Aula 09

Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis

Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

Aula 09



Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

III.1. Introdução

III.2. Torção de Barras

III.2.1. Seção Circular

III.2.2. Seções Não Circulares

III.3. Flexão Simples de Barras



Cálculo das Tensões



rztz

z

z

x

y

zx

z

x

yyz

z

As seções planas NÃO permanecem planas após a deformação

dAyMA zx

A zy dAxM

0 dANA z

A zxx dAV

A yzy dAV

0A zxyz dAyxT





plano da superfície do

contorno

plano da seção transversal

plano da seção longitudinal

0 rtrz tensões na seção

transversal

0 trzr

zt

z

z

x

y

rz

zr

z

r

t

trzttz

rt

rz

z

Na superfície do contorno, não há solicitações tangenciais na direção longitudinal (z) nem na direção tangencial (t) - cortante atua no plano r-t. Portanto, nessa superfície, não há também tensões tangenciais nas direções z e t.







tz

z

z

x

y

ztplano da seção

longitudinal r

Na seção transversal, as tensões de cisalhamento são tangenciais ao contorno.






Determinação de z

dAyMA zx :

A zy dAxMe ,0 dANA z

Desprezando essas deformações e considerando

y

y

x

x

I

xM

I

yMz como na Flexão Pura

As deformações provocadas pelo esforço cortante são muito inferiores às provocadas pelo momento fletor.






0A zxx dAV

A yzy dAV

Determinação de tz

0 e 0 yx VMSeções Simétricas em relação ao plano de carregamento :

y

x

Vy

Mx

y

x

y

zx

yz

A tensão de cisalhamento tz , na seção transversal, decompõe-se e zx e yz.

Devido à simetria,

e

dz

Vy Vy+dVy

Mx

Mx+dMx

qy

As tensões zx são de baixo valor e autoequilibradas; as tensões yz resultam em Vy







0 zF

dz

Vy Vy+dVy

Mx

Mx+dMx

qy

zy

z z+dz

zy

dz

zy

by

** dNN

*

*

A zdAN *A

*** dNNdzbN yyz (1)dzbdN yyz *




Componente yz




*

*

A zdAN

**

**

* A

x

x

Ax

x dAyI

MdA

I

yMN

(1)dzbdN yyz *

y

x

y

y*

A*

by

x

xz I

yM

x

xx

I

SMN

** (2)

I

SdMdN

x

xx *

*





Componente yz




x

xxyyz I

SdMdzb

*

Igualando (1) e (2):

xy

xxyz Ib

S

dz

dM *

xy

xyyz Ib

SV *

Fórmula de Zhuravski


y

x

y

y*

A*

by




Componente yz




Perfis Abertos e Fechados

x

xy

xy

xyz tI

SV

Ib

SV

2

**

Fórmula de Zhuravski:



by=2t

y

x

y

y*A*

t t

zz

na direção da LM

Nestes casos, como a tensão é sempre tangencial ao contorno, a fórmula de Zhuravski fornece a tensão resultante z.







Seções Não Simétricas em relação ao plano de carregamento:

Nestes casos, as tensões de cisalhamento resultam num binário em torno de z.

x

y

Vy Vx Mx

My

T

A solicitação torna-se uma flexo-torção.

Para que não haja momento torsor, é necessário que o plano de carregamento (plano de ação do esforço cortante resultante) seja tal que provoque um momento que venha a equilibrar aquele provocado pelas tensões devidas ao cortante.








O novo ponto de aplicação das componentes do esforço cortante chama-se Centro de Cisalhamento da seção.

Reduzindo, assim, os esforços ao CG da seção, o momento torsor se anula.

x

y

Vy

Vx Mx

My

xcyc

CCxc e yc são as coordenadas do CC.

Dentre as seções usuais as mais recorrentes são as dos Perfis Abertos.








Perfis Abertos:

y

yx

x

xyz I

SV

I

SV

t

**1Para o caso geral VxK0 e VyK0,

y

yx

x

xyzc I

SV

I

SVtf

**

é o fluxo cisalhante.CG

rdFds t

x

y

Vx

Vy






tdsrdArrdFdT zz S

ztdsrT0

CG

rdFds t

x

y

Vx

Vy

onde S é o comprimento da LM da seção.

S

y

yx

x

xy rdsI

SV

I

SVT

0

**

S

yy

xS

xx

y rdsSI

VrdsS

I

VT

0

*

0

*

Determinação do CC em Perfis Abertos






Se T = 0, não haverá torção na seção.

S

yy

xS

xx

y rdsSI

VrdsS

I

VT

0

*

0

*

O momento torsor somente será nulo se Vx e Vy passarem por um ponto tal que a variável r torne as integrais acima nulas. Este ponto é o CC.

CG

rdFds t

x

y

Vx

Vy







Se T = 0, não haverá torção na seção.

S

yy

xS

xx

y rdsSI

VrdsS

I

VT

0

*

0

*

r

CG

dFds t

x

y

Vx

Vy

O momento torsor somente será nulo se Vx e Vy passarem por um ponto tal que a variável r torne as integrais acima nulas. Este ponto é o CC.

xcyc

CC







00

*

0

* S

yy

xS

xx

y rdsSI

VrdsS

I

VT

00

*

0

* S

y

S

x rdsSrdsS

Estas integrais serão resolvidas por partes, com base em uma mudança de variáveis.r

CG

dFds t

x

y

Vx

Vy

xcyc

CC







, etc., mmcmrds 22s

0

P

rds

x

y

OA

s O

ds A

Seja P um ponto qualquer contido no plano da seção transversal do perfil e O e A pontos quaisquer da linha média da seção.

Se O é a origem a partir da qual se mede a variável s sobre a linha média e r a distância do ponto P ao ponto A, define-se área setorial do ponto A como







Área Setorial de um ponto da Linha Média:

P

rds

x

y

OA

O conceito de área setorial de um ponto depende, portanto, dos pontos arbitrários O e P.

O é a origem e P o pólo.

rdsd é a variação da área setorial e equivale ao dobro da área do triângulo infinitesimal de base ds e altura r.

srds

0

s O

ds A








P

rds

x

y

OA

Assim, a área setorial do ponto A da linha média é o dobro da área varrida pelo raio-vetor PO, a partir da origem O até o ponto A.

rdsd

srds

0

OA

P

= 2* Área POA

s O

ds A








P

rds

x

y

OA

Convenção de Sinais: rdsd

srds

0

OA

P

AO

P

d< 0

d> 0

s O

ds A








P

rds

x

y

OA

O gráfico x s é chamado Diagrama de Áreas Setoriais

rdsd

srds

0

O

P x

y

s

(-)

(+)Observar que, na origem, = 0.

s O

ds A








P

rds

x

y

OA

rdsd

srds

0

xx

y

dx

dydsy

P

AA'

B PAA'Áread *2 PBA' ABA' PABÁread *2

222

2dydxxdxdyydx

d

s O

ds A








P

rds

x

y

OA

rdsd

srds

0

xx

y

dx

dydsy

P

AA'

Bxdyydxd

dxdyxdydxdyydxd s O

ds A







Variação da Área Setorial com a Origem:

P

rds

x

y

OA

O1s1

rdsd

srds

0

ds AO2

s2

1

01

srds 2

02

srds

012 sss e

onde s0 é a distância O1O2.

Logo, 0101

0002

ssssrdsrdsrdss0

C 12 onde 0

0

srdsC = constante







Variação da Área Setorial com a Origem:

P

rds

x

y

OA

rdsd

srds

0

Alterando-se a origem, a variação da área setorial é a mesma em todos os pontos da linha média.

C 12

A diferença entre as áreas setoriais de um mesmo ponto é constante para todos os pontos.

O1s1

ds AO2

s2 s0







Variação da Área Setorial com o Pólo:

P1

rds

x

y

OA

rdsd

srds

0

P2a b

dyxdxyd 222 dyaxdxbyd 112

adybdxdyxdxyd 112adybdxdd 12

P1

P2

A O

x1

y1

x2

y2

y1 y2

x2

x1 a

b

x1O y1O








P1

rds

x

y

OA srds

0

P2a b

adybdxdd 12

1

O1

1

O112

y

y

x

xdyadxb

O11O1112 yyaxxb ou

O111O11112 22yyxxxy PP




P1

P2

A O

x1

y1

x2

y2

y1 y2

x2

x1 a

b

x1O y1O

rdsd





P1

rds

x

y

OA

rdsd

srds

0

P2a b O111O11112 22

yyxxxy PP

Alterando-se o pólo, a área setorial de um ponto varia com sua posição relativa à origem.




P1

P2

A O

x1

y1

x2

y2

y1 y2

x2

x1 a

b

x1O y1O




Propriedades Geométricas Setoriais:

rdsd

srds

0

A

StdsdAS

0 4cm

r

x

yds

ttdsdA

Momento Estático Setorial:

P

rds

x

y

OA








rdsd

srds

0

A

S

x tdsydAyI0

5cmr

x

yds

ttdsdA

Momentos Setoriais Lineares:

A

S

y tdsxdAxI0

P

rds

x

y

OA








rdsd

srds

0

A

StdsdAI

0

22 6cm

r

x

yds

ttdsdA

Momento de Inércia Setorial:

P

rds

x

y

OA








rdsd

srds

0

Alterando-se a origem, a variação da área setorial é a mesma em todos os pontos da LM.

Logo, para cada pólo arbitrado, haverá uma origem tal que S = 0.

P

rds

x

y

OA




A área setorial calculada com base nesta origem é dita Área Setorial Principal.

Se o pólo é o CG da seção, a área setorial é dita Área Setorial Central Principal.




CG

rdFds t

x

y

Vx

Vyxcyc

CCComo visto, o momento torsor resultante da ação dos esforços cortantes é determinado por

Este momento será nulo se

S

yy

xS

xx

y rdsSI

VrdsS

I

VT

0

*

0

*

00

*

0

* S

y

S

x rdsSrdsS







Estas integrais serão resolvidas por partes, a partir da seguinte mudança de variável:

S

x

S

x

S

x dss

SdSrdsS0

*

0

*

0

*

S

y

S

y

S

y dss

SdSrdsS0

*

0

*

0

*

eCG

rdFds t

x

y

Vx

Vyxcyc

CC







SSSS

x vduuvudvdss

S0000

* |Assim,

onde*xSu e ds

sdv

Logo, dss

Sdu x

*

e v

CG

rdFds t

x

y

Vx

Vyxcyc

CC







S

xS

x

S

x dss

SSds

sS

0

*

0

*

0

* |

Substituindo estes valores na integral,

e

**

***

AAx tdsydAyS

0|0

* S

xS 0|0

* S

xS tys

Sx **

y* 0

CG

rdFds t

x

y

Vx

Vyxcyc

CC

Logo,







SS

x tdsydss

S0

*

0

*

Desta forma,

ou

Analogamente,

CG

rdFds t

x

y

Vx

Vyxcyc

CC y*

x

S

x IrdsS 0*

y

S

y IrdsS 0*







Conclusão: o momento torsor gerado pelos esforços cortantes vale:

e somente será nulo se 0 yx II

y

yx

x

xy I

IV

I

IVT CG

rdFds t

x

y

Vx

Vyxcyc

CC y*







Para que os momentos setoriais lineares sejam nulos, é necessário escolher o pólo adequadamente.

Para tanto, toma-se inicialmente o CG como pólo, e determina-se os momentos setoriais lineares Ix e Iy.

Por meio de mudança de pólo, determina-se os novos momentos setoriais lineares que devem, por sua vez, ser nulos. Este novo pólo é o CC e por ele devem passar Vx e Vy.

CG

rdFds t

x

y

Vx

Vyxcyc

CC y*







A área setorial para um novo pólo será:

OO yyxxxy ccc onde

é a área setorial tomando o CG como pólo,

xc e yc são as coordenadas do novo pólo e

xO e yO as coordenadas da origem arbitrária.

r

CG

dFds t

x

y

Vx

Vy

xcyc

CC







O momento setorial linear Ixc será, então:

A ccA cx dAyyxxxyydAyI

c OO

Desenvolvendo-se esta expressão, tem-se:

AcAcAx dAyyyxdAxxyydAyI

c OO

xxcxxycxx SyIxSxIyIIc OO

r

CG

dFds t

x

y

Vx

Vy

xcyc

CC







Como x e y são os eixos centrais principais,

0 xxy SI

Assim,

xcxx IxIIc

r

CG

dFds t

x

y

Vx

Vy

xcyc

CC

Analogamente,

ycyy IyIIc







Assim, se o momento o torsor é nulo em relação ao eixo com origem em xc e yc,

r

CG

dFds t

x

y

Vx

Vy

xcyc

CC

0 ycyy IyIIc

0 xcxx IxIIc e

x

xc I

Ix

y

yc I

Iy







Observações:

r

CG

dFds t

x

y

Vx

Vy

xcyc

CC a) Na avaliação dos momentos setoriais lineares, a origem é arbitrária.

De fato, ela pode ser qualquer, pois alterando-se a origem, a variação da área setorial é a mesma em todos os pontos da LM e, consequentemente, os momentos setoriais lineares não se alteram, quando o pólo é o CG da seção.







Observações:

r

CG

dFds t

x

y

Vx

Vy

xcyc


C 12 AAx dACydAyI 122

xxAAx CSIydACdAyI 12 1

Se o pólo é o CG da seção, Sx = 0 e,

consequentemente, 12 xx II







Observações:

r

CG

dFds t

x

y

Vx

Vy

xcyc


yyy CSII 12

e, se o pólo é o CG da seção, Sy = 0 e,

consequentemente, 12 yy II

Analogamente,







Observações:

r

CG

dFds t

x

y

Vx

Vy

xcyc

CC b) O CC está sempre situado sobre eixos de simetria, quando estes existem.

De fato, sendo a origem arbitrária, pode-se imaginá-la sobre o eixo de simetria. Logo, se o pólo é o CG, a área setorial é anti-simétrica.







Observações:

r

CG

dFds t

x

y

Vx

Vy

xcyc


Sendo x um eixo de simetria,

0Ay dAxI 0cy y

-y

x

x

x

y







Observações:

r

CG

dFds t

x

y

Vx

Vy

xcyc


Sendo y um eixo de simetria,

0Ax dAyI 0cx yy

x-xx

y







Observações:

r

CG

dFds t

x

y

Vx

Vy

xcyc


xCC CG

yxc

x

y

CC

CG

yc

x

y

CCLCG







Observações:

r

CG

dFds t

x

y

Vx

Vy

xcyc

CC c) Se as linhas médias de todos os componentes da seção concorrem para um mesmo ponto, este ponto é o seu CC.

De fato, se o fluxo cisalhante resulta em um conjunto de forças concorrentes, o momento resultante é nulo.




xCC

CG

y

xc

yc

As coordenadas do CC também são designadas por

xo e yo




Observações:

r

CG

dFds t

x

y

Vx

Vy

xcyc

CC d) Constante de Empenamento C.

Esta propriedade é utilizada para se medir a perda de planicidade da seção sob torção.

O momento setorial de inércia I calculado com base na área setorial principal (S = 0) e pólo no CC é uma propriedade geométrica da seção conhecida por Constante de Empenamento.







Observações:

r

CG

dFds t

x

y

Vx

Vy

xcyc

CC

Seja c a área setorial tomando o CC como pólo e uma origem arbitrária.

Alterando a origem de modo a se obter S = 0, tem-se:

0 A cAdACdAS

d) Constante de Empenamento C.







Observações:

r

CG

dFds t

x

y

Vx

Vy

xcyc

CC

Assim,

0A c dAC 0 CASc

A

SC c

A

Sc

c e

AdAC 2

d) Constante de Empenamento C.







A ordem de grandeza das tensões normais devidas ao momento fletor é, em geral, muito superior à das tensões de cisalhamento devidas ao cortante.

Corte

Exemplo:

em z=0, Vmáx = PMmáx = PL

2

6

bh

PL

W

M

x

máxmáx

L

P

y

z

y

x

b

h

bh

P

A

Vmáxmáx 2

3

2

3

h

L

máx

máx 4






Portanto, em geral, quem governa o projeto de barras submetidas à flexão simples é o momento fletor.

Corte

No entanto, à medida que o comprimento decresce, a diferença entre as máximas tensões normal e de cisalhamento diminui, podendo haver casos onde as tensões de cisalhamento serão de maior importância.

Nestes casos a solicitação é denominada Corte.






Exemplos:

Corte



ligações parafusadas em solicitação axial

parafusos

PP

L2L1

ligações soldadas em solicitação axial

cordões de solda

PP

L2L1




Exemplos:

Corte



ligações coladas em solicitação axial

cola

PP

L2L1

ligações com conectores de cisalhamento em solicitação axial

conectores

PP

L2L1




Exemplos:

Corte



entalhes

V

P

ligações parafusadas sob flexão

L

P

P

M

ligações soldadas sob flexão

L

P

P

M

consoles

L

P

P

M




Exemplos:

Corte



ligações parafusadas sob torção

T

T

T

T

ligações soldadas sob torção




Exemplos:

Corte



tensões longitudinais de cisalhamento

perfil soldado viga mista com conectores de cisalhamento

peças coladas peças ligadas por conectores

peças parafusadas ou ligadas por pinos

Seções




Admitindo-se, neste caso, a hipótese das seções planas,

Corte



A zdAV AdAV zAz

A

Vz

O cálculo da tensão de cisalhamento, portanto, só depende da avaliação adequada do esforço cortante que está atuando no 'meio de ligação'.





Projeto de Barras Fletidas (Momento Fletor e Cortante)

R

limd

Resistência e Estabilidade: e

R

limd

onde

lim

R

d são, respectivamente, as máximas tensões de cálculo normal e de cisalhamento

são, respectivamente, as tensões limites normal e de cisalhamento (funções dos estados limites considerados) e

é o coeficiente de resistência

e d

e lim

yVyV

xM xM




R

limd


R

limd

yVyV

xM xM

R

Tlim

t

dTmáxdd W

M

,

R

Clim

c

dCmáxdd W

M

,

RTlimtd WM

RClimcd WM

e

como na Flexão Pura e






R

limd


R

limd

R

limdd A

V

R

limd

AV

yVyV

xM xM

para as seções, em geral, carregadas

segundo o plano de simetria,

onde é um fator que depende da geometria da seção, ou






R

limd


R

limd

yVyV

xM xM

para perfis abertos carregados segundo o seu CC ou

R

lim

máxy

yxd

x

xydd I

SV

I

SV

t

**1

R

lim

máxy

yxd

x

xyd t

I

SV

I

SV

**






R

limd


R

limd

yVyV

xM xM

no caso de Corte.R

limdd A

V






Rigidez:

A verificação da Rigidez é feita da mesma forma que na Flexão Pura, pois as deformações devidas ao esforço cortante são, em geral, desprezíveis.





Fim da Aula 09

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