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Faculdade Pan Amaznica (FAPAN) / Faculdade Paraense de Ensino (FAPEN).

Bacharelado em Cincia da Computao 3o / 4o semestres.

Disciplina: Circuitos Digitais 2 semestre / 2014.

Professor: Cleyton Muto.

Aula 1: Introduo aos Circuitos Digitais

1. Apresentao da disciplina

Na aula de hoje sero apresentadas a ementa da disciplina, os objetivos, o contedo programtico, o

mtodo de avaliao e a bibliografia. Alm disso, ser iniciado o assunto de converso de bases.

2. Converso de bases numricas

decimal para binrio / binrio para decimal

decimal para octal / octal para decimal

decimal para hexadecimal / hexadecimal para decimal

binrio para octal / octal para binrio

binrio para hexadecimal / hexadecimal para binrio

octal para hexadecimal / hexadecimal para octal

2.1 Converso de decimal para binrio

A base binria utiliza apenas dois dgitos: 0 e 1. A converso de decimal para binrio feita pela

diviso sucessiva por 2, onde cada nova diviso feita com o quociente anterior, at que o

quociente resulte em 1. O nmero assim convertido composto pelo ltimo quociente com os

restos das divises, de trs para frente. Por exemplo, converter o decimal 47 para binrio:

4710 = 1011112

2.2 Converso de binrio para decimal

A converso de binrio para decimal feita pela soma dos produtos dos dgitos binrios com as

potncias de 2, cujos expoentes crescem da direita para esquerda, comeando com expoente zero:

1 0 1 1 1 1

25 24 23 22 21 20

1 25 + 0 24 + 1 23 + 1 22 + 1 21 + 1 20 =

= 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 1 = 47

2

Exerccios:

- Converter 15010 de decimal para binrio.

- Converter 110110112 de binrio para decimal.

2.3 Converso de nmeros fracionrios decimais para binrio

Para converter nmeros fracionrios decimais para binrio, deve se proceder em duas etapas. A

parte inteira utiliza a converso de base convencional vista anteriormente. A parte fracionria da

converso composta pelo produto consecutivo da parte fracionria por 2, onde cada novo fator

a ser multiplicado a parte fracionria do produto anterior, at que o produto resulte em 1. O

binrio fracionrio assim obtido a parte inteira de cada produto. Por exemplo, converter o

decimal fracionrio 8,375 para binrio:

A parte inteira 8 convertida da forma convencional: 810 = 10002, verifique.

8 2

= 0 = 4 2

= 0 = 2 2

= 0 = 1

J a parte fracionria 0,375 multiplicada por 2 sucessivamente, at que resulte em 1. Em cada

multiplicao, utiliza-se apenas a parte fracionria do resultado anterior:

0,375 0,750 0,500

x 2 x 2 x 2

0,750 1,500 1,000

O equivalente binrio composto pela parte inteira desses resultados, da esquerda para direita.

Assim, 0,37510 = 0,0112

Finalmente: 8,37510 = 1000,0112

Deve-se observar que nem todo decimal fracionrio pode ser convertido apropriadamente em

binrio. Por exemplo, ao tentar converter 0,8 de decimal para binrio:

0,8 0,6 0,2 0,4 0,8

x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 (...)

1,6 1,2 0,4 0,8 1,6

resulta em uma espcie de dzima peridica, ou seja, 810 = 0,110011002 ...

Neste caso, a indicao da dzima comprova que a converso no exata.

2.4 Converso de nmeros binrios fracionrios para decimal

Na converso de nmeros binrios fracionrios para decimal, a parte binria inteira convertida de

forma convencional, enquanto que a parte fracionria efetuada pela soma dos produtos dos

dgitos binrios com as potncias de 2 com expoente negativo crescente, da esquerda para direita.

Por exemplo, converter 1000,0112 de binrio para decimal.

A parte binria inteira convertida da maneira convencional (item 2.2). Assim, 10002 = 810

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J a parte fracionria binria 0,0112 convertida para decimal, como sendo a soma de produtos

das potncias de 2, cujos expoentes so negativos, comeando em 1, da esquerda para direita.

0, 0 1 1

2-1 2-2 2-3

0 21 + 1 22 + 1 23 =

= 0 1

2+ 1

1

4+ 1

1

8

= 0 + 0,25 + 0,125 = 0,375

Portanto, o resultado final da converso a parte inteira mais a fracionria: 1000,0112 = 8,37510

Exerccios:

- Converter 45,3437510 de decimal para binrio.

- Converter 110011,11012 de binrio para decimal.

2.5 Converso de decimal para octal

A base octal admite 8 dgitos diferentes, de 0 at 7: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Semelhante converso para binrio, a converso de decimal para octal feita pela diviso

sucessiva por 8, onde cada nova diviso feita com o quociente anterior, at que o quociente

resulte em um valor menor que 8. O nmero convertido composto pelo ltimo quociente com os

restos das divises de trs para frente. Por exemplo, converter o decimal 92 para octal:

92 8

= 4 = 11 8

= 3 = 1

9210 = 1348

2.6 Converso de octal para decimal

A converso de octal para decimal feita pela soma dos produtos dos dgitos octais com as

potncias de 8, com expoente crescente da direita para esquerda, comeando com expoente zero:

1 3 4

82 81 80

1 82 + 3 81 + 4 80 =

= 1 64 + 3 8 + 4 1 =

= 64 + 24 + 4 = 92

4

Exerccios:

- Converter 71910 de decimal para octal.

- Converter 4768 de octal para decimal.

2.7 Converso de decimal para hexadecimal

A base hexadecimal utiliza 16 caracteres diferentes, de 0 at 9 e as letras de A at F:

caracteres hexadecimais = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

As letras de A at F representam os valores decimais de 10 at 15, respectivamente.

Semelhante converso para binrio ou octal, a converso de decimal para hexadecimal feita pela

diviso sucessiva por 16, onde cada nova diviso feita com o quociente anterior, at que o

quociente resulte em um valor menor que 16. O nmero convertido composto pelo ltimo

quociente com os restos das divises, de trs para frente. Por exemplo, converter o decimal 123 para

hexadecimal:

123 16

=11= 7

O resto 11 representado pela letra B em hexadecimal. Assim, a converso fica 12310 = 7B16

2.8 Converso de hexadecimal para decimal

A converso de hexadecimal para decimal feita pela soma dos produtos dos dgitos hexadecimais

com as potncias de 16, com expoente crescente da direita para esquerda, comeando com expoente

zero:

7 B

161 160

Lembre que o caractere hexadecimal B vale 11 em decimal.

7 161 + 11 160 =

= 112 + 11 = 123

Exerccios:

- Converter 19710 de decimal para hexadecimal.

- Converter 8E16 de hexadecimal para decimal.

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2.9 Converso de binrio para octal

Para converter um nmero binrio para base octal, basta agrupar o nmero binrio em grupos de 3

dgitos, da direita para esquerda, e converter cada grupo para decimal separadamente. No caso de

no haver dgitos suficientes no primeiro grupo, acrescente zeros esquerda at completar 3 dgitos;

em outras palavras, a quantidade de dgitos do nmero binrio deve ser mltipla de 3.

Por exemplo, converter 101011100112 de binrio para octal.

Primeiro, agrupamos o binrio em grupos de 3 dgitos, da direita para esquerda:

10 101 110 011

Note que o primeiro grupo da esquerda no possui dgitos suficientes, ento preciso completar

com zero esquerda:

010 101 110 011

Assim, convertermos cada grupo para base decimal, separadamente:

2 5 6 3

O nmero assim obtido o equivalente octal, ou seja, 101011100112 = 25638

2.10 Converso de octal para binrio

A converso de octal para binrio feito de modo inverso ao mostrado no item anterior (2.9), basta

converter cada dgito octal para um binrio de 3 dgitos. Mas note que importante completar com

zeros esquerda todas as vezes que o binrio obtido para cada dgito octal no tiver 3 dgitos.

Por exemplo, converter 41378 de octal para binrio.

Primeiro, convertemos cada dgito octal para seu correspondente binrio, considerando esses dgitos

como se fossem decimais. No esquea de completar com zeros esquerda, caso o binrio

correspondente tenha menos de 3 dgitos!

4 1 3 7

100 001 011 111

Assim, o binrio correspondente 41378 = 1000010111112

Exerccios:

- Converter 11010101001102 de binrio para octal.

- Converter 374218 de octal para binrio.

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2.11 Converso de binrio para hexadecimal

Para converter um nmero binrio para base hexadecimal, basta agrupar o nmero binrio em

grupos de 4 dgitos, da direita para esquerda, e converter cada grupo para decimal separadamente.

Se o decimal assim obtido estiver no intervalo de 10 a 15, necessrio utilizar o caractere

correspondente de A at F, respectivamente. No caso de no haver dgitos suficientes no

primeiro grupo, acrescente zeros esquerda at completar 4 dgitos; em outras palavras, a

quantidade de dgitos do nmero binrio deve ser mltipla de 4.

Por exemplo, converter 101011010111102 de binrio para hexadecimal.

Primeiro, agrupamos o binrio em grupos de 4 dgitos, da direita para esquerda

10 1011 0101 1110

Note que o primeiro grupo da esquerda no possui dgitos suficientes, ento preciso completar

com zero esquerda:

0010 1011 0101 1110

Assim, convertermos cada grupo para base decimal, separadamente:

2 11 5 14

Os valores entre 10 e 15 devem ser representados como caracteres entre A e F, respectivamente.

2 B 5 E

O valor assim obtido o equivalente hexadecimal, ou seja, 101011010111002 = 2B5E16

2.12 Converso de hexadecimal para binrio

A converso de hexadecimal para binrio feito de modo inverso ao mostrado no item anterior

(2.11), basta converter cada dgito hexadecimal para um binrio de 4 dgitos. Mas note que

importante completar com zeros esquerda todas as vezes que o binrio obtido para cada dgito

hexadecimal no tiver 4 dgitos.

Por exemplo, converter C7A316 de hexadecimal para binrio.

Primeiro, convertemos cada caractere hexadecimal para seu correspondente binrio, considerando

esses caracteres como se fossem decimais. No esquea de completar com zeros esquerda, caso o

binrio correspondente tenha menos de 4 dgitos!

C 7 A 3

12 7 10 3

1100 0111 1010 0011

Assim, o binrio correspondente C7A316 = 11000111101000112

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Exerccios:

- Converter de binrio 1101101100001112 para hexadecimal.

- Converter de hexadecimal F2B916 para binrio.

2.13 Converso de octal para hexadecimal

A maneira mais simples de efetuar essa converso utilizar uma converso intermediria de octal

para binrio (item 2.10), e depois de binrio para hexadecimal (item 2.11).

2.14 Converso de hexadecimal para octal

A maneira mais simples de efetuar essa converso utilizar uma converso intermediria de

hexadecimal para binrio (item 2.12), e depois de binrio para octal (item 2.9).

3. Operaes aritmticas no sistema binrio

3.1 Adio no sistema binrio

Para efetuar a adio no sistema binrio, deve-se agir como uma adio convencional no sistema

decimal, lembrando que, no sistema binrio, h somente 2 algarismos: 0 e 1. Assim:

0 0 1 1

+ 0 + 1 + 0 + 1

0 1 1 10

Convm observar que no sistema decimal 1 + 1 = 2, e no sistema binrio o nmero 210

representado por 102. Pela operao realizada, note a regra do transporte vai 1 para a prxima

coluna. Essa operao de transporte denominada carry, em ingls. Para melhor exemplificar,

vamos somar os binrios 112 e 102 :

1

011

+010

101

Note a operao na 2a coluna onde 1 + 1 = 0 e vai 1 para a prxima coluna. Assim, 112 + 102 = 1012

Outro exemplo, vamos efetuar 1102 + 1112 :

1 1

0110

+0111

1101

Se tiver dvidas, comprove convertendo para decimal: 1102 + 1112 = 11012 equivale a 6 + 7 = 13.

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Exerccios:

- Efetuar 110012 + 10112

- Efetuar 1011012 + 111000112

- Efetuar 111112 + 1111112

- Efetuar 1001112 + 11102 + 10112

3.2 Subtrao no sistema binrio

O mtodo de resoluo no sistema binrio anlogo a uma subtrao no sistema decimal.

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

Observe que para o caso de 0 1, o resultado ser igual a 1, porm haver um transporte da coluna

seguinte que deve ser acumulado no subtraendo e, obviamente, subtrado do subtraendo.

Para exemplificar, vamos efetuar a operao 1112 1002 :

111

100

011

Resultado: 1112 1002 = 112 que em decimal fica 7 4 = 3.

Agora, para melhor elucidar o caso 0 1, vamos resolver a operao 10002 1112. Assim:

1000

0111

0001

Exerccios:

- Efetuar 10102 10002

- Efetuar 100102 100012

- Efetuar 110002 1112

3.3 Multiplicao no sistema binrio

A multiplicao no sistema binrio se procede de forma semelhante multiplicao no sistema

decimal:

0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1

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Por exemplo, multiplicar 110102 por 102

Organizamos de forma semelhante ao sistema decimal:

11010

10 00000

11010+

110100

Resultado: 110102 102 = 1101002, equivalente decimal a: 26 2 = 52

Exerccios:

- Efetuar 11002 112

- Efetuar 110102 1012

- Efetuar 1001012 10012

3.4 Diviso no sistema binrio

A diviso entre nmeros binrios a mais complexa das operaes aritmticas binrias, pois

abrange operaes de multiplicao e subtrao. No vamos abord-la, pois no a utilizaremos no

estudo dos circuitos digitais.

4. Notao dos nmeros binrios positivos e negativos

4.1 Uso do bit de sinal

A representao de nmeros binrios positivos e negativos pode ser feita utilizando-se os sinais +

ou respectivamente. Na prtica, porm, em hardware dos sistemas digitais que processam

operaes aritmticas, computadores pessoais por exemplo, estes sinais no podem ser utilizados,

pois tudo deve ser codificado em 0 ou 1. Assim, uma forma de representar esses sinais pelo

acrscimo de um bit de sinal colocado esquerda do nmero binrio, na posio de algarismo mais

significativo*.

*Uma pequena nota sobre algarismos mais significativos e menos significativos. Em bases

numricas, estamos acostumados com que o algarismo mais significativo seja o primeiro da

esquerda para a direita, por exemplo, um milho escrito como 1000000.

Em computao, ao escrevermos sequncias de bytes como, por exemplo, A9 B3 7E 62, este padro

perfeitamente utilizado e conhecido como big-endian, onde o byte mais significativo (MSB Most

Significant Byte) representado primeiro, neste caso A9 o MSB; e por outro lado, o byte menos

significativo (LSB Least Significant Byte) representado por ltimo, neste caso 62 o LSB.

O outro padro de representao de bytes em memria conhecido como little-endian, e funciona

de modo contrrio, isto , os bytes da sequncia so armazenados em memria de trs para frente

como 62 7E B3 A9. Em outras palavras, o LSB continua sendo 62, porm armazenada primeiro;

da mesma forma o MSB continua sendo o A9, porm armazenado por ltimo.

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No caso de uso de bit de sinal, se o binrio for positivo ento o bit ser 0, caso contrrio, se o

binrio for negativo ento o bit ser 1. Este processo de representao tambm denominado de

sinal-mdulo. Para exemplificar o exposto, vamos representar os nmeros decimais +3510 e 7310

em binrio utilizando a notao de sinal-mdulo.

3510 = 1000112 com o acrscimo do bit de sinal, tem-se que: +1000112 = 01000112

lembre que o bit de sinal 0 indica que o nmero positivo.

7310 = 10010012 com o acrscimo do bit de sinal, tem-se que: 10010012 = 110010012

lembre que o bit de sinal 1 indica que o nmero negativo.

4.2 Complemento de 2

Uma outra forma para representar nmeros binrios negativos bastante utilizada a notao do

complemento de 2, que nada mais do que os bits invertidos acrescidos de uma unidade. Por

exemplo, vamos representar 15510 na notao de complemento de 2.

Primeiro, convertemos 15510 para binrio.

15510 = 100110112

Depois, invertermos todos os bits binrios trocando 0 por 1 e vice-versa, trocando 1 por 0.

Esse novo valor invertido assim obtido tambm chamado de complemento de 1.

Complemento de 1 = 011001002

Finalmente, o complemento de 2 obtido como a soma de uma unidade ao complemento de 1.

Complemento de 2 = (Complemento de 1) + 1 = 011001002 + 12 = 011001012

Este ltimo valor a representao de 15510 em binrio pela notao de complemento de 2.

Note que o 0 mais esquerda deve ser mantido, caso contrrio, ao se tentar decifrar esse valor

binrio de complemento de 2 para decimal, o valor ser alterado.

Observao: linguagens de programao como C, C++, Java, utilizam o complemento de 2 para

representar suas variveis inteiras negativas em seus diferentes tipos (int, byte, short, long). Desta

forma, a representao do nmero binrio negativo diferente e depende do tipo da varivel,

especialmente do tamanho do tipo da varivel em bits.

Exerccios:

- Represente 2710 em binrio utilizando a notao sinal-mdulo.

- Represente +4710 em binrio utilizando a notao sinal-mdulo.

- Represente 15010 em binrio utilizando a notao de complemento de 2.

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- Pergunta desafio: qual o menor valor inteiro negativo e o maior valor inteiro positivo que podem

ser representados por uma varivel do tipo byte (8 bits); em outras palavras, qual a faixa de

variao de variveis do tipo byte? E se a varivel fosse do tipo short (16 bits), quais seriam o

menor e o maior valor representveis? E para variveis do tipo int de 32 bits?

Exerccios propostos

1. Converta para o sistema decimal:

(a) 1001102 (c) 1110112 (e) 110001012 (g) 0110011001101012

(b) 0111102 (d) 10100002 (f) 110101102

2. Converta para o sistema binrio:

(a) 7810 (c) 21510 (e) 80810 (g) 1638310

(b) 10210 (d) 40410 (f) 542910

3. Quantos bits necessitaramos para representar cada um dos nmeros decimais abaixo?

(a) 51210 (c) 210 (e) 3310 (g) 710

(b) 1210 (d) 1710 (f) 4310

4. Transforme para decimal os seguintes nmeros binrios:

(a) 11,112 (c) 1010,10102 (e) 10011,100112 (g) 100001,0110012

(b) 1000,00012 (d) 1100,11012 (f) 11000,0011012

5. Transforme os seguintes nmeros decimais em binrios:

(a) 0,12510 (c) 0,710 (e) 7,910 (g) 53,387610

(b) 0,062510 (d) 0,9210 (f) 47,4710

6. Transforme os nmeros octais para o sistema decimal:

(a) 148 (b) 678 (c) 1538 (d) 15448 (e) 20638

7. Por que o nmero 15874 no pode estar em base octal?

8. Converta para o sistema octal:

(a) 10710 (b) 18510 (c) 204810 (d) 409710 (e) 566610

9. Converta os seguintes nmeros octais em binrios:

(a) 4778 (b) 15238 (c) 47648 (d) 67408 (e) 100218

10. Converta os seguintes nmeros binrios em octais:

(a) 10112 (c) 1101011102 (e) 11010001012

(b) 100111002 (d) 10000000012

11. Converta para o sistema decimal os seguintes nmeros hexadecimais:

(a) 47916 (b) 4AB16 (c) BDE16 (d) F0CA16 (e) 2D3F16

12. Converta os seguintes nmeros decimais em hexadecimais:

(a) 48610 (b) 200010 (c) 409610 (d) 555510 (e) 3547910

13. Converta para o sistema binrio:

(a) 8416 (b) 7F16 (c) 3B8C16 (d) 47FD16 (e) F1CD16

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14. Converta os nmeros 1D216 e 8CF16 para o sistema octal.

15. Converta para o sistema hexadecimal os seguintes nmeros binrios:

(a) 100112 (c) 1001100100112 (e) 10000000001000102

(b) 11100111002 (d) 111110111100102

16. Converta os nmeros 71008 e 54638 para hexadecimal.

17. Efetue as operaes:

(a) 10002 + 10012 (c) 1012 + 1001012 (e) 1101012 + 10110012 + 11111102

(b) 100012 + 111102 (d) 11102 + 10010112 + 111012

18. Resolva as seguintes subtraes no sistema binrio:

(a) 11002 10102 (c) 111102 11112 (e) 1000002 111002

(b) 101012 11102 (d) 10110012 110112

19. Multiplique:

(a) 101012 112 (c) 1101102 1112 (e) 1001102 10102 (b) 110012 1012 (d) 111102 1102

20. Represente os nmeros +9710 e 12110, utilizando a notao sinal-mdulo.

21. Estando o nmero 101100102 em sinal-mdulo, o que ele representa no sistema decimal?

22. Determine o complemento de 1 de 011101002 e 110000102.

23. Represente os seguintes nmeros na notao de complemento de 2:

(a) 10112 (c) 101111012 (e) 010100112

(b) 1000012 (d) 110101002

24. Qual o equivalente decimal do nmero 101101112, aqui representado em complemento de 2?

25. Efetue as operaes utilizando o complemento de 2:

(a) 1011012 1001112 (c) 1111002 111010112 (e) 100111012 10001012

(b) 100001102 1100112 (d) 100100112 + 110110102

26. Efetue em binrio as operaes, utilizando a aritmtica do complemento de 2:

(a) 758 308 (c) A916 E016 (e) 2216 1D16

(b) 4416 3E16 (d) BC16 + FC16

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Anexo I: Tabelas de converso

Tabela de converso de decimal para binrio

decimal binrio decimal binrio decimal binrio decimal binrio

0 0 10 1010 20 10100 30 11110

1 1 11 1011 21 10101 31 11111

2 10 12 1100 22 10110 32 100000

3 11 13 1101 23 10111 33 100001

4 100 14 1110 24 11000 34 100010

5 101 15 1111 25 11001 35 100011

6 110 16 10000 26 11010 36 100100

7 111 17 10001 27 11011 37 100101

8 1000 18 10010 28 11100 38 100110

9 1001 19 10011 29 11101 39 100111

Observaes:

todo decimal mpar possui equivalente binrio terminado em 1. todo decimal par possui equivalente binrio terminado em 0. todo decimal que uma potncia de 2 (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, etc.) possui como

equivalente binrio o dgito 1 seguido de vrios zeros. (102, 1002, 10002, 100002, etc.)

todo decimal que igual a uma potncia de 2 menos uma unidade (1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 2n 1, etc.) possui como equivalente binrio vrios 1s (12, 112, 1112, 11112, etc.)

Tabela de converso de decimal para octal

decimal octal decimal octal decimal octal decimal octal

0 0 10 12 20 24 30 36

1 1 11 13 21 25 31 37

2 2 12 14 22 26 32 40

3 3 13 15 23 27 33 41

4 4 14 16 24 30 34 42

5 5 15 17 25 31 35 43

6 6 16 20 26 32 36 44

7 7 17 21 27 33 37 45

8 10 18 22 28 34 38 46

9 11 19 23 29 35 39 47

Observaes:

todo decimal mltiplo de 8 (8, 16, 24, 32, 40, 48, etc.) possui como equivalente octal uma representao terminada em zero (108, 208, 308, 408, 508, 608, etc.) Basta lembrar que no

algoritmo de converso de decimal para octal (divises sucessivas), se o decimal for

mltiplo de 8, ento ele divisvel por 8 e o resto da primeira diviso zero; logo, o

equivalente octal terminar em zero.

todo decimal par possui octal equivalente par, e todo decimal mpar possui octal mpar.

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Tabela de converso de decimal para hexadecimal

decimal hexa decimal hexa decimal hexa decimal hexa

0 0 10 A 20 14 30 1E

1 1 11 B 21 15 31 1F

2 2 12 C 22 16 32 20

3 3 13 D 23 17 33 21

4 4 14 E 24 18 34 22

5 5 15 F 25 19 35 23

6 6 16 10 26 1A 36 24

7 7 17 11 27 1B 37 25

8 8 18 12 28 1C 38 26

9 9 19 13 29 1D 39 27

Observaes:

todo decimal mltiplo de 16 (16, 32, 48, 64, 80, etc.) possui equivalente hexadecimal terminado em zero (1016, 2016, 3016, 4016, 5016, etc.)

em linguagens de programao, comum representar valores hexadecimais de vrias formas diferentes:

o com prefixo minsculo zero e x, por exemplo, 0xFF o com prefixo maisculo zero e X, por exemplo, 0XFF o com prefixo de smbolo monetrio de cifro (assembly), por exemplo, $FF o com sufixo minsculo letra h (assembly), por exemplo, FFh