SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

Fakultet elektrotehnike i računarstva

Zavod za automatiku i procesno računarstvo

Prof.dr.sc. Nedjeljko Perić

A U T O M A T S K O U P R A V L J A N J E

Audi torne v j ežbe

Zagreb , 1998 .

AUTOMATSKO UPRAVLJANJE - auditorne vježbe Zadatak A.2.1.: Matematički model spremnika tekućine Za spremnik tekućine prema slici postaviti matematički model. Matematički model prikazati i pomoću strukturnog blokovskog prikaza.

qi(t)

qu(t)

h(t)

qu(t) – ulazna veličina u proces (dotok), [m3/s] qi(t) – odtok, [m3/s] h(t) – izlazna veličina procesa, [m]. Ovdje je: A – poprečni presjek spremnika a – poprečni presjek izlazne cijevi

Zadatak A.2.3.: Centrifugalno njihalo Na slici je prikazana shema centrifugalnog njihala (J. Watt, regulacija brzine vrtnje parnih strojeva)

r0

l

FcFd

αω

α

r

Fg

m

O

ω - mjerena brzina vrtnje pogonskog vratila α - kut, izlazna veličina mjernog sustava O – zglob

AUTOMATSKO UPRAVLJANJE - auditorne vježbe Za centrifugalno njihalo treba odrediti nelinearnu diferencijalnu jednadžbu:

0)'',',,( =αααωf . Pri tome se zamišlja da je na kraju bezmasene šipke duljine l koncentrirana masa m.

dF – prigušna (kočna) sila 'α⋅= kFd ,

Povratno djelovanje gibanja njihala na pogonsku osovinu zanemaruje se (ω(t) smatra se “utisnutom” veličinom). a) Kako glasi diferencijalna jednadžba za radijalno gibanje α(t) njihala? b) Koji se kut α0 postavlja u stacionarnom stanju za ω = ω0 = konst? Dobivenu nelinearnu ovisnost

α0(ω0) riješiti numerički i grafički prikazati za r0/l = 0.5. c) Linearizirati diferencijalnu jednadžbu za mala odstupanja Δω, Δα od stacionarnog stanja ω0, α0. d) Prikazati prijelaznu funkciju – odziv Δα(t) uz skokovitu promjenu Δω(t). Zadatak A.2.4.: Element od ogrjevne žice Na slici je prikazan element od ogrjevne žice koji se napaja promjenljivim naponom u(t). Električka nadomjesna shema sastoji se od serijski spojenih induktiviteta L i temperaturno ovisnog otpornika R(ϑ).

u

Li

)(ϑRϑ )(ϑR

nadomjesnashema

u

Temperaturna ovisnost otpora dana je relacijom: )1()( ϑαϑ ⋅+⋅= RR , gdje je α temperaturni koeficijent. Pretpostavimo da ogrjevna žica mase m i specifične topline c emitira toplinu u okolinu, koja se sastoji od konvekcije i zračenja: . 4ϑσϑ ⋅+⋅= kPod

a) Kako glase diferencijalne jednadžbe za struju i(t) i za temperaturu ϑ(t) ogrjevne žice? b) Koji odnosi vrijede za veličine u radnoj točki? c) Odrediti linearne diferencijalne jednadžbe za normirana odstupanja od radne točke. d) Eliminacijom Δi dobiti diferencijalnu jednadžbu 2. reda s obzirom na Δϑ. e) Skicirati, bez računanja, tok Δϑ pri skokovitoj promjeni napona.

AUTOMATSKO UPRAVLJANJE - auditorne vježbe

Zadatak A.4.1.: Prijenosna funkcija elektroničkog pojačala

Za pojačala prikazana na slici 4.1.

-

+u

R1

U1 U2

A0

I0

R2/2 R2/2

R3

C2

a)

-

+u

R1

U1

A0

I0

R3 R4

R5

C4

C3

0

α1

Rp

Rp<<R4b) Sl. 4.1.

potrebno je odrediti:

a) Prijenosne funkcije G sU sU s

( )( )( )

= 2

1,

b) Skicirati Nyquistove dijagrame, c) Izračunati i skicirati prijelaznu funkciju. Pretpostavlja se da je operacijsko pojačalo idealno (U0 ≈ 0, I0 ≈ 0, A0 → ∞).

Zadatak A.4.2.: Sklop analognog računala Slika 4.2. prikazuje sklop analognog računala koji se sastoji od triju idealnih operacijskih pojačala i pridružene im pasivne mreže.

-

+

R

U1U2

R

C

-

+-

+U3 U4

R

R

2R

S

R C1

Sl. 4.2.

a) Potrebno je odrediti prijenosne funkcije: G sU sU s1

2

1( )

( )( )

= , G sU sU s2

3

2( )

( )( )

= , G sU sU s3

4

3( )

( )( )

=

uz otvorenu sklopku S. Nacrtani sklop prikazati blokovskom shemom.

b) Odrediti prijenosnu funkciju G sU sU sz ( )

( )( )

= 4

1 uz zatvorenu sklopku S.

c) Kako odabrati kondenzator C1 da se dobije prigušeni oscilatorni proces s relativnim koeficijentom

prigušenja ζ =2

2 nakon skokovite pobude?

d) Odrediti geometrijsko mjesto polova u kompleksnoj ravnini za G uz promjenljivi Csz ( ) 1.

AUTOMATSKO UPRAVLJANJE - auditorne vježbe

Zadatak A.6.1.: Primjena Nyquistovog kriterija za ispitivanje stabilnosti sustava s mrtvim vremenom

Treba odrediti područje vrijednosti KR za koje će zatvoreni regulacijski krug biti stabilan. Poznato je: Tt = 1 s T = 0,1 s Ks = 1

-

+G s KR R( ) = G s K e

Tsss

sTt

( ) =+

−

1XR U Y

Zadatak A.6.2.: Nyquistov i Bodeov dijagram Sustav s prijenosnom funkcijom G s G e j( ) = ϕ sastoji se od serijskog spoja triju elemenata (prema slici):

G sT s1

1

1( ) = ; G s ; K T s2 2 1( ) ( )= + 2 G s

KT s33

31( ) =

+.

G1(s) G2(s) G3(s)X Y1 Y2 Y

a) Skicirati Nyquistov dijagram pojedinačno za svaki element.

b) Odrediti Bodeov dijagram za prijenosnu funkciju G s G s G s G s( ) ( ) ( ) ( )= 1 2 3 uz sljedeće vrijednosti parametara:

T1 = 1 s, T2 = 100 ms, T3 = 10 ms, K2 = 2.5, K3 = 2.

Pri tome se koristi aproksimacijom pravcima Bodeovog dijagrama.

c) Izračunati frekvenciju ωm uz koju fazno-frekvencijska karakteristika ima maksimalnu vrijednost. Kolika je vrijednost ϕm = ϕ(ωm)?

d) Kako odabrati integralno vrijeme T1 = T10 da bi se postiglo G j m( )ω = 1, odnosno da Nyquistov dijagram siječe jedinični krug kod ω = ωm.

e) Skicirati Nyquistov dijagram G(jω) za T1 = T10 u kompleksnoj G - ravnini na temelju asimptota G(jω) i poznavanja Bodeovog dijagrama.

Zadatak A.6.3.: Regulacija električkog luka Na slici je prikazana nadomjesna shema aparata za zavarivanje. Električki luk regulira se upravljanjem istosmjernim naponom U0 preko otpora R i induktiviteta L. Električki luk se pojednostavljeno opisuje pomoću nelinearne karakteristike

uU i

IB

B

=1

, (1)

AUTOMATSKO UPRAVLJANJE - auditorne vježbe

gdje su UB i IB fiksne bazne veličine.

R

u0u

L

i

ii1IB

UB

u1

uu = f(i)

radnatočka

a) Kako glasi diferencijalna jednadžba za i(t) pri promjenjivom naponu napajanja u0(t)? Prikazati diferencijalnu jednadžbu u normiranom obliku.

b) Nelinearnu diferencijalnu jednadžbu (dobivenu pod a) linearizirati za mala odstupanja Δi u okolišu

radne točke i1. Kako glasi pripadajuća normirana prijenosna funkcija G sL i IL u U

B

B( )

( / )( /

=ΔΔ )

?

c) Koji se uvjet mora ispuniti da bi aparat za zavarivanje radio stabilno u željenoj radnoj točki uz konstantan napon napajanja u = U01 ? Koje konsekvence ima ovaj uvjet na stupanj korisnosti aparata za zavarivanje?

d) Nacrtati Nyquistov dijagram G(jω) za tri vrijednosti predotpora R i to za slučaj granice stabilnosti (R = RS), za stabilno stanje (R > RS) i za nestabilno stanje (R < RS).

e) Da bi se smanjili gubici u predotporu aparat za zavarivanje treba imati regulaciju po struji. U tu se svrhu napon napajanja dobiva iz upravljivog pojačala snage. Nacrtajte blokovski prikaz regulacijskog kruga te pokažite da se regulatorom P-djelovanja odgovarajućeg pojačanja može postići stabilan rad aparata za zavarivanje.

Zadatak A.6.4.: Nyquistov kriterij i fazno osiguranje Regulacijski krug je opisan pomoću prijenosne funkcije otvorenog kruga:

01 2 31 1G s

KT s T s T s

( )( ) (

=⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ )

.

Identifikacijom su određeni parametri procesa:

K = 1, T2 = 0.5 s, T3 = 0.1 s.

Da bi zatvoreni regulacijski krug bio dovoljno prigušen potrebno je da podesivi parametar T1 ima određenu vrijednost.

a) Odrediti integralno vrijeme T1= T11 tako da se postigne fazno osiguranje γ=450. Nacrtati Bodeov i Nyquistov dijagram za ovaj slučaj. Kako se odražava mijenjanje T1 na Nyquistov dijagram?

b) Odrediti prijenosnu funkciju zatvorenog regulacijskog kruga Gz(s). Za slučaj T1= T11 odrediti polove od Gz(s) i relativni koeficijent prigušenja ζ oscilatornog dijela.

c) Za koju se vrijednost integralnog vremena T1= T10 dobije nestabilan regulacijski krug?

AUTOMATSKO UPRAVLJANJE - auditorne vježbe Zadatak A.8.1.: Regulacija primjenom P-regulatora Na slici je prikazan regulacijski krug koji se sastoji od procesa (PT1-član) i P-regulator s usporenjem prvog reda. Potrebno je odrediti pojačanje KR i vremensku konstantu TR člana za usporenje regulatora.

XR

-

+

z

Regulator $=GR(s) Proces $= Gs(s)

+

+u

KRTR

1T1

a) Prikazati izlaznu veličinu y(s) kao funkciju xR(s) i smetnje z(s). b) Odrediti prirodnu frekvenciju neprigušenih oscilacija ωn i relativni koeficijent prigušenja ζ. c) Odrediti KR i TR tako da se postigne ζ=0,707 . Izračunati i skicirati, za ζ=0,707, ovisnosti KR=f1(T1/TR) i ωn = f2(T1/TR). d) Skicirati za tako određeni regulator Bodeov dijagram prijenosne funkcije otvorenog kruga G0(jω). e) Skicirati prijelazne funkcije hx(t) i hz(t). Zadatak A.8.2.: Regulacija nestabilnog procesa Nestabilni proces drugog reda (Sl.8.2.) treba stabilizirati pomoću regulatora proporcionalnog djelovanja.

-

+KR

K s

(T 1s-1)(T 2s+1)

YXR

Sl.8.2.

Poznato je: T1,T2 > 0, te KS. a) Skicirati krivulju mjesta frekvencijske karakteristike otvorenog kruga G0(jω) te analizirati stabilnost

regulacijskog kruga promoću Nyquistovog kriterija za različite vrijednosti parametara KR, T1 i T2. b) Gdje leže polovi prijenosne funkcije otvorenog sustava G0(s) i prijenosne funkcije zatvorenog sustava

GZ(s)? Koje je uvjete potrebno ispuniti da bi zatvoreni regulacijski krug s proporcionalnim regulatorom bio stabilan?

c) Za koje se vrijednosti K0=KR ⋅ KS može očekivati prigušeno vladanje regulacijskog kruga? Izračunati

vrijednost pojačanja K0 kojim se postiže relativni koeficijent prigušenja ζ = 2

2. Skicirati krivulju

mjesta korjena za 0 < K0 < ∝. d) Izračunati i skicirati prijelaznu funkciju zatvorenog regulacijskog kruga hx(t). Zadatak A.8.3.: Regulacija ‘elastičnog’ mehaničkog sustava Na slici 8.3. prikazan je pojednostavljeni mehanički model gdje motor pogoni, preko ‘elastične’ osovine, teret zamašne mase (momenta inercije) Jt. Zamašne mase motora i osovine zanemariti (u odnosu na zamašnu masu tereta).

AUTOMATSKO UPRAVLJANJE - auditorne vježbe

Jtmf

ω2, ϕ2ω1, ϕ1, m

Motor

Sl.8.3. ω1 i ϕ1 su brzina vrtnje i kut zakreta osovine na pogonskoj strani, a ω2 i ϕ2 odgovarajuće veličine na strani tereta. Pri tome je ϕ1-ϕ2 kut torzije. Konstanta krutosti osovine je cf=m/(ϕ1-ϕ2), gdje je m na teret prenešen zakretni moment. Neka na teret djeluje moment trenja mf=kfω2. a) Kako glasi diferencijalna jednadžba gibanja tereta ako se ω1 promatra ‘utisnutom’ veličinom?

Jednadžbu prikazati u normiranom obliku. b) Prikazati matematički model procesa pomoću blokovske sheme iz koje treba odrediti

GS(s)=L{ω2(t)}/L{ω1(t)}=Ω2(s)/Ω1(s).

c) Kako glasi uvjet za aperiodski prigušeno gibanje? Izračunati i skicirati hω2(t) za ζ>1 uz ω1=ω10S(t). d) Brzina vrtnje ω2 regulira se preko brzine vrtnje ω1. Pokazati da je za regulator brzine vrtnje ω2

prikladan regulator PD1(T1) strukture. Odrediti parametre regulatora. Pri sintezi regulatora zanemariti dinamiku pojačala snage kojim se napaja pogonski motor.

Zadatak A.8.4.: Regulacija statičkog procesa pomoću I-regulatora Statički proces prikazan na slici 8.4. regulira se I-regulatorom.

-

+

Z

GR(s) +U Y

Gs(s)+EXR

Sl.8.4.

Dano je: GS(s)=1/(1+Ts)3 , GR(s)=1/TIs .

a) Odrediti TI=TI1 tako da se postigne fazno osiguranje γ = 450. Kolika ja pri tome presječna frekvencija

ωc? b) Kvalitativno prikazati krivulju mjesta

G0(jω)=Y(jω)/E(jω) i GX(jω)=Y(jω)/XR(jω) za 0 < ω < ∝ .

c) Izračunati prijenosnu funkciju s obzirom na smetnju GZZ=Y(s)/Z(s) , te nacrtati pripadajuću krivulju mjesta GZZ(jω). Koji se zaključci mogu izvući iz početne i konačne vrijedosti (ω→0, ω→∝) krivulje mjesta?

d) Skicirati približni tok prijelazne funkcije s obzirom na referentnu i poremećajnu veličinu.

AUTOMATSKO UPRAVLJANJE - auditorne vježbe Zadatak A.8.5.: Regulacija napona upravljivog ispravljača

Slika 8.5. prikazuje principnu shemu reguliranog ispravljača.

Pojačalosnage

MrežaDvopol

Regulator

U2ref UR

R1

R1

R

U1

L

C U2

i2

Sl.8.5.

Pojačalo snage radi u impulsnom režimu s impulsno-širinskim modulatorom (PWM) tako da su izlaznom naponu U1 superponirani viši harmonici koji se filtriraju pomoću niskopropusnog LRC filtera. Pri visokoj sklopnoj frekvenciji može se pojačalo snage promatrati kao upravljivi naponski izvor proporcionalnog djelovanja (bez vremenskog zatezanja): U1(s)/UR(s) = KS. Stvarna vrijednost (povratna veza) reguliranog istosmjernog napona U2 dobije se na kondenzatoru C. Referentna vrijednost je U2ref. Regulator napona realiziran je pomoću operacijskog pojačala (Sl.8.5.). GR(s)=UR(s)/U2ref(s), gdje je potrebno odrediti mrežu u povratnoj vezi operacijskog pojačala (dvopol). a) Odrediti blokovsku shemu i pripadajuće prijenosne funkcije procesa. Struja tereta ima, pri tome,

značenje poremećajne veličine. b) Regulator treba imati PI-vladanje. Odrediti shemu dvopola. c) Jednostavnosti radi, pretpostavimo da LRC filter ima aperiodsko vladanje tako da njegova prijenosna

funkcija ima dva realna pola. Odrediti parametre regulatora na temelju prijenosne funkcije zatvorenog sustava GZ(s) s obzirom na referentnu vrijednost tako da zatvoreni regulacijski krug ima relativni

koeficijent prigušenja ζ = 22

.

d) Odrediti prijenosnu funkciju zatvorenog sustava s obzirom na smetnju GZZ(s), odnosno utjecaj struje opterećenja i2 na regulirani napon U2.

Zadatak A.8.6.: Regulacija procesa koji ima svojstva svepropusnog člana Proces opisan prijenosnom funkcijom:

G s G GT sT s T ss s s( ) = ⋅ =

−+

⋅+1 2

1

1 2

11

11

, T2=2T1 , (1)

sastoji se od svepropusnog člana 1.reda GS1(s) i PT1 člana GS2(s). Proces se regulira PI-regulatorom. a) Skicirati polarni dijagram za GS1, GS2 i GS.

AUTOMATSKO UPRAVLJANJE - auditorne vježbe b) Prikladnim izborom integralne vremenske konstante dobiti jednostavni oblik prijenosne funkcije

otvorenog kruga G0(s). Skicirati polarni dijagram za tako dobivenu G0(jω). c) Odrediti pojačanje regulatora KR tako da amplitudno osiguranje Ar poprimi unaprijed zadanu

vrijednost Ar⋅⎪ G0(jωπ)⎪=1.

(2)

d) Kako glasi prijenosna funkcija zatvorenog regulacijskog kruga GZ(s) s obzirom na referentnu vrijednost? Kolike su vrijednosti relativnog koeficijenta prigušenja i vlastite frekvencije uz zadano amplitudno osiguranje prema c)?

AUTOMATSKO UPRAVLJANJE - auditorne vježbe Zadatak A.11.1.: Regulacija razine vode u parnom kotlu (primjer korištenja kaskadne regulacije

i unaprijedne regulacije) Radi boljeg iskorištenja goriva u parnom kotlu potrebno je održavati razinu vode, koja se pretvara u paru, konstantnom. Za regulaciju razine vode u parnom kotlu koristi se kaskadna regulacija. U unutarnjoj regulacijskoj petlji regulira se protok vode, a u vanjskoj se petlji regulira razina vode u parnom kotlu. Sustav upravljanja prikazan je na slici 11.1. Dinamička svojstva sustava upravljanja mogu se poboljšati uključenjem sklopke S, koja uključuje mjereni izlazni protok pare kao poremećajnu veličinu.

M

AAA

Napojna pumpa smotornim prigonom

Regulator protokavode

Regulator razinevode

Mjerni članOsjetilo protoka

vode

--

Mjerni član

Mjerni članOsjetilo protoka

pare

Protokpare - qp

Protokvode - qv

S Sklopka za uključivanjeunaprijedne regulacije

Razinavode uparnomkotlu - h

xRh xRq

qv

qp

Parni kotao presjeka A

h

+ ++

M

Sl.11.1.

Dinamička svojstva mjernih članova i napojne pumpe s motornim prigonom modeliraju se kao PT1 članovi. Parni kotao se pojednostavljeno modelira kao cilindar jednolikog presjeka, s diferencijalnom jednadžbom: A ⋅ dh/dt = qv-qp, (1) gdje je A presjek parnog kotla. Za izvedbu regulacijskog sustava koristiti I (za protok ) i PI (za razinu) regulatore. Potrebno je: a) nacrtati blokovku shemu kaskadne regulacije, s uključenom sklopkom S; pri tome koristiti normirano

pojačanje (1); b) odrediti integralnu vremensku konstantnu I regulatora unutarnje petlje (regulator protoka vode) da bi

se postigao koeficijent relativnog prigušenja 22

=ζ ;

c) odrediti parametre PI regulatora vanjske petlje (regulator razine vode) tako da se postigne aperiodsko ponašanje; unutarnja petlja protoka vode može se radi pojednostavljenja nadomjestiti PT1 članom;

d) pojasniti kako djeluje uključivanje signala protoka pare u regulacijski sustav na prijelaznu funkciju s obzirom na smetnju; objasniti kakav je utjecaj uključivanja signala protoka pare u regulacijski sustav na stabilnost i prigušenje.

AUTOMATSKO UPRAVLJANJE - auditorne vježbe Zadatak A.11.2.: Regulacija rastojanja vozila Na slici 11.2. je skicirana moguća prometna situacija u budućnosti. Prednje se vozilo (vozilo 1) giba brzinom v1 , a drugo vozilo (vozilo 2) ga treba slijediti na zadanoj udaljanosti x2r, gibajući se brzinom v2. Regulator razmaka daje referentnu vrijednost vučne sile vozila 2, koja ga ubrzava ili usporava, osiguravajući željeni razmak između vozila. Vozilo 2 mjeri razmak između vozila pomoću radara.

v2

x2vozilo 2 vozilo 1

v1

Sl.11.2.

Matematički model procesa je dan sa skupom diferencijalnih jednadžbi: - promjena razmaka među vozilima jednaka je razlici brzina 1. i 2. vozila: dx2/dt = v1 - v2, (1) gdje je v1 neovisna poremećajna veličina; - sila ubrzanja, odnosno kočenja, je usporena PT1 članom prema željenom djelovanju: T2⋅dfa/dt + fa = f0 ⋅ u, (2) gdje je fa - sila koja djeluje na vozilo 2 (fa >0 - ubrzanje, fa <0 - kočenje ), f0 - maksimalna sila djelovanja ubrzanja ili kočenja, T2 - vremenska konstanta, u – upravljačka veličina; - gibanje vozila 2. opisano je zbrojem sila koje djeluju: m2 ⋅ dv2 /dt = fa - kR⋅v2, (3) gdje je m2 masa 2. vozila, kR⋅v2 član koji opisuje utjecaj trenja koji raste proporcionalno s brzinom, kR koeficijent proporcionalnosti. Potrebno je: a) normirati diferencijalne jednadžbe (1)-(3) i nacrtati blokovsku shemu regulacijskog kruga uz parametre

normiranja: v0 = 120 km/h = 33.3 m/s, x0 = 100 m, xR = 50 m, f0 = 1800 N, m2 = 1500 kg , kR = f0 /v0 = 54 Ns/m, T2 = 0.5 s. b) odrediti koji je tip regulatora prikladan za osiguranje dobre i brze regulacije; c) odrediti parametre regulatora uz fazno osiguranje γ=450; d) uz pretpostavku da iz stacionarne brzine v10-1=120 km/h vozilo 1 linearno usporava u vremenu t1 do

brzine v10-2=60 km/h i zatim nastavlja konstantnom brzinom, skicirati valni oblik brzine vozila 2 v2(t) i razmaka među vozilima x2(t);

e) kvalitativno objasniti funkcije koje obavlja vozač u regulacijskom krugu kada zamijeni regulator vožnje vozila 2.

Zadatak A.11.3.: Regulacija temperature Održavanje temperature plinske žarne peći na referentnoj vrijednosti regulira se regulacijskim sustavom prikazanim na slici 11.3. Protokom plina, koji služi kao gorivo, upravlja se preko električnog regulacijskog ventila.

AUTOMATSKO UPRAVLJANJE - auditorne vježbe

Regulator Regulacijskiventil Žarna peć Mjerni

pretvornik-u q θ yxR

Sl.11.3.

Pojedini dijelovi sustava upravljanja, nakon linearizacije, opisani su prijenosnim funkcijama:

- regulacijski ventil: sT

KsUsQ

1

1

1)()(

+= ,

gdje je: K1 = 0.1 (m3/min)/V- koeficijent pojačanja, T1 = 0.2 s - vremenska konstanta;

- plinska žarna peć: sT

eKsQs sTt

2

2

1)()(

+⋅

=Θ −

,

gdje je: K2 = 600 K⋅min/m3 - koeficijent pojačanja, T2 = 3 min - vremenska konstanta, Tt = 30 s - mrtvo vrijeme;

- mjerni pretvornik temperature:sT

KssY

3

3

1)()(

+=

Θ,

gdje je: K3 = 10 V/ 600 K - koeficijent pojačanja, T3 = 3 s - vremenska konstanta. Potrebno je: a) opisati dinamičko vladanje procesa nadomjesnim modelom s jednom dominantnom vremenskom

konstantom i jednom nadomjesnom vremenskom konstantom; b) korištenjem pojednostavljenja pod a) odrediti parametre PI regulatora tako da se postigne fazno

osiguranje γ=600 te izračunati prirodnu frekvenciju neprigušenih oscilacija i nadomjesni koeficijent relativnog prigušenja zatvorenog kruga.

Zadatak A.11.4.: Kaskadna regulacija izlaznog napona istosmjernog ispravljača Izlazni dio ispravljača napona prikazan je na slici 11.4.a. Regulacija se napona postiže PWM upravljanjem izlaznog tranzistora. LRC filter iza tranzistora smanjuje pulzacije izlaznog napona. Struja i1 treba biti ograničena tako da spriječi preopterećenje tranzistora.

uUu1 u2

i1 i2

L R

C

Sl.11.4.a. Izlazni dio ispravljača s LRC filterom.

T

i1

u1

Sl.11.4.b. Pulzacija napona u1 i valni oblik struje i1.

AUTOMATSKO UPRAVLJANJE - auditorne vježbe Potrebno je: a) napisati diferencijalne jednadžbe procesa i nacrtati blokovsku shemu; b) odrediti prijenosnu funkciju Gs1(s)=RI1(s)/UU(s), uz pretpostavku da ispravljač nije opterećen (i2=0) te

nacrtati strukturnu shemu;

c) odrediti parametre PI regulatora struje i1 tako da faktor prigušenja bude22

=ζ ;

d) odrediti parametre PI regulatora izlaznog napona u2. Zadatak A.11.5.: Višepetljasta kaksadna regulacija Na slici 11.5. prikazan je kaskadni n-petljasti sustav upravljanja gdje je proces razložen u n statičkih potprocesa Gs1(s) do Gsn(s) upravljanih regulatorima GR1(s) do GRn(s). Regulatori imaju PI i PID strukturu, ovisno o tome da li su potprocesi PT1 ili PT2 vladanja. Izvršni član opisan je prijenosnom funkcijom Gič(s)=1/(1 + Te s) .

GR1 Gič Gs1

y1 Gs2GR2

-xR,1 + Gsn

y2 yyn-1

-+GRn -

+

-+ xR,n-1xR,n

PROCES

Sl.11.5.

Primjenom PI ili PID regulatora treba vrijediti

GRν(s) ⋅ Gsν(s) = 1 / Tν ⋅ s. (1)

Potrebno je: a) transformirati blokovski prikaz sa slike 11.5. tako da se dobije pregledan izraz za prijenosnu funkciju s

obzirom na vodeću vrijednost Gxn(s) =Yn(s)/XRn(s) ; b) izračunati za zadani relativni koeficijent prigušenja ζν kružno integralno vrijeme Tν prema (1) za svaku

petlju; pri tome se unutarnja petlja obuhvaćena prvim narednim regulacijskim krugom nadomješta PT1 članom s nadomjesnom vremenskom konstantom Te,ν-1 ;

c) pokazati da uz (1) vrijedi izraz za karakteristični polinom zatvorenog sustava Gxn:

ν

ν

νν

α )()(1

0

2)1(

1 sTsN n

n

⋅= ∑+

=

−−

, (2)

pri tome je jednako prigušenje za sve petlje ζν=ζ , a α=Tν / Tν-1 . (3)

AUTOMATSKO UPRAVLJANJE - auditorne vježbe

Zadatak A.12.1:

1h

1u

2h

Slika 12.1. Sustav skladištenja fluida

Sustav skladištenja fluida u dva spojena bazena, prikazan na slici 12.1, opisan je u okolini radne točke sljedećim modelom u prostoru stanja:

1 1

2 2

2

h h u

h hy h

σ

hσ σ

Δ + Δ = Δ

Δ + Δ = ΔΔ = Δ

&

&

[ ]

11

22

1

2

0 10

0 1

hhu

hh

hy

h

σσ σ

⎡ ⎤ Δ− ⎡ ⎤Δ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ−Δ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

Δ⎡ ⎤Δ = ⎢ ⎥Δ⎣ ⎦

&

&

Potrebno je projektirati regulator po varijablama stanja uz pretpostavku da su sve varijable stanja mjerljive, tako da polovi zatvorenog regulacijskog kruga budu 2 (1 )jσ− ± .

Zadatak A.12.2.

Zadan je proces opisan u prostoru stanja sljedećim matricama: 1 0

0 2A

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

11

B ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]1 3C =

a) Odredit matricu pojačanja F tako da polovi zatvorenog kruga budu: . 2 2j− ±b) Odrediti N tako da pogreška u stacionarnom stanju na skokovitu pobudu bude nula. c) Dodati integrator u proces I Rx y x= −& , te odrediti pojačanja F i , tako da, ako je

, polovi zatvorenog regulacijskog kruga budu IF

I Iu F x F x= − ⋅ − ⋅ 2, 1 3j− − ± .

AUTOMATSKO UPRAVLJANJE - auditorne vježbe Zadatak A.12.3:

1h

1u

2h

Slika 12.2.

Sustav skladištenja fluida u dva spojena bazena, prikazan na slici 12.2, opisan je u okolini radne točke sljedećim modelom u prostoru stanja:

[ ]

11

22

1

2

0 10

0 1

hhu

hh

hy

h

σσ σ

⎡ ⎤ Δ− ⎡ ⎤Δ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ−Δ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

Δ⎡ ⎤Δ = ⎢ ⎥Δ⎣ ⎦

&

&

Pretpostaviti da je mjerljiva samo razina fluida u drugom bazenu, te projektirati estimator stanja punog reda za takav proces, tako da polovi dinamike pogreške estimacije budu 3 (1 )jσ− ± .

AUTOMATSKO UPRAVLJANJE - auditorne vježbe Zadatak S.2.1.: Regulacija temperature u prostoriji

ventil

prigon

radijator

q

y

izvršni motorupravljački

uređajrϑ

vanjska temperatura )( Aϑ

ud

temperaturaprostorije

)(ϑ

du tvorbai)(mjerenje ϑ

ϑr – referentna (željena) temperatura q – protok tople vode kroz radijator Odrediti strukturni blokovski prikaz regulacije temperature. Uputa:

ϑϑ ⋅= MKu - napon temperaturnog osjetila (KM – konstanta osjetila) pretpostavlja se da je dinamičko vladanje temperaturnog osjetila nebitno za proces regulacije

temperature ϑ⋅= Mr Ku - referentni napon

ϑuuu rd −= )()( 1 tKtJ ϕ= , ϕ(t) – zakret prigonskog vratila

dP uK ⋅=ω , ω - brzina vrtnje prigonskog vratila pretpostavlja se da je dinamičko vladanje izvršnog motora nebitno za proces regulacije

temperature )()( 1 tS TtyKtq −= - jednadžba koja opisuje transport topline (protekne vrijeme Tt od trenutka otvaranja

ventila do dolaska tople vode u radijator → transportno kašnjenje) Jednadžba toplinske bilance:

)]()([)()( 21 ttktqktmc Aϑϑϑ −−⋅=⋅⋅ & . Uvesti oznake:

2kmcT ⋅

= , [s] – vremenska konstanta prostorije

2

12 k

kKS =

Aϑ - smetnja na proces

AUTOMATSKO UPRAVLJANJE - auditorne vježbe Zadatak S.2.2.: Proces punjenja U cilindrični spremnik s kružnim poprečnim presjekom (promjer d1) dovodi se tekućina (zanemaruje se trenje), vidi sliku 2.2.b. Visina punjenja tekućine h1 određuje se upravljivim dotokom qu i odtokom qi. Iz Bernoullijeve jednadžbe slijedi ovisnost odtoka o razini:

0

1

0 hh

qqi = .

qi(t)

h1

d1

A2

qu(t)

h2

spremnik 1

spremnik 2

h1x10

q0

qi

Sl. 2.2.a. Shema procesa punjenja s dva spremnika Sl. 2.2.b. Ovisnost odtoka o razini a) Kako glasi diferencijalna jednadžba za visinu punjenja h1(t) uz promjenljivi dotok qu(t)? b) Diferncijalnu jednadžbu treba linearizirati u blizini radne točke h10, tj qu = q0 + Δqu ,

qi = q0 + Δqi

h1 = h10 + Δh1

c) Skicirati prijelaznu funkciju Δh1(t) i Δqi(t) za malu promjenu dotoka Δqu. Koliko iznosi Δqi(∞)? d) Pretpostaviti da odtok tekućine qi iz spremnika 1 dotiče u spremnik 2 s konstantnim poprečnim

presjekom A2. Kako glasi diferencijalna jednadžba za visinu punjnja tekućine h2(t) u spremniku 2?

AUTOMATSKO UPRAVLJANJE - auditorne vježbe Zadatak S.4.1.: RC - generator Na slici 4.1. prikazan je sklop oscilatora koji se sastoji od dvaju idealnih operacijskih pojačala i pridružene im pasivne mreže.

R

U1 U2

R C

+

U3U4

R3

SR

R1

R-

-

+C

Sl. 4.1.

a) Odrediti prijenosnu funkciju G sU sU s

( )( )( )

= 4

1 uz otvorenu sklopku S; skicirati Nyquistov dijagram

G(jω).

b) Odrediti prijalaznu funkciju sklopa (u1 = U0⋅S(t)) uz S otvoreno.

c) Zatvaranjem sklopke S izlazni napon se vraća na ulazno pojačalo. Prikažite blokovski sklop u tom

stanju. O kakvoj se povratnoj vezi radi u tom slučaju? Odredite prijenosnu funkciju G sU sU sz ( )

( )( )

= 4

1

uz zatvorenu sklopku S.

d) Kako odabrati otpornike da bi nastalo neprigušeno osciliranje? Kolika je pri tome frekvencija

osciliranja f n n=1

2πω ?

Zadatak S.4.2.: Član s usporenjem i prethođenjem

Proporcionalni član 2. reda s prethođenjem opisan je diferencijalnom jednadžbom:

1 2

2

2

2ωζωn n

d ydt

dydt

y K Tdxdt

x+ + = +( )1 , (0 < ζ ≤ 1)

a) Odrediti i skicirati odziv na funkciju linearnog porasta za ζ = 1. Raspraviti utjecaj vremenske konstante T1.

b) Odrediti pogrešku slijeđenja u stacionarnom stanju.

AUTOMATSKO UPRAVLJANJE - auditorne vježbe Zadatak S.6.1.: Sklop za diferenciranje Na slici je prikazan paralelni spoj dvaju članova s usporenjem (PT1) s istim pojačanjem i različitim vremenskim konstantama.

X

KT1

KT2

Y1

Y2

Y+

-

a) Odrediti načelni izgled odziva y(t) na skokovitu promjenu x(t), tj y(t) = hx(t).

b) Kako glasi prijenosna funkcija G sY sX s

( )( )( )

= ? Gdje leže polovi i nule G(s)? O kakvom se tipu

prijenosne funkcije radi?

c) Skicirati Nyquistov dijagram za G(jω).

d) Skicirati Bodeov dijagram za G(jω).

Zadatak S.6.2.: Pozitivna povratna veza Treba analizirati prijenosno vladanje sustava s pozitivnom povratnom vezom prikazanog na slici:

X

Y2

Y

KTs1+

a) Odrediti prijenosnu funkciju G sY sX s

( )( )( )

= .

b) Analizirati prijenosno vladanje sustava za različito pojačanje 0 ≤ K ≤ ∞ na osnovi položaja polova u kompleksnoj s-ravnini. kakvo je prijenosno vladanje za K = 1?

c) Izračunati i skicirati prijelazne funkcije za K = -1; 0; 0.5; 1; 2.

AUTOMATSKO UPRAVLJANJE - auditorne vježbe Zadatak S.8.1. Za regulacijski krug prikazan na slici 8.1., te

-

+

Z'

GR(s) Gs(s)+

+U YXR

Sl.8.1.

uz: GS(s)=(1+T2s)/(1+T1s) ; T1>T2 ,

GR(s)=1/TIs , potrebno je: a) skicirati prijelaznu funkciju procesa; b) kako treba odabrati integralnu vremensku konstantu TI da bi zatvoreni regulacijski krug imao relativni

koeficijent prigušenja ζ = 22

;

c) odrediti Y(s) i skicirati y(t) i u(t) ako se regulacijski krug pobudi vodećom vrijednošću xR(t)=S(t), pri tome neka je z’(t)=0;

d) odrediti Y(s) i skicirati y(t) i u(t) ako se regulacijski krug pobudi smetnjom z’(t)=S(t), pri tome neka je xR(t)=0.

Zadatak S.8.2.: Regulacija statičkog procesa pomoću PI-regulatora Proces s dva PT1 člana (Sl.8.2.) regulira se pomoću PI regulatora.

-

+

Z'

GR(s) +U Y1

1+T2s

+EXR KS1

1+T1s

GS2 GS1

Sl.8.2.

a) Analizirati vladanje PI regulatora na temelju prijenosne funkcije i prijelazne funkcije. b) Preporučiti način izbora integralne vremenske konstante regulatora TI. Pri tome imati u vidu raspored

polova i nula regulatora i procesa, te Bodeov dijagram otvorenog regulacijskog kruga. c) Nakon određivanja TI odrediti pojačanje KR tako da se postigne dobro prigušeno vladanje zatvorenog

regulacijskog kruga izborom ζ = 22

. Skicirati, bez računanja, hx(t) zatvorenog regulacijskog kruga

(pri tome je z’=0).

AUTOMATSKO UPRAVLJANJE - auditorne vježbe d) Kako glasi prijenosna funkcija zatvorenog regulacijskog kruga s obzirom na smetnju

GZZ(s)=Y(s)/Z’(s) općenito, i uz izbor parametara regulatora prema b) i c)? Iz čega je evidentno da se u cijelosti kompenzira utjecaj konstantnog poremećaja u stacionarnom stanju? Skicirati, bez računanja, hz(t) zatvorenog regulacijskog kruga (pri tome je xR=0).

Zadatak S.8.3.: Regulacija astatičkog procesa s neminimalnom fazom Potrebno je regulirati proces opisan prijenosnom funkcijom:

sG sT s

T s( ) =

−1 1

1.

a) Nacrtati blokovsku shemu procesa korištenjem osnovnih prijenosnih elemenata. Skicirati i izračunati

prijelaznu hs(t) i težinsku g(t) funkciju toga procesa. b) Uz regulaciju procesa pomoću PI regulatora R R

I

IG s K T s

T s( ) = +1 pokazati pomoću Bodeovog dijagrama

da se u načelu može postići stabilnost sustava. Koji je uvjet za to potrebno ispuniti? c) Uz koju se frekvenciju ωm postiže maksimalno fazno osiguranje? Na koji se način treba odabrati

pojačanje KR da bi se postiglo ωc =ωm? d) Odrediti prijenosnu funkciju zatvorenog regulacijskog kruga, uzimajući u obzir rezultate pod c).

Komentirati prijelaznu funkciju hx(t).