homogeninis Puasono procesas su intensyvumu λ gali būti charakterizuotas kaip sveikareikšmis proce-sas, prasidedantis nulyje, nemažėjančių trajektorijų, nepriklausomų priauglių kuriam tolygiai pagal t

P (Xt+h −Xt = 0) = 1− λh+ o(h)

P (Xt+h −Xt = 1) = λh+ o(h).

Kodėl Puasono procesas yra svarbus? Spęskime tokį uždavinį. Tegu n MIF studentų nepriklausomaivienas nuo kito eina pietauti tarp 12 ir 13 val. su tikimybe λ/n. Be to, tas kuris nusprendžia eiti, laikąpasirenka pagal tolygų skirstinį. Tikimybė, kad lygiai k studentų pietaus tarp 12 ir 13 val. lygi(

n

k

)(λn

)k(1− λ

n

)n−k→ λk

k!e−λ,

kai n→∞.Pavyzdžio tęsinys.

100

5.2 teorema. Tarkime, su kiekvienu n ≥ 1, Xnk, k = 1, . . . , n yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai,

P (Xni = 1) = pni, P (Xni = 0) = 1− pni,

i = 1, . . . , n. TeguSn = Xn1 + · · ·+Xnn, λn = ESn = pn1 + · · ·+ pnn

ir Zn yra Puasono atsitiktinis dydis su parametru λn. Tuomet, su bet kuria aibe A ⊂ N∣∣P (Sn ∈ A)− P (Zn ∈ A)∣∣ ≤ n∑

i=1

pni.

5.1 išvada. Jei λn → λ ir max1≤k≤n pnk → 0 kai n→∞, tai

supA⊂N

∣∣P (Sn ∈ A)− P (Zn ∈ A)∣∣→ 0.

5.2 Puasono procesų suma ir išskaidymasNagrinėkime du nepriklausomus homogeninius Puasono procesus N = (Nt, t ≥ 0) ir M = (Mt, t ≥ 0)su intensyvumais atitinkamai λ ir µ. Tuomet procesas Lt = Nt + Mt, t ≥ 0 vadinamas procesų N ir Msuperpozicija.

5.2 teiginys. Atsitiktinis procesas L = (Lt, t ≥ 0) yra homogeninis Puasono procesas su intensyvumuλ+ µ.

Įrodymas. Akivaizdu, kad L turi nepriklausomus priauglius ir L0 = 0. Pakanka įsitikinti, kad su bet kuriais0 ≤ s < t atsitiktinis dydis Lt−Ls yra Puasono su intensyvumo parametru (λ+µ)(t−s). Suskaičiuokimetikimybes:

P (Lt − Ls = n) =n∑k=0

P (Nt −Ns = k,Mt −Ms = n− k)

=n∑k=0

e−λ(t−s) (λ(t− s))k

k!e−µ(t−s) (µ(t− s))n−k

(n− k)!

= e−(λ+µ)(t−s) ((λ+ µ)(t− s))n

n!.

Pirmame žingsnyje pasinaudojome pilnosios tikimybės formule, o antrame - procesų N ir M nepriklauso-mumu.

Toliau tegu N = (Nt, t ≥ 0) yra Puasono procesas su intensyvumu λ. Tegu (Xn, n ≥ 1) yra sekanepriklausomų Bernulio atsitiktinių dydžių su parametru p ∈ (0, 1), nepriklausomu nuo N :

P (Xn = 1) = p = 1− P (Xn = 0), n = 1, 2, . . .

Pažymėkime Sn = X1 + · · · + Xn, n ≥ 1. Interpretuokime Sn, kaip įvykio pasirodymų skaičių po nbandymų ir tegu n-asis bandymas yra vykdomas n-ojo atvykimo laiku Tn. Tokiu atveju, įvykio pasirodymųskaičius laiko intervale [0.t] yra

Mt = SNt ,

o neįvykimų skaičius -Lt = Nt − SNt .

101

5.3 teiginys. Atsitiktiniai procesai L = (Lt, t ≥ 0) ir M = (Mt, t ≥ 0) yra nepriklausomi Puasonoprocesai su intensyvumais atitinkamai λ(1− p) ir λp.

Įrodymas. Pakanka įsitikinti, kad įvykiai

A = Mt −Ms = m,Lt − Ls = k, 0 ≤ s < t,

nepriklauso nuo atsitiktinių dydžių Mu, Lu;u ≤ s ir

P (A) = e−λp(t−s)(λp(t− s))m

m!e−λ(1−p)(t−s) (λ(1− p)(t− s))k

k!.

Galime pastebti, kadA = Nt −Ns = m+ k, SNt − SNs = m.

Be to, σ algebra σ(Mu, Lu;u ≤ s) sutampa su σ algebra

F = σ(Nu, u ≤ s;Y1, . . . , YNs).

Akivaizdu, kad A nepriklauso nuo F . Galiausiai

P (A) =

∞∑n=0

P (A ∩ Ns = n)

=∞∑n=0

P (Ns = n,Nt −Ns = m+ k, Sm+k+n − Sn = m)

=

∞∑n=0

P (Ns = n,Nt −Ns = m+ k)P (Sm+k+n − Sn = m)

= P (Nt −Ns = m+ k)P (Sm+k = m)

= e−λ(t−s) (λ(t− s))m+k

(m+ k)!

(m+ k)!

m!k!pm(1− p)k.

Teiginys įrodytas.

5.3 Sudėtinis Puasono procesasKiek pinigų išleido pirkėjai parduotuvėje iki laiko momento t? Koks informacijos kiekis atėjo į serverį ikilaiko momento t? Šiems ir panašiems klausimams spręsti galime pasinaudoti sudėtiniu Puasono procesu.

5.2 apibrėžimas. Tegu Y1, Y2, . . . yra nepriklausomi vienodai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai ir nepriklau-so nuo Puasono proceso (Nt, t ≥ 0). Tuomet procesas

Zt =

Nt∑k=1

Yk, t ≥ 0,

vadinamas sudėtiniu Puasono procesu.

102

Jei Puasono procesu (Nt, t ≥ 0) modeliuosime ateinančių į parduotuvę klientų skaičių, o atsitiktiniu dydžiuYj aprašysime j’ojo pirkėjo išleidžiamą pinigų sumą, tai sudėtinis Puasono procesas (Zt, t ≥ 0) kaip tikaprašys pinigų kiekį, kurį pirkėjai išleidžia parduotuvėje. Atsitiktinių dydžių Y1, Y1, . . . nepriklausomumasčia yra visai natūralus.

5.3 teorema. Tegu Y, Y1, Y2, . . . yra nepriklausomi vienodai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai nepriklausan-tys nuo sveikareikšmio neneigiamo atsitiktinio dydžio N . Apibrėžkime SN = Y1 + · · · + YN (SN = 0, jeiN = 0). Tuomet

(a) jei EN <∞, tai ESN = EY · EN ;

(b) jei EN2 <∞, tai var(SN ) = ENvar(Y ) + var(N)(EY )2;

(c) jei N yra Puasono su parametru λ, tai var(SN ) = λEY 2.

Įrodymas. Pasinaudijame pilnosios tikimybės formule:

ESN =∞∑n=0

E(SN |N = n)P (N = n) =∞∑n=0

nEY1P (N = n)

= ENEY.

Analogiškai skaičiuojame ir variaciją. Pirmiausia pastebime, kad

E(S2N |N = n) = ES2

n = nvar(Y1) + (nEY1)2.

Toliau skaičiuojame kaip anksčiau:

ES2N =

∞∑n=0

E(S2N |N = n)P (N = n)

=

∞∑n=0

[nvar(Y1) + n2(EY1)2]P (N = n)

= (EN)var(Y1) + EN2(EY1)2.

Lieka suskaičiuoti variaciją:

var(Sn) = ES2N − (ESN )2

= (EN)var(Y1) + EN2(EY1)2 − (EN · EY1)2

= (EN)var(Y1) + var(N)(EY1)2.

Atskiru atveju, kai N yra Puasono atsitiktinis dydis, tai EN = var(N) = λ, todėl

var(SN ) = λ(var(Y1) + (EY1)2) = λEY 21 .

Teorema įrodyta.

5.4 teiginys. Sudėtinis Puasono procesas turi nepriklausomus prieaugius, o priaugliai Zt − Zs turi cha-rakteristinę funkciją

e(cY1 (x)−1)λ(t−s), x ∈ R.

Čia cY1 yra atsitiktinio dydžio Y1 charakteristinė funkcija.

103

Įrodymas. Fiksuokime 0 ≤ s < t. Galime pastebėti, kad

G := σ(Zu, u ≤ s) ⊂ F := σ(Nu, u ≤ s;Y1, . . . , YNs).

Iš čia gauname, kad Zt − Zs = SNt − SNs nepriklauso nuo G. Lieka suskaičiuoti charakteristinę funkciją:

Eeix(Zt−Zs) =∞∑

m,k=0

Eeix(Zt−Zs)1Ns=m,Nt−Ns=k

=∞∑

m,k=0

Eeix(Sm+k−Sm)1Ns=m,Nt−Ns=k

=

∞∑m,k=0

EeixSkP (Ns = m,Nt −Ns = k)

=∞∑k=0

[EeixY1

]ke−λ(t−s) [λ(t− s)]k

k!

= exp(cY1(x)− 1)λ(t− s).

teiginys pilnai įrodytas.

5.4 Nehomogeniškas Puasono procesas5.3 apibrėžimas. Nehomogeniniu Puasono procesu su dažnumo funkcija λ(r), r ≥ 0, vadiname procesąN(t), t ∈ [0,∞) apibrėžtą tikimybinėje erdvėje (Ω,F , P ), jei teisingos šios trys savybės:

(P1) N(0) = 0

(P2) su visais 0 < t1 < · · · < tn prieaugiaiXt1 , N(t2)−N(t1), . . . , N(tn)−N(tn−1) yra nepriklausomi;

(P3) Jei 0 ≤ s < t <∞, tai N(t)−N(s) turi Puasono skirstinį su parametru∫ ts λ(r)dr.

Esminis skirtumas nuo homogeninio yra tas, kad laukimo laikai nebėra pasiskirstę pagal eksponentinį skirs-tinį ir nėra nepriklausomi.

5.5 Pratimai5.1 pratimas. TeguX ir Y yra nepriklausomi eksponentiniai atsitiktiniai dydžiai su parametrais atitinkamaiλ ir µ. Pažymėkime U = minX,Y , V = maxX,Y . Raskite

(a) E(U),

(b) E(V − U),

(c) E(V ),

(c) išraišką vidurkiui EV , pritaikę tapatybę V = X + Y − U.

104

5.2 pratimas. Tegu T1 ir T2 yra eksponentiniai atsitiktiniai dydžiai su parametrais atitinkamai λ1 ir λ2.Pažymėkime U = minT1, T2, V = maxT1, T2. Tegu I = argminT1, T2. Raskite vektoriaus (U, V −U, I) bendrą tankio funkciją ir įrodykite, kad U ir V − U yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai.

5.3 pratimas. Tarkime, (Nt, t ≥ 0) yra Puasono procesas su intensyvumu λ = 15. Suskaičiuokite

(a) P (N6 = 9);

(b) P (N8 = 10|N9 = 6);

(c) P (N9 = 6|N8 = 10).

5.4 pratimas. Tegu (Nt, t ≥ 0) yra Puasono procesas su parametru λ = 5. Tegu Tn yra n-ojo klientoatvykimo laikas. Raskite

(a) E(T12);

(b) E(T12|N2 = 5);

(c) E(N5|N2 = 5).

5.5 pratimas. Pirmoji ir antroji futbolo komandos muša įvarčius pagal Puasono procesą su parametraisatitinkamai 1 ir 2. Tarkime N (1)

0 = 2, N (2)0 = 1.

(a) Kokia tikimybė, kad N (1)t = 5 anksčiau, nei N (2)

t = 5?

(b) Atsakykite į tą patį klausimą, kai atitinkamų Puasono procesų parametrai yra λ1 ir λ2.

5.6 pratimas. Pirkėjai į parduotuvę užeina pagal Puasono dėsnį su intensyvumu λ = 10 per valandą. Sura-skite vidutinį pardavimų kiekį per darbo dieną (8 val.), jei žinoma, kad pirkėjas ką nors nuperka su tikimybe0.3.

5.7 pratimas. Parduotuvė turi tris įėjimus. Per kiekvieną iš jų pirkėjai ateina pagal Puasono dėsnį su inten-syvumais atitinkamai λ1 = 100, λ2 = 90. λ3 = 120 per valandą. Be to, 30 procentų ateina vyrų. Vyrai kąnors nuperka su tikimybe 0.8, o moterys - 0.1. Kiekvienas pirkėjas vidutiniškai išleidžia 12 Lt.

(a) Kiek vidutiniškai pirkėjai išleidžia parduotuvėje per 10 val.

(b) Kokia tikimybė, kad trečioji pirkėja moteris apsipirkti ateis per pirmas 15 min.? Koks yra tikėtinasjos atvykimo laikas?

5.8 pratimas. Tarkime, Y1, Y2, . . . yra neneigiami nepriklausomi vienodai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai.Tegu Z0 = 0, Zn = Y1 + · · ·+Yn, n ≥ 1. Atsitiktinį dydį Zn interpretuojame, kaip n-ojo kliento atvykimo įparduotuvę laiką. Atsitiktinis procesas (Zn, n ≥ 0) dar vadinamas atstatymo procesu. TeguNt yra atvykimųskaičius laike [0, t].

(a) Įrodykite, kad su visais n ≥ 1 ir t ≥ 0, P (Nt ≥ n) = P (Zn ≤ t);

(b) Įsitikinkite, kad limt→∞Nt =∞ b.t.

(c) Įrodykite, kadZNt

Nt

b.t.−→ a = EY1.

105

(d) Pritaikę nelygybes ZNt ≤ t < ZNt+1 įrodykite, kad

Nt

t

b.t.−→ 1

EY1,

kai t→∞.

5.9 pratimas. Tegu τ1, τ2, . . . yra nepriklausomi vienodai pasiskirstę eksponentiniai atsitiktiniai dydžiai suparametru λ, o ν yra nepriklausomas atsitiktinis dydis su P (ν = n) = p(1− p)n−1, n ≥ 1. Raskite sumosSν = τ1 + · · · τν skirstinį.

5.10 pratimas. Tegu N yra Puasono procesas su parametru λ, L yra paskutinio atvykimo intervale [0, t]laikas (L = 0, jei atvykimų nebuvo). Raskite vidurkį E(t− L) ir išnagrinėkite jo elgesį, kai t→∞.

106

6 skyrius

Brauno judesio procesas

6.1 Apibrėžimas ir paprasčiausios savybėsMatematinis Brauno judesio arba Vynerio proceso apibrėžimas yra toks.

6.1 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas W = (Wt, t ≥ 0) vadinamas (standartiniu) Brauno judesiu arba(standartiniu) Vynerio procesu, jeigu:

1) W0 = 0

2) proceso prieaugiai yra nepriklausomi: su visais 0 ≤ t1 < · · · < tn atsitiktiniai dydžiai Wtn −Wtn−1 , . . . ,Wt2 −Wt1 yra nepriklausomi;

3) jei 0 ≤ s < t, tai atsitiktinis dydis Wt −Ws turi normalųjį skirstinį N (0, t− s);

4) proceso (Wt, t ≥ 0) trajektorijos yra tolydžios.

6.1 teiginys. Brauno judesio procesas yra Gausinis.

Įrodymas. Reikia įsitikinti, kad visi proceso baigtiniamačiai skirstiniai yra Gauso. Imkime 0 < t1 < t2 <· · · < td ir nagrinėkime vektoriusX = (Wt1 ,Wt2 , . . . ,Wtd)τ , ir Y = (Wt1 ,Wt2−Wt1 , . . . ,Wtd−Wtd−1

)τ .Čia τ žymi vektoriaus transponavimą, kitaip tariant X ir Y yra atitinkami vektoriai stulpeliai. RemiantisVynerio proceso nepriklausomų prieaugių savybe, gauname, kad vektorius Y turi Gauso skirstinį. KadangiX = AY , su matrica

A =

1 0 . . . 01 1 . . . 0...

.... . .

...1 1 . . . 1

tai ir X yra Gauso atsitiktinis vektorius.

6.2 teiginys. Brauno judesio vidurkis yra nulis:

mB(t) = EBt = 0, t ≥ 0, t ≥ 0,

o kovariacijaΓB(s, t) = EBsBt = mins, t, s, t ≥ 0

107

Įrodymas. Tikrai, kadangiWt = Wt−W0 ∼ N(0, t2), taiEWt = 0 su visais t ≥ 0.Norėdami suskaičiuotikovariaciją, tarkime, t > s > 0. Tuomet

EWtWs = E(Wt−Ws+Ws)Ws = E(Wt−Ws)(Ws−W0)+EW 2s = E(Wt−Ws)E(Ws−W0)+EW 2

s = s.

Čia pasinaudojome (2) ir (3) Vynerio proceso apibrėžimo aksiomomis.

Yra teisingas ir atvirkčias sąryšis tarp Gauso proceso kovariacijos ir Vynerio proceso: jei atsitiktinisGauso procesas X = (Xt, t ≥ 0 turi nulinį vidurkį ir kovariacinę funkciją Γ(s, t) = mins, t, s, t ≥ 0, taijis tenkina (1) − (3) Vynerio proceso 6.1 apibrėžimo aksiomas (žr. 6.1 pratimą). Čia tik pastebėsime, kadkovariacinė funkcija Γ(s, t) = mins, t yra neneigiamai apibrėžta, nes

n∑i,j=1

aiaj minti, tj =n∑

i,j=1

∫ ∞0

1[0,ti](u)1[0,tj ](u)du

=

∫ ∞0

[ n∑i=1

ai1[0,ti](u)]2du ≥ 0.

Taigi remiantis Kolmogorovo teorema egzistuoja Gauso procesas, kurio kovariacija yra Γ(t, s) = mint, s, s, t ≥0. Be to, kadangi Xt −Xs turi normalųjį skirstinį, tai

E[(Xt −Xs)2k] =

(2k)!

2kk!(t− s)k.

Pėmę, pavyzdžiui. k = 2, procesui X galime pritaikyti Kolmogorovo teorem1 apie tolydumą. Taigi egzis-tuoja proceso X versija, kurios trajektorijos yra tolydžios beveik tikrai. Ta tolydžioji versija ir yra Vynerioprocesas. Taigi jis egzistuoja. Tačiau, kaip nesunku pastebėti, įrodymas nėra konstruktyvus. KonstruktyviusVynerio proceso aprašymus nagrinėsime vėliau.

6.2 Atsitiktiniai procesai susiję su Brauno judesiuTegu W = (Wt, t ≥ 1) yra standartinis Vynerio procesas.

6.2 apibrėžimas. (Brauno tiltas) Brauno tiltu vadinamas atsitiktinis procesas B = (Bt, t ∈ [0, 1] :

Bt = Wt − tW1,

kai t ∈ [0, 1].

Brauno tiltas yra Gauso procesas, kurio vidurkis yra nulis, o kovariacinė funkcija

ΓB(t, s) = E(BtBs) = mins, t − st,

s, t ∈ [0, 1]. Be to, iš Brauno tilto apibrėžimo matome, kad

B0 = B1 = 0.

6.3 apibrėžimas. (Brauno tiltas su dreifu) Atsitiktinis procesas

Xt = σWt + µt, t ≥ 0

vadinamas Vynerio procesu su dreifu. Čia σ > 0, t ∈ R yra konstantos.

108

Atsitiktinis procesas (Xt, t ≥ 0) yra Gauso su vidurkiu

µX(t) = E(Xt) = µt

ir kovariacine funkcijaΓX(s, t) = σ2 mins, t,

s, t ≥ 0.

6.4 apibrėžimas. (Geometrinis Brauno judesys) Apibrėžiamas taip:

Xt = expσWt + µt, t ≥ 0.

Čia σ > 0 it µ ∈ R yra konstantos.

Šį procesasą Black, Scholes ir Merton pasiūlė akscijų kainų modeliavimui. Procesas nėra Gauso.

6.5 apibrėžimas. (Ornstein–Uhlenbeck procesas) Apibrėžkime

Xt = e−tWe2t , t ≥ 0.

Procesas X = (Xt, t ≥ 0) vadinamas Orstein-Uhlenbeck’o procesu.

Tai yra Gauso procesas, kurio vidurkis yra nulis, o kovariacinė funkcija yra

EXtXs = e−|t−s|, t, s ≥ 0.

Taigi didėjant atstumui tarp laiko momentų t ir s, koreliacija tarp proceso elgesio tais laiko momentaismažėja eksponentiškai.

Apibrėžkime Vynerio procesą atitinkančią filtraciją. Nagrinėkiome procesąW = (Wt, t ≥ 0), apibrėžtątikimybinėje erdvėje (Ω,F , P ). Kiekvienam laiko momentui t, tegu Ft yra σ algebra generuota atsitiktiniųdydžių σWs, s ≤ t ir F aibių, kurių tikimybės yra nulinės. Kitaip tariant, Ft yra mažiausia σ algebra,kuriai priklauso aibės pavidalo

Ws ∈ A ∪N ;

čia 0 ≤ s ≤ t, A ⊂ R yra Borelio aibė, N ∈ F tokia aibė, kad P (N) = 0. Galime pastebėti, kad Fu ⊂ cft,jei u ≤ t. Kitaip tariant, šeima Ft, t ≥ 0 yra tikimybinės erdvės (Ω, ,P) filtracija.

6.3 teiginys. σ algebrų šeima Ft, t ≥ 0 yra tolydi iš dešinės, t.y., su visais t ≥ 0,⋂s>t

Fs = Ft.

6.4 teiginys. Procesai

(1) (Wt, t ≥ 0);

(2) (W 2t − t, t ≥ 0);

(3) (expaWt − a2t/2, t ≥ 0) su bet kuriuo a 6= 0,

yra martingalai filtracijos Ft, t ≥ 0 atžvilgiu.

109

Įrodymas. Brauno judesio procesas yra martingalas, nes E(Ws|Fs) = Ws, o

E(Wt −Ws|Fs) = E(Wt −Ws) = 0.

Imdami s < t bei taikydami sąlyginio vidurkio savybes suskaičiuojame

E(W 2t |Fs) = E((Wt −Ws +Ws)

2|Fs)= E((Wt −Ws)

2|Fs) + 2E((Wt −Ws)Ws)|Fs) + E(W 2s |Fs)

= E(Wt −Ws)2 + 2WsE((Wt −Ws)|Fs) +W 2

s

= t− s+W 2s .

Panašiai įsitikiname, kad ir trečiasis procesas yra martingalas:

E(expaWt − a2t/2|Fs) = eaWsE(expa(Wt −Ws)− a2t/2|Fs)= eaWsE expa(Wt −Ws)− a2t/2= expaWs expa2(t− s)/2− a2t/2 = expaWs − a2s/2.

Teiginį įrodėme.

110

6.3 Vynerio proceso modeliavimas

Invariantiškumo principasTarkime, X1, X2, . . . , Xn yra nepriklausomi vienodai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai, EX1 = 0. Apibrėž-kime S0 = 0 ir

Sk = X1 +X2 + · · ·+Xk, k = 1, . . . , n.

Nagrinėkime atsitiktinį procesą

ξn(t) = n−1/2(S[nt] + (nt− [nt])X[nt]+1

), t ∈ [0, 1].

Akivaizdu, kad to proceso visos trajektorijos yra tolydžios. Vienu svarbiausių atsitiktinių procesų teori-jos rezultatų yra taip vadinamas Donskerio invariantiškumo principas.

6.1 teorema. (Donsker-Prohorov) Tarkime, X1, X2, . . . , Xn, . . . yra nepriklausomi vienodai pasiskirstęatsitiktiniai dydžiai su vidurkiu EX1 = 0 ir dispersija EX2

1 = 1. Iš jų sukonstruotas sukonstruotas laužčiųprocesas (Wn(t), t ∈ [0, 1]) konverguoja pagal skirstinį erdvėje C[0, 1] prie standartinio Vynerio proceso(Wt, t ∈ [0, 1]).

Nenorėdami gilintis į konvergavimo pagal skirstinį erdvėje C[0, 1] apibrėžimą (tai išeina už šio kursoribų), pateiksime kelias išvadas iš invariantiškumo principo.

Tarkime, kad laužčių procesas Wn = (Wn(t), t ∈ [0, 1]) yra sukonstruotas iš nepriklausomų vienodaipasiskirsčiusių atsitiktinių dydžių X1, X2, . . . , Xn, . . . su vidurkiu EX1 = 0 ir dispersija EX2

1 = 1.

6.1 išvada. Atsitiktinio proceso Wn baigtiniamačiai skirstiniai konverguoja prie atitinkamų Vynerio pro-ceso baigtiniamačių skirstinių:

limn]to∞

P (Wn(t1) ≤ x1, . . . ,Wn(td) ≤ xd) = P (Wt1 ≤ x1, . . . ,Wtd ≤ xd)

su visais x1, . . . , xd ∈ R ir d ≥ 1.

Atvaizdis T : C[0, 1]→ R yra tolydus taške f0, jei

limn→∞

T (fn) = T (f0)

su bet kuria tokia seka (fn) ⊂ C[0, 1], kad

limn→∞

supt∈[0,1]

|fn(t)− f0(t)| = 0.

Atvaizdis T yra tolydus, jei jis tolydus kiekviename ta6ke f0 ∈ C[0, 1].

6.2 išvada. Bet kuriam tolydžiam atvaizdžiui T : C[0, 1]→ R,

T (Wn)D−→ T (W ).

Panagrinėkime keletą pavyzdžių.

6.1 pavyzdys. Imkime funkcijas Ti : C[0, 1]→ R, i = 1, 2,

T1(f) = supt∈[0,1]

|f(t)|, T2(f) = supt∈[0,1]

f(t).

111

Galima įsitikinti, kad abi funkcijos T1 ir T2 yra tolydžios. Pavyzdžiui,

|Ti(f)− Ti(g)| ≤ sup0≤t≤1

|f(t)− g(t)|,

bet kurioms funkcijoms f, g ∈ C[0, 1].Be to, T1(Wn) = n−1/2 max1≤k≤n |Sk|, o T2(Wn) = n−1/2 max1≤k≤n Sk. Taigi, iš invariantiškumo

principo gauname, kadn−1/2 max

1≤k≤n|Sk|

D−→ sup1≤t≤1

|Wt|,

on−1/2 max

1≤k≤nSk

D−→ sup1≤t≤1

Wt.

Abiejų ribinių atsitiktinių dydžių pasiskirstymo fumkcijos yra tolydžios ir yra žinomos jų analitinėsišraiškos. Taigi teisinga ši išvada:

6.3 išvada. (a) Su kiekvienu x ≥ 0,

limn→∞

P (n−1/2 max1≤k≤n

|Sk| ≤ x) = P ( sup1≤t≤1

|Wt| ≤ x) =4

π

∞∑k=0

(−1)k

2k + 1exp−(2k + 1)2π2/(8x2).

(b) Su kiekvienu x,limn→∞

P (n−1/2 max1≤k≤n

Sk ≤ x) = 1− 2Φ(x).

Pastarasis ribinis skirstinys gaunamas remiantis tuom, kad Brauno judesio maksimumas iki laiko momentoT turi tą patį skirstinį, kaip modulio reikšmė taške T :

P ( max0≤t≤T

Wt ≥ a) = 2P (WT ≥ a), a ≥ 0.

Lévy, Kampé de Fériet skleidinysTegu Dj žymi j’ojo lygmens intervalo [0, 1] diadinius skaičius t.y.,

D0 = 0, 1, Dj =

(2l − 1)2−j ; 1 ≤ l ≤ 2j−1, j ≥ 1.

Skaiti visų diadinių intervalo [0, 1] skaičių aibė yra

D =

∞⋃j=0

Dj .

Diadinius skaičius galime perindeksuoti natūraliaisiais, naudodamiesi tuom, kad kiekvieną natūralųjį skaičiųn ≥ 2 galime užrašyti n = k + 2j ; čia k = 1, . . . , 2j , j ≥ 0. Taigi eilutę

∑r∈D f(r) reikia suprasti kaip∑∞

n=0 f(rn). Skaičiams r ∈ Dj , j ≥ 0, apibrėžkime

r− := r − 2−j , r+ := r + 2−j .

Skaičių r ∈ Dj , j ≥ 1 atitinkanti Faber-Schauder kepuraitė yra funkcija

Λr(t) =

(t− r−)/(r − r−) = 2j(t− r−) if t ∈ (r−, r];(r+ − t)/(r+ − r) = 2j(r+ − t) if t ∈ (r, r+];0 else.

Atskiru atveju, kai j = 0,Λ0(t) = 1− t, Λ1(t) = t, t ∈ [0, 1].

112

6

-

Λr(t)

1

10 tr− r r+-

2−j

CCCCCCCCCC

11 pav. Faberio–Šauderio funkcijos Λr

Vynerio proceso konstrukcija remiasi tuom, kad kiekvieną tolydžią funkciją f : [0, 1] → R galimeišreikšti eilute

f(t) =∑r∈D

λr(f)Λr(t) =∞∑j=0

∑r∈Dj

λr(f)Λr(t), t ∈ [0, 1],

kuri konverguoja tolygiai intervale [0, 1]. Schauder’io koeficientai λr(f) yra apibrėžti šia formule:

(6.1) λr(f) :=

f(r)− 1

2(f(r+) + f(r−)), if r ∈ Dj , j ≥ 1,f(r) if r ∈ D0.

Standartinio Brauno judesio proceso sklaidimas eilute atžvilgiu Feber-Schauder kepuraičių buvo įrody-tas Lévy ir Kampé de Fériet.

6.2 teorema. Tarkime, Xr; r ∈ D \ 0 yra nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių standartinių norma-liųjų atsitiktinių dydžių seka. Tuomet funkcinė eilutė

(6.2) Wt := X1Λ1(t) +

∞∑j=1

∑r∈Dj

2−(j+1)/2XrΛr(t), t ∈ [0, 1]

konverguoja tolygiai beveik tikrai. W yra Brauno judesio procesas. (6.2) formulėje pašalinę pirmąjį narįX1Λ1, gauname Brauno tilto procesą B.

Paley-Wiener skleidinysBrauno judesį galime modeliuoti taikydami taip vadinamą Paley-Wiener skaidinį:

Wt = γ0t√2π

+2√π

∞∑n=1

sin(nt/2)

nγk,

t ∈ [0, 2π]. Čia γ0, γ1, . . . yra nepriklausomi standartiniai normaliniai atsitiktiniai dydžiai. Naudojant šįdėstinį, reikia pasirinkti svaikuosius skaičius M ir N ir modeliuoti

γ0tj√2π

+2√π

M∑k=1

sin(ntj/2)

nγk,

tj = (2πj)/N, j = 0, 1, . . . , N.

113

6.4 Trajektorijų savybės

SavipanašumasAtsitiktinio proceso trajektorijų savipanašumą aprašo šis teiginys.

6.5 teiginys. Jei atsitiktinis procesas (Wt, t ≥ 0) yra standartinis Vynerio procesas ir skaičius a > 0 taiatsitiktinis procesas Xt, t ≥ 0) apibrėžtas formule

Xt = a−1Wa2t, t ≥ 0,

taip pat yra standartinis Vynerio procesas.

Įrodymas. Trajektorių tolydumas, proceso prieaugių stacionarumas ir nepriklausomumas nesikeičia pa-keitus skalę bei mastelį. Lieka pastebėti, kad su bet kuriais t > s ≥ 0, atsitiktinis dydis Xt − Xs =a−1(Wa2t −Wa2s) yra normalinis su nuliniu vidurkiu ir dispersija a−2(a2t− a2s) = t− s.

6.6 teiginys. Apibrėžkime procesą

Xt =

tW1/t, kai t > 0

0, kai t = 0.

Tuomet (Xt, t ≥ 0) taip pat yra standartinis Vynerio procesas.

Įrodymas. Galime įsitikinti, kad (Xt, t ≥ 0) yra Gauso procesas. Be to, jo vidurkis yra nulis, o kovariacija

EXtXs = stEW1/tW1/s = stmin1/t, 1/s = min s, t, s, t > 0.

Lieka įsitikinti, kad procesas (Xt, t ≥ 0) yra tolydus. kadangi tolydumas bet kokiame taške t > 0 nekeliaabejonių, lieka patikrinti tolydumą nulyje, t.y.,

limt↓0

Xt = 0 b.t.

Tam reikia pastebėti, kad

limt↓0

Xt = lims→∞

1

sBs = lim

n→∞

1

nBn,

o pastaroji riba yra nulis beveik tikrai, reimiantis didžiųjų skaičių dėsniu ir Brauno judesio prieaugių nepri-klausomumu arba 6.5 teorema.

Trajektorijų HiolderiškumasTegu W = (Wt, t ≥ 0) yra standartinis Vynerio procesas.

6.3 teorema. tegu 0 < α < 1/2. Egzistouja toks atsitiktinis dydis M > 0, kad beveik tikrai su visais0 ≤ s < t ≤ 1

(6.3) |Wt −Ws| ≤M |t− s|α.

114

Trajektorijos, kurioms teisinga (6.3) savybė, vadinamos Hiolderio su rodikliu α. Taigi, su kiekvienu0 ≤ α < 1/2 Vynerio proceso trajektorijos yra beveik tikrai Hiolderio su rodikliu α.

Įrodymas. Įrodymui pasinaudosime Vynerio proceso Lévy, Kampé de Fériet skleidiniu. Fiksuokime s, t ∈[0, 1]. Iš Lévy, Kampé de Fériet skleidinio gauname

Wt −Ws = Y1(t− s) +∑j≥1

2−(j+1)/2∑r∈Dj

Yr(Λr(t)− Λr(s)).

Toliau pastebėkime, kad fiksuotiems s ir t sumoje∑

r∈DjYr(Λr(t)− Λr(s)) yra ne daugiau kaip du nenu-

liniai nariai. Be to,|Λjk(t)− Λjk(s)| ≤ min1; 2j+1|t− s|.

Taigi|Wt −Ws| ≤ |Y1||s− t|+ 2

∑j≥1

2−(j+1)/2 maxr∈Dj

|Yr|min1, 2j+1|t− s|.

Išskaidę sumą į dvi: pagal j : 2j+1|t − s| ≤ 1 ir j : 2j+1|t − s| > 1 pirmoje sumoje esančius nariusįvertiname dydžiu

2−(j+1)/2 maxr∈Dj

|Yr|2j+1|t− s| ≤ 2−(j+1)(1/2−α) maxr∈Dj

|Yr||t− s|α

o antroje sumoje dydžiu

2−(j+1)/2 maxr∈Dj

|Yr| ≤ 2−(j+1)(1/2−α) maxr∈Dj

|Yr||t− s|α

Taigi|Wt −Ws| ≤ 2

∑j≥1

2−(j+1)(1/2−α) maxr∈Dj

|Yr||t− s|α

ir

sups 6=t

|Wt −Ws||t− s|α

≤ 2∑j≥1

2−(j+1)(1/2−α) maxr∈Dj

|Yr|.

Lieka įsitikinti, kadM := 2

∑j≥1

2−(j+1)(1/2−α maxr∈Dj

|Yr| <∞ b.t.

Tam pakanka pasinaudoti tokia paprasta nelygybe.

6.1 lema. Jei η1, . . . , ηm, . . . yra nepriklausomi standartiniai Gauso a.d. Tuomet egzistuoja tokia absoliu-tinė konstanta c > 0, kad su kiekvienu m ≥ 1,

E max1≤k≤m

|ηk| ≤ c√

logm.

Pritaikę šią lemą, gauname∑j≥1

2−(j+1)(1/2−α)E maxr∈Dj

|Yr| ≤ c∑j≥1

2−(j+1)(1/2−α)√j <∞.

Lieka pasnaudorti Kolmogorovo trijų eilučių teorema.

Šiek tiek tiksliau Vynerio proceso elgesį aprašo Levy teorema.

6.4 teorema. (Levy, 1937) beveik tikrai

lim suph↓0

sup0≤t≤1−h

|Wt+h −Wt|√2h log(1/h)

= 1.

115

Elgesys begalybėje ir nulyjeVynerio proceso elgesį begalybėje ir nulyje tiksliai aprašo vadinamas kartotinio logaritmo dėsnis.

6.5 teorema. tarkime, W = (Wt, t ≥ 0) yra standartinis Vynerio procesas. Tuomet

P (lim supt→∞

Wt√2t log log t

= 1) = 1,

irP (lim inf

t→∞

Wt√2t log log t

= −1) = 1.

Nulyje:

P (lim suph↓0

|Wh|√2h log log(1/h)

= 1) = 1.

Kokį bepaimtume T > 0, intervale (0, T ) Vynerio procesas turi be galo daug nulių. Tačiau jo nulių aibėyra beveik tikrai uždara, neskaiti ir jos Lebego matas yra nulis, nėra izoliuotų taškų.

Jei f : [0, 1]→ R tenkina f(t) > 0 yra didėjanti, o f(t)/√t yra mažėjanti kurioje nors nulio aplinkoje,

tuometP (|W (t) < r(t)∀t ∈ [0, t0] ka=kuriam t0) = 1

tada ir tik tada, kai ∫ 1

0t−3/2r(t)e−r

2(t)/2t dt <∞.

Trajektorijų nediferencijuojamumasPagal apibrėžimą, Vynerio proceso trajektorijos yra tolydžios. tačiau apskritai jos yra nereguliarios. Kokiaprasme netrukus paaiškės.

6.7 teiginys. Beveik tikrai su bet kuriais 0 < a < b < ∞, Brauno judesio procesas nėra monotoninisintervale [a, b].

Įrodymas. Pirmiausia fiksuokime teigiamo ilgio intervalą [a, b]. Jei jis yra Brauno judesio monotoniškumointervalas, tuomet Ws ≤ Wt su visais a ≤ s ≤ t ≤ b. Paimkime bet kurį intervalo [a, b] suskaidymą:a = 11 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an+1 = b į n intervaliukų [ai, ai+1]. Kiekviename tokiame intervale Wti −Wti+1

turi tą patį ženklą. Kadangi proceso prieaugiai yra nepriklausomi, tai

P (Wti −Wti+1 ≥ 0, i = 1, . . . , n ∪ Wti −Wti+1 ≤ 0, i = 1, . . . , n)≤ P (Wti −Wti+1 ≥ 0, i = 1, . . . , n) + P (Wti −Wti+1 ≤ 0, i = 1, . . . , n)

=n∏i=1

P (Wti −Wti+1 ≥ 0) +n∏i=1

P (Wti −Wti+1 ≤ 0)

= 22−n → 0,

kai n → ∞. Taigi P (W yra monotoninis intervale [a, b]) = 0. Imdami skaičias sąjungas įsitikiname,kad beveik tikrai nėra neišsigimusio Vynerio proceso monotoniškumo intervalo su racionaliais galais. Tačiaubet kuris monotoniškumo intervalas savyje turėtų intervalą su racionaliais galais.

Priminsime, kad dešinioji ir kairioji funkcijos f išvestinės taške t yra atitinkamai

D∗f(t) = limh↓0

f(t+ h)− f(t)

h,

116

ir

D∗f(t) = limh↑↑0

f(t+ h)− f(t)

h.

6.8 teiginys. Tegu t ≥ 0 yra fiksuotas. Tuomet Vynerio procesas beveik tikrai nediferencijuojamas taške t.Be to,

D∗Wt = +∞, o D∗Wt = −∞.

Įrodymas. Imdami standartinį Vynerio procesą (Wt, t ≥ 0) sukonstruokime proces1 (Xt, t ≥ 0) kaip 6.6teiginyje. Šiam procesui

D∗X0 ≥ lim supn→∞

X1/n −X0

1/n= lim sup

n→∞nX1/n =∞

remiantis kartotinio logaritmo dėsniu. Analogiškai išvedame, kad D∗X0 = −∞. Tai įrodo, kad procesasnėra diferencijuojamas nulyje. Su bet kuriuo s > 0 procesas (Wt+s − Ws, t ≥ 0) yra Vynerio, o jodiferencijuojamumas nulyje ekvivalentus digerencijuojamumui taške s.

6.6 teorema. (Paley, Wiener ir Zygmund, 1933) beveik tikrai Vynerio procesas yra nediferencijuojamas jo-kiame taške. Be to, su visais t

D∗Wt = +∞, o D∗Wt = −∞.

Trajektorijų šiurkštumasŠiurkščiomis įprasta vadinti funkcijas, kurių variacija yra begalinė. Priminsime, kad tolydi iš dešinės funk-cija f : [0, t]→ R vadinama baigtinės variacijos, jei

V(1)f (t) = sup

m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1| <∞

kai tikslusis viršutinis rėžis skaičiuojamas pagal visus m ≥ 1 ir visus galimus intervalo [0, t] skaidinius0 = t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tm = t.

Funkcija turi baigtinę variaciją tada ir tik tada, kai ją galima užrašyti dviejų didėjančių funkcijų skirtumu.

6.7 teorema. Tarkime, su kiekvienu n ≥ 1 turime smulkėjančius skaidinius

0 = t(n)0 ≤ t(n)

1 ≤ · · · ≤ t(n)k(n) = t

ta prasme, kad kiekviename žingsnyje pridedami nauji padalijimo taškai. Tegu

∆n = sup1≤j≤k(n)

(t(n)j − t

(n)j−1)→ 0,

kai n→∞. Tuomet beveik tikrai

limn→∞

k(n)∑j=1

(Wt(n)j

−Wt(n)j−1

)2 = t.

6.4 išvada. Brauno judesio proceso trajektorijos su tikimybe vienas turi begalinę pilnąją variaciją.

117

Tikrai, jei V (1)W (t) būtų baigtinis dydis, tai

n∑k=1

(∆Wk)2 ≤ sup

k|∆Wt|

n∑k=1

|∆Wk| ≤ V maxk|∆Wk| → 0,

kai |π| → 0, nes Brauno judesio trajektorijos yra tolydžios. Bet tas prieštarautų ką tik įrodytam faktui, kad∑nk=1(∆Wk)

2 konverguoja kvadratinio vidurkio prasme prie intervalo ilgio t, tai π| → 0.

Arksinuso dėsniaiSakoma, kad atsitiktinis dydis X intervale (0, 1) turi arksinuso skirstinį, jei jo tankio funkcija yra

f(x) =1

π√x(1− x)

, kai x ∈ (0, 1).

Jo pasiskirstymo funkcija yra

P (X ≤ x) =2

πarcsin(

√x), kai x ∈ (0, 1).

Nagrinėkime standartinį Vynerio procesą W = (Wt, t ∈ [0, 1]).

6.8 teorema. (Pirmasis arcsinuso dėsnis) (a) Tegu T = argmax0≤t≤1W (t). Atsitiktinis dydis T yrabeveik tikrai vienintelis ir turi arksinuso skirstinį.

(b) Jei L = supt ∈ [0, 1] : W (t) = 0, tai a.d. L turi arksinuso skirstinį.

Kaip išvadą iš invariantiškumo principo ir Brauno judesio proceso arksinuso dėsnio gauname šį teiginį.

6.9 teiginys. tarkime, (Xk, k ≥ 1) yra seka nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių a.d., EX1 = 0, 0 <EX2

1 = 1. Tegu Sn, n ≥ 1) yra atitinkama dalinių sumų seka. Tuomet a.d.

Nn = max1 ≤ k ≤ n : SkSk−1 ≤ 0,

kuris reiškia paskutinį momentą iki n’ojo, kai atsitiktinis klaidžiojimas keičia ženklą, tenkina

limn→∞

P (Nn ≤ xn) =2

πarcsin(

√x),

su visaais x ∈ (0, 1).

6.5 Stochastinis integralas

6.6 Pratimai6.1 pratimas. Įrodykite, kad Gauso procesas X = (Xt, t ≥ 0, kuris turi nulinį vidurkį ir kovariacinęfunkciją Γ(s, t) = mins, t, s, t ≥ 0, turi jis prasideda nulyje, turi nepriklausomus prieaugius irXt−Xs ∼N(0, t− s) su visais t > s > 0.

6.2 pratimas. Įrodykite, kad Gauso procesas X = (Xt, t ∈ [0, 1]), kuris turi nulinį vidurkį ir kovariacinęfunkciją Γ(s, t) = mins, t, s, t ∈ [0, 1], turi tolydžią versiją.

118

6.3 pratimas. Vynerio procesui W , kuris prasideda nulyje W (0) = 0 įrodykite, kad

P (Ws > 0,Wt > 0) =1

4+

1

2πarcsin−1

√s/t,

kai s < t. Raskite P (Ws > 0,Wt > 0,Wu > 0), kai s < t < u.

6.4 pratimas. Tegu W yra standartinis Vynerio procesas, a > 0. Įrodykite, kad šie procesai taip pat yrastandartiniai Vynerio procesai:

(a) Vt = aWt/a2 ,

(b) Wt+a −Wt,

(c) Vt = wW1/t, kai t 6= 0, V0 = 0,

(d) W1 −W1−t, t ∈ [0, 1].

6.5 pratimas. Kokios turi būti parametrų λ1, λ2 reikšmės, kad procesas λ1W(1) +λ2W

(2) būtų standartinisVynerio procesas, kai W (1) ir W (2) yra nepriklausomi standartiniai Vynerio procesai.

6.6 pratimas. Tegu W yra standartinis Vynerio procesas. Raskite šių procesų vidurkius ir kovariacinesfunkcijas:

(a) t = |Wt|,

(b) Yt = eWt ,

(c) Zt =∫ t

0 Wsds.

119

Literatūra

[1] Marc A. Berger (1992). An Introduction to Probability and Stochastic Processes, Springer-Verlag, NewYork.

[2] R. M. Dudley (1998) Real Analysis and Probability. Wadsworth& Brooks/Cole.

[3] Rick Durrett (1997). Essentials of Stochastic Processes, Springer, New York.

[4] V. Kabaila Matematinė analizė. I, II d. Vilnius: Mokslas, 1983, 408 p.; 1986, 482 p.

[5] V. Mackevičius (1998). Integralas ir Matas, Vilnius: TEV.

[6] K.R. Parthasarathy, Introduction to Probability and measures, Academic Press, New York and London,1980.

[7] Sidney Resnick (1992). Adventures in Stochastic Processes, Birkhäuser, Boston-Basel-Berlin

[8] Hsu Hwei P. (1997) Probability, Random Variables and Random Processes, Schaum’s Outlines Series,McGraw-Hill, New-York.ne

121