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1. Aula 1: Matemática: números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação); expressões numéricas; múltiplos e divisores de números naturais; problemas. Frações e operações com frações. . ................... 22. Memorex . ........................................................................................................... 253. Lista das questões abordadas em aula .............................................................. 284. Gabarito . ............................................................................................................. 33

Matemática e Raciocínio Lógico em Exercícios FCC – para Tribunais

Aula 1 – Professora Karine Waldrich

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1. Aula 1: Matemática: números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação); expressões numéricas; múltiplos e divisores de números naturais; problemas. Frações e operações com frações.

Olá, colegas! A aula de hoje trata de assuntos relativos à Matemática. Para aqueles que estão apreensivos, por não gostarem da matéria, calma! Veremos como a banca cobra o assunto, e nosso enfoque será exatamente o “jeitinho” da banca.

Vamos à primeira questão!

Antes de passar para a resolução da questão, é importante revisarmos – ou aprendermos (afinal nem sempre lembramos do colégio rs) – os conceitos relacionados a números inteiros e naturais.

Um diagrama deixa a relação entre eles mais visível:

Questão 1 – FCC/TRE-PI/Téc. Jud/2010

Considere que os números inteiros e positivos que aparecem no quadro abaixo foram dispostos segundo determinado critério.

Completando corretamente esse quadro de acordo com tal critério, a soma dos números que estão faltando é

(A) maior que 19. (B) 19. (C) 16. (D) 14. (E) menor que 14.

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Desse diagrama tiramos definições importantes. São elas:

1) O conjunto dos números naturais é representado pela letra N (maiúscula). Ele compreende apenas os números positivos, a partir do zero. Ou seja, N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...};

2) O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z (maiúscula). Ele compreende o conjunto dos números naturais, e também os números negativos. Ou seja, Z = {..., -1, -2, 0, 1, 2, ...};

3) O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q (maiúscula). Mas porque será que esta é a letra que representa este conjunto?? Explico! Os números racionais são, na verdade, a razão entre quaisquer números inteiros. E razão, na matemática, é igual a quociente. Por isso temos que esse conjunto é também chamado de conjunto Q. Lembrando que ele inclui o conjunto dos números inteiros, e, consequentemente, os números naturais.

Voltando para a questão. Ela informa que o diagrama apresentado contém apenas “números inteiros e positivos”. Em outras palavras, o diagrama só contém números naturais, ou seja, {1, 2, 3, 4, 5...}.

Agora o passo é achar uma relação entre os números do quadro.

NÚMEROS RACIONAIS (Q)

Ex: 1,333333 (...); 2/5; 11 ...

NÚMEROS INTEIROS (Z)

Ex: -2; -1; 0; 1; 2

NÚMEROS NATURAIS (N)

Ex: 0; 1; 2

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Quando a questão faz exigências do tipo “os números inteiros e positivos que aparecem no quadro foram dispostos segundo determinado critério” o pulo do gato é perceber com qual lógica os números foram distribuídos. Eles podem estar crescendo ou decrescendo, em diversas direções...

No diagrama da questão não há nenhuma lógica na disposição dos números horizontal ou verticalmente. Vejamos:

No entanto, perceba que, diagonalmente, uma fileira é crescente e a seguinte é decrescente:

Com essa percepção, torna-se fácil completar o resto do diagrama, basta seguir a mesma lógica apresentada, ou seja, uma fileira é crescente e a seguinte é decrescente, sempre começando pelo número 1. Vamos lá:

12

3

4 12

3 1

2 1

5

A questão pede a soma dos algarismos que acabamos de preencher:

SOMA = 4 + 3 + 2 + 1 + 1 + 2 + 3 + 2 + 1 + 1 = 20

Resposta: Letra A.

“Sucessão dos números naturais” – já sabemos o que é isso! Afinal:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...}

Mas e o que é Algarismo? Algarismo é o símbolo que compõe o número. São algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Com estes símbolos, formamos todos os números existentes. Por exemplo, o número “35” é formado de 2 algarismos – o “3” e o “5”.

Se o Alfonso da questão escreveu 4250 algarismos, ele escreveu vários números também, certo? E para saber qual foi o último número escrito pelo rapaz, precisamos repetir sua façanha e escrever todos os algarismos novamente?? Claro que não!!! Basta termos em mente de quantos algarismos os números são formados. Vejamos a tabela abaixo:

Quantidade Sequência de

algarismos por número

Quantidade total de

números

Quantidade total de

algarismos

0 – 9 1 10 10 10 – 99 2 90 180

100 – 999 3 900 2700 1000 – 9999 4 9000 36000

Questão 2 – FCC/TCE-SP/AFF/2010

De gosto muito duvidoso, Alfonso, a fim de distrair-se, estava escrevendo a sucessão dos números naturais – começando do zero - quando sua esposa o chamou para jantar, fazendo com que ele interrompesse a escrita após escrever certo número. Considerando que, até parar, Alfonso havia escrito 4 250 algarismos, o último número que ele escreveu foi (A) 1 339. (B) 1 353. (C) 1 587. (D) 1 599. (E) 1 729.

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O “Fofô” (dando um apelidinho para o nosso colega da questão) escreveu 4250 algarismos... Isso quer dizer que o último número está entre 1000 e 9999 (pois se ele tivesse escrito 9999 números já seriam 36000 algarismos!).

E então? Como saber o último número? Simples!! Precisamos saber a quantidade de algarismos entre os números 1000 e 9999. Para isso, basta somar a quantidade total de algarismos existente até 999, e diminuir este resultado de 4250. Como os números entre 1000 e 9999 possuem 4 algarismos, basta dividirmos a quantidade encontrada por 4. Aos cálculos!

2700 + 180 + 10 = 2890

4250 – 2890 = 1360

1360 4

= 340

Assim, sabemos que o “Fofô” escreveu 340 algarismos entre 1000 e 9999. O primeiro algarismo é 1000, o segundo é 1001... assim por diante. Dessa forma, quando ele escrever o número 1339, terá escrito 4250 algarismos. Entendido?

Resposta: Letra A.


Um grupo de sete amigos foi almoçar num restaurante em que o valor da refeição é de R$ 24,20 por pessoa, independentemente daquilo que cada um comer. Cada um pediu ainda um refrigerante, que custa R$ 2,50 a unidade, e uma sobremesa no valor de R$ 4,50 cada. Como um dos amigos fazia aniversário, eles decidiram dividir a conta por seis. Se nesse restaurante não se cobra taxa de serviço, o total desembolsado por cada um dos seis pagantes foi, em R$,

(A) 29,90 (B) 31,20 (C) 34,50 (D) 36,40 (E) 38,80

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Com esta questão adentramos num assunto extremamente importante: as operações e expressões numéricas. São exemplos de expressões numéricas:

4 + 5 = 9

3 x 2 = 6

Existem também as expressões algébricas. Estas são as famosas “equações”, pois contém letras e números. Exemplos:

Y = a + bx

2z = 3a + 2b

As letras em uma equação são também chamadas variáveis.

Uma expressão pode trazer vários tipos de operações. Sabemos que as mais importantes são a adição, subtração, multiplicação e divisão. Da multiplicação também extraímos outra operação – a potenciação.

A multiplicação é composta dos fatores, que originam o produto. Por exemplo, na multiplicação abaixo:

Já a potenciação representa uma multiplicação em que os fatores são iguais. Vejamos abaixo:

A potenciação tem uma maneira “peculiar” de ser representada. A quantidade de vezes que o fator se repete dá origem a um expoente – um número que vem

Fator x

Fator Produto =

24 x = 8 3

Fator x

Fator Produto =

16 x = 4 4

8

acima do valor do fator. Esse valor, na potenciação, é denominado base. A multiplicação acima, por exemplo, toma a seguinte forma:

42 = 16

A operação contrária da potenciação é a Radiciação, que representa quantas vezes um número pode ser dividido por outro. Vejamos:

2 16 = 4Quando o índice é o número dois, ele normalmente é omitido da operação – resultando em:

16 = 4Agora estamos craques em operações numéricas, e quase craques em expressões algébricas (veremos mais sobre ela adiante). Por ora, conseguimos facilmente resolver a questão.

O enunciado comenta que 7 amigos comeram em um restaurante (cujo valor por pessoa é de R$ 24,20), além de terem bebido um refrigerante (R$ 2,50) e pedido sobremesa (R$ 4,50). Ou seja, o total da conta dos 7 amigos é:

16 x = 4 4

Base

Expoente

Potência

Índice

Radicando Raiz

9

Como eles resolveram dividir a conta em 6, pois um estava de aniversário (PS: poxa, que amigos queridos, não acharam? No meu aniversário os amigos querem que eu pague a conta toda!!!)...

Resposta: Letra D.

Essa questão contempla aspectos de raciocínio lógico-quantitativo, que veremos intensamente em aula futura. Mas achei importante trazê-la para esta aula pois, com ela, podemos revisar/aprender passo a passo a operação matemática da divisão. Como na primeira questão vista nesta aula, aqui também é importante encontrar uma relação lógica entre os números da tabela. Reparem que, em cada coluna, a linha seguinte é a soma do número da linha anterior + 7. Vejam só a coluna 1:


Considere que os números inteiros que aparecem na tabela abaixo foram dispostos segundo determinado padrão.

1ª Coluna 2ª Coluna 3ª Coluna 4ª Coluna 5ª Coluna 0 2 4 6 8 7 9 11 13 15 14 16 18 20 22 21 23 25 27 29 28 30 32 34 36

Se esse padrão fosse mantido indefinidamente, qual dos números seguintes com certeza NÃO estaria nessa tabela?

(A) 585 (B) 623 (C) 745 (D) 816 (E) 930

7 x (24,20 + 2,50 + 4,50) = 7 x (31,20) = 218,40

218,406

= 36,40

10

1ª Coluna 0

7 (0 + 7) 14 (0 + 7 + 7 ou 0 + 2x7)

21 (0 + 7 + 7 + 7 ou 0 + 3x7) 28 (0 + 7 + 7 + 7 + 7 ou 0 + 4x7)

O mesmo ocorre nas demais colunas:

2ª Coluna 3ª Coluna 4ª Coluna 5ª Coluna 2 4 6 8

9 (2 + 7) 11 (4 + 7) 13 (6 + 7) 15 (8 + 7) 16 (2 + 2x7) 18 (4 + 2x7) 20 (6 + 2x7) 22 (8 + 2x7) 23 (2 + 3x7) 25 (4 + 3x7) 27 (6 + 3x7) 29 (8 + 3x7) 30 (2 + 4x7) 32 (4 + 4x7) 34 (6 + 4x7) 36 (8 + 4x7)

Desta forma, temos as seguintes relações:

1ª Coluna 2ª Coluna 3ª Coluna 4ª Coluna 5ª Coluna 0 2 4 6 8

7 (0 + 7) 9 (2 + 7) 11 (4 + 7) 13 (6 + 7) 15 (8 + 7) 14 (0 + 2x7) 16 (2 + 2x7) 18 (4 + 2x7) 20 (6 + 2x7) 22 (8 + 2x7) 21 (0 + 3x7) 23 (2 + 3x7) 25 (4 + 3x7) 27 (6 + 3x7) 29 (8 + 3x7) 28 (0 + 4x7) 30 (2 + 4x7) 32 (4 + 4x7) 34 (6 + 4x7) 36 (8 + 4x7)

. . . . . .. .. .. .. .. ... ... ... ... ...

(0 + nx7) (2 + nx7) (4 + nx7) (6 + nx7) (8 + nx7)

Desta forma, para um número estar em alguma das colunas, ele deve, obrigatoriamente, obedecer a alguma das relações encontradas, certo?

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E o número que não obedecer à relação acima será a resposta da nossa questão! Mas como vamos descobrir isso? Basta fazer a operação inversa. A operação inversa da multiplicação é a divisão. A divisão compreende quatro “partes” importantes. São elas: dividendo, divisor, quociente e resto. O dividendo é o resultado da multiplicação do divisor versus o quociente, adicionado do resto:

No nosso caso, o Dividendo é o número apresentado na alternativa, o Divisor é o número 7, e o Quociente é o 7. O resto, para a alternativa pertencer à tabela, só pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8. Se o resto for outro número que não estes, a alternativa representa um número que em hipótese alguma poderia pertencer à tabela, ou seja, a resposta da nossa questão! Esquematizando, a divisão fica:

Número pertencente à

tabela =

0

2

4

6

8

+nx7

=

+

DivisorDividendo

QuocienteResto

7Número

pertencente à tabela

nResto: 0, 2, 4, 6, 8

x

rrraaa,,, CCC

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Vamos para as alternativas?

(A) 585

Como o resto é 4, o número 585 pertence à tabela.

(B) 623


(C) 745

Vejam só! O resto é igual a 3. Com este resto, o número pode pertencer à tabela proposta? Não... Ou seja, ele é o gabarito da questão!

(D) 816

7585 83Resto:

4

7623 89Resto:

0

7745 106Resto:

3

7816 116Resto:

4

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(E) 930


Resposta: Letra C

Esta é uma questão de expressão numérica que, se aparecer na prova, é para garantir o ponto!!

Vamos esquematizá-la. A questão diz que daqui a 9 anos, a soma da idade de Dagoberto com os pais será de 155 anos.

Chamaremos a idade de Dagoberto daqui a 9 anos de “d” e a idade de seus pais daqui a 9 anos de “p”. Assim:


Sabe-se que daqui a 9 anos a soma da idade de Dagoberto com as de seus pais será 155 anos. Assim sendo, há 5 anos atrás quantos anos totalizavam as idades dos três?

(A) 96 (B) 108 (C) 113 (D) 117 (E) 121

7623 89Resto:

0

Hoje 9 anos depois

d + p = 155

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E a idade de todos há 5 anos atrás? Ora, a diferença entre “daqui a 9 anos” e “5 anos atrás” é de 14 anos. Isso que dizer que, há 5 anos atrás, cada um era 14 anos mais novo do que será daqui 9 anos. Como são três pessoas (Dagoberto, seu pai e sua mãe), a diferença de idade é de 3 x 14! Vamos adicionar esta informação ao nosso esquema?

Logo, temos:

Total há 5 anos = d + p – 3x14 = 155 – 42 = 113.

Resposta: Letra C.

A questão pergunta qual o valor inicial que Estanislau possuía no bolso. É importante, para resolvê-la, transformar em equações o que o enunciado diz em


Em uma viagem de turismo à Argentina, Estanislau ficou fascinado com as máquinas de caça níqueis de um cassino e, sabendo que poderia usar moedas brasileiras, resolveu testar a sua sorte em uma máquina. Primeiramente, usou todas as moedas que tinha no bolso: teve sorte e duplicou a quantia que tinha colocado na máquina; entretanto, logo a seguir, perdeu 4 reais. Na terceira jogada novamente teve sorte e duplicou a quantia com que ficara, mas, em seguida, perdeu outros 4 reais. Na quinta jogada, de novo a sorte duplicou a quantia com que ficara, após o que perdeu mais 4 reais. Se após essa última jogada Estanislau ficou sem nenhuma moeda, então, antes de começar a jogar, o total de moedas que tinha no bolso totalizava, em reais, uma quantia compreendida entre

(A) 2,25 e 3,00. (B) 3,00 e 3,75. (C) 3,75 e 4,50. (D) 4,50 e 5,25. (E) 5,25 e 6,00.

Hoje 9 anos depois

Total = d + p = 155

5 anos atrás

Total = d + p – 3x14

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forma de frases. Vamos passo a passo (e é exatamente assim que vocês devem resolver a questão na hora da prova):

“Primeiramente, usou todas as moedas que tinha no bolso”: chamaremos este valor inicial de x

“duplicou a quantia que tinha colocado na máquina”: 2x

“logo a seguir, perdeu 4 reais”: 2x - 4

“Na terceira jogada novamente teve sorte e duplicou a quantia com que ficara”: 2.(2x – 4)

“mas, em seguida, perdeu outros 4 reais.”: 2.(2x – 4) – 4

“Na quinta jogada, de novo a sorte duplicou a quantia com que ficara”: 2.[2.(2x – 4) – 4]

“após o que perdeu mais 4 reais.”: 2.[2.(2x – 4) – 4] – 4

“Se após essa última jogada Estanislau ficou sem nenhuma moeda”: 2.[2.(2x – 4) – 4] – 4 = 0

“então, antes de começar a jogar, o total de moedas que tinha no bolso totalizava, em reais, uma quantia compreendida entre”: x = ???

Nosso passo a passo nos conduziu à seguinte expressão algébrica:

2.[2.(2x – 4) – 4] – 4 = 0

Para resolvê-la, é importante sabermos a ordem de prioridade com as quais as operações dentro das expressões devem ser resolvidas. Algumas devem ser resolvidas por primeiro, outras em seguida e outras por último. O esquema abaixo demonstra essa prioridade:

1º Potenciação e Radiciação

PRIORIDADE DE RESOLUÇÃO DE OPERAÇÕES EM UMA EXPRESSÃO

ALGÉBRICA

2º Multiplicação ou Divisão

3º Adição ou Subtração

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Outra prioridade existente é relativa à presença de parênteses, colchetes ou chaves nas expressões:

Sabendo esses conceitos, basta aplicá-los à resolução da expressão:

2.[2.(2x – 4) – 4] – 4 = 0

2. [4x – 8 – 4] – 4 = 0

2. [4x – 12] – 4 = 0

8x – 24 – 4 = 0

8x – 28 = 0

8x = 28 → x = 28

8 = 3,5

Logo, a quantia está compreendida entre 3,0 e 3,75.

Resposta: Letra B.

1º Parênteses ( )

PRIORIDADES – PARÊNTESES, COLCHETES E CHAVES EM UMA EXPRESSÃO

ALGÉBRICA

2º Colchetes [ ]

3º Chaves { }

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Essa questão trata de um assunto recorrente em concursos, que são as operações com frações. Elas são quase “arroz de festa”, estão em todas as provas...

Inicialmente, cabe lembrar que a “parte de cima” da fração é o numerador, e a “parte de baixo” é o denominador, como no esquema abaixo:

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Na adição, subtração, multiplicação e divisão com frações alguns cuidados devem ser tomados. Vamos analisar cada uma das quatro operações, para que cada detalhe seja bem fixado.

Adição e subtração de frações

Na adição e subtração de frações, o importante é manter todos os denominadores iguais. Essa é a regra principal. E como fazer isso? Vejam a soma abaixo:

2 7

+ 1 9 + 3

5

Para reduzir os três denominadores a um só, devemos encontrar o famoso MMC – Mínimo Múltiplo Comum. O MMC é o menor número divisível pelos três

Questão 7 – FCC/TCE-GO/Téc. Jud./2009

A prefeitura de um pequeno município estabeleceu que 2 7 da sua receita

anual seja aplicada em educação. Daquilo que sobra, 3

5 deve ser destinado à saúde. Descontando tudo que foi gasto em educação e saúde, o restante é dividido igualmente entre as despesas com funcionários e gastos com transporte e habitação. Sabendo que no ano de 2008 foram gastos R$ 300.000,00 com transporte e habitação, pode-se concluir que a receita daquele ano, em milhares de reais, foi

(A) 600 (B) 1.200 (C) 1.500 (D) 2.100 (E) 3.000

Numerador

Denominador

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denominadores, tendo zero como resto. Na verdade, o menor número divisível por qualquer número é o zero (pois podemos dividir o zero por qualquer número e ter zero como resto). Então, o MMC é o menor múltiplo comum, a exceção do zero.

No nosso exemplo, temos três denominadores: 7, 9 e 5. Cada um tem os seus múltiplos. São eles (já excluímos o zero):

• Múltiplos de 7: {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168, 175, 182, 189, 196, 203, 210, 217, 224, 231, 238, 245, 252, 259, 266, 273, 280, 287, 294, 301, 308 315, 322, 329, ...}

• Múltiplos de 9: {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162, 171, 180, 189, 198, 207, 216, 225, 234, 243, 252, 261, 270, 279, 288, 297, 306, 315, 324, 333, ...}

• Múltiplos de 5: {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 155, 160, 165, 170, 175, 180, 185, 190, 195, 200, 205, 210, 215, 220, 225, 230, 235, 240, 245, 250, 255, 260, 265, 270, 275, 280, 285, 290, 295, 300, 305, 310, 315, 320, 325, ...}

Percebam que o menor número que é divisível pelos três números é 315. Mas como descobrir isso sem precisar escrever todos esses números???

Simples, utilizamos a chamada fatoração. Na fatoração, dividimos o número pelo menor número primo possível, e seguir na divisão, até que se chegue a um quociente igual a 1.

Vamos fazer com os nossos denominadores (7, 9 e 5). Fatorando o 7:

7 7 1

Notem que como o 7 é um número primo, a fatoração do 7 é igual a ele mesmo. Fatorando o 9:

9 3 3 3 1

Fatoração do 9 = 32.

Fatoração do 5:

5 5 1

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Agora sim, a regra de ouro do MMC:

Seguindo essa regra, temos que o MMC (7, 5, 9) = 7 x 32 x 5 = 315.

Resgatando nossa soma inicial:

2 7

+ 1 9 + 3

5

Agora, substituímos os denominadores pelo MMC. Em seguida, para cada fração, dividimos pelo denominador original e multiplicamos pelo numerador, da seguinte forma:

27

+ 1 9 + 3

5

2 x 32 x 5 + 1 x 7 x 5 + 3 x 32 x 7315

Fazendo a soma, chega-se no resultado de 314 315 .

X

Fatores não comuns a todas as fatorações

Entra no cálculo do MMC

REGRA DE OURO DO MMC

Entra no cálculo do MMC com o maior expoente

Fatores comuns a todas as

fatorações

DIVIDE 315 ÷ 7 = 32 x 5

MULTIPLICA 2 X 32 x 5

÷=

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Multiplicação e divisão de frações

A multiplicação de frações é obtida diretamente, apenas multiplicando os numeradores e denominadores entre si.

Exemplo:

3 5 x 4

9 = 3 x 4

5 x 9 = 4

5 x 3 = 4

15

Já a divisão de frações é encontrada pela inversão da fração pela qual se quer dividir, seguida da multiplicação tradicional. Uma maneira mais fácil é através do “Extremos pelos Meios”, ou seja:

35 4 9 = 3 x 9

5 x 4 = 27

20

Agora estamos preparados para a resolução da questão. Vamos a ela, passo a passo!

2 7 da receita anual do município deve ser aplicado em educação.

“A prefeitura de um pequeno município estabeleceu que 2 7 da sua receita

anual seja aplicada em educação.”: chamando a receita anual de x, a parte

correspondente à educação equivale a 2 7 x

.

“Daquilo que sobra, 3 5 deve ser destinado à saúde”:

Receita para saúde = 3 5⎝

⎜⎛ x – 2

7 x

⎠⎟⎞

“Descontando tudo que foi gasto em educação e saúde, o restante é dividido igualmente entre as despesas com funcionários e gastos com transporte e

Extremos Meios

21

habitação.” Despesas com funcionários = Gastos com transporte e habitação = 12⎝

3 ⎜⎛ x – 2

7 x –

5⎝⎜⎛ x – 2

7 x

⎠⎟⎞

“Sabendo que no ano de 2008 foram gastos R$ 300.000,00 com transporte e habitação, pode-se concluir que a receita daquele ano, em milhares de reais, foi”: Gastos com transporte e habitação = 12⎝

⎜⎛ x – 2

7 x – 3

5⎝⎜

⎞ = 300.000 ⎛ x – 27 x

⎠⎟

12⎝

⎜⎛ x – 2

7 x – 3

5 x + 6

35 x

⎠⎟⎞ = 300.000

12

(35x – 10x – 21x + 6x) 35

= 300.000

12

10x 35

= ⎝⎜⎛ 5x 35⎠

⎟⎞ = 300.000

x = 2.100.000

Como a questão pede o resultado em milhares de reais (1 milhar de real = 1000 reais), a resposta é 2.100.

Resposta: Letra D.


Certo mês, do total de equipamentos que estavam em uma oficina, sabe-se

que: 3 8 foram reparados por Eustáquio,

5 12 por Alceste e os demais por

Corifeu. Assim sendo, nesse mês, o total de equipamentos reparados nessa oficina poderia ser igual a

(A) 36 (B) 40 (C) 60 (D) 72 (E) 84

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Essa questão pode ser facilmente resolvida através da análise das alternativas.

Se 3

8 dos equipamentos foram reparados por Eustáquio, é lógico que o número de equipamentos deve ser um múltiplo de 8, certo? Caso contrário, poderia ser encontrado o valor de “meio equipamento”, e é lógico que não existe “meio equipamento”!!

Dessa maneira, eliminamos as alternativas a, c e e.

Além disso, 5

12 foram reparados por Alceste. Tanto 72 (alternativa d) quanto 84 (alternativa e) são múltiplos de 12, podendo ser resposta da questão.

Passamos então para os equipamentos reparados por Corifeu, que é o restante dos equipamentos (os que não foram reparados nem por Eustáquio nem por Alceste). Traduzindo para uma equação (e chamando o total de equipamentos reparados na oficina de x), temos:

Total de equipamentos reparados por Corifeu = x – 3

8 x – 5

12 x

Total de equipamentos reparados por Corifeu = 24x – 9x – 10x

24 = 5

24 x

Da mesma maneira como pensamos antes, o número total de equipamentos da oficina deve ser múltiplo de 24, para não haver possibilidade de “meio equipamento”. 84 não é múltiplo de 24, já 72 sim!

Resposta: letra D.

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Mais uma questão para treinarmos as operações com frações.

O enunciado divide a vida do cidadão em fases, e pergunta o tempo de vida (ou existência) do mesmo. Esquematizando as informações (e chamando a existência total de e):

Fase da vida Tempo de duração da fase (em anos)Criança 1

6 e

Jovem 1 12

e

Adulto solteiro 1 7 e

Adulto casado antes da compra do iate 6 Adulto casado com iate 1

2 e

Adulto casado após ter vendido o iate 3

Desta forma, existência total = soma do tempo de duração de todas as fases.

e = 16 e + 1

12 e + 1

7 e + 6 + 1

2 e + 3

e – 16

e – 1 12

e – 1 7

e – 12

e = 9

Precisamos agora saber o MMC de 6, 12, 7 e 2, para encontrarmos o denominador comum de todas as frações. Fatorando cada um desses números, encontramos:

Fatoração de 6 = 2.3

Questão 9 – FCC/TCE-AM/ACE/2008

Um cidadão viveu a sexta parte da sua existência como criança, um doze avos como jovem e uma sétima parte como adulto solteiro. Seis anos após ter se casado comprou um iate no qual viveu com a esposa por exatamente a metade da sua existência. Vendeu o iate tendo vivido ainda três anos. Quantos anos viveu o cidadão?

(A) 56 (B) 63 (C) 72 (D) 84 (E) 96

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Fatoração de 12 = 22.3

Fatoração de 7 = 7

Fatoração de 2 = 2

Relembrando a regra de ouro do MMC: mesmo fator utilizar aquele com maior expoente, e fatores diferentes incluir todos.

MMC (6, 12, 7, 2) = 22.3.7 = 84

Retornando à equação, dessa vez com o mesmo denominador:

84e – 14e – 7e – 12e – 42e 84

= 9

9e 84

= 9

e = 84 anos de existência.

Resposta: Letra D.

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2. Memorex

NÚMEROS RACIONAIS (Q)

Ex: 1,333333 (...); 2/5; 11 ...

NÚMEROS INTEIROS (Z)

Ex: -2; -1; 0; 1; 2

NÚMEROS NATURAIS (N)

Ex: 0; 1; 2

1º Potenciação e Radiciação

PRIORIDADE DE RESOLUÇÃO DE OPERAÇÕES EM UMA EXPRESSÃO

ALGÉBRICA

2º Multiplicação ou Divisão

3º Adição ou Subtração

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1º Parênteses ( )

PRIORIDADES – PARÊNTESES, COLCHETES E CHAVES EM UMA EXPRESSÃO

ALGÉBRICA

2º Colchetes [ ]

3º Chaves { }

Fatores não comuns a todas as fatorações

Entra no cálculo do MMC

REGRA DE OURO DO MMC

Entra no cálculo do MMC com o maior expoente

Fatores comuns a todas as

fatorações

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28

3. Lista das questões abordadas em aula


Considere que os números inteiros e positivos que aparecem no quadro abaixo foram dispostos segundo determinado critério.

Completando corretamente esse quadro de acordo com tal critério, a soma dos números que estão faltando é

(A) maior que 19. (B) 19. (C) 16. (D) 14. (E) menor que 14.


De gosto muito duvidoso, Alfonso, a fim de distrair-se, estava escrevendo a sucessão dos números naturais – começando do zero - quando sua esposa o chamou para jantar, fazendo com que ele interrompesse a escrita após escrever certo número. Considerando que, até parar, Alfonso havia escrito 4 250 algarismos, o último número que ele escreveu foi (A) 1 339. (B) 1 353. (C) 1 587. (D) 1 599. (E) 1 729.


Um grupo de sete amigos foi almoçar num restaurante em que o valor da refeição é de R$ 24,20 por pessoa, independentemente daquilo que cada um comer. Cada um pediu ainda um refrigerante, que custa R$ 2,50 a unidade, e uma sobremesa no valor de R$ 4,50 cada. Como um dos amigos fazia

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aniversário, eles decidiram dividir a conta por seis. Se nesse restaurante não se cobra taxa de serviço, o total desembolsado por cada um dos seis pagantes foi, em R$,

(A) 29,90 (B) 31,20 (C) 34,50 (D) 36,40 (E) 38,80


Considere que os números inteiros que aparecem na tabela abaixo foram dispostos segundo determinado padrão.

1ª Coluna 2ª Coluna 3ª Coluna 4ª Coluna 5ª Coluna 0 2 4 6 8 7 9 11 13 15 14 16 18 20 22 21 23 25 27 29 28 30 32 34 36

Se esse padrão fosse mantido indefinidamente, qual dos números seguintes com certeza NÃO estaria nessa tabela?

(A) 585 (B) 623 (C) 745 (D) 816 (E) 930


Sabe-se que daqui a 9 anos a soma da idade de Dagoberto com as de seus pais será 155 anos. Assim sendo, há 5 anos atrás quantos anos totalizavam as idades dos três?

(A) 96 (B) 108 (C) 113 (D) 117 (E) 121

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Em uma viagem de turismo à Argentina, Estanislau ficou fascinado com as máquinas de caça níqueis de um cassino e, sabendo que poderia usar moedas brasileiras, resolveu testar a sua sorte em uma máquina. Primeiramente, usou todas as moedas que tinha no bolso: teve sorte e duplicou a quantia que tinha colocado na máquina; entretanto, logo a seguir, perdeu 4 reais. Na terceira jogada novamente teve sorte e duplicou a quantia com que ficara, mas, em seguida, perdeu outros 4 reais. Na quinta jogada, de novo a sorte duplicou a quantia com que ficara, após o que perdeu mais 4 reais. Se após essa última jogada Estanislau ficou sem nenhuma moeda, então, antes de começar a jogar, o total de moedas que tinha no bolso totalizava, em reais, uma quantia compreendida entre

(A) 2,25 e 3,00. (B) 3,00 e 3,75. (C) 3,75 e 4,50. (D) 4,50 e 5,25. (E) 5,25 e 6,00.


A prefeitura de um pequeno município estabeleceu que 2 7 da sua receita

anual seja aplicada em educação. Daquilo que sobra, 3

5 deve ser destinado à saúde. Descontando tudo que foi gasto em educação e saúde, o restante é dividido igualmente entre as despesas com funcionários e gastos com transporte e habitação. Sabendo que no ano de 2008 foram gastos R$ 300.000,00 com transporte e habitação, pode-se concluir que a receita daquele ano, em milhares de reais, foi

(A) 600 (B) 1.200 (C) 1.500 (D) 2.100 (E) 3.000


Certo mês, do total de equipamentos que estavam em uma oficina, sabe-se

que: 3 8 foram reparados por Eustáquio,

5 12 por Alceste e os demais por

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Corifeu. Assim sendo, nesse mês, o total de equipamentos reparados nessa oficina poderia ser igual a

(A) 36 (B) 40 (C) 60 (D) 72 (E) 84


Um cidadão viveu a sexta parte da sua existência como criança, um doze avos como jovem e uma sétima parte como adulto solteiro. Seis anos após ter se casado comprou um iate no qual viveu com a esposa por exatamente a metade da sua existência. Vendeu o iate tendo vivido ainda três anos. Quantos anos viveu o cidadão?

(A) 56 (B) 63 (C) 72 (D) 84 (E) 96

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4. Gabarito

1 – A 4 – C 7 – D

2 – A 5 – C 8 – D

3 – D 6 - B 9 - D

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