INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMATICASECUACIONES DIFERENCIALES I TERMINO 2012-2013

DEBER No. 12

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN DOS

***Circuitos Mecánicos o Vibratorios***

1) Una masa de 1 Kilogramo sujeta a un resorte, se suelta a partir del reposo 1 m debajo de la posición de equilibrio del sistema masa-resorte, y empieza a vibrar. Después y 2 segundos, la masa es golpeada por un martillo que ejerce un impulso de 3 N y 5 N respectivamente sobre la masa. La constante del resorte es k = 9 N/m. Determinar a) la expresión matemática que define la forma en que vibra la masa para t>0 b) La posición de la masa a los 2, 5 y 10 segundos.

2).- Una masa de 100 g esta sujeta a un resorte de acero de longitud natural igual a 50cm.El resorte se alarga cuando se le agrega esta masa .Si la masa se pone en movimiento con una velocidad de 10 cm/s, determine el movimiento subsiguiente; desprecie la resistencia del aire.

3) Se encontró experimentalmente que un peso de 6 libras estira un resorte 6 pulgadas. Si desde la posición de equilibrio y con velocidad inicial cero , desde el tiempo t = 0 el resorte es perturbado por una fuerza externa dada por 3 cos 8t libras y que además en el tiempo t = 6 seg. la masa es golpeada instantánea y verticalmente hacia abajo por una fuerza de 18 libras; ¿ Cuál será

a) la posición de la masa respecto a la posición de equilibrio para todo t >0.?

b) la posición de la masa en t=

π2 seg y en t = 8 seg ?

4).-Un peso de 98N estira un resorte 9.8 cm. El peso esta conectado a un mecanismo amortiguador que tiene una constante de amortiguamiento de 40 Ns/m. Determine el movimiento subsiguiente si el peso se suelta desde su posición de equilibrio con una velocidad de 8cm/s en dirección hacia abajo.

5).- Un peso de 90 N esta fijo a un resorte de acero de 40cm de longitud. El peso hace que se extienda el resorte una distancia de 9,8cm. Si el peso esta conectado también a un amortiguador de aceite que tiene una constante de amortiguamiento c, determine los valores de c para los que el movimiento será sobre-amortiguado, críticamente amortiguado y sub-amortiguado. (Asegúrese de dar las unidades correctas para c) .

6).-Un circuito vibratorio compuesto de un resorte de constante K = 4 N/m, un amortiguador c = 6 Ns/m, tiene adherido una bola metálica de 20 N de peso. Determine la forma en que vibra la masa si inicialmente esta en la posición de equilibrio y sin velocidad inicial, y si desde el tiempo t=0 actúa sobre una fuerza perturbadora periódica definida así:

F ( t )=¿ {100 t . .. .. . .. .. . .. .. t∈(0,2 )¿ ¿¿¿ ; F(t)=F(t+4)

7).- Un sistema masa-resorte, compuesto de una masa de 1 kilogramo y de un resorte de una constante K = 4 N/m. Se encuentran inicialmente en equilibrio (t=0) y permitido luego vibrar libremente con una perturbación externa definida por la función sen t [Newton]. La cual cesa abruptamente el tiempo t =2 .

a) Determine la forma en que vibra la masa en todo el tiempo t.b) Determine la posición de la masa en los tiempos t = 1 y t = 8.

8).- Una masa m=1 Kg. esta sujeta a un resorte cuya constante es de 4 Kg/s2

. Inicialmente la masa esta a 30

cm debajo de la posición de equilibrio. En el instante t=2 π seg. ,la masa es golpeada hacia abajo con un martillo con una fuerza de 8 N. Determine :

a) La función que define la posición de la masa en cada instante t.b) La posición de la masa en el instante t=4 seg. y en el instante t=8 seg.

9).- Una masa de 5Kg se sujeta a un resorte suspendido del techo y ocasiona que el resorte se estire 2 m al llegar al reposo en equilibrio. Se eleva luego la masa 1 m sobre el punto de equilibrio y se le aplica una velocidad dirigida hacia arriba ,de 1/3 m/seg. Determine la ecuación del movimiento armónico simple de la masa. ¿Cuándo alcanzará esta por primera vez su altura máxima después de haberse puesto en movimiento?

***Circuitos Eléctricos L-R-C ***10).-Si un circuito en serie simple no existe resistencia, demuestre que si no hay voltaje aplicado, la carga Q en

el capacito es periódica en el tiempo, con una frecuencia Wo = √1/ LC . La cantidad √1/ LC se conoce como frecuencia natural del circuito.

11).- Demuestre que si no hay resistencia en un circuito RLC en serie y el voltaje aplicado es de la forma Eo

coswt, entonces la carga en el capacitor cuando t →∞ si w=√1/ LC . Este es el fenómeno de resonancia. Demuestre que la carga será siempre finita en un circuito, sin importar la w, que se escoja, siempre que exista alguna resistencia , por pequeña que esta sea, en el circuito.

12).-Un circuito RLC en serie está conectado a una batería de 20 voltios. Consta de un resistor de 100 ohmios, un inductor de 4 henrios y un capacitor de 0.01 faradios. Si la corriente inicial es cero y la carga inicial del capacitor es de 4 coulombs, determine la corriente del circuito para t>0.

13) Un circuito LC con una intensidad de corriente nula al inicio , con un condensador de capacitancia 0.04 faradios y un inductor de una inductancia de 1 henrio, es conectado en el tiempo t=0 una fuente de voltaje que proporciona un voltaje definido por la función :

{25 t 0≤t≤4100 t>4

voltios, ( donde t es dado en segundos )

a) Determine la corriente que atraviesa el circuito ∀ t≥0 b) Halle la intensidad de corriente en el circuito en los tiempos: t=2 seg y t=5seg

14).- Un circuito RLC en serie con una fuerza electromotriz de 40 cos2t voltios ,la cual dura solo 5 segundos y luego cesa, tiene un resistor de 2 ohmios, un inductor de ¼ henrio y un capacitor de 1/13 faradios. Si la corriente inicial es cero y la carga inicial del capacitor es de 3.5 culombios, determine la carga del capacitor para t>0.

15).-Un circuito RLC en serie formado por un capacitor de 10−5Faradios, un resistor de 3 x 102

ohmios, un inductor de 0,2 henrios, suponga que el circuito no tiene carga , ni corriente inicial ,este circuito tiene una fem. modelada de la siguiente manera: en t=0 el voltaje se mantiene constante y su valor es 6 voltios hasta t=2 , cuando se le aplica un voltaje instantáneo de 8 voltios, dejando luego el circuito sin perturbación. Determinar la carga y la intensidad del circuito en función del tiempo, además realizar un gráfico del comportamiento de la función carga y la función intensidad..

16).- Un circuito RLC está formado por un capacitor de 10−5Faradios, un resistor de 4 x 102

ohmios, un inductor de 2 henrios, suponga que el circuito no tiene carga , ni corriente inicial .Este circuito es perturbado por una fem. instantánea de 100 voltios en el tiempo t =12 seg. Determinar q(t) y i(t),pata todo t 0, sabiendo que en el circuito no existe carga inicial.

17)ESPECIAL.-Determine el periodo natural de oscilación del péndulo de longitud L que se muestra en la figura, desprecie la resistencia del aire y el peso del resorte, comparado con el peso de la masa. Suponga que es lo suficientemente pequeño como para que sen . Sugerencia : Escriba la ley de Newton para la componente tangencial del movimiento.

L

m