DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONALREPUBLIK INDONESIA

Mempersembahkan

APLIKASI SINUS, COSINUS DAN LUAS

SEGITIGA

APLIKASI SINUS, COSINUS DAN LUAS

SEGITIGADisusun Oleh :

Padiya,S.Pd.Pengajar Matematika SMAN 1 Rantau Kabupaten Tapin Propinsi Kalimantan Selatan

Untuk Kelas X SMASemester 2

STANDAR KOMPETENSISTANDAR KOMPETENSI

Menggunakan perbanding-an , fungsi, persamaan, dan identitas trigonomteri da-lam pemecahan masalah.

KOMPETENSI DASAR

1. Menngunakan sifat dan aturan tentang fungsi trigonometri, rumus sinus dan rumus kosinus dalam pemecahan masalah.

2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan fungsi trigonometri

INDIKATORMembuktikan rumus sinus dan rumus

kosinusMenggunakan rumus sinus dan rumus

kosinus dalam penyelesaian soal.Menghitung luas segitiga yang kompo-

nennya diketahuiMenghitung luas segibanyak tertentu

dengan menggunakan rumus luas segitiga

TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah mempelajari materi ini diharapkan siswa dapat :

• Membuktikan aturan sinus• Menghitung unsur-unsur segitiga dengan

menggunakan aturan sinus.• Membuktikan aturan kosinus.• Menghitung unsur-unsur segitiga dengan

menggunakan aturan kosinus• Membuktikan rumus luas segitiga.• Menghitung luas suatu segitiga• Menghitung luas segibanyak tertentu

dengan menggunakan rumus luas segitiga

MENU UTAMA

PILIH SALAH SATU (TEKAN TOMBOL)

ATURAN SINUS

ATURAN KOSINUSLUAS SEGITIGASELESAI

ATURAN SINUS

Perhatikan segitiga ABC di samping.

B C

A

Pada segitiga ABC tersebut buatlah garis tinggi AD.

D

Pada segitiga ABC tersebut sisi AB = c, sisi AC = b dan sisi BC = a.

a

bc

BUKTI :

SinC

c

SinB

b

SinA

aPada segitiga ABC berlaku

Perhatikan segitiga ADB dan segitiga ADC siku-siku di D di samping.

B C

APada segitiga ADB tersebut berlaku perbandingan trigo-nometri sebagai berikut :

D

c

a

bAD = AB.sin B

AD= c.sin B (1)

Pada segitiga ADC siku-siku di D AD = AC.sin C

AD = b.sin C (2)

AB

ADSinB

AC

ADSinC

berlaku

Dari (1) AD = c.SinB dan (2) AD = b.SinC diperoleh hubungan sebagai berikut:

c.sin B = b.sin C

)3(SinC

c

SinB

b

Perhatikan segitiga AEC dan segitiga BEC siku-siku di E di samping.

A B

C Pada segitiga AEC berlaku perbandingan trigonometri sebagai berikut :

c

ab

EC = AC.sin A

EC= b.sin A (4)Pada segitiga BEC siku-siku di E berlaku :

EC = BC.sin B

EC = a.sin B (5)

Pada segitiga ABC di atas buatlah garis tinggi CE.

E

AC

ECSinA

BC

ECSinB

Dari (4) EC = b.SinA dan (5) EC = a.SinB diperoleh hubungan sebagai berikut:

b.sin A = a.sin B

)6(SinB

b

SinA

a

Dari rumus (3) dan (6) di atas diperoleh hubungan sebagai berikut :

Rumus terakhir dikenal dengan

ATURAN SINUS

)3(SinC

c

SinB

b )6(

SinA

a

SinB

b

SinC

c

SinB

b

SinA

a

CONTOH SOAL1. Pada segitiga ABC diketahui A = 30o, B = 45o dan sisi a =

6 cm.

Tentukanlah :

a. besar C. b. panjang b.

Jawab :

a. Dalam ABC berlaku A + B + C = 180o, maka C = 180o - A - B = 180o – 30o – 45o = 105o

Jadi besar C = 105o

49,85,0

7071,0.6

30

45.6

4530

6

o

o

oo

Sin

Sinb

Sin

b

SinSinB

b

SinA

ab.

Jadi panjang b = 8,49 cm

ATURAN SINUS

SinC

c

SinB

b

SinA

a

berlakuABCsegitigaPada

APLIKASI ATURAN SINUS

Aturan sinus secara umum dapat diaplikasikan (digunakan) untuk menentukan unsur-unsur pada sebuah segitiga yang belum diketahui,

apabila unsur-unsur yang lainnya telah diketahui. Unsur-unsur yang diketahui dalam

sebuah segitiga dapat terdiri dari 1) sisi, sudut, sudut disingkat ss, sd, sd 2) sudut, sisi, sudut disingkat sd, ss, sd 3) sisi, sisi, sudut disingkat ss, ss, sd

CONTOH :

1. Pak Udin ingin mengukur panjang batas-batas kebunnya yang berbentuk segitiga. Pada titik-titik pojok kebun ditempatkan tonggak A, B dan C. Jika jarak tonggak A dan B = 70 m dan ABC = 40o ; BCA = 60o, tentukan panjang batas kebun Pak Udin lainnya yang belum diketahui !

Penyelesaian:

Keadaan kebun Pak Udin di atas dapat kita gambarkan sebagai berikut :

A B70 m

40o

C

60o

Pada gambar di sampingDiketahui :Panjang AB = c = 70 m ABC = B = 40o

BCA = C = 60o

(sisi, sudut, sudut)Yang belum diketahui : BAC = A = …..?Panjang AC = b = ….?Panjang BC = a = ….?

Pada segitiga ABC berlaku : A + B + C = 180o

A = 180o - B - C = 180o – 40o – 60o

= 80o

*) Menentukan panjang BC = a sebagai berikut :

60,798660,0

9848,0.70

60

80.70

.

o

o

Sin

Sina

SinC

SinAca

SinC

c

SinA

a

Jadi panjang BC = a = 79,60 m

*) Menentukan panjang AC = b sebagai berikut :

96,518660,0

6428,0.70

60

40.70

.

o

o

Sin

Sinb

SinC

SinBcb

SinC

c

SinB

b

Jadi panjang AC = b = 51,96 m

Dengan demikian panjang batas-batas kebun pak Udinyang lain adalah panjang BC = 79,60 m dan panjangAC = 51,96 m

2. Pada pukul 09.00 WIB kapal KAMBUNA berlayar dari Tanjung Priok dengan arah 060o dan kecepatan rata-rata 8 mil/jam. Pada pukul 11.00 WIB kapal itu mengubah haluan menjadi 085o dengan kecepatan tetap. Berapakah jarak kapal KAMBUNA dari Tanjung Priok pada pukul 13.00 WIB dan bagaimana arahnya ?

Penyelesaian :Kejadian tersebut dapat kita gambarkan sebagai berikut :

U

T

S

B

60O

P

85O

U

T

S

B QR

Tanjung Priok pukul 09.00 WIB

pukul 11.00 WIB pukul 13.00 WIB

Pada gambar di atas PQS = UPQ = 60o (sudut berseberangan) TQR = UQT - UQR = 90o - 85o = 5o

PQR = PQS + SQT + TQR = 60o + 90o + 5o = 155o

Panjang PR = ….?

UPR = ….?

Kec = 8 mil/jam

Kec = 8 mil/jam

Karena kecepatan kapal tetap yaitu 8 mil/jam, dan lama perjalanan dari P ke Q sama dengan dari Q ke R yaitu 2 jam , maka : PQ = QR = 2 jam x 8 mil/jam = 16 milDengan demikian segitiga PQR adalah segitiga sama kaki, sehingga QPR = QRP = ½ (180o - PQR) = ½ (180o - 155o) = ½ (25o) = 12,5o

25,322164,0

4226,0.16

5,12

155.16

.

o

o

Sin

SinPR

SinP

SinQQRPR

SinP

QR

SinQ

PR

Jadi jarak kapal KAMBUNA dari pelabuhan Tanjung Priokpada pukul 13.00 WIB adalah 32,25 mil dengan arah 072,5o (yaitu UPR = UPQ + QPR = 60o + 12,5o = 72,5o)

Pada segitiga PQR berlaku :

APAKAH ANDA SUDAH MENGERTI

????

PILIH SALAH SATU (TEKAN TOMBOL)

SUDAH =

BELUM =

ATURAN KOSINUS

Pada setiap segitiga ABC berlaku :

a2 = b2 + c2 – 2.b.c.Cos A

b2 = a2 + c2 – 2.a.c.Cos B

c2 = a2 + b2 – 2.a.b.Cos C

ac

cbaCosC

ac

bcaCosB

bc

acbCosA

2

2

2

222

222

222

A(0,0) B(c,0)c

C(b.cos A, b.sinA)

b a

X

Y C

BA

Perhatikan segitiga ABC di samping.Jika segitiga tersebut kita letakkan pada bidang koor-dinat kartesius dengan titik A berimpit pada titik asal O(0,0) dan sisi AB berimpit dengan sumbu X.

Titik A(0,0) ,

Titik B(c,0)

Titik C(b.cos A, b.sinA)

Maka diperoleh koordinat-koordinat titik sudut segi-tiga itu sebagai berikut.

BUKTI :

O

A(0,0) B(c,0)c

C(b.cos A, b.sinA)

b a

X

Y C

BA

BC2 = (b.cosA – c)2 + (b.sinA-0)2

a2 = b2.cos2A – 2.b.c.cos A + c2 +

b2.sin2A

a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A

Kita cari panjang BC dengan menggunakan rumus jarak :

a2 = b2 ( cos2A + sin2A ) + c2 -

2.b.c.cosA

karena cos2A + sin2A = 1, maka

Obc

acbCosAatau

2

222

Dengan cara yang sama, jika kita letakkan sudut B pada titik asal O(0,0) dan sisi BC berimpit dengan sumbu X, maka akan kita peroleh :

Demikian juga , jika kita letakkan sudut C pada titik asal O(0,0) dan sisi CA berimpit dengan sumbu X, maka akan kita peroleh :

Rumus-rumus di atas dinamakan ATURAN KOSINUS

ac

bcaBatau

CosBaccab

2cos

.2222

222

ab

cbaCatau

CosCabbac

2cos

.2222

222

CONTOH SOAL

Jawab :

a 2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A

a2 = 52 + 62 – 2.5.6.cos 60o

= 25 + 36 – 60. ½

= 61 – 30

= 31

a = 31. Jadi panjang a = 31 cm.

Pada segitiga ABC diketahui A = 60o , b = 5 cm dan c = 6 cm. Tentukan panjang a !.

ATURAN COSINUS

CosCabbac

CosBaccab

CosAbccba

berlakuABCsegitigaPada

.2

.2

.2

222

222

222

APLIKASI ATURAN COSINUS

Aturan cosinus secara umum dapat diaplikasikan (digunakan) untuk

menentukan 1. Panjang sisi pada sebuah segitiga yang belum diketahui, apabila dua sisi lainnya dan besar sudut yang diapit oleh kedua

sisi itu diketahui (ss,sd,ss)2. Besar sudut-sudut sebuah segitiga jika

panjang ketiga buah sisinya telah diketahui (ss,ss,ss)

CONTOH :

1. Sebuah bola bilyard bergerak dengan arah 060o sejauh 40 cm, kemudian memantul dan bergerak dengan arah 280o sejauh 35 cm. Tentukan jarak dan arah posisi akhir bola bilyard dari posisi awal. !

Penyelesaian :Kejadian tersebut dapat kita gambarkan sebagai berikut :

K

U

S

B T60O

L

U

T

S

B280O

M

40 cm

35 cm

Pada gambar disamping KLS = UKL = 60o

KLB = BLS - KLS = 90o – 60o = 30o

BLM = 10o KLM = KLB + BLM = 30o + 10o = 40o

Dengan demikian pada segi-tiga KLM diketahui :Panjang KL = m = 40 cm KLM = L = 40o Panjang LM = k = 35 cm (ss, sd, ss)

Posisi awal bola bilyard

Posisi akhir bola bilyard

Panjang KM = l =….? UKM = ….?

Menentukan panjang KM = l adalah sebagai berikut :

08,262,680

2,680

8,21442825

7660,0.280016001225

40.40.35.24035

.2

2

2

2

222

222

l

l

l

l

Cosl

CosLkmmklo

Jadi jarak posisi akhir bola bilyard dari posisi awal adalah = panjang KM = l = 26,08 cm

Menentukan arah bola bilyard pada posisi akhir dariPosisi awal, sebagai berikut :

UKM = UKT - MKL - LKT

oMKL

CosMKL

MKLCos

MKLCos

KMKL

LMKMKLMKLCos

62,59

5057,04,2086

17,1055

4,2086

122517,6801600

08,26.40.2

3508,2640

..2222

222

Dengan demikian UKM = UKT - LKT - MKL = 90o -30o-59,62o=0,38o

Jadi dengan demikian jarak bola bilyard pada posisi akhir dari posisi awal adalah = panjang KM = 26,08 cm dengan arah 0,38o

APAKAH ANDA SUDAH

MENGERTI ????

PILIH SALAH SATU (TEKAN TOMBOL)

SUDAH =

BELUM =

LUAS SEGITIGA

A B

C

ab

c

Luas segitiga ABC disam-ping adalah :

L = ½ a.b.sin C

atau

L = ½ a.c.sin B

L = ½ b.c.sin Aatau

A B

C

ab

c

Pada segitiga ABC di atas kita buat garis tinggi CD.

D

Luas segitiga ABC di samping adalah :

L = ½ x AB x CD (1)Pada segitiga ADC, siku-siku di D berlaku :

CD = AC.sin A (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh hubungan sebagai berikut :

L = ½ x AB x CD

L = ½ x AB x AC.sin A

L = ½ .c.b.sinA

L = ½ .b.c.sin A

BUKTI :

AC

CDSinA

A B

C

ab

c

Pada segitiga ABC di atas kita buat garis tinggi CD.

D

Luas segitiga ABC di samping adalah :

L = ½ x AB x CD (3)

Pada segitiga BDC, siku-siku di D berlaku :

CD = BC.sin B (4)

Dari (3) dan (4) diperoleh hubungan sebagai berikut :

L = ½ x AB x CD

L = ½ x AB x BC.sin B

L = ½ .c.a.sinB

L = ½ .a.c.sin B

BC

CDSinB

A C

B

ac

b

Pada segitiga ABC di atas kita buat garis tinggi BE.

E

Luas segitiga ABC di samping adalah :

L = ½ x AC x BE (5)

Pada segitiga BEC, siku-siku di E berlaku :

BE = BC.sin C (6)

Dari (5) dan (6) diperoleh hubungan sebagai berikut :

L = ½ x AC x BE

L = ½ x AC x BC.sinC

L = ½ .b.a.sin C

L = ½ .a.b.sin C

BC

BESinC

CONTOH SOAL1. Hitunglah luas segitiga ABC, jika diketahui a = 4 cm, b = 6 cm dan C = 30o Jawab :

L = ½ a.b.sin C = ½ .4.6.sin 30o = 12. ½ = 6

Jadi luas segitiga ABC tersebut adalah 6 cm2

2. Luas segitiga ABC adalah 243 cm2. Panjang sisi a = 8 cm dan panjang sisi c = 12 cm. Tentukan besar B (dua kemungkinan)!.

oBatauBmaka

SinB

SinB

ca

LSinBSinBacL

12060

32

1

32

1

48

324

12.8.21

324

.21

.2

1

0

Jawab :

RUMUS LUAS SEGITIGA

SinAcbLuas

atauSinBcaLuas

atauSinCbaLuas

berlakuABCsegitigaPada

..2

1

..2

1

..2

1

APLIKASI RUMUS LUAS SEGITIGA

Rumus luas segitiga dapat digunakan untuk menghitung luas segiempat,

segilima, segienam dan segi banyak lainnya. Dengan kata lain rumus luas

segitiga dapat digunakan untuk menghitung atau menentukan luas

segi-n dengan n 3

Contoh 1 :

A B

CD

Pada jajargenjang ABCD di atas diketahui :AB = 8 cm, AD = 6 cm, dan BAD = 60o.Hitunglah luas daerah jajargenjang ABCD tersebut.

8 cm

6 cm

60o

Penyelesaian

A B

CD

8 cm

6 cm

60o60o

Pada jajargenjang tersebut kita bagi menjadi dua buah segitiga yaitu , segitiga ABD dan segitiga BDCyang kongruen (sama dan sebangun)

Luas segitiga ABD adalah L = ½ AB. BD. Sin BADL = ½ 8.6.Sin 60o

L = ½ 48. 0,8660L = 20,784 Jadi luas segitiga ABD = 20,874 cm2

Karena segitiga BDC kongruen dengan segitiga ABD, Maka luas BDC = luas ABD = 20, 874 cm2

Dengan demikian luas jajargenjang ABCD adalahsama dengan luas segitiga ABD ditambah luassegitiga BDC = 20,784 cm2 + 20.784 cm2 = 41,564cm2

Contoh 2 :

P Q

R

ST

UO

8 cm 8 cm

Pada gambar di sampingsegienam PQRSTU beradadalam sebuah lingkaran yang berjari-jari 8 cm danberpusat di OHitunglah :a. Luas OPQb. Luas segienam PQRSTU

Penyelesaian :

P Q

R

ST

UO

8 cm 8 cm8 cm 8 cm

O

Karena PQRSTU merupakansegienam beraturan, makaPOQ = 360o/6 = 60o danOP = OQ = 8 cm.

a. Luas POQ = ½xOPxOQx sin POQ = ½ x 8 x 8 x Sin 60o

= 32 x 0,8660 = 27,712 cm2

Pada segienam PQRSTU kitabuat enam buah segitiga,yaitu : POQ, QOR, ROS ,

SOT, TOU, dan UOPyang kongruen

b. Segienam PQRSTU terbentuk dari enam segitiga yang masing-masing kongruen dengan POQ

Jadi luas segienam PQRSTU = 6 x luas POQ = 6 x 27,712 cm2 = 166,272 cm2

APAKAH ANDA SUDAH

MENGERTI ????

PILIH SALAH SATU (TEKAN TOMBOL)

SUDAH =

BELUM =

SEMOGA BERHASIL

ANDA S UDAH SELESAI

MEMPELAJARI

RUMUS-RUMUS SEGITIGA DALAM TRIGONOMETRI

SELAMAT